Computeralgebra-Rundbrief

Nr. 40 Marz 2007

Inhalt

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Impressum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Mitteilungen der Sprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Tagungen der Fachgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Themen und Anwendungen der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Algorithmische Desingularisierung in Charakteristik Null (A. Fruhbis-Kruger) . . . . . . . . . . . . . . . 9

Neues uber Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Automated Asymptotic Expansions (R. Harlander, M. Steinhauser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Computeralgebra in der Lehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Kooperation Schule – Hochschule (Aktivitaten in Baden-Wurttemberg) (Klaus Durrschnabel) . . . . . . . 15

Publikationen uber Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Besprechungen zu Buchern der Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Bartholome, Kern, Rung: Zahlentheorie fur Einsteiger – eine Einfuhrung fur Schuler, Lehrer, Studierende und

andere Interessierte (Hans-Gert Grabe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Cohen, Frey et al.: Handbook of elliptic and hyperelliptic curve cryptography (Florian Heß) . . . . . . . . 21Stetter: Numerical Polynomial Algebra (Martin Kreuzer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Taschner: Der Zahlen gigantische Schatten – Mathematik im Zeichen der Zeit (Elkedagmar Heinrich) . . . 23

Berichte von Konferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Hinweise auf Konferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Zeitschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31New Journal: Mathematics in Computer Science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Special Issue of the Journal of Symbolic Computation in honour Karin Gatermann (1961–2005) . . . . . . 32

Lehrveranstaltungen zu Computeralgebra im SS 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Fachgruppenleitung Computeralgebra 2005-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Impressum

Der Computeralgebra-Rundbrief wird herausgegeben von der Fachgruppe Computeralgebra der GI, DMV und GAMM (verantwortlicher Redakteur: Dr.Markus Wessler, Kopernikusstr. 6, 81679 Munchen, Telefon: 089-69777336, Telefax: 089-69777335, wessler@mathematik.uni-kassel.de).

Der Computeralgebra-Rundbrief erscheint halbjahrlich, Redaktionsschluss 28.02 und 30.09. ISSN 0933-5994. Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebraerhalten je ein Exemplar dieses Rundbriefs im Rahmen ihrer Mitgliedschaft. Fachgruppe Computeralgebra im Internet:http://www.fachgruppe-computeralgebra.de.

Konferenzankundigungen, Mitteilungen, einzurichtende Links, Manuskripte und Anzeigenwunsche bitte an den verantwortlichen Redakteur.

Die Geschaftsstellen der drei Tragergesellschaften:

GI (Gesellschaft furInformatik e.V.)WissenschaftszentrumAhrstr. 4553175 BonnTelefon 0228-302-145Telefax 0228-302-167gs@gi-ev.dehttp://www.gi-ev.de

DMV (Deutsche Mathematiker-Vereinigung e.V.)Mohrenstraße 3910117 BerlinTelefon 030-20377-306Telefax 030-20377-307dmv@wias-berlin.dehttp://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV/

GAMM (Gesellschaft fur AngewandteMathematik und Mechanik e.V.)Technische Universitat DresdenInstitut fur Festkorpermechanik01062 DresdenTelefon 0351-463-33448Telefax 0351-463-37061GAMM@mailbox.tu-dresden.dehttp://www.gamm-ev.de

Mitteilungen der Sprecher

Liebe Mitglieder der Fachgruppe Computeralgebra,

am 24. Februar 2007 fand die 5. Sitzung der Fachgruppenleitung 2005–2008 in Munchen statt.

Eines der zentralen Themen dieser Sitzung war die Beteiligung unserer Fachgruppe am Jahr derMathematik 2008. Dass das Wissenschaftsjahr 2008 der Mathematik gewidmet sein wird, war in einerPressekonferenz am 25. Januar 2008 zum Auftakt des Wissenschaftsjahres 2007, dem Jahr der Geistes-wissenschaften, von der Bundesministerin fur Bildung und Forschung Dr. Annette Schavan bekanntge-geben worden.

Auch im Jahr 2008 wird das BMBF ein Wissenschaftsjahr ausrichten.”Wir setzen das Thema

Sprache fort und widmen uns dann der Mathematik, der Sprache der Naturwissenschaften“,verkundete Schavan.

aus der Presseerklarung des BMBF

Die Fachgruppenleitung beschloss, aus diesem Anlass einige zusatzliche Aktivitaten durchzufuhren.Genaueres hieruber werden wir im Oktoberheft berichten. Um fur diese Aktivitaten gewappnet zu sein,haben wir beschlossen, Herrn Prof. Dr. Martin Kreuzer als Fachexperten fur die CA-Aktivitaten zum Jahrder Mathematik in die Fachgruppenleitung hinzuzuziehen. Herr Kreuzer hat diesen Ruf angenommen.Herzlich willkommen in der Fachgruppenleitung und auf eine gute Zusammenarbeit!

Ebenfalls beschloss die Fachgruppenleitung, die Tagungsreihe Computeralgebra in Lehre, Ausbil-dung und Weiterbildung, die bereits funfmal in Thurnau, Schontal und Schonenberg stattfand, im Rah-men des Wissenschaftsjahres 2008 weiterzufuhren. Traditionsgemaß findet diese Tagung in der Wochenach Ostern statt. Diesmal wird die Tagung vom 26.–29. Marz 2008 in der Reinhardswaldschule bei Kas-sel durchgefuhrt, http://afl.bildung.hessen.de/service/fuldatal/start, Anfahrtund Abfahrt jeweils um die Mittagszeit. Wir wollen auf Wunsch der Teilnehmer das Programm diesmalweniger dicht gestalten, mehr Diskussionen einplanen und auch wieder einen Ausflug durchfuhren.

Zeitlich aktueller liegen naturlich die folgenden Tagungsaktivitaten der Fachgruppe, zu deren Teil-nahme wir herzlich auffordern mochten. Auf der Gemeinsamen Jahrestagung der DMV und der GDM,http://www.dmv-gdm-2007.math.hu-berlin.de, welche vom 25.-30. Marz 2007 an derHumboldt-Universitat zu Berlin stattfindet, organisiert die Fachgruppe an den beiden Nachmittagendes 26. und 27. Marz das Minisymposium D02 zum Thema Computeralgebra und ihre Didaktik. DenVortragsplan finden Sie auf S. 6. Am Donnerstag, dem 29. Marz, findet von 17:30-19 Uhr die Mitglieder-versammlung der DMV statt, bei welcher es dann auch um das Jahr der Mathematik 2008 gehen wird.

Die nachste Tagung der Fachgruppe Computeralgebra zur Forschung auf dem Gebiet der Compu-teralgebra findet vom 29.–31. Mai 2007 in Kaiserslautern statt. Die Hauptvortrage stehen inzwischenfest und finden sich auf S. 7. Ferner weisen wir auf die Fachhochschultagung in Konstanz hin, s. S. 26.

Eine Entschuldigung mochten wir dafur aussprechen, dass wir im letzten Heft dem Jubilar Prof.Gerhard Pfister einen falschen Vornamen haben zukommen lassen. In der nun im Internet verfugbarenVersion des Rundbriefs wurde dieses Missgeschick behoben.

Robert Corless, Reiner Lauterbach und Hans-Michael Moller planen ein Sonderheft des Journalof Symbolic Computation im Andenken an das verstorbene Fachgruppenleitungsmitglied Karin Gater-mann. Den Call for Papers fur das Heft mit dem Titel Computer Algebra in Chemistry, Biology and OtherBranches of Science finden Sie auf S. 32. Wir begrußen dies sehr und bitten um zahlreiche Beitrage!

Im nachsten Computeralgebra-Rundbrief werden wieder die Wahlunterlagen fur die nachste Legis-laturperiode der Fachgruppenleitung verschickt. Vorschlage und Bewerbungen konnen jederzeit beimSprecher Wolfram Koepf (koepf@mathematik.uni-kassel.de) eingereicht werden. Jeder, derhier mitwirken will, ist willkommen!

Wir hoffen, Sie mit dem vorliegenden Heft wieder gut zu informieren.

Wolfram Koepf Gerhard Hiß

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Tagungen der Fachgruppe

Computeralgebra und ihre Didaktik – Minisympo-sium der Fachgruppe bei der gemeinsamen Jah-restagung von DMV und GDM, 26. – 27.03.2007,Humboldt-Universitat Berlin

Vom 25. – 30. Marz 2007 findet an der Humboldt-Universitat Berlin die gemeinsame Jahrestagung derDeutschen Mathematiker-Vereinigung und der Gesell-schaft fur Didaktik der Mathematik statt. Im Auftragunserer Fachgruppe haben wir das MinisymposiumD02: Computeralgebra und ihre Didaktik organisiert.Die Ausschreibung des Minisymposiums beschreibt dieZielsetzung: Der Einsatz von Computeralgebra (in Formvon CAS-Taschenrechnern oder von Computeralgebra-systemen auf PCs) ist in allen Bundeslandern zumin-dest auf freiwilliger Basis moglich. Welchen Einflusskonnen und sollen diese CA-Werkzeuge fur den Ma-thematikunterricht an allgemeinbildenden Schulen undfur die Anfangerausbildung an den Universitaten undHochschulen haben? Die Vortrage finden am Montagund Dienstag, jeweils nachmittags, statt. Am Ende jedesNachmittags ist eine langere Zeitspanne fur eine zu-sammenhangende Diskussion der Vortrage vorgesehen.Geplant ist folgendes Programm:

Montag, 26.03.2007:

Prof. Dr. Wolfram Koepf (Universitat Kassel): Compu-teralgebra in der universitaren Lehre

In diesem Vortrag wird vorgestellt, wie Computeral-gebra in der universitaren Lehre im Rahmen der neuenBachelor-Master-Studiengange ihren Platz finden kann.Erfahrungen aus Vorlesungen uber Computeralgebra ander Universitat Kassel schließen sich an.

Dr. Csaba Savari (Universitat Pecs, Ungarn): Com-puteralgebrasysteme (CAS) und das Mathematik-Curriculum an Universitaten

Der Gebrauch von CAS beeinflusst alle Elementedes Mathematik-Curriculums und verursacht Schwer-punktverschiebungen bei der Behandlung der tradi-tionellen Probleme, verandert vielmals den Schwie-rigkeitsgrad und bietet Moglichkeiten, neue – fruhernur sehr schwer oder keineswegs diskutierbare – The-menkreise zu bearbeiten. Alle Methoden des Unter-richts sollen aus dem Gesichtspunkt der Anwendungvon CAS durchdacht werden. Im Vortrag werden eini-ge Modelle des durch CAS-Anwendung verwirklich-ten Mathematik-Curriculums im Unterricht an Univer-sitaten behandelt.

Dr. Andreas Pallack (Landesinstitut fur Schule des Lan-des NRW, Soest): Mit CAS zum Abitur

In einigen Landern erfolgt der Einsatz von CASauf freiwilliger Basis. Die Entscheidung, CAS an einer

Schule einzufuhren, wird meist von einem kritischenDiskurs innerhalb der Fachkonferenzen begleitet. ImVortrag wird uber solche Diskurse – aus denen Erfah-rungen aus dem Modellversuch SINUS-Transfer NRWvorliegen – berichtet. Ein besonderer Schwerpunkt wirddabei auf die didaktischen Visionen, die mit dem Einsatzdes CAS an den jeweiligen Schulen verbunden werden,gelegt.

Dr. Barbel Barzel (Universitat Duisburg-Essen): Wienehmen zukunftige Lehrpersonen das Thema Computerals Medium fur den Mathematikunterricht auf?

Zunachst werden Erfahrungen vorgetragen, die imRahmen von Hauptstudiumsveranstaltungen zum Rech-nereinsatz im Mathematikunterricht mit Studierendengesammelt wurden. Die Lerntagebucher der Studieren-den geben Aufschluss uber Angste, Vorbehalte, Proble-me und Wunsche der zukunftigen Lehrpersonen. Siegeben auch Anlass zum Nachdenken, wie man auf dieHerausforderung des Rechnereinsatzes im Mathematik-unterricht bereits wahrend des Studiums sinnvoll vorbe-reiten sollte.

StD Christof Hoger (Staatliches Seminar fur Di-daktik und Lehrerbildung (Gym), Heidelberg, Moll-Gymnasium Mannheim): Kann der Einsatz von CAS dieAusbildung am Seminar bereichern?

Im Vortrag werden Beispiele aus der eigenen Tatig-keit sowohl in der 24-monatigen (alten) als auch in der18-monatigen (neuen) Referendarausbildung in Mathe-matik vorgestellt. Dabei werden nicht nur die mathema-tischen, sondern auch die fachdidaktischen Aspekte ausSeminarsicht beleuchtet. Durch die hohe Streuung imLebensalter der Referendare (25 bis 52 Jahre!) wird einfacettenreicher Bericht uber die personliche Akzeptanzund den realen Einsatz der CAS moglich.

Dienstag, 27.03.2007:

Dr. Gilbert Greefrath (Universitat Wuppertal): Prufun-gen mit Computeralgebrasystemen

Der Einsatz von Computeralgebrasystemen fuhrt zuVeranderungen und Schwierigkeiten auf verschiedenenEbenen. Eine Ebene ist die Veranderung des Aufga-beninhalts (z. B. bezuglich des mathematischen Inhalts,des Realitatsbezugs und des Kontextes). Eine weitereEbene ist die Unterschiedlichkeit verschiedener Com-puteralgebrasysteme, so dass bestimmte Aufgaben miteinem System besser bearbeitet werden konnen als miteinem anderen. Hier konnte die Formulierung von Min-destanforderungen an Computeralgebrasysteme fur denEinsatz im Abitur eine Hilfe sein, gerateunabhangigeAufgaben zu formulieren. Es werden Erfahrungen ausAbiturprufungen mit Computeralgebrasystemen und derLehrerfortbildung in Nordrhein-Westfalen eingebracht.

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OStD Heiko Knechtel (Wilhelm-Busch-GymnasiumStadthagen): Computeralgebra in der Schule – Verande-rung im Unterrichtsalltag und in der Prufung

Die Computeralgebra hat mit den modernen MedienEingang in die Klassenraume gefunden. Leistungskurseund teilweise auch Grundkurse nutzen diese Program-me fur den Unterricht und Klausuren. Dies hat zum Teileinen Paradigmenwechsel im Mathematikunterricht be-wirkt, weg von den handischen Fertigkeiten hin zu denrechnerunterstutzten Fahigkeiten. In dem Vortrag sollvorgestellt werden, welche Auswirkungen dieser Para-digmenwechsel fur Unterricht und Prufungen hat.

Prof. Dr. Ulrich Kortenkamp (PH Schwabisch-Gmund):CAS und DGS im Dialog – und: Wieviel CAS brauchtder Mensch?

Computeralgebra ist wunderbar; das, was Taschen-rechner fur das Rechnen getan haben, konnen Com-puteralgebrasysteme fur das symbolische Arbeiten tun.Aber brauchen wir das wirklich? Oder kommen wirmit einem komfortablen makro-fahigen programmier-baren Taschenrechner aus? Ich mochte im Vortrag diedidaktischen Implikationen der fortschreitenden Inte-gration von Computeralgebrasystemen mit Dynami-scher Geometrie-Software und die daraus entstehendenHerausforderungen beschreiben.

Prof. Dr. Reinhard Oldenburg (PH Heidelberg): Waswissen Schuler uber CAS? – Was sollten und konntensie daruber wissen?

Der CAS-Einsatz fuhrt zu einer methodischen undinhaltlichen Veranderung des Mathematikunterrichts.Einerseits stellt sich die Frage, welche Inhalte nun ent-behrlich werden, andererseits aber auch, ob gewisseKenntnisse uber die Arbeitsweise eines CAS zur kom-petenten und kritischen Nutzung nun zusatzlich notwen-dig werden. Im Vortrag werden Befunde zu dieser Frageaus der Literatur und eigenen Erfahrungen zusammengetragen und skizziert, welche Modellvorstellungen voneinem CAS geeignet sein konnen, dessen Verhalten bes-ser zu verstehen.

Hans-Wolfgang Henn (Dortmund)

Computeralgebra-Tagung 2007, 29. – 31.05.2007,Universitat Kaiserslautern

Die Fachgruppe Computeralgebra organisiert an derUniversitat Kaiserslautern eine Tagung zur Forschungauf dem Gebiet der Computeralgebra. Dadurch wird dieReihe der Tagungen der Fachgruppe in Kassel fortge-setzt.

Die Tagung wird am 29. Mai 2007 um die Mittags-zeit eroffnet (Anreisetag) und endet am 31. Mai 2007um die Mittagszeit (Abreisetag). Ziel ist es, ein Forumzu bieten, das es erstens auch jungeren Nachwuchs-wissenschaftlern ermoglicht, ihre Ergebnisse vorzustel-len, andererseits aber auch in den Ubersichtsvortragen

uber wichtige Gebiete der Computeralgebra und uberComputeralgebra-Software zu informieren. Die Fach-gruppe Computeralgebra vergibt an den besten Vortrageines Nachwuchswissenschaftlers einen mit 500 e do-tierten Nachwuchspreis.

Die Anmeldung eines Vortrags ist bis zum 30. Marz2007 und die Anmeldung ohne Vortrag bis zum 4. Mai2007 moglich. Bitte beachten Sie, dass diese Tagungvom ursprunglich geplanten Termin zwei Tage nachvorn verschoben wurde.

Hauptvortrage:Prof. Dr. Gebhard Bockle (Universitat Duisburg-Essen):Darmons Vermutungen zu Heegner Punkten

Sei F ein Zahlkorper und E eine elliptische Kurveuber F. Eines der nach wie vor sehr schwierigen Pro-bleme in der Zahlentheorie ist die Konstruktion aller F-rationalen Punkte auf der elliptischen Kurve E. Der Satzvon Mordell-Weil besagt, dass die Menge E(F) die-ser Punkte eine endlich erzeugte abelsche Gruppe bil-det. Jedoch ist der Beweis hiervon nicht effektiv undlediglich der Torsionsanteil der Mordell-Weil GruppeE(F) ist gut verstanden. Eine Hoffnung ist, dass einbesseres Verstandnis der Mordell-Weil Gruppe zu ei-nem Beweis der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer (BSD) fuhren konnte. Diese bildet eine Verall-gemeinerung der wohlbekannten Klassenzahlformel furZahlkorper. Die BSD-Vermutung und genauere Kennt-nisse der Mordell-Weil Gruppe konnten auch zu An-wendungen in der Kryptographie und insbesondere aufKryptosysteme, die auf elliptischen Kurven basieren,fuhren.

Die einzig bekannte systematische Methode F-rationale Punkte auf elliptischen Kurven zu finden ist dieMethode der Heegnerpunkte. Sie ist in ihrer ursprungli-chen Form jedoch nur auf uber Q definierte elliptischeKurven anwendbar und liefert Punkte uber Q und ubergewissen Strahlklassenkorpern imaginar quadratischerKorper. In Analogie zu dieser Methode hat H. Darmonin den vergangenen 10 Jahren eine Reihe von Algo-rithmen vorgeschlagen, welche ”Heegner-Punkte“ aufelliptischen Kurven uber anderen Zahlkorpern ergebensollten. In diesem Zusammenhang gibt es kaum Bewei-se, aber viele Konstruktionen. Alle bisher (von DarmonsSchule) durchgefuhrten Rechnungen stehen im Ein-klang mit den von Darmon gemachten Vermutungen.Im Vortrag mochte ich nach einer kurzen Einfuhrungeinige der von Darmon vorgeschlagenen Algorithmenvorstellen.

Prof. Dr. Wolfram Koepf (Universitat Kassel): Potenz-reihen und Summation in der Computeralgebra

In diesem Ubersichtsvortrag werden Algorithmender Computeralgebra fur holonome Funktionen behan-delt. Holonome Funktionen erfullen lineare Differenti-algleichungen mit Polynomkoeffizienten. Die holono-me Differentialgleichung bildet dann eine Normalform,welche die Funktion (mit geeigneten Anfangsbedin-gungen) eindeutig charakterisiert. In ahnlicher Weisewerden holonome Folgen durch holonome Rekursions-

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gleichungen charakterisiert. Eine Folge ist genau dannholonom, wenn ihre erzeugende Funktion holonom ist.Summe und Produkt holonomer Funktionen sind eben-falls holonom. Die Potenzreihenentwicklung einer holo-nomen Funktion kann algorithmisch gefunden werden,indem die holonome Differentialgleichung der Funktionin eine holonome Rekursionsgleichung der zugehorigenKoeffizientenfolge konvertiert wird. Ist diese Rekursi-on erster Ordnung, liegt der Spezialfall einer hyper-geometrischen Funktion vor, fur welche man dann diePotenzreihe in geschlossener Form angeben kann. Algo-rithmen von Zeilberger, Petkovsek und van Hoeij losenspezielle Fragen in diesem Kontext. Schließlich wirddas Umkehrproblem der Summation in geschlossenerForm behandelt. Alle Algorithmen werden mit Maplevorgefuhrt.

Dr. Felix Noeske (RWTH Aachen): Ein Streifzug durchdie rechnergestutzte Darstellungstheorie

Zentraler Gegenstand der Darstellungstheorie vonGruppen oder Algebren ist die Frage, wie sich abstraktgegebene algebraische Strukturen konkret realisierenlassen. So lassen sich beispielsweise endliche Gruppendurch Homomorphismen in volle lineare Gruppen aufMatrixgruppen abbilden. Die in einem gewissen Sinnekleinsten Bausteine aller Darstellungen sind die soge-nannten einfachen Darstellungen. Ein Grundproblemder Darstellungstheorie ist die Klassifikation der einfa-

chen Darstellungen der endlichen einfachen Gruppen. Indiesem Vortrag stellen wir neben einer Ubersicht uberden derzeitigen Stand dieser Klassifikation einige derMethoden vor, mit denen den Herausforderungen die-ses Problems begegnet wird. Hier zeigt sich, wie wert-voll der Einsatz der Computeralgebra ist: Erst die al-gorithmische Umsetzung tiefliegender theoretischer Er-gebnisse hat zahlreiche, insbesondere jungere Resultatedurch unterstutzende Computerrechnungen ermoglicht.Daruber hinaus wollen wir anhand ausgewahlter Bei-spiele zeigen, in welchen Anwendungen die Methodenund Ergebnisse zur Losung verwandter Probleme bei-getragen haben.

Prof. Dr. Felix Ulmer (Universitat Rennes): Berechnungliouvillescher Losungen linearer Differenzialgleichun-gen

Die Differenzial-Galoistheorie ermoglicht es, allegeschlossenen Losungsfunktionen, sogenannte Liouvil-lesche Losungen, einer gewohnlichen linearen Differen-zialgleichung zu berechnen, oder einen Beweis zu lie-fern, dass eine solche Losung nicht existiert. Die Liou-villeschen Funktionen sind diejenigen Funktionen, diesich mittels einer endlichen Anzahl von Quadraturenund algebraischen Erweiterungen schreiben lassen. ImVortrag wird die Differenzial-Galoistheorie kurz ein-gefuhrt, um den obigen Algorithmus herzuleiten.

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Themen und Anwendungen der Computeralgebra

Algorithmische Desingularisierung in CharakteristikNull

A. Fruhbis-Kruger (Kaiserslautern)

anne@mathematik.uni-kl.de

Das Problem der Desingularisierung (oder Auflosungvon Singularitaten) ist eine der klassischen Fragestel-lungen der Algebraischen Geometrie. Obgleich bereitsseit Ende des 19. Jahrhunderts Ergebnisse fur Kurvenund seit der ersten Halfte des 20. Jahrhunderts auch furFlachen bekannt waren, gelang es erst 1964 H. Hiro-naka [5] in seinem bahnbrechenden Artikel, in dem erals eines der benutzten Werkzeuge auch Standardbaseneinfuhrte, die Existenz einer Desingularisierung in Cha-rakteristik Null zu beweisen. Doch erst neuere Beweise(siehe [1], [6], [2]), die die nicht-konstruktiven Schrit-te in Hironakas Beweis durch algorithmische Argumen-te ersetzen bzw. prazisieren, erlauben die Arbeit an ei-ner praktischen Umsetzung bis hin zur Implementierungim Rahmen eines Computeralgebrasystems.1 In positi-ver Charakteristik andererseits ist die Frage der Existenzeiner Auflosung von Singularitaten noch immer offen.

Im Folgenden werden wir uns der Kurze wegen aufBetrachtungen uber einem algebraisch abgeschlossenenKorper K der Charakteristik Null beschranken (auchwenn naturlich die expliziten Berechnungen in einemComputeralgebrasystem stets uber Q stattfinden). Da-mit lasst sich die Problemstellung verkurzt formulierenals: Finde zu einer gegebenen algebraischen Varietat Xeine nicht singulare Varietat X sowie einen eigentlichenbirationalen Morphismus π : X −→ X , der außerhalbdes singularen Ortes von X ein Isomorphismus ist. Inder Praxis wird dieser Morphismus π als endliche Folgevon Aufblasungen in geeigneten nicht-singularen Zen-tren realisiert; anschaulich gesprochen ist eine solcheAufblasung eine Abbildung, die in einer Varietat eineUntervarietat – das Zentrum – durch einen projektivenRaum geeigneter Dimension ersetzt, das Komplementdes Zentrums aber unverandert lasst. Unter einer sol-chen Aufblasung bleibt insbesondere die Dimension derVarietat erhalten; fur eine eingebettete Varietat jedochkann die aufgeblasene Varietat nur in einen Raum hoher-er Dimension eingebettet werden, weshalb man ubli-cherweise zu einer Uberdeckung durch affine Kartenubergeht, um die Zahl der Variablen niedrig zu halten.

Wahl der AufblasungszentrenAbbildung 1 auf Seite 10 illustriert die allgemeine Vor-gehensweise bei der Desingularisierung am Beispiel derKurve X = V (x2 − y5) ⊂ C2. Allerdings ist die Be-handlung des allgemeinen Falls bei weitem nicht so ein-fach, wie es dieses 1-dimensionale Beispiel suggeriert,denn der singulare Ort hoherdimensionaler Varietatenbesteht nur in sehr speziellen Fallen aus endlich vie-len Punkten. Oft hat er mehrere Komponenten, die sichschneiden und auch selbst wieder singular sein konnen,siehe auch Abbildung 2 auf Seite 10.

Dies fuhrt uns zu dem eigentlichen Hauptproblemder Desingularisierung, der Wahl geeigneter Zentren.Dabei sind insbesondere folgende Anforderungen zuberucksichtigen, die mit Hilfe einer steuernden Invari-ante realisiert werden, deren Ort maximalen Wertes dasnachste Zentrum liefert:

1. Bei jeder Aufblasung muss eine Verbesserung derSingularitaten oder zumindest der Gesamtsituati-on erzielt werden.

2. Das neue Zentrum ist eine nicht-singulare Unter-varietat.

3. Das Schnittverhalten der exzeptionellen Diviso-ren (Urbilder der fruheren Zentren) ist so einfachwie moglich (”normale Schnitte“).

4. Nach endlich vielen Aufblasungen besitzt die Va-rietat keine singularen Punkte mehr.

5. Kein Zentrum darf die bereits zu Beginn des Ge-samtprozesses nicht-singularen Punkte der Va-rietat treffen.

In der konkreten Ausgestaltung der Invariante unter-scheiden sich die verschiedenen bekannten algorithmi-schen Beweise, allen gemeinsam ist jedoch die bereitsbei Hironaka zentrale Rolle der Induktion uber die Di-mension des umgebenden Raumes.

1Die aktuellen Versionen der Implementierung von G. Bodnar und J. Schicho (2000-2007) sind erhaltlich unter http://www.risc.uni-linz.ac.at/projects/basic/adjoints/blowup/, die der Implementierung von G. Pfister und der Autorin (2003-2007)sind Teil der jeweils neuesten SINGULAR-Distribution [7].

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Abb. 1: Das rechte Bild zeigt in grun die Kurve V (x2 − y5) ⊂ C2 (d.h. das Nullstellengebilde des Polynomsx2 − y5), dessen einziger singularer Punkt die Spitze im Koordinatenursprung ist. Um die Singularitat dieserKurve aufzulosen, ist das Zentrum der ersten Aufblasung offensichtlich der einzige singulare Punkt, der beimAufblasen durch eine projektive Gerade (rot in den Bildern der mittleren Spalte) ersetzt wird, wobei gerade dieverschiedenen Richtungen durch den Punkt getrennt werden. Im oberen dieser beiden Bilder erkennt man, dass dieSpitze zwar verbessert wurde, aber noch immer singular ist; das untere der Bilder zeigt die andere, uninteressanteKarte. Erneutes Aufblasen im einzigen singularen Punkt liefert nun (zusatzlich zu dem unveranderten unteren Bildder mittleren Spalte) die Bilder der linken Spalte, wobei die neue projektive Gerade in violett eingezeichnet ist. Diegrune Kurve besitzt keine Singularitaten mehr, der Schnittpunkt der beiden exzeptionellen Divisoren (rot, violett)liegt aufgrund der Richtungstrennung beim Einfuhren der violetten Gerade nicht auf der Kurve.

Abb. 2: Im linken Bild ist die aus zwei Komponenten bestehende Flache V (z2−x2y2) abgebildet, deren singularerOrt gerade die beiden rot eingezeichneten Linien sind, in denen sich die Komponenten schneiden. Die FlacheV (zx2 − zy3) im rechten Bild besteht ebenfalls aus 2 Komponenten. Jedoch tragt nicht nur deren Schnittort zumsingularen Ort bei, sondern auch der singulare Ort der Komponente V (x2 − y3), der selbst wieder eine Geradeist und den Schnittort der beiden Komponenten in einem Punkt trifft.

Die Grundidee dabei ist folgende: Wie schon aus denrecht einfachen Beispielen in Abbildung 2 klar wird,reicht es in der Praxis nicht aus, den singularen Ortder gegebenen Varietat zu betrachten, auch dessen sin-gularer Ort kann selbst wieder von komplizierter Struk-tur sein, so dass sich ein iterierter Abstieg in der Dimen-sion des umgebenden Raumes anbietet. Dadurch erhaltdie Invariante eine Struktur (invd; invd−1; . . . ), wobei

invi gerade einen Baustein der Invariante bzgl. des um-gebenden Raumes der Dimension i beschreibt. Leiderlasst sich im Allgemeinen jedoch keine glatte Hyper-flache im umgebenden Raum (der Dimension i) fin-den, die den gesamten Maximalort von (invd; . . . ; invi)enthalt; eine solche existiert nur lokal. Daruber hinausenthielte die Einschrankung des Ideals des Maximalor-tes nicht alle notwendigen Informationen, weshalb fur

2Die Hyperflache, die hier als neuer umgebender Raum nach Dimensionsabstieg zu finden ist, muss noch weitere gute Eigenschaftenbzgl. Schnittverhalten und Verhalten unter Aufblasungen erfullen. Sie wird im allgemeinen als Hyperflache maximalen Kontaktes bezeich-net.

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den Dimensionsabstieg eine Hilfsvarietat nach folgen-der Grundidee konstruiert wird: Lokal wird der Erzeu-ger des Ideals der Hyperflache2 als Hauptvariable auf-gefasst; geeignete Potenzen und Produkte der Koeffizi-enten der Polynome eines entsprechend gewahlten Er-

zeugendensystems des Ideals des Maximalortes (ausge-druckt bzgl. der Hauptvariable) erzeugen dann das Ide-al der Hilfsvarietat. Abbildung 3 illustriert die Bestim-mung der Invariante fur eine der beiden Flachen aus dervorherigen Abbildung.

Abb. 3: Fur das sehr einfache Beispiel der Flache V (z2 − x2y2) illustrieren die obigen Bilder den Dimensions-abstieg. Zu der schon aus Abb. 2 bekannten Flache ist nun im linken Bild in grun die Hyperflache maximalenKontaktes hinzugefugt, die im rechten Bild der neue umgebende Raum ist, in den die rote Hilfsvarietat eingebettetist.

Algorithmische ProblematikDie Grunde, warum man Desingularisierungsalgorith-men, abgesehen von Spezialfallen, bis Ende der 90erJahre fur nicht praktisch umsetzbar hielt, sind vielfaltig:zum einen sind Grobnerbasenberechnungen (auch miteiner hohen Zahl von Variablen) allgegenwartig, z. B.in der Aufblasung und in der Bestimmung des Maxi-malortes in der Zentrumswahl, zum anderen neigt dieMenge der anfallenden Daten dazu, Uberhand zu neh-men, da jede Aufblasung wieder einen Ubergang zu ei-ner offenen Uberdeckung mit sich bringt und auch inder Zentrumssuche die Hyperflache fur den Dimensi-onsabstieg nur nach Ubergang zu einer offenen Uberde-ckung bestimmt werden kann. Weitere Komplikationenergeben sich zum Teil aus den eigentlichen Bausteinender Invariante, wie etwa der Hilbert-Samuel-Funktion inder Variante von Bierstone und Milman, oder aus dendurch iterierten Dimensionsabstieg schnell wachsendenGraden der Erzeuger der Ideale der Hilfsvarietaten. Diemeisten dieser Probleme lassen sich nicht vollstandigausraumen, wohl aber entscharfen durch geschickte Mo-difikationen einzelner Schritte, wie z. B. durch fruhzei-tiges Ignorieren von Karten, die keine zusatzliche3 In-formation beitragen, oder durch geeignete Vorbereitungdes Zentrums vor der Aufblasung (u. A. geeignetes Zu-sammenfuhren der Karten der fur den Dimensionsab-stieg eingefuhrten Uberdeckung vor der folgenden Auf-blasung, Zerlegung des Zentrums in irreduzible Kom-ponenten). Aus dieser Perspektive besteht sicherlich im-mer noch ein großer Bedarf an Verbesserungen der ein-zelnen algorithmischen Varianten, aber daruber hinauswird es fur die praktische Anwendbarkeit auch entschei-dend sein, die durch die Beschreibung mittels affinerKarten bedingte naturliche Parallelitat der Berechnun-gen besser auszunutzen und andererseits Heuristiken furdie Wahl eines geeigneten Algorithmus bei gegebenerVarietat zu finden, die die individuellen Starken sowohl

dieser allgemeinen Algorithmen als auch spezieller Al-gorithmen fur bestimmte Beispielklassen (Flachen, tori-sche Varietaten) berucksichtigen.

Literatur

[1] Bierstone, E., Milman, P.: A simple constructiveproof of canonical resolution of singularities, in:Effective Methods in Algebraic Geometry (eds. T.Mora, C. Traverso). Progress in Math. 94, Birk-hauser (1991)

[2] Encinas, S., Hauser, H.: Strong resolution of sin-gularities in characteristic zero, Comment. Math.Helv. 77 (2002), 821-845

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[4] Fruhbis-Kruger, A.: Computational Aspects of Sin-gularities, in: Singularities in Geometry and Topo-logy (eds. J.-P. Brasselet, J. Damon), World Scien-tific Publishing (2007)

[5] Hironaka, H.: Resolution of Singularities of an Al-gebraic Variety over a Field of Characteristic Ze-ro, Ann.Math. 79 (1964), 109–326

[6] Villamayor, O.: Constructiveness of Hironaka’sresolution, Ann. Scien. Ec. Norm. Sup. 4eme se-rie 22 (1989), 1–32

[7] Greuel, G.-M., Pfister, G., Schonemann, H.:SINGULAR 3.0, http://www.singular.uni-kl.de/

3Welche Informationen hierbei wichtig sind und welche außer Acht gelassen werden durfen, hangt hierbei vor allem von der konkretenAnwendung ab, fur die die Auflosung berechnet wird.

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Neues uber Systeme

Automated Asymptotic Expansions

R. Harlander (Wuppertal), M. Steinhauser (Karlsruhe)

harlander@physik.uni-wuppertal.de

matthias.steinhauser@uka.de

Im folgenden Beitrag beschreiben die Autoren ein Programm zur Berechnung von Multiloop-Feynman-Diagram-men. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist es, die durch die Feynman-Diagramme ausgedruckten In-tegrale symbolisch zu berechnen, was auch den massiven Einsatz von computeralgebraischen Methoden (sieheBeitrage in den Rundbriefen 37 und 38) erklart. Das vorgestellte Programm EXP beruht auf der diagrammati-schen Entwicklung in einem Parameter (z. B. der Masse) und der damit verbundenen Zuruckfuhrung auf wenigerkomplizierte (z. B. masselose) Integrale. Die Methode erlaubt also die systematische Gewinnung von Naherungenauch in Fallen, in denen die komplizierten Integrale noch nicht bekannt sind.

Thomas Hahn

Abstract

Asymptotic expansions constitute an important tool for the evaluation of Feynman diagrams in particle phy-sics. We describe a computer program which performs the asymptotic expansion at the symbolic level in anautomated way.

IntroductionMany theoretical predictions for particle physics experi-ments are based on the evaluation of so-called Feynmanintegrals. Suppressing all Lorentz, Dirac, and color in-dices, which are irrelevant for the argument to be made,a typical Feynman integral can be written as

I(q1, . . . , qE ;m1, . . . ,mI) =∫dl1 · · ·dln

P(l1, . . . , ln)(p2

1 + m21)n1 · · · (p2

I + m2I)nI

,(1)

where the pi are linear combinations of the loop momen-ta lj and the external momenta qk, the mi are particlemasses, and P is a polynomial. In general, the momentain Eq. (1), and therefore also the integrations, are in D-dimensional Minkowski space, i.e., q2 = ~q 2−q2

0 , where~q is a (D − 1)-dimensional Euclidean vector. Therefo-re, the square of a vector can be small even if all thecomponents of the vector are large. Even though the-re are well-defined recipes for expansions of Feynmandiagrams in the Minkowskian region, no fully automaticapproach is available up to now. We refer the interestedreader to [1], where these general cases are discussed indetail.

However, in many physical applications, it is not ne-cessary to allow for such specifically Minkowskian mo-menta. In the following, whenever we speak of a “small”momentum, we assume that all its components are muchsmaller than a certain external scale. In fact, for the sa-ke of the argument, the reader may equally well thinkof the (external and integration) momenta in Eq. (1) as

one-dimensional quantities.The integral in Eq. (1) is not fully defined until the

linear combinations pi of the external and loop momentaare specified. A particular set of linear combinations canbe visualized by a so-called Feynman diagram, whereeach internal line carries a momentum pi. If three linesof momenta p1,2,3 meet at one point (vertex), one requi-res p1 +p2 +p3 = 0 (if pi is directed towards the vertex;otherwise, one replaces pi → −pi). External momentaare represented as lines attached to the diagram at onlyone vertex.

Fig. 1:Sample two-loop diagram with four external legs.

An example for a Feynman diagram with n = 2 loops,I = 7 internal and E + 1 = 4 external lines is shown in

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Fig. 1.4The complexity of a Feynman integral depends

strongly on the number of loops, external momenta, anddifferent particle masses that occur. We will refer to thelatter two parameters as “mass scales” in what follows.

Assume that one of the mass scales is much largerthan all the others. In this case, it is possible to appro-ximate the Feynman integral in terms of an expansionwith respect to the ratio of the small scales to the lar-ge scale. The coefficients of this expansion are certainlysimpler to compute than the original integral. Therefore,if one manages to construct an integral representationfor this coefficient, the number of scales in the calcula-tion would be reduced by one.

Asymptotic ExpansionThe key formula to determine the coefficients of an ex-pansion of an integral as the one in Eq. (1) is as follows:

I(q1, . . . , qE ;m1, . . . ,mI) →∑γ

∫dl1 · · ·dlr

PΓ/γ(l1, . . . , lr)∏i∈IΓ/γ

(p2i + m2

i )ni

×∫

dlr+1 · · ·dlnTPγ(lr+1, . . . , ln)∏j∈Iγ

(p2j + m2

j )nj

.

γ is a subdiagram of the original Feynman diagram Γ,and Γ/γ denotes the complement of γ. The specificsof the γs, the so-called hard subgraphs, will be givenbelow. Iγ is the set of line indices that belong to γ(and analogously for IΓ/γ). In general, the definition ofthe loop momenta no longer coincides with the one inEq. (1). Rather, one needs to perform a change in varia-bles such that indeed the l1, . . . , lr and the lr+1, . . . , lnare attributed to the closed loops of Γ/γ and γ, respec-tively. Pγ and PΓ/γ are polynomials. T denotes an ope-rator that performs a Taylor expansion with respect tothe ratio of all small scales divided by the large one. No-te that, for γ, the loop momenta l1, . . . , lr are consideredas external scales, meaning that the Taylor expansion isperformed also with respect to them.

The definition of the hard subgraphs is as follows:

• If the large scale is a particle mass M , then γ isany subdiagram of Γ that contains all heavy lines(i.e., lines associated with the large mass M ), andwhose connected parts are one-particle irreduci-ble if the heavy lines are collapsed to points.

• If the large scale is an external momentum, thenγ is any subdiagram of Γ that contains all verticesat which the large momentum Q enters or leavesΓ, and which is one-particle irreducible if thesevertices are connected by an additional line.

A result of these rules is that all factors in the deno-minator right of T depend either on a loop momentumlr+1, . . . , ln, or on the large scale. As an example, letus assume that the large scale is the external momentum

q1 ≡ Q. Then, for each j ∈ Iγ , one gets

T 1(p2

j + m2j )

nj=

∑n≥0

an

(p′2j )nj+n

, (2)

where p′j is a linear combination of Q and lr+1, . . . , ln,and an is a function of the “light scales” l1, . . . , lr,q2, . . . , qE , and m1, . . . ,mI . Since an can be pulled outof the integrals over lr+1, . . . , ln, they only depend onthe scale Q.

On the other hand, the denominators left of T de-pend only on the light scales. So, we have divided theinitial integral, depending on E + I mass scales, intoone that depends only on the large scale, and anotherthat depends on the E + I−1 light scales. Provided thatone can define a certain hierarchy among the remainingscales, one can now apply the procedure again until onearrives at integrals whose number of external scales issufficiently small in order to solve them analytically.

⊗

γ Γ/γ

Fig. 2:Example for a hard subgraph γ and its complement Γ/γ. Theintegrand of γ is Taylor expanded in q2, q3, as well as in k,which is the loop momentum of Γ/γ. The resulting expressioncan be viewed as an effective vertex, represented by the rightblob in Γ/γ.

The graphical representation for one particular term inthe asymptotic expansion of the diagram in FIg. 1 isshown in Fig. 2 in the limit q2

1 � M1 = M2.Considering the number of Feynman diagrams that

contribute to a specific process at higher orders of per-turbation theory, it becomes immediately clear that themanual application of such a procedure is extremelytedious and error-prone. Its automation is thus highlydesirable. We will describe such an implementation inthe next section. Its usefulness will be underlined by anumber of applications to processes in high energy par-ticle physics.

Automation: EXPEXP [2] is a C++ program that applies asymptotic ex-pansions to Feynman diagrams. It requires at least twoinput files. The first one, named “edia-file” in what fol-lows, contains only that part of information which is re-levant for the procedure of asymptotic expansion. This isthe topology of the diagrams (i.e., the relation betweenthe pi of Eq. (1) to the external and the loop momenta),the distribution of masses, and the hierarchy of the ex-ternal scales. The file may contain this information forseveral diagrams, each one of which is addressed by aspecific, user-defined name. For example,

4Note that due to momentum conservation, only E = 3 external momenta are independent.

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{d2l1;7;2;3;2;q1,M1,M2;(q1:1,4)(q2:6,4)(q3:2,4)(p1,M1:1,2)(p2,M1:2,3)(p3:3,4)(p4,M2:3,5)(p5:4,5)(p6,M2:5,6)(p7,M2:6,1)}

denotes the diagram in Fig. 1, named d2l1, with 7 in-ternal lines, 2 loops, 3 (independent) external momenta,2 different masses, which should be expanded in the li-mit q1�M1�M2 (content of first six fields separatedby “;”). The remaining scales q2,q3 are considered assmall, with no relative hierarchy among each other. Notethat EXP always denotes the external momenta (masses)by q1,. . . (M1,. . . ). The last two numbers of the entriesin brackets refer to the vertex numbers in Fig. 1. Theentry (p2,M1:2,3) thus means that the diagram con-tains a line with momentum p2 flowing from vertex 2 tovertex 3, and that the mass attributed with this line M1.(q1:1,4), on the other hand, means that the externalmomentum enters (leaves) the diagram at vertex 1 (4).

The second input file, named topsel-file, containsthe specification of Feynman integrals that can be eva-luated. The notation is very close to the one of theedia-file above, however, now the first entry should beconsidered as the name of the integration routine thatneeds to be used to calculate the integral. EXP will thusread the diagrams from the edia-file and compare themto the entries in the topsel-file. If one of them matchesthe diagram under consideration (up to a re-labelling ofline momenta and masses), EXP considers the integral ascalculable and reports the name of the integration rou-tine as well as the relevant mappings of momenta andmasses. If none of the entries in the topsel-file mat-ches the input diagram, EXP will perform an asymptoticexpansion corresponding to the specified scale hierar-chy, assuming the left-most scale as large, and all othersas small. The procedure is then repeated with the resul-ting integrals until all integrals are considered as solved.If an integral cannot be expanded any further (for ex-ample, if no hierarchy for its scales is defined, or if itcontains only one scale), and no corresponding integralcan be found in the topsel-file, EXP reports an error.

In the case of the above example, EXP produces se-ven subdiagrams if the topsel-file contains only de-finitions for one-scale integrals. The output contains adetailed list where for each line of the Feynman dia-gram the integration routine is shown where it belongsto. Furthermore, it is specified in which parameters anexpansion has to be performed.

There is also a third input file, named “dia-file”,which is, however, optional. It is very much taylored tothe specific integration routines that, up to now, havebeen used in connection with EXP. These routines areMINCER [3] and MATAD [4], both of them written inFORM [5]. Therefore, the format of the dia-file is veryclose to the input for these programs. The relevant infor-mation contained in the dia-file are the specific typesof propagators (scalar, Fermion, vector boson, etc.), ver-tices, etc. The notation for the momenta in the dia-filematches the one in the edia-file. For each diagram inthe dia-file, EXP will write a new file (the src-file)that contains a copy of the contents of the dia-file, plus

all diagrams that result from the asymptotic expansionof the original diagram. All momenta are mapped ac-cording to the requirements of the integration routinefound in the topsel-file. In this way, the src-file canbe directly used as an input for the integration routines.

ApplicationsThe first application of automated asymptotic expan-sions was done with a predecessor of EXP, namedLMP [6], which could only treat the case of a single lar-ge external momentum. LMP was applied to the three-loop photon polarization function, allowing for a sys-tematic analytic approximation of the hadronic R ra-tio, Rhad = σ(e+e− → hadrons)/σ(e+e− → µ+µ−)through O(α2

s) in the high-energy limit.The first application of EXP itself was to the partial

decay rate of the Z boson into a bb pair, including mixedelectro-weak and strong interactions. The formal hierar-chy mt > MW > MZ has been applied. The secondinequality would be difficult to justify if only the physi-cal masses MW = 80.4 GeV and MZ = 91.2 GeV aretaken into account. However, this naive procedure is notalways justified. The key issue is to choose a scale hier-archy that leads to an asymptotically convergent expan-sion once the physical masses are inserted. In fact, a mo-re detailed investigation shows that the second inequali-ty is equivalent to MW +mt > MZ and 2MW > MZ inthat case which is clearly a valid choice. Subsequently,EXP has been applied to a number of other physical pro-cesses among which one can find the top quark and themuon decay rate, quark mass relations and productioncross sections of the Higgs boson.

Currently, EXP finds applications in supersymme-tric theories (e.g., Ref. [7]) which, in general, containan even larger number of different mass scales than theStandard Model, and it is well possible that asymptoticexpansions will be the only way to arrive at analyticalresults at higher orders in perturbation theory.

Literatur

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Computeralgebra in der Lehre

Kooperation Schule – HochschuleAktivitaten in Baden-Wurttemberg

Klaus Durrschnabel (Karlsruhe)

klaus.duerrschnabel@hs-karlsruhe.de

Klaus Durrschnabel ist Professor fur Mathematik und Informatik an der Fakultat fur Geomatik der Hochschu-le Karlsruhe fur Technik und Wirtschaft. Seine Fachinteressen liegen auf dem Gebiet der Differenzialgeometrie,deren Anwendungen sowie der Ingenieurdidaktik. Seit einigen Jahren bemuht er sich um eine Verbesserung derUbergangsproblematik von der Schule zur Hochschule.

AusgangssituationIn den vergangenen Jahren hat sich der Mathematik-unterricht in den Schulen gravierend verandert. Dieernuchternden Ergebnisse der internationalen Studi-en TIMSS und PISA leiteten einen einschneidendenVeranderungsprozess in der Unterrichtsgestaltung ein.Im Zentrum des Unterrichts stehen weniger die Ver-mittlung von Fakten als vielmehr der Lernprozess, dasBegrunden, das Problemlosen und die Kommunikati-on. Auch der Einsatz von Computeralgebrasystemenund Graphischen Taschenrechnern spielt hier eine Rol-le (vgl. z. B. [5]). Naturlich gehen diese Anderungenzu Lasten des Umfangs des vermittelten Stoffs. Insbe-sondere die einjahrigen Bildungsgange zum Erwerb derFachhochschulreife (Berufskollegs in Baden-Wurttem-berg bzw. Fachoberschulen in anderen Bundeslandern)leiden unter dieser Stoffreduzierung.

Auf der anderen Seite erfolgt die Wissensvermitt-lung an der Hochschule traditionell dozentenorientiertim Rahmen von Vorlesungen und Ubungen. In vielenStudiengangen – insbesondere an Fachhochschulen –dient die Mathematik zudem nur als Hilfswissenschaft.Von den Fachkollegen wird erwartet, dass den Studie-renden in der Mathematik die benotigten Grundlagenfur die Anwendungen vermittelt werden. Diese Grund-lagen umfassen dabei haufig nichttriviale Themenge-biete wie Fourier-Transformation, Differenzialgeome-trie von Kurven und Flachen oder gewohnliche und par-tielle Differenzialgleichungen. Die zur Verfugung ste-hende Zeit wird ublicherweise als zu knapp empfundenund durch die Umstellung auf das verkurzte Bachelor-Studium noch weiter eingeschrankt. Kein Wunder, dassdie Mathematikprofessoren die erhohte Problemlose-kompetenz der Studienanfanger zwar begrußen, aber imGegenzug das mangelnde Faktenwissen insbesonderebei den Absolventen der einjahrigen Fachoberschulen

bzw. Berufskollegs beklagen.Aus Unwissenheit uber die Entwicklungen auf der

jeweils anderen Seite entsteht leider haufig eine wech-selseitige undifferenzierte Schuldzuweisung zwischenSchule und Hochschule. Die Schulen bemangeln, dassdie Hochschulen die Veranderungen im Schulbereichnicht zur Kenntnis nehmen und auf ihren traditionel-len Lehrmethoden verharren. Die Hochschulen bekla-gen das fehlende Wissen der Schulabganger und dasssie darauf aufgrund der zeitlichen Enge keine Rucksichtnehmen konnen. Leidtragende sind die Absolventen derSchulen, d. h. die Studienanfanger. Sie mussen sowohlmit den veranderten Unterrichtsmethoden an den Schu-len als auch mit der Art der Wissensvermittlung an denHochschulen zurechtkommen. Dass dieser Schritt nichtallen Studierwilligen gelingt, zeigen u. A. die hohenDurchfallquoten in den Mathematikprufungen der An-fangssemester.

Die Beruflichen Schulen mit ihren Profilen der Be-ruflichen Gymnasien (insbesondere Technisches Gym-nasium und Wirtschaftsgymnasium), der Berufskollegs(insbesondere das einjahrige Berufskolleg zur Erlan-gung der Fachhochschulreife) und der Berufsoberschu-len (Technische Oberschule und Wirtschaftsoberschu-le) sind in Baden-Wurttemberg der großte ”Zulieferer“der Fachhochschulen. Knapp zwei Drittel der Studi-enanfangerinnen und -anfanger kommen aus diesemSchulbereich. Aus diesem Grund war es nahe liegend,eine Kooperation zwischen diesen Schultypen und denFachhochschulen anzustreben.

Definition der Schnittstelle zwischen Schule undHochschuleIm Dezember 2002 kam es zu einem ersten Zusam-mentreffen zwischen Vertretern der Beruflichen Schulenund der Fachhochschulen. Bei diesem eintagigen Infor-

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mationsaustausch trafen die unterschiedlichen Meinun-gen und Einschatzungen heftig aufeinander. Insbeson-dere beim Thema Computeralgebra erhitzten sich dieGemuter. Von Seiten der Hochschulen meinte man, dassman in der Schule die grundlegenden Rechentechnikenuben solle anstatt dem Studium vorbehaltene Themenbesprechen zu wollen. Der Einsatz von Taschenrechnernund Computeralgebrasystemen sei an dieser Stelle eherbehindernd als forderlich. Auf der anderen Seite wurdevon den Vertretern der Schulen deutlich geaußert, dasssich die Hochschulen auf die Nutzung der neuen Hilfs-mittel einstellen sollen und nur das Festhalten an altHergebrachtem einen reibungslosen Ubergang von derSchule zur Hochschule hemme. Man lasse sich von derHochschule nicht vorschreiben, auf welche Ziele manden Unterricht auszurichten habe, zumal viele Absol-venten kein Studium an einer Fachhochschule anstre-ben.

Von diesen Erfahrungen ließen sich die Initiato-ren der Kooperation nicht entmutigen. Man grunde-te ein paritatisch besetztes Kooperationsteam Schu-le/Hochschule mit dem Namen cosh, welches sich in-tensiv mit der Ubergangsproblematik von der Schule zurHochschule auseinandersetzte. Als nachster Schritt wur-de sorgfaltig eine dreitagige Fachtagung zur Definitionder Schnittstelle Schule/Hochschule vorbereitet. DieseTagung fand im November 2003 in Rastatt statt undwurde durch das Forderprogramm LARS (Leistungs-anreizsysteme in der Lehre) des Wissenschaftsministe-riums des Landes Baden-Wurttemberg finanziert. Teil-nehmer waren etwa 20 Lehrer aus den Beruflichen Schu-len und ebenso viele Fachhochschulprofessoren. Hinzukamen einige Studierende sowie externe fachliche Ex-perten und zeitweise Vertreter des Kultus- und des Wis-senschaftsministeriums.

Ziel der Tagung war es, gemeinsam einen Anforde-rungskatalog fur den Ubergang Schule /Hochschule zudefinieren. Der Katalog sollte sowohl die mathematisch-inhaltlichen als auch die außerfachlichen Aspekte, diemit Hilfe der Mathematik erreicht werden sollen, abde-cken. Aufgrund der gemachten Erfahrungen wurde dasThema Computeralgebra bewusst ausgespart. Damit dieAnforderungen konkret werden, sollten die formulier-ten Fahigkeiten mit typischen Beispielaufgaben unter-legt werden. Zur Uberraschung aller Teilnehmer stell-te man fest, dass sowohl Schule als auch Hochschu-le die gleiche Zielrichtung verfolgen. Von den Schul-abgangern, d. h. den Studienanfangern, werden von bei-den Seiten weniger detaillierte Kenntnisse in irgendwel-chen speziellen Bereichen der Mathematik als vielmehr

eine fundierte Kenntnis der elementaren Rechentech-niken (Termumformungen, Klammerregeln, binomischeFormeln, Bruchrechnen, Losen von quadratischen Glei-chungen usw.) erwartet. Hohe Anforderungen stellenbeide Seiten hingegen an mathematische Sekundartu-genden wie Abstraktionsfahigkeit oder die Fahigkeit,reale Vorgange mathematisch zu formulieren, sowie andie Einstellung der zukunftigen Studenten wie Durch-haltevermogen, Transferfahigkeit und Sorgfalt. Die Re-sultate wurden in Form einer CD zusammengetragenund im Internet veroffentlicht (vgl. [1]). Ferner wurdendie Ergebnisse in die Materialien einer Fortbildungsrei-he fur die Lehrer der Berufskollegs eingearbeitet.

Im Rahmen der Tagung kamen auch Studierende zuWort. Sie wurden im Vorfeld explizit darauf hingewie-sen, dass sie subjektiv uber ihre personlichen Eindruckeund nicht fur die Gesamtheit aller Studierenden spre-chen sollten. Obwohl verschiedene Studierende von un-terschiedlichen Hochschulen berichteten, war die Kritikuberraschend einheitlich. Sie lasst sich auf die folgen-den wesentlichen Punkte reduzieren:

• Am einjahrigen Berufskolleg zum Erwerb derFachhochschulreife lernen die Schuler zu we-nig Mathematik, um an der Hochschule zu be-stehen. Zeitreserven wahrend der Schulzeit sindnach Aussagen der Studierenden am Nachmittagzur Genuge vorhanden.

• An der Schule wird nur auf die Abschlussprufunghin gelernt. Von den Lehrern wird den Schulerin-nen und Schulern das Gefuhl vermittelt, am En-de der Schulzeit gut in Mathematik vorbereitet zusein.

• Der Schock zu Beginn des Studiums ist enorm.Insbesondere die elementaren Rechentechnikender Sekundarstufe I werden nicht beherrscht. DieStudierenden benotigen im ersten Semester ih-re gesamte Zeit zum Aufarbeiten der Mathema-tik. Sie erkennen erst jetzt, dass sie wahrend derSchulzeit zu wenig gelernt haben.

• Wunschenswert ist deshalb ein Zusatzangebot inMathematik wahrend der Schulzeit fur alle Inter-essierten, die spater ein Studium mit hohem Ma-thematikanteil aufnehmen wollen. Dies ist umsowichtiger, da einzelne schwachere und unmoti-vierte Schuler im Unterricht bremsend wirken.

• Die Schuler wissen zu wenig uber die Anforde-rungen an die Studienanfanger einer Hochschule.

Konzeption der Aufbaukurse am BerufskollegNoch wahrend der Tagung zur Definition der Schnitt-stelle zwischen Schule und Hochschule wurde die Grun-didee eines Zusatzangebots fur die Schuler des einjahri-gen Berufskollegs zum Erwerb der Fachhochschulrei-fe entworfen. Diese sogenannten Aufbaukurse werden– im Gegensatz zu den Bruckenkursen, die viele Hoch-schulen direkt vor dem Studium anbieten – an der Schu-le organisiert. Geleitet werden die Kurse von Studie-renden benachbarter Hochschulen. Anders auch als die

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Bruckenkurse finden die Aufbaukurse nicht nach demErwerb der Fachhochschulreife, sondern bereits schul-jahresbegleitend wahrend des Besuchs des Berufskollegsstatt.

Diese Idee wurde in den folgenden Monaten schritt-weise weiterentwickelt. Die Aufbaukurse wurden alsfreiwilliges Angebot außerhalb des Unterrichts fur dieSchulerinnen und Schuler konzipiert, welche nach demBerufskolleg ein technisches, wirtschaftswissenschaft-liches oder informationstechnisches Studium an einerHochschule aufnehmen wollen.

Das Angebot ist nicht als Reparaturwerkstatt furmogliche Defizite des Berufskollegs gedacht. Es sollenvielmehr Lucken in Mathematik behoben werden, dieim Laufe der langen, zum Teil unterbrochenen Schul-zeit entstanden sind und die der Mathematikunterrichtwegen der eingeschrankten Zeit und der Verpflichtungauf den Stoff der Sekundarstufe II nicht oder nur teil-weise beheben kann.

In einer zweitagigen Fachtagung wurde im Mai2004 von Vertretern von Schule und Hochschule einCurriculum fur 40 Unterrichtsstunden entwickelt. Die-ses Curriculum besteht aus drei Modulen, namlich Ele-mentare Algebra (16 h), Trigonometrie und Geometrie(12 h), Elementare Funktionen (12 h). Die Inhalte derModule wurden detailliert beschrieben und durch ent-sprechende Beispielaufgaben prazisiert.

Nach einer Pilotphase im Schuljahr 2004/05 werdendie Aufbaukurse seit dem Schuljahr 2005/06 an allen in-teressierten Beruflichen Schulen mit Berufskolleg ange-boten. Begleitet werden die Kurse durch folgende flan-kierende Maßnahmen:

• Die Schulen werden durch ein offizielles Schrei-ben des Kultusministeriums auf das Zusatzange-bot aufmerksam gemacht.

• Die Tutoren werden durch die Fachleiter derStaatlichen Seminare fur Didaktik und Lehrer-bildung (Berufliche Schulen) in einer eintagigenSchulung auf Ihre Aufgabe vorbereitet.

• Am Ende der Kurse werden die Kursteilneh-mer und die Tutoren mit einem standardisier-ten Fragebogen nach Ihrer Meinung befragt. DieTeilnehmer werden zusatzlich ein Jahr spaternochmals angeschrieben, um ihre ruckblickendeEinschatzung der Kurse nach einem Jahr Studiumzu erfahren.

• Sporadisch finden gemeinsame Evaluationstagun-gen zwischen Lehrern und Professoren statt, umdie Kurse zu hinterfragen und weiter zu entwi-ckeln.

Trotz aller Schwierigkeiten (z. B. Missverstandnis alsNachhilfe, Vorbehalte seitens der Lehrer, Schwierigkei-ten bei der Suche nach geeigneten Tutoren) konnen dieAufbaukurse als Erfolg bezeichnet werden. Landesweitwerden jahrlich ca. 20 Kurse nach dem entwickeltenKonzept auf freiwilliger Basis fur interessierte Schuler

durchgefuhrt. Die Ruckmeldungen sind uberwiegendpositiv. Nach einer anfanglichen Forderung durch dasProgramm LARS erfolgt die Finanzierung inzwischenallein durch die Eigenbeitrage der Kursteilnehmer in ei-ner Hohe von 60 e. Details zu den Aufbaukursen findetman z. B. in [2], [3] und [4].

Weitere Formen der ZusammenarbeitDie Zusammenarbeit zwischen Schule und Hochschulebeschrankt sich nicht auf die Organisation der Aufbau-kurse. Daneben gibt es noch eine ganze Reihe weitererAktivitaten, welche die vertrauensvolle Zusammenar-beit zwischen Beruflichen Schulen und Fachhochschu-len in Baden-Wurttemberg dokumentieren.

So wurde bereits in den Jahren 2001/2002 von derdamals eingesetzten Lehrplankommission Mathematikan Beruflichen Gymnasien die Meinung von Professo-ren der Fachhochschulen eingeholt. Im Jahr 2006 gingman bei der Neugestaltung der Lehrplane Mathema-tik fur die diversen Formen des Berufskollegs zum Er-werb der Fachhochschulreife noch einen Schritt wei-ter. Es wurden drei Professoren aus unterschiedlichenBereichen und verschiedenen Fachhochschulen zu denSitzungen der Lehrplankommission offiziell eingeladen.Diverse Anregungen seitens der Hochschulen wurdensorgfaltig gepruft und teilweise in den neuen Lehrplanaufgenommen. Die Mitarbeit der Fachhochschulen fin-det sich auch im Vorwort des neu gestalteten Lehrplanswieder.

Um den Schulen die Moglichkeit zu geben, dieVeranderungen des Unterrichts auch im Hochschulbe-reich bekannt zu machen, wurde von der Geschaftsstel-le fur Hochschuldidaktik in den Jahren 2005 und 2006jeweils ein eintagiges Fortbildungsseminar fur Professo-ren zum Thema ”Veranderte Lehrmethoden und Lehrin-halte in der Schule und die Auswirkungen auf die Fach-hochschulen“ organisiert. In diesen Seminaren wurdenvon Vertretern des Landesinstituts fur Schulentwicklung(vormals Landesinstitut fur Erziehung und UnterrichtLEU) die Veranderungen und die Zielsetzungen des Un-terrichts erlautert. Umgekehrt referierten Vertreter derHochschulen auf Fortbildungsveranstaltungen fur Leh-rer bzw. Jahrestagungen der Lehrer-Fortbildner.

Auch gemeinsame offentliche Auftritte von Schu-le und Hochschule gehoren inzwischen zum Standard.So berichteten Vertreter von Schule und Hochschule imNovember 2005 auf dem Tag der Lehre in Ulm uberdie gemeinsamen Anstrengungen zur Verbesserung derUbergangsproblematik von der Schule zur Hochschule.Das Gleiche geschah im Juli 2006 im Kolloquium derFakultat Grundlagen der Hochschule Esslingen.

Ausblick: Kooperationstagung zu den Themen

”Computeralgebra“ und ”Nachhaltigkeit“ imHerbst 2007Die Kooperation zwischen den Beruflichen Schulenund den Fachhochschulen soll weiter voran getriebenwerden. Im Herbst dieses Jahres wird es eine weite-re große Kooperationstagung mit ca. 40 Teilnehmerngeben, auf welcher die bisher strittigen bzw. außerst

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problematischen Fragestellungen diskutiert werden sol-len. Die Fordergelder fur die Tagung wurden leidererst Mitte Februar genehmigt, Termin und Ort werdenschnellstmoglich veroffentlicht.

Zur Vorbereitung fand im November 2006 einezweitagige Klausur von sechs Professoren und sechsLehrern statt, um ein Konzept fur diese Tagung zu erar-beiten. Die Erfahrungen aus den Jahren 2002 und 2003zeigen, dass eine intensive Vorbereitung einer solchenGroßtagung unerlasslich ist, um den Erfolg der Tagungzu garantieren.

Auf der dreitagigen Tagung sollen nun zwei Themenangegangen werden, die beide Seiten intensiv beschafti-gen. Als erstes soll das bisher ausgesparte Thema ”Gra-phischer Taschenrechner und Computeralgebrasysteme“diskutiert werden. Dass sich hinter diesen Systemen rie-sige Einsatzpotenziale verbergen und derartige Systemesinnvoll in Unterricht und Vorlesung eingesetzt werdenkonnen, steht fur die meisten Vertreter beider Seiten in-zwischen außer Frage. Es stellt sich aber die zentraleFrage nach dem ”wie“. Dazu sollen auf der Kooperati-onstagung Beispielaufgaben mit graphischem Taschen-rechner bzw. Computeralgebrasystemen entwickelt wer-den. Diese Beispielaufgaben sollen mit einem Hand-buch bzgl. Methodik und Zielsetzung erganzt werden.Auch die momentan eingesetzten zentralen Prufungs-aufgaben zum Erwerb der Fachhochschulreife bzw. desAbiturs werden einer diesbezuglichen Prufung unterzo-gen.

Das zweite Thema, welches auf der gemeinsamenTagung intensiv besprochen werden soll, ist das Thema

”Nachhaltigkeit der Mathematikausbildung“: Warumkonnen Schuler bzw. Studierende nach kurzer Zeit dieelementaren Termumformungen bzw. die Nutzung ein-fachster Differenziationsregeln nicht mehr? Mit wel-chen Ideen, Sprechweisen, Methoden und Aufgabenkann ein hoherer Nachhaltigkeitseffekt erreicht werden?

Ein drittes brennendes Thema soll zum Mindestenim Rahmen eines Expertenreferats eines Nichtmathema-tikers beleuchtet werden: Warum ist das Bild der Ma-thematik in der Offentlichkeit so, wie es ist? DiesesBild wird zu einem großen Teil von den Mathematik-lehrern und den Mathematikprofessoren als Vertreterdieses Fachs transportiert. Das bedeutet, dass insbeson-dere auch der Teilnehmerkreis fur das abgehobene unduberwiegend negative Bild dieser Wissenschaft verant-wortlich ist.

Die Ergebnisse der Tagung sollen wie schon bei derSchnittstellentagung 2003 in Form einer CD und eines

Web-Auftritts dokumentiert und veroffentlicht werden.Im Rahmen der Einfuhrung des neuen Lehrplans Ma-thematik an den Berufskollegs wird es zudem in derzweiten Halfte des Schuljahres 2007/08 eine flachen-deckende Fortbildung aller Mathematiklehrer an denBerufskollegs in Baden-Wurttemberg geben. In dieserFortbildungsreihe sollen die Ergebnisse der Tagung miteingearbeitet werden. Auch dadurch wird der Erfolgder fruchtbaren Zusammenarbeit zwischen Schule undHochschule dokumentiert. Umgekehrt ist eine Informa-tionsreihe an allen interessierten Fachhochschulen desLandes Baden-Wurttemberg uber die Ergebnisse der Ta-gung angedacht.

ResumeeZusammenfassend lasst sich feststellen, dass die Ko-operation zwischen den Beruflichen Schulen und denFachhochschulen in Baden-Wurttemberg im Bereichder Mathematik eine nicht fur moglich gehaltene Ent-wicklung genommen hat. Aus anfanglichen unsicherenKontakten ist eine vertrauensvolle Zusammenarbeit aufbreiter Basis entstanden. Man ist nunmehr bereit, auchstrittige Fragen wie den sinnvollen Einsatz von Compu-teralgebrasystemen und so schwierige Fragen wie dieder Nachhaltigkeit in der Mathematik kontrovers zu dis-kutieren und die Ergebnisse in der taglichen Lehre miteinzuarbeiten.

Literatur/Web-Sites[1] Durrschnabel, K. (Hrsg.) (2002): Defini-tion der Schnittstelle zwischen Schule undHochschule im Fach Mathematik. http://www.home.hs-karlsruhe.de/˜dukl0001/Schnittstelle/Index.htm[2] Durrschnabel, K., Keller, G. (2005): Kooperationzwischen Schule und Hochschule. Ein Modellprojektzur Starkung der Mathematikkompetenz bei Studienbe-werbern in Baden-Wurttemberg. In: Neues HandbuchHochschullehre, F 1.2, 1-28. Raabe, Berlin.[3] Durrschnabel, K., Weber, B. (2005): AufbaukurseMathematik an den einjahrigen Berufskollegs. In: Bei-trage zum 6. Tag der Lehre 2005, 129-133.[4] Kummerer, H. et al. (2005): Mathematik-Zusatzkursam Berufskolleg – Informationen und Aufgaben-sammlung. http://www.hs-esslingen.de/mathe-zusatzkurs[5] Landesinstitut fur Erziehung und Unterricht (2002):WUM(BS) – Materialien fur die Lehrerfortbildung. In:Handreichungen H-02/21. Stuttgart.

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Werbeseite Birkhauser

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Publikationen uber Computeralgebra

• Bosma, W., Cannon, J. (Eds.), Discovering Ma-thematics with Magma: Reducing the Abstractto the Concrete, Series: Algorithms and Compu-tation in Mathematics, Vol. 19, Springer Verlag,Berlin, Heidelberg, New York, 2006, 374 Seiten,ISBN-10: 3-540-37632-1, ISBN-13: 978-3-540-37632-3, e 64,15.

• Decker, W., Lossen, C., Computing in AlgebraicGeometry, Series: Algorithms and Computationin Mathematics, Vol. 16, Springer Verlag, Berlin,Heidelberg, New York, 2006, 350 Seiten, ISBN-10: 3-540-28992-5, ISBN-13: 978-3-540-28992-0, e 64,15. ∗

• Fossorier, M., Imai, H., Lin, S., Poli, A. (Eds.),Applied Algebra, Algebraic Algorithms andError-Correcting Codes, 16th International Sym-posium, AAECC-16, Las Vegas, NV, USA, Fe-bruary 20-24, Proceedings, Series: Lecture Notesin Computer Science, Vol. 3857, 2006, 339 Sei-ten, ISBN-10: 3-540-31423-7, ISBN-13: 978-3-540-31423-3, e 50,24.

• Iglesias, A., Takayama, N. (Eds.), Mathemati-cal Software – ICMS 2006, Second Internatio-nal Congress on Mathematical Software, Castro;Urdiales, Spain, September 1-3, Proceedings, Se-ries: Lecture Notes in Computer Science, Vol.4151, 2006, 452 Seiten, ISBN-10: 3-540-38084-1, ISBN-13: 978-3-540-38084-9, e 64,20.

• Lossen, C., Pfister, G. (Eds.), Singularities andComputer Algebra, Cambridge University Press,Series: London Mathematical Society LectureNote Series (No. 324), 2006, ISBN-10: 0-521-68309-2, £ 40,00.

• Schmidt, K., Trenkler, G., Einfuhrung in die Mo-derne Matrix-Algebra, 2., vollst. uberarb. Aufl.,Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,2006, 275 Seiten, ISBN-10: 3-540-33007-0, e22,95.

∗ Diese Bucher konnen auf der Seite http://www.fachgruppe-computeralgebra.de/Buecher/oder direkt bei Johannes Grabmeier (johannes.grabmeier@fh-deggendorf.de) zur Besprechung angefordert wer-den. Auf der Webseite finden Sie auch noch weitere, hier nicht genannte Bucher zur Besprechung.

Besprechungen zu Buchern der Computeralgebra

A. Bartholome, H. Kern, J. RungZahlentheorie fur Einsteiger – eine Einfuhrung fur Schuler, Lehrer, Studierendeund andere Interessierte

Vieweg Verlag Wiesbaden, 5. Auflage 2006, 185 Seiten, ISBN 3-8348-0080-5, e 22,90

Um es gleich vorwegzunehmen, Computeralgebraim engeren Sinne – etwa gar in einem heuteweit verbreiteten Verstandnis von ”Computeralgebrain der Schule“ als Unterweisung in der Nutzungeines der Systeme – kommt in diesem schonenBuchlein und auch auf der Webseite http://www.andreasbartholome.de mit Online-Materialienzum Buch nicht vor. Lassen wir zunachst die Auto-ren sprechen: ”Das Buch wurde fur die Schulbank ge-schrieben, fur Pluskurse oder freiwillige Arbeitsgemein-schaften in Mathematik und Informatik, als Anregung

fur Jugend-forscht-Arbeiten . . . und mochte etwas vondem spielerischen und experimentellen Charakter derZahlentheorie vermitteln. Es wird zeigen, wie man denComputer sinnvoll einsetzen kann – und es soll ver-deutlichen, welche Grenzen diesem Rechenknecht ge-setzt sind. . . . Es ist ein Unterschied, ob man um desRechnens willen rechnet, oder ob man rechnet, weilman einer aufregenden Entdeckung auf der Spur ist.. . . Inhaltlich haben wir uns das Ziel gesteckt, einenwichtigen Primzahltest zu verstehen, wie er von ferti-gen Computerprogrammen zur Zahlentheorie verwen-

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det wird. Dabei gehen wir nicht immer geradlinig aufunser Ziel zu, sondern verweilen gern am Wegrand, janehmen auch Umwege auf uns, wenn wir dort eine bun-te Blume zu entdecken meinen.“

Damit ist der Bogen, welcher auf den 180 Seitendieses Buchleins gespannt wird, auch schon gut umris-sen – der Test, um dessen Verstandnis es letztlich geht,ist der starke Pseudoprimzahltest von Rabin und Mil-ler. Auch der Weg, den ein mathematisch interessierterOberschuler bis zu diesem ersten Gipfel der Mathema-tik zu gehen hat, und an welchen Orten er dabei vorbei-kommen muss, ist hinreichend bekannt. Fur Hochschul-Mathematiker sind dies ausgetretene Wege, die hineinin die Hochgebirgslandschaft der modernen Mathema-tik fuhren mit ihren um Vieles attraktiveren Sechstau-sendern, so dass kaum einer von ihnen in der Lage seinwird, die Feinheiten dieses Wegabschnitts mit den Au-gen eines Oberschulers zu betrachten.

Die Autoren sind engagierte Lehrer an bayrischenGymnasien und haben sich diesen Blick nicht nur be-wahrt, sondern wissen aus eigener jahrzehntelanger Ar-beit mit interessierten Schulern auch, wie die schwieri-ge Balance zwischen Fuhren und freiem Suchen beimErarbeiten einer solchen Thematik zu wahren ist. Unddass es nicht darum geht, den schnellsten und kurzestenWeg auf den Gipfel zu finden, sondern das Gespur furdie Schonheit der (mathematischen) Landschaft zu ver-mitteln, fur die Befriedigung und den auch asthetischenReiz, den eine selbst erdachte schlussige mathematischeArgumentation auszustromen vermag, und fur die Kraftwohl aufeinander gesetzter mathematischer Argumen-te, an deren Ende nicht ein Rechenrezept steht, sondernEinsicht und Verstandnis fur Zusammenhange.

Das vorliegende, bereits in der 5. Auflage erschie-nene und immer wieder uberarbeitete Buch ist deshalbkein Buchlein uber Zahlentheorie, sondern uber Mathe-matik am Beispiel eines zahlentheoretischen Themas.Der Weg ist mit uber 300 Aufgaben ”gepflastert“, dieselten nur den Charakter von Ubungen zum besserenVerstandnis des Texts haben, sondern weiterfuhrende al-gorithmische Ideen, mathematische Konzepte oder ein-

fach nur interessante Problemstellungen anstoßen unddem Leser Raum lassen, diesen Anregungen nachzuge-hen oder auch nicht.

Das Buch ist deshalb eine Fundgrube fur alle Le-ser, die selbst noch Oberschuler sind, die mit mathema-tisch interessierten Oberschulern arbeiten, oder die sich– ob nun mathematischer Laie oder Profi – einfach dieFreude und Neugier erhalten haben am Losen mathema-tischer Probleme, die sich einfach aufschreiben lassen.Die Zahlentheorie halt solche bekanntlich zuhauf parat.

Kommen wir zur Computeralgebra zuruck, derenMoglichkeiten fur ihre eigenen Zwecke die Autoren –so mein Eindruck – doch unterschatzen. Computerun-terstutzung bei der Untersuchung von Problemstellun-gen, die komplizierte, aber klar strukturierbare Rech-nungen erfordern, wird an vielen Stellen thematisiert;die Nahe der naturlichen Zahlen zu den Computerzah-len verleitet jedoch dazu, alles Algorithmische selbstund von der Pike auf zu programmieren. So sinnvolleine lauffahige Implementierung, die wirklich das tut,was sie soll, fur das grundlegende Verstandnis wichtigerAlgorithmen ist, so wenig ist dabei die Beschrankungauf selbst gebaute Bausteine nachzuvollziehen. Hiereroffnet der durchgehende propadeutische Einsatz ei-nes Computeralgebrasystems Moglichkeiten des Ex-perimentierens auch mit komplexeren mathematischenKonzepten, die sich nicht ohne großeren Aufwand selbstimplementieren lassen, wie es Friedrich Schwarz in sei-nem Buch Einfuhrung in die elementare Zahlentheorie( Verlag B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig 1998) fur die-selbe Thematik beispielhaft vorgefuhrt hat.

Dieses ”Stehen auf den Schultern von Riesen“ alsdidaktisches Prinzip auch an dieser Stelle kommt mir(noch) zu kurz. Aber da dem Buch weitere Auflagen zuwunschen sind und sich sowohl die Verfugbarkeit ent-sprechender Systeme als auch die Prasenz von Compu-teralgebrasystemen in der Schule als Thema im Auf-wind befinden, konnen wir gespannt auf Zukunftigessein.

Hans-Gert Grabe (Leipzig)

H. Cohen, G. Frey et al.Handbook of elliptic and hyperelliptic curve cryptography

Chapman & Hall Verlag, 2006, 848 Seiten, ISBN 1-584-88518-1, e 86,90

Das vorliegende Buch ist mit uber 800 Seiten einsehr umfangreiches Werk, welches sich mit (fast) al-len Aspekten der auf elliptischen und hyperellipti-schen Kurven basierenden Kryptographie beschaftigt.Die Hauptautoren sind Roberto M. Avanzi, Henri Co-hen, Christophe Doche, Gerhard Frey, Tanja Lange, KimNguyen und Frederik Vercauteren. Weitere acht Perso-nen sind mit Beitragen in geringerem Umfang vertreten.

Das Buch richtet sich sowohl an Studierende

als auch an professionelle Mathematiker, Informati-ker und Elektrotechniker, die sich mit dem Thema zuForschungs- und Entwicklungszwecken auseinanderset-zen mochten. Es untergliedert sich im Wesentlichenin vier Teile: 1. Mathematische Grundlagen (140 Sei-ten). 2. Arithmetik in den ganzen Zahlen, endlichenKorpern und p-adischen Korpern, Arithmetik fur ellip-tische und hyperelliptische Kurven, Paarungen, Metho-den zum Punktezahlen, Angriffe auf das diskrete Loga-

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rithmusproblem (400 Seiten). 3. Anwendungen, darun-ter Zusammenfassung und Einordnung der Aspekte deszweiten Teils, Parameterwahl, paarungsbasierte Krypto-graphie, Primzahltests und Faktorisierung ganzer Zah-len (70 Seiten). 4. Praxisaspekte, speziell Einsatz undAngriffe bei Chipkarten, Zufallszahlenerzeugung (120Seiten). Themen, die nicht oder nur am Rande behandeltwerden, sind beispielsweise Quantenalgorithmen, kryp-tographische Protokolle und Standards, Patente, gesetz-liche Regelungen.

Das Hauptaugenmerk ist damit auf die gegenwartigrelevanten mathematischen und algorithmischen Grund-lagen gerichtet. Ein Großteil der Forschung der letzten15 Jahre in diesem Gebiet wird in der Tat im vorliegen-den Buch zusammengefasst. Da sich der Forschungs-stand, vornehmlich hyperelliptische Kurven und Paa-rungen beziehungsweise paarungsbasierte Kryptogra-phie betreffend, noch zugig weiterentwickelt, werdendie entsprechenden Teile des Buchs relativ schnell ver-alten (oder sind bereits etwas veraltet).

Die Darstellung ist im Allgemeinen knapp, aber de-tailliert gehalten. Die Autoren haben Wert darauf ge-legt, die relevanten Definitionen und Satze moglichstvollstandig aufzunehmen, so dass das Buch in sich ver-

gleichsweise abgeschlossen ist. Fur Beweise wird je-doch auf die entsprechende Literatur verwiesen. Einzentraler Bestandteil sind die zahlreichen Algorithmen,die in relativ implementationsnaher Form beschriebenwerden. Auf Ubungsaufgaben wurde verzichtet, aller-dings befinden sich viele Beispiele im Text. Daruberhinaus sind die einzelnen Kapitel so verfasst worden,dass die aus vorhergehenden Abschnitten benotigten Er-gebnisse und die Notation eingangs kurz wiederholtwerden und so Quereinstiege in den Text erleichtert wer-den. Trotz der großen Anzahl an Autoren ist der Texteinheitlich gehalten.

Der Hauptnutzen des Buchs ist zusammenfassenddarin zu sehen, dass es dem Leser die Moglichkeit bie-tet, sich effizient uber die fur die oben genannten Teilge-biete relevanten Aspekte, Zusammenhange und Litera-turreferenzen zu informieren. Als reines Lehrbuch durf-te es sich dagegen weniger eignen.

Die Webseite des Buchs ist http://www.hyperelliptic.org/HEHCC/. Hier konnen ne-ben Inhaltsverzeichnis und Bibliographie ein monatlichwechselndes Kapitel heruntergeladen werden.

Florian Heß (Berlin)

H. StetterNumerical Polynomial Algebra

SIAM, Philadelphia 2004, xv + 472 Seiten, ISBN 0-898-71557-1, e 109,55

Die Bezeichnung Numerical Polynomial Algebra stehtfur ein noch recht junges und sich schnell entwickeln-des Teilgebiet der Mathematik an der Schnittstelle zwi-schen der Computeralgebra und der numerischen Ma-thematik. Wie kann man nichtlineare algebraische Pro-bleme mit Hilfe approximativer Methoden losen? Kannman klassische Probleme der numerischen Mathematikmit Verfahren der modernen symbolischen Berechnungbehandeln?

Das vorliegende Buch von Hans Stetter erscheintzu einem idealen Zeitpunkt in dieser Entwicklung. Esist geradezu pradestiniert, das Standardreferenzwerk aufdiesem neuen Gebiet zu werden. Auf uber 450 Sei-ten legt Stetter die Grundlagen fur die Teile der Ma-thematik, die den kommenden numerisch-symbolischrechnenden Computeralgebrasystemen zu Grunde lie-gen. Ausgehend von Polynomen und Polynomidealenin P = K[x1, . . . , xn] mit K = R/C betrachtet erzunachst das klassische Problem des Losens algebrai-scher Gleichungssysteme und erklart, wie man es mitGrobner-Basen und Randbasen angehen kann. Dabeinimmt er von vornherein den Standpunkt ein, dass manein Polynomideal I am besten uber den RestklassenringP/I beschreibt. Das Central Theorem ist dabei nichtsanderes als die Beschreibung der Methode, die anders-wo auch als das Verfahren von Auzinger und Stetter be-

zeichnet wird. Weitere wichtige Themen im grundlegen-den ersten Kapitel Polynomials and Numerical Analysissind eine sorgfaltige Definition empirischer Polynome(also von Polynomen mit Koeffizienten, die Rundungs-werte sind) sowie eine Diskussion verschiedener Metho-den, um mit solchen empirischen Polynomen zu rechnenund die numerische Stabilitat dieser Berechnungen zubeurteilen.

Danach behandelt Kapitel II den univariaten Fall.Hier gibt es bereits eine Menge klassischer Ergebnis-se der numerischen Analysis, wie die univariate Poly-nominterpolation oder die Sensibilitatsanalyse der Po-lynomdivision. Ein in den letzten 15 Jahren aktives For-schungsthema ist die Berechnung des großten gemein-samen Teilers zweier univariater empirischer Polynome.Auch das Problem der Isolation der Nullstellen kommtzur Sprache. Diese Themen kann der Leser uber dieHistorical and Bibliographical Notes und die kapitel-weisen References leicht selbst weiter vertiefen.

Den Kern des Buchs bildet Kapitel III, wo Stetterdie Grundlagen einer Theorie der multivariaten empiri-schen Polynome und Polynomideale entwickelt. Nacheinem kurzen Ausflug in die Problematik der nume-rischen Behandlung einzelner multivariater Polynome(z. B. die numerische Faktorisierung) geht er ausfuhr-lich auf die von ihm mitbegrundete und entwickelte

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Theorie der Randbasen 0-dimensionaler Polynomidea-le ein. Hierbei bedeutet ”0-dimensional“, dass das Idealnur endlich viele komplexe Nullstellen besitzt. SolchePolynomideale I werden mit Hilfe des RestklassenringsP/I und mit Hilfe von Randbasen studiert; das Kapitelgibt u. A. Auskunft uber die Berechnung der Anzahl undder Vielfachheit der Nullstellen, die numerische Berech-nung einer Randbasis oder Grobner-Basis von I sowieeiner Basis von P/I , uber die ”duale Darstellung“ mitHilfe von Linearformen und uber die Bestimmung derSyzygien einer Randbasis. Viele dieser Resultate sindhier erstmals in Buchform aufgeschrieben.

Das abschließende Kapitel behandelt positiv-dimensionale polynomiale Systeme. Dabei schlagt Stet-ter verschiedene Ansatze vor, die Methoden aus Kapi-tel III auf nicht 0-dimensionale Situationen zu ubertra-

gen. Die Entwicklung solcher Theorien ist noch nichtabgeschlossen, so dass seine Ausfuhrungen als Vor-schlage und Anregungen zu interpretieren sind, die mitgeeigneten Beispielen untermauert werden.

Das gesamte Buch ist sehr lebendig und direkt ge-schrieben. Uberall finden sich Zahlenbeispiele, Ubungs-aufgaben, geschichtliche Bemerkungen und Litera-turhinweise. Der Text liest sich flussig und die Notatio-nen sind angenehm einheitlich. Somit kann das Buch je-dem Mathematiker empfohlen werden, der in dieses ak-tuelle Gebiet eindringen mochte. Es ist auch als Grund-lage fur Vorlesungen im Haupt- bzw. Master-Studiumgeeignet. Der Preis fur SIAM-Mitglieder betragt $ 64,75und ist daher recht moderat.

Martin Kreuzer (Dortmund)

R. TaschnerDer Zahlen gigantische Schatten – Mathematik im Zeichen der Zeit

Vieweg Verlag, 3., verb. Aufl. 2005, 202 Seiten, ISBN 3-834-80117-8, e 38,00

Dieses Buch entstand aus einer Reihe von Vortragen, dieder Autor im math.space des Museumsquartiers Wiengehalten hat. Bei math.space handelt es sich um ein vomosterreichischen Bildungsministerium finanziertes undvon der Stadt Wien sowie von privaten Firmen geforder-tes Projekt, das der breiten Offentlichkeit Mathematikals ”eminente kulturelle Errungenschaft“ nahe bringensoll! Aufgrund seiner Entstehung ist es verstandlich,dass die einzelnen Kapitel in sich abgeschlossen und inihrer Reihenfolge durchaus willkurlich sind.

Das erste Kapitel geht auf Zahlensymbolik und Nu-merologie ein; im zweiten uber die Bedeutung der Zah-lenverhaltnisse in der Musik wird die reine und die tem-perierte Stimmung sehr anschaulich erlautert. Der Zu-sammenhang von Zahl und Zeit, insbesondere die Ge-schichte der verschiedenen Kalender, ist Inhalt des drit-ten Kapitels. Hier hatte sich wohl ein Querverweis aufdie Zahlensymbolik angeboten, denn es gibt im Grego-rianischen Kalender keinen Wochentag, auf den der 13.so oft fallt wie auf Freitag. Vom Ursprung der Geometrie

als Landvermessungskunde uber die Erdradiusmessungdurch Eratosthenes bis zur Spiegelung am Kreis wer-den im Kapitel ”Zahl und Raum“ viele Themen angeris-sen. Leibniz gibt Anlass zur Diskussion von Zahlsyste-men, dem Halteproblem der Informatik und den prinzi-piellen Uberlegungen der Differentialrechnung. Laplaceund sein Damon sowie verschiedene Effekte aus der Sta-tistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind Thema dessechsten Kapitels. Die Entwicklung der Quantentheo-rie durch Bohr aufgrund von Rechnungen Balmers wirdausfuhrlich dargestellt (dies ist mit Computeralgebra-systemen leicht nachvollziehbar). Was der Autor in demPascal zugeordneten Kapitel uber Zahl und Geist uber

”das richtige Denken“ ausdrucken will, bleibt unklar.Zahlreiche Abbildungen lockern den Text auf, der

oft vage bleibt, dem mathematischen Laien aber eineVorstellung von der universellen Bedeutung der Zahlenvermittelt.

Elkedagmar Heinrich (Konstanz)

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Berichte von Konferenzen

1. VIII. Berliner Mathematica-Workshop

WIAS Berlin, 27.10.2006

http://www.ordinate.de/mathematicaTag.

htm

Mehr oder minder regelmaßig findet seit 1999 in Berlin derMathematica-Workshop oder -Tag statt. Bei der Mehrzahldieser Tage war das Weierstraß-Institut (http://www.wias-berlin.de) Gastgeber, jedoch gab es auch Zu-sammenkunfte an der Humboldt-Universitat, an der TU Ber-lin und an der TFH Berlin. Der Workshop hat das Ziel,Anwender und Interessierte zum Austausch uber Mathema-tica-relevante Themen zusammenzufuhren. In den letztenzwei Jahren gab es zufalligerweise neben weiteren Vortragenjeweils einen besonderen von einer in der ”Mathematica-Gemeinde“ bekannten Person. Fur den Mathematica-Tag imOktober 2006 hatten wir – das Organisationskomittee – nunversucht, aktiv einen besonderen Vortrag zu wahlen. DieWahl fiel schließlich auf Prof. Dr. Bernd Thaller von der Uni-versitat Graz. Im Erhard Schmidt Horsaal des Weierstraß-Instituts fur Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS)trafen sich also am 27.10.2006 ca. 40 Teilnehmer zum VIII.Workshop mit dem umfangreichsten Programm seit Beste-hen. Eingangs begrußte der Direktor des WIAS, Prof. Dr. J.Sprekels, die Teilnehmer und stellte das Weierstraß-Institutvor (http://www.wias-berlin.de).

Dr. Bernd Thaller sprach zum Thema Visuelle Quanten-mechanik mittels Mathematica. Er demonstrierte anschau-lich die umfangreichen Moglichkeiten, die eine Softwa-re wie Mathematica zur Darstellung quantenmechanischerVorgange bietet, und verstand es, die Zuhorer bis zum Vor-tragsende durch immer neue grafische Ansichten zu fesseln.Herr Dr. Thaller hatte 2000 und 2004 mit seiner Softwa-re und der zugehorigen Sammlung ”Visual Quantum Me-chanics“ (siehe http://vqm.uni-graz.at) den Eu-ropean Academic Software Award erhalten. Innovative Vi-sualisierungstechniken finden in der Quantenmechanik einlohnendes ”Anwendungsobjekt“, weil hier ComputergrafikPhanomene illustrieren kann, die unsichtbar sind. Das Zieldabei solle es sein, ein intuitives Gefuhl fur Quantenmecha-nik zu verleihen, das fur ein tieferes Verstandnis erforderlichsei, das aber durch das theoretische Studium allein nicht er-langt werden konne. Herr Thaller setzt zur Visualisierung derLosungen der Schrodinger-Gleichung Farbe ein, Farbton und-intensitat stehen fur die Phase bzw. den Absolutwert einerkomplexen Zahl.

Es wurden jedoch nicht nur statische Bilder gezeigt, sondernauch beeindruckende ”quantendynamische Movies“, herge-stellt mit Mathematica. Herr Dr. Thaller hat in den letztenJahren zwei Bucher zu dem Thema verfasst: Visual Quan-tum Mechanics und Advanced Visual Quantum Mechanics.

Anschließend gab Prof. Dr. Wolfram Koepf von der Uni-versitat Kassel in seinem Vortrag Algorithmen der Com-puteralgebra mit Mathematica: Vom schnellen Potenzierenzu RSA einen gelungenen Einblick, wie Algorithmen derComputeralgebra praktisch eingesetzt werden konnen. Ex-emplarische Programme aus seinem Computeralgebra-Buchlieferten außer dem schnellen Potenzieren und der RSA-Codierung ferner Primzahltests und wurden zur Bestimmunggroßer Carmichaelzahlen verwendet.

A wave packet hits a screen with two holes. This is asnapshot from a movie of the double-slit experiment.

c© 2006 Bernd Thaller

Nach dem Imbiss, gestiftet von mathemas ordinate (www.ordinate.de), gab Carsten Herrmann eine kurze konzep-tionelle Einfuhrung in eine der wesentlichen Neuerungen,die man in Mathematica 6 sehen wird: die Dynamisierungvon Variablen, mit der sehr anwenderfreundlich systemati-sche Manipulationen von Mathematica-Ausdrucken studiertwerden konnen. Neben dieser Neuerung wird es noch vieleweitere geben.

Anschließend sprach Prof. Dr. Sergio E. Quinones Cisme-ros von der Universitat Koln uber das Thema Handling so-me popular basic equations of Thermodynamics with Ma-thematica und wies darauf hin, dass er sich seine Arbeit zugeologisch-chemischen Zustandsfunktionen ohne Mathema-tica – vor allem wegen der vielen Parameter – gar nicht mehrvorstellen konne. Das Phasenverhalten sei ein fundamenta-les Thema fur zahlreiche Anwendungen; von der Kuche zu-hause bis zu hochtechnologisch komplexen Entwicklungs-arbeitenen fur die Erdolreservoirergrundung. Vor allem we-gen der erforderlichen Berechnungen wird dieses Thema vonStudenten zumeist als schwierig angesehen. Wenn man esjedoch grafisch angehen wurde, wurde man zum einen denursprunglichen Ansatzen von Gibbs und van der Waals undInnes besser gerecht werden, und zum anderen wurden dannmoglicherweise auch die Schwierigkeiten geringer. Da dietechnischen Rechenmoglichkeiten beschrankt waren, gab esin der ersten Halfte des 20. Jahrhunderts Ansatze, durch dieder ursprungliche grafische Ansatz verloren ging, aber durchmoderne Rechenwerkzeuge wie Mathematica sollte man inder Lage sein, zu den erwahnten Ansatzen zuruckkehren zukonnen. Komplexe Berechnungen konne man Mathematicauberlassen und sich auf die Interpretation konzentrieren.

Dieses Urteil bestatigte Herr Dr. Gottschalk vom Geo-forschungszentrum Potsdam im nachfolgenden, sehr inter-essanten Vortrag Berechnung physikalisch-chemischer undthermodynamischer Eigenschaften von Geomaterial, der an-schaulich seine Arbeit und den Einsatz von Mathematicabei der taglichen Arbeit schilderte. Mathematica wird vonHerrn Dr. Gottschalk seit 1990 sinnvoll in vielen symbo-lischen und numerischen Berechnungen und Minimierun-gen (chemische Reaktionen, Phasendiagramme, Thermody-

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namik) eingesetzt. Mathematica hat sich dabei als ”univer-selles Werkzeug auch fur nur mathematisch durchschnittlichausgebildete Naturwissenschaftler“ bewahrt, mit dem ”auchmathematisch anspruchsvollere Methoden sich gut umsetzenlassen“.

Dr. Gille erlauterte in einem kurzen Vortrag, wie nutzlich dieMathematica-Funktion SequenceLimit sein kann. Dr.Kuska bot im ersten Teil seines Doppelbeitrags eine Fortset-zung seiner Vortragsserie zu seiner Arbeit an MathGL3D, ei-ner Open GL Grafik-Zusatzsoftware zu Mathematica: Feld-linienplatzierung mithilfe von Distanztransformationen. Erdemonstrierte anschaulich einen Algorithmus fur eine vi-suell ansprechende Platzierung von Feldlinien, die einegleichmaßige Bedeckung der Flache ermoglicht. Im zwei-ten Teil zeigte Dr. Kuska sorgfaltig, welchen Nutzen dieMathematica Workbench bei der Programmierung mit Ma-thematica bieten kann. Mit der Workbench, die auf Eclipsebasiert, haben Mathematica-Programmierer nun auch einenDebugger. Und nicht nur das, einen hilfreichen Editor undeine Versionskontrolle, ideal fur die Arbeit in Gruppen. HerrDr. Mertig von der Firma GluonVision, gerade zuruck ausChampaign/Illinois von der Wolfram Technology Confe-rence, gab den Zuhorern schließlich einen Einblick in dieVielfalt der dort angebotenen Vortrage.

Die Konferenzteilnehmer des Mathematica-Workshops

Der ”Tag“ endete gegen 18 Uhr. Der nachste ist fur 2007 ge-plant.

Ausfuhrlichere Darstellungen der Beitrage konnen Sie vomAutor (E-Mail an carsten@ordinate.de) erhalten.

Carsten Herrmann (Kiel)

2. Neunter Mitteldeutscher Computeralgebra-TagJena, 06.10.2006

http://www.informatik.uni-leipzig.de/

˜graebe/MCAT/mcat9.html

Am 6. Oktober 2006 fand in bewahrter Zusammenarbeitder NTZ-Projektgruppe ”Mathematische und informatischeAspekte komplexer symbolischer Softwaresysteme“ mit ei-nem lokalen Partner die neunte Auflage des MitteldeutschenComputeralgebratags (MCAT) erstmals an der UniversitatJena statt. Die Organisation lag in den Handen von M. Fo-the (Universitat Jena, Casio-Stiftungsprofessur zur Didaktikder Informatik), W. Moldenhauer (ThILLM Bad Berka) undH.-G. Grabe (Universitat Leipzig).

Mit diesem Tagesseminar bieten wir an computeralgebrai-schen Themen interessierten Personen aus dem mitteldeut-schen Raum ein Forum, auf dem sie sich uber aktuel-le Entwicklungen in den Bereichen Algorithmik, Systemeund Einsatz von CAS informieren konnen. Daneben ist diePrasentation und Vernetzung entsprechender Aktivitaten inder Region ein wichtiges Ziel des Computeralgebra-Tags.Das Tagesseminar erhebt damit nicht den Anspruch einerFachtagung, sondern richtet sich thematisch an ein breite-res Auditorium, insbesondere auch an Anwender, Lehrer undStudenten, die sich uber neuere Entwicklungen der Compu-teralgebra informieren wollen.

Das Programm des 9. MCAT bestand nach bewahrtem Mus-ter aus drei Komplexen. Das Vormittagsprogramm mit sei-ner starker fachwissenschaftlichen Ausrichtung fokussierteauf neuere Entwicklungen im Bereich der Gruppenalgebren.Zunachst gab D. Green (Universitat Jena) in einer keyno-te lecture einen Uberblick uber seine Arbeiten zur Berech-nung von Kohomologien endlicher Gruppen. Es schloss sichein Vortrag von F. Leitenberger (Naumburg) zu Quantende-formationen der klassischen Invariantentheorie an. Im letz-ten Vortrag des Vormittagsprogramms stellte H. Thielemann(Universitat Halle) Uberlegungen zur Rigorositat von CAS-Rechnungen im Lichte von Konzepten der funktionalen Pro-grammierung vor.

Die Nachmittagssitzung eroffnete A. Sorgatz (SciFace Pa-derborn) mit einem Vortrag uber MuPAD Pro 4, einer neuen,komplett uberarbeiteten Version des bekannten CAS der Pa-derborner Gruppe, welches seit Fruhsommer 2006 verfugbarist und stark auf einen Einsatz in Lehre und Ausbildung fo-kussiert. Dieser Gast wurde uber Mittel des genannten NTZ-Projekts finanziert. Die Finanzierung der weiteren Gaste er-folgte aus Mitteln der Universitat Jena sowie des ThILLMBad Berka.

Im weiteren Verlauf des Nachmittags kamen Referenten mitThemen aus dem Umfeld ”CAS in der Schule“ zu Wort. Die-ser Teil des Programms, den M. Fothe federfuhrend vorbe-reitet hatte, richtete sich in besonderer Weise an Lehrer, diezum Nachmittagsprogramm auch in großerer Zahl anwesendwaren.

Fur den 10. MCAT gibt es Vorabsprachen mit Kollegen derTU Cottbus, diesen im Oktober 2007 in Cottbus auszurich-ten. Weitere Informationen zu den Mitteldeutschen Compu-teralgebratagen sind unter http://www.informatik.uni-leipzig.de/˜graebe/MCAT zu finden.

Hans-Gert Grabe (Leipzig)

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Hinweise auf Konferenzen

1. CASK – Computeralgebra-Symposium Kon-stanz

Konstanz, 15. – 16.03.2007

http://www.cask.htwg-konstanz.de

Schwerpunkt des Symposiums ist der Erfahrungsaustauschuber den Computeralgebraeinsatz in Lehre und Forschung.Zunehmend bringen Studenten Computeralgebraerfahrungvon der Schule mit und sind entsetzt, wenn sie an der Hoch-schule auf einmal wieder mit Papier und Bleistift, aber oh-ne Rechnereinsatz, mathematische Aufgaben bearbeiten sol-len, eine Tatigkeit, die sie die letzten Schuljahre hindurchnicht mehr geubt haben. Lehrende, die dies fordern, wendensich gegen die Mentalitat des ”Knopfeledruckers“ (Original-zitat), der gar nicht mehr wisse, was er tut, und dies erst ein-mal lernen musse. Dagegen steht die Meinung derer, die fra-gen, was denn der grundsatzliche Unterschied zwischen derBenutzung eines Rechenschiebers oder einer Logarithmen-tafel einerseits und dem Einsatz eines Taschenrechners oderComputeralgebrasystems andererseits sei; schließlich musseman immer wissen, was man berechnen will und wie mandafur vorzugehen hat. Gleichzeitig liegen viele Erfahrungenvor, dass durch den Computeralgebraeinsatz zwar gute Stu-denten profitieren, schlechte aber noch schwachere Leistun-gen zeigen. Wie kann Lehre so gestaltet werden, dass durchdie Nutzung von Computeralgebra alle Studenten profitie-ren und das mathematische Verstandnis steigt? Wie sollte dasCurriculum weiterentwickelt werden? Wie mussen Klausu-ren gestaltet werden, bei denen der Einsatz eines Compu-teralgebrasystems zulassig ist? Lassen sich (in Zeiten vonWLAN und anderen technischen Moglichkeiten) Klausurenmit Rechnernutzung uberhaupt betrugssicher organisieren?Neben der Diskussion uber diese und ahnliche Fragen sol-len Berichte aus der Forschung die vielseitigen Aspekte derAnwendung von Computeralgebra illustrieren.

Es tragen vor: A. Kerber (Graphen in der Chemie), W.Werner (Von Maple zu MuPAD), P. Grobstich (Die Null-stellen der Zeta-Funktion und die Verteilung der Prim-zahlen), K. Buhler (Energetische Analyse des Rayleigh-Stokes-Problems), D. Hackenbracht (Simulation einer Zug-bremse), M. Karbalai (Neues zu Mathematica), T. Richard(Neue Features in Maple 11 und Zusatzprodukten), H.-D.Janetzko (CATO, ein neuer Zugang zu Computeralgebra),B. Alpers (Mathematikvorlesung mit Maple-Skript), H.-W.Henn (Computer in der Schule – junger Wein oder neueSchlauche?), M. Neunhoffer (Sudokus und Symmetrie), R.Kragler (A Mathematica Package for Construction of CircuitMatrices in Quantum Computation).

Organisation:E. Heinrich, H.-D. Janetzko

2. Gemeinsame Jahrestagung der DMV und derGDM 2007

Berlin, 25. – 30.03.2007

http://www.dmv-gdm-2007.math.hu-berlin.

de

Fur 2007 planen die Deutsche Mathematiker-Vereinigung(DMV) und die Gesellschaft fur Didaktik der Mathematik(GDM) erstmals eine gemeinsame Jahrestagung. Sie findetan der Humboldt-Universitat zu Berlin (HU) statt und wird

organisiert vom Institut fur Mathematik der HU. Ort des Ge-schehens ist das Hauptgebaude der Humboldt-Universitat,mitten im historischen Zentrum Berlins. An einem Vormit-tag ist die Tagung auf dem neuen naturwissenschaftlichenCampus der HU in Berlin-Adlershof, dem Sitz des Institutsfur Mathematik, zu Gast.

Es ist ein Minisymposium zum Thema ”Computeralgebraund ihre Didaktik“ geplant, das von H.-W. Henn (Dortmund)organisiert wird. Eine ausfuhrliche Ankundigung dieses Mi-nisymposiums finden Sie auf Seite 6 in diesem Rundbrief.

3. CAPP 2007 – DESY School on Computer Al-gebra and Particle PhysicsZeuthen, 25. – 30.03.2007

http://www-zeuthen.desy.de/theory/

capp2007/

During the last years, computer algebra methods have beenused widely throughout elementary particle physics. App-lications of modern computer algebra are an essential andestablished calculational tool and, at the same time, methodsand algorithms of computer algebra have become an import-ant area of research itself.

The CAPP school combines theory and practice in advancedenvironment. It provides education and training of about 30students and young researchers at graduate and Ph.D. levelon central topics at the interface of modern computer alge-bra and particle physics. The courses include exercises andpractical training with software and programs, the hands-onpart being a central component of the school.

Organization:Sven-Olaf Moch, Tord Riemann, Peter Wegner

4. ACAT 2007 – Advanced Computing and Ana-lysis Techniques in PhysicsAmsterdam, 23. – 27.04.2007

http://www-zeuthen.desy.de/main/html/

aktuelles/workshops.html

The main purpose of the ACAT (formerly AIHENP) series ofworkshops is to gather physicists (experimentalists and theo-rists) and computer science oriented researchers to exchangeideas, to discuss standards and to promote new technologiesrelated to “Computing intelligence” in physics research. Theapplications are targeted mainly to particle and nuclear phy-sics, astrophysics and accelerator science. Further informati-on will soon be provided at the site mentioned above.

5. Tagung der Fachgruppe ComputeralgebraKaiserslautern, 29. – 31.05.2007

http://www.mathematik.uni-kl.de/˜malle/

CA2007/ca2007.htm

Diese Tagung setzt die Reihe der Tagungen der Fachgrup-pe in Kassel fort. Bitte beachten Sie, dass der Termin um

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zwei Tage nach vorn verschoben wurde, da direkt im An-schluss in Kaiserslautern ein Geburtstagworkshop fur Prof.Dr. Gerhard Pfister stattfinden wird. Eine ausfuhrliche Ta-gungsankundigung finden Sie auf Seite 7 in diesem Rund-brief.

Organisation:Gunter Malle (Kaiserslautern)

6. Computer Algebra and Algebraic Geometry –Konferenz anlasslich des 60. Geburtstages vonGerhard PfisterKaiserslautern, 31.05. – 02.06.2007

http://www.mathematik.uni-kl.de/˜wwwagag/

workshops/gp60/

On the occasion of Gerhard Pfister’s 60th birthday, the con-ference “Algebraic Geometry and Computer Algebra” willbe held at the University of Kaiserslautern from May 31 toJune 2, 2007.

Organization:Klaus Altmann (Berlin), Anne Fruhbis-Kruger (Kaiserslau-tern), Gert-Martin Greuel (Kaiserslautern)

7. Summer School on SINGULAR and Applicati-onsKaiserslautern, 04.06. – 06.06.2007

http://www.mathematik.uni-kl.de/˜wwwagag/

workshops/singular-07/

The main goal of the school is to introduce PhD students andyoung postdocs from neighbouring fields to the effective useof computer algebra systems for solving problems in mathe-matics and applications.

8. CADGME – First Central and Eastern Euro-pean Conference on Computer Algebra andDynamic Geometry Systems in MathematicsEducationPecs, Ungarn, 21. – 23.06.2007

http://matserv.pmmf.hu/cadgme/

Invited speakers include Bruno Buchberger (Linz), VlastaKokol-Voljc (Maribor), Colette Laborde (Grenoble), Ken-neth Ruthven (Cambridge), Edith Schneider (Klagenfurt)and Luc Trouche (Lyon).

Organization:C. Sarvari (Pecs), Z. Lavicza (Cambridge)

9. MEGA 2007 – Effective Methods in AlgebraicGeometryStrobl, Osterreich, 24. – 30.06.2007

http://www.ricam.oeaw.ac.at/mega2007/

MEGA is the acronym for Effective Methods in AlgebraicGeometry (and its equivalent in Italian, French, Spanish,

German, Russian etc.), a series of roughly biannual confe-rences on computational and application aspects of Alge-braic Geometry and related topics, with very high standards.

Previous meetings were held in 1990 (Castiglioncello, Italy),1992 (Nice, France), 1994 (Santander, Spain), 1996 (Eind-hoven, Nederlands), 1998 (Malo, France), 2000 (Bath, UK),2003 (Kaiserslautern, Germany) and 2005 (Alghero, Italy).

Proceedings containing a selection of the papers and invi-ted talks presented at previous conferences have been pu-blished by Birkhauser in the series Progress in Mathematics(volumes 94, 109, 143), by the Journal of Pure and AppliedAlgebra (volumes 117, 118, 139, 164), and by the Journalof Symbolic Computation (volume 39/3-4 and one doubleissue to appear). We plan to publish selected papers fromthe conference in a special issue of the Journal of SymbolicComputation.

MEGA 2007 will be held at the BIFEB (a center for adulteducation) in Strobl am Wolfgangsee, Austria, from June 24to 30, 2007. Invited speakers include Thomas C. Hales (Pitts-burgh), Ilia Itenberg (Strasbourg), Michael Stoll (Bremen)and Peter Burgisser (Paderborn).

10. ICTMA13 – 13th International Conference onthe Teaching of Mathematical Modeling andApplications

Diese Tagung war ursprunglich fur Nepal vergeben worden.Aufgrund der Unruhen im letzten Jahr in Nepal wurde siein die USA gelegt. Nun ist die Lage in Nepal wieder ruhig.Deshalb und wegen der Vorarbeit der nepalesischen Kol-legen findet jetzt die Hauptkonferenz in den USA und eineSatelliten-Konferenz in Nepal statt:

Kathmandu University, Dhulikhel, Nepal, 24. –29.06.2007http://www.ku.edu.np/ictma13/

University of Indiana, USA, 22. – 26.07.2007http://www.ictma13.org

Mathematical modelling and applications, the transition,freely between real world problems and mathematical repre-sentations of such problems, is an enduring and importantfeature of industry, business and commerce, and thence alsoof major importance in mathematics education.

Teaching mathematical modelling, through tasks, projects,investigations and applications embedded in courses and ofmathematics itself through applications helps learners to un-derstand the relationships between real world problems andmathematical models.

This activity has a significant role to play at all levels ofeducation and stages of learning from the primary schoolthrough to college and university and beyond.

Mathematical modelling permeates society and so ICT-MA13 welcomes mathematicians, engineers and scientists,modellers in industry, government and finance, and teachersand researchers in schools and universities, all of whom havemuch to contribute.

Topics include modelling in education, government, businessand industry, valuating effectiveness, pedagogic issues forlearning and many more.

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11. CALCULEMUS 2007 – 14th Symposium onthe Integration of Symbolic Computation andMechanized ReasoningRISC Institute Castle of Hagenberg, Osterreich,27. – 30.06.2007

http://www.risc.uni-linz.ac.at/about/

conferences/Calculemus2007/

Calculemus is a series of conferences dedicated to the inte-gration of computer algebra systems and automated deducti-on systems towards the development of universal mathema-tical assistant systems.

Currently, symbolic computation is divided into several (mo-re or less) independent branches, traditional branches (e.g.computer algebra and theorem proving) as well as newlyemerging ones (on user interfaces, knowledge management,theory exploration, etc.).

The main concern of the Calculemus community is to bringthese developments together in order to facilitate the deve-lopment of integrated mathematical assistant systems thatwill routinely be used by mathematicians, computer scien-tists, and engineers in their every-day business.

The upcoming Calculemus meeting will be held jointly withMKM 2007 in Hagenberg, Austria, in the frame of the RISCSummer 2007 conference series.

Organization:M. Kauers (Linz), W. Windsteiger (Linz)

12. AB 2007 – Second International Conference onAlgebraic BiologyLinz, Osterreich, 02. – 04.07.2007

http://www.risc.uni-linz.ac.at/conferences/

ab2007/

The Second International Conference on Algebraic Biolo-gy is an international forum to promote discussion and in-teraction between researchers who intend to apply symboliccomputation – computer algebra and computational logic –to various issues in biology.

The conference covers all aspects of applications of alge-braic and logic methods in biology.

Authors are invited to submit original papers that havenot been submitted for publication elsewhere. Submissi-ons should be at most 15 pages including references, pre-pared in LaTeX and formatted according to the Springerlncs style (http://www.springer.de/comp/lncs/authors.html).

Submitted papers will be peer-reviewed, and the acceptedpapers will appear in the proceedings before the Conference.

We are currently negotiating with Springer to publish theproceedings within the Lecture Notes in Computer Science(LNCS) series.

Invited speakers include Reinhard Laubenbacher (VirginiaBioinformatics Institute), Bud Mishra (New York Universi-ty) and Gheorghe Paun (Institute of Mathematics of the Ro-manian Academy).

Organization:Hirokazu Anai (Fujitsu Laboratories Ltd), Bruno Buchber-ger (Johannes Kepler University of Linz), Hoon Hong (NorthCarolina State University), Katsuhisa Horimoto (NationalInstitute of Advanced Industrial Science and Technology)

13. ICIAM 2007 – 6th International Congress onIndustrial and Applied Mathematics (78. Jah-restagung der GAMM)Zurich, Schweiz, 16. – 20.07.2007http://www.iciam07.ch/

It is a great pleasure to invite all interested persons to attendthe 6th International Congress on Industrial and Applied Ma-thematics, ICIAM 2007, to be held in Zurich, Switzerlandduring 16-20 July.

Our ambitious goal is to create the most important worldwi-de conference in the field of Industrial and Applied Mathe-matics since the last congress, ICIAM 2003, held in Sydney.

The conference aims to cover the developments in researchin applied mathematics, the industrial applications of mathe-matics, and last but not least the interaction of mathematicswith industry and the sciences.

At ICIAM 2003 the new feature of embedded meetings wasintroduced. We are happy to announce that 5 embedded mee-tings will make the overall program of ICIAM 2007 Con-gress even richer. Of these 5 embedded meetings the annualmeeting of GAMM, Gesellschaft fur Angewandte Mathema-tik und Mechanik, is by far the biggest. It will demonstratethe importance of the cooperation between mathematics andmechanics.

14. ACA 2007 – 13th International Conference onApplications of Computer AlgebraOakland University, Rochester, USA, 19. –22.07.2007http://www2.oakland.edu/aca/index.cfm

The ACA series of conferences is devoted to promotingthe applications and development of Computer Algebra andSymbolic Computation.

Topics include computer algebra and symbolic computationin engineering, the sciences, medicine, pure and applied ma-thematics, education, communication and computer science.

Organization:T. Shaska, E. Kaltofen, J. Gutierrez, A. Hulpke

15. SNC 2007 – Conference on Symbolic-NumericComputationUniversity of Western Ontario, Kanada, 25. –27.07.2007http://www.orcca.on.ca/conferences/

snc2007/site/index.html

Algorithms that combine ideas from symbolic and numericcomputation have been of increasing interest over the pastdecade. The growing demand for speed, accuracy and relia-bility in mathematical computing has accelerated the processof blurring the distinction between two areas of research thatwere previously quite separate.

The goal of the present workshop is to support the interactionand integration of symbolic and numeric computing. Earliermeetings in this series include the SNAP 96 Workshop, heldin Sophia Antipolis, France, and the SNC 2005 meeting, heldin Xi’an, China. Following the tradition, Symbolic-NumericComputation 2007 will be held July 25-27 in London, Cana-da.

SNC 2007 is affiliated with the 2007 International Symposi-um on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC 2007).

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Co-located with this workshop will be PASCO 2007 (see be-low), the 2007 International Workshop on Parallel SymbolicComputation.

SNC and PASCO will be held immediately prior to theISSAC 2007 meeting, both at the University of Western On-tario, Canada. ISSAC 2007 will be held nearby in Waterloo,Canada.

Organization:S. Watt (General Chair), J. Verschelde (PC Chair)

16. PASCO 2007 – International Workshop onParallel Symbolic Computation

University of Western Ontario, Kanada, 27. –28.07.2007

http://www.orcca.on.ca/conferences/

pasco2007/site/index.html

The pervasive ubiquity of parallel architectures, from SMPsto multi-core laptops, has led to a new quest for mathemati-cal algorithms and software capable of exploiting these com-puting resources. Symbolic computation offers exciting, buthighly complex, challenges to scientists aiming to contributeto this quest.

The goal of this workshop is to stimulate the developmentof parallel algorithms and software for achieving high per-formance in symbolic computation from grids to home com-puters. Earlier meetings in this series include PASCO ’94 inLinz, Austria and PASCO ’97 in Maui, U.S.A.

PASCO 2007 is affiliated with the 2007 International Sym-posium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC2007). Co-located with this workshop will be SNC 2007, the2007 International Workshop on Symbolic-Numeric Com-putation. SNC and PASCO will be held immediately prior tothe ISSAC 2007 meeting, both at the University of WesternOntario, Canada.

Organization:M. Maza (General Chair), S. M. Watt (Proceedings Editor)

17. ISSAC 2007 – International Symposium onSymbolic and Algebraic Computation

Waterloo, Kanada, 28.07. – 01.08.2007

http://www.cs.uwaterloo.ca/˜issac07

ISSAC is the yearly premier International Symposium inSymbolic and Algebraic Computation. It provides an oppor-tunity to learn of new developments and to present originalresearch results in all areas of symbolic mathematical com-putation. Planned activities include invited presentations, re-search papers, poster sessions, tutorial courses, vendor exhi-bits and software demonstrations.

ISSAC 2007 will be held from July 29 to August 1, 2007 inWaterloo, Canada. Deadline for submissions is January 17,2007, notification of acceptance/rejection is March 28, 2007.Please note that the refereeing and publication schedule doesnot permit any delays in these dates. Paper submission in-structions and further details will follow in the second callfor papers and will be posted on the ISSAC 2007 web site.

Conference topics include, but are not limited to algorithmicmathematics (algebraic, symbolic and symbolic-numeric al-gorithms, simplification, function manipulation, summation,

integration, polynomial/differential/difference equations, li-near algebra, number theory, group and invariant theory, geo-metric computing), computer science (theoretical and prac-tical problems in symbolic computation, systems, problemsolving environments, user interfaces, software, libraries,parallel/distributed computing and programming languages,concrete analysis, benchmarking, theoretical and practicalcomplexity, automatic differentiation, code generation, ma-thematical data structures and exchange protocols) and app-lications (problem treatments using algebraic, symbolic orsymbolic-numeric computation in an essential or a novelway, engineering, economics and finance, physical and bio-logical sciences, computer science, logic, mathematics andeducation).

Organization:Dongming Wang (General Chair), Keith Geddes, Mark Gies-brecht, George Labahn, Arne Storjohann (Local Arrange-ments), Viktor Levandovskyy (Publicity Chair)

18. CASC 2007 – The 10th International Work-shop on Computer Algebra in Scientific Com-putingTechnische Universitat Munchen und Rheini-sche Friedrich-Wilhelms-Universitat Bonn, 16. –20.09.2007

http://wwwmayr.in.tum.de/konferenzen/

CASC2007/

The 10th International Workshop in Computer Algebra inScientific Computing, CASC 2006, will be held in Munichand Bonn, September 16-20, 2007.

The methods of Scientific Computing play an important ro-le in research and engineering applications in the naturaland the engineering sciences. The significance and impactof computer algebra methods and computer algebra systemsfor scientific computing has increased considerably in recenttimes. Nowadays, such general purpose computer algebrasystems as Maple, Magma, Mathematica, MuPAD, Singu-lar, CoCoA and others enable their users to solve the follo-wing three important tasks within a uniform framework: (a)symbolic manipulation (b) numerical computation (c) visua-lization.

19. INFORMATIK 2007 – 37. Jahrestagung derGesellschaft fur Informatik e.V. (GI)Bremen, 24. – 28.09.2007

http://www.informatik2007.de/

Die jahrlich stattfindende Jahrestagung der Gesellschaftfur Informatik, INFORMATIK 2007, prasentiert traditionellein breites Spektrum an relevanten Themen der Informa-tik. In eingeladenen Vortragen sowie ausgewahlten Work-shops, Symposien und anderen Veranstaltungen werden ak-tuelle Trends und Entwicklungen beleuchtet und diskutiert.Daruber hinaus finden Fachleute aus Wissenschaft, Wirt-schaft und Praxis auf der INFORMATIK 2007 ein Forumfur den Austausch mit Gleichgesinnten.

Die INFORMATIK 2007 steht unter dem Motto ”Informatiktrifft Logistik“. Sowohl in den Hauptvortragen als auch inden Workshops wird dieses Motto unter verschiedenen Ge-sichtspunkten behandelt werden.

Die INFORMATIK 2007 findet in den Raumen der Uni-versitat Bremen statt. Der am Stadtrand gelegene Campusist vom Stadtzentrum mit offentlichen Verkehrsmitteln in 15

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Minuten zu erreichen. Parkplatze befinden sich vor Ort. Dernahe gelegene Burgerpark und ein Naturschutzgebiet ladenzu erholsamen Spaziergangen in den Pausen ein. Das Univer-sum am Ende des Campus bietet Wissenschaftsinteressierteneine Spielwiese fur Experimente im Science Center.

20. Zehnter Mitteldeutscher Computeralgebra-TagCottbus, Oktober 2007http://www.informatik.uni-leipzig.de/

˜graebe/MCAT/

Es ergeht die herzliche Einladung zum Zehnten Mitteldeut-schen Computeralgebra-Tag. Das genaue Datum lag bei Re-daktionsschluss leider noch nicht fest.

Organisation:Hans-Gert Grabe (Leipzig), Bernd Martin (Cottbus)

21. ASCM 2007 – The Eighth Asian Symposiumon Computer MathematicsNational University of Singapore, 15. –17.12.2007http://www.comp.nus.edu.sg/˜ascm2007/

The Asian Symposia on Computer Mathematics (ASCM) area series of conferences which offer a forum for participantsto present original research, to learn of research progressand new developments, and to exchange ideas and views ondoing mathematics using computers. ASCM 2007 will con-sist of invited talks, regular sessions of contributed papers,and software demonstrations.

ASCM 2007 is the eighth in the series. The previous sympo-sia in this series were held in Beijing (China), Kobe (Japan),Lanzhou (China), Chiang Mai (Thailand), Matsuyama (Ja-pan), Beijing (China), and Seoul (Korea), respectively. Spe-cific topics include but are not limited to symbolic, algebraic,and geometric computation and computational methods fordifferential and difference equations.

Organization:Wang Huaxiong (Nanyang Technological University, Sin-gapore), Xing Chaoping (National University of Singapore,Singapore)

22. Jahrestagung der GDM 2008

Budapest, Ungarn, 13. – 20.03.2008

http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.

de/gdm/home.shtml

Die Gesellschaft fur Didaktik der Mathematik (GDM) ladtherzlich zu ihrer Jahrestagung 2008 nach Budapest ein.Nahere Informationen erhalten Sie demnachst auf oben ge-nannter Webseite.

23. Computeralgebra in Lehre, Ausbildung undWeiterbildung VI

Reinhardswaldschule Kassel, 26. – 29.03.2008

http://www.fachgruppe-computeralgebra.

de/CLAW

Diese Tagung der Fachgruppe Computeralgebra der DMV,GI und GAMM findet im ”Jahr der Mathematik“ statt. Siesetzt die Tagungsreihe Computeralgebra in Lehre, Ausbil-dung und Weiterbildung fort, die bereits funfmal in Thurnau,Schontal und Schonenberg stattfand. Traditionsgemaß findetdiese Tagung in der Woche nach Ostern statt, diesmal vom26.–29. Marz 2008 in der Reinhardswaldschule bei Kas-sel (http://afl.bildung.hessen.de/service/fuldatal/start).

24. ICME 11 – The International Congress on Ma-thematical Education

Monterrey, Mexiko, 06. – 13.07.2008

http://extra.shu.ac.uk/iowme/icmi.html

A major event in the life of the international mathematicseducation community is formed by the quadrennial Interna-tional Congress on Mathematical Education, ICME, held un-der the auspices of ICMI.

For each ICME the scientific program is planned by an Inter-national Program Committee, IPC, appointed by but in prin-ciple working independently of the ICMI EC.

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Zeitschriften

New Journal: Mathematics in Computer Science

A new journal is launched by Birkhauser Springer in2007: Mathematics in Computer Science. There will beone volume per year and four issues per volume, approx.600 pages per volume (ISSN (print): 1661-8270, ISSN(online): 1661-8289).

Aims & Scope: Mathematics in Computer Science pu-blishes high-quality original research papers on the de-velopment of theories and methods for computer andinformation sciences, the design, implementation, andanalysis of algorithms and software tools for mathema-tical computation and reasoning, and the integration ofmathematics and computer science for scientific and en-

gineering application.Insightful survey articles may be submitted for pu-

blication by invitation. As one of its distinct features,the journal will publish only special issues on carefullyselected topics, reflecting the trends of development inthe broad area of Mathematics in Computer Science.Submission of proposals for special issues is welcome.

Editors-in-Chief: Dongming Wang (Managing Editor)and Zhiming Zheng, Beijing, China.

Further Information: www.birkhauser.ch/MACIS

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Call For Papers:Special Issue of the Journal of Symbolic Computation

in honour of Karin Gatermann (1961–2005)

We invite researchers, especially those inspired directlyby Professor Gatermann’s work, to submit high-qualityresearch papers for a special issue of the Journal of Sym-bolic Computation, to be published in her honour.

Professor Karin Gatermann made a substantial im-pact in several areas of computational mathematics andapplications, especially toric geometry, symmetry, bifur-cation, numerical quadrature, and chemical mass-actionkinetics. As well as her papers, she made significantsoftware contributions.

It is planned that this special issue will contain asurvey and annotated bibliography of her work.

Submission Guidelines: Papers must be submittedby e-mail or regular mail to one of the Guest Edi-tors and should be no more than 18 pages using theJSC LaTeX stylefile that can be downloaded from

http://www4.ncsu.edu/˜hong/jsc.html.All submissions will be formally acknowledged. Allsubmitted papers will be subject to refereeing accordingto the usual high-quality JSC refereeing standards.

Important Dates:Submission of papers: July 1, 2007Notification of acceptance/rejection: January 2008Delivery of camera-ready final LaTeX files: March 2008Expected publication date: September 2008

Guest editors: Robert M. Corless (Department of App-lied Mathematics, University of Western Ontario, Cana-da), Reiner Lauterbach (Fachbereich Mathematik, Uni-versitat Hamburg) and Hans-Michael Moeller (Institutfur Angewandte Mathematik, Universitat Dortmund).

Lehrveranstaltungen zu Computeralgebra im SS 2007

• Rheinisch–Westfalische Technische Hochschu-le AachenComputeralgebra I, W. Plesken, V2+U1Algebraisches Praktikum, G. Hiß, F. Lubeck, P2Begleitpraktikum Computermathematik, W. Ples-ken, G. Hartjen, P2Arbeitsgemeinschaft MAPLE, V. Dietrich, G.Hartjen, S2Einfuhrung in das ComputeralgebrasystemMAPLE, V. Dietrich

• Universitat BayreuthKonstruktionsalgorithmen, R. Laue, V2+U1Seminar Konstruktionsalgorithmen, R. Laue, S2Einfuhrung in die Computeralgebra, A. Kohnert,V2+U1Codierungstheorie, A. Kerber, V4+U2

• Technische Universitat BerlinCodierungstheorie, M. Pohst, V4+U2Seminar Algorithmische Algebra und Zahlentheo-rie, F. Heß, M. Pohst, S2

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• Ruhr-Universitat BochumComputeralgebra (Blockkurs), R. Holtkamp

• Technische Universitat DarmstadtAlgebra in der Schule, R. Bruder, V2+U2

• Hochschule fur angewandte WissenschaftenDeggendorfKryptographie, J. Grabmeier, V2

• Universitat DortmundSymbolisches Rechnen, H. M. Moller, V4+U2Anwendungen der Computeralgebra, M. Kreuzer,V2+U2Oberseminar Approximationstheorie und Com-puteralgebra, J. Stockler, H. M. Moller, S2

• Heinrich-Heine-Universitat DusseldorfComputergestutzte Mathematik zur Linearen Al-gebra (Matlab), M. Hochbruck, V1+U2Computergestutzte Mathematik zur Analysis(Maple), R. Meise, V1+U2Konstruktive Algebraische Zahlentheorie, J.Kluners, V4+U2

• Universitat Duisburg-EssenDiskrete Mathematik, T. v. Tran, V2Kryptographie II, W. Lempken, V2

• Universitat Erlangen-NurnbergSoftware-Werkzeuge im mathematischen Bereich,H. J. Schmidt, V2+U2Zahlentheorie und Kryptographie, H. Meyn,V3+U2Information, Codierung, Komplexitat, V. StrehlV4Komputationelle Geometrie, W. Degen, V4

• Technische Universitat Hamburg-HarburgDiskrete Mathematik Ib, K.-H. Zimmermann,V2+U1Kombinatorische Optimierung, K.-H. Zimmer-mann, V2+U1Proseminar Algebraische Berechnungen, P. Ba-tra, S2Seminar Numerische Algebraische Geometrie, P.Batra, S. M. Rump, S2

• Martin-Luther-Universitat Halle (Saale)Seminar Mathematik mit Mathcad und Matlab,H. Benker, C. Henkel, K. Winkler, S2

• Universitat HeidelbergSoftwarepraktikum Computeralgebra, M. Dett-weiler, P6

• Technische Universitat KaiserslauternComputeralgebra, A. Fruhbis-Kruger, V4Seminar Singularitatentheorie und Computeral-gebra, G.-M. Greuel, G. Pfister, S2

• Padagogische Hochschule KarlsruheInformatik II, J. Ziegenbalg, V2

• Universitat KasselEinfuhrung in Computeralgebrasysteme II (Mu-PAD), R. Schaper, V2Kryptographie, H.-G. Ruck, V4+U2Computeralgebra II, W. Koepf, V4+U2Oberseminar Computational Mathematics, W.Bley, W. Koepf, H.-G. Ruck, W. Seiler, S2

• Universitat KolnAlgebraische Algorithmen, S. Porschen, V2

• Hochschule fur Technik, Wirtschaft und Ge-staltung KonstanzEinfuhrung in Computeralgebra, E. Heinrich, P1Computeralgebra, E. Heinrich, P1

• Universitat LeipzigGeometrie mit dem Computer, H.-G. Grabe, V2Fachseminar Algebra, C. Diem, S2

• Ludwig-Maximilians-Universitat MunchenKryptographie mit Ubungen, O. Forster, V2

• Technische Universitat MunchenAlgebraische Methoden in der Kryptologie, F.Himstedt, C. Karpfinger, V4+U2Kryptologie II, A. Gerold, V2

• Universitat OldenburgSeminar zur Computeralgebra, W. Schmale, S2

• Universitat PaderbornComputeralgebra, P. Burgisser, V2+U1Kryptographie, J. Blomer, V2+U1Codierungstheorie, J. Blomer, V2+U1Proseminar Kryptographie, J. Blomer, PS2

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Aufnahmeantrag fur Mitgliedschaft in der Fachgruppe Computeralgebra(Im folgenden jeweils Zutreffendes bitte im entsprechenden Feld [ ] ankreuzen bzw. ausfullen.)

Titel/Name: Vorname:

PrivatadresseStraße/Postfach:

PLZ/Ort: Telefon:

E-mail: Telefax:DienstanschriftFirma/Institution:

Straße/Postfach:

PLZ/Ort: Telefon:

E-mail: Telefax:

Gewunschte Postanschrift: [ ] Privatadresse [ ] Dienstanschrift

1. Hiermit beantrage ich zum 1. Januar 200 die Aufnahme als Mitglied in die Fachgruppe

Computeralgebra (CA) (bei der GI: 0.2.1).

2. Der Jahresbeitrag betragt e7,50 bzw. e9,00. Ich ordne mich folgender Beitragsklasse zu:[ ] e7,50 fur Mitglieder einer der drei Tragergesellschaften

[ ] GI Mitgliedsnummer:[ ] DMV Mitgliedsnummer:[ ] GAMM Mitgliedsnummer:

Der Beitrag zur Fachgruppe Computeralgebra wird mit der Beitragsrechnung der Tragergesellschaft in Rech-nung gestellt. (Bei Mitgliedschaft bei mehreren Tragergesellschaften wird dies von derjenigen durchgefuhrt, zuder Sie diesen Antrag schicken.) [ ] Ich habe dafur bereits eine Einzugsvollmacht erteilt. Diese wird hiermitfur den Beitrag fur die Fachgruppe Computeralgebra erweitert.

[ ] e7,50. Ich bin aber noch nicht Mitglied einer der drei Tragergesellschaften. Deshalb beantrage ich gleichzeitigdie Mitgliedschaft in der

[ ] GI [ ] DMV [ ] GAMM.

und bitte um Ubersendung der entsprechenden Unterlagen.[ ] e9,00 fur Nichtmitglieder der drei Tragergesellschaften. [ ] Gleichzeitig bitte ich um Zusendung von Informa-

tionen uber die Mitgliedschaft in folgenden Gesellschaften:

[ ] GI [ ] DMV [ ] GAMM.3. Die in dieses Formular eingetragenen Angaben werden elektronisch gespeichert. Ich bin damit einverstanden, dass

meine Postanschrift durch die Tragergesellschaften oder durch Dritte nach Weitergabe durch eine Tragergesellschaftwie folgt genutzt werden kann (ist nichts angekreuzt, so wird c. angenommen).[ ] a. Zusendungen aller Art mit Bezug zur Informatik, Mathematik bzw. Mechanik.[ ] b. Zusendungen durch wiss. Institutionen mit Bezug zur Informatik, Mathematik bzw. Mechanik.[ ] c. Nur Zusendungen interner Art von GI, DMV bzw. GAMM.

Ort, Datum: Unterschrift:

Bitte senden Sie dieses Formular an:

Sprecher der Fachgruppe ComputeralgebraProf. Dr. Wolfram KoepfFachbereich Mathematik/InformatikUniversitat KasselHeinrich-Plett-Str. 4034132 Kassel0561-804-4207, -4646 (Fax)koepf@mathematik.uni-kassel.de

Fachgruppenleitung Computeralgebra 2005-2008

Sprecher:Prof. Dr. Wolfram KoepfUniversitat KasselFachbereich Mathematik/InformatikHeinrich-Plett-Str. 4034132 Kassel0561-804-4207, -4646 (Fax)koepf@mathematik.uni-kassel.dehttp://www.mathematik.uni-kassel.de/

˜koepf

Stellvertretender Sprecher:Prof. Dr. Gerhard HißLehrstuhl D fur MathematikRWTH AachenTemplergraben 6452062 Aachen0241-80-94543, -92108 (Fax)Gerhard.Hiss@Math.RWTH-Aachen.dehttp://www.math.rwth-aachen.de/

˜Gerhard.Hiss

Prof. Dr. Bettina EickArbeitsgruppe Algebra und diskrete MathematikInstitut Computational MathematicsTechnische Universitat BraunschweigPockelsstrasse 1438106 Braunschweig0531-391-7525, -8206 (Fax)beick@tu-bs.dehttp://www.tu-bs.de/˜beick

Vertreter der GI, FachreferentComputeralgebra-Neuerscheinungen:Prof. Dr. Johannes GrabmeierHochschule fur angewandte Wissenschaften –FH Deggendorf94469 Deggendorf0991-3615-141johannes.grabmeier@fh-deggendorf.dehttp://www.fh-deggendorf.de/

home/allgemein/professoren/grabmeier

Vertreter der GAMM,Fachreferent Computational Engineering:Prof. Dr. Klaus HacklRuhr-Universitat BochumLehrstuhl fur Allgemeine MechanikUniversitatsstr. 15044780 Bochum0234-32-26025, -14154 (Fax)hackl@am.bi.rub.de

Fachexperte Physik:Dr. Thomas HahnMax-Planck-Institut fur PhysikFohringer Ring 680805 Munchen089-32354-300, -304 (Fax)hahn@feynarts.dehttp://wwwth.mppmu.mpg.de/members/hahn

Fachreferentin Fachhochschulen:Prof. Dr. Elkedagmar HeinrichHochschule fur Technik,Wirtschaft und Gestaltung KonstanzFachbereich Informatik78462 Konstanz07531-206-343, -559 (Fax)heinrich@fh-konstanz.dehttp://www.in.fh-konstanz.de/de/

Fachbereich/Kontakt/persseiten_nbc/heinrich.html

Fachreferent Lehre und Didaktik:Prof. Dr. Hans-Wolfgang HennUniversitat DortmundFachbereich Mathematik44227 Dortmund0231-755-2939, -2948 (Fax)wolfgang.henn@mathematik.uni-dortmund.dehttp://www.wolfgang-henn.de

Fachreferent Schule:OStD. Heiko KnechtelAn der Tranke 2a31675 Buckeburg05722-23628HKnechtel@aol.com

Fachreferent Internet/Math. Software:Prof. Dr. Ulrich KortenkampPadagogische Hochschule Schwabisch GmundAbteilung InformatikOberbettringer Straße 20073525 Schwabisch Gmund07171-983-461, -212 (Fax)kortenkamp@cinderella.dehttp://kortenkamps.net/

Fachexperte Jahr der Mathematik:Prof. Dr. Martin KreuzerUniversitat DortmundFachbereich Mathematik44221 Dortmund0231-755-3081, -5928 (Fax)martin.kreuzer@uni-dortmund.dehttp://www.mathematik.

uni-dortmund.de/˜kreuzer

Fachexperte Chemie:Prof. Dr. Reinhard LaueUniversitat BayreuthMathematisches Institut95440 Bayreuth0921-55-3275, -3385 (Fax)laue@uni-bayreuth.dehttp://www.mathe2.uni-bayreuth.de/

people/laue.html

Prof. Dr. Gunter MalleTechnische Universitat KaiserslauternFachbereich MathematikGottlieb-Daimler-Straße67663 Kaiserslautern0631-205-2264, -3989 (Fax)malle@mathematik.uni-kl.dehttp://www.mathematik.uni-kl.de/

˜malle

Vertreter der DMV:Prof. Dr. B. Heinrich MatzatIWR, Universitat Heidelberg,Im Neuenheimer Feld 36869120 Heidelberg06221-54-8242,-8318(Sekr.), -8850 (Fax)matzat@iwr.uni-heidelberg.dehttp://www.iwr.uni-heidelberg.de/

groups/compalg/matzat

Fachexperte Rundbrief:Dr. Markus WesslerKopernikusstr. 681679 Munchen089-69777336wessler@mathematik.uni-kassel.de