Faculteit WetenschappenVakgroep Natuurkundige Wiskunde en Sterrenkunde

Eddington-Born-Infeld theorie en de donkere kant van hetuniversum

Bastiaan MaertensPromotor: Dr. K. Van AcoleyenCo-promotor: Prof. Dr. M. Baes

Academiejaar 2009-2010

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van master in de wiskunde, afstudeer-richting natuurkundige wiskunde en sterrenkunde.

Voorwoord

Deze masterproef kadert in de studie naar een oplossing voor één van de grootste knelpunten in dehedendaagse wetenschap: het bestaan van donkere materie en donkere energie. Twee zeer uiteenlopendevormen van energie die zeer frequent in één adem worden genoemd. Toch is de klassieke kijk op beidesoorten zeer verschillend. In deze masterproef wordt een vereenzelviging van de donkere kant van hetuniversum beschreven en bestudeerd. Is het echt zo vreemd dat donkere materie en donkere energiesteeds maar weer samen vernoemd worden?

Het betreffende samenvoegende model is gebaseerd op de minderheidsovertuiging dat de algemene re-lativiteitstheorie niet precies genoeg is. Daarom gaat men de veldvergelijkingen van Einstein aanpassenmet een kleine corrigerende term. Dergelijke gemodificeerde zwaartekrachttheorieën proberen meestaldonkere materie te verklaren. Deze masterproef beschrijft gravitatiemodificaties die ook geweten wordenaan donkere energie.

De zoektocht is er één van hard werken en veel bijleren geworden. Leunend op mijn initiële interesse inEinsteins theorie, ben ik stap voor stap vooruit gekomen. Graag wil ik dan ook mijn promoter Dr. KarelVan Acoleyen bedanken voor zijn onvoorwaardelijke hulp bij het tot stand komen van deze masterproef.Ook Jef Maertens ben ik mijn dank verschuldigd voor het nalezen van dit werk.

De lezer kan waarschijnlijk wel genieten van een brok wiskundige natuurkunde. Ik wens hem dan ookveel leesplezier.

Bastiaan Maertens

Toelating tot bruikleen

De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van demasterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van hetauteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bijhet aanhalen van resultaten uit deze masterproef.

18 juni 2010

i

Inhoudsopgave

1 Donkere materie en donkere energie:een schets 1

1.1 Een beetje geschiedenis: het expanderende universum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Waarom donkere materie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 De nood aan donkere energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Bespreking “Eddington-Born-Infeld action for dark matter and dark energy” 5

2.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Afleiding van de bewegingsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Variatie naar gµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Variatie naar de nieuw ingevoerde connectie Cρ

µν . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 De ‘de Sitter’-oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Kosmologie van de actie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 De kosmologische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2 Het gedrag van de schaalfactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Perturbatieve beschrijving van donkere materie halo’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1 De nulde en eerste orde bewegingsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2 Een nulde orde, sferisch symmetrische oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.3 De eerste orde oplossing en het NFW-profiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.4 Een eenvoudigere oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.5 Rotatiecurves van donkere materie halo’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.6 Het asymptotische regime? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.7 Het effect van absolute waarde tekens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Perturbatieve oplossing voor T (m)µν 6= 0 28

3.1 Opzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Storing door een kleine baryonische massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2 Storing door het EBI-veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.3 De randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Eerste orde in ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Nulde orde in 1l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 Eerste orde in 1l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Beschrijving van een compacte massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

ii

3.3.1 Inleidend voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.2 De oplossingen voor een compacte massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.3 Rotatiecurves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Het EBI-veld als donkere materie 42

5 Besluit 44

A Maple documenten 45

iii

HOOFDSTUK 1

Donkere materie en donkere energie:een schets

“Slechts twee dingen zijn oneindig: het universum en de menselijke dwaasheid. Van hetuniversum ben ik het alleen nog niet zeker.”

toegeschreven aan A. Einstein (1879-1955)

1.1 Een beetje geschiedenis: het expanderende universum

Sinds mensenheugenis kijkt men naar boven en verwondert men zich over het grootse dat daar valt teaanschouwen. Lang werd gedacht dat het universum rondom ons, het vacuüm waarin galactieën, sterrenen planeten ronddwalen, eeuwig en onveranderlijk is. De laatste honderd jaar zijn deze ideeën echterspectaculair veranderd.

Toen Albert Einstein [12] in 1917 zijn Algemene Relativiteitstheorie probeerde te verenigen met het indie tijd heersende beeld van een statisch universum, merkte hij dat er in zijn veldvergelijkingen een termbij moest komen. Die term, proportioneel met een nieuw ingevoerde kosmologische constante Λ, moestde gravitationele aantrekkingskracht die het heelal op zichzelf had, tegenwerken. Het evenwicht dat zokon ontstaan, is echter zeer instabiel. Als Λ ook maar infinitesimaal verschilt van de waarde die Einsteinnodig had, moet het heelal krimpen of expanderen (zie figuur 1.1).

De Rus Alexander Friedman [13] en de Belgische priester George Lemaître [17] legden respectievelijkin 1922 en 1927 onafhankelijk van elkaar de theoretische grondslagen voor het beschrijven van eenexpanderend universum. Het idee dat het universum zou kunnen uitzetten werd met veel scepticismeontvangen. Het concept impliceert immers dat er lang geleden een moment moet zijn geweest waar allematerie in één enkel punt zat. Dat moment werd later door Fred Hoyle1 in een BBC radiolezing in 1949oneerbiedig een Big Bang genoemd2. Ironisch genoeg bleef de term hangen en nu nog steeds wordtdat moment van oneindige dichtheid, temperatuur en druk ermee aangeduid. Door de observationeleontdekking van Edwin Hubble [14] in 1929 dat extra-galactische objecten sneller van ons weg bewegennaarmate ze verder van ons verwijderd zijn, kreeg het Friedmann-Lemaître model een grote aanhang.

A.d.h.v. observaties, waarvan een moderne versie is afgebeeld in figuur 1.2, werd vastgesteld dat hetzichtbare universum er in alle richtingen ongeveer hetzelfde uitziet. Deze eigenschap heet het isotroopzijn van het universum. Als we er vanuit gaan dat wij als aardbewoners geen speciale plaats in hetuniversum innemen, een idee dat het Copernicaans principe wordt genoemd, dan moet het universumoveral isotroop zijn en dat betekent dat het homogeen is. De metriek die zo’n universum beschrijft heetde Robertson-Walker-metriek

gµνdxµdxν =−c2dt2 +a(t)2(

dr2

1− kr2 + r2 (dθ2 + sin2

θdφ2))

1Fred Hoyle was een fervente tegenhanger van de Big Bang theorie. Hij stelde zelf een model voor waarin er geleidelijknieuwe materie ontstaat en zo een gelijkblijvend heelal beschrijft.

2In het Nederlands spreekt men van de oerknal.

1

Figuur 1.1: Een schets van de geschiedenis van het universum. Met het expanderen van het universum wordt nietbedoeld dat de materie die in dat universum aanwezig is van elkaar weg beweegt, maar veeleer dat hetvacuüm waaruit het universum bestaat toeneemt. Dit fenomeen valt te vergelijken met twee knikkersdie door een elastiek met elkaar verbonden zijn. Op het elastiek zijn afstanden aangeduid, het is dusgeijkt. Rekt men nu het elastiek uit, dan is niet alleen de afstand tussen de twee knikkers vergroot,maar ook de geijkte afstanden werden beïnvloed. c© NASA

en werd door Howard Percy Robertson [25] in 1935 en Arthur Geoffrey Walker [30] in 1937 afgeleidvoor een algemeen isotroop en homogeen universum. De functie a(t) is de schaalfactor en bepaalt deevolutie van het ruimtelijke deel van het universum. De constante k staat voor het teken van de krommingvan de ruimte en bepaalt of er een vlak heelal (k = 0) wordt beschreven of niet. Het heelal waar wij inleven is nagenoeg vlak.

Figuur 1.2: De distributie van galactieën in ons universum. Gezien van op de aarde, die zich in de top van deafgebeelde kegel bevindt, ziet het heelal er in elke richting hetzelfde uit. De speciale structuur die tezien is heet het kosmisch web. c© 2dFGRS

De grote doorbraak voor de Big Bang theorie kwam er echter maar nadat Arno Penzias en Robert Wilson[23] in 1965 de kosmische achtergrondstraling, de straling die achtergebleven is na de Big Bang en in hetEngels Cosmic Microwave Background of CMB wordt genoemd, hadden geobserveerd. De kosmischeachtergrondstraling werd immers door de Big Bang theorie voorspeld en kon moeilijk door een ander

2

model worden verklaard. Ook werd in diezelfde periode ontdekt dat galactieën veranderingen ondergaanin de tijd en het heelal dus niet eeuwig hetzelfde kon zijn. Onveranderlijke universa zoals die van Einsteinof Hoyle werden dan ook uitgesloten.

1.2 Waarom donkere materie?

Het idee dat er een vreemd soort materie aanwezig is in het universum die we niet kunnen zien omdathet geen licht uitstraalt, werd voor het eerst gepubliceerd in 1933 door Fritz Zwicky [32] die het “Dun-kle Materie” of dus donkere materie noemde. Het idee werd niet bepaald met open armen ontvangendoor zijn tijdsgenoten en zijn naam werd door het slijk gehaald. Het was pas rond 1980 dat de weten-schappelijke wereld genoeg observationeel bewijs had verzameld om het bestaan van donkere materie teaanvaarden.

Als men bijvoorbeeld, a.d.h.v. Doppler-effecten, de rotatiesnelheden van extra-galactische objecten (zo-als galactieën en galactieclusters) bestudeert, blijkt dat de buitenste regionen te snel bewegen volgens dewetten van Newton en de aanwezige zichtbare massa (zie figuur 1.3). Door een grote massa toe te voegenaan zo’n object, kunnen de hoge snelheden wel verklaard worden. Een klein deel van die toe te voegendonkere materie bestaat uit het intergalactische gas, de bijna massaloze neutrino’s en de supermassievezwarte gaten die het centrum van de meeste grote galactieën bewonen. De aard van het overgrote deelvan de donkere materie (ongeveer 23% van de universum-inhoud) is nog lang niet begrepen, maar er zijnheel wat theorieën, de één al plausibeler dan de andere.

Figuur 1.3: De geobserveerde rotatiesnelheden van de Triangulum Galaxy (M33), één van onze dichtste buren,vergeleken met de door de tweede wet van Newton voorspelde rotatiecurve. De geobserveerde rota-tiecurve gaat naar een eindige, positieve waarde, terwijl verwacht zou worden dat de snelheden in debuitenste regionen van de galactie naar nul zouden naderen. c© Sheffield PPPA Group

Eén van de meest aanneembare theorieën is het bestaan van nog niet geobserveerde soorten deeltjesdie WIMPS (Weakly Interacting Massive Particles) worden genoemd. Dit zouden zware deeltjes zijndie enkel interageren via de zwakke wisselwerking en de zwaartekracht. Omdat ze dus niets te makenhebben met elektro-magnetische krachten, kunnen we ze niet zien. Deze soorten deeltjes behoren tot watmen koude donkere materie noemt, terwijl de massaloze neutrino’s deel uitmaken van de hete donkerematerie, omdat zij heel lang aan relativistische snelheden bewegen.

3

Een andere visie is er één waarbij de zwaartekrachttheorieën van Newton en Einstein worden aangepast,zodat ze kunnen verklaren wat er gebeurt op grote schaal, zonder dat er hypothetische nieuwe soortenelementaire deeltjes moeten worden toegevoegd. De meest succesvolle theorie die hiervan gebruik maaktis MOND (Modified Newtonian Dynamics), ontwikkeld door Mordehai Milgrom [20] in 1983. Milgromstelt voor dat de tweede wet van Newton niet meer helemaal correct is wanneer de versnellingen heelklein zijn, wat bijvoorbeeld het geval is in de buitenste regionen van een galactie.

Zowel het postuleren van het bestaan van ongeziene deeltjes, als het aanpassen van succesvolle theorieënvan Newton en Einstein brengen problemen met zich mee. Voor een overzicht van de nog niet over-wonnen obstakels, zie [16]. Kort geschetst kan gesteld worden dat koude donkere materie op universeleschaal het best de observaties verklaard, terwijl op galactische schaal de aangepaste zwaartekrachttheo-rieën behoorlijk succesvol blijken te zijn.

1.3 De nood aan donkere energie

Toen in 1998 door het Supernovae Cosmology Project, geleid door Saul Perlmutter, [24] en de High-z Supernovae Search, geleid door Brian Schmidt, [28] ontdekt werd dat het heelal niet alleen aan hetexpanderen was, maar dat ook nog eens versnellend deed, was er goede reden om de kosmologischeconstante van Einstein terug uit de kast te halen. Er moet immers een soort van donkere energie, energiedie we (nog) niet kunnen observeren, bestaan die kan verklaren waarom de expansie van het heelal nietvertraagt, zoals men had verwacht, maar net versnelt. Die donkere energie kan worden meegerekend inde veldvergelijkingen van Einstein door er terug een term proportioneel met Λ aan toe te voegen. Hetdeel van de inhoud van het universum dat bestaat uit deze onbekende energie is een verbazingwekkende73%.

De meest intuïtieve kandidaat voor donkere energie is vacuüm energie, dat is de energie die zou inge-bakken zitten in elke kubieke millimeter van het universeel vacuüm. Sommigen proberen deze energie teverklaren a.d.h.v. virtuele deeltjes. De op deze manier voorspelde energiewaarden zijn echter een factor(1015eV

)4 te groot, een wel zeer flagrante fout. Anderen verdiepen zich in de effecten die het bestaan vanextra dimensies zou hebben op het vacuüm, om zo tot een verklaring te komen. Ook het links laten liggenvan het concept vacuüm energie zou een mogelijkheid kunnen zijn. Zo zou een vijfde soort kracht, quin-tessence genaamd, naar het door Aristoteles bedachte vijfde element waaruit de hemellichamen volgenshem zouden bestaan, de versnellende expansie van het universum kunnen verklaren. Voor een overzichtomtrent donkere energie en de huidige alternatieven, zie [9].

Tot slot moet ook rekening gehouden worden met het feit dat het mogelijk is dat de theorieën van Newtonen Einstein op kosmologische schalen niet meer exact zijn. Net zoals theorieën donkere materie probe-ren te verklaren door bijvoorbeeld aanpassingen aan te brengen in de veldvergelijkingen van Einstein,wordt op dezelfde manier donkere energie onderzocht. Deze masterproef zal een model beschrijven enonderzoeken dat zowel donkere materie als donkere energie op deze manier probeert te verklaren.

Observationeel is vastgesteld dat de relatieve energiedichtheden van baryonische materie, donkere mate-rie en donkere energie respectievelijk

Ωbm ≈ 0.04, Ωdm ≈ 0.2 en ΩΛ ≈ 0.73

bedragen. Dit betekent dat ongeveer 23% van de energie in het heelal afkomstig is van donkere materie eneen ongelofelijke 73% geleverd wordt door donkere energie. Het feit dat het slechts die 4% baryonischematerie is die we goed begrijpen, is één van de grootste hedendaagse mysteries.

4

HOOFDSTUK 2

Bespreking “Eddington-Born-Infeld action fordark matter and dark energy”

“I have no question:It is enough, I know what fixed the stationOf star and cloud.And knowing all, I cry...”

uit The Hourglass van W. B. Yeats, 1913

2.1 Inleiding

Het artikel “Eddington-Born-Infeld action for dark matter and dark energy” van M. Bañados [3] is debasis waarvan we vertrekken. Het voorstel van het artikel is dat de actie

I =1

16πG

∫ [√∣∣gµν

∣∣R+2

αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣] dx4 +

∫Lm dx4, (2.1)

met∣∣Aµν

∣∣, voor elke Aµν , de absolute waarde van de determinant van Aµν , A(µν) = 12 Aµν + 1

2 Aνµ degesymmetriseerde waarde van Aµν , Kµν de ‘Ricci’-kromming van een nieuw ingevoerde symmetrischeconnectie Cρ

µν en Lm de baryonische Lagrangiaan, kan dienst doen als donkere materie en donkereenergie. Het stelt met ander woorden een aanpassing van de algemene relativiteitstheorie voor om o.a.de rotatiecurves van galactieën te kunnen verklaren.

In dit hoofdstuk willen we de belangrijkste inzichten die door het artikel worden verschaft op een rijzetten, met waar nodig extra uitleg of kritiek. Zo is het lezen van het bewuste artikel geen voorwaardeom te begrijpen wat we in verdere hoofdstukken nog beschrijven.

2.2 Afleiding van de bewegingsvergelijkingen

Omdat het afleiden van de bewegingsvergelijkingen zoals die voorgesteld worden in het artikel [3] uitde actie (2.1) nogal wat meer met zich meebrengt dan men laat uitschijnen, volgt nu een gedetailleerdebespreking. De vergelijkingen die moeten worden afgeleid zijn de volgende:

Gµν =1l2

√qg

gµαqαβ gβν +8πGT (m)µν (2.2)

Kµν =1l2

(gµν +αqµν

)(2.3)

Hierbij is qµν de uniek bepaalde metriek zodat de nieuw ingevoerde symmetrische connectie Cρ

µν debij deze metriek horende Levi-Civitaconnectie is en qµν zijn inverse, wat dus niet hetzelfde is alsgµαgνβ qαβ . Ook voeren we de verkorte notaties g =

∣∣gµν

∣∣ en q =∣∣qµν

∣∣ in. Ter verduidelijking nogeven deze definitie:

5

Definitie 2.2.1 Voor een willekeurige metriek gµν is de Levi-Civitaconnectie de uniek bepaalde con-nectie Γ

ρ

µν waarvoor Dρgµν = 0 en Γρ

µν = Γρ

νµ . Hierbij is Dρ de covariante afgeleide opgebouwd met

Γρ

µν . Voor deze connectie geldt steeds dat Γρ

µν = 12 gρσ

(∂

∂xν gσ µ + ∂

∂xµ gσν − ∂

∂xσ gµν

).

2.2.1 Variatie naar gµν .

De term met T (m)µν in (2.2) is afkomstig van de baryonische Lagrangiaan en kan bekomen worden op de

klassieke manier zoals die in de algemene relativiteitstheorie verkregen wordt. De eerste term bekomenwe door het niet-baryonische deel van de actie (2.1) te variëren naar gµν .

δ I =1

16πG

∫δ

[√

gR+2

αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣] dx4 (2.4)

Gebruiken we de formule van Jacobi (zie [15]) om te schrijven dat, voor inverteerbare A,

δ |detA|= sgn(detA) δ detA

= sgn(detA) Tr(det(A)A−1

δA)

= sgn(detA) detATr(A−1

δA)

= |detA| Tr(A−1

δA), (2.5)

dan kunnen we het integrandum van (2.4) schrijven als

δL = δ

[√

gR+2

αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣]

= δ√

gR+√

gδR+2

αl2 δ

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣ (kettingregel)

=R

2√

gδg+

√gδ(gµνRµν

)+

1

αl2√∣∣gµν − l2K(µν)

∣∣δ ∣∣gµν − l2K(µν)∣∣

=Rg

2√

ggµν

δgµν +√

gδgµνRµν +√

ggµνδRµν

+

∣∣gµν − l2K(µν)∣∣

αl2√∣∣gµν − l2K(µν)

∣∣(gµν − l2K(µν))−1

δ(gµν − l2K(µν)

) (wegens (2.5))

=12√

gRgµνδgνµ +

√gRµνδgµν +

√ggµν

δRµν

+1

αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣( 1

g− l2K

)µν

δ(gµν − l2K(µν)

)=

12√

gRgµνδgµν +

√gRµνδgµν +

√ggµν

δRµν

+1

αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣( 1

g− l2K

)µν

δgµν

(K hangt niet van g af)

=−12√

gRgµνδgµν +√

gRµνδgµν +√

ggµνδRµν

− 1αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣( 1

g− l2K

)µν

δgµν

(Aµνδgµν =−Aµνδgµν )

6

=√

gGµνδgµν +√

ggµνδRµν

− 1αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣gµα

(1

g− l2K

)αβ

gβν δgµν .

Met de formule voor het covariant afleiden van δΓρ

νµ(δΓ

ρ

νµ

);λ =

∂

∂xλδΓ

ρ

νµ +δΓσνµΓ

ρ

λσ−δΓ

ρ

σ µΓσ

λν−δΓ

ρ

νσ Γσ

λ µ,

kunnen we δRµν omvormen tot

δRµν = δRρ

µρν

= δ

(∂

∂xρΓ

ρ

νµ −∂

∂xνΓ

ρ

ρµ +Γρ

ρσ Γσνµ −Γ

ρ

νσ Γσρµ

)=

∂

∂xρδΓ

ρ

νµ −∂

∂xνδΓ

ρ

ρµ +δΓρ

ρσ Γσνµ +Γ

ρ

ρσ δΓσνµ −δΓ

ρ

νσ Γσρµ −Γ

ρ

νσ δΓσρµ

=∂

∂xρδΓ

ρ

νµ +δΓσνµΓ

ρ

ρσ −δΓρ

νσ Γσρµ −

∂

∂xνδΓ

ρ

ρµ −δΓσρµΓ

ρ

νσ +δΓρ

ρσ Γσνµ

+δΓρ

σ µΓσνρ −δΓ

ρ

σ µΓσρν

=(

∂

∂xρδΓ

ρ

νµ +δΓσνµΓ

ρ

ρσ −δΓρ

σ µΓσρν −δΓ

ρ

νσ Γσρµ

)−(

∂

∂xνδΓ

ρ

ρµ +δΓσρµΓ

ρ

νσ −δΓρ

σ µΓσνρ −δΓ

ρ

ρσ Γσνµ

)=(δΓ

ρ

νµ

);ρ −

(δΓ

ρ

ρµ

);ν . (2.6)

Voegen we dit in in het integrandum, dan wordt de tweede term van δL

√ggµν

δRµν =√

ggµν

[(δΓ

ρ

νµ

);ρ −

(δΓ

ρ

ρµ

);ν

]=√

g(gµν

δΓσνµ −gµσ

δΓρ

ρµ

);σ

,

waarbij we gebruik gemaakt hebben van (gµν);σ = 0 en enkele dummy-indices hebben hernoemd. Zowordt de bijdrage van deze term in de variatie van de actie

116πG

∫ (gµν

δΓσνµ −gµσ

δΓρ

ρµ

);σ

√gdx4 = 0,

rekening houdend met de stelling van Stokes in vier dimensies en het feit dat de variatie verdwijnt op derand op oneindig.

Al deze voorbereidingen nu samenvoegend bekomen we

δ I =1

16πG

∫ [√gGµν −

1αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣gµα

(1

g− l2K

)αβ

gβν

]δgµν dx4.

Zoeken we nu een extremum van deze actie en stellen we dus δ I = 0, dan vertelt het grondlemma vande variatierekening, samen met de veronderstelling dat de variatie nul wordt op de rand op oneindig, onsdat

√gGµν −

1αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣gµα

(1

g− l2K

)αβ

gβν = 0. (2.7)

Nemen we als definitieqµν =− 1

α

(gµν − l2K(µν)

), (2.8)

7

dan is

√qqαβ =

√1

α4

∣∣(gµν − l2K(µν)∣∣(−α)

(gαβ − l2K(αβ )

)−1

=− 1α

√∣∣(gµν − l2K(µν)∣∣( 1

g− l2K

)αβ

en leidt (2.7) inderdaad tot de eerste van het paar bewegingsvergelijkingen, terwijl de definitie (2.8) zelfnagenoeg de tweede bewegingsvergelijking is. Wat ons rest aan te tonen is dat de definitie (2.8) ookimpliceert dat qµν de metriek is, horend bij de connectie Cρ

µν en dat K(µν) = Kµν symmetrisch is. In devolgende paragraaf wordt dit aangetoond.

2.2.2 Variatie naar de nieuw ingevoerde connectie Cρ

µν

Nemen we even aan dat Cρ

µν inderdaad de Levi-Civitaconnectie is voor qµν , dan volgt de symmetrie vanKµν op dezelfde manier als de symmetrie van de Ricci-tensor Rµν volgt uit de symmetrie-eigenschappenvan de Riemanntensor Rσ

ρµν .

Het enige wat nu nog moet aangetoond worden is dat de definitie (2.8) inderdaad leidt tot het feit datCρ

µν de Levi-Civitaconnectie is voor qµν . Om dit doel te bereiken beginnen we met het variëren van deactie (2.1) naar die Cρ

µν :

δ I =1

16πG

∫δ

[√

gR+2

αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣] dx4 +

∫δLm dx4

=1

16πG2

αl2

∫δ

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣ dx4.

De laatste vergelijking geldt omdat de eerste term en de baryonische Lagrangiaan Lm niet van Cρ

µν

afhangen. Door gebruik te maken van (2.5) volgt

δ I =1

16πG2

αl2

∫ 1

2√∣∣gµν − l2K(µν)

∣∣δ ∣∣gµν − l2K(µν)∣∣ dx4

=1

16πG2

αl2

∫ ∣∣gµν − l2K(µν)∣∣

2√∣∣gµν − l2K(µν)

∣∣ Tr((

gµν − l2K(µν))−1

δ(gµν − l2K(µν)

))dx4

8

=1

16πG1α

∫ √∣∣gµν − l2K(µν)∣∣( 1

g− l2K

)µν

δK(µν) dx4. (2.9)

Berekenen we eerst de variatie van K(µν) naar Cρ

µν :

δK(µν) =12(δKµν +δKνµ

)=

12[Dρ

(δCρ

νµ

)−Dν

(δCρ

ρµ

)+Dρ

(δCρ

µν

)−Dµ

(δCρ

ρν

)]=

12[2Dρ

(δCρ

νµ

)−Dν

(δCρ

ρµ

)−Dµ

(δCρ

ρν

)], (2.10)

waarbij gebruik wordt gemaakt van het analogon van (2.6) en de symmetrie van Cρ

µν . DρAµν is hierbij decovariante afgeleide van een willekeurige tensor Aµν opgebouwd met de connectie Cρ

µν , in tegenstellingtot(Aµν

);ρ die de covariante afgeleide opgebouwd met de Christoffelsymbolen Γ

ρ

µν voorstelt.

Invullen van (2.10) in (2.9) leidt tot

δ I =1

16πG1

2α

∫ √∣∣gµν − l2K(µν)∣∣( 1

g− l2K

)µν [2Dρ

(δCρ

νµ

)−Dν

(δCρ

ρµ

)−Dµ

(δCρ

ρν

)]dx4.

Om de notatie wat te verlichten kan (2.8) gebruikt worden, zodat

δ I =− 116πG

12

∫ √qqµν

[2Dρ

(δCρ

νµ

)−Dν

(δCρ

ρµ

)−Dµ

(δCρ

ρν

)]dx4

=− 116πG

12

(S1 +S2 +S3) .

De laatste vergelijking is zelfverklarend voor de definities van Si, i = 1,2,3.

De volgende stap is om de factor δCρ

νµ af te zonderen, zodat het grondlemma van de variatierekeningkan gebruikt worden. Voor S1 gebeurt dit als volgt:

S1 = 2∫ √

qqµνDρ

(δCρ

νµ

)dx4

= 2∫ [

Dρ

(√qqµν

δCρ

νµ

)−Dρ

√qqµν

δCρ

νµ −√

qDρqµνδCρ

νµ

]dx4

= 2∫ [

∂

∂xρ

(√qqµν

δCρ

νµ

)+Cρ

ρκ

√qqµν

δCκνµ −

∂

∂xρ

√qqµν

δCρ

νµ −√

qDρqµνδCρ

νµ

]dx4

= 2∫ [

Cκκρ

√qqµν − ∂

∂xρ

√qqµν −√qDρqµν

]δCρ

νµ dx4

= 2∫ √

q[(

Cκκρ −

∂

∂xρln√

q)

qµν −Dρqµν

]δCρ

νµ dx4. (2.11)

Bij de voorlaatste overgang werd gebruik gemaakt van de divergentiestelling en het feit dat de variatieverdwijnt op de rand.

9

De term S2 kan herschreven worden als

S2 =−∫ √

qqµνDν

(δCρ

ρµ

)dx4

=−∫ [

Dν

(√qqµν

δCρ

ρµ

)− ∂

∂xν

√qqµν

δCρ

ρµ −√

qDνqµνδCρ

ρµ

]dx4

=−∫ [

∂

∂xν

(√qqµν

δCρ

ρµ

)+Cν

νκ

√qqµκ

δCρ

ρµ −∂

∂xν

√qqµν

δCρ

ρµ −√

qDνqµνδCρ

ρµ

]dx4

=−∫ √

q[Cν

νκqµκ − ∂

∂xνln√

qqµν −Dνqµν

]δCρ

ρµ dx4

=−∫ √

q[(

Cκκα −

∂

∂xαln√

q)

qµα −Dαqµα

]δ

νρ δCρ

νµ dx4, (2.12)

waar we voor de voorlaatste vergelijking opnieuw de divergentiestelling gebruikten, en analoog

S3 =−∫ √

q[(

Cκκα −

∂

∂xαln√

q)

qνα −Dαqνα

]δ

µ

ρ δCρ

νµ dx4. (2.13)

(2.11), (2.12) en (2.13) invullend in δ I = 0 en rekening houdend met het feit dat qµν inverteerbaar wordtverondersteld, wat betekent dat q 6= 0, worden de bewegingsvergelijkingen

0 = 2[(

Cκκρ −

∂

∂xρln√

q)

qµν −Dρqµν

]−[(

Cκκα −

∂

∂xαln√

q)

qµα −Dαqµα

]δ

νρ

−[(

Cκκα −

∂

∂xαln√

q)

qνα −Dαqνα

]δ

µ

ρ . (2.14)

Om te kunnen bewijzen dat qµν als Levi-Civitaconnectie precies de connectie Cρ

µν heeft, moeten we,wegens de veronderstelde symmetrie van de connectie en volgens definitie 2.2.1, enkel nog aantonen datDρqµν = 0. Hiervoor nemen we de contractie van (2.14) met δ

ρ

ν :

0 = 2[(

Cκκν −

∂

∂xνln√

q)

qµν −Dνqµν

]−4[(

Cκκα −

∂

∂xαln√

q)

qµα −Dαqµα

]−[(

Cκκα −

∂

∂xαln√

q)

qµα −Dαqµα

]=−3

[(Cκ

κα −∂

∂xαln√

q)

qµα −Dαqµα

],

wat leidt tot

Dαqµα =(

Cκκα −

∂

∂xαln√

q)

qµα .

Als we dit resultaat invullen in (2.14), dan krijgen we

Dρqµν =(

Cκκρ −

∂

∂xρln√

q)

qµν . (2.15)

10

Aantonen dat het rechterlid van (2.15) nul moet zijn, doen we door die vergelijking te contraheren metqµν :

0 = qµνDρqµν −qµν

(Cκ

κρ −∂

∂xρln√

q)

qµν

= qµν

(∂

∂xρqµν +Cµ

ρκqκν +Cνρκqµκ

)−4(

Cκκρ −

∂

∂xρln√

q)

= qµν

∂

∂xρqµν +Cµ

ρµ +Cνρν −4Cκ

κρ +4∂

∂xρln√

q

=−qµν ∂

∂xρqµν −2Cκ

κρ +41√

q1

2√

qqqµν ∂

∂xρqµν

= qµν ∂

∂xρqµν −2Cκ

κρ

= 2∂

∂xρln√

q−2Cκκρ .

Zodoende krijgen we uiteindelijk, gebruik makend van Dρqµν = 0,

0 = Dρ δα

β

= Dρ

(qακqκβ

)= qκβ Dρqακ +qακDρqκβ

= qακDρqκβ

en dat is, na contractie met δβ

ν qµα , precies wat we moesten bewijzen.

Tot slot merken we nog op dat dit alles ook betekent dat we Cρ

µν kunnen schrijven als

Cρ

µν =12

qρσ

(∂

∂xνqσ µ +

∂

∂xµqσν −

∂

∂xσqµν

). (2.16)

2.3 De ‘de Sitter’-oplossing

Voor de doeleinden van deze masterproef is het interessantste deel van de kosmologie van de voorgesteldeactie de ‘de Sitter’-oplossing die wordt beschreven in [3]. Deze oplossing zullen we later namelijk kiezenals beginoplossing bij het verder bestuderen van het model in hoofdstuk 3. Een uitgebreide besprekingis dan ook leerzaam.

De oplossing die de Nederlandse fysicus Willem de Sitter (1872-1934) voorstelde voor de Einstein-vergelijkingen met kosmologische constante kan ook hier voor een vlak1 en leeg2 heelalmodel wordengebruikt. Voor een ‘de Sitter’-universum geldt dat Rµν = Λgµν , waar er van vertrokken wordt in debespreking in [3]. Veronderstel dus Rµν = Λgµν , dan volgt

R = Rµ

µ = Λgµνgνµ = Λδµ

µ = 4Λ

en zo

Gµν = Rµν −12

Rgµν

= Λgµν −12

4Λgµν

=−Λgµν .

1Op grote schaal is het observeerbare heelal nagenoeg vlak.2Met een leeg heelalmodel wordt bedoeld dat er geen straling of baryonische materie in te vinden is: T (m)

µν = 0.

11

Door dit gelijk te stellen aan het rechterlid van (2.2) voor T (m)µν = 0 en te vermenigvuldigen met gσ µ en

gνκ , verschijnt er

Λgσ µgµνgνκ =1l2

√qg

gσ µgµαqαβ gβνgνκ .

Met de definitie

γ =1

l2Λ

√qg, (2.17)

wordt datgσκ = γqσκ . (2.18)

Door vermenigvuldiging van (2.18) met qρσ en gκλ wordt aangetoond dat qρλ voor dit model proportio-neel is met gρλ :

qρλ = γgρλ . (2.19)

Merk op dat γ volgens (2.17) afhangt van de gekozen coördinaten, zodat dit in principe een scalairefunctie is. (2.19) invullen in (2.17) geeft echter

γ =1

l2Λ

√γ4gg

=γ2

l2Λ,

waaruit blijkt dat γ een constante is: γ = l2Λ (of γ = 0, wat natuurlijk geen interessante oplossing is).

Verder kan Λ nu worden uitgedrukt in functie van de constanten α en l uit de actie (2.1). Gebruik makendvan (2.16), (2.18) en (2.19) is direct in te zien dat

Cρ

µν =12

qρσ

(∂

∂xνqσ µ +

∂

∂xµqσν −

∂

∂xσqµν

)=

12

1γ

gρσ

(γ

∂

∂xνgσ µ + γ

∂

∂xµgσν − γ

∂

∂xσqµν

)= Γ

ρ

µν ,

waaruitKµν = Rµν

volgt. Samen met (2.3) geeft dit

Rµν =1l2 (γα +1)gµν

=1l2 (Λl2

α +1)gµν .

Λ kan nu gevonden worden met

Λgµν = (Λα +1l2 )gµν ,

wat leidt totΛ =

11−α

1l2 . (2.20)

Deze oplossing van de bewegingsvergelijkingen (2.2)-(2.3) kan gebruikt worden wanneer materie ver-waarloosbaar geworden is. Het blijkt dat ze dan, precies zoals het verwacht wordt, kan gezien worden

12

als een oplossing van de Einstein-vergelijkingen met de kosmologische constante (2.20):

Gµν =− 1l2

√γ4gg

gµα

1γ

gαβ gβν +8πGT (m)µν

=− 1l2 γgµν +0

=−Λgµν

2.4 Kosmologie van de actie

2.4.1 De kosmologische vergelijkingen

Het intrigerende aan het Eddington-Born-Infeld (EBI) model is dat het veld Cρ

µν zich in het vroegeuniversum gedraagt als donkere materie, terwijl het zich na lange tijd begint te gedragen als donkereenergie. Het model kan zo, voor vlakke ruimtes, de evolutie van de schaalfactor a(t) verklaren zonderdonkere materie of donkere energie te moeten toevoegen. Om dit gedrag te ontdekken, zullen we net alsin [3] enkele generieke assumpties maken.

Naast het vlak zijn van het universum, veronderstellen we dat het heelal isotroop en homogeen is. Wezullen ook in eenheden werken waarvoor de lichtsnelheid c = 1 en de schaalfactor vandaag a(t0) = 1.Dat maakt de formules net iets eenvoudiger. Met deze veronderstellingen en door gebruik te maken vande ijkvrijheid om g00 =−1 te kunnen stellen, krijgen de metrieken gµν en qµν de eenvoudige vorm

gµνdxµdxν =−dt2 +a(t)2 (dx2 +dy2 +dz2) (2.21)

qµνdxµdxν =−X(t)2dt2 +Y (t)2 (dx2 +dy2 +dz2) , (2.22)

waarbij a(t), X(t) en Y (t) de te vinden functies zijn. gµν is simpelweg de Robertson-Walker-metriekvoor een vlakke ruimte.

Met (2.21) en (2.22) kunnen de vergelijkingen (2.2) en (2.3) omgevormd worden tot

a2

a2 =1

3l2H20

Y 3

X1a3 +

ρ

ρkrit(2.23)

1X2

Y 2

Y 2 =1

3l2H20

(− 1

2X2 +α +32

a2

Y 2

), (2.24)

waarbij de tijdscoördinaat werd geherdefinieerd als t = H0t, “˙” afleiding naar H0t voorstelt, ρ de bary-onische energiedichtheid is en ρkrit = 3H2

08πG staat voor de kritische energiedichtheid. De berekeningen die

hiervoor nodig zijn, zijn terug te vinden in de Appendix (document A.2), waar de betreffende MapleTM

in- en output is afgebeeld.

De vergelijking (2.23) is de Friedmanvergelijking voor de schaalfactor. De eerste term in het rechterlidstelt het effect voor die het EBI-veld Cρ

µν heeft op de groei van het universum. Om dit nog duidelijker temaken, worden de energiedichtheid en de druk voor het EBI-veld gedefiniëerd als

ρEBI =1

8πGl2Y 3

X1a3 (2.25)

pEBI =−1

8πGl2XYa

. (2.26)

Zo wordt de Friedmanvergelijking simpelweg

a2

a2 =ρEBI +ρ

ρkrit.

13

Vergelijking (2.24) geeft de toestandsvergelijking voor ρEBI en pEBI wanneer X en Y in functie van ρEBI enpEBI worden geschreven. De expliciete vorm van deze differentiaalvergelijking is niet erg verlichtend enis terug te vinden in document A.2.

Nemen we de covariante afgeleide naar xµ van de contravariante versie van vergelijking (2.2), dan vindenwe, wegens de Bianchi identiteiten

(Gµν);µ = 0

en het behoud van baryonische energie (T µν

(m)

);µ

= 0

of anders geschrevenddt

(ρa3)=−p

da3

dt,

met p de baryonische druk, nog een interessante vergelijking:

ddt

(Y 3

X

)= 3XYa

dadt

. (2.27)

Deze vergelijking is te schrijven als

ddt

(ρEBIa3)=−pEBI

da3

dt

en stelt dus het behoud van niet-baryonische energie voor.

2.4.2 Het gedrag van de schaalfactor

De schaalfactor in een vlak, materiegedomineerd heelal varieert in de tijd volgens

a(t)∼ t2/3.

(Voor een gedetailleerde afleiding, zie bijvoorbeeld [8].) Niet zo lang na de Big Bang was ons universumzo’n door (donkere) materie gedomineerd universum. Als de evolutie van het universum wordt bepaalddoor een kosmologische constante, zoals nu het geval is in ons universum, dan gedraagt de schaalfactorzich als een exponentiële functie:

a(t)∼ e√

ΩΛt .

Om aan te tonen dat het model (2.23)-(2.27) het juiste gedrag kan reproduceren, wordt een theoretischeschets gegeven en een numerieke analyse uitgevoerd.

Wanneer de schaalfactor zeer groot wordt, zal de invloed van de baryonische massadichtheid (ρ ∼ a−3)verwaarloosbaar klein worden3 t.o.v. het effect van de donkere materie en donkere energie. In (2.23) kande term ρ

ρkritin dit regime weggelaten worden, zodat

a(t) = a0et√

3(1−α)lH0

X(t) =1√

1−α

Y (t) =a0√

1−αe

t√3(1−α)lH0

3De massadichtheid wordt steeds kleiner met een factor a3 naarmate het universum uitzet en de schaalfactor groeit, omdathet volume waarin de niet toegenomen massa zich bevindt precies met die factor is vergroot.

14

een exacte oplossing wordt. a(t) is inderdaad een exponentiële en als er een restrictie op α en l wordtgelegd, dan is dit gewoon de ‘de Sitter’-oplossing, zoals die beschreven wordt in paragraaf 2.3. Hiervoormoet de vergelijking

13(1−α)l2H2

0= ΩΛ (2.28)

voldaan zijn, dan heeft a(t) immers de juiste exponent. Anders geschreven, wordt dit inderdaad

13(1−α)l2H2

0=

Λ

3H20

of

1(1−α)l2 = Λ.

Dit alles toont aan dat de schaalfactor in het EBI-model voor late tijdstippen (grote schaalfactor) veran-derd zoals ze onder invloed van pure donkere energie zou doen.

Om een idee te krijgen van waarom het EBI-veld ook zou kunnen dienen als donkere materie, stelt hetartikel [3]

a(t) = a0 t2/3(

1+O(

t4/3))

X(t) = x30 (1+O(t))

Y (t) = x0 (1+O(t))

voor als een reeksoplossing van het stelsel (2.23)-(2.27), voor vroege tijdstippen. Op die manier heeft deeerste term in (2.23) het a−3-gedrag dat verwacht wordt van een donkere materie component.

Numeriek oplossen van (2.23)-(2.27) levert een evolutie van de schaalfactor die voor 0 < t < 1 niette onderscheiden is van die voorspeld door het Friedman-model (zie figuur 2.1). Hiervoor moet deparameter α wel dicht bij 1 liggen. Dit betekent dat het EBI-veld zich voor vroege tijdstippen inderdaadals donkere materie en op late tijdstippen als donkere energie kan gedragen.

First of all, for a flat model, we can choose a(1) = 1. Second, in (24), we already encounter

one condition on the parameters to achieve the right evolution. Eq. (24) allows to solve l in

terms of !. One extra condition follows by evaluating Eq. (17) today,

1 =1

3l2H20

Y 31

X1+ !bm, (26)

from where we can solve X1 in terms of Y1 and l. The remaining parameters are thus ! and Y1.

We have integrated (17-19) numerically varying ! and Y1. The resulting curve is compared

with the evolution predicted by (12,13). Our conclusions are the following.

1. First of all, there exists values of !, Y1 such that the evolution predicted by (12) is almost

undistinguishable from that following from (17-19), at least for the part of the Universe

we can observe 0 < t < 1. In Fig. 1, the continuous line represents the Born-Infeld theory

with ! = 0.99 and Y1 = 10.59. The dots represents the Friedman evolution dictated by

(12). The parameters were adjusted for a best fit, and in particular the big-bang occurs

FriedmanEBI Gravity

Born-Infeld Gravity vs Friedman

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

a

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

t

Figure 1: ! = 0.99, Y1 = 10.59

at t = 0.00731.. in both theories.

2. If ! is not close to one, there is no value of Y1 to achieve a good fit with the Friedman

equation. The above picture corresponds to ! = 0.99. The value ! = 0.9 also gives a

good fit, but smaller ones do not. ! > 1 does not work either.

9

Figuur 2.1: De evolutie van de schaalfactor voor het Friedman- en het EBI-model voor α = 0.99. c©M. Bañados

Ter uitbreiding kunnen we ons de vraag stellen of het ook mogelijk is dat het EBI-veld straling beschrijft.[3] heeft daar een negatief antwoord op. Schrijven we, lettend op de definities (2.25) en (2.26) van pEBI

15

en ρEBI,

pEBI =−(

aXY

)2

ρEBI

= wEBIρEBI,

dan blijkt dat de druk steeds kleiner of gelijk aan nul zal zijn. wEBI = 13 is dus geen mogelijkheid. Dit

neemt niet weg dat het EBI-model een stralingsgedomineerd heelal kan beschrijven. Daarvoor moetρ ∼ a−4 en de tweede term in de Friedmanvergelijking (2.23) dominant zijn. Met de reeksoplossing

a(t) = a0 t1/2(

1+O(

t1/2))

X(t) = x30 t−1

(1+O

(t1/2))

Y (t) = x0 t1/2(

1+O(

t1/2))

van (2.23)-(2.27) zien we dat de schaalfactor ook het gedrag a(t) ∼ t1/2 van een stralingsgedomineerdheelal kan vertonen.

2.5 Perturbatieve beschrijving van donkere materie halo’s

In [3] beweert men dat het voorgestelde model in staat is om realistische rotatiecurves te gegenereren,als men aanneemt dat de zichtbare materie verwaarloosbaar is: T (m)

µν = 0. Om dit te bewerkstelligen gaatmen de vergelijkingen

Gµν =− 1l2

√qg

gµαqαβ gβν (2.29)

Kµν =1l2

(gµν +αqµν

)(2.30)

perturbatief oplossen. Dit is mogelijk doordat 1l2 klein is, vergeleken met een galactische schaal. l heeft

namelijk een kosmologische schaal.

2.5.1 De nulde en eerste orde bewegingsvergelijkingen

We ontwikkelen de metrieken gµν en qµν , de Einstein tensor Gµν en de kromming van de q-ruimte Kµν

in machtreeksen van 1l2 :

gµν = g(0)µν +

1l2 g(1)

µν +(

1l2

)2

g(2)µν + . . . (2.31)

qµν = q(0)µν +

1l2 q(1)

µν +(

1l2

)2

q(2)µν + . . . (2.32)

Gµν = G(0)µν +

1l2 G(1)

µν +(

1l2

)2

G(2)µν + . . . (2.33)

Kµν = K(0)µν +

1l2 K(1)

µν +(

1l2

)2

K(2)µν + . . . (2.34)

16

Taylorontwikkeling rond g(0)µν en (2.5) leren dat

g =∣∣∣∣det

[g(0)

µν +1l2 g(1)

µν +O(

1l4

)]∣∣∣∣=∣∣∣detg(0)

µν

∣∣∣+ 1l2 g(1)

µν

∂

∂g(0)µν

∣∣∣detg(0)µν

∣∣∣+O(

1l4

)

=∣∣∣detg(0)

µν

∣∣∣+ 1l2 g(1)

µν

∣∣∣detg(0)µν

∣∣∣Tr

(gαβ (0) ∂

∂g(0)µν

g(0)βγ

)+O

(1l4

)

=∣∣∣detg(0)

µν

∣∣∣(1+1l2 g(1)

µνgαβ (0) ∂

∂g(0)µν

g(0)βα

+O(

1l4

))

=∣∣∣detg(0)

µν

∣∣∣(1+1l2 g(1)

µνgαβ (0)δ

µ

βδ

να +O

(1l4

))=∣∣∣detg(0)

µν

∣∣∣(1+1l2 g(1)

µνgνµ(0) +O(

1l4

))en analoog

q =∣∣∣detq(0)

µν

∣∣∣(1+1l2 q(1)

µνqνµ(0) +O(

1l4

)).

Hiermee kunnen we schrijven

√qg

=

√√√√√∣∣∣detq(0)

µν

∣∣∣∣∣∣detg(0)µν

∣∣∣(

1+ 1l2 q(1)

µνqνµ(0) +O( 1

l4

))1/2

(1+ 1

l2 g(1)µνgνµ(0) +O

( 1l4

))1/2

=

√q(0)

g(0)

(1+

12

1l2 q(1)

µνqνµ(0) +O(

1l4

))(1− 1

21l2 g(1)

µνgνµ(0) +O(

1l4

))

=

√q(0)

g(0)

(1+

12

1l2 q(1)

µνqνµ(0)− 12

1l2 g(1)

µνgνµ(0) +O(

1l4

)). (2.35)

Na invullen van (2.31)-(2.34) en (2.35) in (2.29)-(2.30), vinden we

G(0)µν = 0 (2.36)

K(0)µν = 0 (2.37)

G(1)µν =−

√q(0)

g(0) g(0)µαqαβ (0)g(0)

βν(2.38)

K(1)µν = g(0)

µν +αq(0)µν , (2.39)

waarbij we termen van gelijke macht aan elkaar gelijkstellen en tot op eerste orde in 1l2 werken. Dit zijn

de vergelijkingen die worden opgelost door [3].

2.5.2 Een nulde orde, sferisch symmetrische oplossing

Om het rekenwerk te vereenvoudigen wordt sferische symmetrie verondersteld. Het doel is immers don-kere materie halo’s te beschrijven en die zijn sferisch symmetrisch. De statisch, sferisch symmetrische

17

oplossing voor (2.36) is de Schwarzschild metriek, die voor een ruimte zonder baryonische materie ge-woon de vlakke metriek is:

g(0)µνdxµdxν =−c2dt2 +dr2 + r2dΩ

2. (2.40)

Ook (2.37) heeft een Schwarzschild oplossing, maar omdat de t- en r- coördinaat zijn vastgelegd doorg(0)

µν , kunnen we niet veronderstellen dat zij op dezelfde elegante manier in deze Schwarzschild metriekzullen verschijnen. Daarom verschijnen β en k(r) in de formule. In [3] wordt

q(0)µνdxµdxν =−β

2c2(

1− w0

k(r)

)dt2 +

(1− w0

k(r)

)−1

k′(r)2dr2 + k(r)2dΩ2 (2.41)

voorgesteld. Hierbij kunnen we ons de vraag stellen waarom er niet, net zoals voor g(0)µν , gezien de

afwezigheid van een bron in het rechterlid van (2.37), voor gekozen werd om in een Minkowski-ruimtete werken. (Ook dan zou weliswaar de toevoeging van β en k(r) nodig zijn.) Niettemin gaan we verderzoals in het artikel en gebruiken we (2.41) als nulde orde oplossing voor qµν .

In document A.3 wordt aangetoond dat voor deze metriek inderdaad K(0)µν = 0 geldt, behalve voor k(r) =

0, waar er een singulariteit optreed. Omdat men deze singulariteit niet wenst te bestuderen, wordt veron-dersteld dat k > w0, wat betekent dat enkel het gebied in de qµν -ruimte buiten de “Schwarzschildstraal”wordt bekeken. Om alles een eenvoudigere vorm te geven definiëert men nog k(r) als

k(r) =k

w0.

Hiermee ligt de “Schwarzschildstraal” (en dus ook de horizon van de singulariteit) op k = 1.

2.5.3 De eerste orde oplossing en het NFW-profiel

Met de keuzes (2.40) en (2.41) kan de eerste orde oplossing worden geconstrueerd. Enkel de eerste ordecorrectie op g(0)

µν wordt hier berekend. (2.40) en (2.41) moeten dus ingevuld worden in (2.38), waarna de

verkregen vergelijking moet opgelost worden naar g(1)µν .

Een algemene perturbatie van de vlakke metriek die ook nog eens sferisch symmetrisch is, kan wordengeschreven als

ds2 =−c2(

1+2c2 Φ(r)

)dt2 +

(1− 2

c2 Ψ(r))

dr2 + r2dΩ2,

waarbij de functies Φ en Ψ enkel van r afhangen. Met een definitie voor m(r),

Ψ(r) =m(r)

r− 2m(r)c2

,

wordt dit teruggebracht naar de vertrouwd aandoende vorm

ds2 =−c2(

1+2c2 Φ(r)

)dt2 +

(1− 2m(r)

c2r

)−1

dr2 + r2dΩ2.

Door te schrijven

Φ = Φ(0) +

1l2 Φ

(1) +(

1l2

)2

Φ(2) + . . .

m = m(0) +1l2 m(1) +

(1l2

)2

m(2) + . . . ,

18

moet, wegens het feit dat g(0)µν de vlakke metriek is, gelden dat

Φ(0) = 0

m(0) = 0

g(1)00 =− 2

c2 Φ(1)

g(1)rr =

2m(1)

c2rg(1)

θθ= 0

g(1)φφ

= 0

g(1)αβ

= 0 (α 6= β ),

met dΩ2 = dθ 2 + sin2θ dφ 2. Het vinden van de eerste orde correcte g(1)

µν komt er dus op neer om de Φ(1)

en m(1) te vinden die een oplossing van de eerste orde veldvergelijkingen (2.38) vormen.

Definiëert men de functie u(1)(r) a.d.h.v.

rdΦ(1)

dr= u(1)(r)+

m(1)(r)r

, (2.42)

dan worden de veldvergelijkingen omgevormd tot het stelsel

dm(1)

dr

(1− 1

k

)− c2

2

∣∣∣∣w03

β

∣∣∣∣k2∣∣∣∣dkdr

∣∣∣∣= 0

c2 |βw0|k2(

1− 1k

)+2u(1)

∣∣∣∣dkdr

∣∣∣∣= 0

du(1)

dr+ c2 |βw0|r

∣∣∣∣dkdr

∣∣∣∣= 0.

(2.43)

De afleiding hiervan kan teruggevonden worden in document A.4. In het artikel wordt geen aandacht be-steed aan de absolute-waarde tekens en direct aangenomen dat dk

dr > 0 en dat β en w0 positieve constantenzijn. Dit levert problemen op die in paragraaf 2.5.7 zullen besproken worden. Om de bespreking van hetartikel niet te hinderen, gaan we toch verder met de vergelijkingen zonder absolute-waarde tekens.

Dit stelsel is niet analytisch oplosbaar in functie van r. Voor kleine waarden van r kan er wel eenmachtsontwikkeling gebruikt worden (zie document A.5) en er volgt

k(r) = k0−12

βc2w0k0(k0−1)u(1)(0)

r +O(r2)

m(1)(r) = m(1)(0)− 14

w04c4k0

4

u(1)(0)r +O(r2)

u(1)(r) = u(1)(0)+O(r2),

waarbij k0 de waarde van k is waarvoor r = 0.

Merk op dat voor de rotatiesnelheid vcirc(r) van een niet-relativistisch object op een cirkelbaan met straalr geldt

vcirc(r) =

√r

dΦ(r)dr

=

√1l2

(u(1)(r)+

m(1)(r)r

). (2.44)

19

Op de klassieke manier kan namelijk aangetoond worden dat in de zwakke veldlimiet Φ(r) precies deNewtoniaanse zwaartekrachtpotentiaal is.

Zo wordtlimr→0

vcirc(r) = 0 (2.45)

een natuurlijke voorwaarde bij het beschrijven van een galactie of donkere materie halo. Opdat aan dezevoorwaarde zou voldaan zijn, moet gelden dat

m(1)(0) = 0 (2.46)

en

u(1)(0)+ limr→0

ddr m(1)(r)

ddr r

= 0,

waarbij de regel van de l’ Hôpital werd gebruikt, of nog

u(1)(0) =−dm(1)

dr(0) =

w02k0

2c2

2. (2.47)

Alles samen geeft dit

k(r) = k0−β (k0−1)

w0k0r +O(r2)

m(1)(r) =−w02k0

2c2

2r +O(r2)

u(1)(r) =w0

2k02c2

2+O(r2)

als oplossing voor een donkere materie halo.

In het artikel [3] wordt tot slot opgemerkt dat de massaverdeling ρ(r) in dit model net als het Navarro-Frenk-White profiel4 een lineaire divergentie heeft. De Poissonvergelijking geeft immers (zie docu-ment A.5)

4πGρ(r) = ∆Φ(r) =1r2

ddr

(r2 d

drΦ(r)

)=

2(k0−1)w0c2β

l2r+O(1). (2.48)

2.5.4 Een eenvoudigere oplossing

Stelsel (2.43) zonder absolute waardes en zijn oplossingen kunnen vereenvoudigd worden door gebruikte maken van de kettingregel voor afleiden en van

dkdr

drdk

= 1.

Dit laatste is geldig omdat k(r) een coördinatentransformatie is. Er komt

drdk

(dkdr

dm(1)

dk

(1− 1

k

)− w0

3c2

2βk2 dk

dr

)= 0

drdk

(βc2w0k2

(1− 1

k

)+2u(1) dk

dr

)= 0

drdk

(dkdr

du(1)

dk+βc2w0r

dkdr

)= 0

4Het NFW-profiel geeft de massaverdeling voor een donkere materie halo: ρNFW(r) = ar

r0

(1+ r

r0

)2 = ar0r +O(1).

20

of

dm(1)

dk

(1− 1

k

)− w0

3c2

2βk2 = 0

βc2w0k2(

1− 1k

)drdk

+2u(1) = 0

du(1)

dk+βc2w0r = 0.

(2.49)

Met een rekenpakket zoals MapleTM is de oplossing van (2.49) snel gevonden (zie document A.6) en ervolgt

m(1)(k) =w0

3c2

2β

(13

k3 +12

k2 + k + ln(k−1)−h0

)(2.50)

r(k) = A0

(−(

k− 12

)ln(

1− 1k

)−1)

+B0

(k− 1

2

)(2.51)

u(1)(k) =12

βc2w0

[A0

(k2(

1− 1k

)ln(

1− 1k

)+ k− 1

2

)−B0

(k2− k

)]. (2.52)

Omdat k de radiële coördinaat is in de qµν -ruimte, wordt enkel het domein k > 0 bekeken. Aangezienvoor 0 < k < 1 o.a. r(k) (de radiële coördinaat in de gµν -ruimte) imaginair is, wordt ook dat deel van hetdomein niet beschouwd. De ruimte wordt dus enkel bekeken buiten de horizon in de qµν -ruimte.

Om de functie r(k) van dichterbij te bestuderen, wordt er eerst opgemerkt dat voor een coördinatentrans-formatie steeds moet gelden dat dr

dk 6= 0, wat niet het geval is als A0 en B0 hetzelfde teken hebben. Deafgeleide is immers

drdk

= A0

(− ln

(1− 1

k

)−

k− 12

k(k−1)

)+B0 = A0 f (k)+B0

en de functie f (k) kan voor k∈]1,∞[ alle waarden in ]−∞,0[ aannemen (zie figuur 2.2), zo ook de waarde−B0

A0< 0.

Voor het geval dat A0 < 0 en B0 > 0 (wat in het artikel [3] de “Linear Branch” wordt genoemd) ziet u opfiguur 2.3a (of algemener op figuur 2.3c) dat r(k) = 0 voor een bepaalde waarde k0 > 1. Omdat in ditgeval voor grote k geldt dat

m(k)(1)

r(k)∼ O(k3)

O(k)∼ O(k2)

en zo kwadratisch divergeert voor grote k en dus ook voor grote r (zie figuur 2.3a), wat niet fysisch is5,wordt deze “Linear Branch” buiten beschouwing gelaten.

De laatst overgebleven mogelijkheid A0 > 0 en B0 < 0 is meteen ook de interessantste. Op figuur 2.3b(of figuur 2.3d) is duidelijk te zien dat voor deze “Logarithmic Branch” (zoals dit geval in [3] wordtgenoemd) r(k) divergeert als k = 1 en wederom r(k) = 0 voor een zekere k0 > 1. Omdat r < 0 nietfysisch is, wordt het domein dat wordt onderzocht verder verkleind tot

1 < k ≤ k0.

5Als het ruimte-tijd continuüm voor grote r moet luisteren naar de Minkowski-metriek, mag m(k)(1)

r(k) niet divergeren, maarmoet ze net nul worden voor grote r.

21

Figuur 2.2: f (k) voor k ∈]1,∞[

2.5.5 Rotatiecurves van donkere materie halo’s

Voor de “Logarithmic Branch” kunnen, analoog aan (2.45) en (2.46)-(2.47), h0 en A0, met de voorwaarde

limk→k0

vcirc(k) = 0,

in functie van k0, w0 en β worden geschreven. Met r(k0) = 0 is ook B0 op die manier te schrijven en erverschijnt (zie document A.7)

h0 =13

k03 +

12

k02 + k0 + ln(k0−1) (2.53)

A0 =2w0k0

2(2k0−1)β

(2.54)

B0 =2w0k0

2

β

((2k0−1) ln

(1− 1

k0

)+2)

. (2.55)

Nu kan aangetoond worden dat in dit geval de rotatiecurve voor een bepaalde k0-waarde naar een eindigewaarde nadert:

v2∞ ≡ lim

k→1vcirc(k)2 =

4k06−4k0

5 + k04−1

2(2k0−1)k02

w02

l2 c2, (2.56)

wat niet divergeert, zolang k0 6= 12 en k0 6= 0, wat het geval is omdat k0 > 1.

Ook grafisch is het duidelijk dat de rotatiecurve voor een welbepaalde waarde voor k0 naar een eindigewaarde nadert. Met het invoeren van een nieuwe parameter r0 (met de dimensies van een lengte) i.p.v.de parameter β ,

β =lr0

v∞

c, (2.57)

22

(a) “Linear Branch”: A0 < 0, B0 > 0 (b) “Logarithmic Branch”: A0 > 0, B0 < 0

(c) “Linear Branch” met A0 < 0 als variabele. (d) “Logarithmic Branch” met A0 > 0 als variabele.

Figuur 2.3: r(k) voor sgnA0 6= sgnB0. Merk op dat het geval A0 = 0 ontaardt in een rechte.

23

verkrijgt men

r(k) = A0 fa(k,k0) en vcirc(k) = 1l

(u(1)(k)+ m(1)(k)

r(k)

) 12

= 2w0β

fb(k,k0) = 1l

(12 βc2w0A0 fd(k,k0)+

w03c2

2β

A0fe(k,k0)

) 12

= lv∞

c1β

fc(k,k0) = 1l

(βc2 lv∞

c2w0β

ff(k,k0)+ ( lv∞c )3

c2

β2w0

β

fg(k,k0)) 1

2

= lv∞

cr0clv∞

fc(k,k,0 ) = 1l

(clv∞

lv∞

c fh(k,k0)+ (lv∞)3

cc

lv∞fik,k0)

) 12

= r0 fc(k,k0) = v∞ fj(k,k0),

met fx(k,k0), x ∈ [a, . . . , j], welbepaalde functies van k en k0. ((2.50)-(2.52) werden hiervoor gebruikt.)Met deze parametervoorstelling van de rotatiecurves kunnen nu makkelijk grafieken zoals in figuur 2.4worden gemaakt, waarop duidelijk te zien is dat ze naar v∞ naderen. Hierbij legt r0 een lengteschaal vasten k0 beïnvloedt de snelheid waarmee de rotatiecurve naar v∞ gaat. In hoeverre deze twee parametersdaadwerkelijk een fysische betekenis hebben, wordt niet besproken in [3]. Een gedetailleerde studiehieromtrent zal volgens Bañados [3] te vinden zijn in het nog niet gepubliceerde artikel [6].

Figuur 2.4: Rotatiecurves voor v∞ = 100 km/s en k0 = 1,5 en k0 = 5.

2.5.6 Het asymptotische regime?

Wat werd besproken in het artikel [3] is enkel een eerste orde benadering. Om daadwerkelijk iets tekunnen vertellen over het regime waarin r→ ∞, moet naar hogere orde correcties gekeken worden. Omdit aan te tonen zullen we de inzichten uit [18] hier kort samenvatten.

We werken weer met de “Logarithmic Branch”. Om het geheel wat begrijpbaarder te maken, willen wealles in functie van r schrijven i.p.v. in functie van k. In het asymptotische regime is dit mogelijk dooreen benadering te gebruiken. Uit (2.51) blijkt dat r(k)→ ∞ als k→ 1. Door nu overal k = 1 in te vullen,

24

behalve in de divergerende ln-termen, kan (2.51) geïnverteerd worden tot

k(r) =1

1− e−2+ B0A0− 2

A0r. (2.58)

Deze uitdrukking geldt natuurlijk enkel in het asymptotische regime.

Door ook in (2.50) en (2.52) k gelijk aan 1 te stellen, behalve in de divergerende ln-termen waar (2.58)ingevuld wordt, kunnen m(1) en u(1) in functie van r geschreven worden:

m(1)(r) =w0

3c2

2β

[−1

6−h0 +

B0

A0− 2

A0r]

(2.59)

u(1)(r) =12

βw0c2A0

[e−2+ B0

A0− 2

A0r(−2+

B0

A0− 2

A0r)

+12

]. (2.60)

Voor r→∞ dragen de exponentiële termen in u(1)(r) zeer weinig bij, daarom worden deze verwaarloosd.Dit laat toe om te schrijven

dΦ(1)

dr(r) =

u(1)(r)r

+m(1)

r2

=1r

(14

βw0c2A0−w0

3c2

2β

2A0

)+

1r2

w03c2

2β

(−1

6−h0 +

B0

A0

).

Vullen we hier (2.54) in, dan vinden we, gebruik makend van (2.56),

dΦ(1)

dr(r) =

1r

v2∞l2 +O

(1r2

). (2.61)

Het feit dat de rotatiecurves plat zijn en niet dalen volgens het Newtoniaanse

vcirc(r) =

√r

dΦ

dr(r)∼ 1√

r,

is te wijten aan het feit dat de eerste term in (2.61) dominant is voor grote r. Voor zeer grote r kan deO( 1

r2

)-term, die de Schwarzschild-massa representeert, helemaal verwaarloosd worden. Zo krijgen we

Φ(1)(r) = v2

∞l2 lnrr0

, (2.62)

met r0 een integratieconstante.

De op deze manier bekomen oplossing is slechts geldig zolang de perturbatieve oplossingmethode maggebruikt worden. Dat betekent dat de eerste orde correcties veel kleiner moeten zijn dan de nulde ordeoplossingen. Concreet voor g00 bijvoorbeeld moet gelden

1

∣∣∣∣∣Φ(1)(r)c2l2

∣∣∣∣∣ (2.63)

of m.a.w.

r r∗ = r0ec2

v2∞ .

Hiermee is duidelijk dat de benaderde oplossing die we bekomen hebben enkel geldig is tot op eeneindige afstand van de bron. Op afstanden groter dan r∗ zou het kunnen dat de rotatiesnelheden zichhelemaal anders gedragen.

25

Ook de correctie voor grr levert restricties op. Hiervoor moet gelden dat

1

∣∣∣∣∣2m(1)(r)c2l2r

∣∣∣∣∣ ,wat met (2.59) en verwaarlozing van de O

(1r

)-termen voor grote r neer komt op

2w03

β l2A0=

w02

c2k02(2k0−1)

1.

Hieraan moeten de vrije parameters (k0,w0) voldoen opdat de perturbatieve oplossing zou gelden.

2.5.7 Het effect van absolute waarde tekens

Zoals reeds gemeld werd, wordt in het artikel [3] geen aandacht besteed aan het verschijnen van absolutewaarde tekens in het stelsel (2.43). Laten we even een kijkje nemen naar het effect van deze absolutewaarde tekens op de oplossingen van de veldvergelijkingen. Hiervoor zetten we het stelsel weer om naareen stelsel in functie van k i.p.v. in functie van r:

dm(1)

dk

(1− 1

k

)− c2

2

∣∣∣∣w03

β

∣∣∣∣k2 sgn(

drdk

)= 0

c2 |βw0|k2(

1− 1k

)∣∣∣∣drdk

∣∣∣∣+2u(1) = 0

du(1)

dk+ c2 |βw0|r sgn

(drdk

)= 0.

(2.64)

De oplossing van dit stelsel (voor de berekening zie document A.4) is

m(1)(k) =c2

2sgn(

drdk

)∣∣∣∣w03

β

∣∣∣∣(13

k3 +12

k2 + k + ln(k−1)−h0

)(2.65)

u(1)(k) =−12

c2 |βw0|k2(

1− 1k

)∣∣∣∣drdk

∣∣∣∣ (2.66)

r(k) = A0

(−(

k− 12

)ln(

1− 1k

)−1)

+B0

(k− 1

2

). (2.67)

Het fundamentele verschil met (2.50)-(2.52) is dat het teken van de afgeleide van r(k) een invloed heeftop m(1)(k).

Net als eerder moet k > 1 zijn, om een fysische oplossing te kunnen hebben. Ook A0 en B0 moeten weereen verschillend teken hebben, omdat er anders steeds een zekere waarde voor k bestaat die dr

dk nul maakt.Dat is niet toegelaten, want r(k) is nog altijd een coördinatentransformatie.

Zoals in sectie 2.5.4 levert de “Linear Branch” (A0 < 0 en B0 > 0) uit figuur 2.3a geen fysisch gewensteoplossing op, want m(1)

r divergeert voor grote r. Niet erg, het is toch de “Logarithmic Branch” (A0 > 0en B0 < 0) uit figuur 2.3b waar we in geïnteresseerd zijn. Opgelet, hier is r(k) een dalende functie, watbetekent dat de uitdrukking voor m(1)(k) op een minteken zal verschillen van (2.50).

Met de definitie (2.44) voor de rotatiesnelheid, vinden we

v2∞ = lim

k→1vcirc(k)2 =

c2

4l24w0

2−β 2A02

A0

∣∣∣∣w0

β

∣∣∣∣ .26

Dit lijkt op het eerste zicht heel interessant, want het is een eindige asymptotische rotatiesnelheid waar wenaar op zoek zijn. Dit is echter slechts positief als 4w0

2 > β 2A02, want A0 is positief voor de “Logarithmic

Branch”.

Met de definitie van k0,r(k0) = 0,

en de randvoorwaarden

limr→0

m(1)

r6= ∞⇔ lim

k→k0

m(1)(k)r(k)

6= ∞⇔ m(1)(k0) = 0

en

limk→k0

vcirc(k) = 0⇔ m(1)(k0) = 0 en u(1)(k0)+ limk→k0

dm(1)

dkdrdk

= 0

kunnen we A0, B0 en h0 herschrijven als

B0 =A0

2k0−1

((2k0−1) ln

(1− 1

k0

)+2)

(2.68)

h0 =13

k03 +

12

k02 + k0 + ln(k0−1) (2.69)

A0 =±2w0k02(2k0−1)|β |

. (2.70)

Het is duidelijk dat B0 steeds het tegenovergestelde teken heeft van A0, want voor k0 > 1 is de uitdrukkingin k0 in (2.68) steeds negatief. Doordat A0 > 0 moet zijn, moet sgn(w0) = ∓1. Dit heeft verregaandeconsequenties voor v2

∞:

v2∞ =±4k0

6−4k05 + k0

4−12(2k0−1)k0

2w0 |w0|c2

l2

=±4k06−4k0

5 + k04−1

2(2k0−1)k02

∓w02c2

l2

=−4k06−4k0

5 + k04−1

2(2k0−1)k02

w02c2

l2

en dat is steeds negatief, wegens k0 > 1. De voorwaarde 4w02 > β 2A0

2 is dus nooit voldaan.

Net als in de voorgaande sectie kunnen we nu het gedrag van de potentiaal Φ(1) voor r→ ∞ bestuderen.Volledig analoog als voorheen bekomen we

dΦ(1)

dr(r) =−1

r

(14|βw0|c2A0−

∣∣∣∣w03

β

∣∣∣∣ c2

A0

)+O

(1r2

)=

1r

v2∞l2 +O

(1r2

).

Wegens het negatief zijn van v2∞, betekent dit dat Φ(1) (voor grote r) een afstotende potentiaal is. Met

deze potentiaal kan geen donkere materie beschreven worden.

De vraag of er überhaupt een statische, sferisch symmetrische en fysische oplossing zonder massabronbestaat voor (2.2)-(2.3) die donkere materie kan beschrijven, moeten we dus negatief beantwoorden. Inhet volgende hoofdstuk nemen we daarom een kijkje naar de mogelijkheden wanneer er wel baryoni-sche massa aanwezig is in het centrum. Bestaan er dan statische, sferisch symmetrische en fysischeoplossingen en indien ja, kunnen ze asymptotisch eindige rotatiecurves genereren?

27

HOOFDSTUK 3

Perturbatieve oplossing voor T (m)µν 6= 0

“To confine our attention to terrestrial matters would be to limit the human spirit.”

S. Hawking

3.1 Opzet

3.1.1 Storing door een kleine baryonische massa

Na de perturbatieve oplossingen van de bewegingsvergelijkingen (2.2)-(2.3) te hebben bekeken voor eenvlak en leeg heelalmodel, willen we in dit hoofdstuk nagaan wat het effect is van een kleine, sferischsymmetrische massa in het in sectie 2.3 voorgestelde ‘de Sitter’-heelal. We hebben het dus enkel overlate tijdstippen, waarop het universum reeds gedomineerd wordt door donkere energie. Hiervoor gaanwe wederom perturbatief te werk.

Net als bij de Newtoniaanse benadering van de algemene relativiteitstheorie zullen we op zoek gaan naareen reeksoplossing in Gρ(r). Daarom schrijven we de massadichtheid van die sferisch symmetrischemassa als

ρ(r) = ερ(1)(r),

met ε een kleine perturbatieve grootheid. Op deze manier kunnen we de metriek van een ‘de Sitter’-heelal,

gµνdxµdxν =−(

1− Λ

3r2)

dt2 +(

1− Λ

3r2)−1

dr2 + r2dΩ2,

perturberen tot

gµνdxµdxν =−(

1− Λ

3r2 + ε A(1)(r)+ ε

2 A(2)(r)+ · · ·)

dt2

+(

1− Λ

3r2 + ε B(1)(r)+ ε

2 B(2)(r)+ · · ·)−1

dr2

+ r2dΩ2,

waarbij we gebruik hebben gemaakt van de ijkvrijheid om de radiële coördinaat r onaangepast te latenen voor het gemak werken met c = 1. Analoog krijgen we uit q(0)

µν = γg(0)µν (zie (2.19)) de geperturbeerde

metriek

qµνdxµdxν =−(

γ

(1− Λ

3r2)

+ ε C(1)(r)+ ε2C(2)(r)+ · · ·

)dt2

+(

1γ

(1− Λ

3r2)

+ ε D(1)(r)+ ε2 D(2)(r)+ · · ·

)−1

dr2

+(

γ + ε E(1)(r)+ ε2 E(2)(r)+ · · ·

)r2dΩ

2.

28

De functies E(i) treden op omdat de ijkvrijheid reeds werd opgebruikt bij het vastleggen van r en er dusniet vanuit kan gegaan worden dat de radiële coördinaat in de q-ruimte onveranderd blijft door de intredevan de massa.

Oplossen van de bewegingsvergelijkingen (2.2)-(2.3) tot op nulde orde in ε geeft, net als in sectie 2.3,

γ =1

1−α

Λ =1

1−α

1l2 ,

aangezien de massa nog geen invloed heeft op de nulde orde vergelijkingen.

Wanneer we hogere ordes willen bestuderen, hebben we de vorm van de baryonische energietensor T (m)µν

nodig. Als we veronderstellen dat de geïntroduceerde massa bestaat uit een ideale vloeistof en statisch is(we zoeken dus niet naar oplossingen voor veranderende massa’s), dan is

T (m)µν = (ρ(r)+ p(r))UµUν + p(r)gµν . (3.1)

Hierbij is de genormaliseerde (U µUµ =−1) viersnelheid

Uµ = gµν

dxν

dτ=(√−g00,0,0,0

)=

(√1− Λ

3r2 + ε A(1)(r)+ ε2 A(2)(r)+ · · ·,0,0,0

)

gericht volgens de tijdsrichting, aangezien we enkel in statische oplossingen (niet afhankelijk van t)geïnteresseerd zijn. τ is de eigentijd. Invullen in (3.1) geeft

T (m)µν =

−ε ρ(1)(r)gtt 0 0 0

00

(ε p(1)(r)+ ε2 p(2)(r)+ · · ·

)gii

0

, (3.2)

met gii de ruimtelijke componenten van de metriek. De eerste orde term in de drukfunctie

p(r) = ε p(1)(r)+ ε2 p(2)(r)+ · · · ,

zal klein moeten zijn ten opzichte van ρ(1)(r), want we zijn vooral geïnteresseerd in het effect vanniet-relativistische massa’s (wat ook soms stof of simpelweg materie genoemd wordt) op de vorm vande metrieken. Deze materie heeft normaal geen drukcomponent in haar energietensor, maar zoals zalblijken is dat hier wegens de aanwezigheid van het EBI-veld iets anders.

Om behoud van baryonische energie te verkrijgen, moet(T µν

(m)

);µ

= 0 (3.3)

gelden. Hieruit kunnen we, perturberend volgens ε , uitdrukkingen voor p(1)(r), p(2)(r), ... bepalen. Eenrandvoorwaarde hierbij is dat de druk nul moet zijn op plaatsten waar er zich geen materie bevindt.

3.1.2 Storing door het EBI-veld

Voor elke orde in de perturbatie volgens ε zullen we de oplossing wederom zoeken a.d.h.v. storingsreke-ning, nu perturberend volgens 1

l2 , zoals in sectie 2.5. Het gebruik van deze dubbele perturbatie dient tot

29

het opsplitsen en afzonderlijk bestuderen van de effecten die de geïntroduceerde baryonische massa enhet EBI-veld hebben op de gravitatie. De eerste orde correcties worden herschreven als

A(1)(r) = A(1,0)(r)+1l2 A(1,1)(r)+

(1l2

)2

A(1,2)(r)+ · · ·

B(1)(r) = B(1,0)(r)+1l2 B(1,1)(r)+

(1l2

)2

B(1,2)(r)+ · · ·

C(1)(r) = C(1,0)(r)+1l2C(1,1)(r)+

(1l2

)2

C(1,2)(r)+ · · ·

D(1)(r) = D(1,0)(r)+1l2 D(1,1)(r)+

(1l2

)2

D(1,2)(r)+ · · ·

E(1)(r) = E(1,0)(r)+1l2 E(1,1)(r)+

(1l2

)2

E(1,2)(r)+ · · ·

p(1)(r) = p(1,0)(r)+1l2 p(1,1)(r)+

(1l2

)2

p(1,2)(r)+ · · ·

en analoog voor de tweede orde correcties.

Al deze gegevens in de bewegingsvergelijkingen stoppen (en voor p(r) in (3.3)) en de oplossingen zoe-ken voor elk van de correcties is veel rekenwerk. Daarom is in document A.8 de Maple-code terug tevinden die dit alles bewerkstelligt. In de volgende paragrafen bespreken we de belangrijkste stappen enresultaten.

3.1.3 De randvoorwaarden

Elk stelsel van differentiaalvergelijkingen heeft een stel randvoorwaarden nodig om helemaal opgelostte kunnen worden. Hier kunnen die randvoorwaarden met een beetje fysisch inzicht achterhaald worden.We wensen geen singulariteiten te beschrijven, zodat de voorwaarden

limr→0

A(1,0)(r) 6= ∞ (3.4)

en

limr→0

dA(1,0)

dr(r) = 0 (3.5)

voorop gesteld kunnen worden, met analoge uitdrukkingen voor F(i, j)(r), F ∈ A,B,C,D,E, p, i ∈1,2, . . . en j ∈ 0,1,2, . . ..Daarnaast beschrijven we het effect van een eindige massa. Dat effect mag ver van de bron niet meer tevoelen zijn, wat betekent dat de voorwaarden

limr→∞

A(1)(r) = limr→∞

B(1)(r) = 0 (3.6)

en

limr→∞

dA(1)

dr(r) = lim

r→∞

dB(1)

dr(r) = 0 (3.7)

moeten gelden (en analoog voor F(i)(r)). Omdat deze functies echter ook volgens 1l2 werden ontwikkeld

en daarvoor moet gelden dat r l, kunnen we r niet naar oneindig laten naderen zonder de geldigheid vande oplossing te schaden. Van deze randvoorwaarden kunnen we dus jammergenoeg geen gebruik maken,waardoor bij het oplossen van de differentiaalvergelijkingen enkele integratieconstanten onbepaald zullenblijven.

30

3.2 Eerste orde in ε

3.2.1 Nulde orde in 1l2

Starten we met de nulde orde correcties in 1l2 . Laten we voor het gemak refereren naar eerste orde in ε

en bijvoorbeeld nulde orde in 1l2 als (1,0). De vergelijkingen (2.2) zullen de componenten van gµν orde

per orde bepalen, terwijl (2.3) de correcties op qµν zal bepalen. Uit (2.3) is duidelijk dat de (i, j)-de ordecorrecties op gµν nooit invloed zullen hebben op de (i, j)-de orde correcties op qµν (in tegenstelling totde (i, j−1)-ste orde). Daarom kunnen we de veldvergelijkingen voor iedere orde (i, j) bekijken als tweeonafhankelijke stelsels van drie onafhankelijke vergelijkingen.

Vooraleer die twee stelsels te bekijken voor de orde (1,0), bepalen we de (1,0)-vergelijking voor p(r).Uit (3.2) en (3.3) vinden we simpelweg

d p(1,0)

dr= 0,

met als oplossingp(1,0)(r) = C(1,0)

p .

Als we niet-relativistische materie willen beschrijven, moet de constante C(1,0)p nul zijn.

Het Gµν -stelsel

Het (1,0)-stelsel voor Gµν ziet er als volgt uit:

−B(1,0)− rdB(1,0)

dr= 8π Gρ

(1) r2

B(1,0) + rdA(1,0)

dr= 0

dA(1,0)

dr+

dB(1,0)

dr+ r

d2A(1,0)

dr2 = 0.

(3.8)

Definiëren we de functie m(1)(r) als1

m(1)(r) =∫ 2π

0dφ

∫π

0sinθ dθ

∫ r

0ρ

(1)(r′)r′2dr′

= 4π

∫ r

0ρ

(1)(r′)r′2dr′,

dan zijn de oplossingen van (3.8)

A(1,0)(r) =∫ 2Gm(1)(r)−C2

r2 dr +C1 (3.9)

en

B(1,0)(r) =−2Gm(1)(r)−C2

r. (3.10)

1Door deze definitie is het verleidelijk om m(1)(r) te interpreteren als de totale energie binnen een straal r. Het volume-element in een gekromde ruimte is echter niet r2 dr dΩ, maar

√grr r2 dr dΩ. De totale energie binnen de straal r is dan M(1)(r) =

4π∫ r

0 ρ(1)(r′)√

grr(r′)r′2dr.

31

De integratieconstanten Ci, i ∈ N, kunnen zoals eerder aangehaald niet allemaal bepaald worden a.d.h.v.(3.4)-(3.5). Hierdoor moeten we C1 volledig vrij laten. C2 kunnen we echter wel bepalen:

limr→0

B(1,0)(r) = limr→0−2Gm(1)(r)−C2

r6= ∞

⇔ C2 = 2Gm(1)(0)= 0.

Het Kµν -stelsel

De (1,0)-vergelijkingen die volgen uit (2.3) zijn

2dC(1,0)

dr+ r

d2C(1,0)

dr2 = 0

2dE(1,0)

dr+ r

d2E(1,0)

dr2 +r2

d2C(1,0)

dr2 =− 1(α−1)2

dD(1,0)

dr

rdC(1,0)

dr+2E(1,0) +4r

dE(1,0)

dr+ r2 d2E(1,0)

dr2 =− 1(α−1)2

(r

dD(1,0)

dr+2D(1,0)

) (3.11)

met als oplossingen

C(1,0)(r) = C3 +C4

r, (3.12)

D(1,0)(r) =−(α−1)2

(E(1,0)(r)+ r

dE(1,0)

dr(r)−C4

r

), (3.13)

en

E(1,0)(r) = E(1,0)(r). (3.14)

De oplossing van dit stelsel laat E(1,0)(r) vrij, wat tot op deze orde zou kunnen geïnterpreteerd wordenals een ijkvrijheid in de q-ruimte. In de volgende orde voor 1

l2 zal E(1,0)(r) echter vastgelegd wordendoor de vergelijkingen. Daar zal dan E(1,1)(r) onbepaald blijven.

(3.4)-(3.5) leggen C4 vast:

limr→0

C(1,0)(r) = C3 + limr→0

C4

r6= ∞

⇔ limr→0

C4

r6= ∞

⇔ C4 = 0.

3.2.2 Eerste orde in 1l2

Onze eerste taak is om p(1,1)(r) te bepalen uit het (1,1)-deel van (3.3):

d p(1,1)

dr+

r3(α−1)

ρ(1) = 0

en dusp(1,1)(r) =− 1

α−1

∫ρ

(1)(r)r dr +C(1,1)p .

32

We zullen hier de rest van de op te lossen vergelijkingen niet volledig uitschrijven, ze zijn terug te vindenin document A.8. De oplossingen van de drie Gµν -gerelateerde (1,1)-vergelijkingen zijn

A(1,1)(r) =2G

3(α−1)

∫r−2

[−3∫

r2∫

r−1 dm(1)

drdr dr +

∫r2 dm(1)

drdr +6

∫r m(1) dr

]dr

− 13

r2C3−C5

r+4r2

π GC(1,1)p +C6

(3.15)

B(1,1)(r) =4G

6(α−1)

(r−1

∫ [r2∫

3r−1 dm(1)

drdr− r2 dm(1)

dr−8rm(1)

]dr− r2

∫r−1 dm(1)

drdr

+2r2∫

m(1)r−2 dr +2m(1)r)

+C1

6(α−1)r2 +

16

r2C3−C5

r+

23

C7

r− 1

2r2C8

(3.16)

E(1,0)(r) =− 2Gα−1

∫m(1)r−2 dr− 1

3C7

r3 +C8. (3.17)

Zoals reeds aangegeven, wordt E(1,0)(r) hier pas vastgelegd.

De randvoorwaarden kunnen ons niet echt veel vertellen over het algemeen geval waar m(1)(r) vrij gelatenwordt.

limr→0

dA(1,1)

dr(r) = 0

vertelt ons bijvoorbeeld wel dat

limr→0

(2G

3(α−1)1r2

[−3∫

r2∫

r−1 dm(1)

drdr dr +

∫r2 dm(1)

drdr +6

∫r m(1) dr

]+

C5

r2

)= 0

⇔ C5 =− 2G3(α−1)

limr→0

(−3∫

r2∫

r−1 dm(1)

drdr dr +

∫r2 dm(1)

drdr +6

∫r m(1) dr

),

maar zonder een specifieke vorm voor m(1)(r) betekent dat niet veel. Een gelijkaardige uitdrukking is te

vinden voor C7 door limr→0

dE(1,0)

dr(r) = 0 te gebruiken.

De algemene uitdrukkingen voor verdere ordes zijn te uitgebreid om ze hier neer te schrijven. Enkelehiervan zijn terug te vinden in document A.8.

3.3 Beschrijving van een compacte massa

Om de gevonden uitdrukkingen makkelijker interpreteerbaar te maken, gebruiken we een zeer simpelemassaverdeling, die toch als eerste approximatie voor bijvoorbeeld een galactie kan dienen:

ρ(1)(r) =

ρ0 als r < r0

0 als r > r0.(3.18)

Deze massaverdeling kan gezien worden als die van een sferisch symmetrische massa die zich binneneen straal r0 bevindt en die overal dezelfde massadichtheid heeft.

33

3.3.1 Inleidend voorbeeld

Oplossingsmethode

Door de stuksgewijze definitie van ρ(r) zullen we een ietwat andere oplossingsmethode moeten gebrui-ken om de veldvergelijkingen verder te kunnen oplossen. Om deze methode te illustreren bespreken wehoe we de oplossing van

φ(r)+m2φ(r) =−4πGρ(r),

of anders geschreven

∆φ(r)−m2φ(r) = φ

′′+2r

φ′−m2

φ = 4πGρ0H(r0− r), (3.19)

kunnen vinden. De stuksgewijze functie ρ(r) werd uitgedrukt als een stapfunctie, met H(x) de Heavisidefunctie. Deze vergelijking beschrijft een statisch, sferisch symmetrisch scalair veld met een van nul-verschillende massa m dat koppelt aan materie. Het is één van de veldvergelijkingen afgeleid van deBrans-Dicke2 actie op de Minkowski-ruimte.

Als we φ(r) ook schrijven als een stapfunctie,

φ(r) = φs(r)H(r0− r)+φb(r)H(r− r0),

dan kan de vergelijking (3.19) opgesplitst worden in een vergelijking voor r < r0,

φ′′s +

2r

φ′s−m2

φs = 4πGρ0, (3.20)

en één voor r > r0,

φ′′b +

2r

φ′b−m2

φb = 0. (3.21)

Vergelijking (3.20) heeft de particuliere oplossing

φs(r) =−4πGρ0

m2 .

Met de twee onafhankelijke oplossingen

φs(r) =e−mr

r

enφs(r) =

emr

rvan de homogene vergelijking, vinden we de algemene oplossing voor φs(r) als

φs(r) = C1e−mr

r+C2

emr

r− 4πGρ0

m2 .

Analoog volgt er uit (3.21) dat

φb(r) = C3e−mr

r+C4

emr

r.

2De Brans-Dicke zwaartekrachttheorie is een alternatief voor de algemene relativiteitstheorie. Ze gaat uit van een scalair velddat de energie-tensor beïnvloed, naast het bestaan van een gravitatieveld. Om de klassieke tests (afbuiging van licht, periheliumprecessie) voor de algemene relativiteitstheorie te kunnen verklaren met de Brans-Dicke theorie, moet een belangrijke parameterω zeer groot worden.

34

Om de integratieconstanten Ci, i ∈ 1, . . . ,4, te kunnen bepalen, hebben we randvoorwaarden nodig.Naar analogie met (3.5) en (3.7) stellen we

limr→0

φ′(r) = 0 (3.22)

enlimr→∞

φ′(r) = 0 (3.23)

voorop. Uit (3.22) kan C1 =−C2 gehaald worden en (3.23) geeft C4 = 0. Er blijven nog twee onbepaaldeintegratieconstanten staan. We hebben dus nog andere randvoorwaarden nodig. Deze leiden we af uit dealgemene vergelijking (3.19).

Omdat de afgeleide van de Heaviside stapfunctie H(r− r0) de Dirac-delta distributie δ (r− r0) is, ziet devergelijking er volledig uitgeschreven als volgt uit:(

φ′′s +

2r

φ′s−m2

φs

)H (r0− r)+

(φ′′b +

2r

φ′b−m2

φb

)H (r− r0)

−2(

φ′s−φ

′b +

φs

r− φb

r

)δ (r0− r)+(φs−φb)δ

′ (r0− r) = 4π Gρ0H (r0− r) .

δ ′(r− r0) stelt de afgeleide3 van de Dirac-delta distributie voor. We zien de vergelijkingen (3.20) en(3.21) mooi terug verschijnen. Voor r = r0 zullen δ (r− r0) en δ ′(r− r0) zich echter niet regulier gedra-gen, zodat we de coëfficiënten van deze distributies voor r = r0 gelijk aan nul moeten veronderstellen.Dat levert de randvoorwaarden

φs(r0) = φb(r0) (3.24)

enφ′s(r0) = φ

′b(r0). (3.25)

Zo worden de uiteindelijke waarden van de integratieconstanten

C1 =−2πGρ0

m2emr0

(r0 +

1m

)C2 =

2πGρ0

m2emr0

(r0 +

1m

)C3 =−2πGρ0

m2

(r0(emr0 + e−mr0

)− 1

m

(emr0− e−mr0

))C4 = 0.

Illustratie: afschatting van de vrije integratieconstanten in de perturbatieve oplossing

De bovenstaande methode van het opsplitsen van de differentiaalvergelijking in twee gevallen en hetbepalen van de randvoorwaarden door de coëfficiënten van de optredende distributies nul te stellen inr0, zullen we ook gebruiken voor het bepalen van de oplossingen van de veldvergelijkingen voor eencompacte massa. Omdat daar echter ook nog eens een perturbatieve benadering moet worden bijgevoegd,kunnen we randvoorwaarden van de vorm (3.23) niet gebruiken, waardoor er een integratieconstante vrijgelaten moet worden. Deze constante kan echter wel afgeschat worden. De redenering hierachter, die tevinden is in de volgende paragraaf, kan geïllustreerd worden met dit voorbeeld.

3De afgeleide van de Dirac-delta distributie wordt gedefinieerd via∫

∞

−∞

δ′(r) f (r) dr =− f ′(0) en is in tegenstelling tot δ (r)

een oneven distributie van r.

35

Een perturbatieve oplossing van het stelsel (3.19) kan gevonden worden door m2 als perturbatieparameterte gebruiken. De details kunnen gevonden worden in document A.9. De resultaten zijn:

φs(r) =23

πGρ0r2−2πGρ0r02 +C(0)

∞ +(

130

πGρ0r4− 13

πGρ0r02r2− 1

2πGρ0r0

4

+16

C(0)∞ r2 +C(1)

∞

)m2 +O

(m4) ,

φb(r) =−43

πGρ0r03

r+C(0)

∞ +(− 2

15πGρ0r0

5

r− 2

3πGρ0r0

3r +16

r2C(0)∞ +C(1)

∞

)m2 +O

(m4) .

C(0)∞ is de vrije integratieconstante uit de nulde orde oplossing die bepaald wordt door het gedrag van

φ op oneindig. Dat gedrag kan niet bestudeerd worden, omdat we moeten aannemen dat r 1m om de

perturbatie te mogen uitvoeren. Analoog voor de eerste orde in m2 en C(1)∞ . Vergelijken we dit met de

exacte oplossingen ontwikkeld volgens m,

φs(r) =23

πGρ0r2−2πGρ0r02 +

43

πGρ0r03m+

(130

πGρ0r4− 13

πGρ0r02r2− 1

2πGρ0r0

4)

m2

+(

29

πGρ0r03r2 +

215

πGρ0r05)

m3 +O(m4)

φb(r) =−43

πGρ0r03

r+

43

πGρ0r03m+

(− 2

15πGρ0r0

5

r− 2

3πGρ0r0

3r)

m2

+(

49

πGρ0r03r2 +

215

πGρ0r05)

m3 +O(m4) , (3.26)

dan zien we dat

C(0)∞ =

43

πGρ0r03m∼ GMm (3.27)

C(1)∞ =

215

πGρ0r05m∼ GMr0

2m, (3.28)

metM =

43

πGρ0r03.

Hier kunnen we al een vermoeden van het uiteindelijke effect van het EBI-veld op de gravitatie uiten.De eerste orde correctie op −4

3πGρ0r0

3

r in (3.26) zal een belangrijk effect hebben op de waarde van φbwanneer r >= 1

m . Als we de rechterleden van de bewegingsvergelijkingen (2.2) en (2.3) interpreterenals massatermen analoog aan de term m2φ in (3.19), dan kunnen we vermoeden dat de invloed van hetEBI-veld pas belangrijk zal worden wanneer r >= l.

3.3.2 De oplossingen voor een compacte massa

Afschatting van de vrije integratieconstanten

Laten we als voorbeeld eens kijken naar hoe A(1,0)(r) er uit ziet als we een compacte massa beschrijven.Stoppen we de stuksgewijze uitdrukking voor ρ(1)(r) in (3.9), dan volgt er wegens

m(1)(r) =43

πρ0

r3 als r < r0

r03 als r > r0,

36

dat

A(1,0)(r) = C1 +

43

πGρ0r2 als r < r0

−83

πGρ0r03

r+4πGρ0r0

2 als r > r0.

De constante term 4πGρ0r02 zorgt er voor dat de functie A(1,0)(r) goed gedefinieerd is voor r = r0, wat

overeenkomt met het voldoen aan een randvoorwaarde analoog aan (3.24).

Een afschatting voor C1 kan nu gevonden worden door de limiet r→ ∞ te nemen,

limr→∞

A(1,0)(r) = A(1, 12 )

∞

= C1 +4πGρ0r02,

en zoals in (3.27) te zeggen dat

A(1,0)∞ ∼ GM

l.

Dit laatste is geen uit de lucht gegrepen analogie, want A(1,0)∞ is een constante van eerste orde in ε en via

A(1)(r)∼ A(1,0)∞ +

GMr

+ . . .

zal ook A(1,0)∞ ∼ GM. Aangezien A(1)(r) een functie zonder fysische dimensies is, moeten A(1,0)(r) en a

fortiori A(1,0)∞ dimensieloos zijn. In SI-eenheden:

A(1,0)∞ ∼ GM =

GMc2

∼[

m3

gs2 gs2

m2

].

Om dit dimensieloos te maken moet er nog een evenredigheidsfactor met dimensie[m−1

]bijkomen.

Aangezien deze constante zal bepaald worden door het gedrag van A(1)(r) in het regime r l, is hetintuïtief om die factor 1

l te stellen.

Ook A(1,1)∞ (die uit te drukken is in functie van C6 op dezelfde manier als voor C1 en A(1,0)

∞ werd gedaan)is door een dergelijke redenering af te schatten. Het dimensieloos zijn van A(1)(r) betekent dan datA(1,1)(r) ∼

[m2]

moet zijn. Een intuïtieve lengteschaal is hier r0, omdat A(1,1)(r) enkel voor r l een

fysische betekenis heeft. Voor de constante A(1,1)∞ betekent dit, dat ze evenredig met GMr0

2 moet zijn. Omdaar opnieuw een dimensieloze constante, bepaald door het gedrag op oneindig, van te maken schrijvenwe

A(1,1)∞ ∼ GMr0

2

l.

Dit blijkt zeer gelijkaardig aan (3.28) te zijn.

De constante A(2,0)∞ , tweede orde in ε , afschatten, doen we dan (als laatste voorbeeld) als volgt

A(2,0)∞ ∼ (GM)2

[x]∼ [1]

⇔[

m6

g2s4 g2 s4

m41x

]= [1]

⇔ x = m2

⇒ A(2,0)∞ ∼ (GM)2

l2 .

37

De correcties

Met berekeningen zoals in sectie 3.3.1 kunnen we nu de dubbele perturbatie oplossen tot op elke gewensteorde. In document A.10 zijn de berekeningen en oplossingen te vinden tot op de ordes (1,2) en (2,1).We zijn vooral geïnteresseerd in de correcties die het model veroorzaakt buiten de baryonische massa.Daarom schrijven we hier enkel de uitdrukkingen voor r > r0 uit en dit, om de overzichtelijkheid tebewaren, niet zo ver uitgewerkt als in het document te vinden is.

Om duidelijk te maken dat de onbepaalde constanten werden afgeschat en tegelijkertijd de uitdrukkingente verlichten, voeren we een herdefiniëring door voor alle onbepaalde constanten. Deze heeft de vorm:

A(1,0)∞ := A(1,0)

∞

lGM

.

Uiteindelijk komt er dan voor eerste orde in ε

A(1) (r) =GM

r

[−2+ rA(1,0)

∞

1l+

120

8r20 +40r2

(α−1)1l2 +

(r2

0A(1,1)∞ r− 1

3r3C(1,0)

∞

)1l3

+

(2

31535r4−63r2r2

0−12r40

(α−1)2 +1

10535r4 +42r2r2

0 +3r40

α−1

)1l4

]+O

(1l5

) (3.29)

B(1) (r) =GM

r

[−2+

25−5r2 + r2

0(α−1)

1l2 +

(16

r3A(1,0)∞

α−1+

16

r3C(1,0)∞ − 1

2r3E(1,0)

∞

)1l3

+

(2

10521r2r2

0 +35r4−4r40

(α−1)2 − 135

35r4 +14r2r20− r4

0α−1

)1l4

]+O

(1l5

) (3.30)

C(1) (r) =GM

r

[rC(1,0)

∞

1l+

(23

r2

(α−1)2 −25

r20 +5r2

α−1

)1l2

+

(13

r3A(1,0)∞

α−1+

13

r3αC(1,0)∞

α−1+ r2

0C(1,1)∞ r +

13

r3E(1,0)∞

α−1

)1l3

]+O

(1l4

) (3.31)

D(1) (r) =GM

r

[−rE(1,0)

∞ (α−1)2 1l+(

2r2− 25

(α−1)(r2

0 +5r2)) 1l2 +

(− 1

30r3 (7+2α)A(1,0)

∞

− 130

r3 (α−1)(7+2α)C(1,0)∞ − 1

10r3 (α−1)(4α−7)E(1,0)

∞ − (α−1)2 r20E(1,1)

∞ r)

1l3

]+O

(1l4

)(3.32)

E(1) (r) =GM

r

[2

α−1+ rE(1,0)

∞

1l+

(− 2

155r2 +3r2

0

(α−1)2 +25

r20 +5r2

α−1

)1l2 +

(− 1

30r3 (α−4)A(1,0)

∞

(α−1)2

− 130

r3 (α−4)C(1,0)∞

α−1+

110

r3 (3α−4)E(1,0)∞

α−1+ r2

0E(1,1)∞ r

)1l3

]+O

(1l4

)(3.33)

en tweede orde in ε zijn

A(2) (r) =(

GMr

)2[−2

rA(1,0)∞

l+(

r2A(2,0)∞ − 176

35rr0

α−1

)1l2

]+O

(1l3

)(3.34)

B(2) (r) =(

GMr

)2[ 335

r (35r−16r0)(α−1) l2

]+O

(1l3

)(3.35)

38

C(2) (r) =(

GMr

)2[

r2C(2,0)∞ − 64

105rr0

(α−1)2 +2

35−7r0

2 +70 ln(r)r2 +52rr0

α−1

]1l2 +O

(1l3

)(3.36)

D(2) (r) =(

GMr

)2[− 1

140(α−1)

(512r0−560r)r

+25

((α−1)

r02A(1,0)

∞

r

+(α−1)2 r02C(1,0)

∞

r− (α−1)2 r0

2E(1,0)∞

r

)1l

]+O

(1l2

) (3.37)

E(2) (r) =(

GMr

)2[− 1

140256r0−420r

(α−1)r− 1

5

((5r2− r0

2)

A(1,0)∞

(α−1)r+

(5r2− r0

2)

C(1,0)∞

r

+

(r0

2 +5r2)

E(1,0)∞

r

)1l

]+O

(1l2

) (3.38)

Zoals verwacht, zien we in (3.29)-(3.30) top op nulde orde in 1l de Schwarzschildmetriek tevoorschijn

komen. Omdat we geen singulariteiten willen bespreken, zal r0 Rs, met Rs = 2GM de Schwarzschild-straal. Aangezien we r > r0 veronderstellen, geldt

GMr

<2GM

r<

2GMr0 1.

De eerste orde-correcties in ε (3.29)-(3.33) zullen dan klein zijn, als de perturbatie volgens 1l2 niet uit de

hand loopt. De meeste termen zijn duidelijk klein, want rekening houdend met

r0 < r en r l

vinden we directrl 1,

rr0

l2 rl,r2

l2 rl, . . .

Met (GM

r

)2

GMr

tot slot, zien we dat ook de tweede orde-correcties (3.34)-(3.38) voldoende klein zijn. Opvallend is echterwel de ln-term in (3.36). Opdat deze term dimensieloos zou zijn, moet C(2,0)

∞ van de vorm ∼− lnr? zijn,voor een welbepaalde r?. Zo wordt de r2

l2 -term vermenigvuldigd met een dimensieloze factor ∼ ln rr?

.

3.3.3 Rotatiecurves

Uit de vorm van de correcties (3.29)-(3.38) kunnen we afleiden dat het effect van de intrede van eencompacte massa op de geometrie van de ruimte gelijkaardig is aan dat in het algemeen relativistischegeval. In de zwakke veldlimiet geldt steeds

g00 ≈−(1+2Φ) ,

met Φ de Newtoniaanse potentiaal. Wanneer het EBI-model de invloed van een sferisch symmetrischeen compacte massa beschrijft, betekent dit

Φ(r) =12

(−Λ

3r2 + εA(1)(r)+ ε

2A(2)(r)+ · · ·)

,

39

metΛ =

11−α

1l2 . (3.39)

Aangezien ΩΛ en H0 observationeel kunnen bepaald worden, zal de daaruit volgende waarde van Λ

via (3.39) een restrictie leggen op l en α . Deze restrictie is dezelfde als (2.28). De vrije constanten

van het model zijn dan l, A(1, 12 )

∞ , C(1, 12 )

∞ , ... Variatie van deze constanten binnen redelijke grenzen (l

van kosmologische schaal, A(1, 12 )

∞ ∼ 1, ...) levert geen waarneembare verschillen op. De in figuur 3.1afgebeelde rotatiecurve voor M33 geeft dan ook duidelijk aan dat er weinig verschil is tussen de doorhet EBI-model voorspelde curve en die voorspeld door de wetten van Newton. Er kan niet gesprokenworden over een asymptotisch eindige curve, zodat een gezamenlijke beschrijving van donkere materieen donkere energie niet mogelijk is met dit model.

O O

O O

l:='l':v(r):='v(r)':display(plot2,plot3);

r

r0

5 r0

9 r0

13 r0

17 r0

21 r0

25 r0

v r

0

10

20

30

40

50

60

l:=2*10^4*parsec:c_inf[1,0]:=1.1:e_inf[1,0]:=0.9:Figuur 3.1: De rotatiecurve (in km/s) van de Triangulum Galaxy (M33) voorspeld door het EBI-model (rood)

vergeleken met het Newtoniaanse resultaat (blauw). l = 109 pc. Vergelijk ook met figuur 1.3.

In al het voorgaande veronderstelden we dat de parameter l van kosmologische schaal is, o.a. omde voorwaarde r l te rechtvaardigen. We weten uit gravitatieëxperimenten in ons zonnestelsel, datde gravitatiepotentiaal Φ de Einstein-potentiaal is op mogelijke correcties kleiner dan 10−5 na. Degrootste correcties die het EBI-veld heeft op de gravitatie zijn van de orde r2

l2 en die moeten kleinerzijn dan 10−5, anders zouden we ze opgemerkt hebben tijdens de gravitatieëxperimenten. Dit geeftl > 103 Rzonnestelsel ∼ 10−1 pc. In principe zou l dus zo klein kunnen zijn. Een duidelijk effect kan danverkregen worden als we l bijvoorbeeld van galactische schaal∼ 104 pc kiezen.Dit effect zal echter voorelke galactie waarneembaar zijn vanaf r ∼ l (zie figuur 3.2), terwijl het effect van donkere materie voorelk melkwegstelsel op een andere afstand van het centrum duidelijk wordt. Ook voor l van galactischeschaal lijkt het EBI-model geen donkere materie te kunnen beschrijven.

40

O O

O O

r

l

v r

0

20

40

60

80

100

Figuur 3.2: De rotatiecurve (in km/s) van de Triangulum Galaxy (M33) voorspeld door het EBI-model (rood)vergeleken met het Newtoniaanse resultaat (blauw), wanneer l van galactische schaal is. l = 2 ·104 pc.Het EBI-veld heeft een duidelijk effect vanaf r ∼ l. Let wel, het is niet gegarandeerd dat de oplossingjuist is voor r > l.

41

HOOFDSTUK 4

Het EBI-veld als donkere materie

“We’re all in the gutter, but some of us are looking at the stars.”

uit Lady Windermere’s Fan van O. Wilde, 1892

Uit recent onderzoek [5] is gebleken dat het EBI-veld niet erg geschikt is om te gebruiken als verenigingvan de donkere kant van het universum (donkere materie én donkere energie). In dit korte hoofdstukbespreken we waarom het interessanter is om met het EBI-veld enkel donkere materie te beschrijven enhet niet de taak van kosmologische constante op zich te laten nemen. Een gedetailleerdere uiteenzettingis terug te vinden in [5].

Hoewel, zoals in sectie 2.4.2 werd aangetoond, de evolutie van de schaalfactor kan verklaard wordenenkel en alleen door de invloed van het EBI-veld te gebruiken, blijkt het beter te zijn om ook een echtekosmologische constante (die niets met het EBI-veld te maken heeft) in te voeren. Dat gebeurt door deactie 2.1 aan te passen tot

I =1

16πG

∫ [√∣∣gµν

∣∣(R−2Λ)+2

αl2

√∣∣gµν − l2K(µν)∣∣] dx4 +

∫Lm dx4.

Voor Λ 6= 0 zijn er twee mogelijkheden. Ofwel wordt enkel donkere materie door het EBI-veld beschre-ven en is Λ dus de effectieve kosmologische constante, ofwel schrijven we Λ(eff) = Λ+ΛEBI en wordt ookeen deel van de donkere energerie bepaald door het EBI-veld. Als in deze actie Λ = 0 gesteld wordt, dandoet het EBI-veld terug dienst als zowel donkere materie als donkere energie.

Het geval waarbij de kosmologische constante geen invloed ondervindt van het EBI-veld, noemt men in[5] het ΛEBI-model. Het is slechts afhankelijk van drie parameters, Ωbm, ΩEBI en ΩΛ, net als het ΛCDM-model. Voor een goede keuze van deze drie parameters is het ΛEBI-model niet te onderscheiden vanhet ΛCDM-model gefit aan data geproduceerd door o.a. de WMAP-satteliet. Zo zijn het angulair powerspectrum van de kosmische achtergrondstraling Cl en het power spectrum van de dichtheidsfluctuatiesP(k) perfect gelijk aan die voor een ΛCDM-model (zie figuur 4.1).

Wanneer het EBI-veld gedeeltelijk of volledig verantwoordelijk is voor de kosmologische constante,ontstaan er grote inconsistenties met de huidige data. Het geïntegreerde Sachs-Wolfe effect speelt hierhet angulair powerspectrum Cl grote parten, zoals te zien is in figuur 4.2a. Waarden voor l zo ver als 150worden vertekend, wat betekent dat relatief kleine kosmologische schalen aangetast worden. Ook hetpowerspectrum P(k) komt in de problemen. Zijn waarden zijn veel te klein voor kleine kosmologischeschalen (grote k) en zijn top wordt veel te breed uitgesmeerd. Mocht het EBI-model donkere energiebeschrijven, zou er voor kleine kosmologische schalen m.a.w. veel minder structuurvorming1 geweestzijn dan de structuurvorming waarvan we vandaag de dag het resultaat kunnen waarnemen.

1Met structuurvorming wordt de vorming van sterren, galactieën, galactieclusters, ... uit het initieel zo goed als uniformeuniversum bedoeld.

42

Figuur 4.1: Bovenste paneel: Het angulair powerspectrum Cl van de kosmische achtergrondstraling gemeten metde WMAP-satteliet (data-punten) en volgens het ΛEBI-model (volle lijn). Onderste paneel: Hetbaryon powerspectrum P(k) voor het ΛEBI-model (volle lijn) samen met data van de SDSS (data-punten). c©M. Bañados, P. G. Ferreira en C. Skordis

(a) (b)

Figuur 4.2: Het angulair powerspectrum Cl (links) en het powerspectrum P(k) (rechts) van enkele EBI-modellen(onderbroken lijnen) vergeleken met het best-passende ΛCDM- of ΛEBI-model (volle lijn). c© M.Bañados, P. G. Ferreira en C. Skordis

43

HOOFDSTUK 5

Besluit

“O, hereWill I set up my everlasting restAnd shake the yoke of inauspicious starsFrom this world-wearied flesh.”

uit Romeo and Juliet van W. Shakespeare, 1595

In de voorgaande hoofdstukken hebben we een voorbeeld gegeven van een theorie die probeert de don-kere kant van het universum te vereenzelvigen. Kosmologisch zag het er op het eerste zicht goed uit,want het gedrag van de schaalfactor a(t) kon volledig worden verklaard met het model, mits een goedekeuze voor enkele parameters.

Wanneer we echter een kritische blik werpen op het gedrag dat het model vertoont op kleinere (galacti-sche) schaal, dan zien we dat het niet in staat is om de mysterieuze vlakke stukken van de rotatiecurvesvan spiraalgalactieën te verklaren. Het zou wel eens kunnen dat het de geprobeerde vereenzelviging isdie hier roet in het eten gooit. Kosmologische argumenten tonen namelijk aan dat het model een kandi-daat kan zijn voor de beschrijving van donkere materie tout court. Verder onderzoek naar het gedrag vanhet ΛEBI-model op galactische schaal, zou dan moeten duidelijk maken of de aanwezigheid van een purekosmologische constante het model in staat stelt om asymptotisch eindige rotatiesnelheden te genereren.

We zijn deze masterproef begonnen met de vraag of het echt zo bizar is dat donkere materie en donkereenergie steeds maar weer samen worden vernoemd. Uit de resultaten die hier beschreven werden, moetenwe concluderen dat de zoektocht naar een complete, eenvormige beschrijving van de donkere kant vanhet universum, als die er al is, nog niet ten einde is.

44

BIJLAGE A

Maple documenten

Voor de berekeningen voor deze masterproef werd MapleTM, het alom bekende symbolische rekenpakketvan MaplesoftTM, gebruikt. In deze appendix kunnen alle in- en outputbestanden teruggevonden wordenwaarnaar verwezen wordt in de tekst.

Opdat de lezer de code in de onderstaande documenten helemaal zou kunnen begrijpen, willen we eropwijzen dat regelmatig het bestand “Procedures” wordt ingeladen. De code voor de procedures die daar-mee beschikbaar worden gesteld, is terug te vinden in Document A.1.

45

Document A.1: Maple procedures voor het berekenen van de Christoffelsymbolen, de Ricci-tensor en de Einstein-tensor horend bij een bepaalde metriek, voor het berekenen van covariante afgeleiden, voor hetperturberen van vergelijkingen volgens een bepaalde variabele en het opstellen van de gepertur-beerde vergelijkingen voor de actie (2.1).

O O

O O

O O

O O

restart:

Procedure voor de berekening van de Christoffelsymbolen !µ"

#

Christoffel_u:=proc(g::table,gu::table) local Gamma, Gamma_u, i, j, n, p:

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do for n from 0 to 3 do Gamma[i][j,n] := 1/2*(diff(g[i,j],x[n])+diff(g[i,n],x[j])-diff(g[j,n],x[i])); end do: end do: end do:

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do for n from 0 to 3 do Gamma_u[i][j,n] := add(gu[i,p]*Gamma[p][j,n],p=0..3): end do: end do: end do:

return(Gamma_u):end proc:

Procedure voor de berekening van de Riccitensor Rµ"

Ricci:=proc(g::table,gu::table) local i, j, n, p, Gamma, Gamma_u, Ricci:

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do for n from 0 to 3 do Gamma[i][j,n] := 1/2*(diff(g[i,j],x[n])+diff(g[i,n],x[j])-diff(g[j,n],x[i])); end do: end do: end do:

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do for n from 0 to 3 do Gamma_u[i][j,n] := add(gu[i,p]*Gamma[p][j,n],p=0..3): end do: end do: end do:

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do Ricci[i,j] := add(diff(Gamma_u[n][i,j],x[n]),n=0..3)-add(diff(Gamma_u[n][i,n],x[j]),n=0..3)-add(add(Gamma_u[p][i,n]*Gamma_u[n][j,p],p=0..3),n=0..3)+add(add(Gamma_u[p][i,j]*Gamma_u[n][p,n],p=0..3),n=0..3): Ricci[i,j]:= simplify(Ricci[i,j]): end do: end do:

return(Ricci): end proc:

Procedure voor de berekening van de Einsteintensor Gµ"

Einstein:=proc(g::table,gu::table) local i, j, n, p, Gamma, Gamma_u, Ricci, R, G: for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do for n from 0 to 3 do

46

O O

O O

O O

O O

Gamma[i][j,n] := 1/2*(diff(g[i,j],x[n])+diff(g[i,n],x[j])-diff(g[j,n],x[i])); end do: end do: end do:

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do for n from 0 to 3 do Gamma_u[i][j,n] := add(gu[i,p]*Gamma[p][j,n],p=0..3): end do: end do: end do:

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do Ricci[i,j] := add(diff(Gamma_u[n][i,j],x[n]),n=0..3)-add(diff(Gamma_u[n][i,n],x[j]),n=0..3)-add(add(Gamma_u[p][i,n]*Gamma_u[n][j,p],p=0..3),n=0..3)+add(add(Gamma_u[p][i,j]*Gamma_u[n][p,n],p=0..3),n=0..3): Ricci[i,j]:= simplify(Ricci[i,j]): end do: end do:

R := simplify(add(add(gu[i,j]*Ricci[j,i],j=0..3),i=0..3)):

for i from 0 to 3 do: for j from 0 to 3 do: G[i,j] := simplify(Ricci[i,j] - 1/2*R*g[i,j]): end do: end do: return(G):end proc:

Procedure die een functie teruggeeft die VµT!" berekent

covDerivative:=proc(Tu::table,Gamma_u::table,coord) local k, n, r, m, cov_der: return((n,r,m)->diff(Tu[n,r],coord[m+1])+add(Gamma_u[n][m,k]*Tu[k,r],k=0..3)+add(Gamma_u[r][m,k]*Tu[n,k],k=0..3)):end proc:

Procedure die de 'orde'-ordevergelijkingen in 'var' van de vergelijkingen 'EQNS' teruggeeftpertEQNS:=proc(EQNS::list,var,orde::integer,printing::string)local i, eqns::list: for i from 1 to nops(EQNS) do eqns[i]:=simplify(coeff(series(simplify(lhs(EQNS[i])),var,orde+1),var,orde)=coeff(series(simplify(rhs(EQNS[i])),var,orde+1),var,orde)); if lhs(eqns[i])<>0 or rhs(eqns[i])<>0 then if printing="yes" then eqns[i]:=factor(simplify(eqns[i])): print(eqns[i]): end if: else eqns[i]:=NULL: end if: end do: return(convert(eqns,list)):end proc:

Procedures die de 'orde'-orde veldvergelijkingen voorgesteld door M. Bañados teruggevenbanadosPertG:=proc(G::table,g::table,qu::table,T::table,var,orde::integer) local m, n, a, b, f_g, f_q,gMatrix, qMatrix, det_q_op_g, LL_G, RL_G, LL_K, RL_K,eqn_G::list,aant_eq:

f_g:=(i,j)->g[i-1,j-1]: gMatrix:=Matrix(4,4,f_g):

47

O O

O O

O O

O O

f_q:=(i,j)->q[i-1,j-1]: qMatrix:=Matrix(4,4,f_q):

det_q_op_g:=Determinant(qMatrix)/Determinant(gMatrix):

aant_eq:=0: for m from 0 to 3 do: for n from 0 to 3 do: LL_G[m,n]:= coeff(series(G[m,n],var,orde+1),var,orde): RL_G[m,n]:= coeff(series(-inv_l^2*sqrt(det_q_op_g)*add(add(g[m,a]*qu[a,b]*g[b,n],a=0..3),b=0..3) + 8*Pi*G_c*T[m,n],var,orde+1),var,orde): if LL_G[m,n]<>0 or RL_G[m,n]<>0 then aant_eq:=aant_eq+1: eqn_G[aant_eq]:= simplify(LL_G[m,n] = RL_G[m,n]): end if: end do: end do:

return(convert(eqn_G,list)):end proc:banadosPertK:=proc(K::table,g::table,q::table,var,orde::integer) local m, n, LL_K, RL_K,eqn_K::list,aant_eq:

aant_eq:=0: for m from 0 to 3 do: for n from 0 to 3 do: LL_K[m,n]:= coeff(series(K[m,n],var,orde+1),var,orde): RL_K[m,n]:= coeff(series(inv_l^2*(g[m,n]+alpha*q[m,n]),var,orde+1),var,orde):

if LL_K[m,n]<>0 or RL_K[m,n]<>0 then aant_eq:=aant_eq+1: eqn_K[aant_eq]:= simplify(LL_K[m,n] = RL_K[m,n]): end if: end do: end do:

return(convert(eqn_K,list)):end proc:

48

Document A.2: Maple code en output voor het berekenen en omvormen van de bewegingsvergelijkingen voor eenvlak, homogeen en isotroop universum.

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O O O

O O

O O

O O

O O

O O restart:with(LinearAlgebra):read "Procedures":interface(showassumed=0):for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do g[i,j] := 0: gu[i,j] := 0: q[i,j] := 0: qu[i,j] := 0: T[i,j]:=0: end do:end do:

Componenten van de gµ!

-metriek en zijn inverse.

g[0,0] := -1;g[1,1] := a(x[0])^2;g[2,2] := a(x[0])^2;g[3,3] := a(x[0])^2;

g0, 0

:= K1

g1, 1

:= a x0

2

g2, 2

:= a x0

2

g3, 3

:= a x0

2

for i from 0 to 3 do gu[i,i] := 1/g[i,i]:end do:

Componenten van de qµ!

-metriek en diens inverse.

q[0,0] := -X(x[0])^2;q[1,1] := Y(x[0])^2;q[2,2] := Y(x[0])^2;q[3,3] := Y(x[0])^2;

q0, 0

:= KX x0

2

q1, 1

:= Y x0

2

q2, 2

:= Y x0

2

q3, 3

:= Y x0

2

for i from 0 to 3 do qu[i,i] := 1/q[i,i]:end do:

De energietensorT[0,0]:= -rho(x[0])*g[0,0];T[1,1]:= p(x[0])*g[1,1];T[2,2]:= p(x[0])*g[2,2];T[3,3]:= p(x[0])*g[3,3];

T0, 0

:= " x0

T1, 1

:= p x0

a x0

2

T2, 2

:= p x0

a x0

2

T3, 3

:= p x0

a x0

2

De bewegingsvergelijkingenassume(a(x[0])>0,G_c>0,l>0,rho(x[0])::real,x[0]>0,X(x[0])>0,Y(x[0])>0):G:=Einstein(g,gu):K:=Ricci(q,qu):EQNS_G:=expand(subs(inv_l=1/l,banadosPertG(G,g,qu,T,var,0))):for i from 1 to 2 do print(EQNS_G[i]):end do:

49

O O

O O

O O

O O

3 d

dx0

a x0

2

a x0

2=

Y x0

3

X x0

a x0

3 l2C 8 ! G_c " x

0

Kd

dx0

a x0

2

K 2 a x0

d2

dx02

a x0

= KX x

0 Y x

0 a x

0

l2C 8 ! G_c p x

0 a x

02

EQNS_K:=expand(subs(inv_l=1/l,banadosPertK(K,g,q,var,0))):for i from 1 to 2 do print(EQNS_K[i]):end do:

K

3 d2

dx02

Y x0

Y x0

C

3 d

dx0

X x0

d

dx0

Y x0

X x0

Y x0

= K1

l2K

# X x0

2

l2

K

Y x0

d

dx0

Y x0

d

dx0

X x0

X x0

3C

2 d

dx0

Y x0

2

X x0

2C

Y x0

d2

dx02

Y x0

X x0

2=a x

02

l2

C# Y x

02

l2

Omvorming tot Friedmanvergelijking.expand(subs(G_c=3*H[0]^2/(rho[c]*Pi*8),EQNS_G[1])/3/H[0]^2);

d

dx0

a x0

2

H02 a x

02

=1

3

Y x0

3

H02 X x

0 a x

03 l2

C" x

0

"c

Omvorming tot toestandsvergelijking voor "EBI

en pEBI

.

EQ:=simplify(rhs(isolate(EQNS_K[2],diff(Y(x[0]),x[0],x[0])))=rhs(isolate(EQNS_K[1],diff(Y(x[0]),x[0],x[0])))):EQ:=simplify(isolate(EQ,diff(Y(x[0]),x[0])^2)/(X(x[0])^2*Y(x[0])^2)):lhs(EQ)=expand(rhs(EQ));

d

dx0

Y x0

2

X x0

2 Y x0

2= K

1

6 X x0

2 l2C

1

3 #

l2C

1

2 a x

02

Y x0

2 l2

Y(x[0]):=(8*Pi*G_c*l^2*rho[EBI](x[0])*X(x[0])*a(x[0])^3)^(1/3);X(x[0]):=simplify(solve(p[EBI](x[0])=-X(x[0])*Y(x[0])/8/Pi/G_c/l^2/a(x[0]),X(x[0]))[1]);EQ_EBI:=expand(simplify(EQ*sqrt(-p[EBI](x[0])*rho[EBI](x[0]))*p[EBI](x[0])*Pi*G_c*72-(3/2)*rho[EBI](x[0])/l^4)); Y:='Y':X:='X':

Y x0

:= 81 /3 ! G_c l2 "EBI

x0

X x0

a x0

3 1 /3

Warning, solve may be ignoring assumptions on the input variables.

X x0

:=2 2 ! G_c Kp

EBIx

0 "EBI

x0

3 /4 l

"EBI

x0

EQ_EBI := K9

16

d

dx0

"EBI

x0

2

"EBI

x0

l2K

9 "EBI

x0

d

dx0

a x0

2

l2 a x0

2

50

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

K9

16

!EBI

x0

d

dx0

pEBI

x0

2

l2 pEBI

x0

2K

9

2

d

dx0

!EBI

x0

d

dx0

a x0

l2 a x0

K9

8

d

dx0

pEBI

x0

d

dx0

!EBI

x0

l2 pEBI

x0

K9

2

!EBI

x0

d

dx0

pEBI

x0

d

dx0

a x0

l2 a x0

pEBI

x0

K3

2 !EBI

x0

l4=

24 pEBI

x0

" # G_c KpEBI

x0

!EBI

x0

l2C

9

2 pEBI

x0

l4

Minder interessante vergelijkingen van tweede orde die ook moeten voldaan zijn.EQNS_G[2]; EQNS_K[1];

Kd

dx0

a x0

2

K 2 a x0

d2

dx02

a x0

= KX x

0 Y x

0 a x

0

l2C 8 # G_c p x

0 a x

02

K

3 d2

dx02

Y x0

Y x0

C

3 d

dx0

X x0

d

dx0

Y x0

X x0

Y x0

= K1

l2K

" X x0

2

l2

Bereken de Bianchi identiteitenGamma_u:=Christoffel_u(g,gu):coord:= [x[0],x[1],x[2],x[3]]:for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do Gu[i,j]:=add(add(gu[i,k]*gu[j,l]*G[k,l],k=0..3),l=0..3): end do:end do:cov_Gu:=covDerivative(Gu,Gamma_u,coord):for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do if i=j then RHS_EQNS_G[i,j]:=rhs(EQNS_G[i+1]): else RHS_EQNS_G[i,j]:=0: end if: end do:end do:for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do RHS_EQNS_Gu[i,j]:=sum(sum(gu[i,k]*gu[j,l]*RHS_EQNS_G[k,l],k=0..3),l=0..3): end do:end do:cov_RHS_EQNS_Gu:=covDerivative(RHS_EQNS_Gu,Gamma_u,coord):BianchiID:=simplify(add(cov_Gu(m,0,m),m=0..3)=add(cov_RHS_EQNS_Gu(m,0,m),m=0..3));simplify(add(cov_Gu(m,1,m),m=0..3)=add(cov_RHS_EQNS_Gu(m,1,m),m=0..3));simplify(add(cov_Gu(m,2,m),m=0..3)=add(cov_RHS_EQNS_Gu(m,2,m),m=0..3));simplify(add(cov_Gu(m,3,m),m=0..3)=add(cov_RHS_EQNS_Gu(m,3,m),m=0..3));

BianchiID := 0 =1

a x0

3 X x0

2 l2KY x

03

d

dx0

X x0

C 3 Y x0

2 d

dx0

Y x0

X x0

C 8 # G_c d

dx0

! x0

X x0

2 a x0

3 l2 C 24 d

dx0

a x0

X x0

2 # G_c ! x0

a x0

2 l2

51

O O

O O

K 3 d

dx0

a x0

a x0

X x0

3 Y x0

C 24 d

dx0

a x0

a x0

2 X x0

2 ! G_c p x0

l2

0 = 00 = 00 = 0

Gebruik behoud van energied

dt" a3 = Kp

d

dt a3 om de laatste vergelijking die we nog nodig hadden

te vinden.simplify(BianchiID,diff(rho(x[0]),x[0])+3*rho(x[0])*diff(a(x[0]),x[0])/a(x[0])+3*p(x[0])*diff(a(x[0]),x[0])/a(x[0])=0):expand(simplify((%+3*(diff(a(x[0]), x[0]))*a(x[0])*X(x[0])^3*Y(x[0])/a(x[0])^3/X(x[0])^2/l^2)*a(x[0])^3*l^2));

3 a x0

d

dx0

a x0

X x0

Y x0

= K

Y x0

3 d

dx0

X x0

X x0

2C

3 Y x0

2 d

dx0

Y x0

X x0

52

Document A.3: Maple code en output om aan te tonen dat Kµν = 0 als (2.41) gekozen wordt als nulde orde vormvoor qµν .

O O

O O O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

restart:with(LinearAlgebra):read "Procedures":for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do q[i,j] := 0: qu[i,j] := 0: end do:end do:

De componenten van de tensor qµn.q[0,0] := -beta^2*(1-w[0]/k(x[1])); q[1,1] := 1/(1-w[0]/k(x[1]))*diff(k(x[1]),x[1])^2; q[2,2] := k(x[1])^2; q[3,3] := k(x[1])^2*sin(x[2])^2;

q0, 0 := Kb2 1 Kw0

k x1

q1, 1 :=

ddx1

k x1

2

1 Kw0

k x1

q2, 2 := k x12

q3, 3 := k x12 sin x2

2

De componenten van de inverse tensor.for i from 0 to 3 do qu[i,i] := 1/q[i,i]:end do:

Berekenen van de 'Ricci'-tensor voor qµn.K:=Ricci(q,qu):

Er geldt inderdaad dat Kµn = 0.f_K:=(i,j)->K[i-1,j-1]:'K[mu,nu]'=Matrix(4,4,f_K);

Kµ, n =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

53

Document A.4: Maple code en output voor het berekenen van de eerste orde vergelijkingen (2.38)-(2.39), na denulde orde vorm voor gµν en qµν te hebben vastgelegd volgens (2.40)-(2.41).

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

restart:with(LinearAlgebra):with(PDETools):with(plots):read "Procedures":interface(showassumed=0):

Invulwerk

De niet-nul componenten van de tensoren gµ!

en qµ!

.

g[0,0] := -(1+2/c^2*(inv_l^2*Phi[1](x[1])+inv_l^4*Phi[2](x[1])));g[1,1] := (1-2/c^2/x[1]*(inv_l^2*m[1](x[1])+inv_l^4*m[2](x[1])))^(-1); g[2,2] := x[1]^2; g[3,3] := x[1]^2*sin(x[2])^2;

q[0,0]:=-beta^2*(1-1/k(x[1])+inv_l^2*a[1](x[1])+inv_l^4*a[2](x[1])); q[1,1]:=w[0]^2*(1-1/k(x[1])+inv_l^2*b[1](x[1])+inv_l^4*b[2](x[1]))^(-1)*diff(k(x[1]),x[1])^2; q[2,2]:=w[0]^2*(k(x[1]))^2; q[3,3]:=w[0]^2*(k(x[1]))^2*sin(x[2])^2;

g0, 0

:= K1 K2 inv_l2 "

1x

1C inv_l4 "

2x

1

c2

g1, 1

:=1

1 K2 inv_l2 m

1x

1C inv_l4 m

2x

1

c2 x1

g2, 2

:= x12

g3, 3

:= x12 sin x

2

2

q0, 0

:= K#2 1 K

1

k x1

C inv_l2 a1x

1C inv_l4 a

2x

1

q1, 1

:=

w02

d

dx1

k x1

2

1 K1

k x1

C inv_l2 b1x

1C inv_l4 b

2x

1

q2, 2

:= w02 k x

1

2

q3, 3

:= w02 k x

1

2 sin x

2

2

De energietensorfor i from 0 to 3 do: for j from 0 to 3 do: T[i,j]:=0: end do:end do:assume(alpha::real,beta::real,inv_l>0,k::real,k(r)::real,r::real,r(k)::real,w[0]::real):

Voorbereidend werk

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do if i<>j then g[i,j] := 0: gu[i,j] := 0: q[i,j] := 0: qu[i,j] := 0: else

54

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

g[i,i]:=convert(series(g[i,i],inv_l,5),polynom): q[i,i]:=convert(series(q[i,i],inv_l,5),polynom): end if: end do:end do:

De coëfficiënten van de inverse tensoren gµ! en qµ!

for i from 0 to 3 do gu[i,i]:=convert(series(1/g[i,i],inv_l,5),polynom): qu[i,i]:=convert(series(1/q[i,i],inv_l,5),polynom): end do:

Opstellen van de op te lossen vergelijkingen

Berekening van de kromingstensor Kµ!

in de q-ruimte en de Einsteintensor Gµ!

K:=Ricci(q,qu):G:=Einstein(g,gu):for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do G[i,j]:=series(G[i,j],inv_l,5): K[i,j]:=series(K[i,j],inv_l,5): end do:end do:

Voor de gekozen vormen voor gµ!

0 en qµ!

0 zijn de nulde-orde veldvergelijkingen voldaan, wat te

zien is aan het feit dat er geen (van 0=0 verschillende) vergelijkingen worden teruggegeven.EQNS_G[0]:=banadosPertG(G,g,qu,T,inv_l,0);EQNS_K[0]:=banadosPertK(K,g,q,inv_l,0);

EQNS_G0

:= eqn_G

EQNS_K0

:= eqn_K

De eerste orde veldvergelijkingen (in functie van r en " i.p.v. x1 en x

2).

EQNS_G[1]:=simplify(dchange(x[1]=r,x[2]=theta,banadosPertG(G,g,qu,T,inv_l,2))):EQNS_K[1]:=simplify(dchange(x[1]=r,x[2]=theta,banadosPertK(K,g,q,inv_l,2))):

Verander variabele van r naar k

omzettingsvgln_1:=diff(k(r),r)=1/diff(r(k),k),diff(a[0](r),r,r)=diff(diff(a[0](k),k)/diff(r(k),k),k)/diff(r(k),k),diff(b[0](r),r,r)=diff(diff(b[0](k),k)/diff(r(k),k),k)/diff(r(k),k),diff(Phi[1](r),r,r)=diff(diff(Phi[1](k),k)/diff(r(k),k),k)/diff(r(k),k),diff(u[1](r),r,r)=diff(diff(u[1](k),k)/diff(r(k),k),k)/diff(r(k),k),diff(m[1](r),r,r)=diff(diff(m[1](k),k)/diff(r(k),k),k)/diff(r(k),k),diff(a[1](r),r,r)=diff(diff(a[1](k),k)/diff(r(k),k),k)/diff(r(k),k),diff(b[1](r),r,r)=diff(diff(b[1](k),k)/diff(r(k),k),k)/diff(r(k),k),diff(a[0](r),r)=diff(a[0](k),k)/diff(r(k),k),diff(b[0](r),r)=diff(b[0](k),k)/diff(r(k),k),diff(Phi[1](r),r)=diff(Phi[1](k),k)/diff(r(k),k),diff(u[1](r),r)=diff(u[1](k),k)/diff(r(k),k),diff(m[1](r),r)=diff(m[1](k),k)/diff(r(k),k),diff(a[1](r),r)=diff(a[1](k),k)/diff(r(k),k),diff(b[1](r),r)=diff(b[1](k),k)/diff(r(k),k),diff(k(r),r,r)=-diff(r(k),k)^(-3)*diff(r(k),k,k),r=r(k):omzettingsvgln_2:=a[0](r(k))=a[0](k),b[0](r(k))=b[0](k),Phi[1](r(k))=Phi[1](k),

55

O O

O O

O O

O O

O O

u[1](r(k))=u[1](k),m[1](r(k))=m[1](k),a[1](r(k))=a[1](k),b[1](r(k))=b[1](k),k(r(k))=k:

Bereken de oplossing tot op eerste orde in 1

l2

Definiëring van u 1 r .

Phi[1](r):=int(u[1](r)/r+m[1](r)/r^2,r);

!1r :=

u1r

rCm

1r

r2dr

De veldvergelijkingen in functie van u 1 r , m 1 r en r k . for i from 1 to 4 do: if i=1 then EQNS_G[1][i]:=simplify(isolate(EQNS_G[1][i],m[1](r))) assuming diff(k(r),r)::real: else EQNS_G[1][i]:=simplify(isolate(EQNS_G[1][i],u[1](r))) assuming diff(k(r),r)::real: end if: print(EQNS_G[1][i]):end do:

d

dr m

1r =

1

2

c2 k r3 w

03

d

dr k r

"

k r K 1

u1r = K

1

2 c2 k r K 1 k r

" w0

d

dr k r

d

dr u

1r = Kr c2 " w

0

d

dr k r

d

dr u

1r = Kr c2 " w

0

d

dr k r

Verander van variabele: r/k.simplify(subs(omzettingsvgln_1,EQNS_G[1])):EQNS_G_k[1]:=simplify(subs(omzettingsvgln_2,%)):for i from 1 to 4 do if i<>2 then EQNS_G_k[1][i]:=simplify(EQNS_G_k[1][i]*abs(diff(r(k),k)))/abs(diff(r(k),k)): else EQNS_G_k[1][i]:=simplify(EQNS_G_k[1][i]/abs(diff(r(k),k)))*abs(diff(r(k),k)): end if:end do:'EQNS_G_k[1]'=EQNS_G_k[1];

EQNS_G_k1

=

d

dk m

1k

d

dk r k

=1

2

c2 k3 w

03

"

d

dk r k kK 1

, u1k = K

1

2

d

dk r k k c2 k

56

O O

O O

O O

O O

K 1 ! w0

,

d

dk u

1k

d

dk r k

= Kc2 r k ! w

0

d

dk r k

,

d

dk u

1k

d

dk r k

= Kc2 r k ! w

0

d

dk r k

Oplosssen van het stelsel:OPL_G[1]:=dsolve(EQNS_G_k[1]) assuming diff(r(k),k)::real:OPL_G[1]:=simplify(subs(_C1=-abs(w[0])^3*c^2/2/abs(beta)*h[0]/signum(diff(r(k),k)),OPL_G[1]));

OPL_G1

:= r k = e_b _a d_aC_C2

&where d

d_a _b _a =

KK2 _b _a C 2 _b _a

2 _aC _a2 _b _a

3K _b _a

3 _aK _b _a

2

_a _aK 1 _b _a, _a = k,

_b _a =

d

dk r k

r k, k = _a, r k = e

_b _a d_aC_C2, u

1k =

K1

2 k c2

d

dk r k ! w

0 kK 1 , m

1k =

1

12

1

! signumd

dk r k

c2 2

w03 signum

w03

! d

dk r k

signumd

dk r k k3 C 3

w03 signum

w03

! d

dk r k

signumd

dk r k k2 C 6

w03 signum

w03

! d

dk r k

signumd

dk r k kC 6

w03 signum

w03

! d

dk r k

signumd

dk r k ln kK 1 K 6 h

0 w

03

! !

u[1](k):=simplify(rhs(OPL_G[1][2][1])/abs(diff(r(k),k)))*abs(diff(r(k),k));m[1](k):=simplify(simplify(rhs(OPL_G[1][3][1]),signum(w[0]^3/(beta*diff(r(k), k)))*w[0]^3/beta=abs(w[0]^3/beta)/signum(diff(r(k),k))));

u1k := K

1

2

d

dk r k k c2 kK 1 ! w

0

57

O O

O O

O O

O O

m1k :=

1

12

c2 w02 K6 h

0C 3 k2 C 6 kC 6 ln kK 1 C 2 k3

w0

!

signumd

dk r k

De uitdrukking voor r k kan vereenvoudigd worden omdat

dr

dkk

r k reëel is en dus

dr

dkk

r k

2

=

dr

dkk

r k

2

.

simplify(op([1,2,2,1,1],OPL_G[1][1])) assuming _b(_a)::real;dsolve(%);r(_a)=op([1,2,1],OPL_G[1][1]);simplify(value(subs(%%,%)));r(k):=rhs(simplify(expand(subs(_a=k,_C1=B[0]/A[0],_C2=ln(-A[0]),%)),ln(k-1)-ln(k)=ln(1-1/k)));

d

d_a _b _a = K

K2 C 2 _b _a _aC _a2 _b _a2K _b _a

2 _aK _b _a

_a _aK 1

_b _a = K2 _a2 ln _a K 2 _a2 _C1C 2 _a2 ln _aK 1 C 2 ln _a _aC 2 _aK 2 ln _a

K 1 _aC 2 _C1 _aK 1 K2 _C1 _aC _C1C 2 ln _aK 1 _aK ln _aK 1

K 2 ln _a _aC ln _a C 2 _aK 1 _a

r _a = e_b _a d_aC_C2

r _a =1

2 K2 _C1 _aC _C1C 2 ln _aK 1 _aK ln _aK 1 K 2 ln _a _aC ln _a

C 2 e_C2

r k := B0 kK

1

2 B

0KA

0C

1

2 A

0K 2 k A

0 ln 1 K

1

k

dr

dk mag nooit gelijk worden aan 0. Het feit dat de onderstaande twee functies elkaar snijden

betekent dat dr

dk= 0 voor een zekere kO 1 wanneersgn A

0= sgn B

0. Daarom moet dus

sgn A0

s sgn B0

gelden.

'diff(r(k),k)'=diff(r(k),k);plot(ln(1-1/k)-(1/2)*(1-2*k)/(k^2*(1-1/k)),k=-2..3,y=-10..10):plot(1,k=-2..3):display(%,%%);

d

dk r k = B

0KA

0 ln 1 K

1

kC

1

2 A

0K 2 k A

0

k2 1 K1

k

58

O O

O O

O O

O O

k

K2 K1 0 1 2 3

K10

K5

5

10

Het feit dat de onderstaande twee functies elkaar snijden betekent dat r k voor sgn A

0s sgn B

0 altijd een nulpunt k

0O 1 zal hebben.

'r(k)'=A[0]*(-1-(k-1/2)*ln(1-1/k))+B[0]*(k-(1/2));plot(-(k-1/2)*ln(1-1/k)-1,k=0..3):plot(k-1/2,k=0..3):display(%,%%);

r k = A0 K1 K kK

1

2 ln 1 K

1

kCB

0 kK

1

2

k

1 2 30

1

2

3

Het regime waar r tussen CN en 0 zit, is het interessante regime.'limit(r(k),k=infinity)'=limit(r(k),k=infinity);'limit(r(k),k=1)'=limit(r(k),k=1);

limk/N

r k = signum B0

N

limk/1

r k = signum A0

N

Voor B0O 0 en A

0! 0 kijken we dus naar k 2 k

0,N .

Voor A0O 0 en B

0! 0 kijken we naar k 2 1, k

0.

59

O O

O O

O O

O O

O O

Voor A0! 0, B

0O 0 en k 2 k

0,N divergeert

m 1 k

r k voor grote k (en dus grote r).

0 geen fysische oplossingA[0]:=-1: B[0]:=1:plot(r(k),k=0..3);

k

1 2 3

K2

K1

0

1

2

Het geval A0O 0, B

0! 0 en k 2 1, k

0: "Logarithmic Branch".

A[0]:=1: B[0]:=-1:plot(r(k),k=0..3);

k

1 2 3

K2

K1

0

1

2

De rotatiesnelheid v r tot op eerste orde in 1

l2.

A:='A': B:='B':SignEQNS:=abs(diff(r(k),k))=-(diff(r(k),k)),signum(-diff(r(k),k))=1:m[1](k):=subs(SignEQNS,eval(m[1](k)));u[1](k):=subs(SignEQNS,eval(u[1](k)));

60

O O

O O

O O

O O

O O

O O

m1k := K

1

12 c2 w

02 K6 h

0C 3 k2 C 6 kC 6 ln kK 1 C 2 k3

w0

!

u1k := K

1

2 KB

0CA

0 ln 1 K

1

kK

1

2 A

0K 2 k A

0

k2 1 K1

k

k c2 kK 1 ! w0

v:=unapply(simplify(inv_l*sqrt(u[1](k)+m[1](k)/r(k))),k):v := k

/1

6 inv_l 3

18 ! w0

B02 k2 K 12 ! w

0 B

02 k3 K 6 ! w

0 B

02 kK 12 ! w

0 k A

02 C 3 ! w

0 A

0 B

0

C 6 ! w0

A02 K 3 ! w

0 A

02 ln

kK 1

kC 24 ! w

0 B

0 k2 A

0K 24 ! w

0 B

0 k A

0K 24 ! w

0

A02 ln

kK 1

k k2 C 18 ! w

0 A

02 ln

kK 1

k

2

k2 K 12 ! w0

A02 ln

kK 1

k

2

k3 C 24 ! w0

A02 ln

kK 1

k kK 6 ! w

0 A

02 ln

kK 1

k

2

kK 36 ! w0

B0 k2 A

0 ln

kK 1

k

C 24 ! w0

B0 k3 A

0 ln

kK 1

kC 12 ! w

0 B

0 k A

0 ln

kK 1

kK 12 w

02 w

0

! h

0C 6

w02 w

0

! k2 C 12 w

02 w

0

! kC 12 w

02 w

0

! ln kK 1 C 4 w

02 w

0

! k3 c2 K2 B

0 kCB

0

C 2 A0KA

0 ln

kK 1

kC 2 A

0 ln

kK 1

k k

1/2

De rotatiesnelheid heeft een eindige limiet voor r/N:v_inf_kwadr:=simplify(limit(v(k)^2,k=1));

v_inf_kwadr := K1

4

c2 inv_l2 K4 w02 C !

2 A

02

w0

!

A0

Dit is enkel positief als !2 A

02 K 4 w

02 ! 0, want A

0O 0 verondersteld.

Druk B0 uit in functie van de parameter k

0, de waarde van k waarvoor r k = 0 :

eval(r(k),k=k[0])=0;B[0]:=solve(%,B[0]);

B0 k

0K

1

2 B

0KA

0C

1

2 A

0K 2 k

0 A

0 ln 1 K

1

k0

= 0

B0

:=

A0 2 K ln 1 K

1

k0

C 2 ln 1 K1

k0

k0

2 k0K 1

Gebruik randvoorwaarden om ook A0 en h

0 in functie van k

0 te schrijven:

limr/ 0

m 1

r s N 5 lim

k/k0

m 1 k

r k s N 5 m

K1 k

0= 0

eval(m[1](k),k=k[0])=0;

61

O O

O O

O O

O O

O O

h[0]:=solve(%,h[0]);

K1

12 c2 w

02 K6 h

0C 3 k

02 C 6 k

0C 6 ln k

0K 1 C 2 k

03

w0

!= 0

h0

:=1

2 k

02 C k

0C ln k

0K 1 C

1

3 k

03

limk/k

0

u 1 k C

m 1 k

r k= 0 5 m 1 k

0= 0 en u 1 k

0C lim

k/k0

d

dk m 1 k

d

dk r k

= 0, want

r k0

= 0 per definitie.

opl:=simplify(solve(eval(eval(u[1](k),k=k[0])+eval(diff(m[1](k),k)/diff(r(k),k),k=k[0]))=0,A[0]));

opl := K2 w

0 2 k

0K 1 k

02

!,

2 w0 2 k

0K 1 k

02

!

De eindige limiet van de rotatiesnelheid uitgedrukt in functie van k0:

A[0]:=opl[1];simplify(v_inf_kwadr);A[0]:=opl[2];simplify(v_inf_kwadr);

A0

:= K2 w

0 2 k

0K 1 k

02

!

1

2 c2 inv_l2 w

0 K1 C 4 k

06 K 4 k

05 C k

04 w

0

2 k0K 1 k

02

A0

:=2 w

0 2 k

0K 1 k

02

!

K1

2 c2 inv_l2 w

0 K1 C 4 k

06 K 4 k

05 C k

04 w

0

2 k0K 1 k

02

vN

2 is steeds negatief, want A0O 0 moet gelden en dat is in het eerste geval enkel zo als w

0! 0 (want

k0O 1) en in het tweede geval als w

0O 0. De voorwaarde

!2 A

02 K 4 w

02 ! 0 5 !

2

G2 w

0 k

02 2 k

0K 1

!

2

! 4 w02 5 4 w

02 k

04 4 k

02 K 4 k

0C 1 ! 4 w

02 5 k

04 4 k

02 K 4 k

0C 1

! 1

is namelijk nooit voldaan voor k0O 1.

62

Document A.5: Maple code en output voor het berekenen van de oplossingen van de eerste orde veldvergelijkin-gen, zoals in document A.4 berekend, maar met dk

dr > 0, in functie van r en voor het berekenenvan de corresponderende massadichtheid.

O O O O

O O

O O

O O

O O

restart:EQN1:=diff(m[1](r),r)*(1-1/k(r))-w[0]^3*c^2/(2*beta)*k(r)^2*diff(k(r),r)=0;EQN2:=beta*c^2*w[0]*k(r)^2*(1-1/k(r))+2*diff(k(r),r)*u[1]=0;EQN3:=diff(u[1](r),r)+beta*c^2*w[0]*r*diff(k(r),r)=0;EQNS:=EQN1,EQN2,EQN3:

EQN1 :=d

dr m

1r 1 K

1

k rK

1

2

w03 c2 k r 2

d

dr k r

!= 0

EQN2 := ! c2 w0 k r 2 1 K

1

k rC 2

d

dr k r u

1= 0

EQN3 :=d

dr u

1r C ! c2 w

0 r

d

dr k r = 0

Vindt de algemene oplossing van bovenstaand stelsel (zonder beginvoorwaarden), gebruik makend van machtsontwikkeling.

Order:=2:opl:=dsolve(EQNS,k(r),u[1](r),m[1](r),series):k(r):=value(rhs(opl[1])); m[1](r):=rhs(opl[2]); u[1](r):=rhs(opl[3]);

k r := k 0 K1

2

! c2 w0 k 0 2 1 K

1

k 0

u1

0 rCO r2

m1r := m

10 K

1

4 w

04 c4 k 0 4

u1

0 rCO r2

u1r := u

10 CO r2

Gebruik de beginvoorwaarden om de waarden voor m 0 en u 0 te vinden:k(0):=k[0]; m[1](0):=0;u[1](0):=eval(solve(u[1](0)=eval(-diff(m[1](r),r),r=0),u[1](0))[1]);

k 0 := k0

m1

0 := 0

u1

0 :=1

2 w

02 c2 k

02

'k(r)' = factor(eval(k(r))); 'm[1](r)' = eval(m[1](r)); 'u[1](r)' = eval(u[1](r));

k r = k0K

! k0K 1

w0 k

0

rCO r2

m1r = K

1

2 w

02 c2 k

02 rCO r2

u1r =

1

2 w

02 c2 k

02 CO r2

Berekening van de Laplaciaan van de Newtoniaanse potentiaal. Hiervoor worden de oplossingen net iets accurater berekendt.

Order:=3:

63

O O

O O

O O

O O

O O k(r):='k(r)':u[1](r):='u[1](r)':m[1](r):='m[1](r)':opl:=dsolve(EQN1,EQN2,EQN3,k(r),u[1](r),m[1](r),series):k(r):=convert(rhs(opl[1]),polynom):m[1](r):=convert(rhs(opl[2]),polynom):u[1](r):=convert(rhs(opl[3]),polynom):afg_Phi(r):=1/l^2*(u[1](r)/r+m[1](r)/r^2):4*Pi*G*rho(r)=simplify(series(1/r^2*diff(r^2*afg_Phi(r),r),r));

4 ! G " r =

2 w0 c2 # k

0K 1

l2

rC

3

2 #

2 c2 k

0K 1

l2 k0

64

Document A.6: Maple code en output voor het berekenen van de oplossingen van de eerste orde veldvergelijkin-gen, zoals in document A.4 berekend, maar met dk

dr > 0, in functie van k.

O O

O O

O O

O O

restart:Berekenen van de oplossingen van de eerste orde veldvergelijkingen in functie van k

ODE1:=diff(m[1](k),k)*(1-1/k)-w[0]^3*c^2*k^2/(2*beta)=0;ODE2:=beta*c^2*w[0]*k^2*(1-1/k)*diff(r(k),k)+2*u[1](k)=0;ODE3:=diff(u[1](k),k)+beta*c^2*w[0]*r(k)=0;

ODE1 := ddk m1 k 1 K

1k K

12 w0

3 c2 k2

b= 0

ODE2 := b c2 w0 k2 1 K1k d

dk r k C 2 u1 k = 0

ODE3 := ddk u1 k C b c2 w0 r k = 0

opl:=dsolve(ODE1,ODE2,ODE3):sideRel:=_C1=-1/4*A[0]*(beta*w[0]*c^2),_C2=-B[0]/2*beta*c^2*w[0],ln(k-1)-ln(k)=ln(1-1/k):m[1](k):=factor(simplify(rhs(opl[2]),_C3=-w[0]^3*c^2/(2*beta)*h[0])); r(k):=expand(simplify(rhs(opl[1]),sideRel)); u[1](k):=simplify(rhs(opl[3]),sideRel);

m1 k := 112

c2 w03 3 k2 C 6 kC 6 ln kK 1 C 2 k3 K 6 h0

b

r k := KA0 CB0 kK 12 B0 K ln 1 K

1k A0 kC 1

2 ln 1 K1k A0

u1 k := 14 2 kK 1 A0 b c2 w0 C

14 K2 k2 C 2 k B0 b c2 w0 C

14 2 k2 K 2 k ln 1

K1k A0 b c2 w0

65

Document A.7: Maple code en output voor het berekenen van de integratieconstanten h0, A0 en B0 en de asympo-tische rotatiesnelheid v∞.

O O

O O

O O

O O

O O O O

O O

restart:with(plots):r:=k->A[0]*(-(k-1/2)*ln(1-1/k)-1)+B[0]*(k-1/2);u[1]:=k->1/2*beta*c^2*w[0]*(A[0]*(k^2*(1-1/k)*ln(1-1/k)+k-1/2)-B[0]*(k^2-k));m[1]:=k->w[0]^3*c^2/(2*beta)*(1/3*k^3+1/2*k^2+k+ln(k-1)-h[0]);

r := k/A0 K kK 12 ln 1 K

1k K 1 CB0 kK 1

2

u1 := k/ 12 b c2 w0 A0 k2 1 K

1k ln 1 K

1k C kK 1

2 KB0 k2 K k

m1 := k/ 12 w0

3 c2 13 k3 C

12 k2 C kC ln kK 1 K h0

b

Definitie van de rotatiesnelheid en de asymptotische waarde vN2 :v:=k->sqrt(1/l^2*(u[1](k)+m[1](k)/r(k))):v_inf_kwadr:=factor(limit(v(k)^2,k=1)):

limk/k

0u 1 k C

m 1 kr k = 0 5 m 1 k0 = 0 en u 1 k0 C lim

k/k0

ddk m 1 k

ddk r k

= 0, want

r k0 = 0 per definitie.B[0]:=solve(r(k[0])=0,B[0]):h[0]:=solve(m[1](k[0])=0,h[0]);A[0]:=solve(u[1](k[0])+D(m[1])(k[0])/D(r)(k[0])=0,A[0]);A[0]:=A[0][1]:B[0]:=B[0];

h0 := 13 k0

3 C12 k0

2 C k0 C ln k0 K 1

A0 :=2 w0 k0

2 2 k0 K 1

b, K

2 w0 k02 2 k0 K 1

b

B0 :=2 w0 k0

2 2 ln 1 K1k0

k0 K ln 1 K1k0

C 2

b

De rotatiesnelheden horend bij een systeem gaan naar een eindige waarde voor k/1:'v_inf_kwadr' = simplify(expand(numer(v_inf_kwadr))/denom(v_inf_kwadr));

v_inf_kwadr = 12 c2 w0

2 4 k06 K 4 k0

5 C k04 K 1

k02 2 k0 K 1 l2

66

Document A.8: Maple code en output voor het algemeen oplossen van de dubbele perturbatie voor T (m)µν 6= 0 tot

aan de ordes (1,1) en (2,0).

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O restart:with(LinearAlgebra):with(IntegrationTools):with(PDETools):read "Procedures":

Begincondities

De componenten van de g- en q-tensoren tot op tweede orde in !.

g[0,0] := -(1-x[1]^2*Lambda/3+epsilon*a_1(x[1])+epsilon^2*a_2(x[1]));g[1,1] := (1-x[1]^2*Lambda/3+epsilon*b_1(x[1])+epsilon^2*b_2(x[1]))^(-1); g[2,2] := x[1]^2; g[3,3] := x[1]^2*sin(x[2])^2;

q[0,0]:=-(ga*(1-x[1]^2*Lambda/3)+epsilon*c_1(x[1])+epsilon^2*c_2(x[1])); q[1,1]:=(ga^(-1)*(1-x[1]^2*Lambda/3)+epsilon*d_1(x[1])+epsilon^2*d_2(x[1]))^(-1); q[2,2]:=(ga+epsilon*e_1(x[1])+epsilon^2*e_2(x[1]))*x[1]^2; q[3,3]:=(ga+epsilon*e_1(x[1])+epsilon^2*e_2(x[1]))*x[1]^2*sin(x[2])^2;

g0, 0

:= K1 C1

3 x

12 "K ! a_1 x

1K !

2 a_2 x

1

g1, 1

:=1

1 K1

3 x

12 "C ! b_1 x

1C !

2 b_2 x

1

g2, 2

:= x12

g3, 3

:= x12 sin x

22

q0, 0

:= Kga 1 K1

3 x

12 " K ! c_1 x

1K !

2 c_2 x

1

q1, 1

:=1

1 K1

3 x

12 "

gaC ! d_1 x

1C !

2 d_2 x

1

q2, 2

:= gaC ! e_1 x1

C !2 e_2 x

1 x

12

q3, 3

:= gaC ! e_1 x1

C !2 e_2 x

1 x

12 sin x

22

assume(alpha::real,inv_l::real,ga::real,Lambda::real):

Voorbereiding

interface(showassumed=0):alias(1/l=inv_l):for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do if i<>j then g[i,j] := 0: gu[i,j] := 0: q[i,j] := 0: qu[i,j] := 0: else g[i,i]:=convert(series(g[i,i],epsilon,3),polynom): q[i,i]:=convert(series(q[i,i],epsilon,3),polynom): end if: end do:end do:

De coëfficiënten van de inverse tensoren gµ# en qµ#

for i from 0 to 3 do gu[i,i]:=1/g[i,i]: qu[i,i]:=1/q[i,i]:end do:

67

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

Berekenen van de energietensor a.d.h.v. de viersnelheid U.U:=[(-g[0,0])^(1/2),0,0,0];

U := 1 K1

3 x

12 !C " a_1 x

1C "

2 a_2 x

1, 0, 0, 0

U_u:=[add(gu[0,n-1]*U[n],n=1..4),add(gu[1,n-1]*U[n],n=1..4),add(gu[2,n-1]*U[n],n=1..4),add(gu[3,n-1]*U[n],n=1..4)];

U_u :=

1 K1

3 x

12 !C " a_1 x

1C "

2 a_2 x

1

K1 C1

3 x

12 !K " a_1 x

1K "

2 a_2 x

1

, 0, 0, 0

simplify(add(U[m]*U_u[m],m=1..4));K1

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do T[i,j]:=(epsilon*rho[1](x[1])+epsilon*p_1(x[1])+epsilon^2*p_2(x[1]))*U[i+1]*U[j+1]+(epsilon*p_1(x[1])+epsilon^2*p_2(x[1]))*g[i,j]: Tu[i,j]:=add(add(gu[i,a]*gu[j,b]*T[i,j],a=0..3),b=0..3): end do:end do:

Behoud van baryonische energie levert een uitdrukking voor p r op.Gamma_u:= Christoffel_u(g,gu,bla);

Gamma_u := Gamma_u

CovT:=covDerivative(Tu,Gamma_u,[x[0],x[1],x[2],x[3]]);

CovT := n, r, m /v

v x0, x

1, x

2, x

3 mC1

Tun, r

C add Gamma_unm, k

Tuk, r

, k = 0 ..3

C add Gamma_urm, k

Tun, k

, k = 0 ..3

add(CovT(m,0,m),m=0..3)=0;EQ_p:=dchange(x[1]=r,simplify(add(CovT(m,1,m),m=0..3)=0));add(CovT(m,2,m),m=0..3)=0;add(CovT(m,3,m),m=0..3)=0;

0 = 0

EQ_p := K1

6 " K3 C r2 !

3 K2 r ! p_1 r K 2 r ! " p_2 r C 3 "

d

dr a_1 r p_1 r

C 3 "2

d

dr a_1 r p_2 r C 3 "

2

d

dr a_2 r p_1 r C 3 "

3

d

dr a_2 r p_2 r

K 2 #1r r !C 3 #

1r "

d

dr a_1 r C 3 #

1r "

2

d

dr a_2 r C 6

d

dr p_1 r

K 2 d

dr p_1 r r2 !C 6

d

dr p_1 r " a_1 r C 6

d

dr p_1 r "

2 a_2 r

C 6 " d

dr p_2 r K 2 "

d

dr p_2 r r2 !C 6 "

2

d

dr p_2 r a_1 r

C 6 "3

d

dr p_2 r a_2 r 3 K r2 !C 3 " a_1 r C 3 "

2 a_2 r 9 K 6 r2 !

C r4 !2K 9 " b_1 r C 3 b_1 r " r2 !K 9 "

2 b_2 r C 3 "

2 b_2 r r2 !C 9 "

2 b_1 r 2

= 0

0 = 0

0 = 0

De coëfficiënten van de inverse tensoren gµ$ en qµ$ ontwikkeld volgens ".

for i from 0 to 3 do gu[i,i]:=convert(series(1/g[i,i],epsilon,3),polynom): qu[i,i]:=convert(series(1/q[i,i],epsilon,3),polynom): end do:

68

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

Opstellen van de op te lossen vergelijkingen

Berekening van de kromingstensor Kµ!

in de q-ruimte en de Einsteintensor Gµ!

K:=Ricci(q,qu):G:=Einstein(g,gu):for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do G[i,j]:=series(G[i,j],epsilon,3): K[i,j]:=series(K[i,j],epsilon,3): end do:end do:

De nulde orde vergelijkingenEQNS_G[0]:=banadosPertG(G,g,qu,T,epsilon,0):EQNS_K[0]:=banadosPertK(K,g,q,epsilon,0):

Uit de nulde orde veldvergelijkingen halen we de reeds theoretisch bepaalde waarden voor " en #

opl:=solve(op(EQNS_G[0]),op(EQNS_K[0]),ga,Lambda);ga:=rhs(opl[1]):Lambda:=rhs(opl[2]):

Warning, solve may be ignoring assumptions on the input variables.

opl := ga = K1

K1 C$, # = K

1

l

2

K1 C$

De vergelijkingen voor eerste orde in %

for i from 0 to 3 do for j from 0 to 3 do G[i,j]:=simplify(G[i,j]): K[i,j]:=simplify(K[i,j]): g[i,j]:=simplify(g[i,j]): gu[i,j]:=simplify(gu[i,j]): q[i,j]:=simplify(q[i,j]): qu[i,j]:=simplify(qu[i,j]): end do:end do:EQNS_G[1]:=dchange(x[1]=r,x[2]=theta,banadosPertG(G,g,qu,T,epsilon,1)):EQNS_K[1]:=dchange(x[1]=r,x[2]=theta,banadosPertK(K,g,q,epsilon,1)):EQNS_p[1]:=dchange(x[1]=r,x[2]=theta,pertEQNS([EQ_p],epsilon,1,"no")):

De vergelijkingen voor tweede orde in %

EQNS_G[2]:=dchange(x[1]=r,x[2]=theta,banadosPertG(G,g,qu,T,epsilon,2)):EQNS_K[2]:=dchange(x[1]=r,x[2]=theta,banadosPertK(K,g,q,epsilon,2)):EQNS_p[2]:=dchange(x[1]=r,x[2]=theta,pertEQNS([EQ_p],epsilon,2,"no")):

Alle vergelijkingen worden ook nog eens geperturbeerd volgens 1

l2

a_1:=r->a[1,0](r)+inv_l^2*a[1,1](r)+inv_l^4*a[1,2](r):b_1:=r->b[1,0](r)+inv_l^2*b[1,1](r)+inv_l^4*b[1,2](r):c_1:=r->c[1,0](r)+inv_l^2*c[1,1](r)+inv_l^4*c[1,2](r):d_1:=r->d[1,0](r)+inv_l^2*d[1,1](r)+inv_l^4*d[1,2](r):e_1:=r->e[1,0](r)+inv_l^2*e[1,1](r)+inv_l^4*e[1,2](r):p_1:=r->p[1,0](r)+inv_l^2*p[1,1](r)+inv_l^4*p[1,2](r):a_2:=r->a[2,0](r)+inv_l^2*a[2,1](r)+inv_l^4*a[2,2](r):b_2:=r->b[2,0](r)+inv_l^2*b[2,1](r)+inv_l^4*b[2,2](r):c_2:=r->c[2,0](r)+inv_l^2*c[2,1](r)+inv_l^4*c[2,2](r):d_2:=r->d[2,0](r)+inv_l^2*d[2,1](r)+inv_l^4*d[2,2](r):e_2:=r->e[2,0](r)+inv_l^2*e[2,1](r)+inv_l^4*e[2,2](r):p_2:=r->p[2,0](r)+inv_l^2*p[2,1](r)+inv_l^4*p[2,2](r):for i from 1 to 2 do for j from 0 to 2 do eqns_G[i,j]:=pertEQNS(EQNS_G[i],inv_l,j*2,"no"): eqns_K[i,j]:=pertEQNS(EQNS_K[i],inv_l,j*2,"no"): eqns_p[i,j]:=pertEQNS(EQNS_p[i],inv_l,j*2,"no"):

69

O O

O O

O O

O O

O O

O O

end do:end do:

Bereken de oplossing tot op eerste orde in !

Zoek de oplossing tot op nulde orde in 1

l2

G:='G': alias(G=G_c):

Voor niet-relativistische materie moet het (1,0)-deel van p r nul zijn.eqns_p[1,0][1];p[1,0]:=unapply(subs(_C1=Cp[1,0],rhs(dsolve(eqns_p[1,0])[1])),r);Cp[1,0]:=0;

d

dr p

1, 0r = 0

p1, 0

:= r/Cp1, 0

Cp1, 0

:= 0

De (1,0)-vergelijkingen corresponderend met Gµ!

.

for i from 1 to 4 do print(eqns_G[1,0][i]) end do:

K

r d

dr b

1, 0r C b

1, 0r

r2= 8 " G #

1r

b1, 0

r C r d

dr a

1, 0r

r2= 0

1

2 r

d

dr a

1, 0r C

d

dr b

1, 0r C r

d2

dr2 a

1, 0r = 0

1

2 r sin $

2

d

dr a

1, 0r C

d

dr b

1, 0r C r

d2

dr2 a

1, 0r = 0

De (1,0)-vergelijkingen corresponderend met Kµ!

. Er is eigenlijk nog een vierde vergelijking

berekend, maar die is evenredig met de derde, net als hierboven.for i from 1 to 3 do print(convert(eqns_K[1,0][i]/(alpha-1),parfrac,alpha)) end do:

K1

2

2 d

dr c

1, 0r C r

d2

dr2 c

1, 0r

r= 0

1

2

2 r d2

dr2 e

1, 0r C 4

d

dr e

1, 0r C r

d2

dr2 c

1, 0r

rC

d

dr d

1, 0r

K1 C%2 r

= 0

2 r d

dr e

1, 0r C

1

2 r2

d2

dr2 e

1, 0r C

1

2 r

d

dr c

1, 0r C e

1, 0r

C1

2

r d

dr d

1, 0r C 2 d

1, 0r

K1 C%2

= 0

De definitie van m 1 r geeft elegantere oplossingen. Merk op dat de oplossingen voor a 1, 0

en b 1, 0 zeer sterk lijken op de Scwarzschildoplossing.rho[1](r):=1/4/Pi/r^2*diff(m[1](r),r);OPL[1,0]:=dsolve(op(eqns_G[1,0]),op(eqns_K[1,0]),a[1,0](r),b[1,0](r),c[1,0](r),d[1,0](r),e[1,0](r)):OPL[1,0]:=subs(_C1=C[1],_C2=C[2],_C3=C[3],_C4=C[4],OPL[1,0]);

70

O O

O O

O O

O O

O O

O O

aant_int_cst:=4;

!1r :=

1

4

d

dr m

1r

" r2

OPL1, 0

:= a1, 0

r =2 G m

1r KC

2

r2drCC

1, b

1, 0r = K

2 G m1r KC

2

r, c

1, 0r = C

3

CC

4

r, d

1, 0r = K

K1 C#2 KC

4C r2

d

dr e

1, 0r C e

1, 0r r

r, e

1, 0r

= e1, 0

r

aant_int_cst := 4

Randvoorwaarden bepalen C2 en C

4.

b01 0 sN 5 C

2= 2 G m

10 = 0

c01 0 s N 5 C

4= 0

OPL[1,0]:=subs(C[2]=0,C[4]=0,OPL[1,0]);

OPL1, 0

:= a1, 0

r =2 G m

1r

r2drCC

1, b

1, 0r = K

2 G m1r

r, c

1, 0r = C

3, d

1, 0r =

K

K1 C#2 r2

d

dr e

1, 0r C e

1, 0r r

r, e

1, 0r = e

1, 0r

limr/ 0

d01 r = K #K 1

2 e

01 0

a[1,0]:=unapply(rhs(OPL[1,0][1]),r):b[1,0]:=unapply(rhs(OPL[1,0][2]),r):c[1,0]:=unapply(rhs(OPL[1,0][3]),r):d[1,0]:=unapply(rhs(OPL[1,0][4]),r):

Zoek de oplossing tot op eerste orde in 1

l2

Berekening van p 1, 1 r met het behoud van baryonische energie.rho:='rho':convert(eqns_p[1,1][1],parfrac,alpha);p[1,1]:=unapply(subs(_C1=Cp[1,1],rhs(dsolve(eqns_p[1,1],p[1,1](r))[1])),r);

d

dr p

1, 1r C

1

3 !

1r r

K1 C#= 0

p1, 1

:= r/ K1

3 !

1r r

K1 C#drCCp

1, 1

De (1,1)-vergelijkingen corresponderend met Gµ$

.

rho[1](r):=1/4/Pi/r^2*diff(m[1](r),r):for i from 1 to 3 do print(convert(simplify(eqns_G[1,1][i]),parfrac,alpha)) end do:

K

b1, 1

r C r d

dr b

1, 1r

r2C

1

3

2 G d

dr m

1r K 3 C

1K 6 G

m1r

r2dr

K1 C#

71

O O

O O

O O

O O

=3

2 e

1, 0r K

1

2 C

3C

1

2 r

d

dr e

1, 0r

C1

6

4 G d

dr m

1r rK 9 C

1 rK 18 G

m1r

r2dr rC 6 G m

1r

K1 C! r

b1, 1

r C r d

dr a

1, 1r

r2C

1

3

K4 G m

1r

r2dr rC 2 G m

1r K 2 C

1 r

K1 C! r=

K1

2 e

1, 0r C

1

2 r

d

dr e

1, 0r C 8 G Cp

1, 1 "K

1

2 C

3

C1

6

K3 C1 rC 18 G m

1r K 6 G

m1r

r2dr rK 4 r G

d

dr m

1r

rdr

K1 C! r

1

2 r r

d2

dr2 a

1, 1r C

d

dr b

1, 1r C

d

dr a

1, 1r

K1

3

r 4 G m1r C 4 G

m1r

r2dr rCG

d

dr m

1r rC 2 C

1 r

K1 C!=

1

2 r2

Ke1, 0

r K r d

dr e

1, 0r C 16 G Cp

1, 1 "KC

3

K1

6

r 3 C1 rC 6 G m

1r C 6 G

m1r

r2dr rC 4 r G

d

dr m

1r

rdr

K1 C!

Bereken de oplossing voor a 1, 1 , b 1, 1 en e 1, 0 .OPL_G[1,1]:=simplify(dsolve(op(eqns_G[1,1]),a[1,1](r),b[1,1](r),e[1,0](r))):OPL_G[1,1]:=subs(_C1=C[aant_int_cst+1],_C2=C[aant_int_cst+2],_C3=C[aant_int_cst+3],_C4=C[aant_int_cst+4],OPL_G[1,1]):aant_int_cst:=aant_int_cst+4;

aant_int_cst := 8

a[1,1]:=unapply(Combine(convert(simplify(value(Expand(rhs(OPL_G[1,1][1])))),parfrac,alpha)),r);b[1,1]:=unapply(Combine(convert(simplify(value(Expand(rhs(OPL_G[1,1][2])))),parfrac,alpha)),r);e[1,0]:=unapply(Combine(convert(simplify(value(Expand(rhs(OPL_G[1,1][3])))),parfrac,alpha)),r);

a1, 1

:= r/

2

3

1

K1 C!G

K

3 d

dr m

1r

rdr r2 dr

r2C

d

dr m

1r r2 dr

r2

C

6 r m1r dr

r2drC

1

3 Kr3 C

3K 3 C

5C 12 r3 G Cp

1, 1 "C 3 C

6 r

r

72

O O

O O

O O

b1, 1

:= r/1

6

1

K1 C! r

12 G d

dr m

1r

rdr r2 K 4 G

d

dr m

1r r2

K 24 r G m1r drC K

4 G d

dr m

1r

rdr r3 C

8 G m1r

r2dr r3

C 8 G m1r r2 C r3 C

1C

1

6

4 C7K 6 C

5C r3 C

3K 3 C

8 r3

r

e1, 0

:= r/ K2 m

1r G

r2 K1 C!drC

1

3 KC

7C 3 C

8 r3

r3

De (1,1)-vergelijkingen corresponderend met Kµ"

.

for i from 1 to 3 do print(convert(simplify(value(eqns_K[1,1][i]))/(alpha-1),parfrac,alpha)) end do:

K1

2

r d2

dr2 c

1, 1r C 2

d

dr c

1, 1r

rC

C8

K1 C!

K1

3

G 4 m1r C

d

dr m

1r rC 6 r

m1r

r2dr

K1 C!2 r

= KC3

C

K2 G m

1r

r2dr KC

1KC

3

K1 C!

1

2

4 d

dr e

1, 1r C 2 r

d2

dr2 e

1, 1r C r

d2

dr2 c

1, 1r

r

C1

9

4 C7C 6 C

8 r3 K 3 r3 C

3

K1 C! r3

C1

3

KG d

dr m

1r rC 3

d

dr d

1, 1r K 6 G m

1r K 4 r G

m1r

r2dr

K1 C!2 r

=1

3

2 C7C 3 C

8 r3

r3C

1

3

2 C7C 3 C

8 r3 K 6 r3 G

m1r

r2dr

K1 C! r3

K

2 G m1r C r

m1r

r2dr

K1 C!2 r

e1, 1

r C 2 r d

dr e

1, 1r C

1

2 r2

d2

dr2 e

1, 1r C

1

2 r

d

dr c

1, 1r

C1

9 K3 r3 C

3K 2 C

7C 6 C

8 r3

K1 C! rC

1

6

1

K1 C!2

K4 r G m1r

K 2 G d

dr m

1r r2 K 8 r2 G

m1r

r2dr C 6 d

1, 1r C 3 r

d

dr d

1, 1r

73

O O

O O

O O

O O

=1

3 KC

7C 3 C

8 r3

rC

1

3

K6 r3 G m

1r

r2dr KC

7C 3 C

8 r3

K1 C! r

K

2 r2 G m

1r

r2dr

K1 C!2

Bereken de oplossing voor c 1, 1 en d 1, 1 in functie van e 1, 1 .simplify(dsolve(eqns_K[1,1][1],eqns_K[1,1][2],eqns_K[1,1][3],c[1,1](r),d[1,1](r),e[1,1](r))):OPL_K[1,1]:=subs(_C1=C[aant_int_cst+1],_C2=C[aant_int_cst+2],_C3=C[aant_int_cst+3],%):aant_int_cst:=aant_int_cst+3;

Warning, it is required that the numerator of the given ODE depends on the highest derivative. Returning NULL.

aant_int_cst := 11

isolate(OPL_K[1,1][2],m[1]);c[1,1]:=unapply(Combine(convert(simplify(value(Expand(rhs(OPL_K[1,1][1])))),parfrac,alpha)),r);d[1,1]:=unapply(Combine((alpha-1)^2*convert(simplify(value(Expand(rhs(OPL_K[1,1][3]))))/(alpha-1)^2,parfrac,alpha)),r);

0 = 0

c1, 1

:= r/ K2

3

G

6 m1r

r2dr r2 dr

r2C

d

dr m

1r r2 dr

r2C

4 r m1r dr

r2

K1 C!2

drC1

3

12 G m1r

r2dr r2 dr

r2drCC

8 r2 CC

3 r2 C r2 C

1

K1 C!

C1

3 K3 C

9C r3 C

3C 3 C

10 r

r

d1, 1

:= r

/2

3

1

K1 C!2 r

6 m1r

r2dr r2 C

d

dr m

1r r2 C 4 r m

1r dr

C K2 m

1r

r2dr r3 G

K1

6

6 e1, 1

r rC r3 C3C 6 r2

d

dr e

1, 1r C 6 C

9K 3 C

8 r3 C 4 C

7

r

C1

18

K72 G m

1r

r2dr r2 drK 3 r3 C

1K 4 C

7

K1 C! r K1 C!

2

74

O O

O O

O O

O O

O O

O O

Bereken de oplossing tot op tweede orde in !

Zoek de oplossing tot op nulde orde in 1

l2

Berekening van p 2, 0 r met het behoud van baryonische energie.rho:='rho':eqns_p[2,0][1];p[2,0]:=unapply(subs(_C1=Cp[2,0],rhs(dsolve(eqns_p[2,0],p[2,0](r))[1])),r);

!1r G m

1r

r2C

d

dr p

2, 0r = 0

p2, 0

:= r/ K!

1r G m

1r

r2drCCp

2, 0

De (2,0)-vergelijkingen corresponderend met Gµ"

.

rho[1](r):=1/4/Pi/r^2*diff(m[1](r),r):eqns_G[2,0]:=simplify(eqns_G[2,0]):for i from 1 to 3 do if i=1 then print(isolate(eqns_G[2,0][i],m)) else print(eqns_G[2,0][i]) end if end do:

K

b2, 0

r C r d

dr b

2, 0r

r2= 0

K1

r44 r G2 m

1r

m1r

r2dr C 2 r G m

1r C

1C 4 G2 m

1r 2 K r3

d

dr a

2, 0r

K r2 b2, 0

r = K2 G G

d

dr m

1r m

1r

r4dr K 4 Cp

2, 0 #

K1

2

1

r2K4 G2 m

1r 2 C 6 G2 m

1r

d

dr m

1r rK r3

d

dr a

2, 0r K 4 r G2 m

1r

m1r

r2dr K 2 r G m

1r C

1C 4 G2 r2

d

dr m

1r

m1r

r2dr

C 2 G r2 d

dr m

1r C

1K r4

d2

dr2 a

2, 0r K r3

d

dr b

2, 0r = K2 r2 G G

d

dr m

1r m

1r

r4dr K 4 Cp

2, 0 #

Bereken de oplossing voor a 2, 0 en b 2, 0 .OPL_G[2,0]:=dsolve(eqns_G[2,0][1],eqns_G[2,0][2],eqns_G[2,0][3],a[2,0](r),b[2,0](r)):OPL_G[2,0]:=subs(_C1=C[aant_int_cst+1],_C2=C[aant_int_cst+2],_C3=C[aant_int_cst+3],OPL_G[2,0]):aant_int_cst:=aant_int_cst+3;

aant_int_cst := 14

a[2,0]:=unapply(rhs(OPL_G[2,0][1]),r);b[2,0]:=unapply(rhs(OPL_G[2,0][2]),r);

a2, 0

:= r/1

r34 r G2 m

1r

m1r

r2dr C 2 r G m

1r C

1C 4 G2 m

1r 2 K r C

13

75

O O

O O

O O

O O

O O

K 2 G2 r4

d

dr m

1r m

1r

r4dr C 8 G r4 Cp

2, 0 ! drCC

12

b2, 0

:= r/C

13

r

De (2,0)-vergelijkingen corresponderend met Kµ"

.

eqns_K[2,0]:=simplify(eqns_K[2,0]):for i from 1 to 3 do print(convert(eqns_K[2,0][i]/(alpha-1)^2,parfrac,alpha)) end do:

1

2

Kr d2

dr2 c

2, 0r K 2

d

dr c

2, 0r

K1 C# r= 0

K1

6 C

7 24 C

8 r3 C 7 C

7

r8C

d

dr d

2, 0r

K1 C#3 r

C1

6

1

K1 C# r648 r G

m1r

r2dr C

7

K 10 r G d

dr m

1r C

7C 24 C

7 G m

1r C 12

d

dr e

2, 0r r5

C 6 r6 d2

dr2 e

2, 0r C 3 r6

d2

dr2 c

2, 0r K 24 C

8 r4 G

d

dr m

1r

C

2 G2 3 m1r

d

dr m

1r rCm

1r 2 C 4 r2

m1r

r2dr

d

dr m

1r

K1 C#2 r4

= 0

1

18 K7 C

72 K 12 C

8 r3 C

7C 18 C

82 r6

r6C

1

2

r d

dr d

2, 0r C 2 d

2, 0r

K1 C#3

C1

6

1

K1 C# r42 C

7 G m

1r C 6 e

2, 0r r4 C 3 r5

d

dr c

2, 0r

K 5 r G d

dr m

1r C

7K 24 r4 G

m1r

r2dr C

8K 12 C

8 r4 G

d

dr m

1r

C 12 d

dr e

2, 0r r5 K 24 C

8 r3 G m

1r C 3 r6

d2

dr2 e

2, 0r C 8 r G

m1r

r2

dr C7

C1

K1 C#2 r2

G2 3 m1r

d

dr m

1r rC 4 m

1r 2 C 4 r2

m1r

r2dr

d

dr m

1r C 8 r

m1r

r2dr m

1r C 4 r2

m1r

r2dr

2

= 0

Bereken de oplossing voor c 2, 0 en d 2, 0 in functie van e 2, 0 .dsolve(eqns_K[2,0][1],eqns_K[2,0][2],eqns_K[2,0][3],d[2,0](r),c[2,0](r),e[2,0](r)):OPL_K[2,0]:=subs(_C1=C[aant_int_cst+1],_C2=C[aant_int_cst+2],_C3=C[aant_int_cst+3],%):aant_int_cst:=aant_int_cst+3;

Warning, it is required that the numerator of the given ODE depends on the highest derivative. Returning NULL.Warning, it is required that the numerator of the given ODE depends on the highest derivative. Returning NULL.

aant_int_cst := 17

isolate(OPL_K[2,0][2],m[1]);c[2,0]:=unapply(rhs(OPL_K[2,0][1]),r);

76

O O

O O

O O

d[2,0]:=unapply(Combine((alpha-1)^2*convert(simplify(value(Expand(rhs(OPL_K[1,1][3]))))/(alpha-1)^2,parfrac,alpha)),r);

0 = 0

c2, 0

:= r/C15CC

16

r

d2, 0

:= r

/2

3

1

K1 C!2 r

6 m1r

r2dr r2 C

d

dr m

1r r2 C 4 r m

1r dr

C K2 m

1r

r2dr r3 G

K1

6

6 e1, 1

r rC r3 C3C 6 r2

d

dr e

1, 1r C 6 C

9K 3 C

8 r3 C 4 C

7

r

C1

18

K72 G m

1r

r2dr r2 drK 3 r3 C

1K 4 C

7

K1 C! r K1 C!

2

77

Document A.9: Maple document dat de perturbatief berekende oplossing voor een massief scalair veld dat kop-pelt aan materie vergelijkt met de exacte oplossing om meer te weten te komen over de in deperturbatieve methode vrij gelaten integratieconstanten.

O O

O O

O O

O O

O O

O O

Exacte oplossing

De exacte oplossing van een massief scalair veld dat koppelt aan materie. Deze wordt tot slot ontwikkeld volgens m om een vergelijking mogelijk te maken met de perturbatieve oplossing.

restart

ODE d diff ! r , r, r C2

rdiff ! r , r Km2! r = 4 " G # r ;

ODE :=d2

dr2 ! r C

2 d

dr ! r

rKm2 ! r = 4 " G # r

!in

d r/ c1

exp Km r

rCc

2 exp m r

r K

4 " G #0

m2;

!out

d r/ d

1 exp Km r

r C

d2

exp m r

r;

!in

:= r/c

1 eKm r

rCc

2 em r

rK

4 " G #0

m2

!out

:= r/d

1 eKm r

rCd

2 em r

r

Berekening van de integratieconstanten uit de randvoorwaarden.

RVWd !inr0 = !

outr0 , D !

inr0 = D !

outr0 , op 2, 1 , limit D !

inr , r

= 0 = 0

RVW :=c

1 eKm r0

r0Cc

2 em r0

r0K

4 " G #0

m2=d

1 eKm r0

r0Cd

2 em r0

r0, Kc

1 m eKm r0

r0Kc

1 eKm r0

r02

Cc

2 m em r0

r0Kc

2 em r0

r02= K

d1 m eKm r0

r0Kd

1 eKm r0

r02Cd

2 m em r0

r0Kd

2 em r0

r02, c

1C c

2= 0

opld solve RVW , c1, c

2, d

1;

c1d expand rhs opl 1 ;

c2d expand rhs opl 2 ;

d1d expand rhs opl 3 ;

opl := c1

= Kd

2 m3 em r0C 2 m " G #

0 r0C 2 " G #

0

m3 em r0, c

2

=d

2 m3 em r0C 2 m " G #

0 r0C 2 " G #

0

m3 em r0, d

1=

K1

eKm r0 m3 em r02 em r0 m " G #

0 r0K 2 em r0 " G #

0C eKm r0 d

2 m3 em r0

C 2 eKm r0 m " G #0 r0C 2 eKm r0 " G #

0

c1

:= Kd2K

2 " G #0 r0

m2 em r0K

2 " G #0

m3 em r0

c2

:= d2C

2 " G #0 r0

m2 em r0C

2 " G #0

m3 em r0

d1

:= K2 em r0 " G #

0 r0

m2C

2 em r0 " G #0

m3K d

2K

2 " G #0 r0

m2 em r0K

2 " G #0

m3 em r0

limit expand simplify !outr , r =N = 0;

78

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

d2d 0;

limr/N

K2 em r0 ! G "

0 r0

m2 r em rC

2 em r0 ! G "0

m3 r em rK

d2

r em rK

2 ! G "0 r0

m2 r em r em r0K

2 ! G "0

m3 r em r em r0

Cd

2 em r

r= 0

d2

:= 0

Ontwikkeling volgens m ter vergelijking met de perturbatieve oplossing.

expand series #inr , m, 8 ;

2

3 ! G "

0 r2 K 2 r02 ! G "

0C

4

3 r03 ! G "

0 mC K

1

3 r02 ! G "

0 r2 K

1

2 r04 ! G "

0

C1

30 ! G "

0 r4 m2 C

2

9 r03 ! G "

0 r2 C

2

15 r05 ! G "

0 m3 C

1

1260 ! G "

0 r6

K1

12 r04 ! G "

0 r2 K

1

36 r06 ! G "

0K

1

60 r02 ! G "

0 r4 m4 CO m5

expand series #outr , m, 8 ;

K4

3 r03 ! G "

0

rC

4

3 r03 ! G "

0 mC K

2

3 r03 ! G "

0 rK

2

15 r05 ! G "

0

r m2

C2

9 r03 ! G "

0 r2 C

2

15 r05 ! G "

0 m3 C K

1

18 r03 ! G "

0 r3 K

1

15 r05 ! G "

0 r

K1

210 r07 ! G "

0

r m4 CO m5

Perturbatieve oplossing tot op eerste orde in m2

restart

Opsplitsing van de nulde orde differentiaalvergelijking in het geval voor r! r0 en dat voor rO r

0.

"d r/"0;

" := r/"0

ODE1 d diff #0inr , r, r C

2

rdiff #0

inr , r = 4 ! G " r

ODE1 :=d2

dr2 #0

inr C

2 d

dr #0

inr

r= 4 ! G "

0

"d r/0;

" := r/0

ODE2 d diff #0outr , r, r C

2

rdiff #0

outr , r = 4 ! G " r

ODE2 :=d2

dr2 #0

outr C

2 d

dr #0

outr

r= 0

sold dsolve ODE1, ODE2 , #0inr , #0

outr ;

#0ind unapply rhs sol 1 , r ;

#0out

d unapply rhs sol 2 , r ;

sol := #0inr =

1

3

2 ! G "0 r3 K 3 _C1C 3 _C2 r

r, #0

outr = _C3C

_C4

r

79

O O

O O

O O

O O

O O

O O

O O

!0in

:= r/1

3

2 " G #0 r3 K 3 _C1C 3 _C2 r

r

!0out

:= r/_C3C_C4

r

Berekening van de integratieconstanten uit de randvoorwaarden. _C3 blijft vrij.

RVWd !0inr0 = !0

outr0 , D !0

inr0 = D !0

outr0 , op 1, 1 ,

limit D !0in

r , r = 0 = 0;

RVW :=1

3

2 " G #0 r03 K 3 _C1C 3 _C2 r0

r0= _C3C

_C4

r0,

1

3

6 " G #0 r02 C 3 _C2

r0

K1

3

2 " G #0 r03 K 3 _C1C 3 _C2 r0

r02= K

_C4

r02, _C1 = 0

opld solve RVW , _C1, _C2, _C3, _C4 ;

opl := _C1 = 0, _C2 = _C3K 2 " G #0 r02, _C3 = _C3, _C4 = K

4

3 " G #

0 r03

sold subs opl, sol ;

!0ind unapply rhs sol 1 , r ;

!0out

d unapply rhs sol 2 , r ;

sol :=1

3

2 " G #0 r3 C 3 _C3K 2 " G #

0 r02 r

r

=1

3

2 " G #0 r3 C 3 _C3K 2 " G #

0 r02 r

r, _C3K

4

3 " G #

0 r03

r= _C3

K4

3 " G #

0 r03

r

!0in

:= r/1

3

2 " G #0 r3 C 3 _C3K 2 " G #

0 r02 r

r

!0out

:= r/_C3K4

3 " G #

0 r03

r

Opsplitsing van de eerste orde differentiaalvergelijking in het geval voor r! r0 en dat voor rO r

0.

ODE1 d diff !1inr , r, r C

2

rdiff !1

inr , r K !0

inr = 0

ODE1 :=d2

dr2 !1

inr C

2 d

dr !1

inr

rK

1

3

2 " G #0 r3 C 3 _C3K 2 " G #

0 r02 r

r= 0

ODE2 d diff !1outr , r, r C

2

rdiff !1

outr , r K !0

outr = 0

ODE2 :=d2

dr2 !1

outr C

2 d

dr !1

outr

rK _C3C

4

3 " G #

0 r03

r= 0

sold dsolve ODE1, ODE2 , !1inr , !1

outr ;

!1ind unapply rhs sol 1 , r ;

!1out

d unapply rhs sol 2 , r ;

sol := !1inr =

1

30 " G #

0 r5 K 10 r3 " G #

0 r02 C 5 r3 _C3K 30 _C4C 30 _C5 r

r, !1

outr =

80

O O

O O

O O

O O

O O

K1

6 Kr3 _C3C 6 _C6C 4 ! G "

0 r03 r2 K 6 _C7 r

r

#1in

:= r/1

30 ! G "

0 r5 K 10 r3 ! G "

0 r02 C 5 r3 _C3K 30 _C4C 30 _C5 r

r

#1out

:= r/K1

6 Kr3 _C3C 6 _C6C 4 ! G "

0 r03 r2 K 6 _C7 r

r

Berekening van de integratieconstanten uit de randvoorwaarden. _C7 blijft vrij.

RVWd #1inr0 = #1

outr0 , D #1

inr0 = D #1

outr0 , op 1, 1 ,

limit D #1in

r , r = 0 = 0;

RVW :=1

30 K9 ! G "

0 r05 C 5 r03 _C3K 30 _C4C 30 _C5 r0

r0=

K1

6 Kr03 _C3C 6 _C6C 4 ! G "

0 r05 K 6 _C7 r0

r0,

1

30 K25 ! G "

0 r04 C 15 r02 _C3C 30 _C5

r0

K1

30 K9 ! G "

0 r05 C 5 r03 _C3K 30 _C4C 30 _C5 r0

r02=

K1

6 K3 r02 _C3C 8 ! G "

0 r04 K 6 _C7

r0

C1

6 Kr03 _C3C 6 _C6C 4 ! G "

0 r05 K 6 _C7 r0

r02, _C4 = 0

opld solve RVW , _C3, _C4, _C5, _C6, _C7 ;

opl := _C3 = _C3, _C4 = 0, _C5 = _C7K1

2 ! G "

0 r04, _C6 =

2

15 ! G "

0 r05, _C7 = _C7

#1ind unapply subs opl, #1

inr , r ;

#1out

d unapply subs opl, #1outr , r ;

#1in

:= r/1

30

! G "0 r5 K 10 r3 ! G "

0 r02 C 5 r3 _C3C 30 _C7K

1

2 ! G "

0 r04 r

r

#1out

:= r/K1

6

Kr3 _C3C4

5 ! G "

0 r05 C 4 ! G "

0 r03 r2 K 6 _C7 r

r

De gevonden oplossingen tot op eerste orde in m2. Vergelijking met de hierboven ontwikkelde exacte oplossing levert de exacte waarden voor _C3 en _C7 die niet konden worden bepaald met de perturbatieve methode. Ze blijken van de orde m te zijn.

expand simplify #0inr Cm2 #1

inr Cm4 #2

inr ;

series expand simplify subs _C3 =4

3G ! r

03 "

0 m, _C7 =

2

15r05 ! G "

0m , % , m,

4 ;

2

3 ! G "

0 r2 C _C3K 2 ! G "

0 r02 C

1

30 m2 ! G "

0 r4 K

1

3 m2 r2 ! G "

0 r02 C

1

6 m2 r2 _C3

Cm2 _C7K1

2 m2 ! G "

0 r04 Cm4 #2

inr

2

3 ! G "

0 r2 K 2 ! G "

0 r02 C

4

3 G ! r

03 "

0 mC

1

30 ! G "

0 r4 K

1

3 r2 ! G "

0 r02

81

O O

O O

O O

K1

2 ! G "

0 r04 m2 C

2

9 r2 G ! r

03 "

0C

2

15 r

05 ! G "

0 m3 CO m4

expand simplify #0outr Cm2 #1

outr Cm4 #2

outr ;

series expand simplify subs _C3 =4

3G ! r

03 "

0 m, _C7 =

2

15r05 ! G "

0m , % , m,

4 ;

_C3K4

3 ! G "

0 r03

rC

1

6 m2 r2 _C3K

2

15 m2 ! G "

0 r05

rK

2

3 r m2 ! G "

0 r03 Cm2 _C7

Cm4 #2outr

K4

3 ! G "

0 r03

rC

4

3 G ! r

03 "

0 mC K

2

15 ! G "

0 r05

rK

2

3 ! G "

0 r03 r m2 C

2

9 r2 G !

r03 "

0C

2

15 r

05 ! G "

0 m3 CO m4

82

Document A.10: Maple code en output voor het oplossen van de dubbele perturbatie voor T (m)µν 6= 0 voor een

compacte massa. De niet zichtbare code is identiek als het begin van het algemene geval indocument A.8

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

restart:

with(LinearAlgebra):

with(PDETools):

read "Procedures":

Beg

inco

nd

itie

s

Voorb

erei

din

g

Op

stel

len

van

de

op

te

loss

en v

ergel

ijk

ingen

Ber

eken

en v

an

de

ran

dvoorw

aard

en v

an

de

ver

sch

ille

nd

e op

te

loss

en s

tels

els

Hie

ron

der

de

bep

alin

g v

an d

e ra

nd

vo

orw

aard

en d

ie e

r v

oo

r zo

rgen

dat

er,

bij

het

geb

ruik

van

een

stu

ksg

ewij

ze f

un

ctie

als

mas

sav

erd

elin

g,

gee

n D

irac

-!-

dis

trib

uti

es (

en a

fgel

eid

en)

te v

oo

rsch

ijn

ko

men

. O

m d

e o

plo

ssin

gen

te

vin

den

sch

rijv

en w

e n

amel

ijk

elk

e fu

nct

ie fi,j

oo

k a

ls e

en s

tuk

sgew

ijze

fu

nct

ie:

fi,jr

=f si,jr

Hr 0Kr

C fbi,jr

HrKr 0

. O

m d

e h

ierd

oo

r v

ersc

hij

nen

de

dis

trib

uti

es w

eg t

e w

erk

en,

wo

rden

de

coëf

fici

ënte

n v

an !rKr 0

en !

'rKr 0

nu

l g

este

ld i

n r

0.

Dit

ko

mt

er o

p n

eer

dat

all

e co

rrec

ties

go

ed m

oet

en g

edef

inië

erd

zij

n i

n r

0

fsi,jr 0

=f bi,jr 0

e

n o

ok

een

aan

tal

afg

elei

den

van

co

rrec

ties

mo

eten

dat

zij

n i

n r

0 df si,j

dr

r 0=df bi,j

dr

r 0.

De

uit

dru

kk

ing

en v

oo

r f si,jr

en

fbi,jr

die

hie

rvo

or

no

dig

zij

n,

zijn

te

vin

den

do

or

de i,j

-ver

gel

ijk

ing

en o

p t

e lo

ssen

vo

or r!r 0

en

rOr 0

afz

on

der

lijk

.

assume(rho0>0,0<r_s,r_s<r0,r0<r_b):

rho[1](r)=piecewise(r<r0,rho0,r>r0,0);

"1r

="0

r!r0

0r0

!r

for i from 1 to 2 do

for j from 0 to 2 do

a:='a': b:='b': c:='c': d:='d': e:='e': p:='p':

a[i,j]:=r->a_s[i,j](r)*Heaviside(r0-r)+a_b[i,j](r)*Heaviside(r-r0):

b[i,j]:=r->b_s[i,j](r)*Heaviside(r0-r)+b_b[i,j](r)*Heaviside(r-r0):

c[i,j]:=r->c_s[i,j](r)*Heaviside(r0-r)+c_b[i,j](r)*Heaviside(r-r0):

d[i,j]:=r->d_s[i,j](r)*Heaviside(r0-r)+d_b[i,j](r)*Heaviside(r-r0):

e[i,j]:=r->e_s[i,j](r)*Heaviside(r0-r)+e_b[i,j](r)*Heaviside(r-r0):

p[i,j]:=r->p_s[i,j](r)*Heaviside(r0-r)+p_b[i,j](r)*Heaviside(r-r0):

isolate(eqns_G[i,j][1],Dirac(r0-r)):

RVW_G[i,j]:=Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

isolate(eqns_G[i,j][2],Dirac(r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

83

O

O

O

O

O

O

RVW_G[i,j]:=RVW_G[i,j],%:

isolate(eqns_G[i,j][3],Dirac(r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_G[i,j]:=RVW_G[i,j],%:

isolate(eqns_G[i,j][3],Dirac(1,r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_G[i,j]:=RVW_G[i,j],%:

isolate(eqns_K[i,j][1],Dirac(r0-r)):

RVW_K[i,j]:=Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

isolate(eqns_K[i,j][2],Dirac(r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_K[i,j]:=RVW_K[i,j],%:

isolate(eqns_K[i,j][3],Dirac(r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_K[i,j]:=RVW_K[i,j],%:

isolate(eqns_K[i,j][1],Dirac(1,r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_K[i,j]:=RVW_K[i,j],%:

isolate(eqns_K[i,j][2],Dirac(1,r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_K[i,j]:=RVW_K[i,j],%:

isolate(eqns_K[i,j][3],Dirac(1,r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_K[i,j]:=RVW_K[i,j],%:

end do:

end do:

Als

vo

orb

eeld

de

ran

dv

oo

rwaa

rden

vo

or

de

(1,0

)-v

erg

elij

kin

gen

:for i from 1 to 4 do print(RVW_G[1,0][i]) end do:

r b_s 1

,0r

Kb_b

1,0r

r=r0

=0

r a_s 1

,0r

Ka_b

1,0r

r=r0

=0

b_s 1

,0r

Kb_b

1,0r

C2

r

d dr

a_s 1

,0r

K2

r

d dr

a_b

1,0r

Ca_s 1

,0r

Ka_b

1,0r

r=r0

=0

r a_s 1

,0r

Ka_b

1,0r

r=r0

=0

for i from 1 to 6 do print(Eval(sort((alpha-1)^2*convert(simplify(op([1,1],RVW_K[1,0][i]))/

(alpha-1)^2,parfrac,alpha)),r=r0)=0) end do:

!K

1

K2

r

d dr

c_b

1,0r

C2

r

d dr

c_s 1

,0r

K2

c_b

1,0r

C2

c_s 1

,0r

r=r0

=0

84

O

O

O

O

1!K

12

K2

r

d dr

c_b

1,0r

C2

r

d dr

c_s 1

,0r

K4

r

d dr

e_b

1,0r

C4

r

d dr

e_s 1

,0r

K4

e_b

1,0r

C4

e_s 1

,0r

CK

2 d_b

1,0r

C2

d_s 1

,0r

!K

12

r=r0

=0

1!K

12

K2

r

d dr

e_b

1,0r

C2

r

d dr

e_s 1

,0r

Kc_b

1,0r

Cc_s 1

,0r

K4

e_b

1,0r

C4

e_s 1

,0r

r

CKd_b

1,0r

Cd_s 1

,0r

r

!K

12

r=r0

=0

!K

1 Kc_b

1,0r

Cc_s 1

,0r

r

r=r0

=0

!K

12 Kc_b

1,0r

Cc_s 1

,0r

K2

e_b

1,0r

C2

e_s 1

,0r

r

r=r0

=0

!K

12 Ke_b

1,0r

Ce_s 1

,0r

r2

r=r0

=0

Oo

k o

m b

eho

ud

van

bar

yo

nis

che

ener

gie

te

bek

om

en m

oet

en d

e co

ëffi

ciën

ten

van

de

dis

trib

uti

es n

ul

zijn

in

r0.

a:='a': b:='b': c:='c': d:='d': e:='e': p:='p':

p_1:=r->p_1_s(r)*Heaviside(r0-r)+p_1_b(r)*Heaviside(r-r0):

isolate(EQNS_p[1],Dirac(r0-r)):

RVW_p:=Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

p_1:='p_1':

p_2:=r->p_2_s(r)*Heaviside(r0-r)+p_2_b(r)*Heaviside(r-r0):

isolate(EQNS_p[2],Dirac(r0-r)):

Eval(factor(denom(rhs(%))),r=r0)=0;

RVW_p:=RVW_p,%:

p_2:='p_2':

RVW_p

:=!K

1

K3C

3 !

Cr2

1 l

2

p_1_sr

Kp_1_br

r=r0

=0

2 !K

14

K3C

3 !

Cr2

1 l

25

p_2_sr

Kp_2_br

r=r0

=0

85

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

Bep

aal pr

met

beh

ulp

van

beh

ou

d v

an

bary

on

isch

e en

ergie

Bep

ali

ng

va

n p

1r

rho[1]:=r->piecewise(r<r0,rho0,r>r0,0):

p1r

is

vo

or

een

co

mp

acte

mas

sa e

xac

t te

bep

alen

. D

e o

plo

ssin

g i

s ec

hte

r af

han

kel

ijk

van

1 l2

, w

at b

etek

ent

dat

we p

1 z

ull

en m

oet

en o

ntw

ikk

elen

ron

d

1 l2 o

m d

e af

zon

der

lijk

e te

rmen

te

ku

nn

en g

ebru

iken

bij

het

op

loss

en v

an d

e st

else

ls.

p_1:=r->p_1_s(r)*Heaviside(r0-r)+p_1_b(r)*Heaviside(r-r0):

EQNS_p_s[1]:=eval(EQNS_p[1],r=r_s):

EQNS_p_b[1]:=eval(EQNS_p[1],r=r_b):

p_1_s:=unapply(subs(_C1=Cp_s[1],rhs(dsolve(EQNS_p_s[1],p_1_s(r_s)))),r_s);

p_1_b:=unapply(subs(_C1=Cp_b[1],rhs(dsolve(EQNS_p_b[1],p_1_b(r_b)))),r_b);

p_1_s

:=r_s/

K!0C

Cp_s 1

3 "

K3Cr_s2

1 l

2

p_1_b

:=r_b/

Cp_b

1

3 "

K3Cr_b

2

1 l

2

Bep

aal

één

van

de

twee

co

nst

ante

n a

an d

e h

and

van

de

ran

dv

oo

rwaa

rde ps1r 0

=pb1r 0

.

value(RVW_p[1]);

Cp_s[1]:=solve(%,Cp_s[1]);

"K

1

K3C

3 "

Cr0

2

1 l

2

K!0C

Cp_s 1

K3C

3 "

Cr0

2

1 l

2K

Cp_b

1

K3C

3 "

Cr0

2

1 l

2=

0

Cp_s 1

:=!0

K

3C

3 "

Cr0

2

1 l

2

CCp_b

1

Bu

iten

de

com

pac

te m

assa

mag

er

gee

n b

ary

on

isch

e d

ruk

te

vo

elen

zij

n.

Daa

rom

mo

et pb1r

=0

en

du

s o

ok

pb1r 0

=0

.

p_1_b(r0)=0;

Cp_b[1]:=solve(%,Cp_b[1]);

86

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

Cp_b

1

K3C

3 !

Cr0

2

1 l

2=

0

Cp_b

1:=

0

p_s[1,0]:=unapply(coeff(series(p_1_s(r),inv_l),inv_l,0),r);

p_b[1,0]:=r->0;

p_s[1,1]:=unapply(coeff(series(p_1_s(r),inv_l),inv_l,2),r);

p_b[1,1]:=r->0;

p_s[1,2]:=unapply(coeff(series(p_1_s(r),inv_l),inv_l,4),r);

p_b[1,2]:=r->0;

p_s 1

,0

:=r/

0

p_b

1,0

:=r/

0

p_s 1

,1

:=r/

1 2

"0

r0

2

K3C

3 !

K1 2

r2

"0

K3C

3 !

p_b

1,1

:=r/

0

p_s 1

,2

:=r/

K1 8

"0

r0

4

K3C

3 !

2C

3 8

r4 "0

K3C

3 !

2K

1 4 r2

"0

r0

2

K3C

3 !

2

p_b

1,2

:=r/

0

Bep

ali

ng

va

n p2r

p_2:=r->p_2_s(r)*Heaviside(r0-r)+p_2_b(r)*Heaviside(r-r0):

EQNS_p_s[2]:=eval(EQNS_p[2],r=r_s):

EQNS_p_b[2]:=eval(EQNS_p[2],r=r_b):

Oo

k d

e ex

acte

uit

dru

kk

ing

vo

or p

2r

mo

et o

ntw

ikk

eld

wo

rden

vo

lgen

s 1 l2

, m

aar

weg

ens

de a

1-a

fhan

kel

ijk

hei

d,

kan

dit

pas

geb

eure

n n

a h

et

bep

alen

van

a1r

.p_2_s:=unapply(subs(_C1=Cp_s[2],rhs(dsolve(EQNS_p_s[2],p_2_s(r_s)))),r_s);

p_2_b:=unapply(subs(_C1=Cp_b[2],rhs(dsolve(EQNS_p_b[2],p_2_b(r_b)))),r_b);

p_2_s

:=r_s/

Cp_s 2

3 !

K3Cr_s2

1 l

2K

3 2

K3C

3 !

Cr0

2

1 l

2

"0

!K

1 a

1,0r_s

C1 l

2

a1,1r_s

C1 l

4

a1,2r_s

3 !

K3Cr_s2

1 l

23

/2

87

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

p_2_b

:=r_b/

Cp_b

2

3 !

K3Cr_b

2

1 l

2

simplify(value(RVW_p[2])):

Cp_s[2]:=solve(%,Cp_s[2]);

Cp_s 2

:=1 2

1

K3C

3 !

Cr0

2

1 l

23

K

3C

3 !

Cr0

2

1 l

2

"0

! a

1,0r0

C3

K

3C

3 !

Cr0

2

1 l

2

"0

!

1 l

2

a1,1r0

C3

K

3C

3 !

Cr0

2

1 l

2

"0

!

1 l

4

a1,2r0

K3

K

3C

3 !

Cr0

2

1 l

2

"0

a1,0r0

K3

K

3C

3 !

Cr0

2

1 l

2

"0

1 l

2

a1,1r0

K3

K

3C

3 !

Cr0

2

1 l

2

"0

1 l

4

a1,2r0

K6

Cp_b

2C

6 Cp_b

2 !

C2

Cp_b

2 r0

2

1 l

2

p_2_b(r0)=0:

Cp_b[2]:=solve(%,Cp_b[2]);

Cp_b

2:=

0

Ber

eken

de

op

loss

ing t

ot

op

eer

ste

ord

e in

!

Zo

ek d

e o

plo

ssin

g t

ot

op

nu

lde

ord

e in

1 l2

Stu

ksg

ewij

ze d

efin

itie

s v

an f

1,0r

:a[1,0]:=r->a_s[1,0](r)*Heaviside(r0-r)+a_b[1,0](r)*Heaviside(r-r0):

b[1,0]:=r->b_s[1,0](r)*Heaviside(r0-r)+b_b[1,0](r)*Heaviside(r-r0):

c[1,0]:=r->c_s[1,0](r)*Heaviside(r0-r)+c_b[1,0](r)*Heaviside(r-r0):

d[1,0]:=r->d_s[1,0](r)*Heaviside(r0-r)+d_b[1,0](r)*Heaviside(r-r0):

e[1,0]:=r->e_s[1,0](r)*Heaviside(r0-r)+e_b[1,0](r)*Heaviside(r-r0):

p[1,0]:=r->p_s[1,0](r)*Heaviside(r0-r)+p_b[1,0](r)*Heaviside(r-r0):

Op

spli

tsen

van

het

ste

lsel

in

één

vo

or r!r 0

en

één

vo

or rOr 0

:

eqns_G_s[1,0]:=eval(eqns_G[1,0],r=r_s):

eqns_G_b[1,0]:=eval(eqns_G[1,0],r=r_b):

eqns_K_s[1,0]:=eval(eqns_K[1,0],r=r_s):

88

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

eqns_K_b[1,0]:=eval(eqns_K[1,0],r=r_b):

Op

loss

en v

an h

et s

tels

el:

OPL_s[1,0]:=dsolve(op(eqns_G_s[1,0]),op(eqns_K_s[1,0]),a_s[1,0](r_s),b_s[1,0](r_s),c_s[1,0]

(r_s),d_s[1,0](r_s),e_s[1,0](r_s)):

OPL_s[1,0]:=subs(_C1=C_s[1],_C2=C_s[2],_C3=C_s[3],_C4=C_s[4],OPL_s[1,0]);

OPL_b[1,0]:=dsolve(op(eqns_G_b[1,0]),op(eqns_K_b[1,0]),a_b[1,0](r_b),b_b[1,0](r_b),c_b[1,0]

(r_b),d_b[1,0](r_b),e_b[1,0](r_b)):

OPL_b[1,0]:=subs(_C1=C_b[1],_C2=C_b[2],_C3=C_b[3],_C4=C_b[4],OPL_b[1,0]);

aant_int_cst:=4:

OPL_s 1

,0

:=a_s 1

,0r_s

=4 3

! G

"0

r_s2CC_s 2

r_s

CC_s 1

,b_s 1

,0r_s

=K

1 3

8 !

G "0

r_s3K

3 C_s 2

r_s

,c_s 1

,0r_s

=C_s 3CC_s 4

r_s

,d_s 1

,0r_s

=

K

#K

12 e_s 1

,0r_s

r_sCr_s2

d

dr_s

e_s 1

,0r_s

KC_s 4

r_s

,e_s 1

,0r_s

=e_s 1

,0r_s

OPL_b

1,0

:=a_b

1,0r_b

=C_b

2

r_b

CC_b

1,b_b

1,0r_b

=C_b

2

r_b

,c_b

1,0r_b

=C_b

3CC_b

4

r_b

,d_b

1,0r_b

=

K

#K

12 e_b

1,0r_b

r_bCr_b

2

d

dr_b

e_b

1,0r_b

KC_b

4

r_b

,e_b

1,0r_b

=e_b

1,0r_b

e1,0r

bli

jft

vo

orl

op

ig o

nb

epaa

ld.

In d

e v

olg

end

e o

rde

vo

or

1 l2 z

al e

1,0

bep

aald

wo

rden

do

or

het

Gµ$-s

tels

el.

Dit

fen

om

een

zal

vo

or

ei,jr

ste

eds

teru

gk

om

en (

oo

k v

oo

r tw

eed

e o

rde

in %

).

a_s[1,0]:=unapply(rhs(OPL_s[1,0][1]),r_s):

a_b[1,0]:=unapply(rhs(OPL_b[1,0][1]),r_b):

b_s[1,0]:=unapply(rhs(OPL_s[1,0][2]),r_s):

b_b[1,0]:=unapply(rhs(OPL_b[1,0][2]),r_b):

c_s[1,0]:=unapply(rhs(OPL_s[1,0][3]),r_s):

c_b[1,0]:=unapply(rhs(OPL_b[1,0][3]),r_b):

d_s[1,0]:=unapply(rhs(OPL_s[1,0][4]),r_s):

d_b[1,0]:=unapply(rhs(OPL_b[1,0][4]),r_b):

De

ran

dv

oo

rwaa

rden

ter

ver

dw

ijn

ing

van

de

dis

trib

uti

eco

ëffi

ciën

ten

. D

e v

oo

rwaa

rden

die

iet

s v

erte

llen

ov

er e

1,0r

(d

us

oo

k d

ie i

n v

erb

and

met

d1,0r

)ku

nn

en n

iet

geb

ruik

t w

ord

en,

om

dat

e1,0r

no

g v

rij

is.

RVW:=simplify(value(RVW_G[1,0],RVW_K[1,0][1],RVW_K[1,0][4]));

RVW

:=K

2 #K

1 KC_s 3CC_b

3=

0,K

#K

1 C_b

3 r0CC_b

4KC_s 3

r0KC_s 4

=0

,4

! G

"0

r0

2CC_s 1KC_b

1=

0,K

8 3 !

G "0

r0

3

CC_s 2KC_b

2=

0,

4 3 !

G "0

r0

3CC_s 2CC_s 1

r0KC_b

2KC_b

1 r0

=0

89

O

O

O

O O

O

O

O

Vie

r co

nst

ante

n k

un

nen

a.d

.h.v

. d

eze

ran

dv

oo

rwaa

rden

wo

rden

bep

aald

.opl:=solve(RVW,C_s[1],C_s[2],C_s[3],C_s[4]);

C_s[1]:=rhs(opl[1]):

C_s[2]:=rhs(opl[2]):

C_s[3]:=rhs(opl[3]):

C_s[4]:=rhs(opl[4]):

opl

:=C_s 1

=K

4 !

G "0

r0

2CC_b

1,C_s 2

=8 3

! G

"0

r0

3CC_b

2,C_s 3

=C_b

3,C_s 4

=C_b

4

Met

limr/

0 fi,jr

s N

en

limr/

0 dfi,j

dr

r =

0 k

un

nen

no

g t

wee

in

teg

rati

eco

nst

ante

n w

ord

en b

epaa

ld.

limit(diff(a_s[1,0](r),r),r=0)=0;

op([1,1,1],%)=0;

C_b[2]:=solve(%,C_b[2]);

limit(diff(b_s[1,0](r),r),r=0)=0;

limit(diff(c_s[1,0](r),r),r=0)=0;

op([1,2,1],%)=0;

C_b[4]:=solve(%,C_b[4]);

limit(a_s[1,0](r),r=0)<>infinity;

limit(b_s[1,0](r),r=0)<>infinity;

limit(c_s[1,0](r),r=0)<>infinity;

limit(d_s[1,0](r),r=0)<>infinity;

sig

nu

mK

8 3 !

G "0

r0

3KC_b

2 N

=0

K8 3

! G

"0

r0

3KC_b

2=

0

C_b

2:=

K8 3

! G

"0

r0

3

0=

0

Ksi

gn

umC_b

4 N

=0

C_b

4=

0

C_b

4:=

0

K4

! G

"0

r0

2CC_b

1s

N

0s

N

C_b

3s

N

K#K

12 e_s 1

,0

0s

N

90

O

O

O

O

O

O O

O

Zo

als

wo

rdt

uit

gel

egd

in

ho

ofd

stu

k 3

, zi

jn d

e o

ver

geb

lev

en n

iet

te b

epal

en c

on

stan

ten

die

gen

e d

ie v

ia

lim

r/

N fir

=0

en

li

mr/

N dfi

dr

r =

0 h

add

en

mo

eten

vas

tgel

egd

wo

rden

. W

egen

s d

e re

den

erin

gen

die

daa

r o

ok

wo

rden

uit

gel

egd

is aN1,0

~ GM l

en

het

zelf

de

vo

or c N

1,0

. D

e in

de

uit

dru

kk

ing

en

hie

ron

der

geb

ruik

te w

aard

en v

an a

N1,0

en

cN1,0

zij

n d

us

van

de

gro

teo

rde

10

0.

alias(a[infinity][1,0]=a_inf[1,0]): alias(c[infinity][1,0]=c_inf[1,0]):

C_b[1]:=a_inf[1,0]*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b[3]:=c_inf[1,0]*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b

1:=

4 3 a

N1,0

1 l G

!0

r0

3 "

C_b

3:=

4 3 cN

1,0

1 l G

!0

r0

3 "

a[1,0]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(a[1,0](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

b[1,0]:=unapply(simplify(convert(simplify(b[1,0](r)),piecewise,r)),r):

c[1,0]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(c[1,0](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

a[1,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(a[1,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(a[1,0](r_b),r_b=r)),r):

b[1,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(b[1,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(b[1,0](r_b),r_b=r)),r):

c[1,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(c[1,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(c[1,0](r_b),r_b=r)),r):

'a[1,0](r)'=a[1,0](r);

'b[1,0](r)'=b[1,0](r);

'c[1,0](r)'=c[1,0](r);

a1,0r

=

4 3 "

G !0

r2

K3

r0

2C

4 3 "

G !0

aN

1,0 r0

3

1 lr!r0

K8 3

"

G !0

r0

3

rC

4 3 "

G !0

aN

1,0 r0

3

1 lr0

%r

b1,0r

=

K8 3

" G

!0

r2

r!r0

K8 3

"

G !0

r0

3

rr0

%r

c 1,0r

=

4 3 cN

1,0 G

!0

r0

3 "

1 l

r!r0

4 3 cN

1,0 G

!0

r0

3 "

1 l

r0%r

91

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

Zo

ek d

e o

plo

ssin

g t

ot

op

eer

ste

ord

e in

1 l2

Vo

or

alle

vo

lgen

de

ord

es i

s d

e g

ebru

ikte

Map

le-c

od

e an

alo

og

aan

de

ord

e (1

,0).

En

kel

de

bel

ang

rijk

ste

resu

ltat

en w

ord

en n

og

wee

rgeg

even

.a[1,1]:=r->a_s[1,1](r)*Heaviside(r0-r)+a_b[1,1](r)*Heaviside(r-r0):

b[1,1]:=r->b_s[1,1](r)*Heaviside(r0-r)+b_b[1,1](r)*Heaviside(r-r0):

c[1,1]:=r->c_s[1,1](r)*Heaviside(r0-r)+c_b[1,1](r)*Heaviside(r-r0):

d[1,1]:=r->d_s[1,1](r)*Heaviside(r0-r)+d_b[1,1](r)*Heaviside(r-r0):

e[1,1]:=r->e_s[1,1](r)*Heaviside(r0-r)+e_b[1,1](r)*Heaviside(r-r0):

p[1,1]:=r->p_s[1,1](r)*Heaviside(r0-r)+p_b[1,1](r)*Heaviside(r-r0):

eqns_G_s[1,1]:=eval(eqns_G[1,1],r=r_s):

eqns_G_b[1,1]:=eval(eqns_G[1,1],r=r_b):

eqns_K_s[1,1]:=eval(eqns_K[1,1],r=r_s):

eqns_K_b[1,1]:=eval(eqns_K[1,1],r=r_b):

OPL_s[1,1]:=dsolve(op(eqns_G_s[1,1]),eqns_K_s[1,1][1],eqns_K_s[1,1][2],eqns_K_s[1,1][3],

simplify(eqns_K_s[1,1][4]/sin(theta)^2),a_s[1,1](r_s),b_s[1,1](r_s),c_s[1,1](r_s),d_s[1,1]

(r_s),e_s[1,0](r_s),e_s[1,1](r_s)):

OPL_s[1,1]:=subs(_C1=C_s[aant_int_cst+1],_C2=C_s[aant_int_cst+2],_C3=C_s[aant_int_cst+3],_C4=

C_s[aant_int_cst+4],_C5=C_s[aant_int_cst+5],_C6=C_s[aant_int_cst+6],OPL_s[1,1]):

OPL_b[1,1]:=dsolve(op(eqns_G_b[1,1]),eqns_K_b[1,1][1],eqns_K_b[1,1][2],eqns_K_b[1,1][3],

simplify(eqns_K_b[1,1][4]/sin(theta)^2),a_b[1,1](r_b),b_b[1,1](r_b),c_b[1,1](r_b),d_b[1,1]

(r_b),e_b[1,0](r_b),e_b[1,1](r_b)):

OPL_b[1,1]:=subs(_C1=C_b[aant_int_cst+1],_C2=C_b[aant_int_cst+2],_C3=C_b[aant_int_cst+3],_C4=

C_b[aant_int_cst+4],_C5=C_b[aant_int_cst+5],_C6=C_b[aant_int_cst+6],OPL_b[1,1]):

aant_int_cst:=aant_int_cst+6:

a_s[1,1]:=unapply(rhs(OPL_s[1,1][1]),r_s):

a_b[1,1]:=unapply(rhs(OPL_b[1,1][1]),r_b):

b_s[1,1]:=unapply(rhs(OPL_s[1,1][2]),r_s):

b_b[1,1]:=unapply(rhs(OPL_b[1,1][2]),r_b):

c_s[1,1]:=unapply(rhs(OPL_s[1,1][3]),r_s):

c_b[1,1]:=unapply(rhs(OPL_b[1,1][3]),r_b):

d_s[1,1]:=unapply(rhs(OPL_s[1,1][4]),r_s):

d_b[1,1]:=unapply(rhs(OPL_b[1,1][4]),r_b):

e_s[1,0]:=unapply(rhs(OPL_s[1,1][5]),r_s):

e_b[1,0]:=unapply(rhs(OPL_b[1,1][5]),r_b):

Om

dat

e1,0r

nu

wel

bep

aald

is,

mo

eten

we

de

ran

dv

oo

rwaa

rden

afg

elei

d u

it h

et (

1,0

)-Kµ!-s

tels

el g

ebru

iken

om

de

inte

gra

tiec

on

stan

ten

te

bep

alen

.

RVW:=simplify(value(op(RVW_G[1,1]),op(RVW_K[1,0]),RVW_K[1,1][1],RVW_K[1,1][4])):

opl:=solve(RVW,C_s[5],C_s[6],C_s[7],C_s[8],C_s[9],C_s[10]);

C_s[5]:=rhs(opl[1]):

C_s[6]:=rhs(opl[2]):

C_s[7]:=rhs(opl[3]):

C_s[8]:=rhs(opl[4]):

C_s[9]:=rhs(opl[5]):

C_s[10]:=rhs(opl[6]):

92

O

O O

O

O

O

opl

:=C_s 5

=1 3

3

C_b

5 !

C7

"0

# G

r0

4K

3 C_b

5

!K

1,C_s 6

=K

1 5 K

30

C_b

6 !

C1

6 "0

# G

r0

5C

25

C_b

6

K5C

6 !

,C_s 7

=

K1 5

K

45

C_b

7 !

2C

90

C_b

7 !

C2

4 "0

# G

r0

5 !

K2

4 "0

# G

r0

5K

50

C_b

7

10K

18

!C

9 !

2,C_s 8

=K

KC_b

8 !

CC_b

8C

2 "0

# G

r0

4

!K

1,C_s 9

=C_b

9,C_s 1

0

=C_b

10 !

C4

# G

"0

r0

2KC_b

10

!K

1

limit(diff(a[1,1](r),r),r=0)=0;

op([1,1,1],%)=0;

C_b[6]:=solve(%,C_b[6]);

limit(diff(b[1,1](r),r),r=0)=0;

op([1,2,1],%)=0;

C_b[9]:=solve(%,C_b[9]);

limit(diff(c[1,1](r),r),r=0)=0;

op([1,2,1],%)=0;

C_b[7]:=solve(%,C_b[7]);

limit(diff(d[1,1](r),r),r=0)=0;

limit(diff(e[1,0](r),r),r=0)=0;

limit(diff(d[1,0](r),r),r=0)=0;

sig

nu

m1

5 C_b

9 !

K3

0 C_b

6 !

K1

5 C_b

9C

16

"0

# G

r0

5C

25

C_b

6

!K

1 N

=0

15

C_b

9 !

K3

0 C_b

6 !

K1

5 C_b

9C

16

"0

# G

r0

5C

25

C_b

6

!K

1=

0

C_b

6:=

1 5

15

C_b

9 !

K1

5 C_b

9C

16

"0

# G

r0

5

K5C

6 !

Ksi

gn

umC_b

9 N

=0

C_b

9=

0

C_b

9:=

0

Ksi

gn

um

K4

5 C_b

7 !

2C

90

C_b

7 !

C2

4 "0

# G

r0

5 !

K2

4 "0

# G

r0

5K

50

C_b

7 N

=0

K4

5 C_b

7 !

2C

90

C_b

7 !

C2

4 "0

# G

r0

5 !

K2

4 "0

# G

r0

5K

50

C_b

7=

0

93

O

O

O

O O

O

O

O

C_b

7:=

24 5

!0

" G

r0

5 #K

1

10K

18

#C

9 #

2

K2

#2 D

e_s 1

,1

0C

4 #

De_s 1

,1

0K

2 D

e_s 1

,1

0=

0

0=

0

0=

0

limit(a[1,1](r),r=0)<>infinity;

limit(b[1,1](r),r=0)<>infinity;

limit(c[1,1](r),r=0)<>infinity;

limit(d[1,1](r),r=0)<>infinity;

limit(d[1,0](r),r=0)<>infinity;

limit(e[1,0](r),r=0)<>infinity;

3 C_b

5 #

C7

!0

" G

r0

4K

3 C_b

5

K3C

3 #

sN

0s

N

C_b

8 #

KC_b

8K

2 !0

" G

r0

4

#K

1s

N

K#

2 e_s 1

,1

0Ke_s 1

,1

0C

2 #

e_s 1

,1

0s

N

K#

2 C_b

10C

2 C_b

10 #

K4

" G

# !0

r0

2C

4 "

G !0

r0

2KC_b

10s

N

C_b

10 #

C4

" G

!0

r0

2KC_b

10

#K

1s

N

alias(a[infinity][1,1]=a_inf[1,1]): alias(c[infinity][1,1]=c_inf[1,1]): alias(e[infinity][1,0]

=e_inf[1,0]):

C_b[5]:=a_inf[1,1]*r0^2*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b[8]:=c_inf[1,1]*r0^2*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b[10]:=e_inf[1,0]*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b

5:=

4 3 a

N1,1 r0

5

1 l G

!0

"

C_b

8:=

4 3 cN

1,1 r0

5

1 l G

!0

"

C_b

10

:=4 3

eN

1,0

1 l G

!0

r0

3 "

De

pro

ced

ure

'ver

een

vo

ud

ig' z

org

t er

vo

or

dat

de

op

loss

ing

en i

n e

en l

eesb

are

vo

rm w

ord

en o

mg

ezet

.

94

O

O

O

O O

O

a[1,1]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(a[1,1](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

b[1,1]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(b[1,1](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

c[1,1]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(c[1,1](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

d[1,0]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(d[1,0](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

e[1,0]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(e[1,0](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

a[1,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(a[1,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(a[1,1](r_b),r_b=r)),r):

b[1,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(b[1,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(b[1,1](r_b),r_b=r)),r):

c[1,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(c[1,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(c[1,1](r_b),r_b=r)),r):

d[1,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(d[1,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(d[1,0](r_b),r_b=r)),r):

e[1,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(e[1,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(e[1,0](r_b),r_b=r)),r):

'a[1,1](r)'=vereenvoudig(a[1,1](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'b[1,1](r)'=vereenvoudig(b[1,1](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'c[1,1](r)'=vereenvoudig(c[1,1](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'd[1,0](r)'=vereenvoudig(d[1,0](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'e[1,0](r)'=vereenvoudig(e[1,0](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

a1,1r

=

1 15

!0

" G

3

r5C

10

r3 r0

2C

35

r r0

4

r #K

1r!r0

1 15

!0

" G

4

0 r0

3 r

2C

8 r0

5

r #K

1r0

%r

C1 l

4 3 "

G !0

r0

3 r0

2 a

N1,1K

1 3 r

2 cN

1,0

r!r0

4 3 "

G !0

r0

3 r0

2 a

N1,1K

1 3 r

2 cN

1,0

r0%r

b1,1r

=

8 15

!0

" G

K

5 r

3 r0

2Cr5

r #K

1r!r0

8 15

!0

" G

r0

5K

5 r0

3 r

2

r #K

1r0

%r

C1 l

4 3 "

G !0

r0

3

1 6 r2

aN

1,0

#K

1C

1 6 r

2 cN

1,0K

1 2 r

2 eN

1,0

r!r0

4 3 "

G !0

r0

3

1 6 r2

aN

1,0

#K

1C

1 6 r

2 cN

1,0K

1 2 r

2 eN

1,0

r0%r

c 1,1r

=

#K

12

2 15

!0

" G

K

10

r3 r0

2K

15

r r0

4Cr5

#K

13 r

K4 9

r !0

" G

K

3 r

r0

2Cr3

#K

14

r!r0

#K

12

2 15

!0

" G

K

4 r0

5K

20

r0

3 r

2

#K

13 r

C8 9

r !0

" G

r0

3

#K

14

r0%r

C1 l

95

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

4 3 !

G "0

r0

3

1 3 r2

aN

1,0

#K

1C

1 3 r2

# cN

1,0

#K

1Cr0

2 cN

1,1C

1 3 r2

eN

1,0

#K

1r!r0

4 3 !

G "0

r0

3

1 3 r2

aN

1,0

#K

1C

1 3 r2

# cN

1,0

#K

1Cr0

2 cN

1,1C

1 3 r2

eN

1,0

#K

1r0

%r

d1,0r

=4

#K

1 !

G "0

r2

Kr0

2r!r0

0r0

%r

C1 l

K4 3

G !

"0

r0

3 eN

1,0 #K

12

r!r0

K4 3

G !

"0

r0

3 eN

1,0 #K

12

r0%r

e 1,0r

=

K4 3

"0

! G

K

3 r

r0

2Cr3

r #K

1r!r0

8 3 "0

! G

r0

3

r #K

1r0

%r

C1 l

4 3 G

! "0

r0

3 eN

1,0

r!r0

4 3 G

! "0

r0

3 eN

1,0

r0%r

Zo

ek d

e o

plo

ssin

g t

ot

op

tw

eed

e o

rde

in

1 l2

a[1,2]:=r->a_s[1,2](r)*Heaviside(r0-r)+a_b[1,2](r)*Heaviside(r-r0):

b[1,2]:=r->b_s[1,2](r)*Heaviside(r0-r)+b_b[1,2](r)*Heaviside(r-r0):

c[1,2]:=r->c_s[1,2](r)*Heaviside(r0-r)+c_b[1,2](r)*Heaviside(r-r0):

d[1,2]:=r->d_s[1,2](r)*Heaviside(r0-r)+d_b[1,2](r)*Heaviside(r-r0):

e[1,2]:=r->e_s[1,2](r)*Heaviside(r0-r)+e_b[1,2](r)*Heaviside(r-r0):

p[1,2]:=r->p_s[1,2](r)*Heaviside(r0-r)+p_b[1,2](r)*Heaviside(r-r0):

eqns_G_s[1,2]:=eval(eqns_G[1,2],r=r_s):

eqns_G_b[1,2]:=eval(eqns_G[1,2],r=r_b):

eqns_K_s[1,2]:=eval(eqns_K[1,2],r=r_s):

eqns_K_b[1,2]:=eval(eqns_K[1,2],r=r_b):

OPL_s[1,2]:=dsolve(op(eqns_G_s[1,2]),eqns_K_s[1,2][1],eqns_K_s[1,2][2],eqns_K_s[1,2][3],

simplify(eqns_K_s[1,2][4]/sin(theta)^2),a_s[1,2](r_s),b_s[1,2](r_s),c_s[1,2](r_s),d_s[1,2]

(r_s),e_s[1,1](r_s),e_s[1,2](r_s)):

OPL_s[1,2]:=subs(_C1=C_s[aant_int_cst+1],_C2=C_s[aant_int_cst+2],_C3=C_s[aant_int_cst+3],_C4=

C_s[aant_int_cst+4],_C5=C_s[aant_int_cst+5],_C6=C_s[aant_int_cst+6],OPL_s[1,2]):

OPL_b[1,2]:=dsolve(op(eqns_G_b[1,2]),eqns_K_b[1,2][1],eqns_K_b[1,2][2],eqns_K_b[1,2][3],

simplify(eqns_K_b[1,2][4]/sin(theta)^2),a_b[1,2](r_b),b_b[1,2](r_b),c_b[1,2](r_b),d_b[1,2]

(r_b),e_b[1,1](r_b),e_b[1,2](r_b)):

OPL_b[1,2]:=subs(_C1=C_b[aant_int_cst+1],_C2=C_b[aant_int_cst+2],_C3=C_b[aant_int_cst+3],_C4=

96

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

C_b[aant_int_cst+4],_C5=C_b[aant_int_cst+5],_C6=C_b[aant_int_cst+6],OPL_b[1,2]):

aant_int_cst:=aant_int_cst+6:

a_s[1,2]:=unapply(simplify(value(rhs(OPL_s[1,2][1]))),r_s):

a_b[1,2]:=unapply(simplify(value(rhs(OPL_b[1,2][1]))),r_b):

b_s[1,2]:=unapply(simplify(value(rhs(OPL_s[1,2][2]))),r_s):

b_b[1,2]:=unapply(simplify(value(rhs(OPL_b[1,2][2]))),r_b):

c_s[1,2]:=unapply(simplify(value(rhs(OPL_s[1,2][3]))),r_s):

c_b[1,2]:=unapply(simplify(value(rhs(OPL_b[1,2][3]))),r_b):

d_s[1,2]:=unapply(rhs(OPL_s[1,2][4]),r_s):

d_b[1,2]:=unapply(rhs(OPL_b[1,2][4]),r_b):

e_s[1,1]:=unapply(rhs(OPL_s[1,2][5]),r_s):

e_b[1,1]:=unapply(rhs(OPL_b[1,2][5]),r_b):

RVW:=simplify(value(op(RVW_G[1,2]),op(RVW_K[1,1]),RVW_K[1,2][1],RVW_K[1,2][4])):

opl:=solve(RVW,C_s[11],C_s[12],C_s[13],C_s[14],C_s[15],C_s[16]);

C_s[11]:=rhs(opl[1]):

C_s[12]:=rhs(opl[2]):

C_s[13]:=rhs(opl[3]):

C_s[14]:=rhs(opl[4]):

C_s[15]:=rhs(opl[5]):

C_s[16]:=rhs(opl[6]):

opl

:=C_s 1

1=

1 54

K

10

8 C_b

11 !

C5

4 C_b

11 !

2C

12

" G

#0

r0

6 !

C5

4 C_b

11K

37

" G

#0

r0

6

1K

2 !

C!

2,C_s 1

2=

K1

63

0

24

" G

#0

r0

7 !

K1

05

C_b

15 !

2C

21

0 C_b

15 !

K8

8 "

G #0

r0

7K

63

7 C_b

12K

10

5 C_b

15K

63

0 C_b

12 !

2C

12

60

C_b

12 !

1K

2 !

C!

2,C_s 1

3=

K1

31

5 K

31

5 C_b

13 !

2C

63

0 C_b

13 !

C1

2 "

G #0

r0

7 !

K3

15

C_b

13K

44

" G

#0

r0

7

1K

2 !

C!

2,C_s 1

4=

K1 27

K

27

C_b

14 !

2C

54

C_b

14 !

C6

" G

#0

r0

6 !

K2

7 C_b

14K

17

" G

#0

r0

6

1K

2 !

C!

2,C_s 1

5=C_b

15,C_s 1

6

=C_b

16 !

2C

2 #0

" G

r0

4 !

K2

C_b

16 !

K3

#0

" G

r0

4CC_b

16

1K

2 !

C!

2

limit(diff(a[1,2](r),r),r=0)=0;

op([1,1,1],%)=0;

C_b[12]:=solve(%,C_b[12]);

limit(diff(b[1,2](r),r),r=0)=0;

op([1,2,1],%)=0;

C_b[15]:=solve(%,C_b[15]);

97

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

limit(diff(c[1,2](r),r),r=0)=0;

op([1,2,1],%)=0;

C_b[13]:=solve(%,C_b[13]);

limit(diff(d[1,2](r),r),r=0)=0;

limit(diff(e[1,1](r),r),r=0)=0;

limit(diff(d[1,1](r),r),r=0)=0;

sig

nu

m3

15

C_b

15C

31

5 C_b

15 !

2K

88

" G

#0

r0

7K

63

0 C_b

12 !

2C

24

" G

#0

r0

7 !

K6

30

C_b

15 !

C1

26

0 C_b

12 !

K6

37

C_b

12

N=

0

31

5 C_b

15C

31

5 C_b

15 !

2K

88

" G

#0

r0

7K

63

0 C_b

12 !

2C

24

" G

#0

r0

7 !

K6

30

C_b

15 !

C1

26

0 C_b

12 !

K6

37

C_b

12

=0

C_b

12

:=1 7

3

15

C_b

15C

31

5 C_b

15 !

2K

88

" G

#0

r0

7C

24

" G

#0

r0

7 !

K6

30

C_b

15 !

91K

18

0 !

C9

0 !

2

Ksi

gn

umC_b

15

N=

0

C_b

15

=0

C_b

15

:=0

Ksi

gn

um

K3

15

C_b

13 !

2C

63

0 C_b

13 !

C1

2 "

G #0

r0

7 !

K3

15

C_b

13K

44

" G

#0

r0

7 N

=0

K3

15

C_b

13 !

2C

63

0 C_b

13 !

C1

2 "

G #0

r0

7 !

K3

15

C_b

13K

44

" G

#0

r0

7=

0

C_b

13

:=4

31

5 "

G #0

r0

7

3 !

K1

1

1K

2 !

C!

2

K2

1K

2 !

C!

2 D

e_s 1

,2

0=

0

0=

0

0=

0

limit(a[1,2](r),r=0)<>infinity;

limit(b[1,2](r),r=0)<>infinity;

limit(c[1,2](r),r=0)<>infinity;

limit(d[1,2](r),r=0)<>infinity;

limit(d[1,1](r),r=0)<>infinity;

limit(e[1,1](r),r=0)<>infinity;

K1

08

C_b

11 !

C5

4 C_b

11 !

2C

12

" G

#0

r0

6 !

C5

4 C_b

11K

37

" G

#0

r0

6

K1

08

!C

54

!2C

54

sN

0s

N

98

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

27

C_b

14 !

2K

54

C_b

14 !

K6

" G

#0

r0

6 !

C2

7 C_b

14C

17

" G

#0

r0

6

27K

54

!C

27

!2

sN

K1K

2 !

C!

2 e_s 1

,2

0s

N

K2

#0

" G

r0

4 !

KC_b

16 !

2C

2 C_b

16 !

C3

#0

" G

r0

4KC_b

16s

N

C_b

16 !

2C

2 #0

" G

r0

4 !

K2

C_b

16 !

K3

#0

" G

r0

4CC_b

16

1K

2 !

C!

2s

N

alias(a[infinity][1,2]=a_inf[1,2]): alias(c[infinity][1,2]=c_inf[1,2]): alias(e[infinity][1,1]

=e_inf[1,1]):

C_b[11]:=a_inf[1,2]*r0^4*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b[14]:=c_inf[1,2]*r0^4*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b[16]:=e_inf[1,1]*r0^2*inv_l*G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi;

C_b

11

:=4 3

aN

1,2 r0

7

1 l G

#0

"

C_b

14

:=4 3

cN

1,2 r0

7

1 l G

#0

"

C_b

16

:=4 3

eN

1,1 r0

5

1 l G

#0

"

a[1,2]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(a[1,2](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

b[1,2]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(b[1,2](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

d[1,1]:=unapply(factor(simplify(convert(series(simplify(d[1,1](r)),inv_l),piecewise,r))),r):

e[1,1]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(e[1,1](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

a[1,2]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(a[1,2](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(a[1,2](r_b),r_b=r)),r):

b[1,2]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(b[1,2](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(b[1,2](r_b),r_b=r)),r):

d[1,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(d[1,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(d[1,1](r_b),r_b=r)),r):

e[1,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(e[1,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(e[1,1](r_b),r_b=r)),r):

'a[1,2](r)'=vereenvoudig(a[1,2](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'b[1,2](r)'=vereenvoudig(b[1,2](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'd[1,1](r)'=vereenvoudig(d[1,1](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'e[1,1](r)'=vereenvoudig(e[1,1](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

a1,

2r

=

!K

12 K

2

315

#0 G

" K

35 r

r0

6K

21 r

5 r0

2K

105 r

3 r0

4Cr

7

!K

13 r

K1

1890

#0 G

"

143 r

7C

875 r

r0

6K

483 r

5 r0

2C

105 r

3 r0

4

!K

14 r

r!r0

!K

12 K

2

315

#0 G

" K

70 r0

3 r

4K

84 r0

5 r

2K

6 r0

7

!K

13 r

K1

1890

#0 G

" K

560 r0

3 r

4C

192 r0

7C

1008 r0

5 r

2

!K

14 r

r0%r

C1 l

99

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 30

r

4 #

aN

1,

0

#K

12

Cr0

4 a

N1,

2K

1 30

r

4 #

cN

1,

0

#K

1K

1 3 r

2 r0

2 c

N1,

1C

1 30

r

4 e

N1,

0

#K

1r!r0

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 30

r

4 #

aN

1,

0

#K

12

Cr0

4 a

N1,

2K

1 30

r

4 #

cN

1,

0

#K

1K

1 3 r

2 r0

2 c

N1,

1C

1 30

r

4 e

N1,

0

#K

1r0

%r

b1,

2r

=

#K

12

4

105

"0 G

! K

14 r

5 r0

2K

35 r

3 r0

4Cr

7

#K

13 r

K8

315

"0 G

!

4 r

7K

21 r

5 r0

2K

35 r

3 r0

4

#K

14 r

r!r0

#K

12

4

105

"0 G

! r0

7K

35 r0

3 r

4K

14 r0

5 r

2

#K

13 r

K8

315

"0 G

! K

35 r0

3 r

4C

4 r0

7K

21 r0

5 r

2

#K

14 r

r0%r

C1 l

4 3 !

G "0 r0

3

1 30

r

4 K

3C#

aN

1,

0

#K

12

C1 6

r0

2 r

2 a

N1,

1

#K

1C

1 30

r

4 K

3C#

cN

1,

0

#K

1C

1 6 r

2 r0

2 c

N1,

1K

1 30

r

4

3 #K

5 e

N1,

0

#K

1K

1 2 r0

2 r

2 e

N1,

1r!r0

4 3 !

G "0 r0

3

1 30

r

4 K

3C#

aN

1,

0

#K

12

C1 6

r0

2 r

2 a

N1,

1

#K

1C

1 30

r

4 K

3C#

cN

1,

0

#K

1C

1 6 r

2 r0

2 c

N1,

1K

1 30

r

4

3 #K

5 e

N1,

0

#K

1K

1 2 r0

2 r

2 e

N1,

1r0

%r

d1,

1r

=

#K

12

2 15

"0 G

! r

5K

15 r

r0

4K

10 r

3 r0

2

#K

1 r

K1 3

"0 G

! r

4K

6 r0

2 r

2K

3 r0

4

#K

12

r!r0

#K

12

2 15

"0 G

! K

20 r0

3 r

2K

4 r0

5

#K

1 r

C8 3

r ! G

"0 r0

3

#K

12

r0%r

C1 l

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 30

r2

7C

2 #

aN

1,

0K

1 30

r2 #K

1

7C

2 #

cN

1,

0K

1 10

r2 #K

1

4 #K

7 e

N1,

0K

#K

12 r0

2 e

N1,

1r!r0

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 30

r2

7C

2 #

aN

1,

0K

1 30

r2 #K

1

7C

2 #

cN

1,

0K

1 10

r2 #K

1

4 #K

7 e

N1,

0K

#K

12 r0

2 e

N1,

1r0

%r

e1,

1r

=

#K

12 K

2 15

"0 G

! r

5K

15 r

r0

4K

10 r

3 r0

2

#K

13 r

C1 45

"0 G

!

11 r

5K

30 r

3 r0

2K

45 r

r0

4

#K

14 r

r!r0

#K

12 K

2 15

"0 G

! K

20 r0

3 r

2K

4 r0

5

#K

13 r

C1 45

"0 G

! K

24 r0

5K

40 r0

3 r

2

#K

14 r

r0%r

C1 l

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 30

r

2 #K

4 a

N1,

0

#K

12

K1 30

r

2 #K

4 c

N1,

0

#K

1C

1 10

r

2

3 #K

4 e

N1,

0

#K

1Cr0

2 e

N1,

1r!r0

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 30

r

2 #K

4 a

N1,

0

#K

12

K1 30

r

2 #K

4 c

N1,

0

#K

1C

1 10

r

2

3 #K

4 e

N1,

0

#K

1Cr0

2 e

N1,

1r0

%r

d1,2r

is

afh

ank

elij

k v

an d

e to

t o

p d

eze

ord

e v

rije

fu

nct

ie e

1,2r

.c[1,2]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(c[1,2](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

c[1,2]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(c[1,2](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(c[1,2](r_b),r_b=r)),r):

d[1,2]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(d[1,2](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

100

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

d[1,2]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(d[1,2](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(d[1,2](r_b),r_b=r)),r):

'c[1,2](r)'=vereenvoudig(c[1,2](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

'd[1,2](r)'=vereenvoudig(d[1,2](r),4/3*Pi*G*rho0*r0^3,"no");

c1,

2r

=

!K

12

1

135

r G

"0 #

11 r

5K

45 r

r0

4K

30 r

3 r0

2

!K

15

C2

315

G

"0 #

K

105 r

3 r0

4Cr

7K

21 r

5 r0

2K

35 r

r0

6

!K

13 r

K1

945

G

"0 #

K

385 r

r0

6C

23 r

7K

231 r

5 r0

2K

735 r

3 r0

4

!K

14 r

r!r0

!K

12

1

135

r G

"0 #

K

24 r0

5K

40 r0

3 r

2

!K

15

C2

315

G

"0 #

K

84 r0

5 r

2K

70 r0

3 r

4K

6 r0

7

!K

13 r

K1

945

G

"0 #

K

96 r0

7K

560 r0

3 r

4K

672 r0

5 r

2

!K

14 r

r0%r

C1 l

4 3 #

G "0 r0

3

1 90

r

4 K

4 !C

4C

3 !

2 a

N1,

0

!K

13

C1 3

r

2 r0

2 a

N1,

1

!K

1C

1 90

r

4 K

4 !C

4C

3 !

2 c

N1,

0

!K

12

C1 3

r

2 r0

2 !

cN

1,

1

!K

1Cr0

4 c

N1,

2C

1 30

r

4 K

3C

2 !

eN

1,

0

!K

12

C1 3

r

2 r0

2 e

N1,

1

!K

1

r!r0

4 3 #

G "0 r0

3

1 90

r

4 K

4 !C

4C

3 !

2 a

N1,

0

!K

13

C1 3

r

2 r0

2 a

N1,

1

!K

1C

1 90

r

4 K

4 !C

4C

3 !

2 c

N1,

0

!K

12

C1 3

r

2 r0

2 !

cN

1,

1

!K

1Cr0

4 c

N1,

2C

1 30

r

4 K

3C

2 !

eN

1,

0

!K

12

C1 3

r

2 r0

2 e

N1,

1

!K

1

r0%r

d1,

2r

=

!K

12 Kr

d dr

e_s 1

,2r

Ke_s 1

,2r

K4

135

r G

"0 #

K

15 r

3 r0

2C

11 r

5

!K

13

C8

315

G

"0 #

K

35 r

3 r0

4K

56 r

5 r0

2C

11 r

7

!K

12 r

K4

105

# G

"0 K

14 r

5 r0

2Cr

7K

35 r

3 r0

4

r !K

1

r!r0

!K

12 Ke_b

1,

2r

Kr

d dr

e_b

1,

2r

K4

135

r G

"0 #

K

10 r0

3 r

2C

6 r0

5

!K

13

C8

315

G

"0 #

4 r0

7K

70 r0

3 r

4K

14 r0

5 r

2

!K

12 r

K4

105

# G

"0 K

35 r0

3 r

4K

14 r0

5 r

2Cr0

7

r !K

1

r0%r

101

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

C1 l

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 90

r

4

3 #

2C

17K

14 #

aN

1,

0

#K

1K

1 6 r

2 r0

2 #K

1 a

N1,

1K

1 90

r4

3 #

2C

17K

14 #

cN

1,

0

K1 6

#K

12 r

2 r0

2 c

N1,

1C

1 30

r4

13K

14 #C

3 #

2 e

N1,

0C

1 2 #K

12 r

2 r0

2 e

N1,

1

r!r0

4 3 !

G "0 r0

3 K

1 90

r

4

3 #

2C

17K

14 #

aN

1,

0

#K

1K

1 6 r

2 r0

2 #K

1 a

N1,

1K

1 90

r4

3 #

2C

17K

14 #

cN

1,

0

K1 6

#K

12 r

2 r0

2 c

N1,

1C

1 30

r4

13K

14 #C

3 #

2 e

N1,

0C

1 2 #K

12 r

2 r0

2 e

N1,

1

r0%r

Ber

eken

de

op

loss

ing t

ot

op

tw

eed

e ord

e in

!

Zo

ek d

e o

plo

ssin

g t

ot

op

nu

lde

ord

e in

1 l2

Om

dat

de

waa

rde

van

a1r 0

nu

bek

end

is

en o

ok

zij

n

1 l2-a

fhan

kel

ijk

hei

d,

kan

p2r

nu

on

twik

kel

d w

ord

en v

olg

ens

1 l 2

.

p_s[2,0]:=unapply(simplify(coeff(series(simplify(p_2_s(r_s)),inv_l),inv_l,0)+coeff(series

(simplify(p_2_s(r_s)),inv_l),inv_l,1)*inv_l),r_s);

p_b[2,0]:=r->0;

p_s[2,1]:=unapply(simplify(coeff(series(simplify(p_2_s(r_s)),inv_l),inv_l,2)+coeff(series

(simplify(p_2_s(r_s)),inv_l),inv_l,3)*inv_l),r_s);

p_b[2,1]:=r->0;

p_s[2,2]:=unapply(simplify(coeff(series(simplify(p_2_s(r_s)),inv_l),inv_l,4)+coeff(series

(simplify(p_2_s(r_s)),inv_l),inv_l,4)*inv_l),r_s);

p_b[2,2]:=r->0;

p_s 2

,0

:=r_s/

2 3 "0

2 !

G Kr_s2Cr0

2

p_b

2,0

:=r/

0

p_s 2

,1

:=r_s/

K1 90

1

#K

1K

20

r0

3

1 l r_s2

cN

1,0 #

C2

0 r0

5

1 l cN

1,0 #

C1

10

r0

2 r_s2K

20

r0

3

1 l r_s2

aN

1,0K

89

r0

4K

21

r_s4

K2

0 r0

5

1 l cN

1,0C

20

r0

3

1 l r_s2

cN

1,0C

20

r0

5

1 l a

N1,0

"0

2 !

G

p_b

2,1

:=r/

0

102

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

p_s 2

,2

:=r_s/

1

37

80

1

!K

12

12

1 l

r_s6

!K

12

60

1 l

r0

4 r_s2

!C

12

r_s6

!K

25

2 r0

2 r_s4

!C

15

00

1 l

r0

6 !

K1

26

0 r0

4 r_s2

!

K2

52

1 l

r0

2 r_s4

!C

15

00

r0

6 !

K3

32

3

1 l r0

6C

19

11

r0

2 r_s4K

20

5

1 l r_s6K

20

5 r_s6C

16

17

r0

4 r_s2C

16

17

1 l

r0

4 r_s2

C1

91

1

1 l r0

2 r_s4K

33

23

r0

6 "0

2 #

G

p_b

2,2

:=r/

0

Op

loss

en v

oo

r tw

eed

e o

rde

in $

geb

eurt

op

dez

elfd

e m

anie

r al

s v

oo

r ee

rste

ord

e.

a[2,0]:=r->a_s[2,0](r)*Heaviside(r0-r)+a_b[2,0](r)*Heaviside(r-r0):

b[2,0]:=r->b_s[2,0](r)*Heaviside(r0-r)+b_b[2,0](r)*Heaviside(r-r0):

c[2,0]:=r->c_s[2,0](r)*Heaviside(r0-r)+c_b[2,0](r)*Heaviside(r-r0):

d[2,0]:=r->d_s[2,0](r)*Heaviside(r0-r)+d_b[2,0](r)*Heaviside(r-r0):

e[2,0]:=r->e_s[2,0](r)*Heaviside(r0-r)+e_b[2,0](r)*Heaviside(r-r0):

p[2,0]:=r->p_s[2,0](r)*Heaviside(r0-r)+p_b[2,0](r)*Heaviside(r-r0):

eqns_G_s[2,0]:=eval(eqns_G[2,0],r=r_s):

eqns_G_b[2,0]:=eval(eqns_G[2,0],r=r_b):

eqns_K_s[2,0]:=eval(eqns_K[2,0],r=r_s):

eqns_K_b[2,0]:=eval(eqns_K[2,0],r=r_b):

OPL_s[2,0]:=dsolve(op(eqns_G_s[2,0]),op(eqns_K_s[2,0]),a_s[2,0](r_s),b_s[2,0](r_s),c_s[2,0]

(r_s),d_s[2,0](r_s),e_s[2,0](r_s)):

OPL_s[2,0]:=subs(_C1=C_s[aant_int_cst+1],_C2=C_s[aant_int_cst+2],_C3=C_s[aant_int_cst+3],_C4=

C_s[aant_int_cst+4],OPL_s[2,0]):

a_s[2,0]:=unapply(rhs(OPL_s[2,0][1]),r_s):

b_s[2,0]:=unapply(rhs(OPL_s[2,0][2]),r_s):

c_s[2,0]:=unapply(rhs(OPL_s[2,0][3]),r_s):

d_s[2,0]:=unapply(rhs(OPL_s[2,0][4]),r_s):

OPL_b[2,0]:=dsolve(op(eqns_G_b[2,0]),op(eqns_K_b[2,0]),a_b[2,0](r_b),b_b[2,0](r_b),c_b[2,0]

(r_b),d_b[2,0](r_b),e_b[2,0](r_b),p_b[2](r_b)):

OPL_b[2,0]:=subs(_C1=C_b[aant_int_cst+1],_C2=C_b[aant_int_cst+2],_C3=C_b[aant_int_cst+3],_C4=

C_b[aant_int_cst+4],OPL_b[2,0]):

aant_int_cst:=aant_int_cst+4:

a_b[2,0]:=unapply(rhs(OPL_b[2,0][1]),r_b):

b_b[2,0]:=unapply(rhs(OPL_b[2,0][2]),r_b):

c_b[2,0]:=unapply(rhs(OPL_b[2,0][3]),r_b):

d_b[2,0]:=unapply(rhs(OPL_b[2,0][4]),r_b):

RVW:=simplify(value(RVW_G[2,0],RVW_K[2,0][1],RVW_K[2,0][4])):

opl:=solve(RVW,C_s[17],C_s[18],C_s[19],C_s[20]);

C_s[17]:=rhs(opl[1]):

C_s[18]:=rhs(opl[2]):

C_s[19]:=rhs(opl[3]):

C_s[20]:=rhs(opl[4]):

103

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

opl

:=C_s 1

7=K

16 3

r0

5 !

2 G

2 "0

2 a

N1,0

1 lC

4 3 !

2 G

2 "0

2 r0

4CC_b

17,C_s 1

8=C_b

18,C_s 1

9=C_b

19,C_s 2

0=C_b

20

limit(diff(a[2,0](r),r),r=0)=0;

op([1,2,1],%)=0:

C_b[18]:=solve(%,C_b[18]);

limit(diff(b[2,0](r),r),r=0)=0;

limit(diff(c[2,0](r),r),r=0)=0;

op([1,2,1],%)=0:

C_b[20]:=solve(%,C_b[20]);

limit(diff(d[2,0](r),r),r=0)=0;

Ksi

gn

umC_b

18

N=

0

C_b

18

:=0

0=

0

Ksi

gn

umC_b

20

N=

0

C_b

20

:=0

K2

#2 D

e_s 2

,0

0C

4 #

De_s 2

,0

0K

2 D

e_s 2

,0

0=

0

limit(a[2,0](r),r=0)<>infinity;

limit(b[2,0](r),r=0)<>infinity;

limit(c[2,0](r),r=0)<>infinity;

limit(d[2,0](r),r=0)<>infinity;

K1

6 3 r0

5 !

2 G

2 "0

2 a

N1,0

1 lC

4 3 !

2 G

2 "0

2 r0

4CC_b

17s

N

0s

N

C_b

19s

N

K1 9

#K

1

16

!2 G

2 "0

2 r0

6 eN

1,0

2

1 l

2

#2C

9 #

e_s 2

,0

0C

96

!2 G

2 "0

2 #

r0

5 eN

1,0

1 lC

16

!2 G

2 "0

2 r0

6 eN

1,0

2

1 l

2

C1

44

!2 G

2 "0

2 r0

4K

32

!2 G

2 "0

2 r0

6 eN

1,0

2

1 l

2

#K

96

!2 G

2 "0

2 r0

5 eN

1,0

1 lK

9 e_s 2

,0

0s

N

alias(a[infinity][2,0]=a_inf[2,0]): alias(c[infinity][2,0]=c_inf[2,0]):

C_b[17]:=a_inf[2,0]*inv_l^2*(G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi)^2;

C_b[19]:=c_inf[2,0]*inv_l^2*(G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi)^2;

C_b

17

:=1

6 9 a

N2,0

1 l

2

G2 "0

2 r0

6 !

2

C_b

19

:=1

6 9 cN

2,0

1 l

2

G2 "0

2 r0

6 !

2

104

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

a[2,0]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(a[2,0](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

b[2,0]:=unapply(simplify(convert(simplify(b[2,0](r)),piecewise,r)),r):

c[2,0]:=unapply(simplify(convert(simplify(c[2,0](r)),piecewise,r)),r):

a[2,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(a[2,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(a[2,0](r_b),r_b=r)),r):

b[2,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(b[2,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(b[2,0](r_b),r_b=r)),r):

c[2,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(c[2,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(c[2,0](r_b),r_b=r)),r):

'a[2,0](r)'=vereenvoudig(a[2,0](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,"no");

'b[2,0](r)'=vereenvoudig(b[2,0](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,"no");

'c[2,0](r)'=vereenvoudig(c[2,0](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,"no");

a2,0r

=

4 3 !

2 G

2 "0

2 r4

K2

r0

2 r

2Cr0

4r!r0

0r0

%r

C1 l

16 9

!2 G

2 "0

2 a

N1,0 r0

3 r2

K3

r0

2r!r0

K3

2 9 !

2 G

2 "0

2 r0

6 a

N1,0

rr0

%r

b2,0r

=0

r!r0

0r0

%r

C1 l

0

r!r0

0r0

%r

c 2,0r

=0

r!r0

0r0

%r

C1 l

0

r!r0

0r0

%r

Zo

ek d

e o

plo

ssin

g t

ot

op

eer

ste

ord

e in

1 l2

a[2,1]:=r->a_s[2,1](r)*Heaviside(r0-r)+a_b[2,1](r)*Heaviside(r-r0):

b[2,1]:=r->b_s[2,1](r)*Heaviside(r0-r)+b_b[2,1](r)*Heaviside(r-r0):

c[2,1]:=r->c_s[2,1](r)*Heaviside(r0-r)+c_b[2,1](r)*Heaviside(r-r0):

d[2,1]:=r->d_s[2,1](r)*Heaviside(r0-r)+d_b[2,1](r)*Heaviside(r-r0):

e[2,1]:=r->e_s[2,1](r)*Heaviside(r0-r)+e_b[2,1](r)*Heaviside(r-r0):

p[2,1]:=r->p_s[2,1](r)*Heaviside(r0-r)+p_b[2,1](r)*Heaviside(r-r0):

eqns_G_s[2,1]:=eval(eqns_G[2,1],r=r_s):

eqns_G_b[2,1]:=eval(eqns_G[2,1],r=r_b):

eqns_K_s[2,1]:=eval(eqns_K[2,1],r=r_s):

eqns_K_b[2,1]:=eval(eqns_K[2,1],r=r_b):

OPL_s[2,1]:=dsolve(op(eqns_G_s[2,1]),eqns_K_s[2,1][1],eqns_K_s[2,1][2],eqns_K_s[2,1][3],

simplify(eqns_K_s[2,1][4]/sin(theta)^2),a_s[2,1](r_s),b_s[2,1](r_s),c_s[2,1](r_s),d_s[2,1]

(r_s),e_s[2,0](r_s),e_s[2,1](r_s)):

OPL_s[2,1]:=subs(_C1=C_s[aant_int_cst+1],_C2=C_s[aant_int_cst+2],_C3=C_s[aant_int_cst+3],_C4=

C_s[aant_int_cst+4],_C5=C_s[aant_int_cst+5],_C6=C_s[aant_int_cst+6],OPL_s[2,1]):

OPL_b[2,1]:=dsolve(op(eqns_G_b[2,1]),eqns_K_b[2,1][1],eqns_K_b[2,1][2],eqns_K_b[2,1][3],

simplify(eqns_K_b[2,1][4]/sin(theta)^2),a_b[2,1](r_b),b_b[2,1](r_b),c_b[2,1](r_b),d_b[2,1]

(r_b),e_b[2,0](r_b),e_b[2,1](r_b)):

105

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

OPL_b[2,1]:=subs(_C1=C_b[aant_int_cst+1],_C2=C_b[aant_int_cst+2],_C3=C_b[aant_int_cst+3],_C4=

C_b[aant_int_cst+4],_C5=C_b[aant_int_cst+5],_C6=C_b[aant_int_cst+6],OPL_b[2,1]):

aant_int_cst:=aant_int_cst+6:

a_s[2,1]:=unapply(value(rhs(OPL_s[2,1][1])),r_s):

b_s[2,1]:=unapply(rhs(OPL_s[2,1][2]),r_s):

c_s[2,1]:=unapply(value(rhs(OPL_s[2,1][3])),r_s):

d_s[2,1]:=unapply(rhs(OPL_s[2,1][4]),r_s):

e_s[2,0]:=unapply(rhs(OPL_s[2,1][5]),r_s):

a_b[2,1]:=unapply(value(rhs(OPL_b[2,1][1])),r_b):

b_b[2,1]:=unapply(value(rhs(OPL_b[2,1][2])),r_b):

c_b[2,1]:=unapply(value(rhs(OPL_b[2,1][3])),r_b):

d_b[2,1]:=unapply(value(rhs(OPL_b[2,1][4])),r_b):

e_b[2,0]:=unapply(value(rhs(OPL_b[2,1][5])),r_b):

RVW:=simplify(value(RVW_G[2,1],RVW_K[2,0],RVW_K[2,1][1],RVW_K[2,1][4])):

opl:=simplify(solve(RVW,C_s[21],C_s[22],C_s[23],C_s[24],C_s[25],C_s[26])):

C_s[21]:=rhs(opl[1]):

C_s[22]:=rhs(opl[2]):

C_s[23]:=rhs(opl[3]):

C_s[24]:=rhs(opl[4]):

C_s[25]:=rhs(opl[5]):

C_s[26]:=rhs(opl[6]):

limit(diff(a[2,1](r),r),r=0)=0:

op([1,1,1],%)=0:

C_b[25]:=solve(%,C_b[25]);

limit(diff(b[2,1](r),r),r=0)=0;

op([1,1,1],%)=0:

C_b[22]:=solve(%,C_b[22]);

limit(diff(c[2,1](r),r),r=0)=0:

op([1,2,1],%)=0:

C_b[23]:=solve(%,C_b[23]);

limit(diff(d[2,0](r),r),r=0)=0:

limit(diff(e[2,0](r),r),r=0)=0:

C_b

25

:=K

1

21

0

1

!K

1K

50

4 r0

8 G

2 "

2 #0

2 eN

1,0

1 l !

C2

80

r0

8 G

2 "

2 #0

2 !

cN

1,0

1 lK

28

16

"2 G

2 #0

2 r0

7C

31

5 C_b

22

C5

04

r0

8 G

2 "

2 #0

2 eN

1,0

1 lK

28

0 r0

8 G

2 "

2 #0

2

1 l cN

1,0K

31

5 C_b

22 !

C2

80

#0

2 "

2 G

2 r0

8 a

N1,0

1 l

sig

nu

m1

!K

15

6 r0

8 G

2 "

2 #0

2 !

cN

1,0

1 lK

28

0 r0

8 G

2 "

2 #0

2 eN

1,0

1 l !

C2

80

r0

8 G

2 "

2 #0

2 eN

1,0

1 lK

76

8 "

2 G

2 #0

2 r0

7

K5

6 r0

8 G

2 "

2 #0

2

1 l cN

1,0C

56

#0

2 "

2 G

2 r0

8 a

N1,0

1 lC

31

5 C_b

22K

31

5 C_b

22 !

N=

0

106

O

O

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

C_b

22

:=8

31

5

!2 G

2 "0

2 r0

7

7 r0

# cN

1,0

1 lK

35

eN

1,0

1 l r0

#C

35

eN

1,0

1 l r0K

96K

7 r0

1 l

cN

1,0C

7 r0

aN

1,0

1 l

#K

1

C_b

23

:=1

6

94

5

1

1K

2 #

C#

2!

2 G

2 "0

2 r0

7

91

eN

1,0

1 l r0

#K

42

eN

1,0

1 l r0

#2K

7 r0

# cN

1,0

1 lC

42

r0

1 l

aN

1,0 #

C3

76K

31

2 #

C7

r0

1 l

cN

1,0K

49

eN

1,0

1 l r0K

49

r0

aN

1,0

1 l

limit(a[2,1](r),r=0)<>infinity:

limit(b[2,1](r),r=0)<>infinity:

limit(c[2,1](r),r=0)<>infinity:

limit(d[2,0](r),r=0)<>infinity:

limit(e[2,0](r),r=0)<>infinity:

alias(a[infinity][2,1]=a_inf[2,1]): alias(c[infinity][2,1]=c_inf[2,1]): alias(e[infinity][2,0]

=e_inf[2,0]):

C_b[21]:=a_inf[2,1]*r0^2*inv_l^2*(G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi)^2;

C_b[24]:=c_inf[2,1]*r0^2*inv_l^2*(G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi)^2;

C_b[26]:=e_inf[2,0]*inv_l^2*(G_c*rho0*r0^3*4/3*Pi)^2;

C_b

21

:=1

6 9 a

N2,1 r0

8

1 l

2

G2 "0

2 !

2

C_b

24

:=1

6 9 cN

2,1 r0

8

1 l

2

G2 "0

2 !

2

C_b

26

:=1

6 9 eN

2,0

1 l

2

G2 "0

2 r0

6 !

2

a[2,1]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(a[2,1](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

b[2,1]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(b[2,1](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

c[2,1]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(c[2,1](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

d[2,0]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(d[2,0](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

e[2,0]:=unapply(simplify(convert(series(simplify(e[2,0](r)),inv_l),piecewise,r)),r):

a[2,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(a[2,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(a[2,1](r_b),r_b=r)),r):

b[2,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(b[2,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(b[2,1](r_b),r_b=r)),r):

c[2,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(c[2,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(c[2,1](r_b),r_b=r)),r):

d[2,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(d[2,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(d[2,0](r_b),r_b=r)),r):

e[2,0]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(e[2,0](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(e[2,0](r_b),r_b=r)),r):

'a[2,1](r)'=vereenvoudig(a[2,1](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,'tweedeorde');

'b[2,1](r)'=vereenvoudig(b[2,1](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,'tweedeorde');

'c[2,1](r)'=vereenvoudig(c[2,1](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,'tweedeorde');

'd[2,0](r)'=vereenvoudig(d[2,0](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,'tweedeorde');

'e[2,0](r)'=vereenvoudig(e[2,0](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,'tweedeorde');

107

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

a2,

1r

=

K2

315

!

2 G

2 "0

2

57 r

7K

721 r

5 r0

2C

567 r

3 r0

4C

1505 r

r0

6

#K

1 r

r!r0

K2816

315

!

2 G

2 "0

2 r0

7

r #K

1r0

%r

C1 l

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 K

1 20

K

45 r0

4K

30 r0

2 r

2C

7 r

4 a

N1,

0

r03 #K

1C

r2K

3 r0

2 a

N1,

1

r0K

1 2 Kr0

4K

2 r0

2 r

2Cr

4 c

N1,

0

r03

C1 20

K

45 r0

4K

30 r0

2 r

2C

7 r

4 e

N1,

0

r03

r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 10

25 r

2C

9 r0

2 a

N1,

0

#K

1 r

K2 r0

2 a

N1,

1

rC

1 2 r0

2Cr

2 c

N1,

0

rK

1 10

25 r

2C

9 r0

2 e

N1,

0

rr0

%r

C1 l

2

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 K

1 12

4 r

2 c

N2,

0K

12 a

N2,

1 r0

2K

3 r

2 e

N1,

0 a

N1,

0C

3 r

2 c

N1,

0 a

N1,

0

#K

13

K1 8

r

2 cN

1,

0KeN

1,

0

2

#K

12

K1 8

r

2 a

N1,

0

2

#K

14

r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 K

1 12

4 r

2 c

N2,

0K

12 a

N2,

1 r0

2K

3 r

2 e

N1,

0 a

N1,

0C

3 r

2 c

N1,

0 a

N1,

0

#K

13

K1 8

r

2 cN

1,

0KeN

1,

0

2

#K

12

K1 8

r

2 a

N1,

0

2

#K

14

r0%r

b2,

1r

=

16

105

!

2 G

2 "0

2

35 r

3 r0

4K

21 r

5 r0

2C

5 r

7

#K

1 r

r!r0

16

105

!

2 G

2 "0

2

35 r

r0

6K

16 r0

7

#K

1 r

r0%r

C1 l

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 10

r

2 K

5 r0

2Cr

2 a

N1,

0

r03 #K

1C

1 10

r

2 K

5 r0

2Cr

2 c

N1,

0

r03

K1 2

r

2 K

5 r0

2Cr

2 e

N1,

0

r03

r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 K

1 10

Kr0

2C

5 r

2 a

N1,

0

#K

1 r

K1 10

Kr0

2C

5 r

2 c

N1,

0

rC

1 2 Kr0

2C

5 r

2 e

N1,

0

rr0

%r

C1 l

2

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 12

r

2 K

6 e

N2,

0C

2 c

N2,

0K

3 e

N1,

0 a

N1,

0CcN

1,

0 a

N1,

0

#K

13

C1 8

r

2 cN

1,

0KeN

1,

0

2

#K

12

K1 24

r

2 aN

1,

0

2K

4 a

N2,

0

#K

14

r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 12

r

2 K

6 e

N2,

0C

2 c

N2,

0K

3 e

N1,

0 a

N1,

0CcN

1,

0 a

N1,

0

#K

13

C1 8

r

2 cN

1,

0KeN

1,

0

2

#K

12

K1 24

r

2 aN

1,

0

2K

4 a

N2,

0

#K

14

r0%r

108

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

c2,

1r

=

!K

12

4

945

"

2 G

2 #0

2

79 r

8C

245 r

2 r0

6C

1680 r

2 r0

6 lnr0

K609 r

6 r0

2C

1365 r

4 r0

4

!K

13 r

2K

4

945

"

2 G

2 #0

2

420 r

r0

6K

35 r

3 r0

4C

165 r

7K

294 r

5 r0

2

!K

14 r

r!r0

!K

12

4

945

"

2 G

2 #0

2

1680 r0

6 lnr

r2C

1248 r0

7 rK

168 r0

8

!K

13 r

2K

1024

945

"

2 G

2 #0

2 r0

7

!K

14 r

r0%r

C1 l

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6

1 30

13 r

4 !K

60 r0

2 r

2 !K

45 r0

4 !C

45 r0

4K

11 r

4C

50 r0

2 r

2 a

N1,

0

r03 !K

12

C1 15

r

2

5 r

2 !Cr

2K

15 !

r0

2K

5 r0

2 c

N1,

0

r03 !K

1

K1 30

K

45 r0

4 !C

45 r0

4K

30 r0

2 r

2 !C

50 r0

2 r

2C

3 r

4 !K

11 r

4 e

N1,

0

r03 !K

1

r!r0

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6 K

1 15

6 !

r0

2C

40 r

2 !K

7 r0

2K

35 r

2 a

N1,

0

r !K

12

K1 15

10 r

2 !C

5 r

2Kr0

2 c

N1,

0

!K

1 r

C1 15

5 r

2Cr0

2

6 !K

7 e

N1,

0

!K

1 r

r0%r

C1 l

2

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6 K

1 3 K

3 c

N2,

1 r0

2Cr

2 c

N1,

0 e

N1,

0Kr

2 c

N2,

0Cr

2 e

N1,

0 a

N1,

0

!K

13

K1 3

r

2 c

N1,

0 e

N1,

0

!K

12

C1 3

r

2 aN

2,

0CeN

2,

0CcN

2,

0

!K

14

r!r0

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6 K

1 3 K

3 c

N2,

1 r0

2Cr

2 c

N1,

0 e

N1,

0Kr

2 c

N2,

0Cr

2 e

N1,

0 a

N1,

0

!K

13

K1 3

r

2 c

N1,

0 e

N1,

0

!K

12

C1 3

r

2 aN

2,

0CeN

2,

0CcN

2,

0

!K

14

r0%r

d2,

0r

=

K4

315

!K

1 "

2 G

2 #0

2

1295 r

3 r0

4K

1638 r

5 r0

2C

295 r

7

r3

r!r0

K4

315

!K

1 "

2 G

2 #0

2

512 r0

7K

560 r

r0

6

r3

r0%r

C1 l

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6 K

1 5 !K

1

3 r

2K

5 r0

2 a

N1,

0

r03

K1 5

!K

12

3 r

2K

5 r0

2 c

N1,

0

r03

C2 5

!K

12 K

10 r0

2C

9 r

2 e

N1,

0

r03

r!r0

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6

2 5 !K

1 r0

2 a

N1,

0

r3

C2 5

r0

2 !K

12 c

N1,

0

r3

K2 5

r0

2 !K

12 e

N1,

0

r3

r0%r

C1 l

2

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6 KeN

1,

0

2KeN

2,

0

!K

1r!r0

16 9

"2 G

2 #0

2 r0

6 KeN

1,

0

2KeN

2,

0

!K

1r0

%r

109

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

e2,

0r

=

K4

315

!

2 G

2 "0

2 K

35 r

3 r0

4C

165 r

7K

294 r

5 r0

2

#K

1 r

3r!r0

K4

315

!

2 G

2 "0

2

256 r0

7K

420 r

r0

6

#K

1 r

3r0

%r

C1 l

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 5 K

5 r0

2Cr

2 a

N1,

0

r03 #K

1C

1 5 K

5 r0

2Cr

2 c

N1,

0

r03

C2 5

K

5 r0

2C

2 r

2 e

N1,

0

r03

r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 K

1 5 Kr0

2C

5 r

2 a

N1,

0

#K

1 r

3K

1 5 Kr0

2C

5 r

2 c

N1,

0

r3

K1 5

5 r

2Cr0

2 e

N1,

0

r3

r0%r

C1 l

2

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 e

N2,

0r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 e

N2,

0r0

%r

d2,1r

is

afh

ank

elij

k v

an d

e to

t o

p d

eze

ord

e v

rije

fu

nct

ie e

2,1r

.d[2,1]:=unapply(factor(simplify(convert(series(simplify(d[2,1](r)),inv_l),piecewise,r))),r):

d[2,1]:=unapply(piecewise(r<r0,eval(d[2,1](r_s),r_s=r),r>=r0,eval(d[2,1](r_b),r_b=r)),r):

'd[2,1](r)'=vereenvoudig(d[2,1](r),16/9*Pi^2*G^2*rho0^2*r0^6,'tweedeorde');

d2,

1r

=

#K

12 Kr

d dr

e_s 2

,1r

Ke_s 2

,1r

K8

315

!

2 G

2 "0

2

630 r

r0

6C

139 r

7K

966 r

5 r0

2C

315 r

3 r0

4

r #K

1

C8

315

!

2 G

2 "0

2

315 r

2 r0

6C

327 r

8K

903 r

6 r0

2C

315 r

4 r0

4

#K

12 r

2

r!r0

#K

12 Ke_b

2,

1r

Kr

d dr

e_b

2,

1r

K8

315

!

2 G

2 "0

2

70 r

r0

6C

48 r0

7

r #K

1

C8

315

!

2 G

2 "0

2

210 r

2 r0

6K

28 r0

8K

128 r0

7 r

#K

12 r

2

r0%r

C1 l

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6 K

1 15

r

2 K

9 #

r0

2K

25 r

2C

36 r0

2C

3 r

2 #

aN

1,

0

r03

K1 15

K

9 #

r0

2K

25 r

2C

36 r0

2C

3 r

2 #

r2 #K

1 c

N1,

0

r03

C1 10

K

94 r0

2 r

2 #C

142 r0

2 r

2C

44 r

4 #K

77 r

4K

30 r0

4 #C

45 r0

4 #K

1 e

N1,

0

r03

C6 #K

12 Kr0Cr

rCr0

eN

1,

1

r0

r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 15

6 r

2 #K

14 r

2C

3 r0

2 a

N1,

0

rC

1 15

6 r

2 #K

14 r

2C

3 r0

2 #K

1 c

N1,

0

r

K1 5

38 r

2 #K

54 r

2C

2 #

r0

2Kr0

2 #K

1 e

N1,

0

r

r0%r

110

O

O

O

O

O

O O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

C1 l

2

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 5 r

2 c

N1,

0 e

N1,

0K

1 6 r

2 c

N1,

0

2K

2 r0

2 e

N1,

1 e

N1,

0K

13

10

r2 e

N1,

0

2

K1 30

r

2

5 c

N2,

0K

15 e

N2,

0C

5 c

N1,

0 a

N1,

0C

18 c

N1,

0 e

N1,

0K

18 e

N1,

0

2K

6 e

N1,

0 a

N1,

0

#K

1K

1 30

r

2

18 e

N1,

0 a

N1,

0C

5 a

N2,

0

#K

12

r!r0

16 9

!2 G

2 "0

2 r0

6

1 5 r

2 c

N1,

0 e

N1,

0K

1 6 r

2 c

N1,

0

2K

2 r0

2 e

N1,

1 e

N1,

0K

13

10

r2 e

N1,

0

2

K1 30

r

2

5 c

N2,

0K

15 e

N2,

0C

5 c

N1,

0 a

N1,

0C

18 c

N1,

0 e

N1,

0K

18 e

N1,

0

2K

6 e

N1,

0 a

N1,

0

#K

1K

1 30

r

2

18 e

N1,

0 a

N1,

0C

5 a

N2,

0

#K

12

r0%r

111

Bibliografie

[1] M. Baes, Cursusnota’s Galactische Sterrenkunde (Universiteit Gent, 2008),

[2] M. Baes, Cursusnota’s Sterrenkunde (Universiteit Gent, 2008),

[3] M. Bañados, Eddington-Born-Infeld action for dark matter and dark energy,Phys. Rev. D 77, 123534 (2008), 1-12,

[4] M. Bañados, private communicatie (23 maart 2010),

[5] M. Bañados, P. G. Ferreira en C. Skordis, Eddington-Born-Infeld gravity and the large scalestructure of the Universe, Phys. Rev. D 79, 063511 (2009), 1-13,

[6] M. Bañados, A. Reisenegger en N. Rojas, (nog niet gepubliceerd),

[7] S. M. Carroll, Lecture Notes on General Relativity (University of California, 1997),

[8] S. M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison Wesley,2004),

[9] S. M. Carroll, Dark Energy and the Preposterous Universe, S&T: March 2005 (2005), 32-39,

[10] W. L. Craig, http://www.euroleadershipresources.org/resource.php?ID=51#_edn1,(10 maart 2010),

[11] S. De Rijcke, Cursusnota’s Kosmologie (Universiteit Gent, 2009),

[12] A. Einstein, Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzungsberichteder Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften (1917),

[13] A. A. Friedman, Über die Krümmung des Raumes, Zeitschrift für Physik 10 (1922), 377-386,

[14] E. P. Hubble, A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae,Proc. N. A. S. 15, 3 (1929), 168-173

[15] W. Kahan, http://www.cs.berkeley.edu/∼wkahan/MathH110/jacobi.pdf, (3 februari 2010),

[16] A. Kosowsky en J. A. Sellwood, Does Dark Matter Exist?, arXiv:astro-ph/0009074v1 (2000),

[17] G. Lemaître, Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de lavitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques,Annales de la Société Scientifique de Bruxelles 47 (1927), 49-59

[18] M. Lubo, Can Born Infeld Gravity Explain Galaxy Rotation Curves?, arXiv:0804.2205 [hep-th](2008), 1-7,

[19] S. McGaugh, Seeing Through Dark Matter, Science 317 (2007), 607-608,

[20] M. Milgrom, A modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hiddenmass hypothesis, ApJ 270 (1983), 365-370,

112

[21] J. P. Ostriker en P. Steinhardt, New Light on Dark Matter, Science 300 (2003), 1909-1913,

[22] R. Panek, The Father of Dark Matter Still Gets No Respect, Discover: January 2009 (2009),

[23] A. A. Penzias en R. W. Wilson, A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s,ApJ 142, 1 (1965), 419-421,

[24] S. Perlmutter et al., Measurements of Ω and Λ from 42 High-Redshift Supernovae, ApJ 517, 2(1999), 565-586,

[25] H. P. Robertson, Kinematics and world structure, ApJ 82 (1935), 284-301,

[26] W. Sarlet, Cursusnota’s Differentiaalmeetkunde II (Universiteit Gent, 2009),

[27] W. Sarlet, Cursusnota’s Theoretische Mechanica II (Universiteit Gent, 2008),

[28] B. P. Schmidth et al., The High-Z Supernova Search: Measuring Cosmic Deceleration and GlobalCurvature of the Universe Using Type Ia Supernovae, ApJ 507, 1 (1998), 46-63,

[29] H. Verschelde, Cursusnota’s Relativiteitstheorie en klassieke velden (Universiteit Gent, 2007),

[30] A. G. Walker, On Milne’s Theory of World-Structure, Proc. London Math. Soc. s2-42, 1 (1937),90-127,

[31] Wikipedia, http://www.wikipedia.org (3 februari 2010),

[32] F. Zwicky, Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln, Helvetica Physica Acta 6 (1933),110-127

113

Lijst van figuren

1.1 Een schets van de geschiedenis van het universum. Met het expanderen van het univer-sum wordt niet bedoeld dat de materie die in dat universum aanwezig is van elkaar wegbeweegt, maar veeleer dat het vacuüm waaruit het universum bestaat toeneemt. Dit fe-nomeen valt te vergelijken met twee knikkers die door een elastiek met elkaar verbondenzijn. Op het elastiek zijn afstanden aangeduid, het is dus geijkt. Rekt men nu het elastiekuit, dan is niet alleen de afstand tussen de twee knikkers vergroot, maar ook de geijkteafstanden werden beïnvloed. c© NASA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 De distributie van galactieën in ons universum. Gezien van op de aarde, die zich in detop van de afgebeelde kegel bevindt, ziet het heelal er in elke richting hetzelfde uit. Despeciale structuur die te zien is heet het kosmisch web. c© 2dFGRS . . . . . . . . . . . . 2

1.3 De geobserveerde rotatiesnelheden van de Triangulum Galaxy (M33), één van onzedichtste buren, vergeleken met de door de tweede wet van Newton voorspelde rotatie-curve. De geobserveerde rotatiecurve gaat naar een eindige, positieve waarde, terwijlverwacht zou worden dat de snelheden in de buitenste regionen van de galactie naar nulzouden naderen. c© Sheffield PPPA Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 De evolutie van de schaalfactor voor het Friedman- en het EBI-model voor α = 0.99. c©M. Bañados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 f (k) voor k ∈]1,∞[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 r(k) voor sgnA0 6= sgnB0. Merk op dat het geval A0 = 0 ontaardt in een rechte. . . . . . 23

2.4 Rotatiecurves voor v∞ = 100 km/s en k0 = 1,5 en k0 = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 De rotatiecurve (in km/s) van de Triangulum Galaxy (M33) voorspeld door het EBI-model (rood) vergeleken met het Newtoniaanse resultaat (blauw). l = 109 pc. Vergelijkook met figuur 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 De rotatiecurve (in km/s) van de Triangulum Galaxy (M33) voorspeld door het EBI-model (rood) vergeleken met het Newtoniaanse resultaat (blauw), wanneer l van galac-tische schaal is. l = 2 · 104 pc. Het EBI-veld heeft een duidelijk effect vanaf r ∼ l. Letwel, het is niet gegarandeerd dat de oplossing juist is voor r > l. . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Bovenste paneel: Het angulair powerspectrum Cl van de kosmische achtergrondstralinggemeten met de WMAP-satteliet (data-punten) en volgens het ΛEBI-model (volle lijn).Onderste paneel: Het baryon powerspectrum P(k) voor het ΛEBI-model (volle lijn) sa-men met data van de SDSS (data-punten). c©M. Bañados, P. G. Ferreira en C. Skordis . 43

4.2 Het angulair powerspectrum Cl (links) en het powerspectrum P(k) (rechts) van enkeleEBI-modellen (onderbroken lijnen) vergeleken met het best-passende ΛCDM- of ΛEBI-model (volle lijn). c©M. Bañados, P. G. Ferreira en C. Skordis . . . . . . . . . . . . . . 43

114

Lijst van documenten

A.1 Maple procedures voor het berekenen van de Christoffelsymbolen, de Ricci-tensor en de Ein-steintensor horend bij een bepaalde metriek, voor het berekenen van covariante afgeleiden, voorhet perturberen van vergelijkingen volgens een bepaalde variabele en het opstellen van de geper-turbeerde vergelijkingen voor de actie (2.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A.2 Maple code en output voor het berekenen en omvormen van de bewegingsvergelijkingen voor eenvlak, homogeen en isotroop universum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

A.3 Maple code en output om aan te tonen dat Kµν = 0 als (2.41) gekozen wordt als nulde orde vormvoor qµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.4 Maple code en output voor het berekenen van de eerste orde vergelijkingen (2.38)-(2.39), na denulde orde vorm voor gµν en qµν te hebben vastgelegd volgens (2.40)-(2.41). . . . . . . . . . . 54

A.5 Maple code en output voor het berekenen van de oplossingen van de eerste orde veldvergelijkin-gen, zoals in document A.4 berekend, maar met dk

dr > 0, in functie van r en voor het berekenenvan de corresponderende massadichtheid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A.6 Maple code en output voor het berekenen van de oplossingen van de eerste orde veldvergelijkin-gen, zoals in document A.4 berekend, maar met dk

dr > 0, in functie van k. . . . . . . . . . . . . 65A.7 Maple code en output voor het berekenen van de integratieconstanten h0, A0 en B0 en de asym-

potische rotatiesnelheid v∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.8 Maple code en output voor het algemeen oplossen van de dubbele perturbatie voor T (m)

µν 6= 0 totaan de ordes (1,1) en (2,0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.9 Maple document dat de perturbatief berekende oplossing voor een massief scalair veld dat kop-pelt aan materie vergelijkt met de exacte oplossing om meer te weten te komen over de in deperturbatieve methode vrij gelaten integratieconstanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.10 Maple code en output voor het oplossen van de dubbele perturbatie voor T (m)µν 6= 0 voor een

compacte massa. De niet zichtbare code is identiek als het begin van het algemene geval indocument A.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

115