Algebra Segundo Aporte

8/19/2019 Algebra Segundo Aporte

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TRABAJO COLABORATIVO FASE 1

ALGEBRA LINEAL

PRESENTADO A:

IVAN FERNANDO AMAYA

PRESENTADO POR

RAFAEL CAUSIL GONZALEZ

CÓD. 104126025

GRUPO ALGEBRA LINEAL 10040!"#20

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

BOGOTA D.C.

2015



OBJETIVOS

C%&')'& ' +)'&+ &3%+$ $( /)/'%*( ' '(%+/ ;'/*&+$7 '*'&)+)*'(7+*&/'( < / (' +%$/+ /++ *'+.

R'/)/'& $+ %&*+)/+ '$ ) ,8(/ ' A$',&+ L)'+$ / (/%$)+%&'(/),$' %+&+ )3'(*&+ &+/?) ') /3+$93'& 8&'+ /')*>/+7 <+ 93' )(%'&*' '(+&&$$+& /%'*')/+( ') '$ /+% ' $+ );'(*+/?) < '(+&&$$*&.



R'($;'& $( /)/ %&,$'+( 93' (' %&'(')*+) + /)*)3+/?)7 '(/&,') '$ %&/'(%+( %& %+(:

1. Dados los siguientes vectores dados en or!a "olar#

+.

0240;

23 == θ u

,.

0300;3 == θ v

R'+$/' +)+$>*/+')*'7 $+( %'&+/)'( (3')*'(:

1.1.vu −

1.2.vu 2−

1.#uv +

1.4

uv 2−

1.5vu 34 −

$. Encuentre el %ngulo entre los siguientes vectores#

2.1. jiu ˆ4ˆ8 −−=

< jiv ˆ4ˆ6 −−=

2.2. jiw ˆ3ˆ +−=

< ji z ˆ5ˆ −−=

2.#.k ji s ˆ2ˆ3ˆ ++−=

<k jit ˆˆ5ˆ −−−=

&. Dada la siguiente !atri'( encuentre1− A e!"leando "ara ello el !)todo de

*auss + Jord%n. ,Descri-a el "roceso "aso "or "aso. NO SE /CE0T/N0ROCEDIIENTOS RE/2I3/DOS 0OR 0RO*R//S DE C/2CU2O

,Si se "resenta el caso( tra-a4e 5nica!ente con n5!eros de la or!a b

a

6NO con sus re"resentaciones deci!ales.

−−−

−=

340

137

1051

C

4. Encuentre el deter!inante de la siguiente !atri' descri-iendo "aso a "aso lao"eraci7n 8ue lo va !odiicando ,sugerencia# e!"lee las "ro"iedades eintente transor!arlo en una !atri' triangular. NO SE /CE0T/N0ROCEDIIENTOS RE/2I3/DOS 0OR 0RO*R//S DE C/2CU2O




a


−−

−−

−

=

43201

26214

75120

12100

10000

A

9. Encuentre la inversa de la siguiente !atri'( e!"leando "ara ello

deter!inantes ,Recuerde# AdjA

DetA A *

11 =−

Nota# Descri-a el "roceso "aso "or "aso


a


−−

−−−=

518

503

125

C

Soluci7n

1. D+( $( (3')*'( ;'/*&'( +( ') &+ %$+&:

a.

0240;

23 == θ u

u=(1.5cos240° ,1.5Sen240 °)≅(−0.75,−1.3)

-.

0300;3 == θ v

v=(3cos300° ,3 Sen300°)≅(1.5,−2.6)

R'+$/' +)+$>*/+')*'7 $+( %'&+/)'( (3')*'(:

1.1.vu −



(−0.75,−1.3)− (1.5,−2.6)=(−2.25,1.3)

1.$.vu 2−

(−0.75,−1.3)−2 (1.5,−2.6 )=(−0.75,−1.3)−(3,−5.2)=(−3.75,−6.5)

1.&uv +

(1.5,−2.6 )+(−0.75,−1.3 )=(0.75,−3.9)

1.:uv 2−

(1.5,−2.6 )−2 (−0.75,−1.3)=(1.5,−2.6 )−(−1.5,−2.6 )=(0,5.2)

1.9vu 34 −

4 (−0.75,−1.3)−3 (1.5,−2.6 )=(−3,−5.2)−( 4.5 ,−7.8)=(−7.5 ,2.6)

$. Encuentre el %ngulo entre los siguientes vectores#

$.1. jiu ˆ4ˆ8 −−=

6 jiv ˆ4ˆ6 −−=

(−8)2+(−4)2=¿ √ 80

u=(−8,−4 );|u|=√ ¿

(−6)2+(−4)2=¿ √ 52v=(−6,−4 ) ;|v|=√ ¿

u . v=(−8,

−4

) . (−6,

−4

)=(48

+16

)=64

θ=cos−1( u . v|u|.|v|);θ=cos

−1( 64

√ 80√ 52 );θ=7.139



$.$. jiw ˆ3ˆ +−=

6 ji z ˆ5ˆ −−=

(−1)2+(3)2=¿√ 10

w=(−1,3);|w|=√ ¿

(−1)2+(−5)2=¿√ 26 z=(−1,−5 ) ;| z|=√ ¿

w . z=(−1,−3 ) . (−1,−5)=(1−15 )=−14

θ=cos−1( w . z

|w|.| z|);θ=cos−1( −14

√ 10√ 26 );θ=150.26

$.&.k ji s ˆ2ˆ3ˆ ++−=

6k jit ˆˆ5ˆ −−−=

(−1)2+(3)2+(2)2=¿ √ 14

s=(−1,3,2) ;|s|=√ ¿

(−1)2+(−5)2+(−1)2=¿√ 27t =(−1,−5,−1 ) ;|t |=√ ¿

s .t =(−1,

−3, 2

) . (−1,

−5,

−1

)=(1

−15

−2

)=−16

θ=cos−1( s . t |s|.|t |);θ=cos

−1( −16

√ 14√ 27 );θ=145.35



& Dada la siguiente !atri'( encuentre A−1

e!"leando "ara ello el !)todo de

*auss Jordan. Descri-a el "roceso "aso a "aso.

C@ (−1 5 10

7 −3 −1

0 4 −3)S' '*'&)+ $+ +*& ')*+

C@ (−1 5 10 ⋮

7 −3 −1 ⋮

0 4 −3 ⋮

1 0 0

0 1 0

0 0 1)

R''%$++( $+(:

f 1=( f 1.−1)+( f 3+1)

2

1 0 −6⋮

7 −3 −1⋮

0 4 −3⋮

0 0 1

0 1 0

0 0 1

f 2=−7 f 1+ f 2

1 0 −6⋮

0 −10 −8⋮

0 4 −3⋮

0 0 1

−7 −6 −7

0 0 1

f 2= 1

10. f 2

1 0 −6 ⋮

0 1 8 /10 ⋮

0 4 −3 ⋮

0 0 1

7/10 6 /10 7 /10

0 0 1

f 3=f 3. f 1



1 0 −6 ⋮

0 1 8 /10⋮

0 0 18 ⋮

0 0 1

7/10 6/10 7 /10

0 0 1

:. Si se "resenta el caso( tra-a4e 5nica!ente con n5!eros de la or!a b

a

6 NO con

sus re"resentaciones deci!ales.M'+)*' %&%'+'( ' $( '*'&)+)*'(7 (' *&+)(&+ $+ +*& A ') 3)+ +*&*&+)3$+&:

A=¿|0

0

0

0

0

2

0

−1

1

0

−2

5

−1

1

7

4

1

1

0

−2

2

6

3

−2

4|

det ¿

C 1↔C

5 A=−¿|

−1

1

7

0

0

2

0

−1

1

0

−2

5

0

0

0

−2

4

1

0

−2

2

6

3

4

1|

det ¿

C 2↔C 4 A=¿−−

|−1

1

7

0

−2

5

0

−1

1

0

0

2

0

0

0−2

4

6

3

−2

2

1

0

4

1 |det ¿



−4 F 5+ F

4 A=¿|

−1

1

7

0

−2

5

0

−1

1

0

0

2

0

0

0

−18−¿46

3

−10

2

1

0

0

1|

det ¿

−2 F 4+ F

3 A=¿|

−1

1

43

0

−2

17

0

−1

21

0

0

0

0

0

0

−18−¿46

3

−10

2

1

0

0

1|

det ¿

1

21 F

3+ F

2 A=¿|

−1

64

21

43

0

−25

21

17

00

21

00

0

00

0

−18−¿46

3

−10

2

1

0

0

1|det ¿

M+*& *&+)3$+& )'&&

A=¿ [−1 ]

[−25

21

][21 ] [1 ] [1 ]

det ¿

( A )=¿25det ¿

5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello

determinantes (Recuerde:

AdjA DetA

A *11 =−

)Nota: Describa el proceso paso por paso(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la

forma b

a

y NO con sus representaciones decimales).



−−

−−−=

518

503

125

C

¿ A∨¿ Adj ( A )t

A−1=

1

¿

|C |=[−5 −2 −1

3 0 5

−8 1 −5

5

3

8

−2

0

1 ]=(0+80+ (−3 ) )−(0+(−25 )+30 )

→ (77 )−(5)=72

→∨C ∨¿72 D'*'&)+)*' ' $+ +*&

C+$/3$+& *&+)(%3'(*+ C t

C);'&*( $+( $+( ') /$3)+(

At [−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 −5] M+*& T&+)(%3'(*+

C+$/3$+) $+ +*& +-3)*+ ' $+ *&+)(%3'(*+

S' &'+$+) +*&/'( ' 2 2

[−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 −5] [−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 5 ][

−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 −5]

[−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 −5] [−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 5 ][

−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 −5]



[−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 −5] [−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 5 ][

−5 3 −8

−2 0 1

−1 5 −5]

−2 1

−1 −5

10−(−1)=−1

−¿ [ −2 0

−1 5

−10−0=−10]3 −8

5 −5

−15−(−40 )=−25

−5 3−1 5

−25− (−3 )=22

¿¿¿−¿

−5 −8

−2 1

[

3 −8

0 1

3−0=3

]−

[

5− (16 )=11

−¿

[ −5 3

−2 00−6=−6

] ]−¿[ −5 −8

−1 −5

25−(8 )=17]−¿−¿¿

[ 0 1

5 −5

0−5=−5]−¿ A

t ¿

Adj( A)t =[ −5 −11 −10

−25 17 22

3 11 −6 ]



¿72∨¿∗[ −5 −11 −10

−25 17 22

3 11 −6 ]=

[

−5

72

−11

72

−5

36

−25

72

17

72

11

36

3

72

11

72

−6

36

]¿C ∨¿ Adj( A)t =1

¿

A−1=

1

¿



CONCLUSIONES

C) '$ '(+&&$$ ' '(*' *&+,+- (' &'/)/? < +%$/ $( /)/'%*( < '-'&//(

' $+ U)+ 1 '$ ?3$ ' +$',&+ $)'+$7 /3< /)*') %3)*3+$ '( $+ ($3/?)

' +*&/'(7 ;'/*&'( < '*'&)+)*'(.

E(*+ +*'&+ *')' 3)+ &+) %&*+)/+7 <+ 93' )( %'&*' &'($;'& $(

'&')*'( ')93'( '%&'(+&+$'( ') $ 93' &'(%'/*+ + (3 '(+&&$$ )+)/'& <93' + *&+;( ' +*&/'(7 ((*'+( $)'+$'( %&'( ';')/+& (3

3)/)+')* < +(> *+& ' '/()'(7 &'(%'/* +$ &3, 93' ','&8 *+&

3)+ /%+>+ ') '*'&)++( (*3+/)'(.

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