Cours Trigonometrie 2nde - WordPress.com · 2015. 3. 5. · [email protected] Cours...

hhoosssseeiinnii@@mmaatthhss--ssttaann..ffrr CCoouurrss ttrr iiggoonnoommééttrr iiee :: 22nnddee 1

II -- AAnngglleess ddaannss uunn cceerrccllee II -- 11 :: CCeerrccllee ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquuee DDééff iinnii ttiioonn 11: Un cercle trigonométrique, est un cercle orienté de centre O et de rayon 1,

auquel, on associe un repère orthogonal direct, ( )jiO ,; et un sens direct (sens positif, au inverse des aiguilles d’une montre).

II -- 22 :: LLee rraaddiiaann

DDééff iinnii ttiioonn 22: Soit C un cercle de centre O et de rayon R. Un angle de 1 radian est un angle au

centre (de sommet O) qui intercepte un arc du cercle de longueur R. En particulier, sur un cercle de rayon unité, un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur unité.

De ce qui précède, on en déduit une correspondance (proportionnelle) entre la mesure d’un angle en degré et sa mesure en radian , d’une façon simple, la table de conversion suivante nous permet de transformer les degrés en radian:

CCoonnssééqquueennccee:: L’aire A du secteur d’un disque de rayon R, intercepté par un angle au

centreα est proportionnelle à ce dernier : A α2

2r=

180 degré π radian a° x


II -- 33 :: EEnnrroouulleemmeenntt ddee llaa ddrrooii ttee aauuttoouurr dduu cceerrccllee

DDééff iinnii ttiioonn 33: Soit M un point d’un cercle trigonométrique C. On appelle l'abscisse curviligne

de M, l'abscisse d’un point ∆M de la droite orientée ∆ (tangente à C en I) qui s’obtient par la

superposition du point M et ∆ , par l’enroulement de la droite ∆ autour du cercle C.

TThhééoorrèèmmee 11 ((aaddmmiiss)): Soit α la mesure curviligne d’un point M du cercle trigonométrique C,

alors tout nombre réel de la forme πα k2+ ( avec k∈ℤ) est aussi une mesure curviligne de M.

DDééff iinnii ttiioonn 44: À tout point A du cercle trigonométrique, on associe l’angle orienté ( )OAOI ,

défini par les vecteurs unitaires OI et OA tel que ( ) α=OAOI , et si B est le symétrique du

point A par rapport à (OI), on définit par les vecteurs unitaires OI et OB , l’angle orienté

( )OBOI , tel que ( ) α−=OBOI , .

RReemmaarrqquuee :: Ainsi, on peut associer à l’angle orienté ( ) α=OAOI , , d’autres mesures comme

( ) πα 2, +=OAOI , ( ) πα 2, −=OAOI , ( ) πα 4, +=OAOI , …etc.

On dit alors qu’un angle orienté ( )OAOI , de mesure α , admet une infinité de mesures, toutes

de la forme ( ) α=OAOI , πk2+ ou ( ) α=OAOI , [ ]π2 . On dit que ces angles sont définis modulo π2 .


DDééff iinnii ttiioonn 55: À tout point M du cercle trigonométrique C, on associe l’angle orienté ( )OMOI ,

Parmi les mesures possibles de ( )OMOI , , il y a une unique mesure appartenant à l’intervalle

] ]ππ ,− . Cette mesure est appelée la mesure principale (en radian) de l’angle orienté

( )OMOI , .

CCoommmmeenntt ccaallccuulleerr llaa mmeessuurree pprr iinncciippaallee dd’’ uunn aannggllee ddoonnnnéé

EExxeemmppllee 11:: Calculer la mesure principale de l’angle dont une mesure est donnée par 4

23π .

SSoolluuttiioonn :: On sait que les autres mesures de cet angles sont de la forme ππk2

4

23 + , avec

k∈ℤ. On a donc parmi toutes les valeurs possibles de k, une qui vérifie, l’inéquation :

4

232

4

232

4

23 πππππππππ −≤<−−⇔≤+<− kk

Ou encore 4

192

4

27 πππ −≤<− k , en multipliant tous les membres de cette inéquation

par :π2

1, on trouve :

8

19

8

27 −≤<− k . Or, ,...38

27 −≈− et ,...28

19 −≈− . Donc le seul entier

vérifiant k dans l’inéquation précédente est −3, d’où ( )4

324

23 πππ −=×−×+ . Donc la

la mesure principale de 4

23π est

4

π−.

EExxeerrcciiccee 11:: Calculer la mesure principale de l’angle dont une mesure est donnée par 3

73π−.

SSoolluuttiioonn ::


VVooiiccii ll ’’ aallggoorr ii tthhmmee eett llee pprrooggrraammmmee dduu ccaallccuull ddee llaa mmeessuurree pprr iinncciippaallee dd’’ uunn aannggllee ddoonnnnéé ::

Variables : ϕ, θ, k et t sont des nombres

Entrées Introduire mesure de l’angle Traitement

0←k

t ←ϕ

Tant que t>π ; (SSoouuss AAllggoobbooxx,, llee nnoommbbrree π eesstt ddééff iinnii ppaarr MMaatthh..PPII ) π2−← tt 1−← kk Fin Tant que

Tant que t≤−π ; π2+← tt 1+← kk Fin Tant que

πϕθ ××+← k2 Sorties Afficher k

Afficher θ.


II II -- LLiiggnneess ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess II II -- 11 :: LLeess ccoooorrddoonnnnééeess dd’’ uunn ppooiinntt dduu cceerrccllee ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquuee

DDééff iinnii ttiioonn 66: On dit que le repère ( )jiO ,; est un repère orthonormal direct, si les deux

conditions suivantes sont vérifiées simultanément : 1== ji ; ( ) [ ]ππ2

2; =ji

RReemmaarrqquuee :: Dans la définition précédente, [ ]π2 remplace πk2 dans la somme ππk2

2+ et se

lit modulo π2 .

TThhééoorrèèmmee 22:Soit M un point d’un cercle trigonométrique C, de centre O, associé à un repère

( )jiO ,; tel que ( ) [ ]π2, xOMOI = , alors les coordonnées du point M sont données par

( )xxM sin,cos .

DDéémmoonnssttrraattiioonn ::

CCoonnssééqquueenncceess ::11))On a vu que si x est une mesure de l’angle ( )OMOI , , alors tout nombre

réel de la forme πkx 2+ ( avec k∈ℤ) est aussi une mesure de ( )OMOI , , donc : ( ) xkx cos2cos =+ π et ( ) xkx sin2sin =+ π

22)) Les coordonnées de tout point M du cercle trigonométrique, varient entre −1 et 1, donc 1cos1 ≤≤− x et 1sin1 ≤≤− x


II II -- 22:: AAnngglleess aassssoocciiééss TThhééoorrèèmmee 33: Pour tout réel x :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xxxx

xxxx

xxxx

coscos,sinsin

coscos,sinsin

coscos,sinsin

=−−=−−=+−=+−=−=−

ππππ


Voici quelques angles remarquables et les sinus et cosinus associés:


II II -- 33:: AAnngglleess ccoommpplléémmeennttaaii rreess TThhééoorrèèmmee 44: Pour tout réel x :

xxxx

xxxx

sin2

cos,cos2

sin

sin2

cos,cos2

sin

−=

+=

+

=

−=

−

ππ

ππ


EExxeerrcciiccee 22::

Calculer :

+

−

+

=6

7cos2

6

5sin5

6

2cos4

6sin

ππππA .

SSoolluuttiioonn::

. VVooiiccii qquueellqquueess mmeessuurreess rreemmaarrqquuaabblleess eett lleeuurrss ll iiggnneess ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess ::

Masure de l’angle en degré

0 30° 45° 60° 90° Masure de

l’angle en radian 0

6

π

4

π

3

π

2

π

Sin x 0

2

1

2

2

2

3

1

Cos x 1

2

3

2

2 2

1

0

Tan x 0

3

3

3

1 = 1 3 _


EExxeerrcciiccee 33:: Calculer

+

+−=3

37cos

6sin2sin

πππ nB avec n∈ℕ.

SSoolluuttiioonn::

II II II -- II ddeennttii ttééss ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess ffoonnddaammeennttaalleess

On sait déjà que pour tout réel x, on a : 1cossin 22 =+ xx ,

Pour tout x∈ ℝ\{ ππk+

2 / k∈ℤ} ,

x

xx

cos

sintan = et

xx

22

cos

1tan1 =+ .

CCoommmmeenntt uuttii ll iisseerr lleess ll iiggnneess ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess ??

EExxeemmppllee 22:: On suppose que α est un réel appartenant à

− 0;2

π, tel que

4

1tan

−=α ,

calculer cosinus et sinus de α .

SSoolluuttiioonn:: On sait que pour tout réel α ∈ ℝ\{ ππk+

2 / k∈ℤ} ,

αα

22

cos

1tan1 =+ .

Or, ∀α ∈

− 0;2

π, 0cos >α et 0sin ≥α , donc :

αα

22

cos

1tan1 =+ , soit

2

2 4

11

cos

1

−+=α

donc 16

17

cos

12

=α

; 17

16cos2 =α donc

17

174

17

4cos

−=−=α ( ce résultat n'est pas acceptable car

−∈ 0;2

πα ) ou

17

174

17

4cos ==α donc

17

17

17

174

4

1costansin

cos

sintan −=×−=×=⇔= ααα

ααα .

EExxeerrcciiccee 44:: On suppose que α est un réel appartenant à

2

3;

ππ , tel que 4

3cos

−=α ,

calculer sinus et tangente de α . SSoolluuttiioonn::


SSuuii ttee ddee llaa ssoolluuttiioonn ddee ll ’’ eexxeerrcciiccee pprrééccééddeenntt ::

CCoommmmeenntt ddéémmoonnttrreerr uunnee iiddeennttii ttéé ((ééggaall ii ttéé)) ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquuee ?? MMéétthhooddeess :: Pour démontrer une égalité trigonométrique, on transforme le membre le plus complexe de l’égalité par des manipulations algébriques afin qu' il soit identique à l’autre membre. Un deuxième procédé consiste à manipuler algébriquement et indépendamment les deux membres de l’égalité, afin qu' ils deviennent identiques.(évidemment ma préférence va vers la 1ère méthode) EExxeemmppllee 33:: Démontrer l’égalité suivante pour tout réel x: 2sin4 x - 2cos4 x + 4 cos2 x = 2 SSoolluuttiioonn:: Pour démontrer cette égalité trigonométrique, on transforme le 1er membre (que est le membre le plus complexe de l’égalité) par des manipulations algébriques afin qu'il soit identique au 2nd membre :

( )( ) ( )

( )

2cos4cos2sin21

cossin2cos4cos2sin2

cos2sin2cos4cos2sin2

cos4cos2sin2cos4cos2sin2

) identitél' après(D' cos4

1

cossincossin2cos4cos2sin2

cos4cossin2cos4cos2sin2

244

22244

22244

222244

2222222244

244244

=+−=+=+−

+=+−

+−=+−

−+=+×−=+−

+−=+−

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

baxxxxxxxx

xxxxx

44 344 21

44 344 21

EExxeerrcciiccee 55:: Démontrer l’égalité suivante pour tout réel a∈ℝ\{ πk / k∈ℤ} :

( ) ( )

( )( )

( )a

a

a

aa

cos1

2cos3

sin

1cossin32

2

−−=++−

SSoolluuttiioonn::


II VV-- ÉÉqquuaattiioonnss,, iinnééqquuaattiioonnss ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess II VV-- 11.. ÉÉqquuaattiioonnss ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess TThhééoorrèèmmee 55: On définit les équations trigonométriques élémentaires :

( )

[ ]

( )

ZkkxavecZkaveckxx

deréeluniquelestoù

kxZk

ou

kxZk

xbavecbx

deréeluniquelestoù

kxZk

ou

kxZk

xaavecax

∈+≠∈+=⇔=

−

+−=∈∃

+=∈∃⇔=⇔<<−=

+−=∈∃

+=∈∃⇔=⇔<<−=

;2

tantan

2,

2'

2,

2,

sinsin11sin

,0'

2,

2,

coscos11cos

πππγγ

ππβ

πβπ

πββ

παπα

παα


CCaass ppaarrttiiccuull iieerrss :: Pour tout réel x et tout entier relatif k :

ππkxxcos +=⇔=

20 ; πkxxsin =⇔= 0

πkxxcos 21 =⇔= ; ππkxxsin 2

21 +=⇔=

ππ kxxcos 21 +=⇔−= ; ππkxxsin 2

21 +−=⇔−=

EExxeemmppllee 44:: Résoudre dans ℝ puis dans [ [ππ ,− : ( )2

13sin

−=x .

SSoolluuttiioonn:: ( ) ( )

+

−−=

+−=

⇔

−=⇔−=

πππ

ππ

π

kx

ou

kx

xx

26

3

26

3

6sin3sin

2

13sin k∈ℤ


+=

+−=

⇔

3

2

18

7

3

2

18

ππ

ππ

kx

ou

kx

k∈ℤ ; ⇔

∈++−= Zk

kkSIR /

3

2

18

7;

3

2

18

ππππ

On fait varier k dans ℤ , afin de trouver, les solutions dans [ [ππ ,− .

Pour k=0, on trouve :

−

18

7;

18

ππ ;

Pour k=1, on trouve :

18

11π, car l’autre solution, c’est-à-dire ∉

18

19π [ [ππ ,− ;

Pour k=-1, on trouve :

−−

18

5;

18

13 ππ ;

Pour k=-2, on trouve :

−

18

17π, car l’autre solution, c’est-à-dire ∉−

18

25π [ [ππ ,− ;

Pour k=2 et k= -3, on ne trouve aucune solution dans [ [ππ ,− ;

Donc [ [

−−−−=− 18

11;

18

7;

18;

18

5;

18

13;

18

17,

ππππππππS .

EExxeerrcciiccee 66:: Résoudre dans ℝ puis dans [ [ππ ,− : ( )

−=3

cos3sinπ

xx .

SSoolluuttiioonn::


SSuuii ttee ddee llaa ssoolluuttiioonn ddee ll ’’ eexxeerrcciiccee pprrééccééddeenntt ::

II VV-- 22.. II nnééqquuaattiioonnss ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess Dans cette partie du cours, on s’intéresse à la résolution d'inéquations trigonométriques élémentaires à l’aide d’un cercle trigonométrique.

EExxeemmppllee 55:: Résoudre dans ℝ puis dans [ [ππ ,− , l’inéquation : ( ) 012cos2 ≥+− x (1)

SSoolluuttiioonn:: ( ) 012cos2 ≥+− x . ( )2

22cos −≥⇔ x

Pour résoudre cette inéquation, on pose xX 2= , donc résoudre l’inéquation (1), revient à

résoudre, d’abord l’inéquation:2

2cos −≥X .

On remarque que

−=−4

3cos

2

2 π ou encore

=−4

3cos

2

2 π

On retrouve les solutions de cette inéquation, sur l’arc, colorié en rouge du cercle trigonométrique, ci-dessous :

donc ππππkXkX 2

4

32

4

3

2

2cos +≤≤+−⇔−≥ , avec k∈ℤ.

Ainsi, on a successivement : ( )2

22cos −≥x ππππ

kxk 24

322

4

3 +≤≤+−⇔

ππππkxk +≤≤+−⇔

8

3

8

3 , avec k∈ℤ. D’où : U

ZkIR kkS

∈

++−= ππππ8

3;

8

3

On fait varier k dans ℤ , afin de trouver les solutions :

dans [ [ππ ,− : [ [434214342143421

101

, ,8

5

8

3,

8

3

8

5,

==−=

−

∪

−∪

−−=

kPourkpourkPour

S ππππππππ .


EExxeerrcciiccee 77:: Résoudre dans ℝ puis dans [ [π2;0 : 034

3sin2 <−

+− πx .

SSoolluuttiioonn::


VV-- FFoonnccttiioonnss ccii rrccuullaaii rreess VV-- 11.. DDééff iinnii ttiioonn dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn ccii rrccuullaaii rree ((ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquuee)) DDééff iinnii ttiioonn 77:: Toute fonction qui peut être associée à un cercle trigonométrique est appelée fonction circulaire, comme les fonctions xx sina , xx cosa et xx tana .

VV-- 22.. FFoonnccttiioonn ppéérr iiooddiiqquuee

Une fonction circulaire est définie sur ℝ. En traçant une fonction circulaire, on peut constater qu’une partie de la courbe est reproduite indéfiniment à gauche et à droite sur les intervalles successifs de longueur T, ainsi, on peut logiquement penser à un moyen qui justifiera cette particularité de ces fonctions et de cette façon, on se limite à l’étude de cette fonction sur cet

intervalle de longueur T afin de trouver son comportement sur le reste de ℝ.

DDééff iinnii ttiioonn 88: Le plan est muni d’un repère orthogonal( )j,i;O . Une fonction f est de période T (la période la plus petite ) (ou T-périodique) si : pour tout x∈Df, , x+T∈ Df et x-T∈Df et pour tout x ∈Df , f( x+T )=f( x ) et la courbe C f est

globalement invariante par la translation de vecteur ikTV = .

CCoommmmeenntt ccaallccuulleerr llaa ppéérriiooddee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquuee ??

RRèègglleess ::11)) la période T des fonctions du type: f (x)=sin(α x+β ) et f (x)=cos(α x+β ) s’obtient

par : απ2=T (ici on suppose que 0>α , dans le cas contraire, on utilise les formules:

sin (-x) = -sin (x) et cos (-x) = cos (x), afin de rendre le signe de α positif)

Car

+απ2

xf =cos

β+

απ+α 2

x = cos( )β+π+α 2x = cos(α x+β )= f (x).

22)) la période T d’une somme de fonctions du type : ( ) ( ) ( )xxxf 21 sinsin αα += s’obtient

d’abord par la recherche des périodes des fonctions : ( )xx 1sin αa et ( )xx 2sin αa , qui sont

respectivement : 1

1

2

απ=T et

22

2

απ=T puis le plus petit multiple commun des deux périodes.

EExxeemmpplleess 66:: Etudier la périodicité des fonctions f et g définies respectivement par :

f (x) = sin²(x) − sin (2x). et ( )

+

=2

sin3

cosxx

xg

SSoolluuttiioonn:: -Il est évident que 2π est une période pour la fonction f mais nous cherchons la période la plus

petite de f : En considérant π=π2

2, on trouve f ( x+π )= sin²( x + π ) − sin (2(x + π ))

f ( x+π ) = ( )( ) ( )xx 2sinsin 2 −− = sin²(x)− sin (2x)= f (x). Donc f est π-périodique.

- Pour la fonction g : ππ6

3/1

21 ==T et ππ

42/1

22 ==T , donc le plus petit multiple commun

des deux périodes est π12 , en effet

( ) ( ) ( )

++

+=

++

+=+ πππππ 62

sin43

cos122

1sin12

3

1cos12

xxxxxg

( ) ( )xgxx

xg =

+

=+2

sin3

cos12π . Donc g est 12π-périodique.


VV-- 33.. FFoonnccttiioonnss ccii rrccuullaaii rreess

Le plan est muni d’un repère orthogonal ( )jiO ,; : VV-- 33..11)) FFoonnccttiioonn ssiinnuuss La fonction sinus ( )xx sina est une fonction :

- ddééff iinniiee sur ℝ ;

-- ppéérr iiooddiiqquuee de période π2 (on l’a vu auparavant avec ( ) xkx sin2sin =+ π ), on peut

restreindre l’étude de cette fonction à un intervalle de longueur π2 , comme [ ]ππ ,− ;

-- iimmppaaii rree (on l’a vu auparavant avec ( ) ( )xx sinsin −=− ), on peut donc restreindre

l’étude de cette fonction à un intervalle , comme [ ]π,0 . En passant par un cercle trigonométrique, entre 0 et π , on peut constater que cette fonction

est ccrrooiissssaannttee sur

2,0π

et ddééccrrooiissssaannttee sur

ππ,

2.

x

0 2

π π

( )xsin 1 0 0

De ce qui précède, par la parité, on peut affirmer que qu’elle est ccrrooiissssaannttee sur

− 0,2

π et

ddééccrrooiissssaannttee sur

−−2

,ππ .

On complète cette étude (y compris pour la construction de la courbe) , par périodicité à

gauche et à droite de [ ]ππ ,− , par la translation de vecteur ikV π2= , où k∈ℤ. RReemmaarrqquueess :: Sa courbe admet :

-- des symétries de centre ( )0;πkAk ;

-- des axes de symétrie d’équation : ππkx +=

2 , k∈ℤ.


VV-- 33..22)) FFoonnccttiioonn ccoossiinnuuss La fonction cosinus ( )xx cosa est une fonction :

-- ddééff iinniiee sur ℝ ;

-- ppéérr iiooddiiqquuee de période π2 (on l’a vu auparavant avec ( ) xkx cos2cos =+ π ), on peut

restreindre l’étude de cette fonction à un intervalle de longueur π2 , comme [ ]ππ ,− ;

-- ppaaii rree (on l’a vu auparavant avec ( ) ( )xx coscos =− ), on peut donc restreindre l’étude

de cette fonction à un intervalle , comme [ ]π,0 . En passant par un cercle trigonométrique, entre 0 et π , on peut constater que cette fonction est ddééccrrooiissssaannttee sur [ ]π,0 .

x 0

2

π π

( )xcos 1 0

−1

De ce qui précède, par la parité, on peut affirmer que qu’elle est ccrrooiissssaannttee sur [ ]0,π− . On complète cette étude (y compris pour la construction de la courbe) , par périodicité à

gauche et à droite de [ ]ππ ,− , par la translation de vecteur ikV π2= , où k∈ℤ. RReemmaarrqquueess :: Sa courbe admet :

-- des symétries de centre

+ 0;2

ππkAk ;

-- des axes de symétrie d’équation : πkx = , k∈ℤ.

RReemmaarrqquueess :: On sait que

+=2

sincosπ

xx , on peut dire que la courbe de ( )xcos est celle

de ( )xsin décalée de 2

π− vers la gauche.

Cette courbe est une ssiinnuussooïïddee.


VV-- 33..33)) FFoonnccttiioonn ttaannggeennttee La fonction tangente ( )xxf tan: a est une fonction :

-- ddééff iinniiee sur ℝ\{ ππk+

2 / k∈ℤ} ;

-- ppéérr iiooddiiqquuee de période π (car, ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )xx

x

x

x

x

xx tan

cos

sin

cos

sin

cos

sintan ==

−−=

++=+

πππ ),

on peut donc restreindre l’étude de cette fonction à un intervalle de longueur π ,

comme

−2

,2

ππ;

-- iimmppaaii rree (car, ∀x∈Df , −x∈Df , ( ) ( )( )

( )( ) ( )xx

x

x

xx tan

cos

sin

cos

sintan −=−=

−−=− ), on peut

donc restreindre l’étude de cette fonction à un intervalle, comme

2,0π

.

En passant par un cercle trigonométrique, entre 0 et 2

π, on peut constater que cette fonction

est strictement ccrrooiissssaannttee sur

2,0π

.

x

0 2

π

( )xcos ∞+ 0

De ce qui précède, par la parité, on peut affirmer que qu’elle est aussi strictement ccrrooiissssaannttee

sur

−0,

2

π.

On complète cette étude (y compris pour la construction de la courbe) , par périodicité à

gauche et à droite de

−2

,2

ππ, par la translation de vecteur ikV π= , où k∈ℤ.

RReemmaarrqquuee :: Sa courbe admet des symétries de centre ( )0;πkAk ; k∈ℤ.


VV-- 33..44)) FFoonnccttiioonnss ssiinnuussooïïddaalleess

DDééff iinnii ttiioonn 99: On appelle fonctions ssiinnuussooïïddaalleess, fonctions définies sur ℝ, par : ( )cbxax +sina et ( )cbxax +cosa , où a, b∈ℝ* et c∈ℝ.

DDééff iinnii ttiioonn 1100: On appelle ll ’’ aammppll ii ttuuddee d’une fonction f, le nombre a défini par :

2

minmax ffa

−=

EExxeemmppllee 77:: On sait que : le maximum des fonctions sinus et cosinus sur [ ]π2,0 est 1 ;

le minimum des fonctions sinus et cosinus sur [ ]π2,0 est −1 ;

Donc, ces deux fonctions, ont pour amplitude : ( )

12

11 =−−=a .

RReemmaarrqquuee :: Il n’y a pas d’amplitude associée à la fonction tangente. CCoonnssééqquueenncceess :: La fonction définie par : ( )bxaxf sin: a (avec ( )ba, ∈ℝ *

+ ) , a:

-- pour amplitude a ;

-- pour période b

Tπ2= ;

-- pour un premier maximum : af =max , obtenu pour b

x2

π= ;

-- pour un premier minimum : af −=min , obtenu pour b

x2

3π= .

EExxeemmppllee 88:: La fonction définie par : ( )xxf 2sin3: a , a :

-- pour amplitude a=3 ;

-- pour période ππ ==2

2T ;

-- pour maximum 3max =f , obtenu pour 4

π=x ;

-- pour minimum 3min −=f , obtenu pour 4

3π=x . (voir la courbe suivante) :


CCoonnssééqquueenncceess :: La fonction définie par : ( )bxaxf cos: a (avec ( )ba, ∈ℝ *

+ ) , a:

-- pour amplitude a ;

-- pour période b

Tπ2= ;

-- pour un premier maximum : af =max , obtenu pour 0=x ;

-- pour un premier minimum af −=min , obtenu pour b

xπ= .

RReemmaarrqquuee :: Cette fonction étant paire, l’abscisse d’un deuxième minimum est b

xπ−= .

EExxeemmppllee 99:: La fonction définie par :

xxf

3

4cos2: a , a :

-- pour amplitude a=2 ;

-- pour période 2

3

3/4

2 ππ ==T ;

-- pour maximum 2max =f , obtenu pour 0=x ;

-- pour minimum 2min −=f , obtenu pour 4

3π=x . (voir la courbe suivante) :


CCoommmmeenntt ééttuuddiieerr uunnee ffoonnccttiioonn aassssoocciiééee àà uunnee ffoonnccttiioonn ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquuee ?? EExxeemmppllee 1100:: Soit Cf la courbe représentative d’une fonction f dans un repère orthonormal

( )jiO ,; , définie sur ℝ par : ( ) ( )xxf

3cos2

4

+= .

11)) Étudier la périodicité de la fonction f. En déduire que Cf est globalement invariante par une

translation que l’on précisera. 22)) Étudier la parité de la fonction f. Expliquez pour quelle raison, on peut étudier f sur

l’intervalle

3;0π

.

3) Montrer que ∀x∈ℝ, ( ) 43

4 ≤≤ xf .

4) Étudier les variations de f sur

3;0π

. En déduire les variations de f sur l’intervalle

− 0;3

π.

5) Donner le tableau de variations de f sur

−3

;3

ππ.

SSoolluuttiioonn :: 11)) PPéérr iiooddiiccii ttéé ddee ff :: On peut conjecturer que la fonction f est 3

2π=T -périodique,

démontrons-le :

( ) ( ){ ( ) ( )xf

xxx

xfXXCar

=+

=++

=

++=

+=+ 3cos2

4

23cos2

4

3

23cos2

4

3

2

cos2cos ππππ

.

Donc f est 3

2π-périodique. On peut donc étudier f sur un intervalle de longueur

3

2π, comme

−3

;3

ππ. On en déduit que Cf est globalement invariante par une translation de vecteur

ikV3

2π= , k∈ℤ.

22)) PPaarr ii ttéé ddee ff ::On sait que f définie sur ℝ, donc∀x∈Df , −x∈Df :

( ) ( ) ( ) ( )xfxx

xf =+

=−+

=−3cos2

4

3cos2

4

On peut donc restreindre, l’étude de f à un intervalle comme l’ intervalle

3;0π

.

3) On sait que ∀x∈ℝ, ( ) 13cos1 ≤≤− x donc ( ) 33cos21 ≤+≤ x .

Or, la fonction x

x1

a est strictement décroissante sur ] [+∞,0 , donc ( ) 13cos2

1

3

1 ≤+

≤x

En multipliant les trois membres de cette inégalité par 4, on trouve successivement :

( ) ( ) 43

44

3cos2

4

3

4 ≤≤⇔≤+

≤ xfx

.


4) Étudions les variations de f sur

3;0π

:

Considérons deux réels a et b∈ℝ, tels que ππ ≤<≤⇔≤<≤ baba 3303

0 .

Or, la fonction xx cosa est strictement décroissante sur [ ]π,0 , donc :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1coscos10coscoscoscos ≤<≤−⇔≤<≤ ababπ , ou encore ∀x∈

3;0π

:

( ) ( )ab coscos < , on a donc successivement ( ) ( )ab cos2cos2 +<+ . Or, la fonction x

x1

a est

strictement décroissante sur ] [+∞,0 , donc ( ) ( )ba cos2

1

cos2

1

+<

+. En multipliant les trois

membres de cette inégalité par 4, on trouve : ( ) ( )ba cos2

4

cos2

4

+<

+, donc :

( ) ( )bfaf < , ∀a et b∈

3;0π

. On en déduit que f est strictement croissante sur

3;0π

.

Or, f est paire et on sait que si f est une fonction paire que f est strictement croissante sur [ ] [ [+∞⊂ ,0,ba , alors elle est strictement décroissante sur [ ]ab −− , , donc f est strictement

décroissante sur

− 0;3

π. Et, on a ( )

3

40 =f , 4

33=

=

− ππff

De tout ce qui précède, on en déduit le tableau de variation suivante : 5)

x

3

π− 0 3

π

( )xf 4 4

3

4


EExxeerrcciicceess àà ffaaii rree àà llaa mmaaiissoonn EExxeerrcciiccee 11:: Calculer :

11))

4

213cos

π 22))

−3

74sin

π 3)

−6

113tan

π

EExxeerrcciiccee 22:: Calculer :

11))

−

+

−

+

+

=4

5sin5

4

5cos4

4

3cos4

4

3sin3

4

2sin2

4sin

ππππππA ;

22)) ( )

−+

++

+−+=4

6cos4

2

5sin2

2

3sin3sin 2222 ππππ xxxxB .

EExxeerrcciiccee 33:: Simplifier l’expression suivante : ( ) ( )

( ) ( )xx

xxxA

tantan

sincos)sin(3

32

++×= .

EExxeerrcciiccee 44:: Soit ( )jiO ,; un repère orthonormal direct du plan. On désigne par C le cercle

trigonométrique.

1) Placer le point M sur C, repéré par un réel x∈

− 0,2

π tel que

5

3cos =x .

2) a) Calculer sin x .

b) En déduire tan x .

3) Plus généralement, soit x∈

− 0,2

π tel que α=xsin .

a) Quel est le signe du réel a ?.

b) Calculer les réels cos x et tan x en fonction de a .

EExxeerrcciiccee 55:: Soit ( )jiO ,; un repère orthonormal direct du plan. On désigne par C le cercle

trigonométrique. 1) Placer sur le cercle trigonométrique C, à l’aide d’un rapporteur le point A repéré par le réel

12

5π.

2) On donne ( )

4

132

12

5cos

−=

π . Calculer la valeur exacte de

12

5sin

π.

3) En déduire la valeur exacte de

12

5tan

π.

3) a) Placer, sur le cercle trigonométrique C, les points B et C repérés respectivement par le

réels 12

11π et

12

17π.

b) En déduire, les valeurs exactes des réels

12

11sin

π,

12

11cos

π,

12

17sin

π et

12

17cos

π.


EExxeerrcciiccee 66:: Résoudre les équations suivantes dans ℝ, puis dans ] ]ππ ,− :

11)) ( )2

22cos

−=x ; 22)) ( )xx 3cos3

2sin =

− π

EExxeerrcciiccee 77:: Résoudre dans ℝ, puis dans [ [ππ ,− :

13

sin2 <

+− πx .

EExxeerrcciiccee 88:: Résoudre seulement dans [ [ππ ,− : ( )2

22sin

2

1 ≤+<− πx .

EExxeerrcciiccee 99:: Déterminez la période de la fonction :

11)) ( )

=2

sinx

xfπ

; 22)) ( )

+

=3

2cos

2

3sin

2

3 xxxg .

EExxeerrcciiccee 1100:: Soit f la fonction définie sur ℝ par : ( )

=3

2cos4

xxf .

1) Déterminez la période de la fonction f. 2) Déterminez les coordonnées de deux minimums et deux maximums successifs. 3) Représentez graphiquement sur une période. EExxeerrcciiccee 1111:: Déterminer par simple lecture graphique, une équation de chacune des courbes suivantes : 1)

2)


EExxeerrcciiccee 1122:: Simplifier l’écriture des expressions suivantes :

a)

+

+

+

=7

13cos

7

10cos

7

4cos

7cos

ππππA

b)

+

+

+

=12

11sin

12

7sin

12

5sin

12sin 3333 ππππ

B


TTaabblleeaauuxx rrééccaappii ttuullaattii ffss II ddeennttii ttééss ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess ffoonnddaammeennttaalleess

Pour tout réel x, on a : 1cossin 22 =+ xx ,

Pour tout x∈ ℝ\{ ππk+

2 / k∈ℤ} ,

x

xx

cos

sintan = et

xx

22

cos

1tan1 =+ .

∀x∈ℝ , ( ) xkx cos2cos =+ π et ( ) xkx sin2sin =+ π

∀x∈ℝ , 1cos1 ≤≤− x et 1sin1 ≤≤− x AAnngglleess aassssoocciiééss Pour tout réel x :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xxxx

xxxx

xxxx

coscos,sinsin

coscos,sinsin

coscos,sinsin

=−−=−−=+−=+−=−=−

ππππ

AAnngglleess ccoommpplléémmeennttaaii rreess Pour tout réel x :

xxxx

xxxx

sin2

cos,cos2

sin

sin2

cos,cos2

sin

−=

+=

+

=

−=

−

ππ

ππ

ÉÉqquuaattiioonnss ttrr iiggoonnoommééttrr iiqquueess On définit les équations trigonométriques élémentaires :

2

2

coscos

+−=

+=⇔=

πα

παα

kx

ou

kx

x k∈ℤ Et

+−=

+=⇔=

πβπ

πββ

kx

ou

kx

x

2

2

sinsin k∈ℤ

πγγ kxx +=⇔= tantan k∈ℤ avec x∈ℝ \{ ππk+

2 ; k∈ℤ }

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