Discrete wiskunde : cursus 28, 29 en 30 maart 1972

Citation for published version (APA):van Lint, J. H., & Seidel, J. J. (1972). Discrete wiskunde : cursus 28, 29 en 30 maart 1972:Herorienteringscursus 1972. Eindhoven: Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1972

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Download date: 08. Jan. 2020

\8 ~~<~ I N

DISCRETE WISKUNDE

J.H. van Lint en J.J. Seidel

HerorH3nteringscursus 1972

te Eindhoven

Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde

Instituut voor Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs

r~til .

~5<t~Aj

Cursus Discrete Wiskunde

Eindhoven, 28, 29 en 30 maart 1972

Docenten: Prof. Dr. J.H. van Lint en Prof. Dr. J.J. Seidel, T.H. Eindhoven.

Programma

Dinsdag 28 maart:

9.30 - 10.00 uur Ontvangst met koffie

10.00 - 11.00 1 • lnleiding Seidel

11.15- 12.15 2. Galois lichamen Van Lint

12.15 - 13.30 Lunchpauze

13.30 - 15.30 Oefeningen

15.30 - 16.00 Theepauze

16.00 - 17.00 3. Latijrise vierkanten Seidel

Woensdag 29 maart: .-

9.00 - J 0.15 uur 4. Orthogonale matrices Seidel

10. 15 - 10.45 Koffiepauze

10.45 - J 2. 15 S. Block designs Seidel

12. IS - 13.30 Lunchpauze

13.30 - 15.30 Oefeningen

15.30 - 16.00 Theepauze

16.00 - 17.00 6. Codes Van Lint

Donderdag 30 maart:

9.00 - 10.00 ·uur 7. Eindige meetkunde Seidel

10.00 - 10.30 Koffiepauze

10.30 - 12.30 8. Toepassingen Van Lint

12.35 Sluiting

12.45 Gelegenheid tot lunch. ,... '"

,

..

Hoofdstuk 1. Inl~iding. I J

v/) } ",£ 6\-Mt ~k

1.1. Hadamard matrices !iV'

Uit de 8 hoekpunten van een kubus kan men er vier kiezen die de hoek-

punten zijn van een regelmatig viervlak. Inderdaad, neem de oorsprong

van een coordinatenstelsel in het middelpunt van een kubus met ribbe 2,

neem de assen evenwijdig aan de ribben, dan voldoen de punten

( I, I, I)

( 1,-1,-1) -1 -1

(-I, 1, -I) -1 -1 ,\, I

(-1,-1, 1) . De matrix -1 -1 /

bevat slechts de getallen I en -1 en is orthogonaal. Zo'n matrix heet , een Hadamard matrix van de orde 4.

Definitie. Een Hadamard matrix H is een vierkante matrix van de orde r, r

waarvan aIle elementen 1 of -) zijn, die voldoet aan

H H T .. r I r r r

Nodige voorwaarden voor het bestaan van Hadamard matrices H zijn r

t.::: J) r = 2, r ::: 0 (mod 4).

Men vermoedt dat deze voorwaarden ook voidoende zijn. Dit vermoeden is

bevestigd voor aIle r < 188 en voor oneindig veel andere waarden van r.

Opgave 1. Bewijs de nodige voorwaarden. Maak daartoe van een rij

aIle eIementen 1, en bekijk nog twee rijen •

2.

1.2. De meetkunde van Fano

1. 3.

~(

2

10 t;6 \

011

1_0111 / 1',,:: 0

1z? ./, /.

Xd(~OO-~~~/ ~D ~ 3 \~, ~ ~ ._ ~

'1L)f 3-De meetkunde van Fano, aangeduid door PG(2,2), het binaire projectieve

vlak, bevat zeven punten I, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en zeven lijnen a, b, c,

d, e, f, g. Elke lijn bevat drie punten, door elk punt gaan drie lijnen.

Door elk tweetal punten gaat een lijn, en elk tweetal lijnen snijdt in

een punt. De meetkunde wordt beschreven door de punt-lijn incidentie

matrix N, met elementen ~-~-~7 n.. als punt i op lijn J, ~J

= 0 als punt i niet op lijn j,

N = circul ( I I 0 I o 0 o ) c;-. 6

De verzameling {I, 2, 4} is een (perfect) difference 1set. Dit betekent,

dat elke a 1. 0 (mod 7) op precies een manier te schrijven is als

a :: x - y (mod 7), met x, y IE: {I, 2, 4} .

Opgave 2. Construeer een Hadamard matrix van de orde 8, uitgaande

van bovenstaande matrix N.

Latijnse vierkanten i ) '!:l tJ

~ 2 3 4 2 3 4

2 3 4 2 4 3

'), , 3 4 2 3 4 2 /

~ ,4 2 3 4 3 2

Beide vierkanten hebben de eigenschap dat elk cij fer in elke rij en in

elke kolom slechts eenmaal voorkomt.

.A

-< ..-'

'!

..

3.

Een Latijns vierkant van de orde 4 bestaat uit 16 geordende drietallen

uit 4 symbolen, zodat voor elk paar coordinaten elk paar symbolen pre­

cies eenmaal voorkomt.

Er zijn twee (niet-isomorfe) Latijnse vierkanten van de orde 4, name­

lijk de hiervoren gegeven vierkanten.

Opgave 3. Maak twee (niet-isomorfe) Latijnse vierkanten van de orde 5.

1.4. Error correcting codes .g~/\. #A (

Zij V(4,3) de vectorruimte van dimensie 4 over GF(3). Het Galois

lichaam (GF(3) is de verzameling {O, J , -]} met als afwijkende reken-

regels 1 + 1 = -) , -1-1 ;;; 1 • Schrijf + voor 1 en - voor -I.

De vectoren

(0, +, +, +) en (+ , 0, +, -)

spannen een vlak op, dat 9 vectoren bevat:

(0, +, +, +) (0, - -) (0, 0, 0,

(+, 0, +, -) (-, 0, - +)

(+, +, - 0) (-, - +, 0)

(-, +, 0, -) (+, - 0, +)

Deze 9 vectoren hebben de eigenschap dat elk paar de afstand 3 heeft.

Daarbij wordt onder de afstand van twee vectoren verstaan het aantal

coordinaten waarin de vectoren verschillen.

V(4,3) heeft 81 vectoren, genaamd woorden. Het vlak heet een lineaire

code, en zijn 9 vectoren heten codewoorden.Onze code heeft de eigen­

schap dat hij een fout kan corrigeren, single-error-correcting is.

Onze code is perfect, omdat de bollen met straal 1 om de 9 codewoorden

disjunct zijn en de gehele V(4,3) uitputten.

0).

Opgave 4. Construeer ]6 vectoren in V(S,2), waarvan elk paar afstand

~ 4 heeft, uitgaande van de Hadamard matrix HS van opgave 2.

.. 1 .5. Gelij khoekige rechten r~r~lif\\~ Een stelsel rechten heet gelijkhoekig als de hoek tussen elk paar

rechten dezelfde is. De vier diagonalen van een kubus vormen een gelijk-

4.

1 hoekig stelsel met hoek arccos 3' De zes diagonalen van een icosaeder

vormen een gelijkhoekig stelsel met hoek arccos 1/15.

\ I

/'- --

Neem eenheidsvectoren p. langs de rechten en beschouw de matrix der 1

inproducten P = [(p.,p.)J. Voor 1 J

A [P-I] cos q>

hebben wij in de voorbeelden:

0 + + + + +

o + + + 0 ~ + +

o + + + 0 + +

A6 ::

+ + 0 + + + o

+ + o + + + o

+ + +

V~~r deze matrices geldt:

Opgave 5.

Opgave 6.

Opgave 7.

Bepaal de eigenwaarden van A4 en A6·

Construeer 28 gelijkhoekige rechten 1n de 7-dimensionale

ruimte. Gebruik hiertoe de matrix N van 1.2 en de vier

punten van 1. 1.

Construeer een Hadamard matrix H12

, door gebruik te maken

van de matrix A6 •

...

"

..

..

5.

Hoofdstuk 2. Galoislichamen •

We beschouwen verzamelingen V waarop een bewerking is gedefinieerd, dat

is een voorschrift dat aan ieder geordend paar elementen (a,b) van V een

element van V toevoegt. We schrijven het aan (a,b) toegevoegde element vaak

als ab of a+b en spreken van product resp. som van a en b.

2.1 Definitie: Een verzameling met productoperatie (G, ) heet een groep

als

GI V G Vb G V G [(ab)c = a(bc)], aE: E CE

G2

G3 : ~aEG 3bEG Cab = ba = e] •

Het element e heet de eenheid. Er is een eenheid. Als we de bewerking aan­

duiden met+ spreken we van een additieve groep.We schrijven dan LV·.v. e

meestal 0 en noemen dit het nulelement. Het is eenvoudig in te zien

dat er bij iedere a precies een b is met ab = e. We schrijven vaak

b = a-I. Als de groep additief geschreven wordt dan noemen we dit

element b de tegengestelde en schrijven (-a).

2.2 Definitie: Een groep (G, ) heet abels of commutatief als

VaEG ~bEG Cab = baJ •

2.3 Definitie: Is (G, ) een groep en H c G en (H, ) een groep dan noemen

we (H, ) een ondergroep van (G, ).

2.4 Definitie: Is (G, ) een groep en het aantal elementen van G eindig

dan noemen we dit aantal de orde van de groep.

Voorbeelden:

a) (~,+) is een (additieve) groep.

b) (Rl\{O}, ) is een (multiplicatieve) groep.

c) (Gh,+) is een groep. Deze groep is een ondergroep van (Rl,+).

d) De matrices (~ ~) met ad - be ~ 0 en vermenigvuldiging als bewerking

vormen.een groep. Hierin is (b ~) de eenheid. Deze groep is niet abels.

6.

e) De gehele getallen mod m met optelling als bewerking vormen een groep.

De orde van deze groep is m.

f) De vectorruimte Rn met optelling als bewerking is een groep. In R3 is

iedere R2 een ondergroep.

g) Het gereduceerde restklassensysteem mod 10, bestaande uit I, 3, 7 en 9,

met vermenigvuldiging mod 10 als bewerking is een groep. De orde van de

groep is 4. De vermenigvuldigingsregels kunnen in een tabel worden aan­

gegeven:

1 3 7

~ 1 1 3 7

3 3 9 1 7

7 7 1 9 3

9 9 7 3 1

h) zij (G, ) een groep. De eenheid schrijven we als I. Als a € G dan ook

a2 , a 3 , ••• • Ais in deze rij een element meer dan een keer voorkomt is

er een kleinste n waarvoor an = 1 (de rij is periodiek). Dan vormen

l,a,a2 , ••• ,an- 1 een ondergroep van (G, ). Is dit (G, ) zelf dan noemen

we (G, ) een cyclische groep van de orde n.

Het in q) genoemde voorbeeld is een cyclische groep van de orde 4.

We no~n a (in het voorbeeld~ kunnen we hiervoor 3 nemen) een voort-

brenger van de groep. d

2.5 Definitie: Als (G, ) een groep is~ a E G, dan heet de kleinste pos .. n

tLeve n waarvoor a = 1 (1 is de eenheid van de groep) de

orde van het element a.

Voorbeeld:

1,2,4,7,8,11,13,14 is een gereduceerd restklassensysteem mod 15. Als we

vermenigvuldiging mod 15 als bewerking nemen dan is dit een groep (van de

orde 8). Deze groep is niet cyclisch omdat voor aIle elementen a geldt

a4 = I (d.w.z. 15 heeft geen primitieve wortel). De groep heeft een aantal

cyclische ondergroepen zoals bijv. (1,7,72 = 4,7 3 = 13) en (1,11).

•

..

7.

2.6 Definitie: Een verzamelingmet twee bewerkingen (R,+, ) heet een ring

als

Rl (R,+) is een abelse groep,

R2 VaER ~b€R 'tC€R [a{bc) = (ab)cJ,

R3 ~ R Vb R ~ R [a{b+c) = ab + acJ en a€ € CE

V R "'b R'1 R [{a+b)c = ac + bcJ. aE E CE

2.7 Definitie: (R,+, ) heet commutatieve ring als

\faER \tbER [ab = baJ.

We noemen (R,+) de additieve groep van de ring.

2.8 Definitie: Is (R,+, ) een ring en S c R, dan heet Seen ideaal in de

ring als

V V [a - b E SJ en aES bES

V aES "'bER [ab € S & ba E SJ.

Het ideaal heet echt als Seen echte deelverzameling van R is •

2.9 Definitie: Eert lichaam is een ring (R,+, ) waarvoor {R \ {OJ, ) een

abelse groep is. (Als we "abels" weglaten dan spreken we van

een scheef lichaam.) (In de engelse literatuur: field.)

Voorbeelden:

a) (Ri,+, ) is een lichaam.

b) (Gh,+, ) is een (commutatieve) ring.

c) De 3-vouden vormen een ideaal in (Gh,+, ).

d) De verzameling van alle polynomen met gehele coefficienten met optelling

en vermenigvuldiging als bewerkingen is een ring.

e) (Gh mod m,+, ) is een ring. Als m een priemgetal is dan is het een

lichaam. Voor m = 2 hebben we een lichaam met 2 elementen (het kleinste

lichaam) •

Zij (G, ) een abelse groep, (H, ) een ondergroep. De verzamelingen

{ah I h € H} heten nevenklassen van H. Twee nevenklassen van H zijn dis­

junct of identiek. AIle producten van elementen uit de nevenklasse aH met

elementen uit bH behoren tot eenzelfde nevenklasse, namelijk de neven-

8.

klasse abH. We kunnen dus een vermenigvuldiging van nevenklassen definieren

door abH het product van aH en bH te noemen. De nevenklassen vormen dan een

groep met H, de nevenklasse vane, als eenheid. Deze groep wordt met G/H

aangegeven en heetfactotgroep van G naar H.

Voorbeelden:

a) (Gh,+) met ondergroep H bestaande uit aIle 5-vouden. Er zijn 5 neven­

klassen namelijk 0 + H, I + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H. De factorgroep is de

groep (Gh mod 5,+).

b) In het eerder gegeven voorbeeld van het gereduceerde restklassensysteem

mod IS met H = (1,4,7,13) als ondergroep, is er naast H nog een neven­

klasse, bestaande uit 2, 8, 11 en 14. De factorgroep is de cyclische

groep van de orde 2.

Is Seen ideaal in de r1ng (R,+, ) dan is (8,+) een ondergroep van de

additieve groep (R,+). We kunnen hier weer de factorgroep beschouwen. De

nevenklassen noemen we restklassen mod 8. Voor deze restklassen kunnen we

naast de optelling ook vermenigvuldiging definieren op analoge wijze.

Het is eenvoudig na te gaan dat (R/S,+, ) een ring is. We noemen dit de

quotientring of restklassenring mod S. Van deze methode hebben we al voor­

beelden gezien waaraan oak de gebruikte namen ontleend zijn.

2.10 Stelling: Als peen priemgetal is dan is (Gh mod p,+, ) een lichaam.

Bewijs: We weten reeds dat we met een commutatieve ring te maken hebben.

Is a ~ 0 een element van deze ring, dan is (a,p) = 1 en dus is er een x

met ax = (mod p) v~ Dit wil zeggen dat (Gh mod p \ {O}, )

een abelse groep is, hetgeen we moesten bewijzen.

We noemen deze lichamen priemlichamen. Ais n niet een priemgetal is dan is

de ring (Gh mod n,+, ) geen lichaam.

Eindige lichamen, d.w.z. lichamen met eindig veel elementen, zijn het

eerst bestudeerd door Galois en worden daarom oak Galois lichamen genoemd

(engels: Galois fields) en aangegeven als GF(n) (Galois lichaam met n ele­

menten). Laat (K,+, ) een eindig lichaam zijn. De eenheid noemen we I. Het

element I + 1 noemen we 2, 2 + 1 noemen we 3, enz. Daar het lichaam eindig

is vormen deze veelvouden van 1 een eindige cyclische ondergroep van (K,+, ).

Dit is zelfs een lichaam en weI een priemlichaam. Het lichaam K bevat dus

•

•

9.

een priemlichaam GF(p) als deellichaam. We beschouwen nu in Keen maximaal

stelsel lineair onafhankelijke elementen (t.o.v. GF(p» d.w.z. elementen

x 1,x2, ••• ,xm uit K zo dat c]x] + c2x2 + ••• + cmxm (0 ~ ci < p) aIleen 0

is als aIle c. = 0 zijn. Ieder element van K is eenduidig te schrijven als 1

lineaire combinatie van Xl tIm xm met coefficienten uit GF(p). Met

x1,x

2"",x

m als basisvectoren is Keen vectorruimte van dimensie mover

het lichaam GF(p). We hebben hiermee bewezen:

2.11 Stelling: Het aantal elementen van een eindig lichaam is een macht

van een priemgetal.

We delen hier zonder bewijs mee dat er slechts een lichaam is met p m

elementen. We geven het zoals eerder reeds gezegd is aan met GF(pm). (lets

beter gezegd: twee lichamen met evenveel elementen zijn isomorf.) Voor een

grondige behandeling van Galois lichamen verwijzen we naar: B.L. van der

Waerden, Algebra. We volstaan hier met het vermelden van enige stellingen

(zonder bewijs) en enige voorbeelden.

2.12 Stelling: AIle elementen r 0 van GF(q) zijn machten van een zelfde

element (primitief element), d.w.z. de multiplicatieve

groep van GF(q) is cyclisch (van de orde q-]).

m We geven nu een methode om GF(p ) te construeren. Laat f(x) een polynoom

zijn van de graad m met coefficienten in GF(p) en laat f(x) ~rreducibel_

zijn (f(x) is niet het product van 2 polynomen van lagere graad met coeffi­

cienten in GF(p». AIle polynomen met coefficienten in GF(p) vormen een

ring (R,+, ) (notatie: (GF(p)[x],+, ». De veelvouden van f(x) vormen een

ideaal S in R (notatie: S = {fex)}). De restklassenring Rls is op te vatten m-I als de verzameling polynomen Co + ctx + ••• + cm_Ix (0 ~ ci < p) met op-

telling en vermenigvuldiging mod p en mod fex) (notatie: (GF(p)[x] (mod({f(x)D,+, ).

Ais g(x) een element van Rls is en c(x) doorloopt Rls dan doorloopt ook

g(x)c(x) de hele restklassenring daar g(x)cl(x) = g(x)c2 (x) zou impliceren dat

g(x){cl(x) - c2(x)} = r(x)f(x) en dit kan niet als f(x) irreducibel is. Uit

bovenstaande voIgt dat er bij iedere g(x) in Rls een c(x) is zo dat

g(x)c(x) = I, m.a.w. Rls is een lichaam. Dit is het lichaam GF(pm) •

Het volgende voorbeeld illustreert deze methode en tevens stelling 2.12.

We construeren GF(24) door uit te gaan van een primitief element x dat vol­

doet aan x4 + X + 1 = 0 (dan is xIS = 1):

10.

0 == (0 0 0 0)

xO = (1 o 0 0)

xl = x = (0 0 0)

x2 = x2 = (0 0 0)

x 3 = x 3 = (0 o 0 1 )

x4 = 1 + x = (l o 0)

x5 = x + x2 (0 0)

x6 == x2 + x 3 (0 0 1 )

x7 + x + x 3 (1 1 0 1 )

x8 = + x2 == (I o 1 0)

x9 = x + x 3 = (0 0 1 )

x lO = 1 + x + x2 = ( I 0)

xlI = x + x2 + x 3 (0 1 )

xl2 = + x + x2 + x 3 (I 1)

x I3 = + x2 + x 3 = (1 0 1)

x14 = + x 3 = (I o 0 1)

De representatie als machten van x geeft de structuur van de multiplicatieve

groep van GF(24) en de representatie als vectoren (4-dimensionale vector­

ruimte over GF(2» geeft de structuur van de additieve groep.

We merken nog op dat we analoog aan het bovenstaande een vectorruimte

kunnen maken van de n-tallen (al,a2 , ••• ,a

n) waarbij aIle a i uit een lichaam

K gekozen zijn. Dit heet een n-dimensionale vectorruimte over het lichaamK.

Ala oefening kan men GF(3 3) construeren door bovenstaande constructie uit

te voeren m.b.v. een polynoom x 3 + ax2 + bx + c dat deler is van x I3 + 1.

Als we dan de machten van x schrijven als lineaire combinatie van 1, x en x2

met coefficienten uit GF(3), dan is x26 de kleinste macht die = I is, d.w.z.

we vinden voor de multiplicatieve groep x als voortbrenger (x is primitief

element). ..

•

•

II.

Opgave 8. Zij f(x) E GF(5)[x] en a een element van GF(Sn) zo dat f(a) = O.

Bewijs dat ook f(a 5) = O.

Opgave 9. Beschouw de polynomenx2 + alx + a2 met ai = 0, 1 of 2 (i = 1,2).

We rekenen mod 3. Welke van deze polynomen zijn niet in factoren

te ontbinden? Geef de ontbinding in irreducibele factoren van

x8 - 1.

Opgave 10. Er zijn 16 matrices (~ :) met elementen 0 of I. Als we mod 2

rekenen (gewone matrix-optelling en vermenigvuldiging) dan vormen

deze matrices een ring (ga na!). Bewijs dat er in deze ring een

matrix X is met X2 = X + I (hierin is I de eenheidsmatrix).

Bewijs dat 0, I, X en X + I een lichaam met 4 elementen vormen.

Opgave 11. Toon aan dat x2 + 1 in GF(3)[x] irreducibel is. We nemen

(GF(3)[x] (mod({x2 + Il»,+, ) als model van GF(9). Bepaal in dit

geval een primitief element a van GF(9). Toon aan dat in~~H

het polynoom x4 + I product is van twee irreducibele

dat a nul punt is van een van deze polynomen •

12.

Hoofdstuk 3. nse vietkanten.

3.1. Definitie

Een Latijns vietkant van de orde n is een vierkante matrix van de orde n,

waarvan elke rij en elke kolom een permutatie is van n symbolen {1,2, .•• ,~.

Twee Latijnse vierkanten van de orde n zijn orthogonaal, als hun superpositie

elk van de n2 geordende paren (i,j) met i,j E {1,2, ••• ,n} precies eenmaal be­

vat. Neem verder n > 2.

Voorbeeld.

2

3

orthogonaal wegens [

11

23

32

22 33J'\ 31 ~~I J 13_~

-----_.

Voorbeeld. Twee aan twee orthogonaal is het drietal

2

3 4

3

3

4

2

4

3

2

3

4

2

2

4

3

3

2

4

4

2

1

3

2

3

4

3

2

4

4

1

3

2 , ... -~-.~-~---------------.... - --

Het volgende Latijnse vierkant echter bezit geen orthogonale collega:

3.2. Het vermoeden van Euler

4~ 2

3

Stelling: Bij elke eindige groep van oneven orde nkan een paar orthogonale

Latijnse vierkanten van de orde n worden geconstrueerd.

Bewijs. Zij G = {al,a

2, ••• ,a

n} een multiplicatieve groep van orde n.

De matrices

[a. a. ] 1. J

en -1

[a. a. ] J 1.

a.,a.EG 1. J

zijn Latijnse vierkanten van de orde n. Inderdaad, in elk der matrices komt

elk der groepselementen in elke rij en in elke kolom eenmaal voor. Uit

•

voIgt echter a. 2 ~

a. ~

n+1

13.

= ak

2 • Verhef in de macht !(n+l) dan

n+1 = ~ ,dus a i = ~ ,

omdat de ne macht van elk groepselementgelijk is aan het eenheidselement

/#.. ~ }jel.I!-~~· Euler formuleerde in 1782 het volgende: VtA/J/2-1.N-'1~ '. 7 (waarom?) •

Vermoeden. Er bestaat geen paar orthogonale Latijnse vierkanten van

orde n = 2 (mod 4), n > 2.

Dit vermoeden werd in 1900 voor n == 6 bevestigd door Tarry. Voor aIle andere

n werd het echter in 1959 weerlegd door Bose, Shrikhande en Parker, die de

volgende stelling bewezen:

Stelling. Er bestaat een paar orthogonale Latijnse vierkanten van elke

orde n =F 6.

r~f ~ 3.3. Orthogonale Latijnse vierkartten L ~l

A. AL Stelling. Er bestaan ten hoogste n-I twee aan twee orthogonale Latijnse

vierkanten van de orde n ~ 3.

Bewijs~ Stel AI' A2, ••• , At vormen t twee aan twee orthogonale Latijnse

vierkanten van de orde n. Arrangeer de symbolen van elk der Latijnse vier­

kanten zo, dat de eerste rij van elke A. bestaat uit de symbolen 1,2, ••• ,n, 1.

in deze volgorde. De (2,1) plaatsen van de t Latijnse vierkanten zij.n alle

verschillend, en bevatten niet het symbool I. Daarom is t S n-l.

m Stelling. Als n = p ~ 3, p priem, dan bestaan er n-l twee aan twee ortho-

gonale Latijnse vierkanten van de orde n.

Bewijs. Zij GF(n) = {aO == 0, at == 1, a2 , ••• ,an- l } het Galois lichaam van

orde n. Definieer de n-l matrices

(a e

(a e

[a a. + a.], i,j = O,l, ••• ,n-l, e = 1, ••• ,n-I"IES" e 1. J A zijn Latijnse vierkanten, wegens .)

e £

:\ a. + a. = a a. + a.,) ==> (a. == a.,) ! ~ J e~ JJ J

a. + a. = a a. , + a.) ::;::. (a. == a. ,) 1. J e 1. J 1. 1.

V~~r e =F f zijn A en Af orthogonaal omdat uit A~ ~ ) ... 'i ' e

a a. + a. = a a. , + a., , af

ai

+ a. = a a. , + a., voIgt dat e ~ J e 1. J J f 1. J

L3] 4(, _{\I a. =0 a., en a. = a. , • ~ 1. J J

14.

Hoofdstuk 4. Orthogonale matrices.

4. I. Ret Legendre symbool

Ret Galois lichaam GF(q), q = pk, p " 2 priem, bevat, behalve het nul­

element 0, nog ~(q-l) kwadraten en ~(q-I) niet-kwadraten. Dit is op twee

manieren in te zien:

? 3 q-l (i) GF(q) \ {o} = {w, w-, w , ••• ,w • I} , w primitief.

(ii) x2 = y2ddan als x = + y in GF(q).

DeL Ret Legendre symbool x(a) van a E: GF(q) '\

is

:-[ ~ als a = 0, ~~J X(a) als a is kwadraat,

-I als a is niet-kwadraat.

Eigenschap I. x(ab) = x(a) X(b).

Bewijs: verifieer, voor a " 0, b " 0 met de primitieve w.

Eigenschap 2. Voor q - I (mod 4) is X(-I) = 1,

voor q - -I (mod 4) is XC-I) = -1. ) ~/L /

Bewijs: zij w primitief in GF(q), dan wf(q-l) = -I.

Eigenschap 3. Ix(a) o. aEGF(q)

Bewijs: er zijn evenveel kwadraten als niet-kwadraten.

Eigenschap 4. I x(a) x(a+b) = -I, voor b " 0. aEGF(q)

Bewijs: Stel a+b=ca. Als a doorloopt GF(q) \ {OJ, dan c doorloopt

GF(q) \ {I}. Inderdaad,

a + b 1

= cal a2

+ b = ca2

, dan (at-a

2)(t-c) = 0,

= a2 , omdat c " 1 wegens b ~ 0. Nu is

L x(a) xCa+b) = a~O

r c,tl

x(c) - I X(c) - X(t) = c

o - 1 "" -1.

•

4.2.

,..

I Lj~ 1.

Paley-matrices "

15.

Stelling. De q x q matrix S • [x(ar-ak)J, waar ar en ak de elementen van

GF(q) doorlopen, voldoet aan

SST = q I-J, Sj = j S = O.

Bewij 8. Elke rij van S bevat een o en q-J elementen + ) . Het inproduct van de rijen r en 8 is wegens eig.4 r X(a -ak) x(as-~) .. -)

k r voor r .; s en q-I voor r = s. Voorts is de 80m van elementen van elke rij

C .,. [ j X (-1)

o

is symmetrisch voor q - 1 (mod 4), scheef voor q - -) (mod 4)

en voldoet aan

T CC .. q I .

Bewijs. Met eigenschap 2 en de vorige stelling.

Voorbeeld. GF(5) .. {a, 1, 2, 3, 4}

met x(a) .. 0, 1, ";1, -1, 1 •

GF(7) .. {Ot 1, 2, 3, 4, 5, 6}

met x(a) = 0, I, ), -1, ), -I, -) •

Daarom zijn de volgendematrices orthogonaal:

0 0

rI -) -] -] 0 -] -1 -1

-1 0 -1 -) -) 0 -) -]

-I -) -) 0 -)

C6 .. -I

\ 0 -] Cs = -1 -1 1 0 -1 -1 1

-1 ! -1 0 -I I 1 -1 0 -I -)

-] \ -1: ] -1 0 -) I -1 -] 0

( -1 \-1 -I ) 0 -)

\l ~ \ '\ ~ (A -0 a -I Ii ~~ 11--.;:" a. -,u.

\., 1. f/., ~

16.

4.3. Conferentie-matrices / !

Een conferentie-matrix C van orde v is een vierkante matrix van orde v met

diagonaal elementen 0 en overige

C CT

= (v-l) 1.

/ elementen /+

1-1, die voldoet aan

/ !

,I

Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische [scheve] . d d . d l C-matr1x van e or e v 1S at

v :: 2 (mod 4) {

[v • 2 en/v:: 0 (mod 4)] • /

B~eWijs, Voor v :: 2 triviaal. Nee' ~ > 3, normaliseer en permuteer rijen

en kolonnnen zodat de eerste d ierijen zijn

o +

o + I ;;

o I -L- --'-' i-I -

met 1, I I, x, Y ~ u kolonnnen. Uit de inproducten concluderen wij in

het Symme\risch~nZ~et scheve geval respectievelijk:

I+X+~+~U-V-{ I + x + y - u = 0

+ x - + z~ u • 0

I + x /y -z "\ u :: 0

4(X~ = 4y = 4z~ 4u • v - 2 ,

+ x + y + z + u - v - 2

+ x + y - z - U :: 0

-) + x - y + Z - U :: 0

+ X - Y - z + U .. 0

4(x+1) :: 4(y+1) = 4z :: 4 (u+l) ... v.

Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische C-matrix

van de orde v is

v - ) = a2 + b2 , a en b geheel.

k In 4.2 werden speciale C-matrices van de orde v = 1 + p , p ~ 2 priem,

geconstrueerd. zij heten Paley-matrices, naar R.E.A.C. Paley (1933).

Er bestaan ook andere C-matrices, bijv. van de orde v :: 226,.

Het kleinste onopgeloste geval is v :: 46.

4.4. Hadamard matrices

Def. Een Hadamard matrix van de orde n is een vierkante matrix H, waarvan T aIle elementen + 1 zijn en waarvoor geldt H H = n I.

Stelling. Als H bestaat, dan is n - I, n ... 2, n _ 0 (mod 4). n

Bewijs: zie 1.1.

Stelling. Als C een scheve conferentie matrix is, dan is H = C + I n n n n

een Hadamard matrix.

T Bewijs. C = -C, dus

(C+I)(CT+I) = CcT + C + cT + I = (n-I) I + 0 + I - n I.

Stelling. Als Cn een symmetrische conferentie matrix is, dan is

H ... 2n

C + I n n

C - I n n

c - I n n

-C - I n n

een Hadamard matrix van de orde

Bewij s.

r [~C+I)2 + (C-I)2 [C+I C-I

.,. C-I -C-I (C-I) (C+I) - (C+I) (C-I)

[ 2C2

: 21 0 ] [ 2nI ...

2C2 + 21 0

4.5. Kronecker product

2n.

(C+I)(C-I) - (C-I)(C+I)

(C-I)2 + (C+I)2

2:1 ]

] ...

17.

Het Kronecker product A x B van de vierkante matrices A = [a .. ] van orde m, 1J

en B = [bk1J van orde n, is de matrix van orde mn gedefinieerd door:

A x B = •

a B rom

Eigenschappen:

(A x B) x C = A x (B x C),

(A x B)T = AT x BT,

(A x B)(C x D) = (AC) x (BD),

(aA+BB) x (yC+OD) = ayA x C + aoA x D + ayB x C + BoB x D.

18.

Stelling. Als H en H Hadamard matrices zijn, dan isH x H Hadamard matrix m n m n van de orde DDl.

Bewijs.

(H x H )(H x H )T = (H x H )(H T x H T) = m n m n m n m n

(H H T) x (H H T) = mn I x I = mn I mm nn m n mn

•

J 9.

Hoofdstuk 5. Block designs

5.1. Steiner tripel systemen

Zij V een verzameling van v elementen, zeg punten. Een tripel is een deel­

verzameling van 3 punten. Bestaat er een collectie tripels zo, d~~~

punten in precies een tripel zit? Dan meet v aan voorwaarden voldoen.

1nderdaad,

elk punt zit met elk van de v-J andere punten in een tripel,

dus zit in 6(v-l) tripels;

totaal zijn er ~ v • I(v-I) • i v(v-t) tripels.

Hieruit voIgt, dat v meet voldoen aan

v = I of 3 (mod 6).

Omgekeerd kan men bewijzen dat deze voorwaarde voldoende is. Zo'n collectie

tripels heet een Steiner tripel systeem, naar Jacob Steiner (1853), en

_lu::.e-f-t:-de-e1-gens-Ghap : KA~ t \8 11.1) Er 'i'ii,jn v puntel.n b = ! v(v-t) tripels,

elk t~p,el bLt k = 3 punten, door elk punt gaan r ... ! (v-J) tripels,

tlkraar ~ten ligt in A = I tripel. I 1 (v, k b, r, A)~- (v, 3, 6 v(v-l), 2 (v-l), I).

~tie ddan ~s v = 1,3 (mod 6).

Voorbeeld I. (v, k, b, r, A) = (7, 3, 7, 3, 1).

Dit is de meetkunde van Fano, zie 1nleiding 1.2, met punt-tripel incidentie

trtatrix /

~ ~ = circ ,,,A(} '\./ I\\)V Deze matrix voldoet

.. J / "" N ' . 3' '\"T N 3,T J /= J , j\ = J

(I ] 0 1 0 0 0).

aan

, NNT = 21 + J •

, ./

Voorbeeld 2. (v,k, h, r, i..) == (9, 3, 12, 4, 1). /

De punt-trip~l incidentie matrix N voldoet aan /

Nj == 4j ,/jTN = 3jT , NNT

== 31 + J.

Hieraan~oldoet het tripel systeem aangegeven door de volgende 12 lijnen, /

later'AG(2,3) te noemen.

/ .

Voorbeeld 3. (v, ~b, r, A) == (13,

Nj == 6j, j TN == 3j/ , NNT

.. 51 + J •

Hieraan vOldoei~ = [N1 . !t/ Nt == cuc ) 0 o N2 == eire (0 0 0 0

./

o 0 o o o 0

3, 26, 6, 1).

o 0 0 0) ,

o 0 0 0)

Voorbeeld 4. (v, k, b, r, i..) = (15, 3, 35, 7, I).

Nj = 7j

Hieraan voldoen de 15 punten en 35 lijnen van PG(3,2).

Opmerking.

Voorbeeld 3 heeft 2 oplossingen, voorbeeld 4 heeft 80 oplossingen.

5.2. Block designs

Lemma. Zij M een (rechthoekige of vierkante) matrix. Dan hehben T T MM en M M dezelfde eigenwaarden ~ 0, met dezelfde multiplici-

teiten.

20 .

e

ft ) 'l ! i L

.~p _ \:1; Bewij s. Zij A P 0 eigenwaarde van MMT, met eigenvector ~ P o.

xa)'MTx

21.

T T T T MM ~==A!.,M ~p.Q.,MMM I

~s A is eigenwaarde van MTM, met eigenvector MT x •

Evenzo, als a~ + aZ p Q in de eigenruimte bij de eigenwaarde A P 0 ~an MMT,

dan is aMT

x + aMT y P Q in de eigenruimte bij de eigenwaarde A van MTM. Q.e.d.

Zij V een eindige verzameling van v punten. De delen van V heten blokken.

Een IBD, incomplete block design, is een verzameling van, zeg b, blokken.

Een BIBD, balanced IBD, is een IBD met

(I) elk blok heeft evenveel, zeg k, elementen,

(2) elk paar punten ligt in evenveel, zeg A, blokken,

(3) 0 < A en k < v-l.

Voor een BIBD gelden dan de volgende eigenschappen:

(4)

~ elk punt ligt in evenveel, zeg r, biokken,

r(k-I) = A(v-l), bk == vr,

die wij weldra zullen bewijzen.

\~en BIBD, zeg block design, wordt beschreven door

incidentie matrix N == [n,.] gedefinieerd door lJ

\ n" = f I als punt i ligt in blok j,

~ lJ to als punt i niet ligt in blok

Volgens definitie geldt dat

}(J) elke kolom van N heeft k enen,

li2) elk paar rijen van N heeft inproduct A.

/ /

zijniv x b punt-blok

~J_rN_-r\-...::l~~~:':""'· -'---, I, ___ .. __ t,-

t __ ---'1'(----- v

j. ~j ~ ~ -- --I

__ --+-1 --------

J

Stel de i e rij van N heeft r i enen. Tel het aantal paren (h,j) waarvoor geldt

~ Volgens

(n." n h ,) == (1,1). lJ . J

(2) is dit aantal (v-I»),. Volgens (I) is dit aantal r.(k-I). 1

Hieruit voIgt:

(4) elke rij van N heeft evenveel, zeg r, enen, en r(k-l) - ).(v-l).

Tel nu op twee manieren het totale aantal enen in N, dan voIgt vr • bk.

22.

/ I

/In termen van de punt-blok incidentie mat:r:ix N wordt 'i,een block design dus

/ gedefinieerd door

NNT _ (r-A) I + AJ , . . .T k:T NJ = rJ , J N - J ,

vr = bk , r(k-l) • A(V-J) •

Voorbeeld J. Steiner tripel systemen.

I Voorbeeld 2. N = circ (1 a a 0)

\ \

definieert een block design met (v, k, b, r, A) • (7, 4, 7, 4, 2).

Voorbeeld 3. Een block design met (v, k, b, r, A) • (8, 4, 14, 7, 3) wardt

gegeven door de 8 hoekpunten van een kubus en de volgende J4 blokken:

de 6 zijvlakken, de 6 diagonaalvlakken, de 2 regelmatige viervlakken ge­

vormd door de hoekpunten. Een betere voorstelling wordt verkregen door de

8 punten van de vectorruimte van dimensie 3 over GF(2), en de 14 vlakken

x = 0, y = 0, z = 0, x+y = 0, x+z - 0, y+z - 0, x+y+z - 0,

x = I, Y = I, z = I, x+y = I, x+z - I, y+z • I, x+y+z • I.

Stelling (Fisher '. In een block design geldt v ~ b.

Bewijs. De eigenwaarden van de v x v matrix

NNT _ (r-A) I + AJ

zijn (v-I) maal (r-A) en eenmaal

r - A + A v - rk.

Deze eigenwaarden zijn ~ O. Volgens het Lemma heeft de b x b matrix NTN

tenminste deze v eigenwaarden, benevens eventueel b-v eigenwaarden O.

Daarom is b ~ v.

Een BIBD met b - v heet een symmetrisch block design. De matrix N is dan

vierkant, en r = k, en we hebben

Nj = kj, jTN = kjT, NNT = NTN = (k-A) I + AJ

(det N)2 = k2 (k-A)v-J , ". t-1

dus lk-,,] moet een kwadraat zijn.

Een projectief vlak PG(2,n) van orde n > 1 is een symmetrisch block design

met

b = v - n2 + n + I, r • k - n + I, A • J.

~ / Voorbeeld. De meetkunde van Fano, zie 1.2. t I

Omtrent het bestaan van PG(2,n) is het volg~nde bekend. i

Stelling. PG(2,pm), p priem, bestaat, zie 7.3.

Stelling. Als PG(2,n) bestaat, en n = ) of 2 (mod 4),

dan geldt n = a2 + b2 , a en b gebeel.

23.

Een gevolg hiervan is, dat PG(2,6) niet bestaat. Het bestaan van PG(2,IO)

is een open probleem.

5.3. Block designs en orthogonale matrices

Stelling. Een genormaliseerde Hadamard matrix van de orde 4t ~ 8 is equi­

valent met een symmetrisch block design met parameters

(v, k, 1) = (4t-t, 2t-l, t-l)~

Bewijs. Schrijf de Hadamard matrix volgens

dan voldoet de vierkante R van

RRT • 4tI - J, Rj -

orde 4t-1 we gens S·" ~ '1 ..1' W., .T

-J, ;IJilt! - -J ~ /'" i, V U l II II v

T HH • 4tI aan

De incidentie matrix N van het symmetrische block design voldoet aan

NNT = tI + (t-l) J, Nj • (2t-l) j, jTN • (2t-l) jT.

Het verband tussen R en N wordt gegeven door

Voorheeld: opgave 2 van de Inleiding.

Stelling. Als er een C-matrix van orde n bestaat, dan is er een block design

met parameters

(v, k, h, r, 1) - (n, jn, 2n-2, n-l, jn-I) •

Bewij s. Normaliseer de C-matrix volgens

24.

dan voldoet de matrix S. van orde n-l, aan . . 'f' +r1 ~'I''\

SST = (n-l) I - J t Sj .. Ot;~t~UJJo~ '-Het gevraagde block design wordt nu gegeven door

[

.T

N .. J

~ (J-S-I)

OT 1 ~(J-S+I)

..

25.

Hieronder volgen enkele opgaven betreffende de hoofdstukken 3, 4 en 5.

Opgave· 12.

a) Bepaal 7 met hoekpunten uit {1,2,3,4,5,6,7} zo,

dat elk paar driehoeken een hoekpunt gemeen heeft.

b) Bepaal ]4 verschillende driehoeken met hoekpunten uit

. {1,2,3,4,5,6,7} zo, dat elk paar punten in twee driehoeken

ligt.

Opgave 13. Gegeven

1

2

3

A :=

n

2 3 . . . . n-l n n n-I 3 2

3 4 n n . . . . 4 3 2

4 5 2 2 5 4 3

, B :=

2 n-2 n-I n-I n-2 2 n

Bewijs dat A en B orthogonale Latijnse vierkanten zijn dan en aIleen

dan als n oneven is.

Opgave 14. De 9 elementen van GF(9) worden voorgesteld door aIle getallen van

de vorm ax + b, waarbij a en b doorlopen GF(3) en x voldoet aan

x2 + 1 = O.

+)

x+1

a) Welke elementen van GF(9) \ {a} zijn kwadraat?

b) Welke van de 8 elementen I - y, Y E GF~) \ {I} zijn kwadraat?

c) Construeer een Conferentie matrix van de orde ]0.

26.

Opgave IS. De (0,1) matrix N heeft afmeting 6 x 10. Elke rij bevat 5 enen

en 5 nullen. De Hamming afstand van elk paar rijen is ~ 6 (zie

1.4 of 6.1).

a) Bewijs dat elk paar rijen ten hoogste 2 enen gemeen heeft.

b) Bewijs dat elke kolom ten hoogste 3 enen heeft.

c) Bewijs dat elke kolom precies 3 enen heeft.

d) Bewijs dat N de incidentiematrix van een block design is en

geef de parameters van dit block design.

Opgave 16. Zij fen) het maximum aantal tripels, dat kan worden gekozen uit

een verzameling van n symbolen, zodat elk paar tripels een sym­

bool heeft.

a) Wat is f(7)?

b) Bereken f(n) voor n = 3,4,5,6. ~~~ KAA" QJb

c) Uit 15 symbolen ~neB twee totaal verschillend stelsel van '" fj,J~"",

7 tripels worden gekozen, ~ elk paar tripels een symbool

gemeen heeft. Geef deze stelsels aan.

d) Bereken fen) voor n ~ 7.

•

•

27.

Hoofdstuk 6~Codes •

Beschouw een verzameling van q verschillende symbolen(alfabet) en vorm

aIle rijtjes van n van deze symbolen(wootden). We noemen deze verzameling

V(n,q). Een deelverzameling C c V(n,q) heet een code.We definieren:

6.1. Definitie: Als x = (x1' ••• ,xn ) E V(n,q) en"l = (Y1, ••• ,Yn) E V(n,q)

dan is

d(x,v) := het aantal indices i (I ~ i ~ n) zo dat x. ~ y .• - , 1 1

d(e'''l) heet Hamming-afstand van x en "l (zie 1.4).

We beschouwen nu het volgende model van een communicatiekanaal:

6.2. Definitie: Een binaitsymmetrisch kanaal met kans p op fout (0 ~ p ~ ~)

o o

is een systeem met 2 mogelijkeingangssignalen (0 en I) en

dezelfde twee uitgangssigrtalen zo dat voor beide ingangs­

signalen de kans p is dat het verkeerde signaal uitgangs­

signaal is.

6.3. Voorbeeld van gebruikvan codes: Stel dat we een binair symmetrisch

kanaal met kans p = 0.02 op fout overkomen ter beschikking hebben en dat

dit kanaal 2 signalen per tijdseenheid kan verwerken. Via dit kanaal wil­

len we de resultaten overbrengen van een experiment waarbij met constante

snelheid, nl. een maal per tijdseenheid, met een munt kruis of munt wordt

geworpen. Als we nu bij iedere keer kruis een 0 zenden en bij iedere keer

munt een ] dan zal de ontvanger informatie ontvangen waarvan ongeveer 2%

fout is. Stel dat we nu wachten tot twee keer is geworpen en steeds na

elke twee worpen 4 signalen zenden als volgt:

munt - munt

kruis - munt

~ 0 000

~ 1 0 0

munt - kruis ~ 0 1

kruis - kruis ~ 0

28.

De ontvanger wordt opgedragen bij ontvangst van een ander viertal een van

de eerste drie plaatsen te veranderen zo dat een van de vier rijtjes ont­I

staat. Merk op dat we door zo het kanaal te gebruiken in de tijd het ex-

periment precies bijhouden. We hebben nu de volgende kansen:

P(4 symbolen goed) = q4,

P(I fout onder de eerste drie) = 3pq 3,

en ~n beide gevallen zal de ontvanger na ':decoderen" 2 goede resultaten

hebben. Twee foute resultaten vindt de ontvanger als het 4e symbool goed

doorkomt en onder de eerste drie ~ Z fouten waren. De kans hierop is

p3q + 3p2q2. Blijft over een kans p dat de ontvanger althans een van de

experimenten goed doorgegeven krijgt. Gevolg is dat ongeveer 1,12% van de

totale informatie onjuist is. Dit is veelbeter dan eerst.

Laten we nu wachten tot 3 worpen zijn voltooid en steeds na elke 3 zes

signalen zenden. We kunnen weer h~t experiment in de tijd bijhouden! Nu ,. c

zenden we als voIgt: Laat (a l ,aZ,a

3) het resultaat van de worpen zijn.

Neem a4 := a2 + a 3 , as := a3 + aI' a6 = at + aZ (aIle optellingen in GF(2».

Zend nu (a1,aZ, ••• ,a6). De ontva~ger decodeert als voIgt: Zoek een mogelijk

signaal met zo klein mogelijke Hamming-afstand tot het ontvangen signaal.

Dit noemt men maximum-likelihood~decoding~ De lezer control ere nu zelf dat

de ontvanger nu nog slechts 0,Z9% foute informatie ontvangt. Door steeds

langere codes te gebruiken kan men de informatie willekeurig nauwkeurig

over het als voorbeeld gekozen kanaal zenden! i Het vinden van codes, de bestudering van deze codes en het ontwerpen van

decodeerprocedures zijn de onderwerpen van de "coding theory".

6.4. Hadamard codes.

Zij H een Hadamard matrix van de orde 4h. We construeren een code van· 8n

woorden van de lengte 4n met {O,l} als a1fabet door (al""'~n) als code­

woord te nemen als + (2al-l, 2a

2-1, ••• ,2a -1) een rij van His. Nu is voor

- ~n

twee rijen van H het inproduct 0, dus hebben de door ons geconstrueerde

woorden afstand Zn of 4n.

Voorbeeld:

H [! ! -! -;] 1 -I 1-1 1 -I -) I

c

o 0 1 1 o 0 I I o 1 1 0 o 1 1 0

o 0 I 1 1 1 o 0 o 1 1 0 1 0 o

•

29.

Ais vorengenoemde code gebruikt wordt (bijv. voor een binair symmetrisch

kanaal) en het kanaal introduceert e < n fouten dan leidt de reeds eerder

genoemde maximum likelihood decoding tot een correcte interpretatie. Men

spreekt nu van een e-fouten-verbeterende code. T Een decodeerprocedure kan als voIgt werken: We ontvangen ~ = (x

1, ••• ,x

4n).

Bepaal nu H(2~-i) =: X. Als er geen fouten in xT zitten zijn aIle componenten

van X op een na 0 en de andere component is + 4n. Bij e < n fouten geeft op

analoge wijze het inproduct met de gtootste absolute waarde eenduidig aan

wat het gezonden woord geweest is.

+-30.

Hoofdstuk 7. Eindige meetkunde

• 1. Vectorruimten over Galois lichamen

efinitie. V(n,q) is de vectorruimte van de dimensie n, waarbij de getallen

worden genomen uit het Galois lichaam GF(q).

De lineaire algebra van V(n,q) heeft veel gemeen met de gewane lineaire

algebra over R, het lichaam der reele getallen. Er zijn echter ook ver­

schillen, bijvoorbeeld omdat het aantal vectoren van V(n,q) eindig is, nl. qn. ~;""'M'~

Voorbeeld. V(3,2) heeft 8 lineaire vectoren (x,y,z), met coordinaten 0 of I.

Voorbeeld. V(2,3) heeft 9 ternaire vectoren (x,y), met coordinaten 0, I, -I.

Zij A(s,n; q) het aantal lineaire deelruimten V(s,q) van V(n,q).

Bewijs. Elke rechte door ~bevat behalve Wnog q-I vectoren. Daarom zijn

er (qn_I)/(q_l) rechten door ~, en evenveel ~en door 6. Het aantal

der V(s+l,q) in V(n,q), die een gegeven V(s,q) bevat~ (). ')(~~o --- •... _, ~ '/(t-.'.-r ~il

it ~1A 1/(/)/1) qn_qs .. qn-s_ J . ', ... .;..()2.1. _\~~ 8+1 s q-l .~_ /

~ ).P;. 1 I/{ 117-/1'1;) q -q r;;L· , V ( / J ,'- -~c ,~1~?\ 1~) lI( '?+u 1lA16jt

Daarom geldt r,,-~ /.I/A{iJ.A ~uL-t0 V ( ? \., n-s

q -I / A(s,s+J; q) A(s+l,n; q) • A(s,n; q) q-J' I if s+.l Wegens A(s,s+l; q) .. (q -J)/(q-J) voIgt het gestelde. I

I­

( ,voorbeeld.

V Voorbeeld. ~ \ Voorbeeld.

Voorbeeld. ".

V(3,2) bevat 7 rechten en 7 vlakken door W.

Elk vlak door e' bevat 3 rechten door 8'.

V(2,q) bevat q+1 rechten door W.

V(3,q) bevat q2+q+l rechten, en

q2+ q + ] vlakken door ~.

V(4,2) bevat 15 reehten, 3 ~l~ en 15 drie-ruimten door d. 4 ..

:z. - '2. J 5' .. -r-._J '2.. - 2

2.

..

..

•

7.2. Block

(Stelling. De V(I,q) en de V(s,q) van V(n,q), < s < n, vormen'de'punten en

\ de blokken van een block design met I (Jt~ ~/f,1 r \ A(J ) k A(1 ) b A( ) i CL&WlJt~~ oil ,1. 11, v = In; q 1'= ,s; q, = s,n; q, ! .g~ -t<..:

v\.t,/i ,~

r - A(s-I. n-I; q). A • A(S~2. 0-2; q). -J I c~i4~. ~)'+ : -t.. \

Dit block design is symmetr1Scb ddan al8 f .. n-I. () 1J.iJJl l()<A 1- r ~) ---'.- -- ------- '~----s-~- - -

Bewijs. Elke V(s,q) bevat evenveel V(I,q), namelijk (q -l)/{q-l).

Voorts liggen twee gegeven recbten door ~ in een aantal A deelruimten V(s,q),

dat onafbankelijk is van die recbten. Inderdaad, zotn V(s,q) is bepaald door

s van de n basisvectoren van V(n,q), waarvan er twee langs de gegeven recbten

kunnen worden gekozen. Er zijn dus s-2 basisvectoren vrij te kiezen uit de

overige n-2 basisvectoren van V(n,q). Daarom is A - A(s-2, n-2: q).

Voorbeeld. De 7 rechten en de 7 vlakken door W van V(3,2) vormen PG(2,2).

Voorbeeld. De 15 rechten en de IS drie-ruimten door Wvan V(4,2) vormen

(v,k,A) = (IS, 7, 3) •

Voorbeeld. De 15 rechten en de 35 vlakken door d van V(4,2) vormen

(v,k,b,r,l) - (J5, 3, 35, 7, J).

7.3. Het projectieve vlak PG(2,q)

Stelling. m PG(2,q), q - p , p priem, met

b s v = q2 + q + I, r. k • q + I, A· I,

bestaat.

Bewijs. Pas de stelling uit 7.2 toe op V{3,q), namelijk op de

(q3-1)/(q-l) rechten door ~ en de (q3-1)/)q-l) vlakken door ~. Elk vlak door

~ bevat q+1 rechten door ~ en door elk tweetal recbten door ~ gaat een vlak. ------------ ~ ;.(

Bij proJectieve vlakken/is men gewend om, in plaats van over punt en en blok­/

ken, te sp~eken over prunten en lijnen. Blijkbaar geldt in PG(2,n) \\ / P ~ Door! elk paar punt en gaat een lijn.

P2. ''E.d paar lijnen heeft een punt gemeen.

P3.~ ijn 4 verschillende punt en waarvan geen drietal op een

/ lijn igt.

projecti~,fe vlakken 1 en zich ook omgekeerd uit deze 3 axioma's opbouwen.

32.

~ Wanneer ui~en prOj~ef vlak een lijn t en de punten van die lijn worden

~ ~weggelaten, d~n bli5ven er over n2 punten en n(n+l) lijnen, die het z.g. \ /

*~ affiene vlak AG){~n) vormen. Twee lijnen heten evenwijdig, wanneer ze in de

oorspronkelijk/PG(2,n) een snijpunt op ~ hebben. De eigenschappen PI, P2, / \

P3 gaan oveY/in de\oekende axioma's van de vlakke meetkunde. / . / \

Voorbeet~: V~~r AG(2,~ zie voorbeeld 2 van 5.1. 7

7.4. Lineaire codes.

Een lineaire (n,k) code over GF(q) is een lineaire deelruimte van dimensie k

van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over GF(q). De codewoorden, dat

zijn de vectoren van de lineaire deelruimte, hebben de volgende eigenschap:

, et verschil van twee codewoorden is weer een codewoord. Daarom worden de

Hamming-afstanden tussen de paren codewoorden bepaald door de Hamming­

afstanden van het codewoord ° tot de andere codewoorden.

is een

AIle

de 9

Het gewiqht van een codewoord is het aantal coordinaten f ° van

co /woord.

lak in V(4,3), opgespannen door

(1,0,1,2)

lineaire (4,2) code; n = 4, k = 2, q = 3, z~e Inleiding 1.4.

f Q hebben gewicht 3, dus de onderlinge Hamming-afstanden

zijn 3.

Een lineaire code kan op verschillende manieren worden beschreven:

Een generator matrix G van een lineaire (n,k) code is een k x n matrix,

waarvan de rijen worden gevormd door k basisvectoren van de code. k d' . De q codewoor en z~Jn

~TG, met ~T = (ul, ••• ,uk), ui € GF(q).

Een parity check matrix H van een lineaire (n,k) code is een (n-k) x n

matrix over GF(q) zo, dat de qk codewoorden zijn de vectoren

T x = (xI' ••• ,xn) met Hx = °

..

•

33.

Voorbeeld:

o 2

2 o

duiden aan de generator en de parity check matrix van het vorige voorbeeld.

1nderdaad, er geldt

T GH = 0 •

Door geschikte basiskeuze kan de generator matrix van een lineaire (n,k)

code worden gekozen als voIgt:

G = [I k

NJ , met k x (n-k) matrix N = [no . J lJ

Dan luidt de parity check matrix van die code:

T omdat GH = O. De codewoorden zijn nu eenvoudig op te schrijven, immers kies

k E

i=l x. n ..•

1 1J

opmerking;~""Xk heten de information symbols, xk+1, ••• ,xn heten de

parit)/check SymbOIS· W ~ : ~ ~ ~; I

7.5. Hamming codes oc;?i 110'

Binaire Hamming codes zijn lineaire codes met de volgende parity check m matrix H van afmeting m x (2 - 1). De kolommen van H zijn I Q, verschillend,

en bevatten slechts de elementen 0 en I van GF(2).

Voorbeeld, voor m = 3,

o o

o

1

o o

o 1

o m De lengte van de binaire Hamming code is n = 2 - I, en de dimensie is

k = 2m - I - m. Het minimum gewicht van de codewoorden lOis 3. Inderdaad,

een codevector is een oplossing ! van

Hx = 0

34.

T enelke x = (x1' ••• ,x) ~ 0 heeft tenminste 3 coordinaten ~ 0, omdat elk n -tweetal kolommen van H een som ~ 0 mod 2 heeft. Daarom zijn de Hamming

codes l-error-correcting. Het corrigeren van een fout geschiedt als voIgt.

Stel X = x + e is het ontvangen woord, afkomstig van een codewoord ~, , d' .. d' ( )T doch met een fout 1n e J-de coor lnaat, e = 0 •• 0 1 0 •• 0 • Dan wordt

door

HX = H~ + H~ = H~ = j-de kolom van H

de plaats van de fout aangeduid, omdat de j-de kolom van H juist de binaire

representatie van het getal j is.

Opmerking.

is de parity check matrix van een lineaire code van lengte 2m en dimensie m * 2 - m - 1, met d ~ 4. Inderdaad, elk drietal kolommen van H heeft som ~ 0

mod 2. Deze lineaire code is dus 2-error-detecting.

Voorbeeld.

is de H van een lineaire (8,4) code met d ~ 4. Deze code, die 24 = 16 code­

woorden van lengte 8 bezit, is een Hadamard code volgens 6.4.

Hamming codes over GF(q) zijn lineaire codes met een m x (qm - I)/(q - I)

parity check matrix H. De kolommen van H zijn ~ Q, twee aan twee onafhan­

kelijk, en bevatten de elementen van GF(q).

Voorbeeld.

H = [~ ~ ~ ~ 0 0 0 20

1 ~21]-) ~._0 __ 2 __ 0 ______ 2~ _____ ..-/

is de parity check matrix van een lineaire code met 310 codewoorden van

lengte 13, die I-error-correcting is.

..

• •

"

l

1-.I

I Opgave 17. Beschouw aIle polynomen

7 l:

35 •

i a.x met a. = 0, 1 of 2 (i = 0,1, •• ,7) ~ 1 : i=O

en r~ken daarmee mod 3 en mod (x8 - I)

(GF (~)[xJ (mod (fx8 - I}» , +, ».

(d.w.z. beschouw

In deze ring vormen aIle veelvouden van x2 + x + 2 een ideaal S

(ga na!). Beschouw nu de S-dimensionale vectorruimte RS bestaande

uit de vectoren (aO,a1, •• ,a7) met ai = 0,1,2 (i = 0, •• ,7) en op­

telling etc. mod 3. Laat VcR gedefinieerd zijn door

7 (a

O,a

1, •• ,a

7) E V : ~ l:

i=O

i a.x E S. 1

Toon aan dat V eenlineaire deelruimte van RS is (dimensie?).

Toon aan dat uit (aO,al

, •• ,a7) E V voIgt dat (a7,aO

,a1

, •• ,a6

) € V

(dit heet een cyclische deelruimte).

Opgave IS. Zij a een primitief element van GF(16). Beschouw de verzameling V

van aIle polynomen C(x) = Co + ctx + •• + c 14x 14 met coefficienten

in GF(2) waarvoor geldt

-Zij V de code bestaande uit

14 V Co + ctx + •• + c 14x E •

Hoeveel information symbols

3-error-correcting code is.

de woorden (cO,c 1' •• ,c 14) waarvoor

Toon aan dat V een lineaire code is.

bevat elk woord? Bewijs dat dit een

36.

Hoofdstuk 8. Toepassirtgen.

8.]. Proefvelden.

Op een vierkant stuk bouwland wil men n soorten graan zaaien, en de oogst

vergelijken. Hiertoe verdeelt men het stuk land in n2 subvierkanten. We ne­

men aan dat (misschien) de grond niet overal even vruchtbaar is maar dat de

afhankelijkheid zo is dat E(y .. k

) = gemiddelde oogst per m2 voor het k-de ~J

soort graan gezaaid in i-de rij en j-de kolom = P + ~. + v. + Pk

waarbij 1 J

E ~. = E v. = E Pk

= O. Hierin is p de gemiddelde oogst per m2 • Men wil ~ J

vragen van het type: ttzijn de graansoorten verschillend in kwaliteit",

lIis er werkelijk verschil in vruchtbaarheid voor verschillende rijen resp.

kolommen" enz. beantwoorden. Als men de k-de soort graan zo zaait dat in

iedere rij en iedere kolom een subvierkant met deze soort voorkomt dan is

de gemiddelde oogst over deze proefveldjes p + Pk omdat E ~i = E Vj = O.

D.w.z. de invloed van de plaats is geelimineerd. Om aIle soorten zo te

zaaien moet men van het proefveld een Latijns vierkant maken.

8.2. Intensiteitsmetingen.

Om de invloed van verschillen in lichtintensiteit op het oog te bestuderen

heeft men proeven gedaan met een televisiescherm waarop n verschillende in­

tensiteiten voorkwamen. Het scherm werd verdeeld in n2 vierkantjes. Weer ge­

bruikte men een Latijns vierkant. De experimentatoren wilden graag dat ieder

geordend paar verschillende intensiteiten (a,b) eenmaal horizontaal en een­

maal verticaal voorkwam. Als oefening kan de lezer proberen een dergelijk

Latijns vierkant te construeren.

8.3. Statistische analyse van buizenfabricage.

Dit voorbeeld is afkomstig van een plaatselijke fabriek waar radiobuizen

worden gemaakt. Er zijn vier bewerkingen, te weten a) maken van de wolfram­

draad, b) maken van de spiraal, c) aanbrengen van de AI2

03-laag , d) buizen­

fabricage. De productie vertoonde een veel te grote spreiding in de gemid­

delde gloeistroom. De 4 afdelingen gaven elkaar de schuld en door middel

van een experiment moest worden uitgemaakt welke van de 4 factoren oorzaak

van het verschijnsel was. I.v.m. tijd en kosten wilde men niet te veel bui­

zen testen.

•

..

•

37.

Voor dit soort experimenten is een grieks-latijns vierkant het hulpmiddel.

Beschouw een latijns vierkant van de or de 7 met elementen A, B, C, D, E, F,

G en een met elementen a, b,c,d, e, f, g ZQ dat deze twee orthogonaal

zijn. Op 7 verschillende dagen wordt een partij wolframdraad gemaakt en van

elke partij maakt men op 7 verschillende dagen spiralen. Een steekproef van

15 spiralen uit elke partij geeft een groep van 49 keer 15 spiralen. Deze

plaatst men op het grieks-Iatijns vierkant en weI draad van de i-de dag in

i-de rij, spiraal van j-de dag in j-de kolom. De 7 partijen op een A-plaats

worden op een dag van de Al2

03-laag voorzien en teruggeplaatst etc. Daarna

worden de 7 partijen op een a-plaats op een dag in buizen gemonteerd, etc.

Na 28 dagen heeft men 49 keer 15 buizen en aan elke groep worden dan gloei­

stroommetingen gedaan. Deze opzet heeft bereikt dat voor elke fase de pro­

ductie van een dag voor iedere andere fase over 7 dagen is verspreid. Het

experiment toonde duidelijk aan dat de spreiding (voor verschillende dagen)

bij de buizenmontage te groot was.

8.4. Kleine experimertten.

Het komt vaak voor dat men enkele factoren wil onderzoeken maar dat door

tijdgebrek of hoge kosten het niet mogelijk is iedere mogelijkheid voor de

eerste factor te'koppelen met iedere mogelijkheid voor de tweede.

We nemen als voorbeeld een opject dat uit 7 verschillende soorten metaal

kan worden gemaakt. Er zijn 7 verschillende processen mogelijk voor de fa­

bricage. Het is te duur aIle 49 combinaties te onderzoeken. Hoe nu het ex­

periment op te zetten? Voorbeeld 1.2 op bIz. 2 geeft een oplossing. De me­

talen nummeren we van 1 tIm 7 en aan ieder productieproces kennen we een

biok toe. We bereiken dat het eindproduct door elk proces 3 keer is gemaakt,

met elk metaal 3 keer is. gemaakt en dat er voor ieder tweetal processen

een metaal is dat met be ide processen is verwerkt. Door middel van varian­

tie-analyse bepaalt men daarna wat de beste keuze is.

8.5. Foto's van Mars.

Voor het naar de aarde seinen van de foto's gemaakt door de Mariner Mars

1969 is een zg. (32,6) biorthogonale Reed-Muller code gebruikt. Dit komt

neer op een speciale Hadamard code zoals in 6.4 behandeld. De code ontstaat

uit (: ~) door vijf keer de stelling uit 4.5 toe te passen.

38.

8.6. Conferentietelefortie.

De n directeuren van een concern wensen hun conferenties per telefoon te

houden, zodanig dat elke directeur met elke collega kan spreken en dat de

anderen hun discussies kunnen horen. De constructie van een daarvoor ge­

schikt cortfeterttie~rtetwerk (een lineaire, verliesvrije, frequentie-onafhan­

kelijke, reciproke n-poort, met uniforme verdeling en zonder reflectie) is

gelijkwaardig met de constructie van een symmetrische conferentie matrix.

8.7. Weegschema's.

Stel dat v objecten gewogen moeten worden in v wegingen met een balans.

We nemen aan dat aIle wegingen eenzelfde variantie hebben, onafhankelijk

van de belasting van de schaal. We verlangen nu dat de wegingen zo worden

uitgevoerd dat de gemiddelde variantie van de geschatte gewichten minimaal

is.

We geven het schema als voIgt aan: als bij de i-de weging het j-de object

op de linkerschaal ligt, dan is a .. = 1, terwijl voor de rechterschaal 1J

a .. = -1 en verder nemen we a .. = 0 als het j-de object bij de i-de weging 1J 1J

niet meedoet. Door Hotelling is bewezen dat als v = 0 (mod 4) de beste

weging gevonden wordt door te eisen dat A = (a .. ) een Hadamard matrix is. 1J

De geschatte gewichten hebben dan gelijke varian ties en ze zijn niet ge-

correleerd. Als v = 2 (mod 4) is een C-matrix het beste weegschema.

8.8. De voetbalpool.

Het laatste voorbeeid in 7.5 geeft 310 kolommen van 13 getaIIen 0 (= 3),

en 2 die we kunnen insturen voor de Nederlandse voetbalpool. We weten

dan vooraf (!) dat we de Ie of 2e prijs zullen winnen.

8.9. BCH-codes.

Laat a een primitief element zijn van GF(16) (zie bIz. 111). De matrix H

van 8 rijen en 15 kolommen gedefinieerd door

H [: a 2 •••••••••• a 14]

a 6 a 12

waarin iedere i a een kolom van 4 elementen 0 resp. 1 voorstelt nemen we als

parity check matrix van een lineaire code C (dimensie 7, woordlengte 15,

alfabet GF(2».

. II

39.

Zij £ = (cO,c 1, ••• ,c I4 ) E C.

Dan geldt voor het polynoom c(x) :=cO

+ ctx + ••• + c14

x 14

c(a) = c(a 3) = 0 •

Stel dat we het woord r := c + ~ ontvangen en dat hierin 2 fouten zitten;

e = (eO, ••• ,e14

) met ek 11 =1, alle andere coordinaten O.

Zij

r(x)

Dan is

e(a) k1 = a + a = r(a) (bekend aan de ontvanger!)

3 3k 32 3 e(a ) = a + a = r(a ) ( fI " " " )

Oplossen van 2 vergelijkingen met twee onbekenden leert de ontvanger wat k

en Q, zijn. Dus 2 fouten worden verbeterd! .

40.

Literatuur

M. Hall Jr., Combinatorial Theory, Blaisdell Comp., 1967.

J.H. van Lint, Coding Theory, Lecture Notes in Mathematics 201, Springer, 1970.

J.H. van Lint, J.J. Seidel, P.C. Baayen, Colloquium Discrete Wiskunde,

M.C. Syllabus 5, Mathematisch Centrum, ]968.

H.J. Ryser, Combinatorial Mathematics, Carus Monograph, Math. Assoc. Amer."

Wiley, 1963.

;