BAB 3. Met-dinamik

8/17/2019 BAB 3. Met-dinamik

1/12

Dasar-dasar Meteorologi Dinamik

A 3. PERSAMAAN KONTINUITAS

DAN PERSAMAAN ENERGI TERMODINAMIK

Dalam Bab-2, kita telah membahas tentang persamaan momentum dalam kerangka-acuan berotasi

yang merupakan ekspresi matematis dari hukum kekekalan momentum. Dalam bab ini, kita akan

membahas dua hukum kekekalan terakhir yang menjadi dasar bagi persamaan gerak atmosfer, yaitu

hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan energi.

3.1. Persamaan Kontinuitas

Sekarang kita akan membahas prinsip hukum kekekalan kedua, yaitu kekekalan massa.Persamaan matematik yang mengekspresikan hukum ini dalam fluida disebut sebagai Persamaan

Kontinuitas. Dalam sub-bab ini persamaan kontinuitas akan dibangun oleh dua metode, yaitu metode

Eulerian dan metode Lagrangian

3.1.1. Metode Eulerian

Tinjaulah sebuah elemen volume dengan ukuran∆x,∆y, dan∆z dalam sistem koordinat

Kartesius seperti ditunjukan pada gambar Gb.3.1

z

H G

E F

∆z

D C y

∆x

A ∆y B

xGb.3.1. Fluks massa yang masuk bidang ADHE

dan bidang BCGF akibat aliran dalam komponen-y

Seperti yang telah dikemukakan dalam bab-1 tentang volume kontrol Eulerian, maka neto

aliran massa yang melalui sisi-sisi elemen volume tersebut harus sama dengan laju akumulasi massa

fluida di dalam elemen volume tersebut.

52


2/12


Untuk memudahkannya, maka tinjau komponen aliran fluida dalam arah sumbu-y (v) yang

masuk ke sisi ADHE dan keluar dari sisi BCGF. Fluks massa fluida yang masuk melalui sisi ADHE dan

yang keluar dari sisi BCG persatuan luas, berturut-turut adalah

v ρ dan ( )

∆

∂

∂+ xv

y

v ρ ρ (3.1a)

Netto transfer alirannya adalah

( ) V y

v z x yv

yu z xv ∆

∂∂

−=∆∆

∆

∂∂

+−∆∆ )( ρ

ρ ρ ρ (3.1b)

Dengan cara yang sama, maka diperoleh netto aliran dalam elemen volume akibat kompoenen aliran

fluida dalam arah sumbu-x dan z, yaitu

V x

u∆

∂∂

− )( ρ

dan V z

w∆

∂∂

− )( ρ

(3.1c)

Sehingga netto total adalah[ ] V vV

z

w

y

v

x

u∆⋅∇−=∆

∂

∂+

∂∂

+∂

∂− )(

)()()( ρ

ρ ρ ρ (3.2a)

Karena netto total aliran ini sama dengan laju akumulasi massa fluida dalam elemen volume maka

[ ] V vV t

∆⋅∇−=∆∂∂

)(

ρ ρ

(3.2b)

Yang memberikan

0)( =⋅∇+∂∂

vt

ρ

ρ (3.3)

Persamaan (3.3) ini adalah persamaan kontinuitas dalam bentuk divergensi-massa.

Bentuk alternatif dari persamaan kontinuitas dapat diperoleh dengan menggunakan identitas

vektor

ρ ρ ρ ∇⋅+⋅∇=⋅∇ vvv)( (3.4a)

Kemudian gantikan suku ke dua diruas kiri (3.3)

0=∇⋅+⋅∇+∂∂

ρ ρ ρ

vvt

(3.4b)

Dengan menggunakan relasi diferensial total dan lokal, maka diperoleh

01

=⋅∇+ vdt

d ρ

ρ

ρ (3.5)

Persamaan (3.5) ini adalah persamaan kontinuitas dalam bentuk divergensi kecepatan.

Persamaan ini menyatakan bahwa laju fraksi perubahan densitas parsel udara selama ia bergerak sama

dengan negatif divergensi kecepatan fluida. Harap dibedakan dengan persamaan (3.3) yang

menyatakan bahwa laju perubahan densitas lokal sama dengan negatif divergensi massa fluida.

3.1.2. Metode Lagrangian

53


3/12


Arti fisis dari divergensi, dapat diilustrasikan dari persamaan (3.5). Tinjau sebuah volume

kontrol dengan massa bermassa tetap∆M =ρ∆V =ρ∆x∆y∆z yang bergerak mengkuti pergerakan fluida.

Karena massa kontrol volume ini kekal selama ia bergerak, maka

0)(=

∆

dt

M d

(3.6)Karena∆ M = ρ∆V = ρ∆x∆ y∆ z, maka diperoleh

01)(1)(1)(1

=+∆

∆+

∆∆

+∆

∆ dt d

dt

z d

z dt

yd

ydt

xd

x

ρ

ρ (3.7)

Karena x

u

dt

dx

xdt

xd

x ∆∆

=

∆∆

=∆

∆1)(1

demikian juga dengan yang lainnya, maka

01

=+∆∆

+∆∆

+∆∆

dt

d

z

w

y

v

x

u ρ

ρ (3.8)

Dengan mengambil limit∆V menuju nol, maka diperoleh

01

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

dt

d

z

w

y

v

x

u ρ

ρ (3.9a)

Atau dalam notasi vektorial

01

=⋅∇+ vdt

d ρ

ρ (3.9b)

Bentuk terakhir ini menyatakan bagaimana densitas parsel fluida berubah terhadap waktu, dan

perubahan ini sebanding dengan divergensi kecepatan. Dengan menggunakan definisi ρ = M/V, maka

suku pertama diruas kiri persamaan (3.9b)

dt

dV

V dt

V d

dt

M d

dt

d

dt

d 1lnlnln1−=−==

ρ ρ

ρ (3.10a)

Sehingga persamaan (3.9b) dapat ditulis menjadidt

dV

V v

1=⋅∇

(3.10b)

Dari persamaan ini, dapat dilihat bahwa divergensi kecepatan fluida sebanding dengan laju perubahan

volume parsel fluida seperti diperlihatkan pada Gb.3.2. dimana pembesaran volume parsel fluida

menunjukan adanya divergensi kecepatan dalam parsel.

(x0, y0, z0, t0) (x1 , y1, z1, t1)

∆z Gb.3.2

∆z

∆y ∆y

∆x ∆x

Lebih lanjut, karena V = Ah dimana A adalah luas alas dan h adalah tebal parsel, maka

54


4/12


dt

dA

Adt

dh

hdt

dAh

dt

dh A

Ahdt

Ahd

Ahv

111)(1+=

+==⋅∇

(3.11)

Dalam aplikasi, kita biasanya berkepentingan dengan divergensi horizontal, dimana divergensi

horizontal ini berhubungan dengan perubahan luas alas parsel fluida. Untuk menunjukan hal ini, maka

tinjaulah sebuah rantai persel fluida tertutup yang berbentuk persegi-panjang ABCD dengan sisi AB =

∆x dan BC =∆y seperti yang ditunjukan oleh Gb.3.3. Luas awalnya adalah A1 =∆x∆y

y D’ C’

t y y

vv ∆

∆

∂∂

+

D C

u∆t t x x

uu ∆

∆∂∂

+

A’ B’

v∆t

A B

x

Gb.3.3.

Setelah selang waktu∆t, ukuran luas daerah tertutup yang dibentuk oleh rantai parsel berubah menjadi

A’B’C’D’, dimana:

t y y

v yt y

y

vvt v yC B D A

t x x

u xt x

x

uut u x DC B A

∆∆∂∂

+∆=∆

∆

∂∂

++∆−∆==

∆∆∂∂

+∆=∆

∆

∂∂

++∆−∆==

''''

''''

Luas alas parsel setelah selang waktu∆t adalah

( )

∆

∂∂

∂∂

+∆

∂∂

+∂∂

+∆∆=

∆

∂∂

+

∆∂∂

+∆∆=

∆∆

∂∂

+∆

∆∆∂∂

+∆= 22 111 t y

v

x

ut

y

v

x

u y xt

y

vt

x

u y xt y

y

v yt x

x

u x A

Sehingga perubahan luasnya adalah

( )

∆

∂∂

∂∂

+∆

∂∂

+∂∂

∆∆=∆=− 212 t y

v

x

ut

y

v

x

u y x A A A

Karena A1 =∆x∆y, maka laju perubahan luasnya terhadap waktu adalah

55


5/12


( )

∆

∂∂

∂∂

+∆

∂∂

+∂∂

=∆∆

t y

v

x

ut

y

v

x

u

t

A

A

1

Dalam limit∆t menuju ke nol, maka

y

v

x

u

dt

dA

A ∂∂

+∂∂

=1

(3.12)

Maka divergensi horizonal sama dengan fraksi laju perubahan luas yang tercakup oleh rantai parsel

fluida tertutup tersebut.

Tinjau kembali persamaan (3.11), karena z

wvv H H ∂

∂+⋅∇=⋅∇

, maka dengan persamaan

(3.12) diperoleh:

dt

dA

Av H H

1=⋅∇

dandt

dh

h z

w 1=

∂∂

(3.12)

Untuk aliran yang tak-termampatkan, maka 01

=dt

d ρ

ρ , sehingga

0=⋅∇ v (3.13)

karena z

wvv H H ∂

∂+⋅∇=⋅∇

, dan dengan menggunakan persamaan (3.12), maka (3.13) menjadi

H H vdt

dh

h

⋅∇=−

1 (3.14)

Dari persamaan (3.14) ini tampak bahwa dalam fluida yang tak-termampatkan (incompresible),

divergensi horizontal berkaitan dengan pengurangan ketebalan parsel fluida, dan konvergensi

horizontal berkaitan dengan penambahan ketebalan parsel fluida.

3.2. Persamaan Energi Termodinamika

Sekarang kita akan membahas hukum kekekalan ke tiga, yaitu hukum kekekalan energi yang

diterapkan pada pergerakan elemen fluida. Hukum termodinamika pertama mengatakan bahwa

perubahan energi internal sistem sama dengan perbedaan antara panas yang ditambahkan ke dalam

sistem dan kerja yang dilakukan oleh sistem.

Karena kita akan menerapkan prinsip kekekalan energi ini pada elemen fluida yang bergerak,

maka kontrol-volume Lagrangian dapat digunakan, dan dalam hal ini ia dapat dipandang sebagai

sebuah sistem termodinamik dimana energi termodinamik total sama dengan jumlah energi internal

(yaitu energi kinetik dari molekul-molekul dalam elemen volum fluida) dan energi kinetik yang

disebabkan gerak makroskopik fluida. Laju perubahan energi termodinamik total ini sama dengan laju

pemanasan diabatik ( J) ditambah kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya eksternal pada parsel fluida

tersebut. Jika e adalah energi internal parsel persatuan massa, maka energi termodinamik total yang

terkandung dalam elemen volume Lagrangian berdensitasρ dan bervolume∆V adalah

( ) V vve ∆

⋅+

2

1 ρ (3.15)

Karena gaya-gaya eksternal yang bekerja pada elemen fluida adalah gaya tekanan, gayaviscous, gaya Coriolis, dan gaya gravias, maka kita akan menentukan usaha yang dilakukan oleh gaya-

56


6/12


gaya eksernal tersebut dengan cara meninjau laju perubahan kerja yang dilakukan oleh masing-masing

gaya. Dari kuliah mekanika, kita telah mengetahui bahwa jikaW adalah usaha yang dilakukan oleh

gaya F , maka laju perubahan usaha tersebut terhadap waktu diberikan oleh

F vdt

dW ⋅= (3.16)

Dengan v adalah kecepatan gerak objek akibat gaya F bekerja pada objek tersebut. Pertama kali

kita akan menentukan usaha yang dilakukan oleh gaya tekanan pada sisi-sisi parsel fluida berbentuk

balok deengan sisi∆x,∆y,∆z. Untuk memudahkan, maka kita akan menentukan laju perubahan usaha

akibat komponen gaya tekanan dalam arah sumbu-y seperti ditunjukan pada Gb.3.4. Dari gambar

tampak bahwa dalam arah sumbu-y terdapat dua gaya tekanan, yaitu gaya tekanan pada sisi ADHE

dan pada sisi BCGF, sehingga laju perubahan usaha oleh gaya tekanan dalam arah sumbu-y adalah

(ingat bahwa gaya tekanan adalah tekanan dikali dengan luas)

[ ] yv

z x y y

vpvpvp z xvpvpvF vF dt

dW ABHE ABHE BCGF ABHE pBCGF pABHE

y ∂∂

−=∆∆

∆∂

∂+−=∆∆−=−=

()()()()()(

(3.17a)

z

H G

E F

∆ z

ABDHE vp)( BCGF vp)(−

D C

y

∆x

A ∆ y B

xGb.3.4.

Dengan cara yang sama, maka laju perubahan usaha oleh gaya tekanan dalam arah sumbu-x dan

sumbu-z adalah

V x

up

dt

dW

x

∆∂

∂−=

)(

dan V z

wp

dt

dW

z

∆∂

∂−=

)(

(3.17b)

Dari hasil ini, maka total laju perubahan usaha akibat gaya tekanan adalah

[ ] V v pV z

wp

y

vp

x

up

dt

dW

p

∆⋅∇−=∆

∂

∂+

∂∂

+∂

∂−=

)()()()(

(3.18)

Laju perubahan usaha oleh gaya gravitas dan gaya coriolis, berturut-turut adalah

57


7/12


V gwk m g vdt

dW

g

∆−=∆−⋅=

ρ ˆ)(

(3.19)

0)2( =∆×Ω−⋅=

mvv

dt

dW

Co

(3.20)

Berdasarkan prinsip kekekalan energi diatas, maka

( )

J gw pvv pvvdt

d

dt

de

V J V gwV v pV dt

d vvevve

dt

d V

V J V gwV v pV vvedt

d

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

+−∇⋅−⋅∇−=

⋅+

∆+∆−∆⋅∇−=∆

⋅++

⋅+∆

∆+∆−∆⋅∇−=

∆

⋅+

2

1

)()(2

1

2

1

)(2

1

(3.21)

Dimana persamaan (3.6) menyebabkan suku ke-2 diruas kiri sama dengan nol. Bentuk terakhir

persamaan (3.21) dapat disederhanakan dengan mengambil dot-product antarav dengan persamaan

momentum dalam bentuk vektorial (dengan mengabaikan gaya viscous)

( )

gw pvvv

dt

d

g vvv pvdt

vd v

ρ ρ

ρ

−∇⋅−=

⋅

⋅+×Ω⋅−∇⋅−=⋅

2

21

0

(3.22)

Dengan mensubstitusikan bentuk terakhir ke persaamaan (3.22), maka diperoleh

J v p

dt

de+⋅∇−=

ρ (3.23a)

Dengan menggunakan persamaan kontinuitas, maka

dt

d

dt

d

dt

d v

α

ρ

ρ

ρ ρ −=

−==⋅∇−

1112

(3.23b)

Selain itu energi internal diberikan oleh T ce v= , sehingga persamaan (3.23a) menjadi

J dt

d p

dt

dT cv =+

α (3.24)

yang merupakan bentuk matematis dari hukum kekekalan energi. Karena bentuknya mirip dengan

hukum pertama termodinamika, maka hukum pertama termodinamika diterapkan pada gerak fuida.

Suku kedua pada ruas kiri persamaan (3.24) menyatakan laju perubahan kerja yang dilakukan oleh

sistem fluida persatuan massa. Suku ini merepresentasikan konversi diantara energi termal dengan

energi mekanis. Proses konversi inilah dimana energi panas dari matahari mengendalikan gerak

atmosfer.

Lebih lanjut tinjau bentuk terakhir persamaan (3.22). Dengan memanfaatkan definisi

geopotensial, maka

58


8/12


dt

d

dt

dz g gw

Φ==

Sedemikian hingga bentuk terakhir persamaan (3.22) dapat ditulis menjadi

p F v pvvvdt

d

⋅=∇⋅−=

Φ+⋅

ρ

1

2

1(3.25)

Yang dikenal sebagai persamaan energi mekanik karena dalam ruas kiri (3.25), jumlah energi

kinetik dan energi potensial disebut energi mekanik. Dari persamaan (3.25), dapat kita katakan bahwa

ketika parsel fluida bergerak mengikuti aliran, maka laju perubahan energi mekanik persatuan massa

sama dengan laju perubahan usaha yang dilakukan oleh gaya gradien tekanan.

3.2.1. Temperatur Potensial

Dengan membagi persamaan (3.24) olehT, kemudian gunakan persamaan keadaan gas ideal,

maka

T

J p Rd T d c p =− lnln (3.26)

Untuk gas ideal yang mengalami proses adiabatik, maka hukum pertama termodinamika dapat ditulis

dalam bentuk sebagai0)lnln(lnln =−=− T RT cd p Rd T d c p p (3.27)

yang setelah di integrasi, menghasilkan

pc R

s

T

pT

=θ (3.28)

yang dikenal sebagai persamaanPoisson, danθ didefinisikan sebagai temperatur potensial. θ adalah

temperatur parsel udara kering bertekanan p dan bertemperaturT seandaianya ia diekspansikan atau

dikompresikan secara adiabatik ke tekanan standar ( ps, yang biasanya diambil 1000 mb). Berdasarkan

hal ini, maka setiap parsel udara mempunyai nilai temperatur potensial yang khas (unik) dan nilainya

akan selalu konstan jika gerakannya adiabatik. Karena gerak skala sinoptik dapat didekati oleh gerakan

yang adiabatik diluar daerah presipitasi aktif, makaθ merupakan kuantitas yang kekal untuk gerak

yang demikian.

Dengan mengambil logaritma dari persamaan (3.28), kemudian diferensiasikan hasilnya, maka

diperoleh:

dt pd R

dt T d c

dt d c p p lnlnln −=θ (3.29)

Bandingkan dengan persamaan (3.26), maka

dt

ds

T

J

dt

d c p ==

θ ln(3.30)

Maka untuk proses yang reversibel, fraksi perubahan temperatur potensial sebanding dengan

perubahan entropi. Sebuah parsel yang entropinya kekal selama ia bergerak, harus bergerak sepanjang

permukaan isentropik.

3.2.2. Lapse-rate Adiabatik

59


9/12


Sebuah relasi diantara lapse-rate temperatur (laju pengurangan temperatur dengan ketinggian)

dan laju perubahan temperatur potensial terhadap ketinggian dapat diperoleh dengan mengambil

logaritma persamaan (3.28), kemudian didiferensialkan terhadap ketinggian

dz

pd R

dz

T d c

dz

d c

p p

lnlnln−=

θ

Kemudian gunakan persamaan hidrostatik dan persamaan gas ideal, maka diperoleh

pc

g

dz

dT

dz

d T +=

θ

θ (3.31)

Untuk atmosfer yang temperatur potensialnya konstan terhadap ketinggian, maka lapse rate-nya adalah

d

pc

g

dz

dT Γ ≡=− (3.32)

Karenanya, maka lapse-rate adiabatik kering selalu kekal di atmosfer-bawah

3.3. Analisis Skala Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Energi Termodinamika

3.3.1. Analisis Skala Persamaan Kontinuitas

Dalam sistem koordinat Kartesian, maka persamaan kontinuitas dalam perspektif Langrangian

dinyatakan dalam bentuk

01

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

z

w

y

v

x

u

z w

yv

xu

t

ρ ρ ρ ρ

ρ (3.33)

Dengan mengikuti teknik yang dibangun pada sub-bab 2.6.4, yaitu bahwa

( ) ( )t z y x z t z y x ,,,')(,,, 0 ρ ρ ρ +=

maka persamaan kontinuitas dapat diubah sebagai berikut

( ) ( ) ( ) ( )

0'''

''

1 0000

0

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂+∂

+∂+∂

+∂+∂

++∂∂

+ z w

y

v

x

u

z w

yv

xu

t

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ (3.34)

Karenaρ0 =ρ0(z), dan asumsikan bahwa 1' 0


10/12


Suku z

wvt H H ∂

∂−

∇⋅+∂∂

− ''

'''

20

20

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

ρ dapat diabaikan terhadap suku-suku yang lain, sehingga

0'

''1

0

0

00

=⋅∇+∂∂

++

∇⋅+∂∂

v z

w

dz

d wv

t H H

ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ (3.35)

Kemudian suku z

w

∂∂ '

0

ρ

ρ dapat diabaikan terhadap

dz

d w 0

0

ρ

ρ , sehingga persamaan kontinuitas dapat

diaproksimasi oleh

0''1 0

00

=⋅∇++

∇⋅+∂∂

vdz

d wv

t H H

ρ

ρ ρ

ρ

ρ (3.36)

Transformasi ke bentuk tak-berdimensi adalah

( ) 0][][

][

][

'

'1

][

][' 0

000 =⋅∇+

∂

∂

++

∇⋅+∂

∂ H H H H v

!

z

w

dz

d w

H

W

vt

! ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

(3.37)

Dengan menggunakan karakteristik skala di lintang menengah, dan untuk gerak skala sinoptik2

0 10~' − ρ ρ maka

∇⋅+∂∂

''1

0

ρ ρ

ρ H H vt

z

w

dz

d w

∂∂

+00

ρ

ρ

H H v⋅∇

Skala

][

]['

0

!

ρ

ρ

][

][

H

W

][

][

!

Nilai 10-7 s-1 10-5 s-1 10-5 s-1

Berdasarkan hasil analisa skala dalam tabel diatas, maka persamaan kontinuitas menjadi

0ln 0 =+⋅∇dz

d wv ρ

Atau dalam bentuk vektor

( ) 00 =⋅∇ v ρ

(3.38)

Maka dalam gerak skala sinoptik, fluks massa yang dihitung menggunakan densitas dasar adalah

nondivergen. Pendekatan ini tidak lain merupakan idealisasi dari fluida tak-termampatkan

(incompresible fluid) yang biasa digunakan dalam mekanika fluida. Akan tetapi perlu Anda ingat

bahwa sebuah fluida tak-termampatkan (incompresible fluids) merupakan fluida yang densitasnya

konstan selama bergerak

0= Dt

D ρ

Sehingga menurut persamaan (3.9b), maka divergensi kecepatan fluida adalah nol ( 0=⋅∇ v ) dalam

fluida tak-termampatkan yang tidak sama bentuknya dengan persamaan (3.38). Berdasarkan persamaan(3.38): jika alirannya murni horizontal murni, maka aliran atmosfer berperilaku sebagai fluida tak-

61


11/12


termampatkan. Akan tetapi, ketika ada gerak vertikal, maka kompresibilitas yang diasosiasikan dengan

kebergantunganρ0 terhadap ketinggian harus diperhitungkan.

3.3.2. Analisis Skala Persamaan Energi Termodinamika

Dengan menggunakan perumusan turunan total dan loka, maka bentuk lain dari persamaan

energi termodinamika yang melibatkan temperatur potensial adalah

T c

J

z wv

t p H H =∂

∂+

∇⋅+∂∂ θ

θ θ

θ

ln1 (3.39)

Jika temperatur potensial dipisahkan atas nilai temperatur potensial pada keadaan dasarθo(z)

dan deviasi temperatur potensialnyaθ(x, y, z, t), sehingga temperatur total pada setiap titik diberikan

oleh ( )t z y x z tot ,,,)(0 θ θ θ += , maka hukum pertama termodiamika dapat ditulis secara hampiranuntuk gerak skala sinoptik sebagai

( )T c

J

z wv

t p H H =∂

+∂+

∇⋅+∂∂

+θ θ

θ θ

θ θ

0

0

ln1 (3.40)

Karena fakta, bahwa 10


12/12


ri

Maka dalam kondisi tidak adanya pemanasan diabatik yang kuat, maka laju perubahan pertubasi

temperatur potensial sama dengan laju pemanasan atau pendinginan adiabatik akibat gerak vertikal

dalam keadaan dasar yang stabil statik, sehingga persamaan (3.41) dapat dihampiri oleh

00 =+∇⋅+∂∂

dz

d wv

t H H

θ θ

θ (3.42)

atau

( ) 0=Γ −Γ +∇⋅+∂∂

d H H wT vt

T (3.43)

63

BAB 3. Met-dinamik

Documents

Transcript of BAB 3. Met-dinamik