Constructief Ontwerpen Met Material En B

5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 1/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118

EENVOUDIGE

LIGGERBEREKENING:

• Buiging

• Dwarskracht• Vervorming



EEN BETONBEREKENING ISEEN

DOORSNEDEBEREKENING!

• als de doorsnede bekend is, kan de wapeningbepaald worden.

• als de wapening bekend is, kan een passendeafmeting bepaald worden.



VAN SPANNINGEN NAAR MOMENT(zie reader op site van Com B)

Leer der toegepaste mechanica:

• lineair - elastisch

• niet lineair - elastisch



N'

N

l

l

l

b

h h

a b

A (mm )2

A (mm )2

'

Prisma belast door een normaalkracht



AE

lNl

⋅

⋅=∆verlenging of verkorting:

l

l∆=εspecifieke vervorming:

A

N=σoptredende spanning:

)E

'

':druk(

σ

=εE

σ

=εWet van Hooke:

Verband tussen spanning en vervorming

E-modulus



Het verband tussen spanning (σ) enspecifieke vervorming (ε).

Lineair - elastisch



''tan

ε

σ=α

tan α = E (α = arctan E).

M.a.w. de elasticiteitsmodulus van een materiaal wordt

voorgesteld door de helling (richtingscoëfficiënt) van hetσ’ - ε’ – diagram.



1

2

34 5

σ’ -

ε’ – diagram van een op d r u k belaste betonprisma



Géén rechtlijnig verband tussenσ

enε

niet lineair – elastisch



Lineair versus niet-lineair.

• afleiding m.b.v. lineair – elastisch materiaal

• overgang naar niet lineair – elastisch materiaal beton



Md

= F·a

FdFd

a a

M-lijn

D-lijnFd

M = constant

“vierpuntsbuigproef” zuivere buiging



MATERIAALEIGENSCHAPPEN TREK & DRUK

ε’

σ’

σ’ 1

σ’ 2

σ’ 3

ε’ 1 ε’ 2 ε’ 3

1

2

3

Linear-elastisch, druk

ε

σ

σ1

σ2

σ3

ε1 ε2 ε3

1

2

3

Linear-elastisch, trek


http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 13/81

Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118

spannings-(σ) en rek-(ε) diagrammen

σ1 ε1b

h

σ’ 1 ε’ 1 σ’ 2 ε’ 2 σ’ 3 ε’ 3 σ’ 3

σ2 ε2 σ3 ε3

drukN’

N

z

σ3

trek

Mu = N·z

punt 1 punt 2 punt 3 z is “inwendigehefboomsarm” (uit voorgaande grafieken)

de spanningen zijn rechtevenredig met de vervormingen




Uiterst opneembaar moment: Mu

(inwendig moment)

Volgt uit geometrie en materiaaleigenschappen

• het moment wat k an worden opgenomen

• momentcapaciteit van de doorsnede




Rekenwaarde van het moment: Md

(uitwendig moment)

Volgt uit de mechanica (rekensommmetje)

• het moment wat m o e t worden opgenomen




Mu≥ M

d

Inwendig moment≥

Uitwendig moment

constructie-onderdeel voldoet op sterkte




Optredende spanning is: σ

Uiterst opneembare spanning is: f

Vergelijk met bijv. staal:

Optredende spanning: σs (index s van staal)

Uiterst opneembare spanning: f s (vloeispanning)

voor staalkwaliteit S235JR is dit 235 N/mm2

Uit het laatste diagram van dit voorbeeld kan worden




Uit het laatste diagram van dit voorbeeld kan wordenopgemaakt dat:

∑H=0

N = N’ (er is hier verder géén uitwendige normaalkracht aanwezig)

Mu = N · z ofwel Mu = N’ · z

N = de resultante van de inwendige trekkracht

N’ = de resultante van de inwendige drukkracht

z = inwendige hefboomsarm

Tussen N en N’ ontstaat een inwendig moment (koppel), met

afstand z (inwendige hefboomsarm).




De grootte van N is gelijk aan de inhoud van de

spanningsfiguur (bekend uit de mechanica):

oppervlak van de spanningsdriehoek vermenigvuldigd

met de breedte:

N = oppervlak ∆ * breedte balk

N = ½ · (σ · ½h) * b

[Newton]




De kracht N grijpt aan in het zwaartepunt van dedriehoek

z = 2 * afstand zwaartepunt tot n.l.

z = 2 * (2 /3 · ½h) = 2 /3h

N’

N

z

Mu = N·z

σ3

σ’ 3

1 /3 * 1 /2h

2 /3 * 1 /2h




Mu = N · z

Mu

= ½ · σ · ½h · b * 2 /3

h = 1 /6

bh2 · σ [Nmm]

2

61

u

bh·M=σ⇒

M




I

z·M index=σUit de mechanica volgt:

z = afstand van de n.l. tot aan de beschouwde uiterste vezel, onder of boven.Voor rechthoekige doorsneden is zboven = zonder = ½h.

Deze ‘z’ niet verwarren met de inwendige hefboomsarm!

I = Axiaal Kwadratisch Oppervlakte MomentVoor rechthoekige doorsneden is dit: 1 /12 · bh3.

2

6

13

12

1

bh·

M

bh·

h½·M=σ⇒=σ

Vergelijk dit met de vorige uitkomst!




VOORBEELD

Rechthoekige doorsnede b*h = 150 * 300 mm²

Materiaalgegevens: (alléén t.b.v. sterkte)

(zie grafiek): f trek = f’ druk = 10 N/mm²

Bepaal het uiterst opneembare moment Mu

van deze doorsnede.




Grafiek t.b.v. rekenvoorbeeld

ε

σ

εu

Linear-elastisch, trek en druk

f u = 10 N/mm²

Uitwerking:




Uitwerking:

Teken altijd eerst het spannings- en rekfiguur:

150

300

f u

f’ u ε’ u

εu

N’

N

z

10 N/mm²

½h

½h

10 N/mm²

Kracht N = ½ · σ · ½h · b




Kracht N = ½ σ ½h b

½ · 10 · ½·300 · 150 = 112.500 N (112,5 kN)

Hefboomsarm z = 2 * (2 /3 · ½h)

2 · (2 /3 · ½·300) = 200 mm.

Mu = 112.500 · 200 = 22,5·106 Nmm² (22,5 kNm)

Een groter moment kan deze doorsnede niet opnemen.




Beschouw onderstaande balk + belasting

Md = F·a

FdFd

a a

M-lijn

M = constant




Md = F·a

FdFd

a a

M-lijn

Stel: Fd = 10 kN

a = 2 m.

Materiaaleigenschappen en doorsnede ongewijzigd:

de balk is gemaakt van de doorsnede die zojuist is berekend(met Mu = 22,5 kNm)

Is deze balk sterk genoeg om de gegeven belasting te

dragen?

Als Md ≤ Mu, dan heeft de doorsnede voldoende capaciteit




om het aanwezige moment op te nemen en is de balk dussterk genoeg.

Mu is zojuist berekend en is 22,5 kNm

Md wordt bepaald door de uitwendige belasting en volgtuit de mechanica:

Md = Fd · a Md = 10 · 2 = 20 kNm.

20 kNm (Md) < 22,5 kNm (Mu) voldoet

de balk is dus sterk genoeg.

NIET LINEAIR – ELASTISCH GEDRAG




NIET LINEAIR ELASTISCH GEDRAGVAN BETON

σ’

ε

σ

σ-ε-diagrambeton onder trek

ε’

σ-ε-diagrambeton onder druk

werkelijk verloop

geschematiseerd

Conclusie:




Conclusie:

er bestaat géén rechtlijnig verband tussen

spanning en vervorming, zowel voorbeton onder druk als onder trek.

• Het drukdiagram wordt geschematiseerd tot een bi-lineair diagram

• Het trekdiagram wordt alléén gebruikt om hetscheurmoment te bepalen.

• Verder wordt uitgegaan dat beton géén trek kan

opnemen




• De optredende trekkrachten worden volledig door dewapening opgenomen.

trek

druk M M

• Omdat gewapend beton een samengestelde doorsnedeis, moeten ook de materiaalgegevens van hetwapeningsstaal bekend zijn.

De E-modulus van betonstaal is een vast gegeven:




g g

Es = 2,0·105

N/mm²

f s

FeB 500

FeB 400

FeB 220= 190 N/mm2

= 350 N/mm2

= 435 N/mm2

arctg E s

f s

f s

f s

a b

s s

s su s

De rek aan het einde van de schuine tak voor FeB500 is dus:

‰18,2002175,010·0,2

435

5s≈==ε




Hieruit volgt dus dat staal een bijzonder lange horizontaletak heeft.

In deze tak neemt de spanning niet meer toe, alléén devervorming!

M.a.w. de kracht in het staal blijft onveranderd, alleenwordt het staal langer.




De benodigde σ-ε-diagrammen zijn hieronderweergegeven:

ε’

σ’


ε

σ


εs

σs

σ-ε-diagramstaal onder trek

f'b

1,75‰

f bm

≈0,20‰ 2,175‰27,5 – 32,5‰

f s

3,50‰

De diagrammen zijn onderling niet op schaal getekend!

FdFd

Beschouw de balk uit




Md = F·a

a a

M-lijn

Beschouw de balk uit

voorgaand voorbeeld:

De doorsnede is nu een gewapende betonbalk, met dewapening aan de onderzijde (trekzijde).

T.g.v. de gegeven belasting zal onderin de ligger trek enbovenin druk optreden.

Trekzone diagrammen (grafieken) raadplegen die gebaseerd zijn

op trek (staal en beton)

Drukzone diagrammen (grafieken) raadplegen die gebaseerd zijnop druk (beton)

De belasting wordt in vier stappen vanaf nul opgevoerd.




Iedere stap wordt gekozen bij een markant (kritisch)

punt op één van de drie diagrammen:

1. moment dat aan de onderzijde de beton nog juistniet scheurt, scheurmoment

2. moment dat het staal gaat vloeien (einde van deschuine tak, εs = 2,175‰).

3. moment dat beton gaat stuiken (einde van de

schuine tak, ε’ b;pl = 1,75‰).

4. moment dat beton bezwijkt (einde van de

horizontale tak, ε’ b;u = 3,50‰)

1 . Mo m en t d at aan d e o n d er z i j d e d e b et o n n o g j u i st




1 . Mo m en t d at aan d e o n d er z i j d e d e b et o n n o g j u i stn i et sch e u r t ( M r ) .

Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-trekdiagram wordt bereikt.

f s

ε’

σ’


ε

σ


εs

σs


f'b

1,75‰

f bm

≈0,20‰ 2,175‰27,5 – 32,5‰

punt 1

punt 1 punt 1

3,50‰

B e t o n d r u k z o n e

bovenz i j d e ba lk

Be ton t rek z one

ond erz i j de ba lk

Be tons taa l

ond erz i j de ba lk

De constructie gedraagt zich lineair-elastisch (samengestelde doorsnede).

Vervormings- en spanningsdiagram voor de nog juist




ongescheurde doorsnede (Mr)

f bm

As

b

h

f s E s

balk ongescheurd

' b<1,75‰ ' f ' b b<<

s<

b

s s< f

b b<_ f




Uit het ε-diagram blijkt:

• εs << 2,175‰

• εb,max is bereikt

• ε’ b << 1,75‰




Uit het σ-diagram blijkt:

• σs << f s staal vloeit nog lang niet.

• f b = f bm de maximale betontrekspanning isbereikt.

• σ’ b << f’ b de maximale betondrukspanningis nog lang niet bereikt.

2 M om en t da t he t st aa l gaat v l oei en ( M )




2 . M om en t da t he t st aa l gaat v l oei en ( M e) .

Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het staal-trekdiagram wordt bereikt.

f s

ε’

σ’


σs


f'b

1,75‰ 2,175‰ 27,5 – 32,5‰

punt 2

punt 2

3,50‰

Trekspanning in beton

is overschreden: gescheurd gééntrekopname meermogelijk grafiek nietmeer nodig.


Als de belasting wordt opgevoerd, scheurt de balk aan de onderzijde en alletrekkrachten komen in het staal, want het beton is niet meer in staat dezetrekspanningen op te nemen. Bij verder door belasten zal het staal gaan vloeien.

Vervormings- en spanningsdiagram op het moment dat




staal vloeit (Me)

As

b

balk gescheurd

h

f s E s

' b<1,75‰ ' f ' b b<

s= s s= f

b b>f

Wordt niet meer beschouwd

géén trek meer in de beton!





• εs = 2,175‰

• de rek in het beton aan de trekzijdeis niet meer van belang

• ε’ b < 1,75‰





• σs = f s staal vloeit.

• σb >> f bm beton is aan de onderzijde

gescheurd en kan geentrekspanningen meer opnemen.

• σ’ b < f’ b de maximale betondrukspanningis nog niet bereikt.

3 . Mo m en t d at h e t b et o n g aat st u i k e n ( M p l) .




g ( p l)

Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-drukdiagram wordt

bereikt.

σ’ σs

f s

2,175‰27,5 – 32,5‰

punt 3f'b

1,75‰

punt 3

3,50‰ εsε’

σ-ε-diagram, beton onderdruk


Bij verder opvoeren van de belasting zullen de eerste vezels aan de bovenzijde in hetbeton gaan stuiken. Het staal was al aan het vloeien en dit blijft zo, alléén de rekwordt groter (punt 3 ligt nu verder verwijderd op de horizontale tak dan punt 2).

Vervormings- en spanningsdiagram op het moment dat




beton stuikt (Mpl)

As

b

h

f s

balk betonstuik

f s E s

' b=1,75‰ ' ' b b=

b b>f

s>





• εs > 2,175‰

• ε’ b = 1,75‰





• σs = f s staal vloeit nog steeds,kracht neemt niet meer toe

• σ’ b = f’ b de maximale

betondrukspanning is bereikt.




Let op, stap 2 en 3 kunnen ook in de omgekeerdevolgorde voorkomen:

De eerste uiterste vezels in de beton kunnenal stuiken (1,75‰ – grens bereiken) voordathet staal vloeit (f s wordt bereikt).

controleer altijd de uitgangspunten!

4 . Mo m en t d at h e t b et o n b ezw i j k t ( Mu ) .




Dit is de fase dat het einde van de horizontale tak in het beton-drukdiagram wordt

bereikt.

f s

ε’

σ’


σs


f'b

1,75‰27,5 – 32,5‰

punt 4

punt 4

3,50‰εs

2,175‰

Bij nog verder opvoeren van de belasting zullen steeds meer vezels aan de bovenzijdeen in de lagen juist daaronder in het beton gaan stuiken.Het staal, dat al een tijdje aan het vloeien is, blijft dit nog steeds doen en de rek wordtals maar groter.

Vervormings- en spanningsdiagram op het moment datbeton bezwijkt (M )




beton bezwijkt (Mu)

f ' b

As

b

beton op punt van bezwijken

h

f s

' b = ' bu = 3,5‰

s

b b>f

Dit stadium wordt gehanteerd voor sterkteberekeningen

f ' b




f s

geschematiseerd

parabolisch (werkelijk) parabolisch-rechthoekig (E.C.)





• εs >> 2,175‰

• ε’ b = 3,50‰





• σs = f s staal vloeit nog steeds, krachtneemt al lang niet meer toe

• σ’ b = f’ b de maximale betondrukspanningwordt bereikt over een groterehoogte (over meer vezels)




Er zijn nu zoveel betonvezels ‘gestuikt’, dat deconstructie als bezweken kan worden beschouwd.

Verder opvoeren van de belasting, met behoud van deconstructie, is onmogelijk.

Dit is dus de laatste fase.

“Bezwijkstadium”




1. Beton scheurt 2. Staal vloeit

3. Beton stuikt 4. Beton bezwijkt

Het bezwijkstadium is het stadium waarin




de constructie getoetst wordt.

De inwendige momentcapaciteit kan niet groter worden.

dit is het het maximale moment wat de constructie kan

opnemen. het maximale draagvermogen.

Hoe groot is nu dit moment?

INWENDIG EVENWICHT




Er moet sprake zijn van inwendig evenwicht (ΣH = 0):

de horizontale resultante van de betondrukkracht (N’ b)moet gelijk zijn aan de horizontale kracht in het staal (Ns)

N’ b

f s

f 'b

dh

Ns

De kracht in het staal is:




Ns = As · f s

De kracht in het beton is:

N’ b = inhoud spanningsfiguur

oppervlak · breedte + oppervlak ∆ · breedte

½ · f’ b · xu · b () + ½ · ½ · f’ b · xu·b (∆)

N’ b = ¾ · f’ b · xu · b

xu = hoogte van de ‘betondrukzone’ (is dus de hoogte van de driehoek en de

rechthoek in de spanningsfiguur, het gebied waarin druk zit in de beton).

Het inwendige moment wat kan worden opgenomen doord d d d i d lijk




deze gewapende doorsnede is dus weer gelijk aan:

Mu = Ns · z ofwel Mu = N’ b · z

z = inwendige hefboomsarm

afstand tussen de kracht in het beton N’ b

en de kracht in het staal Ns

Grootte en aangrijpen van N’ b

f 'b




f b

1

2

_ xu y= x7

18

_ u

y = xII u2

3

_

y = xI u1

4

_

xu

I

II 1

2

_ xu

AI f ' b= 1

2

_ xu

AII

f ' b

= 1

4

_ xu

Σ A f ' b= 3

4

_ xu

yI yI= 1

4

_ xu

yII

yII

= 2

3

_ xu

( y

y

0,75)= =3

4

_

( 0,39)= =7

18

_

AI f ' b= 1

8

_ xu2

AII

f ' b

= 1

6

_ xu

2

Σ A f ' b= 7

24

_ xu2

7

18

_ xu

y f ' b= = =

Σ A 7

24

_ x2u

f ' bΣ A 34 _ xu

< _ B 65 0,75 0,39B 75 0,73 0,38

B 85 0,70 0,37

B 95 0,66 0,36

B 105 0,62 0,35

I

IIN’ b

N’ b grijpt aan op 7 /18 xu vanaf de bovenzijde.

RUIMTELIJKE WEERGAVE




BEZWIJKSTADIUM

N' b

N s

f ' b

f s

z

x u

1

2

_ xu

1

2

_ xu

As

d

bb

h

a b c

s

' bu

Inwendige hefboomsarm z = d - y (y = 7 /18 xu)

Spanningsfiguur in het bezwijkstadium van resp. eengewapende betonbalk en een gewapende betonvloer




a

b

N' b

N' b

N s

N s

z

z

x u

x u

As

As

n.l.

n.l.

b

h

h

d

d

Let op het verschilin netto hoogte d !

De vorm van de betondrukzone is exact gelijk aan hetbi-lineaire diagram (gedraaid en gespiegeld)




g (g g p g )

f s

f 'b

dh

3,50‰

1,75‰

0

ε’

σ’


f'b

1,75‰ 3,50‰

z = d - 7 /18 xu (z = d – y)




m.b.v. staalkracht Ns:

Mu = As · f s · (d - 7 /18 xu)

ofwel

Ns = N’ b

m.b.v. betonkracht N’ b:

Mu = ¾ · f’ b · xu · b · (d - 7 /18 xu)

xu is de grote onbekende.

GLOBALE BENADERING




Alléén geschikt voor een globale (ontwerp-)berekening!

z is bij benadering gelijk aan 0,9d z ≈ 0,9d(volgt uit de vele berekeningen die ooit al zijn gedaan)

Mu

= As

· f s· 0,9d A

s= M

u / (f

s· 0,9d)

• als de wapening bekend is, kan M worden berekend

• als M bekend is, kan de wapening worden berekend.

EXACTE OPLOSSING:




N’ b = Ns (volgt uit ΣH = 0)

b

ss

u f b3

f A4

x ′=ssbu4

3

f Af bx =′

df 300

f 4

x b

s0

u ⋅′

ω

=

100

bd

A

0

s

ω

=

ω0 is wapeningspercentage (betrokken op de netto doorsnede).

f4ω




( )u187

ssu xdf AM −=

100

bd A 0

s

ω=

df 300

f 4

xb

s0u ⋅′

ω

=

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

′

ω⋅−⋅⋅

ω= d

f 300

f 4df

100

bdM

b

s0187

s0

u

⎞⎛ ωω f4bd s070




⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⋅′

ω

⋅−⋅⋅

ω

= df 300

f 4

df 100

bd

Mb

s0

18

7

s

0

u

Links en rechts delen door bd2 f'b :

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

′

ω−

′⋅

ω=

′ b

s0

b

s0

b2

u

f 1350

f 71

f

f

100f bd

M

Het rechterdeel van deze vergelijking is afhankelijk van de betonkwaliteit

(f’ b), de staalkwaliteit (f s) en het wapeningspercentage (ω)

Omdat het gebruik van de materialen (beton en staal)




Omdat het gebruik van de materialen (beton en staal)

bekend zijn, kan ω0 ondubbelzinnig bepaald worden.

Als ω0 bekend is, is ook As bekend:

(b en d in mm.)

(b en d in m.)

2

0s 10db A −⋅⋅⋅ω=

40s 10db A ⋅⋅⋅ω=

ω0 komt echter kwadratisch voor in het rechterdeel

er moet een vierkantsvergelijking worden opgelost




er moet een vierkantsvergelijking worden opgelost.

Om dit ‘lastige’ rekenwerk te vereenvoudigen, zijn ertabellen gemaakt.

Voor verschillende beton- en staalkwaliteiten zijn dewaarden van ω0 bepaald, behorende bij de waarde:

b

2

u

f bd

M

′

Deze staan in GTB-tabel 11.2.a

(GTB is Grafieken en Tabellen voor Beton)

Alle beton- en staalkwaliteiten




Er zijn ook tabellen waarin f’ b niet meer in de noemerstaat.




Dit zijn de zogenaamde tabellen voor ‘vastgestelde’ sterkteklassen f’ b is al ingevuld, omdat deze bekend is.

Dus zo’n tabel hoort specifiek bij bijv. B25 en kan nietvoor een andere betonsterkteklasse gebruikt worden!

Let bij gebruikmaking van deze tabellen hierop.

Dit is, bijv. voor B25 en FeB500, terug te vinden in GTB-tabel 11.3.a.

Bij gebruikmaking van deze tabellen, kan voortussenliggende waarden rechtlijnig geïnterpoleerd

worden.

Vastgestelde sterkteklase




f 'b

3,50‰




De methode om zelf handmatig met de inhoud van despanningsfiguur de uitkomst te bepalen of te rekenenmet de methode volgens de genoemde GTB-tabellenlevert dus exact dezelfde resultaten op!

Fase 4, waarin ε’ b = 3,50‰, is dus exact hetzelfde

stadium als waarop de tabellen zijn gebaseerd.

f s

dh

1,75‰

0

druk beton

trek staal

Minimum-wapeningspercentage




Er moet in een doorsnede tenminste zoveel wapening

aanwezig zijn dat het scheurmoment Mr kan wordenopgenomen door deze wapening

balk ongescheurd

b b<_ f

Minimum-wapeningspercentages voorbetonstaal

min0ω




betonstaal

B 15 B 25 B 35 B 45 B 55 B 65

FeB 200

FeB 400FeB 500

0,26

0,150,12

0,34

0,190,15

0,41

0,230,18

0,48

0,270,21

0,56

0,370,24

0,63

0,350,27

min0ω

Maximum-wapeningspercentage




Wapening moet vloeien aleer de breukspanning in debeton bereikt wordt!!

• Vloeien van het staal is zichtbaar door aanzienlijkescheurvorming in de trekzone.

• De constructie waarschuwt als het ware dat er breuk opkomst is.

• Zou de wapening niet vloeien, dan bezwijkt de constructiedoor overbelasting van de betondrukzone plotseling en zonder

voorafgaande zichtbare vervorming.

Maximum-wapeningspercentages ω0 max voor




betonstaal

ω0 max B 15 B 25 B 35 B 45 B 55 B 65

FeB220

FeB400FeB500

2,55

1,140,83

4,25

1,911,38

2,95

2,671,94

7,65

3,432,49

9,35

4,203,05

11,05

4,963,60




EI NDECOLLEGE # 2

Constructief Ontwerpen Met Material En B

Documents

Transcript of Constructief Ontwerpen Met Material En B