Deeltjes en velden - Nikhefjo/quantum/qm/df2/inleiding_dv.pdfDeeltjes en velden de fysica van het...

Deeltjes en velden

de fysica van het allerkleinste

door

Prof.dr Johannes F.J. van den Branddr. Gideon Koekoek

Afdeling Natuurkunde en SterrenkundeFaculteit der Exacte Wetenschappen

Vrije Universiteit, Amsterdamen

Nationaal instituut voor subatomaire fysica (Nikhef), Amsterdam

INHOUDSOPGAVE 1

Inhoudsopgave

1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 111.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Wisselwerking en deeltjesuitwisseling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Beschrijven van deeltjesinteracties met Feynmandiagrammen . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 Quantumveldentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Quantumelektrodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.3 Quantumchromodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.4 Elektrozwakke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6 Spin en statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7.1 Unificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.2 Quantumchromodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.3 SU(3)-kleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8.1 Negen gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8.2 Zwakke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8.3 Speciale relativiteitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8.5 Rho-meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE 352.1 Historische introductie en Einsteins postulaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Het minkowskilijnelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 Lorentzcontractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 De lorentztransformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Invariantie van de lichtsnelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 Verlies van universele definitie van tijd en gelijktijdigheid . . . . . . . . . . . . . . 482.8 Ruimtetijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9 Ruimtetijddiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.10 Relativistisch Dopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.11 Relativistische mechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.12 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.12.1 Impuls van een π+ meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.12.2 Kinetische energie van een proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.12.3 Kinematica van elektron-proton verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.12.4 Verval van het muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.12.5 Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.12.6 Deeltjesidentificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.12.7 Proton in magnetisch veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.12.8 Maximum energie-overdracht in een botsing van een elektron . . . . . . . 632.12.9 Paarproductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.12.10Botsing in het zwaartepuntsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.12.11Mandelstam variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.12.12Energieproductie in de Zon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.13 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

INHOUDSOPGAVE 2

2.13.1 Causaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.13.2 Verval van pionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.13.3 Collider en Fixed-Target Experimenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.13.4 Kosmische Straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.13.5 Supernova SN1987A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 QUANTUMMECHANICA 703.1 Inleiding en wiskundig intermezzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1.1 Operatoren en complexe functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.1.2 Bases in de hilbertruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.3 Matrices en operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.4 Eigenfuncties en eigenwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Grondslagen van de quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.1 Axioma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.2 Operatoren voor plaats en impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2.3 De onzekerheidsrelaties van Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.2.4 Schrödingervergelijking als eigenwaardenvergelijking . . . . . . . . . . . . 803.2.5 Diracnotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.2.6 Onzekerheid in de quantumfysica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2.7 Tijdevolutie van een systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.3.1 Veranderen van coordinatenstelsel: Wigner-rotatiematrices . . . . . . . . . 87

3.4 Combineren van impulsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4.2 Matrixrepresentatie van spin-1

2 deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4.3 Operatoren voor spin-1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.4 Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.5 Verwachtingswaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.4.6 Het meetprobleem in de quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4.7 Meting van spin in een willekeurige richting . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5 Storingsrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5.1 Inleiding tot tijdafhankelijke storingsrekening . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5.2 Twee-niveaus systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5.3 Het verstoorde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5.4 Tijdafhankelijke storingsrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.5.5 Sinusvormige verstoringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.5.6 Emissie en absorptie van elektromagnetische straling . . . . . . . . . . . . 973.5.7 Absorptie, gestimuleerde emissie, en spontane emissie . . . . . . . . . . . . 983.5.8 Integraalvorm van de schrödingervergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5.9 De Born benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6 Einstein, Podolsky en Rosen Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.1 Formulering van de EPR Paradox door Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.6.2 De ongelijkheid van Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.7.1 Toepassing van een machtreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.7.2 Impuls van een foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.7.3 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.7.4 Separatie van een molecuul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.7.5 Elektromagnetisch vermogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.7.6 Fotoelektrisch effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

INHOUDSOPGAVE 3

3.7.7 Constante van Planck uit fotoelektrisch effect . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.7.8 Fotoelektrische stoppotentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.7.9 Fotoelektrisch effect: maximum kinetische elektronenergie . . . . . . . . . 1103.7.10 Het Comptoneffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.7.11 Comptonverstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.7.12 Golflengte van een thermisch neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.7.13 Energie en golflengte van een proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.7.14 Oplossend vermogen van een optische microscoop . . . . . . . . . . . . . . 1133.7.15 Oplossend vermogen van een elektronenmicroscoop . . . . . . . . . . . . . 1133.7.16 Braggse diffractie met neutronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.7.17 Kristalstructuur uit Braggse diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.7.18 Vectoren over de reële ruimte (dus de elementen zijn reële getallen) . . . . 1163.7.19 Lineaire afhankelijkheid van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7.20 Relatie tussen inproduct en uitproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7.21 Vectoren over de complexe ruimte (dus de elementen zijn complexe getallen)1173.7.22 Hoek tussen complexe vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.7.23 Complexe matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.7.24 Complexe matrices en vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.7.25 Lineaire ruimte (de elementen zijn reële getallen) . . . . . . . . . . . . . . 1213.7.26 Voorbeeld van een lineaire ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.7.27 Meer over lineaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.8.1 Comptonverstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.8.2 Waterstofatoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.8.3 De Broglie-golflengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.8.4 Fotonflux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.8.5 Harmonische oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4 STRUCTUUR VAN HADRONEN 1244.1 Verstrooiingstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.2 Verstrooiing aan de ladingsverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.3 Elektron-nucleon verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.4 Diepinelastische verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.5 Elektron - positron annihilatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.6.1 Rutherfordverstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.6.2 Elektron-nikkel verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.6.3 Ladingsvormfactor van het proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.6.4 Mott werkzame doorsnede voor elastische elektron-proton verstrooiing . . 1494.6.5 Het fijne van biljarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.6.6 Detectie van zonneneutrino’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.7 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.7.1 Collider en zwaartepuntsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.7.2 Algemene vragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.7.3 Aantal kleurladingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.7.4 Λ-hyperonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.7.5 Levensduur van opgeslagen elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

INHOUDSOPGAVE 4

5 SYMMETRIEËN 1555.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.2 Behoud van impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3 Lorentztransformaties vormen een groep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3.2 Groeptheoretische aspecten van de Lorentztransformaties . . . . . . . . . 1595.3.3 Connectie met quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.4 Behoud van lading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.4.1 Lokale ijksymmetrieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.4.2 Behoud van baryongetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.4.3 Behoud van leptongetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.5 Spiegeling in de ruimte en pariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.5.1 Pariteitschending in β-verval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.5.2 Heliciteit van leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.5.3 Behoud van pariteit in de sterke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.6 Ladingssymmetrie van de sterke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.7 Isospinsymmetrie in de sterke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.7.1 ∆ resonantie en isospinformalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.7.2 Isospin en het quarkmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.7.3 Isospin en de elektromagnetische wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.8 Vreemdheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.9 Mesonen als gebonden quark-antiquark toestanden . . . . . . . . . . . . . . . . . 1895.10 Opbouw van baryonen uit drie quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.11 Additionele quantumgetallen: C, B, en T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.12 CPT-theorema: deeltjes en antideeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.13 Invariantie van tijdsomkeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.13.1 Gedetailleerd evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.13.2 Elektrisch dipoolmoment van het neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.14 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.14.1 Rotatiesymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.14.2 Lokale ijkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.14.3 Behoud van baryongetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.14.4 Isopin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.14.5 Nucleon spin statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.14.6 Deeltjes: reacties en verval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.14.7 Behoudswetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.14.8 Quarkverdelingsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.14.9 Dubbele resonantie productie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.14.10Hoekverdeling en pariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.15 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.15.1 Botsingsprocessen en deeltjesverval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.15.2 Algemene vragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.15.3 Λ-hyperonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.15.4 Botsingsprocessen, isospin van kaonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.15.5 Isospin en deeltjesverval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

INHOUDSOPGAVE 5

6 SYMMETRIEBREKING 2226.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.2 CP schending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6.2.1 CP - schending in het verval van neutrale K - mesonen . . . . . . . . . . . 2226.3 Neutrino oscillaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7 RELATIVISTISCHE VELDENTHEORIE 2347.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.2 Diracvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.3 Antideeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.4 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.5.1 Feynmanregels voor QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2347.5.2 Transformatiegedrag van ψγµγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.5.3 Spinoren: orthogonaliteit en compleetheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

8 LAGRANGIAANSE VELDENTHEORIE 2368.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2368.2 lokale ijkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9 QUANTUMELEKTRODYNAMICA 2379.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.2 Afleiding van de Feynmanregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.3 Propogatoren en vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.4 Renormalisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

9.4.1 Ghosts, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10 QUANTUMCHROMODYNAMICA 23810.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810.2 Lokale ijkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810.3 Yang-Mills theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

11 ELEKTROZWAKKE WISSELWERKING 23911.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.2 Materie en antimaterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.3 CP schending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23911.4 Kosmologische implicaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12 HIGGS MECHANISME 24012.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.2 De oorsprong van massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.3 Goldstone bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.4 Genereren van massa via het Higgs mechanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.5 Massa en QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

A APPENDIX - LINEAIRE ALGEBRA 241A.1 Vectorrekening over de reële ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

A.1.1 Scalaren en vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.1.2 Product van een scalar en een vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.1.3 Som en verschil van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.1.4 Lineaire afhankelijkheid; ontbinden van vectoren, kentallen . . . . . . . . 242

INHOUDSOPGAVE 6

A.1.5 Inwendig of scalair product van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243A.1.6 Uitwendig of vectorieel product van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . 243A.1.7 Determinantnotatie voor het uitwendig product . . . . . . . . . . . . . . . 244A.1.8 Tripelproducten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244A.1.9 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

A.2 Complexe grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246A.3 Lineaire ruimten en lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

A.3.1 Lineaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248A.3.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248A.3.3 Lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249A.3.4 Inwendig product, norm en orthogonaliteit van vectoren . . . . . . . . . . 249A.3.5 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

A.4 Matrixrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.4.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.4.2 Determinant van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251A.4.3 Product van een matrix met een kolomvector . . . . . . . . . . . . . . . . 252A.4.4 Matrix als transformatie-operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252A.4.5 Som van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.4.6 Product van scalar met matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.4.7 Product van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.4.8 Diagonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254A.4.9 Geadjugeerde en inverse matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254A.4.10 De getransponeerde van een matrix; symmetrische en alternerende matrices 255A.4.11 Orthogonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

A.5 Vectorrekening over de complexe ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257A.5.1 Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257A.5.2 Inproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258A.5.3 De Gram-Schmidt procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260A.5.4 Eigenvectoren en eigenwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260A.5.5 Geconjugeerde en Hermitische matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262A.5.6 Unitaire matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

B APPENDIX - WAARSCHIJNLIJKHEID 265B.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265B.2 Connectie met de quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

C APPENDIX: FUNDAMENTELE CONSTANTEN 269

D APPENDIX: COÖRDINATENSYSTEMEN 270

E APPENDIX: CONVENTIES, EENHEDEN EN NOTATIES 271

F APPENDIX: FASERUIMTE 272

G APPENDIX - KLASSIEKE GOLFVERSCHIJNSELEN 275G.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275G.2 Wiskundige beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275G.3 Fourieranalyse van golfverschijnselen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

G.3.1 Fouriercoëfficiënten en Fourierreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276G.3.2 Complexe schrijfwijze van de Fourierreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279G.3.3 Fouriertransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

INHOUDSOPGAVE 7

G.3.4 Beschrijving van een golfpakket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280G.4 De golfvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

G.4.1 Partiële afgeleiden en oplossingen van de golfvergelijking . . . . . . . . . . 282

INHOUDSOPGAVE 8

INHOUDSOPGAVE 9

Voorwoord

In dit college wordt een inleiding tot de deeltjesfysica behandeld, waarbij de nadruk ligt op hetbegrijpen van de fundamentele aannamen die worden gedaan in het formuleren van de theorie.We zullen een smal pad volgen dat leidt tot de definitie van het Standaard Model van de deel-tjesfysica, waarbij het gaandeweg duidelijk zal worden dat de theorie een prachtige beschrijvingbiedt van de unificatie van quantumelektrodynamica, quantumchromodynamica en de zwakkewisselwerking. Het bestaansrecht van de theorie is gebaseerd op de succesvolle beschrijving vannatuurverschijnselen. Het Standaard Model geeft een wetenschappelijke basis aan fenomenen alselementaire deeltjes en velden, alsmede de interacties tussen deeltjes en het verval van deeltjes.Op dit moment staat de deeltjesfysica aan de frontlinie van het wetenschappelijk onderzoek.Experimenten als Atlas, LHCb en Alice gebruiken proton-proton botsingen bij de allerhoogsteenergie om het Standaard Model aan stringente tests te onderwerpen. Hierbij wordt de LargeHardron Collider bij CERN gebruikt. In 2013 is met dit instrument de laatste ontbrekende bouw-steen van het Standaard Model gevonden: het Higgsboson. Parallel aan het CERN programmazijn er diverse experimenten gaande die bijvoorbeeld de neutrinosector van het Standaard Modelonderzoeken. Recent is aangetoond dat neutrino’s een kleine massa hebben en ook dat verschil-lende neutrinosoorten in elkaar over kunnen gaan.

Wiskunde speelt een prominente rol in het opzetten van natuurkundige theorieën, en het Stan-daard Model vormt hierop geen uitzondering. In de behandeling van de diverse onderwerpenzullen we liberaal gebruikmaken van verschillende wiskundige technieken. De student dient zichte realiseren dat in alle gevallen de nadruk ligt op het begrip van het natuurkundig fenomeen.Overigens is de wiskundige complexiteit van deeltjesfysica behoorlijk geavanceerd, omdat menkennis dient te hebben van zowel de speciale relativiteitstheorie als van de quantummechanica.Deze gebieden zijn verenigd in de quantumveldentheorie en we zullen hiervan een tipje van desluier oplichten.

Het college ‘deeltjesfysica’ wordt in 2013 voor het eerst gegeven in het kader van het HOVO(Hoger Onderwijs Voor Ouderen) programma aan de Vrije Universiteit, Amsterdam. Van de stu-denten wordt voorkennis vereist op het niveau van H.B.S.-B, VWO of Gymnasium. Om tegemoette komen aan het niveau van de studenten worden diverse onderwerpen, zoals lineaire algebra,nogmaals beknopt behandeld tijdens het college. Verder is de benadering redelijk ‘schools’. Erwordt huiswerk opgegeven en behandeld (en dit telt mee voor het uiteindelijke cijfer). Hierbijdient benadrukt te worden dat een goed begrip van de stof enkel zal volgen uit zelfwerkzaamheidvan de student. De opgaven zijn een belangrijk instrument in dit verband, want hierin kan deopgedane kennis worden toegepast, terwijl de opgaven soms ook voor verdieping van de materiezorgdragen. Merk op dat er in dit kader ook een website is ingericht, die bereikt kan worden viahttp://www.nikhef.nl/∼jo/df2/.Het dictaat is als volgt gestructureerd. Na een inleiding in hoofdstuk 1, wordt de specialerelativiteitstheorie besproken in hoofdstuk 2. De behandeling is volledig gebaseerd op de zoge-naamde minkowskimetriek van ruimtetijd. Quantummechanica wordt behandeld in hoofdstuk3. We beperken ons tot een goed begrip van het formalisme en demonstreren dit aan de handvan de spin van deeltjes (een zuivere quantummechanische grootheid). Spin-1/2 vormt het meesteenvoudige voorbeeld van een quantumsysteem. Alle bouwstenen van de natuur, quarks enleptonen, hebben spin-1/2. De structuur van hadronen is bepaald met behulp van botsing-sexperimenten. De belangrijkste resultaten zoals de quark en gluonstructuur van het proton,bespreken we in hoofdstuk 4. In hoofdstuk 5 worden diverse symmetrieën en de daaraan gere-lateerde behoudswetten behandeld. Hier wordt ook een deel van de wiskunde geïntroduceerd,met name de groepentheorie. Breking van symmetrie wordt besproken in hoofdstuk 6, waar wehet mechanisme van CP schending zullen behandelen. Dit geeft goed inzicht in de verschillen

INHOUDSOPGAVE 10

tussen materie en antimaterie. Ook bespreken we de recente ontdekking van neutrino-oscillaties.Vervolgens verdiepen we ons wiskundig inzicht in hoofdstuk 7, waar we de relativistische velden-theorie behandelen. Vervolgens behandelen we Lagrangiaanse veldentheorie in hoofdstuk 8. Nude theoretische basis is gelegd, gaan we diverse toepassingen bespreken, zoals quantumelektro-dynamica in hoofdstuk 9 en quantumchromodynamica in hoofdstuk 10. Vervolgens verdiepenwe onze kennis van de elektrozwakke wisselwerking in hoofdstuk 11. Tenslotte bespreken we hetHiggs-mechanisme in hoofdstuk 12. De diverse appendices dienen als achtergrondmateriaal.

Het zal opvallen dat verschillende onderwerpen ontbreken die in een regulier college wel aan deorde komen. Zo worden onderwerpen uit de kernfysica niet of nauwelijks besproken. De redenhiervoor is dat het volgens de auteurs onvoldoende bijdraagt tot een verdieping van het inzicht,maar enkel leidt tot een verbreding van de kennis. De onderwerpen zijn gekozen om zo snelmogelijk de stof te doorgronden, teneinde direct te komen tot de discussie van de filosofischeimplicaties en de focus van het moderne wetenschappelijk onderzoek. Dit verklaart ook waaromer relatief veel aandacht wordt besteed aan een didactische inleiding tot de deeltjesfysica. Overi-gens is het zo dat het niveau van behandeling van de stof in sommige gevallen overeenkomt met(of zelfs uitstijgt boven) die van een derde-jaars natuurkundestudent.

In de samenstelling van dit dictaat is geput uit diverse bronnen, zoals ‘Quantummechanica -HOVO college 2006’, Jo van den Brand; ‘Elementary particle physics - An introduction’, DavidC. Cheng, Gerard K. O’Neill; ‘Subatomic physics’, Hans Frauenfelder, Ernest M. Henley; ‘Fun-damentals of Quantum Mechanics’, V.A. Fock; ‘Gravitation’, Charles Misner, Kip Thorne, JohnArchibald Wheeler; ‘The theory of special relativity’, J. Aharoni; ‘Quantum Universum - HOVOcollege 2009’, Jo van den Brand; ‘Basic Concepts of Quantum Mechanics’, L.V. Tarasov; ‘Con-cepts of Particle Physics I and II’, Kurt Gottfried and Victor F. Weisskopf; ‘Quarks and Leptons’,Francis Halzen, Alan D. Martin; ‘Gauge Theories in Particle Physics’, I.J.R. Aitchison and A.J.G.Hey; ‘Nuclear and Particle Physics’, Burcham and Jobes; In sommige gevallen is gebruik gemaaktvan relevante review artikelen uit de vakliteratuur. De bronnen worden dan ter plaatse vermeld.Belangrijke informatie over het Standaard Model is te vinden op

Tenslotte willen de auteurs bij voorbaat aan een ieder dank betuigen die gaat bijdragen aande verbetering van het voorliggende dictaat. Door vrijelijk uw suggesties door te geven aan dedocenten zullen wij deze gebruiken ter verbetering van het lesmateriaal.

1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN 11

1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN

1.1 Inleiding

De Griekse wijsgeer Demokritos (Abdera, in Thracië, ca. 460 B.C. - ca. 370 B.C.) hield er eenaantal interessante opvattingen op na. Hij had bijvoorbeeld het idee dat ‘het zijnde’ bestaatuit een oneindige veelheid van atomen die uitgebreidheid bezitten en niet verder deelbaar zijn(ατoµoς), dat alle dingen zijn gemaakt uit een aantal atomen, en dat een verandering bestaat uiteen wijziging in de groepering van de atomen; er zijn zwaardere en lichtere atomen: de lichterevormen het hemelgewelf en groeperen zich tot hemellichamen, de zwaardere atomen vormende aarde, die bolvormig is; dat er een eindeloos aantal werelden naast de onze bestaat, diewerelden ontstaan of vergaan naargelang de atomen zich groeperen of weer uiteengaan. VolgensDemokritos bestaan ook de levende wezens enkel uit atomen, en heeft het levende zich ontwikkelduit het niet-levende. Helaas is het overgrote deel van het werk van Demokritos verloren gegaan.Echter met het door hem ingevoerde begrip, atomos, heeft hij een der vruchtbaarste ideeën aande wetenschap gegeven.

Het blijft een fascinerende vraag of er werkelijk zoiets bestaat als elementaire deeltjes. Is hetmogelijk om ons universum uit een klein aantal eenvoudige elementaire bouwstenen samen testellen? Is het mogelijk de in de natuur voorkomende dingen in steeds kleinere substructuren teontbinden, of stuit men uiteindelijk op een grens? Bestaan er deeltjes, die principiëel niet verderdeelbaar zijn? En als deze elementaire deeltjes werkelijk bestaan, hoeveel verschillende soortenzijn er dan nodig voor een correcte beschrijving van de natuur en welke eigenschappen (massa,lading, spin, enz.) hebben deze objecten?

In dit hoofdstuk zullen we een voorlopig antwoord op deze vragen geven. Het zal blijken dat hetuiteindelijke bewijs van vele van de uitspraken die in dit hoofdstuk gedaan zullen worden, vaakslechts in het vervolg van de studie gegeven kan worden.

Het is opmerkelijk dat het bestaan van enkele elementaire deeltjes door theoretici voorspeld is,en dat experimentatoren op basis van de gepostuleerde eigenschappen - vaak na tientallen jarenonderzoek - het bestaan van deze deeltjes aangetoond hebben. Een voorbeeld is het neutrino(νe, νe), dat in 1931 door Wolfgang Pauli ingevoerd werd, om de klassieke behoudswetten (energie,impuls, impulsmoment) voor β-verval te ‘redden’. De existentie van het neutrino werd twintigjaar later (door Cowan en Reines) direct bewezen1. Een ander voorbeeld zijn de ijkbosonen,W+,W− en Z0, die naast het foton een cruciale rol spelen in de theorie van de elektrozwakkewisselwerking. Het bestaan van deze deeltjes kon slechts experimenteel aangetoond wordennadat men op CERN (Geneve, Zwitserland) een geschikte deeltjesversneller, de SPS proton-antiproton collider, gebouwd had2. Ook heeft men decades met allergrootste inspanning naar hetzogenaamde Higgs-boson gezocht. Dit deeltje is nodig voor onze beschrijving van het mechanismevan spontane symmetriebreking in de elektrozwakke ijkveldentheorie. Het bestaan van het Higgs-boson is uiteindelijk in 2013 met de LHC onomstotelijk aangetoond3.

Merk op dat er ook deeltjes zijn, waarvan het bestaan reeds enige tijd geleden gepostuleerd is,maar die echter niet experimenteel zijn aangetoond4. Het magnetische monopool valt in dezeklasse. Het bestaan van dit laatste deeltje is gepostuleerd om de Maxwell-vergelijkingen meersymmetrisch te maken. Verder zijn er nog de zogenaamde tachyonen, die snelheden groter dan

1In het zogenaamde "Poltergeist" experiment van Clyde Cowan en Frederick Reines. De laatste werd geëerdmet de Nobelprijs Natuurkunde in 1995.

2Deze ontdekking leverde Simon van der Meer en Carlo Rubbia de Nobelprijs Natuurkunde op in 1984.3Tijdens het schrijven van dit dictaat (zomer 2013) voorspel ik dat dit de Nobelprijs Natuurkunde in 2013 zal

worden. Peter Higgs krijgt hem zeker, maar wie nog meer?4Of die slechts in experimenten voorkwamen, die niet door andere experimentatoren herhaald konden worden!


de lichtsnelheid hebben5. Ook zijn er nog gepostuleerde deeltjes met namen als leptoquark,gravitino, instanton, enz. Tenslotte zijn er deeltjes, waarvan het bestaan niet op theoretischegronden voorspeld is, maar die desalniettemin in experimenten waargenomen werden (en waarvanmen zelfs op dit moment nog niet weet waar ze eigenlijk ‘goed voor zijn’). In deze categorie vallenbijvoorbeeld de muonen (µ−, µ+), deeltjes die zich gedragen als de gewone elektronen (e−, e+),maar een veel grotere massa hebben.

Het is reeds lang bekend dat de gewone materie uit moleculen bestaat, die uit ongeveer honderdverschillende elementen samengesteld kunnen worden. Elk element bestaat uit een minusculeatoomkern (ongeveer 100.000 keer kleiner dan het atoom) en een elektronenwolk. De elektronen,en vooral die in de buitenste schillen en die dus het minst sterk gebonden zijn, bepalen de eigen-schappen van het element voor de vaste-stof fysica, scheikunde en biologie. Vanwege de geringeenergie die in deze vakgebieden per atoom omgezet kan worden (enige eV), kan de atoomkernals inert beschouwd worden. Enkel zijn lading en massa zijn van belang6, en de kern kan alsondeelbaar beschouwd worden, waarbij zijn substructuur geen enkele rol speelt.

Als hogere energieën ter beschikking staan - voor de klassieke kernfysica beschouwt men typischeenergieën van enkele MeV - kan de kern aangeslagen of zelfs gespleten worden. Tegenwoordig7

weten we dat elke kern is samengesteld uit protonen en neutronen. Protonen en neutronenzijn verschillende manifestaties van een hypothetisch kerndeeltje, genaamd het nucleon. Vroegerdachten we dat het nucleon een elementair deeltje was, en uit gewoonte wordt dat nu somsnog wel eens gezegd. Echter, met elementair deeltje bedoelen we dat het deeltje geen structuurvertoont althans voorzover we dat kunnen meten. In dat licht bezien was het correct, dat wevroeger het proton en neutron als elementair deeltje beschouwden, terwijl we nu weten dat hetnucleon opgebouwd is uit nog fundamentelere deeltjes.

Rond het jaar 1935 zag de wereld er zeer eenvoudig uit; fysici hadden voldoende aan slechts enkeleelementaire deeltjes om het universum op te bouwen. Deze deeltjes zijn gegeven in tabel 1.

Table 1: Elementaire deeltjes en hun belangrijkste eigenschappen, zoals bekend omstreeks 1935.

Deeltje Symbool Rustenergie Lading Spin Levensduur[ e ] [ ~ ]

Proton p 938,27 MeV +1 12 > 1, 6× 1025 jaar

Neutron n 939,57 MeV 0 12 882 s

Elektron e 0,511 MeV -1 12 > 4, 6× 1026 jaar

Neutrino νe < 2 eV 0 12 > 300 s/eV

Gamma γ < 1× 10−18 eV 0 1 ∞

Voor zover we tegenwoording weten is het proton stabiel (levensduur τ > 1.6 × 1025 jaar). Erzijn diverse precisie-experimenten, die intensief speuren naar protonverval, zoals voorspeld dooreen aantal theoretische modellen. Het neutron daarentegen vervalt als volgt,

n→ p+ e− + νe, (1)

en zijn levensduur is gemeten aan de hoge-intensiteitsreactor van ILL in Grenoble met ultrakoudeneutronen en bedraagt

τ = (881, 5± 1, 5)s. (2)5Het zal duidelijk zijn dat niet alle theoretici ‘enthousiast zijn’ over deze gepostuleerde deeltjes. Verder is het

onduidelijk of het mogelijk is met tachyonen een signaal (informatie) over te brengen - iets dat in conflict zou zijnmet de speciale relativiteitstheorie.

6en soms ook het magnetische moment, bijvoorbeeld in de hyperfijnwisselwerking.7We verwaarlozen hier subtiliteiten als bijvoorbeeld de virtuele mesonen in het binnenste van de kern.


1.2 Quarks

Het zou een vergissing zijn aan te nemen dat een neutron bestaat uit een gebonden toestand vaneen proton, elektron en antineutrino8. Elektron en neutrino gelden nog steeds als (in principepuntvormige) elementaire deeltjes. Daarentegen zijn er goede redenen om aan te nemen dat hetproton en neutron, elk met een diameter van ongeveer 2 fm (1 fm = 1 femtometer ≡ 10−15 m),samengestelde objecten zijn. Zij zijn, net als de andere baryonen, uit telkens drie elementairebouwstenen, de quarks, opgebouwd. We hebben

p = (uud) (3)

enn = (udd). (4)

De gluonen (ofwel lijmdeeltjes) zorgen ervoor dat de quarks gebonden zijn in het inwendige vande nucleonen. In tabel 2 geven we de eigenschappen van de quarks. De quantumgetallen B(baryongetal), T3 (z-component van de isospin), S (vreemdheid), C (charm), b (bottomness ofbeauty), t (topness) zullen in volgende hoofdstukken besproken worden9.

Table 2: Notatie, eigenschappen en belangrijkste quantumgetallen van de quarks.

Naam Symbool Lading Massa Spin B T3 S C b t[ e ] [ GeV/c2 ] [ ~ ]

Up u 23 2, 3+0,7

−0,5 × 10−3 12

13

12 0 0 0 0

Down d -13 4, 8+0,7

−0,3 × 10−3 12

13 -1

2 0 0 0 0Strange s -1

3 (95± 5)× 10−3 12

13 0 -1 0 0 0

Charm c 23 1, 275± 0, 025 1

213 0 0 1 0 0

Bottom b -13 4,1 - 4,7 1

213 0 0 0 -1 0

Top t 23 173, 5± 1, 0 1

213 0 0 0 0 1

Sinds het mogelijk is machines te bouwen waarmee deeltjes versneld kunnen worden tot energieënvan meer dan 1 GeV, heeft men een buitengewoon groot aantal nieuwe deeltjes ontdekt, diealle de sterke wisselwerking ondergaan. Deze deeltjes worden hadronen genoemd en kunnen intwee groepen worden onderverdeeld, de mesonen en de baryonen. Het quarkmodel heeft hetmogelijk gemaakt om orde en systematiek te scheppen is deze warboel van deeltjes, elk met hunmerkwaardige vertegenwoordigers: de baryonen zijn uit telkens drie quarks samengesteld, terwijlde mesonen uit een quark en een antiquark opgebouwd zijn. Belangrijk is het feit dat tot nutoe geen vrije quarks zijn waargenomen, ondanks dat men in talrijke experimenten, veelal in detrant van Millikan’s oliedruppeltjes experiment, intensief naar fractionele ladingen gezocht heeft(in één opzienbarend experiment werden ladingen, die een veelvoud van 1

3 waren, gevonden -echter, dat resultaat kon door geen enkel ander onderzoeksteam bevestigd worden). Integendeel,er zijn zelfs goede redenen, waarom men niet verwacht geïsoleerde vrije quarks experimenteel tekunnen vinden.

8Een eenvoudige quantummechanische berekening laat zien, dat er teveel energie voor nodig is om een elektronte binden binnen het volume van een kern.

9De quantumgetallen karakteriseren een bepaalde toestand van een systeem van deeltjes. Ze zijn constant(men zegt behouden) zolang het systeem ongestoord is. Quantumgetallen hebben te maken met behoudswetten.Een voorbeeld is de wet van behoud van lading. Een uitzondering hierbij is de spin, want enkel het totaleimpulsmoment is behouden: spin en baanimpulsmoment. Verder zijn sommige behoudswetten niet altijd striktgeldig: zoals de wet van behoud van vreemdheid.


Tot nu toe zijn we niet op het begrip antimaterie ingegaan, ofschoon Paul Dirac al in 1927 eenrelativistische toestandvergelijking voor het elektron had opgesteld, waaruit het bestaan van eenantideeltje voor het elektron volgt. Het bestaan van dit positron werd vervolgens aangetoondin 1932 door Carl Anderson van het California Institute of Technologie, waarbij experimentenmet kosmische straling werden uitgevoerd10. Tegenwoordig neemt men aan dat er voor elkdeeltje een antideeltje bestaat, met dezelfde massa, dezelfde levensduur en dezelfde spin als ditdeeltje, terwijl alle andere eigenschappen, bijvoorbeeld die met de lading te maken hebben, hettegenovergestelde teken hebben. In enkele gevallen, zoals bijvoorbeeld bij het foton, zijn deeltjeen antideeltje identiek.

1.3 Leptonen

Naast de hadronen is er een andere klasse van deeltjes, die niet sterk wisselwerken, de leptonen11.

Table 3: Eigenschappen van de Leptonen.

Naam Symbool Lading Massa Spin Levensduur[ e ] [ MeV/c2 ] [ ~ ]

Elektron e− −1 0,511 12 > 4, 6× 1026 jaar

e-Neutrino νe 0 < 15× 10−6 12 ∞?

Muon µ− −1 105,66 12 2,197 µs

µ-Neutrino νµ 0 < 0, 17 12 ∞?

Tau τ− −1 1777 12 2.91× 10−13s

τ -Neutrino ντ 0 < 24 12 ∞?

Alle elementaire deeltjes (behalve het γ quantum), die we in dit hoofdstuk hebben ingevoerd,bezitten een halftallige spin en zijn voorbeelden van fermionen. Zij ondergaan Fermi-Diracstatistiek. Fermionen kunnen elk slechts in paren gecreëerd (bijvoorbeeld γ → e+ + e−) ofvernietigd worden (bijvoorbeeld e+ + e− → 2γ, 3γ). Dit suggereert het bestaan van een (ofmeer) behoudswetten12.

Voor de opbouw van de ‘normale’ wereld zijn enkel de vier deeltjes van de eerste generatie, dusde up- en down-quarks13, het elektron en zijn neutrino nodig. De vier bijbehorende antideeltjes(u, d, e+ en νe) vindt men slechts zelden. Pas wanneer we naar hoge energieën gaan, zoals hetgeval is met kosmische stralen, de Big Bang of bij deeltjesversnellers, dienen we ook de anderegeneraties in beschouwing te nemen. Hiermee dringt zich dan ook direct de vraag op of meteen verdere toename van de beschikbare energie weer andere deeltjesfamilies gevonden zullenworden. Hoewel deze vraag op dit moment niet afsluitend beantwoord kan worden, is het wel zodat de experimenten bij LEP op CERN (vervalsbreedte van de Z0) sterke aanwijzingen hebbengeleverd dat er drie en niet meer dan drie generaties van deeltjes bestaan.

10Hij ontving hiervoor in 1936 de Nobelprijs Natuurkunde; hij was toen 31 jaar oud. Een jaar later ontdektehij het muon.

11Oorspronkelijk werden de deeltjes ingedeeld aan de hand van de massa: de lichte deeltjes ofwel leptonen(e, ν) met mc2 < 1 MeV, de middelzware deeltjes ofwel mesonen met mc2 ≈ 100 MeV en de zware deeltjes ofwelbaryonen met mc2 > 1 GeV. Deze klassificatie is echter niet zinvol: de muonen (µ) en de tau’s (τ) gedragen zichanaloog aan het elektron, ondanks dat ze een geheel verschillende massa hebben.

12We kunnen dit ook anders formuleren: indien de lading (of bijvoorbeeld het baryongetal) strikt behouden is,dan kan het lichtste geladen deeltje, het elektron (of bijvoorbeeld het lichtste baryon, het proton) niet vervallen.

13We verwaarlozen voorlopig het feit, dat in het nucleon ook een (omstreden) hoeveelheid s, s en andere quarksbijgemengd zijn. Ook worden de drie ‘kleuren’ van de quarks pas later besproken.


1.4 Wisselwerking en deeltjesuitwisseling

Laten we beginnen met een beschouwing uit de klassieke mechanica. De gravitatiewet geeft dekracht tussen twee (voorlopig als puntvormig aangenomen) massa’s als

Fgrav = −ggravm1m2

r212

r12. (5)

Uit deze krachtwet en de wetten van Newton kon bijvoorbeeld de beweging van alle planetenin ons zonnestelsel met fantastische nauwkeurigheid worden afgeleid. Schijnbare afwijkingenbleken later te leiden tot de grootste triomfen van het model. Zo ontdekte men in het begin vande negentiende eeuw dat de planeet Uranus niet voldeed aan de gravitatiewet en bovendien debehoudswetten voor energie en impulsmoment schond. De oplossing van deze discrepantie werdin 1846 door Urbain Le Verrier en John Couch Adams gegeven: de baan van Uranus wordt doorde aantrekkingskracht van een onbekende planeet beinvloed! Uit de zeer kleine storingen van debaan van Uranus kon zelfs de plaats van het onbekende object berekend worden. Daadwerkelijkvond op 23 September 1846 de sterrenkundige Johann Galle, zoals men zegt: in minder dan eenhalf uur, binnen 1◦ van de voorspelde positie, de nieuwe planeet Neptunus. Dat was zonder twijfeléén van de grootste successen van de klassieke mechanica. In het begin van de twintigste eeuwresteerde er in principe slechts één enkel niet begrepen effect: de periheliumverschuiving van deplaneet die zich het dichtst bij de zon bevindt, namelijk Mercurius. De afwijking van Newtonsmodel (slechts 43.11±0.45 boogseconde per eeuw) kon enkel door de algemene relativiteitstheorievan Einstein verklaard worden (de berekende afwijking bedraagt 43.03 boogseconde per eeuw).

Een vergelijkbare doorbraak deed zich voor in de atoomfysica, nadat de basiswetten voor degolfmechanica (de Schrödinger- en Diracvergelijking, alsook het Pauli-principe) ontdekt waren.Samen met de wet van Coulomb (beter: de Maxwell-vergelijkingen),

Fem = −gemq1q2

r212

r12, (6)

konden de ‘banen’ van de elektronen voor de eenvoudigste atomen (H, He) berekend worden.Weer volgde er een fantastische overeenstemming tussen de berekende energieën en de zeer pre-cies gemeten spectra. De quantumelektrodynamica (QED) werd aan steeds stringentere testsonderworpen, en steeds volgde er dezelfde perfecte overeenstemming tussen experiment en deberekeningen (de relatieve nauwkeurigheid is op dit moment beter dan 10−7).

Vanzelfsprekend wilde men, aangemoedigd door deze successen, ook in andere gebieden van denatuurkunde een vergelijkbare nauwkeurigheid bereiken. Eerst bij de berekening van kernen ende constituenten ervan (protonen en neutronen) en in een volgende stap, bij de synthese van hetnucleon uit zijn basiselementen, de quarks. Deze wens is tot nu toe niet in vervulling gegaan, enin het verloop van dit college zullen we de redenen voor dat falen dienen na te gaan.

In dit hoofdstuk proberen we een overzicht van alle in de natuur voorkomende krachten te geven.We zijn, door onze ervaring met de klassieke mechanica en elektrodynamica, gewend aan hetidee dat krachten worden overgebracht van één lichaam op het andere, door een veld. Het be-grip veld is slechts een hypothese - het veld is fictief, de kracht daarentegen is aantoonbaar. Inde deeltjesfysica is het bijzonder nuttig om een ander concept in te voeren: het idee van deel-tjesuitwisseling. Dit behelst dat bepaalde deeltjes ervoor zorgen dat bepaalde krachten wordenovergedragen. Naast de zwaartekracht en de elektromagnetische wisselwerking zullen we - mis-schien verbazingwekkend - slechts twee nieuwe krachten hoeven in te voeren, namelijk de sterkewisselwerking en de zwakke wisselwerking14.

14Gedurende de laatste jaren was er regelmatig sprake van een zogenaamde vijfde kracht, die als een modificatie


Nadat men wist dat een kern is samengesteld uit protonen en neutronen, drong zich de vraagop, waarom een kern, ondanks de geweldige elektrische afstoting tussen de positief geladen pro-tonen, gebonden is. Klaarblijkelijk bestaat er een, voorlopig voor ons nog onbekende, wisselwer-king die sterker is dan de elektromagnetische, en die men daarom de sterke wisselwerking of dekernkracht15 noemt.

Uit het β-verval van bepaalde kernen (bijvoorbeeld 3H → 3He + e− + νe) en later ook uit hetverval van deeltjes (bijvoorbeeld µ− → e−+ νe + νµ) kon het bestaan van nog een vierde kracht,de zogenaamde zwakke wisselwerking afgeleid worden. Deze kracht wordt door geheel andereeigenschappen gekarakteriseerd16. In de onderstaande tabel worden enkele van de belangrijksteeigenschappen van de krachten vermeld.

Table 4: Belangrijkste eigenschappen van krachten en de bijbehorende uitgewisselde deeltjes.

Wisselwerking Sterkte Dracht Boson Massa Koppelt aan[ GeV/c2 ]

El. magn 1/137 ∞ γ 0 LadingZwakke 3× 10−12 � 10−15 m W±, Z0 80, 91 Quarks, lept.Gravitatie 5, 9× 10−39 ∞ Graviton 0 MassaKernkracht 1 ≤ 1, 4× 10−15 m π±, enz. 0,135, .. HadronenSterke 1 Confinement 8 Gluonen 0 Quarks

Tabel 4 laat zien dat de natuur is opgebouwd uit fermionen: quarks en leptonen; deeltjes methalftallige spin (1

2), die Fermi-Dirac statistiek volgen. De onderlinge wisselwerkingen van dezefermionen worden overgebracht door uitwisseling van andere deeltjes. Deze uitgewisselde deeltjeszijn bosonen, hebben heeltallige spin (0, 1, 2) en gedragen zich daarom volgens de Bose-Einsteinstatistiek.

Merk op dat neutrino’s slechts voor één enkele wisselwerking gevoelig zijn, namelijk de zwakkewisselwerking, indien we aannemen dat hun massa nul is. Leptonen zijn niet gevoelig voor desterke wisselwerking, zodat enkel de quarks alle wisselwerkingen ondergaan.

In tabel 4 is de karakteristieke sterkte van de wisselwerking aangegeven met een dimensieloosgetal. We zullen deze procedure toelichten aan de hand van de elektrostatische potentiaal. Depotentiële energie van twee elementaire ladingen, die zich op een afstand r van elkaar bevinden,bedraagt

Uem =1

4πε0

q1q2

r→ (

e2

4πε0~c)~c

1

r= αem~c

1

r. (8)

van de gravitatiepotentiaal ingevoerd werd:

Vgrav = −ggravm1m2

r12(1− αe−

rλ ). (7)

Een heranalyse door Fischbach (1986) van de oude data van Eötvos resulteerde aanvankelijk in α ≈ 7 × 10−3

en λ ≈ 100 − 1000 m. Fischbach’s publicatie gaf aanleiding tot een serie nieuwe experimenten (waaronder zeergeraffineerde metingen met torsieslingers), die aanvankelijk ook aanwijzingen gaven voor het bestaan van zo’nvijfde kracht met een middellange reikwijdte. Men is bezig met een nieuwe reeks zorgvuldige experimenten ende voorlopige resultaten duiden erop dat de effecten te verklaren zijn, zonder dat een additionele wisselwerkingingevoerd dient te worden.

15Teneinde verwarring te voorkomen zullen we in het vervolg spreken over de kernkracht, als we de wisselwerkingvan baryonen en mesonen bedoelen en daarbij hun inwendige structuur, welke bij lage energieën niet van belang is,verwaarlozen. Daarentegen bedoelen we met de sterke wisselwerking die krachten, die tussen de quarks werkzaamzijn.

16De zwakke wisselwerking schendt bijvoorbeeld, zoals we later nog uitvoerig zullen bespreken, de pariteit ofwelspiegelsymmetrie.


We vinden dan

αem =e2

4πε0~c=

1

137, 036, (9)

waarbij ~ de constante van Planck is (gedeeld door 2π) en c de lichtsnelheid. Merk op dat~c = 197.328 MeV·fm.

Analoog vinden we voor de gravitatie van twee protonen de energie

Ugrav = −ggravm1m2

r→ −ggrav

m2p

~c~c

1

r= −αgrav~c

1

r, (10)

waarbij

αgrav = ggrav

m2p

~c= 5, 9× 10−39. (11)

Voor zowel de zwakke wisselwerking, αF = 3×10−12, als de sterke wisselwerking, αS = 0, 07−14,zijn in de literatuur ook andere normeringen gebruikelijk.

Figuur 1: Grafisch overzicht van de elementaire bouwstenen (fermionen) en deeltjes die wissel-werkingen realiseren (bosonen) in het Standaard Model van de deeltjesfysica.

Fig. 1 toont de bouwstenen van het Standaard Model van de deeltjesfysica: leptonen en quarks.De bouwstenen zijn georganiseerd in drie generaties. Verder worden de bosonen getoond dieverantwoordelijk zijn voor de verschillende wisselwerkingen, samen met het Higgs-deeltje datverantwoordelijk is voor elektrozwakke symmetriebreking.

Door het uitvoeren van nucleon-nucleon verstrooiingsexperimenten heeft men vastgesteld datde kernkracht een eindige dracht heeft (λ− ≈ 1, 4 fm). In de eenvoudigste benadering (en met


verwaarlozing van alle spineffecten) kan de kernkracht gevonden worden uit

Ukern ≈ −αS~c1

re−

rλ− . (12)

De Japanse fysicus Hideki Yukawa heeft reeds in 1935 de suggestie gedaan, dat deze krachtovergebracht kan worden door uitwisseling van deeltjes met een rustenergie van

mc2 =~cλ−≈ 140 MeV. (13)

Daadwerkelijk werden deze deeltjes dan ook17 in 1947 door Cecil Powell, hij werkte in laboratoriain het hoogggebergte (o.a. in de Andes op 5000 m hoogte), via sporen in fotografische emulsiesgebruikt in kosmische stralingsexperimenten aangetoond. Het gaat hier om de drie pionen, π+,π− (genoteerd als π±) en π0.

Een exacte afleiding van het verband tussen de vorm van de Yukawa-potentiaal en de massa vanhet uitgewisselde deeltje kan pas later gegeven worden. We beperken ons hier tot een heuristischargument: Indien een uitwisselingsdeeltje met een van nul verschillende massa door een nucleongeëmitteerd wordt, bijvoorbeeldmπ, dan gaat dit altijd gepaard met het schenden van de wet vanbehoud van energie. Deze energie, mπc

2, mag door het nucleon ‘geleend’ worden, mits het wordt‘terugbetaald’ binnen een tijd ∆t18. De onzekerheidsrelatie ‘laat zulks toe’ voor een beperktetijdsduur ∆t, waarbij

∆E∆t = mπc2 ·∆t ≈ ~. (14)

In deze tijd kan het deeltje hooguit een afstand

λ− = c ·∆t ≈ ~cmπc2

(15)

afleggen, en die kan worden geïnterpreteerd als de dracht van de desbetreffende kracht.

We zijn er nu aan gewend dat de krachtwetten voor gravitatie19 en de elektromagnetische wis-selwerking er zeer eenvoudig uitzien. Dit is echter geenszins het geval voor de kernkracht. Inte-gendeel, deze krachtwet is zeer gecompliceerd. We zullen er enkele aspecten uitlichten.

1. De radiële afhankelijkheid is ingewikkeld en kan in ruwe benadering beschreven wordendoor een superpositie van verschillende Yukawa-potentialen. De reden van de ingewikkelderadiële afhankelijkheid is het feit dat er verschillende mesonen bestaan, die elk een bijdragetot de nucleon-nucleon wisselwerking geven.

2. Er zijn oneindig veel deelprocessen, die in een exacte berekening allemaal meegenomen die-nen te worden. In QED convergeert de bijbehorende reeks, omdat de koppelingsconstante(αem ≈ 1/137) klein is. Dat is echter niet het geval in de kernfysica (αS ≈ 1). In dat gevalis uitwisseling van één pion even waarschijnlijk als uitwisseling van N pionen.

3. De interactiepotentiaal is niet centraal, maar bevat diverse componenten die van de spinafhangen. Van belang zijn de spin-spin koppeling, de spin-baan koppeling en de tensorin-teractie.

17Na enkele dwalingen, want aanvankelijk werden in 1937 muonen ontdekt door Carl Anderson en Neddermayerin experimenten met kosmische straling. Muonen hebben echter totaal niets te maken met de sterke wisselwerking.

18Omdat de energie op tijd teruggegeven dient te worden, de wet van behoud van energie is immers geschonden,noemt men zo’n deeltje een virtueel deeltje. Het kan experimenteel niet worden waargenomen.

19Uiteraard hebben we het nu niet over de complicaties die voortvloeien uit de algemene relativiteitstheorie.


4. De interactie is bijzonder slecht bekend voor kleine afstanden tussen de nucleonen (r < 1fm). Vermoedelijk dienen ook niet-lokale componenten in rekening gebracht te worden.

5. Er zijn aanwijzingen voor het bestaan van meer-deeltjes krachten. Dit betekent dat dewisselwerking tussen twee nucleonen verandert, als er nog een derde (of meer) hadronin het interactiegebied gebracht wordt. De grootte van deze meer-deeltjes kracht is nogonbekend en wordt daarom op dit moment in veel experimenten met drie-nucleon systemenonderzocht.

We verbazen ons tegenwoordig niet meer over deze gecompliceerde vorm van de nucleon-nucleoninteractie. We weten immers dat de nucleonen en mesonen zelf een inwendige structuur hebbenen uit meerdere deeltjes (de quarks, antiquarks en gluonen) zijn samengesteld.

De kernkracht is terug te voeren tot de onderliggende sterke wisselwerking, die de quarks (en an-tiquarks) door middel van gluonen samenbindt. De potentiaal tussen een quark en een antiquark,die samen een meson vormen, bevat twee termen,

V (r) ≈ −4

3

αSr

+ λr. (16)

In een zeer vereenvoudigde voorstelling komt de eerste term overeen met de verwachte bijdragevan de uitgewisselde massaloze gluonen, terwijl de tweede term (de zogenaamde confinementterm) ermee te maken heeft dat de quarks (vanwege hun kleur) zich niet uit het hadron kunnenvrijmaken. Als het ware zijn ze in een kleurloze wereld veroordeeld tot eeuwige opsluiting.

Veel fysici hebben, ondanks tientallen jaren van frustratie, de hoop niet opgegeven, dat alle vierde wisselwerkingen zich uiteindelijk zullen laten verenigen in één enkele theorie. Als dat lukt leidtdat tot unificatie van alle interacties, waarbij alle krachten manifestaties zijn van verschillendeaspecten van slechts één enkele interactie. Tot nu toe is dat wel gelukt met de zwakke ende elektromagnetische wisselwerking. Het zogenaamde Standaard Model van de elektrozwakkeinteractie van Glashow, Salam en Weinberg (1961) laat bijvoorbeeld toe het β-verval van deeltjesen kernen te begrijpen en met goede nauwkeurigheid te berekenen. Hetzelfde model beschrijftook de zogenaamde neutrale stromen en de creatie van de intermediare vectorbosonen van dezwakke wisselwerking bij elektron-positron botsers.

Tenslotte, merken we nog op dat de gravitatiekracht dermate zwak is (αgrav ≈ 6 × 10−39), datze in de kernen deeltjesfysica tot nu toe geen rol schijnt te spelen. We zullen haar dan ookin het vervolg verwaarlozen. Het uitwisselingsdeeltje is het nog niet experimenteel aangetoondegraviton, een deeltje met spin 2.

1.5 Beschrijven van deeltjesinteracties met Feynmandiagrammen

1.5.1 Quantumveldentheorie

Als we de processen in de subatomaire fysica willen beschrijven dan dienen we hiervoor quan-tumveldentheorie te gebruiken. Dit is een quantummechanische theorie die processen kan be-schrijven waarbij deeltjes, beschouwd als quanta van een veld, ontstaan of verdwijnen. Het veldis een complexe functie van ruimte-tijd coördinaten en beschrijft de toestand van het systeem.De beschrijving wordt in overeenstemming gebracht met de eisen van de quantummechanica doorhet veld te quantiseren.

Paul Dirac was de eerste fysicus die erin slaagde (in 1927) een gequantiseerde veldentheorieop te stellen. Deze theorie beschreef de emissie en absorptie van fotonen en luidde het beginin van de ontwikkeling van de relativistische quantumelektrodynamica (QED). Dat de specialerelativiteitstheorie een essentiële rol speelt is duidelijk, omdat deeltjes gecreëerd en geannihileerd


worden en dus in deze processen energie wordt omgezet in materie en omgekeerd. Ook bewegende deeltjes zich vaak met zulk hoge snelheden, dat de niet-relativistische mechanica van Newtonniet toepasbaar is. Quantummechanica is een andere noodzakelijke component, vanwege hetbestaan van zowel quantumniveaus als quantummechanische interferentie fenomenen. De niet-relativistische quantummechanica is echter inadequaat voor de beschrijving van de subatomairewereld. Dit kan eenvoudig duidelijk gemaakt worden door de golffunctie ψ(x, t) van een deeltjete beschouwen. De normalisatie is gegeven door∫ ∞

−∞

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

ψ∗(x, t)ψ(x, t)d3x = 1, (17)

en het deeltje dient op elk moment ergens gevonden te worden. Dit is echter inconsistent methet concept van creatie en annihilatie van deeltjes, hetgeen veelvuldig in subatomaire fysicaprocessen voorkomt.

Een gedetailleerde beschrijving van deze processen voor de elektrozwakke en sterke wisselwerkin-gen wordt later in het college gegeven. Het is hier wel mogelijk om de elementaire processengrafisch voor te stellen met zogenaamde Feynmandiagrammen. Oorspronkelijk zijn deze dia-grammen door Richard Feynman ingevoerd als een soort boekhoudkundige notatie, waarbij elkdiagram een representatie is van een individuele term in de berekening van het matrixelementdat de overgangswaarschijnlijkheid voor een specifiek proces in de quantumelektrodynamica be-schrijft. De exacte rekenregels voor Feynmandiagrammen kunnen verkregen worden in de rela-tivistische veldentheorie door gebruik te maken van wiskundige constructies zoals Hilbert-ruimte,veldoperatoren en commutatieregels20.

1.5.2 Quantumelektrodynamica

Einstein poneerde in 1905 dat het elektromagnetische stralingsveld uit energiequanta of foto-nen bestaat. Elektromagnetische straling en dus fotonen kunnen worden opgewekt door geladendeeltjes. Ook kan straling verdwijnen door de wisselwerking met geladen deeltjes. QED is detheorie die het ontstaan en verdwijnen van quanta van het veld kan beschrijven. Niet alleen defotonen kunnen ontstaan en verdwijnen, maar ook de geladen deeltjes zelf. Deeltjes-antideeltjes(bijvoorbeeld elektron-positron) paren kunnen gecreëerd en geannihileerd worden in de interactiemet het veld. Fig. 2 toont enkele Feynmandiagrammen die de basisprocessen van de elektromag-netische interactie weergeven.

De pijlen op de fermionlijnen geven de stroomrichting van het fermiongetal aan en in dit gevalook dat van lading. De vertex die de elektromagnetische interactie beschrijft heeft de structuurfQfγ, waarbij f het fermion voorstelt, γ het foton en Q de ladingsoperator werkend op f . Defermionen kunnen bestaan uit quarks en geladen leptonen.

Een exacte beschrijving is uitermate gecompliceerd, omdat men zich hele reeksen diagrammen kanvoorstellen waarbij het stralingsveld geladen deeltjes creëert, die dan door hun elektromagnetischevelden weer straling doen ontstaan, enz. De uitgewisselde deeltjes zijn niet waarneembaar enbestaan slechts voor een tijd gelimiteerd door de onzekerheidsrelatie. We noemen dergelijkedeeltjes virtueel. QED is zo geformuleerd dat de berekeningen worden uitgevoerd in een soortstoringsreeks in de fijnstructuurconstante α ≈ 1

137 , waarbij iedere hogere orde in α overeenkomtmet een extra term in de reeks van wisselwerkingen.

Bijvoorbeeld kunnen we het eerste diagram in Fig. 2 identificeren met de interactie van hetmagnetisch moment van een fermion met massa m met een extern magnetisch veld met sterkte

20Een andere methode maakt gebruik van de zogenaamde actie en beschrijft de ontwikkeling van een quantum-systeem in de tijd in termen van de padintegraal van deze actie.


Figuur 2: Feynmandiagrammen die de basisprocessen weergeven, waarbij fermionen en an-tifermionen wisselwerken met fotonen. In alle diagrammen neemt de tijd toe van links naarrechts. Een pijl die naar rechts (links) wijst duidt op een fermion (antifermion).

|B|. De energie eigenwaarden volgen uit E = −~µS · B, en het intrinsieke magnetisch moment~µS is gerelateerd aan de spin vector S als ~µS = gµBS, waarbij g de Landé g-factor genoemdwordt. Het magnetisch moment van het elektron is nauwkeurig gemeten en bedraagt µe =1.001 159 652 193(10) µB. Geavanceerde QED berekeningen geven

athe ≡

|g|−22 = 1

2

(απ

)− 0.328 478 966

(απ

)2+ 1.176

(απ

)3+ · · ·

= 1 159 652 247× 10−12,(18)

waarbij de uitkomst van de berekeningen in perfecte overeenstemming is met het experimenteleresultaat.

De berekeningen bevatten hogere-orde termen en het is duidelijk dat correctietermen van de ordeα, α2, ... overeenkomen met de emissie van 1, 2, ... virtuele fotonen op het moment dat hetlepton de interactie aangaat met het externe elektromagnetische veld. Fig. 3 geeft een overzichtvan de Feynmandiagrammen die nodig zijn om de α3 correcties tot het magnetisch moment vanleptonen te berekenen.

Zoals reeds vermeld kunnen de processen die voorgesteld zijn door de diagrammen in Fig. 2 nietvoorkomen in de vrije ruimte. Elk diagram voldoet aan de behoudswetten voor lading, impulsen impulsmoment. Als men aanneemt dat de deeltjes een fysische massa hebben, dan kan menechter eenvoudig nagaan dat de wet van behoud van energie is geschonden. Eist men aan deandere kant dat voldaan is aan energiebehoud, E2 = p2+m2, dan hebben de deeltjes geen fysischemassa: ze liggen niet op de massaschil. De processen zijn virtueel en om een reëel proces te makendienen twee of meer virtuele processen zodanig gecombineerd te worden dat energiebehoud slechts


Figuur 3: Feynmandiagrammen die de α3 correcties weergeven nodig voor de berekening vanhet magnetisch moment van leptonen.

geschonden is voor een korte tijd τ , in overeenstemming met de onzekerheidsrelatie voor energieen tijd, τ∆E ∼ ~.

Fig. 4 toont de belangrijkste Feynmandiagrammen voor elektron-elektron verstrooiing, e−+e− →e− + e−. Zoals gebruikelijk neemt tijd weer toe van links naar rechts. Het is mogelijk het linkerdiagram in Fig. 4 zodanig te ‘vervormen’, dat het rechter diagram verkregen wordt. Diagrammendie op een dergelijke wijze topologisch aan elkaar verwant zijn, heten tijd-geordende diagrammen.Het is gebruikelijk dat men slechts één van dergelijke diagrammen tekent, waarbij het bestaanvan de andere diagrammen impliciet wordt aangenomen.


Figuur 4: Feynmandiagrammen die de één-foton uitwisselingsbijdrage weergeven voor elektron-elektron verstrooiing.

Figuur 5: Feynmandiagrammen die twee-foton uitwisselingsbijdragen weergeven voor elektron-elektron verstrooiing.

Fig. 5 toont Feynmandiagrammen voor twee-foton uitwisselingsbijdragen tot het proces e− +e− → e− + e−. Iedere vertex vertegenwoordigt een fundamenteel QED proces waarvan debijdrage tot de overgangswaarschijnlijkheid in de orde α ≈ 1/137 � 1 is. Dit betekent datde één-foton uitwisselingsbijdrage tot het elektron-elektron verstrooiingsproces van de orde α2

is, terwijl de twee-foton uitwisseling een bijdrage levert van de orde α4. In goede benaderingkunnen de bijdragen van twee- (or meer) foton uitwisseling in het algemeen dan ook verwaarloosdworden.

De fotonen geschetst in figuren 4 en 5 zijn virtuele deeltjes (en zijn bijvoorbeeld niet massaloos).De uitwisseling van een massaloos foton komt overeen met de Coulomb-potentiaal en die heefteen oneindige dracht. Grofweg zouden we ons de deeltjesuitwisseling als volgt kunnen voorstellen:als twee ladingen q1 = Q1e en q2 = Q2e zich op een afstand r van elkaar bevinden, dan kunnener volgens de onzekerheidsrelatie fotonen met een impulsoverdracht

∆p · r ≈ ~ (19)


uitgewisseld worden. Elk foton heeft een tijd ∆t ≈ r/c nodig om de afstand tot de andere ladingte overbruggen. De gemiddelde kracht f , is volgens Newton te berekenen uit

f =∆p

∆t=

~cr2. (20)

Het aantal uitgewisselde fotonen is evenredig met het product van de ladingen en de koppelings-constante αem. Hieruit volgt dan de bekende wet van Coulomb

FCoulomb = α~cQ1Q2

r2. (21)

Wellicht zal dit microscopisch beeld aanvankelijk niet als erg bevredigend ervaren worden. Hetis bijvoorbeeld moeilijk te begrijpen hoe een, in dit geval, aantrekkende Coulomb-kracht totstand komt. Echter, wat bepalend is, is het succes van deze theorie, die deeltjesuitwisseling alsfundament heeft. QED is op dit moment een van de beste theorieën. Hiermee is het mogelijkprocessen, die onder invloed van de elektromagnetische wisselwerking verlopen, te berekenen meteen ongekende nauwkeurigheid (met een relatieve nauwkeurigheid van 10−7 en beter!).

1.5.3 Quantumchromodynamica

De sterke wisselwerking tussen quarks wordt met een relativistische veldentheorie beschrevendie quantumchromodynamica (QCD) heet. Het quark komt in drie kleurtoestanden voor die weaanduiden met rood r, groen g, en blauw b. Voor het antiquark hebben we de antikleuren r, gen b. De drie onafhankelijke kleur golffuncties van een quark worden uitgedrukt door middel vanzogenaamde kleur spinoren

r =

100

, g =

010

, b =

001

. (22)

Het verschil met QED is de vervanging van de lading Q door acht kleurladingen21 gcFa diekoppelen aan acht gluonen.

De vertex die deze interactie beschrijft heeft de structuur

gcqFaqGa = gcqλa2qGa, (23)

waarbij q het quark voorstelt, Ga het gluon, en gc de sterkte van de kleurkoppeling is. DeGell-Mann matrices zijn acht 3× 3 hermitische matrices waarvan het spoor gelijk is aan nul.

λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

λ8 = 1√3

1 0 00 1 00 0 −2

(24)


Figuur 6: Feynmandiagrammen die de fundamentele processen weergeven die optreden in desterke wisselwerking. In analogie met QED vindt men ook in QCD de quark-gluon interacties.Daarnaast onderscheidt men echter nog de gluon zelfinteracties.

Fig. 6 geeft een schematische weergave van enkele diagrammatische bouwstenen van QCD. Wezien bijvoorbeeld22 dat de koppeling van de interactie ggG8 de sterkte gc/2

√3 heeft, omdat

gTλ8g = 1/√

3). In de praktijk zullen we echter nooit de sterkte van de kleuren afzonderlijkbeschouwen, omdat we altijd over alle kleuren in een hadron sommeren. De koppelingsconstantevan de sterke wisseling, αS = g2/4π, is afhankelijk van de energieschaal waarop het hadronischesysteem experimenteel onderzocht wordt met bijvoorbeeld elektronenverstrooiing.

Figuur 7: Overzicht van de waarden voor αs(Q) voor de waarden van Q waarbij metingen zijnuitgevoerd.

Fig. 7 geeft een schematische weergave van het gedrag van de koppelingsconstante voor de sterkewisselwerking als functie van de overgedragen vierimpuls, Q. Men ziet duidelijk de afname van

21Volgens de groepentheorie vormen de 3 ⊗ 3 kleur-antikleur combinaties toestanden georganiseerd in tweemultipletten: een singlet en een octet. De singlet kleurtoestand

√1/3(rr + gg + bb) is op een symmetrische

wijze geconstrueerd uit de drie kleuren en antikleuren en is invariant met betrekking tot een herdefinitie van dekleuren (een zogenaamde rotatie in de kleurruimte). Het heeft daarom geen effect in de kleurruimte en wordt nietuitgewisseld tussen kleurladingen.

22We bedoelen in dit voorbeeld de koppeling van twee "groene" quarks aan een gluon van het type G8.


αs(Q) met toenemende Q. Bij hoge energieën is de QCD-koppeling klein, hetgeen leidt tot hetprincipe van asymptotische vrijheid. In dit domein is het weer mogelijk processen uit te rekenenmet behulp van een ‘storingsreeks’ en men spreekt van perturbatieve QCD (pQCD).

Het gluon heeft met het foton gemeen dat beide massaloos zijn. Er is echter ook een belangrijkverschil. Bij de koppeling van de geladen deeltjes aan de veldquanta van het elektromagnetischeveld (fotonen) blijft de lading van de deeltjes hetzelfde, omdat het foton zelf geen lading heeft. Dequanta van de velden van de sterke wisselwerking, de gluonen, dragen echter tegelijkertijd zoweleen kleur- als een antikleurlading, zodat de quarks bij het koppelen aan gluonen hun kleurladingkunnen veranderen. Dit leidt tot een andere vorm van de kracht tussen de kleurladingen in QCDdan die van de ladingen in QED. Men neemt aan dat dit, samen met de gluon zelfinteractie,de oorzaak is van de permanente opsluiting, confinement, van de quarks en antiquarks in dehadronen.

1.5.4 Elektrozwakke wisselwerking

Net zoals het geval is voor de elektromagnetische als voor de sterke wisselwerking, is ook dezwakke wisselwerking geassocieerd met bosonen die de krachten overbrengen tussen de quarksen/of leptonen. Terwijl in de eerste twee gevallen deze bosonen massaloze deeltjes zijn, hebbende bosonen die optreden in de zwakke wisselwerking een relatief hoge massa, MW = 80.3 GeVen MZ = 91.2 GeV. In het begin van de jaren zestig zijn Glashow, Salam en Weinberg eringeslaagd een theorie te ontwikkelen die leidde tot unificatie van de elektromagnetische en zwakkeinteracties. Deze theorie voorspelde dat er naast het foton een neutraal vector-boson, de Z0,dient te bestaan. Verder zijn er de geladen vector-bosonen W+ en W−.

Figuur 8: Feynmandiagrammen die enkele van de fundamentele processen weergeven, waarbijfermionen en antifermionen wisselwerken met de geladen stromen, W+ en W−. Verder komener nog tri- en quadrilineaire vectorboson en Higgs-koppelingen voor. De fermionvrijheidsgradenbestaan zowel uit leptonen als quarks.

Fig. 8 geeft de Feynmandiagrammen voor de fundamentele processen waarbij geladen stromenkoppelen aan leptonen en quarks23.

23We geven hier enkel de koppeling voor het hypothetische geval van lepton-quark symmetrie, waarbij quark


Figuur 9: Feynmandiagrammen die de koppeling met het foton en de neutrale stroom gedragendoor de Z0 aan leptonen en quarks weergeven voor de geünificeerde elektrozwakke wisselwerking.

In Fig. 9 geven we een overzicht van de Feynmandiagrammen die de processen met neutralestromen weergeven die optreden in de elektrozwakke wisselwerking.

Figuur 10: Voorbeelden van deeltjesverval onder invloed van de zwakke wisselwerking. Weonderscheiden a) hadronisch verval, zoals het Λ-verval; b) leptonisch verval, zoals het verval vanhet muon; c) semi-leptonisch verval, zoals het neutron-verval.

Het zal duidelijk zijn dat de fundamentele processen die optreden in de elektrozwakke theo-rie aanleiding zullen geven tot een veelheid van fysische processen. Men onderscheidt bijvoor-beeld hadronische, leptonische en semi-leptonische vervalprocessen. Enkele voorbeelden wordengegeven in Fig. 10.

Ook in de elektrozwakke theorie is het mogelijk hogere-orde bijdragen te berekenen. In het

mixing verwaarloosd wordt.


Figuur 11: Hogere-orde elektrozwakke correcties die bijdragen tot het proces van omgekeerdmuon-verval.

algemeen kunnen dergelijke correcties verwaarloosd worden, echter in sommige gevallen24 zijndeze processen dominant. Fig. 11 geeft een voorbeeld van tweede-orde correcties tot het procesvan omgekeerd muon-verval.

1.6 Spin en statistiek

Tenslotte zullen we in dit hoofdstuk ingaan op een wezenlijk verschil tussen fermionen en boso-nen25. Dit verschil heeft te maken met de spin van het deeltje. Spin is een zuiver quantumme-chanische eigenschap, die een maat is voor het intrinsieke impulsmoment. Er is geen analogie inde klassieke mechanica, alhoewel we ons dan vaak het deeltje voorstellen als een snel rond zijn asdraaiende tol. De grootte van de spin (het is een vectorgrootheid) wordt uitgedrukt in eenhedenvan ~. De waarde van de spin is, net als het baanimpulsmoment, gequantiseerd.

Deeltjes met halftallige spin (12 ,

32 , enz.) volgen Fermi-Dirac statistiek, terwijl deeltjes met

heeltallige spin (0, 1, enz.) voldoen aan Bose-Einstein statistiek. Dit heeft tot gevolg datde fermionen slechts in paren gecreëerd en geannihileerd kunnen worden (bijvoorbeeld γ →e− + e+). Bosonen daarentegen kunnen in willekeurig aantal geproduceerd en geannihileerdworden (bijvoorbeeld p + p → p + p + nπ, n = 1, 2, ..), indien de andere behoudswetten dattoestaan.

Het spin-statistiek theorema (|ψ|2 mag niet veranderen) bepaalt nu dat voor de golffunctie ψ,van twee identieke deeltjes, moet gelden dat

bosonen : ψ(1, 2)→ +ψ(2, 1) symmetrisch,fermionen : ψ(1, 2)→ −ψ(2, 1) antisymmetrisch,

(25)

in het geval dat beide deeltjes verwisseld worden.

Indien twee fermionen precies dezelfde quantumgetallen hebben, en zich dus in dezelfde toestandbevinden, dan moet ψ gelijk zijn aan nul (het zogenaamde principe van Pauli). Daarentegen

24Zoals in het voorbeeld van K0 −K0 oscillaties.25Wolfgang Pauli, Physical Review 58 (1940) 716.


bezetten meerdere bosonen ‘bij voorkeur’ dezelfde toestand (zoals bijvoorbeeld van toepassing isin een laser). Schrijven we de golffunctie van twee deeltjes als een product van een plaatsgolf-functie en een factor die de spinoriëntatie bepaalt,

ψ = ψp(plaats)ψs(spin), (26)

dan moet de totale golffunctie symmetrisch of antisymmetrisch zijn. Indien de plaatsgolffunctieals volgt geschreven kan worden,

ψp(plaats) = ψ(r)Y ml (θ, φ), (27)

waarbij r de afstand tussen beide deeltjes is en l hun relatief baanimpulsmoment, dan volgt bijverwisseling van de deeltjes in het zwaartepunt,

θ → π − θ, en φ→ φ+ π, (28)

en hiermeeψp(plaats)→ (−1)lψp(plaats). (29)

De plaatsgolffunctie is dus symmetrisch voor even l en antisymmetrisch voor oneven l. Bijidentieke deeltjes moet dan de spingolffunctie, naar gelang de deeltjessoort, symmetrisch ofantisymmetrisch gekozen worden. We krijgen bijvoorbeeld voor J1 = J2 = 1

2 een symmetrischegolffunctie voor de triplettoestand (J = 1, Jz = 0,±1) en een antisymmetrische golffunctie voorde singlettoestand (J = 0, Jz = 0).

ψs(spin) =

| ↑↑>

1√2{| ↑↓> +| ↓↑>}

| ↓↓>symmetrisch

ψs(spin) = 1√2{| ↑↓> −| ↓↑>} antisymmetrisch

(30)

Om het belang van symmetrieën te demonstreren, beschouwen we het verval van een neutraalρ-meson in twee neutrale pionen, dus ρ → 2π0. Het zogenaamde ρ-deeltje is een voorbeeld vaneen vectormeson, en zoals we later zullen zien bezitten deze mesonen een spin J = 1. De pionenzijn ongeladen en dragen geen spin, en hun spingolffunctie ψs, is dan ook symmetrisch. Omdatde pionen identieke bosonen zijn, dient hun totale golffunctie symmetrisch te zijn, en er dientnu te gelden dat de plaatsgolffunctie ψp, symmetrisch is. Dit betekent dat de gecreëerde pioneneen even totaal-impulsmoment dienen te hebben. Omdat we een ρ-meson met spin J = 1 in debegintoestand hebben, is het verval dus verboden door de wet van behoud van impulsmomenten Bose-symmetrie.


1.7 Uitgewerkte opgaven

1.7.1 Unificatie

We nemen aan dat de subatomaire wereld is opgebouwd uit twaalf fundamentele fermionen, zesquarks en zes leptonen, die gerangschikt kunnen worden in drie ‘generaties’ met toenemendemassa:

udeνe

csµνµ

tbτντ

. (31)

De analogie tussen de quarks en leptonen is opvallend en het lijkt of de verschillende generatiesreplicas van elkaar zijn. We vragen ons af of dat betekent dat er een of andere fundamenteel ver-band is tussen de quarks en leptonen. Zijn de quarks en leptonen bronnen van een fundamenteelgeünificeerd elektrozwak veld?

Figuur 12: De energie (Q) afhankelijkheid van de koppelingsconstanten αi ≡ g2i /4π. Specu-

latieve ‘grand unificatie’ van de sterke (SU(3)kleur) en elektrozwakke (SU(2)L ⊗ U(1)Y ) wissel-werkingen treedt op bij korte afstanden 1/Q ≈ 1/MX .

In de quantumveldentheorie blijkt dat de koppelingsconstanten voor de sterke, zwakke en elektro-magnetische wisselwerkingen afhangen van de afstand tot de bron. Op korte afstand, overeenkom-stig met hoge energie, neemt de fijnstructuurconstante in sterkte toe, terwijl de sterke en zwakkekoppelingen afnemen. We hebben dat schematisch weergegeven in figuur 12. De afstand voorunificatie is r ≈ 10−31 m, en op deze schaal zouden quarks en leptonen kunnen wisselwerkenvia zogenaamde X bosonen met spin 1. De korte dracht van de interacties impliceert een massaMX ≈ 1015 GeV. Hoewel dergelijke extreem hoge energieën tegenwoordig niet in laboratoria ge-produceerd kunnen worden, hebben ze in grote rol gespeeld in de beginfase van de Big Bang. Eenbelangrijke eigenschap van GUTs (Grand Unified Theories) is dat quarks en leptonen behoren totsupermultipletten en dat er transities tussen quarks en leptonen kunnen plaatsvinden die geïn-duceerd worden door de X bosonen. Dit heeft tot gevolg dat baryongetal (en de leptongetallen)niet behouden is en het proton dan ook een instabiel deeltje is.

Zoals figuur 13 toont, kan het proton bijvoorbeeld vervallen via de reactie p→ e+π0. Net zoalsbij lage energieën het zwakke verval, van bijvoorbeeld het neutron, onderdrukt is door de hogemassa van de Z en W bosonen, is het protonverval sterk onderdrukt door de hoge massa van


het hypothetische X boson. Dit ondanks het feit dat de koppelingsconstanten van dezelfde ordevan grootte zijn. Experimenten die protonverval meten zijn derhalve van groot belang om onzeideeën met betrekking tot grand unificatie te testen.

Figuur 13: Een mogelijk mechanisme voor het verval van het proton via de reactie p→ e+π0.De interactie wordt in dit soort processen overgebracht door X bosonen, de ijkdeeltjes in GUTs.De tijdrichting is verticaal.

Hoe zit het met gravitatie? Tot nu toe hebben we deze wisselwerking steeds buiten beschouwinggelaten. We weten echter dat de koppeling afhangt van de afstand, en het blijkt dat de koppelingvoor gravitatie toeneemt met de energie. Gravitatie wordt belangrijk bij de zogenaamde Planckmassa, die gegeven wordt door

mP =

√~cG≈ 1019 GeV, (32)

waarbij G = 6.67× 10−11 Nm2/kg2 de gravitatieconstante is. We zien dat de Planck schaal nogveel hoger ligt dan de schaal voor GUTs. Er zijn verschillende pogingen ondernomen om ookgravitatie te incorpereren in de unificatie en er is bijvoorbeeld het supergravity model. Of eendergelijke theorie, die alle natuurkrachten in een enkele geünificeerde theorie beschrijft, bestaat,is op dit moment niet aan te geven.

1.7.2 Quantumchromodynamica

Opgave: In QED wordt de sterkte van de elektromagnetische koppeling tussen twee quarksgegeven door e1e2α, waarbij ei de elektrische lading is in eenheden van e (en dus ei = +2

3 of−1

3) en α is de fijnstructuurconstante. Analoog is in QCD de sterkte van de koppeling voorde één-gluon uitwisseling tussen twee kleurladingen gelijk aan 1

2c1c2αs, waarbij c1 en c2 dekleurcoëfficiënten zijn van de vertices. We noemen CF ≡ 1

2 |c1c2| de kleurfactor.

Opgave a): Hoeveel verschillende gluonen kunnen de interactie tussen twee rode quarks over-brengen?Antwoord: De interactie tussen twee rode quarks kan overgebracht worden door de gluonen(rr − gg) en 1√

3(rr + gg − 2bb). De corresponderende operatoren zijn F3 = λ3

2 en F8 = λ82 .

Opgave b): Bereken de kleurfactor voor de interactie tussen twee blauwe quarks.


Antwoord: De interactie tussen twee blauwe quarks wordt overgebracht door het gluon 1√3(rr+

gg − 2bb). De corresponderende operator is F8 = λ82 . De sterkte van de koppeling is dan

bλ8b =

001

1√3

1 0 00 1 00 0 −2

001

=−2√

3, (33)

en de kleurfactor wordt dan 12

(−2√

3

)(−2√

3

)= 2

3 .

Opgave c): Bewijs dat de sterke wisselwerking (kleurfactor) tussen twee rode quarks gelijk is aandie tussen twee blauwe quarks, zoals vereist door kleursymmetrie.Antwoord: De totale kleurfactor voor de twee rode quarks is de som van de kleurfactoren voorde operatoren F3 en F8. We vinden dan 1

2(1)(1) + 12

(1√3

)(1√3

)= 1

2 + 16 = 2

3 , en is dus gelijkaan die voor twee blauwe quarks.

1.7.3 SU(3)-kleur

Opgave: De kleuroperatoren worden gerepresenteerd door drie-dimensionale matrices. Er zijnacht onafhankelijke kleuroperatoren, Fi = 1

2λi (i = 1, 2, .., 8).

Opgave a): Laat zien dat de kleurspinoren eigenfuncties zijn van de operatoren F3 en F8.Antwoord: De operatoren F3 en F8 kunnen worden voorgesteld door diagonale matrices. Wevinden

F3r = 12r, F3g = −1

2g, F3b = 0b,

F8r = 12√

3r, F8g = 1

2√

3g, F8b = − 1√

3b.

(34)

Opgave b): Bepaal de eigenwaarden c3 en c8 voor F3r = c3r en F8r = c8r.Antwoord: De eigenwaarden zijn gegeven in het vorige antwoord en bedragen c3 = 1

2 en c8 = 12√

3.

Opgave c): Bepaal de matrix λk en de SU(3) structuurconstanten fijk van de commutator[λi2 ,

λj2

]= ifijk

λk2 voor de gevallen (i, j, k) = (1, 2, 3) en (1, 4, 7).

Antwoord: We bepalen de eerste matrix door expliciet uitrekenen van het product voor (i, j, k) =(1, 2, 3). We vinden

[λ12 ,

λ22

]= (λ1

2λ22 )− (λ2

2λ12 )

= 14

0 1 01 0 00 0 0

0 −i 0i 0 00 0 0

− 14

0 −i 0i 0 00 0 0

0 1 01 0 00 0 0

= 1

4

i 0 00 −i 00 0 0

− 14

−i 0 00 i 00 0 0

= 14

2i 0 00 −2i 00 0 0

= 12

i 0 00 −i 00 0 0

= i

2λ3 = iF3.(35)

We vinden als structuurconstante f123 = 1.

Vervolgens bepalen we de tweede matrix door expliciet uitrekenen van het product voor (i, j, k) =(1, 4, 7). We vinden


[λ12 ,

λ42

]= (λ1

2λ42 )− (λ4

2λ12 )

= 14

0 1 01 0 00 0 0

0 0 10 0 01 0 0

− 14

0 0 10 0 01 0 0

0 1 01 0 00 0 0

= 1

4

0 0 00 0 10 0 0

− 14

0 0 00 0 00 1 0

= 14

0 0 00 0 10 −1 0

= i4

0 0 00 0 −i0 i 0

= i

4λ7 = i2 F7.

(36)

We vinden als structuurconstante f147 = 12 . Tenslotte willen we er nog op wijzen dat in het

algemeen geldt dat[Fi, H

]= 0 voor (i = 1, 2, .., 8) en

[Fi, Fj

]= iΣkfijkFk. De coëfficiënten

fijk zijn antisymmetrisch.


1.8 Opgaven

1.8.1 Negen gluonen

We hebben gezien dat in SU(3)-symmetrie voor QCD er acht gluonen kunnen worden uitgewisseldtussen twee quarks. In de natuur wordt de negende toestand, een kleursinglet gegeven doorrr+gg+bb niet uitgewisseld, omdat het een kleursinglet is. Het komt erop neer dat deze toestandniet veranderd als we de kleuren herdefiniëren. Stel echter dat deze toestand wél uitgewisseldzou worden tussen quarks. Wat zijn hiervan dan de consequenties? Waarom kan deze toestandniet het foton voorstellen, zodat we al direct QED en QCD zouden kunnen unificeren?

1.8.2 Zwakke wisselwerking

Voor welke kosmologische en astrofysische verschijnselen is de zwakke wisselwerking essentieel?

1.8.3 Speciale relativiteitstheorie

Geef twee voorbeelden waarbij de speciale relativiteitstheorie essentieel is in de subatomairefysica.

1.8.4 Spin

Neem aan dat het elektron en muon uniforme bollen zijn met een straal van 0,1 fm. Bereken desnelheid aan het oppervlak ten gevolge van een rotatie met spin

√34~.

1.8.5 Rho-meson

Men denkt dat het rho meson ρ een bijdrage levert aan de hadronische kracht tussen hadronen.Bereken de dracht van deze kracht. De massa van het rho meson is 770 MeV.

Deeltjes en velden - Nikhefjo/quantum/qm/df2/inleiding_dv.pdfDeeltjes en velden de fysica van het...

Documents

Transcript of Deeltjes en velden - Nikhefjo/quantum/qm/df2/inleiding_dv.pdfDeeltjes en velden de fysica van het...