Algebra 1

Aad VijnStudienummer: 4020111

12 juni 2010

Technische WiskundeFaculteit der Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

Technische Universiteit Delft

1

1. Inleveropgave week 1

∎

1.1. Opgave 9. Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B is gedefinieerd als

A∆B = (A ∪B) (A ∩B)

Zij X een verzameling met twee elementen , en V de collectie van deelverzamelingen van X. Laat zijn dat V eenverzameling van 4 elementen is, en dat deze verzameling onder de bewerking ∆ de structuur van een viergroepvan Klein krijgt.

uitwerking :

Zij X een verzameling bestaande uit twee elementen: X = {a, b}. We definieren V als de collectie van deelver-zamelingen, dus V = {∅,{a},{b},{a, b}}. Merk op dat de lege verzameling ∅ een deelverzameling is van elkeverzameling. Om te laten zien dat dit alle deelverzamelingen zijn, kunnen we het volgende zeggen. Als er een5e deelverzameling zou zijn, dan zou hij tenminste uit 1 van deze verzamelingen moeten bestaan met een extraelement uit de verzameling X. Maar elementen die in een verzameling vaker terugkomen laat je uit der verza-meling weg, zodat het element eenmaal voorkomt. Hierdoor wordt {a, a} de verzameling {a}. We concluderendat V uit 4 elementen bestaat.

Om te laten zien dat de verzameling V het structuur heeft van een Viergroep van Klein, zullen we een verme-nigvuldigtafel maken:

a ↓ b→ ∅ {a} {b} {a, b}∅ ∅ {a} {b} {a, b}{a} {a} ∅ {a, b} {b}{b} {b} {a, b} ∅ {a}{a, b} {a, b} {b} {a} ∅

Tabel 1. opgave 9

Aan het structuur van de vermenigvuldigtafel kunnen we het volgende zien:

● Er is een eenheidselement (de lege verzameling ∅)● Het produkt van 2 verschillende deelverzamelingen geeft het derde overgebleven deelverzameling

Er is dus een bijectie f ∶ V4 → V gedefinieerd door id ↦ ∅, sx ↦ {a}, sy ↦ {b} en h ↦ {a, b}. We concluderendat V4 en V isomorf zijn.

2

1.2. Opgave 12. Laat zien dat de vergelijking 3x2 +2 = y2 geen geheeltallige oplossingen heeft door te rekenenmodulo 3. Bewijs ook dat de vergelijking geen rationale oplossingen heeft.

uitwerking :Zoals de opgave al aangaf, gaan we rekenen modulo 3. Dit betekent dat elke x, y ∈ {0,1,2}. De vergelijking gaatdan over in

y2 = 2

Immers 3 ∈ 0, dus de term 3x2 is voor elke x gelijk aan 0. Omdat y ∈ {0,1,2} betekent dit dat y2 ∈ {0,1}. Hieruitkunnen we concluderen dat de vergelijking geen geheeltallige oplossingen heeft, want voor geen enkele y is y2 = 2.

Nu gaan we bewijzen dat de vergelijking geen rationale oplossingen heeft. Stel x, y ∈ Q zijn rationale oplossingen.

We schrijven x =a

ben y =

c

dmet a, c ∈ Z en b, d ∈ N≥1.

Invullen in de vergelijking 3x2 + 2 = y2 geeft ons:

3 ⋅ (a

b)2

+ 2 = (c

d)2

Merk op dat we nog steeds rekenen modulo 3. De term (ab)2

is dus voor elke x ∈ Q gelijk aan 0. Oftewel:

2 =c2

d2

Vermenigvuldig links en rechts met de noemer d2. We bekijken de volgende verkregen vergelijking:

2d2 = c2

Opnieuw kunnen we zeggen dat c2, d2 ∈ {0,1}. We concluderen dat de vergelijking 2d2 = c2 geen geheleoplossingen heeft, en dus heeft 3x2 + 2 = y2 geen rationale oplossingen!

1.3. Opgave 13. Definieer V4 en V ′

4 als in de stellingen 1.1 en 1.3. Laat zien dat er precies 6 verschillendeisomorfismen V4 → V ′

4 bestaan.

uitwerking :

Zij V4 = {id, sx, sy, h} en V ′

4 = {1,3,5,7,} de verzamelingen uit stelling 1.1 en 1.3. We zijn op zoek naar hetaantal isomorfismen zodanig dat f ∶ V4 → V ′

4 een bijectie is. Een vereiste van zo een isomorf is dat de identiteitwordt behouden, dus id↦ 1. De andere 3 elementen van V4 kunnen dus op 3 ⋅2 ⋅1 = 6 manieren worden gestuurdnaar de overige 3 elementen in V ′

4 . Er bestaan dus precies 6 verschillende isomorfismen V4 → V ′

4 .

3

1.4. Opgave 15. Bepaal de verzameling van symmetrien van een gelijkzijdige driehoek in het vlak. Commu-teren deze symmetrien onder samenstelling?

uitwerking :

We gaan op zoek naar de symmetrien van een gelijkzijdige driehoek. Als we kijken naar zo een gelijkzijdigedriehoek ABC , kunnen we de volgende symmetrien ontdekken:

● De identiteitssymmetrie: id● De spiegeling door de zwaartelijn door het punt A: sa● De spiegeling door de zwaartelijn door het punt B: sb● De spiegeling door de zwaartelijn door het punt C: sc.● De rotatiesymmetrie onder een hoek van 2π

3: d1

● De rotatiesymmetrie onder een hoek van −2π3

: d2

Merk op dat d2 = d−11 . We komen op een totaal van 6 symmetrien. We gaan nu een vermenigvuldigtafel makenom te controlen of deze symmetrien commuteren onder samenstelling:

a ↓ b→ id sa sb sc d1 d2id id sa sb sc d1 d2sa sa id d1 d2 sb scsb sb d2 id d1 sc sasc sc d1 d2 id sa sbd1 d1 sc sa sb id idd2 d2 sb sc sa id id

Tabel 2. opgave 15

Het mogen duidelijk zijn dat niet alle symmetrien niet commuteren. Immers, sa ○ sb ≠ sb ○ sa en d1 ○ sc ≠ sc ○ d1.