ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

1

Bài tập đại số áp dụng từ 06/2018

Dùng chóm 1 (các ngành kĩ thuật)

(Kiểm tra giữa kỳ chung toàn khóa: Tự luận, 60 phút, sau khi học tám tuần, hệ số 0,3, nội dung : Các

chương 1 và 2) .

Chương I

Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Cấu trúc đại số - Số phức

Bài 1. Lập bảng giá trị chân lý của các biểu thức mệnh đề sau

a) ( )A B C C → b) ( )A B C B

Bài 2. (CK 20152) Cho là các mệnh đề. Hai mệnh đề và có tương đương logic không?

Vì sao?

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) A B và ( ) ( )A B A B là tương đương logic.

b) ( )A B C→ → và ( )A B C→ → không tương đương logic.

c) A B và A B là tương đương logic.

Bài 4 (GK 20171). Cho các mệnh đề và thỏa mãn và là các mệnh đề

đúng. Chứng minh rằng là mệnh đề đúng.

Bài 5. Cho A là tập hợp con của tập số thực, cận dưới đúng 0x của A kí hiệu

0Inf(A) = x có thể xác định bởi

mệnh đề sau: “ Với mọi x trong A có 0x x và với

1x có tính chất là 1x x với mọi x trong A thì suy ra

1 0x x ”. Hãy dùng các kí hiệu để diễn tả mệnh đề trên và mệnh đề phủ định của nó. Từ đó đưa ra cách chứng

minh một số không phải là Inf(A).

Bài 6. Giả sử f (x),g(x) là các hàm số xác định trên . Kí hiệu A x f (x) 0= = , B x g(x) 0= = .

Biểu diễn tập nghiệm phương trình sau qua A,B:

a) f (x)g(x) 0= b) 2 2

f (x) g(x) 0+ =

Bài 7 (GK20141). Cho các tập hợp Xác định tập hợp

Bài 8. Cho A, B, C, D là các tập hợp bất kì, chứng minh:

a) ( ) ( ) ( )A B \ C A B \ A C = .

b) ( )A B \ A A B = .

c) ( ) ( ) ( )DBCADCBA = \)\(\ (GK20151)

Bài 9. Cho hai ánh xạ

f : \ 0

1x

x

→

2

g :

2xx

1 x

→

+

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

2

a) Ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh. Tìm g( ) .

b) Xác định ánh xạ h g f= .

Bài 10. Chứng minh các tính chất của ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ f: X →Y

a) f (A B) f (A) f (B); A,B X = .

b) f (A B) f (A) f (B); A,B X .Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không đúng.

c) 1 1 1f (A B) f (A) f (B); A,B Y− − − =

d) 1 1 1f (A B) f (A) f (B); A,B Y− − − =

e) 1 1 1f (A \ B) f (A) \ f (B); A,B Y− − −=

f) Chứng minh f là đơn ánh khi và chỉ khi f (A B) f (A) f (B); A,B X =

Bài 11. Cho ánh xạ f : → xác định bởi ( ) 2 4 5,= + − f x x x x , và A x 3 x 3= − .

Xác định các tập hợp f(A), f-1(A).

Bài 12 (CK 20161). Cho ánh xạ 2 2:f → , và tập

. Xác định các tập hợp và .

Bài 13 (GK 20171). Cho ánh xạ , xác định bởi . Ánh xạ có là đơn ánh,

toàn ánh không? Vì sao?

Bài 14. Cho 1 2 3 4 5 6G f ,f , f , f , f , f= là tập các ánh xạ từ \ 0;1 \ 0;1→ xác định như sau:

1 2 3 4 5 6

1 1 1 xf (x) x;f (x) ;f (x) 1 ;f (x) ;f (x) 1 x;f (x)

1 x x x x 1= = = − = = − =

− −.

Chứng minh G cùng với phép toán là phép hợp thành tích ánh xạ lập thành một nhóm không Abel.

Bài 15. Nêu rõ các tập sau với các phép toán cộng và nhân thông thường có lập thành một vành, trường không?

a) Tập các số nguyên lẻ.

b) Tập các số nguyên chẵn.

c) Tập các số hữu tỉ.

d) X a b 2 a,b= + .

e) Y a b 3 a,b= +

Bài 16. Viết các số phức sau dưới dạng chính tắc:

a) 9(1 i 3)+ b) 8 1 i 3− c) 21

13

(1 i)

(1 i)

+

− d) 5 11(2 i 12) ( 3 i)+ − .

Bài 17. Tìm nghiệm phức của phương trình sau:

a) 2z z 1 0+ + = b)

2z 2iz 5 0+ − = c) 4 2z 3iz 4 0− + =

d) 6 3z 7z 8 0− − = e)

7

3

1024z

z= f) 8z ( 3 i) 1 i+ = − . g) 2 (1 8 ) 7 17 0iz i z i− + + + = (GK20171)

Bài 18 (GK 20141). Cho là các căn bậc 2014 phân biệt phức của đơn vị 1. Tính .

Bài 19. Cho phương trình 9(x 1) 1

0x

+ −= .

a) Tìm các nghiệm của phương trình trên.

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

3

b) Tính môđun của các nghiệm.

c) Tính tích của các nghiệm từ đó tính 8

k 1

ksin

9=

.

Bài 20(CK 20161). Cho ánh xạ :f → , , với là đơn vị ảo. Xác định .

Bài 21(GK 20171). Cho là hai nghiệm phức của phương trình , với là một số thực và i

là đơn vị ảo. Tìm biết .

Chương II

Ma trận - Định thức - Hệ phương trình

Bài 1. Cho các ma trận

1 3 2 2 1 1 1 2 1

A 2 1 1 ,B 2 3 0 ,C 3 4 1

0 3 2 1 2 4 2 0 2

− −

= − = − = −

.

Tính các ma trận : A+BC, AtB-C, A(BC), (A+3B)(B-C).

Bài 2 (CK 20152). Cho và là ma trận đơn vị cấp 2.

a) Tính .

b) Tìm ma trận thỏa mãn

Bài 3. Cho ma trận

1 2 3

A 2 4 1

3 5 3

−

= − −

và hàm số 2f (x) 3x 2x 5= − + . Tính f(A).

Bài 4. a) Cho cosa -sina

Asina cosa

=

. Tính nA . b) Cho

a 1 0

A 0 a 1

0 0 a

=

. Tính nA .

Bài 5. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: a) 2

0 0X

0 0

=

b) 2

1 0X

0 1

=

Bài 6. a) Chứng minh rằng ma trận a b

Ac d

=

thoả mãn phương trình sau: 2x (a d)x ad bc 0− + + − = .

b) Chứng minh với A là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn thì kA 0,(k 2)= 2A 0= .

Bài 7. Không khai triển định thức mà dùng các tính chất của định thức để chứng minh:

a)

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

a b x a b x c a b c

a b x a b x c 2x a b c

a b x a b x c a b c

+ −

+ − = −

+ −

b)

2

2

2

1 a bc 1 a a

1 b ac 1 b b

1 c ab 1 c c

= .

Bài 8. Tính các định thức sau:

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

4

a)

1 3 5 1

2 1 1 4A

5 1 1 7

7 7 9 1

−

− −=

− b)

2 2

2 2

2 2

a b ab a b

B b c bc b c

c a ca a c

+ +

= + +

+ +

c)

2

2

1 1 2 3

1 2 x 2 3D

2 3 1 5

2 3 1 9 x

−=

−

Bài 9. a) Chứng minh nếu A là ma trận phản xứng cấp n lẻ thì det(A)=0.

b)Cho A là ma trận vuông cấp 2019. Chứng minh det(A-AT)=0.

Bài 10. Tìm hạng của các ma trận sau:

a)

1 3 5 1

2 1 1 4A

5 1 1 7

7 7 9 1

−

− − = −

b)

4 3 5 2 3

8 6 7 4 2

B 4 3 8 2 7

4 3 1 2 5

8 6 1 4 6

−

− = −

− − −

Bài 11 (GK20141). Tìm để hạng của ma trận bằng 2.

Bài 12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

a) 3 4

A5 7

=

b)

3 4 5

B 2 3 1

3 5 1

−

= − −

c)

1 a 0 0

0 1 a 0C

0 0 1 a

0 0 0 1

−

− = −

.

Bài 13(GK 20151). Tìm a để ma trận

−−

+

−+

=

101

313

11

aa

a

aa

A khả nghịch.

Bài 14. Chứng minh rằng ma trận A vuông cấp n thoả mãn k k 1

k k 1 1 0 0a A a A a A a E 0,(a 0)−

−+ + + + = thì A

là ma trận khả nghịch.

Bài 15. Cho

1 2 1 1 22 12 10

A 2 3 4 ;B 3 4 ;C6 16 7

3 1 1 0 3

− −

= = = −

. Tìm ma trận X thỏa mãn AX TB C+ = .

Bài 16. Giải hệ phương trình sau:

a)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3x 5x 2x 4x 2

7x 4x x 3x 5

5x 7x 4x 6x 3

− + + =

− + + = + − − =

b)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3x x 3x 1

4x 2x x 3

2x x 4x 4

10x 5x 6x 10

− + =

− + + =

− + + = − − = −

c)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x 3x 4x 1

3x x x 2

5x 2x 5x 3

x 4x 3x 1

+ + =

− + =

+ + = − − =

Bài 17. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

5

a)

2 3 12

2 5 11 49

3 6 4 13 49

2 2 9 33

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

+ − + =

+ − + =

+ − + = + − + =

(GK 20171) b)

+++

+++

+++

+++

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

722

242

111073

432

6

3

11

4

−=

−=

−=

−=

(GK20151)

Bài 18(GK 20171). Tìm a để hệ

( 5) 3 (2 1) 0

( 1) 4 0

( 5) ( 2) 5 0

a x y a z

ax a y z

a x a y z

+ + + + =

+ − + = + + + + =

có nghiệm không tầm thường.

Bài 19(CK 20172). Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 20. Cho hệ phương trình

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x 2x x mx 4

x x 3x 2x k

2x x 3x (m 1)x 3

x x x 2mx 5

+ − + =

− − + + =

− − + − = + + + =

.

a) Giải hệ phương trình khi m = 2, k = 5.

b) Tìm điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất.

a) Tìm điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chương III. Không gian véc tơ

Bài 1. Tập V với các phép toán có phải là không gian véc tơ không?

a) V (x, y,z) x, y, z= với các phép toán xác định như sau

(x, y, z) (x ', y ', z ') (x x ', y y ', z z ')

k(x, y, z) ( k x, k y, k z)

+ = + + +

=

b) 2

1 2 1 2V x (x , x ) x 0, x 0= = với các phép toán xác định như sau:

1 2 1 2 1 1 2 2(x ,x ) (y , y ) (x y ,x y )+ = và k k

1 2 1 2k(x , x ) (x , x )= trong đó k là số thực bất kỳ

Bài 2. Chứng minh các tập hợp con của các không gian véc tơ quen thuộc sau là các không gian véc tơ con của

chúng:

a) Tập ( ) 3

1 2 3 1 2 3E x , x , x 2x 5x 3x 0= − + = .

b) Tập các đa thức có hệ số bậc nhất bằng 0 (hệ số của x )của KGVT Pn[x] .

c) Tập các ma trận tam giác trên của tập các ma trận vuông cấp n.

d) Tập các ma trận đối xứng của tập các ma trận vuông cấp n.

e) Tập các ma trận phản xứng của tập các ma trận vuông cấp n ( ij jia a= − ).

Bài 3. Cho 1 2V ,V là hai không gian véc tơ con của KGVT V. Chứng minh:

a) 1 2V V là KGVT con của V.

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

6

b) Cho 1 2 1 2 1 1 2 2V V : u u u V ,u V+ = + . Chứng minh 1 2V V+ là KGVT con của V.

c) Cho 1 2 mv , v , , v là hệ sinh của

1V , 1 2 nu ,u , ,u là hệ sinh của 2V . Chứng minh

1 m 1 2 nv , , v ,u ,u , ,u là hệ sinh của 1 2V V+ .

Bài 4. Cho 1 2V ,V là hai không gian véc tơ con của KGVT V. Ta nói

1 2V ,V là bù nhau nếu

1 2 1 2V V V,V V+ = = . Chứng minh rằng 1 2V ,V bù nhau khi và chỉ khi mọi véc tơ u của V có biểu diễn

duy nhất dưới dạng 1 2 1 1 2 2u u u , (u V ,u V )= + .

Bài 5. Trong KGVT V, cho hệ véctơ 1 2 n n 1u ,u , ,u ,u + là phụ thuộc tuyến tính và 1 2 nu ,u , ,u là hệ độc lập

tuyến tính. Chứng minh n 1u +

là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ 1 2 nu ,u , ,u .

Bài 6. Trong 3 xét xem các hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:

a) ( )1 2v 4; 2;6 , v ( 6;3; 9)= − = − − .

b) ( )1 2 3v (2;3; 1), v (3; 1;5), v 1;3; 4= − = − = − − .

c) 1 2 3 4v (1;2;3),v (3;6;7),v ( 3;1;3),v (0;4;2).= = = − =

Bài 7. Trong không gian 2P x , xét xem hệ véc tơ 2 2

1 2 3B {u 1 2x,u 3x x ,u 2 x x }= = + = − = − + độc lập tuyến

tính hay phụ thuộc tuyến tính

Bài 8. Trong 3 , chứng minh ( )1 2 3v (1;1;1), v (1;1;2), v 1;2;3= = = lập thành một cơ sở. Xác định ma trận

chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở trên và tìm toạ độ của x (6;9;14)= đối với cơ sở trên theo hai cách trực

tiếp và dùng công thức đổi tọa độ.

Bài 9. Trong các trường hợp sau, chứng minh 1 2 3B v , v , v= là một cơ sở của 3 và tìm B

v biết rằng:

a) ( )1 2 3v (2;1;1), v (6;2;0), v (7;0;7), v 15;3;1= = = = .

b) ( )1 2 3v (0;1;1), v (2;3;0), v 1;0;1 , v (2;3;0)= = = = .

Bài 10. Tìm cơ sở và số chiều của KGVT sinh bởi hệ véc tơ sau:

a) 1 2 3v (2;1;3;4),v (1;2;0;1),v ( 1;1; 3;0)= = = − − trong 4 .

b) 1 2 3 4v (2;0;1;3; 1),v (1;1;0; 1;1),v (0; 2;1;5; 3),v (1; 3;2;9; 5)= − = − = − − = − − trong 5 .

Bài 11. Trong 4 cho các véc tơ : 1 2 3 4v (1;0;1;0),v (0;1; 1;1),v (1;1;1;2),v (0;0;1;1)= = − = = . Đặt

1 1 2 2 3 4V span{v ,v },V span{v ,v }= = . Tìm cơ sở và số chiều của các KGVT 1 2 1 2V V ,V V+ .

Bài 12(CK 20151). Trong , cho các véc tơ

. Tìm để .

Bài 13. Trong 3P x cho các véc tơ 2 2 3

1 2 3 4v 1, v 1 x, v x x , v x x= = + = + = + .

a) Chứng minh 1 2 3 4B v , v , v , v= là một cơ sở của 3P x .

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

7

b) Tìm toạ độ của véc tơ 2 3v 2 3x x 2x= + − + đối với cơ sở trên.

c) Tìm toạ độ của véc tơ 2 3

0 1 2 3v a a x a x a x= + + + đối với cơ sở trên.

Bài 14 (CK 20151). Cho không gian - các đa thức bậc không quá 2015 và tập

. Chứng minh rằng là không gian con của Chỉ ra số

chiều và một cơ sở của (không cần chứng minh).

Bài 15. Cho KGVT 3P x và hệ véc tơ 2 3

1v 1 x x= + + , 2 3

2v x x 2x= − + , 3

1v 2 x 3x= + + ,

2 3

4v 1 x x 2x= − + − + .

a) Tìm hạng của hệ véc tơ. b) Tìm một cơ sở của không gian 1 2 3 4{ , , , }span v v v v

Bài 16. Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất sau:

a)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

x x 2x 2x x 0

x 2x 3x x 5x 0

2x x x x 3x 0

3x x 2x x x 0

− + + − =

− + − + =

+ + + + = − − − + =

b)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2x x 3x 2x 4x 0

4x 2x 5x x 7x 0

2x x x 8x 2x 0

− + − + =

− + + + = − + + + =

Bài 17. Cho U,V là các không gian hữu hạn chiều. Chứng minh dim(U V) dim(U) dim(V) dim(U V)+ = + −

Chương IV. Ánh xạ tuyến tính

Bài 1. Cho ánh xạ 3 2f : → xác định bởi công thức 1 2 3 1 2 3 1 3f (x ,x ,x ) (3x x x ,2x x )= + − + .

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc.

c) Tìm một cơ sở của kerf.

Bài 2. Cho ánh xạ 2 4f : P x P x→ xác định như sau: 2

2.f (p) p x p, p P x= +

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc 2

1E 1, x, x= của 2P x và 2 3 4

2E 1, x, x , x , x= của

4P x .

c) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở 2

1E ' 1 x,2x,1 x= + + của 2P x và 2 3 4

2E 1, x, x , x , x= của

4P x .

Bài 3 (CK 20151). Cho ánh xạ tuyến tính thỏa mãn:

.

a) Tìm ma trận của đối với cơ sở chính tắc của . Tính

b) Xác định m để véc tơ thuộc .

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

8

Bài 4. Cho

1 3 1

A 2 0 5

6 2 4

−

= −

là ma trận của axtt 2 2f : P x P x→ đối với cơ sở 1 2 3B v , v , v= trong đó:

2 2 2

1 2 3v 3x 3x , v 1 3x 2x , v 3 7x 2x .= + = − + + = + +

a) Tìm 1 2 3f (v ),f (v ),f (v ) . b) Tìm 2f (1 x )+ .

Bài 5. Cho ánh xạ 3 3f : → xác định bởi ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3f x , x , x (x x x , x x x , x x x )= + − − + − + + . Tìm ma

trận của f đối với cơ sở 1 2 3B v (1;0;0), v (1;1;0), v (1;1;1) .= = = =

Bài 6 (CK 20151). Cho ánh xạ tuyến tính thỏa mãn:

.

a) Tìm ma trận của đối với cơ sở chính tắc của . Tính

b) Xác định m để véc tơ thuộc .

Bài 7. Cho ma trận

3 2 1 0

A 1 6 2 1

3 0 7 1

−

= −

là ma trận của ánh xạ tuyến tính 4 3f : → đối với cặp cơ sở

1 2 3 4B v , v , v , v= của 4 và 1 2 3B' u ,u ,u= của 3 trong đó :

1 2 3 4v (0;1;1;1),v (2;1; 1; 1),v (1;4; 1;2),v (6;9;4;2)= = − − = − = và 1 2 3u (0;8;8),u ( 7;8;1),u ( 6;9;1)= = − = − .

a) Tìm 1 2 3 4B' B' B' B'f (v ) , f (v ) , f (v ) , f (v ) .

b) Tìm 1 2 3 4f (v ),f (v ),f (v ),f (v ) .

c) Tìm f (2;2;0;0) .

Bài 8. Cho toán tử tuyến tính trên xác định bởi:

Tìm ma trận của đối với cơ sở chính tắc của và tìm

Bài 9. Cho V,V' là 2 KGVT n chiều và f : V V '→ là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh các khẳng định sau tương

đương:

a) f là đơn ánh. b) f là toàn ánh. c) f là song ánh.

Bài 10 (CK 20141). Cho toán tử tuyến tính trên xác định bởi

với là tham số. Xác định ma trận của đối với cơ sở

chính tắc của và tìm để là một toàn ánh.

Bài 11. Tìm các giá trị riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận:

a) 3 0

A8 1

=

− b)

10 9B

4 2

− =

− c)

2 1 0

C 5 3 3

1 0 2

−

= − − −

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

9

d)

0 1 0

D 4 4 0

2 1 2

= − −

e)

4 5 2

E 5 7 3

6 9 4

−

= − −

Bài 12. Cho biến đổi tuyến tính 2 2f : P x P x→ xác định như sau:

2 2

0 1 2 0 1 2 1 2 0 2f (a a x a x ) (5a 6a 2a ) (a 8a )x (a 2a )x+ + = + + − + + − .

a) Tìm các trị riêng của f.

b) Tìm các véc tơ riêng ứng với các trị riêng tìm được.

Bài 13. Tìm ma trận P làm chéo hóa A và xác định P-1AP khi đó với:

a) 14 12

A20 17

− =

− b)

1 0B

6 1

=

− c)

1 0 0

C 0 1 1

0 1 1

=

d)

2 1 2

D 0 3 1

0 0 3

−

=

.

Vận dụng tính nA

Bài 14. Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có, tìm ma trận chéo đó:

a)

1 4 2

A 3 4 0

3 1 3

− −

= − −

b)

5 0 0

B 1 5 0

0 1 5

=

c)

0 0 0

C 0 0 0

3 0 1

=

.

Bài 15. Tìm cở sở của 3 để ma trận của 3 3f : → có dạng chéo trong đó

a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3f (x ,x ,x ) (2x x x ,x 2x x ,x x 2x )= + + + + + + .

b) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3f (x ,x ,x ) (2x x x ,x x , x x 2x )= − − − − + +

Bài 16 (CK 20172). Cho toán tử tuyến tính trên 3 xác định bởi :

f (1;2; 1) (4; 2; 6), f (1;1;2) (5;5;0), f (1;0;0) (1;2;1)− = − − = =

a) Tìm m để u (6; 3;m) Im(f )= − .

b) Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của f.

Bài 17. Cho f : V V→ là toán tử tuyến tính. Giả sử 2f f f : V V= → có giá trị riêng 2 . Chứng minh một

trong 2 giá trị hoặc − là giá trị riêng của f.

Bài 18 (CK 20161). Cho ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở chính tắc

của .

a) Tính . Tìm để thuộc Ker .

b) Tìm một cơ sở của để ma trận của đối với cơ sở đó có dạng chéo.

Bài 19. Cho A là ma trận kích thước m n , B là ma trận kích thước n p . Chứng minh

rank(AB) min rank(A), rank(B) , với rank(A) = hạng của ma trận A.

Chương V

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

10

Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclide, đường mặt bậc hai

Bài 1. Cho f là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ 3 chiều V có ma trận đối với cơ sở

là

1 1 0

A 2 0 2

3 4 5

−

= − −

. Cho h : V V→ là ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở B là

1 1 1

B 3 4 2

1 2 3

−

= − − − −

.

a) Xác định

b) Chứng minh ánh xạ ( )g(u, v) f u,h(v)= là dạng song tuyến tính trên V. Tìm ma trận của nó đối với cơ

sở B.

Bài 2. Cho dạng song tuyến tính trên xác định bởi . Tìm ma trận và biểu thức

của đối với cơ sở chính tắc.

Bài 3. Trên 3 cho các dạng toàn phương có biểu thức tọa độ:

2 2 2

1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3(x , x , x ) x 5x 4x 2x x 4x x = + − + − . 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3(x ,x ,x ) x x 4x x x x = + + .

a) Bằng phương pháp Lagrange, đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.

b) Xét xem các dạng toàn phương xác định dương , âm không?

Bài 4. Xác định a để các dạng toàn phương xác định dương:

a) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 35x x ax 4x x 2x x 2x x+ + + − − .

b) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 32x x 3x 2ax x 2x x+ + + + . c) 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3x x 5x 2ax x 2x x 4x x+ + + − + .

Bài 5. Cho dạng song tuyến tính trên xác định bởi:

( là tham số). Tìm ma trận của dạng song tuyến tính trên đối với cơ sở chính tắc của và tìm điều kiện của

để dạng song tuyến tính là một tích vô hướng trên

Bài 6. Trong 3 trang bị một dạng song tuyến tính như sau:

t

1 2 3 1 2 3f (x, y) (x , x , x )A(y , y , y )= với: 2

4 2 1

A 2 3 4

1 a 2a

−

= −

và 1 2 3 1 2 3x (x ,x ,x ), y (y , y , y )= = . Xác định a để

f(x,y) là một tích vô hướng trên 3 .

Bài 7. Giả sử V là KGVT n chiều với cơ sở 1 2 nB e ,e ,...,e= . Với u, v là các véc tơ của V ta có

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nu a e a e a e ;v b e b e b e= + + + = + + + . Đặt 1 1 2 2 n nu,v a b a b a b = + + +

a) Chứng minh u, v là một tích vô hướng trên V.

b) Áp dụng cho trường hợp 3V = , với ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3e 1;0;1 ,e 1;1; 1 ,e 0;1;1 ,u 2; 1; 2 , v 2;0;5= = − = = − − = .

Tính u, v .

c) Áp dụng cho trường hợp 2V P x= , với 2 2 2B 1;x;x ,u 2 3x , v 6 3x 3x= = + = − − .

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

11

Tính u, v .

d) Áp dụng cho trường hợp 2V P x= , với 2 2 2B 1 x;2x;x x ,u 2 3x , v 6 3x 3x= + − = + = − − . Tính

u, v .

Bài 8. Xét không gian 3P x . Kiểm tra các dạng p,q sau có phải là tích vô hướng hay không?

a) p,q p(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2) = + +

b) p,q p(0)q(0) p(1)q(1) p(2)q(2) p(3)q(3) = + + +

c) 1

1

p,q p(x)q(x)dx−

=

Trong trường hợp là tích vô hướng tính p,q với 2 3 2 3p 2 3x 5x x .q 4 x 3x 2x= − + − = + − +

Bài 9. Cho V là không gían Euclide. Chứng minh:

a) ( )2 2 2 2u v u v 2 u v+ + − = + .

b) 2 2 2

u v u v u v , u, v V⊥ + = + .

Bài 10. Cho cơ sở trong không gian với tích vô hướng chính tắc. Trực

giao hóa Gram-Schmidt cơ sở để thu được cơ sở trực chuẩn và tìm tọa độ của véc tơ đối với

cơ sở

Bài 11. Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ u lên không gian sinh bởi véc tơ v:

a) ( ) ( )u 1;3; 2;4 ,v 2; 2;4;5= − = −

b) ( ) ( )u 4;1;2;3; 3 , v 1; 2;5;1;4= − = − −

Bài 12. Cho không gian với tích vô hướng chính tắc và các véc tơ

. Đặt Xác định hình chiếu trực giao của véc tơ

lên không gian

Bài 13(CK 20161). Trong không gian 3

với tích vô hướng chính tắc, cho các véc tơ ,

và đặt .

a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian

b) Tìm hình chiếu trực giao của lên không gian H.

Bài 14. Cho 4 với tích vô hướng chính tắc. Cho ( ) ( )1 2u 6;3; 3;6 ,u 5;1; 3;1= − = − . Tìm cơ sở trực chuẩn của

không gian sinh bởi 1 2u ,u .

Bài 15. Trong 2P x định nghĩa tích vô hướng 1

1

p,q p(x)q(x)dx−

= với 2p,q P x .

ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng và Tin học

12

a) Trực chuẩn hoá Gram – Schmidt cơ sở 2B 1;x;x= để nhận được cơ sở trực chuẩn A.

b) Xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang A

c) Tìm A

r biết 2r 2 3x 3x= − +

Bài 16. Trong 5 với tích vô hướng chính tắc cho các véc tơ

( ) ( ) ( )1 2 3v 1;1;0;0;0 ,v 0;1; 1;2;1 , v 2;3; 1;2;1= = − = − . Gọi 5

iV x x v ,i 1;2;3= ⊥ =

a) Chứng minh V là không gian véc tơ con của 5 .

b) Tìm dimV.

Bài 17. Cho V là không gian Euclide n chiều, V1 là không gian con m chiều của V. Gọi

2 1V x V x v, v V= ⊥ .

a) Chứng minh V2 là không gian véc tơ con của V.

b) Chứng minh V1 và V2 bù nhau.

c) Tìm dimV2.

Bài 18. Chéo hoá trực giao các ma trận sau

a)

1 0 0

A 0 1 1

0 1 1

=

b) 7 24

B24 7

− =

c)

1 1 0

C 1 1 0

0 0 1

−

= −

d)

7 2 0

D 2 6 2

0 2 5

−

= −

Bài 19. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp trực giao

a) 2 2 2

1 2 3 1 2x x x 2x x+ + +

b) 2 2

1 2 1 27x 7x 48x x− +

c) 2 2 2

1 2 3 1 2 2 37x 6x 5x 4x x 4x x+ + − +

Bài 20. Nhận dạng đường cong phẳng sau:

a) 2 22x 4xy y 8 0− − + = . b) 2 2x 2xy y 8x y 0+ + + + = . c) 2 211x 24xy 4y 15 0+ + − = .

d) 2 22x 4xy 5y 24+ + = .

Bài 21. Nhận dạng các mặt bậc 2 sau:

a) 2 2 2

1 2 3 1 2x x x 2x x 4+ + + = . b) 2 2 25x y z 6xy 2xz 2xy 1+ + − + − = .

c) 2 2 2

1 2 3 1 2 2 32x 2x 3x 2x x 2x x 16+ + − − = .

Bài 22. Cho ( ) 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3Q x ,x ,x 9x 7x 11x 8x x 8x x= + + − + .Tìm

( ) ( )2 2 22 2 2

1 2 31 2 3

1 2 3 1 2 3x x x 16x x x 16

Max Q x , x , x , Min Q x , x , x+ + =+ + =

. Với giá trị nào thì ( )1 2 3Q x , x , x đạt max, min.

Bài 23. Cho A, B là các ma trận vuông đối xứng cấp n có các trị riêng đều dương. Chứng minh A+B cũng có

các trị riêng dương.