Carl Friedrich Gauss: el príncipe de las matemáticasPublicado por ^DiAmOnD^ el 30 de abril de 2009 en Matemáticos | 16 comentariosQue este blog llamándose Gaussianos no tenga una biografía de este gran matemático raya el sacrilegio. Hoy, día en el que se cumplen 232 años de su nacimiento, vamos a subsanar el entuerto.Johann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick,

Alemania, y murió el 23 de febrero de 1855 en Göttingen, también en el país

teutón. Sus estudios e investigaciones pueden localizarse tanto en

matemáticas como en física y astronomía. Posiblemente la teoría de números

sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya

sido mayor (recordemossus propias palabras sobre ella). Pero ni muchos

menos la cosa se queda ahí. Las aportaciones de Gauss a la geometría

diferencial, al análisis matemático, a la estadística o al a geodesia son

realmente notables.

Podemos decir que Gauss fue un niño prodigio en lo que se refiere a las

matemáticas en general y al cálculo en particular. A los 3 años de edad corrigió

a su padre una operación que estaba realizando relacionada con pagos de

salarios a los trabajadores que tenía a su cargo. Pero puede que la anécdota

más conocida de su infancia sea la ocurrida cuando contaba con 7 años de

edad (y que ya comentamos en el primer post de la historia de Gaussianos).

Estando en el colegio, en uno de esos típicos momentos de barullo entre niños

de esa edad su profesor J.G Bütner castigó a toda la clase con sumar todos los

números naturales desde el 1 hasta el 100. Casi de forma instantánea Gauss

tenía la respuesta correcta: 5050 (los detalles los podéis encontrar en el post

enlazado hace unas líneas). La cuestión es que este hecho, junto con muchos

otros, contribuyeron a que los profesores de Gauss vieran en él algo especial,

una especie de don para las matemáticas, y que hablaran con sus padres para

permitirle recibir clases complementarias de matemáticas después de las

clases ordinarias.

Quizás esas son las dos anécdotas más conocidas de la infancia de nuestro

personaje, pero no son las únicas. Poco después de cumplir 10 años Gauss ya

había descubierto dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de

50 cifras decimales y cuentan que en esa época encontró pequeños errores en

tablas logarítmicas que cayeron en sus manos. Sencillamente impresionante.

En 1788 ingresó en el Gymnasium local (escuela secundaria) y aprendió

principalmente cultura clásica. Su formación matemática continuó a través de

instrucciones particulares y mediante la lectura de libros, entre los que se

encuentran obras de arte como los Principia de Newton o el Ars Conjectandide

Bernoulli. Tal fue la fama que adquirió en el Gymnasium que a los 15 años el

duque de su ciudad natal apoyó a Gauss económicamente para que siguiera

estudiando en el Collegium Carolinum de Brunswick.

Al comienzo de esta etapa de sus estudios se puede decir que Gauss ya

poseía suficientes conocimientos como para haberse graduado. En 1795 dejó

el centro habiendo hecho tantas matemáticas como para terminar una carrera.

En esta época comenzaron sus propuestas de aproximación de la

función   (función que cuenta los números primos menores o iguales

a  ). Comenzó proponiendo:

para después ajustar más con:

Su gran capacidad para el cálculo le permitió comprobar dicha fórmula

hasta  .

Después del Collegium eligió la Universidad de Göttingen para sus estudios,

posiblemente debido a que ésta poseía una gran biblioteca matemática.

Revisando los registros de dicha biblioteca sorprende el hecho de que Gauss

retirara más libros de Humanidades que de Matemáticas. Pero este hecho no

supuso, ni muchísimo menos, que se retirara de esta ciencia. Más bien todo lo

contrario.

Su primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un

heptadecágono (polígono regular de 17 lados) con regla y compás en el sentido

clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un

resultado más general sobre construcciones con regla y compás que recuerdo

aquí aunque en Gaussianos ya lo conocemos:

Un polígono regular de   lados es construible con regla y compás (en el

sentido clásico de estas construcciones) si   es igual al producto de una

potencia de   por un cierto número de primos de Fermat distintos, es

decir:

, siendo   primos de Fermat distintos.

Por tanto, para   y   se tiene que todo polígono regular cuyo

número de lados es un primo de Fermat es construible con regla y compás.

Como  es uno de ellos, el heptadecágono es construible de esta forma.

Gauss estaba tan orgulloso de la demostración de este resultado que decidió

estudiar Matemáticas por él.

Estando todavía en la universidad Gauss realizó otros importantes

descubrimientos, entre los que destacan los siguientes:

Inventó la aritmética modular (y II), hecho que sirvió para unificar la teoría de

números.

Demostró la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no demostrada

completamente por Legendre unos años antes.

Demostró que todo número número entero positivo puede expresarse como

suma de como mucho tres números triangulares (en su diario podía

leerse ¡Eureka! num= ).

Dos años en Göttingen le bastaron para darse cuenta de que ya nadie podía

hacerle avanzar allí. Por ello volvió a su casa en Brunswick a escribir su tesis

doctoral. Como tema central de la misma eligió el teorema fundamental del

álgebra, que dice que todo polinomio de grado   con coeficientes

complejos tiene exactamente   raíces complejas (aunque bastaría

formularlo así: todo polinomio de grado   con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja). Aunque en la actualidad su primera

demostración no está aceptada, las otras tres demostraciones del mismo

resultado que produjo durante su vida sí son plenamente correctas.

En 1801 Gauss publico en su obra Disquisitiones Arithmeticae. En ella, a

partir de la aritmética modular (congruencias), reunió una gran cantidad de

resultados relacionados con teoría de números (la ley de reciprocidad

cuadrática entre ellos). Esta publicación contribuyó de manera fundamental a la

sistematización de dicha rama de las matemáticas. En este enlace podéis

encontrar una versión digital de la primera traducción al español de dicha obra.

Después de esto Gauss añadió la astronomía a su radio de acción. Este mismo

año 1801 el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi observó lo que pensó que era

un planeta, pero le perdió la pista demasiado pronto. Gauss predijo que no era

un planeta, sino un asteroide, utilizando elipses en vez de circunferencias para

modelizar las órbitas y creando el método de mínimos cuadradospara

minimizar los errores de medida cometidos. A finales de 1801 los astrónomos

encontraron el asteroide Ceres exactamente donde Gauss predijo que estaría.

Otro de los campos a los que Gauss le dedicó parte de su tiempo fue

lageodesia, es decir, las matemáticas que describen y representan la Tierra.

En 1817, después de dos décadas sin interesarse por esta rama, fue nombrado

responsable de un estudio geodésico en Hannover. Después de inspeccionar

tierra y tomar datos durante gran parte de tiempo Gauss no estaba demasiado

satisfecho con las técnicas geodésicas del momento. Por ello inventó

el heliotropo, instrumento que utiliza espejos para dirigir los rayos de luz a

través de aperturas pequeñas de telescopios.

Pero quizás la incursión de Gauss en las geometrías no euclídeas sea la

espina clavada en la vida matemática de nuestro protagonista. A la vista de sus

cuadernos parece ser que Gauss fue la primera persona que intuyó que

eliminando el quinto postulado de la geometría euclídea se podía crear una

geometría tan consistente como ella, pero por falta de datos empíricos decidió

no publicar ninguno de sus trabajos ni comunicárselos a nadie…hasta que

János Bolyai descubrió ese mismo resultado de forma independiente. Cuando

Gauss tuvo conocimiento de dicho trabajo envió una carta al padre de Bolyai en

la que se puede leer el siguiente párrafo:

Alabarlo sería como alabarme a mí mismo. Todo el contenido del trabajo…

coincide casi exactamente con mis propias meditaciones, las cuales ha

ocupado mi mente durante los pasados treinta y cinco años.

La familia Bolyai no se tomó demasiado bien estas palabras al creer que Gauss

quería atribuirse este descubrimiento.

En este mismo campo podemos destacar que fue el encargado de la ponencia

que tuvo que exponer Riemann para confirmar su habilitación en Göttingen,

relacionada con la geometría no euclídea (además de supervisar la tesis

doctoral del mismo Riemann que versaba sobre lo que ahora se conoce

comosuperficies de Riemann).

Por otra parte, en la época de sus estudios de Hannover también se interesó

por la geometría diferencial. Sobre este campo publicó Disquisitiones generales circa superficies curva, donde demostró su gran resultado en esta

rama: el teorema egregium. De esta obra derivó también el concepto

decurvatura de Gauss.

Otro de los campos en los que se introdujo Gauss fue la estadística. En 1823

publicóTheoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae,

dedicada a la distribución normal. La representación gráfica de la función de

densidad de dicha distribución es la denominada campana de Gauss (podéis

verla en la imagen de la izquierda para distintos valores de su media   y

su desviación típica  ). Tanto esta curva como su distribución de

probabilidad son en la actualidad enormemente útiles para muchísimos

estudios relacionados con distribuciones de datos y su facilidad para ajustarse

como modelo a situaciones muy diversas la convierte en una herramienta

fundamental en muchos campos de estudio..

Algunos otros descubrimientos y resultados que han terminado llevando el

nombre de Gauss son los siguientes:

El teorema de Gauss-Bonnet

El método de Gauss para triangular una matriz (y el método de eliminación de

Gauss-Jordan).

El método de Gauss-Seidel (método iterativo para resolver sistemas de

ecuaciones lineales).

El teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss (y por

teorema de Ostrogradsky-Gauss).

Podéis encontrar una lista más completa aquí (en inglés).

Para terminar, comentar que Gauss no se mostraba demasiado ilusionado con

el hecho de tener que impartir clases. De hecho posiblemente el no tener la

obligación de impartirlas durante gran parte de su vida debió ser una de las

razones por las que Gauss pudo avanzar tantos en todos los campos de la

ciencia en los que se involucró. A pesar de eso entre sus alumnos se

encuentran grandes personalidades de la historia de las matemáticas como

Bessel, Dedekind o el ya nombrado Riemann.

Fuentes:

Biografía de Gauss  en MacTutor

Carl Friedrich Gauss  en la Wikipedia (en español)

Carl Friedrich Gauss  en la Wikipedia (en inglés)

Dios creó los números, libro de Stephen Hawking

Imágenes obtenidas de la Wikipedia (excepto la del heptadecágono)

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del

blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página

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16 Comentarios

1.Pepito30/04/2009

Es “raya el sacrilegio”.Publica una respuesta

2.gaussianos30/04/2009

Ups, vaya fallo. Gracias Pepito.Publica una respuesta

3.Omar-P30/04/2009

A partir del 24 agosto de 2006 podemos decir también que Gauss calculó la

órbita y predijo la posición del primer planeta enano.Publica una respuesta

4.Pereque30/04/2009

El último billete de 10 marcos alemanes tiene el retrato de Gauss y la curva de

la distribución normal. Por ahí debo tener uno que compré en una casa de

cambio sólo porque tenía a Gauss. 

¡Saludos!Publica una respuesta

5.Tobar01/05/2009

^DiAmOnD^, hay un pequeño error en el segundo parrafo, segundo renglon.

deberia ser…”a los 3 años de edad…”.Publica una respuesta

6.gaussianos01/05/2009

Gracias por el aviso Tobar.Publica una respuesta

7.Sr. Curioso03/05/2009

Perdonen que los interrumpa con algunas preguntas que no tienen mucho que

ver con el tema, pero necesitaria la respuesta a los siguientes interrogantes(y

su respectiva justificación)…

¿La secuencia “0123456789” aparece en algún momento en la parte decimal

de pi?¿Aparece esta secuencia en la parte decimal de algún irracional? Si es

así, ¿cúantas veces aparece?

¿Puede saberse en un número irracional que dígito ocupa la n-ésima posición

después de la coma?

También precisaría, en caso de ser posible, algunas fuentes donde poder

encontrar información al respecto. Desde ya muchisimas gracias.Publica una respuesta

8.Nordik_1404/05/2009

Muy inspirador, en realidad considero que Gauss es uno de los mejores

matematicos, dicen, solo superado por Euler, sin embargo sus contribucion a la

humanidad lo situa en un nivel de magnificiencia.

Es tambien, creo, necesario hablar tambien los detalles e imperfecciones de

todo ser humano que Gauss tenia es decir la gran soberbia que tenia y que le

impidio la publicacion de la geometria no euclidiana, ya que si erraba podria ser

una impureza en la gran carrera del genio.

Tambien es de sorprender que Gauss alabara a Riemman sobre su tesis

doctoral, aunque en realidad Riemman merecia los aplausos en la escena.Publica una respuesta

9.M04/05/2009

Al respecto del comentario de Nordik_14, no creo que Gauss pensara que su

propuesta de geometría no euclídea pudiera contener errores y por ello no

debiera ser publicada (estos genios no suelen dar margen al error).Según se

ha escrito en muchas ocasiones, la razón por la cual Gauss rehúsa hacer

pública su teoría reside en la importancia de la figura de Immanuel Kant y su

concepción euclídea del espacio (Crítica de la razón pura, 1781).Publica una respuesta

10.Omar-P09/05/2009

El monumento a Gauss en Braunschweig (Brunswick):

http://www.w-volk.de/museum/monum11.htm

El monumento a Gauss y Weber en Göttingen (Gotinga):

http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/gauss/denkmal.htmlPublica una respuesta

11.Andres Marin24/05/2009

Efectivamente la razón por la que Gauss no publicó muchos trabajos fue por la

mentada idea académica del newtonianismo que poco a poco iba tomando las

academias en aquellos tiempos, y de la que Gotinga no se salvó.

Euler no fue mejor que Gauss, simplemente son opuestos, el mismo Gauss

escribió que lo que Euler hizo en toda su vida el lo abarco en pocos años, la

verdad es cuestión de método, como dice un sabio de nuestro tiempo. Gauss

ataca y destruye el método de Euler en su primera demostarción del teorema

fundamental del álgebra, que actualmente los académicos dicen que no es

válida simplemente porque su método no logra comprenderla, en ese

documento también refuta a De Alambert y a Lagrange, o simplemente

demuestra que su método había llegado al límite.

Alguna vez mandé ese trabajo a este espacio, el cual traducimos entre varios

amigos aquí en México, Alemania y EU, primero del alemán al ingles, despues

del ingles al espáñol, pero hasta la fecha no han publicado algún avance sobre

como fue que Gauss desarrollo esa demostración, nosotros hemos tenido que

estudiar mas a fondo a Kepler, Leibniz, Fermat para poder desentrañar ese

método, que como todos saben Gauss se saltaba varios pasos en algunos de

sus trabajos, no se si para ocultar o simplemente los pensaba como “obvios”.

Y claro, estudiar de manera rigurosa a PLatón, Herbart y a esos humanistas

que leia Gauss como para afinar su método.

SaludosPublica una respuesta

12.Nicolás Milano07/07/2009

Muy bueno el artículo. Con respecto a la función que cuenta los números

primos menores o iguales, jamás había visto esa hermosa igualdad. Conocía

otras, como la de Hardy y Wright (ver punto 7

dehttp://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html).

Pero de esa no tenía ni idea. ¡Por favor, imploro a quien tenga una

demostración de dicha igualdad que la publique como comentario, o que al

menos de algún sitio donde pueda encontrarla!.Publica una respuesta

13.Nicolás Milano08/07/2009

DIAMOND, me parece que hay un error en el artículo. La igualdad que planteas

con respecto a la función pi(x) es incorrecta. Cuando dices “para después

ajustar más con:”

y escribes la igualdad, me parece que debería ser “pi(x) es aproximadamente

igual a … (y aquí aparece la expresión con la integral). Una igualdad con la

función pi(x), la puedes encontrar donde dije anteriormente

(http://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html). De todas

maneras, felicitaciones por este blog tan magnífico.Publica una respuesta

14.^DiAmOnD^08/07/2009

Sí, al parecer la igualdad no es exacta. Ese dato lo saqué del libro de Hawking

que enlazo al final. Posiblemente fuera una propuesta de Gauss que al final no

fue igualdad exacta.Publica una respuesta

15.

jennifer nicole sanchez19/06/2013

que interesante demen un megustaPublica una respuesta

16.Humano08/09/2013

Odio a Gauss.

En general a todos los genios de este tipo…

A su lado, siempre serás un mediocre por mucho que te superes.

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