De draaikubus van Rubik Joost Hulshof 20-4-2007

Er zijn vele variaties van dedraaikubus van Rubik, maar de eerste blijft de mooiste. De 3x3x3 kubus kwam op de markt toen ik derdejaarsstudent was in Leiden. 

Na aankoop haalde ik hem uit het doosje draaide hem weg. 

Pas na twee weken had ik voor het eerst twee helelagen van de kubus weer goed en kon ik dat ook op een systematische manier.

Vervolgens bedacht ik magische series van draaiingen die twee lagen door elkaar gooiden en weer goed terugbrachten, maar in de derde laag iets veranderden.

Bijvoorbeeld:

rechterlaag naar vorenonderlaag naar links

rechterlaag naar achteren

onderlaag naar links

rechterlaag naar vorenonderlaag naar links 2x

rechterlaag naar achter

Eindelijk, na precies 3 weken, lukte het me met trial and error combinaties om de kubus voor het eerst weer goed te krijgen. Mijn kubus zag er weer uit zoals ik hem gekocht had.

Pas daarna ontdekte ik de algebra die in mijn krakkemikkige oplossingsmethode verstopt zat.

Mijn oude methode ben ik voor een groot deel vergeten, maar met wat algebraisch trucjes kan ik de kubus nog steeds redelijk snel goed draaien. 

Al die trucjes maken gebruik van het meestal niet waar zijn van de formule

AB=BA. 

achterste 2 lagen naar linksrechterlaag omhoog

achterste 2 lagen naar rechts

AB

-1A

-1A A = I

-1A B A

I = identiteit

-1 A B A

-1 A A = I

algebra komt van de arabieren, dus we schrijven van rechts naar links

achterste 2 lagen naar linksrechterlaag omhoog

achterste 2 lagen naar rechts

AB

-1A

-1 A B A

achterste 2 lagen naar linksrechterlaag omlaag

achterste 2 lagen naar rechts -1

A

bovenste laag naar rechts C

-1B

A

bovenste laag naar links -1

C

enige verandering bovenste laag

achterste 2 lagen naar linksrechterlaag omhoogachterste 2 lagen naar rechts

AB

-1A

achterste 2 lagen naar links

rechterlaag omlaagachterste 2 lagen naar rechts

-1A

bovenste laag naar rechts C

-1B

A

bovenste laag naar links -1

C

-1 -1 -1 -1 C A B A C A B A drie hoekblokjes verwisseld!!

hoekblokjestruc

nu in spiegelbeeld

kantelen

2 hoekblokjes gedraaid!

en nu net zo’n truc met de ribbeblokjes

ik laat alleen het eerste stuk zien

dat is weer van deze vorm

-1 A B A

(andere A, andere B)

Als je het idee eenmaal begrijpt is het niet meer zo moeilijk om zelf series te bedenken waarmee je simpeleveranderingen teweegbrengt in de kubus.

Met een paar van die series kun je elke weggedraaide kubus goed draaien. 

Je kunt zo je eigen methode bedenken, of je onthoudt alleen het idee en de manier waarop je daar series mee verzint die doen wat je wil.

Zoals bijvoorbeeld een serie die dit doet.

Drie hoekblokjes van de kubus zijn onderling van positie veranderd, maar voor de rest is er niets gebeurd.

Met de ribbeblokjes kan dat ook. 

Met series die dit voor elkaar krijgen kom je al een heel eind.

Door zo'n serie vooraf te laten gaan door een draaiing van een zijvlak

en na de serie dat zijvlak weer terug te draaien

vind je makkelijk varianten die drie ribbeblokjes of drie hoekblokjes onderling verwisselen die op andere plekken zitten.

Als eenmaal alle blokjes op hun plaats zitten hoeven we alleen nog maar te zorgen dat ze ook goed op hun plaats zitten, dus niet omgeklapt (bij de ribbeblokjes) of gedraaid (bij de hoekblokjes).

Door een beetje te experimenteren met series die drie ribbeblokjes heen en weer schuiven vind je series die twee ribbeblokjes omklappen en de rest van de kubus ongemoeid laten. 

Met hoekblokjes kan zoiets ook. Je kunt twee hoekblokjes draaien, de ene de ene kant op, de andere de andere kant op. 

Met kleine variaties van deze series is de kubus wel goed te krijgen. Niet heel snel, maar na enige oefening wel binnen 5 minuten, en dat vinden veel mensen al heel knap.

Valsspelen, wat kan wel en wat niet? 

Behalve de ribbe- en de hoekblokjes zijn er ook nog middenblokjes. Maar die komen niet van hun plaats.

Dat zien als we de kubus uit elkaar halen. 

De middenblokjes zitten vast aan drie assen. Ze kunnen wel draaien, maar het resultaat daarvan zie je niet.

Zetten we de kubus weer in elkaar zonder op de kleuren te letten dan is de kans groot (hoe groot?) dat we de kubus niet meer goed kunnen draaien.

Want wat NIET kan is 1 ribbeblokje omklappen of 1 hoekblokje draaien zonder valsspelen. 

Ook kun je niet twee ribbeblokjes verwisselenzonder dat er elders wat verandert.

Wel kun je tegelijk twee ribbeblokjes en twee hoekblokjes verwisselen.

Deze standen kunnen niet.

Haal je de kubus helemaal uit elkaar en zet je hem goed in elkaar tot je bij de laatste twee hoekblokjes en het laatste ribbeblokje bent,

dan heb je nog

2 x 3 x 3 x 2 = 36

mogelijkheden om het af te maken.

De helft daarvan heeft de hoekblokjes op de verkeerde plek. Die zijn sowieso niet goed te draaien.

Van de resterende 18 heeft de helft het ribbeblokje verkeerd om. Die zijn ook niet goed te draaien.

Blijven er nog 9 over, met het ribbeblokje goed en de laatste twee hoekblokjes op de goede plek. 

Elk van die twee hoekblokjes past er op 3 manieren in, totaal 9 mogelijkheden. 

Precies 3 daarvan zijn goed te draaien:

allebei de blokjes goed,

het ene blokje de ene kant op gedraaid en het andere blokje de andere kant op,

en de stand die je krijgt als je dat nog  een keer doet.

3 van de 36 dus, ofwel 1 op de 12.

12 verschillende manieren om de kubus in elkaar te zetten. Elk daarvan heeft  43252003274489856000 draaistanden. 

Zou je van elke draaibare stand een kubus nemen en dieop een rijtje leggen dan kom je tussen de 200 en 300 lichtjaar ver. Voorbij de meeste sterren die je 's nachts met het blote oog kunt zien.

Als je het aantal draaistanden met 12 vermenigvuldigt krijg je alle manieren waarop de de kubus in elkaar kunt zetten. Dat getal is gelijk aan 519 024 039 293 878 272 000 en is te schrijven als het produkt van 

12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2 (keuze voor positie ribbeblokjes),

2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 (alle 12 ribbeblokjes op 2 manieren),

8x7x6x5x4x3x2 (keuze positie hoekblokjes), en

3x3x3x3x3x3x3x3 (alle 8 hoekblokjes op 3 manieren).

Waarom kun je niet 2 blokjes verwisselen? 

Als we alleen maar letten op waar de blokjes zitten, dan wordt de puzzel makkelijker.

Meerdere kleuren per blokje zijn dan niet zo handig, dus nummeren we de blokjes.

1

3

2

4

5

6

7

812

3

3

4

56

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8  voor 8 blokjes met een blauwe plakker,

9 10 11 12 13 14 15 16 (groene plakker),

en 17 18 19 20 voor de 4 over gebleven ribbeblokjes.

1

3

2

4

5

6

7

81 32

4

567

8

Wat er gebeurt als we het blauwe vlak naar rechts draaien?

1 32

4

567

8

7 18

2

345

6

1234567834567812

blauwe vlak 1 slag naar rechts

1 32

4

567

8

71 8

2

3 4 5

6 1357 24683571 4682

beginstand

na draaien

ofwel

2 3 1 4

2 1 3 4

1 2 3 4

2 3 4 1

1 2 3 4

2 3 4 13 verwisselingen

nieuwe positie

beginpositie

4 objecten rondschuiven

2 3 1

2 1 3

1 2 3

2 3 1

1 2 3

2 verwisselingen, even

3 objecten rondschuiven

3

21

1

23

2 3 1 4 5

2 1 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

1 2 3 4 5

2 3 4 1 54 verwisselingen

5 objecten rondschuiven

2 3 4 5 1

1

3

2

4

5

6

7

812

3

3

4

56

7

8

1 3 5 7

3 5 7 1

3 verwisselingen, oneven

2 4 6 8

4 6 8 2

totaal 6 verwisselingen, samen even

1 32

4

567

8

71 8

2

3 4 5

6

4 hoekblokjes rondschuiven 4 ribbeblokjes rondschuiven

3 verwisselingen, oneven

alleen even permutaties zijn mogelijk!!

deze kan dus niet

deze ook niet

deze wel

monoflip monotwist

kunnen ook niet

de superkubus

Hoeveel draaistanden?