Jo van den Brand

10 oktober 2013

Deeltjes en velden HOVO Cursus

jo@nikhef.nl

Overzicht

• Docent informatie • Jo van den Brand & Gideon Koekoek

• Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com

• 0620 539 484 / 020 592 2000

• Rooster informatie • Donderdag 10:00 – 13:00, HG 08A-05 (totaal 10 keer)

• Collegevrije week: 24 oktober 2013

• Boek en website • David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, Wiley and Sons,

ISBN 978-3-527-40601-2 (2008)

• Zie website URL: www.nikhef.nl/~jo

• Beoordeling • Huiswerkopgaven 20%, tentamen 80%

Inhoud

• Inleiding • Deeltjes

• Interacties

• Relativistische kinematica • Speciale relativiteitstheorie

• Viervectoren

• Energie en impuls

• Quantumfysica • Formalisme

• Spin van deeltjes

• Structuur van hadronen

• Symmetrieën • Behoudwetten, quarkmodel

• Symmetriebreking

• Veldentheorie • Lagrange formalisme

• Feynman regels

• Quantumelektrodynamica • Diracvergelijking

• Quarks en hadronen • Quantumchromodynamica

• Elektrozwakke wisselwerking

• Higgs formalisme

• Vectoren – Positie

– Snelheid versnelling

• Wetten van Newton – Eerste wet: indien geen kracht werkt, dan verandert

de bewegingstoestand niet

– Tweede wet

– Derde wet: actie en reactie

• Andere relaties – behoudswetten – Arbeid en kinetische energie

– Impuls

– Baanimpulsmoment

• Relativiteitsprincipe – Geen verschil tussen rust en beweging

• met constante snelheid

Klassieke mechanica

Newton 1642 - 1727

Fotoelektrisch effect

• Een foton maakt elektron vrij

– Werkfunctie f

– Maximum kinetische energie elektron, Km

• Support voor fotonhypothese

– Onafhankelijk van intensiteit licht

– Afhankelijk van frequentie licht

• Er geldt Km = eV0

Compton effect

• Een foton botst op een vrij elektron

– Compton verschuiving (zie 3.7.10)

– Handiger met SRT

• Constante van Planck in de formule – Biljarten met fotonen en elektronen

– Foton wordt behandeld als een deeltje

Compton 1927

Spectra

• Licht is elektromagnetische straling

• Gekarakteriseerd door – Golflengte (430 – 690 nm)

– Frequentie

– Snelheid

• Maar ook – Energie

– Impuls

• Met behulp van een spectrometer kan men een spectrale decompositie maken: welke frequenties bouwen het licht op

• Sommige lichtbronnen hebben een continue spectrum – De zon

– Een gloeilamp

Atomaire spectra

• Een atoom bestaat uit een kern en een aantal elektronen

• Een kern bestaat uit protonen en neutronen (e.g. isotopen)

• Atoom is elektrisch neutraal en bevat evenveel elektronen als protonen

• Elektronen zijn geordenend in zogenaamde banen – stationaire quantumtoestanden

• Deze toestanden hebben verschillende discrete energieen

• Als elektronen van toestand veranderen, dan wordt er straling uitgezonden of geabsorbeerd

• De spectra zijn discreet

Waterstof

Helium

• Stel, twee stationaire toestanden zijn met energie E1 en E2

• Er geldt E1 > E2

• Bij overgang van toestand 1 2 wordt er een foton uitgezonden

• Bij overgang van toestand 2 1 wordt er een foton geabsorbeerd

Absorptiespectra

Absorptielijn

materiaal bron

Atomair waterstof

Straling van de zon

Elementen in de zon

• Identificeer elementen in sterren

• Helium ontdekt in spectrum van de zon – Pierre Janssen & Norman Lockyer, 1868

– 24% van de masa-abondantie in Universum

• Roodverschuiving geeft snelheid van sterrenstelsels

Spectra van het melkwegstelsel

Oude atoommodel van Bohr

Bohr 1922

• Quantumpostulaten – Atoom kan bestaan in stationaire toestanden

• In deze toestanden zendt het atoom geen straling uit

– Atoom zendt enkel straling uit als het van toestand verandert. De frequentie van de straling wordt gegeven door

• Rutherford had ontdekt dat het atoom bestaat uit een zware kern waaromheen elektronen cirkelen

Oude atoommodel van Bohr

• Tweede wet van Newton – Coulombkracht en centripetale kracht

– Kinetische energie van het elektron

– Potentiële energie

– Totale energie

• Criterium voor quantisatie – Baanimpulsmoment is discreet

• L heeft dezelfde eenheid als h

Oude atoommodel van Bohr

• We vinden

– Met geeft dit

– Baanimpulsmoment en

– Mogelijke stralen

• Energieniveaux

• Beperkte precisie (0,02%); geen info over intensiteit van spectraallijnen; He

Materiegolven

• Licht bestaat uit discrete eenheden (fotonen) met deeltjesachtige eigenschappen (energie, impuls) die gerelateerd zijn aan golfachtige eigenschappen (frequentie, golflengte)

• In 1923 postuleerde Prins Louis de Broglie dat gewone materie golfachtige eigenschappen kan hebben, waarbij de golflengte λ op dezelfde manier met de impuls p in verband staat als bij licht – Golflengte hangt van de impuls af

– Niet van de grootte van het object

• Voorspelling: diffractie en interferentie van materiegolven

De Broglie, 1929

h

p

346.63 10 Jsh

Planck’s constante

De Broglie golflengten

• Golflengte van een elektron met 50 eV kinetische energie

• Golflengte van een stikstof molecuul op kamertemperatuur

• Golflengte van een rubidium(87) atoom op 50 nK

2 210

21.7 10 m

2 2 2e e e

p h hK

m m m K

u

11

3, Mass 28m

2

2.8 10 m3

kTK

h

MkT

61.2 10 m3

h

MkT

Davisson-Germer experiment

• Het Davisson-Germer experiment: – verstrooiing van een bundel elektronen aan

een Ni kristal

– Bij een vaste hoek worden scherpe pieken in intensiteit gevonden als functie van de elektron energie: interferentie!

Davisson 1937

G.P. Thomson 1937

a

θi

θr

cos ia

cos ra

Constructieve interferentie als

(cos cos )r ia n

Twee-spleten experiment

• Oorspronkelijk uitgevoerd door Young (1801) om het golfkarakter van licht te demonstreren. Het wordt nu gebruikt voor onder andere elektronen, neutronen, He atomen

– Maxima

sind

D

θ d

Detectie scherm

Invallende coherente bundel van deeltjes (of licht)

y

Alternatieve detectie methode: scan een detector langs het scherm en registreer het aandeel deeltjes dat op elke positie arriveert.

sind n

y D

Dy

d

n

d

d

Twee-spleten experiment

Waarom niet 2x single-slit patroon?

Meetresultaten

• Interferentiepatronen kunnen niet met klassieke fysica verklaard worden – Demonstratie van de hypothese van

materiegolven

Neutrons, A Zeilinger et al. 1988 Reviews of Modern Physics 60 1067-1073

He atoms: O Carnal and J Mlynek 1991 Physical Review Letters 66 2689-2692

C60 molecules: M Arndt et al. 1999 Nature 401 680-682

Zonder grating

Met multiple-slit grating

Meetresultaten

• Single elektron events – Twee-spleten experiment

• 10 Hz, 50 kV, 120.000 km/s, 1 m lengte

– www.hitachi.com

• Golf of deeltje?

Interpretatie

• Deeltjesflux kan gereduceerd worden, zodat er steeds slechts een deeltje per keer op het scherm aankomt – We zien dan nog steeds interferentie banden!

– Elk deeltje gaat door beide spleten tegelijkertijd

• Het golfkarakter kan gedemonstreerd worden voor een enkel object – Een materie-deeltje interfereert met zichzelf

• Als we proberen te ontdekken door welke spleet het deeltje gaat, dan verdwijnt het interferentie patroon! – We kunnen golf- en deeltjeskarakter niet tegelijkertijd waarnemen

• Richard Feynman: “…a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality it contains the only mystery.”

Toepassing

• Elektronenmicroscoop

– Gebaseerd op golfkarakter van elektronen

– Gewone microscoop kan details zien ter grootte van de golflengte van het licht

– De elektronen kunnen versneld worden tot hoge energie en hebben dan een kleine golflengte

• Vergroting bijvoorbeeld 50 miljoen keer

Staande golven

• Lokalisatie van een golf

– Staande golven op een snaar

– Golflengte gequantiseerd

– Quantumgetal n

– Frequenties gequantiseerd

• Golfsnelheid v

• Lokalisatie leidt tot quantisatie

Opgesloten foton

• Opgesloten foton

– Twee perfecte spiegels op afstand L

– Licht is een elektromagnetisch veld E

• Er geldt

• E = 0 voor x = 0 = L

– Energiedichtheid

– Elk foton heeft energie

• Waarschijnlijkheid om foton aan te treffen evenredig met het kwadraat van de veldamplitude

– Waarschijnlijkheidsdichtheid

• Kans om deeltje aan te treffen tussen positie x en x + dx

– Er geldt

• Energie Nulpuntsenergie! E1 ≠ 0

Waarschijnlijkheid

• Aantal studenten in een kamer

– Histogram van leeftijden

– Totaal aantal

– Kans dat iemand 15 jaar oud is?

– Er geldt

– Meest waarschijnlijke leeftijd?

• 25 jaar

– Mediane leeftijd?

• 23 jaar (7 ouder, en 7 jonger)

– Gemiddelde leeftijd?

• Algemeen: gemiddelde van functie

Waarschijnlijkheid

• Vergelijk 2 verdelingen

– Dezelfde mediaan, gemiddelde, meest waarschijnlijke waarde, en aantal elementen

– Verschillende spreiding

– Maat voor spreiding

– Echter

• Variantie

Waarschijnlijkheidsdichtheid

• Waarschijnlijkheidsdichtheid

– Kans dat iemand 18 jaar, 243 dagen, 11.928 seconden, 874.231 microseconden oud is?

– Kans op leeftijd tussen 20 en 25 jaar?

• Er geldt klassiek

Quantummechanica

bijvoorbeeld

Hilbertruimte

• Vector en functie – Vector a: voor enkel waarde van index i = 1, 2, … hebben we een component ai

– Functie f: voor enkel waarde van argument x, hebben we een functiewaarde f(x)

• Operaties – Optellen vectoren a + b = c en optellen functies f(x) + g(x) = h(x)

– Inproduct

– Lengte van een functie

– Parallelle functies Orthogonale functies

• Definitie van Hilbertruimte – Lineaire vectorruimte met inproduct en oneindig aantal dimensies

– Hilbertruimte is compleet

• Toestand van een systeem – Alle informatie wordt gegeven door golffunctie

– We spreken ook over de toestandsvector

– Toestandsvector leeft in de Hilbertruimte

• Verzameling van alle polynomen P(N) – Op interval -1 < x < 1

• Kies als basis

– We hebben nu een N-dimensional vectorruimte

– Deze basis is niet orthonormaal, want

• Orthonormaliseer met Gram-Schmidt procedure – Dat levert de Legendre polynomen

• Vergelijk met vectoren

Basis in Hilbertruimte – I

Basis in Hilbertruimte – II

• Verzameling van alle goniometrische functies T(N) – Op interval -1 < x < 1

• Kies als orthonormale basis

• Hierop berust Fourieranalyse – We kunnen functies beschrijven door sin(npx) en cos(npx) op te tellen

• Matrix is een getallenschema – Element mij voor rij i en kolom k

• Vermenigvuldiging van matrix M met vector a – Dit levert een nieuwe vector b

– Deze actie is lineair

• Operator A – Genereert uit een functie f een andere functie

– Actie is lineair

Matrices en operatoren

• Actie van operator A – Vergelijkbaar met die van een matrix

– Hij strekt of krimpt de functie f en/of roteert deze functie

• In sommige gevallen is er geen rotatie – Dan geldt

– Dit zijn de eigenfuncties en eigenwaarden van operator A

• Hermitische operator A – Hiervoor geldt voor alle functie f en g

– Bijzondere en belangrijke eigenschappen

• De eigenwaarden zijn reëel

• De eigenvectoren (die horen bij verschillende eigenwaarden) zijn orthogonaal

• De eigenvectoren zijn compleet

Eigenfuncties en eigenwaarden

Axiomas van de quantummechanica

1. Toestand van een systeem wordt door toestandsfunctie voorgesteld

2. Iedere fysische grootheid correspondeert met een hermitische operator

3. Een toestand van een systeem, waarin een fysische grootheid A een nauwkeurig bepaalde (zogenaamde scherpe) waarde heeft, moet door een eigenfunctie van de corresponderende operator beschreven worden. De waarde van de grootheid A in deze toestand is de bijbehorende eigenwaarde a.

4. Als de fysische grootheid A, gekenmerkt door de operator A, voor een systeem dat beschreven wordt door de toestandsfunctie geen scherp bepaalde waarde heeft, dan kan men toch een verwachtingswaarde aangeven, namelijk

Indien de metingen aan het systeem in dezelfde toestand meerdere malen worden uitgevoerd, dan vindt men voor de gemiddelde waarde van A precies de waarde < A >.

• De toestandsfunctie geeft alle informatie, maar is zelf niet meetbaar – Het is een vector in de Hilbertruimte

• De verwachtingswaarde voor observable A en toestand

– Verwachtingswaarden moeten reëel zijn, dus geldt

– Dit is equivalent met

– Als een operator hieraan voldoet, dan is dat een Hermitische operator

– Dan geldt ook (voor bewijs, zie dictaat)

Toelichting axiomas

Axiomas van de quantummechanica

• Wanneer is het resultaat van een meting uniek? – Beschouw spreiding

– Uniek resultaat betekent

– Als het systeem zich in een eigentoestand bevindt, dan levert een meting als uniek resultaat de eigenwaarde a die hoort bij deze eigentoestand

• Fysische operator heeft een spectrum van eigenwaarden – Resultaat van metingen zijn de eigenwaarden an

– Na de meting wordt de toestand beschreven door eigenfunctie

– De eigenfuncties zijn compleet

– Voor een willekeurige toestand geldt

met

Operatoren van positie en impuls

• Operatoren kunnen niet algemeen afgeleid worden – Analogie met klassieke mechanica van Hamilton en Lagrange

• Operator x voor positie x

• Operator px voor impulscomponent px

– Toestanden met scherpe impuls

– Reële deel is een harmonische golf

– Golflengte zoals vereist door de Broglie

– Definieer golfgetal

• Toestand met scherp bepaalde positie, bijvoorbeeld x = a – Oplossing noemen een delta functie

• Als geen delta-functie – Waarschijnlijkheidsverdeling

Onzekerheidsrelaties

px

p

• Beschouw golffunctie – Superpositie van golven

– Golfpakketje van een deeltje

– Gemiddelde impuls px

• Er geldt

• Voor de breedte geldt

– Onzekerheidsrelatie van Heisenberg

• Onzekerheid zit ingebouwd in formalisme

• Laat operatoren voor positie en impuls werken op een functie f

– en verwissel de volgorde ...

• Het verschil bedraagt

– Dit geldt voor elke functie f

• We vinden de operatorvergelijking

– Het is principieel onmogelijk om geconjugeerde variabelen tegelijkertijd scherp te bepalen

– Dit geldt ook voor de andere component, voor energie en tijd, voor impulsmoment componenten onderling, etc.

– Voor verdieping zie sectie 3.2.6

Commutatierelaties

• Impulsoperator

– Vectoroperator die een gradiënt neemt

• Operator voor kinetische energie

– Laplace-operator

• Operator voor potentiële energie

• Hamiltoniaan

• Operator voor totale energie

• Operatorvergelijking

• Schrödingervergelijking

Schrödingervergelijking

• Energieoperator

• Eigenfuncties

– Harmonische functies met hoekfrequentie

– Materie- en lichtgolven met frequentie n hebben energie

• Toestandsfunctie met scherpe energie – Correspondeert met een harmonische trilling op ieder punt in de ruimte

– Het is een staande golf!

– Om de golf te karakteriseren, dienen we de ruimtelijke verdeling van de amplitude te weten

• Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking

– Ook wel

Energieoperator

• Schrödingervergelijking

– Coulombpotentiaal

– Operator

Waterstofatoom