FACULTEIT DER TECHNOLOGISCHE WETENSCHAPPEN,

Vak : Analyse 3. Datum : 28-08-2013 Tijd : 0 8 . 0 0 - 11.00 uur. Docent: H.Antonius.

1.[20] k = ki + k2 + k3 is een positief georienteerde gladde kromme in D&2

k , : y = X A — 1 < x < 0 ; k 2 : y = - l A - 1 < X < 1 ; k 3 : y = - x A 0 < X < 1 .

F(x,y = {x-y ,2x)

a. Schets k. b. Bereken i. Rechtstreeks ii. m.b.v. Green.

k

2.[20] S = {(x,y,z) |z = l —(x 2 + y2) ; 0<z<l} F = (y,y,z) n is naar buiten gericht op S. .

a. Schets S.

b. Bereken | J r o t F . n dS i. Rechtstreeks ii.m.b.v. Stokes . s

3.[15] S is het boloppervlak x2 + y2 + z2 = 4 « i s naar buiten gericht op S. F(x ,y ,z) = ( 2 x y , - y 2 , 3 z )

F- 4 3

M dS (inhoud van een bol met straal R is R3) S 3

4.[20] Onderzoek de volgende reeksen op convergentie of divergentie :

oo cn oo ( \ \n oo 5 I ^ T . Z ^ t V ' Z t a n - , Z Z

n ^ n -1 2

5.[25] Bereken het convergentie gebied en de som van de volgende machtreeksen

OO 00 « a . 1 ( 1 - * ) " b.

n=0 n = 0 n + L

< F - -

0 ^ e k / L ' W , L-)

n A ^ cU - o

UO ^

v= (t) £ UT> t , V k t , o) F ' tl ) -r ( - ^ V , Oft * , o )

ff yyfl F cU A

l é [Ö, vfr] F ' ( o ) ï ( o ,1, d ;

aw JUT

r r v \ r . : ) !

a » I - »

(jij) y\A <F ^ ch\ - j j j ^ ^ ^ f l U ] ^ o

C f - /Y I ^ \ f 0 \ n / t P r r ^U - - - ƒ / n A dUj - ~ t { ) [ / W V V

* <4, i

o £ r x ^ /- / c~<>

L ^ je. r i f o A J A—* co ^ VN

K&oU/ï vi d U v / " ^ ^ Q

I -

L y ^ ^ U a y L Y-Cclc^ Vv\jeA r - "2 ^ I

O . ~ N> - 1 K > I

; Vw l , ' i

i T " ^ f K -t I c r -

- - f v -a ^ - i w

Vx-=ïpo v-x-l 0

( H ) f V ' ^ _ J ^G-v+t) W(K-i-i) ' C t K(K-ti) ' (KiijCw^

\ < \ ~ K—•) c* ^ ( h -+ ()

H "

o? ^ I

^ .—f— Ki--t w K"

to löVuJ- W(KH<) W 3 W

(—tl)

r / v ^ _ — ^ _ <- J . a 1 £ - ^ ' ^ K j ^ d u , '

V £ f v T d w \ d y - w f ^ ^ V ^ d v t ^ dve

C f b a - i v . - X w C i - v c ; J i w x

I x ^ C.-V^) d w \ V . JLw ( h V4.) f f

U ^ - , ) _ f - t c t

Y \

- ( \ - v ) -t f -f

03

©

b . ~ ^ w I

1 Y -CL

K f"» "iS C." TV'-" i

w {*>

C- > ^ ft \>v J K ^ ~ 2-j - t -- V ^

^o cïlxw^rsftövt , .U t < \ CK „ H 3 '

— .Vn.-:' Sh - ^ - KV

Vv-I _ ( w - \ ) CW41) _ y\ - Sw - Sw., ~ K + i u - Cc^vtT)

\

oo

W — I

^ - ^ \ 1 = X - ^ l f W Ö 1 !

"WOO U - ? ^ V=>

C A V V J ^ ^ ^ K c ^tyUL c( C ^

\ ' Vwl ^ , V

FACULTEIT DER TECHNOLOGISCHE WETENSCHAPPEN,

Vak : Analyse 3. Datum : 28-08-2013 Tijd : 08 .00-11 .00 uur. Docent: H.Antonius.

1 .[20] k = ki + k2 + k3 is een positief georienteerde gladde kromme in IR2

k 1 : y = X A — 1 < x < 0 ; k2 :y= -1 A - \ < X < \ ; k 3 : y = - x A 0 < X < 1

F(x,y = (x - y, 2x) a. Schets k. b. Bereken i. Rechtstreeks ii. m.b.v. Green.

k

2.[20] S = {(x,y,z) \z = l-(x2+y2) ; 0 < z < l } F = (y,y,z) n is naar buiten gericht op S. .

a. Schets S.

b. Bereken jjrotF .n dS i. Rechtstreeks ii.m.b.v. Stokes . S

3.[15] S is het boloppervlak x2 + y2 + z2 = 4 n is naar buiten gericht op S. F(x ,y ,z) = (2xy , - y 2 , 3 z )

Bereken ^ F . n d S (inhoud van een bol met straal R is ~7T S 3

4.[20] Onderzoek de volgende reeksen op convergentie of divergentie :

OO Cw OO / 1\« 00 5 ^ (-1) n ™ n-1 Z T ï > z — ; r ' E t a n - » Z 2 , •

n=0 3 n=ln+Z n=1 \nJ «=1 n ~ 1

5.[25] Bereken het convergentie gebied en de som van de volgende machtreeksen oo oo a - Z ( l - * ) " b. 2

00 x"

n=0 «=0

' Qwlf-ëk SamenxdMg CU.JwJL Ccvy&£(\)?.rit oSU X^Vt (Xh = L CznAyvcnnotOW itaquJbl/MOS. hbUSfi.

^ ^ f J U y^kntap^

sRJUÜiAUL ; - CGvwKrqcA^ 0#6 i W Sir) -rr.vS h*M>OJ*)? A.=r. <LQ..& (j£*nu/j UJiU) - «d^uKrcpvL a j k ^ m ^ 4 , ^ u i l . b u c k t ó i

^ n + i - a h " " 0 n+t

•—•k"> O <> CLn ZA n Urrvoer^ê'tè

a JZwyl JjJL ^ L < o - L =? o l i , , . . ^ . . . ^ . . ! . ^ ^ . . .

^ t t g f Y ü U U ! / U a ^ ÊJL : ƒ ^ © / x ^ Z — ^ JrJ^rcuxIl. loO^tx^cJi C ^ ^ m ^

„ cm oA.L< i da/i.£ " llkkÜ^ri& vi ! ion t O ~ L^-—QU L > ! o/ dan diücrq>A.L

G u c c M ü . ? t/ 1 ; g ; a n , ( ; / t o i l l l

..Mnme/dt. vxxrv cl'öi r-U t I - L ...Sr Ahwctwk — L > 0 e | L J oo

I L |<a„) 3 A U L ^ IA ccU^cX^-M-i , g m J L

i a h — L A u i a - U u ^ v ü O i n O . cXa>v aa !Tjudi.&.../uiJ^büd...<Lo*uJL

L ÏPV* MjMttaJLAS^L l&LhhLl br> ^ JaJLnJir^ J doJK* Z coku*..

^ J L t v k . - o / - O WtO '

: t o

~~ Q^ X

T - L

OW SSwi ^ r ^ l l l ( a i ^ 'T-^ki' c s ru>- )

3

^R — jlurn. CCiïuJ^ QMJUJL f — hL R?\ o ^ • ;

c T U j l U — f c X . . H C — - . c = o • > n - X

J L i m n a a i ol v s / M ^ p z i x T ; - j ^ - - - q - Q . 4 OL)

_

1

\ h i ^ _ n A * ^ / f - A / ? i

H = ? i £ - q , i £ . A:

S i i fóov^ => <£ T dr = < £ ? c b c 4

Th] di - ƒ[" 7 -n f f cludv

f b c A ~ F A n - ^ P o ( / t

fra^s ; § T - f T o l l - J j J c / m F d K d f l < k =

"(ImwAA ^r U l ^ Lo,o)l l)jU [o, t )

p r e o ^ i t L

H \

(a.*)

ici X !

- > V- - F

rik): (kto) UCorf r'U)c(,,o)

h U D ' - f a é ) u [ o y z ] t

L : ï L ^ i i z ) M* 0,o)

3) f d t ö l r t k / v (

^ § t A r f P . c f r + £ f J ^ v £

I t - dk 4-ƒ l{ cfcf 7 .] ( H ^

FV V ö

+ m * U L - i t J

8+ 8 -

X l £

2..JJ c k ^ ^ ^ O ^ Y

—M

n ijfcJ^ GjJtAjuM cp S

i) & M -7 1 1

—O Z * l - y '

c- o 2 - i - X-

vS tl t \ \ y

é ^ I

f \ A ^ r

K

L

I O 0

1 - I J J O

~ i

" " ' - t l ' ' I M '

( W f f f r j ) + U i )

rol t -A

O - 0

r M V Tl - o

/ 0

V 0 r ^ ^ W V : f

t . n . c k -

/ i

1 * J J « I / a r - ^ f <?--o rxo

I W

o 0 ^ 0 ^

a) S U h - ^ S f r c t n ^ ' - j F - d r

£ : f ( t h ( u o t , A^i, o) t e [o,

r ' tfcl-

r ^ y - C * , ! , o)

Til

ro ,{ F^ n.cL ^ k f J r b

i s I

(jr>i \ dt - • l<?bt c^k O 0

- ö

•xm e 1 1

M) n

Lei) / £ ' - r C « i y )

f x A < y ( ? )

| r c r i P. n A = - j f i - o V f . n , k *

rc.'V f . o .do c ft ). I ? 1 a

FACULTEIT DER TECHNOLOGISCHE WETENSCHAPPEN,

Vak : Analyse 3. Datum : 11-7-2013 Tijd : 0 8 . 0 0 - 11.00 uur. Docent : H.Antonius.

1 .(20) Onderzoek de volgende reeksen op convergentie of divergentie:

4n 5 n\ a. b. y - ^ — C. Y r r t \ 1 + B = 0 2 + 3" t \ n

00 xn

2.(25) Bereken het convergentie gebied en de som f(x) van ^ »=0 n+\

3.(25) k = ki + k2 + k3 is een positief gorienteerde stukgewijs gladde

kromme in E2 . ki is het lijnstuk van (0,1) naar (0,0) , k2 het lijnstuk van (0,0) naar (-1,0) en k3 is x2 + y2 = 1 van (-1,0) naar (0,1)

a. Shets k.

b. F(x,y) = 3 y

\ x j .Bereken §F .dr a. rechtstreeks b. m.b.v. Green

4.(30) S is het oppervlak z = l - x 2 - y 2 z >0 in DS.3

n is naar buiten gericht op S. F = (x,x,z)

i. Schets S. ii. Bereken ƒƒ rotF.ndS (a) rechtstreeks . (b).m.b.v. Stokes, (c) m.b.v. Gauss.

FACULTEIT DER TECHNOLOGISCHE WETENSCHAPPEN,

Vak : Analyse 3. Datum : 19-08-2011. Tijd : 0 8 . 0 0 - 11.00 uur. Docent : H.Antonius.

1 .[25] k is de positief georienteerde kromme gevormd door de zijden van de vierhoek met hoekpunten (0,0), (4,0),(4,2) en (0,2). F = ( x - y , x )

Bereken (fF.dr i. rechtstreeks ii. m.b.v. Green.

2.[30] S = {(x,y,z) \z = \-x2-y2 z > 0} F = (z,y,z) n is naar buiten gericht op S. .

a. Schets S. b. Bereken | jrotF.ndS i. Rechtstreeks ii.m.b.v. Stokes iii. m.b.v. Gauss.

s

3.[20] Onderzoek de volgende reeksen op convergentie of divergentie

OO F 1 V OO'-I/Ï 0 0 « I \ 'V y l n n "V n=i V nj n=o 3 „_1 n „=1 V»

CO .N 4.[25] Bereken het convergentie gebied en som f(x) van — -„=, n{n +1)

FACULTEIT DER TECHNOLOGISCHE WETENSCHAPPEN,

Vak : Analyse 3. Datum : 22-08-08. Tijd : 08.00 -11.00 uur. Docent : RAntonius.

1 .(25) Onderzoek de volgende reeksen op convergentie of divergentie:

co (-1) W - I

3"

2.(20) Bepaal het convergentie gebied en de som van de volgende machtreeks:

r «=i n

3.(25) k = kj + k2 + k3 + Ie» is een stuksgewijs gladde kromme

k , : r ( / ) = (f,0) t e [1,2] k2: f{t) = (2 c o s s i n 0 t e [0, x ] k3: r(t) = (t,0) te [-2,-1] k4 : r(t) = (cos/,sint) t e [0, x ]

(\y>-2y Bereken ^F.fds a.rechtstreeks b.m.b.v. Green

3.(30) S is het oppervlak x2 + y2 + z2 = 1 ; z < 0.

n is naar buiten gericht op S. F - (x,y,y)

a Parametriseer S. b. Schets S. c. Bereken ƒƒ rotF.ndS (a) rechtstreeks. (b).m.b.v. Stokes, (c) m.b.v. Gauss.