Conceptlesmateriaal Getallen - HU Learning · uit categorie 1 (Elementaire algebra) de...

Conceptlesmateriaal Getallen

TvdB

13 juli 2012

Inhoudsopgave

0 Voorkennis 5

0.1 Getalverzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.2 Rekenalgoritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Getalnotatie 15

1.1 Positiestelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2 De kommanotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Wetenschappelijke notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Gehele getallen 41

2.1 Deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Gemeenschappelijke delers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 De hoofdstelling van de rekenkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Kardinaliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Reële getallen 75

3.1 Breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Irrationale getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3 Algebraïsche getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Compleetheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Complexe getallen 95

4.1 De wortel uit −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.2 De hoofdstelling van de algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Compleetheid van C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Verzamelingenleer 107

5.1 Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Venndiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3 Veel en meer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Onderzoeksopgaven 123

Verwijzingen 125

Antwoorden 127

LEIDRAADDe cursus Getallen is een eerstejaarsvak van 5 ECTS (oftewel 140 uur!) voor debacheloropleiding tot tweedegraads wiskundedocent aan de HU. Het vak gaatover de structuur van getallen, zowel bekende soorten (geheel, breuk, reëel) alswaarschijnlijk nog onbekende (zoals complexe getallen). Er worden veel on-derwerpen behandeld die in eenvoudigere vorm in de onderbouw zijn terug tevinden, maar er is ook ruimte gereserveerd voor zaken die in het tweedegraads-gebied niet meteen aan bod zullen komen. Een docent dient immers niet alleenboven de stof te staan, maar moet ook globaal weten in welke richting zijn ofhaar vak zich verder ontwikkelt en op welke manier het wordt toegepast.

In deze cursus besteden we ook voorzichtig aandacht aan algemenere wis-kundige vaardigheden als bewijzen en structureren. Dit is een onderdeel van eenleerlijn die in de latere vakken in de opleiding zal worden voortgezet.

Naast dit dictaat wordt hoofdstuk 7 uit de negende editie van het boek Mo-derne Wiskunde vwo D2 (Moderne Wiskunde) behandeld. Dit hoofdstuk gaatover complexe getallen. De beoogde volgorde is:

college 1 hoofdstuk 1 (getalnotatie)college 2 begin hoofdstuk 2 (gehele getallen)college 3 vervolg hoofdstuk 2, deel hoofdstuk 3 (reële getallen)college 4 rest hoofdstuk 3, §4.1 en eerste deel Moderne Wiskundecollege 5 vervolg Moderne Wiskundecollege 6 rest hoofdstuk 4, hoofdstuk 5 (verzamelingenleer)college 7 overzicht en tentamenvoorbereiding

Er is ook een kort hoofdstuk 0 met voorkennis. De stof in de kaders getiteld‘Achtergrond’ behoort niet tot de tentamenstof.

In ieder hoofdstuk staan opgaven. Deze zijn onderverdeeld in vijf soorten:

reproductie Dit zijn opgaven waarbij je tijdens het tentamen er niet meer overzou hoeven na te denken op welke manier je het moet aanpakken. Dat wilniet zeggen dat dit opgaven zijn die automatisch makkelijk zijn. Ze zijnechter wel makkelijk te leren door veel te oefenen met standaardsommen.

1

2

productie Met dit type opgaven wordt het inzicht in de stof getoetst. Het zijnvragen waarbij niet meteen een pasklare oplossingsmethode voor handenis. Het volgende schema van Van Streun (2011) maakt het onderscheid tus-sen reproductie en productie duidelijk. De twee linker oplossingen vallenonder reproductie, de rechter onder productie.

discussie Dit soort vragen gaat vaak over didactische aspecten. Kenmerk is datje een persoonlijke afweging van voor- en nadelen zult moeten maken. Ofeen antwoord goed of fout is, hangt af van de argumentatie die je geeft; eris in ieder geval niet een uniek juist antwoord.

ster De ∗-opgaven overstijgen het tentamenniveau.

onderzoek Zes onderzoeksopdrachten zijn opgenomen in een aparte bijlage.Deze opdrachten zouden over de groep kunnen worden verdeeld, waarnaieder college een groepje hun opgave presenteert. De precieze omgang metde opgaven is afhankelijk van de groepsgrootte, de contacttijd, de didacti-sche keuzes van de docent, etc.

In de studiewijzer is precies voorgeschreven welke opgaven worden behan-deld. Er is de mogelijkheid om de studenten keuzes te laten maken, met name inde productie- en ∗-opgaven. De conceptmaps op het titelblad van ieder hoofd-stuk, vormen een beknopt overzicht van de stof en kunnen in de tentamenvoor-bereiding als leidraad gebruikt worden.

De uitwerkingen van de opgaven staan achterin. Bekijk je dit document digi-taal, dan kun je op het icoontje ‘A O

link ’ klikken om tussen opgave en uitwerkingheen en weer te gaan.

LEIDRAAD 3

Bij sommige voorbeelden zijn filmfragmenten beschikbaar.Deze vind je door op de gegeven link te klikken of via Sharepoint.

In dit vak worden de volgende onderwerpen uit de Kennisbasis (HBO-raad,2009) behandeld:

Domein 3: Algebra

• uit categorie 1 (Elementaire algebra) de verzamelingenleer

• uit categorie 2 (Getalverzamelingen) alles behalve: modulorekenen,het oplossen van lineaire diophantische vergelijkingen, en de capitaselecta; in ieder geval de eerste twee komen in het vervolgvak Rede-neren en bewijzen aan de orde

• uit categorie 3 (Bewijstechnieken) wordt op een aantal onderwerpeneen eerste introductie gegeven die zal worden voortgezet in het vakRedeneren en bewijzen

Domein 5: Wiskunde overigUit categorie 4 (Abstracte structuren) wordt aandacht besteed aan deduc-tieve structuren, lichamen en aan de ‘axiomatische opbouw van getalver-zamelingen’. De interpretatie van dit laatste is enigszins vrij: axioma’s zijnniet zo geschikt om dingen op te bouwen, hooguit om een categorischebeschrijving van een model te geven. Bovendien suggereert ‘opbouw’ datje met niets moet beginnen, om vervolgens een voor een de bekende getal-len te ‘maken’. Zoals Freudenthal (1973) al opmerkte, sluit dit niet goedaan op de voorkennis—en ook niet met de praktijk of de ‘werkelijkheid’.

Vier min of meer didactische keuzes drukken een belangrijk stempel op detekst:

• Verzamelingenleer wordt niet als losstaand onderwerp behandeld, maargeïntegreerd in de ontwikkeling van de getalstructuur. Dit leidt bij som-mige concepten tot een bijzondere invalshoek, bijvoorbeeld bij de ggd ofbij het begrip compleetheid. In het afsluitende hoofdstuk wordt de verza-melingenleer nog eens op een rijtje gezet.

• Er wordt geprobeerd om de complexe getallen op een natuurlijke manierte introduceren vanuit de algebra. De aanloop hiertoe begint al in hoofd-stuk 2. Dit ontwikkeling van de theorie van complexe getallen wordt inhet college Matrixrekening en complexe getallen voortgezet.

4

• Overeenkomsten en verschillen tussen getalverzamelingen hebben een pro-minente plek. Dat betekent dat aandacht wordt besteed aan begrippen alsordening, volledigheid en algebraïsche geslotenheid. De behandeling vanmet name ordening is echter erg informeel.

• Geprobeerd is om schoolwiskunde een duidelijke plek te geven, zonderdat het vak als ‘didactiekvak’ omschreven kan worden. Een belangrijkaccent ligt daarbij op het kritisch kijken naar fragmenten uit lesboeken.

Euclides is het tijdschrift van de Nederlandse Vereniging vanWiskundeleraren. In april 2012 ontving ieder lid een specialeeditie over getallen (NVvW, 2012). Maar deze special krijg je,zolang de voorraad strekt, ook bij deze cursus cadeau. Er staaneen aantal toegankelijke artikelen in die vaak vergezeld gaan vanconcrete lesideeën of zelfs links naar leerlingmateriaal.

In het volgende schema staan enkele artikelen uit de special die heel direct aan-sluiten bij de hoofdstukken uit deze reader. Een aanrader!

algemeen:Getallen in de krant (blz. 14–15)Betekenis geven aan getallen bij wiskunde C (blz. 176–179)

bij hoofdstuk 1:De helderheid van onze getallen (blz. 11–13)Getal(len) volgens Van Dalen en WikipediA (blz. 104)Telwoorden in Nieuw Guinea (blz. 164)

bij hoofdstuk 2:Groot, groter, nóg groter (blz. 64–73)Dieren tellen mee – getalbegrip bij dieren (blz. 118–123)

bij hoofdstuk 3:Irrationale getallen (blz. 45–50)

bij hoofdstuk 4:Factor (blz. 151)Complexe getallen (blz. 180–187)

hoofdstuk 0

VOORKENNIS

5

6 Hoofdstuk 0

VOORKENNIS 7

0.1 Getalverzamelingen

In het gewone taalgebruik kan het woord ‘getal’ verschillende betekenissen heb-ben. Wiskunde is echter een exact vak. Daarom is het nodig om precieze afspra-ken te maken.

• Met reële getallen bedoelen we alle getallen die je in de gewone schoolwis- reële getallen

kunde tegenkomt: geheel, breuk, kommagetal, negatief, wortel, π, . . . ,het maakt niet uit. Voor de verzameling reële getallen gebruiken we hetsymbool R.

• De verzameling gehele getallen, zowel positief, negatief als nul, geven we gehele getallen

aan met het symbool Z. Dus: Z = {. . . ,−3,−2,1,0,1,2,3, . . .}. In hetEngels worden deze getallen ‘integers’ genoemd.

• De verzameling N = {0,1,2,3, . . .} bestaat uit de natuurlijke getallen. Dit natuurlijkegetallenzijn precies de niet-negatieve, gehele getallen.

Later zul je bij dit vak ook nog andere getalverzamelingen tegenkomen, zoalsQ en C.

ACHTERGRONDIn deze cursus hoort 0 wel bij de natuurlijke getallen. Wiskundigen verschillen hieroverechter van mening. Als in een wiskundeboek wordt gesproken over ‘natuurlijke getallen’moet je dus altijd even nagaan of 0 meedoet of niet. De reden om 0 mee te laten doen, isdat een ‘aantal’ ook best nul kan zijn. Een reden om het niet te doen, is dat we nu eenmaalbeginnen te tellen bij 1; al doet gek genoeg bij terugtellen 0 vaak weer wel mee. . .Over de betekenis van woorden moet je afspraken maken en soms, maar gelukkig niet heelvaak, zijn die niet universeel. Een ander voorbeeld waarbij dit gebeurt, betreft het woord‘positief’. Nederlanders en Engelstaligen onderscheiden drie soorten getallen: positieve,negatieve en het ‘neutrale’ getal 0. Sommigen, in het bijzonder Vlamingen en Fransen,noemen 0 ook positief.

Hierboven zijn drie verzamelingen geïntroduceerd: N, Z en R. Bij dit col- verzameling

lege zullen we veel gebruik maken van de taal van verzamelingen, omdat diteen belangrijk instrument is binnen de wiskunde. Relevante begrippen oververzamelingen zullen gaandeweg worden geïntroduceerd, waarna in het laatstehoofdstuk alles nog even op een rijtje wordt gezet.

Een verzameling bestaat uit elementen. Om aan te geven dat een bepaald ob- element

ject een element is van een bepaalde verzameling, gebruiken we het symbool ∈:dus ‘12 ∈ Z’ betekent dat de verzameling Z van gehele getallen het element 12bevat. Er geldt ook 12 ∈N en 12 ∈R. Met ‘ 1

2 /∈ Z’ geven we aan dat 12 juist geen

8 Hoofdstuk 0

element is van Z. De notatie ‘a, b ∈ A’ is een verkorte schrijfwijze voor ‘a ∈ Aen b ∈A.’

Een ander belangrijk begrip is dat van deelverzameling. Een verzameling Adeel-verzameling is een deelverzameling van B als ieder element van A ook een element is van B ;

de notatie hiervoor is A⊂ B . Er geldt dus ook N⊂Z, N⊂R en Z⊂R.

Verzamelingen kun je definiëren door de elementen op te sommen tussenaccolades, zoals op de vorige bladzijde. (Accolades zijn de tekens ‘{’ en ‘}’.) Eenandere manier is het beschrijven van de elementen, bijvoorbeeld

�

x�

� x ∈Z en x2 < 8

of�

x ∈Z�

� x2 < 8

.

Deze notatie definieert de verzameling van objecten x waarvoor geldt “x ∈Z enx2 < 8”. Dat is dus gewoon {−2,−1,0,1,2}.

Een derde manier is de intervalnotatie die je uit de analyse kent, bijvoorbeeld:interval

⟨a, b] =�

x ∈R�

� a < x ≤ b

.

Een begrensd open interval is van de vorm ⟨a, b ⟩; een begrensd gesloten intervalis van de vorm [a, b]. Het interval ⟨a, b] is gesloten noch open. Onbegrensdeintervallen, zoals [a,→⟩, zullen we bij dit vak niet gebruiken. Intervallen zijndeelverzamelingen van R.

0.2 Rekenalgoritmes

Een algoritme is een serie instructies om een bepaalde taak uit te voeren. Syno-algoritme

niemen zijn ‘stappenplan’ of ‘recept.’ Op de basisschool leer je algoritmes vooroptellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met name omtrent de laatsterekenoperatie wordt, tot in de landelijke kranten aan toe, flink geruzied overwelke methode nu het beste is: staartdelen of kolomdelen. Bij dit vak zullenwe staartdelen gebruiken, zonder daarmee te willen propageren dat dit altijd debeste keuze is. Het is een goede oefening om de toepassing van staartdelen omte zetten in kolomdelen—zie ook Koolstra (2011).

Als het rekenwerk een beetje is weggezakt en als je nog eens precies wiltnalezen hoe het ook al weer werkt, kun je bijvoorbeeld het Basisboek rekenenvan Van de Craats en Bosch (2007) raadplegen. (De auteurs hebben een uitge-sproken mening over welke algoritmes de juiste zijn, maar daar moet je tegenkunnen.) Op twee bladzijden hierna citeren we uit dit boek de algoritmes vooroptellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Raadpleeg de rest van het boekvoor meer uitleg over deze algoritmes.

VOORKENNIS 9

Enkele passages uit Van de Craats en Bosch (2007)

Optellen:

Aftrekken:

10 Hoofdstuk 0

Nog meer passages uit Van de Craats en Bosch (2007)

Vermenigvuldigen:

Delen:

VOORKENNIS 11

Wanneer je twee positieve, gehele getallen a en b hebt, dan is ab niet altijd een

geheel getal. Is dit wél het geval, dan is a deelbaar door b . In het algemeen heb je deelbaar door

bij een geheeltallige deling te maken met een rest. Deel je bijvoorbeeld 7 door 2, rest

dan is de uitkomst 3 met rest 1. Je kunt dit schrijven als 7= 3 · 2+ 1. Het getal 3heet het geheeltallig quotiënt. De rest wordt ook wel genoteerd als ‘7 mod 2.’ geheeltallig

quotiënt

THEORIE: Geheeltallige deling

Voor ieder tweetal a, b ∈Nmet b 6= 0, zijn er unieke natuurlijke getallenq en r waarvoor geldt:

a = q b + r, met 0≤ r < b .

Met behulp van een staartdeling (zoals in het geciteerde voorbeeld) kun jeeen deling met rest uitvoeren. Het is ook mogelijk om verder te gaan met destaartdeling. Je krijgt dan een kommagetal:

De uitleg bij dit voorbeeld is als volgt. Je wil 83218 delen door 37. Begin met eenstaartdeling, totdat je 2249 als quotiënt hebt met rest 5, zoals aan de linkerkant.Maar nu zet je een komma en ga je gewoon door met delen: dat resulteert eerstin het middelste en vervolgens in het rechter plaatje. Je kunt nu desgewenst nogverder doorgaan.

12 Hoofdstuk 0

Opgaven

Opgaven bij paragraaf 0.1

A Olink

1r. Hebben de volgende uitspraken betekenis en, zo ja, zijn ze waar?

ap

4 ∈Z

b −1+ 1 ∈N

c −3 ∈�

x�

�−x ∈N

d {0,2} ⊂�

x�

� x ∈R en x3− 3x2+ 2x = 0

e x − y ∈N voor alle x, y ∈N

f x/y ∈R voor alle x, y ∈R

g {3} ∈R

h 2⊂N

i {1,1,2} ⊂ {1,2}

A Olink

2r. Beschrijf de volgende verzamelingen in gewonemensentaal.

a�

x�

� er is een y ∈Z zodat x = 2y

b�

x ∈N�

�

px ∈N

c�

x�

� x = f (y) voor een y ∈R

, waarbij f een functie is


A Olink

3r. Bereken met de basisschoolalgoritmes:

a 365+ 523 b 928+ 124

c 131+ 237+ 122 d 22386+ 2312+ 89

e 523− 351 f 211− 132

g 234234− 23443− 32134

h 243 · 47 i 12 · 983

A Olink

4p. Het aftrekalgoritme om a−b te berekenen werkt prima als a ≥ b . Probeer het algoritmeook eens uit voor a < b en analyseer wat er misgaat.

OPGAVEN BIJ HOOFDSTUK 0 13

A Olink

5r. Bereken geheeltallig quotiënt en rest bij de volgende delingen:

a 793432÷ 43 b 12345678÷ 321

Bereken met een staartdeling op drie cijfers achter de komma:

c 12345678÷ 321

A Olink

6r. Bereken met staartdelen 793432÷ 43 en rond je antwoord af op drie cijfers achter dekomma.

14 Hoofdstuk 0

hoofdstuk 1

GETALNOTATIE

15

OVER DIT HOOFDSTUK

Dit eerste hoofdstuk gaat over manieren om getallenweer te geven. Verschillende onderwerpen passeren derevue: het decimale en binaire stelsel, breuken, deci-male ontwikkeling en wetenschappelijke notatie. Deintrinsieke structuur van getallen, dat wil zeggen destructuur die onafhankelijk is van de notatiewijze, is hetonderwerp van de volgende hoofdstukken.

Het decimale stelsel is in onze cultuur zo vanzelf-sprekend dat iedereen—en wiskundedocenten in hetbijzonder—er natuurlijk alles van af moet weten. Ditis tegenwoordig zelfs wettelijk vastgelegd in het refe-rentiekader rekenen (zie het kader hieronder). In deschoolwiskunde wordt er met name in de eerste klasaandacht aan besteed.

De wetenschappelijke notatie komt voor in deschoolwiskunde op alle niveaus. Het is belangrijk voorhet getalbegrip, voor het kunnen aflezen van de reken-machine, maar vooral ook als wiskundig hulpmiddel bij

de andere bètavakken.Het binaire stelsel kent belangrijke toepassingen

in de ICT. Het komt aan bod bij het schoolvak natuur-kunde op havo en vwo en in sommige mbo-opleidingen,maar ook als verdiepingsmateriaal bij de onderbouw-wiskunde. Net als onze decimale notatie is ook de bi-naire een positiesysteem. Daarom is het volgens som-migen een mooi hulpmiddel om onze getalnotatie te be-grijpen, omdat er geen cognitieve ruis optreedt. Het lijktiets nieuw, maar stiekem werkt alles net zoals we ge-wend zijn. Niet iedereen erkent deze didactische meer-waarde. De beroemde Nederlandse wiskundedidacti-cus Freudenthal (1984, blz. 144) schrijft: “Vergelekenbij al die [diepe schoolwiskunde] zijn afwijkende positie-systemen maar een grapje. Grapjes horen er ook bij inhet onderwijs, en leerlingen door grapjes motiveren iseen goede didactiek, en wat dit betreft kan een afwij-kend positie-systeem een goed grapje zijn.”

Het referentiekader rekenen (SLO, 2009) schrijft voor welke kennis en vaardigheden leerlingen moeten beheersen. Er zijn verschillendeniveaus: 1F en 1S aan het einde van de basisschool, 2F in vmbo en mbo 1, 2 en 3 en 3F in mbo 4, havo en vwo. Er zijn ook streefniveaus, dieextra uitdaging bieden aan leerlingen. Mogelijk wordt in de toekomst op vwo 3S vereist.Het referentiekader besteed veel aandacht aan getalnotatie. Bijvoorbeeld:

1F: uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken en decimale getallen 1S: breuken omzetten in een kommagetal, eindig of oneindig aantal decimalen1F: structuur van het tientallig stelsel 2S: voorvoegsels bij maten3F: passende voorvoegsels bij maten functioneel gebruiken 2S: wetenschappelijke notatie3F: eenheden en grootheden 2S: decimale getallen als tiendelige breuken1S: verschil tussen cijfer en getal 3S: relatie leggen tussen breuken, decimale notatie en afronden1S: opbouw decimaal positiestelsel 3S: kennis getalsystemen en hun onderlinge relatie

GETALNOTATIE 17

1.1 Positiestelsels

Je moet onderscheid maken tussen een getal en de notatie van een getal. Eengetal is een abstract wiskundig concept, waar we met notaties als ‘dertien’, ‘13’,‘thirteen’ of ‘XIII’ naar kunnen verwijzen. Je ziet dat er meerdere notaties mo-gelijk zijn. Wij zijn gewend aan de decimale notatie. Deze naam komt uit het decimale

notatieLatijn en verwijst naar het feit dat we getallen noteren als een combinatie vantien verschillende symbolen, namelijk ‘0’, ‘1’, ..., ‘9’, die we cijfers noemen. Een cijfer

cijfer is dus iets anders dan een getal!

Schoolboekfragment 1.1 Getal & Ruimte, vwo deel 2

Schoolboekfragment 1.1 laat een belangrijke eigenschap van onze decimalenotatie zien: het is een positiestelsel (ander woord: plaatswaardesysteem). Dat positiestelsel

betekent dat de plaats van een cijfer de waarde bepaalt die dit cijfer vertegen-woordigt. De begrippen ‘honderdtallen’, ‘tientallen’, e.d. kun je vervangen doormachten van tien. Een andere manier om het getal 832,485 uit het voorbeeld teschrijven is:

8 · 102+ 3 · 101+ 2 · 100+ 4 · 10−1+ 8 · 10−2+ 5 · 10−3.

18 Hoofdstuk 1

THEORIE: Decimale notatie

Ieder positief, geheel getal x is op een unieke manier te schrijven als

x = ck · 10k + ck−1 · 10k−1+ · · ·+ c0 · 100,

met ci ∈ {0, . . . , 9} en ck 6= 0.Het rijtje cijfers ck , ck−1, . . . , c0 vormt de decimale representatie van x.

In het bovenstaande kader gaat enkel over positieve getallen. Natuurlijk we-ten we ook hoe je een negatief getal weergeeft: door er een minteken voor tezetten. Dit is hetzelfde teken als gebruikt wordt voor de aftrekoperatie en datleidt bij leerlingen soms tot verwarring; met name omdat de rekenmachine weltwee verschillende knoppen gebruikt! De nieuwste edities van de meeste school-boeken gebruiken daarom subtiel andere mintekens: vergelijk ‘-1’ met ‘2− 1’.Ook het getal nul, dat negatief noch positief is, heeft natuurlijk een decimalenotatie: 0.

We zijn zo gewend aan de decimale notatie dat we er niet meer bij stilstaanhoe handig dit is in gebruik. Probeer maar eens een optelling uit te voeren opz’n Romeins, of het getal honderd uit te schrijven in turfnotatie. Toch heefthet lang geduurd voor het decimale positiestelsel ingeburgerd raakte. Bij het vakGeschiedenis van de wiskunde zul je hier nog uitgebreid naar kijken.

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 5, 6, 9klassengesprek: 1, 2, 4

Aangezien wij tien vingers hebben, is het werken met tien cijfers voor onsletterlijk een handig systeem. Bij computers past een systeem met slechts tweecijfers, 0 en 1, beter. In binaire notatie ziet de telreeks één, twee, . . . er zo uit:binaire notatie

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, enz.

Maak niet de fout om het tweede getal in dit rijtje uit te spreken als ‘tien’, wantin binaire notatie is ‘één-nul’ het getal twee. Om verwarring te voorkomen,zullen we vanaf nu met een symbooltje expliciet aangeven dat het om de binairenotatie gaat. We kunnen nu dus schrijven: 10 = 1010bin (links staat tien indecimale notatie, rechts in binaire).

GETALNOTATIE 19

THEORIE: Binaire notatie

Binaire notatie is een positiestelsel met slechts twee cijfers. Ieder positief,geheel getal x is op een unieke manier te schrijven als

x = bk · 2k + bk−1 · 2

k−1+ · · ·+ b0 · 20,

met bi ∈ {0,1} en bk 6= 0.Het rijtje bk , bk−1, . . . , b0 vormt de binaire representatie van x.

Voorbeeld

Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.De titel van het filmpje is BinaireNotatie.

De binaire notatie ‘1011010’ is als volgt opgebouwd:

binaire notatie: 1 0 1 1 0 1 0↑ ↑ ↑ ↑

waarde: 26 25 24 23 22 21 20.

Dit geeft

1011010bin = 1 · 26+ 0 · 25+ 1 · 24+ 1 · 23+ 0 · 22+ 1 · 21+ 0 · 20

= 64+ 16+ 8+ 2= 90.

Het getal 1011010bin is dus het getal 90.

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 10, 11, 12, 13klassengesprek: 18

Ê

Het grote voordeel van een positiestelsel is dat je er makkelijk mee kuntrekenen. De rekenalgoritmes van de basisschool (zie voorkennis, blz. 9) werkenook in binaire notatie:

1111101 ×

111100000

111100 +1001011

(alles in binaire notatie).

20 Hoofdstuk 1

Merk op dat je maar een beperkt aantal soorten optellingen en vermenigvuldi-gingen hoeft uit te voeren. Zo zijn er maar twee tafels van vermenigvuldigingnodig, die bovendien heel kort zijn:

tafel van 0 tafel van 10× 0 = 01× 0 = 0

0× 1 = 01× 1 = 1

Dit moet toch de droom van iedere scholier zijn! Degenen die recent op havo ofvwo natuurkunde hebben gedaan, zullen hier overigens een EN-poort van hetelektronische systeembord herkennen.

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 14, 16klassengesprek: 15, 17

1.2 De kommanotatie

Een breuk is een getal dat op een speciale manier is geschreven, namelijk als abbreuk

met a, b ∈ Z en b 6= 0. Het getal a dat boven de breukstreep staat heet de teller,het getal b de noemer. We zullen later zien dat niet alle reële getallen als breukkunnen worden geschreven. En als dat wel kan, dan kan dat op oneindig veelmanieren: 1

3 =26 = · · · .

De decimale kommanotatie is een speciale manier om een breuk te noteren.decimalekommanotatie Je schrijft de noemer niet expliciet op, maar leidt deze af uit het aantal getallen

achter de komma. Enkele voorbeelden maken dit duidelijk:

0,5=5

10, 0,75=

75

100, 832,485=

832485

1000.

De regel is dat de noemer gelijk is aan 10k , waar k het aantal cijfers achter dekomma is. Ander woorden voor decimale kommanotatie zijn decimale breuk entiendelige breuk. Het aantal cijfers achter de komma wordt ook wel het aantaltiendelige breuk

decimalen genoemd.decimalen

Sommige getallen kun je in decimale kommanotatie schrijven, zoals 12 =

510 =

0,5 en 75 =

1410 = 1,4. Bij de meeste getallen lukt dat echter niet. We kunnen alleen

een ‘beginnetje’ van de kommanotatie opschrijven:

16 = 0,16666666666666666666666666666666666666666666666666666 . . .

π= 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582 . . .

GETALNOTATIE 21

De puntjes aan de rechterkant geven aan dat we nog niet klaar zijn—en dat zalook nooit gebeuren, hoe groot het papier ook is. Wat hier staat is slechts hetbegin van de decimale ontwikkeling van 1

6 en π. Natuurlijk weten we bij 16 wel decimale

ontwikkelinghoe de decimale ontwikkeling verder gaat. We gebruiken een streep om aan tegeven dat een getal of een groepje getallen zich blijft herhalen: 0,1/6 of 0,16 ennoemen zo’n decimale ontwikkeling repeterend omdat een serie cijfers zich op repeterende

decimaleontwikkeling

den duur blijft herhalen. Iedere decimale breuk is repeterend: 0,25 = 0,250. Inde decimale ontwikkeling van π valt geen enkele regelmaat te herkennen (al isdat niet heel eenvoudig te bewijzen).

Wat betekent zo’n decimale ontwikkeling eigenlijk? Een eerste antwoord ishet volgende: π = 3,1415 . . . geeft aan dat het getal π niet kleiner is dan 3,1415en niet groter dan 3,1416. In andere notatie:

π ∈�31415

10000;

31416

10000

�

.

Voor een preciezer antwoord breiden we de decimale notatie zoals die is op-geschreven in het kader op bladzijde 18 uit. In deze uitbreiding corresponderencijfers achter de komma met negatieve machten van tien, bijvoorbeeld:

12,345= 1 · 101+ 2 · 100+ 3 · 10−1+ 4 · 10−2+ 5 · 10−3.

Dit komt inderdaad overeen met onze eerdere definitie 12,345 = 123451000 . Passen

we dit toe op pi, dan krijgen we

π= 3,141592 . . .

= 3+ 1 · 10−1+ 4 · 10−2+ 1 · 10−3+ 5 · 10−4+ 9 · 10−5+ 2 · 10−6+ · · · .

Een decimale ontwikkeling is dus in feite een oneindige som! De theorie vanoneindige sommen krijg je bij het vak Analyse – dynamische modellen. Daarnoemt men oneindige sommen reeksen, welke worden gedefinieerd met behulp reeks

van het limietbegrip. We gaan er bij dit vak nog niet verder op in (maar bekijkeventueel het achtergrondkader).

Een vervelend technisch detail is dat de decimale ontwikkelingen niet altijduniek is. Zo geldt bijvoorbeeld 1= 0,99999999 . . .. Wat zou 1− 0,9 anders moe-ten zijn dan nul? (In opgave 27 volgt een tweede argument.) Eigenlijk zouden wedus over een in plaats van de decimale ontwikkeling moeten spreken. Gelukkigdoet dit probleem zich alleen voor bij tiendelige breuken (zie opgave 21).

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 21, 19klassengesprek: 22

Ê

22 Hoofdstuk 1

ACHTERGRONDWe hebben gezien dat decimale ontwikkelingen te maken hebben met oneindige sommen,die reeksen worden genoemd. De theorie van reeksen is vrij subtiel. Om dit te illustrerenmaken we enkele opmerkingen hierover:

1. De eerste vraag die je bij reeksen moet beantwoorden, is of ze convergeren. Natuurlijk isdat voor decimale ontwikkelingen het geval, maar dat is niet triviaal. Zo geldt 1

2 +13 +

14 + · · ·=∞, maar 1

22 + 132 + 1

42 + · · ·= 16π

2. Zie opgave 20.

2. Bij het werken met reeksen moet je voorzichtig zijn. Een bekend grapje is bijvoorbeeld

0= 0+ 0+ 0+ · · ·= (1− 1)+ (1− 1)+ (1− 1)+ · · ·= 1+(−1+ 1)+ (−1+ 1)+ · · ·= 1+ 0+ 0+ · · ·= 1.

3. Rekenen met decimale ontwikkelingen is lastig. Volgens de elementaire rekenalgoritmeskun je twee getallen optellen of vermenigvuldigen door ze onder elkaar te schrijven envan rechts naar links de cijfers af te werken (zie blz. 9). Maar in decimale ontwikkelingenis er geen rechts!

De conclusie van het bovenstaande is dat de structuur van reële getallen in-gewikkeld is. Vanaf de pythagoreeërs rond 500 v.C. zijn wiskundigen bezig reëlegetallen te begrijpen; en nog steeds zijn er onopgehelderde vragen. In hoofd-stuk 3 komen we hier nog op terug. Een aspect waar we met gezond boerenver-stand wel grip op kunnen krijgen, is de decimale ontwikkeling van breuken.

STELLING

De volgende uitspraken over een niet-negatief reëel getal x zijn equivalent:

1. x = ab voor bepaalde a, b ∈Zmet a, b > 0;

2. de decimale ontwikkeling van x is repeterend.

Dit is de eerste serieuze stelling van dit dictaat, in de zin dat het een eigen-schap van getallen beschrijft die niet direct evident is. Bij stellingen hoort eenbewijs, waarin wordt uitgelegd waarom de uitspraak waar is. We zullen het be-wijs in stapjes opbouwen, om uiteindelijk het volledige bewijs aan het einde vandeze paragraaf te presenteren.

GETALNOTATIE 23

BEWIJSTECHNIEK: Equivalentie

Bovenstaande stelling gaat over het equivalent zijn van twee uitspraken. Infeite worden twee dingen gezegd:

1. Als x = ab (met a, b ∈Z en a, b > 0), dan is zijn decimale ontwikkeling

repeterend.

2. Als de decimale ontwikkeling van x repeterend is, dan bestaan era, b ∈Z (met a, b > 0) waarvoor x = a

b .

Het bewijs van een equivalentie bestaat dus ook uit twee delen.

Naast het woord ‘equivalentie’ wordt ook ‘precies dan als’ of de dubbelepijl ‘⇔’ gebruikt. De taalkundig lelijke uitdrukking ‘dan en slechts dan als’komt ook veel voor.

Laten we beginnen met de eerste uitspraak: gegeven is x = ab , hoe te bewijzen

dat de decimale ontwikkeling repeterend is? Om te zien wat er aan de hand is,bekijken we een voorbeeld.

Voorbeeld: van breuk naar decimaal

Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.De titel van het filmpje is BreukNaarDecimaal.

Wat is de decimale ontwikkeling van 17?

24 Hoofdstuk 1

Het antwoord volgt uit een staartdeling (zie blz. 11):

7�

1,0000000\0,14285714 . . .73028201460564035504910∗ ∗ ∗73028. . .

Het lijkt erop dat geldt 17 = 0,142857. Maar weten we dit zeker? Waarom

zou na de laatste vier niet een heel ander getal kunnen komen? De redenis dat vanaf ∗ ∗ ∗ het algoritme zichzelf gaat herhalen. De rest 10 die bijde sterretjes staat, staat ook linksboven. We zijn dus dus in een lus terechtgekomen.

Maar dit is slechts een voorbeeld. De vraag is nu: treedt de herhaling ookbij andere breuken op? Het antwoord is ‘ja’ en wel om de volgende reden:Als je deelt door n, dan is in de staartdeling de rest per definitie altijd kleinerdan n−1. Er is dus maar een eindig aantal mogelijkheden voor de rest, namelijk0, 1, . . . , n−1. Maar dat betekent dat als je maar lang genoeg doorgaat met staart-delen, je altijd een moment zult krijgen dat er een rest optreedt die al eerder isvoorgekomen. Op dat moment treedt de herhaling op. (In het vak Redenerenen bewijzen zul je leren dat dit argument een toepassing is van het zogenaamdeduivenhokprincipe.)

Samengevat: Als x een breuk is, dan is zijn decimale ontwikkeling repete-rend. Bewijs: Om de decimale ontwikkeling van de breuk t

n te bepalen, voer jeeen staartdeling uit. Voor iedere rest r die in deze staartdeling voorkomt, geldt0≤ r < n. Dat betekent dat er maar eindig veel mogelijke resten zijn en dus zalhet staartdelingsalgoritme zich gaan herhalen.

GETALNOTATIE 25

BEWIJSTECHNIEK

In het voorgaande hebben we drie stappen genomen om tot een bewijs tekomen:

1. Begin met één of meer concrete voorbeelden.

2. Probeer op grond daarvan een patroon te herkennen en jezelf teovertuigen; dit geeft een informeel bewijs.

3. Schrijf het informele bewijs uit tot een formeel bewijs.

In de praktijk kunnen zich in alle drie de stappen problemen voordoen.Stap 2 is de essentiële stap: om op basis van voorbeelden tot een informeelbewijs te komen, is inzicht, abstractievermogen en creativiteit vereist. Alsje jezelf hebt overtuigd, kan het nog steeds een heel gedoe zijn om eenbewijs netjes uit te werken (stap 3), maar dit is een techniek die goed teoefenen is. Merk op dat de vaardigheid om een bewijs helder te presenterenvoor docenten een belangrijke is!

ACHTERGRONDHet is binnen de wiskunde gebruikelijk dat je een bewering altijd voorziet van een bewijs.Hiermee controleer en bevestig je dat een stelling waar is. Dit zal voor de meesten echterniet het belangrijkste doel zijn: meestal wil je een stelling immers wel aannemen op autori-teit; omdat het boek of de docent het zegt. Bij andere vakken, zoals Geschiedenis of Frans,is dat toch ook heel normaal? Een veel belangrijkere functie van bewijzen is uitleggenwaarom een stelling waar is. Een mooi bewijs geeft inzicht.Naast stellingen en bewijzen bestaat wiskunde ook uit een hoop definities. Een definitieis niet waar of onwaar, maar moet wel zinvol zijn of een intuïtief idee goed formaliseren.De definitie “een decimale breuk is een getal dat gelijk is aan een breuk met een macht vantien in de noemer” bijvoorbeeld, is zinvol omdat het precies karakteriseert welke getallenals eindig kommagetal zijn te schrijven. Vervang je ‘macht van tien’ door ‘macht van elf,’dan heb je nog steeds een correcte definitie, maar veel heb je er niet aan.Een didactisch probleem in het wiskundeonderwijs is dat het door voorkennis niet altijdduidelijk is waar de grens tussen definitie en stelling moet worden gelegd. Dat is ook eenprobleem in dit hoofdstuk, bijvoorbeeld in het kader over de decimale ontwikkeling. Ditkader zegt dat ieder reëel getal een decimale ontwikkeling heeft. Dit lijkt een stelling,maar als je die wilt bewijzen, loop je meteen tegen de vraag aan wat een reëel getal is. Ende meest voor de hand liggende definitie is circulair: iets dat beschreven wordt door eendecimale ontwikkeling. In hoofdstuk 3 komen we hier op terug.

Nu het tweede deel van de stelling: Als de decimale ontwikkeling van xrepeterend is, dan is het een breuk. Wederom beginnen we met een voorbeeld.Het bewijs is onderwerp van opgave 28.

Voorbeeld: van decimaal naar breuk

26 Hoofdstuk 1

Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.De titel van het filmpje is DecimaalNaarBreuk.

Is x = 0,1234= 0,1234234234 . . . een breuk?Om deze vraag te beantwoorden, is er de volgende truc:

1000x = 123,4234234234234234 . . .x = 0,1234234234234234 . . . −

999x = 123,3

De onderste vergelijking heeft als oplossing x = 123,3999= 12339990 .

THEORIE

Een decimale ontwikkeling van een reëel getal x met x ≥ 0 is een oneindigerij getallen n, c−1, c−2, c−3, . . . waarvoor geldt

x = n+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ c−3 · 10−3+ · · ·

en waarbij n ∈N en ci ∈ {0,1, . . . , 9}.

Een decimale ontwikkeling heet repeterend als er herhaling in de rij ci ’soptreedt: er bestaat een r > 0 waarvoor geldt dat ci+r = ci voor alle i vanafeen bepaalde waarde.Breuken corresponderen met repeterende decimale ontwikkelingen.

Als een positief getal als tiendelige breuk kan worden geschreven, danhoren er twee decimale ontwikkelingen bij: de staart van de ene bestaat uitallemaal nullen, die van de ander uit allemaal negens.Alle andere positieve getallen hebben een unieke decimale ontwikkeling.

GETALNOTATIE 27

Waarschuwing: Het taalgebruik rondom de kommanotatie is niet uniformen soms zelfs slordig. Zo wordt iedere decimale ontwikkeling soms een decimalebreuk genoemd, al dan niet met het voorvoegsel ‘oneindig’. In dit dictaat doenwe dat niet. Zie bijvoorbeeld schoolboekfragment 3.1 op blz. 79.

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 24, 25, 27, 31klassengesprek: 29

Ê

1.3 Wetenschappelijke notatie

Schoolboekfragment 1.2 Getal & Ruimte, vmbo-KGT deel 1

Bekijk schoolboekfragment 1.2. Dit fragment gaat over de wetenschappelijke wetenschap-pelijkenotatie

notatie. Dit is een getalnotatie van de vorm±a ·10k , waarbij k ∈Z en a ∈ [1,10⟩.Er zijn vier redenen om de wetenschappelijke notatie te gebruiken:

1. Het maakt het compact noteren van grote of kleine getallen mogelijk. Ditis het argument dat het schoolboek in het voorbeeld noemt. Niet alleenpassen extreme getallen niet op het scherm, maar ook niet meer in hetwerkgeheugen van de rekenmachine. Merk wel op dat de resultaten daar-door vaak niet meer exact zijn.

28 Hoofdstuk 1

2. Het geeft een snelle indruk van de grootte van een getal. Zo is bijvoor-beeld de notatie ‘152587890625’ minder duidelijk dan ‘1,52587890625 ·1011’ waaraan je meteen ziet met welke orde van grootte je te maken hebt.

3. Het maakt rekenen met grote en kleine getallen makkelijk. Er geldt im-mers (a ·10k) · (b ·10l ) = ab ·10k+l . (Het rechter lid staat niet noodzakelijkin wetenschappelijke notatie—zie opgave 34.)

4. Anders dan de gewone decimale notatie kan wetenschappelijke notatiegebruikt worden om de resultaten van metingen weer te geven. Daaromwordt het bij natuurkunde, scheikunde en biologie vaak gebruikt en heetde notatie ‘wetenschappelijk’. We zullen op dit punt nu dieper ingaan.

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 34klassengesprek: 32, 33

Resultaten van metingen van continue grootheden zijn nooit exact. Meet jebijvoorbeeld de lengte van deze streep, , dan zul je waarschijnlijk vindendat die 1cm is. Maar wie zegt dat de werkelijke lengte niet dichter bij 1,0023cmligt? Natuurlijk bestaat er apparatuur waarmee je preciezer kunt meten dan metjouw liniaal, maar ook die apparaten hebben altijd een bepaalde meetonnauw-meetonnauw-

keurigheid keurigheid. Daarom is de afspraak binnen de natuurwetenschappen dat de nota-tie ‘1cm’ moet worden beschouwd als afronding van de werkelijke waarde, dieook best 1,3cm of 0,6cm zou kunnen zijn. Net zo betekent ‘1,0cm’ dat de wer-kelijke lengte in centimeters gelijk aan 1,0 wanneer je het afrondt om één cijferna de komma. Het gaat dan dus om het interval [0,95cm;1,05cm⟩ waarin dewerkelijke lengte ligt. Bij natuurkunde betekent 1 dus niet hetzelfde als 1,0 !

Om deze afspraken te laten werken, zijn machten van tien essentieel. Deafstand van de aarde tot de zon is bijvoorbeeld 149,6 · 109 m. Dit is niet het-zelfde als 149600000000m, want de laatste notatie impliceert dat we de afstandtot op de meter nauwkeurig kennen en dat is niet zo—de afstand varieert zelfseen beetje gedurende een jaar. Overigens worden machten van tien soms ‘ver-stopt’ in voorvoegsels van eenheden (zie het kader). (De afstand aarde–zon zouje in Gm (gigameter) kunnen aangeven, maar dat is zeer ongebruikelijk.)

Bij de natuurwetenschappen noemt men het aantal cijfers waarmee een meet-waarde in wetenschappelijke notatie wordt genoteerd, het aantal significante cij-significante

cijfers fers. Dat doen ze beter dan bij het schoolvak wiskunde, waar men het altijdheeft over het aantal cijfers achter de komma, of over het aantal ‘decimalen’ (datlaatse is eigenlijk heel raar taalgebruik). Voorbeeld: in de notatie 1,1cm is er

GETALNOTATIE 29

ACHTERGRONDvoorvoegsel symbool betekenis machtexa- E 1.000.000.000.000.000.000 1018

peta- P 1.000.000.000.000.000 1015

tera- T 1.000.000.000.000 1012

giga- G 1.000.000.000 109

mega- M 1.000.000 106

kilo- k 1.000 103

hecto- h 100 102

deca- da 10 101

– – 1 100

deci- d 0,1 10−1

centi- c 0,01 10−2

milli- m 0,001 10−3

micro- µ 0,000001 10−6

nano- n 0,000000001 10−9

pico- p 0,000000000001 10−12

femto- f 0,000000000000001 10−15

atto- a 0,000000000000000001 10−18

één cijfer achter de komma. Je zou dit ook kunnen noteren als 0,011m, maardan zijn er opeens drie cijfers achter de komma nodig. Beter is het dus om inbeide gevallen te zeggen dat er sprake is van twee significante cijfers (want 0,011in wetenschappelijke notatie is 1,1 ·10−2). Er wordt al geruime tijd gelobbyd omsignificante cijfers in de eindexameneisen voor havo en vwo op te nemen—en danzou het best eens kunnen doorsijpelen naar de onderbouw. Er zijn echter ookgoede redenen om het niet te doen, want wiskundig rammelt het systeem—zieopgave 40.

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 35, 36, 40, 41klassengesprek: 37, 39

Ê

30 Hoofdstuk 1

Opgaven


A Olink

1d. In de tekst staat dat je verschil moet maken tussen getal, cijfer en de notatie van een getal.Daarnaast kent het Nederlands ook nog het woord ‘nummer’. Worden deze woorden inde volgende uitspraken op een wiskundig correcte manier gebruikt?

a “Het getal 333 bestaat uit drie drieën.”

b “Mijn telefoonnummer is 0612345678.”

c “Het cijfer dat ik voor de toets heb gehaald, is een 7.”

d “Wij zijn getalsmatig in de meerderheid.”

e “De bussen met nummers 11 en 12 gaan naar de Uithof.”

f “Mijn huisnummer is 3bis.”

g “Een pincode is een getal van vier cijfers.”

A Olink

2d. In de tekst wordt opgemerkt dat je onderscheid moet maken tussen een getal en zijnnotatie. Wat vind je, in het licht van deze opmerking, van de vraag “Wat is de noemervan 4

5 ?” Hoe zou je de vraag kunnen aanpassen? Vind je dat nodig?

A Olink

3d. De nieuwste edities van de meeste schoolboeken gebruiken subtiel andere mintekensvoor ‘negatief getal’ versus de operatie aftrekken. Wat vind je hiervan?

A Olink

4p. a Verklaar waarom je aan het laatste cijfer van de decimale notatie van een geheel getalkunt zien dat het deelbaar is door 2 of door 5, maar niet of het deelbaar is door 7.

Een ander deelbaarheidscriterium is: “een getal is deelbaar door 4 als het getal gevormddeelbaarheidscriteriumdoor de laatste twee cijfers van de decimale notatie deelbaar is door 4.

b Bewijs dit.

c Vind een soortgelijk deelbaarheidscriterium voor het getal 8.

A Olink

5p. Wat zijn de mogelijkheden voor het laatste cijfer (in decimale notatie) van een kwadraat?

A Olink

6p. In deze opgave betekent ‘som van de cijfers’ de som van de cijfers van de decimale repre-sentatie van een getal. De som van de cijfers van bijvoorbeeld 526 is dus 5+2+6= 13.

a Laat zien dat ieder geheel getal n > 0 te schrijven is als 9a+b , waarbij a ∈N en waarbijb de som is van de cijfers van n.


b Verklaar de ‘negen-truc’: een positief, geheel getal is deelbaar door 9 precies dan als desom van de cijfers deelbaar is door 9.

c Voor welke decimale cijfers c is er nog meer de ‘c -truc’?

d Verifieer of 4736786374627148732647828471 deelbaar is door 3.

A Olink

7∗. Dit is een vervolg op opgave 6. Van een groot natuurlijk getal is niet makkelijk direct tezeggen of het een kwadraat is. Wel is het in een groot aantal gevallen mogelijk te zeggen,dat het geen kwadraat kan zijn. De som van de cijfers van een kwadraat is namelijk eennegenvoud + 0, 1, 4 of 7. Dat kun je in twee stappen bewijzen:

a Zij n ∈N. Laat zien dat n2 een negenvoud is + 0, 1, 4 of 7.

b Leidt uit de vorige stap af dat de som van de cijfers van n2 een negenvoud + 0, 1, 4 of 7is.

Een andere methode staat in opgave 5.

—Bron: Steur (1980)

A Olink

8p. Gegeven zijn twee decimale voorstellingen

x = ak · 10k + ak−1 · 10k−1+ · · ·+ a0 · 100,

y = bl · 10l + bl−1 · 10l−1+ · · ·+ b0 · 100.

Leg met behulp van deze decimale voorstellingen uit waarom het optelalgoritme uit hetvoorkennishoofdstuk (zie blz. 9) correct is. (Begin, als je dit lastig vindt, met een concreetvoorbeeld. Bijvoorbeeld x = 321 en y = 987.)

(Merk op dat de uitleg van het vermenigvuldigingsalgoritme notationeel lastiger is. . . )

A Olink

9p. “log x is een maat voor de lengte van het getal x in decimale notatie.” Verklaar dezeuitspraak. Maak daarbij ook precies wat wordt bedoeld met ‘een maat voor’.

A Olink

10r. In een schoolboek voor de eerste klas staat een hoofdstuk over de binaire notatie. Maakdaaruit de volgende opdracht: “Schrijf alle machten van 2 op vanaf 21 = 2 tot en met210 = 1024 en leer ze uit je hoofd.” Wat is het analogon van deze vraag voor decimalenotatie?

—Bron: Het wiskundeboek voor klas 1 van het Barlaeus Gymnasium (Barlaeus, 2009)

A Olink

11r. In de tekst staat het begin van de telreeks

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, enz.

Breid dit rijtje uit tot en met zestien.

32 Hoofdstuk 1

A Olink

12r. Schrijf de volgende getallen in decimale notatie:

a 10011bin b 10101010bin

Schrijf de volgende getallen in binaire notatie:

c 111 d 1023

A Olink

13r. a Hoe kun je aan een binair getal zien of het even of oneven is?

b Hoe kun je aan een binair getal zien of het deelbaar is door acht?

—Bron: Het wiskundeboek voor klas 1 van het Barlaeus Gymnasium (Barlaeus, 2009)

A Olink

14r. a Bereken 110101bin× 1011bin met het binaire vermenigvuldigingsalgoritme.

b Controleer je antwoord door het sommetje om te zetten in decimale notatie.

A Olink

15p. Deze opgave gaat over het aftrekken van de getallen a = 11010011010bin en b = 11011011bin.Voor decimale notatie is er het bekende aftrekalgoritme: schrijf de getallen onder elkaar;werk van rechts naar links; ‘koop’ zonodig een 1 (zie voorkennis, blz. 9).

a Voer dit algoritme nu uit in binaire notatie en bepaal zo a− b .

b Controleer je antwoord door de binaire notatie om te zetten in decimale.

Als je in ‘11010011010’ de enen en nullen omwisselt, krijg je het getal 00101100101bin;deze getallen noemen we elkaars 11-bits-negatie. Met behulp van deze negatie kun je deaftrekking a− b omschrijven in een optelling.

c Onderzoek hoe dat moet.

d Waarom gaat de frase ‘11-bits’ vooraf aan het woord ‘negatie’?

e In plaats van a kun je ook b omdraaien. Wat moet je dan doen?

Een computer kan heel makkelijk van een getal zijn negatie bepalen (voor de natuur-kundigen: met NOT-poorten). Het voordeel van het aftrekalgoritme via negatie is datvoor aftrekken dezelfde elektronica kan worden gebruikt als voor optellen; dat maaktcomputers sneller, goedkoper en kleiner!

A Olink

16p. Deze opgave gaat over het delen van 1110101000bin door 1101bin.

a Probeer je favoriete delingsalgoritme (staartdelen of kolomdelen; zie eventueel voor-kennis, blz. 9) binair uit te voeren.

b Schrijf de getallen in decimale notatie en controleer je berekening uit onderdeel a.


Het lastige van onze delingsalgoritmes is dat je op één of andere manier moet ‘zien’ hoevaak een bepaald getal in een ander getal past. Chipsfabrikanten zoals Intel lossen ditop door tabellen met delingen in hun computerchips ‘in te bakken’. Ook een computerkent dus tafels uit zijn hoofd! Bovendien bestaan er snellere delingsalgoritmes voor grotegetallen.

A Olink

17p. Een bit is een binair cijfer, dat wil zeggen een nul of een één. De I8008 is de codenaam bitvoor een computerchip waarmee je twee getallen kunt optellen die elk uit 8 bits (een byte)

bytebestaan. Deze chip ziet er schematisch zo uit:

Ieder blokje is hier een bitopteller. De letter corresponderen met de pootjes van de chip;de elektrische spanning op zo’n pootje correspondeert met een binair cijfer. De invoer isaan de bovenkant, de uitvoer aan de onderkant. Op CIN staat geen spanning, d.w.z. CIN =0.

a Verklaar hoe deze opteller werkt.

b Waar zou het pootje CIN voor dienen?

A Olink

18r. Het binaire systeem werkt met twee cijfers en het decimale met tien. Dit kun je veralge-meniseren naar een positiestelsel met b cijfers, waarbij b een geheel getal is met b ≥ 2.Het getal b heet de basis. basis

a Geef de definitie van getalrepresentatie in basis b .

Computerprogrammeurs werken vaak met basis 16; dit is de zogenaamde hexadecimalenotatie. De cijfers zijn dan, in volgorde: 0, 1, . . . , 9, A, B, C, D, E, F. Zet om in decimalenotatie:

b 2Ahex c 100hex

Zet om in hexadecimale notatie:

d 1023 e 255

f Kun je een argument geven waarom hexadecimale notatie handig is voor program-meurs?

Een andere basis die in computerland soms gebruikt wordt, is 8; dit heet octaal.

Bij het vak Geschiedenis van de wiskunde zul je kennismaken met basis 60 (Babylonië),die we nog terugvinden in onze tijdweergave. Ook bases als 5, 8, 12 en 20 werden veel

34 Hoofdstuk 1

gebruikt en sommige zijn zelfs nog steeds in zwang: denk bijvoorbeeld aan ‘dozijn’ of hetEngelse muntstelsel. De Maya’s uit Midden-Amerika maakten het helemaal bont, doorverschillende bases door elkaar heen te gebruiken.


A Olink

19p. Een definitie van de breuknotatie ‘ ab ’ (met a, b ∈Z en b 6= 0) is als volgt:

Een getal x ∈R is gelijk aan ab als geldt b x = a.

a Gegeven zijn getallen a, b , c , d , x, y waarvoor geldt b x = a en d y = c . Bewijs datb d (x + y) = ad + b c .

b Welke rekenregel voor breuken volgt uit onderdeel a?

c Leid op soortgelijke manier de rekenregel voor het vermenigvuldigen van breuken af.

d Bewijs: “Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde.”

A Olink

20∗. a Leg uit dat1

n− 1=

1

n+

1

n2+

1

n3+ · · ·

voor iedere geheel getal n > 2.

Als je niet weet hoe je een ronde pizza moet opsnijden in gelijke stukken voor driekinderen, maar wel weet hoe je moeten vierendelen, dan snij je de pizza eerst in vierstukken, deelt drie stukken uit, laat ze lekker eten. Je deelt vervolgens het overgeblevenstuk weer in vieren, en herhaalt deze eerlijke procedure net zolang als ze honger hebbenof de grootte van de pizza toestaat. (Hulshof en Meester, 2011)

b Wat heeft dit met onderdeel a te maken?

c Maak met behulp van onderdeel a aannemelijk dat iedere decimale ontwikkeling con-vergeert naar een reëel getal, door aan te tonen dat de reeks niet groter is dan eenbepaald getal.

A Olink

21∗. a Laat zien dat iedere positieve tiendelige breuk precies twee verschillende decimale ont-wikkelingen heeft.

b Stel x is een getal met verschillende decimale ontwikkelingen. Laat zien dat x dangelijk is aan een tiendelige breuk.

c In het bijzonder heeft elk geheel getal ongelijk aan nul twee verschillende decimaleontwikkelingen. Hoe zit het met het getal nul?


A Olink

22p. In de onderbouw besteed je aandacht aan het afronden van getallen. In Getal & Ruimte,vwo 1, deel 1, blz. 56 staat bijvoorbeeld:

Bij het afronden op twee decimalen kijk je naar de derde decimaal.Derde decimaal 5 of meer? Rond af naar boven.Derde decimaal minder dan 5? Rond af naar beneden.

In andere schoolboeken gebeurt hetzelfde. Deze regel geeft niet altijd een uniek ant-woord!

a Geef twee verschillende decimale ontwikkelingen van 1200 en gebruik deze om 1

200 af teronden op twee cijfer na de komma (d.w.z. ‘twee decimalen’).

b Kun je de regel zo aanpassen dat dit probleem zich niet meer voordoet?

c Vind je het wenselijk om hier in je eigen lessen aandacht aan te besteden?

A Olink

23∗. In de tekst staat dat je de basisschoolalgoritmes (blz. 9) voor optellen en vermenigvuldi-gen niet kunt toepassen op decimale ontwikkelingen. Je kunt immers niet ‘rechts begin-nen’. Meneer X kiest twee getallen a en b in het interval [0,1⟩ en kiest bij ieder getal eendecimale ontwikkeling. Je mag aan meneer X onbeperkt vragen stellen, maar die mogenmaar van één soort vraag zijn:

Wat is het i -de cijfer achter de komma in de decimale ontwikkeling van a(of b )?

a Leg uit dat het op grond van dit soort informatie soms niet lukt om ook maar ééncijfer van de decimale ontwikkeling van a+ b te bepalen.

b Leg uit hoe je in de meeste situaties toch wel de som van twee getallen a en b op eenaantal cijfers achter de komma kunt bepalen.

A Olink

24r. Bepaal (zonder rekenmachine) de decimale ontwikkeling van de volgende breuken:

a 311 b 3

13

c 313495 d 15

3

A Olink

25r. Schrijf de volgende repeterende decimale ontwikkelingen als breuk:

a 0,4234231= 0,42342310 b 0,3211

c 2,121

A Olink

26r. De herhaling in een repeterende decimale ontwikkeling is op verschillende manieren tebeschrijven. Zo is bijvoorbeeld 1,232323 . . . te schrijven als 1,23, maar ook als 1,232 of als1,2323. Schrijf deze ontwikkelingen als breuk met behulp van de truc uit het voorbeeldop bladzijde 25 en ga na dat je drie keer hetzelfde getal krijgt.

36 Hoofdstuk 1

A Olink

27r. In de tekst staat een argument waarom ‘0,999 . . .’ en ‘1’ hetzelfde getal voorstellen: watkan het verschil anders zijn dan nul? Geef een alternatief argument door een breuk tebepalen die hoort bij de repeterende decimale ontwikkeling 0,9.

A Olink

28∗. Het doel van deze opgave is een formeel bewijs op te schrijven van de stelling

Zij x ∈R positief. Als de decimale ontwikkeling van x repeterend is, dan isx gelijk aan een breuk.

Het idee van het bewijs komt in de tekst aan bod in het voorbeeld op blz. 25. Hettechnische probleem is om een notatie te maken voor repeterende breuken. Bestudeerbijvoorbeeld eens de volgende notatie:

p · 10−k + p · 10−2k + p · 10−3k + · · · ,

waarbij k , p ∈ N met k > 0 en p < 10k . Geef een bewijs van de stelling waarin je dezenotatie gebruikt.

A Olink

29p. Niet ieder reëel getal is te schrijven als een breuk. Neem als voorbeeld het getal x, waar-van in de decimale ontwikkeling het cijfer 1 wordt afgewisseld door een aantal nullen datgestaag toeneemt:

x = 0,101001000100001000001 . . . .

a Bewijs dat x niet gelijk is aan een breuk.

b Geef zelf nog een voorbeeld, met bewijs, van een getal dat niet gelijk is aan een breuk.

De verzameling R bestaat dus uit meer getallen dan enkel breuken. In hoofdstuk 3 gaanwe hier dieper op in.

A Olink

30∗. De periode van de decimale ontwikkeling van een breuk, is het kleinste aantal cijfers inperiodede decimale ontwikkeling dat steeds herhaald wordt. Zo is de periode van 1

3 = 0,3333 · · ·gelijk aan één, terwijl die van 1

7 = 0,143857 gelijk is aan zes. Onderzoek het verbandtussen n ∈N en de periode van 1

n .

A Olink

31p. In plaats van decimale ontwikkeling kun je ook kijken naar binaire ontwikkeling. Voorx ∈Rmet 0< x < 1 is dit

x = c−1 · 2−1+ c−2 · 2

−2+ c−3 · 2−3+ · · · met c−i ∈ {0,1}.

a Geldt nog steeds de stelling “x is gelijk aan een breuk precies dan als de binaire ont-wikkeling repeterend is?” Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

b Welke getallen hebben een eindige binaire ontwikkeling, d.w.z. een ontwikkeling waar-bij c−i = 0 vanaf een bepaalde i?


c Beantwoord vraag a en b (zonder bewijs) voor de ontwikkeling in een willekeurigebasis b (zie opgave 18).


A Olink

32d. Het teken ‘≈’ wordt gebruikt om aan te geven dat twee getallen ongeveer gelijk aanelkaar zijn. Maar wat betekent ‘ongeveer gelijk?’ Bijvoorbeeld: veel mensen lijken heteens te zijn met de bewering

p2 ≈ 1,41421356. Is

p2 ≈ 1,41 ook goed? Maar dan

moetp

2 ≈ 1,41429 toch ook correct zijn? Het getal 1,41429 ligt immers dichterbij dewerkelijke waarde dan 1,41. Bovendien is 99

70 een veelgebruikte benadering vanp

2. Of isdeze gedachtengang niet juist? En hoe zit het met

p2≈ 1? En

p2≈ 0?

Probeer zo precies mogelijk uit te leggen wat de notatie ≈ volgens jou betekent.

A Olink

33d. Hier zijn enkele krantenkoppen:

“Per eind 2010 stond de Amerikaanse overheid 14.000.000.000.000 dollar in het krijt.”“The national debt of the USA is now 13.5 trillion dollars.”

“US debt: 13,562 billion US dollars.”“Staatsschuld Nederland: 371.028 miljoen euro.”

a Maak een tabel met daarin de Nederlandse en Amerikaanse woorden voor 106, 109,1012 en 1015.

b Wat is het verband tussen deze krantenkoppen en de wetenschappelijke notatie?

(Voor leuke inbreng in de les, zie: http://www.destaatsschuldmeter.nl .)

A Olink

34p. Gegeven zijn twee positieve getallen in wetenschappelijke notatie: x = a · 10k en y =b · 10l . We bekijken het product xy. Rekenregels voor vermenigvuldigen en machtsver-heffen geven

xy = a · 10k · b · 10l = ab · 10k+l .

Schrijven we echter xy in wetenschappelijke notatie als c ·10m , dan geldt niet noodzakelijkc = ab en m = k + l .

a Geef een voorbeeld waarbij dat niet geldt.

b Wat is precies het verband tussen (c , m) enerzijds en (a, k , b , l ) anderzijds?

c Hoe zit het met de som x + y?

http://www.destaatsschuldmeter.nl

38 Hoofdstuk 1

A Olink

35r. Wat is het volume van de vloeistof te bepalen in deze pipet:

De ‘3’ staat voor ‘3ml.’

A Olink

36r. Deze opgave gaat over je rekenmachine.

a Buiten welk interval stapt je rekenmachine op het scherm automatisch over op weten-schappelijke notatie?

b Rekenmachines werken intern vaak preciezer dan ze op het scherm laten zien. Onder-zoek of dit voor jouw rekenmachine geldt. Wat zou de reden hiervoor zijn?

c Ga na hoe je de rekenmachine zo in kunt stellen dat het alle getallen weergeeft inwetenschappelijke notatie met een bepaalde significantie.

d Hoe wordt het getal nul weergegeven?

A Olink

37r. Hoe kun je het getal nul in wetenschappelijke notatie weergeven?

A Olink

38p. Wat is het verband tussen wetenschappelijk notatie en logaritmische schaalverdelingen?

A Olink

39r. Geef aan in hoeveel significante cijfers je verwacht dat, bij normaal gebruik, de volgendegrootheden worden gegeven.

a De lengte van een persoon.

b Het gewicht van een persoon.

c Het gewicht van een diamantje.

d De rondetijd in een schaatswedstrijd.

e Het aantal koeien in een weiland.


f Waarom is het onzinnig om te vragen in hoeveel cijfers achter de komma (of decima-len) je deze getallen verwacht?

A Olink

40p. Uit Systematische natuurkunde, havo 4 deel A:

Deze regels zijn op school gemeengoed. Toch is het niet helemaal goed om op dezemanier met significantie om te gaan. Wat is er mis? Analyseer bijvoorbeeld wat er gebeurtals je 0,5 met zichzelf vermenigvuldigt.

A Olink

41d. Vind je dat er bij het schoolvak wiskunde iets aan significante cijfers moet worden ge-daan? Waarom?

40 Hoofdstuk 1

hoofdstuk 2

GEHELE GETALLEN

41

OVER DIT HOOFDSTUK

Dit hoofdstuk gaat over de verzamelingen N en Z vannatuurlijke en gehele getallen. Begrippen als deelbaar-heid en priemgetallen spelen hier een centrale rol. Ditonderdeel is in de schoolwiskunde een tijd lang minderprominent aanwezig geweest. Inmiddels is er een ken-tering gaande. Er wordt bijvoorbeeld weer aandachtbesteed aan kgv’s en ggd’s, terwijl priemgetallen vaakeen plaats krijgen in verdiepingsparagrafen. In de Tus-sendoelen havo/vwo (zie kader) worden deelbaarheiden priemgetallen expliciet voorgeschreven. Daarnaastvormt het rekenen met gehele getallen de basis voorde diverse algebraïsche vaardigheden uit de schoolwis-kunde.

Dit hoofdstuk bevat ook een eerste kennismakingmet de axiomatische beschrijving van getalsystemen.Dit vormt een benadering van de wiskunde die struc-turalisme genoemd wordt en die in de twintigste eeuwheel populair is geweest—en nog steeds is. In de jaren

zeventig heeft men geprobeerd hier ook in de onder-bouw systematisch aandacht aan te besteden, maar datleidde tot zoveel didactische problemen dat het, althansin Nederland, vrijwel geheel uit het voortgezet onder-wijs is verdwenen. Toch is het zinvol voor docenten omvan de axiomatische benadering kennis te nemen, omde volgende redenen:

•het bijbehorende jargon komt nog af en toe voorin de schoolwiskunde;

•het is dé manier om het verschil in structuur tus-sen getalverzamelingen expliciet te maken;

•het biedt een instrument om vragen omtrent re-kenregels te benaderen.

De axiomatische methode zal ook bij Euclidische meet-kunde aan bod komen, maar dan binnen een anderecontext.

De Tussendoelen onderbouw wiskunde VO zijn recent ontwikkelde documenten waarin de minimale wiskundekennis voor de onderbouw isopgenomen. Het is de bedoeling dat deze tussendoelen officiële status krijgen en het uitgangspunt vormen voor de wettelijke diagnostischetoetsen. Mogelijk belangrijker is het feit dat de auteurs van de schoolboeken de tussendoelen als leidraad gebruiken. Er is een versie voorvmbo (SLO, 2011a), die het eindniveau voor klas 2 beschrijft, en een versie voor het eindniveau van klas 3 in havo en vwo (SLO, 2011b). Inbeide documenten wordt verder gedifferentieerd op niveau.

GEHELE GETALLEN 43

2.1 Deelbaarheid

Als a en b twee gehele getallen zijn, dan is ab niet altijd een geheel getal. De

verzameling van gehele getallen is niet gesloten onder deling. Daarom zijn voorgehele getallen de begrippen deelbaarheid en priemgetal relevant. Deze begrip-pen ken je waarschijnlijk al wel. Voor de duidelijkheid zetten we de zaken nogeven op een rijtje.

THEORIE

Laat k , n ∈Z. We zeggen dat k een deler is van n als er een r ∈Z bestaatzodat n = k r . De notatie hiervoor is k|n.

Je kunt ook zeggen:k deelt n, ofn is deelbaar door k, ofn is een veelvoud van k.

Als n niet deelbaar is door k, noteer je dat als k6 | n.

Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 met als enige positievedelers 1 en het getal zelf.

Als k|n (en k 6= 0) dan kun je n delen door k. Met andere woorden: nk ∈Z. In

het algemeen is nk natuurlijk geen geheel getal. Je kunt echter wel delen met rest. delen met rest

In hoofdstuk 0 staat uitgelegd wat delen met rest is (althans, voor natuurlijkegetallen) en hoe je daarmee werkt door middel van staartdelen. Die rest is 0precies dan als k|n.

Ieder geheel getal n is deelbaar door n, −n, 1 en −1. Daarom is een equiva-lente definitie van priemgetal: “een natuurlijk getal dat precies vier delers heeft.”Vaak kom je de definitie “een getal dat alleen deelbaar is door 1 en door zich-zelf” tegen, maar strikt genomen ontbreekt hier voorwaarde dat een priemgetalgroter moet zijn dan 1.

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 1, 3, 4, 8, 9, 10, 11klassengesprek: 2, 6

Ê

44 Hoofdstuk 2

Schoolboekfragment 2.1 Getal & Ruimte, vwo 1 deel 1

2.2 Gemeenschappelijke delers

THEORIE

Gegeven a, b ∈Z, niet beide gelijk aan 0.Het grootste getal d ∈N dat zowel a als b deelt, heet de grootste gemenedeler (afgekort tot ggd) van a en b . Deze wordt genoteerd als d = (a, b ).

De notatie ‘ggd(a, b )’ wordt ook vaak gebruikt, met name in schoolboeken.Zolang er geen verwarring kan zijn met coördinaten, laten we in dit dictaat ‘ggd’weg.

Voor k ∈Z definiëren we de verzameling Dk van delers van k. Bijvoorbeeld

D36 = {−36,−18,−12,−9,−6,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

Noteer nu metDa ∩Db

de verzameling van elementen die zowel in Da als in Db zitten. Ze bestaat dusuit die getallen die zowel a als b delen. Het grootste element in Da ∩Db moetdus de ggd van a en b zijn. (In opgave 19 ga je na dat dit een goede definitie is.)

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 14, 16, 17, 37klassengesprek: 15, 18, 19

Voor kleine getallen zie je vaak zo wel wat de ggd is. Voor grote getallen isdat niet zo makkelijk: wat is bijvoorbeeld (2520,1100)? Je zou natuurlijk alle ge-tallen 1, 2, . . . , 1100 kunnen afgaan en steeds uitzoeken of ze zowel 2520 als 1100

GEHELE GETALLEN 45

delen. Hoewel dit proces wel iets slimmer kan worden uitgevoerd, blijft het érgveel werk.

Een methode die erg efficiënt is, heet het algoritme van Euclides. Dit is geba- algoritme vanEuclidesseerd op het feit dat

(a, b ) = (b ,a− k b ) voor alle k ∈Z.

Het bewijs hiervan is onderwerp van opgave 24.

Voorbeeld

Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.De titel van het filmpje is Euclidisch agroitme.

Het euclidisch algoritme werkt als volgt:

(2520,1100) = (1100,320), want 2520− 2 · 1100 = 320; (i)(1100,320) = (320,140), want 1100− 3 · 320 = 140; (ii)(320,140) = (140,40), want 320− 2 · 140 = 40; (iii)(140,40) = (40,20), want 140− 3 · 40 = 20; (iv)(40,20) = (20,0), want 40− 2 · 20 = 0; (v)(20,0) = 20.

We lezen hieruit af dat (2520,1100) = · · ·= (40,20) = 20.

In de linkerkolom staat de uitleg, rechts staat het feitelijke rekenwerk. Alsje enkel het algoritme wilt uitvoeren en de uitleg wel gelooft, dan is hetkorter om alleen de vergelijkingen aan de rechterkant op te schrijven. Ziehier het patroon:

(i) 2520 − 2 · 1100

vv

= 320

zz(ii) 1100 − 3 · 320

vv

= 140

zz(iii) 320 − 2 · 140

vv

= 40

zz(iv) 140 − 3 · 40

uu

= 20

yy40 − 2 · 20 = 0

Omdat op de laatste regels de uitkomst 0 is, is de uitkomst één regel daar-boven de ggd.

46 Hoofdstuk 2

Voorbeeld

Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.De titel van het filmpje is Uitgebreid euclidisch algoritme.

De rekenpartij uit het vorige voorbeeld levert meer op dan alleen de ggd.Loop dezelfde berekening nog eens door, maar nu van onder naar bovenbeginnend bij (iv).

(iv) is: 140− 3 · 40 = 20gebruimakend van (iii): 140− 3 · (320− 2 · 140) = 20

7 · 140− 3 · 320 = 20gebruimakend van (ii): 7 · (1100− 3 · 320)− 3 · 320 = 20

7 · 1100− 24 · 320 = 20gebruikmakend van (i): 7 · 1100− 24 · (2520− 2 · 1100) = 20

55 · 1100− 24 · 2520 = 20

Dit heet het uitgebreide algoritme van Euclides. Het is een methode om deuitgebreidealgoritme vanEuclides

ggd van twee getallen a en b te schrijven als een som van gehele veelvoudenvan a en b .

THEORIE

Gegeven a, b ∈N, niet beide gelijk aan nul.Er bestaan r, s ∈Z zodat

ra+ s b = (a, b ).

De ggd en de getallen r en s kunnen met het (uitgebreide) euclidischalgoritme berekend worden.


2.3 De hoofdstelling van de rekenkunde

De priemfactorontbinding van een getal n is de rij priemgetallen waarvan hetpriemfactor-ontbinding product gelijk is aan n. De priemfactorontbinding van 12852 is bijvoorbeeld

2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 · 17, ofwel 22 · 33 · 7 · 17.

GEHELE GETALLEN 47

De hoofdstelling van de rekenkunde zegt dat ieder getal op precies één manier teontbinden in is priemfactoren. Deze uitspraak moet preciezer worden geformu-leerd. Zo heeft 0 geen priemfactorontbinding. Het getal 1 lijkt dat ook niet tehebben, maar hier redden wiskundigen zich met een flauw, maar zeer bruikbaartrucje. We spreken gewoon af dat ‘een product van nul getallen’ gelijk is aan 1(dit is in overeenstemming met de regel a0 = 1). Ook ‘op precies één manier’moet exacter worden geformuleerd. Dit leidt tot de volgende uitspraak.

THEORIE: Hoofdstelling van de rekenkunde

Ieder positief, geheel getal n is op precies één manier te schrijven als eenproduct van priemgetallen

n = p1 · p2 · · · · · pr ,

waarbij p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pr .

BEWIJSTECHNIEK: Existentie en uniciteit

De hoofdstelling van de rekenkunde bestaat in feite uit twee uitspraken:

1. Existentie: Ieder positief, geheel getal is te schrijven als product vanpriemgetallen.

2. Uniciteit: Zo’n product is uniek.

Dit stramien komt vaak voor in wiskundige stellingen. We zullen later nogenkele voorbeelden tegenkomen. Het bewijs van een dergelijke stelling valtlogischerwijs ook uiteen in twee delen: een bewijs voor existentie en eenbewijs van uniciteit.

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 31, 34, 37, 38klassengesprek: 30, 32, 40

Ê

—Het vervolg van deze paragraaf behoort niet tot de tentamenstof.

Op bladzijde 25 e.v. is verteld dat een belangrijke functie van een bewijs is om inzicht teverschaffen en dat de beste methode om tot inzicht te komen is om eerst zelf over een bewijs nate denken. In het geval van de hoofstelling is het existentiegedeelte het eenvoudigst te bewijzen.Een formeel bewijs staat hieronder, maar als je dat meteen leest, mis je een belangrijke stap tothet verkrijgen van inzicht. Probeer dus eerst zelf een informeel bewijs te vinden: begin metenkele voorbeelden en overtuig vervolgens jezelf.

48 Hoofdstuk 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Als je inderdaad even aan het puzzelen bent geweest, heb je waarschijnlijk een inzicht gekre-gen dat grofweg luidt: “Om een gegeven getal te factoriseren, deel je het gewoon net zolang inproducten op totdat je niet meer verder kunt. De getallen die je overhoudt zijn dan noodzakelij-kerwijs allemaal priemgetallen.” De volgende tekst formaliseert dit inzicht.

Bewijs van existentie van een priemfactorontbinding. Gegeven is een positief,geheel getal n. Als n = 1 dan zijn we klaar, vanwege de afspraak over een ‘leegproduct’ (blz. 47). We kunnen dus aannemen dat n > 1.

Werk van laag naar hoog de getallen 2, 3, 4, . . . af, totdat je er eentje vindt dieeen deler is van n; in het uiterste geval is dit n zelf. Noem dit getal p1. Het iseen priemgetal, want een deler van p1 is immers ook een deler van n en omdat jede getallen van klein naar groot afloopt, zou je deze deler tegengekomen moetenzijn. Het getal p1 vormt het begin van de priemfactorontbinding: n = p1 · n2.

Nu passen we hetzelfde proces toe op n2: Als n2 = 1 dan zijn we klaar. Werkanders van laag naar hoog de getallen 2, 3, 4, . . . door, totdat je er eentje vindt dien2 deelt. Dit getal p2 is weer priem en vormt het vervolg van de priemfactoront-binding: n = p1 · p2 · n3.

Pas nu hetzelfde proces toe op n3. . . .

Omdat n > n2 > n3 > · · · > 0 moet dit proces een keertje stoppen (nr+1 is dangelijk aan 1).

Dit bewijs geeft zelfs een algoritme om de priemfactorontbinding te vinden: loop de priem-getallen van klein naar groot af en probeer steeds te delen (hier gaan we in opgave 41 verder opin).

Het uniek zijn van de priemontbinding is veel lastiger te bewijzen. Het is niet waar dat iedergetal maar op één manier als product te schrijven is: zo is 12 gelijk aan 2 · 6, maar ook aan 3 · 4.Beperk je je echter tot priemgetallen, dan gaat het blijkbaar wél goed. De reden hiervoor is hetvolgende lemma (een lemma is een chique woord voor hulpstelling):

Lemma. Als p|ab en p is een priemgetal, dan p|a of p|b .

Bewijs. Stel p is een priemgetal en p|ab . Als ook geldt p|a dan zijn we klaar.Neem dus aan p6 | a.

Omdat p een priemgetal is en p 6 | a, geldt (p,a) = 1. Volgens het uitgebreidealgoritme van Euclides zijn er dan r, s ∈Z zodat

r p + sa = 1.

Als we links en rechts met b vermenigvuldigen, krijgen we

r p b + sab = b .

Maar uit p|ab volgt het bestaan van een getal t zodat ab = t p. Substitutie geeft

r p b + s t p = b

GEHELE GETALLEN 49

en vervolgens kunnen we aan de linkerkant p buiten haakjes halen:

p(r b + s t ) = b ;

maar uit deze laatste vergelijking volgt p|b .

Het bewijs van uniciteit gaat nu als volgt:

Bewijs van uniciteit van de priemfactorontbinding. Stel dat er een getal iswaarvan de priemontbinding niet uniek is. Bekijk dan twee ontbindingen vanzo’n getal n ∈N:

n = p1 p2 . . . pr met p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pr alle priem;

n = q1q2 . . . qs met q1 ≤ q2 ≤ · · · ≤ qs alle priem.

Als er boven en onder een priemgetal hetzelfde is, zeg pi en q j , dan kunnen weze wegdelen en kijken naar n

pi= n

q j. Op deze manier kunnen we doorgaan tot de

priemgetallen pi alle verschillend zijn van de priemgetallen q j . Neem vanaf nudus aan dat dit het geval is.Omdat p1 priem is en p1|(q1q2 . . . qs ) geldt volgens het lemma dat p1|qi voor eenzekere i . Maar omdat qi ook priem is, volgt p1 = qi . Dit is in tegenspraak methet uitgangspunt dat alle priemgetallen in de eerste ontbinding verschillen van dievan de tweede. De aanname dat er een getal is waarvan de priemontbinding nietuniek is, kan dus niet waar zijn.

2.4 Kardinaliteit

Natuurlijke getallen gebruik je voor het aangeven van aantallen: het aantal vin-gers van je hand, het aantal leerlingen in de klas, et cetera. Waarschijnlijk is ditde manier waarop getallen historisch het eerst werden gebruikt.

Neem een verzameling A met een eindig aantal elementen. Dit aantal ele-menten heet de kardinaliteit van A. Op deze manier hoort bij iedere eindige kardinaliteit

verzameling een natuurlijk getal, dat je noteert met |A|. De verzameling metkardinaliteit 0 is de verzameling zonder elementen. Dit is de lege verzameling, lege

verzamelinggenoteerd als ∅.

De vereniging van twee verzamelingen A en B is de verzamelingen die alle vereniging

elementen van A en B bevat. De vereniging wordt genoteerd met A∪B , dus:

A∪B =�

x�

� x ∈A of x ∈ B

.

De tegenhanger van vereniging is doorsnede. Dit begrip ben je al eerder te-gengekomen. De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling doorsnede

50 Hoofdstuk 2

elementen die zowel in A als in B zitten:

A∩B =�

x�

� x ∈A en x ∈ B

.

Als A en B geen gemeenschappelijke elementen hebben, dan is A∩B =∅; in datgeval heten A en B disjunct.disjunct

THEORIE

Er geldt voor twee eindige verzamelingen A en B :

|A∪B |= |A|+ |B |, precies dan als A en B disjunct zijn.

We zien zo dat het optellen van natuurlijke getallen correspondeert met ensamenvoegen van verzamelingen. Dit wist je natuurlijk al lang! Maar wat mis-schien nieuw is, is de wiskundige manier om dit met verzamelingleer te beschrij-ven. Vermenigvuldiging is ook te interpreteren met kardinaliteit. Zo kun je 3 ·2modelleren door een stippenrechthoek:

• • •• • • .

Het begrip uit de verzamelingenleer dat hierbij hoort, is het product A× B vanproduct

twee verzamelingen A en B :

A×B =�

(x, y)�

� x ∈A en y ∈ B

.

Hierbij staat (x, y) voor een getallenpaar (bij meetkunde zou je dit coördinatennoemen).

THEORIE

Er geldt voor twee eindige verzamelingen A en B :

|A×B |= |A| · |B |.

Getallen zijn abstracte dingen. Niet voor niets wordt aan het begin van debasisschool een aanzienlijke tijd besteed aan het verwerven van getalbegrip; endit proces zet zich voort tot het einde van de middelbare school en zelfs tot ditvak! Wat zijn getallen? Over deze vraag hebben vele geleerden zich het hoofd

GEHELE GETALLEN 51

gebroken. Laten we ons beperken tot de simpelste getallen, namelijk natuurlijkegetallen. Eén beschrijving daarvan is met behulp van kardinaliteit: natuurlijkegetallen zijn wat je overhoudt als je van verzamelingen de aard van de elementenweg-abstraheert. Dit heet het kardinale getalmodel. Het is niet de enige manierom tegen getallen aan te kijken. Zo is er ook het ordinale getalmodel, dat zichricht op de volgorde van getallen—denk aan de getallenlijn. We gaan hier inde opgaven verder op in. Het ordinale model is voor de wiskunde verrassendgenoeg belangrijker dan het kardinale (Freudenthal, 1973).

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 46, 47, 48klassengesprek: 49

Ê

ACHTERGRONDEr is veel onderzoek gedaan naar de ontwikkeling van getalbegrip bij kinderen. In eenberoemd experiment van Wynn (1992), krijgen baby’s een poppenkastvoorstelling te zienwaarin bijvoorbeeld één figuurtje achter een scherm verdwijnt, waarna er soms één ensoms twee weer tevoorschijn komen. Door te meten hoe lang de baby’s hier hun aandachtop blijven vestigen, concludeert Wynn dat baby’s al op zeer jonge leeftijd gevoel hebbenvoor het aantal objecten in kleine verzamelingen. Ook bij sommige diersoorten treedt ditop.Baby’s werken hier (uiteraard onbewust) met de kardinale voorstelling. Als peuters hettelrijmpje “één, twee, . . . ” opzeggen, kunnen ze dit nog niet meteen koppelen aan hetkardinaliteitsbegrip. Voor deze peuters is alleen de volgorde van belang; dat is het ordinalegebruik van getallen. Pas richting de kleutertijd gaan kinderen het verband tussen hetordinale en kardinale model zien. Wij volwassenen zijn zo gewend aan deze koppeling,dat we het lastig vinden om kardinaliteit en ordinaliteit los van elkaar te zien.Zie voor meer informatie bijvoorbeeld Ifrah (1988).

2.5 Algebra

In de vorige paragraaf zijn we twee getalmodellen tegengekomen. Deze model-len kunnen gebruikt worden om betekenis te geven aan getallen en de rekenope-raties. Om vlot mee te werken zijn de modellen echter omslachtig. De grootsteverdienste van de algebra is dat het werken met rekenoperaties geautomatiseerd algebra

wordt. En dit automatiseren is, zeker ook in de schoolwiskunde, belangrijk—ziede vele discussies over algebraïsche vaardigheden. De moderne algebra doet ditzo succesvol, dat tegenwoordig zelfs computers uitstekend algebra kunnen doen!Bovendien leert algebra je ook veel over de structuur van getalverzamelingen.

We beginnen met de natuurlijke getallen, verzameld in N. Binnen deze ver-zameling kun je niet altijd aftrekken of delen, omdat bijvoorbeeld 1−5 en 3÷4geen elementen zijn van N. Optellen en vermenigvuldigen kun je daarentegen

52 Hoofdstuk 2

naar hartelust doen: we zeggen dat N gesloten is onder optellen en vermenigvuldi-gesloten

gen. Dit begrip ben je aan het begin van deze paragraaf ook al een keer tegenge-komen. De verzameling N is ook gesloten onder machtsverheffen, behalve dathier een subtiliteit is aangaande 00; zie daarvoor opgave 52.

De verzameling van natuurlijke getallen is een deelverzameling van de verza-meling gehele getallen Z. Bovendien laten de rekenoperaties optellen en verme-nigvuldigen voor natuurlijke getallen zich veralgemeniseren naar Z. We zeggenin dit geval dat Z een uitbreiding van N is. Door deze uitbreiding krijgen we bo-uitbreiding

vendien een verzameling die gesloten is onder aftrekken. De verzameling gehelegetallen is zelfs de kleinste uitbreiding die gesloten is onder aftrekken. Daarmeeonderscheid Z zich van andere verzamelingen als R die ook gesloten zijn onderaftrekken.

De verzameling Z is niet langer gesloten onder machtsverheffen (zie op-gave 52). Bij het uitbreiden van getalsverzamelingen kan het gebeuren dat jebepaalde mooie eigenschappen verliest. Dus: Z is gesloten onder optellen, af-trekken en vermenigvuldigen; maar niet onder delen of machtsverheffen.

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 50, 54, 52klassengesprek: 51

De rekenoperaties voldoen aan allemaal rekenregels, zoals

2a+ 3b + 2a+ 4b = 4a+ 7b ,7(a+ b ) = 7a+ 7b ,

(a+ b )2 = a2+ 2ab + b 2,enzovoorts.

Deze lijst kun je natuurlijk willekeurig lang maken. Er zijn echter een paarregels die er uitspringen door hun eenvoud en toepasbaarheid. Dit zijn regelsdie essentiële eigenschappen van de rekenoperaties beschrijven; we noemen zefundamentele rekenregels of axioma’s. Het idee is dat je door combinatie vanfundamentele

rekenregels fundamentele regels heel veel andere rekenregels af kunt leiden.

Eén zo’n fundamentele rekenregel is bijvoorbeeld de commutativiteit van decommutativiteit

optelling. Deze regel luidta+ b = b + a.

In woorden: het maakt niet uit in welke volgorde je twee getallen optelt. Ookvoor vermenigvuldigen geldt commutativiteit (a · b = b · a), maar niet voor af-trekken of machtsverheffen: 2− 3 6= 3− 2 en 23 6= 32.

GEHELE GETALLEN 53

Een ander soort fundamentele regel is associativiteit; ook deze is er voor zo- associativiteit

wel optellen als vermenigvuldigen. Om 122+ 312+ 444 te berekenen, kun jebeginnen met 122+ 312 = 434 en hier vervolgens 444 bij optellen. Je kunt ookbeginnen met 312+444= 756 en dit bij 122 optellen; het maakt niet uit. De regelvan associativiteit van de optelling legt dit vast door voor één keer met behulpvan haakjes wel heel precies aan te geven in welke volgorde je moet werken:

(a+ b )+ c = a+(b + c).

Machtsverheffen is niet associatief en daarom hoor je hier altijd haakjes te zetten:

a(bc ) is niet gelijkwaardig aan

�

ab�c

.

Gelukkig komt herhaaldelijk machtsverheffen in de praktijk niet zo vaak voor—en bovendien kun je de tweede uitdrukking ook schrijven als ab c .

Combineer je optellen en vermenigvuldigen, dan zijn haakjes wel degelijknodig: 2 · (3+ 4) is niet hetzelfde als (2 · 3) + 4. Om te voorkomen dat langeformules een woud van haakjes zijn, is de afspraak gemaakt dat vermenigvuldi-gen voor optellen komt: de haakjes in (2 · 3)+ 4 zijn dus overbodig. Een tweedeafspraak is dat machtsverheffen voor vermenigvuldigen en optellen gaat. Eenafspraak berust op een culturele keuze; de fundamentele rekenregels geven daar-entegen eigenschappen van getalverzamelingen aan.


[Merk op dat er in de oppervlakteredenering impliciet vanuit wordt gegaan dat a, b ≥ 0.Uiteraardgeldt de uitspraak ook voor negatieve getallen—althans, dat vindt men tegenwoordig vanzelfspre-kend. Het grootste deel van de geschiedenis van de wiskunde heeft men echter juist om deze redenhet onzinnig gevonden om a of b negatief te nemen. In de zeventiende eeuw kwam men tot hetinzicht dat dit wel betekenisvol was en dat was een grote sprong voorwaarts in de algebra. Zie hetvak Geschiedenis van de wiskunde.]

54 Hoofdstuk 2

Om het verband tussen twee operaties te beschrijven, zijn er fundamenteleregels van distributiviteit, zoals a(b + c) = ab +ac . Commutativiteit en associa-distributiviteit

tiviteit zijn zo voor de hand liggend dat ze op school vaak niet expliciet wordengemaakt. Maar met distributiviteit gebeurt dat wel: zie schoolboekfragment 2.2.

Zijn er ook fundamentele regels nodig voor aftrekken, zoals a(b− c) = ab−ac? Het antwoord is nee. Je kunt aftrekken namelijk altijd vervangen dooroptellen, als volgt:

x − y = x +(−y).

De fundamentele regels voor Z staan in de volgende tabel.optellen vermenigvuldigen

commutativiteit a+ b = b + a ab = ba

associativiteit (a+ b )+ c = a+(b + c) (ab )c = a(b c)

neutraal element a+ 0= 0+ a = a a · 1= 1 · a = a

bestaan inverse voor alle a, b ∈Z heefta+ x = b een oplossing

distributiviteit a(b + c) = ab + ac

verband metordening

als a < bdan a+ c < b + c

als a < b en c > 0dan ac < b c

fundamentele rekenregels voor Z

In het vakje bij ‘bestaan inverse’ wordt het gebruik van het minteken om-zeild. De enige oplossing van deze vergelijking is immers x = b − a.

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 56, 57, 62, 67, 69, 73klassengesprek: 59, 63, 71

Kunnen met de regels uit dit schema alle rekenregels voor gehele getallenworden afgeleid? Nee. De regels in het schema zijn echter wel bruikbaar omverschillen te beschrijven: zowel tussen de verschillende operaties (optellen envermenigvuldigen), als tussen verschillende getalverzamelingen. We zullen vari-anten van het schema voor N, R, etc. later nog tegenkomen.

GEHELE GETALLEN 55

ACHTERGRONDIn de rekenregels, zoals a + b = b + a, komen letters voor. De impliciete betekenis vandeze letters is dat a+ b = b + a geldt voor alle getallen a en b . Bij didactiek van de algebrazul je leren dat de letters hier de rol van onbepaalde onbekende vervullen. Vergelijk ditbijvoorbeeld met een vergelijking als a + b = a, die waar is voor b = 0, maar zeker nietvoor alle waarden van b .Professionele wiskundigen gruwen van dit soort vaagheid: in wetenschappelijk boeken enpublicaties geven ze daarom altijd aan dat een uitspraak geldt ‘voor alle a en b ’. Dit is in deschoolwiskunde niet zo gebruikelijk: altijd waar, nooit waar, soms wel eens waar of bijnanooit waar; dat moet je vaak zelf uit de context opmaken.

56 Hoofdstuk 2

Opgaven


A Olink

1r. a Voor welke a ∈Z geldt a|108?

b Voor welke b ∈Z geldt 15|b ?

c Voor welke c ∈Z geldt 14|c en c |144?

d Voor welke d ∈Z geldt d |0?

e Voor welke e ∈Z geldt 1|e?

d Voor welke f ∈Z geldt 0| f ?

A Olink

2p. Twee eigenschappen van deelbaarheid worden vaak gebruikt:

Als k|n EN k|m, dan k|(n±m).

Als k|n OF k|m, dan k|(nm).

a Neem eerst eens k = 2. Vertaal de eigenschappen in uitspraken over even en onevengetallen.

b Bewijs de eerste uitspraak, door gebruik te maken van de definitie van deelbaarheid opblz. 43.

c Bewijs de tweede uitspraak.

d Blijven de uitspraken gelden als je de woorden ‘EN’ en ‘OF’ verwisselt?

e Formuleer de omkering van beide uitspraken.

f Laat met een tegenvoorbeeld zien dat het omgekeerde van beide uitspraken niet geldt.

g Stel m|n. Kun je een soortgelijke uitspraak formuleren voor k| nm ?

A Olink

3p. Stelling: als ab |n, dan a|n en b |n.

a Bewijs deze stelling.

b Onderzoek of de stelling ook geldt als je het product ab vervangt door de som a+ b .

De omkering van de stelling geldt niet.

c Formuleer deze omkering.


d Laat met een tegenvoorbeeld zien dat de omkering inderdaad niet geldt.

Als je voor (a, b ) bijvoorbeeld de tweetallen (2,3), of (2,11), of (5,9) neemt, geldt deomkering wel (voor alle n).

e Aan welke eis moet (a, b ) voldoen opdat de omkering geldt?

A Olink

4p. Herinner je de definitie van faculteit: k! is het product van de getallen 1 tot en met k. faculteitBijvoorbeeld 4!= 1 · 2 · 3 · 4= 24.

a Bewijs dat 2|(16!+ 2), 3|(16!+ 3), . . . , 16|(16!+ 16).

b Laat zien dat 176 | (16!+ 17).

c Geldt 18|(17!+ 18)?

d Voor welke getallen n ∈Zmet n > 1 geldt n|�

(n− 1)!+ n�

?

A Olink

5∗. Ieder positief getal k ∈Zmet 26 | k en 56 | k heeft een veelvoud waarvan de decimale notatiebestaat uit een rij negens. Bewijs dit.Hint: gebruik de decimale ontwikkeling van 1

k .

A Olink

6p. Onderzoek of er positieve, gehele getallen zijn die meer dan duizend positieve delershebben, maar die toch uit niet meer dan tien cijfers (in decimale notatie) bestaan.

A Olink

7∗. Zoek op internet op wat perfecte getallen zijn. Geef enkele voorbeelden en beschrijf hetbelangrijkste feit dat nog niet bekend is over dit soort getallen.

A Olink

8p. In hoofdstuk 0 staat in het theorievak op bladzijde 11 uitgelegd dat je ieder tweetal a, b ∈Nmet b 6= 0 kunt schrijven in de vorm a = q b+ r . Dit is delen met rest: q is het resultaatvan de geheeltallige deling van a door b en r is de rest.

a Bepaal q en r voor a = 32412 en b = 17.

Als a, b , q en r ook negatief mogen zijn, dan kun je geheeltallige deling op meerderemanieren definiëren. Je zult dus een keuze moeten maken:

i. je kunt eisen dat de rest altijd een natuurlijk getal is, oftewel 0≤ r < |b |;ii. of je eist dat de rest altijd zo dicht mogelijk bij 0 ligt.

(Hier staat ‘|b |’ voor de absolute waarde van b . Per definitie: |b | = b als b ≥ 0 en|b |=−b als b < 0.)We gebruiken voorlopig de eerste eis: 0≤ r < |b |.

b Bepaal q en r voor deling van −32412 door 17.

c Bepaal q en r voor deling van 32412 door −17.

58 Hoofdstuk 2

d Bepaal q en r voor deling van −32412 door −17.

e Neem vervolgens de tweede keuze: de rest ligt zo dicht mogelijk bij 0 en beantwoordnogmaals de vragen a tot en met d.

f Geef een definitie zoals in het theorievak in het geval je de tweede keuze maakt.

g Welke keuze vind je het natuurlijkst?

A Olink

9p. In veel schoolboeken uit de onderbouw wordt in de verdiepingsstof de zeef van Eratosthe-nes behandeld. Dit is een methode om alle priemgetallen kleiner of gelijk aan n te vinden,waarbij n een getal is dat je zelf mag kiezen. Je schrijft hierbij alle gehele getallen van 2 toten met n op. Vervolgens streep je alle veelvouden van 2 weg die groter zijn dan 2, daarnaalle veelvouden van 3 die groter zijn dan 3, enzovoorts. De getallen die je overhoudt, zijnde priemgetallen.

a Bepaal met behulp van deze procedure alle priemgetallen ≤ 30.

b Leg uit waarom deze methode werkt.

c Waarom wordt dit een ‘zeef’ genoemd?

d In veel lesboeken staan de getallen in een rechthoekige tabel; wat is hier de reden van?

A Olink

10p. Als een geheel getal n ≥ 2 niet deelbaar is door de getallen k ∈Nmet 2≤ k ≤p

n, dan isn een priemgetal. Geef hiervoor een verklaring.

A Olink

11p. Bewijs zonder het product uit te rekenen dat

111111 · 732593 6= 745577 · 109279.

A Olink

12r. Wiskundigen hebben lange tijd gezocht naar formules om priemgetallen te genereren.Vul de volgende tabel in en omcirkel de priemgetallen. Welke formule levert voor allen ∈N een priemgetal op?

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4n+ 3

n2+ 1

n2− 2

n2+ 2n+ 2

n2+ n+ 41

n2− 79n+ 1601

n4+ 4



A Olink

13r. Vereenvoudig de volgende breuken zoveel mogelijk met behulp van de ggd:

a 1266328917 b 397483969

223553581

A Olink

14p. Wat zijn de mogelijke waarden van (p, n) als p een priemgetal is?

A Olink

15r. a Wat is (x, 0) voor x 6= 0?

b Waarom mag x niet nul zijn?

A Olink

16r. Waar of niet waar?

a 1 ∈Da voor alle a ∈Z.

b Er is een a ∈Z waarvoor geldt dat 0 ∈Da .

c Dp ∩Dq = {−1,1} als p en q priemgetallen zijn.

d Als a|b , dan Da ⊂Db .

A Olink

17r. Hieronder staan twee beweringen. Bewijs ze door ze te vertalen in uitspraken over deverzamelingen Dx .

a Als a|b en b |c , dan is a|c .

b Als a|b en b |a, dan is a = b of a =−b .

A Olink

18p. a Formuleer zelf een definitie van ‘kleinste gemene veelvoud’. kleinstegemene

veelvoudb Herformuleer je definitie in verzamelingentaal.

c Waarom is de ‘kleinste gemene deler’ geen nuttig begrip?

d Waarom is het ‘grootste gemene veelvoud’ onzinnig?

e Wat kun je zeggen over het product van de ggd en het kgv?

A Olink

19r. Neem a, b ∈ Z, niet beide gelijk aan 0. In de tekst staat dat de ggd van a en b gelijk isaan het grootste element van Da ∩Db . Dit zou als alternatieve definitie van de ggd kunnendienen. Maar dan moet je wel zeker weten dat zo’n grootste element ook echt altijdbestaat. Er zouden namelijk twee dingen mis kunnen gaan:

1. Da ∩Db is niet naar boven begrensd, zodat de elementen willekeurig groot zijn ener geen grootste is aan te wijzen;

60 Hoofdstuk 2

2. Da ∩Db heeft geen enkel element, en er is dus ook geen grootste.

Laat zien dat deze ‘ongelukken’ niet kunnen gebeuren.

A Olink

20p. Neem a ∈Z, a > 1. Bewijs: Het kleinst getal x ∈Da met x > 1 is een priemgetal.

A Olink

21r. Gebruik in deze opgave het euclidisch algoritme.

a Bereken (5454,1221).

b Bereken (233,144).

c Bepaal de ggd van je geboortedatum (ddmmjjjj) en je telefoonnummer (zonder kenge-tal of 06).

A Olink

22r. In opgave 21 heb je drie keer met het euclidisch algoritme de ggd bepaald van concrete ge-tallen a en b . Gebruik nu het uitgebreide algoritme om ook r, s ∈Z te vinden waarvoorra+ b s = (a, b ).

A Olink

23p. a Leg in eigen woorden uit hoe het algoritme van Euclides werkt. Dat wil zeggen: ge-geven twee gehele getallen a, b , met a > b > 0, welke stappen moet je uitvoeren omde grootste gemene deler van a en b te vinden? Schrijf het zo op dat iemand die decollegestof niet kent, jouw stappenplan toch kan uitvoeren.

b Waarom stopt het algoritme altijd?

A Olink

24p. In deze opgave zijn a, b ∈Z niet beide 0.

a Bewijs dat (a, b ) = (b ,a− b ).

b Bewijs dat (a, b ) = (b ,a− k b ) voor iedere k ∈N.

A Olink

25p. De rij van Fibonacci is een getallenrij. Je begint met tweemaal een 1 op te schrijven, endaarna bereken je elk volgend getal uit de rij als de som van zijn twee voorgangers. De rijbegint dus als volgt:

1,1,2,3,5,8,13,21, . . . .

Bewijs dat twee opeenvolgende getallen in deze rij altijd ggd gelijk aan 1 hebben.

A Olink

26p. Bereken de ggd van 3100+ 2100 en 3100− 2100.

A Olink

27p. In het tijdschrift Pythagoras staat een methode om de grootste gemeenschappelijke delervan meer dan twee getallen uit te rekenen. De methode wordt beschreven aan de handvan een voorbeeld:


Gevraagd: Bereken de ggd van 72–54–24–12 (de getallen zijn in volgorde vangrootte gezet).De verschillen zijn resp. 18–30–12.We plaatsen nu de gevonden verschillen in de rij van de oorspronkelijke ge-tallen, waarbij we de getallen maar eenmaal opschrijven:

72–54–30–24–18–12.De verschillen zijn nu resp. 18–24–6–6–6. Het getal 6 is er dus nog bijgeko-men. Dit geeft de rij

72–54–30–24–18–12–6.Hiervan is de rij van verschillen 18–24–6–6–6–6.Er komen nu geen nieuwe getallen meer bij. De ggd is dus 6.

Verklaar deze methode.—Bron: Steur (1980)

A Olink

28r. In de film Die Hard with a Vegeance moeten de hoofdrolspelers Bruce Willis and SamuelL. Jackson een bom onschadelijk maken door op een weegschaal 4 gallon water te plaat-sen. Helaas beschikken ze enkel over flessen van 3 en 5 gallon. Hoe lossen onze heldendit op? En wat heeft het met de theorie van dit hoofdstuk te maken?

A Olink

29r. a Een kangoeroe zit bij 0 op de getallenlijn. Hij kan sprongen maken van 9 en 14 meter.Hoe kan hij het getal 1 bereiken?

b Welke getallen kan hij niet bereiken?


A Olink

30p. In de hoofdstelling van de rekenkunde wordt geëist dat p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pr . Waarom?

A Olink

31r. Ontbind in factoren:

a 352 b 123

A Olink

32p. Alle positieve delers van het getal 54 vind je terug in een vermenigvuldigingstabel:

× 30 31 32 33

20 1 3 9 27

21 2 6 18 54

a Leg uit waarom elke deler van 54 in deze tabel moet staan.

b Maak een vergelijkbare tabel om alle positieve delers van 200 te bepalen.

c Hoeveel positieve delers heeft 19800?

62 Hoofdstuk 2

d Bepaal het kleinste natuurlijke getal met precies 105 delers.

e Bepaal alle getallen tussen 0 en 200 die precies tien delers hebben.

A Olink

33p. Een computer kan heel snel nagaan of een getal een priemgetal is. Het gebruikt hiervooreen slim algoritme waar we hier niet verder op ingaan. Op de site www.math.rug.nl/cryptovan de Rijksuniversiteit Groningen staat een applet dat een gegegeven getal n net zo langophoogt tot je een priemgetal krijgt.

a Overtuig je ervan dat dit inderdaad een snel programma is. Bepaal in ieder geval heteerstvolgende priemgetal na het idioot grote getal

9876543210987654321098765432109876543210.

Een voor de hand liggende methode om de priemfactorontbinding te vinden, is dooreerst te delen door 2 net zolang tot dit niet meer kan, vervolgens door 3, enzovoorts.Dit doet de applet op de site http://www.math.princeton.edu/math_alive/Crypto/Lab2/Factorization.html.

b Factoriseer 121932633334857493.

c Factoriseer 121932633334857492.

d Waarom wordt het getal uit e veel sneller gefactoriseerd dat het getal uit d?

e Bedenk zelf een getal waarvoor de applet meer dan 40 seconden nodig heeft om het tefactoriseren. Hint: Gebruik ook de eerste applet uit deze opgave.

Tegenwoordig wordt in de ICT veel gebruik gemaakt van grote priemgetallen om berich-ten te coderen. Denk aan pincodes, elektronisch bankieren, etc. Bijna al deze methodeszijn gebaseerd op het ervaringsfeit dat factoriseren van grote getallen lang duurt. Maar:niemand weet of er toch niet een methode denkbaar is die wél snel is (zoals bij de priem-test aan het begin van de opgave). Iemand die zo’n algoritme vindt, kan alle bankreke-ningen kraken. Maar er zijn eerlijkere manieren om met wiskunde rijk te worden. . .

A Olink

34p. a Bewijs dat alle priemgetallen in de ontbinding van een kwadraat een even aantal keervoorkomen.

b Algemener: hoe zit het met een n-de macht?

We nemen een rij kwadraten 1, 4, 9, 16, . . . en verdubbelen de getallen: 2, 8, 18, 32, . . . .

c Bewijs dat geen getal uit het tweede rijtje een kwadraat is.

We nemen een rij derde machten 1, 8, 27, 64, . . . en voegen in de decimale notatie achterieder getal een nul toe: 10, 80, 270, 640, . . .

d Laat zien dat geen van de getallen uit dit laatste rijtje een derde macht is.

http://www.math.rug.nl/crypto

http://www.math.princeton.edu/math_alive/Crypto/Lab2/Factorization.html

http://www.math.princeton.edu/math_alive/Crypto/Lab2/Factorization.html


e Zitten er kwadraten in het laatste rijtje?

A Olink

35r. Maak de volgende opgave uit Matrix:

A Olink

36r. In de vorige paragraaf heb je de ggd van 2520 en 1100 bepaald door middel van het eu-clidisch algoritme. In deze opgave zul je ervaren dat dit inderdaad een handig algoritmeis, door het nu een keer op een onhandige manier te doen. Als volgt: bepaal (2520,1100)met behulp van de priemfactorontbinding van 2520 en 1100.

A Olink

37p. In Barlaeus (2009) staat het volgende plaatje:

a Wat gebeurt hier?

b Wat is de didactische meerwaarde van dit plaatje?

c Stellen de omlijnde gebieden verzamelingen voor?

A Olink

38p. Als je één van de drie opgaven 35, 36, of 37 hebt gemaakt, zul je hebben geconstateerddat er een verband is tussen de priemfactorontbinding van de ggd van a en b en de priem-factorontbindingen van beide getallen. Maak dit verband expliciet.

A Olink

39∗. De priemfactorontbinding wordt ook wel eens zo geschreven:

n =∏

p priemp i(p).

64 Hoofdstuk 2

In woorden staat hier: “het product van factoren p i(p), waarbij p alle priemgetallen door-loopt.” Verklaar deze notatie en leg uit hoe dit oneindige product toch een getal kanopleveren.

A Olink

40p. a Gegeven is een natuurlijk getal n. Laat zien dat n!+1 niet deelbaar is door ieder getal kwaarvoor geldt 1< k ≤ n.

b Bewijs een stelling van Euclides: Er zijn oneindig veel priemgetallen.

A Olink

41∗. Bestudeer het bewijs van priemfactorontbinding (blz. 48).

a Schrijf het bewijs uit voor een concreet voorbeeld: n = 60.

b Waarom geeft het bewijs een algoritme om de priemfactorontbinding te bepalen?

A Olink

42∗. Een ander bewijs van het lemma uit de tekst gaat als volgt:

Stelling. Als p|ab en p is een priemgetal, dan p|a of p|b .Bewijs. Definieer de verzameling

B =�

q ∈N�

� q 6= 0 en p|q b

.

Deze verzameling is niet leeg: bijvoorbeeld p ∈ B en a ∈ B . Laat x hetkleinste element van B zijn.Als q ∈ B , dan geldt x|q . Immers, x = q of x < q . In het eerste geval geldtnatuurlijk x|q . In het tweede geval (x < q) passen we deling met rest toe:q = l x + r met 0 ≤ r < x. Als r = 0 dan inderdaad x|q . Maar r 6= 0kan niet, omdat in dat geval r = q − l x een element is van B dat kleiner isdan x (zie opgave 42) terwijl we juist hadden aangenomen dat x het kleinsteelement van B is.Dus x|q voor alle q ∈ B . Passen we dit toe op a, p ∈ B , dan volgt x|p enx|a. Omdat p een priemgetal is, geldt x = 1 of x = p. Als x = p dan geldtdus p|a en is de uitspraak bewezen. Als x = 1 dan volgt uit p|x b dat p|b enis de uitspraak ook bewezen.

Een klein voordeel van dit bewijs boven dat in de tekst is dat je voor dit bewijs geenkennis van het uitgebreide algoritme van Euclides nodig hebt.

In het bewijs wordt beweerd dat r = q − l x een element is van B . Waarom is dat waar?


A Olink

43∗. In de, helaas opgegeven, onderbouwmethode Matrix staat het volgende plaatje:

In de opgave die erbij hoort, wordt gevraagd de ontbrekende woorden in te vullen (in hetboek is een aantal opties gegeven waaruit de leerling kan kiezen; die laten we hier weg).Bepaal de ontbrekende woorden.

N.B. Dit bewijs is een alternatief voor het existentiebewijs van de priemfactorontbindinguit de tekst. Anders dan ons bewijs, geeft het bewijs uit Matrix geen algoritme om defactorontbinding te bepalen. Het is geen constructief bewijs.

A Olink

44∗. Gegeven n ∈N. Bewijs: er bestaat een getal N ∈Nwaarvoor de getallen N , N+1, N+2,. . . , N + n allemaal niet priem zijn.Hint: laat je inspireren door opgave 4.

A Olink

45∗. In hoofdstuk 0 wordt als voorkennis delen met rest (voor niet-negatieve getallen) beschre-ven:

Stelling. Voor ieder tweetal a, b ∈ N met b 6= 0, zijn er unieke gehele

66 Hoofdstuk 2

getallen q en r waarvoor geldt:

a = q b + r, met 0≤ r < b .

Hoewel dit een weinig opzienbarende uitspraak is, is het wel een wiskundige stelling dieje van een formeel bewijs zou kunnen voorzien. Deze opgave gaat hier op in.

De stelling bestaat uit twee gedeelte: een existentie-uitspraak en een uniciteituitspraak.

a Probeer eerst eens aan jezelf uit te leggen waarom er getallen q en r zijn zodat a =q b + r als in de stelling. Probeer het bijvoorbeeld eens uit op een voorbeeld, zoalsa = 3563 en b = 63.

Als je jezelf hebt overtuigd waarom q en r moeten bestaan, is de kunst (met name vooreen docent!) om dit onder woorden te brengen. Nu zijn er van een stelling heel veelmogelijke correcte bewijzen. Eén manier maakt gebruik van de getallenlijn, bijvoorbeeld:

0b 1b 2b 3b 4ba

5b

r

b Werk dit idee uit tot een bewijs van het existentiegedeelte.

c Bewijs het uniciteitsgedeelte. Begin als volgt: “Stel de paren (q1, r1) en (q2, r2) vol-doende beide aan de voorwaarde voor deling met rest.”

Een alternatief bewijs voor existentie luidt als volgt:

Bewijs van existentie. Definieer de verzameling

A=�

x�

� x ∈N en x = a− q b met q ∈Z

.

De verzameling A bevat een kleinste element; noem dat r . Voor r geldt dusdat er een q ∈ Z is zodat a = q b + r en bovendien is r ≥ 0. Het enige datrest, is te bewijzen dat r < b . Maar als r ≥ b , dan geldt r − b ∈A. Er is dusnog een getal in A dat kleiner is dan r en dat kan niet.

d Bestudeer dit alternatieve bewijs en schrijf het uit voor het concrete voorbeeld a = 23en b = 3.

Er is nog een derde manier om het existentiegedeelte van delen met rest te bewijzen,namelijk door het staartdelingsalgoritme te gebruiken.

e Leg uit hoe dat gaat.

In ‘gevorderde’ wiskundeboeken gaat het andersom: daar laat men zien dat staartdelen‘werkt’ vanwege delen-met-rest.

f Eigenlijk is dat een eerlijkere methode. Waarom?



A Olink

46r. Neem de verzamelingen A= {3,7,13} en B = {5,6}.

a Bepaal |A|+ |B | en |A∪B |.

b Geef een voorbeeld van een verzameling C waarvoor |A∪C |< |A|+ |C |.

c Is |A∪C |> |A|+ |C | ook mogelijk?

d Geef de elementen van A×B .

A Olink

47r. Bepaal de kardinaliteit van de volgende verzamelingen:

a {7,2}

b {7,2} ∪ {5,4,3,2,1}

c {7,2}× {5,4,3,2,1}

d ∅×{4,2}

e�

x�

� x ∈Z∧ x4 < 27

f�

a�

� a ∈R∧ f ′(a) = 0

, waarbij f (x) = 123x2− 7912x + 12

g {∅,{∅}} ∪ {∅}

A Olink

48p. Het ordinale model heeft als basis de getallenlijn. Een mooie eigenschap van dit model is ordinale modeldat ook negatieve getallen een natuurlijke plek hebben. Optellen wordt nu beschrevendoor het naast elkaar leggen van twee getallenlijnen. Vermenigvuldiging kan met de ge-tallenlijn worden uitgelegd met behulp van schalen en (voor negatieve getallen) spiegelen.

6

5

4

3

2

1

0

−1

−−−−→

←−−−−

6

5

4

3

2

1

0

−1

2+ 3

3

2

1

0

−1

−−−−−−−−−−−−−−→

9876543210−1−2−3

2 · 3

3

2

1

0

−1

−−−−−−−−−−−−−−→

−9−8−7−6−5−4−3−2−1

0123

2 · −3

(Getallenlijnen worden vaak verticaal weergegeven, om ze op een thermometer te latenlijken.) Teken het getallenlijnmodel bij 2+(−3) en bij −2 · −3.

68 Hoofdstuk 2

A Olink

49r. Uit Moderne Wiskunde, vmbo KGT 1b:

a Welk getalmodel ligt ten grondslag achter de heks met de ketel?

b Economen gebruiken een kardinaal model voor negatieve getallen. Licht dit toe.

c Voor degenen die de methode Netwerk kennen: welk model ligt ten grondslag achterhet ‘treintje’? Voor degenen die dit niet kennen: wat zou dit model kunnen zijn?

d Welk model heeft jouw voorkeur?


A Olink

50p. Een even getal is van de vorm 2k. Een oneven getal is van de vorm 2k + 1. Bewijshiermee:

a even+even=even

b oneven+oneven=even

c even+oneven=oneven

d even×iets=even

e oneven×oneven=oneven

A Olink

51r. Welke van de volgende verzamelingen zijn gesloten onder optellen? En vermenigvuldi-gen?

a Z

b de verzameling van even getallen, E = {. . . ,−4,−2,0,2,4, . . .}

c de verzameling oneven getallen O

d de verzameling En van n-vouden, met n ∈N


e de verzameling gehele, negatieve getallen

f {0}

A Olink

52d. In de tekst staat dat Z niet gesloten is onder machtsverheffen. Dat klopt, want er geldtbijvoorbeeld 2−1 = 1

2 /∈ Z. Maar waarom geldt eigenlijk 2−1 = 12 ? Kunnen we 2−1 niet

gewoon een andere betekenis geven? Het antwoord is natuurlijk nee, tenzij we allerleirekenregels overhoop halen.

a Hoe leg je uit waarom 2−1 gelijk is aan 12 ?

b Wat is 00?

A Olink

53d. In De telduivel (Enzenberger, 1999, 218) staat de volgende dialoog tussen Robert en deTelduivel:

– Jij denkt waarschijnlijk dat je van het huppen wel alles af weet. Alleen maar omdat jegemakkelijk van 2 op 2× 2 komt, en van 2× 2 op 2× 2× 2.– Natuurlijk. 21, 22, 23 enzovoort, heel makkelijk. – Ja, maar wat gebeurt er als je nulkeer hupt? 10, 80 of 1000? Weet je wat er dan uit komt? Zal ik het je zeggen? Je zulthet niet geloven, maar er komt steeds één uit:

10 = 1, 80 = 1, 1000 = 1

– Hoe kan dat nu? vroeg Robert verbluft.– Vraag dat maar liever niet. Ik zou het je kunnen bewijzen, maar je zou denk ik gekworden als ik het deed.– Probeer het dan, riep Robert woedend.Maar de oude baas liet zich niet uit zijn evenwicht brengen.

Probeer dit toch uit te leggen (zonder gek te worden).

A Olink

54p. Onderzoek of de verzameling

B =�

x�

� x =t

nmet t , n ∈N en n oneven

gesloten is onder optellen, respectievelijk vermenigvuldigen.

A Olink

55r. In het eersteklasboek van de eerste druk van Moderne wiskunde (Krooshof, 1968) staat

70 Hoofdstuk 2

het volgende plaatje bij de uitleg van de commutatieve eigenschap van optellen:

Welke eigenschap heeft het 6-bij-6-getallenblok vanwege commutativiteit?

A Olink

56r. a Onderzoek of aftrekken (in Z) commutatief en associatief is.

b Onderzoek of delen (in R) commutatief en associatief is.

c Hoe zit het met logaritmen (alog b )?

A Olink

57r. Zonder de afspraak ‘vermenigvuldigen gaat voor delen,’ heb je heel veel haakjes nodig.

a Zet alle haakjes in de formule x3+ 2x2+ 3x + 4.

b Zonder associativiteit van + zijn nog meer haakjes nodig; zet deze ook.

A Olink

58r. In de tekst over associativiteit (blz. 53) staat “a(bc ) is niet gelijkwaardig aan

�

ab�c

.” Waarom

staat er niet gewoon “a(bc ) 6=

�

ab�c

?”

A Olink

59d. Een oud ezelsbruggetje luidt ‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’. De eerste let-ters staan voor Machtsverheffen, Vermenigvuldigen, Delen, Worteltrekken, Optellen enAftrekken en het ezelsbruggetje geeft aan in welke volgorde je deze operaties moet uit-voeren. Wat vind je van deze regel?

A Olink

60r. Een bekende rekenregel is de ‘papegaaienbek’: (a+ b )(c + d ) = ac + ad + b c + b d . Hoevolgt deze regel uit distributieve eigenschap?

A Olink

61r. Leerlingen maken soms fouten als (x+3)2 = x2+32. Welke niet-bestaande fundamentelerekenregel gebruiken zij hier ten ontechte? Geef deze regel ook een naam.


A Olink

62p. De paragraaf begint met drie niet-fundamentele regels:

(a) 2a+ 3b + 2a+ 4b = 4a+ 7b ,(b) 7(a+ b ) = 7a+ 7b ,

(c) (a+ b )2 = a2+ 2ab + b 2,

Op welke fundamentele rekenregels zijn deze gebaseerd? Je mag daarbij associativiteitnegeren. Geef een afleiding van deze drie regels.

A Olink

63p. In het geschiedenisboek Goffree et al. (2000) wordt verhaald hoe in de jaren zestig aan debrugklas havo/vwo werd uitgelegd waarom 5x+y+3x+4y ‘evenwaardig is’ aan 8x+5y.Dat ging als volgt:

5x + y + 3x + 4y = (conv)((5x + y)+ 3x)+ 4y = (cwo)((y + 5x)+ 3x)+ 4y = (awo)(y +(5x + 3x))+ 4y = (dw)(y +(5+ 3) · x)+ 4y = (conv)(y + 8x)+ 4y = (cwo)(8x + y)+ 4y = (awo)8x +(y + 4y) = (mer)8x +(y · 1+ 4y) = (cwv)8x +(1 · y + 4y) = (dw)8x +(1+ 4)y = (conv)8x + 5y

Analyseer wat hier gebeurt.(De auteurs van het geschiedenisboek constateren dat deze aanpak voor de meeste leer-lingen veel te abstract bleek.)

A Olink

64p. In de eerste editie van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968) wordt in het eersteklasdeeluitvoerig ingegaan op de fundamentele rekenregels. Ter oefening definieert het lesboekop N enkele fantasie-operaties:

“∗ betekent: verdubbel het eerste getal en tel er het tweede bij op.”“� betekent: kwadrateer het eerste getal en tel er het tweede bij op.”“4 betekent: vermeerder het eerste getal met 10 en tel er het tweede bij op.”

Er geldt dus 5 ∗ 4= 14 en 10�1= 101.

a Onderzoek of ∗, � en4 commutatief en associatief zijn.

b Kun je zelf een originele operatie verzinnen die commutatief is, maar niet associatief?

72 Hoofdstuk 2

c En andersom?

d En zowel commutatief als associatief?

A Olink

65r. Eerder zagen we het ‘grapje’:

0= 0+ 0+ 0+ · · ·= (1− 1)+ (1− 1)+ (1− 1)+ · · ·= 1+(−1+ 1)+ (−1+ 1)+ · · ·= 1+ 0+ 0+ · · ·= 1.

Welke fundamentele rekenregel is blijkbaar niet geldig voor reeksen (d.w.z. oneindigesommen).

A Olink

66p. Bij het vak Vectormeetkunde ben je vectoren tegengekomen. De verzameling vectorenvan de vorm (x, y) noteer je alsR2. Ook voor vectoren is een operatie ‘+’ gedefinieerd.

a Laat zien dat R2 gesloten is onder +.

b Is deze commutatief en associatief?

c Hoe zit het met vermenigvuldigen?

A Olink

67p. Voor de natuurlijke getallen geldt: vermenigvuldigen is herhaald optellen en machts-verheffen is herhaald vermenigvuldigen. Definieer een nieuwe operatie ‘↑’ als herhaaldmachtsverheffen:

a ↑ n = a�

a

�

a...�

�

n keer een a.

a Bereken 2 ↑ 1, 2 ↑ 2, 2 ↑ 3 en 2 ↑ 4.

b Schat hoe groot 2 ↑ 5 is.

c Is ↑ associatief?

d Is ↑ commutatief?

e Waarom is de definitie van ↑ waarbij de haakjes andersom staan (machtsverheffen isniet associatief!) minder interessant?

Deze truc kun je nogmaals toepassen, en nogmaals. . . . Op deze manier beschrijf jeal snel onvoorstelbaar grote getallen. Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Knuths_pijlomhoognotatie (waar ↑ genoteerd wordt als ↑↑). Zie ook Klingens (2012).

A Olink

68∗. In de tekst staat dat het niet nodig is fundamentele regels voor aftrekken te hebben,omdat je aftrekken altijd kunt omschrijven in optellen. Je gebruikt dan dat −a een getalis waarvoor a+(−a) = 0. Toch is het afleiden van zelfs een eenvoudige regel als a(b−c) =ab − ac best ingewikkeld. We delen het probleem in stapjes op. Leidt uit de axioma’svoor Z de volgende regels af:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Knuths_pijlomhoognotatie

http://nl.wikipedia.org/wiki/Knuths_pijlomhoognotatie


a a · 0= 0 (hint: begin met 0= 0+ 0)

b a(−b ) =−(ab )

c a(b − c) = ab − ac

A Olink

69r. In de axioma’s voor Z (blz. 54) is in de laatste regel ‘verband met ordening’ de eis c > 0 istoegevoegd.

a Geef met een voorbeeld aan wat er mis kan gaan als c ≤ 0.

b Formuleer de regel voor c < 0: de zogenaamde omklapwet. omklapwet

A Olink

70p. Ieder getal n ongelijk aan nul is verschillend van zijn inverse voor optellen: n 6= −n.Waarom geldt dan wel 0=−0?

A Olink

71p. Is het mogelijk om ‘oneindig’ als een getal te beschouwen? Hoe zou de getalverzamelingvan ‘gehele getallen met oneindig’ eruitzien? Welke fundamentele rekenregels zijn geldig?

A Olink

72p. Op bladzijde 54 staan de fundamentele rekenregels voor de verzameling gehele getal-len Z.

a Welk vakje in dit schema verandert als je de axioma’s voor N neemt?

Anders danZ is de verzameling van natuurlijke getallenN ook gesloten onder machtsver-heffen (behalve 00, zie opgave 52). Deze operatie is commutatief noch associatief, zoalswe in de tekst hebben gezien.

b Bestaat er een ‘rechts-neutraal element,’ dwz. een element a waarvoor geldt xa = x?

c Wat zou een ‘links-neutraal element’ zijn? Bestaat dit?

d Waarom is het nodig om links en rechts te onderscheiden?

Als je machtsverheffen combineert met optellen of vermenigvuldigen, ontstaan een hooprekenregels, zoals (ab )c = ac · b c .

e Geef nog een aantal regels die ‘fundamenteel’ lijken.

A Olink

73p. De verzameling R+ is de verzameling van positieve reële getallen:

R+ =�

x�

� x ∈R en x > 0

.

a Is deze verzameling gesloten onder optellen en vermenigvuldigen?

b Maak een tabel voor R+ analoog aan de tabel op bladzijde 54.

74 Hoofdstuk 2

hoofdstuk 3

REËLE GETALLEN

75

OVER DIT HOOFDSTUK

De verzameling van reële getallen is veel ingewikkel-der te beschrijven dan de verzameling gehele getallen.Een belangrijke deelverzameling van R is de verzame-ling van breuken. Verrassend genoeg is niet ieder reëelgetal te schrijven als een breuk. Dit geldt in het bij-zonder voor de meeste wortels en π; getallen die jein de onderbouw tegenkomt en waarmee je slechts metmoeite ‘exact’ kunt werken. De Tussendoelen schrijvenvoor dat de irrationaliteit van wortels en π in de onder-bouw moet worden behandeld.

Tussen de ‘kleine’ verzameling van breuken en de‘grote’ verzameling R bevinden zich heel veel getalver-zamelingen die gesloten zijn onder optellen, aftrekken,vermenigvuldigen en delen. Dit soort verzamelingen he-ten lichamen en de behandeling in dit hoofdstuk vormt

een opmaat voor de invoering van complexe getallen inhet volgende hoofdstuk.

Het is een technisch gedoe, waarbij veel kennis uitde analyse nodig is, om de precieze structuur van R tebeschrijven. Dat gaan we bij dit vak dan ook nog nietdoen; in de schoolwiskunde gebeurt het overigens ookniet. Toch speelt de kenmerkende eigenschap van R,compleetheid, impliciet een rol. Dat gebeurt bijvoor-beeld als niet-gehele machten worden behandeld bij hetonderwerp exponentiële groei (al aangestipt in de on-derbouw); of voor het bestaan van inverse functies zoalswortels (onderbouw) en logaritmen (bovenbouw); of bijeigenlijk alles rondom continuïtiet, differentiëren en in-tegreren. Aan het einde van dit hoofdstuk komen we toteen pragmatische behandeling van compleetheid.

REËLE GETALLEN 77

3.1 Breuken

De reden om de getalverzameling N uit te breiden naar Z is aftrekken: andersdan N is Z gesloten onder aftrekken. De volgende stap is om ook naar delen tekijken. De verzameling van alle breuken noteren we metQ en heet de verzame-ling van rationale getallen rationale

getallen

Q=�

x�

� x = tn met t , n ∈Z en n 6= 0

.

Ze is gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ieder ge-heel getal is te schrijven als een breuk (met bijvoorbeeld 1 in de noemer). Ergeldt dus Z⊂Q. Schematisch:

N ⊂ Z ⊂ Q↑ ↑

kleinste uitbreidinggesloten onderaftrekken.

kleinste uitbreidinggesloten onder delen

Als wordt gezegd dat Q gesloten is onder delen, dan wordt impliciet het getal 0uitgezonderd om als deler op te treden. Delen door nul is immers flauwekul.Iets preciezer: het is onmogelijk om delen door nul betekenis te geven, zonderdat fundamentele rekenregels worden opgegeven—zie opgave 1. In het volgendeschema staan de fundamentele rekenregels voor Q. Het schema heet: de funda-mentele rekenregels voor een geordend lichaam; op deze naamgeving komen we geordend

lichaamlater nog terug. De mogelijkheid om te delen komt tot uitdrukking als het be-staan van een inverse voor vermenigvuldigen.

optellen vermenigvuldigen




inverse voor alle a, b ∈Q heefta+ x = b een oplossing

voor alle a, b ∈Qmet a 6= 0 heeftax = b een oplossing


verband metordening


als a < b en c > 0dan ac < b c

fundamentele rekenregels voor een geordend lichaam

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 2klassengesprek: 1

Ê

78 Hoofdstuk 3

ACHTERGRONDEen bekende eigenschap van de rationale getallen is dat de breuknotatie niet uniek is: 3

2 =64 = · · · . Men zegt dat de breuknotatie gedegenereerd is. Het is de moeite waard hier eenparallel te trekken met negatieve getallen. Voor negatieve getallen kunnen we aan elkea ∈N een getal in Z koppelen dat we volgens afspraak noteren als −a. De notatie −a kunje op twee manieren interpreteren: als afkorting voor 0− a of als de unieke oplossing vande vergelijking a+ x = 0.Kun je voor Q iets soortgelijks doen? Het ligt voor de hand om optellen te vervangendoor vermenigvuldigen, aftrekken door delen en 0 (het neutrale element voor optelling)door 1 (het neutrale element voor vermenigvuldiging). Dat geeft dan een element dat jezou kunnen noteren met a−1 met de interpretaties: een afkorting voor 1

a of de uniekeoplossing van ax = 1. Dat is allemaal prima, maar op deze manier beschrijf je maar eengedeelte van de breuken! Overigens zul je bij het vak Geschiedenis van de wiskunde ziendat de oude Egyptenaren op precies deze manier met breuken omgingen.Wat ontbreekt zijn gehele veelvouden van breuken: b · a−1 met b ∈ N. En zo krijg je temaken met een gedegenereerde notatie. Het lijkt duidelijk dat dit nadeel onoverkomelijkis: bij de overgang van N naar Z verdubbelt het aantal elementen gevoelsmatig en lukt hetdus om ieder negatief getal te koppelen aan precies één positief getal. Maar bij de overgangvan Z naar Q voeg je gevoelsmatig veel meer elementen toe. Uit moderne wiskundigeinzichten, ontdekt door de Duitser Cantor, blijkt echter dat onze intuïtie ons hier bedriegt.Maar: om goede redenen heeft dit niet geleid tot een aanpassing van onze getalnotatie.

3.2 Irrationale getallen

Een verrassend feit is dat niet ieder reëel getal te schrijven is als een breuk. Datis heel eenvoudig in te zien:

Stelling. Niet ieder reëel getal is te schrijven als een breuk.

Bewijs. In hoofdstuk 1 hebben we geconstateerd dat breuken cor-responderen met repeterende decimale ontwikkelingen. Een reëelgetal waarvan de decimale ontwikkeling geen herhaling vertoont, isdus geen breuk. Een voorbeeld is:

0,101001000100001000001000000100000001000000001 . . . .

Omdat de lengte van het rijtje aaneengesloten nullen steeds toeneemt,is dit geen repeterende decimale ontwikkeling. (Dit getal ben je mis-schien in opgave 1.29 al tegengekomen.)

Als je lukraak een decimale ontwikkeling opschrijft, is de kans nul dat die peri-odiek is. Je zou dus kunnen zeggen dat ‘de meeste’ reële getallen niet als breukzijn te schrijven!

REËLE GETALLEN 79


[Let op het taalgebruik! Het begrip ‘decimale breuk’ wordthier anders gebruikt dan in dit dictaat. Zie ook de opmer-king aan het einde van §1.2.]

De getallen die met willekeurige decimale ontwikkelingen corresponderen,zijn de reële getallen, verzameld in R. Er geldt dus Q ⊂ R en Q 6= R. Een reëelgetal dat niet inQ zit, wordt een irrationaal getal genoemd. irrationaal getal

De verzameling irrationale getallen wordt genoteerd met R \Q. Het sym-bool ‘\’ staat voor het verschil of complement van twee verzamelingen. Voor complement

verzamelingen A en B is dit gedefinieerd als:

A\B =�

x�

� x ∈A en x /∈ B

.

Het voorbeeldgetal uit het bovenstaande bewijs zul je in de schoolwiskundeniet snel tegenkomen. Maar enkele alledaagsere getallen zijn ook irrationaal,bijvoorbeeld

p2, 2log3, e en π. Van de eerste twee getallen zullen we dat nu

bewijzen; het bewijs voor e en met name voor π is ingewikkelder en slaan weover (zie Beukers (2000)).

80 Hoofdstuk 3

Stelling. 2log3 is irrationaal.

Bewijs. Stel 2log3 is wel rationaal: 2log3= rs met r, s ∈ N en s 6= 0.

Dan geldt:2

rs = 3 en dus 2r = 3s .

Maar de rechter gelijkheid kan niet waar zijn: Uit s > 0 volgt dat3s deelbaar is door 3, terwijl 2r niet deelbaar is door 3. We hebbendus een tegenspraak afgeleid. De aanname dat 2log3 rationaal is, kanniet juist zijn.

BEWIJSTECHNIEK: Bewijs uit het ongerijmde

Het bewijs dat 2log3 /∈Q is een voorbeeld van een bewijs uit hetongerijmde. Je neemt het tegengestelde aan van wat je wil bewijzen en laatzien dat daaruit een tegenspraak (onzin) volgt:

tegengestelde: 2log3 is wél rationaal−→ ·· · −→ tegenspraak: 2r = 3s

−→ conclusie: Dus de aanname dat 2log3 rationaal is,kan niet juist zijn.

Deze bewijstechniek zullen we nog veel tegenkomen. Een ander voorbeeldheb je misschien al in opgave 2.43 gezien.

Een klassieker in de wiskunde is het bewijs datp

2 /∈Q. Dit is ontdekt doorde volgelingen van Pythagoras, waarna het de Griekse wiskunde op z’n kopzette en (in moderne ogen) overdreven ingewikkeld maakte, omdat de Griekenweigerden om

p2 als een getal te zien. Ook dit bewijs is uit het ongerijmde. Het

begint dan ook op dezelfde manier als het vorige bewijs:

Stelling.p

2 is irrationaal.

Bewijs. Stelp

2 is wel rationaal:p

2= rs met r, s ∈N en s 6= 0. Dan

volgt:� r

s

�2= 2 en dus r 2 = 2s 2.

In de priemfactorontbinding van een kwadraat komen alle priem-factoren een even aantal keer voor. Dat betekent dat in de priem-factorontbinding van r 2 het getal 2 een even aantal keer voorkomt,terwijl het in de priemfactorontbinding van 2s 2 een oneven aantalkeer voorkomt. Vanwege de uniciteit van de priemfactorontbin-ding, kunnen r 2 en 2s 2 dus niet gelijk aan elkaar zijn. Dat is eentegenspraak. De aanname dat

p2 rationaal is, kan niet juist zijn.

REËLE GETALLEN 81


Suggesties voor opgavenzelfstandig: 5, 7, 8, 10, 12, 14klassengesprek: 6, 9, 11

Ê

3.3 Algebraïsche getallen

Hoe gaat de overgang van Q naar R in zijn werk? Het schemaatje aan het beginvan dit hoofdstuk suggereert de volgende aanvulling:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R↑ ↑ ↑



kleinste uitbreidinggesloten onder . . . ???

Omdat worteltrekken in de schoolwiskunde een belangrijke plaats inneemt, ishet de moeite waard om hier eerst eens naar te kijken. Kunnen we op de puntjesmisschien worteltrekken invullen?

Laten we ons eerst eens concentreren op één wortel, bijvoorbeeldp

2. Weweten al dat

p2 /∈ Q. Wat gebeurt er als we

p2 toevoegen aan Q? Als je ge-

slotenheid onder optellen, vermenigvuldigen, e.d. wilt behouden, is alleenp

2toevoegen niet genoeg. Je loopt dan immers ook aan tegen getallen als:

1+p

2, 3p

2, 35 −

27

p2, (1+ 2

p2)(1− 3

p2), 1p

2, 1+3

p2

1−5p

2, etc.

82 Hoofdstuk 3

De laatste drie formules in dit rijtje kun je ook anders schrijven:

Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.De titel van het filmpje is wortel2.

(1+ 2p

2)(1− 3p

2) = 1+ 2p

2− 3p

2+ 2p

2 · (−3)p

2=−11−p

2,

1p2= 1p

2·p

2p2= 0+ 1

2

p2,

1+3p

21−5p

2= (1+3

p2)(1+5

p2)

(1−5p

2)(1+5p

2)=− 31

49 −849

p2.

THEORIE

Voor iedere a ∈N is de verzameling

Q(p

a) =�

z�

� z = x + yp

a voor zekere x, y ∈Q

gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (door eengetal 6= 0).Q(p

a) voldoet aan de rekenregels voor een geordend lichaam (zie blz. 77).

Je kuntQ(p

a) als volgt karakteriseren:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ Q(p

a)↑ ↑ ↑



kleinste uitbreiding diepa bevat

Of anders gezegd

Q(p

a) is de kleinste uitbreiding van Q∪ {p

a} die een geor-dend lichaam is.

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 16, 17, 18klassengesprek: /

Terug naar de vraag waarmee we deze paragraaf begonnen. Geldt misschien datR de kleinste uitbreiding vanQ is die een geordend lichaam is en alle wortels

pa

bevat waarbij a ∈N? Het antwoord is ‘nee;’ denk alleen al aan getallen alsÆp

2,q

3p

7− 5Æ

133 . Al deze getallen hebben gemeenschappelijk dat het nulpunten zijn

REËLE GETALLEN 83

van polynomen. (Ter herinnering: Een polynoom (ander woord: veelterm) is een polynoom

functie van de vorm

f (x) = an xn + an−1xn−1+ · · ·+ a1x + a0.

De hoogste macht met coëfficiënt ongelijk aan nul heet de graad van het poly-noom. Een veelterm heeft niet meer nulpunten dan zijn graad.

THEORIE

Een algebraïsch getal is een getal dat een nulpunt is van een polynoom( 6= 0) met coëfficiënten inQ.

Dus a is een algebraïsch getal precies dan als

cnan + cn−1an−1+ ·+ c2a2+ c1a+ c0 = 0

voor zekere ci ∈Qmet cn 6= 0.

Is R dan misschien de kleinste uitbreiding van Q die een geordend lichaamis en alle algebraïsche getallen bevat? Het antwoord is weer ‘nee’: bij lange naniet! Bekende, maar best ingewikkelde, redeneringen laten zien dat bijvoorbeeld2log3 en π géén algebraïsche getallen zijn. Hetzelfde geldt voor getallen als 2

p2.

Om de reële getallen te beschrijven, is echt een andere insteek nodig. Het be-langrijke begrip is compleetheid. Los gezegd betekent dit dat iedere decimale compleetheid

ontwikkeling een reëel getal bepaalt. Het betekent ook dat je met limieten kuntwerken zoals je dat gewend bent uit het vak Analyse: bij kleinere verzamelingendan R ‘past’ het vak Analyse niet. In de volgende paragraaf gaan we hier naderop in.

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 20, 22, 23klassengesprek: 21, 24

Ê

3.4 Compleetheid

—Heel deze paragraaf behoort niet tot de tentamenstof.

Hoe benader jep

2 op een aantal cijfers achter de komma? Een (niet zo heel handige) aanpakgaat als volgt:

84 Hoofdstuk 3

Stap 1 Begin met een te klein en een te groot getal, bijvoorbeeld 1 en 2. Het eerste is te kleinomdat 12 < (

p2)2 = 2 en het tweede is te groot omdat 22 = 4 > 2. Hieruit volgt datp

2 dus in het interval [1,2] ligt.

Stap 2 Halverwege dit interval ligt 32 . Omdat geldt ( 32 )

2 > 2, geldt dus zelfsp

2 ∈ [1, 32]. Hiermee

hebben we ons eerste interval gehalveerd tot [1, 32].

Stap 3 Halverwege [1, 32] ligt 5

4 ; het kwadraat hiervan is kleiner dan 2; dusp

2 ∈ [ 54 , 3

2].

Stap n Enzovoorts. . .

We geven de intervallen die we tegenkomen een naam: I0, I1, I2, . . . . We krijgen op dezemanier een oneindige keten van intervallen die steeds kleiner worden:

· · · ⊂ I4 ⊂ I3 ⊂ I2 ⊂ I1 ⊂ I0= = = = =

[ 118 , 23

16] [ 118 , 3

2] [ 54 , 3

2] [1, 32] [1,2]

In een tekening ziet dat er zo uit:I1

I2

I3

I4

I5

↑p2

De pointe is nu:

•p

2 is element van ál deze intervallen;

• ieder getal x 6=p

2 valt op den duur buiten de intervallen: de lengte van de intervallenwordt op den duur immers kleiner dan de afstand tussen x en

p2.

Deze twee punten kun je samenvatten door te zeggen dat de doorsnede van alle intervallen Ii

gelijk is aan {p

2}. De notatie hiervoor is:⋂

i∈N

Ii = {p

2}.

THEORIE

Ieder reëel getal x kun je inklemmen tussen rationale getallen.Dat wil zeggen dat je rijtjes ai ∈Q en bi ∈Q kunt kiezen, zodat

⋂

i∈N

Ii = {x},

waarbij Ii = [ai , bi].

REËLE GETALLEN 85

THEORIE

Stel dat je intervallen I0, I1, I2, . . . hebt die allemaal in elkaar zijn bevat:

· · · ⊂ I2 ⊂ I1 ⊂ I0.

En stel dat ieder interval van de vorm [a, b] is (d.w.z. gesloten, begrensd, niet leeg).Dan is de doorsnede van deze verzamelingen niet leeg:

⋂

i∈N

Ii 6=∅.

Deze eigenschap heet compleetheid.

De verzameling R is dus compleet. Het is het enige geordende lichaam met dezeeigenschap. Los gezegd betekent compleetheid dat R “geen gaten bevat,” zoalsQ dat welheeft bij bijvoorbeeld

p2 of π.

Belangrijk aan de eigenschap in het theorievak is dat zijn geldt voor alle series intervallen.In Q (of elk ander geordend lichaam) kun je namelijk best een serie verzinnen die geen legedoorsnede heeft; bijvoorbeeld

[− 110 , 1

10], [− 1100 , 1

100], [− 11000 , 1

1000], . . . .

Compleetheid is een hele krachtige eigenschap. Het vak Analyse gaat over R en dat is nietvoor niets. Want inQ kun je geen limieten nemen, niet differentiëren of integreren, geen wortelstrekken, niet goed werken met exponentiële verbanden, bestaan logaritmen niet, . . . .

86 Hoofdstuk 3

ACHTERGROND

L.E.J. Brouwer1881–1966

Een andere manier om R te beschouwen is als een model van devolledige getallenlijn. De punten op deze lijn zijn precies de ele-menten van R. Daarmee is echter niet uitgelegd wáárom R (waar-van je de elementen bijvoorbeeld voorstelt als decimale ontwikke-lingen) zo precies de lijn uit ons intuïtie beschrijft.Eerder zaggen we dat de gehele getallen fungeren in twee getalmo-dellen: het ordinale en het kardinale. De verzameling R is eenmodel voor een lijn. Een lijn is iets waar we een sterke intuïtie bijhebben. Over de verzameling R hebben we dat veel minder. Wis-kundigen hebben er sinds de ontdekking van irrationale getallendank ook meer dan tweeduizend jaar over gedaan om het conceptvan reële getallen te ontwikkelen. En zelfs nu nog vinden sommi-gen dat de reële getallen een verkeerd of onvolledig model van degetallenlijn vormen. Een beroemde wiskundige die deze mening was toegedaan, is de Ne-derlandse hoogleraar Brouwer. Hij vond onder meer dat je zoiets vloeiends als een lijn nietkon opvatten als een verzameling losse punten.

Ook natuurkundigen ligt de verzameling R niet lekker. Ze maken namelijk veel gebruikvan zogenaamde infinitesimalen, ofwel oneindig kleine getallen, en dit zijn geen elementenvan R. Neem bijvoorbeeld de kettingregel:

d y

d u·

d u

d x=

d y

d x

Voor natuurkundigen is d u een ‘infinitesimaal getal’ waar je gewoon mee kunt rekenenzoals in bovenstaande vergelijking wordt gesuggereerd. Wiskundigen vinden infinitesima-len flauwekul. Voor hen is het idee dat je d u boven en onder de streep kunt wegstrepenslechts een ezelsbruggetje is en geen wiskundige uitleg. Overigens is in bepaalde moderne,geavanceerde takken van wiskunde weer wel plek voor dit soort technieken. Zie ook op-gave 19.


Opgaven


A Olink

1r. Waarom kun je niet delen door nul?

Soms denkt men te kunnen volstaan met de regel 10 =∞. De intuïtie hierbij is dat 1

0,00...01een heel groot getal is en 0,00 . . . 01≈ 0. Echter, er geldt ook −0,00 . . . 01≈ 0 maar als we1 door dat getal delen, krijgen we juist een heel erg groot negatief getal. Zie voor betereargumenten opgave 2.71.

A Olink

2p. Hoe ziet de kleinste uitbreiding van N eruit die gesloten is onder delen (behalve doornul)?

A Olink

3∗. De notatie tn geeft het unieke getal x aan waarvoor geldt nx = t . Net als breuken,

kunnen ook negatieve getallen met een gedegenereede notatie (zie het kader op blz. 78)

worden geïntroduceerd. We gebruiken hiervoor de fantasienotatiea◦◦b

. Dit staat voor het

unieke getal x waarvoor geldt b + x = a.

a Wat is in de gewone schrijfwijze0◦◦3? En

3◦◦4? Heeft

3◦◦0 ook betekenis?

b Waarom is deze notatie gedegenereerd? Geef een voorbeeld.


A Olink

4r. Bewijs dat het getal van Champerowne

C = 0,123456789101112131415161718192021222324 . . .

irrationaal is.

A Olink

5p. Bekijk schoolboekfragment 3.2 op blz. 81. Geef de overeenkomsten en verschillen aanmet het bewijs dat

p2 /∈Q in dit dictaat.

A Olink

6r. In de eerste paragraaf van dit hoofdstuk staat een bewijs datp

2 niet rationaal is. Waaromwerkt dit bewijs niet voor het getal π?

A Olink

7r. Het bewijs datp

2 irrationaal is, kun je omzetten in een bewijs dat andere wortels irrati-onaal zijn.

a Bewijsp

45 /∈Q.

b Precies waar gaat het mis als je het bewijs probeert toe te passen opp

49?

c Hoe kun je aan de priemfactorontbinding van n zien ofp

n wel of niet rationaal is?

88 Hoofdstuk 3

d Bewijs je uitspraak in c

A Olink

8r. Ga na of 7p

21, 8p

1024 en 5p

243 irrationaal zijn.

A Olink

9r. Stel dat bij twee getallen a, b ∈Nmet a, b > 0 er een priemgetal is dat de één wel deelt ende andere niet. Bewijs dat alog b irrationaal is

A Olink

10r. Bewijs: voor iedere k ∈Q geldtp

2+ k /∈Q.

A Olink

11p. a Geef een voorbeeld van twee verschillende irrationale getallen waarvan de som ookirrationaal is.

b Laat zien dat R \Q niet gesloten is onder optellen.

A Olink

12p. Doel van deze opgaven is te bewijzen datp

2+p

3 irrationaal is. Dat doe je door eentegenspraak af te leiden. Neem dus aan dat

p2+p

3 ∈Q.

a Leid uit deze aanname af dat ook (p

2+p

3)2 ∈Q.

b Laat zien dat dit een tegenspraak geeft.

c Onderzoek nu ook ofp

7−p

5 rationaal is.

A Olink

13p. Stelling: Er bestaan irrationale getallen a en b zodat ab ∈Q.

Bekijk, om dit te bewijzen, x =p

2p

2. Waarschijnlijk heb je geen flauw idee of x rationaal

danwel irrationaal is. Maar dat hoef je ook niet te bewijzen! De truc is om twee gevallente onderscheiden: x ∈Q en x /∈Q. Maak het bewijs af.

A Olink

14p. Gegeven zijn a, b ∈Rmet a < b . Noteer met I het interval ⟨a, b ⟩.

a Laat zien dat I ∩Q 6=∅.

b Laat zien dat I \Q 6=∅.

c Laat zien dat I zelfs oneindig veel rationale getallen bevat.

d Laat zien dat I zelfs oneindig veel irrationale getallen bevat.

A Olink

15p. Bekijk het reële getal x dat gegeven is door de decimale ontwikkeling

x = c−110−1+ c−210−2+ c−310−2+ · · · .

waarbij ci = 0 tenzij i een priemgetal is, in welk geval ci = 1. Laat zien dat x /∈Q.



A Olink

16r. De theorie zegt dat Q(p

5) gesloten is onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen endelen. Neem als voorbeeld r = 1+ 2

p5 en s = 3−

p5. Schrijf r + s , r − s , r · s en r

s inde vorm x + y

p5.

A Olink

17r. Dit is een veralgemenisering van opgave 16. Bewijs door algebraïsch uitwerken datQ(p

a)gesloten is onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. [N.B. Hoewel dit eenreproductie-opgave is, wil dat niet zeggen dat dit makkelijk te doen is! Er zijn veel lettersin het spel, dus het vraagt veel van je algebraïsche vaardigheid.]

A Olink

18p. In lijn met de ideeën uit dit hoofdstuk, definiëren we Q(p

2,p

3) als de kleinste uit-breiding van Q die

p2 en

p3 bevat en bovendien gesloten is onder optellen en ver-

menigvuldigen. Niet alle elementen in Q(p

2,p

3) zijn van de vorm a + bp

2+ cp

3.Bepaal een getal n ∈ N waarvoor geldt: ieder element in Q(

p2,p

3) is te schrijven alsa+ b

p2+ c

p3+ d

pn, met a, b , c , d ∈Q. Bewijs je antwoord.

N.B. Q(p

2,p

3) is ook een geordend lichaam. De makkelijkste manier om dit te bewij-zen, is door het in twee stappen te doen: Q⊂Q(

p2)⊂Q(

p2,p

3). Dat hoef je voor ditvak niet te kunnen.

A Olink

19p. Neem de verzameling

Q(ε) =�

z�

� z = x + yε met x, y ∈Q

Hier is ε geen getal, maar gewoon een letter waarmee je volgens de gebruikelijke regelsvoor het letterrekenen kunt werken—op één uitzondering na: er geldt ε2 = 0.

a Laat zien dat (2+ 3ε)(1− 4ε) = 2− 5ε.

b Welke axioma’s van een geordende lichaam gelden voorQ(ε)?

Het voorbeeld uit deze opgave lijkt misschien vergezocht. Maar in het volgende hoofd-stuk gaan we ook een ‘gek’ element toevoegen (namelijk

p−1) en daar blijkt bijna (!)

alles wél goed te gaan!Natuurkundigen gebruiken het element ε uit deze opgave heel vaak tijdens berekenin-gen. Hun idee is dat ε een ‘erg klein’ getal is, zodat ε2 helemaal onmeetbaar klein is endus kan worden genegeerd.

A Olink

20r. Waarom zijn alle a ∈Q algebraïsche getallen?

A Olink

21p. Laat zien dat ieder van de volgende getallen algebraïsch is, door steeds een polynoom( 6= 0) te geven waar het een nulpunt van is:

a 5p

4

b 1−p

6

90 Hoofdstuk 3

A Olink

22r. Laat zien dat ieder van de volgende getallen algebraïsch is, door steeds een polynoom( 6= 0) te geven waar het een nulpunt van is:

aÆp

2

b 3p

7

c ( 23 )57

d 1+p

52

e 11Æ

23 − 4

fp

2+p

3

A Olink

23p. Gegeven is een tweedegraads polynoom

f (x) = ax2+ b x + c ,

waarvoor geldt a, b , c ∈ Q en b 2 − 4ac = 0. Voor een zekere α ∈ R geldt f (α) = 0.BeschrijfQ(α).

A Olink

24d. In Moderne Wiskunde, vwo 3 staan opgaven over exponentiële functies, bijvoorbeeld:

In deze fase van de leerlijn zijn enkel gehele exponenten behandeld. Gebroken exponen-ten komen pas in klas 4 aan bod. Wat vind je van deze aanpak?


A Olink

25∗. Aan het begin van de paragraaf staan stappen die steeds kleinere intervallen geven waarp2 in ligt. Iedere stap ziet er als volgt uit:

Stap n. Begin met een interval [a, b] en neem het midden c = a+b2 . Als

c2 < 2 dan is het nieuwe interval [c , b]. En als c2 > 2 dan is het nieuweinterval [a, c].

Nu is naast c2 < 2 en c2 > 2 ook c2 = 2 een mogelijkheid. Waarom zal dat nooit gebeu-ren?

A Olink

26∗. Gegeven is een continue functie f op het domein [a, b]. Stel dat f (a) > 0 en f (b ) < 0.De beroemde tussenwaardestelling zegt dat er een x ∈ [a, b] is waarvoor geldt f (x) = 0.


a Maak deze tussenwaardestelling met behulp van een tekening aannemelijk.

b Geef een algoritme om x te benaderen.

c Op welke functie moet je dit algoritme toepassen omp

2 te benaderen?

A Olink

27∗. In de Volkskrant van 6 maart 2010 staat de volgende column van de Wiskundemeisjes(Daems, 2010):

Als je wil weten hoe de decimalen van het getal pi (de ver-houding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel,ongeveer gelijk aan 3,14159265 . . . ) er uitzien, hoef je tegen-woordig alleen maar je rekenmachine te pakken of je com-puter aan te zetten. Dat was in de zeventiende eeuw welanders. Ook toen was men geïnteresseerd in pi.

Het rekenwerk in die tijd lijkt mij geen pretje, maar scherm- en reken-meester Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) dacht daar heel anders over. Hijberekende pi tot maar liefst 35 decimalen. Zijn methode, naar een idee vanArchimedes, komt neer op het volgende principe. Een cirkel met diameter 1heeft een omtrek van lengte pi. Je kunt nooit een cirkel zó precies tekenenen meten dat je op die manier pi redelijk kunt benaderen.

Teken nu in een cirkel met diameter 1 een vierkant dat nog nét in de cir-kel past, en teken om die cirkel heen een vierkant zodat de cirkel precies aande vier zijden raakt. Dan zit de omtrek van de cirkel tussen de omtrek vanhet kleine en die van het grote vierkant in. En omtrekken van vierkantenkun je makkelijk uitrekenen.

Bij een cirkel met diameter 1 vind je zo de volgende benadering van pi:2p

2<π< 4. Het getal 2p

2 is ongeveer 2,82842712, dus dit geeft geen goedebenadering. Maar als je in plaats van vierkanten regelmatige veelhoekenmet veel meer hoeken in en om de cirkel past, en daar de omtrekken vanuitrekent, krijg je steeds betere onder- en bovengrenzen voor pi.

Archimedes gebruikte regelmatige 96-hoeken en vond dat 3,140909654 <π < 3,142826575. Van Ceulen ging veel verder en gebruikte regelmatige32.212.254.720-hoeken. Daarmee vond hij 20 decimalen. Hij moet een veel-hoek met nog meer hoeken gebruikt hebben voor zijn 35 decimalen, maarwe weten niet welke. Een hele prestatie, als je bedenkt dat hij daarvoor

92 Hoofdstuk 3

talloze wortels moest trekken, met ook extreem veel decimalen om nauw-keurig genoeg verder te kunnen rekenen, en dat met de hand. . .

Met zijn benaderingen kon Van Ceulen en passant een aantal geleerdetijdgenoten die claimden oplossingen van de cirkelkwadratuur gevonden tehebben, op hun nummer zetten. De vraag daarbij is om, gegeven een cirkelvan een bepaalde grootte, een vierkant te construeren dat dezelfde opper-vlakte heeft. Dat is een onmogelijke opdracht, en de crux zit in het woord“construeren”: je mag alleen een passer en een latje (een liniaal zonder schaal-verdeling) gebruiken. In 1882 werd definitief bewezen dat het probleem on-oplosbaar is, maar in de zeventiende eeuw wist men dat nog niet zeker. VanCeulen kon met zijn benaderingen van pi wel laten zien dat de geclaimdeoplossingen allemaal fout waren!

Hij was erg trots op zijn prestatie, en daarom kwamen de 35 decimalenop zijn grafsteen terecht. Dat was de eerste keer dat al die decimalen gepubli-ceerd werden. In de Leidse Pieterskerk is een replica te zien. Dit jaar is VanCeulen vierhonderd jaar dood, dus laten we op pi-dag (14 maart, naar 3,14)maar eens aan zijn gereken denken!

a Op welke manier wordt inklemmen in de method van Archimedes gebruikt? Wat ishet verschil met de theorie uit het hoofdstuk?

b In het artikel wordt als voorbeeld het inklemmen met een vierkant gegeven. Maakhierbij een tekening en controleer hiermee de bewering in het artikel dat 2

p2<π< 4.

c Doe hetzelfde voor de zeshoek.

A Olink

28∗. De methode in dit hoofdstuk om de decimale ontwikkeling vanp

2 te bepalen, is nietheel efficiënt. De Babyloniërs konden dit al veel sneller. Zij begonnen met een ‘gok’ voorp

2, bijvoorbeeld a0 = 2 (het precieze getal is niet zo belangrijk). Vervolgens berekendenze

a1 =a0

2+

1

a0= 1

1

2.

Deze nieuwe waarde ligt al dichter bijp

2. Om een steeds betere benadering te krijgen,werd dit proces herhaald. In het algemeen:

an+1 =an

2+

1

an.

a Onderzoek met je rekenmachine hoe goed a2, a3, en a4 het getalp

2 benaderen.

b Wat gebeurt er als jep

2 in deze formule invult in plaats van an?

Bij het vak Analyse – dynamische modellen, in de theorie van rijen en recursieve betrek-kingen, zul je leren waarom deze methode werkt.


A Olink

29∗. a Pas de methode op blz. 83 toe om het eerste decimale cijfer achter de komma van 3p

3te bepalen.

b Pas de methode toe om 2log3 te benaderen op twee cijfers achter de komma.

A Olink

30∗. Gegeven is de decimale ontwikkeling

x = n+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ c−3 · 10−3+ · · ·

van een reëel getal x. Geef een keten intervallen · · · ⊂ I2 ⊂ I1 ⊂ I0 die x inklemmen.

A Olink

31∗. Een manier om R te beschrijven, is door de elementen te beschrijven: alle ‘kommage-tallen’, of liever gezegd: alle decimale ontwikkelingen. Deze aanpak heeft een aantalnadelen.

1. Het geeft geen mooie karakterisering van R, zoals we dat eerder bij Z en Q welhebben gekregen.

2. Het is onduidelijk of het woordje ‘decimaal’ een belangrijke rol speelt; wat gebeurter als je in plaats van decimale naar bijvoorbeeld binaire ontwikkelingen kijkt (zieook opgave 31 uit hoofdstuk 1)? Krijg je dan een ander soort reële getallen?

3. De definitie van optellen en vermenigvuldigen blijft nog onduidelijk—zie opgave 1.23.

Leg uit waarom met de benadering uit dit hoofdstuk, dus via het begrip compleetheid,deze bezwaren niet geldig zijn. Geef bij punt 3 ook aan hoe je optellen en vermenigvul-digen in R kunt definiëren.

A Olink

32∗. Definieer voor iedere i ∈N de verzameling

Ii =�

−1

10i,

1

10i

�

.

a Geef de eerste vier intervallen I0, I1, I2 en I3 aan op de getallenlijn.

b Bepaal⋂

i∈N

Ii .

c Op bladzijde 85 staat een keten van intervallen beschreven waarvan de doornede inQniet leeg zou zijn. Toon dat aan.

Definieer ook

Ji =�

0,1

10i

�

.

d Teken ook hiervan de eerste vier intervallen op getallenlijn en bepaal⋂

i∈N

Ji .

94 Hoofdstuk 3

Definieer ten slotte

Ki =�

−1,1

10i

�

.

e Doe hetzelfde als bij d voor Ki .

In plaats van gesloten intervallen [·, ·] kun je ook kijken naar open intervallen ⟨·, ·⟩.

f Hoe veranderen de antwoorden van onderdeel b, d en e als je met open intervallenwerkt?

hoofdstuk 4

COMPLEXE GETALLEN

95

OVER DIT HOOFDSTUK

Complexe getallen kom je in de schoolwiskunde alleensoms tegen bij het keuzevak Wiskunde D in de TweedeFase. Het is een nieuw soort getallen waarvoor geenplek is op de bekende getallenlijn. Binnen de modernewiskunde spelen complexe getallen een zeer belangrijkerol, omdat het veel problemen veel simpeler en elegan-ter maakt. Ook in de beschrijving van de natuur zijn zeessentieel.

Dit onderdeel van de cursus zal voor de meesteneen kennismaking zijn met een nieuw soort getallen. Jezult daarbij bekend terrein moeten verlaten. Onderbou-

wers ervaren dit ook, als ze kennismaken met voor hennieuwe getallen zoals negatieve. Mede daarom kan eenkennismaking met complexe getallen voor een docenteen leerzame ervaring zijn.

Omdat complexe getallen geheel nieuw zijn, zul je‘opnieuw moeten leren rekenen.’ Hier toont de axio-matische aanpak uit de vorige hoofdstukken zijn kracht.Uit het feit dat ook de complexe getallen voldoen aande fundamentele rekenregels volgt namelijk dat ook al-lerlei zaken als haakjes uitwerken e.d. net zo werkenals voorheen. Gelukkig maar!

Dit hoofdstuk sluit aan bij hoofdstuk 7 uit Moderne Wiskunde vwo D deel 2 (de negende edi-tie). We korten dit boek af to MWD2. De aanbevolen volgorde om dit hoofdstuk en het boek tebehandelen, is:

§4.1 //MWD2 7.1–7.4 // §4.2

//MWD2 7.5–7.6(opg. 48 overslaan)

// §4.3

COMPLEXE GETALLEN 97

4.1 De wortel uit−1

In het vorige hoofdstuk hebben we de getalverzameling Q(p

2) bekeken en hetvolgende gezien:

1. Per definitie is Q(p

2) de kleinste uitbreiding van Q∪ {p

2} die gesloten isonder optellen en vermenigvuldigen.

2. Alle elementen vanQ(p

2) zijn van de vorm x + yp

2.

3. Het blijkt dat Q(p

2) een geordende lichaam is. Dat impliceert bijvoor-beeld dat het gesloten is onder aftrekken en delen.

Aan het getal 2 is niets bijzonders: het werkt voor ieder natuurlijk getal. In dezestiende eeuw ontstond bij Italiaanse wiskundige de behoefte om ook met dewortel uit−1 te kunnen rekenen. Wat gebeurt er als we de ‘fantasieverzameling’Q(p−1) bekijken? Of R(

p−1)? De grote verrassing is dat het rekenen nog

steeds net zo kan werken als gebruikelijk.

In MWD2 zal de verzameling van complexe getallen C worden gedefinieerd. complexegetallenBovendien zal aan optellen en vermenigvuldigen inC betekenis worden gegeven.

De verzameling complexe getallen is een uitbreiding van de verzameling reëlegetallen, R⊂C. Het bevat een bijzonder ‘nieuw getal’ dat we met i noteren enwaarvoor geldt i 2 =−1. Deze i is dus ‘de wortel uit −1’.

Bij deze theorie zijn twee filmpjes beschikbaar.De titels zijn: Verbandiwortel2 en rekeneni.

De notatie i =p−1 ligt voor de hand, maar zal niet worden gebruikt. De

verleiding is dan namelijk te groot om te denken dat alle bekende rekenregelsvoor wortels blijven gelden, maar dat is niet zo—zie het voorbeeld op blz. 172van MWD2. In je hoofd mag je echter best over i nadenken als

p−1.

De rekenregels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen blijvenwel gelden. Om precies te zijn: C is een lichaam. Alleen aan de ordeningsrelatieskan geen zinvolle betekenis worden gegeven. Uit de fundamentele rekenregelsvoor een geordend lichaam volgt namelijk voor alle a dat a2 ≥ 0 en dat valt niette rijmen met i 2 = −1. De complexe getallen kun je dus niet plaatsen op eengetallenlijn! In MWD2 zul je zien dat C past bij een tweedimensionaal model.

Met deze operaties vormt de verzameling complexe getallen een lichaam:

98 Hoofdstuk 4





inverse voor alle a, b ∈Q heefta+ x = b een oplossing

voor alle a, b ∈Qmet a 6= 0 heeftax = b een oplossing


fundamentele rekenregels voor een lichaam

THEORIE

De volgende tabel geeft belangrijke verschillen en overeenkomsten tussenQ(p

2) en C:

Q(p

2) C

. . . bevat een speciaal elementwaarvan het kwadraat 2 is

. . . bevat een speciaal elementwaarvan het kwadraat −1 is

. . . kleinste uitbreiding vanQ ∪ {

p2} gesloten onder

optellen en vermenigvuldigen

. . . kleinste uitbreiding vanQ ∪ {i} gesloten onderoptellen en vermenigvuldigen

. . . ieder element is van devorm x + y

p2

. . . ieder element is van devorm x + yi

. . . vormt een geordend li-chaam

. . . vormt een lichaam, maarzonder ordening (er is wel dezwakkere notie van ‘modu-lus’)

. . . past binnen het model vande getallenlijn

. . . nieuwe getalmodel nodig:het complexe vlak

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 2klassengesprek: 1


4.2 De hoofdstelling van de algebra

In MWD2, opgave 7.22 heb je twee kwadratische vergelijkingen opgelost metbehulp van de ab c -formule. Dat kon je in deze opgave makkelijk doen, omdat dediscriminant in beide gevallen een reëel getal is. Je kon daardoor probleemlooseen wortel van de discriminant bepalen.

Maar hoe zit het met een kwadratische vergelijking als

z2+ z − i = 0?

De discriminant is in dit geval D = 12− 4 · 1 · (−i) = 1+ 4i . Als je nu de ab c -formule wilt gebruiken, dan loop je aan tegen de uitdrukking ‘

p1+ 4i ’. Wat is

dat? Bestaat deze wortel eigenlijk wel?

In de onderbouw leer je dat bijvoorbeeldp

2 (met 2≥ 0) een getal x is waar-van het kwadraat gelijk is aan 2. Het gaat dus om de vergelijking x2 = 2. Dezeheeft echter twee oplossingen (een postitieve en een negatieve) en de afspraak isdatp

2 de positieve oplossing voorstelt. Bekijk nu ‘p

1+ 4i ’. Dit zou moetenstaan voor een complex getal z dat oplossing is van de vergelijking z2 = 1+ 4i .Deze vergelijking heeft twee oplossingen. Maar voor complexe getallen is ergeen ‘positieve’ en ‘negatieve’ oplossing; dus welke van de twee moeten we kie-zen? Het blijkt dat iedere afspraak die je hierover maakt tot ongerijmdhedenleidt. Daarom:

Om de kwadratische vergelijking az2+ b z+ c z = 0 (met a, b , c ∈C) opte lossen, berekenen we eerst de discriminant D = b 2− 4ac .

de notatie ‘p

D’ gebruiken webij complexe getallen niet

je kunt wel zinvol spreken overeen oplossing v van v2 =D

de ab c -formule met de bekendevorm

z =−b ±

pD

2a

gebruiken we niet

je kunt wel gebruiken:

z =−b ± v

2a

N.B. Opgave 23a in MWD2 is dus eigenlijk niet netjes.

We gaan verder met ons voorbeeld. Hoe bepaal je een oplossing van v2 = 1+4i? Een inzichtelijke manier om zo’n getal te vinden, is door de poolcoördinatente gebruiken. De redenering gaat als volgt:

Bij dit voorbeeld is een filmpje beschikbaar.De titel van het filmpje is kwadratisch.

100 Hoofdstuk 4

(i) Als v een oplossing is van de vergelijking v2 = 1+ 4i , dan moeten ar-gument en modulus van het linker en rechter lid gelijk zijn: arg(v2) =arg(1+ 4i) en |v2|= |1+ 4i |.

v

v²(ii) Wat de modulus betreft:

– |v2|= |v |2;

– |1+ 4i |=p

12+ 42 =p

17;

– dus |v |=Æp

17≈ 2,03.

(iii) Wat het argument betreft:

– arg(v2) = 2arg(v);– tan (arg(1+ 4i)) = 4

1 , dus arg(1+ 4i)≈ 1,326;

– dus arg(v)≈ 12 · 1,326≈ 0,66.

(iv) Het getal 2,03 (cos0,66+ i sin0,66)≈ 1,60+1,25i is dus bij benadering eenoplossing van de vergelijking v2 = 1+ 4i .

In het vervolgvak Matrixrekening en complexe getallen gaan we hier uitgebrei-der op in en besteden we ook aandacht aan een manier om dit exact te doen. Zieook opgave 6 voor een algebraïsche truc.

Op deze manier kun je iedere tweedegraadsvergelijking oplossen. Een bij-zondere eigenschap van complexe getallen is dus dat iedere tweedegraads verge-lijking een oplossing heeft. Er geldt zelfs nog een mooiere eigenschap:

THEORIE: Hoofdstelling van de algebra

Iedere veelterm van positieve graad

P (z) = an zn + an−1zn−1+ · · ·+ a1z + a0 (met an 6= 0 en n ≥ 1)

met complexe coëfficiënten a0,a1, . . . ,an ∈C heeft een nulpunt.

Deze eigenschap is heel bijzonder. Het zegt dat C algebraïsch gesloten is. Dealgebraïschgesloten lichamen Q, Q(

p2) en R zijn dat alle niet. In het vak Matrixrekening en com-

plexe functies gaan we hier verder op in. Zie opgave 11 voor een bewijs van dehoofdstelling van de algebra.



4.3 Compleetheid vanC

—Heel deze paragraaf behoort niet tot de tentamenstof.

In §3.4 heb je gezien dat de verzameling van reële getallen compleet is. De intuïtie hierbij isdat de reële as geen ‘gaten’ bevat. Voor het complexe vlak is dit ook het geval. De definitievan compleetheid uit §3.4 is echter niet direct bruikbaar, omdat de intervalnotatie in C geenbetekenis heeft.

In de ontwikkeling van de wiskunde gebeurt het vaak dat men een oud begrip (‘compleet-heid’) in een nieuwe situatie (‘complexe getallen’) wil gebruiken, maar dat de definitie van hetoude begrip niet helemaal toepasbaar is. De definitie moet dan worden geherformuleerd, zodathet breder is in te zetten. Voor het begrip compleetheid gaat dat als volgt.

Bekijk de verzameling R. De definitie van het interval [a, b] is:

[a, b] =�

x ∈R�

� a ≤ x ≤ b

.

Er is echter ook een andere formulering mogelijk. Neem het midden m = a+b2 tussen a en b .

Punt m ligt op afstand r = m − a van de punten a en b . Het interval [a, b] kun je nu ookbeschrijven als de verzameling punten die ten hoogste afstand r tot m hebben:

�

x ∈R�

� |x −m| ≤ r

.

En deze definitie is wél toepasbaar op complexe getallen:

B =�

z ∈C�

� |z −m| ≤ c

.

De deelverzameling B ⊂C is de gesloten schijf met middelpunt m en straal r .

THEORIE

De verzameling C is compleet, in de volgende zin. Stel dat je gesloten schijven B0, B1,B2, . . . hebt die allemaal in elkaar zijn bevat:

· · · ⊂ B2 ⊂ B1 ⊂ B0.

Dan is de doorsnede van deze verzamelingen niet leeg:⋂

j∈N

B j 6=∅.

Compleetheid is essentieel als je analyse (limieten, differentiëren, intergreren) wilt doen.Bij alle analysevakken in de bachelor wordt het complete lichaam R gebruikt. Maar omdat Cook compleet is, zou je dit lichaam net zo goed kunnen gebruiken. Dit leidt tot de ‘complexefunctietheorie’—maar dat is een vak dat in de master thuishoort.

102 Hoofdstuk 4

Opgaven


A Olink

1r. Op het moment dat je deze opgave maakt, hoef je maar één ding over C te weten: C vol-doet aan de rekenregel voor een lichaam. Bewijs voor alle complexe getallen a, b , cen d :

a a+ 3a = b + 2b precies dan als 4a = 3b

b (a+ b )(a− b ) = a2− b 2

c ab = 0 precies dan als a = 0 of b = 0

A Olink

2p. Je kunt C beschouwen als de tweedimensionale vectorruimte R2, maar wel met een bij-zonder definitie van een product. Laat zien dat met de naïeve definitie van een product

(a, b ) · (c , d ) = (ac , b d )

R2 niet voldoet aan de fundamentele rekenregels voor een lichaam.


A Olink

3r. In de tekst wordt afgeleid dat v = 1,60+ 1,25i bij benadering een oplossing is van devergelijking v2 = 1+ 4i . Controleer dat.

A Olink

4r. Bepaal een oplossing (exact) van de vergelijking.

a z2 = i b z2 = i + 1

Bij de volgende vergelijking mag je de reële coëfficiënten x, y in de oplossing z = x + i yafronden op twee cijfers achter de komma.

c z2 = 4− i d z2 = 3i − 2

A Olink

5r. Los de volgende vergelijkingen op.

a z2+ 2z + 2= 0 b z2+(1− i)z = 3i

A Olink

6p. Op bladzijde 99 staat een algoritme om bij een complex getal D = a + b i een getal z tebepalen zodat z2 =D . Dit kan sneller met behulp van een algebratruc. Bekijk namelijk

�Æ

|D |+ a+ iÆ

|D | − a�2

.

Werk in de deze formule de haakjes uit en onderzoek hoe je hiermee z kunt bepalen.Let ook op de volgende dingen:

• Zijn de termen onder de wortels in de formule nooit negatief?

• Wat gebeurt er als b < 0?


• Als D 6= 0, dan heeft de vergelijking z2 = D twee oplossingen; hoe vind je dieterug?

—Bron: gebaseerd op Van Rooij en Van den Broek (2009, p. 35)

A Olink

7p. Op bladzijde 99 staat een algoritme om bij een complex getal D = a + b i een getal z tebepalen zodat z2 = D . Deze vergelijking heeft (als D 6= 0) echter twee oplossingen. Inwelke stap van het algoritme wordt de (impliciete) keuze voor één van de twee oplossin-gen gemaakt?

A Olink

8p. Op bladzijde 99 staat:

om az2+ b z + c = 0 (met a, b , c ∈C) op te lossen, kun je gebruiken:

z =−b ± v

2a,

waarbij v een oplossing is van v2 = b 2− 4ac .

Bewijs dit op twee manieren:

a door z = −b±v2a in te vullen in de kwadratische vergelijking;

b door kwadraatafsplitsen.

A Olink

9p. Gebruik de ideeën in het stappenplan op blz. 99 om een 7-demachtswortel van 1+ i tebepalen.

A Olink

10r. Waarom zijnQ,Q(p

2) en R niet algebraïsch gesloten?

A Olink

11∗. Deze opgave behandelt een bewijs van de hoofdstelling van de algebra. Een essentieelingrediënt van dit bewijs is het concept beeld van een complexe functie. beeld

a Maak opgave 1, 2, 3 en 5 uit §8.1 van MWD2.

Begin met een figuur X in het complexe vlak en een complexe functie f . Deze functievoert de punten van de figuur over in nieuwe punten. Op deze manier wordt X door defunctie overgevoerd in een nieuw figuur, het beeld van X :

beeld(X ) =�

f (z)�

� z ∈X

.

In de opgave in het boek is de figuur steeds een driehoek en is de functie zo eenvoudiggekozen dat het beeld weer een driehoek is. Het is in dat geval voldoende te onderzoekenwat er met de hoekpunten gebeurt. In het algemeen is de vervorming wat ingewikkelder.

Voor het bewijs nemen we als figuur cirkels om de oorsprong met straal r :

Cr =�

z ∈C�

� |z |= r

.

104 Hoofdstuk 4

b Onderzoek wat het beeld is van C2 als f (z) = 2z + 1.

c Onderzoek wat het beeld is van C1 als f (z) = z2.

d Onderzoek wat het beeld is van Cr als f (z) = zk (met r ≥ 0 en k ∈N).

Een bewijs van de hoofdstelling van de algebra gaat als volgt:

Stelling. Iedere veelterm van positieve graad

f (z) = an zn + an−1zn−1+ · · ·+ a1z + a0 (met an 6= 0 en n ≥ 1)

met complexe coëfficiënten (a0,a1, . . . ,an ∈C) heeft een nulpunt.

Bewijsschets. We mogen aannemen dat an = 1.Bekijk de familie van cirkels Cr met straal r om de oorsprong in het com-plexe vlak.

• Als r = 0 dan is deze ‘cirkel’ een punt; het beeld is dus ook een punt Ain het complexe vlak. Als A= 0 dan zijn we klaar. Neem vanaf nu dusaan dat A 6= 0.

• Voor een complex getalen z dat ver van de oorsprong ligt, geldt P (z)≈zn . Als de straal r heel groot is, is het beeld dus bij benadering eencirkel om de oorsprong (met een gigantische straal); zie onderdeel d.

Bekijk nu het beeld van Cr als r gestaag toeneemt van 0 tot∞. Je begint meteen klein figuurtje bij punt A dat geleidelijk uitdijt tot je iets krijgt wat er bijbenadering uitziet als een steeds groter wordende cirkel om de oorsprong.Omdat A buiten de oorsprong ligt, zal het beeld op een bepaald momentdoor de oorsprong moeten gaan.Er is dus een straal r zodat 0 ∈ beeld(Cr ). Maar voor een punt z op Cr geldtdan dus f (z) = 0. Dit is het gezochte nulpunt.

e Maak een ‘filmpje’ bij dit bewijs in de vorm van een aantal tekeningen.

f Waarom mogen we aannemen dat de topcoëfficiënt an = 1?

g Waarom zijn we (in het eerste bolletje van het bewijs) klaar als A= 0?

h Er is sprake van een ‘bewijsschets’. Waarom is dit nog geen formeel bewijs?

Bij het vak Redeneren en bewijzen zul je het begrip ‘bewijs op tussenniveau’ leren. Daaris deze bewijsschets een voorbeeld van. Zie ook Courant en Robbins (1941).


A Olink

12∗. Waarom heeft de intervalnotatie in C geen betekenis?


A Olink

13∗. Maak een schets van de verzameling�

z ∈C�

� |z − 5i | ≤ 2|

in het complexe vlak en geef drie voorbeelden van elementen uit de verzameling die nietop één lijn liggen.

A Olink

14∗. Wat is de doorsnede van de verzamelingen B j (met j ∈N), waarbij

B j =�

z ∈C�

� |z − 2| ≤ 2+1

j + 1

?

106 Hoofdstuk 4

hoofdstuk 5

VERZAMELINGENLEER

107

OVER DIT HOOFDSTUK

In de vorige hoofdstukken is af en toe een concept uitde verzamelingenleer geïntroduceerd. In dit hoofdstukzetten we alles nog eens op een rijtje. We maken vande gelegenheid gebruik om wat zaken die nog niet eer-der zijn genoemd, maar wel in de Kennisbasis staan, tenoemen: zoals het symmetrisch verschil, de machtsver-zameling en willekeurige verenigingen en doorsneden.Ook venndiagrammen komen aan bod. Er wordt eenkoppeling gemaakt met de concepten functie, domeinen bereik die bekend zijn uit de analyse.

De verzamelingenleer is aan het einde van de ne-gentiende eeuw ontstaan. Men ontdekte dat verzame-lingen konden dienen als bouwstenen voor de wiskunde.Dit leidde tot heftige discussies en tot een felle ver-nieuwingsslag in de wiskunde, hetgeen uitmondde inde indrukwekkende werken van Bourbaki, waarin heelde wiskunde door middel van verzamelingen wordt be-schreven. In de jaren ’60 wilden aanhangers van de zo-genaamde New Math-beweging deze aanpak van wis-kunde ook in het voortgezet onderwijs (en zelfs het pri-mair onderwijs) gaan toepassen. In dit hoofdstuk zal datworden geïllustreerd met enkele passages uit wiskun-deboeken van die tijd. In havo en vwo heeft deze aan-

pak, mede door toedoen van Hans Freudenthal, nooitecht voet aan de grond gekregen. Op mavo heeft hetechter wel lang bestaan. Ook in landen als Frankrijkof de VS is New Math nog steeds actueel op scho-len. Zie voor meer informatie bijvoorbeeld Goffree et al.(2000), of het stripverhaal Logicomix (Doxiades, 2011)—een aanrader!

Hoewel de verzamelingenleer niet meer wordt ge-bruikt om de schoolwiskunde op te bouwen, is het niethelemaal verdwenen uit de lesboeken. Ook zonder deNew Math-gedachte zijn er namelijk goede redenen omverzamelingen te gebruiken; bijvoorbeeld als ordenings-gereedschap, als moderne ‘taal van de wiskunde’ en alsinstrument om je beknopt en helder te kunnen uitdruk-ken.

Tot slot wordt in dit hoofdstuk kort aandacht be-steed aan het functiebegrip. Enerzijds verheldert ver-zamelingenleer dit concept, maar anderzijds maakt hetduidelijk dat hier in de schoolwiskunde op een warrigemanier mee wordt omgegaan. Wat betreft het functiebe-grip op school heeft wiskundige strengheid het afgelegdtegen didactische en pragmatische overwegingen.

VERZAMELINGENLEER 109

5.1 Verzamelingen

Wat is een verzameling? Deze simpele vraag is meteen één van de moeilijksteuit de verzamelingenleer. Hoewel we bij het begrip ‘verzameling’ een sterkeintuïtitie hebben, is het niet makkelijk om het begrip verzameling precies tedefiniëren. Dat zullen we dan ook niet doen, maar in plaats daarvan noemen wetwee belangrijke eigenschappen van een verzameling:

• Een verzameling bestaat uit verschillende en onderscheidbare elementen.Deze elementen kunnen alle mogelijke objecten zijn: getallen, personen,. . . , of zelfs verzamelingen! De notatie x ∈ A geeft aan dat x een elementis van de verzameling A.

• Op welke manier een verzameling precies wordt beschreven is irrelevant.Je kunt dat doen door extensie, d.w.z. het opnoemen van alle elementen: extensie

A= {1,5,4} of A= {Jan,Piet} of C = {{1,5,4},∅,π}

of ,

of door intentie, d.w.z. het geven van voorwaarden waaraan de elementen intentie

moeten voldoen:

D =�

x�

� x ∈R en x2 ≥ 8

of

E =�

a�

� a is een even getal

maar ook“F is de verzameling personen die ingeschreven staan aan de HU.”

Deze eigenschappen leiden tot het volgende:

THEORIE

Twee verzamelingen zijn gelijk als ze dezelfde elementen hebben:

A= B precies dan als x ∈A ⇐⇒ x ∈ B .

110 Hoofdstuk 5

Schoolboekfragment 5.1 Krooshof (1968)

[Begin jaren 70 begint Moderne Wiskunde in de brugklas (voor alle niveaus) opdeze manier.]


BEWIJSTECHNIEK

Als je moet bewijzen dat twee verzamelingen gelijk zijn, dan is deprocedure dus:

1. Neem x ∈A willekeurig en bewijs dat x ∈ B .

2. Neem x ∈ B willekeurig en bewijs dat x ∈A.

THEORIE

A⊂ B geeft aan dat A een deelverzameling is van B .

A⊂ B precies dan als x ∈A⇒ x ∈ B .

Voor de lege verzameling geldt x /∈∅ voor alle x en ∅⊂A voor alleverzamelingen A.

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 1, 3, 4klassengesprek: 2, 5

Ê

5.2 Venndiagrammen

In 1881 bedacht de Engelsman Venn een didactisch instrument om verzamelin-genleer grafisch weer te geven: het venndiagram. Hier is een voorbeeld (uit de venndiagram

NRC van 24 dec. 2011):

112 Hoofdstuk 5

De cirkel linksboven stelt de verzameling voor van ingrediënten die in de Zuid-Europese keuken worden gebruikt. De cirkel rechtsboven is de verzamelingingrediënten uit Oost-Azië en de cirkel onder gaat over Latijns-Amerikaanse in-grediënten. In gebieden waar de cirkels overlappen, staan ingrediënten die tweeof drie streken gemeenschappelijk hebben. Dit zijn doorsnedes van verzamelin-gen.

In de verzamelingenleer gaat het vaak over ‘een verzameling A,’ zonder datde verzameling concreet wordt omschreven. In een venndiagram laat je danslechts de omlijningen staan en teken je de elementen niet. In bovenstaand voor-beeld zou je de etenswaren dan dus weghalen en de cirkels laten staan.

In de volgende tabel zijn de operaties met verzamelingen uit dit hoofdstukverzameld en uitgebeeld met venndiagrammen. Er is ook een operatie toege-voegd die nog niet aan bod is gekomen: het symmetrische verschil.

THEORIE

De linker cirkel in het venndiagram representeert de verzameling A, derechter de verzameling B .

Vereniging

A∪B =�

x�

� x ∈A of x ∈ B

Doorsnede

A∩B =�

x�

� x ∈A en x ∈ B

Verschil

A\B =�

x�

� x ∈A en x /∈ B

Symmetrisch verschil

A4B = (A∪B) \ (A∩B)

Het verschil A\B wordt soms ook wel genoteerd als A−B .

Neem een venndiagram in gedachten. Wat stelt het gebied buiten de omlij-ning voor? Dit zouden ‘alle andere elementen’ moeten zijn en dat suggereert dat


er een totaliteit van elementen is: het universum. Wiskundig is dit een wankel universum

begrip, maar in contexten wordt het nog wel eens gebruikt als duidelijk is dat jealleen geïnteresseerd bent in objecten van een bepaald type. Bijvoorbeeld: in hetvenndiagram over eten zou het universum bestaan uit alle ingrediënten die in dewereld worden gebruikt. In dat geval kun je spreken over het complement van complement

een verzameling:Ac =

�

x�

� x /∈A

.

Nogmaals: zonder dat het universum is omschreven, is dit geen goede wiskunde!

Hoewel venndiagrammen een didactische meerwaarde hebben, kunnen zeook leiden tot misconcepties. Ze worden in de praktijk vaak fout gebruikt. Ziebijvoorbeeld de vernietigende kritiek van Freudenthal (1973).

Suggesties voor opgavenzelfstandig: 9, 11, 13, 14, 16klassengesprek: 7, 8, 17, 18

Ê

5.3 Veel en meer

In deze paragraaf behandelen we nog drie losse bewerkingen met verzamelin-gen. Deze bewerkingen zijn voor geavanceerde wiskunde essentieel, maar in deschoolwiskunde en in de rest van de bacheloropleiding zul je ze niet heel vaaktegenkomen. (Zonder landelijke Kennisbasis zou deze paragraaf er niet zijn ge-weest. . . )

We beginnen met producten van twee verzamelingen. Hier heb je in deschoolwiskunde nog wel een klein beetje mee te maken, namelijk bij coördi-naten. Een (twee-dimensionale) coördinaat is een paar getallen (x, y). Hierbijkunnen x en y willekeurige reële getallen zijn. De verzameling van deze co-ördinaten geven we aan met R×R, hetgeen in de praktijk vaak korter wordtgenoteerd als R2.

THEORIE

Het product A×B van twee verzamelingen is de verzameling geordendeparen (a, b )met a ∈A en b ∈ B :

A×B =�

(a, b )�

� a ∈A en b ∈ B

.

Van de volgende (erg abstracte!) concepten geven we enkel de definitie.

114 Hoofdstuk 5

THEORIE

Gegeven is een verzameling A.

• De machtsverzameling van A is de verzamelingP (A) die alledeelverzamelingen van A als element heeft (inclusief de lege verzamelingen A zelf). Dit is dus een ‘verzameling van verzamelingen’:

P (A) =�

B�

� B ⊂A

.

• Als de elementen van A verzamelingen zijn, dan hebben de volgendedefinities betekenis:

⋂

A=�

x�

� voor alle B ∈A geldt x ∈ B

⋃

A=�

x�

� voor een B ∈A geldt x ∈ B

In woorden betekent dit dat je de doorsnede of vereniging neemt van alleverzamelingen in A.Als A= {B ,C } (met B en C verzamelingen), dan is dit niets nieuws;bijvoorbeeld:

⋃

A= B ∪C .

É Suggesties voor opgavenzelfstandig: 19, 20, 21klassengesprek: 22


Opgaven


A Olink

1r. Toon de volgende beweringen aan:

a {1,1,2} ⊂ {1,2}

b {1,1,2}= {1,2}

A Olink

2r. Geef een formeel bewijs, waarbij je enkel gebruik maakt van de theorievakken uit §5.1,van de volgende stelling:

A= B precies dan als A⊂ B en B ⊂A.

A Olink

3d. Bekijk de tweedegraadsvergelijking x2− 5x + 6= 0.

a Geef een intrinsieke definitie van de oplossingsverzameling.

b Geef een extrinsieke definitie van de oplossingsverzameling.

c Wat is het verband tussen de kardinaliteit van de verzameling van reëelwaardige oplos-singen van een tweedegraadsvergelijking en de discriminant?

Dertig jaar terug moesten leerlingen hun oplossingsproces soms nog zo opschrijven (Gof-free et al., 2000):

�

x ∈R�

� x2− 5x + 6= 0

=�

x ∈R�

� (x − 2)(x − 3) = 0

=�

x ∈R�

� x − 2= 0

∪�

x ∈R�

� x − 3= 0

= {2,3}.

d Wat vind je hiervan? Benoem voor- en nadelen.

A Olink

4r. Maak de volgende opgaven uit de mavo-examens van 1968 en 1969. (Goffree et al., 2000)

a Als (9,2) ∈�

(x, y)�

� 5x + p y = 39

, dan is p gelijk aana. −6b. −3c. 3d. dat kan men niet weten

b A= {gelijkbenige driehoeken},B = {rechthoekige driehoeken},C = {gelijkzijdige driehoeken}.Dan geldt:

a. A∩B =∅b. A∩C =∅c. B ∩C =∅d. geen van deze beweringen is juist

116 Hoofdstuk 5

A Olink

5p. In de experimentele uitgave van Moderne wiskunde uit 1968 staat de volgende opgave:

Waarom is dit geen goede opgave?

A Olink

6∗. Een reden waarom het lastig is om een goede definitie van verzamelingen te geven, is datje definitie zó moet luiden, dat de beroemde paradox van Russell wordt vermeden. Dezeopgave gaat over die paradox. Definieer de verzameling

P =�

x�

� x /∈ x

.

a Is ∅ een element van P ?

b Geef een voorbeeld van een niet-lege verzameling dat een element is van P .

c Kun je ook een voorbeeld geven dat juist niet element is van P ?

Is P zelf een element van P ? Op deze vraag gaan we nu in.

d Laat zien dat uit de aanname P ∈ P een tegenspraak volgt.

e Laat zien dat uit de aanname P /∈ P een tegenspraak volgt.

f Waarom is hier sprake van een ‘paradox’?


A Olink

7r. Verzin bij ieder van de verzamelingstheoretische operaties uit deze paragraaf een concretebeschrijving in de context van de ingrediënten uit de wereldkeukens.

A Olink

8r. Maak een venndiagram voor de getalverzamelingen uit dit dictaat. Geef hierin ook deverzameling R+ van positieve reële getallen een plek.


A Olink

9r. a Maak de volgende opgave uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968):

b Herformuleer c en d in verzamelingentaal.

A Olink

10r. Maak de volgende opgave uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968)

118 Hoofdstuk 5

A Olink

11p. Maak de volgende opgave uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968):

A Olink

12r. Uit de beginjaren van Moderne Wiskunde (Krooshof, 1968):

Maak hier een moderne variant van.

A Olink

13p. In het hoofdstuk wordt het symmetrisch verschil gedefinieerd als (A∪ B) \ (A∩ B). Hetkan echter ook zo: A4B = (A\B)∪ (B \A).

a Maak dat aannemelijk met behulp van venndiagrammen.

b Geef een bewijs met behulp van de formele definities uit dit hoofdstuk.

c Verklaar de term ‘symmetrisch’ in ‘symmetrisch verschil’.

A Olink

14r. Geef een venndiagram bij de complementoperatie Ac


A Olink

15p. Er zijn verschillende soorten driehoeken. Hieronder is een begin gemaakt van een venn-diagram.

43

15 Er zijn verschillende soorten driehoeken. Hieronder is een begin gemaakt van een Venn-diagram.Teken dit begin in je schrift en voeg nog een paar verzamelingen toe (in ieder geval die van de ge-lijkzijdige driehoeken) en teken op iedere plek in het diagram een voorbeeld.

Een terugblik op als-dan redeneringenMet Venn-diagrammen kun je laten zien waaarom je een als-dan redenering niet zomaar kunt omdraaien.

16 a. Laat zien dat ‘als een driehoek gelijkzijdig is, dan is hij gelijkbenig’ niet betekent ‘als een driehoekgelijkbenig is, dan is hij gelijkzijdig’.

b. Geef zelf nog zo’n voorbeeld met behulp van Venn-diagrammen.

17 In een wijk in Utrecht hebben een aantal jongeren eenscooter. In die wijk waren afgelopen jaar ook een aantalverkeersongelukken. Bij sommige ongelukken waren jon-geren met een scooter betrokken.Welke uitspraak is waar:“Ongeveer 25% van de jongeren met scooter is betrokkengeweest bij een verkeersongeluk.”“Ongeveer 10% van de jongeren in de wijk is betrokken bijeen verkeersongeluk.”

18 Een veelgemaakte redenering is de volgende:90 % van de longkanker patienten heeft gerookt.Dus: als je rookt, dan is de kans op longkanker 90%.Laat met een Venn-diagram zien dat deze omdraaing niet zomaar is toegestaan.

SamenvattingJe hebt 7 soorten mensen . . . Waar zit jij nu?

rechthoekiggelijkbenig

driehoeken

237

64

jongeren met scooter (30)

personen met verkeersongeluk (71)

a Voeg aan de tekening nog een paar verzamelingen toe (in ieder geval die van de gelijk-zijdige driehoeken) en teken op iedere plek in het diagram een voorbeeld.

‘Als een driehoek gelijkzijdig is, dan is hij gelijkbenig’ betekent niet ‘als een driehoekgelijkbenig is, dan is hij gelijkzijdig’.

b Laat dit met behulp van een venndiagram zien.

c Geef zelf nog zo’n voorbeeld met behulp van een venndiagramm.—Bron: Doorman en Roodhart (2010)

120 Hoofdstuk 5

A Olink

16r. In een juridisch handboek staat de volgende bladzijde over zoeken op internet:

41

11 Bij het zoeken op internet kun je meestal gebruik maken van AND en OR.Op woensdag 9 april 2008 gaf dat de volgende resultaten:

Amsterdammer: 341.000 hits.leugenaar: 174.000 hitsAmsterdammer AND leugenaar: 39.000 hitsAmsterdammer OR leugenaar: 476.000 hits

Verklaar deze getallen.*

In een juridische handboek staat het volgende over zoeken op internet:

* Zie ook "De Google-dans" in het tijdschrift Pythagoras (nummer 1, september 2008).

Booleaanse operatoren zijn logische zoekoperatoren, genoemd naar de Engelse wiskundigeGeorge Boole (1816-1854). Met de operatoren AND, OR en NOT kunnen relaties tussen zoek-termen worden aangegeven, waardoor er preciezer gezocht kan worden. AND = alle zoektermen gecombineerd met AND moeten in een pagina voorkomen.OR = bij zoektermen gecombineerd met OR hoeft maar één van de termen voor te komen. NOT = met NOT geef je aan dat een zoekterm niet in een pagina voor mag komen. Bijvoorbeeld de zoekvraag: appels AND peren heeft als resultaat pagina's waarin de termenappels en peren beide voorkomen. In onderstaande figuur is dit geïllustreerd.

Zoekvraag: appels OR peren. Resultaat: pagina's waarin in ieder geval één van beide termenvoorkomt. Pagina's waarin beide termen voorkomen behoren natuurlijk ook tot de resultaten.

Zoekvraag: appels NOT peren. Resultaat: pagina's waarin wel de term appels voorkomt, maarniet de term peren.

AltaVista heeft een afwijkende not-operator. Daar dien je AND NOT te gebruiken om een termuit te sluiten. Bovenstaande zoekvraag zou bij AltaVista als volgt geformuleerd moeten worden:appels AND NOT peren.

Verderop in het juridische handboek staat:

Je kunt de verschillende operatoren ook combineren in één zoekvraag. Zoekje bijvoorbeeld informatie over campings op Terschelling of Ameland, danzou je zoekvraag er zo uit kunnen zien:

camping AND (Ameland OR Terschelling).

Het trefwoord camping moet voorkomen, in combinatie met of Ameland,of Terschelling, of beide. Gebruik je de OR operator in combinatie metAND of NOT, plaats dan de OR-verklaring altijd tussen haakjes.

Laat met behulp van venndiagrammen zien dat het belangrijk is om haakjes te zetten.—Bron: Doorman en Roodhart (2010)


A Olink

17d. Op internet levert zoeken op ‘venn diagram’ het volgende plaatje.

Waarom is dit een verkeerd voorbeeld van een venndiagram?

A Olink

18r. In het boek Understanding the Number System (Osborn et al., 1968) staat op blz. 111:

Suppose we wish to determine the greatest common factor [vertaling:ggd] of 12 and 18. Set A includes the prime factors of 12, and set B those of18.

Set A= {2,2,3}Set B = {2,3,3}

The prime numbers 2 and 3 are common to both sets, and so the product of2 and 3 (or 6) is the greatest common factor of the numbers 12 and 18.

Geef kritiek hierop. Kijk ook nog maar eens naar opgave 2.37.


A Olink

19r. Bepaal alle elementen van de volgende producten:

a {1,3,5}× {2,4} b {1}× {2}

c N×Q d R×∅

A Olink

20r. Bepaal alle elementen van de volgende machtsverzamelingen:

a P ({1,2} b P ({1})

c P (∅)

A Olink

21p. Leg uit: P (N) is de verzameling functies van N naar {0,1}.

122 Hoofdstuk 5

A Olink

22p. a Geef alle deelverzamelingen van {1,2,3,4}. Hoeveel zijn dit er?

b Probeer vast te stellen hoeveel deelverzamelingen een eindige verzameling heeft.

c Herformuleer je conclusie uit onderdeel b in termen van de machtsverzameling.

A Olink

23p. Bij analyse ben je de begrippen functie, domein en bereik tegengekomen. De formeledefinitie is als volgt:

Gegeven twee verzamelingen A en B . Een functie f : A→ B is een deelverza-meling f ⊂A×B waarvoor geldt: voor iedere a ∈A is er precies één element(a, b ) ∈ f . Hierbij heet A het domein van de functie en B het codomein.

Waarschijnlijk herken je hier helemaal niet het functiebegrip in zoals je dat gewend bent!De volgende notatie-afspraak verduidelijkt het een en ander:

(a, b ) ∈ f schrijven we als f (a) = b .

Deze definitie wordt in de schoolwiskunde niet gehanteerd. Zie voor een didactischemotivatie hiervan Van Dormolen (1976, p. 176 e.v.), maar de volgende vraag zullen jeook al een beeld van de argumenten-tegen geven.Leg uit waarom de vraag “Bepaal het domein van f (x) = 1

x ” volgens de formele definitiebetekenisloos is.

A Olink

24p. A=P (R). Wat is⋃

A? Wat is⋂

A?

A Olink

25p. Bij Analyse heb je kennisgemaakt met de eigenschap differentieerbaarheid van functies(van R naar R). Een functie is differentieerbaar als de afgeleidefunctie bestaat. Dezeafgeleidefunctie kan op haar beurt weer differentieerbaar zijn, hetgeen betekent dat deafgeleidefunctie van de afgeleidefunctie bestaat. En die kan op haar beurt weer differen-tieerbaar zijn. . . .

Noteer met D i (voor i ∈N) de verzameling functies die minstens i keer differentieerbaarzijn. Definieer D∞ =

⋂

D i .

Geef twee echt verschillende voorbeelden van elementen van D∞.

ONDERZOEKSOPGAVENNOG NIET AF. GAAN WE DIT DOEN?

2. Zoek uit wat Zn is. Iets over delen? Gektallen (uit Getallenbrouwerij)

3. Pythagorese drietallen (Zebra FLT, H2, blz 6–9)

4. Klokrekenen (Brouwerij §1.4 blz. 20–26)

5. Bombelli (Getallenbrouwerij 29–31 met aanvulling)

6. Meetkunde en C. Maak opgave 44 op blz. 46 in Gektallen met en zondergebruik van de complexe getallen.

7. Kardinaliteit. Hier is ook een Zebraboekje van. . .

123

124 Hoofdstuk 5

VERWIJZINGENHans van Baalen et al. 2006. Systematische natuurkunde. Nijgh Versluys.

Barlaeus Gymnasium Amsterdam 2009. Wiskundeboek Klas 1. http://www.barlaeus.nl/onderwijs/wiskunde.html .

Frits Beukers 2000. Getaltheorie voor beginners. Epsilon Uitgaven.

D. van den Bogaart et al. 2005. Matrix. Eerste klas vwo. Malmberg.

Dick Bos et al. 2007–2009. Moderne Wiskunde. Bovenbouw havo/vwo. Negende editie.

Ineke de Bruijn et al. 2006–2010. Moderne Wiskunde. Onderbouw. Wolters-Noordhoff.

Richard Courant en Herbert Robbins 1941. What is Mathematics? Oxford University Press.

Jan van de Craats en Rob Bosch 2007. Basisboek rekenen. Pearson Education Benelux.

Jeanine Daems 2010. Ludolph van Ceulen. de Volkskrant, 6 maart 2010. http://www.wiskundemeisjes.nl/20100306/ludolph-van-ceulen .

Michiel Doorman en Anton Roodhart 2010. Logisch redeneren. Lesmateriaal voor WiskundeC. cTWO. http://www.ctwo.nl→ lesmateriaal.

J. van Dormolen 1976. Didactiek van de wiskunde. Tweede druk. Bohn, Scheltema & Holkema.

Apostolos K. Doxiades 2011. Logicomix. Dutch Media uitgevers.

Hans Magnus Enzenberger 1999. De telduivel. Een hoofdkussenboek voor iedereen die bangvoor wiskunde is. De bezige bij.

H. Freudenthal 1973. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel Publishing Company.

H. Freudenthal 1984. Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. Publicatie vak-groep OW&OC. Rijksuniversiteit Utrecht.

Goffree, Van Hoorn en Zwaneveld (red.) 2000. Honderd jaar wiskundeonderwijs. NederlandseVereniging van WiskundeLeraren.

HBO-raad 2009. Kennisbasis Biologie, Natuurkunde, Scheikunde, Tech-niek, Wiskunde voor de lerarenopleiding voortgezet onderwijs.http://www.hbo-raad.nl/hbo-raad/publicaties/doc_download/1064-kennisbasis-lerarenopleiding-voortgezet-onderwijs-beta-studies .

Joost Hulshof en Ronald Meester 2011. Kansrekening en dynamica als basis voor breed wiskun-deonderwijs. Vrije Universiteit. http://www.few.vu.nl/~jhulshof .

125

http://www.barlaeus.nl/onderwijs/wiskunde.html

http://www.barlaeus.nl/onderwijs/wiskunde.html

http://www.wiskundemeisjes.nl/20100306/ludolph-van-ceulen

http://www.wiskundemeisjes.nl/20100306/ludolph-van-ceulen

http://www.ctwo.nl

http://www.hbo-raad.nl/hbo-raad/publicaties/doc_download/1064-kennisbasis-lerarenopleiding-voortgezet-onderwijs-beta-studies

http://www.hbo-raad.nl/hbo-raad/publicaties/doc_download/1064-kennisbasis-lerarenopleiding-voortgezet-onderwijs-beta-studies

http://www.few.vu.nl/~jhulshof

126 Hoofdstuk 5

George Ifrah 1988. De wereld van het getal. Of de geschiedenis van een belangrijke uitvinding.Servire.

Dick Klingens 2012. Groot, groter, nóg groter. In: NVvW (2012). 64–73.

NVvW (Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren) 2012. Getallen / Euclides Special 2012.

Koninklijk Wiskundig Genootschap. Pythagoras. Wiskundetijdschrift voor jongeren. http://www.pythagoras.nu .

Gerard Koolstra 2011. Delen van veeltermen, deel 1. Euclides nr. 3 jaargang 87.

Krooshof (red.) 1968. Moderne Wiskunde. Eerste editie. Wolters-Noordhoff.

Roger Osborn, M. Vere DeVault, Claude C. Boyd & W. Robert Houston 1968. Understandingthe number system. Ohio: Charles E. Merill Publishing Company.

L.A. Reichard et al. 2003–2009. Getal & Ruimte. EPN.

Arnoud van Rooij en Leon van den Broek 2009. Getallenbrouwerij. Alternatief rekenen. EpsilonUitgaven.

SLO (red.) 2009. Project Doorlopende leerlijn taal en rekenen. Referentiekader taal en rekenen.De referentieniveaus. Enschede. http://www.taalenrekenen.nl

SLO 2011a. Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo.

SLO 2011b. Tussendoelen wiskunde onderbouw vo havo/vwo. voorlopige versie: http://www.ctwo.nl .

Hans Steur 1980. Levende wiskunde. Toepassingen, geordend naar wiskundig onderwerp. Edu-caboek.

Anne van Streun 2011. Wiskundige denkactiviteiten. Prepublicatie van een Elwier-katern.

Karen Wynn 1992. Addition and subtraction by human infants. Nature, vol. 358, 27 augustus1992. 749–750.

http://www.pythagoras.nu

http://www.pythagoras.nu

http://www.taalenrekenen.nl

http://www.ctwo.nl

http://www.ctwo.nl

ANTWOORDENA O

link

Opgave 0.1a waar

b waar

c waar, het gaat hier om de verzameling ‘negatieve gehele getallen en nul’

d waar, 0 en 2 voldoen aan de vergelijking x3− 3x2+ 2x = 0

e niet waar

f dit is niet altijd betekenisvol; het gaat mis als y = 0

g niet waar, {3} is een verzameling en geen reëel getal

h niet waar, want 2 is geen verzameling en dus ook geen deel-verzameling

i waar, want ieder element van {1,1,2} is ook een element van {1,2}; omdat het omgekeerdeook waar is, geldt zelfs {1,1,2}= {1,2}

A Olink

Opgave 0.2

a de verzameling even getallen

b de verzameling kwadraten van gehele getallen

c het bereik van de functie f (wat natuurlijk niet helemaal gewonemensentaal is. . . )

A Olink

Opgave 0.3a 888 b 1052c 490 d 24787e 172 f 79g 178657h 11421 i 11796

A Olink

Opgave 0.4Je kunt bijvoorbeeld eens proberen om 0−1 via het algoritme te berekenen. Het eerste probleemis dan dat je van de nul een tien wilt maken door een ‘1 te lenen’. Maar waar haal je die vandaan?En zelfs als je hier een list verzint, dan zal je antwoord eindigen op een 9, terwijl het correctantwoord natuurlijk −1 is.

A Olink

Opgave 0.5a 18451, rest 39 b 38460, rest 18c 38460,056

A Olink

Opgave 0.618451,907 (de uitkomst . . . ,906 is fout; om zekerheid te krijgen over de afronding moet je in destaartdeling de eerste vier cijfers achter de komma berekenen.)

127

128

A Olink

Opgave 1.1Voor alle uitspraken geldt dat het correcte Nederlandse zinnen zijn, hoewel in zin d het woordje‘getalsmatig’ misschien overbodig is. Volgens de conventies die binnen de wiskunde gelden, is erop een aantal uitspraken wat aan te merken:a Een getal bestaat niet uit cijfers. Je kunt wel spreken over cijfers in de decimale representatie

van een getal.

b Het woord ‘nummer’ wordt in de wiskunde niet vaak gebruikt. Merk op dat een telefoon-nummer geen getal is. Het is een code van tien symbolen, waarbij de symbolen ‘toevallig’dezelfde zijn als de symbolen die wij voor cijfers gebruiken.

c Het is gek om een toetsresultaat een cijfer te noemen, omdat scores als 10 of 7,3 ook mogelijkzijn. Voor een juiste analyse is het begrip ‘nominale variabele’ bruikbaar. Zie hiervoor hetvak Beschrijvende statistiek.

d ‘Getalsmatig’ geeft hier aan dat het om aantallen gaat. Is het woord essentieel?

e Hiervoor geldt hetzelfde als voor b, met de kanttekening dat busnummers soms meer be-tekenis krijgen. Zo bepalen ze bijvoorbeeld de volgorde waarin de buslijnen voorkomen inbustabellen.

f Het begrip ‘nummer’ is niet ondubbelzinnig gedefinieerd, dus je mag ‘3bis’ best een nummernoemen. Een getal (in wiskundige betekenis) is het natuurlijk niet.

g Een pincode kan met een nul beginnen, en dan is het een getal van minder dan vier cijfers.

A Olink

Opgave 1.2De pointe is dat ‘ 4

5 ’ hier niet een getal aanduidt, maar een representatie. Je kunt in de vraag 45

immers niet vervangen door 810 of 0,8. Vergelijk: “Stel x = 4

5 ; wat is de noemer van x?” Of hetnodig is de vraag aan te passen, is een subjectieve vraag. De meeste mensen zullen zich er nietaan storen en begrijpen wat er wordt bedoeld.

A Olink

Opgave 1.3discussievraag. . .

A Olink

Opgave 1.4

a Neem een getal x en schrijf dit als x = 10y + k; hier is k dus het laatste cijfer van het getal indecimale notatie.Als k ∈ {0,2,4,6,8}), dan is x deelbaar door 2. Er geldt dan namelijk k = 2r en dus

x = 2 · 5y + 2r = 2 · (5y + r ) .

Hier staat dat x gelijk is aan ‘twee maal het gehele getal (5y + r )’ en dus is x deelbaar door 2.Voor deelbaarheid door 5 geldt een analoge redenering.Het laatste cijfer van een decimale notatie geeft niet voldoende informatie om te concluderendat het deelbaar is door 7. Zo is 21 wel, maar 31 niet deelbaar door 7. De reden is dat 7 geendeler is van 10, terwijl 2 en 5 dat wel zijn.

b Noem het getal waarvan je de deelbaarheid wilt weten x en noem het getal dat wordt gevormddoor de laatste twee cijfers k. Er geldt dus x = 100y + k met y ∈N. Als k = 4n dan volgt datook x = 4 · (25y + n) deelbaar is door 4 en omgekeerd.

c Nu moet het getal gevormd door de laatste drie cijfers deelbaar zijn door 8. Reden: 8 · 125 =1000.

ANTWOORDEN 129

A Olink

Opgave 1.5Noem het getal waarvan we een kwadraat nemen x ∈ N en schrijf x = 10y + k; hier is k hetlaatste cijfer in de decimale notatie van x. Nu geeft haakjes uitwerken

x2 = (10y + k)2 = 100y2+ 20y · k + k2 = 10 · (10y2+ 2y · · ·k)+ k2.

Hier staat niet dat k2 het laatste cijfer van x2 is, want het is niet gezegd dat k2 < 10. Maar er valtwél uit af te leiden dat het laatste cijfer van x2 hetzelfde is als het laatste cijfer van k2.Maar k ∈ {0,1, . . . , 9}, dus k2 ∈ {0,1,4,9,16,25,36,49,64,81}. De elementen van deze laatsteverzameling hebben als laatste cijfer 0, 1, 4, 5, 6 of 9.

A Olink

Opgave 1.6a Neem de decimale representatie van n

n = ck · 10k + ck−1 · 10k−1+ · · ·+ c1 · 101+ c0 · 100,

noem de som van de cijfers bb = ck + ck−1+ · · ·+ c0

en noem het verschil v:

v = n− b = ck (10k − 1)+ ck−1(10k−1− 1)+ · · ·+ c1(10− 1).

De getallen 10i − 1 = 999 . . . 9 zijn alle deelbaar door 9 en dus is v deelbaar door 9; schrijfv = 9a. Conclusie: n = v + b = 9a+ b .

b Schrijf n = 9a+ b zoals in onderdeel a. Als b deelbaar is door 9, dan kun je schrijven b = 9d .Maar dan n = 9a+9d = 9(a+d ) en hier staat dat n deelbaar is door 9. Omgekeerd: als n = 9edan b = n− 9a = 9e − 9a = 9(e − a).

c Het werkt ook voor deelbaarheid door 3; het bewijs gaat op dezelfde manier. De truc gaatook op voor deelbaarheid door 1, maar dat is natuurlijk geen interessant geval.

d De som van de cijfers is 142 en dat is niet deelbaar door 3 (want 1+ 4+ 2= 7).Er is een handigere manier: streep in het getal alle cijfers weg die gelijk zijn aan 0, 3, 6 of 9.Streep vervolgens tweetallen weg waarvan de som gelijk is aan 12 of 15. Zo hou je nog maareen paar cijfers over, waarvan het makkelijker is na te gaan wat de som is.

A Olink

Opgave 1.7a Voer een deling-met-rest uit: n = 9a + b met 0 ≤ b < 9. Dan geldt n2 = 9(9a2 + 2ab ) + b 2.

We zijn klaar als we kunnen aantonen dat b 2 een negenvoud + 0, 1, 4 of 7 is. Maar er is eenbeperkt aantal mogelijk waarden voor b , en die kunnen we gewoon allemaal nagaan:

n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8n2 = 0 1 4 9 16 25 36 49 64

controle: 0 1 4 9+ 0 9+ 7 2 · 9+ 7 4 · 9+ 0 5 · 9+ 4 7 · 9+ 1

b Uit het vorige onderdeel volgt dat n2 = 9y + r , met r ∈ {0,1,4,7}. En uit de vorige opgavevolgt dat de som van de cijfers van n2− r = 9y een negenvoud is. Noem nu c0 het laatste cijfervan n2− r . Als c0+ r < 10, dan is de som van de cijfers van n2 gelijk aan ‘r plus de som vande cijfers van n2 − r ’ en voldoet het dus aan de voorwaarde. Als c0 + r ≥ 10, dan is de somvan de cijfers van n2 gelijk aan ‘r plus de som van de cijfers van n2− r min 9’ en voldoet hetdus ook aan de voorwaarde.

130

A Olink

Opgave 1.8a Als je gelijkssoortige termen bij elkaar neemt, krijg je

x + y = · · ·+(a3+ b3) · 103+(a2+ b2) · 102+(a1+ b1) · 101+(a0+ b0) · 100.

Schrijven we de decimale representatie als

x + y = ck · 10k + ck−1 · 10k−1+ · · ·+ c0 · 100,

dan geldt niet altijd c0 = a0 + b0. Het zou immers kunnen gebeuren dat a0 + b0 > 9. In datgeval ‘schuift er een 1 door naar de volgende term’ en wordt c0 = a0+ b0−10 en moet je voorc1 de uitdrukking a1+ b1+ 1 onderzoeken. Is dit > 9 dan schuift er weer een 1 door naar c2,enzovoorts.

A Olink

Opgave 1.9Het gaat hier over positieve, gehele getallen x. Als

x = ck · 10k + ck−1 · 10k−1+ · · ·+ c0 · 100

de decimale representatie is van x, dan bestaat de decimale notatie van x uit k+1 cijfers. Aan deandere kant geldt 10k ≤ x < 10k+1, dus ook

k = log(10k )≤ log x < log(10k+1) = k + 1.

Hieruit volgt dat het aantal cijfers in de decimale representatie van x het kleinste gehele getal isdat groter is dan log x.

A Olink

Opgave 1.102, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. In decimale notatie gaat het om machten van tien. Danvalt er (voor de decimaal ingestelde mens) weinig uit het hoofd te leren.

A Olink

Opgave 1.11. . . , 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000

A Olink

Opgave 1.12a 10011bin = 1 · 24+ 1 · 21+ 1 · 20 = 16+ 2+ 1= 19b 10101010bin = 128+ 32+ 8+ 2= 170c 111= 64+ 32+ 8+ 4+ 2+ 1= 1101111bind 1023= 210− 1= 1111111111bin

A Olink

Opgave 1.13a Dat zie je aan het laatste cijfer. Er geldt immers

bk · 2k + bk−1 · 2

k−1+ · · ·+ b0 · 20 = 2

�

bk · 2k−1+ bk−1 · 2

k−2+ · · ·+ b1 · 20�

+ b0

en dus is het getal deelbaar door 2 precies dan als b0 = 0.b Dat zie je aan de laatste drie cijfers. Er geldt immers

bk · 2k + bk−1 · 2

k−1+ · · ·+ b0 · 20 = 8

�

bk · 2k−3+ bk−1 · 2

k−4+ · · ·+ b3 · 20�

+ 4b2+ 2b1+ b0

en dus is het getal deelbaar door 8 precies dan als 4b2 + 2b1 + b0 = 0. Dat betekent dat debinaire notatie van het getal eindigt op drie nullen.

ANTWOORDEN 131

A Olink

Opgave 1.14a

1101011011 ×

1101011101010

00000000110101000 +

1001000111

b 53 · 11= 583

A Olink

Opgave 1.15a

1101001101011011011 −

10110111111

b 1690− 219= 1471c Vul de getallen aan met nullen tot ze uit hetzelfde aantal cijfers bestaan en tel ze op:

0010110010100011011011 +01001000000

De 11-bits-negatie van 01001000000bin is a− b .Verklaring: Negatie is ook te interpreteren als ‘11111111111bin − ’. Preciezer gezegd: de 11-bits-negatie van a is gelijk aan 211− 1− a. Maar dan geldt dus:

negatie(a)+ b = 211− 1− a+ b = 211− 1− (a− b ) = negatie(a− b ).

d Het getal 11 duidt op het aantal binaire cijfers dat het getal lang is. Zonder deze toevoeging,zou je niet weten hoeveel ‘voorloopnullen’ je in een 1 moet veranderen. De 3-bits-negatie van1 is bijvoorbeeld 110.

e Er geldta− b = a+(2n − 1− b )− 2n + 1= a+negatie(b )− 2n + 1.

In woorden: tel a en het omgekeerde van b op, haal de meest linker 1 weg en tel bij jeantwoord nog eens 1 op. Zie ook http://www.wisc-online.com/objects/ViewObject.aspx?ID=TMH3503 .

A Olink

Opgave 1.16a Bijvoorbeeld staartdelen:

1101�

1110101000\10010001101

11011101

000000

http://www.wisc-online.com/objects/ViewObject.aspx?ID=TMH3503

http://www.wisc-online.com/objects/ViewObject.aspx?ID=TMH3503

132

b 936÷ 13= 72

A Olink

Opgave 1.17a De optelling kun je je als volgt voorstellen:

A7A6A5A4A3A2A1A0B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0+

COUT F7 F6 F5 F4 F3 F2 F1 F0

Het rechter ‘FA’-blokje telt A0 en B0 bij elkaar op. Als A0 + B0 < 10bin, dan is F0 = A0 +B0. Anders is A0+B0 = 10bin en moet er een 1 worden ‘doorgeschoven’ naar de volgendeberekening. Hiervoor zorgt de pijl tussen het laatste en het op-één-na-laatste blokje. In datgeval is F0 = 0. Voor 1≤ i ≤ 7 geldt dat Fi gelijk is aan het laatse binaire cijfer van de som vanAi , Bi en eventueel de doorgeschoven één.

b Op deze manier kun je meerdere I8008’s aan elkaar koppelen en zo langere getallen optellen:16 bits, 32 bits, etc.

A Olink

Opgave 1.18a Ieder positief, geheel getal x is op een unieke manier te schrijven als

x = ck · bk + ck−1 · b

k−1+ · · ·+ c0 · b0,

met ci ∈ {0,1, . . . , b − 1} en ck 6= 0.Het rijtje ck , ck−1, . . . , c0 vormt de representatie in basis b van x.

b 42 c 256d 3FF e FFf Fhex = 1111bin; een hexadecimaal cijfer correspondeert met vier binaire cijfers (bits). Je

kunt binaire en hexadecimale notaties eenvoudig in elkaar omzetten. Bijvoorbeeld F3hex =11110011bin.

A Olink

Opgave 1.19a b d (x + y) = b d x + b d y = d (b x)+ b (d y) = da+ b cb a

b +cd =

ad+b cb d

c Gegeven zijn getallen a, b , c , d , x, y waarvoor geldt b x = a en d y = c . Er geldt dan b d · xy =ac en dus a

b ·cd =

abcd .

d In wiskundige notatie zegt de regel: ab ÷

cd =

ab ·

dc =

adc b . Bewijs: Uit b x = a en d y = c volgt

c b x = ad y. Dus c b (x ÷ y) = ad .

A Olink

Opgave 1.20a Vermenigvuldig de rechterkant met n− 1 en werk haakjes uit:

(n− 1)(1

n+

1

n2+

1

n3+ · · · )

= (n

n+

n

n2+

n

n3+ · · · )− (

1

n+

1

n2+

1

n3+ · · · )

= 1+(1

n+

1

n2+

1

n3+ · · · )− (

1

n+

1

n2+

1

n3+ · · · )

= 1.

ANTWOORDEN 133

(Dit bewijs is niet heel netjes, omdat je goed moet oppassen met het toepassen van de gebrui-kelijke rekenregels op reeksen. Zie het vak Analyse – dynamische modellen voor een preciezeaanpak.)

b Neem n = 4. Onderdeel a zegt dat je 13 krijgt door eerst 1

4 te nemen, vervolgens 14 ·

14 =

142 , enz.

c Er geldt:

m+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ c−3 · 10−3+ · · ·≤ m+ 9 · 10−1+ 9 · 10−2+ 9 · 10−3+ · · ·

= m+ 9� 1

10+

1

102+

1

103+ · · ·

�

= m+ 9 ·1

9.

A Olink

Opgave 1.21

a Schrijf de decimale ontwikkeling van de decimale breuk als volgt:

n+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ · · ·+ c−r · 10−r ,

waarbij c−r 6= 0. Dit is gelijk aan

n+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ · · ·+ c−r · 10−r + 0 · 10−(r+1)+ 0 · 10−(r+2)+ · · ·

en aan

n+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ · · ·+(c−r − 1) · 10−r + 9 · 10−(r+1)+ 9 · 10−(r+2)+ · · ·

en hiermee corresponderen twee verschillende decimale ontwikkelingen.

b Door herhaaldelijk met 10 te vermenigvuldigen en er een geheel getal af te trekken, mogen weaannemen dat x ∈ [0,1⟩ en dat de decimale ontwikkelingen meteen bij het eerste cijfer achterde komma verschillen. Dit maakt de notatie wat beter ‘behapbaar’.Noteer de twee decimale ontwikkelingen:

x = c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ c−3 · 10−3+ · · ·x = d−1 · 10−1+ d−2 · 10−2+ d−3 · 10−3+ · · ·

Er geldt:0= x − x = (c−1− d−1) · 10−1+ 10−1(C −D),

waarbij C , D ∈ [0,1]. Hieruit volgt c−1− d−1 = ±1 en C −D = ±1. Maar dan zijn er maartwee mogelijkheden:

1. C = 1 en D = 0 correspondeert met c−i = 9 en d−i = 0 voor i > 1;

2. C = 0 en D = 1 correspondeert met c−i = 0 en d−i = 9 voor i > 1.

c Het getal nul is maar op één manier te noteren: 0,0.

A Olink

Opgave 1.22

a 1200 = 0,005000 . . .= 0,004999 . . .. De regel zegt dat je nu naar de derde decimaal moet kijken.Die is respectievelijk 5 en 4. De afrondingen zijn dus 0,01 en 0,00.

134

b Dat kan, maar dan wordt de regel wel ingewikkeld. Merk op dat 1200 even ver van 0,00 als

van 0,01 ligt, dus je moet een keuze maken (waarbij winkeliers graag willen dat je naar bovenafrondt). Elke regel waarin alleen maar naar een eindig aantal decimalen wordt gekeken, is inieder geval fout. (Zie ook opgave 23)

A Olink

Opgave 1.23

a Stel dat je naar de eerste honderd cijfers van a vraagt, waarop meneer X steeds het antwoord‘9’ geeft. Dezelfde vragen voor b levert honderd keer 0 op. Dit kan zich onder meer voordoenin de volgende twee situaties:

1. a = 0,9 en b = 0,000 . . . 01 (honderd nullen na de komma). In dat geval geldt a + b =1,000 . . . 01 (honderd nullen).

2. a = 0,999 . . . 90 (honderd negens) en b = 0. In dat geval is a+ b = 0,999 . . . 90.

Geen enkel cijfer achter de komma in beide varianten van a + b komt overeen. Dus kun jegeen enkel cijfer van a + b op grond van deze informatie bepalen. Natuurlijk had je naar de101ste cijfers kunnen vragen, maar hoeveel cijfers je ook vraagt: er is altijd een tegenvoorbeeldte bedenken.

b Stel c−i zijn de cijfers in de decimale ontwikkeling van a en d−i die in de decimale ontwikke-ling van b . Als voor een bepaalde i geldt dat c−i + d−i 6= 9, dan weet je zeker of de optellingbij het ide cijfer achter de komma wel of geen doorgeef-één oplevert (wel als c−i + d−i ≥ 10,niet als c−i + d−i ≤ 8). Dus kun je de eerste i − 1 cijfers achter de komma van a+ b bepalen.

A Olink

Opgave 1.24a 0,27 b 0,230769c 0,632 d 5,0

A Olink

Opgave 1.25a 4234231

10000000 b 32119999

c 1909900

A Olink

Opgave 1.26Je krijgt een breuk die gelijkwaardig is met het getal 122

99 .

A Olink

Opgave 1.27Als x = 0,9, dan is 10x = 9,9. Dus 9x = 10x − x = 9. Hieruit volgt x = 1.

A Olink

Opgave 1.28Gegeven is x > 0. We veronderstellen dat de decimale ontwikkeling van x repeterend is. Je kuntdan schrijven

x =t

10r + 10−r ·�

p · 10−k + p · 10−2k + p · 10−3k + · · ·�

.

Hierbij zijn r, t ∈N en t < 10r en zoals in de opgave k , p ∈Nmet k > 0 en p < 10k . (Uitleg: nahet r -de cijfer achter de komma begint de decimale ontwikkeling van x aan de periodieke staart.Het stuk dat steeds herhaald wordt, is p en bestaat uit k cijfers.)

ANTWOORDEN 135

Nu geldt:

10k x − x = 10k t

10r + 10−r ·�

p + p · 10−k + p · 10−2k + · · ·�

−� t

10r + 10−r ·�

p · 10−k + p · 10−2k + p · 10−3k + · · ·�

�

=t

10r

�

10k − 1�

+ p · 10−r =t (10k − 1)+ p

10r .

Hieruit volgt dat

x =t (10k − 1)+ p

10r (10k − 1).

Merk op dat boven en onder de deelstreep een positief geheel getal staat. Dus is x een breuk.

A Olink

Opgave 1.29

a De decimale ontwikkeling is niet repeterend. Daarom is x niet te schrijven als een breuk.

A Olink

Opgave 1.30Met wat proberen vind je waarschijnlijk dat factoren 2 en 5 in de noemer geen invloed hebbenop de periode: die van 1

7 is gelijk aan die van 114 , 1

35 of 170 . Het vervolg van het verhaal is echter

ingewikkeld. Er geldt dat de periode p van de breuk 1n het kleinste positieve getal is waarvoor

n een deler is van 10p − 1. Zie bijvoorbeeld http://www.lrz.de/~hr/numb/period.html .

A Olink

Opgave 1.31

a Deze stelling geldt nog steeds. Het bewijs (dat uit twee gedeelten bestaat) is analoog aan hetbewijs voor decimale getallen.

b Zogenaamde binaire breuken, dat wil zeggen getallen die te schrijven zijn als een breuk meteen macht van 2 in de noemer.

c Het antwoord op vraag a is ‘ja’. En voor b: breuken met een macht van b in de noemer.

A Olink

Opgave 1.32Discussievraag. Het begrip ‘is ongeveer gelijk aan’ is niet exact gedefinieerd.

A Olink

Opgave 1.33

a De naamgeving verschilt, hetgeen soms tot verwarring leidt:

106 miljoen million109 miljard billion1012 biljoen trillion1015 biljard quadrillion

(Het Nederlandse ‘triljoen’ is 1018.)

b De eerste krantenkop suggereert dat het bedrag exact is, maar dat is het niet. Door woordenals miljoen te gebruiken, geef je, net als in de officiële wetenschappelijke notatie, aan dat jeeen getal slechts met beperkte precisie kent. Het grote verschil met de officiële notatie is dathet getal voor de macht van tien niet in het interval [1,10⟩ hoeft te liggen.

http://www.lrz.de/~hr/numb/period.html

136

A Olink

Opgave 1.34

a Bijvoorbeeld a = b = 9 (en k, l willekeurig) geeft ab > 10, maar de afspraak is dat c < 10.

b Er geldt 1 ≤ ab < 100. Als ab < 10 dan c = ab en m = k + l . Als ab ≥ 10 dan c = ab10 en

m = k + l + 1.

c Stel dat k ≥ l . Dan zal meestal gelden m = k en c = a+ 10l−k b , behalve als hierdoor c ≥ 10in welk geval c = 1

10 (a+ 10l−k b ) en m = k + 1.

A Olink

Opgave 1.35Het antwoord ‘3,6ml geeft aan dat het werkelijk volume tussen 3,55 en 3,65 milliliter inzit. Datlijkt aannemelijk, hoewel het niet meteen duidelijk is dat het volume niet net iets minder dan3,55ml is (het wateroppervlak is immers gekromd). In officiële wetenschappelijke publicatiesschrijft men daarom:

3,6± 0,1ml.

Buiten dit soort publicaties, en ook op school, vindt men deze schrijfwijze te omslachtig—metname als er mee doorgerekend moet worden.Het is eigenlijk nog ingewikkelder, want in serieuze wetenschap zijn waarden vaak het gemid-delde van verschillende metingen. Hier komt statistiek om de hoek kijken: er is bijvoorbeeldsprake van een normale verdeling en de meetonnauwkeurigheid 0,1 is dan eigenlijk de standaard-deviatie die een betrouwbaarheidsinterval geeft. Zie het vak Beschrijvende statistiek.

A Olink

Opgave 1.36

a Dat hangt van je rekenmachine af. Probeer de machten van 10 uit.

b Stel dat 1010 op jouw rekenmachine net niet meer in gewone notatie wordt weergegeven.Probeer dan eens het verschil van 1010 + 1 en 1010 te berekenen (druk tussendoor op ‘ =′).Intern werkt de rekenmachine niet met machten van 10, maar met machten van 2 (binair); datis een reden voor het verschil.

c Zie de handleiding, zoek op internet, of vraag eens rond.

d Zie ook opgave 37.

A Olink

Opgave 1.37Dat lukt niet. De vorm is ±a · 10k , waarbij k ∈ Z en a ∈ [1,10⟩. Aangezien volgens afspraaka 6= 0, kan 0 niet in wetenschappelijke notatie worden weergegeven.N.B. Een opvallend detail dat hiermee te maken heeft, is dat 0 het enige getal is dat je nietaltijd van een eenheid hoeft te voorzien: 0µm = 0m = 0km. Dat geldt overigens alleen als degrootheid meetniveau ‘ratio’ heeft (zie het vak Beschrijvende statistiek).

A Olink

Opgave 1.38In de logaritmische schaalverdeling staan de machten van 10 op gelijke afstand van elkaar. Jekunt aan de wetenschappelijke notatie dus direct aflezen tussen welke maatstreepjes het getaleen plek moet krijgen. Nog mooier: voor de logaritmische schaalverdeling is de logaritme vaneen getal van belang. Nu geldt: log(a · 10k ) = k + loga, met 0≤ loga < 1.

A Olink

Opgave 1.39

a 3 (centimeters nauwkeurig)

b 2 of 3 (dat laatste als iemand zwaarder is dan 100kg; het gewicht van de mens past niet zomooi bij ons decimale systeem)

ANTWOORDEN 137

c 3 of 4 (vaak gemeten in mg of karaat (= 0,2mg))d 3 (soms zelfs op honderdsten nauwkeurig)e Voor discrete getallen is het werken met significantie niet nodig. Tenzij er zoveel koeien zijn

dat je een schatting maakt.f Het aantal cijfers achter de komma hangt af van de eenheid die je gebruikt.

A Olink

Opgave 1.40De notatie 0,5 voor de waarde van een grootheid X geeft aan dat X ∈ [0,45;0,55⟩. Dan geldt dusX 2 ∈ [0,2025;0,3025⟩. De rekenregels zeggen echter: X ·X = 0,5 · 0,5 = 0,3 en die notatie geeftaan dat X 2 ∈ [0,25;0,35⟩ en dat is een ander interval.

A Olink

Opgave 1.41— (Bij dit type vraag past geen uitwerking.)

A Olink

Opgave 2.1a Omdat 108= 22.33, zijn dit (zie ook opgave 32):

±2030 ±2031 ±2032 ±2033

±2130 ±2131 ±2132 ±2133

±2230 ±2231 ±2232 ±2233ofwel

±1 ±3 ±9 ±27±2 ±6 ±18 ±54±4 ±12 ±36 ±108

b Voor alle veelvouden van 15. (Dus . . . , −30, −15, 0, 15, 30, . . . .)c Voor geen enkel getal c , want 146 | 144.d Ieder getal d ∈Z is een deler van 0. Immers, 0= d · 0.e Alle e ∈Z. Immers, e = 1e .f Alleen f = 0. Immers, f = 0 · r impliceert f = 0, onafhankelijk van de waarde van r . Dit is

wel een heel bijzonder geval. Sommige wiskundigen kiezen ervoor om 0 niet als deler toe testaan. Het voordeel is dat dan je bij deelbaarheid een deling ook altijd kunt uitvoeren; als dedeler ook nul mag zijn, wordt dit lastiger, want welke k moet je kiezen waarvoor 0 = k · 0?In de praktijk krijg je gelukkig zelden met dit probleem te maken en wordt de notatie 0

0 nooitgebruikt.

A Olink

Opgave 2.2a De som van twee even getallen is even. Het product van een even getal met een willekeurig

geheel getal is even. (Dat de som van twee oneven getallen even is, is waar, maar volgt niet uitde genoemde eigenschappen—althans, niet direct.)

b Per definitie betekent k|n dat n = k r voor een zekere r ∈ Z. En k|m betekent m = k s vooreen zekere s ∈Z. Nu geldt n+m = k r+k s = k(r+ s), dus n+m = k t voor een zekere t ∈Z(namelijk t = r + s ). Dus geldt per definitie k|(n+m).Evenzo geldt n−m = k(r − s), dus k|(n−m).

c Stel k|n. Dan geldt n = k r voor een zekere r ∈ Z. Maar dan geldt dus ook nm = k r men dat impliceert dat nm = k t voor een zekere t ∈ Z (namelijk t = r m). Dus geldt perdefinitie k|(nm).Als k 6 | n dan geldt k|m. Op eenzelfde manier volgt hieruit m = k r n en dus geldt ook in datgeval k|(nm).

d De eerste uitspraak is dan niet waar: neem bijvoorbeeld k = 2, n even en m oneven. Detweede uitspraak blijft waar, maar hij is minder sterk (in het wiskundig taalgebruik betekent‘of’ altijd en/of).

138

e (i) Als k|(n±m), dan k|n EN k|m.(ii) Als k|(nm), dan k|n OF k|m.

f (i) bijv. k = 2 en n = m = 1. (ii) bijv. k = 4 en n = m = 2.

g Als k|n, dan kan het gebeuren dat k 6 | nm (bijv. k = n = 4 en m = 2). Een omgekeerde

implicatie geldt wel: Als k| nm , dan k|n.

A Olink

Opgave 2.3

a Als ab |n, dan bestaat er een r ∈ Z met n = ab r . Maar dan is er dus een getal s ∈ Z metn = as ; neem gewoon s = b r . Dat betekent a|n. Op dezelfde manier geldt ook b |n.

b Nee. Neem bijvoorbeeld a = 1, b = 2, n = 3.

c Als a|n en b |n, dan ab |n.

d Neem a = b = n = 2.

e Laten we het flauwe geval ab = 0 achterwege, dan moet gelden: Er mag geen getal p >1 zijn dat zowel a als b deelt. In de taal die later in dit hoofdstuk aan bod komt: in depriemfactorontbinding van a en b moeten de priemfactoren verschillend zijn. Nog andersgezegd: de grootste gemene deler van a en b is 1.

A Olink

Opgave 2.4

a 16!= 2 · 3 · 4 · · · · · 16. Dus geldt:

16!+ 2= 2 · (3 · 4 · 5 · · · · · 16+ 1)16!+ 3= 3 · (2 · 4 · 5 · · · · · 16+ 1)16!+ 4= 4 · (2 · 3 · 5 · · · · · 16+ 1)

...16!+ 16= 16 · (2 · 3 · 4 · 5 · · · · · 15+ 1)

b Stel 16!+ 17 = 17k, ofwel 16! = 17(k − 1). Dan is 16! dus deelbaar door 17. Maar 17 is eenpriemgetal en dus zou 17 één van de getallen 2, 3, . . . , 16 moeten delen. Dat is niet het geval.

c Ja. 18= 2 · 9, dus17!+ 18= 18 · (3 · 4 · · · · · 8 · 10 · 11 · · · · · 17+ 1).

d Voor ieder getal n dat geen priemgetal is.

A Olink

Opgave 2.5Zoals iedere breuk, heeft ook 1

k een repeterende decimale ontwikkeling. Noem de periode (zieopgave 30 in hoofdstuk 1) daarvan r . Definieer a = (10r − 1) 1

k . Merk op dat a 6= 0. Omdat dedecimale ontwikkeling van ak bestaat uit een rij negens, is het voldoende te laten zien dat a ∈Z.Nu is a gelijk aan een tiendelige breuk (waarom?). Stel a /∈ Z, dus a = t

10s met 106 | t en s ≥ 1.Dat volgt de vergelijking t k = (10r − 1)10s van gehele getallen. Maar de rechterkant van devergelijking is deelbaar door 5 en door 2. Omdat k niet deelbaar is door deze getallen, moett deelbaar zijn door 5 en door 2. Maar dat betekent dat 10|t en dat is een tegenspraak. Dusa ∈Z.

ANTWOORDEN 139

A Olink

Opgave 2.6Het getal n = p1 p2 . . . pr met alle pi ’s verschillend, heeft 2r verschillende delers. Iedere delercorrespondeert immers met de keuze van een aantal pi ’s. Nu is 2r > 1000 als r > 2log1000,ofwel r ≥ 10. De volgende getallen voldoen dus:

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 27= 60235074902 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29= 64696932302 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31= 69158789702 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 37= 82544361902 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 29 · 31= 8720021310

Merk op dat het getal 21000 maar 1001 delers heeft, te weten 20, 21, 22, . . . . Dit getal is veel tegroot: 21000 = 16250 > 10250.Al in 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 gaat het mis, omdat dit getal maar 28 · 3< 1000 delers heeft.

A Olink

Opgave 2.7Een perfect getal is een positief, geheel getal n dat gelijk is aan de som van de delers d van nwaarvoor geldt 1 ≤ d < n. Het is niet bekend of er oneindig veel perfecte getallen bestaan.En ook is het nog niet bekend of er een oneven perfect getal bestaat. Zie bijvoorbeeld http://nl.wikipedia.org/wiki/Perfect_getal

A Olink

Opgave 2.8

a 32412 = 1906 · 17+ 10, dus q = 1906 en r = 10. Dit kun je met je rekenmachine uitrekenendoor eerst 32412÷ 17 te bepalen en hier het gehele deel van te nemen. Maar het volgt ook uiteen staartdeling of kolomdeling.

b −32412 = −1907 · 17+ 7, dus q = −1907 en r = 7. De afspraak is immers dat de rest in hetinterval [0,17⟩moet liggen.

c 32412=−1906 · −17+ 10, dus q =−1906 en r = 10. Merk op dat | − 17|= 17.

d −32412= 1907 · −17+ 7, dus q = 1907 en r = 7.

e a: 32412= 1907 ·17−7; b: −32412=−1907 ·17+7; c: 32412=−1907 ·−17−7; d: −32412=1907 · −17+ 7

h Voor ieder tweetal a, b ∈Zmet b 6= 0, zijn er unieke gehele getallen q en r waarvoor geldt:

a = q b + r, met − 12 |b | ≤ r < 1

2 |b |.

Alternatieve eis is: − 12 |b |< r ≤ 1

2 |b |.Als je eist − 1

2 |b | ≤ r ≤ 12 |b |, dan is de rest niet altijd uniek bepaald. Wil je dit, dan moet je

dus een keuze maken.

g Het voordeel van de tweede definitie is dat de uitkomst van de delingen uit a t/m d op minte-kens na steeds hetzelfde is, zoals je ook van een gewone deling gewend bent. Nadelen van detweede definitie zijn dat je een keuze moet maken (zie f) en dat het geen veralgemenisering isvan deling met positieve getallen (vergelijk a en e). Dan is er ook nog de intuïtie bij rest die jeprecies wilt maken: Is de rest iets dat je ’over wilt houden?’ Wat betekent dat voor negatievegetallen? Of wil je zo dicht mogelijk bij het ’echte’ antwoord uitkomen?

http://nl.wikipedia.org/wiki/Perfect_getal

http://nl.wikipedia.org/wiki/Perfect_getal

140

A Olink

Opgave 2.9

a Zeef eerst de veelvouden van 2 weg:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Vervolgens de veelvouden van 3:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

De veelvouden van 4 zijn ook veelvouden van 2, dus hier hoeven we niet meer naar te kijken.De veelvouden van 5:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

En zo gaan we één voor één verder met de veelvouden van nog niet weggestreepte getallen.Het blijkt dat dit voor de getallen tussen 2 en 30 niets nieuws oplevert. Zo is bijvoorbeeld heteerste veelvoud van 7 dat nog niet is weggestreept het getal 49 en dat valt buiten de lijst.

b Een getal r is een priemgetal precies dan als er in de rij voorgaande getallen 2, 3, . . . , r − 1geen delers zitten.

c Je ‘zeeft’ er steeds deelverzamelingen van getallen uit.

d In een rechthoek worden patronen zichtbaar. Dit is handig bij het wegstrepen en het kanbovendien een didactische meerwaarde zijn.

A Olink

Opgave 2.10Als n geen priemgetal is, dan is er deler r van n met 1< r < n. Als r >

pn dan is n

r <p

n. Dusals n geen priemgetal is, is er een deler in het interval [2,

pn]. Om te testen of n priem is, is het

dus voldoende om te controleren of n delers heeft in dit interval.

A Olink

Opgave 2.11Een argument is bijvoorbeeld: 111111 is deelbaar door 3, terwijl 745577 en 109279 dat niet zijn.

A Olink

Opgave 2.12

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4n+ 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39

n2+ 1 2 5 10 17 26 37 50 65 82

n2− 2 −1 2 7 14 23 34 47 62 79

n2+ 2n+ 2 5 10 17 26 37 50 65 82 101

n2+ n+ 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131

n2− 79n+ 1601 1523 1447 1373 1301 1231 1163 1097 1033 971

n4+ 4 5 20 85 260 629 1300 2405 4100 6565

Priemgetallen staan in de roodgekleurde cellen. Het lijkt erop dat er twee formules zijn dieenkel priemgetallen genereren, maar dat is schijn. Zo is n2 + n + 41 deelbaar door 41 als jen = 41 subsitueert. En n2 − 79n + 1601 is niet priem voor n = 80, 81, 89, 96, . . . . Of neemn = 79 · 1601.

ANTWOORDEN 141

Er bestaat geen polynoom dat enkel priemgetallen genereert. Wel zijn er veel (lange) polynomi-ale vergelijkingen bekend die priemgetallen genereren. Het bestaan hiervan volgt uit de theorievan de wiskundige Turing (∼1940). Een bekend voorbeeld is het polynoom in 26 variabelen vanJones, Sato, Wado en Wiens uit 1976:

f (a, b , . . . , z) = (k + 2)(1− [w z + h + j − q]2− [(g k + 2g + k + 1)(h + j )+ h − z]2−[16(k + 1)3(k + 2)(n+ 1)2+ 1− f 2]2− [2n+ p + q + z − e]2−

[e3(e + 2)(a+ 1)2+ 1− o2]2− [(a2− 1)y2+ 1− x2]2− [16r 2y4(a2− 1)+ 1− u2]2−[n+ l + v − y]2− [(a2− 1)l 2+ 1−m2]2− [ai + k + 1− l − i]2−

[((a+u2(u2−a))2−1)(n+4d y)2+1−(x+c u)2]2−[p+l (a−n−1)+b (2an+2a−n2−2n−2)−m]2−[q+y(a− p−1)+ s(2a p+2a− p2−2 p−2)− x]2−[z+ p l (a− p)+ t (2a p− p2−1)− p m]2)

De positieve uitkomsten van dit polynoom zijn precies alle priemgetallen! Zie Courant en Rob-bins (1941, appendix A) voor meer informatie.

A Olink

Opgave 2.13a De ggd van teller en noemer is 189. Delen we de teller en noemer door 189 dan geeft dit 67

153 .

b De ggd van teller en noemer is 19937. Dat geeft 1993711213 .

A Olink

Opgave 2.14De delers van p zijn ±1 en ±p. Omdat in ieder geval 1|n, betekent dit dat (p, n) = 1 of (p, n) =p. De laatste mogelijkheid doet zich precies dan voor als n een veelvoud is van p.

A Olink

Opgave 2.15a (x, 0) = |x|. Het getal 0 wordt immers gedeeld door ieder getal.b Het getal 0 heeft geen grootste deler.

A Olink

Opgave 2.16a Waar, want ieder getal is deelbaar door 1.b Waar. Dit geldt alleen voor a = 0.c Niet waar. Het is waar als bovendien p 6= q .d Waar. Delers van a zijn ook delers van een veelvoud van a.

A Olink

Opgave 2.17a Als Da ⊂Db en Db ⊂Dc , dan Da ⊂Dc .b Als Da ⊂ Db en Db ⊂ Da dan geldt Da = Db . Maar het grootste element in Da is |a| en het

grootste element in Db is |b |. Dus |a|= |b |.

A Olink

Opgave 2.18a Bijvoorbeeld: Het kleinste positieve, gehele getal d dat zowel gedeeld wordt door a als door b ,

heet het kleinste gemene veelvoud van a en b . Voorwaarde is dat a of b niet gelijk is aan nul.(Een definitie waarin d = 0 is toegestaan, is niet correct.)

b Bekijk de verzameling Kx van natuurlijke getallen die een veelvoud zijn van x. Dan is het kgvvan a en b het kleinste positieve getal in Ka ∩Kb .

142

c Afhankelijk van de keuze die je maakt, geldt altijd kgd(a, b ) = 1 of kgd(a, b ) =−ggd(a, b ).

d Gemeenschappelijke veelvouden kunnen willekeurig groot worden. Er is dus geen ‘grootste’gemeenschappelijk veelvoud.

e Voor alle gehele getallen a, b > 0 geldt ggd(a, b ) · kgv(a, b ) = a · b . Om dit te bewijzen, kunje alle priemgetallen p aflopen. Als i de hoogste macht is waarvoor p i |a en j de hoogstemacht waarvoor p j |b , dan is de hoogste macht van p die de ggd deelt het minimum vani en j , terwijl de hoogste macht die het kgv deelt juist het maximum is. Maar nu geldt i+ j =min(i , j )+max(i , j ).

A Olink

Opgave 2.19Geval 1: Als Da ∩Db niet naar boven begrensd is, dan kunnen Da en Db dat ook niet zijn. Nugeldt

D0 = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}=Z,

maar het geval dat zowel a als b gelijk zijn aan 0 is expliciet uitgesloten. We kunnen dus aanne-men dat een van beide ongelijk is aan 0 en, omdat D−a = Da , zelfs dat het positief is. Maar vooreen positief getal n geldt d ≤ n dat iedere deler d .Het tweede geval kan ook niet optreden, omdat 1 een deler is van ieder getal en dus weet je zekerdat 1 ∈Da ∩Db .

A Olink

Opgave 2.20Stel x is geen priemgetal. Dan is er een priemgetal p dat x deelt. Maar dan geldt ook p|a en dusp ∈Da . Omdat p < x kan x daarmee niet het kleinste getal > 1 in Da zijn.

A Olink

Opgave 2.21

a (5454,1221) = (1221,570) = (570,81) = (81,3) = (3,0) = 3

b (233,144) = (144,89) = (89,55) = (55,34) = (34,21) = (21,13) = (13,8) = (8,5) = (5,3) =(3,2) = (2,1) = (1,0) = 1; het is mogelijk om na de eerste stap het algoritme ‘af te snijden,’door negatieve resten toe te staan. Van (144,89) ga je dan direct naar (55,34).

c —

A Olink

Opgave 2.22

a 15 · 5454− 67 · 1221= 3

b −55 · 233+ 89 ∗ 144= 1

c —

A Olink

Opgave 2.23

astappenplan uitleg1. Deel a door b en noem de rest r . r = a− k b2. Als r = 0 dan is b de ggd. Klaar!3. Vervang a→ b en b → r en ga weer naar stap 1. (a, b ) = (b , r )

b De rest in stap 1 wordt bij iedere herhaling kleiner, maar wordt nooit negatief. Je moet duseen keer bij nul uitkomen, alwaar het algoritme stopt.

ANTWOORDEN 143

A Olink

Opgave 2.24

a Een gemeenschappelijk deler van a en b is ook een deler van a− b , volgens opgave 2. Dus

Da ∩Db ⊂Db ∩Da−b .

Een gemeenschappelijke deler van b en a− b ook een deler van b = (a− b )+ b . Dus

Db ∩Da−b ⊂Da ∩Db .

Voegen we dit samen, dan geeft dit

Da ∩Db =Db ∩Da−b .

Nu is (a, b ) het grootste element van Da ∩ Db en dus gelijk aan het grootste element vanDb ∩Da−b hetgeen (b ,a− b ) is.

b Uit a volgt: (a, b ) = (a− b , b ) = (a− 2b , b ) = (a− 3b , b ) = · · ·= (a− k b , b ) = (b ,a− k b ).

A Olink

Opgave 2.25Neem een willekeurig stukje uit de rij: a, b , a+ b . Er geldt (b ,a+ b ) = (a, b ) (zie opgave 24).Werken we nu verder naar links de rij door, dan vinden we (b ,a+ b ) = · · ·= (1,1) = 1.N.B. In feite is dit een bewijs met volledige inductie. Hier zul je bij het vak Redeneren en bewijzenmeer over te weten komen.

A Olink

Opgave 2.26Er geldt:

(3100+ 2100, 3100− 2100) = (3100− 2100, 3100+ 2100− (3100− 2100))

= (3100− 2100, 2101).

Dit is gelijk aan 1, want 3100− 2100 is niet even en alle delers 6=±1 van 2101 zijn even.

A Olink

Opgave 2.27De ggd van a en b deelt ook a− b en is daarmee dus ook de ggd van a, b en a− b . Hieruit volgtdat de ggd van de getallen waarmee je begint ook de ggd is van de getallen waarmee je eindigt.De vraag is nog waarom je aan het einde de ggd hebt gevonden: in dit geval, waarom is 6 delervan alle getallen in de rij? Antwoord: Als een van de getallen, n, niet deelbaar zou zijn door 6,dan is de rest van deling van n door 6 een getal kleiner dan 6 en ongelijk 0. Dit zou nog eennieuw getal in het rijtje opleveren.

A Olink

Opgave 2.28Zie http://www.youtube.com/watch?v=lZ64IR2bz5o. Hoewel Willis waarschijnlijk door slimgokken op het antwoord komt, zou je dit probleem (en soortgelijke) prima met het uitgebreideeuclidische algoritme kunnen oplossen.

A Olink

Opgave 2.29

a De ggd van beide getallen is 1 en het uitgebreide euclidische algoritme geeft −3 ·9+2 ·14= 1.Dus met drie sprongen achteruit en twee vooruit komt hij netto één stap verder.

b De kangoeroe kan stapjes van 1 verplaatsen, dus hij kan alle gehele getallen bereiken. Hij zalechter nooit op een niet-geheel getal kunnen uitkomen.

http://www.youtube.com/watch?v=lZ64IR2bz5o

144

A Olink

Opgave 2.30Zonder deze eis zou de stelling niet waar zijn: 6= 2 · 3, maar ook 6= 3 · 2.

A Olink

Opgave 2.31a 25 · 11 b 3 · 41

A Olink

Opgave 2.32a Er geldt 54= 2 ·33. Iedere deler van 54 is dus van de vorm 2i 3 j met i ∈ {0,1} en j ∈ {0,1,2,3}.b

× 20 21 22 23

50 1 2 4 8

51 5 10 15 20

52 25 50 100 200

c 19800= 233252111. Dat geeft 4 · 3 · 3 · 2= 72 delers.d 105= 3 · 5 · 7. Het kleinste getal is 263452. De getallen 2104, 21436, . . . zijn alle groter.e 10= 5 ·2, dus het gaat om getallen van de vorm p4q of p9, met p, q priem en p 6= q . Maar p9

is te groot. Blijft over:

• p = 2 en q ∈ {3,5,7,11}; dit geeft 48, 80, 112 en 176.

• p = 3 en q = 2; dit geeft 162.

A Olink

Opgave 2.33a 9876543210987654321098765432109876543371b 123456791 · 987654323c 2 · 2 · 3 · 7 · 29 · 2711 · 27773 · 664799d Het getal uit onderdeel e heeft kleine factoren, waardoor het algoritme al heel snel ‘succes’

heeft.e Genereer met de eerste applet twee enigszins grote priemgetallen (bijvoorbeeld van tien cijfers)

en vermenigvuldig die met elkaar.

A Olink

Opgave 2.34

a Als n = pa11 pa2

2 . . . parr een priemontbinding is van n, dan is p2a1

1 p2a22 . . . p2ar

r een priemontbin-ding van n2.

b Dan komt ieder priemgetal in n-voud voor (dus pkni ).

c Neem een getal n2 uit het eerste rijtje. Uit onderdeel a volgt dat het priemgetal 2 in de priem-factorontbinding van n2 een even aantal keer voorkomt (bedenk dat 0 ook een even getal is).Maar dan komt 2 in de priemontbinding van 2n2 een oneven aantal keer voor. Wederomvolgens onderdeel a kan 2n2 dus geen kwadraat zijn.

d De derde macht n3 wordt 10n3. In de priemfactorontbinding van 10n3 komen de priemge-tallen 2 en 5 een drievoud-plus-één keer voor. Omdat 3n + 1 zelf geen drievoud is, volgt dat10n3 geen drievoud kan zijn.

e Ja, bijvoorbeeld 1002, ofwel 103-met-een-extra-nul.(In het algemeen geldt: 10n3 is een kwadraat als n = 2i 5 j m2 met i en j oneven en 26 | m en56 | m.)

ANTWOORDEN 145

A Olink

Opgave 2.35

a 3003= 3 · 7 · 11 · 13 en 1463= 7 · 11 · 19. Dus (3003,1463) = 7 · 11= 77.

b 14633003 =

77·1977·39 =

1939 .

A Olink

Opgave 2.362520= 23 · 32 · 5 · 7 en 1100= 22 · 52 · 11. Dus de ggd is 22 · 5= 20.

A Olink

Opgave 2.37

a Hier wordt een methode uitgelegd om de ggd van 264 en 60 te bepalen met behulp van depriemfactorontbinding van deze getallen.

b Het ‘gemeenschappelijk’ wordt zo visueel gemaakt.

c Nee, want bijvoorbeeld {2,2,2,3,11}= {2,3,11}. (Het plaatje lijkt op een venndiagram zoalswe dat in hoofdstuk 5 zullen tegenkomen. Het is het echter niet!)

A Olink

Opgave 2.38Voor ieder priemgetal p geldt dat ‘ p · p · · · · · p’ (i keer) in de priemfactorontbinding van (a, b )voorkomt als deze i factoren ook in de priemfactorontbinding van zowel a als b voorkomt.

A Olink

Opgave 2.39De pointe is dat i een functie is van p die bijna altijd nul is: voor iedere priemgetal p geldti(p) ∈ N, terwijl i(p) 6= 0 voor maar een eindig aantal priemgetallen. Het gevolg hiervan is dater maar eindig veel factoren in het oneindige product voorkomen die ongelijk zijn aan p0 = 1.En vermenigvuldigen met 1 kunnen we best oneindig vaak doen. . .

A Olink

Opgave 2.40

a Stel zo’n k bestaat wel. Dan deelt k dus zowel n! als n!+1. Maar dan deelt k volgens opgave 2ook het verschil van n!+ 1 en n! en dat is gelijk aan 1. Maar k|1 kan niet, aangezien k > 1.(Merk overigens op dat de afspraak is dat 0!= 1.)

b Kies voor n een heel groot getal. Een priemdeler van n!+ 1 is volgens het vorige onderdeelgroter dan n. Dat betekent dat priemgetallen willekeurig groot kunnen zijn.

A Olink

Opgave 2.41

a De eerste stap is om de getallen 2, 3, 4, . . . af te lopen, tot er één bij zit die 60 deelt. In ditgeval is het meteen raak: 2|60. Dus p1 = 2 en n2 = 30.Vervolgens lopen we weer de getallen af en is het weer meteen raak: 2|30. Dus p2 = 2 enn3 = 15.Het getal 15 is niet meer deelbaar door 2, maar wel door 3. Dus p3 = 3 en n4 = 5.Het getal n4 is niet deelbaar door 2, 3 en 4, maar wel door 5. Dus p4 = 5 en omdat n5 = 1hebben we de priemontbinding gevonden:

60= 2 · 2 · 3 · 5.

b Het bewijs geeft een stappenplan (een recept).

A Olink

Opgave 2.42Er geldt r b = (q − l x)b = q b − l x b . De aanname is dat q ∈ B en dat betekent per definitiedat p|q b . Maar ook geldt x ∈ B en daarom geldt ook p|x b en dus ook p|l x b . Maar als p twee

146

getallen deelt, dan deelt het ook het verschil van deze getallen volgens opgave 2. Dus p|q b− l x b ,ofwel p|r b . En dan is per definitie r een element van B .

A Olink

Opgave 2.43A: “geen priemgetal”; B: “één”; C: “n”; D: “kleiner dan”; E: “kleinste”; F: “waar”; G: “n”;H: “niet”.

A Olink

Opgave 2.44De hint suggereert dat we moeten gebruiken dat m!+ r deelbaar is door r , mits r ≤ m (enr, m ∈N). Dit is waar, omdat r |m! als r ≤ m.Nu ligt het voor de hand om te kiezen N = n!, maar dat gaat net niet goed. Het is waar datN + 2, N + 3, . . . , N + n allemaal niet priem zijn (want deelbaar door resp. 2, 3, . . . ). Maar uit1|N + 1 volgt niet dat N + 1 niet priem is. En bovendien kan het ook nog gebeuren dat N zelfpriem is, maar dat gebeurt alleen als n = 2.Om deze problemen te vermijden, kiezen we bijvoorbeeld N = (n+ 2)!+ 2.

A Olink

Opgave 2.45b Bewijs van existentie. Geef de veelvouden van b aan op de getallenlijn: Ergens op de getal-

lenlijn bevindt zich het getal a. Neem het grootste veelvoud q b van b dat zich in het interval[0,a] bevindt. (In het plaatje geldt q = 4.) Door deze keuze geldt voor de rest, r = a − q b ,dat 0≤ r < b . Immers, als r ≥ b dan ligt (q + 1)b ook nog tussen 0 en a en dan is q dus niethet grootst mogelijke getal. Zo zijn q en r gevonden met a = q b + r .

c Bewijs van uniciteit. Stel dat de paren (q1, r1) en (q2, r2) beide voldoend aan de voorwaardevoor deling met rest. Uit a = q1b + r1 = q2b + r2 volgt dan dat (q1− q2)b +(r1− r2) = 0. Enuit 0 ≤ r1, r2 < |b | volgt dat |r1 − r2| < |b |. Dus bij het veelvoud (q1 − q2)b van b tel je eengetal op dat in absolute waarde kleiner is dan |b |. Dat kan alleen maar uitkomst 0 geven als(q1− q2)b = 0 en r1− r2 = 0. Maar omdat b 6= 0 betekent dit dat q1 = q2 en r1 = r2.

d Mogelijke elementen van A zijn bijvoorbeeld 20 (want 23= 1·3+20) en 11 (want 23= 4·3+11).Vollediger:

A= {2,5,8,11,14, . . .}.

Het kleinste element van A is 2 en inderdaad is dat de rest van deling van 23 door 3. Immers:23= 7 · 3+ 2 en 0≤ 2< 3.

e Het staartdelen (zonder dat je met niet-gehele getallen werkt) houdt op zodra je een getal hebtbereikt dat kleiner is dan het getal waardoor je deelt. Dit is de rest.

f In iedere stap van de staartdeling gebruik je in feite delen met rest.

A Olink

Opgave 2.46a De kardinaliteit van A is 3 en de kardinaliteit van B is 2. De sommatie 3+2 wordt nu gerepre-

senteerd door het samenvoegen van de verzamelingen A en B . Er geldt A∪B = {3,7,13,5,6}en deze heeft inderdaad kardinaliteit 5= 3+ 2.

b Hadden we genomen B = {6,7}, dan had A∪B = {2,6,7,13} kardinaliteit 4 gehad. Dat komtomdat A∩B = {7}; de verzamelingen zijn niet disjunct.

c need A×B = {(3,5), (3,6), (7,5), (7,6), (13,5), (13,6)}; dit zijn inderdaad 3 · 2= 6 elementen.

A Olink

Opgave 2.47a 2

ANTWOORDEN 147

b 6 (het element 2 komt dubbel voor)c 10d 0 (een element zou van de vorm (a, b )moeten zijn met a ∈∅ en dat kan niet)e 5 (de verzameling is {−2,−1,0,1,2})f 1 (elke parabool heeft één top)g 2 (de twee elementen zijn ∅ en {∅})

A Olink

Opgave 2.483

2

1

0

−1

−2

−3

−4

←−−−−

−−−−→1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

2+(−3)

1

0

−1

−2

−3

−−−−−−−−−−

−−−−→

−3−2−1

0123456789

−2 · −3

A Olink

Opgave 2.49a Het heksmodel gaat over aantallen blokjes. Dit is een soort kardinaal model, maar dan met

twee soorten objecten (koude en warme).b Een negatief saldo op je bankrekening betekent dat je nog een bepaald aantal euro’s tekort

komt.c Het treintje heeft veel weg van een ordinaal model.

A Olink

Opgave 2.50a 2k + 2m = 2(k +m).b (2k + 1)+ (2m+ 1) = 2(k +m+ 1).c 2k +(2m+ 1) = 2(k +m)+ 1.d 2k ·m = 2(k m).e (2k + 1) · (2m+ 1) = 2(2k m+ k +m)+ 1.

A Olink

Opgave 2.51a gesloten onder beideb Omdat even+even=even en even×even=even, is E gesloten onder beide operaties. (Zie ook

onderdeel d.)c O is gesloten onder vermenigvuldigen, want oneven×oneven=oneven. Maar O is niet geslo-

ten onder optellen; bijvoorbeeld 1 ∈O en 3 ∈O, maar 1+ 3= 4 /∈O.d Stel x, y ∈ En . Dan x = n r en y = ns met r, s ∈ Z. Nu geldt x + y = n(r + s) ∈ En en

xy = n(r y) ∈ En . Dus is En gesloten onder beide operaties.e De negatieve getallen zijn gesloten onder optellen. Maar niet onder vermenigvuldigen, want

min×min=plus.f {0} is gesloten onder beide operaties. Er geldt immers 0+ 0= 0 en 0 · 0= 0.

148

A Olink

Opgave 2.52

a Bijvoorbeeld: 2−1 · 21 = 2−1+1 = 20 = 1; deel nu links en rechts door 2. (En 20 = 1 omdat2= 20+1 = 20 · 2.)

b Er geldt a0 = 1 voor a 6= 0. Maar ook geldt 0a = 0 voor a > 0. Dat suggereert twee mogelijkhe-den voor 00, namelijk 0 of 1. Beide opties hebben voor en nadelen. Er is geen eensgezindheidonder wiskundigen. De makkelijkste manier om hiermee om te gaan is door te zeggen dat 00

niet gedefinieerd is.

A Olink

Opgave 2.53Er is niet één ‘correct’ antwoord. Hier zijn twee mogelijkheden:• We zagen in de paragraaf over de priemfactorontbinding dat de afspraak is dat product

van nul termen gelijk is aan 1. En iets-tot-de-macht-nul is een product van nul termen.Maar ja, . . . ; wat is de gedachte achter deze afspraak?

• Neem in de rekenregel ab+c = ab · ac maar eens c = 0. Dan volgt ab = ab · a0 en dat kanalleen als a0 = 1. Maar: om deze rekenregel te bewijzen, moet je eigenlijk wel eerst wetenwat iets-tot-de-macht-nul betekent. . .

In De telduivel wordt de geciteerde passage gevolgd door een verhandeling over de fundamentenvan de wiskunde. Rond 1900 zijn enkele wiskundigen naarstig op zoek gegaan naar logischeverklaringen voor dit soort vragen. In het boek wordt verteld hoe één wiskundige na vele hon-derden pagina’s uiteindelijk kon bewijzen dat 1+ 1 = 2. Enkele andere betrokkenen werdeninderdaad gek, of erger. Zie ook het indrukwekkende stripverhaal Logicomix (Doxiades, 2011).

A Olink

Opgave 2.54Er geldt

t1

n1+

t2

n2=

t1n2+ t2n1

n1n2

ent1

n1·

t2

n2=

t1 t2

n1n2.

Als n1 en n2 oneven zijn, dan is n1n2 dat ook. Dus B is gesloten onder optellen en vermenigvul-digen.

A Olink

Opgave 2.55Het getallenblok is symmetrisch in de diagonaal van linksboven naar rechtsonder.

A Olink

Opgave 2.56

a Aftrekken is geen van beide: 4− 3 6= 3− 4 en 4− (3− 2) 6= (4− 3)− 2.

b Delen is geen van beide: 4÷ 3 6= 3÷ 4 en 8÷ (4÷ 2) 6= (8÷ 4)÷ 2.

c Ook logaritme is geen van beide: 2log4 6= 4log2 en 2log(2log4) 6= 1, maar2log2log4 bestaat niet

eens.

A Olink

Opgave 2.57

a (x3)+ (2x2)+ (3x)+ 4

b Nu moet je een volgorde kiezen, bijvoorbeeld van links naar rechts:��

(x3)+ (2x2)�

+(3x)�

+ 4.

ANTWOORDEN 149

A Olink

Opgave 2.58Het is niet waar dat a(b

c ) 6=�

ab�c

voor alle waarden van a, b en c ; neem bijvoorbeeld a = b = c .Wat er bedoeld wordt, is dat de gelijkheid niet altijd telt: niet voor alle a, b en c geldt a(b

c ) =�

ab�c

. Zie ook het achtergrondkader.

A Olink

Opgave 2.59Merk in ieder geval op dat delen bijna altijd met een deelstreep wordt aangegeven en dat de regeldaarvoor niet werkt. Idem voor worteltrekken en machtsverheffen. Hier wordt de voorranggrafisch weergegeven. En merk ook op dat optellen niet voor aftrekken gaat.

A Olink

Opgave 2.60(a+b )(c+d ) = a(c+d )+b (c+d ) = ac+ad+b c+b d . In totaal is hier drie keer de distributieveeigenschap toegepast.

A Olink

Opgave 2.61(a + b )c = ac + b c . Dit is een vorm van distributiviteit. (Terzijde: als je ‘modulo c ’ rekenten c is een priemgetal, dan geldt deze regel wel voor tot-de-macht-c ! Zie het vak Redeneren enbewijzen.)

A Olink

Opgave 2.62a Commutativiteit:

2a+ 3b + 2a+ 4b = 2a+ 2a+ 3b + 4b .

Vervolgens distributiviteit:(2+ 2)a+(3+ 4)b .

Als je heel precies bent, hoort hier eigenlijk nog een stap tussen, omdat in de regel van distri-butiviteit in de tabel de volgorde andersom is. Pietjes-precies moeten dus nog commutativiteitvan vermenigvuldiging tussenvoegen:

2a+ 2a+ 3b + 4b = a2+ a2+ b3+ b4.

(In de opgaven en op het tentamen hoef je dit laatste niet te doen.)b Dit is gewoon distributiviteit.c We zullen in het vervolg impliciet gebruiken dat c2 = c · c . Distributiviteit geeft

(a+ b )2 = (a+ b )(a+ b ) = a(a+ b )+ b (a+ b ).

Nu gebruiken we nog twee keer distributiviteit:

a(a+ b )+ b (a+ b ) = a2+ ab + ba+ b 2.

Dan commutativiteit van vermenigvuldiging en het neutrale element:

a2+ ab + ba+ b 2 = a2+ 1ab + 1ab + b 2

en tenslotte nog een keer distributiviteit:

a2+ 1ab + 1ab + b 2 = a2+(1+ 1)ab + b 2 = a2+ 2ab + b 2.

Eigenlijk is het erg knap dat leerlingen dit oppikken!?

150

A Olink

Opgave 2.63(conv) staat voor conventie, ofwel afspraak;(cwo) staat voor commutatieve wet optelling,(awo) voor associatieve wet optelling,(dw) voor distributieve wet,(wer) voor maaléénregel (d.w.z. neutraal element) en(cwv) voor commutatieve wet vermenigvuldiging

A Olink

Opgave 2.64

a Je kunt concrete getallenvoorbeelden geven. Een redenering met variabelen geeft echter meerinzicht (de eersteklassers konden dat nog niet):

∗ Er geldt x ∗ y = 2x + y. Dus commutativiteit geldt niet, want y ∗ x = x + 2y en dat is voorde meeste x, y ongelijk aan x ∗ y. Idem voor associativiteit: (x ∗ y) ∗ z = 4x + 2y + z,terwijl x ∗ (y ∗ z) = 2x + 2y + z.

� Er geldt x�y = x2 + y en deze is ook niet commutatief of associatief: y�x = y2 + x,(x�y)�z = (x2+ y)2+ z, x�(y�z) = x2+(y2+ z)2.

4 Deze is commutatief, want x4y = x + 10+ y = y + 10+ x = y4x, en ook associatief,aangezien (x4y)4z = (x + 10+ y)+ 10+ z = x + 10+(y + 10+ z) = x4(y4z).

A Olink

Opgave 2.65Associativiteit van optelling (in één keer oneindig vaak toegepast).

A Olink

Opgave 2.66

a Voor ieder tweetal vectoren (x1, y1) en (x2, y2) inR2 is (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) ∈R2.

b Ja, schrijf alles als één coördinatenpaar en gebruik dat optellen inR commutatief en associatiefis.

c Wat betekent het om twee vectoren te vermenigvuldigen? Wellicht denk je aan het inproduct:(x1, y1) · (x2, y2) = x1x2+ y1y2. Dit geeft echter een element van R en niet van R2. De definitie(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2, y1y2) werkt wel, maar wordt zelden gebruikt. In hoofdstuk 4 zul jenog een ander product op R2 tegenkomen.

A Olink

Opgave 2.67

a 2 ↑ 1= 2, 2 ↑ 2= 4, 2 ↑ 3= 16 en 2 ↑ 4= 65536.

b 265536 is een getal dat is decimale notatie uit 19729 cijfers bestaat. Want (zie 1. log(265536) =65536 · log2≈ 19729.

c Nee: (2 ↑ 2) ↑ 2= 4 ↑ 2= 44 = 256, terwijl2 ↑ (2 ↑ 2) = 2 ↑ 4= 65536.

d Nee, uit het vorige antwoord blijkt dat 4 ↑ 2 6= 2 ↑ 4.

e Omdat (aa)a = a(a2). Zouden de haakjes andersom staan, dan geldt a ↑ b = a(a

b ) en dit kandus gewoon in de bekende notatie worden uitgedrukt.

A Olink

Opgave 2.68

a Er geldt 0 = 0+ 0 en dus ook a · 0 = a(0+ 0). Distributiviteit van de optelling geeft nua ·0= a ·0+a ·0. Dus geldt ook a ·0+(−(a ·0)) = a ·0+a ·0+(−(a ·0)) en dat geeft dan weer0= a · 0+ 0= a · 0.

ANTWOORDEN 151

b ab+a ·(−b ) = a(b+(−b )) (distributiviteit optellen); volgens onderdeel a geldt a(b+(−b )) =a ·0= 0. Omdat ook ab+(−(ab )) = 0, volgt ab+(−(ab )) = ab+a ·(−b ). Tellen we links enrechts van het ‘=’-teken−(ab ) op en gebruiken we commutativiteit, dan volgt: 0+(−(ab )) =0+ a · (−b ), ofwel −(ab ) = a · (−b ).

c a(b − c) = a(b + (−c)) (afspraak); a(b + (−c)) = ab + a · (−c) (distributiviteit optellen);ab + a · (−c) = ab − ac (onderdeel b).

A Olink

Opgave 2.69

a Bijvoorbeeld 2< 3, maar −1 · 2 6<−1 · 3 en ook 0 · 2 6< 0 · 3.

b Als a < b en c < 0, dan ac > b c .

A Olink

Opgave 2.70Per definitie is −a het unieke getal waarvoor geldt a+ (−a) = 0. Maar 0+? = 0 heeft als oplos-sing 0 en dus volgt −0= 0.

A Olink

Opgave 2.71Het intuïtieve idee van oneindig is dat van een ‘heel groot getal’. Als we dit aangeven met hetsymbool ∞, dan moet gelden ∞ + a = a +∞ = ∞ voor ieder ‘getal’ (oneindig of niet) a.Op deze manier blijven commutativiteit en associativiteit van optelling geldig. Maar omdata+∞ = b +∞ werkt aftrekken niet meer. Sterker nog, door de toevoeging van oneindig is deoplossing van de vergelijking a+ x = b , als deze bestaat, niet altijd uniek!Vermenigvuldigen geeft nog grotere problemen. Want wat is −1 · ∞? Als het gelijk is aan ∞,dan lijkt distributiviteit niet meer op te gaan (want∞ =∞+∞ = (1− 1) ·∞ = 0 ·∞). Als ereen tweede soort oneindig, namelijk −∞ wordt toegevoegd, dan is het weer niet duidelijk hoeoptellen werkt (want wat is 1+∞+−∞= (1+∞)+−∞=∞−∞?)Kortom: door toevoegen van oneindig gaan veel rekenregels de mist in.

A Olink

Opgave 2.72

a Het ‘bestaan van een inverse’ voor optellen is niet langer geldig.

b Ja, neem a = 1. Er geldt immers x1 = x voor alle x ∈N.

c Een links-neutraal element zou een vast element a zijn waarvoor altijd geldt ax = x. Maarzo’n element bestaat niet.

d Omdat machtsverheffen niet commutatief is.

e ab c = (ab )c en ab+c = ab · ac ; in de laatste regel komen alle drie de operaties voor! Voor devolgende gevallen zijn niet hele elegante regels te geven:

(a+ b )c = ?

a(bc ) = ?

A Olink

Opgave 2.73

a Ja: de som en het product van twee positieve getallen is weer positief.

b Dit is het schema:

152




neutraal element a · 1= 1 · a = a

bestaan inverse voor alle a, b ∈R+ heeftax = b een oplossing


verband metordening


als a < bdan ac < b c

A Olink

Opgave 3.1Per definitie is t

n het unieke getal x waarvoor geldt nx = t . Nemen we nu n = 0 dan is er echtergeen unieke oplossing:• als t 6= 0, dan heeft de vergelijking 0 · x = t geen oplossing;• als t = 0, dan heeft de vergelijking 0 · x = t juist heel veel oplossingen.

A Olink

Opgave 3.2Dit is de verzameling van niet-negatieve, rationale getallen:

�

x ∈Q�

� x ≥ 0

.

A Olink

Opgave 3.3a −3, −1 en ‘ja, namelijk 3’

b Gegeven x, dan is er meer dan één paar (a, b )waarvoor x =a◦◦b

. Bijvoorbeeld 0=0◦◦0 =

1◦◦1 = · · · .

A Olink

Opgave 3.4De decimale ontwikkeling is niet repeterend.

A Olink

Opgave 3.5Beide bewijzen gebruiken deelbaarheid door 2. Impliciet kijkt het bewijs in Getal & Ruimteook naar het even of oneven aantal keer deelbaar zijn door 2; dit is verstopt in regels als ‘onevenkeer oneven is oneven’. De priemfactorontbinding gebruikt dit schoolboek hier echter niet.

A Olink

Opgave 3.6Het bewijs is gebaseerd op het feit dat het kwadraat van

p2 een geheel getal is. Dat is voor π

niet het geval. (Sterker nog: voor geen enkel polynoom f (X ) is f (π) ∈Z. Het bewijs hiervan islastig.)

A Olink

Opgave 3.7a Dit bewijs gaat precies zoals het bewijs in het dictaat. Alleen moet je het getal 2 nu vervangen

door 5 (met het getal 3 werkt het niet!).b Omdat 49 = 72, wordt het aantal factoren 7 in 49s2 niet oneven. Je kunt hieruit dus geen

tegenspraak afleiden.

ANTWOORDEN 153

cp

n ∈ Q precies dan als in de priemfactorontbinding van n ieder priemgetal een even aantalkeer voorkomt.

d Als ieder priemgetal een even aantal keer voorkomt, is worteltrekken een kwestie van de helftvan de priemfactoren weghalen; dus geldt dan zelfs

pn ∈ Z. Als er een priemfactor p is die

een oneven aantal keer voorkomt, kan het bewijs uit het dictaat worden gevolgd met p i.p.v. 2.

A Olink

Opgave 3.8Stel 7p

21 (resp. 8p

1024, 5p

243) is wel rationaal: namelijk gelijk aan rs . Dan volgt:

r 7 = 21s7 resp. r 8 = 1024s8 resp. r 5 = 243s5.

In het eerste geval komt het priemgetal 3 (of 7) in de priemfactorontbinding van r 7 een zeven-voud aantal keer voor, terwijl het in 21s7 een zevenvoud-plus-één aantal keer voorkomt; dat leidttot een tegenspraak en dus 7

p21 /∈Q. In het tweede geval komt het priemgetal 2 links een acht-

voud en rechts een achtvoud-plus-2 (want 1024= 22+8) aantal keer voor; ook hier is de conclusiedan 8p

1024 /∈Q. Echter, in het derde geval is 243 = 35 en dus volgt er géén tegenspraak, omdatr = (3s)5. Inderdaad geldt 5

p243= 3 ∈Q.

A Olink

Opgave 3.9Stel alog b = r

s met s 6= 0. Dan geldt dus

ars = b en dus a r = b s .

Dit kan niet als a of b een priemfactor heeft die in de ander niet voorkomt, wegens de uniciteitvan priemfactorontbinding. Vanwege deze tegenspraak kan de aanname dat alog b te schrijven isals een breuk niet waar zijn.

A Olink

Opgave 3.10Stelp

2+k ∈Q. OmdatQ gesloten is onder optellen, is dan ookp

2= (p

2+k)−k een rationaalgetal. Tegenspraak.

A Olink

Opgave 3.11Hier worden twee ‘luie’ antwoorden gegeven. Met wat fantasie zijn spannendere voorbeelden tebedenken:a Kies a ∈R \Q willekeurig. Dan is ook 2a /∈Q. Maar dan is ook a+ 2a = 3a /∈Q.b Als x /∈R \Q dan ook −x /∈R \Q. Maar x +(−x) = 0 ∈Q.

A Olink

Opgave 3.12a Q is gesloten onder vermenigvuldigen.b (p

2+p

3)2 = 2+ 2p

2p

3+ 3 = 5+ 2p

6 ∈ Q. Maar omdat Q gesloten is onder optellen endelen, is dan ook

p6= 1

2 (5+ 2p

6− 5) ∈Q en dat kan niet (opgave 7).

c Uit (p

7−p

5)2 = 12− 2p

35 volgt weer datp

7−p

5 ∈Q impliceert datp

35 ∈Q. Dat geeftweer een tegenspraak. Het antwoord is dus nee.

A Olink

Opgave 3.13Als x ∈ Q zijn we klaar:

p2 is immers irrationaal en dus nemen we a = b =

p2. Als x /∈ Q

nemen we a = x en b =p

2. Dan zijn beide irrationaal, maar er geldt ook:

ab =�p

2p

2�

p2

=p

2p

2·p

2=p

22= 2

154

en dus is ab rationaal.

A Olink

Opgave 3.14In onderdelen a en b gebruiken we het volgende. Neem g = a+b

2 en kies een k ∈ N zodatg − a = b − g > 10−k . Er geldt g ∈ I . Neem de decimale ontwikkeling van g :

g = c + c−110−1+ c−210−2+ · · · .

a Kap g af na de k-de term:

h = c + c−110−1+ c−210−2+ · · ·+ c−k10−k .

Er geldt h ∈ Q (sterker nog: h is een tiendelige breuk). En omdat |g − h| ≤ 10−k geldt ookh ∈ I .

b Verander de c−i ’s met i > k in de decimale ontwikkeling van g indien nodig zodat de decimaleontwikkeling niet periodiek is. Dat kan op heel veel manieren, bijvoorbeeld met de enen-en-nullentruc waar dit hoofdstuk mee begint.

c Uit onderdeel a volgt dat er een rationaal getal g1 is dat in ⟨a, b ⟩ zit. Passen we nu onderdeel atoe op het interval I = ⟨a, g1⟩, dan krijgen we een rationaal getal g2 met a < g2 < g1. Passenwe het toe op I = ⟨a, g2⟩ dan krijgen we g3 ∈Q met a < g3 < g2 < g1. Enzovoorts. Dit geefteen oneindige rij rationale getallen tussen a en b .

d Op dezelfde manier als onderdeel c, maar nu met gebruik van onderdeel b in plaats van a.

A Olink

Opgave 3.15We moeten aantonen dat de decimale ontwikkeling niet repeterend is. Stel dat die dat wel is:ci+r = ci voor een zekere r ∈ N en alle i groot genoeg. Omdat er oneindig veel priemgetallenzijn (opgave 2.40), is er een groot priemgetal i . Er geldt dus 1 = ci = ci+r = ci+2r = · · · = ci+i r .Maar i + i r = i(1+ r ) is geen priemgetal en dus geldt ci+i r = 0. Dit is een tegenspraak. Dus deaanname dat de decimale ontwikkeling repeterend is, kan niet waar zijn.

A Olink

Opgave 3.16De uitkomst is steeds van de vorm x + y

p5:

• r + s = 1+ 3+(2− 1)p

5= 4+p

5,• r − s = 1− 3+(2−−1)

p5=−2+ 3

p5,

• r · s = (1+ 2p

5)(3−p

5) = 3−p

5+ 6p

5− 10=−7+ 5p

5,

• rs =

1+2p

53−p

5= (1+2

p5)(3+

p5)

(3−p

5)(3+p

5)= 3+

p5+6p

5+109−5 = 13

4 +74

p5.

A Olink

Opgave 3.17Gegeven zijn x1+ y1

pa en x2+ y2

pa. We lopen de vier bewerkingen één voor één af en conclu-

deren steeds dat de uitkomst van de vorm x + yp

a is.• (x1+ y1

pa)+ (x2+ y2

pa) = (x1+ x2)+ (y1+ y2)

pa

• (x1+ y1p

a)− (x2+ y2p

a) = (x1− x2)+ (y1− y2)p

a• (x1+ y1

pa) · (x2+ y2

pa) = x1x2+ x1y2

pa+ x2y1

pa+ y1y2a = (x1x2+ y1y2a) + (x1y2+

x2y1)p

a• Neem nu aan x2+y2

pa 6= 0. Als x2−y2

pa = 0 dan is

pa een ‘gewoon getal’ en dus geldt

x2+ y2p

a ∈Q en is makkelijk te zien dat x1+y1p

ax2+y2

pa∈Q(

pa). Anders herschrijven we als

volgt: x1+y1p

ax2+y2

pa= x1+y1

pa

x2+y2p

a· x2−y2

pa

x2−y2p

a= x1 x2−x1y2

pa+y1 x2

pa−y1y2a

x22−ay2

2 = x1 x2−ay1y2

x22−ay2

2 +y1 x2−x1y2

x22−ay2

2

pa

ANTWOORDEN 155

A Olink

Opgave 3.18Omdat Q(

p2,p

3) gesloten moet zijn onder vermenigvuldiging, hoort ookp

6 =p

2 ·p

3 eenelement van deze verzameling te zijn. Neem nu n = 6. Dan is ieder getal a+ b

p2+ c

p3+ d

p6

dus element vanQ(p

2,p

3). Omgekeerd geldt:

(a1+ b1

p2+ c1

p3+ d1

p6)+ (a2+ b2

p2+ c2

p3+ d2

p6) =

(a1+ a2)+ (b1+ b2)p

2+(c1+ c2)p

3+(d1+ d2)p

6;

(a1+ b1

p2+ c1

p3+ d1

p6) · (a2+ b2

p2+ c2

p3+ d2

p6) =

(a1a2+ 2b1b2+ 3c1c2+ 6d1d2)+ (a1b2+ a2b1+ 3c1d2+ 4c2d1)p

2

+(a1c2+ a2c1+ 2c1d2+ 2c2d1)p

3+(a1d2+ a2d1+ b1c2+ b2c1)p

6

en dus is een som of product van getallen van de vorm a+ bp

2+ cp

3+ dp

6 weer van dezelfdevorm.N.B. In plaats van n = 6 kan ieder getal van de vorm n = 6m2 met m ∈N\{0} genomen worden.

Er geldt immers dp

6= dm

p

6m2.

A Olink

Opgave 3.19a (2+ 3ε)(1− 4ε) = 2 · 1+ 2 · (−4)ε+ 3 · 1ε+ 3 · (−4)ε2 = 2− 5ε− 12ε2 = 2− 5ε, want ε2 = 0.b Voor zowel optelling als vermenigvuldiging geldt associativiteit, commutativiteit en het be-

staan van een neutraal element. Bovendien is er een inverse voor optelling en geldt distribu-tiviteit. Maar er is geen inverse voor vermenigvuldiging: ε · x = 1 heeft bijvoorbeeld geenoplossing. Ook is er geen zinvolle ordening te geven.

A Olink

Opgave 3.20a ∈Q is nulpunt van het polynoom P (x) = x − a en dit polynoom heeft coëfficiënten inQ.

A Olink

Opgave 3.21bijvoorbeeld a(x) = x5− 4 en b (x) = (1− x)2− 6.

A Olink

Opgave 3.22Bijvoorbeeld:a(x) = x4− 2;b (x) = x3− 7;c(x) = x7− 2

35 (en dat is x7− 32

243 );d (x) = (2x − 1)2− 5 (en dat is 4x2− 4x − 4);e(x) = (x+4)11− 2

3 (en dat is x11+44x10+880x9+10560x8+84480x7+473088x6+1892352x5+5406720x4+ 10813440x3+ 14417920x2+ 11534336x + 4194303 1

3 );Bij onderdeel f is de truc om het kwadraat van

p2+p

3 uit te rekenen: 5+ 2p

6. Daar zit nogmaar één wortel in! Dus kunnen we nemen f (x) = (x2− 5)2− 24 (en dat is x4− 10x2+ 1).Er is overigens een stelling die zegt dat de verzameling van algebraïsche getallen gesloten is onderoptelling en vermenigvuldiging. Dat is niet heel eenvoudig om te bewijzen, al heb je er geengeavanceerde wiskundige hulpmiddelen voor nodig.

A Olink

Opgave 3.23Omdat de discriminant gelijk is aan 0, geldt α= −b

2a ∈Q. DusQ(α) =Q.

156

A Olink

Opgave 3.24Dit is een discussievraag en er is dus geen ‘goed’ antwoord (maar wel slechte motiveringen!). Hetpunt van de opgave is dat je, formeel genomen, pas zinvol over een grafiek kunt praten als je voorde exponent reële getallen kunt gebruiken.

A Olink

Opgave 3.25Je begint met rationale getallen a en b en dus is c ook een rationaal getal. Maar voor geen enkelec ∈Q geldt c2 = 2, want

p2 ∈R \Q.

A Olink

Opgave 3.26

a Als je, zonder je pen van papier te nemen, een punt boven de x-as wilt verbinden met eenpunt onder de x-as, zul je minstens één keer de x-as moeten snijden.

b De theorie in deze paragraaf suggereert het volgende algoritme:

• Neem het midden c van a en b . Als f (c) = 0 dan ben je klaar. Als f (c) < 0 dan neemje als nieuw interval [a, c]. Als f (c)> 0 dan neem je als nieuw interval [c , b].

• Herhaal nu dit proces met het nieuwe interval.

c Neem bijvoorbeeld f (x) = x2− 2 en het interval [0,2].

A Olink

Opgave 3.27

a Het getal π is de omtrek van de cirkel met diameter 1. Deze is groter dan de omtrek anvan de ingeschreven regelmatige n-hoek en kleiner dan de diameter bn van de uitgeschrevenregelmatige n-hoek. Je krijgt zo een rij intervallen van de vorm [an , bn] die π inklemmen.Anders dan in de paragraaf zijn de grenzen van de intervallen (bijv. 2

p2) niet noodzakelijk

rationaal. (Bovendien wordt gewerkt met open intervallen, maar dat is in dit geval niet zorelevant.)

b De tekening is een cirkel met diameter in en een aangeschreven vierkant ABC D en een om-geschreven vierkant EF GH :

A

B

D

C

E

F

H

G

De lengte van de diagonaal van vierkant ABC D is gelijk aan 1, d.w.z. de diameter van decirkel. Uit de stelling van Pythagoras volgt dan dat de zijden van het vierkant lengte 1

2

p2

hebben en dus is de omtrek 2p

2. Vierkant EF GH heeft zijden van lengte 1 en dus eenomtrek van 4.

ANTWOORDEN 157

c Voor een regelmatige zeshoek

geldt dat driehoek AM B gelijkzijdig is. Betreft het de ingeschreven zeshoek in de cirkel metdiameter 1, dan geldt |AM |= 1

2 ; dus ook |AB |= 12 en dus is de omtrek 3. Dit is een ondergrens

voor π.In de ingeschreven zeshoek volgt uit de stelling van Pythagoras dat |M G| =

Æ

( 12 )2− ( 14 )

2 =14

p3. Kijken we nu naar de uitgeschreven zeshoek, dan geldt |M ′G′|= 1

2 . De vergrotingsfactoris dus 1

2 ÷14

p3= 2

3

p3. De omtrek van de omgeschreven zeshoek is dus 3 · 2

3

p3= 2

p3 en dit

getal vormt een bovengrens voor π.(Alternatief voor de uitgeschreven zeshoek: gebruik algebra en noem bijv. x = |AG| zodat2x = |AM |. Nog een alternatief: gebruik de (mooie!) goniometrische verhoudingen bij 60◦ of30◦.)

A Olink

Opgave 3.28

a a2−p

2= 1712 −p

2≈ 2 ·10−3; a3−p

2= 577408 −

p2≈ 2 ·10−6; a4−

p2= 665857

470832 −p

2≈ 2 ·10−12.

bp

22 +

1p2= 1

2

p2+ 1

2

p2=p

2.

A Olink

Opgave 3.29

a Er geldt 1 < 313 < 2, want 13 < 3 < 23. Dus we kunnen bijvoorbeeld [1,2] als eerste interval

nemen. Dan krijgen we de volgende reeks intervallen:

[1,4375;1,46875]⊂ [1,4375;1,5]⊂ [1,375;1,5]⊂ [1,25;1,5]⊂ [1;1,5]⊂ [1,2].

Het eerste cijfer achter de komma is dus 4. (Het laatste interval is niet strikt noodzakelijk,want je weet al dat 1,5 6= 3

13 ; en bovendien geldt 1,5= 1,4999 . . . dus zelfs als 1,5 wel goed zou

zijn geweest, dan was 4 nog steeds een antwoord op een slecht geformuleerde vraag.)

b Er geldt 1< 2log3< 2, want 21 < 3< 22. Dus we kunnen bijvoorbeeld [1,2] als eerste intervalnemen. Dan krijgen we de volgende reeks intervallen:

⊂ [1,5625;1,59375]⊂ [1,5625;1,625⊂ [1,5;1,625]⊂ [1,5;1,75]⊂ [1,5;2]⊂ [1,2].

Het eerste cijfer achter de komma is dus 5.N.B. In dit proces moet je steeds gebroken machten van 2, zoals 2

32 vergelijken met 3. Je kunt

deze natuurlijk met je rekenmachine berekenen, maar dat is valsspelen. Een truc is om tegebruiken dat 3

32 < 2 precies dan als 33 < 22.

158

A Olink

Opgave 3.30Neem bijvoorbeeld

Ii = [n+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ · · ·+ c−(i−1) · 10−(i−1)+(c−i − 1) · 10−i ,

n+ c−1 · 10−1+ c−2 · 10−2+ · · ·+ c−(i−1) · 10−(i−1)+(c−i + 1) · 10−i].

A Olink

Opgave 3.31

1. De ‘mooie karakterisering’ zou compleetheid moeten zijn, al is dat wat subjectief.2. In de beschrijving met compleetheid speelt de notatiewijze (decimaal, binair of anders)

geen rol.3. Klem twee getallen x en y in door [ai , bi], resp. [ci , di]. Dan is de som x + y het getal

dat wordt ingeklemd door [ai + ci , bi + di]. Analoog voor het product.

A Olink

Opgave 3.32

a De intervallen I0 = [−1,1] en I1 = [−110 , 1

10] kun je nog tekenen. Voor de volgende tweeintervallen is je potloodpunt waarschijnlijk te dik (afhankelijk van de gekozen schaal).

b Voor iedere i geldt 0 ∈ Ii . Dus {0} ⊂⋂

i∈N

Ii . Is omgekeerd x 6= 0, dan is er altijd een i te vinden

zodat |x|> 110i . Dus geldt zelfs {0}=

⋂

i∈N

Ii .

c {0} is ook een deelverzameling vanQ.

d Ook hier zijn enkel de eerste twee intervallen te tekenen. Op dezelfde manier als in b geldt⋂

i∈N

Ji = {0}.

e Voor alle i geldt [−1,0] ⊂ Ki . Dus [−1,0] ⊂⋂

i∈N

Ki . Is x /∈ [−1,0] dan is er een i waarvoor

geldt x /∈Ki . Dus zelfs [−1,0] =⋂

i∈N

Ki .

f Neem I ′i =¬

− 110i , 1

10i

¶

, J ′i =¬

0, 110i

¶

en K ′i =¬

−1, 110i

¶

. Dan geldt:

⋂

i∈N

I ′i = {0},⋂

i∈N

J ′i =∅,⋂

i∈N

K ′i = ⟨−1,0].

A Olink

Opgave 4.1Dit volgt allemaal uit de rekenregels voor een lichaam!

A Olink

Opgave 4.2Niet ieder element ongelijk aan nul heeft een inverse voor vermenigvuldigen. Met andere woor-den: delen gaat fout. De vergelijking

(1,0) · x = (1,1),

heeft bijvoorbeeld geen oplossing, terwijl (1,0) 6= 0.

ANTWOORDEN 159

A Olink

Opgave 4.3(1,60+ 1,25i)2 = 2,56+ 4i − 1,5625= 0,9975+ 4i ≈ 1+ 4i

A Olink

Opgave 4.4

a Het getal i heeft modulus 1 en argument 12π. Een van de oplossingen z heeft dus modulus 1

en argument 14π. Dus z = cos 1

4π+ i sin 14π=

12

p2(1+ i).

b Het getal i + 1 heeft modulusp

2 en argument 14π. Een van de oplossingen z heeft dus

modulusÆp

2= 4p

2 en argument 18π. Dus z = 4

p2(cos 1

8π+ i sin 18π).

c Het getal 4−i heeft modulusp

17 en argument−arctan( 14 )≈ 0,245. Een van de oplossingen zheeft dus modulus 4

p17≈ 2,03 en argument 0,12. Dus z ≈ 2,03(cos0,12+ i sin0,12)≈ 2,02+

0,25i .

d Het getal 3i − 2 heeft modulusp

13 en argument π− arctan( 32 )≈ 2,16. Een van de oplossin-gen z heeft dus modulus 4

p13≈ 1,899 en argument 1,08. Dus z ≈ 1,899(cos1,08+i sin1,08)≈

0,90+ 1,67i .

A Olink

Opgave 4.5

a D =−4. Een oplossing van v2 =−4 is v = 2i . Dus

z =−1+ i of z =−1− i .

b a = 1, b = 1− i en c = −3i . Dus D = (1− i)2 + 12i = 10i . Een oplossing van v2 = 10i isv =p

10 · 12

p2(1+ i) (zie opgave 4a). Ofwel v =

p5(1+ i). Dus

z =i − 1±

p5(1+ i)

2=

1

2(−1±

p5)+

1

2(1±p

5)i .

A Olink

Opgave 4.6De termen onder de wortel zijn nooit negatief, want |D | =

p

a2+ b 2 ≥p

a2 = |a|. Het getalw =

p

|D |+ a+ ip

|D | − a is dus van de vorm x + i y met x, y ∈R.Het kwadraat van w is:

w2 = |D |+ a+ 2iÆ

|D |+ aÆ

|D | − a− (|D | − a) = 2a+ 2iÆ

|D |2− a2

= 2a+ 2p

a2+ b 2− a2 = 2a+ 2|b |i .

Dus als b ≥ 0, dan zijn z = ± 12

p2w de twee oplossingen van z2 = w. Als b < 0 dan zijn dit

z =± 12

p2w̄.

A Olink

Opgave 4.7In de vergelijking arg(v2) = 2arg(v) in stap (iii).Deze vergelijking drukt uit dat bij kwadrateren de hoek met de positieve reële as twee keerzo groot wordt. Het punt waar overheen wordt gestapt, is dat arg(v2) weliswaar de hoek isdie v2 maakt, maar dat dit getal altijd in het interval ⟨−π,π] genomen wordt. In feite had devergelijking moeten luiden: arg(v2) = 2arg(v)+2kπ. Dan waren er twee oplossingen gevonden,waarvan de argumenten 180◦ zouden verschillen.

160

(Dit doet denken aan het oplossen van goniometrische vergelijkingen. Zie het vak Analyse –differentiëren en integreren basis.)

A Olink

Opgave 4.8a Dit is een kwestie van secuur haakjes uitwerken:

a�

−b ± v

2a

�2

+ b�

−b ± v

2a

�

+ c

=1

4a(b 2+ v2∓ 2b v)+

1

4a(−2b 2± 2b v)+ c

=1

4a(−b 2+ v2)+ c

=1

4a(−b 2+ b 2− 4ac)+ c

= 0

b

0= az2+ b z + c = a�

z +b

2a

�2

−b 2

4a+ c

⇐⇒ a�

z +b

2a

�2

=b 2

4a− c

⇐⇒ (2az + b )2 = b 2− 4ac⇐⇒ 2az + b =±v (met v een oplossing van v2 = b 2− 4ac )

⇐⇒ z =−b ± v

2a

A Olink

Opgave 4.9Het getal 1+ i heeft modulus

p2 en argument 1

4π. Voor een zevendemachtswortel wortel z

geldt dus |z | = 7Æp

2 = 14p

2, terwijl voor de hoek ϕ die het complexe getal z met de positievereële as maakt, geldt

7ϕ =1

4π+ 2kπ met k ∈Z.

In lijn met het stappenplan kiezen we arg(z) =14π

7 =128π. (Maar ook arg(z) = 1

28π+27 kπ met

k = 1, . . . 6 levert oplossingen.) Dus

z = 14p

2(cos 128π+ i sin 1

28π)≈ 1,04+ 0,12i .

A Olink

Opgave 4.10Voor ieder van deze getalverzamelingen bestaat er een veelterm (met coëfficiënten in de betref-fende verzameling) die géén oplossing heeft die element is van de verzameling. Je kunt voorieder geval apart een polynoom verzinnen (bijv. x2− 2 voorQ), maar het is efficiënter om op temerken dat het polynoom x2+1 voor alle drie de verzamelingen een voorbeeld is. De nulpuntenzijn immers i en −i en die zijn geen element van de drie verzamelingen.

ANTWOORDEN 161

A Olink

Opgave 4.11

a —

b Een cirkel met straal 2 · 2= 4 en middelpunt 1 ∈C.

c Dezelfde cirkel. De functie f kwadrateert de modulus, ofwel de afstand tot de oorsprong,waarvoor in dit geval geldt 12 = 1. Het argument van een punt op de cirkel wordt verdubbeld:loop je één keer rond over de oorspronkelijke cirkel, dan gaan de beeldpunten twee keer rond.

d De cirkel om de oorsprong met straal r k .

e Hier staan de beelden van de cirkels met aangeven straal r . Let op de verandering van deschaal!

r = 0,1 r = 1 r = 10 r = 100

f De oplossingen vanan zn + an−1zn−1+ · · ·+ a1z + a0 = 0

en vanzn + an−1

anzn−1+ · · ·+ a1

anz + a0

an= 0

zijn hetzelfde.

g Dan geldt f (0) = 0 en dus is 0 een nulpunt van de veelterm.

h In het tweede bolletje wordt met ‘≈’ gewerkt en dat is een niet eenduidige gedefinieerd sym-bool (zie opgave 1.32).

A Olink

Opgave 4.12Er is geen ordening ≤ op de complexe getallen. Je kunt dus niet spreken over ‘de punten dietussen a en b liggen’.

A Olink

Opgave 4.13Dit is de gesloten schijf met middelpunt 5i en straal 2. Voorbeelden van elementen zijn: 5i , 7ien 5i + 1

A Olink

Opgave 4.14De doorsnede is

�

z ∈C�

� |z − 2| ≤ 2

, ofwel de gesloten schijf met middelpunt 2 en straal 2.

A Olink

Opgave 5.1

a Noem A= {1,1,2} en B = {1,2}. Neem een element x ∈ A. Dan geldt x = 1 of x = 2. Dusgeldt ook x ∈ B . Maar dat betekent dat ieder element van A een element is van B . Dit is dedefinitie van A⊂ B .

b Uit a volgt A⊂ B en omgekeerd geldt ook B ⊂ A. Dat betekent dat A en B gelijk aan elkaarzijn.

162

A Olink

Opgave 5.2We bewijzen eerst de implicatie

Als A= B , dan A⊂ B en B ⊂A.

Veronderstel dus dat A= B . Volgens het eerste theorievak geldt dan x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B . Is dusx ∈A, dan geldt ook x ∈ B en dat betekent per definitie A⊂ B . Op gelijke wijze volgt B ⊂A.We bewijzen nu de implicatie

Als A⊂ B en B ⊂A, dan A= B .

Veronderstel daarom A⊂ B en B ⊂ A. Per definitie betekent dit x ∈ A⇒ x ∈ B , respectievelijkx ∈ B⇒ x ∈A. Ofwel x ∈A ⇐⇒ x ∈ B . Volgens het eerste theorievak impliceert dat A= B .

A Olink

Opgave 5.3

a�

x ∈R�

� x2− 5x + 6= 0

b {2,3}

c Als D < 0 heeft de oplossingsverzameling nul elementen, als D = 0 één element en als D > 0twee elementen.

A Olink

Opgave 5.4

a het antwoord is b

b het antwoord is c

A Olink

Opgave 5.5Een verzameling bestaat uit elementen, maar verder is er geen structuur. In het bijzonder is ergeen volgorde in de elementen. Je kunt dus niet over het “37e lid” praten. Uiteraard begrijptiedereen wel wat hier wordt bedoeld.

A Olink

Opgave 5.6

a Nee, want de lege verzameling heeft geen elementen en in het bijzonder kan dus ∅ zelf geenelement zijn van ∅.

b De verzamelingN van natuurlijke getallen is zelf geen natuurlijk getal, dusN /∈N. DusN ∈ P .

c Dat zou bijvoorbeeld de ‘verzameling van alle verzamelingen’ kunnen zijn.

d Als x ∈ P dan volgt uit de definitie van P dat x /∈ x. Substitueren nu P voor x, dan volgt uitP ∈ P dat P /∈ P . Dat is een tegenspraak.

e Als P /∈ P dan volgt uit de definitie van P dat P ∈ P . Dit is een tegenspraak.

f Uit zowel P ∈ P als de omkering P /∈ P volgt een tegenspraak. Geen van beide kan dus waarzijn. Maar voor iedere wiskundige uitspraak geldt dat hij waar of niet waar is.

A Olink


ANTWOORDEN 163

A Olink

Opgave 5.8Bijvoorbeeld:

Merk op dat niet geldt N ⊂ R+ vanwege het getal 0. Merk ook op dat het venndiagram niets temaken heeft met getalmodellen (getallenlijn, etc.).

A Olink

Opgave 5.9c G \Ad G ∩A

A Olink

Opgave 5.10a waar (context: klas 1)b niet waar c waard waar e niet waarf waar g waarh waar i waar

A Olink

Opgave 5.11Het is lastig om een venndiagram bij meer dan drie verzamelingen te tekenen. Hier is een voor-beeld:

164

Waarschijnlijk bedoelt het boek met ‘de mensen’ enkel de Nederlanders. Als dat zo is, dan is heteen slordig geformuleerde opgave!

A Olink


A Olink

Opgave 5.13a Vergelijk de gearceerde gebieden in

met die in

en

b We bewijzen eerst:

x ∈ (A∪B) \ (A∩B) ⇒ x ∈ (A\B)∪ (B \A).

Veronderstel dus x ∈ (A∪ B) \ (A∩ B). Dan is x ∈ A∪ B en x /∈ A∩ B . Als x ∈ A dan volgtdus x /∈ B ; ofwel x ∈A\B . Als x /∈A dan moet wel gelden x ∈ B en volgt op dezelfde manierx ∈ B \A. Dus x ∈ (A\B)∪ (B \A).Nu bewijzen we het omgekeerde:

x ∈ (A\B)∪ (B \A) ⇒ x ∈ (A∪B) \ (A∩B).

Veronderstel dus x ∈ (A\B)∪ (B \A). Als x ∈A\B , dan x ∈A en x /∈ B en dus ook x ∈A∪Ben x /∈A∩B ; ofwel x ∈ (A∪B)\(A∩B). Dezelfde conclusie volgt in het andere geval: x ∈ B\A.Volgens het eerste theorievak van dit hoofdstuk kunnen we nu dus concluderen

(A∪B) \ (A∩B) = (A\B)∪ (B \A).

c A4B = B4A

A Olink

Opgave 5.14

ANTWOORDEN 165

A Olink

Opgave 5.15a In de verzameling gelijkbenige driehoeken is bevat de verzameling gelijkzijdige. Een gelijk-

zijdige driehoek is echter nooit rechthoekig. Je zou ook nog kunnen denken aan scherpe enstompe driehoeken.

b De ene cirkel ligt geheel binnen de andere en heeft een kleinere oppervlakte.

A Olink

Opgave 5.16

A Olink

Opgave 5.17Als dit een venndiagram moet voorstellen, wat zijn dan de elementen van de drie verzamelingen?

A Olink

Opgave 5.18Het is voor de discussue belangrijk om op te merken dat verzamelingen uit verschillende ele-menten bestaan.

A Olink

Opgave 5.19a (1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (5,1), (5,4)b (1,2)c (a, b )met a ∈N en b ∈Qd er zijn geen elementen

A Olink

Opgave 5.20a ∅,{1},{2},{1,2}b ∅,{1}c ∅

A Olink

Opgave 5.21Voor iedere deelverzameling A⊂N kun je een functie f definiëren waarvoor geldt f (x) = 1 ⇐⇒x ∈A. En omgekeerd.

A Olink

Opgave 5.22a Het zijn er zestien:

∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, A.

b Als je kunt kiezen uit n elementen, kan dit op 2n manieren.c Als A kardinaliteit n ∈N heeft, dan heeftP (A) kardinaliteit 2n .

A Olink

Opgave 5.23In de definitie van een functie moet je het domein noemen. Uit de formule f (x) = 1

x wordt nietduidelijk van welke verzameling A de functie f een deelverzameling is. De grootst mogelijkedeelverzameling van R is natuurlijk R \ {0}, maar er staat nergens dat je de grootst mogelijkmoet nemen. . . .(Verder is de vergelijking f (x) = 1

x dubbelzinnig. Bedoeld wordt: ‘de functie f waarvoor vooralle x in het domein geldt f (x) = 1

x .’)

A Olink

Opgave 5.24⋃

A=R en⋂

A=∅.

166

A Olink

Opgave 5.25Het gaat om functies die willekeurig vaak differentieerbaar zijn, zoals polynomen of exponenti-ële functies.

Indexabsolute waarde, 57Aftrekken, 9aftrekken, 32algebra, 51algebraïsch gesloten, 100algebraïsch getal, 83algoritme, 8algoritme van Euclides, 45associativiteit, 53axioma, 52

Babylonië, 33basis, 33beeld, 103bereik, 122bewijs, 25bewijs uit het ongerijmde, 80binaire notatie, 18binaire representatie, 19bit, 33breuk, 20breuken, 22breukstreep, 20byte, 33

chip, 33cijfer, 17commutativiteit, 52compleet, 101compleetheid, 83, 85complement, 113complement, 79complexe getallen, 97computer, 32computers, 18constructief bewijs, 65

dan en slechts dan als, 23decimale breuk, 20decimale kommanotatie, 20decimale notatie, 17decimale ontwikkeling, 21decimale representatie, 18decimalen, 20

deelbaar, 43deelbaar door, 11deelbaarheidscriterium, 30deelt, 43deelverzameling, 111definitie, 25Delen, 10delen, 32delen met rest, 43deler, 43Die Hard, 61differentieerbaarheid, 122disjunct, 50distributiviteit, 54domein, 122doorsnede, 49drie-truc, 31duivenhokprincipe, 24

element, 7EN-poort, 20equivalent, 23exact, 27extensie, 109ezelsbruggetje, 70

faculteit, 57functie, 122fundamentele rekenregels, 52

gedegenereerd, 78geheeltallig quotiënt, 11Geheeltallige deling, 11gehele getallen, 7geordend lichaam, 77gesloten, 52gesloten, 43getal van Champerowne, 87graad, 83grootste gemene deler, 44

hexadecimale notatie, 33Hoofdstelling van de rekenkunde, 47

167

168

I8008, 33inklemmen, 84intentie, 109interval, 8irrationaal getal, 79

kardinale getalmodel, 51kardinaliteit, 49kleinste gemene veelvoud, 59kwadraat, 30

lege verzameling, 49, 111lemma, 48

machtsverzameling, 114Meneer Van Dalen, 70minteken, 18modulus, 98

natuurlijke getallen, 7negen-truc, 31New Math, 108noemer, 20NOT-poorten, 32notatie, 17nul, 18nummer, 30

octaal, 33omkering, 56omklapwet, 73oneindige som, 21Optellen, 9ordinale getalmodel, 51ordinale model, 67

paradox van Russell, 116perfecte getallen, 57periode, 36pi, 20plaatswaardesysteem, 17polynoom, 83positiestelsel, 17precies dan als, 23priemgetal, 43product, 50, 113pythagoreeërs, 22

rationale getallen, 77reële getallen, 22

reële getallen, 7reeks, 21repeterende decimale ontwikkeling, 21rest, 11

significante cijfers, 28staartdelen, 10staartdeling, 11structuralisme, 42systeembord, 20

tafels van vermenigvuldiging, 20teller, 20tiendelige breuk, 20tijdweergave, 33tussenwaardestelling, 90

uitbreiding, 52uitgebreide algoritme van Euclides, 46universum, 113

van breuk naar decimaal, 23van decimaal naar breuk, 25veelterm, 83veelvoud, 43venndiagram, 111vereniging, 49Vermenigvuldigen, 10verzameling, 7

Conceptlesmateriaal Getallen - HU Learning · uit categorie 1 (Elementaire algebra) de...

Documents

Transcript of Conceptlesmateriaal Getallen - HU Learning · uit categorie 1 (Elementaire algebra) de...