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Introduccin Estimacin de la covarianza espacial Anlisis de la estabilidad en MDS Ejemplo

ANLISIS DE LA ESTABILIDAD PARA LAESTIMACIN NO PARAMTRICA DE LA

ESTRUCTURA DE COVARIANZA ESPACIAL

NO ESTACIONARIAAutor: J. Antonio Roldn Daz

Tutor: J. Fernando Vera Vera

Universidad de Granada

Trabajo Fin de Master, Master en Estadstica Aplicada.

Granada, 26 septiembre 2013.


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ndice

1 Introduccin

2 Estimacin de la covarianza espacial

3 Anlisis de la estabilidad en MDS

4 Ejemplo


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Introduccin

En este trabajo se pretende mostrar la importancia de la esta-

bilidad estadstica del multidimensional scaling en sus recientes

aplicaciones para la estimacin no paramtrica de la estructura

de la covarianza espacial no estacionaria.


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Estimacin de la covarianza espacial

La estructura de la covarianza espacial se puede estimar me-

diante el enfoque que propusieron Sampson P.D. y Guttorp P.

(1992), en ste se propuso utilizar dos herramientas.

Realizar una representacin bidimensional de las estaciones

segn sus dispersiones espaciales mediante MDS no mtrico.

Interpolar entre sta representacin y las coordenadas ge-

ogrficas de cada estacin mediante una funcin spline.


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Suponemos que tenemos datos disponibles enNestaciones de

muestreo en los mismos T momentos en el tiempo. Consider-

amos un modelo de la forma

Z(x, t) = (x) +E(x, t) +E(x, t),

donde:

Z(x, t) denota la observacin tomada en la ubicacin x enel tiempot

(x)representa un trmino media

E(x, t)es un proceso espacio-temporal, de media cero

E(x, t)representa el error de medicin y la variabilidad es-pacial a pequea escala

S


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Bajo este modelo, la dispersin espacial se puede expresar como

D

2

(x, y) =Var[Z(x, t)

Z(y, t)].Es fcil comprobar que la matriz D tiene estructura de matriz

de distancias, por tanto, obtener una representacin bidimen-

sional de las dispersiones es equivalente a realizar un MDS en

dimensin 2 de esta matriz. Para asegurarnos un buen resul-

tado del problema hay que seleccionar el modelo de MDS ade-

cuado, que se ajuste bien a un plano y de una solucin estable.

I t d i E ti i d l i i l A li i d l t bilid d MDS Ej l


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Anlisis de la estabilidad en MDS

Se realiza un procedimiento similar a Jackknife para estudiar de

forma analtica como de sensible es a pequeos cambios una

solucin de MDS obtenida mediante cualquier modelo.Partimos de una solucin inicial X0

Calculamosnnuevas solucionesXieliminando el elemento

ide la matriz de distancias

Transformamos las isoluciones para que sean compara-bles entre ellas (matching the configurations)



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Yi=aiXiKi+eibi+ec

i

CalculamosY0 como la matriz promedio de lasYi

Estimamos lai-sima fila de cada matriz Yi

Por ltimo, ser rotaX0de forma queX0eY0estn empare-

jados de forma ptima



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A partir de estos resultados se puede evaluar la estabilidad de

la solucin inicial de MDS.

Grficos de estrellas

Medida de la estabilidad: STAB=1n

i=1YiY02

ni=1Yi

2

Validacin cruzada: CROSS=1 nX0Y02

ni=1Yi

2

Dispersin: DISP=2

(STAB+CROSS)



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Ejemplo

En el siguiente ejemplo se utilizan las observaciones de la ra-diacin solar en 12 estaciones de Canad (Hay 1984).



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Ejemplo

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12

E1 0

E2 34 0

E3 36 5 0E4 50 15 12 0

E5 63 26 25 10 0

E6 38 16 14 19 26 0

E7 47 31 31 37 40 14 0

E8 49 31 31 31 34 14 6 0E9 49 29 29 29 31 14 9 3 0

E10 42 18 17 17 24 6 15 11 10 0

E11 41 9 6 6 17 14 33 30 27 15 0

E12 50 14 12 4 12 22 41 36 32 21 7 0



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Ejemplo

En el trabajo de Sampson y Guttorp, el modelo que se utiliz

para estudiar estos datos fue un modelo no mtrico, a contin-

uacin voy a compara este con el modelo mtrico y el modelo

clsico en para estudiar sus ajustes y su estabilidad.

Modelo Medida ajuste Ajuste STAB CROSS DISP

Smacof m. Stress mtrico 0.0015 -0.1002 0.5778 1.5223

Smacof n.m. Stress n.m. 4.7e-07 0.0328 0.7681 1.199Clsico % varianza 96.38 0.995 0.9943 0.0106



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p j p

Ejemplo

En el trabajo de Sampson y Guttorp, el modelo que se utiliz

para estudiar estos datos fue un modelo no mtrico, a contin-

uacin voy a compara este con el modelo mtrico y el modelo

clsico en para estudiar sus ajustes y su estabilidad.

Modelo Medida ajuste Ajuste STAB CROSS DISP

Smacof m. Stress mtrico 0.0015 -0.1002 0.5778 1.5223

Smacof n.m. Stress n.m. 4.7e-07 0.0328 0.7681 1.199Clsico % varianza 96.38 0.995 0.9943 0.0106



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p j p

Ejemplo

Grficos de la estabilidad de los modelos de multidimensionalscaling, (de izquierda a derecha) smacof mtrico, smacof no

mtrico y clsico.

0.5 0.0 0.5 1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Mtrico

Configurations D1

ConfigurationsD2

E1

E2

E3

E12

E11

E4

E5

E6

E10E7

E8E9

0.5 0.0 0.5 1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

No mtrico

Configurations D1

ConfigurationsD2

E1

E2E3

E12

E11

E4

E5

E6

E10E7

E8E9

1.0 0.0 1.0

1.0

0

.0

1.0

Clsico

Configurations D1

ConfigurationsD2

E1E2E3E12

E11E4E5

E6E10

E7E8E9



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Referencias

Cox T. F., Cox M. A. A. (2001). Multidimensional scaling

(Second Edition).London: Chapman & Hall/CRC.

De Leeuw J., Meulman J. (1986). A Special Jackknife for

Multidimensional Scaling. Journal of Classification,3, 97

112.Mardia K. V., Kent J. T., Bibby J. M. (1980). Multivariate Anal-

ysis.Academic Press.

Sampson PD, Guttorp P. (1992). Nonparametric estimation

of nonstationary spatial covariance structure. Journal of the

American Statistial Association,87, 108119.Vera J. F., Macas R., Angulo J. M. (2008) Nonstationary

spatial covariance structure estimation in oversampled do-

mains by cluster differences scaling with spatial constraints.

J Stoch Environ Res Risk Assessment (SERRA) 22, 95106

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