8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 1/14
TRABAJO COLABORATIVO FASE 1
ALGEBRA LINEAL
PRESENTADO A:
IVAN FERNANDO AMAYA
PRESENTADO POR
RAFAEL CAUSIL GONZALEZ
CÓD. 104126025
GRUPO ALGEBRA LINEAL 10040!"#20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
BOGOTA D.C.
2015
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 2/14
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 3/14
OBJETIVOS
C%&')'& ' +)'&+ &3%+$ $( /)/'%*( ' '(%+/ ;'/*&+$7 '*'&)+)*'(7+*&/'( < / (' +%$/+ /++ *'+.
R'/)/'& $+ %&*+)/+ '$ ) ,8(/ ' A$',&+ L)'+$ / (/%$)+%&'(/),$' %+&+ )3'(*&+ &+/?) ') /3+$93'& 8&'+ /')*>/+7 <+ 93' )(%'&*' '(+&&$$+& /%'*')/+( ') '$ /+% ' $+ );'(*+/?) < '(+&&$$*&.
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 4/14
R'($;'& $( /)/ %&,$'+( 93' (' %&'(')*+) + /)*)3+/?)7 '(/&,') '$ %&/'(%+( %& %+(:
1. Dados los siguientes vectores dados en or!a "olar#
+.
0240;
23 == θ u
,.
0300;3 == θ v
R'+$/' +)+$>*/+')*'7 $+( %'&+/)'( (3')*'(:
1.1.vu −
1.2.vu 2−
1.#uv +
1.4
uv 2−
1.5vu 34 −
$. Encuentre el %ngulo entre los siguientes vectores#
2.1. jiu ˆ4ˆ8 −−=
< jiv ˆ4ˆ6 −−=
2.2. jiw ˆ3ˆ +−=
< ji z ˆ5ˆ −−=
2.#.k ji s ˆ2ˆ3ˆ ++−=
<k jit ˆˆ5ˆ −−−=
&. Dada la siguiente !atri'( encuentre1− A e!"leando "ara ello el !)todo de
*auss + Jord%n. ,Descri-a el "roceso "aso "or "aso. NO SE /CE0T/N0ROCEDIIENTOS RE/2I3/DOS 0OR 0RO*R//S DE C/2CU2O
,Si se "resenta el caso( tra-a4e 5nica!ente con n5!eros de la or!a b
a
6NO con sus re"resentaciones deci!ales.
−−−
−=
340
137
1051
C
4. Encuentre el deter!inante de la siguiente !atri' descri-iendo "aso a "aso lao"eraci7n 8ue lo va !odiicando ,sugerencia# e!"lee las "ro"iedades eintente transor!arlo en una !atri' triangular. NO SE /CE0T/N0ROCEDIIENTOS RE/2I3/DOS 0OR 0RO*R//S DE C/2CU2O
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 5/14
,Si se "resenta el caso( tra-a4e 5nica!ente con n5!eros de la or!a b
a
6NO con sus re"resentaciones deci!ales.
−−
−−
−
=
43201
26214
75120
12100
10000
A
9. Encuentre la inversa de la siguiente !atri'( e!"leando "ara ello
deter!inantes ,Recuerde# AdjA
DetA A *
11 =−
Nota# Descri-a el "roceso "aso "or "aso
,Si se "resenta el caso( tra-a4e 5nica!ente con n5!eros de la or!a b
a
6NO con sus re"resentaciones deci!ales.
−−
−−−=
518
503
125
C
Soluci7n
1. D+( $( (3')*'( ;'/*&'( +( ') &+ %$+&:
a.
0240;
23 == θ u
u=(1.5cos240° ,1.5Sen240 °)≅(−0.75,−1.3)
-.
0300;3 == θ v
v=(3cos300° ,3 Sen300°)≅(1.5,−2.6)
R'+$/' +)+$>*/+')*'7 $+( %'&+/)'( (3')*'(:
1.1.vu −
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 6/14
(−0.75,−1.3)− (1.5,−2.6)=(−2.25,1.3)
1.$.vu 2−
(−0.75,−1.3)−2 (1.5,−2.6 )=(−0.75,−1.3)−(3,−5.2)=(−3.75,−6.5)
1.&uv +
(1.5,−2.6 )+(−0.75,−1.3 )=(0.75,−3.9)
1.:uv 2−
(1.5,−2.6 )−2 (−0.75,−1.3)=(1.5,−2.6 )−(−1.5,−2.6 )=(0,5.2)
1.9vu 34 −
4 (−0.75,−1.3)−3 (1.5,−2.6 )=(−3,−5.2)−( 4.5 ,−7.8)=(−7.5 ,2.6)
$. Encuentre el %ngulo entre los siguientes vectores#
$.1. jiu ˆ4ˆ8 −−=
6 jiv ˆ4ˆ6 −−=
(−8)2+(−4)2=¿ √ 80
u=(−8,−4 );|u|=√ ¿
(−6)2+(−4)2=¿ √ 52v=(−6,−4 ) ;|v|=√ ¿
u . v=(−8,
−4
) . (−6,
−4
)=(48
+16
)=64
θ=cos−1( u . v|u|.|v|);θ=cos
−1( 64
√ 80√ 52 );θ=7.139
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 7/14
$.$. jiw ˆ3ˆ +−=
6 ji z ˆ5ˆ −−=
(−1)2+(3)2=¿√ 10
w=(−1,3);|w|=√ ¿
(−1)2+(−5)2=¿√ 26 z=(−1,−5 ) ;| z|=√ ¿
w . z=(−1,−3 ) . (−1,−5)=(1−15 )=−14
θ=cos−1( w . z
|w|.| z|);θ=cos−1( −14
√ 10√ 26 );θ=150.26
$.&.k ji s ˆ2ˆ3ˆ ++−=
6k jit ˆˆ5ˆ −−−=
(−1)2+(3)2+(2)2=¿ √ 14
s=(−1,3,2) ;|s|=√ ¿
(−1)2+(−5)2+(−1)2=¿√ 27t =(−1,−5,−1 ) ;|t |=√ ¿
s .t =(−1,
−3, 2
) . (−1,
−5,
−1
)=(1
−15
−2
)=−16
θ=cos−1( s . t |s|.|t |);θ=cos
−1( −16
√ 14√ 27 );θ=145.35
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 8/14
& Dada la siguiente !atri'( encuentre A−1
e!"leando "ara ello el !)todo de
*auss Jordan. Descri-a el "roceso "aso a "aso.
C@ (−1 5 10
7 −3 −1
0 4 −3)S' '*'&)+ $+ +*& ')*+
C@ (−1 5 10 ⋮
7 −3 −1 ⋮
0 4 −3 ⋮
1 0 0
0 1 0
0 0 1)
R''%$++( $+(:
f 1=( f 1.−1)+( f 3+1)
2
1 0 −6⋮
7 −3 −1⋮
0 4 −3⋮
0 0 1
0 1 0
0 0 1
f 2=−7 f 1+ f 2
1 0 −6⋮
0 −10 −8⋮
0 4 −3⋮
0 0 1
−7 −6 −7
0 0 1
f 2= 1
10. f 2
1 0 −6 ⋮
0 1 8 /10 ⋮
0 4 −3 ⋮
0 0 1
7/10 6 /10 7 /10
0 0 1
f 3=f 3. f 1
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 9/14
1 0 −6 ⋮
0 1 8 /10⋮
0 0 18 ⋮
0 0 1
7/10 6/10 7 /10
0 0 1
:. Si se "resenta el caso( tra-a4e 5nica!ente con n5!eros de la or!a b
a
6 NO con
sus re"resentaciones deci!ales.M'+)*' %&%'+'( ' $( '*'&)+)*'(7 (' *&+)(&+ $+ +*& A ') 3)+ +*&*&+)3$+&:
A=¿|0
0
0
0
0
2
0
−1
1
0
−2
5
−1
1
7
4
1
1
0
−2
2
6
3
−2
4|
det ¿
C 1↔C
5 A=−¿|
−1
1
7
0
0
2
0
−1
1
0
−2
5
0
0
0
−2
4
1
0
−2
2
6
3
4
1|
det ¿
C 2↔C 4 A=¿−−
|−1
1
7
0
−2
5
0
−1
1
0
0
2
0
0
0−2
4
6
3
−2
2
1
0
4
1 |det ¿
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 10/14
−4 F 5+ F
4 A=¿|
−1
1
7
0
−2
5
0
−1
1
0
0
2
0
0
0
−18−¿46
3
−10
2
1
0
0
1|
det ¿
−2 F 4+ F
3 A=¿|
−1
1
43
0
−2
17
0
−1
21
0
0
0
0
0
0
−18−¿46
3
−10
2
1
0
0
1|
det ¿
1
21 F
3+ F
2 A=¿|
−1
64
21
43
0
−25
21
17
00
21
00
0
00
0
−18−¿46
3
−10
2
1
0
0
1|det ¿
M+*& *&+)3$+& )'&&
A=¿ [−1 ]
[−25
21
][21 ] [1 ] [1 ]
det ¿
( A )=¿25det ¿
5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello
determinantes (Recuerde:
AdjA DetA
A *11 =−
)Nota: Describa el proceso paso por paso(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la
forma b
a
y NO con sus representaciones decimales).
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 11/14
−−
−−−=
518
503
125
C
¿ A∨¿ Adj ( A )t
A−1=
1
¿
|C |=[−5 −2 −1
3 0 5
−8 1 −5
5
3
8
−2
0
1 ]=(0+80+ (−3 ) )−(0+(−25 )+30 )
→ (77 )−(5)=72
→∨C ∨¿72 D'*'&)+)*' ' $+ +*&
C+$/3$+& *&+)(%3'(*+ C t
C);'&*( $+( $+( ') /$3)+(
At [−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 −5] M+*& T&+)(%3'(*+
C+$/3$+) $+ +*& +-3)*+ ' $+ *&+)(%3'(*+
S' &'+$+) +*&/'( ' 2 2
[−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 −5] [−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 5 ][
−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 −5]
[−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 −5] [−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 5 ][
−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 −5]
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 12/14
[−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 −5] [−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 5 ][
−5 3 −8
−2 0 1
−1 5 −5]
−2 1
−1 −5
10−(−1)=−1
−¿ [ −2 0
−1 5
−10−0=−10]3 −8
5 −5
−15−(−40 )=−25
−5 3−1 5
−25− (−3 )=22
¿¿¿−¿
−5 −8
−2 1
[
3 −8
0 1
3−0=3
]−
[
5− (16 )=11
−¿
[ −5 3
−2 00−6=−6
] ]−¿[ −5 −8
−1 −5
25−(8 )=17]−¿−¿¿
[ 0 1
5 −5
0−5=−5]−¿ A
t ¿
Adj( A)t =[ −5 −11 −10
−25 17 22
3 11 −6 ]
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 13/14
¿72∨¿∗[ −5 −11 −10
−25 17 22
3 11 −6 ]=
[
−5
72
−11
72
−5
36
−25
72
17
72
11
36
3
72
11
72
−6
36
]¿C ∨¿ Adj( A)t =1
¿
A−1=
1
¿
8/19/2019 Algebra Segundo Aporte
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-segundo-aporte 14/14
CONCLUSIONES
C) '$ '(+&&$$ ' '(*' *&+,+- (' &'/)/? < +%$/ $( /)/'%*( < '-'&//(
' $+ U)+ 1 '$ ?3$ ' +$',&+ $)'+$7 /3< /)*') %3)*3+$ '( $+ ($3/?)
' +*&/'(7 ;'/*&'( < '*'&)+)*'(.
E(*+ +*'&+ *')' 3)+ &+) %&*+)/+7 <+ 93' )( %'&*' &'($;'& $(
'&')*'( ')93'( '%&'(+&+$'( ') $ 93' &'(%'/*+ + (3 '(+&&$$ )+)/'& <93' + *&+;( ' +*&/'(7 ((*'+( $)'+$'( %&'( ';')/+& (3
3)/)+')* < +(> *+& ' '/()'(7 &'(%'/* +$ &3, 93' ','&8 *+&
3)+ /%+>+ ') '*'&)++( (*3+/)'(.