AULA 12 INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR...

Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor

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www.pme.poli.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização set/2012

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AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE

CALOR CONVECTIVA

Lei de Resfriamento de Newton

Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de

resfriamento de Newton, dada por:

)( TTAhq S

onde,

Ts, T∞ – temperatura da superfície aquecida e do fluido ao longe;

A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície;

h = coeficiente de transferência de calor por convecção.

O problema fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do

valor d h para o problema em análise. Nota-se que a expressão da transferência de calor

é consideravelmente mais simples que a da condução. No presente caso, basta resolver

uma equação algébrica simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se

conheça o valor de h, enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação

diferencial da condução de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa,

pois na verdade, em geral, h é função de um grande número de variáveis, tais como as

propriedades de transporte do fluido (viscosidade, densidade, condutividade térmica),

velocidade do fluido, geometria de contato, entre outras. Nessa e nas demais aulas,

serão apreentadas expressões e métodos de obtenção daquela grandeza para diversas

condições de interesse prático. Mas, antes, vamos apresentar os números adimensionais

que controlam a transferência de calor convectiva.

Análise Dimensional

A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema

para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto,

tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar

familiarizado a essa altura são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, os

números de Biot e de Fourier.


____________________________


86

A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação

sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser

conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta

do problema em análise.

O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões

primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em

função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas

MLtT, onde:

Comprimento L

Tempo t

Massa M

Temperatura T

Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes

dimensões:

Força ML/t2

O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:

Condutividade térmica ML/t3T

Calor ML2/t

2

Velocidade L/t

Densidade M/L3

Velocidade M/Lt

Calor específico a pressão constante L2/t

2T

Coeficiente De transmissão de calor M/t3T

Teorema dos Π ou de Buckingham

Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema.

É dado por:

M = N – P

Onde,

M – número de grupos adimensionais independentes;

N – número de variáveis físicas dos problemas;

P – número de dimensões primárias;

Sendo um adimensional genérico, pode-se escrever, então:

0),...,( 21 mF


____________________________


87

Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões

primarias. Logo,

M = 5-3 = 2, de onde se obtém:

0),( 21 F ou

pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma.

)( 21 f

Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como

indicado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizar experimentos com

apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar a dependência de 1. Com

isso, reduz-se drasticamente o número de experimentos. Caso contrário, seria necessário

fazer experimentos envolvendo as 5 variáveis originais do problema.

1

2

erimentalcurvaf exp)( 2

Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais.

Nesse caso, tem-se:

0),,( 321 F , ou ),( 321 f

Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constante, e variando

2, observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo.

2

tesconsdecurvas tan31


____________________________


88

Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada

Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura

abaixo.

fluido

V

Tubo

aquecido

D

Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são:

Variáveis Eq. Dimensional D Diâmetro do Tubo L

k Condutividade térmica do fluido ML/t3T

V Velocidade do fluido L/t

ρ Densidade do fluido M/L3

μ Viscosidade do fluido M/Lt

CP Calor especifico a pressão constante L2/t

2T

h Coef. de transferência de calor M/t3T

Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em:

M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais)

Seja um grupo adimensional genérico do tipo:

g

c

f

p

edcba hcVKD

Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem:

gfedcb

a

Tt

M

Tt

L

Lt

M

L

M

t

L

Tt

MLL

32

2

33

ou, após rearranjo, vem:

gfbgfecbfedcbagedb TtLM 32323

Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é:


____________________________


89

0

0323

023

0

gfb

gfecb

fedcba

gedb

Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O

método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto

crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo,

(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de

valores

0

1

dc

g

Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em:

a = 1

b = -1

e = f = 0

Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por:

Nuk

Dh1

(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores

0

1

0

f

a

g

(para não aparecer h)

A solução do sistema fornece:

b = 0

c = d = 1

e = -1

De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de

Reynolds, dado por:

D

VDRe2


____________________________


90

(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores

e = f =1

b = -1

Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de

Prandtl,

Pr3 k

cp

Então, há uma função do tipo

0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF .

Isolando o número de Nusselt, vem:

),( PrReDfNu

Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os

grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno).

Vimos, então, que:

),( PrReDfNu

Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima

correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo.

Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no

entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser

correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez

obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar

com outros fluido, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis.

10 1001

1

3,0Pr

Nu

4,03,0 RePr82,0Nu

água

óleoar

3


____________________________


91

AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA

PLACA OU SUPERFICIE PLANA

Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma

superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno.

Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De

forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), a qual pode ser obtida de forma

experimental ou analítica em algumas poucas situações.

Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser

obtida de forma analítica e exata. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais

que regem a transferência de calor em escoamento sobre uma superfície plana em

regime laminar. Depois será indicada a solução dessas equações. Para começar o estudo,

considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície ou placa plana, conforme

ilustrado. Admita que o fluido tenha um perfil uniforme de velocidades (retangular)

antes de atingir a placa. Quando o mesmo atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai

desacelerar as porções de fluido adjacentes à placa, dando início a uma camada limite

laminar que cresce em espessura à medida que o fluido escoa ao longo da superfície.

Note que esta camada limite laminar vai crescer continuamente até que instabilidades

vão induzir a uma transição de regime para dar início ao regime turbulento, se a

extremidade da placa (borda de fuga) não for antes atingida. Admite que a transição

ocorra para a seguinte condição 5105Re

xuxtransição (às vezes também se usa

3 105), onde x é a distância a partir do início da placa (borda de ataque).

y

u

laminar

xTransição Turbulento


____________________________


92

No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a

tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy

du

para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de

escoamento permitem uma solução exata, como se verá a seguir.

Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar

Hipóteses principais:

- Fluido incompressível - Regime permanente - Pressão constante na direção perpendicular à placa - Propriedades constantes - Força de cisalhamento na direção y constante

Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),

como indicado.

x

ydy

dx

Equação da continuidade ou da conservação de massa.

dydxx

uu )(

dxdyy

vv )(

vdx

udy

dx

dy

Como entrasai mm , então substituindo os termos, vem:

dydxx

uudxdy

y

vvvdxudy )()(

. Simplificando, tem-se

0

y

v

x

u ou 0VDiv


____________________________


93

Equação da conservação da quantidade de movimento

Da 2ª lei de Newton, tem-se que

extF variação do fluxo da quantidade de movimento

Balanço de forças na direção x.

Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível)

dxdyy

)(

dx

pdydydx

x

pp )(

dydxx

ppdxdxdy

ypdyFx )()(

ou, simplificando, dxdyx

pdxdy

yFx

Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se dy

du que, substituindo, em.

dxdyx

pdxdy

y

uFx

2

2

Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x)

dxdyy

uudy

y

vv ))((

vudx

dydxx

uu 2)(

dyu2


____________________________


94

Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão:

superior ordem de termos2

)(

)(2

))(()(

2

222

22

dxdyy

vudxdy

y

uvdxdy

x

uu

uvdxdxdyy

u

y

v

dxdyy

vudxdy

y

uvvudxdyudydx

x

udxdy

x

uudyu

uvdxdxdyy

uudy

y

vvdyudydx

x

uu

Ainda é possível simplificar esta equação para obter

dxdyy

v

x

uudxdy

y

uv

x

uu

decontinuida

0

)()(

dxdyx

uv

x

uu )(

Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a

variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação:

x

p

y

u

y

uv

x

uu

2

2

)(

Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica

- Condução na direção x desprezível - Energia cinética desprezível face à entalpia

dxdyy

uudy

y

vv ))((

dydxx

uu 2)(

dxdyy

uu )

)((

)(

2

2

dyy

T

y

Tkdx

dx

dy

y

Tkdx

dxuvhdx

uhdy

Potência (térmica) líquida das forças viscosas

dydyx

hhdy

x

uu ))((

dydyy

hhdy

y

uu ))((


____________________________


95

dydxy

uuu

ydydx

y

udxudxdy

y

uu

)()(

Conservação de energia:

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeo deixa

que energia de fluxo

tempode unidade

na realizado

líquido trabalho

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeno entra

que energia de fluxo

Agora, vamos tratar cada termo em particular

Fluxo de energia que entra

Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível)

y

Tkdxuhdyvhdx

Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas)

dxdyy

uu

y

Fluxo de energia que entra

)())(())((2

2

dyy

T

y

Tkdxdydx

x

hhdx

x

uudxdy

y

hhdy

y

vv

Desprezado os termos de ordem superior

dxdyx

ukdxdy

y

vhdxdy

y

hvdxdy

x

uhdxdy

x

hudydx

y

uu

y 2

2

00

2

2

0

)(x

uk

y

v

x

uh

x

hv

x

hu

y

uu

y

decontinuida

Com Tch p e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma

diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:

y

uu

yy

Tk

y

Tvc

x

Tuc pp 2

2


____________________________


96

Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível

face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).

Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada

para:

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o

escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como:

2

2

y

u

y

uv

x

uu

onde,

é a viscosidade cinemática

Comparando as duas equações acima, nota-se que quando , ou seja, 1Pr

corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de

velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 .

Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada

limite laminar são:

Conservação de massa 0

y

v

x

u

Conservação da quantidade de movimento

direção x

x

p

y

u

x

uv

x

uu

2

2

)(

2

2

y

u

x

uv

x

uu

pressão constante

Conservação de energia 2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do

Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius.


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97

Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes:

Crescimento da camada limite hidrodinâmica (CLH): x

x

Re

5 ;

Coeficiente local de atrito local : 2/1

, Re664,0

xxfc ;

Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque: 2/1

, Re328,1

LLfc ;

Razão entre camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT): 3/1Prt

;

Número de Nusselt local: Pr6,0PrRe332,0 3/12/1

xxNu 50

Número de Nusselt médio: 3/12/1

PrRe664,0 LLuN .

Definição do coeficiente de atrito: 2/

2

u

c sf

, s tensão de cisalhamento na parede

Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número

de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.

Tu ,

)1(Pr T

)1(Pr T

)1(Pr T

x

C.L.T C.L.H

TS

T u


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98

AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO

INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN

Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os

resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi

discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução

para o aluno mais interessado. Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada

no método integral, também conhecida como solução de von Karman.

Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x do

escoamento, enquanto que a altura H do mesmo se estende para além da camada limite,

isto é, H , conforme ilustrado na figura abaixo.

x

y

1 2

A A

dx

H

Leis de conservação na camada limite laminar no elemento diferencial acima:

Balanço de massa

Fluxo mássico na face 1 – A: H

udy0

Fluxo mássico na face 2 – A: dxudydx

dudy

HH

00

Balanço de fluxo de quantidade de movimento

Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: H

dyu0

2

Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyudx

ddyu

HH

0

2

0

2


____________________________


99

Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudydx

du

H

0

Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle

(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) =

Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx

dudxdyu

dx

dHH

00

2

Lembrando da regra do produto de diferenciação que:

)()()( ddd ou

)()()( ddd

Fazendo u

H

udy0

, vem

dxdx

duudydxudyu

dx

ddxudy

dx

du

HHH

000

dxudydx

dudxudyu

dx

dHH

00

Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem:

dxudydx

dudxudyu

dx

ddxdyu

dx

dMQfluxo

HHH

000

2..

Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma

mais compacta:

dxudydx

dudxudyuu

dx

dMQfluxo

HH

00

)(..

Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos

considerar as forças de pressão e de atrito.


____________________________


100

- força resultante da pressão: dxdx

dPH

- força de cisalhamento na parede: -dx

0

y

py

udx

p

dx

dxdx

dPP

P

Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser

escrita (2ª lei de Newton):

dxudydx

dudxudyuudx

dx

dPH

y

udx

HH

y

000

)(

Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento

sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa

hipótese não vale): 0dx

dP

Essa hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja

constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou

cteuP

2

De forma que, na forma diferencial: 002

2

duduudP

Assim, a equação da conservação da Q. M. se resume a:

H

y

udyuudx

dp

y

u

00

)(

Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então:

00

)(

yy

uudyuu

dx

d

Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M., válida para o escoamento

laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o

equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se

conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada.

Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar


____________________________


101

hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da

borda de ataque. (x).

A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de

velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção

desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de

velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia

um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem

satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a

analisar as condições de contorno do problema , que são:

0/0

/0

/

0/0

2

2

ypy

u

ypy

u

ypuu

ypu

As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira

informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-

escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a

terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser

nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação

diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula

anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são

quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de

contorno é um polinômio do 3º grau, dado por:

3

4

2

321)( yCyCyCCyu

Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado

de velocidades: 3

2

1

2

3)(

yy

u

yu

Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:

00

33

2

2

1

2

3

2

1

2

31

yy

udy

yyyy

dx

du


____________________________


102

Do que resulta, após algum trabalho:

uu

dx

d

2

3

280

39 2

Integrado essa equação, lembrando que para x = 0 δ = 0 (a CL começa na borda de

ataque):

u

vxx 64,4)( , ou

xx

x

Re

64,4)(

Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornecia: x

x

x

Re

5)(

Ver Holman Apêndice B ou Incropera

Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável.

Camada Limite Térmica Laminar

Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora pode-se resolver o problema

térmico. O objetivo é o cálculo do coeficiente de transferência de calor, h. Note que

junto à superfície todo calor transferido da mesma para o fluido se dá por condução de

calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que pode-se igualar os

dois termos da seguinte maneira:

0

)(

y

py

TkTTh , ou

TT

y

Tk

hp

y 0

Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a

distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso

hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas:

Condições de contorno


____________________________


103

0/0

/

/0

0/

2

2

ypy

T

ypTT

ypy

T

ypTT

t

t

p

Método integral (aproximado)

x

y

x0

t

u

T

cteTp

Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um

ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,

desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem:

(ver Holmam)

00

2

0

)(

y

H

p

H

y

Tdy

dy

du

cudyTT

dx

d

Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e

aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3

2

1

2

3)()(

ttp

p yy

TT

TyTy

(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas)

Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as

espessuras de camadas limites:

3/1

4/3

03/1 1Pr026,1

1

x

xt

Se a placa for aquecida desde a borda, x0 = 0, temos

3/1Pr026,1

1

t


____________________________


104

No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos

11

11

/Pr

t

Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de

velocidades, calculada junto à parede

tttp

p

p

y

x

kk

TT

TTk

TT

y

Tk

h

2

3

2

3

2

3

)(

)(0, ou

3/14/3

03/1

1Pr026,1

2

3

x

xkhx

, ou ainda

3/1

4/3

0

2/1

3/1 1Pr332,0

x

x

x

ukhx

Lembrando da definição do número de Nusselt, k

xhNu xx , vem:

3/14/3

02/13/1 1RePr332,0

x

xNu xx

As equações anteriores são para valores locais.

O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0:

L

x

dxu

L

dxh

h

LL

x

L

0

2/1

2/1

3/1

0

Pr332,0

, ou

2/

Pr332,0 2/12/1

3/1

L

Lu

hL

, ou finamente:

LxL hL

uh

2Pr332,02

2/1

3/1

Analogamente, para esse caso:

LxL Nuk

LhuN 2


____________________________


105

Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as

propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf

2

TTT

p

f

E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:

3/12/1 PrRe453,0 LLk

hLNu

Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5

Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom)

Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa

aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma

temperatura de 90ºC. Determine:

(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica ao final da placa

(b) a espessura da camada limite térmica t no final da placa (c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa (d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida.

São dados:

Propriedades calculadas a CT f065

2

9040

= 7,3810-8 ms/s

fk = 0,213 W/moC

= 6,510-5 m2/s

= 9,57102 kg/m3

= 6,2210-2 N.s/m2

pC = 3016 Ck

J

g

CTp 90

u

T

t

Solução

Verificação se o escoamento é laminar ai final da placa

)105(Re5538105,6

606,0Re 5

5

transiçãoL

Lu

(a) x

x Re

5

; x = L = 6m

m40,05538

65

(b) 3/1

8

53/13/1 881

1038,7

105,6)/(Pr

t


____________________________


106

mt 042,0881

4,03/1

(c)

2/1

3/1Pr332,0

L

ukhx

Cm

Whx

2

2/1

5

3/1 4,86105,6

06,0)881(213,0332,0

Cm

Whh LxL

28,164,822

(d) )( TThAq s m

WTTLh

L

qs

p

5040)4090(68,16)(


____________________________


107

AULA 15 – ANALOGIA DE TRANSFERÊNCIA DE

CALOR E DE ATRITO – REYNOLDS-COLBURN E

CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA

DE CALOR EM ESCOAMENTO EXTERNO

2.5 – Analogia de Reynolds – Colburn

Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento

(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta

analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta aula. Essa é a

chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com

a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição

laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente

de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os

dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor.

Por definição, o coeficiente de atrito é dado por:

2

2

u

Cp

f

Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),

a tensão de cisalhamento na parede é:

0

y

py

u

Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:

3

2

1

2

3

yy

u

u,

temos que a derivada junto à parede resulta em:

u

y

u

y2

3

0

Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da

camada limite, isto é, x

x Re

64,4

que, mediante substituição na definição da tensão de

cisalhamento na parede, resulta em:


____________________________


108

x

uu xp

Re323,0

2

3

Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem:

x

xfx

xu

uC

Re

323,0Re323,0

2 2

Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de

Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:

2/13/2 RePr332,0PrRe

x

St

x

x

x

Nu

, onde Stx

uc

h

p

x

é o número de Stanton. Então,

reescrevendo de forma compacta:

x

xStRe

332,0Pr 3/2

Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a

menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta

pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter:

2Pr 3/2

fx

x

cSt

Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito

com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa

forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de

arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será

visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no

interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios.

______________________________________________________________________

Exemplo resolvido – continuação do anterior

Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior (aula 14).

Sabe-se que 3/2Pr2

tSC f


____________________________


109

Por outro lado, 52

1070,906,030161057,9

8,16

uc

htS

p

L

Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 fC , de forma

que a tensão de cisalhamento na superfície é:

2

2222

1007,32

)06,0(9571078,1

2 m

NuC fp

Finalmente, a força de atrito por unidade de comprimento é:

m

NL

L

Fp

p

184,061007,3 2

______________________________________________________________________

Camada Limite Turbulenta

A transferência de calor covectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente

diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da

transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três

subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:

x

yturbulenta

Camada amortecedora

Sub camada laminar

A CLT é subdividida em:

- subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular - camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas - turbulento – misturas macroscópicas de fluido

Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o

comportamento da velocidade local, o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo.

t

u

u


____________________________


110

Do gráfico ilustrado, depreende -se que a velocidade instantânea, u, flutua

consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato de flutuação da

velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa

parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades do perfeito

equacionamento do problema turbulento. Para analisar o problema, costuma-se dividir a

velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação,

como indicado:

velocidade na direção paralela: 'uuu

velocidade na direção transversal: 'vvv

pressão: fluctuacàomedio

táneoinsvalor

PPP '

tan

Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e um apóstrofe,

valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças

aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser

consideradas na análise.

Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da

camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar em que o fluido se

“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções”

de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para

cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna

(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção”correspondente (2) desce para

ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de

modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada

limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem.


____________________________


111

Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do

escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise

mais profunda. No entanto, abaixo se mostra os passos principais da modelagem.

O primeiro passo é escrever as equações de conservação (massa e quantidade de

movimento) – aula 13. Em seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos

correspondentes de média e flutuação, isto é, 'uuu , 'vvv e 'PPP . Em

seguida, realiza-se uma integral sobre um período de tempo longo o suficiente, isto é,

realiza-se uma média temporal. Ao final, vai se obter a seguinte equação diferencial:

''

1uv

y

u

yx

P

y

uv

x

uu

No processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média temporal das flutuações

e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que envolvem a média temporal

do produto das flutuações (últimos dois termos à direita). Aqui reside grande parte do

problema da turbulência que é justamente se estabelecer modelos para estimar estes

valores não desprezíveis. Estes termos dão origem às chamadas tensões aparentes de

Reynolds que têm um tratamento à parte e não vamos nos preocupar aqui.

O importante é saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e

turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões

apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela

7.9 do Incropera e Witt.

Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu 60Pr6,010Re8 x

Médio : 318,0 Pr871Re037,0 LLNu 810Re L

2,0Re37,0 xx

810Re L

Nota: outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula.

As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média

entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 105


____________________________


112

______________________________________________________________________

Exemplo resolvido (Holman 5-7)

Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de

comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa.

Propriedades avaliadas à CT

402

6020

Ckg

kJc p

007,1

3128,1

m

kg 7,0Pr

Cm

Wk

02723,0

ms

kgx 510007,2

610475,1Re xVL

L

2055)871Re037,0(Pr8,03/1 LL

k

LhNu

CmWNuL

kh L

2/6,74

WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(

______________________________________________________________________

Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos

No caso do escoamento externo cruzado sobre cilindros e tubos, análise se torna mais

complexa. O número de Nusselt local, dado em função do ângulo de incidência , isto é,

Nu(), é fortemente influenciado pelo efeito do descolamento da camada limite.

A figura ao lado indica o que acontece com o

número local de Nusselt. Para ReD 105, o

número de Nusselt decresce como conseqüência

do crescimento da camada limite laminar (CLL)

até cerca de 80o. Após este ponto, o escoamento

se descola da superfície destruindo a CLL e

gerando um sistema de vórtices e mistura que

melhora a transferência de calor (aumento de

Nu(). Para ReD > 105, ocorre a transição e

formação da camada limite turbulenta (CLT). Na

fase de transição (80o a 100

o) ocorre a melhora

da transferência de calor. Uma vez iniciada a

CLT, novamente se verifica a diminuição do

coeficiente local de transferência de calor devido

ao crescimento da CLT para, em torno de 140o,

descolar o escoamento da superfície que destrói

a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e

mistura que volta a melhorar a transferência de

calor. No caso turbulento há, portanto, dois

mínimos.


____________________________


113

Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante

analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de

outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de

calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da

correlação empírica de Hilpert, dada por:

3

1

PrRemDD Ck

DhNu

onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como

função do número de Reynolds.

ReD C m

0,4 – 4 0,989 0,330

4 – 40 0,911 0,385

40 – 4.000 0,683 0,466

4.000 – 40000 0,193 0,618

40.000 – 400.000 0,027 0,805

No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma

expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na

próxima tabela (Jakob, 1949).


____________________________


114

Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão

mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por

4/1

Pr

PrPrRe

s

nm

DD CNu válida para

610Re1

500Pr7,0

D

,

onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são

avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se Pr

10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.

ReD C m 1 – 40 0,75 0,4

40 – 1.000 0,51 0,5

1.000 – 2105 0,26 0,6

2105 – 10

6 0,076 0,7

____________________________________________________________

Escoamento sobre Banco de Tubos

Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor.

Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula

internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é

chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio.

Arranjos em linha ou quicôncio


____________________________


115

Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos.

Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para

outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente,

Zhukauskas apresentou a seguinte expressão:

4/1

36,0

max,Pr

PrPrRe

s

m

DD CNu

válida para

6

max, 10.2Re1000

500Pr7,0

20

D

LN

onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é

avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre

a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo.

Configuração ReD,max C m

Alinhada 10-102 0,80 0,40

Em quicôncio 10-102 0,90 0,40

Alinhada

Em quicôncio

102-10

3 Aproximado como um único

102-10

3 cilíndro (isolado)

Alinhada

(ST/SL>0,7)a

103-210

5 0,27 0,63

Em quicôncio

(ST/SL2) 10

3-210

5 0,40 0,60

Alinhada 2x105-210

6 0,021 0,84

Em quicôncio 2x105-210

6 0,022 0,84

a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados.

Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir

a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme

expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.

202

20

LL ND

ND NuCNu

Tabela com o fator de correção C2 para NL103)

NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16

Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99


____________________________


116

O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que

percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em

VDS

SV

T

T

max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em

quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões,

conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição

for satisfeita )()(2 DSDS TD que, após uma análise trigonométrica simples, se

obtém a seguinte condição equivalente 22

212

2 DSSSS TTLD

. Se isso

acontecer, então: VDS

SV

D

T

)(2max

. Caso essa condição não seja satisfeita, então, a

velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS

SV

T

T

max .

Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt)


____________________________


117

______________________________________________________________________

Exercício de Aplicação

Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C.

Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de

25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C.

Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro

sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais

condições são mantidas. Pede-se:

(a) Em qual caso a troca de calor é maior.

(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.

(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na

outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua

resposta através de um memorial de cálculo.


____________________________


118

Solução

Propriedades do ar à CTT

Tp

452

ν = 1,68 x 10-5

m2/s

k = 2,69 x 10-2

W/mK

Pr = 0,706

Placa

L=0,25m

CTp 60

smu /4

CT 30

critL xLu

Re1095,51068,1

25,04Re 4

5

5105

2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1

xNu LL

Assim CmWL

kNuhL

2/56,15

25,0

02697,02,144

Cilindro

D

CTs 60 Tu ,

πD = L D = 0,25/π = 0,0796 m

Assim, 45

10895,11068,1

0796,04Re

D

Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)

3/1PrRemDD CNu p/ReD=1,89510

4 C = 0,193

m = 0,618

Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu

de forma que: KmWD

kNuh

DD

2/63,250796,0

02697,063,75

a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh e a área de troca de

calor é a mesma.


____________________________


119

]b)

Placa

WQ

TTAhQ

placa

ppplaca

7,116

3025,056,15

)(

Cilindro

WQ

TTAhQ

cil

pccil

2,192

3025,063,25

)(

c) Porção laminar 5, 105Re Lcrit

Note que 51059,1Re/ReRe DLD sendo equivalente ao crítico.

3/12/1 PrRe664,0

LL

L

kh

(A)

m

D

m

DD CL

kC

D

kh Re

PrRePr

3/13/1 (B)

Portanto de (A), 2/1

3/1

Re664,0

Pr

L

Lh

L

k , que, pode ser subst. em (B), para obter

Lm

D

D

Lm

DD hC

hCh 5,0

2/1Re669,2

Re664,0

Re

Ou 5,0Re669,2 mDL

DC

h

h para o caso laminar na placa

Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5105

3/18,0 Pr)871Re037,0( LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)

De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( LL

k

Lh e

871Re037,0

Pr8,0

3/1

L

Lh

L

k (C)

sub. em (B), vem 871Re037,0

Re8,0

L

Lm

DD

hCh

Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0

Re8,0

L

m

D

L

D C

h

h

Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa

871Re037,0

Re8,0

L

m

D

L

D C

h

h


____________________________


120

Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões

das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e,

em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do

cilindro (na faixa de validade das expressões)

ReD C m hD/hL regime

4 0,898 0,33 2,09 laminar

40 0,911 0,385 1,59 “

4000 0,683 0,466 1,38 “

40000 0,193 0,618 1,8 “

159000 0,027 0,805 2,78 “

200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb

400000 0,027 0,805 1,43 “

L

D

h

h

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

ReD

AULA 12 INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR...

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