LGEBRABABILONICA

ALUMNOS

Jimnez Martnez Maria VictoriaRodrguez Jimnez Jos GustavoVzquez Rodrguez Sonia IngridCarrasco Torres Beatriz

ANTECEDENTES HISTORICOS

Cuando hablamos de Babilonia nos referimos a la antigua Mesopotamia, pasque se encuentra situado entre los ros Tigris y Eufrates hoy en daconocido como Irak.Entre los aos 3000 y 2000 a.C. El sur de Mesopotamia era regido por lossumerios, un pueblo con mucho poder poltico ;Lo anterior se sabe porla tablilla ms vieja conocida ,data del 3100 a.C. aprox. La era de laprimer dinasta Ur. En ese tiempo la gente que poblaba el norte deMesopotamia los akadios migraron al sur y dominaron a los sumerios.Alrededor del ao 1800 a.C. Hammurabi el rey de la ciudad de Babel llagoal poder controlando el imperio sumerio y akad.Fundando con esto la primer dinasta babilnica. A su muerte el imperiose desintegr pero su cultura permaneci por muchos aos.

EPOCA

Las 300 tablillas conocidas con contenido matemtico solo nos permitenhablar con seguridad del periodo de la Babilonia antigua (20001600a.C.)y del periodo llamado Selucida (300 a.C.0)

OBJETIVOS

Analizar los aciertos y errores de la matemtica Babilnica utilizadoejemplos.Profundizar en conocimientos de aritmtica ,geometra y astronoma queestn ntimamente relacionados con el lgebra .

CONTENIDO

Las matemticas Babilonias alcanzan un nivel muy alto, incluso hayautores que sealan un desarrollo mucho mayor que el alcanzado por lacivilizacin Egipcia esto se debe principalmente a su increble habilidadpara hacer clculos aritmticos, esto los llevo fcilmente a un amplioconocimiento de la generalizacin de las operaciones .Para poder darnos una idea de su conocimiento presentaremos a manera deintroduccin algunos ejemplos de su conocimiento en esta rea.

La diagonal del cuadrado

En la Universidad de Yale se tiene una coleccin de piezas referentes ala cultura Babilonia y de especial inters es la tablilla catalogada con

BC7289, data del ao 1600 a.C. aprox. que se muestra a continuacin

Tablilla YBC 7289

la tablilla interpretada

La interpretacin que le dio Neugebauer es la siguiente:El numero 1,24,51,10 toma sentido si introducimos el punto sexagesimal deesta forma: 1;24,51,10 que esto es en realidad1;24,51,10=1+2/5+51/3600+1/21600=1.4142129 un numero muy familiar ya que

2 =1.414214... es decir que 2 1;24,51,10 con un margen de error de0.000002.Ms an si se toma a a=30, b=1;24,51,10 y c=42,25,35 Neugebauer medianteensayo y error encontr la siguiente relacin: c=ab pero b 2 ,entoncesC=a 2 c2=2a2 c2=a2+a2 i.e. Se conoca ya la relacin conocida como elteorema de Pitgoras 1200 aos antes del nacimiento de este.De aqu la pregunta que surge es como consiguieron calcular 2 ?El mtodo general para obtener races cuadradas se describe acontinuacin:

Calculo de races cuadradas

El mtodo empleado por los Babilonios tambin fue usado ms adelante porlos griegos, que hoy en da se le conoce con el nombre de mtodo de lamedia aritmtico-geomtrica.Y consiste en lo siguiente:Sea an= x raz buscada de x y sea a1 una aproximacin inicial tal que

a12

Fueron utilizadas en resolucin de problemas geomtricos , astronmicos yen muchos problemas mas especficamente hablando de inters compuesto.

Problemas de lgebra

El planteamiento de algunos problemas generalmente de geometra, dieronorigen a algunas tcnicas de manejo de ecuaciones cuadrticas con dosvariables y problemas con ecuaciones cbicas reducibles a cuadrticas,sin embargo no se encontraron algebraicamente como en la actualidad, dehecho se encuentran como una serie de pasos a seguir que llevansorprendentemente a la solucin de los problemas que no se limitaba a uncaso particular, si no que, si seguimos esos pasos es posible resolveruna gran cantidad de ecuaciones por lo que se cree que los pasos a seguirse pueden utilizar como un algoritmo. Al estudiar cuidadosamente estaparte de la matemtica Babilnica, observamos que a partir de unargumento meramente numrico se poda explotar un razonamiento abstractoque permita la solucin de las ecuaciones planteadas.Los Babilnicos para escribir la solucin y el procedimiento por el cualllegan a ella, escriban todo con palabras, aunque despus usaran losideogramas, eso no bast para encontrar un buen lenguaje matemtico. Sinembargo para ver la diferencia de razonamientos vamos a escribir lasolucin como lo hacan ellos y tambin lo transcribiremosalgebraicamente.

Daremos ahora algunos ejemplos de los problemas tpicos planteados en eseentonces:

EJEMPLO 1.Encontrar el largo y el ancho de un rectngulo, si el largosumado con la multiplicacin de por el ancho es 7 y la suma de ellos es10.

SOLUCION:

BABILONICOS ACTUALMENTEtomar el 7 y multiplicarlo por 4 llamemos l al largo y w al ancho entoncesel resultado es 28 luego restarle 10 encontramos el siguiente sistema:y nos da 18 ahora multiplicarlo l+w=10por 1/3 nos da 6 ese es el largo, para l+ (1/4)w=7encontrar el ancho tomar 10 y restarle si restamos la primera a la segunda6, as el largo es 6 y el ancho es 4. Obtenemos( 3/4)w=3 de donde w=4 y Subt. en la primera l=10-w=10-4=6.

EJEMPLO 2.Para resolver ecuaciones como 7x2+6x=1 seguan los siguientespasos:

1.- multiplicar por 7 toda la ecuacin 7(7x2+6x)=7(1) es decir(7x)2+6(7x)=72.- llamar z=7x para obtener z2+6z=73.- tomar 6 y dividirlo entre 2 que es 34.-tomar 3 y multiplicarlo por el mismo nos da 95.- tomar 9 y sumarle 7 nos da 166.-encontrar un nmero que multiplicado por s mismo sea 16 que es 47.-restarle a 4 lo obtenido en el paso 3 entonces la solucin para z es1.8.-la solucin para x es 1/7.

En general para ecuaciones de la forma ax2+bx=c aplicando esteprocedimiento la podemos simplificar a una de la forma z2+pz=q haciendoz=ax p=b y q=a*c obteniendo la solucin para z como la raz cuadrada de(p/2)2+q y despus restndole p/2 as para x la solucin es z/a.Usando la frmula anterior se pueden resolver problemas como el deencontrar dos nmeros tales que su suma sea 14 y su producto sea 45 ,puesto que es equivalente plantearse la solucin de la siguienteecuacin: x2-14x=-45.

Ejemplo3. Deduccin de la formula de segundo grado.Generalmente se encontraban ante este tipo de problemas que deriva elsiguiente sistema de ecuaciones: xy+x-y=3,3 x+y=27El problema era el siguiente, el largo y el ancho multiplicados forman elrea de un rectngulo, si el rea sumado con el exceso de el largo sobreel ancho es 3,3 y la suma de el largo con el ancho es 27 cul es el valorde del largo y el ancho?Solucin.

BABILONIOS ACTUALMENTE

27+3,3=3,30 sumando las ecuaciones llegamos a:2+27=29 x(2+y)=3,3029/2=14;30 2+x+y=29(14; 30)*(14;30)=3,30;15 haciendo y=y+2 obtenemos otro3,30;15-3,30=0;15 sistema xy=3,30 , x+y=24raz cuadrada de 0;15 es 0;30 x=14;30+a , y=14;30-a14;30+0;30=15=largo (14;30)2-a2=3;3014;30-0;30=14=ancho a2=3;30:5-3,30=0;15sustraer 2 de 14 de donde el entonces a=0;30valor real del ancho es 12 y x=15 , y=14 entonces y=1215*12 es el rea. Y el rea es x*y.

copia del contenido de la tabla Clay catalogada como AO8862 quecontiene algunos de los ejemplos anteriores

PROBLEMA 4 REDUCCIN DE GRADO .

Para reducir el grado de 1/3(x3+10,0x)-(0;1)(x4-20,0x2+(10,0)2)=15x2Hacan X=A+E , Y=A-E de donde X+Y=2 , X-Y=2E Sustituyendo tenemos(1/3) A (0;1)E2 =15 A2-E2=10,0 entonces E2=A2-10.0 y sustituyendo nosqueda (1/3)A-0;1(A2-10,0)=15 que es una ecuacin de segundo grado.

Ahora vamos a analizar algunas identidades algebraicas que los babiloniosdemostraron mediante la geometra, las cuales en la actualidad lasseguimos utilizando. Y son las siguientes:

1)(a+b)(a-b)=a2-b22)(a+b)2=a2+2ab+b23)(a-b)2=a2-2ab+b2

Demostraciones Geomtricas:

Demostracin de la primera identidad.

a)Consideraron el rectngulo de largo (a+b) y de ancho (a-b)b)Tomaron en cuenta el rea del rectngulo, a la que nosotrosdenominaremos A1=(a+b)(a-b)...rea 1

c)En el rectngulo anterior est contenido un rectngulo de lado mayor(a-b) y lado menor b, por lo tanto su rea es A5=(a-b)b...rea 5

d)As mismo construyeron un cuadrado de lado a, cuya rea es A2=a2...Area2

e)Observaremos que dentro del cuadrado, crearon dos figuras: *)Un cuadrado pequeo de lado b dicha rea es A3=b2...rea 3 *)Y un rectngulo de base (a-b) y altura b, por lo que su rea es A4=(a-b)b...rea 4

f)Ellos queran comprobar que (a+b)(a-b)=a2-b2 y lo hacen jugando con lasreas de las figuras mencionadas en los pasos anteriores.g)Ahora s, veamos como lo hicieron: *)Intersectaron al cuadrado de A2=a2 con el rectngulo de A1=(a+b)(a-b). As les qued la siguiente figura:

*)De la figura anterior para obtener el rea A1 se siguen los siguientes pasos: )Al rea A2 le restaron el rea A3 y el rea A4, as mismo le aumentaron el rea A5. Y geomtricamente podemos observar que al realizar lo acabado de describir se obtiene el rea A1.

)Expresando el punto anterior matemticamente:

A1=A2-A3-A4+A5 (a+b)(a-b)=a2-b2-(a-b)b+(a-b)b=a2-b2

A1=(a+b)(a-b)=a2-b2=A2-A3

Demostracin de la segunda identidad algebraica.

a)Crearon un cuadrado de lado (a+b), entonces su rea es A1=(a+b)2...rea1. Esta figura se muestra a continuacin:

b)En el cuadrado que se describi en el inciso a), formaron lassiguientes figuras: *)Dos rectngulos de dimensiones iguales, las cuales son: el largo de tamao a y el ancho de tamao b, cuyas reas son A2=A3=ab...rea 3. *)Un cuadrado de lado b y de rea A4=b2...rea 4. *)Y otro cuadrado de lado a, de rea A5=a2...rea 5.

c)Para demostrar la identidad 2) con la ayuda de la geometra realizaronlos siguientes pasos:

*)Al rea A5 le aumentaron dos veces el rea A3 y una vez el rea A4.De la ltima figura podemos darnos cuenta que al hacer las operaciones anteriores se obtienen el rea A1. *)Expresando esto matemticamente:

A1=A5+2A3+A4 (a+b)2=a2+2ab+b2

Demostracin de la tercer identidad algebraica.

a)Construyeron un cuadrado de lado a, por lo tanto su rea est dada porA1=a2...rea 1, y se muestra a continuacin:

b)Dentro de dicho cuadrado hicieron las siguientes figuras: *)Un cuadrado de rea A2=(a-b)2...rea 2. *)Dos rectngulos de igual rea A3=(a-b)b...rea 3. *)Y otro cuadrado de rea A4=b2 ...rea 4.

c)Hicieron los pasos que se describirn a continuacin para demostrar que(a-b)2=a2-2ab+b2: *)Al rea A1 le quitaron dos veces el rea A3 y una vez el rea A4 y as obtuvieron el rea A2 y esto se puede apreciar muy fcilmente de la figura anterior. *)Expresando lo ltimo matemticamente:

A2=A1-2A3-A4 (a-b)2=a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+2b2-b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

Tabla Plimpton

En el ao de 1945 Neugebauer y Sachs publicaron textos matemticoscuneiformes donde por primera vez el contenido de la tabla Plimpton eradescifrado y analizado. Esta tablilla lleva el numero 322 del catalogo dela coleccin Plimpton de la universidad de Columbia y esta escrita en lavieja escritura cuneiforme que data del periodo 1900-1600 a.C. Cuando seencontr esta tabla faltaban algunas secciones pero esto no fueimpedimento para su reconstruccin completa a partir de la informacinque se tenia.

Ahora se mostrara la tabla Plimpton traducida al sistema sexagesimal, elcual fue usado por los babilonios. Esta reproduccin fue publicada porNeugebauer:

I II III IV Vrenglon c b cc/aa a1 2,49 1,59 1;59,0,15 2,02 3,12,1 56,7 1;56,56,58,14,50,6,15 57,363 1,50,49 1,16,41 1;55,7,41,15,33,45 1,20,04 5,9,1 3,31,49 1;5,3,1,0,29,32,52,16 3,45,05 1,37 1,5 1;48,54,1,40 1,126 8,1 5,19 1;47,6,41,40 6,07 59,1 38,11 1;43,11,56,28,26,40 45,08 20,49 13,19 1;41,33,59,3,45 16,09 12,49 9,1 1;38,33,36,36 10,010 2,16,1 1,22,41 1;35,10,2,28,27,24,26,401,48,011 1,15 45 1;33,45 1,012 48,49 27,59 1;29,21,54,2,15 40,013 4,49 7,12,1 1;27,0,3,45 4,014 53,49 29,31 1;25,48,51,35,6,40 45,015 53,0 56 1;23,13,46,40 45Puntos importantes que mencionar:

1)Los nmeros en negrita son los aadidos por Neugebauer cuandoreconstruyo la tabla.2)Los nmeros en letra cursiva Neugebauer considera que no deben ir en latabla pues no cumplen las reglas de las ternas pitagricas que seexplicaran mas adelante, sin embargo, no se explica por que aparecen enla tablilla y los denomina errores inexplicables, y solo da susposibles explicaciones con respecto a dos de ellos: *)En vez del numero 9,1 debieron escribir 8,1 y esto tal fue un error de escritura pues quiz en lugar de 8 escribieron 9. *)En vez del numero 7,12,1 debieron poner la raz cuadrada de dicho numero y Neugebauer argumenta que escribieron el numero 7,12,1 porque probablemente se les olvido sacarle la raz.

Para que a nosotros nos sea ms fcil seguir la explicacin de la tablaque se dar en unos momentos transcribimos la tablilla en nuestro sistemadecimal.

I II III IV Vrenglon c b cc/aa a1 169 119 1.983402778 1202 4825 3367 1.949158552 34563 6649 4601 1.918802 48004 18541 12709 1.886247907 135005 97 65 1.815007716 726 481 319 1.7851929 3607 3541 2291 1.719983676 27008 1249 799 1.692709418 9609 769 481 1.642669444 60010 8161 4961 1.586122 648011 75 45 1.5625 6012 2929 1679 1.48941684 240013 289 161 1.450017361 24014 3229 1771 1.43023882 270015 106 56 1.387160494 90

Explicacin de la tabla Plimpton

a)La columna I indica la lnea o el rengln.b)La columna II,III y V obedecen a la siguiente relacin:c2-b2=a2 a2+b2=c2 (El teorema de Pitgoras)

c)La columna IV corresponde a la siguiente formula: csc2=c2/a2Con respecto a la columna IV se observa un decrecimiento regular, lo cualindica que los ngulos del triangulo rectngulo dado a continuacinvaran de la siguiente forma:

31453145

Como la relacin mencionada en el inciso b) corresponde al teorema dePitgoras a las ternas (a,b,c) Neugebauer los llamo ternas Pitagricas.Ahora surge la siguiente pregunta:Cmo encontraron los Babilonios las ternas Pitagricas ?Dichas ternas se encontraron a partir de las siguientes ecuacionesparametricas: a=2uv, b=u2-v2 y c=u2+v2.Las parejas u,v se eligen de tal manera que cumplan las siguientescondiciones:a)u y v son primos relativosb)Son de paridad diferentec)u>v

Fue as como a partir de estas ecuaciones los Babilonios formaron latabla Plimpton.A continuacin se dan las parejas u,v que dieron origen a las ternasPitagricas de la tabla:

PAREJAS u V

1 12 52 64 273 75 324 125 545 9 46 20 97 54 258 32 159 25 1210 81 4011 2 112 48 2513 15 814 50 2715 9 5

Ejemplo: veamos como construyeron la primer lnea de la tabla1)Tomaron a u=12 y v=52)Revisemos que cumplen las condiciones a),b),c):-efectivamente u y v son primos relativos pues su m.c.m=1-Son de paridad diferente-12>53)Siguiendo la ecuaciones parametricas tenemos:a=2(12)(5)=120 , b=(12)2-(5)2=119 y c=(12)2+(5)2=1694)Es as como se genera la primer terna pitagrica (a,b,c)=(120,119,169).5)El primer elemento de la columna IV se obtiene al realizar el cociente:c2/a2=(169)2/(120)2=1.9834027786)Siguiendo este procedimiento se generan las otras 14 lneas de la tablaPlimpton.7)Al realizar los siguientes cocientes efectivamente el ngulo 45 y elngulo 45. De esta manera despus de obtener las ternas pitagricas yhacer estos cocientes se verifica como y varan entre lo dicho.Cocientes: b/a=tan =119/120=0.991 y b/c=cos=119/169=0.7.

El rea del trapecio

Aqu se vera la obtencin del rea del trapecio mediante un anlisisgeomtrico, utilizando el teorema de Pitgoras y dando por hecho que elrea de un rectngulo es largo por ancho.

Se quiere demostrar que el rea A=h(w1+w2)/2Demostracin:

La figura esta dividida en 2 tringulos rectngulos iguales del base x ,altura h e hipotenusa l ,un rectngulo de base w2 ,altura h y otrorectngulo de base w1,altura dnde son conocidos w1,w2 y h. w1h-(hx/2)-(hx/2)=w1h-hx=h(w1-x)=h[w1-(w1-w2)/2]= h(w1-w1/2+w2/2)=h(w1+w2)/2=ANtese el uso del anlisis geomtrico para encontrar x , el empleo de lasternas pitagricas para encontrar h ,pues h=(l2-x2)1/2 y x=(w1-w2)/2

ASTRONOMA

Los griegos fueron los primeros en atribuir a los antiguos pueblosmesopotmicos un vasto saber astronmico. Simplicio cuenta que, durantela conquista de Alejandro, Calstenes envi a su to Aristteles unacopia de las observaciones de eclipses hechas haca ya mil novecientosaos. Ms precisas son las informaciones que se han conservado de Gminoy Ptolomeo acerca de las observaciones babilonias. Pero, en general, losantiguos aluden escasamente a las concepciones que tuvieran losbabilonios para explicar el universo. Plinio es el nico autor antiguoque trat (Historia Natural, VII, 57) de la astronoma mesopotmica. Desde hace unos cincuenta aos, los trabajos de Epping, Kugler,Strasmaier y, ms tarde, Schaumbeger, nos han permitido tener una ideams completa y precisa de los conocimientos de aquellos antiguosastrnomos. El despojo metdico de las tablillas y su interpretacincorrecta han mostrado que la astronoma asirio-babilnica no fue slo unaadmirable ciencia de observacin, sino tambin una disciplina terica enla que las Matemticas tuvieron un papel de primer orden. Nuestros textos pueden dividirse en dos categoras. Por ordencronolgico, estos textos se distribuyen del siguiente modo:

Reinado de Ammisaduqa (hacia - 1650): observaciones (?) de Venus.Perodo casita: a) Tablillas de Nippur, la cual sugiere una concepcin del mundo formadapor ocho esferas concntricas, siendo la central la lunar.b) Textos que describen el cielo y asignan nombres a las constelaciones.c) Tablillas mnticas de escaso inters astronmico.Siglos VIII y VII : a) Tablillas de la serie mul APIN, que resumen losconocimientos astronmicos de la poca (clasificacin de las estrellasfijas en tres caminos, indicaciones sobre la Luna, los planetas, lasestaciones, etc.).d)Observacin sistemtica de los eclipses.La segunda categora de textos es ms reciente, por lo menos deredaccin. Casi todos son documentos selecidas, es decir, posteriores al311 antes de Jesucristo. Son, adems de un nivel cientfico ms elevado.En efecto, a partir del siglo VI, los problemas planteados por la

adaptacin del calendario lunar a los ritmos solares haba llevado a losastrnomos a elaborar una teora del movimiento de la Luna y,accesoriamente, una teora de los movimientos planetarios. Estos textosse presentan en forma de tablas (efemrides) que yuxtaponen variascolumnas de nmeros. El trabajo ms delicado de los comentaristasmodernos consisti en interpretar la significacin de tales nmeros. Las observaciones astronmicas continuaron en Mesopotamia hasta laconquista romana. El ltimo de los textos de esta naturaleza es unAlmanaque compuesto durante el reinado de Vespasiano.

Astrologa y aritmtica.

La astrologa horoscpica descansa en la creencia en una relacin entrela vida humana y la posicin de los astros en el momento del nacimiento.As naci una astronoma de posicin : el babilonio no busca unaexplicacin geomtrica de los movimientos aparentes de los astros, sinouna clave que le permita encontrar mecnicamente la posicin de unaconstelacin en un momento dado. De aqu esas tablas, las efemrides.Lo que interesaba, ante todo, era la posicin relativa de un planeta y deun signo zodiacal, un eclipse, un orto helaco. Resulta de ello que laastronoma de los babilonios fue esencialmente eclptica.Los mesopotmicos eran al mismo tiempo notables calculadores. Por eso elregistro regular de las posiciones sucesivas de un astro va acompaado,en las tablas de indicaciones numricas. Un documento encontrado en labiblioteca de Asurbanipal prueba, que el aspecto sinptico de los datosempricos afect en grado sumo a la inteligencia aritmtica de losobservadores. Se trata de una tabla de iluminaciones de la Luna (faseslunares) que describen el crecimiento del astro. El disco lunar se suponedividido en 240 partes, y el nmero de las partes iluminadas vara, enquince das, de 0 a 240. En efecto, no se contenta con determinar empricamente, por suobservacin de cada noche, la iluminacin diaria y su crecientevariacin. Establece ms bien una serie de nmeros muy prximos de losque le suministrara la observacin directa, pero obtenidos por unclculo puro. Los cinco primeros nmeros, que corresponden a los cincoprimeros das, estn en progresin geomtrica, mientras que los diezltimos, correspondientes a los diez ltimos das se hallan en progresinaritmtica.Para el astrnomo babilonio, explicar era alcanzar una serie de nmerosya conocida. Vemos, pues, as que la astronoma mesopotmica era, antetodo, aritmtica y posicional.

Instrumentos de observacin.

Digamos ahora algo sobre los instrumentos de observacin. La Alidada: era utilizada para la medicin de las distancias angulares

de dos estrellas. El gnomon: es el instrumento ms sencillo conocido por la Antigedad.

Consiste en una vara plantada verticalmente y cuya sombra se observa.La sombra ms corta corresponde al medioda (paso del Sol por elmeridiano). La sombra ms corta del ao determina el solsticio deverano, y la ms larga, el solsticio de invierno.

La clepsidra: durante el mal tiempo, y en general por la noche, uncuadrante solar no puede dar la hora. Entonces se utilizaba laclepsidra, recipiente cilndrico graduado en el que caa el agua de undepsito.

El polos: instrumento especficamente mesopotmico, estaba constituidopor una semiesfera hueca de gran dimetro y cuya concavidad seorientaba hacia el cielo . Suspendida encima de esa esfera y mantenidaen su centro, hay una bolita pequea que intercepta la luz del Sol yproyecta su sombra sobre la superficie interna de la esfera. Elmovimiento del Sol se dibuja as con precisin en el fondo del polos.La inclinacin de la eclptica puede leerse en seguida en el aparato,as como las fechas de equinoccios y solsticios.

Desde un punto de vista cientfico no se puede decir nada precisoacerca de la cosmologa babilonia. Aunque fueran tambin astrlogos, losastrnomos babilonios no se apartaban de los datos directamenteobservables, y en este terreno sus preocupaciones estaban regidas por unproblema fundamental: cmo ajustar el calendario lunar al ritmo del Sol.El movimiento de los planetas y la descripcin del cielo eran cuestionessecundarias para ellos .

El calendario lunar.

Para un pueblo de pastores y de agricultores, el reloj ideal es laLuna. Sus fases regulares sugieren la nocin de ciclo y suministran labase de una medicin primitiva del tiempo. El calendario fue, pues, lunaren los comienzos de la cultura babilonia. Su elemento fundamental es lalunacin, o sea, el intervalo de tiempo que separa dos lunas nuevasconsecutivas. Pero la duracin de una lunacin es variable: est comprendida entre 29das 6 h. y 29 das 20 h.; la duracin media de un mes lunar es de 29das 12 h., 44 min., 2 seg., es decir, un poco ms de 29 das y medio.As, un calendario que tuviera meses de 29 y 30 das concordara bastantebien con el ciclo lunar; para que la concordancia fuera completa, seranecesario alargar en un da un mes de 29 das cada treinta meses. El calendario babilonio clsico, contena los doce meses siguientes :

1) Nisn marzo-abril). 7) Teshrit (septiembre-octubre).2) Air(abril-mayo). 8) Arahsamma (octubre-noviembre).3) Siwan(mayo-junio). 9) Kisilimmu (noviembre-diciembe).4) Tammuz (junio-julio). 10) Tebet (diciembre-enero).5) AB(julio-agosto). 11) Shebat (enero-febrero).6) Elul (agosto-septiembre). 12) Adar (febrero-marzo). Los babilonios dividan el da en doce partes iguales, los beru; cadauno correspondiente a una hora doble. Del modo ms natural, concorde conel principio sexagesimal vigente en Mesopotamia, la hora doble fuedividida en 60 dobles minutos, y cada minuto, en 60 dobles segundos. Un calendario de tal naturaleza plantea dos dificultades. La primera serefiere a la inadecuacin entre el ao lunar y el ao de las estaciones.Doce meses lunares medios suman 345 das, es decir, once das y cuartomenos que el ao solar. Al cabo de tres aos, la discrepancia es de msde un mes; al cabo de nueve aos, habr una separacin de una estacincompleta. Entonces se hace necesario un reajuste: peridicamente, el Reyaade un decimotercer mes al ao, tal como nosotros aadimos cada cuatroaos un da a nuestro ao civil. Los mesopotmicos hacan corresponder acada mes el orto helaco de una o varias estrellas, y cuando ese ortoconcurra en un mes que no era el habitual, una decisin real creabaaquel ao un mes suplementario que llevaba el nombre del mestranscurrido, con la indicacin bis.

Pero el calendario lunar comporta una segunda dificultad, que es anms grave desde el punto de vista cientfico. El mes babilonio comienzala noche en que el nuevo creciente es visible por vez primera. En ciertaspocas, esta aparicin ocurre al da siguiente de la Luna nueva, mientrasque en otras temporadas hay que esperar hasta la segunda noche paraverlo. En el primer caso, el mes que acaba e transcurrir es de 29 das;en el segundo, es de 30. En la prctica no hay problema alguno si lascondiciones de observacin del horizonte son buenas (pero ste no erasiempre el caso). Pero, Cmo prever la duracin del mes de Kisilimmu(diciembre), por ejemplo, cuando se est en Tebet (enero)?. Paracontestar a esta pregunta o a la cuestin ms general: cul es laduracin del mes lunar?, los astrlogos de la poca selucidaestablecieron efemrides que tenan en cuenta los diversos factores de lavisibilidad del nuevo creciente en el horizonte.

Las efemrides lunares.

A Epping y a Kugler corresponde el mrito de haber interpretadoconvenientemente las efemrides. Kugler ha mostrado que las efemridespodan clasificarse en dos categoras . En las efemrides del tipo I, lavelocidad del Sol se supone constante sobre dos arcos complementarios dela eclptica. En las efemrides del tipo II, las series de nmerosrepresentan las diversas posiciones del Sol segn los meses del ao, y noestn en progresin aritmtica, sino que varan peridicamente.

La duracin del mes lunar.

En el momento de la Luna nueva, el Sol, la Tierra y la Luna estn enposicin de conjuncin. Al da siguiente de la Luna nueva, una pequeaparte del hemisferio iluminado estar dirigida hacia la Tierra, y esaparte se agrandar da por da: la Luna est en su primer cuarto. Paraver por primera vez el creciente lunar es necesario que el Sol estsuficientemente por debajo del horizonte, es decir, que la Luna no estdemasiado cerca del Sol. As, el comienzo del mes lunar depende de ladistancia angular Luna-Sol. A partir de cierto valor l de esadistancia, el creciente es visible por vez primera despus de laconjuncin. La previsin de l sera fcil si el Sol y la Luna tuvieranuna marcha regular. De hecho, la distancia angular Luna-sol varadiariamente de 10 a14 , y la Luna gana cada 24 horas una media de 12 deadelanto sobre el Sol. Hay que establecer, pues, una tabla que d laposicin comparada del Sol y de la Luna en los diferentes momentos delao, y examinar cada mes en qu punto se alcanza el valor l .Interviene tambin otro factor, o sea, la oblicuidad de la eclptica. Essabido que aparentemente el Sol describe en un ao en a bveda celesteun crculo, la eclptica, inclinado 23 27 min. En relacin con elecuador. Este crculo puede ser jalonado de puntos de referencia tomadosde entre constelaciones prximas: desde pocas antiguas, los observadoreshan dividido la eclptica en 12 sectores de 30, definidos porconstelaciones cuyo conjunto forman el Zodaco. El principio de un mes lunar est determinado por la primera aparicindel cuarto creciente despus de la Luna nueva, por tanto, hay que teneren cuenta tanto la velocidad relativa y variable de la Luna y el Sol comola altura de este ltimo sobre el horizonte a medioda. Las efemrideslunares suministran elementos cuya combinacin permite prever la duracinde un mes lunar.

El esquema general de una efemrides lunar comprende varias columnas __18 columnas en las efemrides del segundo tipo ___, que precisan, ademsde los desplazamientos mensuales del Sol y de la longitud eclptica delSol y de la Luna en las conjunciones, la duracin del da y de la noche,las variaciones de la velocidad de la Luna, la duracin del mes sindicoteniendo en cuenta el movimiento variado del Sol y la Luna, las fechasde las conjunciones consecutivas, las variaciones de la distancia Luna-Sol, de la inclinacin de la eclptica sobre el horizonte y de la latitudde la Luna. Todos estos datos permiten calcular un parmetro p que mide el tiempodurante el cual el nuevo cuarto permanecer por encima del horizontetras la puesta del sol: si p es lo bastante grande, queda determinada latarde que seala el principio del nuevo mes; si p es demasiado pequeo,es necesario que transcurra todava un da antes de que empiece el nuevomes ; si p es demasiado grande, el mes ha empezado ya.

Los eclipses.

Desde la poca de Sargn en Antiguo parece que los babilonios erancapaces de prever, sin demasiado error, los eclipses, y ello an antes dehaber posedo los datos sistematizados por las efemrides. Esto se debeal hecho de que los eclipses de Luna estn relacionados con observacionessencillas: los eclipses ocurren siempre durante la Luna llena, es decir,hacia la mitad del mes civil; por otra parte, se observan slo cuando laLuna corta la eclptica, y los babilonios eran grandes observadores deesta regin del cielo.

Los planetas.

Los babilonios se dedicaron sobre todo, a determinar las apariciones,desapariciones y estaciones de los planetas, y a estudiar la periodicidadde esos fenmenos. Este estudio acabara por llevarlos a determinarsecundariamente, y por extrapolacin, la posicin de un planeta P en unmomento t cualquiera.

En trminos generales, los astrnomos de Babilonia procedananalticamente. En las diferentes ramas de su astronoma, reunieronprincipalmente resultados, que agruparon, sistematizndolos segn unatradicin y un mtodo que se ha encontrado ya al estudiar los textosmatemticos.

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS

1)Llegaron a ser hbiles calculadores (gran numero de tablas numricas);2)Consiguieron resolver un conjunto variado de ecuaciones algebraicas3)Desarrollaron algunos elementos de geometra y teora de nmeros4)Posean evidentemente un calendario, y la astronoma era muy popular5)Los conocimientos se aplican a problemas de inters compuesto,excavaciones y construccin , as como a la obtencin de resultadosprcticos para las actividades corrientes.Pero no vemos, sin embargo , casi nunca, la ms mnima preocupacin porjustificar y probar las reglas utilizadas y raras veces podemos, en laresolucin de problemas, darnos cuenta de las razones que permitendefinir cada etapa.

Tambin vemos la falta de una notacin eficiente para escribir losproblemas pues el lenguaje retrico hace difcil comprender y manipulartanto los enunciados como las soluciones.

BIBLIOGRAFIA:

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