강체가 회전하면 무엇이 다른가?

강체와 점입자의 차이

관성모멘트

각운동량과 토크

강체의 회전과 점입자의 회전

질량중심의 이동

야구 방망이의 운동. 무게중심이 움직인다

http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1350/09Mom/CoM.html

무게중심 찾기

질량중심을 받쳐주면 평형이 유지된다.

강체의 움직임

질량중심이 이동한다.

질량중심을 원점으로 회전한다.

강체의 운동에너지 무게중심의 운동에너지 + 강체의 회전운동에너지

질량중심이 움직이면 운동에너지가 생긴다.

운동에너지 = ½ mv2

질량중심이 회전하면, 회전운동에너지가 생긴다.

회전운동에너지= ½ m(rω)2

강체의 회전운동 에너지

질량중심이 정지해 있어도 강체는 회전운동에너지가 존재한다.

강체의 회전운동에너지= ½ Iω2

I 는 관성모멘트

강체의 관성모멘트

속이 빈 원통의 관성모멘트

가운데 축을 중심으로 회전할 때: I = mR2

가장자리 축을 중심으로 회전하면 관성모멘트가 달라진다. (2배가 된다.)

연필의 관성모멘트

질량과 길이가 같다면

아령의 관성모멘트와 연필의 관성모멘트는 어떻게 다른가>?

야구방망이를 휘두를 때의 관성모멘트

질량중심을 원점으로 회전할 때와 방망이 끝을 잡고 휘두를 때의 관성모멘트는 다르다.

http://www.acs.psu.edu/drussell/bats/bat-moi.html

플라이 휠

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Landini_VL30(Italien)2.JPG

http://www.motorship.com/news101/engines-and-propulsion/early-delivery-for-imo-ii-m-20-c-engine

관성모멘트의 크기

이해하기

반지름이 10,000km인 별이 30일 주기로 회전하다가 폭발하여 초신성이 되면, 중성자별로 바뀌면서 반지름이 3km로 변한다. 이 중성자별의 주기는 어떻게 바뀔까?

일하는 토크

http://www.inhabitots.com/play-pump-the-merry-go-round-water-pump/

토크는 일을 한다

토크가 해주는 일 = τ Δθ

토크의 단위= Nm

파워 = τ Δθ/Δt = τω

자동차 스펙 대조 http://www.specs4bmw.com/

http://www.kia.com/kr/vehicles/k3/specifications.aspx

http://www.kia.co.uk/new-cars/range/compact-cars/new-

rio/specification/technical-specification.aspx

http://www.specs4bmw.com/http://www.kia.com/kr/vehicles/k3/specifications.aspx

엔진의 파워

엔진의 회전수는 자동차 계기판에 rpm으로 표시된다.

rpm이란 엔진의 1분당 회전 수를 말한다.

3000rpm을 표준단위로 고치면, 3000/(60초) = 50/초 가 된다. 1초에 50바퀴 회전한다는 뜻이다.

이 엔진의 토크가 50Nm 이면, 이 엔진이 3000rpm에서 내는 파워는

P= (50Nm) * (50 /초) * = 15700W = 약 21마력

1마력은 750W.

타격지점

공이 라켓의 어느 지점에 맞을 때 손목에 무리가 가지 않을까?

강체의 회전축과 세차운동

행성들의 공전궤도면은 바뀌지 않는다

http://spaceplace.nasa.gov/ice-dwarf/

자이로스코프

회전축이 변하지 않는다

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Gyroscope_operation.gif

//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Gyroscope_operation.gif

세차운동

지구의 세차운동

알아보기 (1) 반지의 무게중심을 찾아보자. 반지의 무게중심은

반지를 만드는 고리위에 있는가, 아니면 텅 빈 공간에 있는가? 무게중심은 모양에 따라 질량이 분포되어 있는 곳에 있을 수도 있고, 질량이 없는 곳에 존재할 수도 있다. 사람이 만드는 모양에 따라 무게중심을 찾아보자.

(사람의 모양에 따라 무게중심이 달라진다.) http://www.answers.com/topic/center-of-gravity

알아보기 (2) 질량중심은 물체 하나에만 적용하는 개념이 아니다.

지구와 달을 보자. 지구와 달은 서로 떨어져 있지만, 만유인력을 주고받으면서 하나의 계를 이루고 있다. 달은 지구의 영향을 받아 공전하지만 지구 또한 달의 영향을 받아 움직인다. 지구와 달로 이루어진 계의 질량중심은 어떻게 찾아낼 수 있을까? 실제로 지구와 달로 이루어진 계의 질량중심은 지구 내부 (지표 아래 1700km)에 존재한다.

(달과 지구로 이루어진 계의 질량중심) http://en.wikipedia.org/wiki/File:Orbit3.gif

알아보기

(3) 원반던지기 선수가 정지 상태에서 2kg의 원반을 자신의 몸을 축으로 회전시키기 시작한다. 원반은 중심에서 1.1m 떨어져 있고, 0.4초 주기로 회전 운동한다. 원반의 회전 운동에너지는 얼마인가?

(4) 같은 질량의 재료로 플라이휠을 만든다고 하자. 재료를 어떻게 분포시키면 관성모멘트가 가장 클까? 원하는 관성모멘트를 만들기 위해 여러 형태의 플라이휠을 구상해보자.

알아보기

(5) 평지의 고속도로에서 90 km/h 로 달릴 때, 승용차가 기본적으로 사용하는 파워는 20 kW 이다. 이 파워의 대부분은 공기 저항을 극복하는데 소모된다. 90 km/h로 달리는 자동차에 20kW 파워를 제공하려면 자동차의 엔진은 얼마의 토크를 작용하는 것일까?

(6) 자동차에 쓸데없는 물건을 실고 다니면 연료가 더 든다고 한다. 그 이유는 무엇일까? 다음의 어떤 관계를 써야 하는지 알아보자.

파워와 힘: 파워 = 힘 *속도

파워와 토크: 파워= 토크 *각속도

힘과 가속도: 힘 = 질량 * 가속도

에너지와 힘: 에너지 = 힘 *거리

에너지와 토크: 에너지 =토크 * 회전각

에너지와 파워: 에너지 = 파워 *시간

알아보기

(7) 드라이버의 손잡이가 두꺼울수록 나사를 돌리기가 수월하다. 자동차 바퀴를 갈기 위해서는 단단히 조여진 볼트를 풀어야 하는데, 이때는 보통 손잡이가 긴 렌치를 사용한다. 같은 힘을 주어도 손잡이가 길기 때문에 토크가 크고 이 때문에 나사를 풀기가 쉽다. 회전하는 경우에는 작용하는 힘보다는 토크가 더 중요하다는 것을 알 수 있다. 토크는 회전반경이 길수록 커진다. 자전거의 변속기를 살펴보자. 1단과 5단의 변속하는 반경의 크기는 어떤가? 휘발유엔진과 디젤엔진의 크랭크축 길이의 차이를 알아보자. 길이가 다른 효과는 어떻게 나타나는가?

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(8) 태양을 중심으로 공전하는 지구의 회전 운동에너지를 구해보자. 지구의 질량은 kg 이다. 지구의 공전주기는 1년이고, 지구와 태양까지의 평균 거리는 1억5천만 km이다. 그런데 지구의 공전궤도는 원에서 약간 벗어난 타원궤도를 돈다. 근일점의 거리는 1억4700만 km이고, 원일점의 거리는 1억5200만 km 이다. 각운동량이 보존된다는 사실을 이용하여 근일점과 원일점에서의 속력을 구하고, 이를 이용하여 근일점과 원일점에서의 운동에너지를 각각 구해보자. 각 점에서 운동에너지는 얼마나 차이가 나는가?

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(9) 팔꿈치를 중심으로 아령을 들 때 얼마나 에너지를 소모하는지 알아보자. 가장 쉽게 짐작할 수 있는 방법은 아령의 모든 질량이 손목에 집중되어 있다고 생각하고 관성모멘트를 구하는 것이다. 손목의 길이를 , 손목의 질량을 무시한다면 관성모멘트는 어떻게 되겠는가? 아령을 평균 0.5초에 150도만큼 돌린다고 하자. 이 때 소모하는 에너지는 아령의 회전운동에너지에 해당한다. 회전운동에너지를 구하고 파워를 계산해보자.

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(10) 야구방망이를 바닥에서 회전시켜보자. 방망이가 균일하다고 생각하면 방망이의 관성모멘트는 ml2/12 으로 볼 수 있다. 방망이의 한쪽 끝이 쳐서 방망이를 1초에 한 바퀴 돌게 만든다면, 이 방망이에 공급하는 에너지는 얼마나 될까?

(11) 돌고 있는 자이로스코프를 줄 위에 올려놓아 보자. 자이로스코프가 쓰러지지 않는 이유는 무엇인가? 자이로스코프의 회전이 느려지면 어떤 변화가 생기는가? 자이로스코프는 비행체 기수의 운동방향 (앞뒤 기울임, 좌우 기울임, 가로 기울임)을 알려준다. 그 원리는 무엇일까?

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(12) 럭비공이나 프리스비 등을 상대방에게 던질 때는 모두 회전시키면서 던진다. 우주선에서 통신위성을 우주로 내보낼 때도 위성을 회전시키면서 내보낸다. 그 이유는 무엇일까?