De Fysische Implementatie van een Kwantumcomputer met...

Universiteit GentFaculteit Wetenschappen

VakgroepSubatomaire en Stralingsfysica

Voorzitter: Prof. Dr. K. HEYDE

De Fysische Implementatie van eenKwantumcomputer met Kwantumdots

Frederik Crop

Promotor: Prof. Dr. W. De BaereScriptiebegeleider: Prof. Dr. W. De Baere

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad vanlicentiaat natuurkunde

Academiejaar 2004–2005

De fysische implementatie van een Kwantumcomputer met KwantumdotsFrederik CROP

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad vanlicentiaat natuurkunde

Elektronische versie beschikbaar op http://users.skynet.be/fcrop/thesis.html

Academiejaar 2004–2005

Promotor: Prof. Dr. Willy DE BAEREScriptiebegeleider: Prof. Dr. Willy DE BAERE

Faculteit WetenschappenUniversiteit Gent

Vakgroep Subatomaire en StralingsfysicaVoorzitter: Prof. Dr. Kris Heyde

Samenvatting

Doordat het simuleren van een kwantummechanisch systeem met klassieke com-puters net zo ingewikkeld was, kwam men op het idee om dit te doen met eencomputer die op kwantummechanische principes werkt. Alzo was de kwantum-computer geboren, waarbij er blijkt dat deze veel potentieel bezit om verschillendeklassiek exponentieel moeilijke problemen eenvoudiger op te lossen. In deze thesisbehandelen we allereerst kwantumcomputing in het algemeen, waarna er dieperwordt ingegegaan op een eigenlijke fysische implementatie met kwantumdots. Tenslotte behandelen we ook enkele kwantumalgoritmes.

Trefwoorden: Kwantumcomputer, Kwantumalgoritme, Kwantumdot, Kwan-tummechanica

Toelating tot bruikleenDe auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellenen delen van deze scriptie te kopieren voor persoonlijk gebruik.Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzon-der met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij hetaanhalen van resultaten uit deze scriptie.

Datum: 3 juni 2005

Take the road as it comes ’cause it comes so slow. – The Admiral

Voorwoord

Allereerst wil ik de mensen bedanken waardoor deze thesis tot stand is gekomen,waarbij ik in het bijzonder mijn ouders, broer en vrienden wil bedanken voor desteun en toeverlaat tijdens de voorbije jaren.

Eveneens wil ik een woord van dank betuigen aan mijn promotor en tevensscriptiebegeleider Prof. Willy De Baere voor het vele proeflezen van de scriptie, deopbouwende kritiek en handige LATEX tips. Ook wil ik Stijn De Weirdt bedankenvoor het aanbrengen van artikels en het helpen bij de initiele structuur van descriptie.

Indien er onduidelijke definities zouden optreden, verwijzen we naar de indexachteraan welke hopelijk een verwijzing zal bevatten.

Frederik Crop

Inhoudsopgave

1 Inleiding en korte geschiedenis 1

2 Kwantumcomputing: Algemene Voorwaarden 42.1 Kwantummechanische basisconcepten . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Voorstelling van de qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Dichtheidsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Zuivere en gemengde toestanden . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.5 Tensor product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Een goed gedefinieerde qubit in een schaalbaar systeem . . . . . . 92.3 Operatietijd kort ten opzichte van de decoherentietijd . . . . . . . 11

2.3.1 Evolutie van een kwantumsysteem dat onderdeel is van eengroter systeem door een superoperator $ . . . . . . . . . . 11

2.3.2 Decoherentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Initialiseren van een begintoestand . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Universele set van kwantumpoorten . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 1–qubit bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Controlled bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3 De eigenlijke universele sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Meting van de qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Aanvullende voorwaarden voor kwantumcommunicatie . . . . . . 29

2.7.1 Het omzetten van stationaire qubits naar mobiele qubitsmoet mogelijk zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.7.2 Mobiele qubits moeten over grote afstanden kunnen ver-plaatst worden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Kwantumcomputing met kwantumdots 313.1 Kwantumdots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Het Coulomb Blockade Effect . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2 Een goed gedefinieerde qubit in een schaalbaar systeem . . . . . . 413.3 Operatietijd kort ten opzichte van decoherentietijd . . . . . . . . . 46

3.3.1 Intrinsieke decoherentie: spin–baan koppeling . . . . . . . 473.3.2 Intrinsieke decoherentie: spin–spin koppeling . . . . . . . . 49

ii INHOUDSOPGAVE

3.4 Initialiseren van een begintoestand . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5 Universele set van kwantumpoorten . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.1 1–qubit bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5.2 Exhange interactie en 2–qubit bewerkingen . . . . . . . . . 58

3.6 Meting van de qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6.1 Quantum Point Contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Quantum algoritmes en QEC 784.1 Het Algoritme van Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Het Algoritme van Deutsch–Jozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Kwantum Fourier Transformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4 Fasebepaling van een unitaire matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5 Het Factorisatie algoritme van Shor . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6 Kwantum Zoekalgoritme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7 Quantum Error Correction (QEC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.7.1 Bitflips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.7.2 Faseflips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.8 Kwantumsimulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.9 Is Kwantum nu beter dan Klassiek? . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5 Besluit 100

A Kwantuminformatie: definities en begrippen 102A.1 Elementaire poorten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.1.1 SWAP en√

SWAP operatie . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.2 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104A.3 No–cloning theorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B Andere fysische kwantumcomputer implementaties 106B.1 Liquid NMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.2 Cavity–QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.3 Josephson–juncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.4 Kane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.5 Ion Traps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.6 Endohedrale Fullerenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

C Uitwerking van CNOT poort 108

D Single Electron Transistor (SET) 110

E Afleiding van de Toestandsdichtheid in een 1DEG 112

Bibliografie 113

Lijst van figuren

2.1 Voorstelling van een Toffoli poort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Voorstelling van een qubit in Blochrepresentatie . . . . . . . . . . 18

2.3 Voorstelling van een controlled poort. De unitaire transformatie Uwordt uitgevoerd indien de control qubit |1〉 is. . . . . . . . . . . . 20

2.4 Voorstelling van een CNOT poort. De NOT operatie wordt uit-gevoerd op de target qubit indien de control qubit |1〉 was. . . . . 20

2.5 Ontbinding van een arbitraire controlled bewerking in 1–qubit ope-raties en CNOT poorten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Ontbinding van een C(2)(U) poort in controlled–U en CNOTpoorten, om een Toffoli poort te bekomen moet U = 1

2(I+iσx)(1−

i) en U2 = σx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Bovenaanzicht van de constructie van twee kwantumdots. Aande metaalcontacten worden negatieve spanningen aangelegd omhet onderliggend tweedimensionaal elektronengas te beperken. DeQuantum Point Contacts (QPC) dienen voor de uitlezing van dequbits (zie §3.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Vorming van een 2–dimensioneel elektronengaskanaal (in het witaangegeven) in een halfgeleider heterostructuur. . . . . . . . . . . 34

3.3 Bandenstructuur van het GaAs–AlGaAs contact. De extra elek-tronen van de Si–dopering zullen naar het GaAs migreren doorde lagere energietoestand in de conductieband. Daarbij zijn re-spectievelijk Ef de Fermi energie, Ev de energie van de top van devalentieband en Ec de energie van de bodem van de conductieband(figuur niet in correcte proporties). . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Aanleggen van een metaalcontact op een halfgeleider door middelvan Electron Beam Litography: eerst wordt een fotoresist laag opde halfgeleider aangebracht, daarvan worden delen verwijderd meteen elektronenbundel (merk op: er zal door terugverstrooiing vanelektronen geen perfect vertikale afwerking zijn), waarna er metaalwordt opgedampt en ten slotte wordt de resterende fotoresist ver-wijderd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iv LIJST VAN FIGUREN

3.5 Variatie van de bandgap voor Ga1−xAlxAs met de samenstellingx. Beneden x = 0, 4 is de direct bandgap het kleinst. Figuur uit [44]. 37

3.6 Weergave van het tweedimensionaal elektronengas op de GaAs Al-GaAs grenslaag, zo gevormd door negatieve spanningen aan demetaalcontacten aan te leggen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7 Bezetting van de energieniveaus in een kwantumdot bij N = 4 enN = 9 elektronen, rekening houdend met de regel van Hund. . . . 39

3.8 Invloed van de Gate spanning op de stroom door een kwantumdot.De afstand tussen de pieken is afkomstig van de energie nodig omtelkens een extra elektron toe te voegen, wat weergegeven wordtrechts bovenaan. Tussen de pieken is er geen stroom mogelijk we-gens het Coulomb Blockade Effect dat het aantal elektronen in dekwantumdot vast houdt. We merken ook op dat een schillenstruc-tuur merkbaar is bij respectievelijk 2, 6 en 12 extra elektronen: deenergie nodig om een extra elektron toe te voegen is daar groter.Meetresultaten door Kouwenhoven et al. [73] . . . . . . . . . . . . 40

3.9 Coulomb Blockade Effect: er is geen stroom mogelijk indien dethermische energie lager is dan de opsplitsingsenergie. . . . . . . . 41

3.10 Conductantiepiek: er is een 1–elektron stroom mogelijk doorheende kwantumdot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.11 Opsplitsing van de toegelaten toestanden in Landau energieniveausbij het aanleggen van een magnetisch veld bij een tweedimensioneelelektronengas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.12 Opsplitsing van de toegelaten Landauniveaus in de twee spin-niveaus. Links zien we de structuur van het 2–dimensioneel elektro-nengas van de aanvoer, rechts de harmonische oscillator structuurvan de kwantumdot met opsplitsing van de energieniveaus. Doorde ligging van het Ferminiveau en de kwantumdotniveaus zal erenkel een |0〉 = | ↑ 〉 toestand kunnen tunnelen naar de kwantumdot. 52

3.13 Voorstelling van een reeks kwantumdots. 1–qubit operaties kunnenbekomen worden door ofwel de elektronen in gebieden met andereg waarden te brengen (vertikale lagen), ofwel door Elektron SpinResonantie door een tweede variabel extern magnetisch veld aan teleggen. Door de tunnelbarriere tussen twee qubits te verminderen,ontstaat er tunneling en kunnen 2–qubit interacties bekomen wor-den (zie verder, §3.5.2. Figuur door Golovach en Loss, [66]). . . . 54

3.14 Berekende g–factor in een AlGaAs–GaAs–InAlGaAs–AlGaAs he-terostructuur als functie van het perpendiculair aangelegd elek-trisch veld waarbij de bulk g waarden worden aangegeven voor derespectievelijke materialen, door DiVincenzo et al. [67] . . . . . . 55

3.15 Grafische weergave van de potentiaal voor twee gekoppelde kwan-tumdots waarbij een extern magnetisch veld B aangelegd is. . . . 62

LIJST VAN FIGUREN v

3.16 Verloop van de exchange koppeling J in de eenvoudigste Heitleren London benadering (gebroken lijn) en in een uitgebreider (sp–hybridisatie) model (volle lijn) bij een vaste afstand d = a

aB= 0, 7

tussen de kwantumdots, hω = 3meV en c = 2, 42. Figuur doorBurkard et al. [60]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.17 Verloop van de exchange koppeling J in het uitgebreider (sp–hybridisatie) model (volle lijn), in het korte dracht Hubbard model

waarbij J =4t20u

(gestreepte–punt lijn) en uitgebreider Hubbard

model J =4t20u

+V (gestreepte lijn) bij een vaste afstand d = aaB

=0, 7 tussen de kwantumdots, hω = 3meV en c = 2, 42. Figuur doorEngel et al. [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.18 Experimentele resultaten van meting van de exchange–koppelingJ . Figuur door Zumbuhl et al. [70]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.19 Energieniveauopsplitsing door de confinement in het stroomkanaalvan het 2–dimensioneel elektronengas in een QPC. . . . . . . . . . 70

3.20 Dispersierelatie voor het QPC voor een kwadratische potentiaalzonder een aangelegd magnetisch veld. . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.21 Gemeten geleidbaarheid in functie van aangelegde spanning aanhet QPC en aangelegd magnetisch veld. De achtergrondweerstandis telkens afgetrokken. Figuur door Kouwenhoven et al. [79]. . . . 73

3.22 Invloed van het aanleggen van een magnetisch veld op de disper-sierelatie voor het QPC voor een kwadratische potentiaal. Bij (a)het aanleggen van een magnetisch veld wordt de dispersierelatievlakker en vergroot de energieseparatie tussen de niveaus en bij(b) een groot magnetisch veld bekomt men de vlakke toegelatenLandauniveaus met nog grotere energieseparatie. . . . . . . . . . . 74

3.23 Grafische weergave van de zadelvormige potentiaal in het gelei-dingskanaal van een QPC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.24 Invloed van de lading in de kwantumdot op de stroom ∆I dooreen nabijgelegen QPC. (A): Door de potentiaal op de kwantum-dot gepulst te veranderen is er een verandering in de stroom vanhet QPC door deze potentiaal, maar de tunneling van en naar dekwantumdot van een elektron is ook duidelijk zichtbaar. (B): Ver-andering van de stroom in een QPC door het tunnelen van eenelektron van en naar een nabijgelegen kwantumdot, de bovenstegrafiek is gemaakt bij de hoogste kwantumdot potentiaal. Figuurdoor Vandersypen et al. [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1 Blokschema voor algoritme van Deutsch. . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2 Blokschema voor algoritme van Deutsch–Jozsa. . . . . . . . . . . 82

vi LIJST VAN FIGUREN

4.3 Blokschema van een kwantum Fourier transform met Hadamard-poorten H en controlled operaties Rrs. De SWAP operaties zijnniet afgebeeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Blokschema van het algoritme voor fasebepaling. Het aantalqubits t die zich initieel in de |0〉 toestand bevinden zullen denauwkeurigheid van φ bepalen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5 Rotatie van de vector |s〉 bij een Groveriteratie G = UsUa. De hoekθ van |s〉 met |a⊥〉 neemt toe met 2θ bij elke iteratie. . . . . . . . 92

D.1 Schematische voorstelling van een SET. De Source, Drain en Gatezijn aangegeven en functioneren ongeveer het zelfde als bij een“klassieke” FET. Figuur door Kastner [104] . . . . . . . . . . . . 110

D.2 Weergave van de equivalente klassieke schakeling, waarbij de SETals gatecapaciteit Cg werkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

D.3 Er is enkel een stroom tussen Source en Drain mogelijk (dusde transistor in “aan” toestand) bij bepaalde liggingen van deenergieniveaus, welke beınvloed worden door de gatespanning enomgevende ladingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lijst van tabellen

3.1 Bandenergieen van GaAs, AlAs en AlGaAs. . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Overzichtstabel voor het algoritme van Deutsch. . . . . . . . . . 80

Hoofdstuk 1

Inleiding en korte geschiedenis

“A computer makes it possible to do, in half an hour, tasks which werecompletely unnecessary to do before.” – anoniem

Bij de zoektocht naar snellere en betere computers komt men steeds dichter bijde limiet voor klassieke computers. Door zo klein mogelijke transistoren te ge-bruiken, kunnen deze sneller signalen uitwisselen en kunnen er meer op een chip,deze transistoren kan men echter niet blijven verkleinen want op atomaire schaalzullen er belangrijke kwantumeffecten optreden, bovendien kunnen transistorennooit kleiner worden dan de atomen zelf! Nu verdubbelt de rekenkracht van decomputers volgens de “wet van Moore” elke 18 tot 24 maanden, aan dit tempozal men in de toekomst dus niet kunnen volhouden indien men blijft dezelfdeprincipes volgen.

Waar een wil is, is een weg, en in plaats van eenzelfde principe door te trekkenkan men innoveren en op zoek gaan naar andere architecturen voor computers,of zelfs de basisprincipes zelf waarop een computer werkt grondig veranderen. Debasis voor kwantumcomputing werd gelegd door Landauer en Benett [1] [2] in dejaren 60–70: zij toonden onder andere aan dat er bij (klassieke) computationeleprocessen geen dissipatie van energie is bij reversibele processen (een kwantumme-chanisch proces is unitair en dus inherent reversibel). Bij een kwantumcomputerwerkt men met kwantummechanische toestanden en deze zijn niet eenvoudig tebeschrijven met klassieke getallen, net door de niet–lokale entanglement die erontstaat. Dat er een exponentiele moeilijkheid ontstaat om kwantumsystemente simuleren, vermelde Manin al in 1980 [4]. Maar de feitelijke eerste suggestiesvoor een kwantumcomputer pur sang werden gemaakt door Benioff [3] en (wieanders dan) Feynman [7] in 1982: doordat het zo moeilijk is om kwantumme-chanische systemen te simuleren met klassieke computers kwam men op het ideedat kwantumcomputers klassiek moeilijke systemen efficienter zouden kunnenoplossen. Daarmee was er ook een nieuwe veelbelovende branche ontstaan in deinformatietheorie, maar waarvan concrete resultaten ingewikkeld bleken net doorhet kwantummechanisch karakter ervan.

2 Inleiding en korte geschiedenis

In deze thesis behandelen we allereerst kwantumcomputing in het algemeen.Daarvoor leggen we in het eerste hoofdstuk de basis voor kwantumcomputing.De reden waarom kwantumcomputing zo speciaal is komt omdat men gebruikmaakt van enkele opmerkelijke fenomenen uit de kwantummechanica zoalskwantumparallellisme en entanglement. Bijvoorbeeld entanglement kan totspeciale resultaten leiden, waarbij we een Einstein–Podolsky–Rosen (EPR) elek-tronenpaar [18] als voorbeeld gebruiken: stel dat we een systeem laten vervallenzodat er twee elektronen vrijkomen met tegengestelde spin. Als er geen metingwordt op uitgevoerd, weten we niet in welke spintoestand de beide elektronenzich bevinden, maar wel dat de totale spin 0 is. Indien men nu een meting opeen van de twee uitvoert, zal er een niet–lokaal fenomeen optreden: de spin vanhet niet gemeten elektron zal onmiddellijk veranderen in het tegengestelde vande spin van het elektron welke we gemeten hebben, dus wat in tegenstrijd is methet relativistisch postulaat dat de maximale interactiesnelheid de lichtsnelheid is.

Vervolgens gaan we in het tweede hoofdstuk dieper in op de eigenlijk fysischeimplementatie van een kwantumcomputer met kwantumdots, waarbij we zowelde theoretische als praktische aspecten van deze implementatie behandelen. Hetbasisidee achter kwantumcomputing met kwantumdots is het gebruik maken vande spin van een elektron, opgesloten in een kwantumdot, als qubit. Wat is nuzo’n qubit? Een klassieke bit kan slechts de twee waarden 0 of 1 kan aannnemen,maar een qubit kan een (genormeerde) superpositie van de toestanden |0〉 en |1〉zijn:

|ψ〉 = a0|0〉+ a1|1〉, met |a0|2 + |a1|2 = 1 (1.1)

Daarbij associeert men de spin–up toestand bijvoorbeeld met de |0〉 = | ↑ 〉toestand en de spin–down toestand met de |1〉 = | ↓ 〉 toestand. Of metandere woorden, een qubit stelt dus een vector in een 2–dimensionele complexevectorruimte voor. Natuurlijk zullen er problemen optreden met decoherentie1,maar deze blijken niet onoverkomenlijk en zullen we grotendeels bespreken inhet tweede hoofdstuk. Verder moet een kwantumcomputer naast bewerkingenkunnen uitvoeren, ook kunnen geınitialiseerd en uitgelezen worden. Om nu allebewerkingen te kunnen uitvoeren, is er nu een zogenaamde “universele” set vankwantumpoorten nodig, dit is een set waarmee een willekeurige andere poortkan opgebouwd worden. Dat een universele set van kwantumpoorten mogelijkwas (zie §2.5) met twee qubits, werd aangetoond door Berani, Bernstein, Recken Zeilinger [5] in 1994 en bespreken we theoretisch in het eerste hoofdstuk entoegepast op kwantumdots in het tweede hoofdstuk.

Ten slotte bespreken we in het laatste hoofdstuk enkele kwantumalgoritmesen hoe deze verschillen van klassieke algoritmes. Historisch gezien kwam het

1Decoherentie is het ongecontroleerd verliezen van kwantuminformatie doordat de toestandinterageert met de omgeving.

3

eerste eigenlijk kwantumalgoritme, het algoritme van Deutsch (1–bit probleem,zie §4.1), er in 1985 (Deutsch), wat later (1992) uitgebreid werd tot eenn–bit versie: het algoritme van Deutsch–Jozsa [6]. Een gemodifieerde versiedaarvan wordt gegeven in hoofdstuk §4. Daarin zullen we onder andere zien datkwantumalgoritmes blijken te behoren tot een andere klasse, dan de klassiekealgoritmes: veelal zal er een exponentiele speedup van de algoritmes optreden!De eigenlijke praktische algoritmes lieten niet lang op zich wachten, dezewaren respectievelijk een kwantumalgoritme voor factorisatie van grote getallenin priemfactoren [9] (exponentieel sneller dan klassiek, zie §4.5) en het kwan-tumzoekalgoritme van Grover [95] [96] (kwadratisch sneller dan klassiek, zie §4.6).

Kwantumcomputing is een zeer interessant en levend onderzoeksgebied waar-bij vele vakgebieden, gaande van informatietheorie en kwantummechanica totvaste stoffysica, samenkomen om in de (hopelijk nabije) toekomst tot een werke-lijke kwantumcomputer te komen. Experimenteel heeft men bijvoorbeeld al re-sultaten in verschillende implementaties bekomen, zoals de eerste experimenteleimplementatie van een kwantumpoort, een 2–qubits CNOT poort d.m.v. “trappedions”(zie appendix B.5), door Monroe et al. [10]. Het uitvoeren van een eigenlijkkwantumalgoritme werd eveens in 1997 vooreerst aangetoond door Chuang etal. [11]. In deze thesis proberen we een algemeen overzicht te geven en de basisvan kwantumcomputing met kwantumdots grondig uit te werken, maar waarbijwe jammer genoeg niet overal even diep zijn ingegaan op de veelal verschillendemogelijkheden om de implementatie te realiseren. De meest belovende implemen-tatieprincipes op het ogenblik van het schrijven werden behandeld.

Hoofdstuk 2

Kwantumcomputing: AlgemeneVoorwaarden

”I think I can safely say that nobody understands Quantum Mechan-ics” – Richard Feynman

Om een kwantumcomputer te kunnen realiseren neemt men algemeen aandat er minstens aan bepaalde criteria voldaan moet zijn (naar P. DiVincenzo,[14]). Allereerst gaan we zeer kort in op enkele basisconcepten van de kwantum-mechanica, waarna we vijf voorwaarden waar elke fysische implementatie vaneen kwantumcomputer zo “goed”1 mogelijk moet aan voldoen bespreken, en webesluiten met twee criteria voor kwantumcommunicatie.

2.1 Kwantummechanische basisconcepten

2.1.1 Voorstelling van de qubits

We gebruiken overal de spin–up en spin–down van een elektron als representatievoor de qubits:

|0〉 = | ↑ 〉 =

(10

)(2.1)

|1〉 = | ↓ 〉 =

(01

)(2.2)

(2.3)

Een algemene qubittoestand kan dan voorgesteld worden als een vector a|0〉+b|1〉 in een tweedimensionele Hilbertruimte. Terwijl een klassieke bit zich maar

1Zoals we zullen zien zal niet aan alle voorwaarden even goed kunnen voldaan worden zonderandere voorwaarden in het gedrang te brengen.

2.1 Kwantummechanische basisconcepten 5

in de twee toestanden 0 en 1 kan bevinden, kan een qubit zich in alle mogelijketoestanden bevinden waarvoor de normeringsvoorwaarde |a|2 + |b|2 = 1 geldt.Wanneer we een klassieke bit meten, zal deze zich nog altijd in dezelfde toestandbevinden na de meting, bij het meten van een qubit zal men dan echter metwaarschijnlijkheid |a|2 de toestand |0〉 en met waarschijnlijkheid |b|2 de toestand|1〉 vinden. Het meetproces zal dus de qubittoestand beınvloeden, behalve in hetgeval dat de qubit voor de meting in de eigentoestand |0〉 of |1〉 was.

Een belangrijke eigenschap van de qubits is dat deze geen probabilistischeklassieke bits zijn. Dit kunnen we verduidelijken aan de hand van de toestandvan een qubit in twee verschillende orthogonale basissen volgens de x– en de z–as.Stel dat we beschikken over de twee toestanden | ↑x 〉 en | ↓x 〉 in de x–basis. Dezekunnen geschreven worden als superpositie van de toestanden | ↑z 〉 en | ↓z 〉 inde z–basis:

| ↑x 〉 =1√2

(| ↑z 〉+ | ↓z 〉) (2.4)

| ↓x 〉 =1√2

(| ↑z 〉 − | ↓z 〉) (2.5)

Dit betekent dus als we bijvoorbeeld de toestand | ↓x 〉 meten in de z–basis, wedan met waarschijnlijkheid 1/2 de toestand | ↑z 〉 en met waarschijnlijkheid 1/2de toestand | ↓z 〉 bekomen. Stel nu dat we de volgende toestand vormen:

1√2

(| ↑x 〉+ | ↓x 〉) (2.6)

Als we dus hierbij in de x–basis meten, zullen we de toestanden | ↑x 〉 en | ↓x 〉 elkmet waarschijnlijkheid 1/2 bekomen. Indien dit nu een klassieke probabilistischebit zou geweest zijn, zouden we verwachten dat bij meting volgens de z–as, we detoestanden | ↑z 〉 en | ↓z 〉 elk met waarschijnlijkheid 1/2 bekomen: bij meting vanelk van de twee toestanden | ↑x 〉 en | ↓x 〉 zou men immers voor allebei de helftvan de tijd een toestand | ↑z 〉 bekomen, en in de andere gevallen | ↓z 〉. Indien wenu een feitelijke meting volgens de z–as uitvoeren op de toestand (2.6), bekomenwe echter altijd de toestand | ↑z 〉! Dit kan men inzien door de de toestand (2.6)expliciet uit te schrijven:

1√2

(| ↑x 〉+ | ↓x 〉) =1√2

(1√2

(| ↑z 〉+ | ↓z 〉) +1√2

(| ↑z 〉 − | ↓z 〉))

= | ↑z 〉 (2.7)

Kwantumsystemen gedragen zich dus helemaal niet als klassieke probabilistis-che systemen. Men spreekt van bijvoorbeeld kwantuminterferentie in het zonetbeschreven geval.

6 Kwantumcomputing: Algemene Voorwaarden

2.1.2 Dichtheidsmatrix

Alle informatie over een kwantummechanisch systeem is bevat in de toestandsvec-tor |ψ〉. We kunnen ditzelfde systeem echter analoog beschrijven aan de hand vande dichtheidsmatrix ρ = |ψ〉〈ψ| van dit systeem.

Algemeen kan dan de verwachtingswaarde van een operator A voor een(gemengde) toestand, waarbij |ψj〉 optreedt met een waarschijnlijkheid pj,geschreven worden als:

〈ψ|A|ψ〉 =∑j

pj〈ψj|A|ψj〉 (2.8)

Nu kunnen de samenstellende toestanden |ψk〉 in een basis |i〉 ontbonden worden:

|ψk〉 =∑i

c(k)i |i〉 (2.9)

waarbij de coefficienten c(k)i kunnen geschreven worden als c

(k)i = 〈i|ψk〉. Daardoor

kunnen we de verwachtingswaarde (2.8) herschrijven als:

〈ψ|A|ψ〉 =∑k

∑i,j

pkc(k)∗j c

(k)i 〈j|A|i〉 (2.10)

=∑k

∑i,j

pk〈ψk|j〉〈i|ψk〉〈j||A|i〉 (2.11)

=∑i,j

〈i|(∑

k

pk|ψk〉〈ψk|)|j〉〈j|A|i〉 (2.12)

=∑i

〈i|ρ

∑j

|j〉〈j|

A|i〉 (2.13)

=∑i

〈i|ρA|i〉 (2.14)

= Tr (ρA) (2.15)

aangezien∑j |j〉〈j| = 1 en waarbij we de dichtheidsmatrix ρ =

∑k pk|ψk〉〈ψk|

hebben ingevoerd. De verwachtingswaarde van een observabele kan dus eenvoudiguitgedrukt worden in termen van de dichtheidsmatrix. Verder vermelden we nogde eigenschappen van een dichtheidsmatrix [18]:

1. Tr(ρ) = 1

2. ρ is semi-positief definiet: voor elke willekeurige vector |φ〉 geldt er

〈φ|ρ|φ〉 ≥ 0 (2.16)

Daaruit volgt ook dat de eigenwaarden van ρ positief of nul zijn.

2.1 Kwantummechanische basisconcepten 7

3. Voor een zuivere toestand (zie ook volgende paragraaf) geldt er: Tr(ρ2) =Tr(ρ) = 1

4. ρ is hermitisch

5. De diagonaalelementen van de dichtheidsmatrix ρ zijn de waarschijnlijkhe-den om de bijhorende basistoestand waar te nemen.

6. Niet–nul niet–diagonaal elementen in de dichtheidsmatrix staan voor deaanwezigheid van coherente superposities

7. De waarschijnlijkheid om een toestand |φ〉 waar te nemen is 〈φ|ρ|φ〉

2.1.3 Zuivere en gemengde toestanden

Indien we van een kwantummechanische toestand weten dat hij exact kanbeschreven worden door de toestandsvector |ψ〉 waarbij de verwachtingswaarde〈A〉 = 〈ψ|A|ψ〉 kan geschreven worden als 〈A〉 = Tr (EψA) met Eψ = |ψ〉〈ψ|, danspreken we van een zuivere toestand [18]. De corresponderende dichtheidsmatrixis dan ρ = |ψ〉〈ψ|. Een eenvoudig criterium om te bepalen of een toestand al danniet een zuivere toestand is, is Tr (ρ2) = 1.

Praktisch gezien zullen we echter zelden met een zuivere toestand te makenhebben, een toestand zal namelijk niet altijd perfect geprepareerd worden enzal een mengsel van zuivere toestanden |ψ1〉, |ψ2〉 . . . met corresponderende waar-schijnlijkheden p1, p2 . . . zijn. Voor een gemengde toestand geldt er dan Tr (ρ2) <1. We kunnen een gemengde toestand illustreren aan de hand van volgend voor-beeld: stel dat we een Bell toestand |ψ〉 = 1√

2(|00〉+ |11〉) hebben met correspon-

derende dichtheidsmatrix (in de basis {|00〉, |11〉, |01〉, |10〉}).

ρ =1

2

1 1 0 01 1 0 00 0 0 00 0 0 0

. (2.17)

De initiele toestand van het totale systeem is dus een zuivere toestand (cfTr (ρ2) = 1). Echter als we nu enkel systeem 1 bekijken, dus als we het spoornemen over de toestanden van systeem 2, verkrijgen we de dichtheidsmatrix

ρ1 = 〈02|ρ|02〉+ 〈12|ρ|12〉 = Tr2 (ρ) =1

2

(1 00 1

). (2.18)

We zien dus dat we de totale toestand wel exact kennen (een zuivere toestand),maar dat we de toestand van een deelsysteem niet exact kennen: een gemengdetoestand.


2.1.4 Entanglement

We beschrijven hier kort entanglement [18] aan de hand van een voorbeeld.Stel dat we over twee initieel onafhankelijke kwantumsystemen |ψ(1)〉 en |ψ(2)〉beschikken, welke respectievelijk in een basis {|φ(1)

i 〉} en {|φ(2)j 〉} kunnen ontwik-

keld worden. Het samengestelde systeem kunnen we dan initieel schrijven als:

|Ψ(0)〉 = |ψ(1)〉|ψ(2)〉 (2.19)

=∑i,j

a(1)i a

(2)j |φ

(1)i 〉|φ

(2)j 〉 (2.20)

=∑i,j

aij|φ(1)i 〉|φ

(2)j 〉 (2.21)

Als we nu de systemen laten interageren met elkaar in een bepaalde tijd t, danzal de totale toestandsvector |Ψ(t)〉 een transformatie ondergaan. Dit betekentechter dat in het algemeen deze toestandsvector niet meer zal te schrijven zijnals het product van de toestanden van de twee systemen. Met andere woorden,de toestandsvector zal wel nog te schrijven zijn als een superpositie

|Ψ(t)〉 =∑ij

aij|φ(1)i 〉|φ

(2)j 〉 (2.22)

maar deze zal niet meer als een producttoestand zoals (2.19) te schrijven zijn.Dit betekent dat na interactie het algemeen niet meer mogelijk is de enkelvoudigesystemen te beschrijven door een toestandsvector, enkel het gezamenlijke systeemkan beschreven worden door een toestandsvector.

2.1.5 Tensor product

Stel dat we over twee Hilbertruimtes U en V beschikken met dimensies m en nen orthonormale basisvectoren |ui〉 en |vj〉. Hiermee kunnen we een mn dimen-sionele vectorruimte opbouwen door het tensorieel product U ⊗V te nemen, metorthonormale basisvectoren |ui〉 ⊗ |vj〉 = |ui〉|vj〉 = |uivj〉. De corresponderendematrixrepresentatie van het product van twee lineaire operatoren A (m×m ma-trix) en B (n×n matrix), die respectievelijk inwerken op de Hilbertruimtes U enV , wordt dan voorgesteld als:

A⊗B =

A11B A12B . . . A1mBA21B A22B . . . A2mB. . . . . . . . . . . .

Am1B Am2B . . . AmmB

. (2.23)

Daarbij stelt AxyB de matrix B voor, vermenigvuldigd met het matrixelementAxy.

2.2 Een goed gedefinieerde qubit in een schaalbaar systeem 9

2.2 Een goed gedefinieerde qubit in een schaal-

baar systeem

De eerste vraag die men kan stellen is: bestaan er eigenlijk wel fysische systemenwaarmee we qubits kunnen vormen? Een voorbeeld is het magnetisch dipool-moment van een atoom ten gevolge van de spin van een ongepaard elektron:de twee mogelijke toestanden in een vaste basis (bv. volgens z–as in een Stern–Gerlach apparaat) zijn spin–up en spin–down, waarmee we de toestanden |0〉 en|1〉 kunnen associeren. Bovendien kan de toestand ook een superpositie zijn van detwee basistoestanden: als men bijvoorbeeld de coherente superpositie2 toestand|0x〉 = 1√

2(|0z〉 + |1z〉) in een Stern–Gerlach apparaat heeft geprepareerd, zal bij

meting volgens de z–as de toestanden |0z〉 en |1z〉 elk met waarschijnlijkheid 1/2waargenomen worden.

Een voorbeeld van een slecht gedefinieerd 2–qubit systeem is een gedeeldelektron tussen twee kwantum dots, als we de aan– en afwezigheid van eenelektron schrijven als |1〉 en |0〉. Men kan dan de toestanden |01〉|02〉, |11〉|12〉en a|01〉|12〉+ b|11〉|02〉 bekomen, maar een toestand met een verschillend aantaldeeltjes in superpositie (bijvoorbeeld 1√

2(|01〉|02〉 + |11〉|12〉)) is niet toegelaten.

Wel kunnen we dit systeem zien als een 1–qubit systeem waarbij we de qubitsvoorstellen als |0〉 = |0112〉 en |1〉 = |1102〉.

Om een goed gedefinieerde qubit te bekomen moet aan enkele voorwaardenvoldaan worden:

1. De fysische eigenschappen (bv. de Hamiltoniaan) moeten goed gekend zijn.

2. De mogelijke (energie)niveaus moeten gekend zijn en gecontroleerd worden:indien een systeem verschillende niveaus bezit, buiten de toestanden die dequbit definieren, moet er voor gezorgd worden dat het systeem niet overgaatnaar die toestanden.

3. De interactie met externe velden en andere qubits moet gekend zijn: menmoet de invloed van externe velden op het systeem kennen om enerzijdsde toestand te kunnen manipuleren en anderzijds om externe storingente kennen. De interactie tussen qubits is nodig om voor entanglement tezorgen, maar kan ook voor decoherentie zorgen (zie §2.3 en 3.3).

Size does matter: hoe meer qubits, hoe (exponentieel!) beter: een kwantumcom-puter valt of staat met zijn schaalbaarheid. Zoals reeds kort werd aangehaaldin de inleiding, zit de kracht van kwantumcomputing hem namelijk net in deentanglement tussen de verschillende qubits. Dat dit zo belangrijk is, kan men

2De dichtheidsmatrix van een coherente superpositie is bijvoorbeeld ρ = | ↑x 〉〈 ↑x | = |0〉〈0|met Tr(ρ2) = 1, dus een zuivere toestand.


inzien door een toestand van n qubits te vergelijken met een klassieke toestandvan getallen die dezelfde kwantumtoestand beschrijven. We kunnen dit intuıtiefinzien als volgt: om een qubit klassiek te beschrijven, heeft men 2 getallen nodig,om een verstrengeld paar te beschrijven heeft men 4 klassieke getallen nodig inhet algemene geval. Indien we dit dan uitbreiden tot 3 qubits, zal men 23 = 8klassieke getallen nodig hebben! De algemene structuur van een kwantumme-chanische toestand van n qubits kan men in een orthonormale basis namelijkschrijven als:

|ψ〉 =∑

xi∈{0,1}axi|x1, x2 . . . xn〉 (2.24)

Om deze n–qubit kwantummechanische toestand klassiek te beschrijven heeftmen dus 2n klassieke getallen axi

nodig, wat een exponentiele groei betekent! Erkomt weliswaar nog een normeringsvoorwaarde bij, maar dit zal slechts 1 getalminder betekenen. We merken op dat n klassieke bits weliswaar 2n verschillendegetallen kunnen beschrijven, maar elke klassieke toestand wordt beschreven doorn bits. Deze schijnbare verborgen informatie zit in de (niet lokale) entanglementtussen de verschillende qubits. Men kan dit ook interpreteren door bewerkingen opeen n–qubit kwantumcomputer te zien als gebeurend in een 2n dimensionele com-plexe vectorruimte (bijvoorbeeld een rotatie van de toestandsvector). Dit betekentdus dat het exponentieel moeilijk is om een kwantumcomputer te simuleren meteen klassieke computer [7]. In feite kan deze conclusie ook getrokken wordenuit de Bell–ongelijkheden: een kwantummechanisch systeem kan niet voorgesteldworden door een lokale verborgen variabelen (dus klassieke) theorie. [18]

Er volgt hieruit ook dat bijvoorbeeld vijf verschillende kwantumcomputersvan elk drie qubits geen kwantumcomputer van vijftien qubits voorstelt: de in-formatie in termen van klassieke getallen is dan slechts 5 × 23, wat heel watkleiner is dan een vijftien qubits systeem (215). Dit illustreert ook waarom het zomoeilijk is om kwantumsystemen te simuleren op klassieke computers. Het is opdit punt (schaalbaarheid) dat bijvoorbeeld de liquid–NMR3 [12] [19] implemen-tatie vastloopt: het uitgangssignaal verkleint voor deze implementatie namelijkexponentieel met het aantal qubits. Voorlopig heeft men bij deze implementatieeen systeem van zeven qubits praktisch kunnen implementeren [42], maar grotereschaalbaarheid zit er niet echt in. De Liquid–NMR implementatie heeft daarmeewel uitdrukkelijk aangetoond dat kwantumcomputing mogelijk is.

3NMR staat voor Nucleaire Magnetische Resonantie, de liquid–NMR implementatie wordtkort uitgelegd in appendix B.1.

2.3 Operatietijd kort ten opzichte van de decoherentietijd 11

2.3 Operatietijd kort ten opzichte van de deco-

herentietijd

Een gesloten kwantummechanisch systeem ondergaat altijd een unitaire evolutie,idealiter zouden we dus een gesloten qubit systeem willen. Dit is realistisch nietmogelijk want er zal altijd koppeling zijn met andere systemen, wat aanleidingzal geven tot decoherentie: de evolutie van zuivere toestanden in gemengde toe-standen. Deze koppeling is ook in zekere mate nodig, want wat zouden we zijnmet een kwantumcomputer die alles perfect berekent, maar waarbij we niets teweten kunnen komen over het resultaat (in het geval van een zuiver geısoleerdqubit systeem) of dat we de toestanden zelfs niet kunnen beınvloeden? Om dedecoherentie te beschrijven, bespreken we eerst hoe we de evolutie van een kwan-tumsysteem kunnen beschrijven.

2.3.1 Evolutie van een kwantumsysteem dat onderdeel isvan een groter systeem door een superoperator $

Het geheel van gekoppelde systemen zal altijd een unitaire evolutie onder-gaan, echter de invloed van vele “extra” systemen, die bijvoorbeeld de qubitbeınvloeden, zijn niet gekend en zullen aanleiding geven tot decoherentie. Wewillen dus een beschrijving vinden voor de evolutie van een deelsysteem A metdichtheidsmatrix ρA(t0) =

∑k vk|vk〉〈vk|, waarbij dit deelsysteem een onderdeel

is van het totale gekoppelde systeem met als dichtheidsmatrix

ρ(t0) = ρA ⊗ |ψB〉〈ψB|. (2.25)

Als we het totale systeem laten evolueren onder een unitaire transformatie U dieinwerkt op zowel systeem A als B krijgen we als dichtheidsmatrix

ρ(t1) = Uρ(t0)U†. (2.26)

Stel daarbij dat |φB〉 een orthonormale basis is voor het systeem B. We kunnendan de tijdsafhankelijkheid van de dichtheidsmatrix ρA van het deelsysteem Abeschrijven door het partieel spoor te nemen over de toestanden van deelsysteemB:

ρA(t1) = TrB (ρ(t1))

= TrB(UρA(t0)⊗ |ψB〉〈ψB|U †

)=

∑φB

〈φB|U |ψB〉ρA(t0)〈ψB|U †|φB〉 (2.27)

=∑φB

MφBρA(t0)M

†φB

(2.28)


Waarbij we de operator, die inwerkt op deelsysteem A, 〈φB|U |ψB〉 = MφB gesteldhebben. De evolutie van de dichtheidsmatrix van deelsysteem A kunnen we dusop eenvoudige wijze voorstellen door een zogenaamde “superoperator” $ :

ρA(t1) = $ (ρA (t0)) =∑φB

MφBρA(t0)M

†φB

(2.29)

Deze voorstelling wordt de “Kraus” operator som representatie genoemd. Dezenieuwe dichtheidsmatrix ρA(t1) van deelsysteem A zal terug een dichtheidsmatrixzijn indien de oorspronkelijke dichtheidsmatrix ρA(t0) dit was (eigenschappendichtheidsmatrix [18]):

1. Het spoor van de dichtheidsmatrix ρ1(t1) is 1

Tr (ρA(t1)) = Tr

∑φB

MφBρA(t0)M

†φB

=

∑φB

(Tr

(MφB

ρA(t0)M†φB

))(2.30)

=∑φB

(Tr

(M †

φBMφB

ρA(t0)))

(2.31)

= Tr

∑φB

(M †

φBMφB

)ρA(t0)

= Tr

〈ψB|U †∑φB

(|φB〉〈φB|)U |ψB〉ρA(t0)

= Tr

(〈ψB|U †(1)U |ψB〉ρA(t0)

)= Tr (ρA(t0)) = 1 (2.32)

2. ρ is semi–positief definiet

〈ψA|ρA(t1)|ψA〉 =∑φB

(〈ψA|MφB)∑k

vk|vk〉〈vk|(M †

φB|ψA〉

)=

∑k

vk|〈ψAMφB|vk〉〉|2 ≥ 0 (2.33)

3. ρ is hermitisch

ρA(t1)† =

∑φB

MφBρA(t0)M

†φB

†

=

∑φB

MφBρA(t0)

†M †φB

=

∑φB

MφBρA(t0)M

†φB

= ρA(t1) (2.34)


wegens hermiticiteit van ρA(t0).

Bij de overgang van (2.30) naar (2.31) hebben we gebruik gemaakt van de vol-gende eigenschap [18]:

Tr(A1A2 . . . An−1An) = Tr(AnA1 . . . An−2An−1) (2.35)

Algemeen zullen dus zuivere toestanden van deelsysteem A verstrengeld rakenmet systeem B onder unitaire evolutie van het geheel. Verder vermelden we hiernog de eigenschappen [20] van superoperatoren $:

1. $ behoudt hermiticiteit: ρ(t0) hermitisch ⇒ ρ(t1) hermitisch.

2. $ behoudt het spoor: als Tr(ρ(t0)) = 1 ⇒ Tr(ρ(t1)) = 1.

3. $ is positief definiet: indien ρ(t0) positief definiet is, is ρ(t1) dit ook.

2.3.2 Decoherentie

Waarom is onze macroscopische wereld “klassiek” en lijken er bijvoorbeeld geenkwantummechanische superposities te bestaan van “de kat leeft” en “de kat leeftniet”? Dit is afkomstig van decoherentie van het object met de omgeving. Dezedecoherentie zal natuurlijk ook te merken zijn in kleinere systemen, zoals eenkwantumcomputer, maar zal natuurlijk van een andere tijdschaal zijn. We illus-treren decoherentie met een voorbeeld (naar [20]). We nemen een stofdeeltje inde vrij ruimte dat geprepareerd is in de toestand |ψ〉 = 1√

2(|x+ 〉+ |x− 〉), wat

een orthogonale superpositie is van twee positietoestanden. De toestand |x + 〉betekent dat het deeltje zich op positie x bevindt en analoog betekent |x− 〉 dathet deeltje op positie −x zit. De afstand (2x) tussen deze toestanden is macro-scopisch, dus kan men aannemen dat de twee toestanden zeker orthogonaal zijn(doordat hun golffuncties mekaar dan in feite bijna niet overlappen). We her-schrijven deze toestanden met |x+ 〉 = |0〉 en |x− 〉 = |1〉.

Wat is nu het “totale” kwantumsysteem dat een unitaire evolutie zal onder-gaan? Buiten het deeltje is er ook nog de achtergrondstraling, wat we kunnen zienals een fotonengas. De totale grondtoestand van het fotonengas duiden we aanmet |0〉F . Het is praktisch onmogelijk om rekening te houden met de kwantum-mechanische toestand van alle fotonen, dus gaan we enkel na wat er uiteindelijkgebeurt met de toestand van het stofdeeltje.

Bekijken we nu de verstrooiing van een foton aan het stofdeeltje. Als de toe-stand initieel |0〉A|0〉F of |1〉A|0〉F is, wat betekent dat het deeltje zich respec-tievelijk in positie x of −x bevindt en het fotonengas ongestoord is, zal deze


evolueren naar de toestanden:

|0〉A|0〉F →√

1− p|0〉A|0〉F +√p|0〉A|1〉F (2.36)

|1〉A|0〉F →√

1− p|1〉A|0〉F +√p|1〉A|2〉F (2.37)

Dit betekent dat bijvoorbeeld in het geval met begintoestand |0〉A|0〉F , het fotonzal verstrooien aan het stofdeeltje met probabiliteit p en dus in de toestand |1〉Fzal terechtkomen. We merken hier op dat we aannemen dat het stofdeeltje indezelfde toestand zal blijven (zelfde positie x) na een verstrooiing van een foton,aangezien de impulsverandering van een macroscopisch deeltje door een foton-verstrooiing te verwaarlozen is, en bijgevolg zullen |x + 〉 en |x − 〉 orthogonaalblijven. We beschrijven nu de evolutie met behulp van de Kraus operator som re-presentatie van een superoperator $. De ontbinding in vergelijking (2.29) kunnenwe doen in de basis {|0〉F , |1〉F , |2〉F} met corresponderende Krausoperatoren:

M0 =√

1− p

(1 00 1

)(2.38)

M1 =√p

(1 00 0

)(2.39)

M2 =√p

(0 00 1

)(2.40)

In deze Krausrepresentatie, en als we de begintoestand ρ (t0) =

(ρ00 ρ01

ρ10 ρ11

)stellen, krijgen we dan voor de evolutie van de gereduceerde dichtheidsmatrixvan het stofdeeltje:

ρ (t1) = $ (ρ (t0)) = M0ρM+0 +M1ρM

+1 +M2ρM

+2

=

(ρ00 (1− p)ρ01

(1− p)ρ10 ρ11

)(2.41)

waaruit we zien dat enkel de niet–diagonaalelementen verkleinen. Het verkleinenvan deze niet–diagonaalelementen duidt erop dat de coherentie (zie §2.1.2)afneemt door de fotonverstrooiing. Hoe lang duurt dit decoherentieproces nu?(We stellen de waarschijnlijkheid per tijdseenheid dat een toestand decohereeertvoor als Γdecoh.) We merken allereerst op dat er twee vervaltijden van belang zijn:

1. Γimpuls: de waarschijnlijkheid per tijdseenheid dat er genoeg impulsover-dracht van de fotonen naar het stofdeeltje gebeurd is zodat het deeltje eenmacroscopische verplaatsing heeft ondergaan.

2. Γverstr: de waarschijnlijkheid per tijdseenheid dat een foton wordt verstrooidaan het stofdeeltje.


Als we spreken over een macroscopisch stofdeeltje en een foton zal Γverstr ∼Γdecoh � Γimpuls (m.a.w. tdecoh � timpuls) omdat er veel tijd nodig is om eendeeltje te verplaatsen met (lage energie) fotonen. In het geval van onze evolu-tie van de dichtheidsmatrix zal de waarschijnlijkheid p dat een foton verstrooidwordt, dan gegeven zijn door p = Γverstr∆t � 1. Indien we nu over een tijdt = n∆t, n fotonen laten verstrooien aan het stofdeeltje, zal de evolutie van degereduceerde dichtheidsmatrix gegeven worden door $nρ (t0). Daaruit volgt datde niet-diagonaalelementen zullen kleiner worden volgens:

(1− p)n = (1− Γverstr∆t)t/∆t ∆t→0−→ exp−Γverstrt (2.42)

wat een exponentieel verval is volgens Γverstr, welke dus correspondeert met deeigenlijke “decoherentietijd” tdecoh. Dit verduidelijken we met een initieel zuiveretoestand |ψunentangled〉 die onafhankelijk is van de omgeving en eenzelfde systeem|ψentangled〉 dat wel volledig gekoppeld is met de omgeving na een tijd tdecoh. Detoestandsvectoren zijn dan:

|ψunentangled〉 =1√2(|0〉+ |1〉)|φomg〉 (2.43)

|ψentangled〉 =1√2(|0〉|φ(0)

omg〉+ |1〉|φ(1)omg〉) (2.44)

De corresponderende gereduceerde dichtheidsmatrices voor de (qubit) systemenworden:

ρu = Tr(omg)ρ =1

2

(1 11 1

)(2.45)

ρe = Tr(omg)ρ =1

2

(1 00 1

)(2.46)

Het systeem is dus geevolueerd van een volledig coherente toestand naar eenincoherente superpositie. Deze decoherentie van een superpositie van tweeplaatstoestanden van een stofdeeltje kan verklaard worden door de lokaliteit vande interactie tussen het stofdeeltje en de fotonen. Doordat de interactie lokaalis, zullen deeltjes die zich op (orthogonale) verschillende posities bevinden deverstrooide fotonen op plaats x en −x in orthogonale toestanden brengen.

Een ander voorbeeld van een storing waar men rekening moet mee houden:als men de laagste twee energietoestanden als qubittoestanden neemt in eensysteem met discrete energietoestanden, is er altijd een waarschijnlijkheid dathogere energietoestanden bezet worden, welke niet passen in de qubit definitie.

Een gekoppeld kwantum systeem zal in zijn geheel een unitaire evolutie onder-gaan (indien er geen collapse optreedt), maar dit betekent daarom niet dat de sub-systemen een unitaire evolutie zullen ondergaan: een deelmatrix van een unitaire


matrix is niet altijd unitair. Enkel als de gehele matrix blokdiagonaal is zullende deelmatrices ook unitair zijn, wat overeenkomt met een niet–interagerend sys-teem.

Decoherentie zorgt er in feite voor dat kwantummechanische systemen zichklassiek gaan gedragen, met andere woorden zuivere toestanden worden gemengdetoestanden. Deze tijd waarin een systeem coherent blijft, noemt men de decohe-rentietijd. We merken nog op dat enkel de decoherentie behorende bij de vrijheids-graad van de qubit van belang is: de korte decoherentietijd van bijvoorbeeld depositie van een elektron (indien deze niet gekoppeld is met de spinvrijheidsgraad)is niet van belang bij een qubit implementatie waar de spin van het elektron dequbit voorstelt.

Opdat we de kwantummechanische eigenschappen zouden kunnen gebruikenbij bewerkingen, moet de operatietijd van de bewerkingen korter zijn dan dedecoherentietijd. Hoe meer afwijking van de decoherentietijd, hoe meer de evolutievan het qubit systeem zal afwijken van unitaire evolutie. In §4.7 zullen we ziendat quantum error correction het probleem van decoherentie kan oplossen, zolangde verhouding tussen de decoherentietijd en de operatietijd onder de grens van104 betrouwbare bewerkingen binnen de decoherentietijd blijft [19].

2.4 Initialiseren van een begintoestand

We moeten een begintoestand kunnen geven. Indien we niet zouden weten vanwelke toestand we vertrekken, zouden we wel juiste berekeningen kunnen doen,maar als we niet berekenen wat we willen, raken we ook niet echt verder.

Er is echter nog een reden: om quantum error correction (zie §4.7) toe tekunnen passen moeten we ook beschikken over zuivere basistoestanden (|0〉 of|1〉). Er is nood aan een continue toevoer van zo’n basistoestanden, wat eenrestrictie zou kunnen opleggen op de snelheid van de operaties: als men niet snelgenoeg basisqubits kan leveren om quantum error correction te kunnen toepassen,zou de snelheid bepaald worden door de toevoer! Dit kan men in zekere zin echteroplossen door te zorgen voor een “externe” voorraad van zuivere basistoestanden,en deze dan aan te voeren.

Een manier om willekeurige begintoestanden te creeren is door middel vanunitaire transformaties: als we bijvoorbeeld een toestand |0〉 ⊗ |0〉 . . . |0〉 kunnenverkrijgen, kunnen we andere toestanden vormen door een unitaire transformatietoe te passen. Dit kan echter enkel als de entropie (zie A.2) van de initiele N–qubits toestand niet kln(N) is (met k de Boltzmannconstante), want dan hebbenwe een volledig random ensemble en is deze toestand invariant onder unitairetransformaties. Ideaal willen we dus een zuiver ensemble met zo laag mogelijkeentropie.

Om deze begintoestanden te creeren zijn er verschillende mogelijkheden:

1. Door meting: bij een meting is er collapse van de toestand, na meting krijgen

2.5 Universele set van kwantumpoorten 17

we dan een zuivere gekende toestand die kan gewijzigd worden door unitairetransformaties. De tijdschaal hiermee geassocieerd zal normaal gezien kortgenoeg zijn om het eerder vermelde probleem van toevoer te voorkomen.

2. Door zuivere koeling: indien de temperatuur laag genoeg is, zal elke toe-stand naar de grondtoestand evolueren. Hierbij zal echter de tijdschaal eenprobleem kunnen opleveren.

3. Door externe invloed: door bijvoorbeeld een magnetisch veld aan te leggenzullen spins aligneren met dit veld. Bij deze methode kan de tijdschaal ookeen probleem opleveren (zie ook in hoofdstuk 3).

4. Helemaal geen koeling: bij bijvoorbeeld de liquid–NMR implementatie ([12],[15], [16], [19]) werkt men in de thermische toestand: daarbij is de dicht-

heidsmatrix dan ρ ∼ e− H

kBT .

2.5 Universele set van kwantumpoorten

Klassiek heeft men verschillende manieren om alle mogelijke bewerkingen temaken met een discrete set van poorten [13], [17], [19], [20]:

1. NAND4 irreversibele set. Deze universele5 set is irreversibel omdat de oor-spronkelijke toestand niet kan bekomen worden uit het resultaat, bijvoor-beeld uit een resultaat 0 van een AND poort kan de oorspronkelijke toestandniet gereconstrueerd worden. Dit betekent ook dat er dissipatieve effectenvoorkomen [1] [20], want het vernietigen van informatie gaat gepaard meteen entropieverandering en dus een energiekost. De NAND (↑) en NOT(¬)poorten werken binair als volgt:

x ↑ y = 1− xy (2.47)

¬x = 1− x (2.48)

2. Toffoli poorten: reversibele set. Toffoli poorten (θ(3)) zijn reversibele 3-qubitpoorten (zie fig. 2.1) met werking (⊕ is optelling modulo 2):

θ(3) : (x, y, z) → (x, y, z ⊕ xy) (modulo 2) (2.49)

We gaan na of er wel een universele set van kwantumpoorten bestaat, en zoja, wat hebben we nodig en is het wel efficient? Allereerst zal een set maar uni-verseel zijn als we alle unitaire transformaties in U(2n) kunnen bekomen. Boven-dien moeten de transformaties zeker inverteerbaar zijn aangezien kwantumme-chanische transformaties unitaire transformaties zijn. Dus bijvoorbeeld de eerste

4Afkorting voor NOT poort na AND poort (zie A.1).5Op voorwaarde dat ancilla bits en FANOUT beschikbaar zijn. Ancilla bits zijn arbitraire

0 en 1 toestanden, de FANOUT bewerking kopieert een bit in twee gelijke bits.


Figuur 2.1: Voorstelling van een Toffoli poort.

soort bij de klassieke sets (NAND) kan nooit een universele kwantumset zijnaangezien deze set irreversibel is.

We bespreken hier eerst 1–qubit bewerkingen en “controlled” bewerkingen,waarna we de verschillende universele sets nader bekijken.

2.5.1 1–qubit bewerkingen

Een klassieke bit heeft maar twee toestanden, een kwantumbit of qubit is iets hele-maal anders. We stellen hier een kwantumbit of qubit voor in de Blochrepresen-tatie (zie ook §2.1.1) : de toestand stelt een vector |ψ〉 = a|0〉+b|1〉 = cos

(θ2

)|0〉+

eiφ sin(θ2

)|1〉 (|a|2 + |b|2 = 1) voor met coordinaten (cosφ sin θ, sinφ cos θ, cos θ)

op een eenheidsbol (zie figuur 2.2).

Figuur 2.2: Voorstelling van een qubit in Blochrepresentatie

Een rotatie rond een willeurige richting n voor een spin-1/2 systeem kan al-gemeen geschreven worden als [18]

R1/2(n, θ) = e−ihn h

2σθ = e−inσ

θ2 (2.50)


= cos

(θ

2

)I − i sin

(θ

2

)(n.σ) (2.51)

Waarbij de componenten van σ = (σx, σy, σz) de Pauli matrices zijn:

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)(2.52)

met bijbehorende eigenvectoren en eigenwaarden:

σx : E1 =1√2

(11

), E−1 =

1√2

(1−1

)(2.53)

σy : E1 =1√2

(1i

), E−1 =

1√2

(1−i

)(2.54)

σz : E1 =

(01

), E−1 =

(10

)(2.55)

Alle mogelijke toestanden kunnen nu gecreeerd worden door het toepassenvan zo’n rotatie rond een eenheidsvector n en een faseverandering over α [19].Dus kan een willekeurige (1–qubit) unitaire operator geschreven worden als:

U = eiαR1/2(n, θ) (2.56)

Er kan aangetoond worden [19] dat een algemene unitaire operatie eveneensgeschreven kan worden als het product van drie rotaties en een faseverandering:

U = eiαR1/2(z, α)R1/2(y, β)R1/2(z, γ) (2.57)

Dit betekent dat we een willekeurige rotatie van de toestand van een qubit kunnenmaken, als we kunnen roteren over twee orthogonale assen. Dit zullen we latergebruiken om 1–qubit bewerkingen te maken bij de implementatie met kwantum-dots, zie §3.5.1.

Deze ontbinding (formule 2.57) kan eveneens herschreven worden als

U = eiαR1/2(z, α)R1/2(y, β/2)σxR1/2(y,−β/2)

R1/2(z,−(γ + α)/2)σxR1/2(z, (γ − α)/2) (2.58)

= eiαAσxBσxC (2.59)

Waarbij ABC = I. Deze laatste ontbinding zullen we nodig hebben om “con-trolled” bewerkingen te verkrijgen. Dit zijn veelqubit bewerkingen die enkel door-gaan indien een “control” qubit een bepaalde waarde heeft.


2.5.2 Controlled bewerkingen

Een controlled poort heeft als input minstens twee qubits. Een ervan wordt de“control qubit” (|c〉) genoemd, de andere de “target qubit” (|t〉). Bij een controlledbewerking bepaalt de control qubit of er een vooraf bepaalde unitaire operatie Uwordt uitgevoerd op de target qubit: |c〉|t〉 → |c〉U c|t〉. Indien men bijvoorbeeldals begintoestanden superposities heeft, transformeert een toestand als volgt:

1√2(|0〉|1〉+ |1〉|0〉) −→ 1√

2(|0〉|1〉+ |1〉U |0〉)

De controlled poort wordt schematisch voorgesteld in figuur 2.3.

Figuur 2.3: Voorstelling van een controlled poort. De unitaire transformatie Uwordt uitgevoerd indien de control qubit |1〉 is.

Een specifiek voorbeeld van zo’n poort is een Controlled Not (CNOT) poort:|c〉|t〉 → |c〉|t⊕ c〉. Hierbij wordt dus de target qubit veranderd indien de controlqubit |1〉 is, met andere woorden de NOT–operatie wordt toegepast op de tweedequbit als de control qubit |1〉 is. Een CNOT poort wordt voorgesteld zoals infiguur 2.4

Figuur 2.4: Voorstelling van een CNOT poort. De NOT operatie wordt uitge-voerd op de target qubit indien de control qubit |1〉 was.

Een kwantum controlled poort verschilt van een klassieke poort doordat decontrol en target qubit afhankelijk zijn van de gekozen basis. Indien we bijvoor-beeld in de x–basis

|0z〉 =1√2

(|0x〉+ |1x〉)

|1z〉 =1√2

(|0x〉 − |1x〉)


werken in plaats van de z–basis, zal de target qubit de control qubit zijn enomgekeerd. Als de begintoestand |1z〉|0z〉 = 1

2(|0x〉 − |1x〉) (|0x〉+ |1x〉) is en we de

CNOT bewerking uitvoeren in de z–basis, verwachten we het resultaat |1z〉|1z〉.Indien we de CNOT bewerking echter uitvoeren in de x–basis krijgen we alsresultaat:

|1z〉|0z〉 =1

2(|0x〉 − |1x〉)(|0x〉+ |1x〉)

=1

2

(|0x〉 (|0x〉+ |1x〉)− |1x〉 (|0x〉+ |1x〉)

)CNOT (x)→ 1

2

(|0x〉 (|0x〉+ |1x〉)− |1x〉 (|1x〉+ |0x〉)

)=

1

2(|0x〉 − |1x〉)(|0x〉+ |1x〉) (2.60)

= |1z〉|0z〉

Wat een voorbeeld is van de verandering van de target en control qubit door ineen andere basis te werken.

2.5.3 De eigenlijke universele sets

Stel dat we over een willekeurige 2–qubit bewerking U = eiA beschikken meteigenwaarden eiθi waarbij de θi geen rationeel veelvoud zijn van π, wat dusovereenkomt met bijna alle mogelijke 2–qubit bewerkingen. Dit betekent dat wemet een opeenvolging van deze operatie alle punten op het product van tweecirkels (een torus dus) kunnen bedekken zolang θi geen rationeel veelvoud is vanπ. Als we dan over een andere generator B zouden beschikken, kunnen we inhet geval van een n–qubit bewerking door commutatie van de generatoren alleandere generatoren opbouwen, waardoor we de volledige Lie–algebra kunnen vor-men van een n–qubit bewerking. Deze tweede generator B kunnen we nu vormenaan de hand van een permutatie P welke twee qubit toestanden verwisselt: bij-voorbeeld P |01〉 = |10〉. Door dan B te vormen uit A en P door B = PAP−1

toe te passen zullen we over een tweede generator beschikken waaruit we de restvan de generatoren kunnen vormen door commutatie. Daardoor kunnen we danelke bewerking in Un arbitrair benaderen aan de hand van bijna elke willekeurige2–qubit bewerking! Dit betekent dus praktisch dat als we twee qubits kunnenlaten interageren op een of andere manier, we bijna zeker over een universele setbeschikken, wat aangetoond werd door Deutsch, Barenco, Ekert en Lloyd [21][23]. Dit zullen we nu concreter aantonen voor enkele speciale sets.

In voorbereiding van enkele speciale sets van kwantumpoorten waarmeewe alle mogelijke bewerkingen kunnen uitvoeren, zullen we nu aantonen dateen willekeurige controlled–U bewerking kan geschreven worden in termen vanCNOT en single–qubit bewerkingen.


We weten uit formule (2.59) hoe een arbitraire unitaire operatie kon ontbon-den worden in het product van faseveranderingen en 1–qubit operaties. Door mid-del van deze ontbinding kan een arbitraire controlled–U bewerking opgebouwdworden uit 1–qubit operaties en CNOT poorten: zie figuur 2.5.

|c〉|t〉 indien|c〉=|0〉−→ |c〉ABC|t〉 = |0〉|t〉 (2.61)

indien|c〉=|1〉−→ |c〉AσxBσxC|t〉 = |1〉U |t〉 (2.62)

−→ = |c〉U c|t〉

Want ABC = I en AσxBσxC = UDaarbij hebben we naast de ontbinding uit §2.5.1, ook formule (2.59) gebruikt

voor het schrijven van een controlled–faseverandering als een 1–qubitsoperator:

|c〉(eiα)c|t〉 =

(1 00 eiα

)|c〉|t〉 (2.63)

Figuur 2.5: Ontbinding van een arbitraire controlled bewerking in 1–qubit ope-raties en CNOT poorten.

Elke C(2)(U), dit is een controlled poort maar met 2 control qubits waarbijde transformatie verloopt volgens |c1〉|c2〉|t〉 → |c1〉|c2〉U c1c2|t〉), kan nu opge-bouwd worden uit controlled–U en CNOT poorten of zelfs uit willekeurige 2–qubit poorten.

Een speciaal geval van deze C(2)(U) poort is de Toffoli poort (zie fig. 2.6). Uitklassieke informatietheorie weten we echter dat het mogelijk is alle bewerkingenop te bouwen uit deze Toffoli poorten, dus met andere woorden klassieke com-puting is zeker bevat in kwantumcomputing. Of dit een efficiente of bruikbaremethode is, is een ander verhaal.

Hierbij merken we op dat het enkel kwantummechanisch mogelijk is om deToffoli poort op te bouwen uit een discreet aantal reversibele 2–qubit poorten(CNOT en 1–qubit operaties): klassiek bestaat er immers geen controlled–Ubewerking waarbij U2 = σx. We kunnen dit ook direct inzien: voor deze universeleset hebben we klassieke CNOT en 1–qubit kwantumpoorten nodig. Dit is slechts


Figuur 2.6: Ontbinding van een C(2)(U) poort in controlled–U en CNOT poorten,om een Toffoli poort te bekomen moet U = 1

2(I + iσx)(1− i) en U2 = σx

een voorbeeld van een universele set van kwantumpoorten, we zullen hier nogkort de meest praktische bespreken.

Om een universele set van kwantumpoorten te bekomen, willen we in essentieelke unitaire operatie kunnen uitvoeren. We kunnen dit echter ook nog opeenvoudigere wijze uitvoeren dan enkel met CNOT en 1–qubit bewerkingen,als we niet over willekeurige 1–qubit bewerkingen beschikken. Daarvoor kanaangetoond worden dat een arbitraire 1–qubit bewerking kan benaderd wordentot op willekeurige nauwkeurigheid door CNOT, π

8, Hadamard en fasepoorten.

Bovendien willen we op deze set foutcorrectie kunnen uitvoeren [19].

Praktisch zijn bijvoorbeeld twee sets die gebruikt kunnen worden:

1. CNOT, π8, Hadamard (Merk op: voor een fouttolerant circuit is er ook nog

een faseverandering nodig.)

2. Toffoli, Hadamard

We bespreken hier enkel kort de eerste set. Wat hebben we nodig voor een uni-versele set? Een willekeurige 2–qubits bewerking volstaat, maar indien we overeen willekeurige 1–qubits unitaire poort en een CNOT poort beschikken (ziehierboven) volstaat dit ook, een CNOT kan immers opgebouwd worden uit eenwillekeurige 2–qubit bewerking. De CNOT poort hebben we natuurlijk al terbeschikking, in [19] wordt aangetoond dat de Hadamard en π

8bewerkingen vol-

doende zijn om een willekeurige 1–qubit operatie te benaderen.Een Hadamard en een π

8poort worden respectievelijk gegeven door:

H =1√2

(1 11 −1

)(2.64)

π

8= eiπ/8

(e−iπ/8 0

0 eiπ/8

)=

(1 00 eiπ/4

)=

√√√√( 1 00 i

)=√√

σz(2.65)


De Hadamardpoort (zie ook §4.1) zorgt feitelijk voor een overgang naar eensuperpositiebasis (bijvoorbeeld H|0〉 → 1√

2(|0〉 + |1〉)). De π

8poort is een rotatie

over π/4 rond de z–as.

Hoe zit het met de efficientie? Indien we exponentieel veel basispoorten zoudennodig hebben om een lineair stijgend aantal poorten te benaderen, zou de (mo-gelijke) exponentiele speedup van kwantumalgoritmes ten opzichte van klassiekealgoritmes nutteloos worden! Want het zijn net de “ingewikkelde en grote” pro-blemen waarin we geınteresseerd zijn. Dat we het getal 14 sneller kunnen opdelenin priemfactoren op een kwantumcomputer, maar niet het getal 273184236 heeftniet echt zin. Gelukkig is de convergentie zeer goed: Solovay en Kitaev [19] hebbennamelijk aangetoond dat:

Stel SU(n) de speciale unitaire groep van operatoren in een n–dimensionele ruimte.Stel G ⊂ SU(n) een universele set van kwantumpoorten, G vormt eendichte subset van SU(n) en indien x ∈ G⇔ x ∈ G−1, dan geldt er:∀U ∈ SU(n), ε > 0,∃x1, x2, . . . xl ∈ G : ‖U − Ux1Ux2 . . . Uxl

‖ ≤ ε metl = O(log2.14(1/ε).

Om een willekeurige 1–qubit poort te benaderen tot op orde ε, heeft men dusten hoogste O(log2.14(1/ε)) aantal basispoorten nodig. Dit betekent dat om eenwillekeurige n–poorts bewerking te benaderen er ten hoogste O(nlog2.14(n/ε)basispoorten nodig zijn.

We kunnen besluiten dat universele kwantumcomputing eenvoudig te bereikenis, bijna elke 2–qubitsinteractie volstaat. Als we over specifieke 2–qubit interactiesbeschikken kan dit in bepaalde gevallen eenvoudiger geımplementeerd worden.Bovendien is deze vorm van universele kwantumcomputing efficient.

2.6 Meting van de qubits

Meestal zal er bij een meting in de kwantummechanica kwantuminformatie ver-loren gaan en daarbij klassieke informatie opleveren. Bij meting zal er namelijkgeen unitaire evolutie zijn: allereerst is er collapse of decoherentie met de om-geving van de golffunctie en bovendien kan er met het resultaat van de metingeen probabiliteit geassocieerd worden, bijvoorbeeld als er een meting gebeurt op|ψ〉 = 1√

2(|0〉+ |1〉) zal de eindtoestand |0〉 of |1〉 zijn met elk probabiliteit6 1/2.

Deze methode, om na een meting een vaste toestand te bekomen, kan onderandere toegepast worden om een goed gedefinieerde begintoestand te bekomen.

6We merken op dat dit een manier is om een meting te beschrijven, maar in feite is er geencollapse nodig als we de (Von Neumann) meting zien als een evolutie waar bijvoorbeeld dewijzer van het meetapparaat verstrengeld raakt met het systeem, zie verder.

2.6 Meting van de qubits 25

Anderzijds zullen we in §4.7 zien dat als de toestanden eigentoestanden zijn vanbepaalde meetoperatoren, er geen collapse is van de toestand bij meting doordatde oorspronkelijke golffunctie niet gestoord wordt, wat gebruikt zal worden bijquantum error correction.

Voor de kwantummechanische beschrijving van metingen gaan we uit van hetmeetpostulaat in de kwantummechanica:

Kwantummechanische metingen worden beschreven door een set vanoperatoren Mm welke inwerken op de toestandsvectoren. Daarbijwordt er door de index m verwezen naar de mogelijke uitkomstvan de meting en voldoen de operatoren aan de compleetheidsrelatie∑mM

†mMm = 1. Het resultaat van een meting wordt dan gegeven

doorp(m) = 〈ψ|M †

mMm|ψ〉 (2.66)

waarbij de toestandsvector van het systeem evolueert naar de toestand

Mm|ψ〉√〈ψ|M †

mMm|ψ〉(2.67)

Speciale gevallen van dit postulaat zijn dan Projectieve of Von Neumannmetingen en POVM’s.

Projectieve (Von Neumann) metingen

Projectieve metingen zijn in feite Hermitische operatoren die beantwoordenaan het zonet vermelde meetpostulaat, maar die bovendien orthogonaal zijn7.De corresponderende observabele M heeft een ontbinding in projectie operatorenPm = |m〉〈m| met bijhorende eigenwaarden m:

M =∑m

mPm (2.68)

Bij meting van de toestand |ψ〉 is de probabiliteit op het bekomen van het resul-taat m dan eveneens

p(m) = 〈ψ|Pm|ψ〉 (2.69)

en de eindtoestandPm|ψ〉√p(m)

(2.70)

Bij een projectieve meting wordt dan het gemiddeld resultaat gegeven door

E(M) =∑m

m〈ψ|Pm|ψ〉 = 〈ψ|M |ψ〉 (2.71)

7Indien men nu unitaire transformaties toelaat naast projectieve metingen, bekomen weterug het originele meetpostulaat.


Projectieve metingen zijn per definitie ook herhaalbaar (wat niet altijd zo isin realistische experimenten), als men na een meting met resultaat m dezelfdemeting opnieuw doet, bekomt men terug het zelfde resultaat aangezien hetdezelfde eigentoestand betreft. In feite heeft men geen “collapse” van de toestandnodig: een Von Neumann meting kan men namelijk zien als entanglement van eenmicroscopisch systeem met een macroscopisch systeem (het meettoestel) waarbijde toestanden van het meettoestel orthogonaal zijn (bijvoorbeeld macroscopischeverschillende posities).8 We merken nog op dat dit geen unitaire evolutie is:we gaan algemeen over van een zuivere toestand naar een gemengde toestand,uitgenome als het een eigentoestand betreft.

Positive Operator Valued Measure (POVM)

Een ander “soort” meting is een POVM meting [18] [19] [24]: Positive Oper-ator Valued Measure, positief definiete hermitische operatoren die sommeren totde eenheidsoperator. Volgens het theorema van Neumark [20] kan een POVMbovendien geschreven worden als een orthogonale projectie van een uitgebreideHilbertruimte op een subruimte. Bij zulke metingen is er wel collapse van detoestand, maar waarbij er niet altijd kennis is van de eindtoestand. Bij realis-tische experimenten is het bijvoorbeeld niet altijd nodig om deze eindtoestand tekennen, met POVM’s kunnen we deze dan eenvoudiger beschrijven. De set vanPOVM’s Em kan gehaald worden uit de meetoperatoren Mm:

Em = M †mMm met

∑m

Em = 1 (2.72)

Met deze set kunnen we dan de waarschijnlijkheden van de resultaten bepalen:

p(m) = 〈ψ|Em|ψ〉 (2.73)

Een projectieve meting is dan een speciaal geval van een POVM indien de meet-operatoren gelijk zijn aan de POVM elementen. Of omgekeerd kan een POVMook aanzien worden als een Von Neumann meting op een uitgebreider systeem.

Waarvoor kan de POVM beschrijving nu zoal nuttig zijn? Aan de hand vanPOVM’s kunnen we er bijvoorbeeld voor zorgen dat men nooit een fout resultaatbekomt! Het resultaat van de meting is dan:

1. ofwel weet men met zekerheid dat de gemeten toestand in een bepaaldetoestand was,

2. ofwel krijgt men als resultaat dat er niets kan afgeleid worden uit de meting.

8Indien je bijvoorbeeld de meetresultaten terug zou kunnen samenbrengen op een of anderemanier zonder de metingen te bepalen, zou er analoog aan een Stern–Gernlach experimentquantum erasure optreden.


Hierbij weten we dus met zekerheid dat we geen verkeerde besluiten trekken uitde meting (als er geen fouten ergens anders optreden natuurlijk). We kunnen ditillustreren met de twee toestanden |ψ1〉 = 1√

2(|0〉 + |1〉) en |ψ2〉 = |1〉. Indien we

enkel in de |0〉 en |1〉 basis meten, zullen we enkel als we |0〉 als resultaat krijgenzeker zijn dat de begintoestand |ψ1〉 was. Als we |1〉 als resultaat krijgen, kunnenwe niets besluiten. Indien we nu als projectie operatoren gebruiken:

E1 =

√2

1 +√

2|0〉〈0| (2.74)

E2 =1

2

√2

1 +√

2(|0〉 − |1〉)(〈0| − 〈1|) (2.75)

E3 = I − E1 − E2 (2.76)

dan zien we dat als we E1 bekomen, de oorspronkelijke toestand met zekerheid|ψ1〉 was. Dan is immers 〈ψ1|E2|ψ1〉 = 〈ψ2|E1|ψ2〉 = 0. Analoog weten we als weE2 bekomen, de begintoestand |ψ2〉 was. Indien we als resultaat E3 bekomen,weten we niets over de begintoestand. POVM metingen zijn echter meestalmoeilijk te implementeren.

De metingen zelf in een fysische implementatie

Bij de meting zelf willen we een zo groot mogelijke efficientie. Nemen webijvoorbeeld een begintoestand met gereduceerde dichtheidsmatrix

ρ =

(a bb∗ 1− a

)(2.77)

Allereerst mag de meting andere qubits niet storen. Ook wil men de resultatenmet probabiliteiten a en 1 − a bekomen zonder dat die afhankelijk zijn van b ofexterne systemen. Bovendien zal het niet perfect zijn van de meetapparatuur ookeen invloed hebben: indien de efficientie van de metingen namelijk laag is van-wege foutieve metingen door de instrumenten, moeten de berekeningen enkelemalen herdaan worden om een grotere probabiliteit op het “juiste resultaat” tebekomen [27]. Stel bijvoorbeeld dat we 1 qubit willen uitlezen. De qubit, welkein de toestand | ↑ 〉 of | ↓ 〉 is (of een superpositie ervan), zal niet altijd cor-rect uitgelezen worden, bijvoorbeeld de meetapparatuur geeft het resultaat | ↑ 〉terwijl de toestand | ↓ 〉 is, en dus zullen we een aantal (n) metingen moetenuitvoeren om de probabiliteit op het goede resultaat te verhogen. Stel dat detwee mogelijke uitkomsten van een meting A↑ en A↓, zijn welke bekomen wordendoor het toepassen van corresponerende POVM’s

EA↑ = p↑| ↑ 〉〈 ↑ |+ (1− p↓)| ↓ 〉〈 ↓ | (2.78)

EA↓ = (1− p↑)| ↑ 〉〈 ↑ |+ p↓| ↓ 〉〈 ↓ | (2.79)


Indien nu de toestand “voor de meting” bijvoorbeeld | ↑ 〉 was, dan zullen wemet een waarschijnlijkheid p↑ de observabele A↑ vinden en met waarschijnlijkheid1− p↑ de observabele A↓ (waaruit we foutief zouden concluderen dat de toestandspin–down was). De verwachtingswaarde voor een initiele toestand | ↑ 〉 wordtdaardoor 〈A〉 = p↑A↑+(1−p↑)A↓. Om nu op een significantieniveau α te bepalenof we een goede conclusie nemen uit n metingen, voeren we een parameter (P )test uit met als nulhypothese dat de qubit in de toestand | ↑ 〉 was, dus P = p↑.Indien de toestand | ↓ 〉 is, is P = 1 − p↓. Deze distributie van de meetuitkom-sten is normaal gezien binomiaal, maar naarmate het aantal metingen n groterwordt, zullen we deze verdeling kunnen benaderen door een normale (Gaussische)

verdeling9 Φ (z1−α) = 1 − α = 12

(1 + erf

(z1−α√

2

)). Door een statistische analyse

van het uitlezingsproces [27] [28] verkrijgen we op een significantieniveau α (cfde “onbetrouwbaarheid”) als ondergrens voor het nodig aantal metingen n vandezelfde toestand om een efficientie e te verkrijgen [29]:

n > z21−α

(1

e− 1

)(2.80)

e =(√

p↓p↑ −√

(1− p↓) (1− p↑))2

(2.81)

waarbij z1−α het kwantiel is van een standaard normale distributiefunctie

Φ (z1−α) = 1 − α = 12

(1 + erf

(z1−α√

2

)). De efficientie e kunnen we illustreren

met een meting waarbij we evenveel het correcte resultaat als het foutieve resul-taat bekomen, dan hebben we bijvoorbeeld dat p↑ = 1−p↓. Dit zal dan leiden toteen efficientie e = 0, waardoor we de qubit nooit nader kunnen bepalen, terwijlwe bij een meting zonder fouten een efficientie e = 1 verkrijgen. Praktisch gezienzullen er bijna altijd fouten optreden welke zullen leiden tot een lagere efficientie.Om dan een meer betrouwbaar resultaat te bekomen zullen er dan n metingennodig zijn.

De voorgaande bespreking ging over 1 qubit, in het geval van een meting vaneen register van k qubits zal de waarschijnlijkheid om een correcte meting vanalle qubits te doen, 1− β = (1− α)k zijn. Om dan een betrouwbaar resultaat teverkrijgen tot op significantie β, bekomt men dat het aantal nodige metingen ngroeit volgens

n ≥ 2 logk

β

(1

e− 1

)= 2 log

k

1 + (1− α)k

(1

e− 1

)(2.82)

wat betekent dat het aantal nodige metingen n slechts logaritmisch stijgt mettoenemend aantal qubits k.

Door de qubits te kopieren in een bepaalde basis10 en daarna alle

9Daarbij staat erf(x) = 2√π

∫ x

0e−t2dt voor de error functie.

10Merk op, wegens no-cloning theorema kan niet elke algemene kwantumtoestand exactgekopieerd worden. Echter in een orthogonale basis kan bijvoorbeeld wel een |0〉 gekopieerdworden in |0〉|0〉.

2.7 Aanvullende voorwaarden voor kwantumcommunicatie 29

“gekopieerde” qubits te meten, kan men een betere probabiliteit bekomen.

Er zijn tevens nog twee principes van belang bij het opstellen van kwantum-circuits wat betreft metingen:

1. Metingen kunnen altijd verplaatst worden naar het einde van het circuit. Alsmen bijvoorbeeld een meetresultaat conditioneel gebruikt, dan kan men ditvervangen door een controlled–poort waarbij de meting naar het einde vanhet circuit verplaatst worden.

2. Niet gemeten qubits kunnen op het einde van een circuit verondersteld wor-den gemeten te zijn. Een meting op een niet–gemeten qubit zal namelijk de(gereduceerde) dichtheidsmatrix van een gemeten qubit niet veranderen.

2.7 Aanvullende voorwaarden voor kwantum-

communicatie

Deze voorwaarden [14] staan in feite los van een fysische implementatie van eenkwantumcomputer, maar kwantumcommunicatie is onlosmakelijk verbonden metkwantuminformatietheorie. Met kwantumcommunicatie bedoelen we de feitelijkeoverdracht van volledige qubits, wat zijn toepassing zou hebben in onder anderekwantumteleportatie [18] en volledig veilige communicatie [22]. Voor de volgendetwee punten voeren we de begrippen “stationaire” en “mobiele qubit” (Eng.:“Flying qubit”) in. Met een stationaire qubit bedoelen we een qubit die op eenvaste positie moet blijven opdat de kwantuminformatie behouden blijft. Analoogis een zogenaamde mobiele qubit een kwantumsysteem waarbij de kwantumin-formatie behouden blijft bij het verplaatsen van enkel dit kwantumsysteem. Eenvoorbeeld van zo’n mobiele qubit is een polarisatietoestand [18] van een foton,welke zeer geschikt is om kwantuminformatie over te brengen tussen twee relatief“ver” gelegen plaatsen.

2.7.1 Het omzetten van stationaire qubits naar mobielequbits moet mogelijk zijn

Omdat het normaal gezien niet mogelijk is om qubits, die een kwantumcomputersamenstellen, eenvoudig te verplaatsen wil men de kwantuminformatie kunnenomzetten naar bijvoorbeeld fotonen en omgekeerd [31]. Dit zou ook een toepas-sing kunnen hebben in “hybride” implementaties van kwantumcomputing waarbijvoorbeeld elektronische en foton toestanden gebruikt worden als qubits [32].


2.7.2 Mobiele qubits moeten over grote afstanden kunnenverplaatst worden

Een groot probleem met het verplaatsen van kwantuminformatie, vervat in bij-voorbeeld een elektron, is het behouden van de kwantumtoestand zelf. Als we bij-voorbeeld een verstrengeld elektronenpaar hebben dat gescheiden wordt, willenwe niet dat de omgeving de toestanden verandert, wat zou leiden tot onafhanke-lijke elektronen. De beste oplossing voor deze kwantumcommunicatie gebeurtwaarschijnlijk door de ruimtelijke golffunctie of polarisatietoestand van fotonen[30] te gebruiken als qubit. Dit criterium voor kwantumcommunicatie heeft vooralzijn toepassing in kwantumcryptografie en experimenten met niet–lokale entang-lement [18] [33] [34] [38].

Hoofdstuk 3

Kwantumcomputing metkwantumdots

“It would appear that we have reached the limits of what it is possibleto achieve with computer technology, although one should be carefulwith such statements, as they tend to sound pretty silly in 5 years” –John von Neumann (1950)

Loss en DiVincenzo stelden in [48] oorspronkelijk een kwantumcomputer imple-mentatie voor waarbij de qubit wordt voorgesteld door een spin–1/2 systeem ineen magnetisch veld, waarbij de |0〉 = | ↑ 〉 en |1〉 = | ↓ 〉 toestanden gescheidenzijn door de Zeemaninteractie tussen de elektronspin en het aangelegd magne-tisch veld. De bewerkingen op de qubits kunnen daarbij uitgevoerd worden dooronder andere Elektron Spin Resonantie (ESR) in het geval van 1–qubit opera-ties (§3.5.1) en de Heisenberg exchange interactie voor 2–qubit bewerkingen (zie§3.5.2). We bespreken eerst kwantumdots, waarna we deze fysische implementatieverduidelijken aan de hand van de criteria uit hoofdstuk 2.

3.1 Kwantumdots

Een kwantumdot is een artificiele nanostructuur waarbij een klein exces aan elek-tronen aanwezig kan zijn, bepaald door externe invloeden zoals aangelegde span-ningen en magnetische velden. Door kwantumconfinement in drie dimensies zijnde toegelaten energieniveaus van de exces elektronen gekwantiseerd, wat aanlei-ding geeft tot analoge energiespectra zoals bij atomen. In de meeste gevallen gaathet om een circulair opgesloten 2DEG (tweedimensioneel elektronen gas) met eenlaterale opsluitingspotentiaal van de vorm van een harmonische oscillator poten-tiaal r2 in plaats van de −r−1 potentiaal bij atomen. De kwantumdots kan menin feite beschouwen als tweedimensionele elementen.

Wat betreft design van kwantumdots, zijn er zeer veel verschillende mo-gelijkheden [75], hier bespreken we enkel hoe laterale kwantumdots opgebouwd

32 Kwantumcomputing met kwantumdots

Figuur 3.1: Bovenaanzicht van de constructie van twee kwantumdots. Aan demetaalcontacten worden negatieve spanningen aangelegd om het onderliggendtweedimensionaal elektronengas te beperken. De Quantum Point Contacts (QPC)dienen voor de uitlezing van de qubits (zie §3.6).

worden en hoe ze kunnen gebruikt worden om elektronen op te sluiten [71]. Wewillen een tweedimensionaal elektronengas dat vertikaal begrensd is bekomen,dat lateraal kan opgesloten worden door uitwendige spanningen aan te leggen.De algemene opbouw van zo’n laterale kwantumdot is te zien in figuren 3.1 en3.2: op een GaAs substraat worden respectievelijk een AlGaAs–laag (≈ 40nm),een dunne Si–gedopeerde n–AlGaAs laag (enkele nm) en ten slotte terug een Al-GaAs laag gegroeid (≈ 40nm), welke ongeveer dezelfde structuur is als voor eenMODFET (Modulation Doped Field Effect Transistor) [105]. Deze lagen wordenop elkaar gegroeid door middel van Molecular Beam Epitaxy (MBE): daarbij wor-den de materialen, die men wil laten groeien op een substraat, verdampt bij eenultrahoog vacuum. Door epitaxie1 condenseren deze materialen dan in dezelfdekristalstructuur van het substraat zodat er geen rekening moet gehouden wordenmet specifieke grensvlaktoestanden door bijvoorbeeld ongebonden bindingen ofDangling Bonds [72].

Allereerst merken we op dat GaAs–AlGaAs legeringen zich erg goed lenen tothet vormen van epitaxiale lagen doordat de roosterconstantes slechts ≈ 0.14%verschillen (aGaAs = 56, 533nm, aAlAs = 56, 612nm) en zelfs minder voor GaAs–AlGaAs. De eigenschappen van de bandenstructuur en de materialen zelf wordengegeven in tabel 3.1, daarin kunnen we onder andere zien dat de energieniveausvan conductie– en valentieband, dus de bandgap, eenvoudig kunnen geregeld wor-den aan de hand van de parameter x welke de verhoudingen van de legeringbepaalt. Deze verhouding van de AlxGa1−xAs legering wordt meestal onder de

1Epitaxiale lagen zijn heterogene lagen met een zelfde kristalstructuur.

3.1 Kwantumdots 33

GaAs:Conductieband Ec

Γ11.55 eV

Valentieband EvΓ1

−12.55 eV

AlAs:Conductieband Ec

Γ13.04 eV

Valentieband EvΓ1

−11.73 eV

Bandgap AlxGa1−xAs 1.424 + 1.247x eV (x < 0.45)

Interface AlxGa1−xAs−GaAs:Valentie band discontinuıteit ∆Ev = −0.46x eV

Conductie band discontinuıteit ∆Ec = 0.79x eV (x < 0.41)

Tabel 3.1: Bandenergieen van GaAs, AlAs en AlGaAs.

limiet x < 0.45 gehouden omdat boven deze waarde de indirecte bandgap belang-rijker wordt dan de directe bandgap (zie figuur 3.5) waardoor de elektronen zichook zouden kunnen verspreiden in de AlGaAs laag [105].

De bandenstructuur van het GaAs–AlGaAs contact is te zien in figuur 3.3,daar zien we dat als er elektronen toegevoegd worden in de AlGaAs laag doorde Si–donoren, deze naar de lagere energie conductieband van GaAs zullen gaan[105]. De elektronen worden dan in de z–richting effectief beperkt tot een 2–dimensioneel elektronengas door de zeer smalle driehoekige potentiaalput, waarinzich afhankelijk van aangelegde spanningen en eigenschappen van de materialeneen inversie– of accumulatielaag vormt [40]. Door de zeer kleine afmetingen van depotentiaalput zullen de energieniveaus zeer sterk gekwantiseerd zijn, en bij lagetemperaturen zal dus enkel de grondtoestand bezet zijn. Dit kan men ook intuıtiefinzien als dat er bij lage temperaturen ook nog rekening gehouden moet wordenmet de attractieve interactie tussen de elektronen en de Si+–donoren in de Al-GaAs laag. Daardoor zal effectief het elektronengas zich beperken tot de grenslaagtussen de GaAs en AlGaAs laag (≈ 10nm). Dit tweedimensioneel elektronengasheeft weliswaar een kleine elektronendichtheid (orde 10−15/m2) maar toch eengrote mobiliteit2. Door nu een elektrisch veld (dus een spanning) loodrecht op deverschillende lagen aan te leggen, kunnen we ervoor zorgen dat dit tweedimen-sionaal elektronengas afgebroken wordt (depletielaag), waarmee we dan afgesloten“gebieden”, dus de feitelijke kwantumdots (zie figuren 3.2 en 3.6), of kanalen kun-nen maken naargelang de aangelegde spanningen. Door negatieve spanningen aante leggen zal de energie van de bandniveaus namelijk verhogen en zal de potenti-aalput afgebroken worden. Deze elektrische velden kunnen we aanleggen door opde halfgeleiderlagen metaalcontacten te plaatsen (zie verder).

Als deze gevormde tweedimensionele elektronengasgebieden, die de feitelijke

2De elektronenmobiliteit wordt gedefinieerd uit de snelheid v waarmee elektronen migrerenin het materiaal bij een aangelegd elektrisch veld E: v = µE


Figuur 3.2: Vorming van een 2–dimensioneel elektronengaskanaal (in het witaangegeven) in een halfgeleider heterostructuur.

kwantumdots vormen, lateraal klein zijn en zich in een magnetisch veld bevinden,zullen er enkel discrete toegelaten energietoestanden voor de elektronen toege-laten zijn en bovendien zullen die opgesplitst worden. De Fermigolflengte van deelektronen in een kwantumdot is immers van de orde ≈ 40nm, dezelfde groot-teorde als de kwantumdot zelf, wat aanleiding geeft tot een discreet spectrumvan toegelaten toestanden. Dit zal samen met het Coulomb Blockade Effect (zieverder) net gebruikt worden om er voor te zorgen dat er slechts 1 extra elektronop de kwantumdot aanwezig is, waarvan dan de spin als qubit kan gebruikt wor-den. We merken op dat in andere constructies van kwantumdots, zoals vertikaalgeetste structuren [73] of zelf–geassembleerde structuren [105], 1–elektron kwan-tumdots ook al gerealiseerd zijn. Deze soort kwantumdots kunnen echter proble-men opleveren bij het koppelen van de elektronen, bijvoorbeeld sterk varierendeeigenschappen van dot tot dot, doch deze problemen zijn niet overkomenlijk. Webeperken ons hier tot de bespreking van laterale kwantumdots aangezien deze ophet ogenblik van schrijven de beste eigeschappen bezitten.

Om de metaalcontacten op het halfgeleidermateriaal te kunnen plaatsen doormiddel van Electron Beam Litography, wordt gebruik gemaakt van zogenaamd“fotoresist” materiaal, dit is een materiaal dat kan opgelost of afgebroken wor-den na door UV–straling (verharding, niet bestraalde delen kan men eenvoudigoplossen) of een elektronenbundel (afgebreken van fotoresist) behandeld te zijn.Door het halfgeleidermateriaal te bedekken met zo’n fotoresist (zie figuur 3.4)en op specifieke plaatsen de fotoresist af te breken, kan men vervolgens op dieplaatsen een metaalcontact groeien. Als daarna de fotoresist wordt opgelost, zalenkel nog het nodige metaalcontact overblijven waardoor men zeer nauwkeurige

3.1 Kwantumdots 35

Figuur 3.3: Bandenstructuur van het GaAs–AlGaAs contact. De extra elektronenvan de Si–dopering zullen naar het GaAs migreren door de lagere energietoestandin de conductieband. Daarbij zijn respectievelijk Ef de Fermi energie, Ev deenergie van de top van de valentieband en Ec de energie van de bodem van deconductieband (figuur niet in correcte proporties).

contacten kan maken.

Door de poortspanningen aan elk van de verschillende metaalcontacten (ziefiguur 3.1) specifiek te varieren kan men de kwantumdots manipuleren en meten.Indien men bijvoorbeeld de spanning aan de contacten T2 en M verlaagt, zaler overlap tussen de golffuncties van de elektronen van de twee kwantumdotsontstaan, waardoor er dus 2–qubitinteractie ontstaat. Door tussen de Source en deDrain (zie figuur 3.1) een spanning aan te leggen, dus in het vlak van de opstelling,en ook de poortspanningen aan T1, L, T3 en R rond de kwantumdots te veranderenopdat de depletielaag tussen de kwantumdots en de Source/Drain vermindert,kan men er voor zorgen dat er elektronen op de kwantumdots terechtkomen (ofer net van weggehaald worden). Om in het Coulomb Blockade Effect regime tekunnen werken, zorgen de T1–L en T2–R poortspanningen voor een tunnelbarrieretussen de kwantumdot en de Source of Drain. De contacten PL en PR dienen omde confinement van de elektronen in de kwantumdots fijn te regelen: door dezespanningen aan te passen zullen de energieniveaus in de kwantumdot verschuivenwat het aantal elektronen in de kwantumdot zal beınvloeden (zie §3.1.1)[35]. Tenslotte zijn de Quantum Point Contacts (QPC) aanwezig voor de uitlezing (watwe zullen bespreken in §3.6). Om nu net in een situatie te komen dat er zich maareen elektron op een kwantumdot bevindt, maakt men gebruik van het Coulomben Spin Blockade Effect.

Het basisprincipe om de elektronen en hun spins in kwantumdots tebeınvloeden, bijvoorbeeld zorgen dat er slechts 1 elektron zich op de kwantum-


Figuur 3.4: Aanleggen van een metaalcontact op een halfgeleider door middelvan Electron Beam Litography: eerst wordt een fotoresist laag op de halfgeleideraangebracht, daarvan worden delen verwijderd met een elektronenbundel (merkop: er zal door terugverstrooiing van elektronen geen perfect vertikale afwerk-ing zijn), waarna er metaal wordt opgedampt en ten slotte wordt de resterendefotoresist verwijderd.

dot bevindt, baseert zich op het Coulomb Blockade Effect en de opsplitsing vande energieniveaus enerzijds door de vertikale (2DEG) en laterale confinement inde kwantumdots en anderzijds door de Zeemanopsplitsing in spin–up | ↑ 〉 enspin–down | ↓ 〉 toestanden vanwege het aangelegd magnetisch veld. Door dande aangelegde spanningen aan de Source en de Drain van de kwantumdots zo-danig te regelen zodat de corresponderende elektrochemische potentiaal3 van deSource en de Drain tussen de energieniveaus van de opsplitsing liggen zal er we-gens behoud van energie en het Pauliprincipe slechts bepaalde stroomrichtingentoegelaten zijn. Dit is wel in de onderstelling dat de thermische energie kT ver-waarloosbaar is ten opzichte van de opsplitsingsenergie, want anders zouden erhogere energietoestanden kunnen bevolkt worden. We bespreken hier eerst hetCoulomb Blockade Effect.

3.1.1 Het Coulomb Blockade Effect

Dit effect kan eigenlijk ook gezien worden als een klassiek effect: het is een gevolgvan behoud van energie (zie verder). Om een stroom door een kwantumdot tekrijgen, moeten er elektronen kunnen tunnelen van de Source naar de Drainlangs de gekwantiseerde niveaus in een kwantumdot. Dit betekent dus dat hetelektronenaantal in de kwantumdot moet varieren. Echter als de energie om eenextra elektron op de kwantumdot te brengen hoger is dan wat kan bereikt wor-

3De elektrochemische potentiaal µ is de energie die nodig is om een elektron toe te voegen,het is eenvoudiger om in termen van µ te werken dan in spanningen bij de beschrijving vanstromen.

3.1 Kwantumdots 37

Figuur 3.5: Variatie van de bandgap voor Ga1−xAlxAs met de samenstelling x.Beneden x = 0, 4 is de direct bandgap het kleinst. Figuur uit [44].

den door de aangelegde spanning, zal er geen extra elektron op de kwantumdotkunnen komen (zie ook figuur 3.9), waardoor er geen stroom mogelijk is. Door despanningen te verhogen zal immers de kwantumdot kleiner worden, waardoor deenergieniveaus verder van elkaar zullen liggen. Ook kan de stroom niet verzorgdworden door elektronen aanwezig in lagere energieniveaus aangezien er daarvoorin de Source of de Drain vrije energieniveaus moeten aanwezig zijn. Bij lage tem-peratuur zullen er enkel zeer dicht rond het Ferminiveau niveaus vrij zijn, duswegens behoud van energie kunnen lagere energieniveaus van een kwantumdotniet bijdragen tot een stroom.

Telkens er een extra elektron aan een kwantumdot wordt toegevoegd, zaler een energiebijdrage optreden vanwege de Coulomb elektron–elektron repulsie.Als we de kwantumdot als een Capaciteit C zien, kunnen we de toename inenergie per elektron schrijven als e2

2C. Als dan de temperatuur laag genoeg is

( e2

2C� kT ) zal dit een gevolg hebben voor de lading op de kwantumdot en de

geleidbaarheid: door behoud van energie zal er slechts terug een elektron kunnenbijkomen indien de Source–Drain spanning hoog genoeg is ten opzichte van deGate spanning Px, welke de niveaus in de kwantumdot beınvloedt. Als dus deGate spanning Px wordt aangepast, zal er slechts bij discrete spanningswaardeneen stroom kunnen vloeien door de kwantumdot bij lage temperaturen. Dit komtdoordat er enkel een stroom kan vloeien als er energieniveaus beschikbaar zijntussen de elektrochemische potentiaal van de Source en Drain, wat men kanzien in figuur 3.8, of als er genoeg thermische energie is om deze niveaus teoverbruggen. Daarin herkennen we ook, als er geen magnetisch veld is aangelegd,de schillenstructuur en de regel van Hund4: telkens een schil gevuld is, is erextra energie nodig en toestanden waarbij een maximaal aantal elektronen eenparallelle spin hebben (bijvoorbeeld N = 4 en N = 9 ), hebben ook relatief extra

4De regel van Hund zegt dat de laagste energie configuratie die is waarvoor een maximaalaantal ongepaarde elektronen in een orbitaal aanwezig zijn, toegelaten door het Pauli principe.


Figuur 3.6: Weergave van het tweedimensionaal elektronengas op de GaAs Al-GaAs grenslaag, zo gevormd door negatieve spanningen aan de metaalcontactenaan te leggen.

energie nodig om verder gevuld te worden. In figuur 3.7 zien we de bezettingvan de niveaus bij deze waarden, de 2–dimensionele niveaus zijn anders ontaarddan bij een 3–dimensioneel sferisch symmetrisch systeem als een H–atoom. Wezullen de afleiding van deze energieniveaus en bijhorende golffuncties maken in§3.2. Bij een sferisch symmetrische potentiaal zoals bij een atoom verwacht mende sequentie 2–10–18. . . , maar bij een 2DEG dat lateraal opgesloten wordt dooreen harmonische oscillator potentiaal bekomt men de sequentie 2–6–12. . . wegensde ontaarding van de energieniveaus. Dit kan men bekomen uit de energieniveausin een kwantumdot, welke we later ook zullen berekenen bij aanwezigheid vaneen magnetisch veld in §3.2. Maar zonder aangelegd magnetisch veld zijn dezeenergieniveaus (formule (3.28)):

Ekn = hω(2n+ |k|+ 1), (3.1)

met k en n respectievelijk het angulair en radiaal kwantumgetal. Hieruit zien wedat, als we rekening houden met de twee mogelijke spintoestanden, er voor deelektronen tweevoudige ontaarding is bij n = 0, k = 0, viervoudige ontaardingvoor n = 0, k = ±1, en zesvoudige ontaarding voor n = 0, k = ±2 en n = 1,k = 0. Dit leidt dan tot een schillenstructuur van de vorm 2–6–12 elektronen. Bijhet aanleggen van een magnetisch veld verwachten we een extra opsplitsing inde spintoestanden (zie later). We merken echter op dat de aanname van een har-monische oscillator potentiaal niet meer zal opgaan bij een groot aantal elektronenin de kwantumdot: dan zal de potentiaal sterk veranderen en zal de schillenstruc-tuur verloren kunnen gaan [36].

We merken op dat we stromen ten gevolge van spanningen eenvoudiger kunnen

3.1 Kwantumdots 39

Figuur 3.7: Bezetting van de energieniveaus in een kwantumdot bij N = 4 enN = 9 elektronen, rekening houdend met de regel van Hund.

bespreken met behulp van de elektrochemische potentiaal µ: dit is de energienodig om een elektron toe te voegen aan een elektronengas.

Een eenvoudig model om de toestandsenergieen te beschrijven is aan de handvan het Constante Interactie Model: daarbij wordt aangenomen dat de Coulomb-interactie tussen de elektronen onafhankelijk is van het aantal elektronen, metandere woorden de bijdrage is constant voor elk elektron ongeacht het aantal.Daardoor is dus de energie Eadd om een elektron toe te voegen

Eadd = µ(N + 1)− µ(N) (3.2)

Nu kan de elektrochemische potentiaal in dit Constante Interactiemodelgeschreven worden als:

µ(N) = E(N)− E(N − 1), (3.3)

waarbij de energie E(N) van een N–elektronen kwantumdot geschreven kan wor-den als formule 3.4, met de totale capaciteit C de som van de Source–, Drain– enGate–Capaciteiten CS,CD en CG, VSD het potentiaalverschil tussen de Source ende Drain (waardoor CV = Q de lading voorstelt die geınduceerd wordt door deaangelegde spanningen, en dus moet worden afgetrokken) en En(B) de discreteenergietoestanden:

E(N) =(e(N −N0)− CGVG − CSVSD)2

2C+

N−1∑n=0

En(B). (3.4)

Daardoor krijgen we dus als resultaat voor de elektrochemische potentiaal µ(N)en de energie Eadd om een elektron toe te voegen:

µ(N) =e2

2C(2(N −N0)− 1)− e

C(CGVG + CSVSD) + EN−1(B) (3.5)


Figuur 3.8: Invloed van de Gate spanning op de stroom door een kwantumdot.De afstand tussen de pieken is afkomstig van de energie nodig om telkens eenextra elektron toe te voegen, wat weergegeven wordt rechts bovenaan. Tussende pieken is er geen stroom mogelijk wegens het Coulomb Blockade Effect dathet aantal elektronen in de kwantumdot vast houdt. We merken ook op dat eenschillenstructuur merkbaar is bij respectievelijk 2, 6 en 12 extra elektronen: deenergie nodig om een extra elektron toe te voegen is daar groter. Meetresultatendoor Kouwenhoven et al. [73]

Eadd =e2

C+ EN−1(B)− EN−2(B) (3.6)

=e2

C+ ∆Ekt, (3.7)

waarbij Ekt de opsplitsingsenergie van de discrete kwantumtoestanden in dekwantumdot is.

We bespreken twee voorbeelden van het Coulomb Blockade Effect aan de handvan figuren 3.9 en 3.10.

In figuur 3.9 hebben we een kwantumdot gevuld met 1 extra elektron, door dezeemanopsplitsing kan er echter geen extra elektron meer bijkomen met spin–upals de thermische energie kleiner is dan de Zeemanopsplitsing.

Als we nu een positieve spanning aanleggen aan de kwantumdot poorten Pi,zullen de energieniveaus verschuiven (zie figuur 3.10). Wanneer dan een ener-gieniveau komt te liggen op hetzelfde niveau (of tot op orde kT ervan) als deelektrochemische potentiaal van de contacten, zal er afwisselend een elektronaan- en afwezig zijn. Deze speciale toestand zal aanleiding geven tot een piek inde geleidbaarheid. Hierbij zien we ook dat als de temperatuur hoog genoeg is,het Coulomb blockade Effect zal gemaskeerd worden. Hoe lager de temperatuur,


Figuur 3.9: Coulomb Blockade Effect: er is geen stroom mogelijk indien de ther-mische energie lager is dan de opsplitsingsenergie.

hoe meer de geleidbaarheid gepiekt is.

Figuur 3.10: Conductantiepiek: er is een 1–elektron stroom mogelijk doorheen dekwantumdot.

3.2 Een goed gedefinieerde qubit in een schaal-

baar systeem

Als we algemeen een kwantumdot bekijken, zouden we verwachten dat er tweemogelijkheden zijn om een basis te vinden voor de qubits: enerzijds zouden we deopsplitsing in discrete energieniveaus van een elektron in een kwantumdot kun-nen gebruiken (ladingsgebaseerde implementatie, [58]), anderzijds de spin van eenelektron in een kwantumdot (spingebaseerde implementatie) waarbij de opsplit-sing in spintoestanden ontstaat door de Zeemaninteractie vanwege een aangelegdmagnetisch veld. Met beide zijn verschillende voor– en nadelen verbonden. Webespreken slechts kort de ladingsgebaseerde implementatie om in te zien waaromeen spinsysteem beter kan zijn.

Om de qubit te kunnen karakteriseren, leiden we eerst de gekwantiseerdegolffuncties en energieeigenwaarden af voor 2–dimensionele polair symmetrische


kwantumdots, welke de Fock–Darwin toestanden zijn.

Fock–Darwin toestanden

We bepalen nu eerst de een–elektron golffuncties |Φ〉 die in de z–richtingvolledig begrenst zijn en dus 2 dimensioneel zijn. De opsluiting in het x–y vlakgebeurt door een harmonische oscillatorpotentiaal van de vorm

V (x, y) =mω2

0

2

(x2 + y2

)(3.8)

=mω2

0

2r2. (3.9)

We zoeken dus de eigentoestanden en bijhorende energie–eigenwaarden van deHamiltoniaan

HΦ =1

2m(p + eA)2 Φ +

mω20

2(x2 + y2)Φ (3.10)

=1

2m(−ih∇+ eA)2 Φ +

mω20

2(x2 + y2)Φ (3.11)

=1

2m

(−h2∇2(Φ)− ihe(A · ∇(Φ)) +∇(AΦ)

+e2A ·AΦ)

+mω2

0

2(x2 + y2)Φ (3.12)

waarbij A = B2(−y, x, 0) = B

2reφ de vectorpotentiaal is. We herschrijven de

Hamiltoniaan eerst in cylindrische coordinaten, daarbij geldt er [29]:

∇ ·A =

(∂

∂rer +

1

r

∂

∂φeφ +

∂

∂zez

)·(B

2reφ

)(3.13)

∇2 =1

r

∂

∂r

(r∂

∂r

)+

1

r2

∂2

∂φ2(3.14)

Daardoor kunnen we de Hamiltoniaan herschrijven als:

H = − h2

2m

[1

r

∂

∂r

(r∂

∂r

)+

1

r2

∂2

∂φ2

]− ihe

2m+

e2

2m

B2

4r2 +

mω20

2r2 (3.15)

Aangezien we met radiale symmetrie zitten, kunnen we in de golffunctie Φ depolaire veranderlijken φ en r scheiden:

Φlk(φ, r) =1√2πeikφRkl(r) (3.16)

met k ∈ N voor rotatiesymmetrie over 2π (Φ(φ) = Φ(φ + 2π)) en Rkl(r) de tebepalen radiale golffunctie. Voor de radiale Schrodingervergelijking krijgen we


dan:

HΦlk(φ, r) =

[− h2

2m

[1

r

∂

∂r

(r∂

∂rRkl(r)

)− k2

r2Rkl(r)

]

+khe

2mBRkl(r) +

e2

2m

B2

4r2Rkl(r) +

mω20

2r2Rkl(r)

]eikφ√2π

(3.17)

= EklRkl(r)eikφ√2π

(3.18)

Hiervan trachten we nu de eigenfuncties (Fock–Darwin toestanden) en eigenwaar-den te bepalen. We gaan hiervoor over op de dimensieloze variabele w = mr2ωw

h

waarbij we stellen ωw =

√ω2

0 +(ωc

2

)2met ωc = eB

mde cyclotronfrequentie. Daar-

door worden de afgeleiden:

∂

∂r=

2mrωwh

∂

∂w(3.19)

Door deze substitutie naar de variabele w verkrijgen we dan de vorm:

HRkl(w) = −2hωw

[w∂2Rkl(w)

∂w2+∂Rkl(w)

∂w

+

[− k2

4w− kωc

4ωw− ω2

c

ω2w

1

16w − ω2

0

ω2w

1

4w

]Rkl(w)

]

= −2hωw

[w∂2Rkl(w)

∂w2+∂Rkl(w)

∂w+

[− k2

4w− kωc

4ωw− w

4

]Rkl(w)

]= EklRkl(w) (3.20)

We zien uit deze vergelijking voor de radiale golffunctie Rkl(w) dat deze zekerexponentieel dalend moet zijn om een convergente functie op oneindig te hebben.Om de radiale vergelijking in een vorm te krijgen waarvan de oplossing gekendis, introduceren we de nieuwe functie:

Xkl(w) = e−w2 w

|k|2 Rkl(w) (3.21)

Daarmee kunnen we dan de afgeleiden herschrijven:

∂Rkl(w)

∂w= e−

w2 w

|k|2∂Xkl(w)

∂w− 1

2e−

w2 w

|k|2 Xkl(w) +

k

2e−

w2 w

k2−1Xkl(w)(3.22)

∂2Rkl(w)

∂w2= e−

w2 w

|k|2∂2Xkl(w)

∂w2+ (

|k|w− 1)e−

|k|2 w

|k|2∂Xkl(w)

∂w

+1

2

[k2

2w2+

1

2− |k|

w− |k|w2

]e−

w2 w

|k|2 X (3.23)


Waardoor we ten slotte de vergelijking krijgen:

−2hωw

[w∂2Xkl(w)

∂w2+ [|k| − w + 1]

∂Xkl(w)

∂w

+

[−|k|

2− 1

2− |k|ωc

4ωw+

Ekl2hωw

]Xkl(w)

]= 0 (3.24)

Deze vergelijking is van de vorm van een Kummer–Laplace differentiaal vergelij-king [74]

wd2X

dw2+ (c− w)

dX

dw− aX = 0 (3.25)

Welke als oplossing de confluente hypergeometrische functie heeft:

1F1(a, c, w) = 1 +aw

c1!+a(a+ 1)w2

c(c+ 1)2!+ . . . (3.26)

=∞∑s=0

a(a+ 1)(a+ 2) . . . (a+ s− 1)ws

c(c+ 1)(c+ 2) . . . (c+ s− 1)s!(3.27)

Uit de bepaling van de radiale golffuncties van het waterstofatoom [74] wetenwe bovendien dat deze confluente hypergeometrische functie, op een constantefactor na, gelijk is aan een Laguerre polynoom L. Analoog als bij het waterstofgeval, moet de reeks in formule (3.27) bij een kwantumgetal n afbreken om geendivergenties te bekomen: a+ n = 0, met andere woorden n = k

2+ 1

2− kωc

4ωw+ Ekl

2hωw

(zie formule (3.24)). Daardoor kunnen we dan de oplossing van de vergelijking(3.24) schrijven als:

Ekn = hωw(2n+ 1 + |k|) +khωc

2(3.28)

Xkn(w) = 1F1

(k

2+

1

2+hωc4ωw

− Ekn2hωw

, k + 1, w

)(3.29)

= CLkn(w) (3.30)

Daarbij is n het radiaal kwantumgetal en k het angulair kwantumgetal. Dit geeftdan in termen van een gewone harmonische oscillator potentiaal met hoofdkwan-tumgetal h = 2n + |k|: Eh = hωw(h + 1) + khωc

2. Dit toont de eerder vermelde

ontaardingen en schillenstructuur in §3.1.1 aan. Ook zien we hier de opsplitsingvan de niveaus in spintoestanden vanwege het aangelegde magnetisch veld. Om deradiale gollfunctie nader te bepalen berekenen we eerst de normalisatieconstanteC:

1 =∫ ∞

0rRkn(r)dr (3.31)

=1

2

h

mωwC2

∫ ∞

0wke−w

(Lkn)2dw (3.32)

⇔ C =

√2mωwh

√n!(k + n)! (3.33)


Daardoor bekomen we ten slotte voor de 1–elektron radiale golffuncties met cen-trum in (0, 0) het resultaat:

Rkn(r) =

√2mωwh

√n!

(k + n)!e−

r2mωw2h

(mωwh

) k2

rkLkn

(r2mωwh

)(3.34)

We kunnen de twee laagste orbitale energieniveaus van het elektron in een kwan-tumdot, wat lijkt op een tweedimensioneel H–achtig systeem, gebruiken om eenqubit voor te stellen. Als we namelijk een elektrisch veld aanleggen, zullen degrondtoestand en de eerste excitatietoestand een tegengesteld elektrisch dipoolmoment krijgen. Dipolaire interactie zou dan kunnen zorgen voor 2–qubit inter-acties. Een groot voordeel van zo’n implementatie is de uitlezing van de qubits,experimenteel heeft men namelijk al zeer goede technieken om elektronladingstoe-standen met een SET (Single Elektron Transistor, zie appendix D) uit te lezen.Er zijn echter serieuze nadelen verbonden aan deze implementatie. Allereerst is dequbit–qubit koppeling, welke nodig is voor 2–qubit poorten, de lange dracht dipo-laire koppeling. Dit betekent dat verder dan dichtste nabuur gelegen qubits nogaltijd een belangrijke invloed ondervinden van de andere qubits, waaruit volgt datde decoherentie zou toenemen met het aantal qubits. Dit zou het criterium vanschaalbaarheid serieus in het gedrang brengen, tenzij er ontkoppelingstechniekengebruikt worden [90]. Indien we dit toepassen op bijvoorbeeld GaAs kwantum-dots, kunnen we zien dat dipolaire koppeling niet bruikbaar is in kwantumdotsdoor de grote bulk g factoren (maar wel voor bijvoorbeeld P donoren in Si, zieappendix B.4). Eveneens moet er nog rekening gehouden worden met de deco-herentie ten gevolge van interactie met ladingen uit de omgeving, wat zal leidentot te korte decoherentietijden om nog Quantum Error Correction te kunnentoepassen. Praktisch kunnen we zeggen dat het gebruik van de H–achtige ener-gieniveaus als qubits momenteel niet realistisch is.

Een andere mogelijkheid om een qubit voor te stellen in een kwantumdot isaan de hand van zijn spin, zoals voorgesteld door Loss en DiVincenzo [48]. Dezeimplementatie heeft net de omgekeerde voor– en nadelen van de energieniveauimplementatie. Allereerst kan de qubit–qubit interactie gerealiseerd worden metde “exchange” interactie, welke we zullen bespreken in §3.5.2, die een exponentieelkorte dracht heeft. Dit zou er voor zorgen dat de interactie enkel dichtste nabuurqubits beınvloedt en dus zal men bijna geen rekening moeten houden met decohe-rentie ten gevolge van deze 2–qubit poortoperaties vanwege andere qubits en zalde schaalbaarheid geen probleem zijn. Een tweede voordeel van de spin als qubitis de zeer lange decoherentietijd (zie §3.3). Er is namelijk bijna geen interactievan de omgeving met de spinvrijheidsgraad van een elektron in een kwantumdot:men heeft zelfs spinflipdecoherentietijden van de orde microseconden gevondenin GaAs kwantumdots. Het uitlezen van de spintoestand van de qubit kan echtervoor problemen zorgen, wat we bespreken in §3.6.


3.3 Operatietijd kort ten opzichte van decoher-

entietijd

Er kan aangetoond worden dat men minstens 104 betrouwbare kwantumoperatiesnodig heeft binnen de decoherentietijd opdat quantum error correction kantoegepast worden [19] [20]. Het al dan niet voldoen aan dit criterium zal dusafhangen van enerzijds de operatietijd van de bewerkingen, wat we behandelenin §3.5, en anderzijds de decoherentietijd van de qubit zelf.

Algemeen kan de qubit voorgesteld worden als een vector in een Hilbertruimte,door decoherentie zal nu de orientatie van deze vector wijzigen door interactiemet de omgeving. Aangezien we werken met een spin representatie van de qubits,willen we nagaan welke vrijheidsgraden allemaal koppelen met de spin van eenelektron in een kwantumdot [52] en hoe groot de invloed van die koppeling opde decoherentie is. Deze kunnen we opdelen in twee bronnen van decoherentie:extrinsieke en intrinsieke.

Een voorbeeld van een bron van extrinsieke decoherentie is het niet perfectzijn van de apparatuur. Als we een magnetisch veld aanleggen, zal dit nooitexact zijn en fluctuaties ervan zullen door de Zeeman interactie de spin van dequbits beınvloeden. Dit betekent dus dat operaties op en tussen qubits indirectsamenhangen met decoherentie. Gebruik van betere apparatuur kan extrinsiekedecoherentie in principe reduceren.

Intrinsieke decoherentie hangt samen met fysische principes, welke we be-spreken in de volgende paragrafen, achter het ontwerp van de qubits. Daarbijvoeren we de defaseringstijden T1, T2 en T ∗

2 in, waarbij de defaseringstijd T1 eenmaat is voor de tijd waarin een spin verandert van toestand, bijvoorbeeld vande toestand | ↑ 〉 naar de toestand | ↓ 〉. Deze T1 wordt ook wel de vervaltijdvan de spinmagnetisatie parallel met een extern aangelegd magnetisch veld Bof longitudinale spinrelaxatietijd genoemd. Opdat processen zouden kunnen bij-dragen tot T1 is er een energieuitwisseling met het omgevende rooster nodig (cfbitflip proces), deze processen dragen echter meestal ook bij tot de transversale(loodrecht op B) spindefaseringstijd T2, welke een maat is voor de faserelaxatie-tijd of de levensduur van een coherente superpositie van een kwantumtoestand.Doordat er dus meestal meer decoherentieprocessen zijn die bijdragen tot T2 bijaanwezigheid van een magnetisch veld, zal normaal gezien T2 ≤ 2T1. Indien erechter geen magnetisch veld aanwezig is in een isotroop systeem kan T2 gelijkzijn aan T1, of zelfs groter zijn dan T1 als er processen een rol spelen die enkeleen invloed hebben op T1 (zie verder). Als we spreken over een ensemble vankwantumdots is de spindefaseringstijd T ∗

2 van belang want indien bepaalde spinssneller defaseren dan andere, dan zal de coherentie tussen deze spins en de restafnemen wat uiteindelijk leidt tot T ∗

2 < T2. Voor kwantumcomputing is dus vooralde ensemble spindefaseringstijd T ∗

2 van belang [52] [53].

3.3 Operatietijd kort ten opzichte van decoherentietijd 47

De processen die de decoherentietijd T ∗2 van de spin in de hand werken zijn

afkomstig van koppeling met externe vrijheidsgraden, waarvan de belangrijkstezijn:

1. Spin–baan koppeling met elektronbaan vrijheidsgraden.

2. Spin–baan koppeling met fononen5, dus het omgevend kristalrooster.

3. Dipool en exchange koppeling met omgevende elektronen, zie §3.5: we zullendit gebruiken voor interactie tussen 2 qubits, de invloed van verder gelegenqubits is daarbij exponentieel zwak wat we ook zullen aantonen.

4. Directe dipoolkoppeling met magnetische onzuiverheden. Deze is afhanke-lijk van het specimen, dus in principe te vermijden.

5. Hyperfijninteractie en dipoolinteractie met kernspins.

3.3.1 Intrinsieke decoherentie: spin–baan koppeling

We bespreken hier de energieopsplitsing van de toestanden voor kwantumdotsten gevolge van de spin–baan koppeling. De Diractheorie voorspelt immers eeninteractie tussen baanimpulsmoment en spin [59], waarbij uitgegaan wordt vande relativistische Diracgolfvergelijking. Na benaderingen [57] bekomt men uitein-delijk een spin–baan interactieterm in de Schrodinger vergelijking:

HSO =h

2m2c2(∇V (r)×P) · S (3.35)

Daarbij is V (r) de potentiaal op het elektron, P de impulsoperator en S deelektron spin operator. Deze interactieterm kan geınterpreteerd worden als deenergie van de magnetische dipool µs = −geµBs6 afkomstig van de spin in hetmagnetisch veld B geınduceerd door de baanbeweging van het elektron [59].

Nemen we nu het ideaal geval van een sferisch symmetrische kwadratische

potentiaal V (r) =mω2

0r2

2, dan wordt de spin–baan interactieterm als we het totale

impulsmoment L = r×P stellen:

HSO =h

2m2c2

(mω2

0r×P)· S (3.36)

=hω2

0

2mc2L · S (3.37)

De energie geassocieerd met deze spin–baan koppeling is echter zeer klein tenopzichte van de kwantisatie–energie hω0 (van de orde 3meV ) van de kwantum-dot. Daardoor verwacht men dat er bijna geen invloed is op de elektronspin door

5Fononen zijn gekwantiseerde collectieve roostertrillingen.6Daarbij is µB = eh

2mel= 9, 274.10−24J/T het Bohrmagneton.


externe invloeden die koppelen via de spin–baan interactie. De potentiaal in eenkwantumdot is echter nooit exact sferisch symmetrisch en wordt ook beınvloeddoor de roosterionen: rond de roosterionen is er een 1/r afhankelijkheid. Eenbetere benadering voor de spin–baan interactie in een tweedimensionale kwan-tumdot wordt daardoor gegeven door een Rashba term α (vanwege de asymme-trie in de z–richting) en een Dresselhaus term β (vanwege bulk inversie symmetrie[45]):

HSO = α (p× σ) · ez + β (−pxσx + pyσy) (3.38)

waarbij px,y de impuls operatoren en σx,y de Paulimatrices zijn. De constanten αen β zijn onder andere afhankelijk van aangelegde spanningen en de richting vanhet 2DEG in het gebruikte materiaal [46] [47].

De Hamiltoniaan geassocieerd met de spin–baan koppeling met de fononenwordt gegeven door [37]:

Hfonon =∑qj

F (qz)eiq||r√

2ρcωqj/h(eβqj − iqΘqj)

(b†−qj + bqj

)(3.39)

Daarbij is q de fonon golfvector met dispersie ωqj, b† en b de creatie– en an-

nihillatieoperatoren van fononen, ρc de dichtheid, F (qz) een factor welke we 1kunnen stellen bij lange golflengte fononen ten opzichte van de grootte van dekwantumdot en ten slotte zijn β en Θ elektron–fonon interactie potentialen.

Nu hebben Golovach et al. [37] aangetoond dat decoherentie door spin–baaninteractie van de elektronspin met elektronbaanvrijheidsgraden en fononenzeer klein is bij lage temperaturen (kT � hω0), bij bepaalde verhoudingen vande constanten α en β en specifieke richtingen (vb. (110)–richting) van het aan-gelegd magnetisch veld. Dit kan men onder andere intuıtief inzien doordat dan defononen een lange golflengte hebben ten opzichte van de kwantumdot, waardoorde potentiaal geassocieerd met deze fononen als constant kan beschouwd wordenwat betekent dat deze commuteert met de spin–baan Hamiltoniaan. Men kandus besluiten dat, voor wat betreft de spin–baan interactie van elektronen metde elektronbaan vrijheidsgraden en fononen, de decoherentietijd T2 ≈ 2T1 is, watzeer gunstig blijkt te zijn: de gemeten spin–flip decoherentietijd T1 blijkt van deorde 20–50µs. Natuurlijk zal dan de ensemblefasedecoherentietijd T ∗

2 wel kleinerzijn.

De spindefaseringstijd T2 is meestal moeilijk te meten, maar aan de hand vanvorig resultaat kan deze dus ongeveer bepaald worden door de spin–flip tijd T1 temeten, welke veel eenvoudiger is. Experimenten in GaAs kwantumdots geven eengrens van de spinrelaxatietijd aan van T1 > 20µs voor wat betreft de spin–baankoppeling.

3.3 Operatietijd kort ten opzichte van decoherentietijd 49

3.3.2 Intrinsieke decoherentie: spin–spin koppeling

Een andere vorm van decoherentie ontstaat door het koppelen van de elektronen-spin in een kwantumdot met onder andere de spin van elektronen in omgevendekwantumdots of de kernspin van omgevende atomen. De belangrijkste spin–spinkoppeling ontstaat bij het koppelen van de elektronenspin met de omgevendeatomen, welke de Fermi contact koppeling of hyperfijninteractie genoemd wordt.Dit komt omdat de omgevende GaAs atomen in een kwantumdot een kernspinI = 3/2 hebben welke een dipoolmoment hebben dat zal interageren met hetdipoolmoment geassocieerd met de spin van het elektron in een kwantumdot. Alswe S en I respectievelijk de elektronen– en kernspinoperator noemen, dan wordtde Fermi contact koppeling beschreven door:

Hhf =∑k

AkS · Ik (3.40)

Daarbij geldt voor de koppelingsconstante: Ak = v0A|ψ(rk)|2 waarbij v0 het vo-lume is van een eenheidscel dat een kernspin bevat. De opsplitsing in energie-niveaus door deze Fermi contact koppeling zal dus afhangen van de polarisatievan de omgevende kernspins. De grootteorde van deze interactieterm kunnen weschatten. Voor een ongepolariseerde GaAs kwantumdot die N ≈ 105 kernspinsbevat is deze van de orde 10−4meV wat betrekkelijk groot is, later meer hierover.

Buiten deze Fermi contact koppeling is er ook nog een anisotrope hyperfijninteractie tussen kern– en elektronenspins [51], dit is eigenlijk een dipolaire kop-peling tussen de twee van de vorm:

Hanis =∑k

gµBgIµNr3

(3(Ik · r)(S · r)

r2− Ik · S

)(3.41)

De bijdrage van de anisotrope koppeling verdwijnt echter voor een elektron in eens–orbitaalgolffunctie met de kernspins er binnenin. Daarom zal er enkel een bij-drage zijn voor de kernspins buiten deze elektrongolffunctie voor een 1–elektronkwantumdot. Dit levert ten slotte een grootteorde van de energieniveau opsplit-sing van NµBµN

l3≈ 10−8meV 7, als we aannemen dat de typische grootteorde van

een kwantumdot l ≈ 30nm is waarbij ongeveer N ≈ 104 kernspins een bijdrageleveren.

Ten slotte is er ook nog een analoge koppeling (een dipolaire koppeling)tussen de elektronenspins van verschillende kwantumdots. Deze kan prak-tisch verwaarloosd worden in kwantumdots aangezien die van de grootteordeµB/l

3 ≈ 10−9meV is.

De belangrijkste bijdrage tot de decoherentie blijkt dus afkomstig van de Fermicontactkoppeling, deze is namelijk van de grootteorde van de zeeman opsplitsing

7µN = 5, 0507866.10−27J/T staat voor het nucleair magneton


in een kwantumdot (∆Ez ≈ meV grootteorde). Er is recent experimenteel werkverricht naar het kwantiseren van deze decoherentie, onder andere door Johnsonet al. [106]. Zij hebben metingen uitgevoerd om de decoherentie ten gevolge vande hyperfijninteractie te bepalen. De methode die ze toegepast hebben in een 2–kwantumdotsysteem, is het meten van de vervaltijd van een (1,1) bezetting naareen (0,2) bezetting van de kwantumdots. De overgang tussen deze twee is mogelijkals door middel van de spanningen VR en VL aan de contacten PR en PL (zie figuur3.1) de energie van de (0,2) bezetting lager in energie gemaakt wordt. Echter deze(0,2) bezetting zal een singlet (in §3.5.2 bespreken we de bezettingstoestandenvan twee kwantumdots) toestand zijn vanwege het Pauli exclusieprincipe bij lagetemperatuur, daardoor zal er enkel overgang kunnen gemaakt worden van de (1,1)bezetting naar de (0,2) bezetting als de initiele (1,1) bezetting ook een singlet toe-stand was! Als men dus een initiele ongepolariseerde (met andere woorden de (1,1)toestand is met even grote waarschijnlijkheid in de singlet of triplet toestanden)(1,1) toestand prepareert, zal de bezetting van de ene kwantumdot een maatzijn voor de decoherentie van de triplet toestanden naar de singlet toestanden.Deze bezetting kan gemeten worden aan de hand van Quantum Point Contacts(QPC, zie §3.6.1). Ze kwamen tot het besluit dat spin–spin koppeling van deopgesloten elektronen met de omgevende kernspins de belangrijkste bijdrage le-vert tot de decoherentie, maar dat het aanleggen van een constant magnetischveld de defaseringstijd verschillende ordes kan vergroten. Ook kan polarisatie vande omgevende kernspins de elektronenspin defaseringstijd vergroten. Er zal dusverder onderzoek nodig zijn naar manieren om deze interactie te verminderen,maar deze lijkt oplosbaar te zijn.

We merken ten slotte nog op dat de grootste decoherentie dus afkomstig isvanwege de kernspin van de omgevende atomen. Men zou zich kunnen afvragenwaarom er dan geen kwantumdots gebruikt worden met materialen zonder kern-spin (cf Friesen et al. [77]), zoals isotopisch gezuiverd 28Si (29Si heeft namelijkwel een kernspin)? Bij Si treedt er echter een ander probleem op: de donor elek-tron golffuncties moeten geexpandeerd worden in een basis van 6 Blochfunctiesvanwege de ontaarding in de conductiebandminima. Daardoor zal onder anderede elektron exchange interactie ingewikkeld worden en tot oscillaties leiden. Dezeontaarding zou kunnen opgelost worden door een uniaxiale mechanische span-ning aan te leggen, we gaan hier echter niet verder op in en verwijzen naar onderandere de artikels Koiller et al. [78] en Coppersmith et al. [89]. Voor andere imple-mentaties met Si verwijzen we onder andere naar Ladd et al. [92](29Si in 28Si) enGolding et al. [91] (acceptor gebaseerde implementatie). Er moet dus nog zekerexperimenteel onderzoek gedaan worden om de decoherentie te karakteriseren enkwantiseren.

3.4 Initialiseren van een begintoestand 51

3.4 Initialiseren van een begintoestand

Om kwantumalgoritmes te kunnen uitvoeren willen we kunnen starten van eenarbitraire toestand, een zuivere toestand zoals |0〉 = | ↑ 〉 leent zich daar het besttoe. In de implementatie met kwantumdots kan dit op verschillende manierengebeuren.

Allereerst kunnen we deze zuivere toestanden bekomen door het systeem inde grondtoestand te brengen door een hoog magnetisch veld B0 bij een lage tem-peratuur T aan te leggen. Aangezien de Zeemansplitsing tussen de |0〉 = | ↑ 〉 en|1〉 = | ↓ 〉 toestanden voor een energieverschil van gµBB0 zorgt, kunnen we despins van het systeem met een grotere probabiliteit in de grondtoestand brengenals kBT < gµBB0. Als 5kBT < gµBB0 zal 99% van de spins zich in de grondtoe-stand bevinden na een relaxatietijd van de orde 5T1, met T1 de spinrelaxatietijd(zie §3.3). Aan deze voorwaarde kan praktisch voldaan worden bij een veld van5T bij een temperatuur van 300mK, wat dus zeer realistisch is. Aangezien dezespinrelaxatietijd van de orde ms is, zou deze initialiseringstijd veel langer zijndan de operatietijd van de bewerkingen (zie §3.5) waardoor er bij toekomstigepraktische implementaties ofwel een toevoer van zuivere toestanden zou nodigzijn, ofwel een ander principe.

Een tweede mogelijkheid om de qubits te initialiseren in gekende zuivere toe-standen, kan gebeuren door de spins te initialiseren in ferromagnetische halfgelei-ders [39], en dan een gepolariseerd elektron te laten tunnelen in een lege kwan-tumdot. Dit zelfde principe van tunnelen kan natuurlijk ook gebruikt wordendoor extern elektronen thermisch af te laten koelen om een snellere toevoer vanzuivere toestanden te bekomen. Een voorwaarde hiervoor is echter dat de spinbehouden blijft bij het tunnelen.

We kunnen dit tunnelen beschrijven aan de hand van de opsplitsing vande toegelaten energieniveaus in Landauniveaus wanneer een magnetisch veldwordt aangelegd aan een tweedimensioneel elektronengas (bijvoorbeeld eenGaAs/AlGaAs junctie) [40] (wat onder andere ook aanleiding geeft tot het ge-kwantiseerd Hall–effect). De energieniveaus (welke we afleiden in §3.6.1, formule3.112) die daarmee corresponderen (zie figuur 3.11) worden gegeven door

En = hωc(n+ 1/2) (3.42)

waarbij ωc = eBm

de cyclotronfrequentie van een elektron in een magnetisch veldis. Deze energieniveaus zijn dus afhankelijk van de grootte van het aangelegdmagnetisch veld, waardoor de ligging ervan ten opzichte van het Ferminiveau kangeregeld worden.

In figuur 3.12 zien we dat er buiten de opsplitsing in Landauniveaus eveneenseen opsplitsing is van de toegelaten niveaus in de spintoestanden wegens de Zee-maninteractie tussen de elektronspin en het aangelegd magnetisch veld. Opdateen elektron van de laagste spin–up energietoestand naar de hogere toestand zoukunnen gaan, is er echter meer energie nodig dan enkel de Zeeman–energie: er


Figuur 3.11: Opsplitsing van de toegelaten toestanden in Landau energieniveausbij het aanleggen van een magnetisch veld bij een tweedimensioneel elektronengas.

Figuur 3.12: Opsplitsing van de toegelaten Landauniveaus in de twee spinniveaus.Links zien we de structuur van het 2–dimensioneel elektronengas van de aanvoer,rechts de harmonische oscillator structuur van de kwantumdot met opsplitsingvan de energieniveaus. Door de ligging van het Ferminiveau en de kwantumdot-niveaus zal er enkel een |0〉 = | ↑ 〉 toestand kunnen tunnelen naar de kwantum-dot.

komt ook nog een veeldeeltjes exchange energie tussen de elektronen aan te pas,[41]. Deze totale (Zeeman+exchange) opsplitsing kunnen we in feite zien als hettoenemen van de g–factor tot g∗, die mede de grootte van de energieopsplitsingg∗µBB tussen de niveaus bepaalt. Dit betekent dat de temperatuursvoorwaardekBT < g∗µBT om de spins in de grondtoestand te krijgen, voordat de elektronentunnelen naar de kwantumdot, minder streng is. Als we nu de ligging van hetFerminiveau EF ten opzichte van de Landau niveaus van de halfgeleider aanvoerzodanig kiezen zodat EF tussen de twee spinniveaus ligt, zullen bijna alle elektro-nen zich in dezelfde spintoestand bevinden, als er aan de temperatuursvoorwaardevoldaan is zodat er geen excitaties naar de hogere niveaus gebeuren. In figuur 3.12kunnen we eveneens zien dat als we een sterke bandafbuiging kunnen krijgentussen de aanvoer en de kwantumdot, de gepolariseerde elektronen kunnen tun-nelen naar de kwantumdot, welke rechts voorgesteld wordt door een harmonischeoscillator potentiaal. Alsdusdanig kunnen we zuivere begintoestanden aanvoeren.


3.5 Universele set van kwantumpoorten

Analoog als in hoofdstuk 2 bespreken we hier hoe we fysisch een set van operatieskunnen implementeren waarmee alle bewerkingen mogelijk zijn.

Enerzijds moeten de poortoperaties zo snel mogelijk gebeuren om QECmogelijk te maken, maar anderzijds moeten de interacties ook adiabatisch in-geschakeld worden [53] [54]. Als men de interactie namelijk te snel aanlegt, is ereen grotere probabiliteit om hogere niet gewenste energietoestanden te bevolken.

3.5.1 1–qubit bewerkingen

Zoals we reeds eerder gezien hebben in §2.5.1 volstaat het dat we de toestandsvec-tor van een qubit kunnen roteren rond twee orthogonale assen om een willekeurigerotatie te bekomen. Deze rotaties kunnen op twee verschillende manieren bekomenworden, beide maken ze gebruik van het Zeeman–effectHzeeman = gµB

hBi · S waar-

bij de spin koppelt met aangelegde magnetische velden:

1. Door de gyromagnetische verhouding g te beınvloeden: daarbij wordt hetelektron vertikaal verplaatst naar gebieden (vertikale lagen) met een ver-schillende g door een spanning aan te leggen. Door een andere g–waardekan dan de Zeemanterm verschillend gemaakt worden bij de verschillendeelektronen (zie figuur 3.13). Enkel de relatieve fase van de qubits is van be-lang, dus als we een groep qubits roteren is het voldoende dat er bepaaldequbits met een andere frequentie roteren om 1–qubit rotaties te kunnenvormen.

2. Door Elektron Spin Resonantie (ESR): daarbij kan men relatieve rotatiesvan de spintoestand bekomen door een tweede in de tijd veranderend mag-netisch veld B(t) aan te leggen, loodrecht op het eerste magnetisch veldB.

Als de golffunctie van een bepaald elektron in een kwantumdot een andereg–factor ondervindt tijdens een tijd τ , zal de spin een relatieve rotatie rond derichting van het aangelegd magnetisch veld B vertonen over een hoek ∆φ =∆gµB

2hτB. We kunnen de operatietijd schatten, wat een grootteorde van 3, 5.10−11s

geeft, als we een rotatie over ∆φ = π2

bij een magnetisch veld van 1 Tesla en een∆g ≈ 1 nemen. Deze g–factor kan men beınvloeden door de elektrongolffunctienaar een laag met andere g–factor te duwen door een externe spanning aan teleggen. Men heeft bijvoorbeeld gevonden [66] [67] dat in een AlGaAs–GaAs–InAlGaAs–AlGaAs heterostructuur de g–factor verandert met een grootteorde∆g ≈ 1. Berekende waarden in deze heterostructuur worden gegeven in figuur3.14. Deze methode is ook al experimenteel geverifieerd door Salis et al. [68].

Een andere methode om 1–qubit operaties te bekomen is aan de hand vanElektron Spin Resonantie(ESR). Deze techniek baseert zich op de interactie van


Figuur 3.13: Voorstelling van een reeks kwantumdots. 1–qubit operaties kunnenbekomen worden door ofwel de elektronen in gebieden met andere g waarden tebrengen (vertikale lagen), ofwel door Elektron Spin Resonantie door een tweedevariabel extern magnetisch veld aan te leggen. Door de tunnelbarriere tussentwee qubits te verminderen, ontstaat er tunneling en kunnen 2–qubit interactiesbekomen worden (zie verder, §3.5.2. Figuur door Golovach en Loss, [66]).

het magnetisch moment m = −gµBSh

van een elektron met een extern aangelegdmagnetisch veld B, welke gegeven wordt door de (Zeeman)Hamiltoniaan

H = −m ·B =gµBh

Bi · Si (3.43)

Daarbij is g de effectieve g–factor in het materiaal (g ≈ −0.44 in GaAs),µB = eh

2m∗ het Bohrmagneton met m∗ de effectieve massa8 van het elektron enS = h

2σ de spinoperator van het elektron in termen van de Paulimatrices σ. Een

soortgelijke interactie, maar dan met de parameters voor de kernen, zal eveneensoptreden als de kernspin van bijvoorbeeld het halfgeleidermateriaal waaruit dekwantumdots opgebouwd is niet 0 is. Dit wordt gebruikt bij bijvoorbeeld NMR(zie appendix B.1) en het voorstel van Kane (zie appendix B.4) [84].

Indien we nu het magnetisch veld B aanleggen volgens de z–as, dan kunnenwe de hamiltoniaan schrijven als

H =gµBhBSz = h

ω0

2σz waarbij ω0z =

gµBB

hde Larmorfrequentie is (3.44)

De eigenvectoren van deze Hamiltoniaan zijn dan spin–up (| ↑z 〉 = |0z〉) en spin–down (| ↓z 〉 = |1z〉) met eigenwaarden ±1

2gµBB. De Schrodinger vergelijking die

8Men kan de beweging van een elektron in de periodieke kristalpotentiaal zien als de ver-andering van de massa van een vrij elektron naar een zogenaamde effectieve massa m∗ zodatde kinetische energie van het elektron voldoet aan Ek = h2k2/2m [44] [62], er geldt dan:m∗ = 1

h2d2Edk2 [40].


Figuur 3.14: Berekende g–factor in een AlGaAs–GaAs–InAlGaAs–AlGaAs he-terostructuur als functie van het perpendiculair aangelegd elektrisch veld waarbijde bulk g waarden worden aangegeven voor de respectievelijke materialen, doorDiVincenzo et al. [67]

de tijdsevolutie van de spin–1/2 toestand beschrijft wordt daarbij dan

ih∂

∂t|ψ(t)〉 = h

ω0z

2σz|ψ(0)〉 (3.45)

Met als tijdsafhankelijke oplossing van deze vergelijking

|ψ(t)〉 = eiω0z2σzt|ψ(0)〉 (3.46)

Als we nu het magnetisch veld voor een tijd t = π2ω0

aanleggen, zal bijvoorbeeld

de toestand |ψ0〉 = 1√2

(1−1

)= |1x〉 evolueren als

|ψ(π

2ω0

)〉 = eiπ4σz |ψ(0)〉 =

(e

iπ4 0

0 e−iπ4

)|ψ0〉 (3.47)

= eiπ4

(1 00 −i

)|ψ0〉 = e

iπ4

1√2

(1−i

)(3.48)

Wat gezien kan worden als een evolutie van toestand |1x〉 = 1√2

(1−1

)=

1√2(|0z〉 − |1z〉) naar de toestand |1y〉 = 1√

2

(1−i

)= 1√

2(|0z〉 − i|1z〉) op een


globale fasefactor na, dus de evolutie is het equivalent van een rotatie vande toestandsvector rond de z–as. Vandaar de benaming Larmorfrequentie: detoestandsvector precesseert met een frequentie ω0 rond de richting van hetaangelegd magnetisch veld. Indien de toestandsvector zich in een van de tweeeigentoestanden (dus volgens de richting van het aangelegd veld) bevindt, zal detoestand uiteraard niet veranderen.

We tonen nu aan dat we een willekeurige rotatie van de toestandsvectorenkunnen bekomen als we naast een magnetisch veld B ook nog een tweede ra-diofrequent magnetisch veld Bx(t) = Bx cos (ωt)ex, loodrecht op het eerste (bij-voorbeeld langs x–as), met frequentie ω aanleggen [19]. We zullen zien dat desterkte van het aangelegde radiofrequente veld klein mag zijn ten opzichte vanhet vaste veld B. De Hamiltoniaan vanwege de twee aangelegde velden wordt dangegeven door:

H = hω0z

2σz + h

ω0x

2cos (ωt)σx (3.49)

Daaruit kunnen we de evolutie van een toestand |ψ(0)〉 =

(c1c2

)halen door

middel van de Schrodingervergelijking:

ih∂

∂t|ψ(t)〉 = H|ψ(0)〉 =

[hω0z

2σz +

hω0z

2cos (ωt)σx

]|ψ(0)〉

=h

2

(ω0z ω0x cosωt

ω0x cosωt −ω0z

)(c1c2

)(3.50)

Dit stelsel kunnen we eenvoudig oplossen als we overgaan naar een roterende basisrond de z–as: deze basis roteert dan zoals in het geval dat we eerder besprokenhebben als er enkel een constant magnetisch veld volgens de z–as aangelegd is(formule (3.46)), dan worden de toestandvectoren in de nieuwe basis:

|φ〉 =

(a1

a2

)= ei

ω0z2σzt|ψ〉 =

(c1e

iω0z2t

c2e−iω0z

2t

)(3.51)

In deze basis vereenvoudigen de vergelijkingen 3.50 voor de evolutie in de beidemagnetische velden zich dan tot:

i∂a1

∂t= eiω0zt

ω0x cos (ωt)

2a2 (3.52)

i∂a2

∂t= e−iω0zt

ω0x cos (ωt)

2a1 (3.53)

Deze vergelijkingen kunnen we vereenvoudigen door in te zien dat, door decos (ωt) te schrijven als exponentiele, de termen in e±i(ω+ω0z)t te verwaarlozen


zijn aangezien deze veel sneller oscilleren dan de termen in e±(ω−ω0z)t. Het een-voudiger stelsel wordt dan:

i∂a1

∂t= ei(ω0z−ω)tω0x

2a2 (3.54)

i∂a2

∂t= e−i(ω0z−ω)tω0x

2a1. (3.55)

De algemene oplossing van dit stelsel is dan na integratie, met ωr =√(ω0z − ω)2 + 1

4ω2

0x de Rabi frequentie:

a1 = k1ei2(ω0z−ω−ωr)t +k2e

i2(ω0z−ω+ωr)t (3.56)

a2 = − 4ω0xei(ω−ω0zt)

(k1

2(ω0z − ω − ωr) e

i2(ω0z−ω−ωr)t

+k2

2(ω0z − ω + ωr) e

i2(ω0z−ω+ωr)t

), (3.57)

waarbij k1 en k2 afhankelijk zijn van de beginvoorwaarden. Nemen we bijvoor-

beeld als beginvoorwaarde een vector

(10

)in de roterende basis, met andere

woorden a1(t = 0) = 1 en a2(t = 0) = 0. Dan geldt er:

k1 =(ω0z − ω + ωr)

2ωr(3.58)

k2 = −(ω0z − ω − ωr)

2ωr(3.59)

Als de frequentie ω van het radiofrequente aangelegde veld Bx sterk verschilt vande Larmorfrequentie ω0z van het constante (en grootste) magnetisch veld B, zalde invloed van het radiofrequente veld op de rotatie van de spin van het elek-tron verwaarloosbaar zijn. Dit komt omdat ω0x dan veel kleiner is dan (ω0z − ω)waardoor de Rabi–frequentie ωr ≈ (ω0z − ω). Daardoor zal dan de toestandsvec-tor invariant blijven in de roterende basis: als bijvoorbeeld de beginvoorwaardea1(t = 0) = 1 en a2(t = 0) = 0 was, dan worden k1 = 1 en k2 = 0 waar-door de toestandsvector in de roterende basis constant blijft (dus voor de totaletoestandsvector treedt er enkel een rotatie op zoals bij een constant aangelegdveld):

a1(t) ≈ 1 (3.60)

a2(t) ≈ 0 (3.61)

Als daarentegen de frequentie ω van het aangelegde magnetisch veld Bx gelijk isaan de Larmorfrequentie ω0z van het constante (en grootste) magnetisch veld B,


dan is k1 = k2 = 1/2. Daaruit volgt uit formules (3.56) en (3.57) voor de evolutievan de coefficienten a1 en a2:

a1 =e−i

ω0xt

4 + eiω0xt

4

2= cos

(ω0xt

4

)(3.62)

a1 = −−e−iω0xt

4 + eiω0xt

4

2= e−i

π2 sin

(ω0xt

4

)(3.63)

Wat betekent dat we een rotatie in de roterende basis krijgen, met andere woordendit betekent een rotatie in het x–y vlak in de vaste basis.

Met een vast (groot) magnetisch veld en een klein toegevoegd radiofre-quent magnetisch veld dat loodrecht op het eerste staat, kunnen we dus eentoestandsvector een willekeurige rotatie doen ondergaan. Dit kan praktischgeımplementeerd worden door enerzijds een magnetisch veld loodrecht op dekwantumdotarray aan te leggen (zie figuur 3.13: B⊥) en anderzijds door eenstelsel met stroomvoerende draden boven de kwantumdotarray aan te brengendie een radiofrequent magnetisch veld Bac

‖ genereren.De operatietijd voor deze 1–qubitrotaties kunnen we eenvoudig halen uit de

frequenties: afhankelijk van het aangelegd constant magnetisch veld krijgt meneen operatietijd van de orde 10−10s–10−12s. Hoe hoger het magnetisch veld, hoebeter dit ook is voor de uitlezing en het initialiseren. Experimenteel moet menechter een consensus vinden aangezien hogere magnetische velden moeilijker te re-aliseren zijn. De Rabi–frequentie (dus het radiofrequent magnetisch veld) kunnenwe kiezen naar wil, zolang de operatietijd maar kleiner blijft dan de fasedecohe-rentietijd T2. Een typische grootteorde van het radiofrequent magnetisch veld is1mT .

We merken ten slotte nog op dat het ook mogelijk is 1–qubit bewerkingente implementeren zonder voorgaand principe (wat gebaseerd is op lokale mag-netische velden) toe te passen [69]: door elke qubit te laten voorstellen doorverschillende kwantumdotspins kunnen alle bewerkingen uitgevoerd worden metenkel de exchange interactie, welke we bespreken in de volgende paragraaf.

3.5.2 Exhange interactie en 2–qubit bewerkingen

Zoals we eerder hebben gezien zijn er 2–qubit poorten nodig om tot een universeleset van kwantumoperaties te kunnen komen. We zullen als interactie tussen detwee qubits de exchange interactie tussen de spins van de elektronen gebruikenaangezien de qubitinformatie vervat zit in de spins van de extra elektronen in dekwantumdots [27] [48]. Deze interactie kan beschreven worden door de Hamilton-iaan [64]

H(t) = J(t)S1S2 =J(t)

2

[(S1 + S2)

2 − S21 − S2

2

](3.64)

welke de singletgrondtoestand van een elektronpaar beschrijft, waarbij S1,S2 de

spinoperatoren voor de kwantumdots zijn en in het Hubbard model is J(t) =4t20(t)

u


de tijdsafhankelijke exchange interactie. Daarbij is dan u de energie nodig om eenlading op de kwantumdot te plaatsen en t0(t) het tunneling matrix element watafhankelijk is van de spanningen aangelegd tussen de dots, met andere woordenof er tunneling van de elektronen tussen de kwantumdots toegelaten is of niet.We gaan hier niet verder op het Hubbard model (t–J model om exact te zijn) inen verwijzen daarvoor naar Fazekas [43].

De twee extreme waarden van deze hamiltoniaan zijn de toestanden met spinsparallel (ortho–toestand) en spins tegengesteld (Para–toestand): we krijgen danrespectievelijk de waarden

Epara = −J(t)

2[s2(s1 + 1) + s1(s2 + 1)] = −3

4J(t) (3.65)

Eortho =J(t)

2s1s2 =

1

4J(t) (3.66)

Het teken van J(t) bepaalt dus de grondtoestand, bijvoorbeeld als J(t) positiefis, zal een (para–toestand) (antisymmetrische) antiparrallelle spin toestand degrondtoestand zijn waaruit volgt dat de ruimtelijke golffunctie dan symmetrischis (totale golffunctie moet antisymmetrisch zijn, elektronen zijn immers fermi-onen). Een positieve J betekent dus dat er een antiferromagnetisch gedrag op-treedt: de antisymmetrische spintoestand is dan energetisch het voordeligst. Bijeen negatieve J krijgen we ferromagnetisch gedrag: de spins aligneren. We merkenop dat uit het verschil van de energiewaarden (3.65) en (3.66) J kan bepaald wor-den.

We zullen deze exchange interactie nader bepalen, maar eerst bespreken wehoe we aan een universele set kunnen raken door middel van het construeren vaneen CNOT poort (zie A.1) aan de hand van een

√SWAP9 operatie. Algemeen

zullen we een unitaire evolutie

U(t) = e−ih

∫ t

0H(τ)dτ zodat |ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 (3.67)

krijgen als we de interactie met sterkte J(B,E, t) voor een tijd t aanleggen.Door de duur en sterkte (door onder andere een magnetisch en elektrisch veldaan te leggen, zie verder) nu zodanig te bepalen zodat 1

h

∫J(τ)dτ = π(mod2π)

kunnen we een SWAP operatie verkrijgen. Om ten slotte een CNOT–poort opte bouwen, maken we gebruik van 1–qubit operaties eiασz en

√SWAP =

√Usw

poorten: deze laatste kunnen we bekomen door de interactie bij een SWAPslechts voor de helft van de tijd aan te leggen. Een CNOT poort kunnen we danbijvoorbeeld verkrijgen door de volgende sequentie toe te passen:

UCNOT = eiπ4σy2 ei

π4σz1e−i

π4σz2

√Uswe

iπ2σz1

√Uswe

−iπ4σy2 (3.68)

9Een SWAP poort verwisselt de qubit informatie van twee qubits, bijvoorbeeldUSWAP |10〉 = |01〉.


met σx,y,zi de Paulirotatiematrices. De uitwerking van deze opeenvolgende poortenis te vinden in appendix A en C. Nu weten we uit §2.5 dat als we beschikkenover CNOT–poorten en 1–qubit operaties, we over een universele set van kwan-tumpoorten beschikken zodat we alle mogelijke bewerkingen kunnen uitvoeren.De tijd waarin zo’n CNOT operatie kan uitgevoerd worden, zal dan enerzijdsafhangen van de sterkte van de exchange interactie J die de gevergde tijd voorde√Usw operatie bepaalt en anderzijds van de tijdsduur die 1–qubit operaties

vergen. Bij een exchange koppeling van J ≈ 0, 1meV is de operatietijd van eenSWAP van de grootteorde 10−10s. Samen met de 1–qubitrotaties verwachten wedus een operatietijd van een CNOT van de orde 10−10–10−9s.

Om de exchange interactie meer in detail te bespreken, werken we een modeluit waarbij we vertrekken van de Hamiltoniaan voor het systeem van twee kwan-tumdots op een afstand 2a van elkaar waarbij een magnetisch veld B langs dez–as en een elektrisch veld E langs de x–as is aangelegd:

H =∑i=1,2

hi + C +Hzeeman +HSO (3.69)

met

hi =1

2m(pi − eA(ri))

2 + exiE + V (ri) (3.70)

C =e2

κ|r1 − r2|e−µ|r1−r2| (3.71)

Hzeeman =gµBh

∑i

Bi · Si (3.72)

HSO =hω2

0

2mc2L · S (3.73)

Hierin is hi de eendeeltjeshamiltoniaan, C de Coulombinteractie tussende elektronen met afschermlengte10 1

µ, Hzeeman de koppeling tussen het

aangelegd magnetisch veld B volgens de z–as en de elektronenspins enHSO de spin-baan koppeling (zie ook §3.3.1) van de elektronen, daarbij isµB = eh

2mel= 9, 274.10−24J/T het Bohrmagneton [59]. A(ri) = B

2(−y, x, 0)

stelt de vectorpotentiaal voor: ∇ × A = (0, 0, B). Hierbij hebben we directemagnetische interacties zoals elektron–elektron magnetische dipool interactie,elektron–kern spin contacthyperfijnkoppeling en elektron–kern spin dipoolinteractie verwaarloosd aangezien die een te verwaarlozen bijdrage hebben vooreen eerste orde benadering van J , welke het energieverschil is tussen singlet entriplet toestanden.

10Wanneer een extra lading zich bevindt in een gebied met mobiele ladingen, zullen deomgevende ladingen zich zo positioneren dat de invloed van de extra lading op grote afstandverminderd wordt [65].


Allereerst tonen we aan dat we de spin–baan koppeling praktisch kunnenverwaarlozen bij het bepalen van J bij elektronen in kwantumdots. We nemen aandat de potentiaal in kwantumdots kan benaderd worden door een harmonischeoscillator potentiaal (wat afgeleid kan worden uit experimentele resultaten voor1 kwantumdot, zie [61])

V (x, y) =mω2

0

2

(x2 − a2

2a

)2

+ y2

(3.74)

welke afgebeeld is in figuur 3.15. Daarbij zijn x en y de coordinaten van deelektronen in de kwantumdots, 2a de afstand tussen de kwantumdots, m de ef-fectieve massa van een elektron en hω0/2 de nulpuntsenergie afkomstig van dediscretisatie van de toegelaten golffuncties van de tweedimensionele harmonischeoscillator potentiaal. We merken op dat er enkel x en y coordinaten aan te paskomen omdat we de kwantumdots als 2–dimensionele elektronengassen (2DEG)kunnen zien. Als we nu de verhouding tussen de spin–baan koppelingshamilto-

niaan HSO =hω2

0

2mc2L · S en de opsplitsingsenergie hω0 beschouwen, waarbij we

de effectieve massa van een elektron in GaAs m = 0.067m0 nemen en het baan-impulsmoment L van de elektronen schatten van de orde h, krijgen we een ver-houding van de orde HSO

hω0= 10−9, wat betekent dat we praktisch de spin-baan

koppeling kunnen verwaarlozen. Dit betekent ook dat invloeden uit de omgeving,zoals potentiaal- of ladingsveranderingen, bijna geen faseveranderingen van dequbits zullen induceren, wat zou leiden tot fouten (zie voor een uitgebreidereanalyse §3.3: daar zagen we dat dit enkel correct was in eerste benadering).

De opsplitsing van de energieniveaus door de Zeemanterm (met effectieve gy-romagnetische verhouding g = −0.44 in GaAs11) ten gevolge van de interactievan het aangelegd magnetisch veld met de elektronenspins kan in eerste orde ver-waarloosd worden voor het bepalen van de exchange interactie: voor een volledigparallelle spin met een aangelegd magneetveld kleiner dan 3 Tesla zal de ver-houding van de Zeemanterm tot de opsplitsingsenergien Hzeeman/hω0 van de orde0, 025 zijn, waaruit volgt dat er in eerste orde geen rekening moet mee gehoudenvoor het verschil in Singlet en Triplet energie. Experimenteel is dit ook geveri-fieerd door [61]: uit hun resultaten voor 1 kwantumdot met 1 elektron kan menconcluderen dat er praktisch maar rekening gehouden moet worden met de Zee-manterm bij het beschouwen van de baanvrijheidsgraden vanaf een magnetischveld van 4 Tesla. Dit betekent dat we praktisch enkel rekening moeten houdenmet de Zeemanterm bij de spinhamiltoniaan, niet bij de baanvrijheidsgraden. DeZeemanterm zal namelijk bijna geen invloed hebben op de opsplitsingsenergieJ = Etriplet − Esinglet (zie ook verder).

11De gyromagnetische verhouding voor een elektron in het vacuum is -2, wat volgt uit deDiractheorie.


Figuur 3.15: Grafische weergave van de potentiaal voor twee gekoppelde kwan-tumdots waarbij een extern magnetisch veld B aangelegd is.

De Coulombinteractie kunnen we algemeen schrijven als

C =e2

κ|r1 − r2|e−µ|r1−r2| (3.75)

waarin we rekening houden met de afschermlengte λ = 1µ. In een bulk GaAs kristal

is de afschermlengte van de orde van 40nm, in kwantumdots mogen we echterdeze exponentiele afschermfactor achterwege laten als men de afstand 2a tussende dots kleiner neemt dan 40nm, want men onderstelt dat de afschermlengte ineen kwantumdot [27] veel groter is dan die in het bulk GaAs kristal. Daardoorkan men praktisch een gewone Coulomb potentiaal gebruiken:

C =e2

κ|r1 − r2|(3.76)

Voordat we nu de exchange interactie nader bepalen door middel van eenHeitler–London benadering, merken we het volgende op in verband met deinteractie zelf. De interactie tussen de twee elektronen is afkomstig van hetveranderen van de poortspanningen zodat de barrierehoogte tussen de tweekwantumdots vermindert waardoor er tunneling/overlap van de golffunctiesontstaat. Dit kunnen we in onze potentiaal in formule (3.74) dus beschouwen alshet verminderen van de afstand 2a tussen de kwantumdots zelf.

Na voorgaande analyse van de verschillende termen in de Hamiltoniaan, zullenwe nu de energieniveaus bepalen aan de hand van een Heitler–London benadering


naar analogie van de behandeling van een H2 molecule [59] aangezien een elektronin een kwantumdot sterke gelijkenissen met een waterstof atoom vertoont, dochmet andere dimensies. Als we aannemen dat de temperatuur van het systeemlaag genoeg is, met andere woorden kT � hω0, zodat er geen rekening gehoudenmoet worden met bevolking van hogere orbitaaltoestanden buiten de twee laagstetoestanden kan in dit model namelijk de resterende interactie, zonder de Zeeman-interactie, vervangen worden door de Heisenberg spinhamiltoniaan (zie eerder indeze paragraaf)

H = JS1 · S2 (3.77)

Hierbij werken we in de twee laagste orbitaaltoestanden, namelijk de spinsingleten spintriplet toestand, waarmee we dan als basis voor de spin respectievelijk eenantisymmetrische singlet en drie symmetrische triplet toestanden kunnen vormen:

|S〉 =| ↑↓ 〉 − | ↓↑ 〉√

2(3.78)

|T−〉 = | ↓↓ 〉 (3.79)

|T0〉 =| ↑↓ 〉+ | ↓↑ 〉√

2(3.80)

|T+〉 = | ↑↑ 〉 (3.81)

De energieniveaus corresponderend met deze triplet en singlet toestanden bereke-nen we door middel van de Heitler–London methode. Daarbij vormt men een line-aire combinatie van orbitalen met scheiding in ruimtelijk (orbitaal) deel en spin-deel, waarbij geen rekening gehouden wordt met mogelijke hogere energieniveaus.Algemeen moeten de totale golffuncties antisymmetrisch zijn bij fermionen, dusbijvoorbeeld bij een symmetrische baangolffunctie zal er een antisymmetrische(singlet, S = 0) spingolffunctie horen. Om de orbitaalgolffuncties te bepalen,maken we een lineaire combinatie van de golffuncties van de elektronen van detwee kwantumdots. Als we de ruimtelijke 1–elektrongolffuncties rond de kwan-tumdots op posities +a en −a, met index 1 en 2 voor de verschillende elektronen,respectievelijk noteren als

|Φ1,−a〉 , |Φ1,+a〉 (3.82)

|Φ2,−a〉 , |Φ2,+a〉 (3.83)

kunnen we de totale orbitaalgolffunctie arbitrair voorstellen als

|Ψ〉 = c1|Φ1,−a〉|Φ2,+a〉+ c2|Φ1,+a〉|Φ2,−a〉 (3.84)

We lossen de golffuncties op naar de coefficienten c1 en c2 door middel van deeigenwaardevergelijking

Horb|Ψ〉 = E|Ψ〉. (3.85)


Hierbij is Horb =∑i=1,2 hi + C wegens eerder vermelde redenen. Als we

deze eigenwaardevergelijking (3.85) links respectievelijk vermenigvuldigen met〈Φ1,−a|〈Φ2,+a| en 〈Φ1,+a|〈Φ2,−a|, dan verkrijgen we de vergelijkingen:

c1[〈Φ1,−a|〈Φ2,+a|H|Φ1,−a〉|Φ2,+a〉 − E〈Φ1,−a|〈Φ2,+a|Φ1,−a〉|Φ2,+a〉

]+c2

[〈Φ1,−a|〈Φ2,+a|H|Φ1,+a〉|Φ2,−a〉 − E〈Φ1,−a|〈Φ2,+a|Φ1,+a〉|Φ2,−a〉

]= 0

c1[〈Φ1,+a|〈Φ2,−a|H|Φ1,−a〉|Φ2,+a〉 − E〈Φ1,+a|〈Φ2,−a|Φ1,−a〉|Φ2,+a〉

]+c2

[〈Φ1,+a|〈Φ2,−a|H|Φ1,+a〉|Φ2,−a〉 − E〈Φ1,+a|〈Φ2,−a|Φ1,+a〉|Φ2,−a〉

]= 0

(3.86)

⇔{c1 [H11 − E] + c2 [H12 − ES] = 0c1 [H21 − ES] + c2 [H22 − E] = 0

(3.87)

Waarbij wegens de onderstelde orthonormaliteit 〈φ1,+a|〈φ2,−a|φ1,+a〉|φ2,−a〉 = 1is en waarbij wegens symmetrie van de golffuncties gesteld kan worden dat〈φ1,+a|〈φ2,−a|φ1,−a〉|φ2,+a〉 = 〈φ1,−a|〈φ2,+a|φ1,+a〉|φ2,−a〉 = S, de overlapintegraalgenoemd. Eveneens kunnen door symmetrie de matrixelementen van de Hamil-toniaan, H11 = H2 en H12 = H21 gesteld worden.

Opdat de vergelijkingen (3.87) een oplossing zouden hebben, moet de deter-minant ervan 0 worden, wat een kwadratische vergelijking in de energiewaardenoplevert

E2(1 + S4

)+ E

(2H12S

2 − 2H11

)+H2

11 −H212 = 0, (3.88)

waaruit we de energiewaarden van singlet en de triplet toestanden kunnen halen:

Es =H11 +H12

1 + S2(3.89)

Et =H11 −H12

1− S2(3.90)

Eveneens kunnen we dan de coefficienten c1 en c2 uit vergelijking (3.84) bepalen:

|Ψs〉 =|Φ1,−a〉|Φ2,+a〉+ |Φ1,+a〉|φ2,−a〉√

2 (1 + S2)(3.91)

|Ψt〉 =|Φ1,−a〉|Φ2,+a〉 − |Φ1,+a〉|Φ2,−a〉√

2 (1− S2)(3.92)

Deze methode is gerechtvaardigd omdat de kwantumdots zich in zekere zingedragen als waterstofatomen, maar met het verschil dat een kwantumdot eenfactor 103 groter is, de energieschaal hω0 een even grote factor kleiner is en de“kwantumdot”–Bohrstraal van de orde 20nm is. De golffuncties |Φi,±a〉 zijn po-laire tweedimensioneel golffuncties wegens de opsluitingsmanier van het 2DEG.Deze tweedimensionele toestanden zijn de Fock–Darwin toestanden welke wereeds besproken hebben in §3.2.


We bepalen nu eerst de een–elektron golffuncties |Φi,±a〉, waarna we de ma-trixelementen Hij kunnen berekenen om ten slotte tot de exchange–interactieJ = ET − ES te komen. De een–elektron golffuncties van een elektron in eenharmonische oscillator potentiaal die gecentreerd is rond de oorsprong hebben weal afgeleid in §3.2, daarop voeren we nu translaties uit om de golffuncties op deposities ±a te bepalen.

In ons geval hebben we de grondtoestanden nodig van de 1–elektrongolffuncties op de plaatsen ±a. We gaan daarvoor uit van de radialegolffunctie (3.34) en bouwen de gezochte golffunctie op door de oorspronkelijkete verplaatsen. We stellen vanaf nu de grondtoestandsenergie voor als hω = hωw.De eigentoestand van een grondtoestand wordt dan uit formules (3.34) en (3.16):

|Φ0(x, y)〉 =

√mω

πhe−

mω2h

(x2+y2) (3.93)

Om de golffuncties te bekomen op de posities +a en −a voeren we een translatieuit, waardoor de golffuncties worden:

|Φ±a(x, y)〉 =

√mω

πhe−

mω2h

((x∓a)2+y2 (3.94)

Daarbij is echter de vectorpotentiaal A ook veranderd in A = B2(−y, x ∓ a, 0),

welke moet terug gebracht worden naar A(ri) = B2(−y, x, 0). Deze ijktransfor-

matie levert een extra factor e±iyaeB

hc op.Gebruik makend van deze golffuncties bekomt men uiteindelijk [22] [27] [60]

voor de exchange interactie J :

J = Et − Es = 〈Ψt|H|Ψt〉 − 〈Ψs|H|Ψs〉 (3.95)

= hω0

sinh (2 a2

a2B

(2b− 1b))

[c√b

(e−b a2

a2B I0(b

a2

a2B

)− ea2

a2B

(b− 1b)I0

(a2

a2B

(b− 1

b)

))

+3

4b

(1 + b

a2

a2B

)](3.96)

Daarbij is In=0(x) =∑∞s=0

(−1)s

s!(n+s)!

(x2

)(n+2s)de 0–de orde Besselse functie, c =√

π2e2

κab/(hω0) de verhouding tussen de Coulombinteractie en de opsplitsingsener-

gie en b =√

1 + ωL/ω0 met ωL = (eB)/(2m) de Larmorfrequentie. Het verloopvan deze exchange interactie als functie van het aangelegd magnetisch veld Bwordt weergegeven in figuur 3.16. Daarbij wordt dit resultaat ook vergeleken meteen meer uitgebreide studie waarbij, net zoals bij een gewone molecule, nog reke-ning wordt gehouden met opmenging van hogere orbitalen. Ten slotte vergelijktmen in figuur 3.17 de uitgebreide studie met de resultaten in het Hubbard–model.

Dit is recentelijk ook experimenteel geverifieerd door Zumbuhl et al. in [70],hun resultaten worden weergegeven in figuur 3.18.


Figuur 3.16: Verloop van de exchange koppeling J in de eenvoudigste Heitleren London benadering (gebroken lijn) en in een uitgebreider (sp–hybridisatie)model (volle lijn) bij een vaste afstand d = a

aB= 0, 7 tussen de kwantumdots,

hω = 3meV en c = 2, 42. Figuur door Burkard et al. [60].

We zien dat er kwalitatief het zelfde verloop optreedt, dus bespreken we deexchange interactie aan de hand van het hier uitgewerkte eenvoudige model.Allereerst zien we dat er bij een grootte van het magnetisch veld B∗ ≈ 1, 3Teen verandering in het teken van J optreedt: daardoor verandert de energetischeruimtelijke grondtoestand van de singlet naar de triplet toestand (cf ferro– enantiferro–magnetisch gedrag, afhankelijk van het aangelegd veld zal men daarmeerekening moeten houden voor de implementatie van de bewerkingen). Deze ver-andering is afkomstig van de tweede term in formule (3.96), welke de Coulomb-interactie voorstelt. Ook zien we dat de exchange interactie J verloopt volgens

J ∼ − e2d2(b− 1

b)

sinh (2 a2

a2B(2b− 1

b))

∼ −e−2d2b (3.97)

Hieruit volgt dat de interactie exponentieel afneemt bij het vergroten van de af-stand d, wat impliceert dat praktisch de interactie enkel een dichtste nabuur in-teractie is. Daardoor zullen verder gelegen qubits praktisch geen toestandsveran-dering ondergaan als men een bewerking op twee dichtste nabuur kwantumdotsuitgevoert. Deze exponentiele afname kan eveneens versterkt worden door grote

magnetische velden aan te leggen (cf b =√

1 + ωL/ω0 met ωL = eB/(2m) ve-

randeren). Beide komen in feite overeen met de afname van de overlap van degolffuncties, bij het ene door de afstand te vergroten (of ook de barrierehoogte), bijde andere door de golffuncties met behulp van een magnetisch veld te verkleinen.

Normaal gezien moet er ook nog rekening gehouden worden met de koppeling


Figuur 3.17: Verloop van de exchange koppeling J in het uitgebreider (sp–hybridisatie) model (volle lijn), in het korte dracht Hubbard model waarbij

J =4t20u

(gestreepte–punt lijn) en uitgebreider Hubbard model J =4t20u

+ V(gestreepte lijn) bij een vaste afstand d = a

aB= 0, 7 tussen de kwantumdots,

hω = 3meV en c = 2, 42. Figuur door Engel et al. [27].

van de spins met het magnetisch veld door de Zeemaninteractie. De energiegroot-teorde geassocieerd met de Zeemanterm is echter verwaarloosbaar ten opzichtevan de exchange energie in de gebieden van B < 5T en buiten B∗. Ook is despin–baan koppeling verwaarloosd, dit komt omdat deze klein is voor elektronenin de conductieband in GaAs, de elektrongolffuncties bij de bodem van de conduc-tieband in GaAs zijn namelijk hoofdzakelijk s–orbitalen en de Rashba koppelingis te verwaarlozen (zie eerder §3.3.1) [55].

Tot nu toe hebben we een elektrisch veld achterwege gelaten. Als we eenelektrisch veld aanleggen zal de energie van de toestanden toenemen, echter detriplet toestand zal een grotere energietoename krijgen dan de singlettoestand.Daardoor zal de exchange energie J = Etriplet − Esinglet ook toenemen bij eentoenemend elektrisch veld [60]. Indien het elektrisch veld dan te groot wordtzullen beide elektronen op eenzelfde kwantumdot terecht komen, wat we echterbuiten beschouwing laten. In een realistisch systeem zullen de kwantumdotsnooit exact gelijk zijn, wat zal leiden tot verschillende energieniveaus. Nu kaneen elektrisch veld er echter voor zorgen dat die energieniveaus samenvallen enwe de voorgaande analyse dus perfect kunnen toepassen.

Zoals we in §3.5.1 vermeld hadden, kunnen in principe alle bewerkingen ookgedaan worden door enkel gebruik te maken van de exchange interactie (dus geenzuivere 1–qubitsbewerkingen). Een voorbeeld van zo’n implementatie is de qubits


Figuur 3.18: Experimentele resultaten van meting van de exchange–koppeling J .Figuur door Zumbuhl et al. [70].

te laten voorstellen als [69]:

|0〉 = |S〉 ⊗ |S〉 (3.98)

|1〉 =1√3

(|T−〉 ⊗ |T+〉+ |T+〉 ⊗ |T−〉 − |T0〉 ⊗ |T0〉) (3.99)

Een nadeel van zo’n implementatie is dat men meer operaties moet uitvoeren omeen zelfde bewerking te bekomen. Men zou ook kunnen denken aan kwantumdotsmet meerdere elektronen, echter het blijkt dat de verschillende ontaardingenvan de niveaus voor vele problemen zorgen, wat in detail is uitgewerkt doorVorojtsov et al. [50].

De 2–qubit interactie wordt dus verzorgd door de (indirecte) Heisenbergexchange interactie, afhankelijk van J welke afhangt van de overlap van de tweeelektrongolffuncties, waarbij men deze overlap kan beınvloeden door de barrieresmet de poortspanningen aan te passen.

Ten slotte merken we nog op dat de exchange koppeling adiabatisch moetaangelegd worden, hiermee bedoelen we dat de interactie niet direct in zijn “vollekracht” mag aangelegd worden (dus spanningen aan de poorten moeten relatieftraag veranderen), anders zouden er overgangen naar hogere orbitale toestandenkunnen optreden. Dit betekent natuurlijk dat de snelheid waarmee bewerkingengedaan worden, trager zal verlopen om fouten te voorkomen [53].

3.6 Meting van de qubits

Een laatste voorwaarde waaraan moet voldaan zijn om kwantumcomputing mo-gelijk te maken is dat we de toestanden wel degelijk kunnen uitlezen. Aangezien


de kwantuminformatie vervat zit in de spin van een elektron, kan dit voor pro-blemen zorgen want het magnetisch moment geassocieerd met de spin van eenelektron is namelijk zeer klein, in feite te klein om rechtstreeks te meten. We be-spreken hier hoe we dit op een indirecte manier kunnen bepalen. Daarbij wordtin essentie een lading gemeten die enkel uit de kwantumdot kan stromen als bij-voorbeeld de spintoestand een | ↑ 〉 was, waaruit men dan de spintoestand kanafleiden.

De feitelijke uitlezing van een kwantumdot gebeurt dan met een QuantumPoint Contact (QPC). Zo’n quantum point contact meet de stroom IQPC die doorhet stroomkanaal van het QPC loopt, waarbij de geleidbaarheid12 gekwantiseerdis en door de QPC poortspanningen zodanig geregeld is zodat die σ ≈ e2

h(zie later

voor de afleiding: formule (3.106)). De stroom IQPC door het QPC is namelijkzeer gevoelig voor omgevende ladingsdistributies, waardoor er een meetbare ver-andering in de geleidbaarheid optreedt wanneer de lading op een nabijgelegenkwantumdot verandert [76]. De ladingsverandering van een kwantumdot kan inverband gebracht worden met de spin van het elektron aanwezig op de kwantum-dot door gebruik te maken van de Zeemanopsplitsing van de energieniveaus voorspin–up en spin–down toestanden en het Coulomb Blockade Effect (zie §3.1), dezezullen er voor zorgen dat bijvoorbeeld slechts een spintoestand uit de kwantum-dot kan stromen. Het QPC bepaalt dan de lading op de kwantumdot en dus despintoestand! We bespreken daarvoor eerst het Quantum Point Contact en zijneigenschappen [71], [76].

3.6.1 Quantum Point Contact

Door het veranderen van de poortspanningen aan de QPC’s (zie figuur 3.1)kan het stroomvoerend kanaal aan de top van een QPC zo klein als gewenstgemaakt worden, wat ten slotte zal zorgen voor een gekwantiseerde veranderingin de resistiviteit ρ of de geleidbaarheid13. In de hier volgende afleiding van degekwantiseerde geleidbaarheid onderstellen we eerst dat er geen onzuiverhedenaanwezig zijn die zorgen voor verstrooiing, de temperatuur T ≈ 0K is en depotentiaalverandering vanuit de bulk van het 2D–elektronen gas naar het kwan-tumcontact geen discontinuıteiten vertoont. We onderstellen ook dat de potenti-aal aanwezig in het 2–dimensionele elektronengas van het QPC een kwadratischeharmonische oscillator potentiaal is14, wat gesuggereerd wordt uit berekeningendoor Laux et al. [56]. Hieruit volgt dat de Hamiltoniaan die het contact beschrijftde energieeigenwaarden (zie figuur 3.19) heeft van een harmonische oscillator [19]

12De geleidbaarheid σ is gedefinieerd als de verhouding van de ladingsstroom j en het aan-gelegd elektrish veld E: j = σE. Daarbij is j = nqv de ladingsstroomdichtheid, met n de(oppervlak/volume/lineaire) ladingsdichtheid, q de lading en v de gemiddelde ladingssnelheid.

13De resistiviteit is de inverse van de geleidbaarheid: ρ = 1/σ.14Om de gekwantiseerde geleidbaarheid te bekomen is deze specifieke vorm van de potentiaal

niet nodig, maar we werken met deze aangezien het in deze context toepasselijk is.


indien er geen magnetisch veld is aangelegd, met m de effectieve elektronenmassa:

H =p2x + p2

y

2m+ e

mω0y2

2(3.100)

En =h2k2

x

2m+ (n+

1

2)hω0 (3.101)

indien we de stroomrichting door het QPC in de x–richting nemen en de opsluitingin de y–richting (zie figuur 3.19). De dispersierelatie (3.101) wordt weergegevenin figuur 3.20.

Figuur 3.19: Energieniveauopsplitsing door de confinement in het stroomkanaalvan het 2–dimensioneel elektronengas in een QPC.

Figuur 3.20: Dispersierelatie voor het QPC voor een kwadratische potentiaalzonder een aangelegd magnetisch veld.


De stroom door het QPC komt dus neer op een 1–dimensionele stroom vol-gens de x–richting. Als we nu een spanning aanleggen tussen twee bulk 2DEGcontacten, veranderen we de elektrochemische potentiaal van de elektronengassenvan de twee contacten ten opzichte van elkaar: de elektrochemische potentiaal isimmers per definitie de energie nodig om een extra elektron toe te voegen. Als wedus een contact negatief maken, zal de energie nodig om een elektron toe te voegentoenemen. In plaats van met spanningen te werken, gebruiken we hier de elektro-chemische potentiaal werkwijze: V = µ

e. Als we de elektrochemische potentiaal

van de twee zijden van het QPC respectievelijk gelijk stellen aan µ1 en µ2, kun-nen we de stroom daardoor geınduceerd dan bepalen uit de toestandsdichtheidD(E) = dN/dE (de afleiding wordt gemaakt in appendix E) die we halen uit deenergietoestanden N door te sommeren over alle toegelaten toestanden n en teintegreren over het energieverschil:

I = eN−1∑n=0

∫ µ2

µ1

v(Nn)dNn (3.102)

= eN−1∑n=0

∫ µ2

µ1

v(En)dNn

dEdE (3.103)

= eN−1∑n=0

∫ µ2

µ1

√2Enm

1

πh

√m

2EdE (3.104)

=2e(µ1 − µ2)N

h(3.105)

Waaruit we dan de geleidbaarheid σ = IV

kunnen halen:

σ =2e2

hN (3.106)

Deze is dus afhankelijk van het aantal toegelaten bezette toestanden N , metgeleidbaarheidskwantum 2e2/h per toestand (cf e2/h per elektron). Als we dusbijvoorbeeld de spanning aan het metaalcontact van het QPC verhogen, zal dedoorgang “verkleinen” waardoor de toegelaten energieniveaus verder van elkaarkomen te liggen. Zolang het Ferminiveau tussen twee niveaus in ligt, blijft degeleidbaarheid σ daarbij constant, als het Ferminiveau een niveau passeert zalde geleidbaarheid dalen/stijgen met het kwantum 2e2

h.

De voorgaande afleiding werd gedaan zonder een aangelegd magnetisch veld.Voor het geval we een magnetisch veld aanleggen, wordt de Hamiltoniaan metbijhorende eigenwaarden waarbij we de Zeemanopsplitsing verwaarlozen [80]

H =1

2m(p− eA)2 + eV (y) (3.107)

En =h2k2

x

2mω2

ω20

+(n+

1

2

)hω (3.108)


met A de vectorpotentiaal behorende bij het aangelegd magnetisch veld, ω2 =ω2

0 + ω2c waarbij ωc = eB

mde cyclotronfrequentie is van een elektron in een mag-

netisch veld. Het gevolg van een magnetisch veld op de dispersierelatie (3.108)is dus dat enerzijds de toegelaten banden vlakker worden (cf de effectieve massam∗ = 1

h2d2Edk2 van de elektronen wordt groter) en anderzijds dat de energieseparatie

tussen de niveaus groter wordt bij toenemend magnetisch veld, wat we kunnenzien in figuur 3.22. Bij zeer groot magnetisch veld zal

ω2 ≈ ω2c (3.109)

ω2

ω20

≈ ω20 + ω2

c

ω20

≈ ω2c

ω20

(3.110)

waardoor de dispersierelatie in benadering kan geschreven worden als:

En ≈(n+

1

2

)hωc +

h2k2yω

20

2mω2c

(3.111)

ω2c�ω2

0→(n+

1

2

)hωc (3.112)

Wat ten slotte de vlakke Landauniveaus beschrijft.Dus de geleidbaarheid van het QPC is enerzijds afhankelijk van de aangelegde

spanning aan het QPC die de “breedte” ervan bepaalt, en anderzijds afhanke-lijk van het aangelegde magnetisch veld dat een invloed heeft op de toegelatenenergieniveaus. Het magnetisch veld zal echter ook voor een Zeemanterm zor-gen die belangrijker wordt bij grotere magnetische velden. Deze kwantisatie vande geleidbaarheid, afhankelijk van het aantal bezette banden, is experimenteelbekomen door Kouwenhoven et al. [79], waarvan we de resultaten weergegeven infiguur 3.21.

Een analoge analyse voor de stroom bij aanwezigheid van een magnetisch veld,geeft in dit geval dan een analoog resultaat als formule (3.106) maar waarbij NL

dan het aantal bezette Landauniveaus is. Bij een hoog magnetisch veld is dit eenbeschrijving van het Integer Quantised Hall Effect (IQHE) [40].

Nu is deze geleidbaarheid ook zeer gevoelig aan de omgevende ladingen, inhet artikel [76] tonen Rushforth et al. bijvoorbeeld aan dat door het meten vande geleidbaarheid van de QPC’s men de lading op de respectievelijke dots kanbepalen. Door Coulombinteractie tussen de lading op de kwantumdot en delading in het geleidingskanaal van het QPC, zal de totale lading (eigenlijk deenergieniveaus ervan) in het geleidingskanaal namelijk beınvloed worden welkeop zijn beurt de geleidbaarheid beınvloedt. Als men er nu voor zorgt dat bijde uitlezing van een kwantumdot, er enkel een lading op de kwantumdot blijftals deze in de spin–down toestand | ↓ 〉 was, kan men effectief indirect de spinbepalen van de kwantumdot door het meten van de verandering van de geleid-baarheid aan de QPC’s, welke dus de lading op een kwantumdot zullen aangeven.


Figuur 3.21: Gemeten geleidbaarheid in functie van aangelegde spanning aanhet QPC en aangelegd magnetisch veld. De achtergrondweerstand is telkensafgetrokken. Figuur door Kouwenhoven et al. [79].

Dat de aanwezigheid van een lading op de kwantumdot de geleidbaarheidbeınvloedt kunnen we als volgt theoretisch benaderen: doordat een lading op dekwantumdot een invloed zal hebben op de energieniveaus van de elektronen inhet geleidingskanaal in het QPC, bestuderen we de algemene invloed van eenexterne storing op de elektronenstroom. We onderstellen dat de potentiaal vanhet geleidingskanaal kan voorgesteld worden door een zadelvormige potentiaal[81] [82] [83], wat eveneens wordt weergegeven in figuur 3.23:

V =1

2mω2

yy2 − 1

2mω2

xx2 + V0, (3.113)

met V0 de nulpotentiaal in het centrum van het stroomkanaal in het QPC. We ziende invloed van een naburige geladen kwantumdot dus als de verandering van denulpotentiaal V0 voor het QPC. Wanneer we eerder (zie formule 3.106) de kwanti-satie van de geleidbaarheid bespraken, hebben we echter geen rekening gehoudenmet de verminderde transmissieprobabiliteit T door terugverstrooiing afkomstigvan de zadelvormige barriere, welke ook een invloed op de stroom heeft. In hetgeval dat er een magnetisch veld aanwezig is, kan de transmissieprobabiliteit per


Figuur 3.22: Invloed van het aanleggen van een magnetisch veld op de dispersie-relatie voor het QPC voor een kwadratische potentiaal. Bij (a) het aanleggen vaneen magnetisch veld wordt de dispersierelatie vlakker en vergroot de energiese-paratie tussen de niveaus en bij (b) een groot magnetisch veld bekomt men devlakke toegelaten Landauniveaus met nog grotere energieseparatie.

band met kwantumgetal n bepaald worden als [83]:

Tn(E) =1

1 + e−πεn(E)(3.114)

Waarbij de dimensieloze factor ε gegeven wordt door:

εn(E) =E − (n+ 1

2)E2 − V0

E1

(3.115)

E1 =h

2

√1

2

√(ω2x + ω2

y

)2+ ω2

c

(ω2c + ω2

y − ω2x

)−ω2c + ω2

y − ω2x

2(3.116)

E2 = h

√1

2

√(ω2x + ω2

y

)2+ ω2

c

(ω2c + ω2

y − ω2x

)+ω2c + ω2

y − ω2x

2(3.117)

Daarbij is E de totale energie van het elektron.Deze transmissiecoefficient Tn(E), zal de geleidbaarheid σ ook beınvloeden.

We bekijken nu de invloed van deze transmissieverandering op de eerste stap inde geleidbaarheid σ (cf formule (3.106)), dus we beschouwen enkel T0(E). Danwordt de geleidbaarheid:

σ =2e2

hT0(E) =

2e2

h

1

1 + e−πεn=0(E)(3.118)

Als we nu een verandering δV0 van de nulpotentiaal hebben, vanwege bijvoor-beeld een lading op een naburige kwantumdot, zal dit een verandering van degeleidbaarheid induceren:

δσ =2e2

h

∂T0(E)

∂V0

δV0 (3.119)

=2e2

h

− πE1

(1 + e−πεn=0(E))2 e

−πεn=0(E) (3.120)


Figuur 3.23: Grafische weergave van de zadelvormige potentiaal in het geleidings-kanaal van een QPC.

Als we dit principe praktisch willen toepassen, zullen we naar het punt zoekenwaar de verandering van de geleidbaarheid maximaal is, met andere woorden wezoeken het punt waar de afgeleide van formule (3.120) nul is:

δσ

δV0

= −2

π2

E21

(1 + e−πεn=0(E))3 e

−2πεn=0(E) +

π2

E21

(1 + e−πεn=0(E))2 e

−πεn=0(E)(3.121)

=π2

E21

e−πε0(E)(−2e−πε0(E) + 1 + e−πε0(E)

)(3.122)

=π2

E21

e−πε0(E)(1− e−πε0(E)

)(3.123)

⇔ e−πε0(E) = 1 (3.124)

⇔ ε0(E) = 0. (3.125)

Dit betekent dus dat we een maximale verandering in de geleidbaarheid vanwegeeen externe bron kunnen waarnemen indien we de geleidbaarheid van het QPCzelf instellen op

σ (ε0 (E) = 0) =2e2

h

1

1 + e−π0=e2

h(3.126)

wat in het midden is van de overgang naar het eerste discrete niveau in dekwantisatie van de geleidbaarheid (zie figuur 3.21 en formule (3.106) ).

Er is in [42] door Vandersypen et al. onder meer experimenteel aangetoonddat men door middel van een QPC de al dan niet aanwezige enkele lading opeen kwantumdot kan bepalen. Daarbij werd de geleidbaarheid σ van het QPC in-gesteld op een punt tussen de overgang tussen σ = 0 en σ = 2e2

h. Daar is immers


de geleidbaarheid zeer gevoelig voor invloeden vanuit de omgeving, bijvoorbeeldde verandering van lading op de nabijgelegen kwantumdot (zie voorgaande the-oretische afleiding). In figuur 3.24 kunnen we de invloed van de verandering vande lading van een kwantumdot op de geleidbaarheid en dus de stroom door eenQPC zien. In (A) van figuur 3.24 zien we bijvoorbeeld dat door een spanningaan te leggen aan het contact P (zie figuur 3.1 in §3.1) de stroom door het QPCeerst toeneemt, maar bij tunneling van een elektron naar de kwantumdot neemtdie terug af met ≈ 0.3nA. Na het afleggen van de spanning zal het elektron dekwantumdot terug verlaten en een even grote stroomtoename als gevolg hebben.In (B) is de spanning van de kwantumdot ten opzichte van een reservoir ongeveergelijk genomen, waardoor een elektron van en naar de kwantumdot kan tunnelen.Telkens is er een verandering in de stroom door het nabijgelegen QPC waarneem-baar.

Figuur 3.24: Invloed van de lading in de kwantumdot op de stroom ∆I dooreen nabijgelegen QPC. (A): Door de potentiaal op de kwantumdot gepulst teveranderen is er een verandering in de stroom van het QPC door deze potentiaal,maar de tunneling van en naar de kwantumdot van een elektron is ook duidelijkzichtbaar. (B): Verandering van de stroom in een QPC door het tunnelen vaneen elektron van en naar een nabijgelegen kwantumdot, de bovenste grafiek isgemaakt bij de hoogste kwantumdot potentiaal. Figuur door Vandersypen et al.[42]

Een nadeel van de uitlezing met een QPC is echter dat de meting relatieftraag gebeurt, van de orde 1–10−1 ms. Een QPC is echter beter om de toestandenuit te lezen dan een SET (zie Appendix D) : allereerst is de fabricatie van eenQPC eenvoudiger (slechts 1 poort in plaats van 2 tunnel barrieres en een Gate),maar een QPC heeft ook minder invloed van storingen. Men verwacht dateen experimentele uitlezingsefficientie van 90% zeker moet bereikbaar zijn bijtemperaturen onder de 100mK.


Een nadeel in deze implementatie, waarbij men een exacte spanning moetaanleggen zodat de Zeemanniveaus voor de spin–up en spin–down toestandenrespectievelijk onder en boven de elektrochemische potentiaal van de contactenliggen, is dat omgevende storingen deze ligging van de niveaus kan veranderenzodat een spin–up zou uitgelezen worden als een spin–down of vice versa. Eenoplossing voor dit probleem zou zijn om de uitlezing afhankelijk te maken van detunnelrate van de twee mogelijke toestanden als men deze tunnelrate verschillendkan maken: als de tunnel tijden een grootteorde zouden verschillen, kan men deuitlezing in de kleinste tijdsorde maken. Indien er dan geen ladingsveranderingop de kwantumdot door het QPC wordt waargenomen, was de oorspronkelijketoestand met grote waarschijnlijkheid de toestand met de traagste tunnelrate.Dit heeft dus niet direct met het QPC te maken maar eerder met de kwantumdotzelf.

Hiermee besluiten we dit hoofdstuk. We zien dus dat er geen onoverkomenlijkefysische obstakels blijken te zijn om een kwantumcomputer te kunnen bouwen,maar dat er nog veel experimenteel en theoretisch onderzoek nodig is om tot eendaadwerkelijk werkende machine te komen.

Hoofdstuk 4

Quantum algoritmes en QEC

In dit laatste hoofdstuk gaan we wat dieper in op de bestaande kwantumalgo-ritmes, waaruit duidelijk de kracht (maar ook abstracte vorm) van kwantumcom-puting blijkt. Eveneens bekijken we hoe we fouten kunnen aanpakken.

Two men were examining the output of the new computer in theirdepartment. After an hour or so of analyzing the data, one of themremarked: “Do you realize it would take 400 men at least 250 years tomake a mistake this big?” – anoniem

4.1 Het Algoritme van Deutsch

Om het algoritme van Deutsch–Jozsa te verduidelijken werken we eerst het algo-ritme van Deutsch [19] [20] [25] uit, dit algoritme werkt in op twee qubits. Hetprobleem is als volgt: men wil kunnen bepalen of een functie f : {0, 1} → {0, 1}inwerkend op een qubit al dan niet een constante functie is.

Als men dit probleem klassiek wil oplossen moet men minstens de functietweemaal evalueren: eenmaal met input de toestand 0 en eenmaal met de toestand1. Indien men nu echter een superpositie van twee qubits kan gebruiken is maareen evaluatie van de toestand nodig. Daartoe kunnen we het kwantumcircuitgebruiken zoals voorgesteld in figuur 4.1: we nemen als input toestand |0〉|1〉.

Figuur 4.1: Blokschema voor algoritme van Deutsch.

4.1 Het Algoritme van Deutsch 79

Daarbij is H een Hadamardpoort met als matrixrepresentatie:

H =1√2

(1 11 −1

)

voor de corresponderende operator H geldt dan:

H|0〉 = |0〉+|1〉√2

H|1〉 = |0〉−|1〉√2

↔ H|x〉 =∑y

(−1)xy√

2|y〉 (4.1)

Zodat |ψ1〉 = |0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

is. De transformatie Uf : Uf |x〉|y ⊕ f(x)〉 (waarbij

⊕ optelling modulo 2 is) wordt toegepast als “black box”1 operator: Uf past defunctie toe op de tweede qubit en de bedoeling is te bepalen of f al dan niet eenconstante functie is in een evaluatie van de functie. Voor die transformatie geldter:

Uf |x〉|0〉 − |1〉√

2=

1√2|x〉 (|0⊕ f(x)〉 − |1⊕ f(x)〉)

= (−1)f(x)|x〉|0〉 − |1〉√2

(4.2)

Dus bekomen we de toestand |ψ2〉 en na toepassen van de Hadamardpoort op deeerste qubit |ψ3〉:

|ψ3〉 = H1|ψ2〉

= H1Uf|0〉+ |1〉√

2

|0〉 − |1〉√2

= H1(−1)f(0)|0〉+ (−1)f(1)|1〉√

2

|0〉 − |1〉√2

=1

2

[(−1)f(0) |0〉+ |1〉√

2+ (−1)f(1) |0〉 − |1〉√

2

]|0〉 − |1〉√

2

=1

2

[ [(−1)f(0) + (−1)f(1)

]|0〉+

[(−1)f(0) − (−1)f(1)

]|1〉] |0〉 − |1〉√

2(4.3)

Als we vervolgens de eerste qubit meten en we bekomen het resultaat |0〉, danwas f(0) = f(1) en dus was f een constante functie. Analoog was f niet constantals we |1〉 bekomen voor de eerste qubit. We zien dus dat het kwantumalgoritmevan Deutsch maar een evaluatie nodig heeft van de functie, dit komt doordat er

1Bij zo’n “black box” operatie nemen we aan dat het resultaat onmiddelijk volgt, dus on-afhankelijk van wat er in feite gebeurt. We merken nog op dat zo’n operatie niet het probleemzelf oplost, het controleert of een oplossing correct is: er is een verschil tussen het controlerenvan een probleem en het oplossen ervan [19] [20]

80 Quantum algoritmes en QEC

ψ0 ψ1 ψ2 ψ3

f(0) = 0, f(1) = 1 |0〉|1〉 |0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

|0〉−|1〉√2

|0〉−|1〉√2

|1〉 |0〉−|1〉√2

f(0) = 1, f(1) = 0 |0〉|1〉 |0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

−|0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

−|1〉 |0〉−|1〉√2

f(0) = 0, f(1) = 0 |0〉|1〉 |0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

|0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

|0〉 |0〉−|1〉√2

f(0) = 1, f(1) = 1 |0〉|1〉 |0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

− |0〉+|1〉√2

|0〉−|1〉√2

−|0〉 |0〉−|1〉√2

Tabel 4.1: Overzichtstabel voor het algoritme van Deutsch.

gebruik gemaakt wordt van kwantumparallellisme: er is interferentie tussen detwee toestanden |0〉 en |1〉 (ze zijn entangled) en dus zal er ook interferentie zijn

tussen f(0) en f(1) na inwerking van Uf op de toestand |0〉−|1〉√2

. De Hadamard

poorten dienen dan om geschikte overgangen van basis te realiseren (bijvoorbeeld

de laatsteH1 is niet noodzakelijk, we kunnen net zo goed in een basis |0〉+|1〉√2, |0〉−|1〉√

2

het uiteindelijke resultaat meten). Een overzichtschema wordt gegeven in tabel4.1.

4.2 Het Algoritme van Deutsch–Jozsa

We beschikken terug over een functie f(x) die toestanden projecteert op {0, 1}.De functie heeft nu echter als domein {0, 1}n. f(x) projecteert dus natuurlijkegetallen tussen 0 en 2n − 1 uit op {0, 1}. Er wordt aangenomen dat f ofweleen constante functie is (resultaat onafhankelijk van begintoestand) ofwel eengebalanceerde functie is. (De helft van de 2n begintoestanden worden dangeprojecteerd op 0, de andere helft op 1.) Beide worden a priori als evenwaarschijnlijk aanvaard. Gegeven een functie, willen we dus nagaan of deze eenconstante of een gebalanceerde functie is.

Als we dit probleem klassiek willen oplossen zullen we in het slechtste gevalf(x) in 2n−1 + 1 verschillende punten moeten evalueren. Het kan reeds na tweeevaluaties duidelijk zijn of f(x) gebalanceerd is, maar er kan maar met zekerheidbesloten worden dat de functie constant is na 2n−1 + 1 evaluaties (de helft +1).In het deterministische klassieke geval stijgt het aantal evaluaties, dus de tijdom het algoritme uit te voeren, exponentieel met de grootte van de brongetallen.

Gebruik makend van een probabilistische klassieke computer kunnen we een“sneller” resultaat bekomen indien er geen 100% zekerheid nodig is. Naarmateer meer willekeurige x ∈ {0, 1} geevalueerd worden kan men met zekere kansbepalen of de functie al dan niet constant of gebalanceerd is. Telkens we eengetal extra evalueren verkleint de kans om het zelfde resultaat te bekomen indiende functie gebalanceerd verondersteld wordt (P=1/2). Als we r (r < n/2) getallenevalueren wordt de kans op een rij van dezelfde resultaten P = (1

2)r−1 (de eerste

4.2 Het Algoritme van Deutsch–Jozsa 81

evaluatie mag namelijk 0 of 1 zijn, vandaar r − 1). Via Bayes kunnen we dan deprobabiliteit bepalen op een gebalanceerde functie op voorwaarde we r dezelfderesultaten hebben, de kans op een verkeerd resultaat is:

P (verkeerd) = 1− P (correct) =1

2k−1(2k−1 + 1)(4.4)

wat dus exponentieel daalt met k.

We tonen nu aan dat in het kwantumgeval er slechts een evaluatie van de“black box” operator

Uf |x〉|y〉 = |x〉|y ⊕ f(x)〉 (4.5)

nodig is, waarbij |x〉 =∏ni=1 |yi〉 met |yi〉 = |0〉 of |1〉. Voor de Hadamardpoort

toegepast op 1 qubit geldt formule (4.1):

H|x〉 =∑y

(−1)xy√2|y〉 (4.6)

De Hadamard operatie toegepast op de eerste n qubits wordt dan:

H⊗n|x1x2, . . . , xn〉 =1√2n

∑y1y2,...,yn

(−1)x1y1+x2y2+...+xnyn|y1y2, . . . , yn〉

↔ H⊗n|x〉 =1√2n

∑y

(−1)x·y|y〉 (4.7)

Waarbij x · y = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn modulo 2. Analoog aan het algoritmevan Deutsch kunnen we de inwerking van Uf schrijven als:

Uf |x〉|0〉 − |1〉√

2= (−1)f(x)|x〉|0〉 − |1〉√

2(4.8)

Het blokschema voor het algoritme van Deutsch–Jozsa (figuur 4.2) is analoogaan dat van het algoritme van Deutsch, maar dan toegepast op een (n+1)–qubittoestand (n+1 wegens de toegevoegde qubit waar de functiewaarde van x wordtin opgeslagen).De hierbij uitgevoerde transformaties zijn:

|ψ0〉 −→ H⊗n|0〉H|1〉 = |ψ1〉−→ Ux1x2...xn

f |ψ1〉 = |ψ2〉−→ H⊗n|ψ2〉 = |ψ3〉

Uitgewerkt wordt dit:

|ψ0〉 −→ 1√2n

2n−1∑y=0

(−1)0·y|y〉|0〉 − |1〉√2

(4.9)


Figuur 4.2: Blokschema voor algoritme van Deutsch–Jozsa.

−→ 1√2n

2n−1∑y=0

(−1)f(y)|y〉|0〉 − |1〉√2

(4.10)

−→ 1

2n

2n−1∑y=0

2n−1∑z=0

(−1)f(y)(−1)y·z|z〉|0〉 − |1〉√2

(4.11)

Er zijn nu twee mogelijke meetuitkomsten, naargelang f constant of gebalanceerdis:

1. f constant

∀y f(y) = 0: |ψ3〉 = 12n

∑2n−1z=0

[∑2n−1y=0 (−1)y·z

]|z〉 |0〉−|1〉√

2

∀y f(y) = 1: |ψ3〉 = − 12n

∑2n−1z=0

[∑2n−1y=0 (−1)y·z

]|z〉 |0〉−|1〉√

2

Daarbij wordt∑2n−1y=0 (−1)y·z = 0 doordat de waarde van elke term telkens

tegengesteld is vanwege de sommatie in y: een som in een even aantal paars-gewijze tegengestelde getallen, uitgezonderd als z = 0 (enkel de z = 0 toe-stand blijft dus over!). Dus voor f constant bekomen we de eindtoestand

± 1

2n|0〉⊗n |0〉 − |1〉√

2(4.12)

2. f gebalanceerd

De |z〉 = |0〉⊗n component (of totale toestand ± 12n |0〉⊗n |0〉−|1〉√

2,) van |ψ3〉

wordt in dit geval:

|ψ3〉 =1

2n

2n−1∑z=0

2n−1∑y=0

(−1)f(y)(−1)y·z|z〉|0〉 − |1〉√2

(4.13)

z = 0 → 1

2n

2n−1∑y=0

(−1)f(y)|0〉⊗n |0〉 − |1〉√2

(4.14)

= 0 (4.15)

De probabiliteit op het bekomen van een |0〉⊗n toestand bij een gebalan-ceerde functie is dus 0. Het verkregen resultaat (4.15) toont aan dat deoplossingen evenredig verdeeld zijn.

4.3 Kwantum Fourier Transformatie 83

Indien we dus een meting uitvoeren op de eerste n qubits, zullen we |0〉n bekomenin het geval f constant is. We zullen een ander (6= |0〉n) resultaat hebben als fgebalanceerd is.

Een kwantumcomputer heeft dus slechts een evaluatie nodig waar een klassiekedeterministische computer er 2n−1 + 1 nodig heeft en dus exponentieel meer tijdnodig heeft naarmate de getallen groter worden. Een probabilistische klassiekecomputer heeft echter maar polynomiale tijd nodig om met een goede waar-schijnlijkheid het juiste resultaat te leveren voor dit probleem. Een “perfecte”kwantumcomputer geeft het resultaat al na een evaluatie. We moeten er echterrekening mee houden dat er in praktische toepassingen altijd foutcorrectie zalmoeten gebeuren in het kwantumgeval, wat het algoritme zal vertragen (dochniet exponentieel, zie §4.7).

4.3 Kwantum Fourier Transformatie

Als we een Fourier transformatie op 2n elementen klassiek willen uitvoeren,hebben we een exponentieel stijgend aantal operaties nodig (O(n2n)) voor bij-voorbeeld het Fast Fourier Transform (FFT). Kunnen we nu dit nu efficienteroplossen met een kwantumcomputer? In zekere zin kunnen we dit, maar er iseen caveat aan verbonden: de Fourier getransformeerde uitkomst is namelijk nietdirect toegankelijk. Dus bijvoorbeeld voor spraakherkenning kan men niet de ge-transformeerde amplitudes eenvoudig bekomen. Dit betekent echter niet dat ditnutteloos is! Net zoals een Fourier transformatie indirect vele problemen een-voudiger maakt, zullen we zien in §4.5 dat we een kwantum Fourier algoritme[19] indirect kunnen toepassen om andere problemen zoals factorisatie in priem-factoren efficienter op te lossen.

Stel dat we van de vector |x〉, in binaire representatie |x〉 = x1x2 . . . xN =x12

n−1+x22n−2+. . .+jn2

0, de fourier getransformeerde toestand willen bekomen.Per definitie zal dan de Fourier transformatie in binaire representatie gegevenworden door:

|x〉 −→ 1√2n

2n−1∑y=0

e2πixy/2n|y〉 (4.16)

Om deze te herschrijven in een meer bruikbare vorm, herschrijven we allereerstde exponent in formule (4.16) als:

e2πixy2n |y〉 = e2πi

12n x

∑n

j=0

yj

2j |y1 . . . yn〉 (4.17)

=n∏j=1

e2πi1

2n xyj

2j |yj〉 (4.18)

Ook voeren we de volgende definitie in:

, xkxk+1 . . . xl = xk/2 + xk+1/22 + . . .+ xl/2

k−l+1 (4.19)


Hierbij merken we ook op dat als we de binaire notatie van een getal tot op tgetallen na de komma nemen, φ = (n), φ1φ2 . . . φt met (n) het gehele getal datvoor de komma staat, we dan in het geval van een exponentiele functie e2πiφ

kunnen herschrijven als:

e2πiφ = e2πi(n)e2πi,φ1φ2...φt = e2πi,φ1φ2...φt (4.20)

Daarmee kunnen we dan formule (4.16) herschrijven tot:

|x〉 −→ 1√2n

2n−1∑y=0

e2πixy/2n|y〉 (4.21)

=1√2n

1∑y1=0

. . .1∑

yn=0

n∏j=1

e2πi1

2n xyj

2j |yj〉 (4.22)

=1√2n

n∏j=1

1∑yj=0

e2πi1

2n xyj

2j |yj〉

(4.23)

=1√2n

(|0〉+ e2πi,xn|1〉

) (|0〉+ e2πi,xn−1xn|1〉

). . .(|0〉+ e2πi,x1x2...xn|1〉

)(4.24)

Figuur 4.3: Blokschema van een kwantum Fourier transform met Hadamard-poorten H en controlled operaties Rrs. De SWAP operaties zijn niet afgebeeld.

Nu kan men deze transformatie zeer eenvoudig bekomen door een opeenvol-ging van Hadamardtransformaties H (zie formule 4.1) en controlled operaties Ruit te voeren: het blokschema wordt gegeven in figuur 4.3. Daarbij is de ma-trixvoorstelling van Rrs gegeven door:

Rrs =

(1 0

0 e2πixr/2r−s

)(4.25)

4.4 Fasebepaling van een unitaire matrix 85

De eerste qubit (|0〉+ e2πi.xn|1〉) van formule (4.24) kunnen we namelijk bekomendoor een Hadamard transformatie op de laatste qubit van |x〉 uit te voeren:

|x1 . . . xn−1〉H|xn〉 = |x1 . . . xn−1〉1√2

(|0〉+ e2πi.xn|1〉

)(4.26)

Analoog kunnen we de tweede qubit uit formule (4.24) bekomen door achtereen-volgens een Hadamard H en een conditionele operatie R21 uit te voeren op devoorlaatste qubit van |x〉:

|x1 . . . xn−2〉Rn,n−1H|xn−1〉H|xn〉 (4.27)

=1√2|x1 . . . xn−2〉Rn,n−1

1√2

(|0〉+ e2πi.xn−1|1〉

) (|0〉+ e2πi.xn|1〉

)(4.28)

=1√2|x1 . . . xn−2〉

(|0〉+ e2πi.xn−1e2πixn/2

) (|0〉+ e2πi.xn|1〉

)(4.29)

=1√2|x1 . . . xn−2〉

(|0〉+ e2πi.xn−1.xn

) (|0〉+ e2πi.xn|1〉

)(4.30)

Om dan ten slotte dezelfde vorm als de kwantum Fourier getransformeerde informule (4.24) te bekomen, zal men alle qubits van plaats moeten wisselen doormiddel van SWAP operaties.

Hoe zit het nu met de efficientie van dit algoritme? Op de eerste qubit moetenwe slechts 1 Hadamard toepassen, op de tweede qubit een Hadamard en eencontrolled–R, op de derde een Hadamard en twee controlled–R enz. Dit betekentdus dat er n(n − 1)/2 poorten nodig zijn om deze bewerkingen uit te voeren.Bovendien moeten de qubits nog verwisseld worden (n/2), wat per SWAP oper-atie drie CNOT operaties vergt (of in de implementatie met kwantumdots kanmen deze direct implementeren, zie §3.5.2). Daardoor zullen er een grootteordeO(n2) operaties nodig zijn om het kwantum Fourier transform algoritme te imple-menteren, wat een exponentiele speedup betekent ten opzichte van een klassiekecomputer die er O(n2n) nodig heeft! Wel moet men er rekening mee houden, zoalswe al eerder vermeld hebben, dat we deze kwantum Fourier transformatie nietrechtstreeks kunnen gebruiken, maar wel indirect in bijvoorbeeld de fasebepalingvan een unitaire matrix, dit omdat de amplitudes niet direct meetbaar zijn.

4.4 Fasebepaling van een unitaire matrix

Met behulp van een kwantum Fourier transformatie zullen we nu aantonen datmen de fase van een unitaire matrix kan bepalen op polynomiale wijze. Dezefasebepaling kan op zijn beurt gebruikt worden voor het factorisatie algoritme vanShor (zie volgende §). Met fasebepaling bedoelen we in feite het benaderen van defase φ van de eigenwaarde e2πiφ van een eigenvector |u〉 van een unitaire matrix


U , of met andere woorden het bepalen van de eigenwaarde van een eigenvectorvan een unitaire matrix. Het blokschema voor het algoritme wordt weergegevenin figuur 4.4.

Figuur 4.4: Blokschema van het algoritme voor fasebepaling. Het aantal qubitst die zich initieel in de |0〉 toestand bevinden zullen de nauwkeurigheid van φbepalen.

Daarbij hebben we twee sets van qubits: de eerste set zal bepalen tot op welkenauwkeurigheid we φ willen bepalen, de laatste set is nodig om een eigenvector|u〉 in op te slaan. Allereerst wordt er met behulp van Hadamardtransformaties(zie formule (4.7)) in de eerste set qubits overgegaan naar de superpositiebasis,waarna men een reeks Controlled–U operaties uitvoert. We merken daarbij opdat er in dit geval uitgegaan wordt van “Black Box” operaties die de vector|u〉 kunnen prepareren en de operaties U j kunnen uitvoeren. Dit zullen we laterspecifieren in het geval van het factorisatie algoritme van Shor.

De t–de qubit zal evolueren als:

|0〉|us〉H−→ 1√

2(|0〉+ |1〉)|us〉 (4.31)

C−U2t−1

−→ (|0〉+ U2t−1|1〉)|us〉 (4.32)

= (|0〉+ e2πi(2t−1φ)|1〉)|us〉 (4.33)

Ook merken we op dat we dit terug kunnen herschrijven in binaire expansie metformule (4.20):

2t−1φ = 2t−1(n), φ1φ2 . . . φt (4.34)

= 2t−2(n′), φ2 . . . φt (4.35)

= 2t−3(n′′), φ3 . . . φt (4.36)

4.5 Het Factorisatie algoritme van Shor 87

= (N), φt (4.37)

⇒ e2πi(2t−1φ) = e2πi(N)e2πi,φt = e2πi,φt (4.38)

Na uitvoering van het algoritme zullen we dus de volgende volledige toestandbekomen:

|0〉⊗t|u〉 −→ H⊗t|0〉⊗t|u〉 =1√2t

2t−1∑k=0

|k〉|u〉 (4.39)

−→ 1√2t

(|0〉+ e2πi2

t−1φ|1〉) (|0〉+ e2πi2

t−2φ|1〉). . .(|0〉+ e2πi2

0φ|1〉)

=1√2t

(|0〉+ e2πi.φt|1〉

) (|0〉+ e2πi.φt−1φt|1〉

). . .(|0〉+ e2πi.φ1φ2...φt|1〉

)(4.40)

Deze toestand is nu net de Fourier getransformeerde toestand (formule (4.24)) vande vector |φ〉 tot op t cijfers! Dus als we een inverse Fourier transformatie (kwan-tummechanische schakelingen zijn immers unitair en reversibel) uitvoeren op detoestand (4.40), bekomen we een goede schatting van de fase φ. Aangezien hetfaseschattings algoritme een aanpassing is van een kwantum Fourier algoritme, ishet aantal nodige bewerking eveneens polynomiaal O(n2) en dus efficienter danin het klassieke exponentiele O(n2n) geval.

4.5 Het Factorisatie algoritme van Shor

In de indeling in complexiteitsklassen behoort het factorisatieprobleem tot deNP (Not–Polynomial) klasse: dit is de klasse van problemen die exponentieelmoeilijk zijn om uit te voeren, maar wel eenvoudig zijn om te controleren (zoalshet eenvoudig is een priemfactor te controleren). De klasse P (Polynomial) staatdan voor de klasse van problemen die opgelost kunnen worden in polynomialetijd. Daarbij is duidelijk dat P ⊂ NP, maar een bewijs dat P 6= NP bestaat erechter niet! We zullen op het einde van dit hoofdstuk nog wat dieper ingaan opdit probleem.

Het factorisatieprobleem om een getal te ontbinden in zijn priemfactoren kanin feite herleid worden tot een probleem in de getallentheorie: het vinden vande orde r van een getal x modulo N dat voor klassieke computing even moeilijkis als het factorisatieprobleem: het order finding probleem. We zullen aantonendat we met behulp van kwantumalgoritmes dit wel degelijk efficient kunnen aan-pakken. Het factorisatie algoritme van Shor zal dus exponentieel sneller gaandan een klassieke versie net doordat de kwantum Fourier transformatie expo-nentieel sneller gaat. Er moet opgemerkt worden dat het omgekeerde probleem,gegeven de priemfactoren, het herkennen van deze priemfactoren, eenvoudig is (ofmet andere woorden de oplossing is eenvoudig na te gaan), maar het vinden van


deze priemfactoren niet. Dit wordt bijvoorbeeld toegepast in hedendaagse RSA(Rivest Shamir Adleman) public key cryptografie over het internet. Deze steuntnamelijk op het exponentieel moeilijk zijn van het ontbinden van een groot getalin priemfactoren. Bijvoorbeeld voor het ontbinden van een getal van 500 bits zouop een klassieke computer met het best gekende factorisatie algoritme een ordeaan operaties van

∼ O(e1,9(lnn)1/3(ln(lnn))2/3

) ≈ 1019 (4.41)

verwacht worden, terwijl voor een kwantumcomputer deze taak maar een polyno-miale orde O(n3) aan bewerkingen2 zou kosten (dit is natuurlijk afhankelijk vande operatietijd van de poorten zelf, doch deze kan maar polynomiaal varieren)zonder QEC (QEC zal ook maar voor een polynomiale vertraging zorgen). Hoemoeilijker het probleem, hoe eenvoudiger het wordt voor een kwantumcomputerten opzichte van een klassieke computer.

We bespreken nu eerst het “order finding” probleem. Indien x en N gehelegetallen zijn waarbij x < N , dan is de orde r van een getal x modulo N hetkleinste positieve gehele getal r zodat xr = 1(modN). We kunnen deze orde rnu benaderen als we in het fasebepalings algoritme de volgende unitaire operatorgebruiken:

Ux|y〉 = |xy(modN)〉 voor vaste x (4.42)

Waarbij we onderstellen dat U de identiteit voorstelt als N ≤ y. De bijhorendeeigenvectoren worden dan gegeven door:

|us〉 =1√r

r−1∑j=0

e2πisj

r |xjmod(N)〉 (4.43)

met eigenwaarden:

e2πis

r (4.44)

Dit is eenvoudig na te gaan door Ux te laten inwerken op de toestand |us〉:

Ux|us〉 =1√r

r−1∑j=0

e2πisj

r |xj+1mod(N)〉 (4.45)

=1√r

r∑k=1

e−2πis

r e2πisk

r |xkmod(N)〉 (4.46)

=1√re−

2πisr

r−1∑k=0

e2πisk

r |xkmod(N)〉 (4.47)

= e−2πis

r |us〉 (4.48)

omdat de k = r term equivalent is met de k = 0 term:

xr = 1mod(N) = x0 (4.49)

2Voor het volledige algoritme, exacte bepaling door Kunihiro [109]

4.6 Kwantum Zoekalgoritme 89

Als we dan hetzelfde algoritme uitvoeren als bij de fasebepaling, bepalen wede fase φ = r

s, welke een rationeel getal is omdat r en s gehele getallen zijn, van

de eigenvectoren van U . Uit deze fase rs

kunnen we dan ten slotte r bepalen metbehulp van een klassiek breukexpansie (“continued fractions”) algoritme: dit ishet opsplitsen van een getal x/y in breuken van gehele getallen:

x

y= x0 +

1

x1 + 1x2+ 1

...+xn

(4.50)

wat klassiek al efficient (cf polynomiaal) kan opgelost worden. We kennen φ echtermaar tot op enkele cijfers, maar met behulp van dit “continued fractions” algo-ritme, kan er aangetoond worden [19] dat er een r−2 convergentie is om met eenpolynomiaal aantal L3 operaties getallen s′ en r′ te vinden zodat s′/r′ ≈ s/r.

Ten slotte kan er in de getallentheorie aangetoond worden [19] [20] dat hetfactorisatieprobleem equivalent is met het order–finding probleem, op een ordeO((ln(n))3) klassieke bewerkingen na, waar we niet verder op ingaan aangeziener in dit probleem geen enkele keer het woord “kwantum” voorkomt en de “kwan-tum”dichtheid in deze thesis alsdusdanig te veel zou zakken.

Dit kwantumalgoritme zou in het totaal ruwweg een orde O(n3) bewer-kingen vergen, voor een exacte analyse verwijzen we naar het recente artikelvan Kunihiro [109]. Een operationele kwantumcomputer zou dus de doodsteekvan hedendaagse cryptografie betekenen. Er moet echter niet direct gevreesdworden voor geplunderde bankrekeningen, want met kwantumcommunicatie (bij-voorbeeld EPR Quantum Key Distribution) kan men voor volledig veilige com-municatie zorgen [20]. Of zoals Volker Strassen het zo poetisch verwoordde:

To read our E–mail, how meanof the spies and their quantum machine;be comforted though,they do not yet knowhow to factorize twelve or fifteen.

4.6 Kwantum Zoekalgoritme

Een klassieke zoekopdracht in een database zal, naargelang de ordening, niet zoefficient gebeuren ten opzichte van een kwantum zoekalgoritme. Stel bijvoorbeelddat we over een volledig geordende database beschikken en we zoeken een item x.Het opzoeken zal zeer snel kunnen gebeuren als we telkens in de helft kijken of hetgezochte item in een van de twee helften zit: na n iteraties zullen we een databasevan grootte 2n kunnen doorzocht hebben. Het probleem verandert echter volledigwanneer het over een totaal ongeordende database gaat. Om bijvoorbeeld eenitem te vinden tussen 4 andere, zal men het de ene keer direct vinden, anderekeren na 2 of 3 items te hebben gecontroleerd. Dit betekent dus dat er in dit


geval gemiddeld (1 + 2 + 3 + 3)/4 = 9/4 iteraties moeten gebeuren. We merkenop dat dit probleem ook kan aanzien worden als het zoeken van de kortste wegtussen twee punten in bijvoorbeeld een stad.

Hoe kunnen we dit nu wiskundig vertalen? Bij het overlopen van de items vande database, construeren we een “black box” operator die bepaalt of het onder-zochte item x al dan niet overeenkomt met het gezochte item a: f(x) = 0 indienx 6= a en f(x) = 1 indien x = a. Dit kunnen we in kwantummechanische ter-men, oorspronkelijk ingevoerd door Grover in 1997 [19] [20] [95], als een unitaireoperatie implementeren op een superpositie van toestanden:

U : |x〉|y〉 −→ |x〉|y ⊕ f(x)〉 (4.51)

waarbij de 1–qubit toestand |y〉 verandert als f(x) = 1. Nemen we nu voor de

1–qubit toestand |y〉 de superpositietoestand |0〉−|1〉√2

, dan zullen we uiteindelijk

bekomen dat de fase van de toestand |y〉, dus ook van de totale toestand |x〉|y〉,afhankelijk is van het resultaat van f(x) (met andere woorden de fase van detoestand |x〉 zal afhangen van het al dan niet corresponderen van het onderzochteitem x met het gezochte item a):

|x〉|0〉 − |1〉√2

−→ (−1)f(x)|x〉|0〉 − |1〉√2

(4.52)

Aangezien we dit kunnen zien als een verandering van de toestand |x〉 waarbijhet teken enkel verandert als x = a, kunnen we de bewerking reduceren tot eenoperatie Ua:

Ua : |x〉 −→ (−1)f(x)|x〉 (4.53)

Ua = 1− 2|a〉〈a| (4.54)

Voor het eigenlijke algoritme vertrekken we van de n–qubit (N = 2n) superposi-tietoestand

|s〉 =1√N

N−1∑x=0

|x〉 (4.55)

welke kan bekomen worden door op elke qubit apart een Hadamard operatie uitte voeren. Naast de niet gekende “black box” operatie Ua definieren we ook nogeen gekende operatie Us:

Us = 2|s〉〈s| − 1 (4.56)

Deze operatie verandert het teken van elke vector orthogonaal met |s〉, maar laat|s〉 zelf onveranderd. Als we een algemene toestandsvector |ψ〉 ontbinden in decomputationele basis als

|ψ〉 =∑x

cx|x〉 (4.57)

4.6 Kwantum Zoekalgoritme 91

dan kunnen we de inwerking van Us beschrijven als:

Us|ψ〉 =∑x

2cx|s〉〈s|x〉 − cx|x〉 (4.58)

=∑x

2cx1√N|s〉 − cx|x〉 (4.59)

= 2√N〈c〉|s〉 −

∑x

cx|x〉 (4.60)

=∑x

(2〈c〉 − cx) |x〉 (4.61)

waarbij we het gemiddelde van de coefficienten 〈c〉 = 1N

∑x cx gesteld hebben.

Dit betekent dus dat indien de coefficienten van |x〉 vooraf cx − 〈c〉 waren, dezegeınverteerd worden door Us:

Us : cx − 〈c〉 −→ 〈c〉 − cx (4.62)

Een Grover iteratie wordt nu opgebouwd door G = UsUa, een zo’n iteratie is danuitgewerkt:

UsUa|s〉 = Us (|s〉 − 2|a〉〈a|s〉) (4.63)

= Us

(1√N

∑x

|x〉 − 2√N

∑x

|a〉〈a|x〉)

(4.64)

= Us

(1√N

∑x

|x〉 − 2√N

N

(∑x

ax

)|a〉)

(4.65)

= Us(|s〉 − 2

√N〈a〉|a〉

)(4.66)

= |s〉 − 4√N〈a〉|s〉〈s|a〉+ 2

√N〈a〉|a〉 (4.67)

= |s〉 − 4〈a〉2|s〉+ 2√N〈a〉|a〉 (4.68)

=1√N

[1− 4〈a〉2N

]∑x 6=a

|x〉+

[1√N− 4

√N〈a〉2 + 2

√N〈a〉

](4.69)

Hiervoor zien we, als we terug het geval N = 4 beschouwen, dan is de gemiddeldewaarde van a:

〈a〉 =1√N

(1− 2

N

)(4.70)

⇒ N = 4 : 〈a〉 =1

4(4.71)

Waardoor dus de amplitude van de gezochte toestand |a〉 in formule (4.69) al naeen iteratie 1 is! Dit betekent dat om de gezochte toestand |a〉 te vinden in eenongeordende database van 4 objecten, er met een kwantumalgoritme slechts 1iteratie nodig is, daar waar er klassiek gemiddeld 9/4 nodig waren.


Figuur 4.5: Rotatie van de vector |s〉 bij een Groveriteratie G = UsUa. De hoek θvan |s〉 met |a⊥〉 neemt toe met 2θ bij elke iteratie.

In het algemene geval van een database van N objecten, kunnen we dit een-voudiger behandelen aan de hand van het geometrische analogon van de iteraties.De bewerking Ua op een algemene toestandsvector ψ kunnen we bijvoorbeeld zienals een spiegeling van de component van ψ langs de vector a in zijn tegengestelde.Als we de hoek tussen de twee toestanden |s〉 en |a〉 π/2 − θ stellen, dan is|〈a|s〉| = sin(θ) = 1/

√N (uit formule (4.55)). Voor grote N betekent dit dat

θ ≈ 1√N

. Elke Grover iteratie van G zorgt dus voor een rotatie over 2θ (zie figuur

4.5), zodat de hoek met |a⊥〉 (deze staat loodrecht op |a〉) na k rotaties gegevenwordt door θ+ k2θ. Om dan de probabiliteit op het vinden van de gezochte toe-stand |a〉 zo hoog mogelijk te maken, roteren we k maal totdat de uiteindelijketoestand een hoek van 90◦ maakt met |a⊥〉:

θ + k2θ ≈ 1√N

+2k√N≈ π

2(4.72)

Waaruit volgt dat het aantal nodige iteraties k schaalt volgens k ∼√N , daar

waar in het klassieke geval het aantal iteraties stijgt volgens N . Een kwantum-zoekalgoritme zorgt dus voor een kwadratische speedup! Het kwantumzoekalgo-ritme kan dus voor een speed–up van bepaalde NP problemen zorgen, namelijkdeze waarvoor gewoon gezocht wordt naar de beste oplossing.

4.7 Quantum Error Correction (QEC)

Voordat QEC in 1995 geıntroduceerd werd, nam men aan dat kwantumcom-puting nooit een kans op slagen had: door decoherentie zouden de toestanden

4.7 Quantum Error Correction (QEC) 93

niet behouden blijven en met random bits kan men ook niets aanvangen. Menkon ook niet gewoon de toestanden kopieren en dan binnen de decoherentie-tijd de berekening heruitvoeren wegens het no–cloning theorema: een algemenekwantummechanische toestand kan slechts in uitzonderlijke gevallen gekopieerdworden (zie appendix A.3).

Stel dat we een willekeurige fout krijgen op een toestand |ψ〉, deze kunnen wedan beschrijven als:

|ψ〉 −→ |ψ〉+ iεxσx|ψ〉+ iεyσy|ψ〉+ iεzσz|ψ〉 (4.73)

Waarbij σi de Pauli matrices zijn. Daarbij kunnen we nu de inwerking van σxzien als het verwisselen van de bits van toestand |ψ〉:

σx|ψ〉 =

(0 11 0

)(ψ0

ψ1

)=

(ψ1

ψ0

)(4.74)

wat dus met andere woorden een bitflip is. Analoog kunnen we de inwerking vanσz zien als een faseflip van toestand |ψ〉:

σz|ψ〉 =

(1 00 −1

)(ψ0

ψ1

)=

(ψ0

−ψ1

)(4.75)

Ten slotte kan σy als het product van een bitflip (σx) en een faseflip (σz), op eenglobale fasefactor na, geschreven worden:

σy|ψ〉 =

(0 −ii 0

)(ψ0

ψ1

)= −i

(ψ1

−ψ0

)(4.76)

Daaruit kunnen we besluiten dat we een willekeurige continue fout kunnen her-leiden tot bitflips en faseflips. In de volgende paragrafen behandelen we hoe wedeze kunnen tegengaan.

4.7.1 Bitflips

Bij klassieke bits kunnen bitflip fouten eenvoudig tegengegaan worden doorgewoonweg de initiele toestand enkele malen te kopieren en daarop dan dezelfdebewerkingen uit te voeren. Een algemene kwantummechanische toestand kan menechter slechts in uitzonderlijke gevallen kopieren: enkel orthogonale kwantumme-chanische toestanden kunnen gekopieerd worden.

In het algemene geval van een kleine bitflip fout hebben we dat de toestandvan een bit verandert in zijn tegengestelde met een waarschijnlijkheid ε2:

|0〉 −→ 1√1 + ε2

(|0〉+ ε|1〉) (4.77)

|1〉 −→ 1√1− ε2

(|0〉 − ε|1〉) (4.78)


Hoe kunnen we dit probleem nu oplossen? Allereerst zullen we de toestandencoderen in meer qubits: de orthogonale toestanden |0〉 en |1〉 zullen we bijvoor-beeld uitbreiden tot respectievelijk |000〉 en |111〉 wat kwantummechanisch weltoegelaten is. Elk van de individuele qubits heeft dan een waarschijnlijkheid ε2

om te veranderen, terwijl een gezamenlijke bitflip van twee verschillende qubitseen veel kleinere waarschijnlijkheid ε4 heeft welke we zullen verwaarlozen. Doorde storing zullen dus de oorspronkelijke toestanden veranderen in:

|000〉 −→ 1√1 + 3ε2

(|000〉+ ε|100〉+ ε|010〉+ ε|001〉) (4.79)

|111〉 −→ 1√1 + 3ε2

(|111〉+ ε|011〉+ ε|101〉+ ε|110〉) (4.80)

We mogen nu echter geen klassieke majoritairen regel toepassen: als we de qubitszouden meten, zou er collapse van een superpositie a|0〉 + b|1〉 kunnen optredenwaardoor we niet meer de oorspronkelijke toestand hebben! Om de oorspronke-lijke toestand te reconstrueren mogen we echter wel een operator toepassen waar-van deze toestand een eigentoestand is. Onder inwerking van de operator veran-dert de toestand dan niet. Een voorbeeld van zo’n operator is het syndroomS = (y ⊕ z, x⊕ z) waarbij ⊕ de bitsgewijze optelling is modulo 2. Als we dan Smeten, zullen we naargelang welke bit geflipt is een ander resultaat bekomen:

S|000〉 = (0, 0) met P = 1− 3ε2 (4.81)

S|100〉 = (0, 1) met P = ε2 (4.82)

S|010〉 = (1, 0) met P = ε2 (4.83)

S|001〉 = (1, 1) met P = ε2 (4.84)

Naargelang de uitkomst van het syndroom S weten we welke bit er geflipt is enkunnen we dus de oorspronkelijke toestand reconstrueren. Het resultaat van demeting geeft namelijk in binaire schrijfwijze aan welke bit geflipt is.

4.7.2 Faseflips

Analoog als bij foutcorrectie van bitflips, waar de bits gecodeerd worden inmeerdere bits, zullen we voor de correctie van faseflips de fases coderen inmeerdere fases van bits. We merken op dat een faseflip enkel bij kwantumcom-puting optreedt, want bij klassieke computing zijn superpositietoestanden zoals1√2(|0〉+ |1〉) immers onbestaande. Indien er nu een faseflip in zo’n superpositie-

toestand optreedt, zal deze veranderen in zijn orthogonale toestand 1√2(|0〉−|1〉)!

Echter in plaats van te coderen in 3 qubits, kunnen we voor het tegengaan vanfaseflips bijvoorbeeld een 9 qubit code gebruiken [19] [20]. Daarbij coderen we debasistoestanden |0〉 en |1〉 in drie sets van 3 qubits, dus in 9–qubit toestanden:

|0〉 −→ 1√23

(|000〉+ |111〉) (|000〉+ |111〉) (|000〉+ |111〉) (4.85)

4.8 Kwantumsimulatie 95

|1〉 −→ 1√23

(|000〉 − |111〉) (|000〉 − |111〉) (|000〉 − |111〉) (4.86)

Door deze codering kunnen we aan de hand van de methode beschreven in §4.7.1naast faseflips ook bitflips corrigeren door het syndroom S toe te passen op de 3–qubit toestanden. Indien er nu een faseflip optreedt in een qubit van de gecodeerdetoestanden, zal een van de sets van 3 qubits welke elk in een superpositietoestandzijn, wijzigen en in een andere fasetoestand zijn dan de andere twee sets van 3qubits:

|000〉+ |111〉 −→ |000〉 − |111〉 (4.87)

|000〉 − |111〉 −→ |000〉+ |111〉 (4.88)

Als we nu de relatieve fase van elke set van 3 qubits zouden meten, zouden wezorgen voor collapse van de toestand. We passen dus opnieuw een operator toewaarvan alle toestanden eigentoestanden zijn. Indien we nu een 6–qubit bitflipoperator toepassen op telkens 2 sets van 3 qubits, kunnen we te weten komenwaar de faseflip is opgetreden: deze operator flipt alle bits waarop hij inwerktwaardoor er mintekens optreden afhankelijk van de initiele superpositietoestand:

(|000〉+ |111〉) (|000〉+ |111〉) −→ (|000〉+ |111〉) (|000〉+ |111〉) (4.89)

(|000〉 − |111〉) (|000〉+ |111〉) −→ − (|000〉 − |111〉) (|000〉+ |111〉) (4.90)

(|000〉+ |111〉) (|000〉 − |111〉) −→ − (|000〉+ |111〉) (|000〉 − |111〉) (4.91)

(|000〉 − |111〉) (|000〉 − |111〉) −→ (|000〉 − |111〉) (|000〉 − |111〉) (4.92)

Door de drie mogelijke paren dan te meten, kunnen we bepalen in welke 3–qubitsuperpositietoestand de faseflip is opgetreden en kunnen we door een unitairetransformatie de oorspronkelijke toestand reconstrueren.

In deze korte bespreking van QEC werd er geen rekening gehouden met mo-gelijke fouten bij het uitvoeren van de metingen of hoe we juist bewerkingenuitvoeren op gecodeerde informatie. Voor een meer uitgebreide studie van Quan-tum Error Correcting codes, verwijzen we naar [19] en [20].

4.8 Kwantumsimulatie

Een laatste toepassing van kwantumcomputing die we bespreken is het simulerenvan kwantummechanische systemen. Nu is kwantumcomputing oorspronkelijkontstaan uit het idee, voorgesteld door Manin [4] in 1980 en onafhankelijk doorFeynman in 1982 [7], dat een kwantummechanisch systeem veel beter geschiktzou zijn om een kwantumcomputer te simuleren dan een klassieke computer.

Wat willen en kunnen we dan efficient simuleren met een kwantumcompu-ter? Het probleem is in feite het oplossen van een stelsel differentiaalvergelij-kingen, vertrekkende van een begintoestand, bijvoorbeeld de wet van Newton of


de Maxwellvergelijkingen,

F =d

dx

(mdx

dt

)(4.93)

∇×B = µ0J + ε0µ0∂E

∂t(4.94)

Deze kunnen in bepaalde gevallen klassiek efficient opgelost worden via pertur-batierekening, maar lang niet altijd. Hoe zit het dan met kwantummechanischesystemen welke we algemeen kunnen beschrijven door een Schrodinger vergelij-king van de vorm:

ihd

dt|ψ〉 = H|ψ〉 (4.95)

ih∂

∂t|ψ〉 =

[− 1

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]|ψ〉 (4.96)

Daarbij is het fundamentele verschil met een klassiek stel differentiaalvergelij-kingen dat het aantal differentiaalvergelijkingen exponentieel stijgt met het aantalqubits! Om bijvoorbeeld drie qubits te beschrijven zal men 23 = 8 klassieke dif-ferentiaalvergelijkingen moeten oplossen (cf §2.2: het is exponentieel moeilijk omkwantummechanische toestanden te kunnen beschrijven met klassieke getallen).Een voorbeeld van zo’n Hamiltoniaan is de Heisenberg spinhamiltoniaan welke weeerder al gebruikt hebben in §3.5.2 om de interacties tussen de spins te beschri-jven:

H(t) =∑i,j

Jij(t)Si · Sj (4.97)

Intuıtief kan men inzien dat een kwantumcomputer kwantummechanische syste-men moet kunnen simuleren: een evolutie van een kwantummechanisch systeem isimmers een unitaire evolutie, en als we teruggrijpen naar §2.5.3 kunnen we inziendat we met bijna elke arbitraire 2–qubit interactie U = eiA, met eigenwaardeneiθj waarbij θj geen rationeel veelvoud zijn van π, de n–dimensionale torus dichtkunnen bedekken. Met andere woorden we kunnen elke unitaire evolutie arbitrairbenaderen met bijna elke willekeurige 2–qubits interactie! Hoe kunnen we ditnu concreet gebruiken bij kwantumsimulatie? Stel dat we met een Hamiltoniaanzoals in formule (4.97) te maken hebben die opgesplitst kan worden in een somvan Hamiltonianen welke lokale interacties beschrijven:

H =∑k

Hk (4.98)

Daardoor kan dan de oplossing van de Schrodinger vergelijking i ddt|ψ〉 = H|ψ〉

geschreven worden als:

|ψ(t)〉 = e−iHt|ψ(t = 0)〉 = e−i∑

kHk |ψ(t = 0)〉 (4.99)

4.8 Kwantumsimulatie 97

Dit is in het algemeen een ingewikkelde vergelijking om op te lossen naarmateer meer deeltjes zijn waartussen er interacties zijn: het nemen van de exponentvan bijvoorbeeld een 2n× 2n matrix is slechts in eenvoudige gevallen gemakkelijkoplosbaar. Bovendien kunnen we algemeen niet de som in de exponent schrijvenals een product ∏

k

e−iHk (4.100)

want normaal gezien zal de totale Hamiltoniaan H niet met de lokale interactieHamiltonianen Hk commuteren! We zullen dus de oplossing moeten benaderen,dit kunnen we tot op arbitraire nauwkeurigheid door het tijdsinterval t op tedelen in j intervallen ∆t = t/j en op te merken dat we de exponent van een somvan matrices kunnen benaderen als:

ei(A+B)∆t =∞∑n=0

1

n!ik(A+B)n

(tn

jn

)(4.101)

eiA∆t/2 =∞∑u=0

1

u!(iAt/2)u

1

ju(4.102)

eiB∆t =∞∑v=0

1

v!(iAt)v

1

jv(4.103)

eiA∆t/2eiB∆teiA∆t/2 =

( ∞∑u=0

1

u!(iAt/2)u

1

ju

)( ∞∑v=0

1

v!(iAt)v

1

jv

)( ∞∑w=0

1

w!(iAt/2)w

1

jw

)

=

( ∞∑x=0

1

jx1

x!ix(A/2 +B)xtx

)( ∞∑w=0

1

w!(iAt/2)w

1

jw

)

=∞∑y=0

1

jy1

y!iy(A+B)yty (4.104)

Waaruit dan volgt dat indien we de tijdsintervallen ∆t oneindig klein maken (ofdus j →∞):

limj→∞

(eiA∆t/2eiB∆teiA∆t/2

)j= lim

j→∞

j∑y=0

1

jy1

y!iy(A+B)yty (4.105)

= ei(A+B)t (4.106)

Dit betekent dat we tot op arbitraire nauwkeurigheid de exponent van de totaleHamiltoniaan H = A + B kunnen benaderen door zo veel mogelijk successieveiteraties eiA∆t/2eiB∆teiA∆t/2 toe te passen op de begintoestand. We merken opdat we deze iteratie gebruiken en niet eiA∆teiB∆t omdat er bij een eindig aantaliteraties voor de vorm eiA∆teiB∆t een grotere onnauwkeurigheid optreedt [19].Concreet kunnen we dit illusteren met een Hamiltoniaan die een deeltje in een1–dimensionele potentiaalput V (x) beschrijft:

H =p2

2m+ V (x) = H1 +H0 (4.107)


Indien we dan de evolutie van de toestandsvector |ψ(t)〉 = e−iHt|ψ(t = 0)〉 willenbepalen, moeten we de voorgaande benadering toepassen want H1 en H0 com-muteren in het algemeen niet. Bovendien werken x en p in een toegevoegde basis,op een Fourier transformatie na. Bijvoorbeeld als we de begintoestand ontbindenin de x basis, kunnen we eenvoudig e−iV (x) = e−iH0 bepalen maar moeten weeen Fourier Transformatie (welke besproken werd in §4.3)) toepassen om e−iH1 tebepalen:

e−ip2

2m∆t = UFT e

−i x2

2m∆tU †

FT (4.108)

De totale evolutie kunnen we dan benaderen door een iteratie uit te voeren vande twee exponentielen:

|ψ(t)〉 ≈ limj→∞

(e−iV (x) t

j/2UFT e

−i x2

2mtjU †

FT e−iV (x) t

j/2)j

(4.109)

We merken hierbij wel op dat er met behulp van probabilistische “QuantumMonte Carlo” technieken zeer goede resultaten bekomen worden voor veeldeel-tjessystemen, waarbij de computationele tijd polynomiaal toeneemt met N2 bijbijvoorbeeld het Hirsh algoritme, maar daarbij kunnen wel problemen ontstaandie zorgen voor een exponentiele groei in het aantal bewerkingen voor groteresystemen bij lage temperaturen. We verwijzen voor deze en efficientere klassiekealgoritmes naar onder andere Rubtsov [107] en Rombouts et al. [108].

4.9 Is Kwantum nu beter dan Klassiek?

Wat kunnen we nu besluiten uit deze kwantumalgoritmes? Als we naar deklassieke computerwetenschappen kijken, komen we onvermijdelijk terecht bij deChurch–Turing theses [111]:

Church–Turing these: Als een algoritme kan uitgevoerd wordenop een willekeurige deterministische computer, dan bestaat er eenequivalent algoritme, hoogstens polynomiaal in efficientie verschillendvoor een universele Turing machine.

Sterke Church–Turing these: Elke vorm van computing kan ge-simuleerd worden op een probabilistische Turing machine, waarbij erten hoogste een polynomiaal verschil is in het benodigde aantal ele-mentaire bewerkingen.

Een Turing machine is een soort “universele” computer, waarvoor Turing in 1936aantoonde [25] [97] [111] dat het elke deterministische computer en alle algoritmesefficient (dus maximaal polynomiaal verschillend) kan simuleren. Indien we echtermet een probabilistische computer werken, kunnen er algoritmes gevonden worden

4.9 Is Kwantum nu beter dan Klassiek? 99

die niet beantwoorden aan de gewone Church–Turing these: bepaalde probabilis-tische algoritmes kunnen niet efficient gesimuleerd worden op een deterministischeTuring machine. Nu blijkt dat een kwantumcomputer en kwantumalgoritmes ookbuiten deze sterke Church–Turing these vallen!3 Want uit bepaalde van de voor-gaande algoritmes en andere (zoals het “Travelling Salesman” probleem) blijktdat er geen klassieke even efficiente tegenhangers zijn. Men moet er echter wel re-kening mee houden dat het niet eenvoudig is om dit aan te tonen: het is gemakke-lijk om klassieke totaal inefficiente tegenhangers te vinden, maar strikte bewijzenblijken zeer moeilijk. Bijvoorbeeld voor het factorisatieprobleem bestaat er geenstrikt bewijs dat er met klassieke computing geen sneller dan exponentieel algo-ritme bestaat. Bij andere zoals het “Travelling Salesman” probleem bestaan dezewel, maar er is wel nog geen exponentieel sneller kwantum algoritme! Alles wijster echter op dat men wel degelijk kan stellen dat kwantumcomputing tot eenandere klasse behoort en bijgevolg kwantumcomputing inherent superieur blijktaan klassieke computing! In feite is een klassieke computer zelfs een speciaal gevalvan een kwantumcomputer, bijvoorbeeld een kwantumcomputer kan eenvoudigeen probabilistische klassieke computer simuleren: als we uitgaan van een toe-stand |0〉 en daarop een Hadamardtransformatie uitvoeren waarna we een metinguitvoeren, produceren we een random bit. Omgekeerd kan een probabilistischeklassieke computer niet eenvoudig een kwantumcomputer simuleren.

Voor een verdere discussie omtrent complexiteitsklassen en kwantuminfor-matietheorie verwijzen we naar [19] en [20].

3Al is er tot nu toe nog geen formeel bewijs geformuleerd hiervoor.

Hoofdstuk 5

Besluit

We besluiten deze thesis met een overzicht van zowel de praktische als de theo-retische kant van kwantumcomputing met kwantumdots.

Een bruikbare 100–qubits kwantumcomputer gebaseerd op kwantumdots zalzeker nog niet voor de eerstvolgende jaren zijn, maar de toekomst ziet er desal-niettemin zeer rooskleurig uit.

Allereerst biedt de implementatie met kwantumdots een heel goede schaal-baarheid, wat een zeer grote vereiste is om eigenlijke kwantumcomputers te kun-nen bouwen. Ook is het mogelijk om universele kwantumcomputing uit te voerenen zal door middel van Quantum Point Contacts de uitlezing voor geen proble-men zorgen. De initialisatie van de begintoestand is eveneens al nagegaan en blijktmogelijk. Eveneens kan deze vaste stof implementatie steunen op een zeer grotevoorkennis van halfgeleidersystemen. Omgekeerd heeft onderzoek naar kwantum-dots ook al veel bruikbaar materiaal opgeleverd voor de vaste stoffysica in hetalgemeen, zoals kwantisatie van de spin–baan koppeling of onderzoek naar hetKondo effect!

Er zijn natuurlijk wel nog punten waar er problemen kunnen optreden, en eenimplementatie is maar zo sterk als zijn zwakste schakel. Een eerste probleem blijktbijvoorbeeld de decoherentietijd, welke redelijk klein kan zijn ten opzichte van deoperatietijd, van de elektronenspins ten gevolge van de omgevende kernspins.Toch blijkt uit experimenteel werk dat dit zou kunnen opgelost worden doorexterne magneetvelden aan te leggen of door de kernspins te polariseren. Verderonderzoek naar alle verschillende decoherentiemechanismen is zeker nog nodig,maar niets duidt er op dat men op fysisch onoverkomenlijke obstakels zou stuiten.Een tweede klein probleem zou de initialisatie– en uitlezingstijden kunnen zijn:deze zijn in bepaalde gevallen betrekkelijk groot ten opzichte van bijvoorbeeldde operatietijden, maar een feitelijk obstakel is dit niet. Men kan bijvoorbeeldgewoon zorgen voor een toevoer van zuivere begintoestanden, terwijl de uitlezingenkel maar een maal moet gebeuren. Wat ook nog verder onderzoek vereist, ishet experimenteel uitvoeren van ESR om de toestanden te beınvloeden: als deg factoren in de kwantumdots en de reservoirs (welke voor de aanvoer/afvoer

101

van elektronen zorgen) dezelfde zouden zijn, wordt de spinpopulatie in beidehetzelfde beınvloed, wat tot complicaties zou kunnen leiden. Er blijkt wel datde g factoren zouden verschillen [110], maar ook hier zal verder onderzoek nodigzijn. Natuurlijk kan men maar onderzoek doen naar qubitbewerkingen als men dedecoherentietijd eerst goed genoeg bepaald en geoptimaliseerd heeft. Ten slotte iser experimenteel enkel onderzoek verricht met twee kwantumdots, bij het schalennaar grotere aantallen kunnen er nog onverwachte complicaties optreden.

Wat betreft de algoritmes op zich, is reeds duidelijk aangetoond dat kwan-tumcomputing de toekomst betekent om klassiek moeilijke problemen efficienterop te lossen, bijvoorbeeld in het vakgebied van moleculaire modellering zoudenexponentieel snellere kwantumsimulatie algoritmes een godsgeschenk zijn. Uitde besproken kwantumalgoritmes blijkt ook dat kwantumcomputers inherent ef-ficienter kunnen zijn dan klassieke computers, wat dus in strijd zou zijn met desterke Church–Turing these uit de informatietheorie!

Ook in de meer alledaagse computing zou kwantumcomputing zijn nutkunnen bewijzen in bijvoorbeeld zoekalgoritmes. Het opstellen van klassiekealgoritmes is op zich al geen eenvoudige bezigheid, laat staan om een probleem,door de bijkomende abstracte vorm ervan, in een efficient kwantumalgoritme omte vormen: hierdoor kan men niet echt weten waar men in de toekomst met dekwantumalgoritmes zal staan. Wel is het een empirisch vaststaand gegeven dathet schrijven (en het lezen) van een thesis nooit exponentieel zal versnellen, alzou dit natuurlijk tot ieders verbeelding spreken.

Alles samengenomen is de kwantumdot implementatie momenteel een van demeestbelovende modellen voor een kwantumcomputer. Indien dit niet zo zou zijn,zal onderzoek in deze discipline toch een helpende hand in de vaste stoffysica ofeen andere implementatie geweest zijn want

“If we knew what it was we were doing, it would not be called research,would it?” – A. Einstein

Bijlage A

Kwantuminformatie: definities enbegrippen

A.1 Elementaire poorten

De matrixrepresentaties van de eenvoudigste transformaties, respectievelijk dedrie Paulimatrices (σx,σy,σz), Hadamardpoort H, fasepoort S, π

8, Controlled not

CNOT, SWAP en Toffolipoort die we gebruiken zijn dan in deze basis

|0〉 = | ↑ 〉 =

(10

); |1〉 = | ↓ 〉 =

(01

)(A.1)

σx =

(0 11 0

)(A.2)

σy =

(0 −ii 0

)(A.3)

σz =

(1 00 −1

)(A.4)

H =1√2

(1 11 −1

)(A.5)

S =

(1 00 i

)(A.6)

π

8=

(1 00 eiπ/4

)(A.7)

CNOT =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

(A.8)

A.1 Elementaire poorten 103

SWAP =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

(A.9)

Toffoli =

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0

(A.10)

(A.11)

Daarbij kan de Hadamardpoort gezien worden als het veranderen van basis naarde superpositiebasis 1√

2(|0〉+ |1〉), 1√

2(|0〉−|1〉). De π

8poort is een rotatie over π/4

rond de z–as. SWAP werkt in op twee qubits en verandert de informatie vanbeide. De Toffoli poort ten slotte werkt in op drie qubits, waarvan er twee dienenals control qubit om een NOT operatie op de derde uit te voeren.

Verder gelden er nog de volgende (anti)commutatie relaties voor de Paulimatrices(met εijk het Levi–Civita symbool):[

σk, σl]

= 2i∑m

εklmσm (A.12){

σi, σj}

= 0 (A.13)

Een algemene rotatie over een hoek θ rond een as met eenheidsvector x =(x, y, z) kan geschreven worden als:

Rx = e−iθx·σ = cos (θ)I − i sin (θ)(xσx + yσy + zσz) (A.14)

A.1.1 SWAP en√

SWAP operatie

De matrixvoorstelling van een SWAP is

Usw =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

(A.15)

Deze operatie verwisselt de kwantumtoestand van twee qubits:

|a〉|b〉 −→ |b〉|a〉 (A.16)

104 Kwantuminformatie: definities en begrippen

We willen nu de matrixrepresentatie van√

SWAP =√Usw trachten te vin-

den, waarvoor we eerst Usw moeten diagonaliseren. Om een bewerking uit te voe-ren op (de matrixrepresentatie van) een operator, moeten we namelijk de matrixschrijven in diagonaalvorm met eigenvectoren |ψi〉 en bijhorende eigenwaardenai:

U =∑i

ai|ψi〉〈ψi| (A.17)

en voeren we de bewerking uit op de eigenwaarden ai:

√U =

∑i

√ai|ψi〉〈ψi| (A.18)

Diagonalisatie van de centrale binnenste 2× 2 matrix levert de eigenvectoren E1

en E−1 met eigenwaarden 1 en −1:

E1 =1√2

(11

)(A.19)

E−1 =1√2

(1−1

)(A.20)

Waardoor we ten slotte voor de matrixrepresentatie van de√Usw operatie krijgen:

√Usw =

1 0 0 00 1+i

21−i2

00 1−i

21+i2

00 0 0 1

(A.21)

A.2 Entropie

In de klassieke en kwantum informatietheorie zijn respectievelijk de Shannon en-tropie en de Von Neumann entropie van belang [19] [20]. De Shannon entropiekan gezien worden als een maat voor het “teveel” aan informatie die een bood-schap draagt: de Shannon entropie duidt aan hoeveel bits er nodig zijn om eenboodschap te kunnen overbrengen. De bijhorende entropiefunctie wordt gegevendoor:

H(p) = −p log(p)− (1− p) log(1− p) (A.22)

Om bijvoorbeeld een teveel aan informatie te verminderen, kunnen aan bepaaldebitstrings kortere strings geassocieerd worden waardoor er in het totaal maareen orde 2nH(p) strings nodig zijn met een lengte nH(p). Aangezien 0 ≤ p ≤ 1 zal0 ≤ H(p) ≤ 1 en zal er altijd een efficientere codering kunnen gebeuren zolangp 6= 1/2 (bij p = 1/2 zijn alle bits namelijk random). Omgekeerd kan men deShannon entropie H(X) ook zien als het aantal bits dat gemiddeld nodig is omde informatie te coderen, dus met andere woorde de hoeveelheid informatie die

A.3 No–cloning theorema 105

men verkrijgt als men een string trekt uit een ensemble X.

De analoge kwantumversie van de entropie van een systeem met dichtheids-matrix ρ wordt gegeven door de Von Neumann entropie [19] [20]:

S(ρ) = −tr(ρ log(ρ)) (A.23)

De Von Neumann entropie staat eveneens voor de minimale informatie die ernodig is om de kwantumtoestand te beschrijven. Dit betekent dat voor bijvoor-beeld een volledig random ensemble de entropie maximaal is en er geen coderingkan gebeuren waarbij minder qubits nodig zijn. Bij een zuivere toestand is deentropie 0.

A.3 No–cloning theorema

We tonen hier aan dat het onmogelijk is (behalve in speciale gevallen) een kwan-tummechanische toestand exact te kopieren. Onderstel namelijk dat er een uni-taire transformatie bestaat die een toestand |ψ1〉|φ〉 omzet volgens

U |ψ1〉|φ〉 = |ψ1〉|ψ1〉 (A.24)

en dus een kopie maakt van de toestand |ψ1〉. Dit betekent dat een toestand|ψ2〉 eveneens gekopieerd kan worden. Wat gebeurt er dan met een superpositie|Ψ〉 = c1|ψ1〉+c2|ψ2〉 van deze twee toestanden? Als we enerzijds de transformatieU uitvoeren op |Ψ〉|φ〉, verwachten we als eindtoestand |Ψ〉|Ψ〉. Indien we detoestand |Ψ〉 echter uitschrijven, dan krijgen we:

U |Ψ〉|φ〉 = U(c1|ψ1〉+ c2|ψ2〉)|φ〉= U(c1|ψ1〉|φ〉+ c2|ψ2〉|φ〉)= c1|ψ1〉|ψ1〉+ c2|ψ2〉|ψ1〉6= |Ψ〉|Ψ〉 = (c1|ψ1〉+ c2|ψ2〉)(c1|ψ1〉+ c2|ψ2〉). (A.25)

Hieruit volgt dat we een algemene kwantummechanische toestand niet kunnenkopieren.

Bijlage B

Andere fysischekwantumcomputerimplementaties

We bespreken hier kort nog enkele andere populaire fysische implementaties vaneen kwantumcomputer.

B.1 Liquid NMR

De liquid NMR implementatie [12] is gebaseerd op kernspins in molecules alsverstrengelde qubits. Deze kernspins interageren met elkaar via de chemischebindingen van de molecule waarin ze vervat zitten. Externe elektromagnetischepulsen kunnen dan de spins zelf beınvloeden. Bij deze implementatie is de be-drijfstemperatuur echter zeer groot ten opzichte van het energieverschil tussende twee basistoestanden. De uitlezing gebeurt dan op een zeer groot ensemble,waarvoor kan aangetoond worden dat het mogelijk is om wel degelijk de kwan-tuminformatie uit te lezen.

B.2 Cavity–QED

Bij de Cavity Quantum Electrodynamics [32] (cavity–QED) implementatie wor-den er atomen in caviteiten geplaatst. De qubit informatie zelf wordt dangecodeerd in de toestanden van die atomen of in de polarisatie van een foton.De interactie gebeurt door koppeling van de atomen met de modes van het elek-tromagnetische veld van de caviteit.

B.3 Josephson–juncties 107

B.3 Josephson–juncties

Deze zijn gebaseerd op (een of meerdere) Josephson juncties die in een supergelei-dende ring geplaatst worden, er zijn verschillende implementatie voorstellen (on-der andere een ladings–, fase– of fluximplementatie) waarvoor we verwijzen naarde literatuur: [98], [100], [101].

B.4 Kane

In het oorspronkelijk voorstel van Kane [26] [84] werd de qubitinformatievoorgesteld door de kern– en elektronenspin van een gebonden elektron aan eenfosfor (P ) donor (kernspin 1/2de) in een Si–kristal (isotopisch gezuiverd 28Siheeft kernspin 0). De kernspin heeft namelijk een zeer lange decoherentietijd.Door NMR technieken kunnen 1–qubit rotaties uitgevoerd worden, de 2–qubitinteractie wordt mogelijk gemaakt door voor een interactie tussen de donorelek-tronen, welke gebonden zijn aan de P–donoren, te zorgen.

B.5 Ion Traps

Hierbij worden atomen opgesloten in een radiofrequent elektromagnetisch veld.[99] De qubitinformatie wordt dan gerepresenteerd door enerzijds de kern-spintoestanden van de opgesloten atomen, en anderzijds door de collectievetrillingsmodes of fononen van de atomen. De interactie tussen de atomen gebeurtvia de fononen en door externe laserpulsen kunnen de kernspintoestandenbeınvloed worden.

B.6 Endohedrale Fullerenen

Bij deze implementatie [102] wordt een paramagnetisch atoom opgesloten in eenfullereen, waarbij de qubit informatie wordt gecodeerd in de kern– en elektron spinvan dat atoom. Daarbij worden 1–qubit bewerking gedaan met NMR techniekenen 2–qubit interacties gebeuren door middel van de dipolaire interactie tussen deelektronen.

Bijlage C

Uitwerking van CNOT poort

We tonen aan dat een CNOT poort kan opgebouwd worden als:

UCNOT = eiπ4σy2 ei

π4Sz

1e−iπ4σz2

√Uswe

iπ2Sz

1

√Uswe

−iπ4σy2 (C.1)

Daarvoor gaan we uit van de matrixrepresentaties van de poorten, de 1–qubitvoorstellingen zijn allereerst:

eiπ4σy

=

(cos π

4sin π

4

− sin π4

cos π4

)=

1√2

(1 1−1 1

)(C.2)

eiπ4σz

=

(ei

π4 0

0 e−iπ4

)=

1√2

(1 + i 0

0 1− i

)(C.3)

e−iπ4σz

=

(e−i

π4 0

0 eiπ4

)=

1√2

(1− i 0

0 1 + i

)(C.4)

eiπ2σz

=

(ei

π2 0

0 e−iπ2

)=

1√2

(i 00 −i

)(C.5)

e−iπ4σy

=

(cos π

4− sin π

4

sin π4

cos π4

)=

1√2

(1 −11 1

)(C.6)

Daaruit volgen dan de matrixrepresentaties van de 2–qubitsoperatoren doorhet nemen van de producten:

1⊗ eiπ4σy2 =

1√2

(1 00 1

)⊗(

1 1−1 1

)=

1√2

1 1 0 0−1 1 0 00 0 1 10 0 −1 1

eiπ4σz1 ⊗ 1 =

1√2

(1 + i 0

0 1− i

)⊗(

1 00 1

)=

1√2

1 + i 0 0 0

0 1 + i 0 00 0 1− i 00 0 0 1− i

109

1⊗ e−iπ4σz2 =

1√2

(1 00 1

)⊗(

1− i 00 1 + i

)=

1√2

1− i 0 0 0

0 1 + i 0 00 0 1− i 00 0 0 1 + i

eiπ2σz1 ⊗ 1 =

1√2

(i 00 −i

)⊗(

1 00 1

)=

1√2

i 0 0 00 i 0 00 0 −i 00 0 0 −i

1⊗ e−iπ4σy2 =

1√2

(1 00 1

)⊗(

1 −11 1

)=

1√2

1 −1 0 01 1 0 00 0 1 −10 0 1 1

Samen met de matrixrepresentatie van

√Usw (formule (A.21)) verkrijgen we dan:

UCNOT = 1√2

1 1 0 0−1 1 0 00 0 1 10 0 −1 1

× 1√2

1 + i 0 0 0

0 1 + i 0 00 0 1− i 00 0 0 1− i

×

1 0 0 00 1+i

21−i2

00 1−i

21+i2

00 0 0 1

× 1√2

1− i 0 0 0

0 1 + i 0 00 0 1− i 00 0 0 1 + i

× 1√2

i 0 0 00 i 0 00 0 −i 00 0 0 −i

×

1 0 0 00 1+i

21−i2

00 1−i

21+i2

00 0 0 1

× 1√2

1 −1 0 01 1 0 00 0 1 −10 0 1 1

= e−iπ2

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

(C.7)

Wat op een onbelangrijke fasefactor na de matrixrepresentatie van een CNOTbewerking is.

Bijlage D

Single Electron Transistor (SET)

Een SET [104] kan beschreven worden als een kwantummechanische transistor:zoals bij een klassieke FET (Field Effect Transistor) enkel een Source–Drainstroom kan vloeien als er een bepaalde spanning aan de Gate wordt aangelegd,is bij een SET de Source–Drain stroom afhankelijk van het al dan niet aanwezigzijn van een extra elektron en de poortspanning.

Figuur D.1: Schematische voorstelling van een SET. De Source, Drain en Gatezijn aangegeven en functioneren ongeveer het zelfde als bij een “klassieke” FET.Figuur door Kastner [104]

De opbouw van een SET kan analoog zijn aan een enkele kwantumdotzoals beschreven in §3.1, welke weergegeven wordt in figuur D.1, de equivalenteklassieke schakeling wordt gegeven in figuur D.2. Als men dan de Gate spanningverandert, zullen de energieniveaus hoger of lager komen te liggen, waardoor ereen discrete toe– of afname optreedt van het elektronenaantal (zie figuur D.3).Ook is er dan slechts een Source–Drain stroom mogelijk bij bepaalde spannin-gen zoals we gezien hebben in §3.1. Met andere woorden, de transistor zal eenstroom doorlaten en tegenhouden telkens men een extra elektron toevoegt ofde stroom zal veranderen als de energietoestanden van het eiland veranderen.Deze energietoestanden kunnen veranderen doordat een elektron in een naburigekwantumdot zich in een bepaald energieniveau bevindt.

111

Figuur D.2: Weergave van de equivalente klassieke schakeling, waarbij de SETals gatecapaciteit Cg werkt.

Figuur D.3: Er is enkel een stroom tussen Source en Drain mogelijk (dus detransistor in “aan” toestand) bij bepaalde liggingen van de energieniveaus, welkebeınvloed worden door de gatespanning en omgevende ladingen.

We merken op dat er ook spintoestanden kunnen gemeten worden met eenSET door middel van het meten van spin singlet en triplet toestanden, wat be-sproken wordt in [103].

Bijlage E

Afleiding van deToestandsdichtheid in een 1DEG

Als we een 1 dimensionaal elektronengas beschouwen langs de x–as met lengte Len een interval [−k, k], dan is de lengte per toestand 2 π

L, met de factor 2 afkomstig

van het niet beschouwen van de negatieve bijdrage. In dat interval hebben we dan

N =1

2

2k

π/L=Lk

π=L

π

√2Em

h(E.1)

toestanden, waarbij E = h2k2

2m. Uit het aantal toestanden N kunnen we dan de

elektronentoestandsdichtheid per lengteeenheid D(E) = dN/(LdE) halen, meteen factor 2 vermenigvuldigd voor de spintoestanden:

D(E) = 21

L

L

π

√2m

h2√E

=1

πh

√2m

E(E.2)

Voor de toestandsdichtheid voor de banden, welke gebruikt wordt in de bepalingvan de stroom in een QPC in §3.6.1, moet de factor 2 achterwege gelaten worden.

Bibliografie

[1] R. Landauer Irreversibility and heat generation in the computing process,IBM J. Res. Dev. 5, 183 (1961).

[2] C.H. Bennett, Logical reversibility of computation, IBM J. Res. Dev. 17, 525(1973).

[3] P. Benioff, Quantum Mechanical Models of Turing Machines That DissipateNo Energy, Phys. Rev. Lett. 48, 1558 (1982).

[4] Y.I. Manin, The Computable and the Not Computable, Sovetskoye Radio,Moscow, 1980.

[5] P. Berani, J. Bernstein, M. Reck and A. Zeilinger, Experimental realizationof any discrete unitary operator Phys. Rev. Lett. 73, 5861 (1994).

[6] D. Deutsch and R. Jozsa, Rapid solution of problems by quantum computa-tion, Proc. Roy. Soc. Lond. A 439, 554 (1992).

[7] R.P. Feynman, Simulating physics with computers, Int. Journ. Theor. Ph.21 467 (1982).

[8] R.P. Feynman, Quantum mechanical computers, Found. Phys., 16, 507-531(1986).

[9] P.W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Dis-crete Logarithms on a Quantum Computer, Proc. 35th Annual SymposiumFoundations of Computer Science, IEEE computer SocietyPress, Los Alami-tos, CA (1994).

[10] C. Monroe, D.M. Meekhof, B.E. King, W.M. Itano and D.J. Wineland,Demonstration of a Fundamental Quantum Logic Gate, Phys. Rev. Lett.75, 4714 (1995).

[11] I.L. Chuang, N. Gershenfeld and M. Kubinec, Experimental Implementationof Fast Quantum Searching, Phys. Rev. Lett. 80, 3408 (1998).

114 BIBLIOGRAFIE

[12] B.V. Compernolle, promotor W. De Baere, scriptiebegeleider J. De Neve DeBouw van Kwantumcomputers via Nucleaire Magnetische Resonantie, UGent2000-2001 .

[13] D.P. DiVincenzo Two–bit gates are universal for quantum computation,Phys. Rev. A 1015, cond–mat/9407022.

[14] D.P. DiVincenzo The Physical Implementation of Quantum Computation,Fortschr. Phys. 48, 771 (2000), quant–ph/0002077.

[15] D. E. Chang, M. Steffen and L. M. K. Vandersypen, Implementation of aBuilding Block for Scalable NMR Quantum computation, quant–ph/0011055(2000).

[16] I.L. Chuang, N. Gerchenfield, M.G. Kubinec and D.W. Leung, Bulk QuantumComputation with Nuclear Magnetic Resonance: Theory and experiment,Proc. R. Soc. Lond. A 454, 447 (1998).

[17] A. Steane, Quantum Computing, quant–ph/9708022.

[18] W. De Baere, Grondslagen der kwantummechanica, recente ontwikkelingenen toepassingen, vakgroep subatomaire- en stralingsfysica, UGent.

[19] M.A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Infor-mation, Cambridge University Press, 2000.

[20] J. Preskill Lecture Notes for Physics 229: Quantum information and Com-putation, California Institute of Technology.

[21] D. Deutsch, A. Barenco and A. Ekert, Universality in quantum computation,Proc. R. Soc. London A A449 669, (1995), quant-ph/9505018.

[22] D.P. DiVincenzo and D. Loss, Quantum Computers and Quantum Cohe-rence, J. Magn. Magn. Mater 200, 202 (1999), cond-mat/9901137

[23] S. Lloyd, Almost any quantum logic gate is universal, Phys. Rev. Lett. 75,346 (1995).

[24] http://qubit.damtp.cam.ac.uk/lectures/

[25] D. Deutsch, Quantum theory, the Church–Turing principle and the universalquantum computer, Proc. Roy. Soc. Lond. A 400, 97 (1985).

[26] B. E. Kane, J. L. O’Brien, S. R. Schofield, M. Y. Simmons, R. G. Clark, A.S. Dzurak, N. J. Cruson, N. S. McAlpine, M. E. Hawley and G. W. Brown,Towards the fabrication of phosphorus qubits for a silicon quantum computer,Phys. Rev. B 64, 161401(R) (2001), cond–mat/0104569.

BIBLIOGRAFIE 115

[27] H.A. Engel, L.P. Kouwenhoven, D. Loss, C.M. Marcus, Controlling SpinQubits in Quantum Dots, cond–mat/0409294.

[28] H.A. Engel, V.N. Golovach, D. Loss, L.M.K. Vandersypen, J.M. Elzerman,R. Hanson and L.P. Kouwenhoven, Measurement efficiency and n–shot readout of spin qubits, Phys. Rev. Lett. 93, 106804 (2004).

[29] G.B. Arfken and H.J. Weber, Mathematical methods for physicists 5th ed,Academic Press Elsevier (2001).

[30] Q.A. Turchette, C.J. Hood, W. Lange, H. Mabuchi, H.J. Kimble, Measure-ment of conditional phase shifts for quantum logic, Phys. Rev. Lett. 75, 4710(1995).

[31] M.N. Leuenberger, M.E. Flatte and D.D. Awschalom, Teleportation of elec-tronic many–qubit states via single photons cond-mat/0407499.

[32] A. Imamoglu, D.D. Awschalom, G. Burkard, D.P. DiVincenzo, D. Loss3, M.Sherwin and A. Small Quantum Information Processing Using Quantum DotSpins and Cavity QED, Phys. Rev. Lett. 83, 4204 (1999) quant–ph/9904096.

[33] P. Samuelsson, E.V. Sukhorukov, M. Buttiker, Two–particle Aharonov–Bohm effect and Entanglement in the electronic Hanbury Brown Twiss setup,Phys. Rev. Lett. 92, 026805 (2004), cond–mat/0307473.

[34] R. Melin Electronic EPR–like experiments with superconductors, cond–mat/0105073.

[35] M. Ciorga, A.S. Sachrajda, P. Hawrylak, C. Gould, P. Zawadzki, S. Jullian,Y. Feng en Z. Wasilewski1 Addition spectrum of a lateral dot from Coulomband spin-blockade spectroscopy, Phys. Rev. B 61, R16315 (2000).

[36] S. Tarucha, D.G. Austing, T. Honda, R.J. van der Hage and L.P. Kouwen-hoven Shell Filling and Spin Effects in a Few Electron Quantum Dot, Phys.Rev. Lett. 77, 3613 (1996).

[37] V.N. Golovach, A. Khaetskii and D. Loss, Phonon-Induced Decay of theElectron Spin in Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 93, 1 (2004).

[38] C.W.J. Beenakker, C. Emary, M. Kindermann and J.L. van Velsen Produc-tion and detection of entangled electron-hole pairs in a degenerate electrongas, Phys. Rev. Lett. 91, 147901 (2003), cond–mat/0305110.

[39] Y. Ohno, D.K. Young, B. Bhoten, F. Matsukura, H. Ohno and D.D.Awschalom, Electrical spin injection in a ferromagnetic semiconductor het-erostructure, Nature 402, 790 (1999).

116 BIBLIOGRAFIE

[40] R. Van Meirhaeghe, Basisbegrippen van de Vastestoffysica, vakgroep vaste-stofwetenschappen, UGent.

[41] T. Englert, D.C. Tsui, A.C. Gossard and C. Uihlein, g-factor Enhancementin 2D electron gas in GaAs/AlGaAs heterojunctions, Surface Science 113,295 (1982).

[42] L. Vandersypen, Experimental Quantum Computation with Nuclear Spins inLiquid Solution, quant-ph/0205193.

[43] P. Fazekas, Lecture Notes on Electron correlation and magnetism, WorldScientific (1999)

[44] P.K. Basu, Theory of Optical Processes in Semiconductors, Bulk and Mi-crostructures, Clrendon Press Oxford (1997).

[45] G. Dresselhaus, Spin-Orbit Coupling Effects in Zinc Blende Structures Phys.Rev. 100, 580 (1955).

[46] W. Zawadzki and P. Pfeffer, Spin splitting of subband energies due to inver-sion asymmetry in semiconductor heterostructures, Semicond. Sci. Technol.19, R1 (2004).

[47] S.D. Ganichev, V.V. Belkov, L.E. Golub, E.L. Ivchenko, P. Schneider, S.Giglberger, J. Eroms, J. De Boeck, G. Borghs, W. Wegscheider, D. Weiss,and W. Prettl, Experimental Separation of Rashba and Dresselhaus SpinSplittings in Semiconductor QuantumWells, Phys. Rev. Lett. 92, 256601(2004).

[48] D. Loss and D.P. DiVincenzo, Quantum Computation with Quantum Dots,Phys. Rev. A 57, 1(1998).

[49] R. Vrijen, E. Yablonovitch, K. Wang, H.W. Jiang, A. Balandin, V. Roy-chowdhury, T. Mor and D.P. DiVincenzo, Electron Spin Resonance Tran-sistors for Quantum Computing in Silicon–Germanium Hetero-Structures,quant–ph/9905096.

[50] S. Vorojtsov, E.R. Mucciolo and H.U. Baranger, Spin Qubits in Multi-Electron Quantum Dots, Phys. Rev. B 69, 115329 (2004), cond-mat/0308118.

[51] V. Carletti, W.A. Coish, O. Gywat and D. Loss, Recipes for Spin-basedQuantum Computing, cond–mat/0412028.

[52] X. Hu, R. de Sousa and S. Das Sarma, Decoherence and dephasing in spin-based solid state quantum computers, cond–mat/0108339.

BIBLIOGRAFIE 117

[53] X. Hu and S. Das Sarma, Gate errors in solid state quantum computation,Phys. Rev. A 66 012312 (2002), cond–mat/0207457.

[54] J. Schliemann, D. Loss, A.H. MacDonald, Double-Occupancy Errors, Adia-baticity, and Entanglement of Spin-Qubits in Quantum Dots, Phys. Rev. B63, 085311 (2001), cond–mat/0009083

[55] K.V. Kavokin Anisotropic exchange interaction of localized conduction-bandelectrons in semiconductor structures, Phys. Rev. B 64, 075305 (2001), cond-mat/0011340.

[56] S.E. Laux, D.J. Frank, and F. Stern, Quasi–one–dimensional electron statesin a split-gate GaAs/AlGaAs heterostructure Surf. Sci. 196, 101 (1988).

[57] R. J. Elliott Theory of the Effect of Spin–Orbit Coupling on Magnetic Reso-nance in Some Semiconductors, Phys. Rev. 96, 266 (1954).

[58] A. Barenco, D. Deutsch and A. Ekert, Conditional Quantum Dynamics andLogic Gates, Phys. Rev. Lett. 74, 4083 (1995).

[59] P. Matthys, E. Boesman and G. Vanhaelewyn, Atoom-en molecuulfysica,vakgroep vaste–stofwetenschappen, UGent.

[60] G. Burkard, D. Loss and D.P. DiVincenzo, Coupled quantum dots as quantumgates, Phys. Rev. B 59, 2070 (1999), cond–mat/9808026.

[61] L.P. Kouwenhoven, T.H. Oosterkamp, M.W.S. Danoesastro, M. Eto, D.G.Austing, T. Honda, and S. Tarucha Excitation spectra of circular few-electronquantum dots., Science 278, 1788 (1997), cond–mat/9708229.

[62] J. Shao, Effective Mass and Valence-band Structure in GaxIn1−x/InPand GaxIn1−xP/AlGaInP Quantum Wells, http://elib.uni-stuttgart.de/opus/volltexte/2002/1005/, 2002.

[63] D.P. DiVincenzo, D. Loss, Quantum Information is Physical, Superlatticesand Microstructures 23, 419 (1998), cond–mat/9710259.

[64] C. Dauwe, Elektrische en Magnetisch Eigenschappen van de Materie, Vak-groep subatomaire en stralingsfysica, UGent.

[65] E.F. Schubert High Doping Effects, screening of impurity effects,www.ecse.rpi.edu/ schubert/ Course-ECSE.

[66] V.N. Golovach and D. Loss, Electron spins in artificial atoms and mole-cules for quantum computing, Semicond. Sci. Technol. 17, 355 (2002), cond–mat/0201437.

118 BIBLIOGRAFIE

[67] D.P. DiVincenzo, G. Burkard, D. Loss, E.V. Sukhorukov, Quantum Com-putation and Spin Electronics, Quantum Mesoscopic Phenomena and Meso-scopic Devices in Microelectronics, eds. I.O. Kulik en R. Ellialtioglu (NATOAdvanced Study Institute, Turkey, 13, 1999).

[68] G. Salis, Y. Kato, K. Ensslin, D.C. Driscoll, A.C. Gossard and D.D.Awschalom, Electrical control of spin coherence in semiconductor nanos-tructures, Nature 414, 619 (2001).

[69] D. Bacon, J. Kempe, D.A. Lidar and K.B. Whaley, Universal Fault-TolerantComputation on Decoherence-Free Subspaces, Phys. Rev. Lett. 85, 1758(2000), quant–ph/9909058.

[70] D.M. Zumbuhl, C.M. Marcus, M.P. Hanson and A.C. Gossard, CotunnelingSpectroscopy in Few-Electron Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 93, 256801(2004), cond–mat/0408276.

[71] L.P. Kouwenhoven, G. Schon and L.L. Sohn, Introduction to Meso-scopic Electron Transport, 1997. http://www.ubka.uni-karlsruhe.de/cgi-bin/psgunzip/1997/physik/4/4.pdf

[72] R. Van Meirhaeghe, Fenomenologie van de Vastestoffysica, vakgroep vaste-stofwetenschappen, UGent.

[73] L.P. Kouwenhoven, D.G. Austing and S. Tarucha, Few-Elektron QuantumDots, Rep. Prog. Phys. 64, 701 (2001).

[74] B.H. Bransden and C.J. Joachain, Quantum Mechanics, Prentice Hall,(2000).

[75] W.J. Parak, L. Manna, F.C. Simmel, D. Gerion, A.P.Alivisatos, Quantum Dots, http : //www2.nano.physik.uni −muenchen.de/publikationen/Preprints/p−02−12Paraknanoparticles.pdf .

[76] A.W. Rushforth, C.G. Smith, M.D. Godfrey, H.E. Beere, D.A. Ritchie, M.Pepper, Non-invasive detection of the evolution of the charge states of a dou-ble dot system, accepted for publication in Phys. Rev. B, cond–mat/0402042.

[77] M. Friesen, P. Rugheimer, D.E. Savage, M.G. Lagally, D.W. van der Weide,R. Joynt and M.A. Eriksson, Practical design and simulation of silicon-basedquantum-dot qubits, Phys. Rev. B 67, 121301(R) (2003).

[78] B. Koiller, X. Hu and S. Das Sarma, Strain effects on silicon donor exchange:Quantum computer architecture considerations, Phys. Rev. B 66, 115201(2002).

BIBLIOGRAFIE 119

[79] B.J. van Wees, L.P. Kouwenhoven, H. van Houten, C.W.J. Beenakker, J.E.Mooij, C.T. Foxon and J.J. Harris, Quantized conductance of magnetoelectricsubbands in ballistic point contacts Phys. Rev. B 38, 3625(1988).

[80] K.F. Berggren, T.J. Thornton, D.J. Newson and M. Pepper, Magnetic De-population of 1D Subbands in a Narrow 2D Electron Gas in a GaAs:AlGaAsHeterojunction Phys. Rev. Lett. 57, 1769 (1986).

[81] L.X. Zhang, P. Matagne, J.P. Leburton, R. Hanson and L.P. Kouwenhoven,Single-electron Charging and Detection in a Laterally Coupled Quantum-DotCircuit in the Few-Electron Regime, Phys. Rev. 69, 245301 (2004).

[82] M. Buttiker, Quantized Transmission of a Saddle-Point Constriction, Phys.Rev. B 41, 11 (1990).

[83] H.A. Fertig and B.I. Halperin, Transmission Coefficient of an ElectronThrough a Saddle-Point Potential in a Magnetic Field, Phys. Rev. B 36,15 (1987).

[84] B.E. Kane Silicon-Based Quantum Computation, quant-ph/0003031

[85] A.J. Skinner, M.E. Davenport and B.E. Kane Hydrogenic Spin QuantumComputing in Silicon: A Digital Approach, Phys. Rev. Lett. 90, 087901(2003), quant–ph/0206159.

[86] D.P. DiVincenzo, Experimental Proposals for Quantum Computation, eds.H.–K. Lo and S. Braunstein, The Physical Implementation of QuantumComputation, quant–ph/0002077.

[87] P. Zoller, J.I. Cirac, L. Duan and J.J. Garcia-Ripoll, Implementing QuantumInformation Processing with Atoms, Ions and Photons, Lecture notes fromLes Houches Summer School 2003, quant-ph/0405025.

[88] L.–M. Duan, M. Lukin, J.I. Cirac and P. Zoller, Long-distance QuantumCommunication with Atomic Ensembles and Linear optics, Nature 414(2001), quant–ph/0105105.

[89] S.N. Coppersmith, S. Lee and P.v. Allmen Exchange in a silicon-based quan-tum dot quantum computer architecture, Phys. Rev. Lett. 88, 027903 (2002),cond–mat/0408542.

[90] R. de Sousa, J.D. Delgado and S. Das Sarma Silicon Quantum ComputationBased on Magnetic Dipolar Coupling, Phys. Rev. A 70, 052304 (2004) cond-mat/0311403.

[91] B. Golding and M.I. Dykman, Acceptor-based silicon quantum computing,cond–mat/0309147.

120 BIBLIOGRAFIE

[92] T.D. Ladd, J.R. Goldmand, F. Yamaguchi, Y. Yamamoto, E. Abe and K.M.Itoh, An all silicon quantum computer, quant–ph/0109039.

[93] A.M. Steane and D.M. Lucas, Quantum computing with trapped ions, atomsand light, quant–ph/0004053.

[94] D. Deutsch, Quantum Theory of Probability and Decisions, quant–ph/9906015.

[95] L.K. Grover, Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in aHaystack, Phys. Rev. lett. 79, 2 (1997), quant-ph/9706033.

[96] L.K. Grover, Quantum Computers can Search Arbitratily Large Databasesby a Single Query, quant-ph/9706005.

[97] A.M. Turing, On Computable Numbers, with an Application to the Entschei-dungsproblem, Proc. London Math. Soc. (2) 42, 230 (1936).

[98] A. Shnirman, G. Schon and Z. Hermon, Quantum Manipulations of SmallJosephson Junctions, Phys. Rev. Lett. 79, 2371 (1997).

[99] J.I. Cirac and P. Zoller, Quantum Computations with Cold Trapped Ions,Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).

[100] J.M. Martinis, S. Nam and J. Aumentado and C. Urbina Rabi Oscillationsin a Large Josephson-Junction Qubit, Phys. Rev. Lett. 89, 117901 (2002).

[101] F. Meier, D. Loss, Reduced Visibility of Rabi Oscillations in Superconduct-ing Qubits, cond–mat/0408594.

[102] C. Meyer, Endohedral Fullerenes for Quantum Computing, PhD disserta-tion, Fachbereich Physik, Freie Universitt Berlin, 2003.

[103] B.E. Kane, N.S. McAlpine, A.S. Dzurak, R.G. Clark, G.J. Milburn, H.B.Sun and H. Wiseman Single Spin Measurement using Single Electron Tran-sistors to Probe Two Electron Systems, cond-mat/9903371.

[104] M.A. Kastner, The Single Electron Transistor and Artificial Atoms, Ann.Phys. 9 885 (2000).

[105] J.S. Harris EE328 Physics of Advanced Semiconductor Devices course lec-ture notes, http://www.stanford.edu/class/ee328/, Stanford.

[106] A.C. Johnson, J.R. Petta, J.M. Taylor, A. Yacoby, M.D. Lukin, C.M. Mar-cus, M.P. Hanson, A.C. Gossard Relaxation of Single Electron Spins by Nu-clei in a Double Quantum Dot, cond-mat/0503687.

BIBLIOGRAFIE 121

[107] A.N. Rubtsov, Quantum Monte Carlo determinantal algorithm with-out Hubbard-Stratonovich transformation: a general consideration, cond–mat/0302228.

[108] S.M.A. Rombouts, K. Heyde and N. Jachowicz, Quantum Monte CarloMethod for Fermions, Free of Discretization Errors, Phys. Rev. Lett. 82,4155 (1999).

[109] N. Kunihiro, Exact Analyses of Computational Time for Factoring in Quan-tum Computers, IEICE Trans. Fundamentals, E88A, 1 (2005).

[110] M. Dobers and K.v. Klitzing, Electron-spin resonance in the two-dimensional electron gas of GaAs−AlxGa1−xAs heterostructures Phys. Rev.B 38, 5453 (1988).

[111] D.R. Hofstadter, Godel, Escher, Bach. Een Eeuwige Gouden Band. Olym-pus (1979).

Index

1/µ, afschermlengte, 60T1, 46T2, 46, 58T ∗

2 , 46, 48ρ, 69σ, 69σ, 71, 74√

SWAP, 104NP, 87, 92P, 871–qubit bewerkingen, 532–qubit bewerkingen, 582–qubit interactie, 682DEG, 31, 36, 61

Acceptor gebaseerde implementatie, 50Accumulatielaag, 33Afschermlengte, 60, 62Angulair Kwantumgetal, 38, 44Anisotrope koppeling, 49Anticommutatierelaties, 103Antiferromagnetisch gedrag, 59, 66

Bandenstructuur, 32Bandgap, 32Bayes, 81Benett, 1Benioff, 1Binaire representatie, 83Bitflip, 93, 95Black Box, 79, 81, 86, 90Blochfunctie, 50Blochrepresentatie, 18Bohrmagneton, 47, 60Bohrstraal, 64

Cavity–QED implementatie, 106

Church–Turing these, 98, 101sterke, 98

CNOT, 20, 59, 85, 102Coherente superpositie, 7, 9Coherentie, 14Collapse, 24, 26Commutatieregels, 103Conductieband, 32, 50, 67Constante Interactie Model, 39Continued fractions, 89Controlled bewerkingen, 20Coulomb Blockade, 34–36, 40, 69Cryptografie, 89Cyclotronfrequentie, 72

Dangling Bonds, 32Decoherentie, 2, 13Decoherentietijd, 11, 46, 101Defaseringstijd, 46Depletielaag, 35Deutsch, 3, 78, 81Deutsch–Jozsa, 3, 78, 80, 81Dichtheidsmatrix, 6Dipool koppeling, 47Dipoolmoment, 49Dirac, 47, 61Dispersierelatie, 70, 72, 74DiVincenzo, 4, 31Drain, 35–37, 39Dresselhaus koppeling, 48

Effectieve massa, 54, 61, 70, 72Efficientie, 24, 27, 28, 76, 85Electron Beam Litography, 34Elektrochemische potentiaal, 36, 37, 39,

71

INDEX 123

Elektron spin resonantie, 53Endohedrale Fullerenen, 107Ensemble Spindefaseringstijd, 46Entanglement, 2, 8, 30Entropie, 16, 104Epitaxie, 32EPR, 2ESR, 31, 53, 100Exchange interactie, 31, 47, 50, 59, 65,

66, 68Extrinsieke decoherentie, 46

Factorisatie, 3, 83, 85, 87FANOUT, 17Fasebepaling, 85Faseflip, 93, 94Fasepoort, 102Faserelaxatietijd, 46Fast Fourier Transform, 83Fermi contact koppeling, 49Ferminiveau, 52Ferromagnetisch gedrag, 59, 66Ferromagnetische halfgeleiders, 51FET, 110Feynman, 1FFT, 83Flying Qubit, 29Fock–Darwin toestanden, 42, 64Fononen, 47Fourier transformatie, 83, 87, 98

Gate, 39Geleidbaarheid, 69, 72, 74Geleidbaarheidskwantum, 71Gemengde toestand, 7Grover, 3, 92Gyromagnetische verhouding, 53, 61

g, 101

Hadamard, 80, 90, 102Hall–effect, 51Heisenberg exchange, 31, 63, 68Heitler–London, 62, 66Hilbertruimte, 4

Hirsh, 98Hoofdkwantumgetal, 44Hubbard model, 58, 65, 67Hund, regel van, 37Hyperfijninteractie, 47, 49

Integer Quantised Hall Effect, 72Interferentie, 80Intrinsieke decoherentie, 46, 47, 49Inversielaag, 33Ion trap implementatie, 107IQHE, 72Isotopische zuivering, 50, 107

Josephson–juncties implementatie, 107

Kane, 54, 107Kernspin, 50Kitaev, 24Kondo effect, 100Kraus operator som representatie, 12,

14Kwantum Fourier transformatie, 83, 85Kwantumcommunicatie, 29Kwantumcryptografie, 30Kwantumdot, 31Kwantuminterferentie, 5Kwantumparallellisme, 2, 80Kwantumteleportatie, 29Kwantumzoekalgoritme, 3

Landauer, 1Landauniveaus, 51, 72, 74Larmorfrequentie, 54, 56, 65Loss, 31

Manin, 1MBE, 32Meetpostulaat, 25Mobiele Qubit, 29Mobiliteit, 33MODFET, 32Moore, wet van, 1

NAND, 17

124 INDEX

Neumark, 26NMR implementatie, 10, 17, 54, 106No–cloning, 93Nucleair magneton, 49

Operatietijd, 46, 58Orbitaalgolffunctie, 63Order finding, 87, 88Ortho–toestand, 59

Para–toestand, 59Pauli matrices, 19, 60, 93, 103Pauli principe, 37, 50POVM, 26, 27Producttoestand, 8Projectieve meting, 25

QEC, 53, 88, 92QPC, 35, 50, 69, 72, 74, 100Quantum Erasure, 26Quantum Error Correction, 46Quantum Key Distribution, 89Quantum Monte Carlo, 98Qubit, 2, 4, 18

Rabi–frequentie, 58Radiaal Kwantumgetal, 38, 44Rashba koppeling, 48, 67Resistiviteit, 69Roosterconstante, 32RSA, 88

Schillenstructuur, 38SET, 110Shannon entropie, 104Shor, 85, 87Singlet toestand, 63, 66Solovay, 24Source, 35–37, 39Sp–hybridisatie model, 66Spin–Baan koppeling, 100Spin–baan koppeling, 47, 61, 67Spin–spin koppeling, 49Spindefaseringstijd, 46, 48

Spingolffunctie, 63Spinrelaxatietijd, 46, 48, 51Stationaire Qubit, 29Stern–Gerlach, 9Superoperator, 11, 14Superpositie, 2SWAP, 59, 85, 102

Tensor product, 8Thermische toestand, 17Toestandsdichtheid, 71Toffoli poort, 17, 22, 102Transmissiecoefficient, 74Travelling Salesman, 99Triplet toestand, 63, 66Tunneling, 36, 51Turing, 98

Universele set kwantumpoorten, 17, 53

Valentieband, 32Vectorpotentiaal, 72Verwachtingswaarde, 6Von Neumann entropie, 104Von Neumann meting, 25

Zeeman, 51, 53, 61, 67, 69, 71, 77Zeemaninteractie, 51Zoekalgoritme, 89Zuivere toestand, 7

Het citeren: ongeneeslijke kwaal voor al wie meer geheugen heeft dan verstand. –Karel Jonckheere

De Fysische Implementatie van een Kwantumcomputer met...

Documents

Transcript of De Fysische Implementatie van een Kwantumcomputer met...