Algebra

ÍndiceSemana 1Leyes de exponentes ............................................................................................. 5

Semana 2Operaciones con polinomios ................................................................................ 9

Semana 3Multiplicación de polinomios ................................................................................ 15

Semana 4Operaciones con polinomios – división de polinomios ......................................... 19

Semana 5Factorización de polinomios ................................................................................. 25

Semana 6Expresiones algebraicas racionales ........................................................................ 31

Semana 7Radicación ............................................................................................................ 35

Semana 8Teoría de ecuaciones: ecuaciones de primer grado ............................................... 41

Semana 9Ecuaciones de segundo grado con una incógnita .................................................. 45

Semana 10Sistema de ecuaciones .......................................................................................... 51

Semana 11Planteamiento de ecuaciones I .............................................................................. 59

Semana 12Planteamiento de ecuaciones II ............................................................................ 65

Semana 13Teoría de ecuaciones: planteamiento de ecuaciones III ........................................ 69

Semana 14Desigualdades e inecuaciones ............................................................................... 75

Semana 15Inecuaciones de segundo grado ............................................................................ 81

Semana 16Funciones I ............................................................................................................ 87

Semana 17Funciones II .......................................................................................................... 93

ÁLGEBRASemana 18Funciones III ......................................................................................................... 103

Semana 19Leyes de exponentes – polinomios – grados – polinomios especiales ................... 109

Semana 20Operaciones con polinomios II ............................................................................. 113

Semana 21Factorización – expresiones algebraicas racionales .............................................. 117

Semana 22Repaso de ecuaciones de segundo grado .............................................................. 121

Semana 23Planteo de ecuaciones I ........................................................................................ 123

Semana 24Sistema de ecuaciones lineales y no lineales y planteamiento de ecuaciones II .... 127

Semana 25Desigualdad e inecuaciones .................................................................................. 131

Semana 26Funciones I: notación funcional ............................................................................ 137

Semana 27Funciones II: dominio y rango de una función ...................................................... 143

Semana 29Funciones III: función lineal y cuadrática ............................................................. 149

Semana 29Funciones IV: biyectiva ......................................................................................... 155

Semana 30Repaso I ................................................................................................................ 159

Semana 31Repaso II ............................................................................................................... 163

Semana 32Repaso III .............................................................................................................. 169

Semana 33Repaso IV .............................................................................................................. 175

Semana 34Repaso general ...................................................................................................... 181

Quinto Católica

Colegios

TRILCETu mejor opción de ingreso a CATÓLICA

TRILCE Católica 5

ÁLGEBRASemana 1

LEYES DE EXPONENTES

LEYES DE EXPONENTES

Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación.

Potenciación

Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y exponente.

notación:

an = Pa: Basen: ExponenteP: Potencia

DEfiNiciONES:

exPonente natural

an =a ; Si: n = 1a . a ... . a ; Si: n ≥ 2

"n" veces

exPonente cero

Si: a ≠ 0, se define: a0 = 1

nota: 00 no está definido

exPonente negativo

Si: a ≠ 0 ∧ n ∈ lN se define: a–n =

1an

=

1a

n

nota: 0–n no existe

teoremas:

Sean "a" y "b" números reales y "m" y "n" números enteros positivos, entonces se cumple:

1. Multiplicación de bases iguales.

am . an = am + n

2. División de bases iguales.

bm

bn = bm – n

3. Potencia de potencia.

(bm)n = bm . n = (bn)m

nota: bnm ≠ bn.m

4. Potencia de una multiplicación.

(ab)n = anbn

5. Potencia de una división.

ab

n =

an

bn ; b ≠ 0

nota: * Si "b" es un número real y "m", "n", "p" son enteros, entonces:

bm np = b mx

= by = z

Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo.

radicación en ir:

Es una operación matemática que consiste en hacer corresponder dos números llamados índice y radicando con un tercer número llamado raíz, el cual es único, según:

bn = r ⇔ rn = b

n : Índice (n ≥ 2 ; n ∈ IN)b : Radicandor : Raíz n–ésima principal de "b"

TEOrEmaS

Si: an y bn existen, entonces se cumple:

1. Raíz de una multiplicación.

an . bn = abn

2. Raíz de una división.

an

bn = n a

b; si: b ≠ 0

3. Raíz de una radicación.

bnm = bm.n

nota:

cqpnbbm

aa = aam × b

bmn × c

qmnp

nabm

aa = aan + bm.n

exPonente fraccionario

Si: amn , existe en lR se define: a

mn = amn

Trilce Católica

CicloCatólica

6

Problemas para la clase

nivel i

1. Efectuar: 5 . 5 . 5 . … . 5 – (–5)54 . 25 56 factores

A. 556

B. 0C. 1056

D. 512

2. Efectuar: 7 . 7 . 7 . … . 7 – 726 . (–7)24 50 veces

A. 1B. 0

C. 2 . 750

D. 750

3. Reducir: E = (– 3)0 – 50 + 2043 + 22156

A. 4B. 5

C. 6D. 7

4. Reducir: (–2)100 + 504 – 305

+ 2110

A. – 2B. 1

C. 0D. 2

5. Efectuar: M = – 12–3

+ – 17–2

+ (–3)2

A. – 48B. – 66

C. – 50D. 50

6. Efectuar: K = 13–2

+ – 12–2

– 116

–40

A. 1B. – 4

C. – 3D. 2

7. Efectuar: Q = 12

+ 2 + 3(2–1) – 3(–5)04

A. 0B. 20

C. 24

D. 25

8. Efectuar: P = 4–1 + 5 + 74

– 2(–60)2–1

A. 13

B. 5

C. 3

D. 15

9. Reducir: 6 + 12

4 2 – 16

2

2 + 164

6 – 122

A. 19

B. 13

C. 1

D. 9

10. Reducir: P = 64–9–4–2–1

A. 12

B. 1

C. 4

D. 14

nivel ii

11. Reducir: M = 1125

–27–9–4–2–1

A. 125

B. 25

C. 625

D. 5

12. Reducir: M = 37135 7–135

A. 3

B. 1

C. 13

D. 9

13. Efectuar: M = (–x2)3(–x–3)2 x32 x–32 –x(–3)2

A. x9

B. – x6C. x–9

D. – x9

14. Simplificar: E =

2m + 1 . 4m + 2n

8m – 1 . 16n + 1

A. 0B. 1

C. 2D. 3

15. Simplificar: P = 2x + 2 . 4x + 2a

8x – 2 . 16a + 2

A. 2

B. 4

C. 1

D. 14

16. Simplificar: N = 25x + y . 5x – 14

125x – 2 .

15

8 – 2y

A. 1

B. 5

C. 15

D. 25

17. Hallar: T = (7)(14)2(15)2

(352)(12)

A. 7B. 14

C. 15D. 21

18. Reducir: E = 3a + 5 – 3(3a + 2)

3 . 3a + 4

A. 13

B. 6

C. 89

D. 43

Álgebra

Trilce Católica 7

19. Calcular: M = 3x + 4 – 3(3x)78(3x + 3)

A. 13

B. 127

C. 1

D. 18

20. Calcular: M =

14

– 12

–1

– 14

– 13

–1

– – 15–3

+

24020

0,5

A. 5B. 6

C. 7D. 9

nivel iii

21. Reducir: 43 . 43 . … . 43 + (–22)5 15 factores

A. 0B. 1

C. 16D. 64

22. Calcular: K = 22 . 2 . 2 2 . 2 . 2

2 . 2

A. 16B. 8

C. 2D. 32

23. Reducir: T = 2y (2y)x – 2 . (y2)y – x

(2–y . y2)– x

A. y

B. y2

C. y2

D. 2y

24. Reducir: K = x 13x + 2x

13–x + 2–x

A. 26x

B. 13C. 2D. 26

25. Reducir: T = 4

x4 + y4

x–4 + y–4 ; x > 0 ; y > 0

A. x + yB. 1

C. xyD. xy4

26. Efectuar: A = 222

88

A. 2B. 2 2

C. 2D. 4

27. Simplificar: A = x 92x + 138x

69x + 46x

A. 1B. 2

C. 3D. 4

28. Reducir: M = ab

–1

. m + n

am . b–n

a–n . bm; a ≠ 0 ; b ≠ 0

A. 1

B. ab

C. ab

D. a

29. Efectuar: 5

2 . 4

324

2 . 5

16

A. 0B. 1

C. 2D. 3

30. Hallar el exponente de “x” luego de efectuar:

x3 x . xx

A. 12

B. 32

C. 54

D. 34

Tarea domiciliaria

1. Efectuar: 6 . 6 . 6 . … . 6 – 3625 . (–6)50 100 veces

A. 0B. 2 . 650

C. 1D. 650

2. Reducir: (–15) 30 + 230– 4150 + 201001 – 40

A. 1B. 3

C. –2D. 2

3. Reducir: P = 14

–2 + 1

3– 1

4

–1

–

28

A. 9B. 10

C. 1D. 8

4. Reducir: M = 64–27–9–4–2–70

A. 12

B. 18

C. 14

D. 4

5. Reducir: N = –81–16–8–1

3

A. – 3B. – 1

C. 3D. – 3–1

6. Reducir: M = 3x – 1 – 3x + 3x + 1

3x – 3

A. 54B. 45

C. 63D. 1

Trilce Católica

CicloCatólica

8

7. Reducir: K = 10n + 3 – 10n + 2

10n + 2

(52 – 32)–2–1

A. 1B. 3

C. 3D. 9

8. Simplificar: T =

27

6 . 49

49 . 8

3434

A. 2

B. 7

C. 1

D. 17

9. Reducir: E = 363 . (21643)–x

36 . (36–1)x2

A. 1B. 36

C. 216D. 6

10. Reducir: N = x

a–x + b–x

ax + bx ; a ; b ≠ 0

A. ab

B. abx

C. 1

D. 1ab

11. Reducir: P = x1 + 2x

1 + 2–x +

y

1 + 3y

1 + 3–y

A. 5B. 2

C. 3D. 6

12. Reducir: M = n64n + 162n

8n + 32n

A. 8B. 2

C. 4D. 16

13. Reducir: 8–27–9–4–0,5

A. 0,5B. 2,0

C. 0,75D. 0,25

14. Calcular: 16–4–2–1 + 25–4–2–1

9–4–2–1

A. 1,31B. 1,32

C. 1,35D. 1,34

15. Efectuar: P = 73

–1

. a + b

7a . 3–b

7–b . 3a

A. 7

B. 1

C. 3

D. 73

16. Simplificar: S = b

aaa ba

bbb a; ab ≠ 0

A. 1

B. ba

C. ab

D. a

17. Simplificar: 2n

80n + 16n

20n + 4n

A. 1B. 2

C. 3D. 4

18. Simplificar: P = a xb + b xa

xa + xb ; para: a + b = ab

A. x–1

B. xC. 1D. xa

19. Simplificar: R = a – 2b72a + 1 . 5a . 7ab – 1

352b . 7a . 7ab + 1

A. 1B. 5

C. 7D. 35

20. Si: xy–1 = 8; calcular: 2xy

+ x

2y

A. 6B. 7

C. 2D. 1

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 9

OPEraciONES cON POLiNOmiOS

En Matemática, generalmente usamos símbolos para representar elementos arbitrarios de un conjunto. Por tanto la notación “x ∈ lR”, significa que “x” es un número real, aunque no especifique un número real en particular.

Un símbolo literal que se usa para representar cualquier elemento de un conjunto dado, se llama variable. Las últimas letras del alfabeto tales como: “x”, “y”, “z”, “w”, ..., se emplean a menudo como variables. En cambio, el numeral que se utiliza para indicar un elemento fijo de un conjunto numérico se llama constante.

En una expresión matemática, las variables y constantes se diferencian al usar la notación matemática, lo cual consiste en indicar los símbolos que representan a las variables dentro de un paréntesis.

Ejemplo: E (x; y; z) = 5x + 3ay2 + 2bz3

OO Las variables son:OO Las constantes son:

EXPrESiÓN aLGEBraica

Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con cualquiera de las seis operaciones aritméticas (+; –; ÷; x; ( )n; n ); en un número limitado de veces.

Ejemplos: E(x) = x3 – 2x + 3x

E(x;y) = 2xy + 3x

y – 1 Q(x) = x4 – sen y P(x) = x2 + x2 + sen x R(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... G(x) = x2 + 2x

tÉrmino algeBraico

Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción.

Ejemplo:

Exponentes

VariablesCoeficienteM(x; y) = – 4x5y3

tÉrminos semeJantes

Dos o más términos serán semejantes si los exponentes de las respectivas variables son iguales.

Ejemplos: P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = –2x2y7 →

P(x;y) = 5x2y3 y S(x;y) = 2xy7 →

M(x;y) = – 4x3

y2 y N(x) =

2x3

y2 →

Polinomio

Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas solo de exponentes enteros positivos.

Ejemplos: P(x;y) = 5x3y7 → (monomio)

R(x;z) = 2x2z + 5z5 → (binomio)

F(x) = 3 – 5x + 3x2 → (trinomio)

grado de un monomio

a. grado relativo (g.r.)Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable.

Ejemplo: Sea: P(x;y;z) = 5 x5y3z

GR(x) = GR(y) = GR(z) =

B. grado absoluto (g.a.)Es la suma de los grados relativos.

Ejemplo: Sea: R(x;y;z) = 2x4y5z3

GA =

grado de un Polinomio

a. grado relativoEs el grado del polinomio respecto de una de sus varia-bles y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término.

Ejemplo: Sea: P(x;y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7

GR(x) = GR(y) =

B. grado absoluto (grado del polinomio)Es el mayor de los grados absolutos de cada término.

Ejemplo: Si: F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4y4

Polinomio en una variaBle

Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general:

P(x) = b0xn + b1xn – 1 + … + bn – 1x +bn

x : Variable de “P”b0, b1; ...; bn: Coeficientesb0: Coeficiente principal (C.P.)bn: Término independiente (T.I.)

ÁLGEBRASemana 2

Trilce Católica

CicloCatólica

10

nota:

OO Término independiente: (T. I.)

T.I.(P) = bn = P(0)

OO Suma de coeficientes (∑coef.)

Scoef.(P) = b0 + b1 + … + bn = P(1)

valor numÉrico (v. n.)

Es el valor que se obtiene de una expresión al realizar las operaciones que en ella se indica, luego de haber asignado a sus variables, valores determinados.

Ejemplo: Sea: P(x) = 2x2 + 2x + 1

Hallar el V. N.: de: P(2) → P(2) =

POLiNOmiOS ESPEciaLES

Polinomio mónico:

Un polinomio de una variable que tiene coeficiente prin-cipal uno se le denomina mónico.

Ejemplos: A(x) = 1 + x2 + 3x B(x) = 7 – 2x2 + x3

C(x) = x

Polinomio ordenado:

Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.

Ejemplos: P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7

Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a “x”.

P(x;y;z) = 21xz4 – 34x5y2z + 41x7y4

Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a “x” e “y”, además es ordenado descendentemente respecto a “z”.

Polinomio comPleto:

Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el de grado cero.

Ejemplos: A(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16 B(x;y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

nota:

Si un polinomio tiene una sola variable y además es com-pleto, entonces el número de términos será igual a su grado aumentado en una unidad.

Polinomio HomogÉneo:

Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.

Ejemplo: P(x; y) = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15 – 13y15 15 15 15 15

R(x) = 7xy3 + 8x2y2 4 4

nota:

Un polinomio en dos variables, si está ordenado decre-cientemente respecto a una de ellas y si es homogéneo estará ordenado crecientemente respecto a la otra variable.

Polinomio idÉnticamente nulo:

Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.

Ejemplo: P(x) = (n – m)x2 + (p – q) x, si es idénticamente nulo:

n – m = 0 ⇒ m = n p – q = 0 ⇒ p = q

Polinomios idÉnticos:

Dos polinomios son idénticos si sus términos semejantes tienen coeficientes iguales.

Ejemplo: p(x) = ax2 + bx + c q(x) = dx2 + ex + f p(x) = q(x); si se cumple: a = d ; b = e ; c = f


Nivel i

1. Hallar el grado del siguiente monomio:

M(x; y; z) = – 3 5(x2y3)4 . z2

A. 22B. 26

C. 20D. 25

2. Sea el polinomio:

F(x; y) = xm + 8.ym – 4 + xm + 7.ym + x2m + 1.y8 ; cuyo grado es 27. Calcular: G.R.(x) + G.R.(y)

A. 28B. 30

C. 26D. 25

3. El polinomio: P(x) = axa + 2 + 3axa + 4 – 4xa; es de grado 8. Calcular la suma de sus coeficientes.

A. 16B. 12

C. 14D. 18

4. Hallar el grado del siguiente polinomio:

P(x) = 2x n – 13 + 3xn2 – x15 – n

A. 9B. 7

C. 14D. n – 13

5. Si: P(x) = x2 + x – 2; calcular: P(8) + P(2)

A. 56B. 49

C. 54D. 74

Álgebra

Trilce Católica 11

6. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio:

P(x) = 14(2x + 6)(1 + 3x)2(x – 2)

A. 34

B. –32

C. 12

D. –16

7. Sea: P(x) = (x + 1)n + (x – 1)n + 2 , si la suma de coefi-cientes más el término independiente suman 36, halle “n”.

A. 1B. 2

C. 3D. 5

8. Si: F(2x – 1) = x2 – 3x – 4 ; calcular: F(3) – F(1)

A. – 12B. – 6

C. 4D. 0

9. Juanito tiene (7x2 + 6x + 3) soles, recibe de propina (8x2 + 6x + 4) nuevos soles de su padre y (5x – 2) nuevos soles de cada uno de sus tres tíos. Si gasta (8x2 – 3x – 5) nuevos soles, ¿cuánto le queda?

A. S/. (x2 + 24x – 4)B. (x2 + 24x + 6)

C. (x2 + 30x + 6)D. (17x2 + 30x + 6)

10. Dado el polinomio: P(x) = (2n – 1)2 . xn + 13 , calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de segundo grado.

A. 9B. 81

C. 49D. 25

Nivel ii

11. Sea el polinomio: P(x; y) = (3mnx2y2m)n; donde: G.R.(x) = 4 ∧ G.R.(y) = 8. Calcular el coeficiente.

A. 144B. 324

C. 256D. 400

12. En el monomio: M(x; y) = 2abx3a + b . ya–b, donde: G.R.(x) = 14 ∧ G.R.(y) = 2 , calcular el coeficiente.

A. 64B. 32

C. 50D. 18

13. Si: F(x + 2) = x + F(x); F(3) = 5; hallar: F(1) + F(5)

A. 10B. 6

C. 12D. 11

14. Si: P( x + 1) = (x + 1)(x2 + 1) – 2; calcular: P(1) + P(3)

A. 80B. 81

C. 84D. 82

15. ¿Qué valor de “p” hace que el término independiente de:

(x + 3)(x – 5)2 5x – 23

(x – p)3, sea: – 400?

A. 1B. – 2

C. 2D. 3

16. Hallar la suma de coeficientes del polinomio:

P(x – 3) = x20 – (3x + 4)10 + x3 + 2x2 – 43

A. 32B. 64

C. 16D. 60

17. Si: F(x + 2) = x2 + 7x + 12 ; hallar: F(x – 2)

A. x2 + x + 1B. x2 – x

C. x2 – x + 1D. x2 – 2x

18. Si: F(x + 1) = x2 + 5x + 6 ; hallar: F(2x + 1)

A. 4x2 + 20x + 6B. 2x2 + 10x + 3

C. 4x2 – xD. 4x2 + 10x + 6

19. Si: P(3x – 2) = 6x – 5 ; hallar: P(x + 2)

A. 2xB. 2x – 3

C. 2x + 3D. 2x + 6

20. Si el polinomio: P(x) = 4 x5n – 3

(xn + 1)2 ; es de primer grado,

calcular “n”.

A. 17B. 12

C. 35D. 15

Nivel iii

Preguntas nº 21 y 22

Cuando se venden “x” unidades de un producto, la utilidad está dada por: U(x) = 60x + b. Si se venden 30 artículos, la utilidad es S/. 2800, entonces:

21. Hallar “b”:

A. 800B. 1800

C. 2600D. 1000

22. Si se espera obtener una utilidad de S/. 3700, ¿cuántos artículos deben venderse?

A. 45B. 60

C. 35D. 40

23. Si: P(x2 + x) = 3(x2 + x)2 + 5(x2 + x + 1); hallar: P(2)3

A. 9B. 4

C. 3D. 53

24. Sean los polinomios idénticos:

P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + cx + d; Q(x) = (x + 2)3

Calcular: a + b + c + d

A. 30B. 29

C. 26D. 28

25. Si el polinomio: P(x) = (a – 2)x2 + (a + b – 5)x + (a + b + c – 8) es idénticamente nulo, calcular: a × b × c

A. 15B. 21

C. 18D. 24

Trilce Católica

CicloCatólica

12

Preguntas nº 26 y 27

En un cultivo, el número de bacterias presentes se puede calcular por la expresión: 2x + 3 + 904, donde “x” es el número de días que han transcurrido desde el inicio del cultivo.

26. Si se da la alarma de peligro cuando hay 5000 bacterias, ¿a los cuántos días de iniciado el cultivo debe darse la alarma de peligro?

A. 9B. 12

C. 10D. 13

27. ¿Cuántas bacterias estarán presentes a los cinco días de iniciado el cultivo?

A. 1160B. 2320

C. 1060D. 1032

28. Hallar el valor de “m.n” en el siguiente polinomio homo-géneo: P(x; y; z) = 2xmn + mynm – 3zmm –n

A. 6B. 8

C. 10D. 16

29. En cierta área, el número de larvas de polillas consumi-das por un solo escarabajo depredador en un periodo

determinado, está dado por: P(x) = 1,4x

1 + 0,09x , en donde

“x” es la densidad de larvas de polillas.¿Cuántas larvas de polillas en un periodo dado consumirá el escarabajo si existe una densidad de larvas de polillas de 20?

A. 20B. 10

C. 5D. 15

30. Si P(x) es un polinomio que cumple:

P(2x + 3) = 4x2 + 2x – 1; ∀x ∈ IR,

si: P(a + 3) = 0, calcular: a4 + a3

a – 1

A. – 2B. – 1

C. 0D. 1

Tarea domiciliaria

1. Dada la expresión algebraica: E(x) = 8(x – 30)x–6x , hallar: E(3)

A. 23

B. – 13

C. 13

D. – 23

2. Tengo 32 cartas: retiro (x + 3) cartas; luego, retiro el do-ble de la cantidad que retiré inicialmente, aumentado en cuatro cartas. ¿Cuántas cartas me queda?

A. 3(x + 3) + 4B. 6

C. 19 – 3xD. 45 – 3x

3. Si: A(x; y) = nxm – 1y4

B(x; y) = (7 – m) x5 yn+2

son términos semejantes, hallar: E = nm – 1

A. 116

B. 1

C. 32

D. 64

4. Dado el polinomio: P(x) = 5x4 – n + 6xn – 3 + 7xn2.

Hallar “n”.

A. 2B. 3

C. 4D. 5

5. Calcular “a + b”, si los siguientes términos son semejantes:

t1 (x; y) = nxa + 1yb + 3

t2 (x; y) = xby2b

A. 5B. 4

C. 3D. 2

6. Hallar el grado del siguiente monomio:

N(x; y; z) = –23(xy2)4 . z8

A. 22B. 20

C. 18D. 12

7. El siguiente monomio es de grado 66. Calcular “a”.

P(x; y) = – 7(x3a – 1 . ya + 3)3

A. 4B. 10

C. 5D. 6

8. Dado el polinomio: P(x) = (3n – 5)2 . xn + 24 , calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de tercer grado.

A. 625B. 361

C. 961D. 169

9. Dado el polinomio: M(x; y) = xa – 2 . yb + 34

donde: G.A.(M) = 13 ∧ G.R.(y) = 5, hallar “a + b”.

A. 30B. 31

C. 35D. 33

10. Calcular el grado absoluto del polinomio:

H(x; y) = 2x3y3z4 – 3(x2y4)2 – 4x6y8z4

A. 6B. 10

C. 14D. 12

11. Sea el polinomio: P(x,y) = xa + 2ya + 3 – xa + 1ya – 1 + x2a + 1y4 de grado 15. Hallar: GR(x) + GR(y)

A. 19B. 17

C. 16D. 15

Álgebra

Trilce Católica 13

12. Hallar la suma de coeficientes en:

P(x, y) = (4a – b)xa+3y3b – (5a – 2b)xa+by2b + (a – 3b)xay5b+3

Si: GR(x) = 7 ∧ GA(P) = 12

A. –2B. 2

C. 4D. –4

13. Hallar el grado del siguiente polinomio:

P(x) = 2xn – 17 – 23xn3 – x19 – n

A. 6B. n – 17

C. 19 – nD. 2

14. Si: P(x) = x4 – 13x2 + 36 ; calcular: P(–2) + P(2) + P(–3) + P(3)

A. 10B. 0

C. 8D. – 10

15. Si: P(x) = x2 + 2x + 1 Q(x) = x2 – 2x + 1

calcular: P(3) + Q(–3)

A. 32B. 0

C. 16D. 64

16. Si: P(x) = x2 + 3x – 10; hallar: P(x + 3)

A. x2 + 10x + 8B. x2 + 9x + 8

C. x2 + 9xD. x2 + 8

17. Si: P(x3 – x) = 5(x3 – x)2 + 2(x3 – x + 1) – 2

hallar: P(–2) + P(0)

A. 14B. 16

C. 12D. 18

18. Si: F(x + 3) = x2 + 2x – 15; hallar: F(x + 5)

A. x2 + 6x – 7B. x2 + 6x

C. x2 – 7D. x2 + 5x + 7

19. Si: F(x) = x2 + 1; x ≤ 1

x + 1; x > 1

calcular: F(–3) + F(4)

A. 15B. 9

C. 11D. 13

20. Si: F(x) = (x – 1)2 + a; hallar: F(x) – F(x + 2)

x; x ≠ 0

A. 4B. –4

C. 2D. –2

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 15

mULTiPLicaciÓN DE POLiNOmiOS

Para multiplicar polinomios utilizaremos la propiedad distributiva.

Ejemplo:

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

PrODUcTOS NOTaBLES

Son aquellas multiplicaciones cuyos productos se ob-tienen de forma directa sin necesidad de realizar operación alguna.

OO Binomio al cuadrado:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

OO identidades de legendre:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

recuerda: (a – b)2 = (b – a)2

OO Binomio al cuBo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

= a3 – b3 – 3ab(a – b)

OO suma Por diferencia de Binomios:(Diferencia de cuadrados)

(a + b)(a – b) = a2 – b2

OO Producto de dos Binomios con tÉrmino comÚn:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

OO multiPlicación de un Binomio Por un trinomio:

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

Suma de cubos

Diferencia de cubos

PriNciPaLES iDENTiDaDES:

desarrollo de un trinomio al cuadrado:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

desarrollo de un trinomio al cuBo:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) – 3abc

identidad trinómica (argand):

(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

iGUaLDaDES cONDiciONaLES:

Si: a + b + c = 0 , se cumple:

I. a3 + b3 + c3 = 3abcII. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)III. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

nota: Sean: a; b; c ∈ lR y m; n ∈ lN

a2n + b2m = 0 ⇒ a = b = 0

a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ⇒ a = b = c

1. Si: x + 1x = n ; entonces:

x2 + 1x2 = n2 – 2

x3 + 1x3

= n3 – 3n

2. Si: x – 1x = m ; entonces:

x2 + 1x2

= m2 + 2

x3 – 1x3 = m3 + 3m

3. x + 1x

2

– x –

1x

2 = 4


Nivel i

1. Simplificar: (x + 1)2 – (x + 2)2 – (x + 3)2 + (x + 4)2

A. 1B. 2

C. 3D. 4

2. Simplificar: (x + y)2 – (x – y)2

xy

A. 1B. 2

C. 3D. 4

ÁLGEBRASemana 3

Trilce Católica

CicloCatólica

16

3. Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2)

A. 3B. 5

C. 7D. 9

4. Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + 3)2 + (x – 3)2 – (x – 4)(x – 5)

A. – 14B. – 16

C. – 18D. – 20

5. Efectuar: (x + 4)3 – (x + 3)(x + 4)(x + 5)

A. x + 4B. x + 3

C. x + 2D. x – 1

6. ¿Cuánto le falta a “Q” para que sumado con “R” se ob-tenga como resultado “P” ?

P = (2x + 3)(x – 2)Q = (3x – 2)(x + 1)R = (5x – 1)(x – 1)

A. – 6x2 + 4x – 5B. 5x2 + 3x – 2

C. –14x2 + 9x – 4D. – 8x2 + 5x + 1

7. Hallar el área de la siguiente figura:

5x + 3

3x + 5

x

3

A. 10x2 + 30x + 45B. 10x2 + 34x + 15

C. 15x2 + 34x + 45D. 15x2 + 30x + 15

8. Efectuar: (x + y + 1)3 – (x + y)3 – 3(x + y)(x + y + 1)

A. – 2B. – 1

C. 0D. 1

9. Reducir: (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)

A. 2B. 4

C. 8D. 16

10. Hallar el área sombreada:

x + 3 x + 2

x + 2x x + 1

1

A. 2x2 + 3x – 1B. 3x2 + 8x + 4

C. 3x2 + 2x + 6D. 2x2 + 8x + 5

nivel ii

11. Efectuar: 5 x + x2 – y10 . 5 x – x2 – y10

A. – y2

B. y2C. xyD. x + y

12. Si: a + b = 6

a2 + b2 = 30

hallar: a2

b +

b2

a

A. 20B. 54

C. 30D. 45

13. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d); calcular: 2(a + b) 4c + d

A. 1B. 2

C. 3D. 4

14. Si: a = 2 + 1

b = 2 – 1

calcular el valor de: a2 + b2 + 3ab

A. 3B. 5

C. 7D. 9


2x + 7 3 – x

x – 1

3x + 4

x

A. 6x2 + 6x – 72

B. 2x2 + 6x – 22

C. 2x2 + 3x – 22

D. 6x2 + 3x – 7

2

16. Hallar el área sombreada:

x + 1 x + 2 x + 8

1

1

x

A. 2x2 + 17x + 20B. 2x2 + 4x + 12

C. 2x2 + 19x + 12D. 2x2 + 16x – 1

17. Reducir:

(x + y + 5z)2 + (x + y + 4z)2 – 2(x + y + z)(x + y + 8z)

A. z2

B. 4z2C. 9z2

D. 25z2

Álgebra

Trilce Católica 17

18. Siendo: x ; y ∈ IR, que verifica: x2 + y2 + 5 = 2(x + 2y), calcular: x + y + 1

A. 1B. 2

C. 3D. 4

19. Si: a + b + c = 0 ; reducir:

(2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3

A. – 3B. 3abc

C. – 3abcD. 3

20. Si: x + y + z = 0 , calcular:

R = (x + y – 2z)3 + (y + z – 2x)3 + (z + x – 2y)3

xyz

siendo: xyz ≠ 0

A. 27B. – 27

C. 81D. – 81

nivel iii

21. Si: x – y = 8 ; evaluar la siguiente expresión:

(x – 3y)2 – 4y(2y – x) + 8

A. 32B. 40

C. 72D. 64

22. Si: 1x +

1y

=

4x + y;

¿cuál es el valor de la expresión: x2013 + y2013

x2000y13 ?

A. 1B. 2013

C. 2D. 2007

23. Si: a = 13; b = 17 y c = 30; hallar el valor de:

K = (a3 + b3 – c3)2

3a2b2

A. 2900B. 2600

C. 2700D. 2500

24. Si: x + 1x = 3; calcular: x3 + x–3 + 32

x2 + x–2 + 2

A. 3B. 5

C. 7D. 9

25. Si: x = 2 – 3 + 5

y = 2 + 3 – 5

evaluar: N = (x + 1)2 + (y + 1)2 + 2xy – 1

A. 23B. 25

C. 34D. 36

26. Simplificar: 10 (x + 1)3(x – 1)3(x2 – 1)5(x2 + 1)8(x4 – 1)2

A. x4 + 1B. x4 – 1

C. x2 – 1D. (x – 1)4


4

x

2x2 + 32

A. x2 + 8x + 162

B. x2 + 6x + 102

C. x2 + 8x + 102

D. x2 – 6x + 162

28. Hallar el área total del paralelepípedo.

x – 1

x + 1

x + 3

A. 8x2 + 5x – 2B. 6x2 + 12x – 2

C. 4x2 + 10x – 3D. 7x2 + 10x – 2

29. Si: 2M = 1 + b2 + c2 – a2

2bc ; calcular el valor de “M”, sa-

biendo que: a + b + c = 2p

A. p(p – c)ac

B. p(p – a)2bc

C. p(p – b)p – c

D. p(p – a)bc

30. Si se tiene la suma “S” y el producto “p” de dos cantidades

“x” e “y ”; entonces x2 + y2

22 es igual a:

A. (S + p)2 – (S – p)2B. 0,25S4 – pS2 + p2

C. S4 + 2pS2 – 3p2S + p4

D. S4 – pS(1 – S) + 32p2

Tarea domiciliaria

1. Reducir: (x + 5)(5 – x) + (x + 3)(x – 3)

A. 16B. 12

C. 2x2 – 34D. 2x2 – 16

2. Reducir: (x + 5)2 + (x – 5)2 – 2(x2 + 12)

A. 1B. 26

C. x2 + 25D. 25

3. Efectuar: (x + 1)(x + 2) – (x + 3)2 + (x – 3)2 – (x – 4)(x – 5)

A. – 14B. – 16

C. – 18D. – 20

Trilce Católica

CicloCatólica

18

4. Efectuar: (4x + 3)(2x + 1) – 8(x + 1)2 + 6(x + 2)

A. 3B. 5

C. 7D. 9

5. Calcular: K = 6 + 2

2 – 6 – 2

2

5 + 32 + 5 – 3

2

A. 3

B. 1

C. 32

D. 3

6. Si: m + n = 5 ∧ mn = 1 ; calcular: (m2 – n2)2

A. 25B. 5

C. 5D. 5 5

7. Simplificar: (x + y)2 – (x – y)2xy

A. 1B. 2

C. 3D. 4

8. Reducir: (x + 1)3 + (x – 1)3 – 2x3

A. 6xB. 6x2

C. 0D. 1

9. Si: H = (x – 5)(x + 6)(x – 1)(x + 2) + 196;

hallar: H + 16,25

A. 2x + 1

B. x + 12

C. x +2

D. 2x + 12

10. Si se cumple: 1a +

1b

=

4a + b; hallar: N = (a + b)6 – a6 – b6

a3b3

A. 31B. 32

C. 64D. 62

11. Sea: x = 2 + 1 + 2 – 1 y = 2 + 1 – 2 – 1

hallar el valor de: x2 – y2 – 22

A. – 4B. – 2

C. 0D. 2

12. Si el volumen del paralelepípedo mostrado es: (64x3 – 64) m3, hallar su altura “h”.

x – 1

x2 + x + 1

h

A. 64 mB. 2

C. 4D. 8

13. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d), hallar:

K = 125(c + d)3(a + b)

A. 25B. 5

C. 5D. 53

14. Reducir: E = (a + b)4 – (a – b)4

4ab(a2 + b2)

A. 2B. 1

C. 4D. 8

15. Efectuar: x – x2 + y93 . x + x2 + y93

A. y3

B. 0C. x43

D. – y3

16. Simplificar:

(m + n + p)(m + n – p) + (p – n + m)(p + n – m) – 4mn

A. mnB. 1

C. 0D. 8 mn

17. Si: x = 2 + 33 + 2 – 33 ; hallar: x3 – 3x + 233

A. 1B. 2

C. 4D. 3

18. Si: m2 + n2 + m2 – n2 = n2

hallar: K = m2 + n2 – m2 – n2

A. 2n2

B. 2m2C. n2

D. 2

19. Siendo: xy

+ yx

= a; hallar: M = 3

x3

y3 +

y3

x3 + 3a

A. 1B. a3

C. a3

D. a

20. Si: R = 43 + 23 ; calcular: K = R(R + 6 )(R – 6)

A. 3B. –9

C. –6D. 6

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 19

OPEraciONES cON POLiNOmiOS – DiViSiÓN DE POLiNOmiOSOperación definida para polinomios de una sola variable

y ordenados en forma descendente. Dado dos polinomios no nulos llamado dividendo y divisor hallar otros dos polinomios llamado cociente y residuo.

forma aritméticaD dr q

D = dq + r

forma algebraicaD(x) d(x)r(x) q(x)

D(x) = d(x) . q(x) + r(x)

Si la división algebraica es exacta: r(x) = 0

PrOPiEDaDES DE La DiViSiÓN

1. Para el grado del cociente:

[q0] = [D]0 – [d]0

x18 – x12 + 4x5 – x – 1x7 – x + 1 [q0] = 18 – 7 = 11

2. Para el grado del resto:

[R]0 < [d]0

x12 – x + 1x3 + x + 1

Siendo el divisor de 3º grado el resto podría ser:

De 2º grado: R(x) = ax2 + bx + c

De 1º grado: R(x) = ax + b

De grado cero: R(x) = a ; donde: a ≠ 0

División exacta: R(x) = 0

DiViSiÓN ENTrE POLiNOmiOS

A. Método de Guillermo Horner:

1

2

3 4

1 Se colocan los coeficientes del dividendo con su signo.

2 Se colocan los coeficientes del divisor todos cambiados de signo menos el primero que lo conserva.

3 Se colocan los coeficientes del cociente. Se calcula c/u dividiendo la suma de la columna respectiva entre el primer coeficiente del divisor.

4 Se colocan los coeficientes del resto. El número de co-lumnas estará dado por el grado del divisor.

Ejemplo:

Dividir: 8x4 – 2x3 – 9x2 + 7x + 1

4x2 + x – 2

4 8 – 2 – 9 7 1– 1 → – 2 42 2 1 – 2

1 – 22 – 1 – 1 6 – 12° grado 1° grado

Luego: Q(x) = 2x2 – x – 1

R(x) = 6x – 1

B. Método de Paolo Ruffini:

Solo para divisores de la forma: ax + b

1

2

3 4

1 Se colocan los coeficientes del dividendo.

2 Se coloca el valor despejado de la variable luego de haber igualado el divisor a cero.

3 Se colocan los coeficientes del cociente obtenidos luego de sumar

4 Se coloca el valor del resto

c. teorema del residuo o restoSe utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la di-visión, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma ax + b y en algunos casos especiales.

regla: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.

Ejemplo: Calcular el resto: x5 + 3x – 5

x – 2

resolución: T. Resto: x – 2 = 0 → x = 2

⇒ R = 25 + 3(5) – 5 → R = 42

cOciENTES NOTaBLES

definición: Es el cociente que se obtiene de divisiones exactas entre binomios de la forma:

xn ± an

x ± a

condiciones:

OO Resto = 0OO n → entero y positivo

ÁLGEBRASemana 4

Trilce Católica

CicloCatólica

20

caSOS DE cOciENTES NOTaBLES

1er. caso:

xn – an

x – a ; donde “n” es par o impar

xn – an

x – a = xn – 1 + xn – 2a + xn – 3a2 + ... + xan – 2 + an – 1

2do. caso:

xn + an

x + a ; donde “n” es impar

xn + an

x + a = xn – 1 – xn – 2a + xn – 3a2 – ... – xan – 2 + an – 1

Los signos se intercalan (+, –)

3er. caso:

xn – an

x + a ; donde “n” es par

xn – an

x + a =xn – 1 – xn – 2a + xn – 3a2 – ... + xan – 2 – an – 1

Los signos se intercalan (+, –)

4to. caso:

xn + an

x – a ;

“n” es par o imparNo es cociente notable

ProPiedades

OO Si:

xm ± an

xp ± aq

Origina un cociente notable entonces se cumple:

mp

= nq

= Número de términos

fórmula del tÉrmino general:

Esta fórmula nos permite calcular un término cualquiera del cociente en función al lugar que ocupa. Se representa por: tk que leeremos como término de lugar “k”.

Para el caso:

xn – an

x – a, tendremos: tk = xn – k . ak – 1

Para el caso:

xn + an

x + a ó x

n – an

x + a

tendremos: tk = (–1)ak – 1xn – k

regla Para el signo:

OO Cuando el divisor es de la forma (x – a) el signo de cual-quier término es positivo.

OO Cuando el divisor es de la forma (x + a) el signo de los términos que ocupan un lugar par son negativos y los que ocupan un lugar impar son positivos.


1. Dividir: x4 + 4x3 + 6x2 – 7x + 2

x2 + 2x + 1 indicando el resto.

A. – 10x + 1B. 11x + 1

C. – 11x + 1D. 10x – 2

2. Calcular “a – b” en la división: x4 + 2x3 – 7x2 + ax + bx2 – 3x + 5

exacta.

A. 1B. – 3

C. 5D. 2

3. Calcular “ab” si el polinomio: 20x4 + 3x3 + ax2 + b, es divisible por (4x2 + 3x + 2).

A. 9B. 18

C. 4D. 36

4. En la división: 2x4 + 5x3 + mx + mx2 – x + 1

, se obtiene como resto

un valor constante. Indique su valor.

A. – 1B. 8

C. 2D. – 3

5. En la siguiente división: 3x4 – x3 + 2x2 + ax + a

x2 + x – 1, el residuo

no es de primer grado. Indique su valor.

A. 10B. 14

C. 18D. 22

6. Al dividir: 6x4 + 13x3 + 6x2 + Ax + B

2x2 + 3x + 2, señale su cociente.

A. 3x2 – 2x + 3B. 3x2 + 2x – 3

C. 3x2 – 2x – 3D. 2x2 + 3x – 2

7. En la siguiente división exacta: 6x4 + 11x3 + Ax2 – 7x – 3A3x2 + 4x + 5

Determine el valor de “A”.

A. 1B. 2

C. 3D. 5

8. En la siguiente división exacta: x4 – 5x3 + 15x2 – Ax + B

x2 – 3x + 5

Entonces “A” y “B” son:

A. Primos entre síB. ParesC. Impares consecutivosD. Consecutivos

Álgebra

Trilce Católica 21

9. Señale el cociente, al dividir:

ax4 – (a + b)x3 + (2a + b)x2 – bx – aax2 – bx + a

A. x2 + x + 1B. x2 – x + 1

C. x2 + x – 1D. x2 – x – 1

10. Hallar “ab” si la división: ax4 + bx3 + 52x2 + 59x + 563x2 + 5x + 8

no

deja residuo.

A. 114B. 56

C. 132D. 84

11. Al dividir: x3 + (–2 – 7 )x2 + (2 7 – 15)x + 15 7 + m

x – 7 se

obtuvo como resto: 3m – 8, determinar “m”.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

12. Determinar el valor de “k” para que el coeficiente del término lineal del cociente entero sea igual a – 21 en la división:

3x5 – 15x3 + kx2 + 5x – 2

A. – 12B. – 15

C. – 18D. – 21

13. Señale la suma de coeficientes del cociente, al dividir:

4x4 + 4x3 – 11x2 – 6x – 62x – 1

A. – 2

B. –3

C. – 32D. –4

14. Proporcione el resto, al dividir:

x3 – 2x2 + (2 – m2 – 2m)x – 2m – 2x – m – 2

A. 2B. 3

C. 6D. 9

15. Hallar el valor positivo de “n” si en la división:

nx4 + (n2 – 1)x3 – n2x2 – x + nnx – 1

la suma de los coeficientes del cociente es igual al resto.

A. 1B. 3

C. 5D. 2

16. Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

6x4 – 13x3 – x2 – 2x – 172x – 5

A. 10B. 12

C. 13D. 20

17. Halle el resto en la división: x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 6

x – 2 + 1

A. 1B. 6

C. 2D. 9

18. Calcular “a” en la división: x3 – a(x + 1)2 – a2 + a

x – a – 3 , si su

residuo es: 7a + 2

A. – 3B. – 4

C. – 5D. – 6

19. En la siguiente división: 18x4 – 5x3 + 6x2 + 2ax + 142x – 1

;

sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es

31, determinar el resto.

A. 27B. 28

C. 29D. 30

20. Calcular el residuo en la siguiente división:

2x4 + 17x3 – 68x2 – 32

x – 12

A. 63,75B. 32

C. – 63,75D. – 32

21. Hallar “a” si el resto es 9 en: x3 + x2 + 3x + a

x – 1

A. 2B. 3

C. 4D. 5

22. Determine el residuo en: 6x3 – 5x2 + mx – 1

2x + 1 , sabiendo

que su cociente toma el valor numérico 2, para: x = 1.

A. 4B. 2

C. 1D. – 3

23. Si el resto en la siguiente división es 3, hallar “A”:

3 x4 – (1 – 3 )x3 – 2 3 x2 – 2x + A – 2 3x – 3 + 1

A. 3B. 6

C. 9D. 12

24. ¿Qué relación deben guardar los coeficientes del poli-nomio: ax4 + bx3 + cx + d, para que sea divisible entre: (x2 – 2x + 1)?

A. d = 2a + bB. d = 2a + 3b

C. d = 3a + 2bD. d = a + 2b

25. Halle el resto de: (2x – 3)11(x + 3)(x – 3)

(2x – 3)(2x – 4)

A. – 4B. – 5

C. 10x + 15D. – 10x + 15

Trilce Católica

CicloCatólica

22

26. Halle el resto de la división: (x – 1)9 + (x – 2)5 – 3

(x – 1)(x – 2)

A. x + 3B. 2x – 6

C. x + 6D. 2x – 3

27. Halle el residuo en: (x + 1)2n + 1 + 3

x2 + 2x + 2 , n ∈ ZZ+

A. 2B. 4

C. 6D. 8

28. Hallar el resto en: x20 + x10 + x4 + 5x + 2

x4 + 1

A. 5xB. x2 + 5x

C. x2 – 5xD. x2 – 6x

29. Halle el residuo al dividir: (x – 6)2008 + x + 19

(x – 5)(x – 7)

A. x + 14B. x + 16

C. x + 18D. x + 20

30. Halle la suma de los coeficientes del cociente al dividir: 8x3 + 4bx2 + 6bx + 13

2x + 1 ; si el residuo de la división es – 8.

A. 38B. 43

C. 39D. 53

31. Si el siguiente cociente:

x6n + 3 + a6n – 22

xn – 6

2 + an – 8

2, es notable,

calcular el valor de “n”.

A. 24B. 12

C. 16D. 18

32. Determinar el número de términos del siguiente C.N.

xn – 1 – yn + 4

xn – 5 – yn – 4

A. 8B. 5

C. 4D. 6

33. Hallar “m + n” si el “t25” del desarrollo del siguiente C.N.:

x129m – a86n

x3m – a2n ; es x270 a288 .

A. 11B. 13

C. 8D. 7

34. Encuentra el término de lugar quince del cociente notable.

x72 – y54

x4 – y3

A. – x42y12

B. x12y42C. x42y12

D. x38y12

35. En el cociente notable: x3n + 9 + y3n

x3 + y2 , calcula el valor nu-

mérico del término central para: x = 1; y = 2.

A. 6B. 32

C. 64D. 256

36. En el desarrollo del siguiente C.N. x155 + y93

x5 + y3 existe un

término cuyo grado absoluto es 122. La diferencia de los exponentes de “x” e “y” en ese término es:

A. 42B. 38

C. 40D. 60

37. Si el desarrollo del siguiente C.N. x3n – yn

x3 – y, el término de

lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38, el número de términos del desarrollo es:

A. 24B. 23

C. 22D. 25

38. Calcular “a + b” si el término de lugar 10 contando a partir del extremo final del C.N. que origina: x

60 – yn

x2 – y; es xayb.

A. 18B. 48

C. 38D. 20

39. Calcula el grado relativo a “x” del término 22 del desarrollo del cociente notable.

x155 + a93

x5 + a3

A. 9B. 22

C. 31D. 45

40. Dado el siguiente cociente notable: x3n + 2 – y5n – 1

x2 – yn – 5

entonces el grado absoluto del término 11 en el cociente notable es:

A. 25B. 32

C. 28D. 34

EJErciciOS aDiciONaLES

41. Si al dividir un polinomio “P(x)” de 3er grado separada-mente entre (x – 3) y (x – 2) se obtiene el mismo resto 4. El término independiente y la suma de coeficientes son respectivamente 10 y 8. Halle P(4).

A. 8B. 30

C. 32D. 14

42. Calcule el resto de dividir “P(x)” entre (x – 6) sabiendo que el término independiente del cociente es 5 y el término independiente del polinomio P(x) es 10.

A. 30B. – 30

C. 40D. – 40

43. Un polinomio “P(x)” de tercer grado es divisible entre (x + 3) y (x – 2). Si la suma de sus coeficientes es – 20 y su término independiente es – 12, calcular el residuo de dividir P(x) entre (– 4x + 12).

A. 64B. 66

C. 1D. 0

Álgebra

Trilce Católica 23

44. Un polinomio “P(x)” al dividirse entre (x – 3) se obtiene como resto 22 y al dividirse entre (x – 4) su resto es 29. Halle el resto de dividir “P(x)” entre el producto (x – 3)(x – 4)

A. 3x + 4B. 7x + 1

C. 4x – 3D. x + 7

45. Halle el resto de la división: x2n + 2 – x2n

(x + 1)2(x –1)

A. 1B. x + 1

C. x – 1D. x2 – 1

46. Al dividir “P(x)” separadamente entre (x + 2) y (x – 3) se obtiene el mismo resto 7. Si el término principal del polino-mio es (3x3) y su término independiente es 25, entonces el resto de dividir “P(x)” entre (x – 1) es:

A. 13B. 11

C. 9D. 7

47. Calcular el valor numérico del polinomio:

P(x) = 4x5 – 10x4 + 6x3 + 5x2 – 16x + 13 para: x = 2

A. 1762B. 176

C. 17D. 181

48. Calcular “ab” si la división es exacta: 2x4 + 3x2 – ax + b

2x2 + 2x + 3

A. 1B. 2

C. 3D. 4

49. Si el residuo que resulta de dividir:

x4 – 3x3 + ax2 + bx + c + 2(x – 1)3

es (bx + c), hallar el mínimo valor de: E = 9a + 3b + c

A. 30B. 26

C. 25D. 24

50. En la siguiente división: 2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a

x2 – x + b

Se sabe que el resto es (2x + 3); además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Calcular “ab”.

A. 4B. 7

C. 8D. 9

Tarea domiciliaria

1. Calcular “ab” si el polinomio: 20x4 + 3x3 + ax2 + b, es divisible por: 4x2 + 3x + 2

A. 9B. 18

C. 4D. 36

2. Calcular “a – b” si la división: 12x4 – 12x3 + 13x2 + ax – b

2x2 – 3x + 5 deja como resto: 4x + 5

A. 33B. 16

C. 15D. 10

3. Al dividir: 6x4 – 5x3 + 8x2 + Ax + B

3x2 + 3x + 1 , se obtiene como

residuo (x + 2). Determine “A + B”

A. 6B. 8

C. 10D. 12

4. En la siguiente división: 4x4 + 23x3 + 24x2 + Ax + B

x2 + 5x + 2

Determine el valor de “A – B”, si tiene como residuo 3x + 10.

A. 2B. 6

C. 10D. 12

5. ¿Cuánto se le debe restar al dividendo de manera, que la siguiente división sea exacta?

x4 + x3 – 5x2 + 15x + 2x2 – 2x + 3

A. x + 4B. x – 4

C. 2x + 8D. 2x – 8

6. Hallar “a + b” si la división: 6x4 – 13x2 + ax – b

2x2 – 4x + 5 es exacta.

A. 38B. 48

C. 28D. 18

7. Hallar la suma de coeficientes del cociente:

x5 + (a + 1)x4 + (a + b)x3 + (b + 1)x2 + ax + bx2 + ax + b

A. 1B. 0

C. – 1D. 3

8. El residuo al dividir: 8x5 + 4x3 + ax2 + bx + c

2x3 + x2 + 3

es: 5x2 + 11x + 7; hallar: E = abc

A. 20B. 30

C. 40D. 50

9. Hallar “m ÷ n” si la división: mx4 – 8x3 – nx2 + 14x – 8

3x2 + x – 2 es exacta.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

10. Si la siguiente división no tiene residuo, hallar “m – n”.

3x4 – 13x3 – 5x2 + mx + n3x2 + 4x + 5

A. 7B. 9

C. 11D. 13

11. Hallar “ab” en la siguiente división exacta:

3x4 + x3 – 2x2 + ax + b3x2 + 4x + 5

A. 45B. 36

C. 42D. 56

Trilce Católica

CicloCatólica

24

12. Determine el residuo de la división:

x6 + 2x5 – 2 3 x4 – 2 3 x3 – 2x2 + 1x – 3

A. 0B. 1

C. – 3D. 4

13. Dividir: x6 + 6x5 + 8x4 + 17x3 + 10x2 – 2x + 3

x + 5

Indicar el coeficiente del término cuadrático del cociente.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

14. Hallar el resto: x60 + x80 + x90 + x20 + 4

x10 + 1

A. 2B. 4

C. 6D. 8

15. Hallar “a” si el resto de la división es 7.

4x20 + 2x + ax + 1

A. 3B. 4

C. 5D. 7

16. Hallar el resto en: (x – 3)(x + 7)90 + 7

x + 6

A. 7B. – 2

C. 2D. 4

17. Si “Q(x)” es el cociente obtenido al efectuar:

3x4 + 7x3 – 3x2 + 10x – 193x – 2

Calcular: Q(1)

A. 6B. 7

C. 8D. 9

18. Halle la suma de coeficientes del cociente, luego de efectuar la división:

15x5 – 14x4 + 9x3 – 5x2 + 4x + 13x – 1

A. 4B. 6

C. 12D. – 4

19. Halle el resto de la división:

x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 7x – 2 + 1

A. 5B. 7

C. 2D. 10

20. Hallar el resto en: (x – 3)80 + (x – 4)15 + 6

(x – 3)(x – 4)

A. 2x + 1B. 2x – 1

C. 2x – 3D. 2x + 3

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 25

facTOriZaciÓN DE POLiNOmiOSfactor algeBraico

Es aquel polinomio de grado no nulo que divide o se encuentra contenido en forma exacta en otro polinomio.

Ejemplos:

OO P(x) = (x + 2)(x + 1)

Son factores algebraicos de "P(x)"

OO (x + 2) OO (x + 1) OO (x + 2)(x + 1)

factor Primo

Es aquel polinomio de grado no nulo que tiene como único divisor a sí mismo.

Ejemplos:

OO P(x) = (x + 2)3(x + 1)2(x + 5)6

Son factores primos de "P(x)":

OO (x + 2) OO (x + 1) OO (x + 5)

OO P(x) = (x)(x + 3)6(x – 1)2

Son factores primos de "P(x)"

OO (x) OO (x + 3) OO (x – 1)

factoriZación

Es el proceso inverso a la multiplicación algebraica, con-siste descomponer el polinomio en la multiplicación indicada de sus factores primos.

Multiplicación

P(x) = x2 + 3x + 2 ≡ (x + 1)(x + 2)

Factorización

criterios Para factoriZar Polinomios

i. factor comúnConsiste en buscar factores (monomios o polinomios) comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos con su menor exponente.

Aplicaciones:

a) P(x, y) = ax + bx + xy ⇒ P(x; y) = (x)(a + b + y) ↓ ↓ ↓ Factor común monomio (x)

b) P(x, y) = (x – 1)m + (x – 1)n ⇒ P(x, y) = (x – 1)(m + n) ↓ ↓ Factor común polinomio (x – 1)

c) P(x, y) = ax2 + bx3 – cx5 ⇒ P(x, y) = x2(a + bx – cx3) ↓ ↓ ↓ Factor común de menor exponente (x2)

ii. agrupaciónConsiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.

Aplicaciones:

agrupación

a) P(x, y) = ax + ay + bx + by (4 términos) agrupación

P(x;y) = a(x + y) + b(x + y) ↓ ↓ Factor común (x + y)

P(x;y) = (x + y)(a + b)

agrupación

b) P(x, y) = x2 + x + 2xy + y + y2 (5 términos) agrupación

P(x; y) = (x2 + 2xy + y2) + (x + y)

P(x; y) = (x + y)2 + (x + y) factor común

P(x; y) = (x + y)(x + y+ 1)

iii. identidadesConsiste en identificar algunos productos notables en la formación del polinomio a factorizar tratando que aparez-ca un factor común. A continuación tenemos los productos notables más utilizados:

Producto notaBle Polinomio factoriZado

Diferencia de cuadradosa2 – b2 → (a – b)(a + b)

Trinomio cuadrado perfectoa2 ± 2ab + b2 → (a ± b)2

Suma y diferencia de cubosa3 ± b3 → (a ± b)(a2 ab + b2)

Ilustraciones:

a) P(x; y) = 25x2 – 4y2 (Buscando la forma)

P(x; y) = (5x)2 – (2y)2 (Diferencia de cuadrados)

P(x; y) = (5x – 2y)(5x + 2y)

ÁLGEBRASemana 5

Trilce Católica

CicloCatólica

26

b) P(x; y) = 9x2 + 12xy + 4y2 (Buscando la forma)

P(x; y) = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 (T.C.P.)

P(x; y) = (3x+2y)2

c) P(x; y) = 64x3 – 125y3 (Buscando la forma)

P(x; y) = (4x)3 – (5y)3 (Diferencia de cubos)

P(x; y) = (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2)

iv. aspa simpleForma general del polinomio a factorizar:

P(x; y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

m, n ∈ lN

Ilustraciones:

a) Factorizar: P(x;y) = x2 + 5xy + 6y2

Descomponemos los extremos.

P(x; y) = x2 + 5xy + 6y2

x 2y → 2xy + Verificamos el término centralx 3y → 3xy

5xy

Los factores se eligen en forma horizontal.

P(x; y) = (x + 2y)(x + 3y) Expresión factorizada.

b) Factorizar: P(x; y) = (x + 3)2 + 3(x + 3)y – 4y2

Hacemos un cambio de variable: Sea: x + 3 = m (Para reconocer que método utilizar) así tenemos que reemplazarlo en el polinomio, se tiene:

P = m2 + 3my – 4y2 (Se reconoce un aspa simple)

P = m2 + 3my – 4y2

m 4y → 4my + Verificamos el término centralm –y → –my

3my

Los factores se eligen en forma horizontal:

P = (m + 4y)(m – y)

P(x; y) = (x + 3 + 4y)(x + 3 – y) Expresión factorizada

teorema

Sean "A(x)" y "B(x)" polinomios primos y primos entre sí,

tal que: P(x) = Am(x) . B

n(x)

a) Números de factores primos = 2b) Números de factores algebraicos = (m + 1)(n + 1) – 1

v. método de los divisores binomiosSe utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado.

Factorizar: x3 + 4x2 + x – 6

Factorizar: x3 + 5x2 – 2x – 24

vi. método del quita y pon

1. Factorizar: x4 + x2 + 1 ↓ ↓

2 = 2x2

( ) ( )

⇒ x4 + x2 + 1 =

2. Factorizar: 1 + 4n4

↓ ↓ 1 2n2

2 = 4n2

( )2 – ( )

( ) ( )

⇒ 1 + 4n4 =

vii. cambio de variable

1. Factorizar: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1

Agrupando convenientemente, tenemos:

(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + 1

Efectuando por parejas de factores:

(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) + 1

Hacemos cambio de variable: x2 + 5x = m

Así tenemos:

(m + 4)(m + 6) + 1 = (m2 + 10m + 24) + 1 = m2 + 10m + 25 ↓ ↓ m 5 m 5

a factores, tenemos: (m + 5)2

reemplazando por su equivalencia: (x2 + 5x + 5)2

OO factorizar e indicar el número de factores primos.

1. x(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1

2. (x – 1) (x2 – 4) (x + 3) + 3

Álgebra

Trilce Católica 27

Ejemplos de la clase

1. Factor común:

a) M(x) = x2a + x2b – x2c

M(x) = _____________

b) T(x) = x3 – xy – 5x

T(x) = ______________

c) M(a) = 10a9 – 5a10

M(a) = ______________

d) A(x; y) = 5 (x – y) – m (y – x)

A(x; y) = ______________

e) R(x; y; z) = (x + y + 2)z + (x + 2 + y) x

R(x; y; z) = ___________________

2. Agrupación:

a) P = xy – zy + xa – za

= ___________________

= ___________________

b) Q = a2b + a2c + d2b + d2c

= ___________________

= ___________________

c) R = x5 + x3 + x2 + 1

= ___________________

= ___________________

d) S = a5 + a3 – 2a2 – 2

= ___________________

= ___________________

e) T = a2 – 3 + a2b – 3b

= ___________________

= ___________________

3. Identidades:

a) A = m4 – 1

= ___________________

= ___________________

b) B = p6 – q8

= ___________________

= ___________________

c) C = a3b3 – 1

= ___________________

= ___________________

d) D = p36q12 – 27

= ___________________

= ___________________

e) E = x2 + 10x + 25

= ___________________

= ___________________

4. Aspa simple

a) T(m) = 6m2 – 7m + 2

____ ____

____ ____

T(m) = _______________

b) S(b) = 3b4 + 7b2 + 4

____ ____

____ ____

S(b) = _______________

c) M(a, b, c) = 3a2b4 – 8ab2c + 5c2

_____ _____

_____ _____

M(a, b, c) = _______________

5. Factorizar:

a) F(x;y) = 4x2 + 4xy – 3y2 – 6x – y + 2b) P(x;y) = x2 + 3xy – 5x – 21y – 14c) P(y) = y4 + 13y3 + 45y2 + 20y + 2d) M(x) = x4 + 2x3 + 6x2 + 5x + 6e) Q(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 5x + 1


Nivel i

1. Factorizar: x5 – ax4 + bx4 – abx3

A. x(x + a + b + 1)B. x(x + a3)(x – b3)

C. x3(x – a)(x + b)D. x3(x – a)(x – b)

2. Factorizar: (x + 1)7 (x2 + 1)10 – (x + 1)5 (x2 + 1)11

Indicar como respuesta uno de los factores.

A. x + 2B. x – 1

C. xD. x2 + 2

Trilce Católica

CicloCatólica

28

14. Factorizar: P(x) = abx2 + (2a + 3b)x + 6 , indicar un factor primo.

A. ax + 3B. bx2 + 24

C. ax – 3D. bx – 2

15. Factorizar: 25x4 – 109x2y2 + 36y4

A. (5x + 3y)(5x – 3y)(x + 2y)(x – 2y)B. (25x + 9y)(25x – 9y)(x + 4y)(x – 4y)C. (5x + 2y)(5x – 2y)(x + 3y)(x – 3y)D. (5x + y)(5x – y)(x + y)(x – y)

16. Indica cuál de los siguientes no es un factor de:

18x4y2 + 51x3y3 – 42x2y4

A. 3x – 2yB. x

C. yD. 2x – 7y

17. Descomponer: 9x4 – 61x2y2 + 100y4; en el máximo nú-mero de factores y dar como respuesta la suma de sus factores.

A. 8xB. 8x + 14y

C. 10x2 – 29yD. 10x2 – 21y

18. Factoriza: 25a2 – 4b2 + 20a + 4; uno de sus factores primos es:

A. 5a – 2b – 2B. 5a + 2b + 2

C. 5a + 2bD. 5a – 2b

19. Uno de los factores de: E = 8x6 + 7x3 – 1, es:

A. x2 + x + 1B. 4x2 + 2x + 1

C. x – 1D. 4x2 – 2x + 1

20. Factorizar: x2 + (2a + 7)x + a2 + 7a + 10, señalar un factor primo.

A. x + a + 5B. x – a – 5

C. x + a – 2D. x + a + 7

nivel iii

21. Factorizar: x3 – 8x2 + 13x – 6; indicando el factor primo que más se repite.

A. x – 6B. x – 1

C. x + 2D. x – 3

22. Factorizar: x3 – 11x2 + 31x – 21, indicando la suma de sus factores primos.

A. 3x + 11B. 2x + 10

C. 2x – 11D. 3x – 11

23. Factorizar: 6x3 + 11x2 + 6x + 1, indicando un factor primo.

A. 3x – 1B. 4x + 1

C. x – 1D. 2x + 1

24. Factorizar: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12

A. (x – 3)(x + 2)(x + 3)B. (x + 3)(x + 2)2

C. (x – 3)(x + 2)2D. (x – 3)(x2 + 2x + 4)

3. Factorizar: R(x) = xn + 2 + xn + x3 – x2 + x – 1

A. (x2n + 1)(x2 – n – 1)B. (x + 1)(x2n – x + 1)

C. (x + 1)(x2n + x + 1)D. (x2 + 1)(xn + x – 1)

4. Factorizar: am + n + bm + n + (a . b)m + (b . a)n

Indicar un factor primo.

A. an – bn

B. an + bmC. am + an

D. bm + bn

5. Indicar la suma de factores primos de:

(2x2 + 7x)(x + 5) + (6x + 15)(x + 5)

A. 4x + 13B. 3x + 8

C. 4x + 8D. 3x + 13

6. Uno de los factores luego de factorizar es:

E = b2 + c2 – a2 – d2 + 2ad + 2bc

A. b + c + a – dB. b – c + a – d

C. b – c + a + dD. b + c – a – d

7. Factorizar: P(x) = x2(x + 7) + 6x(x + 7) + 9x + 63

A. (x + 7)(x – 9)2B. (x + 7)(x + 9)2

C. (x + 7)(x – 3)2D. (x + 7)(x + 3)2

8. Factorizar: R(x) = x3(x + m) + 2x2(x + m)

A. x(x + m)(x + 2)B. x2(x + m)(x + 2)

C. x2(x + 2m)(x + 2)D. x2(x – m)(x – 2)

9. Señalar uno de los factores del polinomio:

x(y2 + z2) + y(z2 + x2)

A. x – yB. x + 2y

C. x + yD. y + 1

10. Factorizar: x(x + 4) – yx – 4y + 7x + 28

A. (x + 4)(x + y – 7)B. (x + 4)(x – y + 7)

C. (x – 4)(x – y + 7)D. (x + 4)(x + y)

nivel ii

11. Factorizar: a6 – 64b6

A. (a + 2b)(a – 2b)(a2 – 2ab + 4b2)(a2 + 2ab + 4b2)B. (a + b)(a – b)(a2 – ab + b2)(a2 + ab + b2)C. (a + 2b)(a – 2b)(a2 – ab + 2b2)D. (a + b)(a – b)(a2 – ab – b2)(a2 + ab + b2)

12. Uno de los factores del polinomio:

F(x) = x2 – 4x – 25y2 + 4 es:

A. x – 5yB. x – y + 2

C. x + 5yD. x – 5y – 2

13. Factorizar: P(x) = x14 – x2 – 6x – 9

A. (x7 – x – 3)2B. (x7 + x + 3)(x7 – x – 3)

C. (x7 + x + 3)(x7 – x + 3)D. (x14 + x + 3)(x14 – x – 3)

Álgebra

Trilce Católica 29

25. Luego de factorizar, indicar la suma de sus factores pri-mos: f(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8

A. 3x – 2B. 3x + 5

C. 3x + 2D. 3x + 4

26. Factorizar: x3 + x2y – x – y3 – xy2 + y; e indica la suma de sus factores.

A. 3x + 2yB. 3x + y

C. 6x + yD. x + 6y

27. Al factorizar el polinomio:

P(x) = (x4 – 1) (x4 – x2 + 1) + 2x3(x2 – 1)

Uno de los factores primos es:

A. x2 + x – 1B. x2 + 1

C. x2 + x + 1D. x + 1

28. Factorizar: a2 + b2x2 – (c2y2 – 2abx)

Uno de los factores primos es:

A. ac + bxyB. a + bx – cy

C. a – bx + cyD. a – bx – cy

29. Uno de los factores de:

E = ax2 – bx2 – axz + bxz + axy – bxy – ayz + byz , es:

A. a + bB. x + y

C. x – yD. y + z

30. Si al factorizar: x3 + 8x2 – x – 8; se obtiene: (x + a)(x + b)(x + c), donde: ab > 0; hallar: (a + b)c

A. – 8B. – 9

C. 9D. 8

Tarea domiciliaria

1. Factorizar: y2 + xy + xz + yz, indicando un factor primo.

A. y + zB. x + z

C. 2x + yD. x + 2z

2. Factorizar: x2(x + 5) + 6x(x + 5) + 9x + 45, indicando el factor primo que más se repite.

A. x + 2B. x + 5

C. x + 3D. x + 4

3. Factorizar: x6(x + a) – 9x4(x + a), indicando un factor primo.

A. x + 6B. x – a

C. xD. 2x – 6

4. Factorizar: (x – 3)(x – 2) – (x – 2)(1 – x) + 2 – x, indicando un factor primo.

A. x + 2B. x – 1

C. 2x + 5D. 2x – 5

5. Factorizar: x6 – x4y2 – x2y4 + y6; indicando cuántos facto– res primos cuadráticos tiene.

A. 2B. 1

C. 0D. 3

6. Factorizar: (25x2 – 16y2)(x2 – 4y2)(x4 – y4); indicando el número de factores primos.

A. 7B. 6

C. 5D. 4

7. Factorizar: xa + 6 + xa + x8 – x6 + x2 – 1, indicando el número de sus factores primos.

A. 3B. 2

C. 4D. 5

8. Factorizar: abx2 + (2a + 3b)x + 6; indicando un factor primo.

A. x + aB. x + b

C. ax + 3D. bx + 3

9. Al factorizar: 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2, indicar la suma de sus factores primos.

A. 8x + 3yB. 9y – 4x

C. 4x + 12yD. x + y

10. Calcular uno de los factores primos de:

ac(a + c) + ab(a – b) – bc(b + c)

A. a – cB. a + b

C. a – bD. a + b + c

11. Factorizar: x3 – x2 – 2x – 12, indicando la suma de los términos independientes de sus factores primos.

A. 2B. 3

C. –2D. 1

12. Factorizar: B(x) = (2x2 – 3x)2 – 14(2x2 – 3x) + 45, e indicar un factor primo.

A. 2x – 1B. 2x – 3

C. 2x + 3D. 2x + 1

13. Factorizar: P(x) = x3 + 3x2 – 10x – 24

A. (x + 2)(x – 3)(x + 4)B. (x + 2)(x – 3)(x – 4)

C. (x – 2)(x – 3)(x – 4)D. (x – 2)(x + 3)(x + 4)

14. Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x – 3 , e indicar un factor primo.

A. x + 1B. 2x – 3

C. 2x + 1D. 2x + 3

15. Factorizar: (x + 1)7(x2 + 1)10 – (x + 1)5(x2 + 1)11

Dar como respuesta el factor que más se repite.

A. x + 1B. x

C. x2 + 1D. x2 + 2

Trilce Católica

CicloCatólica

30

16. Factorizar: P(x; y) = [(x + z) (x – z) + 1]2 – 4x2 e indicar el número de factores primos.

A. 2B. 4

C. 5D. 3

17. Factorizar: x3 + 2 + x(2x + 1) y dar como respuesta la suma de sus factores.

A. x2 + x + 3B. x2 + 1

C. x + 2D. x2 + 3

18. Uno de los factores de: E = (5a + 3)3 – 8a3 , es:

A. 3a – 1B. 19a2 + 8a + 1

C. 39a2 + 12a + 1D. 13a2 + 12a + 3

19. Al factorizar: 6x2n + 1 + 5xn + 1 – 6x; indicar un factor primo.

A. 3xn – 2B. xn + 3

C. xn – 2D. 4xn – 1

20. Factorizar: P(x) = (x2 – 8x)2 – 13(x2 – 8x) + 36 e indicar un factor primo.

A. x2 – 8x + 9B. x2 – 8x + 4

C. x2 – 8x – 4D. x + 9

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 31

EXPrESiONES aLGEBraicaS raciONaLESA. FRACCIÓN ALGEBRAICA

Una fracción algebraica se define como la relación que existe entre dos polinomios, en la cual el denominador es un polinomio de grado no nulo y diferente de cero.

Denotado: P(x)Q(x)

; Q(x) ≠ 0

B. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Para simplificar fracciones algebraicas se realiza el si-guiente procedimiento:

a) Se factoriza el numerador "P(x)" y el denominador "Q(x)"

b) Se eliminan los factores iguales del numerador con los del denominador.

c) El resultado es una fracción irreductible.

C. MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (M.C.M.)

Para determinar el “mcm” se factorizan las expresiones y se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

D. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Para determinar el “MCD” se factorizan las expresiones y se toman los factores comunes con su menor exponente.

OPEraciONES cON fracciONES aLGEBraicaS

adición y sustracción:

PQ

± RS

= PS ± QR

QS

multiPlicación:

PQ

× RS

= PRQS

DiviSiÓN:

PQ

÷ RS

=

PQRS

= PSQR


1. Reducir: 3a – bb – 3a

A. 1

B. –1

C. 0

D. ab

2. Si: ab

= 23; ¿cuánto valdría: a + 1

2b + 3?

A. 13

B. 23

C. 14

D. 1

3. Reducir: (x – 1)(x – 2)(1 + x)(x + 1)(1 – x)(2 – x)

A. 1

B. –1

C. 0

D. xx + 1

4. Hallar el número de factores primos del MCM de:

P = x3 + x2 yQ = x2 – y2

R = x2 – 2xy + y2

A. 2B. 3

C. 4D. 5

5. Hallar el MCD de:

P = 5x3 – 5x2 + 2x – 2Q = 2x3 + 2x2 –2x – 2R = x4 + x3 – x2 – x

A. x2 – 1B. x – 2

C. x – 3D. x – 1

6. La suma de dos números es 15 y su producto 54. Calcular la suma de sus recíprocas.

A. 110

B. 518

C. 118

D. 29

7. Efectuar:

1 – xa + x 1 + xa

A. 2B. x

C. aD. 1

8. Simplificar:

1 – a– 1

a–1

– (1 – a–1)–1

A. a – 1a

B. aa – 1

C. a

D. aa +1

9. Reducir: x2 + xx – 2

–

x – 1–2 + x

+

x + 32 – x

A. x + 1B. x – 1

C. xD. 1

ÁLGEBRASemana 6

Trilce Católica

CicloCatólica

32

19. Efectuar: a2 – b2

a2 + b2 +

b2

a2 – b2 +

a2 + 3b2

a2 + b2 +

a2

b2 – a2

A. a – bB. a + b

C. 1D. 2

20. Efectuar: b2 – a2

a2 – b2 +

a2 – abab – b2

+

a – bab2 – a2b

– a2 – 1

ab

A. ab

B. ba

C. 1ab

D. –1

21. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar "M . N"

6x – Nx2 – 4

=

Mx – 2

+

Nx + 2

A. – 4B. – 2

C. 0D. 4

22. Efectuar: 1

x – 1 –

1x + 1

xx – 1

–

1x + 1

A. 1x2 + 1

B. 2x2 + 1

C. 3x2 + 1

D. x – 1x2 + 1

23. Efectuar: x + 12x2

+ 2y + 1

4xy – xy + 1

x2y

Indicar el numerador de la fracción resultante.

A. 3y + 4B. 3x + 4

C. x + 2y + 4D. x + 2y – 4

24. Efectuar: 4x2 + 8x – 52x2 + 5x – 3

+

x2 – x – 20x2 – 2x – 15

A. 13

B. 12

C. 1

D. 3

25. Efectuar: x + 2

–

6x + 3

x – 1 +

6

x + 6

Indicar la diferencia de los elementos de la fracción resultante.

A. 3B. – 3

C. ±3D. 2

26. Efectuar: 2x2 + 4x + 3

+

1x2 + x

+

1x2 + 3x

Indicar el numerador final.

A. x + 2B. x + 1

C. 4x + 2D. 4

10. Efectuar: x + zx – y

+ y – 3zy – z

+ z + yy – x

– z + yz – y

A. 1B. –1

C. 2D. 3

11. Reducir: (x + y)xy + x2(x + y)(x2 – y2)x + y(x2 – y2)

Indique la suma del numerador y el denominador de la fracción resultante.

A. 2x + 2yB. 2x

C. 2x – yD. x + 2y

12. Determinar el equivalente de la fracción:

x3 – x2y + x2 – xyx4 – x2y2 + x3 – xy2

A. 1x

B. 1x + 1

C. xx + y

D. 1x + y

13. Si:

1n2 – 1

=

An + 1

+

Bn – 1, hallar "A ÷ B"

A. –1

B. 12

C. 0

D. 1

14. Efectuar: 2x2 + x – 3x2 + 3x – 4

+ x2 + 10x + 9x2 + 5x + 4

A. – 3B. – 2

C. 3D. 1

15. Efectuar: (x2 – 3x)2 – (x + 1)2(x2 – 4x)2 – (2x + 1)2

Señalar la diferencia de los elementos de la fracción resultante.

A. 2xB. ± 2x

C. – 2xD. ± x

16. Efectuar: a3 – a2b(a – b)2

– a3 + b3

a2 – b2

A. – aB. – b

C. aD. b

17. Efectuar:

a2

b2 + ab +

b2

a2 + ab – ab

– ba

A. ab

B. ba

C. 1

D. –1

18. Efectuar: a2

b –

a3

ab + b2 – b2

a +

b3

ab + a2

A. a – bB. a + b

C. ab + 1D. ab – 1

Álgebra

Trilce Católica 33

27. Reducir:

x +

1

x – 1x

x – 1 +

1

x + 1

A. xx – 1

B. 1x2 – x

C. xx + 1

D. 1x2 + x

28. Efectuar:

3

1 +

1

1 + 1x

+

1

–1 +

3

1 – 1x

A. xB. 2x + 1

C. 2D. 4x + 1

29. Al efectuar: x2 – 1 – 1

x – 11

x2 – 1 – x + 1, se obtiene:

A. –x – 1B. – 1

x + 1

C. x + 1D. 1

x + 1

30. Efectuar: x + 12x – 2

–

x – 12x + 2

+

x2 + 1x2 – 1

–

4xx2 – 1

A. x + 1

B. x – 1x + 1

C. x + 1x + 2

D. 0

31. Simplificar: x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

x4 + x2 + 1

A. x + 1B. x + 2

C. x + 3D. x – 1

32. Simplificar: a5 – a4c – ab4 + b4ca4 – a3c – a2b2 + ab2c

A. a + b

B. a + b2

a

C. (a + b)2

D. a – b

33. Simplificar: x2 – x – 2x2 – x – 12

. x2 + 5x + 6

x2 + 3x + 2 . x – 4

x – 2

A. x + 2B. x – 1

C. x + 3D. 1

34. Efectuar:

3x2 + 11 + 6

x2 –

3x – 1x + 2

– x – 2x + 1

A. x + 3B. x + 2

C. x – 2D. – x – 3

35. Reducir: (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

(a + b)3 + (a – b)3 – 2a3

A. 1

B. – 1

C. ba

D. ab

36. Simplificar:

1a

+ 1b

–

xab (a + b + x)

1a2 + 1

b2 + 2ab – x2

a2b2

A. xB. 1

C. (ab)–1

D. ab

37. Calcular el valor constante que toma la fracción inde-pendiente de “x”:

(bc – a2)x + (ac – b)2(b + c)x + (a + c)

A. a – b – cB. a + b + c

C. a + b + 2cD. 1

38. Reducir: 3x3 – 2x2 – (a + 2)x – 63x3 – 5x2 – (a – 1)x + 6

Si admite como divisor común a: x2 + mx – 6

A. 3x + 13x – 2

B. 2x + 32x – 1

C. 6x + 26x – 1

D. 3x – 23x – 1

39. Reducir: a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

A. – 13B. – 3

C. 13

D. 3

40. Siendo “k” un entero no negativo:

Además: a ≠ b ≠ c ≠ 0

SK =

ak

(a – b)(a – c) +

bk

(b – c)(b – a) +

ck

(c – a)(c – b)

Determine el equivalente de: S0 + S3S1 + S2

A. 1B. a

C. a + b + cD. c

Tarea domiciliaria

1. Reducir: 4x – 1x – 3

– x + 63 – x

– 2x + 14–3 + x

A. 2B. 1

C. 3D. 0

2. Hallar el mcm de:

P = x2 – 4x + 3Q = x2 + 4x + 3R = x4 – 10x2 + 9S = x3 – 9x + x2 – 9

y dar como respuesta la suma de sus factores primos

A. 2xB. 3x

C. 4xD. 5x

Trilce Católica

CicloCatólica

34

3. Hallar el MCD de los polinomios:

P = x3 – 5x2 – x + 5Q = x4 + 4x3 – 4x – 1

A. x – 1B. x + 1

C. x2 – 1D. x2 + 1

4. Efectuar: a + ca – b

+ b – 3cb – c

+ c + bb – a

– c + bc – b

A. 1B. –1

C. 2D. 3

5. Hallar el valor de: (3x + 2y)2 – (3x – 2y)2(2x + 3y)2 – (2x – 3y)2

A. 1B. 24

C. xyD. 12

6. Reducir: R = x2

x + 1 –

2x3

x2 – 1 +

x2

x – 1

A. 0B. x

C. x2

D. x + 1

7. Reducir: x2 – 1x2 + x – 2

+ x2 + 5x + 4x2 + 3x + 2

Señalar el numerador de la fracción resultante.

A. x + 1B. 2x + 3

C. 2x + 5D. 2x – 3

8. Simplificar: B = 32a + 2

–

14a – 4

–

48 – 8a2

A. 47(a + 1)

B. 54(a + 1)

C. 4a + 12(a – 1)

D. 3aa + 1

9. Si:

7x + 26x2 + 7x + 10

=

Ax + 2

+

Bx + 5

hallar: A2 + B2

A. 1B. 5

C. 3D. 2

10. Efectuar: x + 1

– 3x + 7x + 2

x + 3 –

x + 3x + 4

A. x + 1x + 2

B. x + 2x + 1

C. x + 4x + 2

D. x – 2x + 1

11. Reducir:

1 – xy2 + x – y2

(1 + xy)2 – (x + y)2

A. 1 – x

B. 1 – 1x

C. x – 1

D. 11 – x

12. Efectuar: ab + b2

ab +

ab – b2

ab – a2

A. – ab

B. – ba

C. ab

D. 1

13. Reducir:

x2 + x – 2x2 + 2x – 3

+ x2 + 7x + 12x2 + 7x + 9

A. – 2B. – 1

C. 0D. 2

14. Simplifica:

1x

– 1y

1x

+ 1y

xy

– yx

A. 1B. – (xy)–1

C. xyD. (xy)–1

15. Simplificar: a(a + c) + b(c – b)c(a + c) + b(a – b)

A. a – bb + c

B. b – ca – b

C. a + ca + b

D. a + bc + b

16. Simplificar:

a3 – 25a2a3 – 8a2 – 10a

A. a – 52(a + 1)

B. a + 52(a – 1)

C. a + 5a + 1

D. a + 52(a + 1)

17. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar: M – N

6x – Nx2 – 4

=

Mx – 2

+

Nx + 2

A. – 4B. – 2

C. 0D. 4

18. Reducir: Q = a–2 – b–2

a–1 + b–1a–1 – b–1

a–2 . b–2–1

A. abB. (ab)2

C. (ab)–1

D. (ab)–2

19. Calcular “ab” si la fracción: a(x – y) + 12xy + b(x + y)3x + 4xy + 5y

es independiente de “x” e “y”.

A. 135B. – 36

C. 48D. – 48

20. Simplificar:

–a–a + –b

+

–b–a – –b

A. 1a – b

B. 1a + b

C. a – ba + b

D. a + ba – b

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 35

raDicaciÓN

Se llama radicación a la operación matemática a través de la cual, dada una variable real “x” y un número natural “n”, existe un tercer número “r” llamado raíz, siempre que: rn = x.

Es decir:

Si: xn = r → x = rn

Donde:

n: Índice (n ∈ IN; n ≥ 2)x: Radicando o cantidad subradical.r: Raíz n–ésima de “x”.

Ejemplos:

OO 273 = 3 → 27 = 33

OO –325 = –2 → –32 = (–2)5

OO4

181

= 13

→

181

= (13

)4

OO 102410 = 2 → 1024 = 210

n2 = n Se omite el índice

recuerda

ley de signos

# Positivo2n = +

# Negativo2n = ∃ en IR; número imaginario

# Positivo2n + 1 = +

# Negativo2n + 1 = –

teoremas:

Siendo {a; b} ⊂ R+0; n ∈ lN ≠ {1} entonces:

i. raíz de un producto abn = an . bn

ii. raíz de un cociente nab

=

an

bn (b ≠ 0)

iii. raíz de una raíz anm = amn

extraer un factor de un radical

Para extraer un factor del radical, se descompone el radicando en la multiplicación de otras cantidades, uno de los cuales tiene por exponente el mayor múltiplo del índice y se divide este exponente entre el índice de dicha raíz.

Ejemplo:

OO 180 = 22 . 32 . 5 = 22 . 32 . 5 = 2 . 3 . 5 = 6 5

OO 2703 = 2.33.53 = 23 . 333 . 53 = 23 . 3 . 53 = 3 103

OO a10b15c25 = a105 . b155 . c25 = a2b3 c25

introducir un factor en un radical

Para introducir un factor en un radical de índice ‘‘n’’, se elevará el factor a la potencia n–ésima y se multiplicará por el radicando.

Ejemplo:

OO 2 5 = (2)2 × 5 = 20

OO 6 23 = (6)3 × 23 = 4323

OO x2. y5 = (x2)5y5 = x10y5

cLaSificaciÓN DE LOS raDicaLES

radicales HeterogÉneos

Son aquellos radicales tales que sus índices son dife-rentes.

Ejemplo:

OO 23 ; 43

OO xy5 ; a7

OO 3x ; 2y3

radicales HomogÉneos

Son aquellos radicales que tienen igual índice.

Ejemplo:

OO 2 ; 3 ; x ; xy → Son homogéneos

Índice 2

OO 33 ; 2 x3 ; 5x y3 ; 7x x23 → Son homogéneos

Índice 3

OO 75 ; 3 25 ; x x25 ; xy xy5 → Son homogéneos

Índice 5

radicales semeJantes

Son aquellos radicales que además de tener el mismo índice, poseen la misma cantidad subradical.

ÁLGEBRASemana 7

Trilce Católica

CicloCatólica

36

Ejemplo:

OO a ; b a ; m a ; 3 a → Son semejantes

Índice: 2

Cantidad subradical: a

OO 2 xy5 ; 3 xy5 ; y xy5 ; mn xy5 → Son semejantes

Índice: 5

Cantidad subradical: xy

Escribe tres radicales semejantes a cada uno de los si-guientes radicales:

M = 2 a5 ; _______________________________

A = x x2y3 ; _______________________________

HomogeniZación de radicales

Para dos o más radicales heterogéneos que quisiéramos expresarlos con un índice común, bastará con que encuentres el m.c.m de los índices que será el nuevo índice.

Ejemplo:

OO 23 ; 5; 36 El M.C.M de (3; 2; 6) = 6

Luego: 223 × 2 ; 533 × 2 ; 36

46 ; 1256 ; 36

OPEraciONES cON raDicaLES

adición y sustracción

La suma o sustracción algebraica de radicales semejan-tes se efectúa como la de términos semejantes, es decir, se multiplica la suma de sus coeficientes por el radical común.

Ejemplo:

Calcular la suma indicada:

M = 4 2 – 2 18 + 3 32 – 50

resolución:

Primero simplificaremos los términos, en caso de que sea posible. Así tenemos:

M = 4 2 – 2 18 + 3 32 – 50

M = 4 2 – 2 9 × 2 + 3 16 × 2 – 25 × 2

M = 4 2 – 2 × 3 2 + 3 × 4 2 – 5 2

M = 4 2 – 6 2 + 12 2 – 5 2

M = (4 – 6 + 12 – 5) 2

M = 5 2

multiPlicación y división

Para multiplicar dos radicales primero se reducen al mismo índice, en caso de que sea necesario.

Ejemplo:

Multiplicar 23 por 3

resolución:

El M.C.M. de los índices 3 y 2 es 6; por tanto, converti-remos cada radical al índice 6. Así resulta:

23 = 213 = 2

26 = 46

3 = 312 = 3

36 = 276

De donde:

23 3 = 46 276 → 23 3 = 1086

La multiplicación de expresiones de dos o más términos, ya sea que algunos o todos contengan radicales, se efectúa al igual que con expresiones algebraicas ordinarias.

Ejemplo:

Multiplicar: 3 x + 2 y por 2 x – 3 y

resolución:

Se ordenan las expresiones y se procede como en la multiplicación ordinaria, la operación se dispone como sigue:

3 x + 2 y

2 x – 3 y

6x + 4 xy

– 9 xy – 6y

6x – 5 xy – 6y

Para dividir un radical entre otro, estos deben tener el mismo índice.

Ejemplo: Efectuar las divisiones indicadas:

a) 102

=

102

= 5

b) 333

=

276

96 = 36

c) x25

x7 =

x1435

x535 = x935

radicales doBles

Son aquellos radicales que se caracterizan porque dentro de un radical, se encuentran contenidos uno o más radicales con otras expresiones a través de operaciones de adición y sustracción.

Álgebra

Trilce Católica 37

Ejemplo:

OO A ± B

OO A + B + C + D

OO A ± B3

1 caso. radicales de la forma: A ± B

OO A ± B = x ± y ; (x > 0 ∧ y > 0, x > y)

Elevando al cuadrado:

A ± B = x + y ± 2 xy

De donde:

x + y = A4xy = B á x2 – Ax + B4 = 0

∴x = A ± A2 – B

2

Luego: A ± B = A + A2 – B

2 ±

A – A2 – B

2

Por lo tanto:

A ± B = A + C2

±

A – C2

Donde: C = A2 – B

Además: A2 – B es cuadrado perfecto

Ejemplo:

Transformar a radicales simples:

a) 11 + 3 8 ⇒ Se tiene: 11 + 8 × 32

⇒ C = 112 – 8 × 32 = 7

∴ 11 + 3 8 = 11 + 72

+ 11 – 7

2 = 3 + 2

b) 7 – 40 ⇒ C = 72 – 40 = 3

∴ 7 – 40 = 7 + 32

– 7 – 3

2 = 5 – 2

c) 3 + 5 ⇒ C = 32 – 5 = 2

∴ 3 + 5 = 3 + 2

2 + 3 – 2

2 = 52

+ 12

regla Práctica

También se puede transformar A ± B a radicales simples formando un trinomio cuadrado perfecto para lo cual debemos recordar lo siguiente:

( a ± b)2 = a + b ± 2 ab

Lo aplicaremos de la siguiente manera:

OO A ± B = a + b ± 2 ab = ( a ± b)2 = a ± b

a > b

Ejemplo:

OO 5 + 24 = 3 + 2 + 2 3 × 2 = 3 + 2

OO 7 – 40 = 5 + 2 – 2 5 × 2 = 5 – 2

OO 28 + 5 12 = 25 + 3 + 2 25 × 3 = 5 + 3

Es el procedimiento por el cual se transforma uno de los componentes de una fracción (numerador o denominador) que se encuentra en forma irracional en otra equivalente racional.

Por lo general, se emplea para eliminar la irracionalidad de los denominadores.

facTOr raciONaLiZaNTE (f.r.)

Se llama factor racionalizante a aquella expresión alge-braica irracional que multiplicada por el numerador y denomi-nador de una fracción permite que uno de estos se transforme en una expresión algebraica racional.

MI

×

F.R.F.R.

= M × F.R.Racional

↓ Expresión irracional

Casos que presentan:

caso i

Namn ; n > m; m, n ∈ IN; a ∈ R+

El factor racionalizante es: an – mn

∴

Namn

×

an – mn

an – mn =

N × an – mn

a

OO Ejemplo: Racionalizar el denominador de: 523

resolución:

523

×

223

223 =

5 43

2

OO Ejemplo:

Indicar el denominador, luego de racionalizar: 7

9 23

resolución:

7323 . 26

×

33 . 256

33 . 256 =

7 33 . 326

3 × 2 =

7 33 . 326

6

∴ El denominador es 6.

caso ii

Nf(x) ± g(x)

; f(x), g(x) ∈ IR+

Trilce Católica

CicloCatólica

38

expresión factor racionalizante Producto

f(x) + g(x) f(x) – g(x) f(x) – g(x)

f(x) – g(x) f(x) + g(x) f(x) – g(x)

O Ejemplo: Racionalizar el denominador de: 7

5 + 2

resolución:

75 + 2

×5 – 25 – 2

= 7( 5 – 2)

3 5

2 – 22

OO Ejemplo: Indicar el denominador racionalizado de:

55 – 1

resolución:

55 – 1

×

5 + 15 + 1

= 5( 5 + 1)

4 5

2 – 12


OO Ejemplo: Racionalizar el denominador de: 219x2 + 1 + x

resolución:

219x2 + 1 + x

×

x2 + 1 – xx2 + 1 – x

= 219( x2 + 1 – x) x2 + 1

2 – x2


EJErciciOS BáSicOS

1. Racionaliza las siguientes expresiones:

a) 53

= ____________________________________

b) 223

= ____________________________________

c) 334

= ____________________________________

d) 225

= ____________________________________

2. Racionalizar:

a) 1

3 + 2 =

________________________________

b) 2

7 – 5 =

________________________________

c) 1

2 + 1 =

__________________________________

d) 2

11 – 3 =

________________________________


Nivel i

1. Simplificar: 13 2 + 32 – 502 8 + 5 3 – 75

A. – 2B. 3

C. 2D. 1

2. Efectuar: ( 5 + 2)( 5 + 3) – ( 5 + 7)( 5 – 2) – 6 9

A. 1B. 0

C. 2D. – 2

3. Efectuar: 4 – 2 36 . 3 + 13 43

A. 23

B. 43C. 1D. 2

4. Reducir: 7 + 2 10 + 5 – 2 6 – 8 + 2 15

A. 1B. 3

C. 0D. 2

5. Reducir: 12 + 6 3 + 7 – 48

A. 1B. 3

C. 5D. 10

6. Simplificar:

28 – 6 3 + 12 – 6 313 – 4 3 + 7 – 4 3

A. 1B. 2

C. 0D. 3

7. Indicar la suma de las cuartas potencias de los radicales simples que se obtienen al descomponer:

3 3 + 2 6

A. 8B. 20

C. 15D. 12

8. Reducir: 1

5 + 2 6 +

2

8 + 2 15 –

37 + 2 10

A. 1B. 0

C. 2D. – 1

9. Efectuar:

1

8 + 6 +

1

6 – 2 +

1

2 + 2 –

12

A. 1B. 0

C. 2D. – 2

10. Al reducir: 934

resulta: 3a + 24 . Hallar: “a”

A. 1B. 3

C. 2D. 5

Nivel ii

11. Reducir: 6 + 4 7 + 2 6 – 7 – 2 6

A. 1B. 0

C. – 1D. 3

Álgebra

Trilce Católica 39

12. Reducir: 50 + 10 + 5 + 1 50 – 10 – 5 + 1

A. 2B. 4

C. 6D. 5

13. Simplificar: 3 + 2

2 + 3 – 2

2

33 + 23 93 – 63 + 43

A. 1B. 2

C. 3D. 4

14. Efectuar: 5 + 23 . 11 – 23 – 23

A. 1B. 2

C. 3D. – 2

15. Reducir: E = 6 +

12

+

13

+

33 + 2

A. 5 2B. 3 3

C. 3 + 2D. 3 6

16. Reducir: M = 605 2 – 2 5

+

35 + 8

A. 16 2 – 3 5B. 6 2 – 7 5

C. 4 2 – 7 5D. 12 2 + 3 5

17. Efectuar: 2 + 3 +

2 – 3

2 – 8143 6

A. 1B. 0

C. 3D. 2

18. Luego de transformar, indicar un radical simple en:

2m – 1 + 2 m2 – m – 6

A. 2mB. m + 3

C. m + 2D. m + 1

19. Reducir: 49 – 20 64 – 13 + 2

A. 1B. 0

C. 2D. 3

20. Efectuar: 3 + 7 13 – 7 –

5 – 7

A. 1B. 2

C. 4D. 3

nivel iii

21. Al reducir:

13 + 2

+

14 + 3

+

15 + 4

+ … + 1

20 + 19

resulta: a – b. Hallar: a – b

A. 2B. 20

C. 18D. 4

22. Reducir: 22 + 3

–

22 – 3

+

32 + 3

+

32 – 3

6

A. 1B. 8

C. 2D. 4

23. Reduce:

E =

13 + 2

+

14 + 3

+

15 + 4

+ … +

120 + 19

A. 5 – 2B. 2 5 – 2

C. 5 + 2D. 5 – 2 2

24. Si se cumple:

5x – 2 + 2 6x2 – 7x – 3 = ax + b + cx – a

Calcular: a + b + c

A. 4B. 5

C. 6D. 8

25. Indicar la suma de las cuartas potencias de los radicales simples que se obtienen al descomponer:

3 3 + 2 6

A. 8B. 20

C. 15D. 12

26. Si la expresión: 8

53 + 33 se reduce a: a3 + b3 + c3

siendo: a < b < c; hallar: a + c – b

A. 0B. 1

C. 2D. – 1

27. Simplificar:

x – y(x + y) + 2 xy

+

x – y(x + y) – 2 xy

A. 2 yB. 2 x

C. x + yD. x – y

28. Simplificar:

1x + 2 x – 1

+

1x – 2 x – 1

;

donde: 1 < x < 2

A. 2x + 2

B. 22 – x

C. 1

D. 2 x + 1x – 2

29. Luego de racionalizar: 21 + 2 + 3 + 6

resulta: a + b – c – d

Si: a; b; c; d ∈ Q; hallar: a + b + c + d

A. 10B. 15

C. 12D. 17

30. Simplificar: 7 113 + 72 24

2 2 – 1 – 4 2

A. 6B. 8

C. 9D. 0

Trilce Católica

CicloCatólica

40

11. Reducir: 2 + 3 + 2 – 3

A. 3B. 2

C. 6D. 5

12. Siendo: 3 + 5 = a2

+

b2; a > b > 0; hallar: a – b

A. 2B. 3

C. 4D. 6

13. Efectuar: 2 + 5 – 3 6 – 2 + 8 + 2 12

A. 2B. 1

C. 3D. 34

14. Reducir: 1

3 + 5 –

23 + 7

+

17 + 5

A. 3B. 0

C. 7D. 5

15. Reducir: 268 – 2 3 . 5 + 2 3

– 27

A. 0B. – 2

C. 2D. – 1

16. Efectuar:

23

1 – 3

3 – 1

3 –

13

– 1

+ 1

3 – 1

A. 3B. 1

C. – 1D. 0

17. Reducir: 3 + 74 13 – 7 – 5 – 7

A. 2B. 24

C. 4D. 1

18. Racionalizar:

63 + 5 + 8

e indicar el denominador.

A. 15B. 2

C. 5D. 3

19. Si la expresión: 43

183 + 123 + 83

se reduce a: m3 – n3 ; hallar: mn

A. 18B. 12

C. 20D. 24

20. Hallar el denominador racionalizado en: 2

2 + 2 – 24

A. 3B. 2

C. 6D. 9

Tarea domiciliaria

1. Reducir: ( 15 + 1)2 – ( 5 + 3)2

A. 4B. 7

C. 8D. 0

2. Reducir: ( 7 + 3)( 7 – 2) + ( 7 + 4)( 7 – 4) – 494

A. – 1B. – 8

C. – 4D. 0

3. Reducir: ( 23 + 1)( 23 – 1)( 43 + 23 + 1)( 43 – 23 + 1)

A. 4B. 3

C. 1D. 2

4. Efectuar: 9 – 80 – 4 – 12 – 7 – 40 + 1

A. 0B. 1

C. 2 – 3D. 3 – 2

5. Efectuar: 12 + 2 35 – 11 + 2 308 + 2 7 – 7 + 2 6

A. 1B. 2

C. 0D. –1

6. Transformar a un solo radical doble:

8 + 2 15 – 5 – 2 6

A. 6 + 40B. 7 – 2 10

C. 7 + 40D. 4 + 2 5

7. Reducir: 7 + 61 + 4 15 – 3

A. 5B. 0

C. 1D. 2

8. Reducir: x – 3 – 2x – 1 + 2 x2 – x – 6 + x + 2

A. 0B. x

C. x – 1D. 1

9. Efectuar:

3 – 2 2 + 5 – 2 6 + 7 – 2 12 + 9 – 2 20 + …

sabiendo que la expresión tiene 36 términos.

A. 37 – 1B. 1

C. – 1D. 0

10. Reducir: 2 5 + 21 – 10 + 2 21

A. 1B. 3

C. 0D. – 7

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 41

TEOrÍa DE EcUaciONES: EcUaciONES DE PrimEr GraDO

EcUaciÓN

Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas de por lo menos una variable y que se verifica para un determinado conjunto de valores asignados a sus variables.

Ejemplo:

OO 2x – 6 = 10 OO x2 – x – 6 = 0

ecuación lineal (ecuación de primer grado)

Es aquella ecuación polinomial de la forma:

ax + b = 0 ; a ≠ 0

Ejemplos:

OO 3x + 9 = 0 ⇒ ____ OO 7x – 5 = 0 ⇒ ____

conJunto solución de una ecuación (c.s.)

Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación.

Ejemplo:

OO x3 = x ⇒ C.S. = { }

cLaSificaciÓN DE LaS EcUaciONES

según sus soluciones

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracte-rísticas, siendo las principales:

ecuación comPatiBle

Es aquella que tiene un elemento en su conjunto solución

i. determinada: Tiene un número finito de soluciones. (a ≠ 0 y b ≠ 0)

OO 2x + 8 = x – 7 ⇒ x = –15

OO x2 – 1 = 0 ⇒ x = ___; x = ___

ii. indeterminada: Tiene un número infinito de soluciones. (a = 0 y b = 0)

OO 5x – 4 = 2x – 1 + 3x – 3

ecuación incomPatiBles:

Son aquellas que no tienen solución. (a = 0 y b ≠ 0)

O

O

x2

+ x3

= 5x6

+ 1

O

O

1x + 2

= 0


1. Hallar “x” en: 3x – 4 (x + 3) = 8x + 6

A. –2B. –1

C. –3D. 2

2. Resolver: 12

12

12

12

x – 1 – 1

– 1

– 1 = 0

A. 34B. 32

C. 30D. 24

3. Resolver: 5x – 2

3 =

x – 1

2 +

7x – 1

6

A. 1B. 2

C. 3D. Infinitas soluciones

4. Resuelve: x – 3

5 – 7x – 1

10 +

34

= 83

– x2

A. {–1}B. {1}

C. {3}D. φ

5. Hallar “x”: 10 – 3x + 56

= 31112

–

x24

A. 15

B. 7

C. 114

D. 425

6. Resolver: 11 +

1x +

12

=

11 +

11 +

13

¿Qué se puede afirmar de la inversa de la solución?

A. Es un número comprendido entre 0 y 1B. Es un número mayor que 1C. Es un número enteroD. Es un número comprendido entre –1 y 0

7. Hallar el valor de “a” en: 2ax + 5 – a = – 8x + 3a

A. 8x – 52(2 – x)

B. 4 – x8x – 3

C. 8x + 52(2 – x)

D. 8 – 5x2x

8. En: F = G M2

– N , despejar “N”.

A. MG + 2F2G

B. MG – 2FG

C. MG – 2F2G

D. 2M – FG2

ÁLGEBRASemana 8

Trilce Católica

CicloCatólica

42

9. Hallar el conjunto solución de:

8x – 4

–

7x – 3

=

8x2 – 7x + 12

A. {4}B. {3}

C. φD. lR


3 – 5 – 2x

2x =

4x – 3

4 +

4x2 + 1

3x

A. 1B. 2

C. IndeterminadoD. Absurdo

11. Resolver: 32

– 6x – 5x – 2

=

54 – 2x

A. 5B. 3

C. 1D. 4

12. Resolver:

3x + 2

–

5x2 – 4

=

3x – 2

+

xx2 – 4

A. –1B. –5

C. –9D. –17

13. Resolver:

2xx + 3

–

4x – 1

= 2x2 – 3x – 18x2 + 2x – 3

A. 1B. 2

C. IncompatibleD. Indeterminado

14. Hallar “x”: x + 6x + 2

– x + 1x – 3

= x – 5x – 1

–

xx + 4

A. 12

B. – 12

C. 13

D. – 13

15. Hallar “z”: zba

+ ba

= zab

+ ab

A. – 1B. – 2

C. 1D. 2

16. El área lateral del cilindro es: AL = 2πR(R + g); hallar “g”.

A. AL2p

– R

B. AL2pR

– R

C. AL2pR

– R

D. R + AL2pR

17. Resolver: 2 x – 4 + 1 = 5

A. 10B. 4

C. 5D. 8

18. Resolver: x + x2 – 32 = 8

A. 6B. 4


19. Resolver: x2 – 6x + 9 + x = 3

A. 3B. 4

C. 5D. 6

20. Resolver: x + 2 – x = 1

A. 12

B. 14

C. 5

D. 2

21. Resolver: 1 + x – 4 = x + 1

A. 6B. 13

C. 8D. 4

22. Hallar “1 – x” en: 5 + x + 5 – x5 + x – 5 – x

= 10

A. 10101

B. 100101

C. 5101

D. 1101

23. Resolver: x + 5 + x – 2 = 7

A. 11B. 7

C. 9D. 1

24. Resolver: x – a

b +

x – b

a = 2

A. aB. b

C. a – bD. a + b

25. Resolver: x + 1x – 1

= a + b + 1a + b – 1

A. aB. b

C. a + bD. a – b

26. Resolver: a(x – b) – b(x – a) = a2 – b2; a ≠ b

A. aB. b

C. a – bD. a + b

27. Si la ecuación: 2mx – 3

x – 1 +

3mx – 2

x + 1 = 2m + 3

se reduce a una ecuación de primer grado en “x”, ¿qué valor asume el parámetro “m”?

A. –1B. 2

C. 1D. –2

28. Con respecto al problema anterior, ¿cuál es la solución de la ecuación?

A. 32

B. 23

C. 52

D. 25

29. Resolver: ab 1 – ax

+ ba 1 –

bx = 1

A. aB. b

C. a + bD. a – b

30. Resolver: 2x + ab

– x – b

a =

3ax + (a – b)2

ab

indicar:

1 + ba x

A. bB. 2a

C. 2bD. b

Álgebra

Trilce Católica 43

31. Resolver: x – ab + c

+ x – ba + c

+ x – ca + b

= 3 , siendo “a”, “b” y

“c” ∈ lR+. Luego indicar el equivalente de:

E = (a + b – x)2c

A. aB. b

C. cD. 4abc

32. Resolver en “a”: 2a + x = x12 + x

12

A. xB. 2x

C. 4xD. 3x

33. En: 2h = L 32

–

L 36

, despejar “h”.

A. L 32

B. L 36

C. L 23

D. L 63

34. La ecuación de la parábola con vértice V = (h, k) y eje paralelo al eje “x” es: (y – k)2 = 4p(x – h). Hallar el valor de “h”.

A. y – k4p

+ x

B. x – (y – k)24p

C. x – (y – k)2

4p

D. (y – k)24p + x

35. Un cuerpo de masa “m” cayó a uno de los platillos de una balanza de resorte desde una altura “H”. El cuerpo se adhiere al platillo y comienza a oscilar armónicamente en dirección vertical. La amplitud de dichas oscilaciones

está dado por la siguiente fórmula: A =

mgk

1 +

2Hkmg

mH

despejar “H”.

A. 2mgkA2k2 – m2g2

B. A2k2 – m2g2

2mgk

C. 2mgkAk – mg

D. Ak – mg2mgk

36. Un cuerpo homogéneo y compacto colocado en un líquido con peso específico “y1” pesa “P1”; y colocado en un líquido con peso específico “y2” pesa “P2”. El peso espe-cífico “yc” del cuerpo está dado por la siguiente fórmula:

yc = P2y1 – P1y2

P2 – P1; hallar: y2

A. P1y1 – (P2 – P1)ycP2

B. P2y1 – (P2 – P1)ycP1

C. (P1 – P2)yc – P2y1P1

D. P2y1 – (P1 – P2)ycP2

37. Si la ecuación de primer grado:

(x – a)(2x + 1) + bx2 + 8x + 5 + a = 0

no tiene solución real, hallar: a + b.

A. 52

B. 5

C. 54

D. – 52

38. La ecuación: x + 1x – 3

+ x + 5x – 2

= 2x2 – x – 11x2 – 5x + 6

A. Admite como solución: x = 3B. Admite como solución: x = 1C. Admite como solución: x = 2D. No admite solución

39. Resolviendo: (a + 1)(x – a[(1 – a)x + a] – 1) = (a2 – 1) (a – 1)

se obtiene para “x” el valor:

A. 1B. 2

C. aD. 2a

40. Calcular el valor de “x” para que se cumpla:

x – xm

1 + 1m

–

m + 11x

(m – 1)

=

4m1 – m

A. m + 1B. m – 1

C. – (m + 1)D. 1 – m

Tarea domiciliaria

1. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

OO 30 – 22x + 16 – 12x = 24 – 20x + 38O

O

2x + 53

= x2 +1

O

O

x + 56

– 2x + 3

8 = 1 – 5x

12OO (x – 3)(x – 2) – (2x + 1)(x – 2) = –x(x + 3) + 5

2. Resolver para “x”: x(a + b) – 3 – a(a – 2) = 2(x – 1) – x(a – b)

Siendo “a” y “b” números impares positivos; ¿qué pode-mos afirmar siempre de la solución?

A. Es un número imparB. Es un número parC. Es un cuadrado perfectoD. Es un número positivo

3. Resolver: x + 32

– x – 14

= x + 63

A. 1B. –2

C. 2D. –3

4. Resolver: x – 2

4 + 3x – 5 = 3(x + 1) – 12, señale “2x”.

A. 23

B. 24C. 25

D. 26

Trilce Católica

CicloCatólica

44

5. Resolver: 2x + 75x + 2

= 2x – 15x – 4

A. 1314

B. 1413

C. – 1314

D. – 1413

6. Resolver: 2x + 14 – 3x

+ 6x + 19x – 3

= 0

A. – 1

B. 24

C. – 124

D. – 24

7. Resolver: x + 12x + 1

+ 2x + 3x + 1

= 52

A. – 35

B. 35

C. – 1

D. 53

8. Resolver: 5 + 13 + 7 + x = 3

A. 1B. 36

C. 25D. 4

9. Resolver: x2 – 6x + 9 + x = 3

A. 3B. 4

C. 5D. 6

10. Resolver: 4x – 3 + x + 2 = 9x + 1

A. 5B. 6

C. 7D. 8

11. Hallar “x” en: x + 13 + x – 13 = 2( x + 13 – x – 13 )

A. 1314

B. – 1314

C. 1413

D. – 1413

12. Hallar “a” en función de “x”: 5x + a + 6x5x + a – 6x

= 4

A. 3x40

B. – 3x40

C. 35x3

D. 3x4

13. Resolver las siguientes ecuaciones literales de primer grado:

Ox + p

q – 1 = x – q

p + 1

Ox – m

n – x – n

m = m

2 + n2

mn

Om(x – m)

n = x – n(x – n)

m

Ox

m + n + x – m

n + x – nm = 3

14. Resolver en “x”: x – ba

– x – ab = a

2 + b2

ab

A. b2

b – a

B. b2

a + b

C. b2

a – b

D. 2b2

b – a

15. Resolver en “x”: a + 1x + b

– a – ba – x = b + 1

x + b

A. a – ba + b

B. a + b2

C. a + ba – b

D. a – b2

16. Al resolver: (5 + a)x5 – a

+

15 + a

=

2a2 – 25

–

1a – 5

+ (5 – a)x

5 + a

Se obtiene:

A. x = a

B. x = a + 1a

C. x = a – 110a

D. x = a – 120

17. Resolver en “x”: a +1(a + b)2

x + a + 1(a – b)2

=

a + 1a2 – b2

+

a + 1(a – b)2

x

A. a + ba

B. a + b2a

C. a + ba + 1

D. a – ba + 1

18. En: S = [2a + (n – 1)r]n2, despejar “r”

A. 2(S + an)n – 1

B. 2(S + an)n(n – 1)

C. 2(S – an)n(n – 1)

D. S – an2(n – 1)

19. En: q = n2 + pnp – n , despejar “p”

A. n2 + qnq + n

B. qn + n2

q – n

C. n2 – nqq – n

D. n2 + nqn + q

20. Se tiene un cajón cuya fuerza de gravedad “W” reposa sobre un plano horizontal. Si la fuerza mínima (F) que se necesita para moverlo con un ángulo de inclinación

constante: “θ” es: F = Wm

m2 + 1 , despejar “µ”

qm

F

A. F

W2 – F2

B. F

F2 – W2

C. F

W – F

D. F

F – W

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 45

Sea la ecuación cuadrática: P(x) = ax2 + bx + c = 0; con a ≠ 0. Si el polinomio “P(x)” no es factorizable por los métodos usados anteriormente, entonces podemos usar la siguiente fórmula:

x1; 2 = – b ± b2 – 4ac

2a (1)

donde: b2 – 4ac = ∆: discriminante de la ecuación cuadrática.

Entonces:

C.S. =

– b + D2a

; – b – D

2a

Ejemplo

OO Resolver: 2x2 + 3x – 4 = 0

resolución:

Identificando coeficientes: a = 2; b = 3; c = – 4

Calculando el discriminante:

∆ = b2 – 4ac = (3)2 – 4(2)(–4) = 41

Reemplazando en (1) obtenemos:

C.S. = – 3 + 414

; – 3 – 41

4

análisis de las raíces

El tipo de raíces de la ecuación: P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0, se puede determinar calculando el valor del discriminante.

1. Si: D > 0; entonces las raíces son reales y diferentes.2. Si: D = 0; entonces las raíces son reales e iguales

(solución única).3. Si: D < 0; entonces las raíces son no reales (imaginarias

conjugadas).

ProPiedades de las raíces

En la ecuación: P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0, de raíces: “x1” y “x2” se cumple:

1. Suma de raíces: x1 + x2 = –

ba

2. Producto de raíces:

x1 . x2 = ca

3. Diferencia de raíces: x1 – x2 = Da x1 > x2

Ejemplo

OO Calcular el valor de “k” en la ecuación:

(k + 1)x2 – (k + 8)x + 10 = 0,

para que la suma de las raíces sea 9/2.

resolución:

Identificando: a = k + 1; b = – (k + 8); c = 10

De la propiedad: x1 + x2 = – ba

; entonces: 92

= k + 8k + 1

; de

aquí: k = 1

oBservaciones:

Sea: P(x) = ax2 + bx + c = 0, cuyo C.S. = {x1; x2}

1. Para hallar la diferencia de raíces también podemos utilizar la identidad de Legendre:

(x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1x2

2. Raíces simétricas: Llamamos así a las raíces cuya suma es cero.

Si “x1” y “x2” son simétricas (opuestas) entonces:

x1 + x2 = 0 ⇒ b = 0

3. Raíces recíprocas: Llamamos así a las raíces cuyo pro-ducto es la unidad.

Si “x1” y “x2” son recíprocas (inversas) entonces:

x1 . x2 = 1 ⇒ a = c

4. La ecuación: ax2 + a = 0; tiene raíces simétricas y recí-procas a la vez.

PrOBLEmaS rESUELTOS

1. Resolver: 2x2 – x – 2 = 0

resolución:

Identificamos: a = 2; b = – 1; c = – 2

Reemplazamos en la fórmula:

x = – b ± b2 – 4ac2a

= – (–1) ± (–1)2 – 4(2)(– 2)

2(2)

x = 1 ± 1 + 16

4 =

1 ± 17

4

Entonces: C.S. = 1 + 17

4; 1 – 17

4

EcUaciONES DE SEGUNDO GraDO cON UNa iNcÓGNiTa

ÁLGEBRASemana 9

Trilce Católica

CicloCatólica

46

2. Calcular el discriminante de: x2 + 5x – 1 = 0

resolución:

El valor del discriminante está dado por: D = b2 – 4ac

Luego: D = (5)2 – 4(1)(– 1) = 25 + 4

Entonces: D = 29

3. ¿Qué tipo de raíces tiene la ecuación: x2 – x + 6 = 0?

resolución:

Calculemos el discriminante:

D = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)(6) = 1 – 24 ⇒ D = – 23

Como el valor del discriminante es negativo, las raíces serán complejas y conjugadas.

4. Calcular la suma y el producto de raíces de: 3x2 – x + 7 = 0

resolución:

Aplicamos las fórmulas para la suma y producto de raíces:

Suma = – ba; Producto:

ca

Reemplazando:

Suma de raíces = – (–1)

3 =

13

Producto de raíces = 73

5. Si: 2x2 – 5x + 1 = 0; tiene C.S. = {x1; x2}.

Calcule: G = 1x1

+ 1x2

resolución:

Operamos lo pedido: G = 1x1

+ 1x2

= x1 + x2

x1x2

Pero: x1 + x2 = – ba; x1x2 =

ca

Luego:

–ba

= – bcc

a

Reemplazando: G = – (–5)

1 = 5


nivel i

1. Resolver: x(4x – 3) = 3x(x – 2) + 4

Dar como respuesta la suma de las raíces.

A. 3B. – 3

C. 4D. 1

2. Resolver: (x – 2)2 – 4(x – 2) + 3 = 0

A. C.S. = {3; 5}B. C.S. = {– 5; – 3}

C. C.S. = {1; 3}D. C.S. = {– 3; 5}

3. Resolver: (x + 1)2 = 2(1 – x) y dar como respuesta la mayor de sus raíces.

A. 2 + 5B. 1 + 2

C. – 2 + 5D. – 1 + 2

4. ¿Cuántas soluciones reales existen en: x2 + x + 1x2 + 6x – 5

= 0?

A. 2B. 0

C. 4D. 5

5. Resolver: (x – 5)4 + 36 = 13(x – 5)2 y dar como respuesta la suma de las soluciones.

A. 18B. 12

C. 20D. 16

6. Calcular “x” en: 72(7 x – 342) = 7 x – 1

A. 1B. 9

C. 36D. 4

7. Dada la ecuación: 110x

+

1102x – 1

= 15

Hallar la suma de los valores de “x”.

A. – 5B. – 10

C. 5D. 1

8. Dada la ecuación: x2 – 13x – 1 = 0, con raíces “r” y “s”.

Hallar: 1

1 + 1r

+

1

1 + 1s

A. 1311

B. 1225

C. 1113

D. 2513

9. ¿Para qué valores de “k”, la ecuación:

(2k + 1)x2 + 3(k – 1)x – k + 1 = 0, tiene raíces iguales?

A. 517

B. 517

; 1

C. 1; 175

D. –1; 517

nivel ii

10. Si una de las raíces de la ecuación: x2 + (a – b)x + c = 0 es el inverso aditivo de la otra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. a = cB. b = 0

C. a = bD. b = c

11. Si las raíces de la ecuación: x2 – Bx + C = 0, son iguales a 3, calcula las raíces de: x2 – Bx + C = 25.

A. – 8; – 2B. – 2; 8

C. – 8; 2D. 2; 8

Álgebra

Trilce Católica 47

12. Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación de variable “x”: (2k + 2)x2 + (4 – 2k)x + (k – 2) = 0, sabiendo que el producto de sus raíces es 1.

A. – 2B. – 1

C. 1D. 2

13. Si al resolver: 2kx + 2x

= x + 1x – 1

Se obtiene que una raíz es el doble de la otra. Indicar la mayor raíz de la ecuación.

A. 43

B. 23

C. 32

D. 65

14. Forma la ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

x1 = m + m2 – 1

x2 = m – m2 – 1

A. 2x2 – mx + 2 = 0B. 2x2 – 4mx + 2 = 0

C. 2x2 – 2mx + 1 = 0D. 2x2 – 2mx + 2 = 0

15. Sea “A” la suma de las raíces de: ax2 + bx + c = 0 y “B” la suma de las raíces de: a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = 0, entonces “B – A”, es:

A. – 2B. – 1

C. 0D. 1

16. Si “x1” y “x2” son raíces de: x2 – 3x + 1 = 0; calcular:

(x1x2 + x2

x1)(x1x1 + x2

x2)

A. 12B. 18

C. 20D. 21

17. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

aa + 1;

a

a – 1

A. (a + 1)x2 – 2ax + a = 0B. (a – 1)x2 + 2ax – a = 0C. (a – 1)x2 – 2ax + a = 0D. ax2 – 2ax + a = 0

18. Si el discriminante de una ecuación cuadrática de coefi-cientes enteros es un cuadrado perfecto, podemos afirmar que las raíces son:

A. Reales igualesB. Racionales e igualesC. Racionales y desigualesD. Irracionales y desiguales

19. Sean “a”, “b” y “c” números reales tales que las raíces de la ecuación: x2 + ax + b = 0; son “r1” y “r2” y las raíces de

la ecuación: x2 + 3x + 3c = 0; son: r1r2

y r2r1

. Calcular: a2

bc

A. – 13

B. – 3

C. 13

D. 1

nivel iii

20. Sea la ecuación cuadrática: (mm + 2 – 1)x2 + 30x + 15 = 0, de raíces recíprocas “a” y “b”.

Calcular: E = mab – a – b

A. 2B. – 2

C. – 3D. 1

21. Sea la ecuación cuadrática: x2 – mx + m – 1 = 0; (m > 1). Indique la diferencia entre el mayor y menor valor de “x”, si el discriminante es igual a la suma de raíces.

A. 2B. 3

C. 1D. 0

22. Calcular la suma de raíces de la ecuación:

x2 – Dx + D = 0; D > 0 (D → discriminante)

A. 3B. 2

C. 5D. – 2

23. Si (a; b) son las raíces de la ecuación: 4x2 – 2mx + n = 0, entonces el valor de:

(a – a3)(b – b3)(1 – ab)2 – (a – b)2, será:

A. m2

B. – 2m

C. n4

D. 2mn

24. Si la ecuación: abx2 + bax + ab . ba = 0; tiene raíces igua-

les, calcular: E = a2b

ba

A. 4

B. 2

C. 12

D. 14

25. Determinar el conjunto solución al cual pertenece “k”, si la ecuación cuadrática: x2 + (1 – k)x + 2(k – 3) = 0 tiene dos raíces reales diferentes.

A. ]5; + ∞[B. ]– ∞; – 5[ ∪ ]5; + ∞[

C. [5; + ∞[D. lR – {5}

26. Hallar la suma de los valores de “k” de modo que las raíces de la ecuación: 4x2 – 16x + k2 = 0, sean iguales.

A. – 3B. – 2

C. – 4D. 0

27. Formar la ecuación de segundo grado con raíces:

x1 = 6 – 13; x2 = 6 + 13

A. x2 – 12x + 23 = 0B. x2 + 12x – 23 = 0

C. x2 – 23x + 12 = 0D. x2 + 23x – 12 = 0

Trilce Católica

CicloCatólica

48

28. De: 2x2 + mx + 30 = 0; hallar “m” (m < 0), si se cumple:

x1x2

= 35

; donde “x1” y “x2” son raíces de la ecuación.

A. – 9B. – 16

C. – 25D. – 4

29. Resolver: 1

x + 3a + 1

x + 4b (2x + 3a + 4b) = 92

Indicar una solución.

A. 4b – 6aB. 6a – 4b

C. 2a – 3bD. 3a2 – 3b2

Tarea domiciliaria

1. En la ecuación: x2 + 6x – m = 0; hallar “m”, si una raíz es – 2.

A. – 4B. – 6

C. – 8D. 2

2. Sea la ecuación: 2x2 – mx + (m + 1) = 0; la suma de raíces es 4. Indicar el producto de dichas raíces multiplicado por cuatro.

A. 12B. 14

C. 15D. 18

3. Si “x1“ y “x2“ son las raíces de la siguiente ecuación:

x2 – (m – 1)x + m + 1 = 0,

calcular el valor de: m + 33 ; si se verifica:

1x1

+

1x2

= 23

A. 1B. 2

C. 3D. 73

4. Formar la ecuación de segundo grado, sabiendo que sus raíces son:

x1 = 5 + 11; x2 = 5 – 11

A. x2 – 5x = 0B. x2 – 10x + 11 = 0

C. x2 – 2x + 7 = 0D. x2 – 10x + 14 = 0

5. Hallar “a”, si la ecuación tiene raíces iguales:

x2 – 2x + (a – 7) = 0

A. 1B. 2

C. 8D. 9

6. Hallar “n” para que la siguiente ecuación de segundo grado tenga como suma de raíces 8:

(2n – 3)x2 – (15n + 10)x + n – 2 = 0

A. 32

B. – 105

C. 34

D. – 13

7. ¿Qué relación debe haber entre los coeficientes de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; para que una raíz sea el doble de la otra?

A. b2 = 3acB. 2b2 = 9ac

C. b2 = 9acD. 2b2 = 3ac

8. La suma de las raíces de: mx2 – (2m – 3)x + m + 3 = 0, es 9/5. Hallar el producto de raíces.

A. 75

B. 65

C. 56

D. 57

9. Hallar “n” para que el producto de raíces sea 6 en la ecuación:

(2n – 7)x2 – (2n + 1)x + 10n + 40 = 0

A. 82B. 40

C. 41D. 6

10. Hallar el valor de “m” en la ecuación:

x2 + (2m + 5)x + m = 0, si una raíz excede a la otra en tres unidades.

A. 1B. – 1

C. – 2D. – 3

11. Dado el conjunto:

A = {x ∈ IR / x2 – 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0}

Hallar los valores de “m” para que “A” sea un conjunto unitario. (m ∈ IR)

A. 3 y 109

B. 3 y – 29

C. 2 y – 109

D. 1 y – 109

12. Siendo “x1” y “x2” raíces de: mx2 – (m + 1)x + m + 2 = 0, hallar “m” si se cumple: (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 8

A. 1B. 2

C. 4D. 8

13. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:

x2 – (m + 7)x + 25 = 0; son iguales. (m > 0)

A. 6B. 4

C. 3D. 2

14. Hallar: x–12 + x–1

1 ; si “x1” y “x2” son las raíces de:

x2 – 2x + 3 = 0

A. 23

B. – 23

C. 32

D. – 32

Álgebra

Trilce Católica 49

15. Dada la ecuación: (n – 2)x2 + (n + 1)x + 4 = 0; podemos afirmar que:

I. Si: n = 0; la suma de raíces es 1/2.II. Las raíces son recíprocas si: n = 6III. Tiene solución única solo para: n = 3 ó n = 11

A. V V VB. V V F

C. V F FD. F F V

16. Si “a” y “b” son raíces de la ecuación: x2 – 2013x – 2011 = 0, calcular: K = a2 + b2 + a2b2 + 2ab(a + b + 1)

A. 1B. 4000

C. 400 000D. 4

17. Dada la ecuación: 2x2 + mx + 30 = 0; para qué valor de “m” (m < 0) la relación de las raíces es:

x1x2

= 35

A. – 9B. – 25

C. – 4D. – 16

18. Calcular los valores de “p” e indicar su suma en la ecua-ción: 2px2 + 3x + p = 0, si una raíz es el doble de la otra.

A. 4B. 8

C. 10D. 0

19. Sabiendo que “x1” y “x2” son raíces de: 2x2 – 2x + 1 = 0, hallar:

M =

x1x2

x2x1 –

x2x1

x1x2

A. – 1

B. – 2

C. 0

D. 12

20. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son:

x1 =

3 33 + 3 – m

; x2 =

3 33 – 3 – m

A. mx2 – x – 13 = 0B. mx2 – 18x + 27 = 0

C. mx2 – 9x + 27 = 0D. mx2 – 9x + 3 = 0

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 51

sistema de ecuaciones. Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas.

solución de un sistema. Conjunto de valores de todas sus incógnitas que al ser sustituido en las ecuaciones las convierte en identidades.

sistemas equivalentes. Son aquellos que a pesar de tener ecuaciones diferentes aceptan las mismas soluciones.

cLaSificaciÓN DE LOS SiSTEmaS

i. atendiendo sus soluciones

1. sistema compatible: Cuando existe solución.

Ejemplo:

El sistema: x + y = 6 x – y = 2

es compatible, su solución es: x = 4; y = 2

2. sistema incompatible: Cuando no existe solución.

Ejemplo:

El sistema: x + 3y = 10 x + 3y = 10

es incompatible, por que no hay ningún par de valores de “x” e “y” que verifique ambas.

ii. atendiendo al nÚmero de ecuaciones con el nÚmero de incógnitas

1. sistema determinado. Cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de incógnitas.

2. sistema indeterminado. Cuando el número de ecuacio-nes independientes es menor que el número de incóg-nitas, estos sistemas se caracterizan por tener infinidad de soluciones.

3. sistema incompatible, imposible, absurdo o inconsis-tente. Cuando el número de ecuaciones independientes es mayor que el número de incógnitas.

oBservación:

Se denomina ecuaciones independientes, si los coefi-cientes de una misma incógnita no son proporcionales.

resolución de sistemas de Primer grado

El método que mayormente se utiliza es el denominado método algebraico que consiste en realizar transformaciones lineales con las ecuaciones del sistema para eliminar progre-sivamente las incógnitas.

La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación genera cuatro procedimientos:

A. SustituciónB. Igualación

C. ReducciónD. Gráfico

SiSTEma DE PrimEr GraDO cON DOS iNcÓGNiTaS

Forma normal:

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

donde: “a1”, “a2”, “b1”, “b2”, “c1” y “c2”; son números reales.

i. mÉtodo de sustitución

Se resume en los siguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.b) En una ecuación, suponiendo conocida una incógni-

ta, hallar el valor de la otra (esta operación se llama despejar una incógnita).

c) Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema, obteniendo así una ecuación con una incógnita.

d) Resolver la ecuación obtenida.e) Sustituir la solución obtenida en la expresión de la

otra incógnita.

Ejemplo

Resolver: 5x – 2y = 4 ............ (I) 3x + y = 9 ............ (II)

resolución

Si en la segunda ecuación suponemos conocida la incóg-nita “x”, obtenemos: y = 9 – 3x; y la solución general de esta ecuación está dada por el par: {x; 9 – 3x}.

Si esta fuera también solución del sistema, sustituida en la primera ecuación tendrá que verificarse la igualdad:

5x – 2(9 – 3x) = 4

Obtenemos así una ecuación de primer grado con una incógnita, que podemos resolver fácilmente:

5x – 18 + 6x = 4 11x = 22 x = 2

Si ahora sustituimos el valor de “x” en [II], podemos hallar el correspondiente valor de “y”.

y = 9 – 3 [2] = 9 – 6 = 3

La solución del sistema vendrá dada por el par (2; 3).

SiSTEma DE EcUaciONES

ÁLGEBRASemana 10

Trilce Católica

CicloCatólica

52

ii. mÉtodo de igualdad

Podríamos resumir este método de igualación con los siguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.b) Despejar en las ecuaciones la misma variable.c) Igualar las dos expresiones de la variable despejada.d) Resolver la ecuación obtenida.e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las

expresiones de la otra incógnita.

ejemplo:

Resolver el siguiente sistema: x + 3y = 10 ........... (1)

2x + 54y = 1 ............. (2)

resolución:

Al aplicar este método también conviene observar cuál es la incógnita que más fácilmente se despeja en las dos ecuaciones, en este caso es “x”. Se tiene así:

De (1): x = 10 – 3y .................. (3)

De (2): 2x = 1 – 54

y ⇒ x = 1 – 5

4y

2 ................... (4)

Igualamos los segundos miembros de (3) y (4); es decir:

10 – 3y = 1 – 5

4y

2

Se resuelve la ecuación en “y”, que hemos obtenido quitando el denominador 2, se tiene:

(10 – 3y)2 = 1 – 54

y

efectuando la operación indicada en el 1er. término:

20 – 6y = 1 – 54

y

Es decir: – 6y + 54

y = 1 – 20

O sea: – 194

y = – 19

de donde: – y = (–19)419

– y = – 4

Luego: y = 4

Sustituimos “y” por su valor 4, en la expresión (3) o en la (4).

En nuestro caso es más cómodo en la (3). Así resulta:

Es decir: x = 10 – 3(4)

O sea: x = 10 – 12

x = – 2

Luego la solución es: (– 2; 4)

iii. mÉtodo de reducción

Este método llamado también de eliminación, se resume en los siguientes pasos:

a) Reducir el sistema a su forma normal.b) Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones

por ciertos números, de tal forma que los coeficientes de una incógnita sean opuestos.

c) Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro.d) Resolver la ecuación obtenida.e) Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las

dos ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita.

ejemplo:

Resolver:

2x – 3y = 5 3x + 4y = 7

resolución:

Para eliminar “y”, basta multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y sumar ordenadamente:

4 . (2x – 3y = 5)3 . (3x + 4y = 7) á

8x – 12y = 209x + 12y = 21

17x = 41

x = 4117

Para eliminar “x”, podemos multiplicar la primera ecua-ción por – 3 y la segunda por 2, y como tiene igual signo, cambiamos de signo a todos los términos de la primera:

–3 . (2x – 3y = 5)2 . (3x + 4y = 7) á –6x + 9y = –15

6x + 8y = 1417y = –1 ⇒ y = – 1

17

Entonces la solución es: 4117

; – 1

17

iv. mÉtodo gráfico

Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas dado, las dos rectas que representan las ecuaciones. La solu-ción del sistema viene dada por las coordenadas (x, y) del punto de intersección de ambas. De la Fig. (a) se deduce que la solución del sistema formado por (1) 2x – y = 4 ∧ (2) x + 2y = – 3 es: x = 1, y = – 2, ó bien (1; – 2).

2x –

y =

4

x + 2y = – 3

x

y

(1; –2) Figura (a)

Si las rectas son paralelas, el sistema de ecuaciones es incompatible, es decir, no tiene solución. Por ejemplo, el sistema formado por (3) x + y = 2 ∧ (4) x + y = 4 es in-compatible, como indica la Fig.(b). Obsérvese que si se

Álgebra

Trilce Católica 53

multiplica la ecuación (3) por 2 se obtiene: 2x + 2y = 4 que evidentemente, es incompatible con (4).

x + y = 2 2x + 2y = 8

x

y

Figura (b)

Las ecuaciones dependientes están representadas por una misma recta. Por consiguiente, todos los puntos de la recta constituyen una solución y, en definitiva, el sistema tendrá infinitas soluciones. Por ejemplo, (5) x + y = 1 ∧ (6) 4x + 4y = 4 son ecuaciones dependientes; obsérvese que si se multiplica por 4 la ecuación (5) se obtiene la ecuación (6).

x + y = 14x + 4y = 4

x

y

Ecuaciones dependientes(5) x + y = 1Figura (c)

sistema de Primer grado con tres o más incógnitas

Un sistema de primer grado de tres ecuaciones con tres incógnitas se presenta bajo su forma normal:

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3

En una de las tres ecuaciones podremos despejar una incógnita y sustituirla en las otras dos: se obtiene de esta forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver. Las soluciones obtenidas se sus-tituyen en la expresión de la primera incógnita despejada, hallando así su valor.

Ejemplo:

Resolver el sistema: 3x – 4y – 2z = 2 ........... (1) x + 5y + 3z = 5 ........... (2) 2x + y – z = 11 ......... (3)

resolución:

En la segunda ecuación, despejamos “x”: x = 5 – 5y – 3z

Sustituimos el valor de esta incógnita en las otras dos ecuaciones:

3(5 – 5y – 3z) – 4y – 2z = 2 – 19y – 11z = – 13 (a)

2(5 – 5y – 3z) + y – z = 11 – 9y – 7z = 1 (b)

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

–9(a) ⇒ 171y + 99z = 117 19(b) ⇒ – 171y – 133z = 19 – 34z = 136 z = – 4

–7(a) ⇒ 133y + 77z = 91 11(b) ⇒ – 99y – 77z = 11 34y = 102 y = 3

Sustituimos los valores de “y” ∧ de “z” en la expresión de “x”.

x = 5 – 5(3) – 3( – 4) = 2

La solución del sistema será: {x, y, z} = {2; 3; – 4}

ProBlemas resueltos

1. Hallar “x + y + z”, si “x”, “y”, “z” son las soluciones posi-tivas del sistema:

x + y = 12 .................... (1) y + z = 8 ...................... (2) xz = 21 .................... (3)

resolución

Multiplicamos (1) por “z”:

(por (3)) ⇒ xz + yz = 12z

21 + yz = 12z ⇒ yz = 12z – 21 ............. (a)

Multiplicamos (2) por “z”:

(ver (a)) ⇒ yz + z2 = 8z 6444478

12z – 21 + z2 = 8z

Así obtenemos una ecuación de segundo grado:

“Aplicando: aspa simple”

z2 + 4z – 21 = 0↓ ↑ ↓z +7z –3

Luego:

z1 = –714243

Esta solución es descartada, pues las soluciones son positivas.

; z2 = 3

En (a) reemplazamos: z2 = 3: 3y = 36 – 21 ⇒ y = 5

Reemplazando en (1): x + 5 = 12 ⇒ x = 7

Luego: x + y + z = 15

2. Resolver el sistema:

x2

= y3

= z6

; x2 + y2 + z2 = 1

Trilce Católica

CicloCatólica

54

resolución

Por dato tenemos:

x2

= y3

= z6

así tenemos

x2

= y3

y3

= z6

⇒ x =

2y3

6y3

= z ⇒ z = 2y

Estos resultados los aplicamos en el otro dato:

x2 + y2 + z2 = 1 ↓ ↓ ↓

2y3

2 + y2 + 4y2

⇒

4y2

9 + y2 + (2y)2 = 1

49y2 = 9

y2 = 9

49 ⇒ y = ± 3

7

Así tenemos: x = ± 27

; z = ± 67

Luego la respuesta es: x = ± 27

; y = ± 37;

z = ± 67

3. En el siguiente sistema de ecuaciones:

xy(x + y) = 420 ....... (1) x3 + y3 = 468 ....... (2)

Hallar “2x + 2y”.

resolución

Multiplicamos (1) por (3): 3xy(x + y) = 1260

Ahora sumamos con (2):

3xy(x + y) = 1260 + x3 + y3 = 468 –––––––––––––––– –––– x3 + y3 + 3xy(x + y) = 1728 (x + y)3 = (12)3 ⇒ x + y = 12

Luego la respuesta es: 2(x + y) = 2(12) = 24

4. Si: x – y = 2; x + y = 20; x > 10

Entonces: xy

es …

resolución

Se tiene del dato: ( x – y)2 = (2)2 x – 2 xy + y = 4 ⇒20 – 2 xy = 4 ⇒ xy = 8 ⇒ xy = 64 ⇒ x = 64

y

OO Si: y = 16 ⇒ x = 6416

= 4; descartado pues: x > 10

OO Si: y = 4 ⇒ x = 644

= 16

Luego: xy

= 164

= 4

5. Resolviendo el sistema:

x2 + y2 – 6x + 4y + 5 = 0 ............. (1) x – 2y + 2 = 0 ............. (2)

Se concluye sobre sus raíces que:

resolución

De (2) tenemos: x = 2(y – 1)

Reemplazamos en (1):

[2(y – 1)]2 + y2 – 6[2(y – 1)] + 4y + 5 = 0 ⇒ 4y2 – 8y + 4 + y2 – 12y + 12 + 4y + 5 = 0

⇒ 5y2 – 16y + 21 = 0

Esta ecuación podríamos intentar resolverla por aspa sim-ple, sin embargo, veamos que ocurre con su discriminante:

D = [– 16]2 – 4(5)(21) = – 164 < 0

¡¡ajá!!! el discriminante es negativo.

Luego se concluye que las raíces de ese sistema son complejas.


nivel i

1. Resolver: x + 2y = 13 x – 2y = –7 .

Señalar “x + y”.

A. 3B. 4

C. 5D. 8

2. Resolver: 5x – 7y = 49 2x + 3y = 8

Hallar “xy”

A. 7B. – 14

C. – 7D. 14

3. Resolver: 7x – 4y = 12 5x – 3y = 6

Determinar “y – x”

A. 6B. – 6

C. 12D. – 12

Álgebra

Trilce Católica 55

13. Halla el valor de “x” en: x + 3y – 2 = 5

3x – (y – 2) = x + 12

A. 3B. 4

C. 5D. 7

14. Si el sistema tiene por conjunto solución (2; 3), calcular “a + b”

ax – by = –4 (2 – a)x + (3 – b)y = 5

A. 5B. 3

C. 1D. – 1

15. Si:

m + n = 5 n + p = 9 m + p = 11

Hallar “m + n + p”

A. 25

B. 27

C. 252

D. 272

16. Sean “x” e “y” números reales tales que: x2 = y + 2; y2 = x3 – 1

Calcular el valor de: y2 + 2x + 1

+ (x – y)

A. 1B. 2

C. 3D. 4

17. Sean:

1a + 1

= 2;

1b + 2

= 3;

1c + 3

= 6

Hallar: 1a + b + c

A. 110

B. – 15

C. 25

D. – 136

18. Resuelve, en el conjunto de los números reales, el si-guiente sistema:

x(y + z) = 35 y(x + z) = 27 z(x + y) = 32

Da como respuesta “x + y + z”

A. 6B. 9

C. 12D. 15

19. Hallar la suma de todos los valores reales que puede tomar “x” en la siguiente ecuación:

x3 + x2

x + 1 = 3

3 + 32

3 + 1

A. 1B. 3

C. 0D. – 1

4. Resolver:

37x + 13y = 137 13x + 37y = 113

Determinar “x + y”

A. 5B. 50

C. 250D. 10

5. Resolver: 2x + 7y + 1 + 2x – 7y + 16 = 9 2x + 7y + 1 – 2x – 7y + 16 = 3

Señale “x + y”

A. 7B. 3

C. 10D. 4

6. Calcular “xy” en el sistema:

(x + 2)(y + 2) = 6 + 2 2 (x – 2)(y – 2) = 2 + 6 2

A. 2 + 2B. 1 + 2

C. 4 2D. 8 2

7. Si:

2x + y = 5 x + 2y = 8

Hallar: 3x + 3y

A. 7B. 9

C. 11D. 13

8. Hallar “x + y”, si: 3 x + 2 y = 26 5 x – 3 y = 18

A. 52B. 61

C. 41D. 45

9. Hallar “xy”, si: 3 x – 2 y = 5 9x – 4y = 65

A. 9B. 4

C. 64D. 36

10. Hallar “a + b”, si el sistema: ax + 3y = 22,5 5x + by = 53

tiene como solución a: x = 7 e y = 4

A. 5B. 7

C. 4D. 6

nivel ii

11. Si: x2 – x3

= 1; 4y – y2

= 3, hallar “x + y”.

A. 6

B. 67

C. 367

D. 487

12. Resuelve:

7x – 5y = 42 4x + 9y = 107

y dar como respuesta “y – x”

A. 4B. – 4

C. 5D. 6

Trilce Católica

CicloCatólica

56

20. Si:

x3

= y4 = z6

x + y + z = 39

Hallar: (x + y)z

A. 42B. 270

C. 324D. 378

nivel iii

21. Dado el sistema: (k + 1)x + y = 3 2x + (k – 1)y = 1

Hallar “k” para que sea incompatible; siendo: k > 0

A. 2B. 3

C. – 3D. – 2

22. Al resolver el sistema: 5x – 4y = –14 2x + 3y = k

se halla que “y” es el triple de “x” entonces “k” es:

A. 15B. 2

C. 22D. 18

23. Cómo debe ser la dependencia entre “a” y “b” para que el sistema:

x + y = 3 ax + by = 5b 5x – 3y = 7

tenga solución única.

A. 3a = 5bB. a = b

C. b = 2aD. a = 2b

24. Determine “a + p” de modo que el sistema:

(a – 1)x + 4y = 10 2x + (p + 1)y = 5

tenga infinitas soluciones.

A. 5B. 7

C. 8D. 6

25. ¿Para qué valor del parámetro “k”, el sistema:

(2k – 1)x + y = k x + ky = 2k – 1

tiene infinitas soluciones?

A. – 5

B. 0

C. – 12D. 1

26. Dar el valor o valores de “m” que hacen que el sistema:

3x + (m – 1)y = 12 (m + 6)x + 6y = 2m

sea inconsistente.

A. 1; 3B. 2; 6

C. 3D. 3; – 8

27. Si el siguiente sistema admite como solución: x = 2; y = 3.

mx – y = 1 mx – y = 4

Calcular “m + n”

A. 3B. – 2

C. 5D. 7

28. Resolver: x + y + 2z = 21 x + 2y + z = 26 2x + y + z = 21

Hallar “y – 1”.

A. 3B. 4

C. 8D. 6

29. Resolver: x

4a – y4b = 16

x

6a + y5b = 14

15

Hallar “y”

A. 74b33

B. 3b

C. 74b33

D. 6b7

30. Resolver: a(x + y – b(x – y) = 2a a(x – y) – b(x + y) = 2b

Señalar el valor de “y”

A. a + ba – b

B. a + b

C. a – b

D. a – ba + b

Tarea domiciliaria

1. Resolver: 2x + 3y = 5 – x + y = 3

y señalar: x + y

A. – 45

B. 115

C. 75

D. 1

2. Resolver: 3x + 5y = 7 2x – y = – 4

e indicar “x”

A. – 1B. 2

C. – 2D. 6

3. Resolver: 8x – 5 = 7y – 9 6x + 2 = 3y + 8

e indicar “x + y”

A. 3B. 4

C. 7D. 6

Álgebra

Trilce Católica 57

4. Resolver: 11x – 5y = 2 12x + 15y = 129

hallar “x – y”

A. 5

B. 1

C. – 165

D. 16

5. Resolver:

x – 2y + 2

= x + 1y

x – 3y = –2

indicar “x2” .

A. – 43B. 9

16

C. 169

D. – 169

6. Resolver el sistema: 6(x + y) = 13 – x 5(x – y) = 1 – y

luego hallar “n” en: (n – 1)(x + y) + (n + 1) ( x – y) = 12

A. 3B. 4

C. 7D. 6

7. Hallar el producto de soluciones del sistema:

1x

+ 1y = a

x + y = b

A. a

B. b

C. ab

D. ba

8. Resolver el sistema: 5x + 2 – y3 = 17 y + (5 – x)3 = 2

Dar “x”

A. 1B. 2

C. 3D. 4

9. Del sistema anterior, dar el valor de “x – y”.

A. – 3B. 2

C. 9D. 4

10. Resolver: 4(2x + y) + 5(2x – y) = 17 3(2x + y) – (2x – y) = 8

e indicar el valor de: x2 – y2

A. 2B. 1

C. 0D. 3

11. Resolver: 2x – 2y + 5x – y + 4

= 3

x + 2y = 2

e indicar “xy”

A. – 12B. – 11

C. – 10D. – 9

12. Resolver: x – y + 3

2x + y – 3 = 32

3x – 2y + 42x – 2y + 3 = 52

indicar “y2”

A. 2B. 4

C. 8D. 16

13. Calcular el valor de “p” si al resolver el sistema:

4x + 5y = p – x + 2y = p

resulta que “y” excede en 8 unidades al valor de “x”.

A. 12B. 13

C. 15D. 18

14. Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2 3x – 3y = 2a – 1

calcular “a”, si “x” es el doble de “y”.

A. 1413

B. 1112

C. 135

D. 2213

15. Hallar el valor de “x” (no nulo) al resolver el sistema:

8(x + y) = 5xy ................. (1) 3(x + z) = 2xz ................. (2) 24(y + z) = 7yz ................. (3)

A. 1B. 2

C. 4D. 6

16. Resolver: ax + (a – 1)y = 2a – 1 ........ (1) (b + 1)x + (b + 1)y = 2b+ 2 ......... (2)

hallar “x + y”

A. 1B. 2

C. 0D. a + b

17. Calcular x – y si: 5 x – 3 – xy = 9 3 x – 3 + 5 xy = 39

A. 1B. 2

C. 3D. 4

18. Hallar “xy” bx – ay = b2 .................. (1) x – y = a .................... (2)

A. ab + b2

B. a2 + abC. a2 + b2

D. a2 – b2

Trilce Católica

CicloCatólica

58

19. ¿Qué valor debe tener “a” para que “x” sea igual a “y” en el siguiente sistema?

ax + 4y = 119 5x – ay = 34

A. 1B. 2

C. 3D. 4

20. Calcular “xy” del sistema: (x + 2)(y + 2) = 6 + 2 2 (x – 2)(y – 2) = 2 + 6 2

A. 2 + 2B. 1 + 2

C. 4 2D. 8 2

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 59

PLaNTEamiENTO DE EcUaciONES i

FoRmA vERBAL TRAducción FoRmA SimBóLicA

¿QuÉ es una ecuación?

Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una incógnita. Esta igualdad puede verificarse o no, en el primer caso si al menos hay una solución y en el segundo caso si no presenta solución.

¿cómo Plantear una ecuación?

Para plantear una ecuación es recomendable los siguien-tes pasos:

1. Leer el problema dos veces

OO la primera para saber de que se trataOO la segunda de manera más lenta para poder analizar

profundamente.

2. Identifique qué representa la incógnita y separe los datos.3. Relacionar los datos con la incógnita.4. Buscar dos expresiones con la participación de la incógni-

ta, en uno de ellos o en los dos, que presenten lo mismo e igualar (ecuación formada).

5. Resolver la ecuación.6. Comprobar los resultados.

ÁLGEBRASemana 11

Para un mejor trabajo nos ejercitaremos en la parte de traducción de expresiones verbales a lenguaje simbólico.

n° EnunciAdo vARiABLE EXPRESión mATEmÁTicA

1 El doble de un número El número: x 2x

2 La mitad del triple de mi dinero Mi dinero: x (3x)2

3 El doble más el triple de mi peso Mi peso: x 2x + 3x4 La mitad de mi dinero más el triple de mi dinero Mi dinero: x5 La mitad de mi dinero más el triple de mi dinero Mi dinero: 2x6 Una cantidad es aumentada en 40 nuevos soles Cantidad:7 El doble de la suma de un número y 60 Número:8 La mitad de un número sumado con la tercera parte del mismo Número:9 El exceso de un número sobre 60 Número:10 El exceso de 40 sobre un número Número:11 Un número excede en 30 a la mitad del mismo número Número:

12 Juan tiene 20 nuevos soles más que Sandra y la suma de lo que tienen ambos es 140 nuevos soles

Sandra tiene: x Juan tiene:

13 Pedro tiene el triple de lo que tiene Amelia y juntos tienen 400 nuevos soles

Amelia tiene: xPedro tiene:

14 Matilde tiene 60 nuevos soles más que la tercera parte de su dinero Matilde tiene: 3x

15 Cada día gano 12 nuevos soles más que el día anterior y en cuatro días he ganado 152 nuevos soles

Dinero que gano el primer día: xSegundo día:

Tercer día:Cuarto día:

16 Mi mamá pesa 40 kg más que mi hermana y mi hermana, 30 kg más que yo.

Mi peso: xPeso de mi hermana:

Peso de mi mamá:17 El doble de mi peso excede a la tercera parte de mi peso en 50 kg Mi peso: x

18 Mi edad hace 8 años y mi edad dentro de 4 años suman 76 años Mi edad hace 8 años:Mi edad dentro de 4 años:

19 Dos números son proporcionales a 3 y 7; además, suman 350. Uno de los números es:El otro número es:

20 Una canasta con manzanas pesa 50 kg y el peso de la canasta excede al peso de las frutas en 10 kg.

El peso de la canasta es: x + 10El peso de las frutas es: x

Trilce Católica

CicloCatólica

60

PrOBLEmaS rESUELTOS

1. El triple de un número es aumentado en 6, lo cual es igual al cuádruplo de su diferencia con 8. Hallar la mitad del número, aumentado en 10.

resolución:

Sea “x” el número

Del enunciado tenemos: 3x + 6 = 4(x – 8) 3x + 6 = 4x – 32 38 = x → el número es 38

Nos piden: 382

+ 10 = 29

2. En una granja hay 20 pollos más que patos. Si se ven-diesen 25 pollos y se compraran 20 patos, resultaría que el número de patos sería el doble del número de pollos. ¿Cuántos pollos hay en la granja?

resolución:

Pollos = x + 20; Patos = xSi se vendiese 25 pollos, quedarían: (x – 5) pollosSi se compraron 20 patos, quedarían: (x + 20) patos

Luego:

El número de patos = 2(número de pollos) 144424443 144424443

x + 20 = 2(x – 5) x = 30

En la granja hay: 30 + 20 = 50 pollos

3. El largo de un rectángulo es el triple del ancho. Si el largo disminuiría 12 m y el ancho se duplicara, su área seguiría siendo la misma. ¿Cuál es el perímetro de dicho rectángulo?

resolución:

Graficando ambos casos:

real supuesto

x

3x

2x

3x – 12Área = 3x2 Área = (3x – 12)(2x)

Por condición:(áreas iguales)

3x2 = 2x(3x – 12) 3x = 2(3x – 12) 3x = 6x – 24 x = 8

El perímetro de dicho rectángulo es:

xx

3x

3x

⇒ 88

24

24

∴ 2p = 64 m

4. Una pieza de tela tiene 40 metros de longitud. En una segunda compra que se hizo, se adquirió los 2

3 del resto

que había quedado después de la primera compra. Sabiendo que en las dos compras se adquirió la misma longitud, ¿cuántos metros se compraron la primera vez?

resolución:

Primera compra: “x” metros; queda: (40 – x)mSegunda compra: 2

3(40 – x) m

Por condición: x = 23

(40 – x) ⇒ 5x = 80

x = 16

La primera vez se compró 16 m.

5. En una reunión hay cinco hombres más que mujeres, lue-go, llegaron un grupo de personas cuyo número era igual al de los hombres inicialmente presentes, de modo que en la reunión todos están en pareja y hay 50 hombres en total. Hallar el número de hombres inicialmente presentes.

resolución:

Número de hombres = x + 5Número de mujeres = x

Si llegan (x + 5) personas y al final hay 50 hombres y todos están en pareja, quiere decir que al final hay 100 personas.

Total de personas = x + 5 + x + x + 5 = 100 x = 30

Número de hombres al inicio: 35


nivel i

1. Un número aumentado en siete, excede en ocho al producto de tres con la mitad del número original. Hallar el número.

A. – 3B. – 2

C. 3D. 5

2. Si las edades de mis cuatro hijos son números impares consecutivos y los tres menores suman 45 años, ¿cuántos años tiene el mayor de mis hijos?

A. 13B. 15

C. 17D. 19

3. Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me queda $20 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía?

A. $100B. 120

C. 80D. 90

4. Compré un auto en $3600. Si al venderlo, gané los 2/5 del precio de venta más $300, ¿cuánto gané?

A. $1500B. 1800

C. 2200D. 2900

Álgebra

Trilce Católica 61

5. Una máquina fotocopiadora cuesta $350. Si cada copia cuesta S/. 0,1 y el papel S/. 3 el ciento, ¿cuántas copias debe sacarse para recuperar la inversión? ($1 = S/. 3,4)

A. 15 000B. 17 000

C. 16 000D. 18 000

6. Se compra manzanas a S/. 2 el kilo. ¿Cuál debe ser el precio de venta de cada kilo, si luego de la rebaja de este, en su sexta parte, debe quedar una ganancia igual a la cuarta parte del costo?

A. S/. 2,4B. 2,8

C. 3,0D. 3,2

7. A una hoja de papel de 20 cm por 32 cm se le recorta un pedazo en forma de triángulo rectángulo isósceles, cuyo cateto es igual al lado menor de la hoja. ¿Cuál es el área de la figura resultante?

A. 540 cm2

B. 500C. 360D. 440

8. Las edades de dos primas, Alejandra y Rosa Herminia suman 80 años. Si Alejandra tuviera cinco años menos y Rosa Herminia, 15 años más, ambas tendrían la misma edad, ¿qué edad tiene Rosa Herminia?

A. 30 añosB. 60

C. 75D. 50

9. Trescientos empleados deben cobrar S/. 25 200, pero como algunos de ellos se retiran, el resto tiene que cobrar S/. 140 cada uno. ¿Cuántos se retiraron?

A. 90B. 100

C. 110D. 120

10. Se compra “A” kilos de pollo a S/. 7 el kilo. Si se vende la cuarta parte del peso total a S/. 8 el kilo, ¿a cómo debe venderse cada kilo de lo que queda para ganar en total S/. 450 ?

A. S/. 20A3

+ 600A

B. 203A

+ 600A

C. 203

+ 600A

D. 203

+ 600A

nivel ii

11. Una mujer compró cierto número de paltas por S/. 18. Al día siguiente, le hubieran dado seis paltas más por el mismo dinero, con lo cual cada una hubiera resultado 10 céntimos más barata. ¿Cuántas paltas compró?

A. 24B. 30

C. 32D. 36

12. Mi enamorada es 22 años menor que yo, dice cierto hombre solterón, y el producto de nuestras edades ex-cede en 662 a la suma de las edades. ¿Qué edad tiene mi enamorada?

A. 18 añosB. 19

C. 20D. 15

13. Gasto S/. 56 en comprar helados de coco y vainilla y compró 100 helados en total. Sabiendo que el precio

del helado de coco es de 60 céntimos y el de vainilla, 50 céntimos, hallar el número de helados de coco.

A. 30B. 40

C. 50D. 60

14. La suma de las edades actuales de dos personas es 40 años. Si dentro de cuatro años, el cuadrado de la edad del menor será igual a la edad que tendrá el mayor dentro de 12 años, hallar la diferencia de las edades actuales de ambas personas.

A. 15 añosB. 19

C. 34D. 41

15. Mario tiene el cuádruplo de la edad que tenía César cuan-do él tenía la edad que César tiene; pero, cuando César tenga la edad que Mario tiene, ambas edades sumarán 95 años. ¿Qué edad tiene Mario?

A. 25 añosB. 30

C. 40D. 45

16. Jorge toma un trabajo en el que le pagan S/. 50 por cada día trabajado, y cada día que no trabaja, le descuentan S/. 25. Si al cabo de 30 días recibe S/. 1 050, ¿cuántos días trabajó?

A. 24B. 14

C. 7D. 8

17. Un padre reparte su fortuna entre sus hijos, dándoles S/. 480 a cada uno. Debido a que dos de ellos renunciaron a su parte, a cada uno de los restantes le tocó S/. 720, ¿cuántos hijos tiene el padre?

A. 5B. 6

C. 7D. 8

18. Dos personas tienen $164 000 y $248 000, respecti – vamente. Cada una de ellas, compra un terreno, luego de lo cual, les queda la misma cantidad de dinero. Los terrenos tienen un costo de $400 por m2, hallar el área de uno de los terrenos, sabiendo que el área de uno es el doble del otro.

A. 100 m2

B. 105C. 210D. 125

19. Una padre de familia plantea a su hijo el siguiente pro-blema: “En mi bolsillo derecho, tengo 48 soles más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho, le aumento ocho soles, obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquier-do, disminuida en S/. 34, ¿cuánto tengo en el bolsillo izquierdo?”.

A. S/. 800B. 500

C. 600D. 700

20. Un comerciante compra tantos polos como soles le costó cada uno. Si se le perdió la cuarta parte y vendió cada uno de los restantes a dos nuevos soles menos que el doble de lo que le costó cada uno, obteniendo una ganancia de S/. 104, ¿cuántos polos perdió?

A. 8B. 4

C. 3D. 2

Trilce Católica

CicloCatólica

62

28. Cada consultorio de la clínica Mi Salud Sac, atiende 100 clientes a la semana y les cobra $3 por consulta. Estudios de mercado han determinado que por cada incremento de $0,5 en el costo de la consulta, cada consultorio perdería 10 clientes a la semana, ¿qué precio como máximo de-berá fijar la clínica, de modo que los ingresos semanales por consultorio sean iguales a $300 ?

A. $7B. 8

C. 5D. 6

OO Una empresa vende computadoras tipo “A”, “B” y “C”. Se sabe que cada computadora tipo “A” siempre cuesta 1,5 veces lo que cuesta la de tipo “B”. Un comerciante compra 20; 30 y 40 computadoras de cada tipo, respectivamente, pagando un total de S/. 92 000. Al siguiente mes, las computadoras tipo “B” suben en 20% y el comerciante compra 30; 40 y 50 computadoras, respectivamente, pagando S/. 133 000.

29. Determinar el costo de cada computadora tipo “C”.

A. S/. 1000B. 800

C. 1500D. 2000

30. Determinar el costo de cada computadora tipo “B” en el segundo mes.

A. S/. 1000B. 1400

C. 1500D. 1200

Tarea domiciliaria

1. Si Juan recibe S/. 5 tendría el doble que si hubiera gastado S/. 5, ¿cuánto tiene Juan?

A. S/. 18B. 15

C. 9D. 10

2. Rafael tiene el doble de la edad de Bertha. Dentro de cuatro años, Rafael tendrá el triple de la edad que tenía Bertha hace dos años. ¿Cuál es la edad de Bertha?

A. 8 añosB. 10

C. 12D. 9

3. Siete veces la novena parte de la edad de José, excede en tres al doble de la tercera parte de dicha edad. ¿Dentro de cuántos años tendrá 32 años?

A. 5B. 6

C. 9D. 2

4. Dos personas tienen 200 y 250 dólares. Si hacen un gasto igual, la relación de los saldos es de 5 a 3; indicar cuánto tienen de saldo entre los dos.

A. $ 300B. 200

C. 180D. 210

5. Las edades de dos esposos se diferencian en tres (espo-so mayor que esposa). Cuando la esposa tenía 20 años nació su único hijo, hoy el hijo tiene 13 años. ¿Cuál será la edad del padre?

A. 30 añosB. 33

C. 36D. 34

nivel iii

21. Tres socios forman un negocio en el que se requiere una inversión de $23 000. Si el tercero aportó $1000 más que el segundo y este los 4/3 del primero, ¿cuánto aportó el que aportó más?

A. $6000B. 7000

C. 8000D. 9000

22. En una familia con tres hijos: “A”, “B” y “C”, se sabe que “A” es 8 cm más alto que “B” y “C” es 2 cm más bajo que “B”. Si las estaturas de los tres hermanos suman 4,86 m, ¿cuál es la estatura de “B” ?

A. 1,50 mB. 1,60

C. 1,62D. 1,64

23. Dos obreros trabajando juntos pueden cumplir una tarea dada en 12 horas. El primer obrero por separado puede realizar el mismo trabajo, 10 horas más rápido que el segundo, ¿en cuántas horas cada obrero por separado puede realizar la tarea?

A. 28 y 38B. 25 y 35

C. 30 y 40D. 20 y 30

24. Una carpintería tiene un pedido de marcos de ventana: El marco debe ser rectangular y de igual ancho en todos sus lados. Los lados del rectángulo interior medirán 6 cm y 9 cm y el área de la superficie del rectángulo interior al marco es la mitad que la del rectángulo exterior. Hallar el ancho del marco.

A. 2 cmB. 3

C. 2,5D. 1,5

25. El costo total de producción de “x” pantalones es S/. (2x2 – 6x). Si todos los “x” pantalones que se producen se venden a un precio unitario de S/. (x – 2), ¿cuántos pantalones se deben producir y vender para no perder ni ganar?

A. 2B. 3

C. 4D. 5

26. Una señora va al mercado a comprar tomates; para comprar cinco kilos le falta S/. “a”, pero si hubiera lleva-do S/. “b” más habría comprado dos kilos más y aún le hubiera sobrado S/. “a”. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha señora?

A. a + b2

B. a

C. 12a + 5b2

D. 5b – 12 a2

27. Un comerciante llevaba camisas para vender y decía para sí: “Si vendo cada una a S/. “K”, podré comprar un televisor y me quedarían S/. “P”, pero si vendo cada camisa a S/. “Q”, al comprar el televisor me quedaría solo S/. “R”. ¿Cuántas camisas tenía?

A. P + RK + Q

B. P – RK – Q

C. P – RK + Q

D. P + RK – Q

Álgebra

Trilce Católica 63

6. Tengo S/. 120 y gasto los 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría, ¿cuánto más hubiese gastado?

A. 6B. 3

C. 2D. 9

7. Descomponer el número 15 en dos partes de manera que la suma de sus valores inversos sea igual a 5/12. Dar la diferencia de dichos números.

A. 9B. 10

C. 11D. 12

8. Una vendedora lleva al mercado una cesta de huevos, si cuando vende los 2/9 menos cinco huevos, añadiese 37 huevos a los que le quedan entonces el número de huevos que llevó al mercado quedaría aumentado en 1/6. ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta?

A. 66B. 136

C. 96D. 108

9. “A”, “B” y “C” tienen en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad, pero, si “A” le diera la mitad a “B”, entonces “B” tendría la misma cantidad que “C”. ¿Cuántos limones tiene “B”?

A. 28B. 56

C. 42D. 48

10. En un rebaño el número de ovejas más bueyes es 30; el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuánto suman el número de los bueyes y cabras?

A. 60B. 40

C. 70D. 50

11. En un corral el número de gallos es el cuádruple del número de gallinas. Si se venden cuatro gallos y cuatro gallinas, entonces el número de gallos es seis veces el número de gallinas, ¿cuántas aves habían inicialmente?

A. 33B. 63

C. 40D. 50

12. Dos ejércitos tienen el mismo número de efectivos. Si en la batalla mueren 200 hombres de un ejército y 50 hombres del otro, entonces el número de sobrevivientes del segundo es el doble del primero. ¿Cuántos soldados tenía cada ejército inicialmente?

A. 450B. 600

C. 350D. 750

13. El dinero que tiene Lourdes excede en S/. 5 a la mitad del dinero de Maruja. Si entre ambas tienen S/. 65, ¿cuánto tiene Maruja?

A. S/. 40B. 28

C. 25D. 50

14. El denominador de una fracción es cuatro unidades mayor que el numerador. Si se aumenta el numerador en uno, el valor de la fracción es 2/3, halla la fracción.

A. 711

B. 913

C. 59

D. 37

15. Un hombre gasta 3/8 de su sueldo en alimentos y 2/5 en otros gastos. Si ahorra S/. 450 cada mes; ¿a cuánto asciende su sueldo?

A. S/. 1600B. 2400

C. 1800D. 2000

16. Tres hermanos tienen una hacienda. El primero tiene 1/3 de ella más 80 hectáreas; el segundo 1/4 de la hacienda y el tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene la hacienda?

A. 280B. 250

C. 240D. 300

17. El jardinero “A” planta rosas más rápidamente que el jardinero “B” en la proporción de 4 a 3. Cuando “B” planta “x” rosas en una hora, “A” planta “x + 2” rosas. ¿Cuántas rosas planta “B” en 4 horas?

A. 20B. 16

C. 24D. 28

18. Tres terrenos cuadrados son tales que:

OO El lado del mayor es el doble del lado del menor.OO El lado del mediano es cinco metros más que el

lado del menor.OO 36 veces la suma de las áreas de los menores es

igual a 25 veces el área del mayor.

Calcular el lado del terreno mediano.

A. 30 mB. 15

C. 20D. 60

19. Tres niños se han repartido una bolsa de caramelos, tomando el primero la mitad de los caramelos y uno más; el segundo, la tercera parte de lo que quedó y el tercero el resto. ¿Cuántos caramelos hubieron en la bolsa?

A. 26B. 32C. No puede ser determinadoD. 14

20. Se compra cajones de naranjas a S/. 100 cada uno y cada cajón contiene 20 kg. Primero se vende la mitad a S/. 20 el kg; después la cuarta parte a S/.15 el kg; y por último, el resto se remata a S/.10 el kg, ganando 11 250 en total. ¿Cuántos cajones de naranjas habían comprado?

A. 65B. 70

C. 55D. 50

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 65

PLaNTEamiENTO DE EcUaciONES ii

En esta semana repasaremos planteamiento de ecua-ciones, teniendo en cuenta principalmente el uso de sistemas de ecuaciones.

Recuerda las recomendaciones para plantear un problema:OO Leer y comprender el enunciado.OO Seleccionar los datos.OO Establecer la ecuación o ecuaciones para luego resolver

el sistema de ecuaciones o la ecuación descrita por el enunciado.


nivel i

1. La diferencia de dos números es 14 y 1/4 de su suma es 13. Hallar el mayor de los números.

A. 30B. 19

C. 33D. 29

2. Por siete camisas y ocho pantalones pagué S/. 514. Para comprar diez camisas y siete pantalones tendría que agregar S/. 21 al monto anterior. ¿Cuánto cuestan dos camisas y un pantalón?

A. S/. 67B. 82

C. 89D. 90

3. Si compro dos revistas gastaría S/. 2 más que si com-prara tres periódicos. Pero si comprara cinco periódicos gastaría S/. 2 más que si comprara dos revistas. ¿Cuánto cuesta cada periódico?

A. S/. 4B. 3

C. 2D. 1,5

4. Un granjero tiene un total de 56 aves entre pollos, patos y pavos. Si tuviera tres pollos más, siete patos menos y cinco pavos más; tendría la misma cantidad de cada tipo de aves. Hallar el número de patos.

A. 19 B. 26

C. 24D. 21

5. Una madre de familia plantea a su hija el siguiente pro-blema: En mi bolsillo derecho tengo S/. 48 más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho le aumento S/. 8 obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquierdo, disminuido en S/. 34. ¿Cuánto tengo en el bolsillo derecho?

A. S/. 800B. 648

C. 600D. 700

6. Una canasta llena de huevos pesa 100 kg, cuando la canasta lleva 1/5 de su capacidad, el peso es 60 kg. Averiguar el peso de la canasta.

A. 55 kgB. 57

C. 50D. 60

7. Un volquete lleno de piedras pesa 27 toneladas. Cuando están llenos los 3/5 de su capacidad, el peso equivale a los 7/4 de cuando está vacío. ¿Cuántas toneladas de piedra es la carga del volquete?

A. 15B. 12

C. 27D. 36

8. En un campeonato de tiro, un aspirante gana dos puntos por cada disparo acertado y pierde medio punto por cada desacierto. Si al hacer 120 disparos obtuvo 130 puntos, el número de disparos acertados fue:

A. 76B. 77

C. 78D. 79

9. En una granja hay 92 patas y 31 cabezas. Si solo hay patos y conejos ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales?

A. 1B. 2

C. 3D. 4

10. En un salón de clases existe cierta cantidad de carpetas bipersonales, cuando se sienta un alumno por carpeta, faltan cuatro carpetas, pero cuando se sientan dos por cada carpeta, sobra una de ellas, ¿cuántos alumnos tiene dicho salón?

A. 5B. 6

C. 10D. 12

nivel ii

11. Carla vendió 12 relojes de plata y siete de oro por $ 5000. ¿Cuánto vale cada reloj de oro si el precio de uno de oro es cuatro veces el precio de uno de plata?

A. $ 100B. 125

C. 400D. 500

12. Si compro 18 libros, me sobra S/. 40 y si compro 21 libros, me falta S/. 20. ¿Cuánto tengo?

A. S/. 400B. 300

C. 360D. 480

13. Hallar un número entero de dos cifras sabiendo que estas suman 12, que si al número le suman 10 unidades, resulta menor que el doble de dicho número invertido y que la raíz cuadrada del número es mayor que 9.

A. 57B. 39

C. 93D. 84

14. En un colegio los alumnos del turno mañana pagan S/.80 mensuales y los de la tarde S/. 65 mensuales. Si el director ha recibido en total de la pensión del

ÁLGEBRASemana 12

Trilce Católica

CicloCatólica

66

segundo mes de clases S/. 4080 y los alumnos de la tarde son siete más que los del turno mañana, halle el total de alumnos.

A. 25B. 32

C. 57D. 56

15. Un comerciante compró café por S/. 1600 y té por S/. 1800, obteniendo 40 kg más de café que de té. ¿Cuánto pagó por el kg de café, si un kg de té costó 50 soles más que un kg de café?

A. S/. 21B. 22

C. 25D. 24

16. Se envasan botellas de dos litros y tres litros. Si la can-tidad de botellas de tres litros es el doble que las otras y se ha empleado en total 136 litros, ¿cuántas botellas de dos litros se envasarán?

A. 15B. 21

C. 34D. 17

17. En un salón de la academia TRILCE, el día de hoy faltaron cinco alumnos por problema de salud. Si los asistentes se sientan cuatro alumnos en cada carpeta, faltarían tres alumnos para que todas las carpetas estén llenas. Pero si se sientan tres alumnos por carpeta se quedarían nueve alumnos de pie. Hallar el número total de alumnos del salón.

A. 12B. 50

C. 45D. 40

18. Una señora quiso comprar cierto número de limones con cierta suma de dinero, pero al ver que el precio de cada limón había bajado en S/. 2, compró cuatro limones más por la misma suma. Si el número de soles que pagó por cada limón y el número de limones que compró suman 16, ¿cuánto gastó en la compra de limones?

A. S/. 10B. 60

C. 64D. 48

19. Un genio está indeciso entre comprar con todo su capital 72 borradores o por el mismo precio nueve libros y 9 lapi-ceros. Decide comprar con dicho capital el mismo número de útiles de cada clase. ¿Cuántos útiles compra en total?

A. 18B. 20

C. 22D. 24

20. Carla vendió doce relojes de plata y siete de oro por $5000. ¿Cuánto vale cada reloj de oro si el precio de uno de oro es cuatro veces el precio de uno de plata?

A. 100B. 125

C. 400D. 500

nivel iii

21. Averiguar para qué número de tres cifras se verifica que la cifra de las centenas, sumada con la de las unidades, es igual a 9; que la diferencia de estas cifras da las cifras de las unidades y que la diferencia entre las cifras de las centenas y decenas es el doble de esta última.

A. 263B. 623

C. 362D. 632

22. Un poste de “a” metros de longitud está pintado de rojo y blanco. Si se pinta “b” metros más de blanco, la mitad del poste estaría pintado de rojo. ¿Cuántos metros de poste están pintados de blanco?

A. a – 2b2

B. a – b2

C. 2a – b2

D. a2 – b

23. Un grupo de personas desea comprar bolsas de leche. Si cada persona compra una bolsa, sobrarían “n” bolsas. Si cada persona quisiera comprar “n” bolsas, entonces faltaría para “n” personas. ¿Cuántas personas conforman el grupo?

A. n(n – 1)n + 1

B. n(n – 2)n – 1

C. 2nn – 1

D. n(n + 1)n – 1

24. Se compran dos piezas de tela: una a “x” nuevos soles el metro y otra que tiene “x” metros más a “y” nuevos soles el metro. Si por cada pieza se paga lo mismo, ¿cuántos metros se compraron en total?

A. 2x(x + y)x – y

B. x + yx – y

C. x(x + y)x – y

D. x – yx + y

25. En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas, después que se retiran ocho parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente?

A. 16B. 32

C. 48D. 72

26. Óscar le da a José tantas veces cinco céntimos como nuevos soles tiene en su bolsillo, sabiendo que aún le quedan S/. 76. ¿Cuánto tenía Óscar inicialmente?

A. S/. 95B. 80

C. 75D. 70

27. En una conferencia el número de varones es al de damas como 7 es a 5; si el exceso del número de varones respec-to al de damas es un número de dos cifras consecutivas, hallar el máximo número de damas que pudieron asistir a la conferencia.

A. 85B. 140

C. 170D. 245

28. Con billetes de S/. 100 y de S/. 50 se pagó una deuda de S/. 2800. El número de billetes de S/. 50 excede en 8 al número de billetes de S/. 100. Si los billetes que tenemos de S/. 100, los contaremos como billetes de S/. 50 y viceversa, ¿qué cantidad de dinero tendríamos?

A. S/. 4500B. 2900

C. 3200D. 3800

29. Un obrero trabajó durante dos meses con su hijo en una misma obra. El primer mes, por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron S/. 118; el segundo mes por 21 días

Álgebra

Trilce Católica 67

del padre y 19 del hijo recibieron S/. 143. ¿Cuál es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo?

A. 3B. 1

C. 4D. 5

30. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera tres metros más de largo y cuatro metros más de ancho, sería 192 m2 más grande. Si tuviera cuatro metros menos de largo y tres metros menos de ancho, sería 158 m2 más pequeño. Hallar las dimensiones del patio,

A. 15 y 45B. 10 y 40

C. 30 y 20D. 20 y 50

EJErciciOS aDiciONaLES

31. Se tienen cajas que contienen lapiceros. Si la cantidad de cajas se duplica, se tendrían 72 lapiceros más. Si la cantidad de cajas se aumenta en 2 y la cantidad de lapi-ceros por caja disminuye en 3, se obtendrían 90 lapiceros. ¿Cuántas cajas había originalmente?

A. 4B. 6

C. 8D. 9

32. Un comerciante compró 2500 botellas a S/. 20 el ciento. En el camino se le rompieron 190 botellas y luego rega-la cinco botellas por cada 100 que vendía. ¿En cuánto vendió el ciento si en total ganó S/. 116?

A. S/. 30B. 32

C. 25D. 28

33. Se lanza tres dados simultáneamente. El triple del re-sultado del primer dado, más el doble del resultado del segundo dado, más el resultado del tercer dado suman diez. ¿Cuántos posibles resultados pudieron darse?

A. 1B. 2

C. 3D. 4

34. Dos señoras llevan al mercado 100 manzanas. Una de ellas tenía mayor número de manzanas que la otra; no obstante, ambas obtuvieron iguales sumas de dinero. Una de ellas le dice a la otra: “Si yo hubiese tenido la cantidad de manzanas que tú tuviste y tú la cantidad que yo tuve, hubiésemos recibido respectivamente 15 y 20/3 nuevos soles”. ¿Cuántas manzanas tenía cada una?

A. 30 y 70B. 45 y 55

C. 20 y 80D. 40 y 60

35. El perímetro de un rectángulo es 90 m y su área es su-perior a 504 m2. Si sus lados son números enteros, ¿en cuánto excede el largo al ancho?

A. 3 mB. 4

C. 1D. 2

36. Una cierta tarea puede ser hecha por Aldo y Paúl en 12 horas; por Aldo y Ernesto en 20 horas y por Paúl y Ernesto en 15 horas. Encontrar el tiempo que tardaría en hacer la tarea trabajando los tres juntos.

A. 30 hB. 15

C. 60D. 10

37. Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que por cada tiro que acierta recibirá “a” nuevos soles y pagará “b” por cada uno de los que falle. Si después de “n” tiros ha recibido “c” nuevos soles, ¿cuántos tiros dio en el blanco?

A. an + ca – b

B. bn + ca – c

C. bn + ca + b

D. an + ca + b

38. Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran ocho fichas; formando el cuadrado con una ficha más por lado faltan 23. ¿Cuántas son las fichas?

A. 223B. 233

C. 243D. 253

39. A una hoja de papel de 30 cm × 18 cm se le recortan cuadrados iguales en cada esquina, de modo que el área del papel recortado medida en cm2 excede a su perímetro medido en centímetros en 408. Halla el lado del cuadrado.

A. 2,5 cmB. 12

C. 1,5D. 3

40. Tres amigos acuerdan encontrarse a las seis de la tarde en la PUCP, pero por diferentes causas ninguno llegó a la hora indicada. El primero llegó tres minutos antes que el segundo y el tercero seis minutos después que el se-gundo, pero si al promedio de los tres tiempos empleados por cada uno se le resta ocho minutos, el resultado será igual a la hora indicada para encontrarse. ¿A qué hora llegó el tercero?

A. 6:07 p.m.B. 6:04 p.m.

C. 6:13 p.m.D. 6:11 p.m.

Tarea domiciliaria

1. Si tú me dieras dos de tus canicas, tendríamos la misma cantidad; en cambio, si yo te diera tres de las mías, tú tendrías el doble de los que a mí me quedaría. ¿Cuántas canicas tenemos entre los dos?

A. 40B. 30

C. 35D. 60

2. Seis kg de café y 5 kg de azúcar costaron $ 2,27 y, 5 kg de café y 4 kg de azúcar a los mismos precios costaron $ 1,88. Halla el precio del kg de café.

A. $ 0,32B. 0,07

C. 32D. 7

3. Enrique cancela una deuda con 28 billetes de S/. 10 y S/. 5. ¿Cuánto dinero pagó con billetes de S/. 10, si el monto de la deuda fue de S/. 200?

A. S/. 75B. 80

C. 100D. 120

4. Con 12 monedas en total, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos, se quiere pagar una deuda de S/. 3,60. ¿Cuántas monedas de cada clase se utilizarán?

A. 3 y 9B. 4 y 8

C. 5 y 7D. 10 y 2

Trilce Católica

CicloCatólica

68

5. Una tela tiene un largo igual al doble del ancho. Al lavarse por primera vez su ancho se reduce en la décima parte y su largo en la novena parte. ¿Cuál es el perímetro original de la tela, si su área final es de 12 960 cm2?

A. 500 cmB. 540

C. 482D. 520

6. Una motosierra consume nueve litros de gasolina com-binada con dos litros de aceite para trabajar durante tres horas. ¿Cuántas horas habrá trabajado cuando ha consumido 35 litros de gasolina más que aceite?

A. 2 hB. 5

C. 3D. 4

7. El tiempo que estudio diariamente es la mitad del tiempo que duermo. El tiempo que veo televisión es la mitad del tiempo que estudio o duermo. Si el resto del día es 10,5 horas, ¿qué tiempo estudio?

A. 3 hB. 3,5

C. 2,5D. 4

8. Si al colocar 24 libros de Aritmética uno a continuación del otro y 16 libros de Álgebra de igual manera que los anteriores el espacio que ocupan todos ellos es de 2,8 m; hallar el espacio que ocupan 10 libros de Álgebra sabiendo que cada uno de estos ocupan 5 cm más que uno de Aritmética.

A. 1 mB. 1,2

C. 1,1D. 0,9

9. La cabeza de un pescado mide 20 cm, la cola mide tanto como la cabeza más medio cuerpo y el cuerpo tanto como la cabeza y la cola juntos. ¿Cuál es la longitud del pescado en centímetros?

A. 200B. 20

C. 140D. 160

10. A un empleado le prometen por un año de trabajo 8000 dólares, un televisor y un equipo de sonido; pero por ocio-so lo despiden a los diez meses recibiendo 6000 dólares más los dos artefactos. Si se le hubiera despedido a los ocho meses habría recibido 5800 dólares y el equipo de sonido. ¿Cuál es el precio del televisor?

A. $ 1500B. 350

C. 1800D. 1250

11. Cuatro hermanos tienen 450 dólares. Si el dinero del primero se aumenta en 20 dólares, el del segundo se reduce en 20 dólares, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. Indicar la suma de las cifras del dinero que tiene el segundo hermano.

A. 3B. 8

C. 2D. 5

12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos. Si se compran nueve litros de leche adulterada que pesa 9210 gramos, ¿cuántos litros de agua contiene? (1 L de agua pesa 1000 gramos).

A. 1B. 3

C. 5D. 7

13. Ricardo tiene “a” animalitos entre loritos y perritos. Si entre los animalitos que tiene puede contar “p” patas, ¿cuántos perritos tiene?

A. a + p2

B. p – 2a2

C. a – p2

D. a – p

14. Un matrimonio que tiene dos hijos acordó pesarse y lo hicieron del modo siguiente: se pesaron los padres y re-sultó 126 kg después el papá con el hijo mayor y resultó 106 kg y por último la mamá con el hijo menor y resultó 83 kg. Se sabe que el hijo mayor pesa 9 kg más que el menor. Determine cuánto pesa el hijo mayor.

A. 35 kgB. 38

C. 36D. 30

15. Ernesto decide entrar al mundo de los negocios y compra un lote de camisas a $ 7,5 c/u, regalándole cuatro por cada 19 que compre y recibiendo en total 391 camisas. Él, a su vez, decide venderlas a $ 10 c/u, ofreciendo regalar tres por cada 14 camisas que le compren. Si al final no le quedó ninguna camisa, ¿cuál fue su ganancia en esta, su primera experiencia como negociante?

A. $ 977,5B. 797,5

C. 799,5D. 77,5

16. La suma de tres números es 160. Un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor disminuido en 20, y si la mitad de la diferencia entre el mayor y el menor se le suma el número medio el resultado es 57. Halla la diferencia entre el mayor y el menor.

A. 15B. 12

C. 13D. 14

17. Un almacenista compró a un fabricante cierto número de lapiceros a razón de 8,40 dólares la docena y los vendió después a un comerciante a razón de 9 dólares la decena. Luego el comerciante vendió dichos lapiceros al público a 2,8 dólares el par, ganando 720 dólares más que lo que ganó el almacenista. ¿Cuánto cobró el fabricante por todos los lapiceros?

A. $ 20 160B. 21 600

C. 2 160D. 1 680

18. A un alambre de 122 cm de longitud se le ha hecho dos cortes. La longitud de cada trozo es igual a la del inmedia-to anterior más 1/4 de esta longitud ¿Cuál es la longitud del trozo más grande?

A. 50 cmB. 60

C. 62D. 54

19. Se compraron dos piezas de alambre que juntas miden 120 m. Cada metro de cada pieza de alambre costó tantos soles como metros tiene la pieza. Una de ellas costó S/. 240 más que la otra. ¿Cuál es la longitud de la pieza más grande?

A. 58 mB. 60

C. 61D. 62

20. Un grupo de niños está formado de modo que hay tantos niños por columnas como filas. Para formar con un niño más por columna y un niño más por fila, harían falta 13 niños ¿Cuántos son los niños?

A. 9B. 16

C. 25D. 36

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 69

TEOrÍa DE EcUaciONES: PLaNTEamiENTO DE EcUaciONES iiiEDaDES

Según el número de sujetos cuyas edades intervienen, los problemas de edades se pueden tipificar en dos:

tiPo i (cuando interviene un solo sujeto):

– y + x E – y E E + x _____________ _____________ _____________ Hace “y” años Edad Actual Dentro de “x” años

Ejemplo:

Dentro de 20 años, José tendrá el doble de la edad que tuvo hace 10 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

tiPo ii (cuando intervienen dos o más sujetos):

En este caso es recomendable usar el siguiente cuadro:

Pasado(tuve)

Presente(tengo)

futuro(tendré)

Persona 1 A1 A2 A3Persona 2 B1 B2 B3

Relaciones que puedes utilizar para plantear ecuaciones en el cuadro:

ConclusionesOO A2 – A1 = B2 – B1 → A2 + B1 = A1 + B2OO A3 – A1 = B3 – B1 → A3 + B1 = A1 + B3OO A3 – A2 = B3 – B2 → A3 + B2 = A2 + B3

ejemplo:

Tengo el doble de la edad que tuviste, cuando tuve la tercera parte de tu edad actual y cuando tengas el doble de mi edad actual nuestras edades sumarán 155 años. ¿Cuál es tu edad actual?

Pasado(tuve)

Presente(tengo)

futuro(tendré)

yotú

otro tiPo de ProBlemas

Hay que tener presente:

Año de nacimiento + Edad = Año de la edad

Ejemplo:

En 1980, una persona observó que su edad era igual a las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿En qué año nació la persona?

mÓViLES

e

v t

e = Espacio total recorridov = Velocidad (rapidez)t = tiempo

e = v × t

i. tiemPo de encuentro

A B

va

e

vB

te =

ii. tiemPo de alcance

A B

va

e

vB

Si: va > vb

ta =

Ejemplo:

A las 9:00 parten de un mismo punto y en la misma dirección dos autos con velocidades constantes de 75 y 52 km/h. ¿Después de cuánto tiempo la distancia que hay entre ellos es de 46 km?


1. Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo?

A. 40B. 45

C. 50D. 55

2. La edad de Eduardo es a la de Carlos como 1 a 5. Si hace 5 años era de 1 a 7, ¿cómo será dentro de cinco años?

A. 23

B. 12

C. 14

D. 34

3. La edad de un hijo es los 2/5 de la de su padre, y hace ocho años la edad del hijo era los 2/7 de la edad del padre. Hallar las edades actuales.

A. 30 y 75B. 18 y 45

C. 28 y 70D. 20 y 50

ÁLGEBRASemana 13

Trilce Católica

CicloCatólica

70

4. La edad de "A" es el triple de la de "B" y hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá "B" dentro de 16 años. Hallar la edad de "A".

A. 21 añosB. 33

C. 24D. 8

5. Él tiene la edad que ella tenía, cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene, ¿cuántos años tiene ella?

A. 32B. 48

C. 54D. 35

6. Tengo 23 años menos que mi padre pero 22 años más que mi hijo. Si las tres edades suman 100 años, ¿qué edad tiene mi padre?

A. 45 añosB. 54

C. 56D. 64

7. María le dice a Estrella: "Yo tengo el cuádruplo de la edad que tú tenías, cuando yo tenía 17 años." Si Estrella tiene hoy 33 años, ¿qué edad tiene María?

A. 30 añosB. 40

C. 50D. 60

8. ¿Dentro de cuántos años tendrás la edad que yo tendré cuando tú tengas 20 años, si ahora tengo 20 años y tú 15 años?

A. 5 añosB. 10

C. 15D. 3

9. Rosa tiene 60 años. Su edad es el triple de la edad que tenía Elena cuando Rosa tenía la cuarta parte de la edad que tiene Elena. ¿Cuál es la edad actual de Elena?

A. 64 añosB. 32

C. 16D. 8

10. La edad de Pedro es los 3/5 de la edad de Juan. Si hace 10 años era solo la mitad, ¿cuál será la suma de las edades de Juan y Pedro dentro de cinco años?

A. 60B. 70

C. 80D. 90

11. Hace siete años mi edad era el doble de la que tú tenías, pero dentro de 13 años la relación será de 5 a 3. ¿Qué edad tuve yo cuando tu naciste?

A. 20 añosB. 40

C. 35D. 45

12. Dos personas tienen actualmente 28 y 21 años por lo tanto sus edades están en la relación de 4/3. El número de años que deben transcurrir para que la relación de sus edades sea 9/8 es:

A. 35B. 37

C. 40D. 41

13. Andrés tiene un año menos que Robinson y Robinson un año menos que Rocío. Si del cuadrado de la edad de

Rocío se resta el cuadrado de la edad de Robinson, la diferencia es cuatro años menos que los 17/5 de la edad de Andrés, hallar la edad de Rocío.

A. 4B. 7

C. 9D. 13

14. Si a la edad de Carlos se le duplica resulta menor que 84. Si a la mitad de dicha edad se le resta 7 resulta mayor que 12. Hallar la suma de las cifras de la edad de Carlos, si dicha suma es mayor que 5.

A. 6B. 12

C. 39D. 42

15. La razón entre las edades de Luis y Diego es de "m" a 1 (m > 1). Si "E" es la menor edad, ¿dentro de cuántos años la relación será de "n" a 1?

A. E(n + m)m + 1

B. E(n + m)m – 1

C. E(n – m)1 – n

D. E – mn – 1

16. La edad de un padre es tres veces la edad de su hijo, hace seis años la edad del padre fue cinco veces la edad del hijo. ¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que la edad del padre sea dos veces la edad del hijo?

A. 6 añosB. 8

C. 10D. 12

17. La edad que tendrá Sonia dentro de un cierto número de años y la edad que tenía Sonia hace ese mismo número de años suman 34. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de la edad que tenía hace dos años?

A. 10B. 6

C. 7D. 13

18. En cierto año, Rosa se preguntaba y meditaba sobre su edad: “Si el año en que cumplí los 16 años le suman el año en que cumplí los 20 años y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual obtendría 10 años”. Hallar la edad que en aquel mo-mento tenía Rosa.

A. 16 añosB. 21

C. 26D. 29

19. La edad de un hombre es “m” veces la edad “b” de su hijo. ¿Hace cuántos años la edad del padre fue “3m” veces la de su hijo?

A. mb3m – 1

B. 2mb3m – 1

C. mb3m + 1

D. 3mbm + 1

20. Mario le dice a José yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 126 años. ¿Cuál es la edad de Mario?

A. 63B. 28

C. 70D. 42

Álgebra

Trilce Católica 71

21. Faltan para las 3 p.m. la mitad del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?

A. 9 a.m.B. 10 a.m.

C. 8 a.m.D. 10 p.m.


A. 3 hB. 3,5

C. 2,5D. 4

23. Si la tercera parte del tiempo que ha pasado desde las 10 a.m. es la mitad del tiempo que falta para las 7 p.m. del mismo día, ¿qué hora es?

A. (1 h 24 min) p.m.B. (2 h 24 min) p.m.

C. (3 h 24 min) p.m.D. (5 h 24 min) p.m.

24. Si no se trata de un año bisiesto, ¿qué día del año el número de días transcurridos excede en dos a los 3/8 del número de días que faltan para terminar el año?

A. 10 de abrilB. 11 de abril

C. 12 de abrilD. 13 de abril

25. El producto de las horas transcurridas y las que faltan por transcurrir en el día es 140. Si se sabe que ya es más del mediodía, ¿cuánto falta para las 11 p.m.?

A. 7 horasB. 8

C. 9D. 12

26. Preguntándole a Scarlet por la fecha, esta respondió: el mes es octubre y quedan del mes 215 horas menos que las transcurridas, ¿a qué hora se le hizo la pregunta?

A. 10:00 p.m.B. Imposible

C. 11:00 p.m.D. 11:30 p.m.

27. Newton nació en el siglo XVII y murió en el XVIII. Se pregunta el año de su nacimiento y el de su muerte, sa-biendo que el número formado por las dos últimas cifras de la época de su nacimiento, aumentado en 12, es el doble del número formado por las dos últimas cifras de la época de su muerte, y este último número de dos cifras, aumentado en una unidad, es los 2/3 del primero.

A. 1638; 1725B. 1647; 1734

C. 1628; 1715D. 1642; 1727

28. En un día faltan tantas horas como minutos han transcu-rrido de la hora en que estamos, además el número de minutos que faltan para la hora siguiente son el cuádruple del número de horas que faltan. ¿Qué hora es?

A. 10:12B. 10:15

C. 11:10D. 11:12

29. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en ocho a los 4/47 del número de hojas que quedan?

A. 5 de febreroB. 6 de febrero

C. 7 de febreroD. 4 de febrero

30. En el mes de noviembre, cumplió años Cecilia; si el triple del día en que nació ella es menor que el día en que na-ció Alfredo, y además el día en que nació Cecilia supera al mes en que nació Alfredo. Si Alfredo nació después del mes de mayo y un día que tiene la particularidad de tener sus cifras iguales, ¿en qué fechas cumplieron años Cecilia y Alfredo?

A. 7 de noviembre – 11 de junioB. 7 de noviembre – 22 de junioC. 6 de junio – 11 de noviembreD. 6 de noviembre – 22 de junio

31. Un hombre demora ocho horas en recorrer los 2/3 de su recorrido a 30 km/h. Halla cuánto demora en recorrer 3/5 de su recorrido a 12 km/h.

A. 16 hB. 15

C. 18D. 20

32. Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua y con una bomba se traslada del primero al segundo cuatro litros por segundo. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro?

A. 4 min 37 sB. 3 min 21 s

C. 4 min 38 sD. 5 min 24 s

33. Dos móviles parten simultáneamente de un mismo punto con velocidades de 30 y 50 km/h, uno llega a las 9:40 a.m. y el otro llega 9:20 a.m. Hallar la hora de partida.

A. 8:05 a.m.B. 8:15 a.m.

C. 8:50 a.m.D. 8:35 a.m.

34. La distancia del Sol a la Tierra es aproximadamente 150 millones de kilómetros. ¿qué tiempo tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra, si la rapidez de la luz es de 300 000 km por segundo?

A. 6'20"B. 7'20"

C. 8'20"D. 9'20"

35. La velocidad de un auto es 10 km/h mayor que la de una moto. ¿Cuál es la velocidad de la moto, si en igual tiempo el auto recorre 200 000 metros y la moto 160 000 metros?

A. 4 km/hB. 40

C. 30D. 180

36. José y Manuel se proponen viajar a una ciudad que se encuentra a 126 km de Lima. José viaja 14 km cada día y Manuel el primer día 2 km, el segundo día el doble del día anterior y así sucesivamente. ¿Quién llegará primero y en cuántos días?

A. José, en 6 díasB. Manuel, en 9 días

C. José, en 9 díasD. Manuel, en 6 días

37. Un remero navega hacia un lugar que dista 48 km del punto de partida y regresa en 14 horas. Él observa que puede remar 4 km, siguiendo la corriente en el mismo tiempo que 3 km en contra de la corriente. Hallar la ve-locidad del remero.

A. 1B. 3,5

C. 4D. 7

Trilce Católica

CicloCatólica

72

38. Un camino se puede recorrer en cinco horas con cierta velocidad en kilómetros por hora. El mismo camino se puede hacer en una hora menos, aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Determinar la distancia del camino.

A. 16 kmB. 18

C. 20D. 25

39. Dos corredores Pedro y Juan parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra distantes de 60 km. La velocidad de Pedro es 4 km/h menor que la de Juan; después de llegar Juan a la segunda ciudad emprende inmediatamente el viaje de regreso y se encuentra con Pedro después de recorrer 12 km. ¿Cuál es la velocidad de Pedro?

A. 6 km/hB. 8

C. 10D. 12

40. Un excursionista parte en su auto a las 8 a.m. hacia un lugar distante 504 km. Tres horas después hace una parada en la cual se percata que la fracción transcurrida del día, es idéntica a la fracción de camino que aún le falta recorrer. ¿Qué velocidad tiene?

A. 67B. 91

C. 100D. 120

Tarea domiciliaria


A. 4B. 5

C. 8D. 10

2. María tiene 24 años, su edad es el doble de lo que tenía Flor cuando María tenía la edad que ahora tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor?

A. 15 añosB. 16

C. 17D. 18

3. La señora Viviana tuvo a los 17 años dos hijos mellizos. Hoy las edades de los tres suman 53 años. ¿Qué edad tendrán los mellizos dentro de cinco años?

A. 12B. 17

C. 15D. 18

4. Juana tuvo su primer hijo a los 20 años y ocho años des-pués tuvo a su segundo hijo. Si en 1992, las edades de los tres suman 42 años, ¿en qué año nació Ana?

A. 1980B. 1969

C. 1968D. 1962

5. La suma de las edades de un hijo con la de su padre es 50 años, dentro de cinco años sus edades estarán en la relación de 1 a 2. ¿En qué relación están actualmente?

A. 1 a 2B. 5 a 3

C. 3 a 7D. 2 a 5

6. El cuadrado de la edad de Juan menos tres es mayor que 165. En cambio el doble de su edad más tres da un número menor que 30. ¿Cuántos años tiene Juan?

A. 11B. 12

C. 13D. 14

7. Dentro de ocho años, la edad de Pedro será la que Juan tiene. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Pedro y Juan, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro?

A. 17B. 25

C. 9D. 24

8. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número "N"; y menor en cinco que el cuadrado del número siguiente a "N". ¿Cuántos años tiene la tortuga?

A. 276B. 245

C. 120D. 164

9. La edad de María es el triple de la de Rosa más 15 años y ambos suman 59 años. Dar como respuesta la suma de las cifras de la edad de Rosa.

A. 1B. 2

C. 12D. 15

10. Luis nació 14 años antes que Rosa. Hace “4m” años sus edades estaban en la relación de 10 a 3 y hace “4n” años estaban en la relación de 12 a 5; dentro de “6m” años sus edades serán como 20 es a 13 y dentro de “10n” años serán como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actualmente?

A. 42 añosB. 32

C. 36D. 38

11. Dos ciclistas salen simultáneamente de un cierto pun-to hacia un lugar distante 90 km. El primero recorre 1 km más que el segundo por hora, llega una hora antes. ¿Qué velocidad lleva al segundo?

A. 7 km/hB. 8

C. 9D. 10

12. Si a la mitad de los días transcurridos del año se le agrega la tercera parte de los que faltan para acabar el año se obtiene el número de días transcurridos. ¿Qué fecha es si no se trata de un año bisiesto?

A. 26 de mayoB. 27 de mayo

C. 26 de junioD. 27 de junio

13. Dos ciclistas salen de una ciudad al mismo tiempo, en la misma dirección y sentido. El primero con una velocidad de 27 km/h y el segundo con 18 km/h. Después de 5 horas de recorrido el primero se pone a descansar y se queda dormido durante cinco horas. Al despertar reinicia su carrera con la misma velocidad y alcanza al segundo a una distancia del punto de partida igual a:

A. 250 kmB. 225

C. 360D. 270

Álgebra

Trilce Católica 73

14. Un móvil cubre una distancia de “x” km en “t” horas, lle-gando retrasado en dos horas ¿Cuál sería la velocidad (en km/h) que permitiría el móvil llegar a su hora?

A. xt

B. xt – 2

C. xt + 2

D. xtt + 2

15. Si al año que cumplí los 12 años le sumas el año cuando cumplí los 20 años y a dicha suma le restas la suma del año en que nací y el año actual obtendremos seis. ¿Qué edad tengo?

A. 15B. 12

C. 20D. 26

16. Jaimito ha recorrido los 3/5 del camino que une a "A" con "B". Si aún le falta recorrer “n” km y lleva caminando siete horas, ¿cuál es la velocidad de Jaimito en km/h?

A. 6n7

B. 3n7

C. 2n7

D. 3n14

17. A un matemático le preguntan la hora y este contesta: “Los 2/3 de lo que falta para terminar el día, es igual al tiempo transcurrido de esta”. ¿Qué hora es?

A. 9 h 36 minB. 8 h 18 min

C. 8 h 36 minD. 7 h 42 min

18. Una liebre que va a una rapidez de 5 m/s persigue a un ciclista cuya rapidez es de 3 m/s y lo alcanza después que el ciclista. Ha recorrido un tramo que excede en 10 metros a la distancia que los separaba inicialmente. ¿Qué distancia recorrió la liebre?

A. 30 mB. 50

C. 20D. 40

19. Las edades actuales de "A"; "B" y "C" son entre sí como a los números 6; 8 y 11, respectivamente. Si hace seis años la edad de "A" era la mitad de la edad que tendrá "B" dentro de cuatro años, entonces "C" es mayor que "B" en:

A. 16 añosB. 5

C. 12D. 10

20. Se ha recorrido una distancia de 400 km en auto y a caballo; primero en auto a razón de 45 km/h; luego a caballo a razón de 8 km/h habiendo empleado en total 13 horas. ¿Qué distancia se recorrió en auto y qué distancia a caballo?

A. 320; 80 kmB. 280; 120

C. 340; 60D. 360; 40

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 75

DESiGUaLDaDES E iNEcUaciONESDESiGUaLDaD

Es la comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad:

>: “mayor que”<: “menor que”

≥: “mayor o igual que”≤: “menor o igual que”

iNTErVaLO

Es un conjunto de infinitos elementos que representa a todos los números reales comprendido entre dos extremos.

cLaSES DE iNTErVaLOS

intervalo acotado:

Si los extremos son números reales (finitos) que a su vez serán:

a. intervalo abierto. Es un intervalo en el cual no se con-sidera a sus extremos.

Ejemplo:

x– ∞ – 3 7 + ∞

Luego: x ∈ ⟨– 3; 7⟩ ó – 3 < x < 7

B. intervalo cerrado. Es un intervalo acotado en el cual se consideran a los extremos.

Ejemplo:

x– ∞ – 10 3 + ∞

Luego: x ∈ [ – 10; 3] ó – 10 ≤ x ≤ 3

c. intervalo semiabierto o semicerrado. Teniendo a uno de los extremos abiertos y al otro cerrado.

Ejemplo:

x– ∞ 2 7 + ∞

Luego: x ∈ ⟨2; 7] ó 2 < x ≤ 7

intervalo no acotado

Llamándose así cuando por lo menos uno de los extremos son el + ∞ ó – ∞.

Ejemplo:

x– ∞ – 3 + ∞

Luego: x ∈ [– 3; + ∞⟩ ó x ≥ – 3

x– ∞ 10 + ∞

Luego: x ∈ ⟨– ∞; 10⟩ ó x < 10

OPEraciONES cON iNTErVaLOS

Sean “A” y “B” intervalos, se definen y se denotan:

A ∪ B = {x ∈ lR / x ∈ A ∨ x ∈ B} A ∩ B = {x ∈ lR / x ∈ A ∧ x ∈ B} A – B = {x ∈ lR / x ∈ A ∧ x ∉ B} CA = AC = A´ = {x ∈ lR / x ∉ A} A' = Complemento de “A” respecto a lR A' = lR – A

TEOrEmaS DE LaS DESiGUaLDaDES

Sean “a”, “b”, “c”, “d” números reales, luego:

1. a 0: a bc

5. a – b

6. ∀ a ∈ lR: a2 ≥ 0

7. Suma:

a < b (+) c < d a + c < b + d

8. Producto:

0 ≤ a < b (x) 0 ≤ c < d 0 ≤ ac < bd

nota:

Si se cumple que: 0 < a 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)

10. ab < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)

11. a > 0 ⇔ 1a > 0

ÁLGEBRASemana 14

Trilce Católica

CicloCatólica

76

12. b < 0 ⇔ 1b < 0

13. Si “a” y “b” tienen el mismo signo, entonces:

a 

1b, es decir:

0 < a 

1b > 0

a 1a >

1b

14. Sean: a < 0 ∧ b > 0, luego:

a < x < b ⇒ 0 ≤ x2 < máx (a2, b2)

Por ejemplo, si: – 3 < x < 4, entonces:

0 ≤ x2 < máx {(– 3)2; 42} ⇒ 0 ≤ x2 < 16


1. Si: A = ]– ∞; 1[ B = ]– 4; 8] C = ]5; 16]

hallar: (A ∪ B)’ – C

A. ]16; + ∞[B. [16; + ∞[

C. ]– ∞; 5]D. ]– ∞; 5[

2. Resolver: A = [5; 8] B: 2x + 3 < x + 10

hallar: B ∩ A

A. [5; 7[B. ]5; 7[

C. [5; 7]D. ]5; 7]

3. En los números reales:

I. Si: a 0III. (a + b)2 ≥ 2ab

Son verdaderas:

A. Solo IB. Solo II

C. Solo IIID. Todas

4. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Si: x < y ⇒ 1x

> 1y

II. Si: x < 0 ⇒ x2 > x3

III. Si: x ∈ lR– ⇒ x > x – 1

A. V V VB. F V V

C. V F VD. V F F

5. Para los números reales:

I. Si: x < y ⇒ x + z < y + zII. Si: x < 0 ⇒ – x > 0

III. x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x + yx < 0

Son verdaderas:

A. Solo IB. Solo II

C. I y IID. Todas

6. Si: – 10 < a < – 5; – 2 2 (x + 1)

A. x < 1B. x > 1

C. x ≤ 1D. x ≥ 1

8. Hallar el menor valor entero de “y” si:

x = 4y + 2x x – 3 < y – 4

A. 1B. 2

C. 3D. 4

9. Resolver: 4x3

– 1 ≤ 3x5 + 2

A. – ∞; 4511

B. φ

C. – ∞; 4511

D. 4511; + ∞

10. Hallar el mayor valor entero que satisface:

x – 12

+ x – 2

3 ≤ x – 3

4 +

x – 4

5

A. 2B. 1

C. 0D. – 1

11. ¿Cuál es el menor número par que verifica?

12x – 83

+ 2x – 3

4 >

6x – 8

3 +

8x – 4

6

A. 2B. 4

C. 6D. 8

12. Resolver: 2x + 4 ≤ 3x + 6 ≤ 5x – 10

A. [– 2; ∞[B. [– 8; ∞[

C. [8; ∞[D. φ

13. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 8 ≤ 2x + 6

A. lRB. ]– ∞; 4[

C. ]4; ∞[D. φ

14. Resolver: 2 ≤ 5 – 3x < 11

A. ]– ∞; 2[B. ]– 2; + ∞[

C. ]– 2; 1]D. [– 2; 1]

Álgebra

Trilce Católica 77

15. La suma de todos los enteros “x” que satisfacen el sis-tema:

4x – 57

< x + 3 .................. (I)

3x + 84

> 2x – 5 ................. (II)

es:

A. – 21B. – 36

C. – 18D. – 30

16. Dados los conjuntos:

M = {x ∈ lR / – x + 14 ≥ – 3x + 13}

N = {x ∈ lR / x3 + 2x ≤ x – 12}

Hallar: M – N

A. φ

B. lR

C. – 38; 427

D. 124 ; + ∞

17. Hallar un número de dos cifras, si se sabe que la suma de ellas es mayor que 9 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de la que ocupa el lugar de las unidades es mayor que 6.

A. 19B. 91

C. 81D. 41

18. Un comerciante vendió en un año la tercera parte del total de artículos que tenía; al año siguiente vendió la quinta parte de los que inicialmente tenía y cinco más, y al año siguiente, vendió la cuarta parte de los que tenía inicialmente y tres más. En el primer año vendió menos artículos que en el segundo año y más que el tercero. ¿Cuántos artículos tenía?

A. 51B. 37

C. 29D. 33

19. El perímetro de un rectángulo es 90 m y su área es su-perior a 504 m2. Si sus lados son números enteros, ¿en cuánto excede el largo al ancho?

A. 3 mB. 4

C. 1D. 2

20. Tres individuos cuentan el número de piezas que por minuto fabrica una máquina. El primero contó la mitad menos tres, el segundo contó la sexta parte y 12 piezas y el tercero contó la cuarta parte y 10 piezas. Si el primero contó más piezas que el segundo pero menos que el tercero, ¿qué número de ellos arroja la máquina?

A. 46B. 48

C. 50D. 52

21. Se tiene cierta cantidad de vasos cuyo costo total fue de 9200. Si se vendiera cada uno a 400, se produciría cierta pérdida, pero si se vendiera a 420 cada uno, se produciría cierta ganancia. ¿Cuánto se ganaría, si se vendiera a 500 cada uno?

A. 1000B. 800

C. 1800D. 1200

22. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 6 mesas y vende 36, quedándose menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas hizo?

A. 145B. 157

C. 147D. 141

23. Si al doble de la edad de cierta persona se resta 17 años resulta menor que 35; pero si a la mitad de la edad se suma 3 el resultado es mayor que 15. ¿Cuál es dicha edad?

A. 12B. 24

C. 25D. 26

24. Se desea saber el menor número de postulantes que rinden un examen conociendo que su doble disminuido en 23 no llega a 95 y que al retirarse 13 quedaron más de las tres cuartas partes del número inicial, siendo estos últimos los que ingresaron. Indicar la suma de cifras del número.

A. 7B. 11

C. 10D. 8

25. Si: x ∈ ]2; 8[ ∧ 7x – 1 ∈ ]m; n[, hallar “m.n”

A. 1B. 2

C. 7D. 14

26. Dada la expresión: K = a2 + 5

¿Entre qué valores varía “K” si: a ∈ ⟨ – 3; 8]?

A. [0; 64]B. [0; 69]

C. [5; 69]D. [0; 64[

27. Si: (x + 1) ∈ [5; 9 ⟩, hallar el intervalo para: N = 8x – 2

A. [23 ; 16⟩

B. ⟨23 ; 16]

C. ⟨53 ; 16]

D. ⟨43 ; 16]

28. Hallar la suma de los enteros que adopta:

N = 3x – 5x – 2 ; si: x ∈ ⟨ – 2; 1]

A. 4B. 2

C. 0D. 1

29. Si: (2x – 1) ∈ [ – 5; 7⟩, entonces, ¿a qué intervalo per-tenece “x”?

A. x ∈ [– 2; 4]B. x ∈ ⟨– 2; 4]

C. x ∈ [– 2; 4⟩D. x ∈ [– 4; 2⟩

30. Si: x ∈ ]2; 4[, ¿a qué intervalo pertenece: 12x + 3 ?

A. 111;

17

B. 15;

13

C. – 12;

16

D. 112;

34

Trilce Católica

CicloCatólica

78

2. Sabiendo que: x ∈ [2; 5], determinar el intervalo en que

se encuentra: y = x – 1x + 3

A. 16;

15

B. 17;

15

C. 15;

12

D. 15;

13

3. Si: a ∈ IR+ y – b ∈ IR+ entonces:

I. 1b < 1a

II. b(b – a) > 0

III. b3

a – b2 < 0

IV. a2 < b2

¿cuántas se cumplen?

A. NingunaB. 1

C. 2D. 3

4. Si: – 3 < x < 2; entonces: a ≤ x2 – 2x – 4 < b

hallar la ecuación de segundo grado que tenga raíces “a” y “b”.

A. x2 – 6x = 55B. x2 + 6x = 55

C. x2 – 6x = – 55D. x2 + 6x = – 55

5. Si se cumple: – 3 ≤ a < 6; hallar el máximo valor entero de: – 4a + 8

A. 20B. 16

C. – 16D. – 20

6. Si se sabe: – 2 < a ≤ 1; indicar el valor que no puede

tomar: 2a + 42a – 3

A. – 5

B. – 14

C. – 7

D. – 4

7. Si: – 1 < x ≤ 4; hallar el mínimo valor de: x2 – 4x + 2

A. 2B. – 2

C. 3D. – 3

8. Si: – 3 ≤ x < 5; determinar el mayor valor de: x2 – 4x + 7

A. 26B. 12

C. 28D. 36

9. Si: 0 < x < 5; ¿qué valor no puede adoptar: (x – 5)(x – 1) + 2?

A. 6B. 3

C. – 2D. – 3

10. Si: 2 ≤ a ≤ 10 ∧ – 1 ≤ b ≤ 3; hallar el mínimo valor de: a + ba – b

A. 111

B. 211

C. 113

D. 213

31. Si: 12x + 8

∈ 112;

16

entonces: x ∈ [m; n]; halle: mn

A. – 8B. – 2

C. – 15D. – 6

32. La tercera parte de cierto número entero disminuido en 3 es mayor que 25; pero la cuarta parte del mismo número disminuida en 2 es menor que 24. Dar como respuesta el producto de cifras del número si este número es múltiplo de 12.

A. 8B. 40

C. 54D. 45

33. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir sus cifras se obtiene otro mayor que 71. Si la suma de cifras es mayor que 9, ¿cuántos divisores positivos admite dicho número?

A. 1B. 2

C. 3D. 4

34. Una persona dispone de cierta cantidad para premiar a sus sobrinos. Pensó darles 500 pesos a cada uno, pero le faltaban más de 200 pesos. Después pensó darles 450 pesos a cada uno y le sobraban más de 300 pesos. Por último decide darles 400 pesos a cada uno y le sobraban menos de 875 pesos. Hallar el número de pesos que tenía sabiendo que es múltiplo de 20.

A. 5280B. 5300

C. 5250D. 5260

35. Un padre dispone de S/. 320 para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de S/. 50 le falta dinero y si las toma de S/. 40 le sobra dinero. ¿Cuántos hijos tiene el padre?

A. 5B. 7

C. 6D. 4

36. A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de pollitos de los que vendió 35 y le quedaron más de la mitad, luego le devuelven 3 y vende después 18 con lo que le restan menos de 22 politos. ¿Cuántos pollitos le dieron?

A. 69B. 70

C. 71D. 72

37. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres unida-des, indicar el intervalo de valores para el menor de los lados de modo que el área sea numéricamente menor que el perímetro.

A. ⟨– 2; 3⟩B. ⟨– 1; 3⟩

C. ⟨0; 3⟩D. ⟨0; 2⟩

Tarea domiciliaria

1. Si: x ∈ 18;

15 , ¿a qué intervalo pertenece: 3

1 – 2x?

A. [5; 8]B. [1; 3]

C. [1; 5]D. [4; 5]

Álgebra

Trilce Católica 79


+ 5x – 6

4 ≥ 7x – 8

– 2

indicando un valor que la verifica.

A. – 1B. 2

C. – 3D. 0

12. Resolver: 2(x – 3) + 3(x – 2) > 4(x – 1)

Indicando el menor valor entero de “x”

A. 1B. 8

C. 7D. 9

13. Resolver: (x + 2)(x + 4) + 2x ≤ (x + 3)2 + 2x

A. x ∈ IRB. x ∈ IR+

C. x ∈ φD. x ∈ IR – {0}

14. Si al resolver: 3x + 42

– x5

≥ 8 + 2x + 1

3

se obtiene: [n + 1; + ∞[; calcular: n2

A. 81B. 100

C. 64D. 121

15. ¿Cuántos números enteros permiten que en la fracción

(4x + 66x + 4), el numerador sea menor que el denominador,

si además: x ∈ [1; 9[?

A. 7B. 1

C. 3D. 4

16. Si: a > 0 ∧ b > 0 ∧ a > b resolver: ab x + ba

≥ ba

x + ab

A. x ≤ 1B. x ≥ 0

C. x ≥ 1D. x ≤ – 1

17. El número de discos contenidos en una caja es tal, que su duplo disminuido en 86, es mayor que 200. De la caja se sacan 17 discos y quedan menos que la diferencia entre 200 y la mitad de los discos que había inicialmente, ¿cuántos discos eran?

A. 121B. 131

C. 144D. 172

18. Hallar un número entero positivo que sumando con 11, resulte mayor que el triple de él, disminuido en siete, y que sumado con cinco, resulte menor que el doble de él, disminuido en dos.

A. 6B. 7

C. 8D. 9


x + 2 ≤ 3(x – 6) ............... (1) 3x – 2 < 2(1 – x) + 66..... (2)

A. x ∈ [10; 14[

B. x ∈ [– 10; 14[

C. x ∈ ]– 14; 10]

D. x ∈ – 58; 1

20. Resolver: 2x + 1 ≤ 3x + 2 ≤ – 5x – 3

A. x ∈ [ – 1; 0]

B. x ∈ –1; –58;

C. x ∈ [ – 1; 1]

D. x ∈ –58; 1

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 81

iNEcUaciONES DE SEGUNDO GraDOPresenta la siguiente forma general:

P(x) = ax2 + bx + c 0

x → incógnitaa; b; c → coeficientes

resolución:

1. Se verificará que “a” sea mayor que cero. Si: a < 0 entonces se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad, multiplicando por “– 1” a ambos miembros,

Ejemplo:

Resolver: – 2x2 + 7x – 3 > 0

Multiplicando por – 1:

(– 1) . (– 2x2 + 7x – 3) < 0 ⇒ 2x2 – 7x + 3 < 0

2. Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces, se pueden presentar los siguientes casos:

OO Caso I: ∆ > 0

En este caso el trinomio siempre será factorizable en los reales, para su resolución se empleará el método de los puntos críticos.

Procedimiento:

A. Se descompone el trinomio en dos factores lineales, al igualar cada factor a cero se hallan los puntos críticos, si el trinomio no fuera factorizable en los racionales los puntos críticos se hallarán mediante la fórmula general de la ecuación de segundo grado.

B. Se ubican los puntos críticos en la recta numérica di-vidiéndola en tres intervalos los cuales tendrán signos alternados a partir de la derecha empezando por (+).

C. Luego se considera cualquiera de los casos mos-trados:

OO P(x) > 0; ó P(x) ≥ 0, el conjunto solución serán las zonas positivas.

OO P(x) < 0; ó P(x) ≤ 0, el conjunto solución será la zona negativa.

ejemplo:

Resolver: x2 – 2x – 15 ≥ 0 1442443

P(x)

resolución:

A. Factorizando: (x – 5)(x + 3) ≥ 0

Puntos críticos: OO x – 5 = 0 → x = 5OO x + 3 = 0 → x = –3

B. Ubicándolos en la recta numérica:

–3

Zonas

– ∞ + ∞+–+

5

C. Luego como P(x) ≥ 0, el conjunto solución serán las zonas positivas

∴ x ∈ ⟨–∞; –3] ∪ [5; + ∞⟩

OO Caso II: ∆ = 0

En este caso el trinomio es un cuadrado perfecto y tie-ne una raíz doble (un solo punto crítico). Dicho trinomio será siempre mayor o igual que cero, recordar que:

x2 ≥ 0; ∀ x ∈ IR

ejemplo:

Resolver: x2 – 6x + 9 > 0

resolución:

A. Factorizando: (x – 3)2 > 0

Punto crítico: x – 3 = 0 → x = 3

B. En la recta numérica:

3

++– ∞ + ∞

C. Luego, como: P(x) > 0, la solución será:

x ∈ ⟨– ∞; + ∞⟩ – {3} (Observar que: x = 3 no verifica)

OO Caso III: ∆ < 0

En este caso el trinomio no es factorizable en los reales pues posee raíces imaginarias, este trinomio sería siempre positivo y su solución puede ser IR o φ según sea la forma de la inecuación:

Ejemplo:

Resolver: 9x2 + 6x + 2 ≥ 0

resolución:

∆ = 62 – 4(9)(2) = – 36 < 0

Entonces el trinomio será siempre (+)

∴ Conjunto solución: x ∈ IR ≡ ⟨– ∞; + ∞⟩

ÁLGEBRASemana 15

Trilce Católica

CicloCatólica

82

teorema del trinomio Positivo

El trinomio: ax2 + bx + c será (+) para todo “x” ∈ IR siempre que: a > 0 ∧ D < 0

PrOBLEmaS rESUELTOS

1. Resolver: (x – 5)(2x – 3) < 0

resolución:

Igualando a cero cada factor:

x – 5 = 0 ∧ 2x – 3 = 0

x = 5 ∧ x = 32

+–+53

2

Luego:

∴ C.S. ]32

; 5[

2. Resolver: x2 – 16 ≥ 0

resolución:

Factorizando: x2 – 16 > 0

(x + 4)(x – 4) > 0

puntos críticos: x = – 4; x = 4

+–+4– 4

C.S. = ]– ∞; – 4] ∪ [4; + ∞[

3. Resolver: (x + 5)2 – 32 ≤ 0

resolución:

Factorizando por diferencia de cuadrados:

(x + 5 + 3)(x + 5 – 3) ≤ 0

(x + 8)(x + 2) ≤ 0

Puntos críticos: x = – 8; x = – 2

+–+– 2– 8

∴ C.S = [– 8; – 2]

4. Resolver: x2 – x – 1 ≤ 0

resolución:

Utilizamos la fórmula general para hallar las raíces de: x2 – x – 1

x = – b ± b2 – 4ac

2a =

– (–1) ± (–1)2 – 4(1)(–1)

2(1)

x = 1 ± 5

2; puntos críticos

+–+1 – 5

21 + 5

2

C.S = 1 – 52

; 1 + 5

2

5. Resolver: x2 + 8x + 16 < 0

resolución:

Factorizando tenemos: (x + 4)2 < 0

De aquí: C.S = φ


nivel i

1. Resolver: x2 – 8x + 15 > 0

A. ]– ∞; 5[B. ]5; + ∞[

C. ]3; 5[D. ]– ∞; 3[ ∪ ]5; + ∞[

2. Resolver: x2 – 2x – 8 < 0

A. ]– 4; 2[B. ]2; 4[

C. ]– 2; 4[D. ]– 4; – 2[

3. Resolver: (x – 1)(x – 2) ≤ 12

A. [– 2; 5]B. [1; 5]

C. [– 2; 4]D. [3; 5]

4. Resolver: x2 + 2x – 1 < 0

A. x ∈ ]– 2 ; 2 [B. x ∈ ]– 1 – 2 ; 1 – 2 [C. x ∈ ]– 1 – 2 ; 1 + 2 [D. x ∈ ]– 1 – 2 ; –1 + 2 [

5. Resolver: x2 + 4x + 4 ≥ 0

A. [2; + ∞[B. ]– ∞; 2]

C. [0; + ∞[D. IR

6. Resolver: x2 – 6x + 9 > 0

A. [3; + ∞[B. ]– ∞; 3]

C. IRD. IR – {3}

7. Resolver: (5 – x) (x + 2) > 6. Indicar la suma de enteros que verifica.

A. 2B. 4

C. 6D. 10

8. Resolver: x(x – 12) ≤ – 36

A. x ∈ [6; + ∞[B. x ∈ ]– ∞; 6[

C. x ∈ IRD. x ∈ {6}

Álgebra

Trilce Católica 83

9. Resolver: x2 ≤ 9. Indicar el intervalo solución.

A. [0; 3]B. [– ∞; 3]

C. [– 3; + ∞[D. [– 3; 3]

10. Resolver: x3 – 1 < (x – 1)3

A. x ∈ ]0; 1[B. x ∈ ]– ∞; 1]

C. x ∈ [– 1; 0]D. x ∈ [– 1; + ∞[

nivel ii

11. Resolver: x2 + 10x + 27 ≥ 0

A. ]– ∞; +∞[B. ]0; + ∞[

C. IR – {5}D. φ

12. Resolver: x2 – 8x + 19 < 0

A. ]– ∞; + ∞[B. ]0; + ∞[

C. {4}D. φ

13. Hallar el menor número entero “n” tal que ∀ x ∈IR se cumpla que: x2 + 2x + n > 0

A. 1B. – 1

C. – 4D. 3

14. El mayor número entero “m” que satisface la desigualdad:

2x2 – 8x + 1 ≥ 2m; ∀ x ∈ IR

A. – 1B. 1

C. 3D. – 4

15. Resolver: x(x + 4)(x + 6) + 16 ≤ (x + 1)(x + 2)(x + 6)

A. x ∈ φB. x ∈ ⟨– ∞; + ∞⟩

C. x ∈ {2}D. x ∈ {– 2}

16. Resolver: x(x – 5) + 700x – 3

< x – 8 + 700x – 3

A. x ∈ ]2; 4[B. x ∈ IR

C. x ∈ ]2; 4[ – {3}D. x ∈ IR – {3}

17. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son falsos?

I. 4x2 – 4x + 1 > 0 → x ∈ IR – {2–1}II. (7x – 1) ≤ 0 → x ∈ φIII. 2x2 ≥ x → x ∈ IRIV. (x – 1)2 ≥ 0 → x ∈ IRV. x2 – 2x + 1 < 0 → x ∈ φ

A. 1B. 2

C. 3D. 4

18. Si: [a; b], es el conjunto solución de: x2 + 4x + 1 ≤ 0. Hallar: P = (a + 1) (b + 1)

A. 2B. – 4

C. – 2D. 8

19. Resolver: x2 + 35 + 2

x < 1

Se obtiene: ]a, b[. Indicar “ab”.

A. 1B. – 1

C. 2D. 5 + 2

20. La inecuación cuadrática: x2 + ax + b > 0; {a; b} ⊂ ZZ, tiene como conjunto solución: IR – [1 – 5 ; 1 + 5 ]. Hallar: a2 – b3

A. 4B. 64

C. 68D. 60

nivel iii

21. Resolver: (ax – b)2 ≥ (bx – a)2. Siendo: 0 < a < b

A. ]– ∞; – 1]B. [– 1; 1]

C. ]– ∞; –1] ∪ [1; + ∞[D. ]– ∞; 1]

22. En un rectángulo el largo excede al ancho en tres uni-dades. Indicar a qué intervalo pertenece el menor de los lados, si el área de dicho rectángulo es numéricamente menor que su perímetro.

A. ]– 2; 3[B. ]0; 3[

C. ]0; 4[D. ]– 1; 3[

23. Resolver: 5 < x2 – 8x + 25 < 18

A. ]– 7; – 1[B. [– 7; 1]

C. ]1; 7[D. [1; 7[

24. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

4x2 – 1 > 0 – 2x2 + 5x > 3

A. 1; 12

B. – 1; 1

C. 1; 32

D. –

32 ; – 1

25. Hallar todos los valores de “a” para que la inecuación x2 + (x + a)2 + 2x ≤ 1; tenga solución única. Indicar el producto de valores.

A. 1B. 2

C. 3D. – 3

26. ¿Cuál es el valor apropiado para “a” de tal manera que el siguiente sistema:

2x2 + 3x – 9 < 0 2x2 – 3x – 5 ≤ 0 x > a

admita solución única en ZZ + ?

A. – 0,3B. 0,2

C. 1,2D. 0


A = {x / x ∈ IR ∧ x2 + 2x – 15 ≤ 0}B = {x / x ∈ IR ∧ x2 + 4x – 32 ≤ 0}

Luego se puede afirmar:

A. A ∧ B = φB. B ⊂ A

C. A ⊂ BD. A – B = [ – 8; 4]

Trilce Católica

CicloCatólica

84

28. Determinar el conjunto de todos los valores de “K” para los cuales las raíces de la ecuación:

x2 – K(x – 1) – 1 = 0 son reales y distintas.

A. [ – 2; 2]B. {2}

C. ]– ∞; 2[ ∪ ]2; + ∞[D. {– 2}

29. El beneficio anual de una empresa es: M = – x2 + 10x – 9 donde “x” es el precio por unidad de producto. ¿Para qué valores de “x” el beneficio es superior a 12 unidades monetarias?

A. 7 < x < 11B. 1 < x < 6

C. 3 < x < 7D. 2 < x < 5

30. Halle los valores de “r”, donde r ∈ IR; para los cuales el siguiente polinomio: P(x) = (r – 1) . (rx + x + 2); ∀ x ∈ IR, además (x + 1) es positivo.

A. r ∈ [2; + ∞[B. r ∈ [1; + ∞[

C. r ∈ ] –1; + ∞[D. r ∈ ]1; + ∞[

Tarea domiciliaria

1. Resolver: x2 – 12x + 32 < 0

A. x ∈ ]4; 8[B. x ∈ ]4; 10[

C. x ∈ ]– 4; – 2[D. x ∈ ]– 8; – 4[

2. Resolver: x2 + 11x + 28 ≥ 0

A. x ∈ [– 7; – 4]B. x ∈ ]– ∞; – 7] ∪ [ – 4; +∞[C. x ∈ [4; 7]D. x ∈ ]−∞; 4] ∪ [7; + ∞[

3. Resolver: x2 – 2x – 48 < 0

A. x ∈ IRB. x ∈ ⟨0; 8⟩

C. x ∈ ⟨– 6; 0⟩D. x ∈ ⟨– 6; 8⟩

4. Al resolver: x2 ≤ 16

Se obtiene de solución: [2a; b + 2]. Calcular: a + b

A. 2B. 4

C. 0D. 6

5. Luego de resolver: (x – 2)2 > 25

Se obtuvo el C.S.: ]− ∞; m[ ∪ ]n; + ∞[. Hallar: m . n

A. 21B. – 21

C. 28D. – 28

6. Si: x2 + ax + b < 0; presenta como solución: x ∈ ⟨– 4; 2⟩, hallar: a + b

A. – 2B. 3

C. – 6D. – 5

7. Resolver: (x – 3)2 ≤ x – 3, indicar como respuesta la suma de los valores enteros de su conjunto solución.

A. 2B. 3

C. 7D. 6

8. Resolver: (x – 5)2 ≥ 0

A. x ∈ IRB. x ∈ φ

C. x ∈ IR – {5}D. x = 5

9. Resolver: x2 – 14x + 49 < 0

A. x ∈ IRB. x ∈ IR – {7}

C. x ∈ φD. x = 7

10. Indique cuántos valores enteros no verifican la inecuación:

x2 + 2510

> x

A. 0B. 1

C. 2D. 3

11. Resolver: x2 – 5 ≤ 3x + 5 < x2 + 5

A. x ∈ [ – 2; 0[ ∪ ]3; 5]B. x ∈ [ – 2; 5]

C. x ∈ [0; 2[ ∪ [3; 5[D. x ∈ IR

12. Al resolver: x2 – 3x > x – 3 .......... (1) x(x + 1) < 5x + 5 ....... (2)

Se obtiene como C.S.: ]a; b[ ∪ ]c; d[. Hallar: a + b + c + d

A. 9B. 7

C. 8D. – 7

13. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres uni-dades. Hallar el intervalo de valores del mayor de estos lados de manera que el número de unidades cuadradas del área, sea menor que el número de unidades del pe-rímetro del mismo.

A. ]1; 4[B. ]2; 5[

C. ]1; 6[D. ]4; 7[

14. Si: x2 – ax + β ≤ 0; presenta como conjunto solución: x ∈ [3; 4 ]; hallar “a + b”

A. 5B. 7

C. 19D. 18

15. Hallar el menor número entero “M”, tal que para todo x ∈ IR se cumpla: – x2 + 4x – 10 < M

A. – 6B. – 3

C. – 1D. 1

16. De los siguientes enunciados, cuántos son verdaderos:

I. (x – 3)2 < – 3 → x ∈ φII. (x + 4)2 > – 4 → x ∈ IR

III. (2x – 2)2 > 0 → x ∈ IR – 12

IV. (x + 3)2 < 0 → x ∈ φV. x2 – x + 5 > 0 → x ∈ IR

A. 1B. 2

C. 3D. 4

Álgebra

Trilce Católica 85


A = {x ∈ IR / x2 – 8x + 12 > 0}B = {x ∈ IR / x2 + 2x – 35 < 0}

hallar “A ∩ B” e indicar el número de elementos enteros que verifica.

A. 6B. 7

C. 8D. 9

18. Al resolver: (x – 6)(x + 3)(x + 5) > (x + 3)(x + 4)(x – 6) el conjunto no solución obtenido es:

A. IR – [– 3; 6]B. ]3; 6[

C. ]– 3; 6[D. ]– 3; + ∞[

19. Resolver la inecuación: 10 + 2x – 7

– 4x – 3x – 7

< xx – 7

y dar como respuesta la suma de los valores enteros que la verifican.

A. 38B. 50

C. 57D. 70

20. Determinar el menor número “M” tal que se verifique:

– 13 – 4x – x2 ≤ M; ∀ x ∈ IR

A. – 7B. – 8

C. – 9D. – 10

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 87

Dados dos conjuntos “A” y “B” no vacíos; se define FUN-CIÓN DE “A” EN “B”:

F: A → B

A la relación de “A” en “B” que cumple:

A un elemento del conjunto “A” le corresponde un único elemento del conjunto “B”.

x

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

F

A B

y

2

F

A B

3

1 4

4 0

F = {(1; 4), (2; 3), (4; 0)}

Sí es función (cumple definición)

5

G

A B

4

3 2

6 1

Ejemplos:

G = {(3; 2), (3; 4), (6; 1)}

No es función (No cumple la definición) pues al elemento 3 de “A” le corresponde dos elementos de “B”.

oBservaciones:

1. (x; y) ∈ F → y = F(x), donde:

x: pre-imagen de “y”

y: imagen de “x” mediante F.

ejemplo:

De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)}

(4; 1) ∈ F → F(4) = 1(6; 2) ∈ F → F(6) = 2(3; 7) ∈ F → F(3) = 7

2. (a; b) ∈ F y (a; c) ∈ F → b = c

ejemplo:

Si: F = {(2; a), (3; b + 1), (2; 5), (3; 6), (7; 2a – 1)} es función, calcular “a + b” .

resolución:

OO (2; a) ∈ F ∧ (2; 5) ∈ F → a = 5OO (3; b + 1) ∈ F ∧ (3; 6) ∈ F → b + 1 = 6 ⇒ b = 5

∴ a + b = 10

3. dominio de una función: Conjunto de pre-imágenes

rango de una función: Conjunto de imágenes

Ejemplo:

De la función: F = {(4; 1), (6; 2), (3; 7)}

OO Dominio de F = Dom(F) = {4; 6; 3}OO Rango de F = Ran(F) = {1; 2; 7}

4. y = F(x): Se le llama Regla de correspondencia de “F”.

Ejemplo:

Si: F(x) = 2x + 1; con: Dom(F) = {4; 6; 0}

OO x = 4 → F(4) = 2(4) + 1 = 9OO x = 6 → F(6) = 2(6) + 1 = 13OO x = 0 → F(0) = 2(0) + 1 = 1

Luego: F = {(4; 9), (6; 13), (0; 1)}

gráfica de una función

Sea “F” una función real (F: lR → lR) La gráfica de “F” es el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano obtenido mediante:

G = {(x; y) ∈ lR x lR / x ∈ Dom (F) ∧ y = F(x)}

“Una relación F ⊂ lR × lR es una función real, si y sola-mente si, las rectas paralelas al eje “y”, que cortan a la gráfica de “F”, lo hacen a lo más, en un punto”.

fUNciONES i

ÁLGEBRASemana 16

Trilce Católica

CicloCatólica

88

y F1 punto

x

OO “F” es función, pues la recta paralela al eje “y” trazada, corta a su gráfica como máximo en un solo punto.

y G

2 puntos

x

OO “G” no es función, pues la recta paralela al eje “y” trazada, corta a su gráfica en más de un punto.

criTEriOS Para caLcULar EL DOmiNiO Y EL raNGO

Dada una función real “F” con regla de correspondencia y = F(x), para obtener el:

A. Dominio, se despeja “y” en función de “x”, analizando los valores que pueden tomar “x” de forma que “y” exista.

B. Rango, se despeja “x” en función de “y” analizando los valores que puede tomar “y” de forma que “x” exista.

Las condiciones que deben cumplir las variables analiza-das (condiciones de existencia) de manera que sean reales, son:

AB ∈ IR → B ≠ 0 APAR ∈ IR → A ≥ 0

Ejemplos:

1. Proporcionar el dominio de: G(x) = x + 14 – 4 – x2x – 6

resolución:

El dominio de “G(x)” se obtendrá:

OO x + 14 ∈ IR → x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1.............. (a)

OO 4 – x ∈ IR → 4 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4 ................ (b)

OO 2x – 6 ≠ 0 (denominador ≠ 0) ⇒ x ≠ 3 .......... (γ)

Los cuales deben cumplirse simultáneamente.

Luego, de (a), (b) y (γ):

x ≥ – 1 ∧ x ≤ 4 ∧ x ≠ 3

– 1 ≤ x ≤ 4 ∧ x ≠ 3

DOM (G) = [– 1; 4] – {3}

2. Hallar el rango de la función: F(x) = 3x2 + 4x2 – 4

resolución:

Sea: y = F(x) → y = 3x2 + 4x2 – 4

OO Despejando “x”: y(x2 – 4) = 3x2 + 4

yx2 – 4y = 3x2 + 4

yx2 – 3x2 = 4y + 4

x2(y – 3) = 4(y + 1)

x2 = 4(y + 1)y – 3

Entonces: x = ± 2 y + 1y – 3

OO Luego, si: x ∈ IR → y + 1y – 3

≥ 0

Resolviendo: Puntos críticos: – 1; 3

– 1– ∞ + ∞

+–+

3

RAN(F) = ⟨– ∞; – 1] ∪ ⟨3; + ∞⟩

PrOBLEmaS rESUELTOS

1. Si la relación:

F = {(a; 5), (2; a2 – 3a), (4; a), (2; 2a – 6), (4; b – 1)}

Es una función, entonces el valor de: F(b) + F[F(a) – 3] será:

resolución:

OO Por ser el conjunto una función, entonces:

(2; a2 – 3a) ∈ F ∧ (2; 2a – 6) ∈ F → a2 – 3a = 2a – 6

→ a2 – 5a + 6 = 0

Resolviendo: a = 2; a = 3

También: (4; a) ∈ F ∧ (4; b – 1) ∈ F → a = b – 1

OO Si: a = 2 → b = 3; reemplazando en “F”:

F = {(2; 5), (2; – 2), (4; 2), (2; – 2), (4; 2)}

→ F = {(2; 5), (2; – 2), (4; 2)} No es función

OO Si: a = 3 → b = 4; reemplazando en “F”:

F = {(3; 5), (2; 0), (4; 3), (2; 0), (4; 3)}

→ F = {(3; 5), (2; 0), (4; 3)} Sí es función

Luego, piden: F(4) + F[F(3) – 3] = F(4) + F(2) = 3

Álgebra

Trilce Católica 89

2. La tabla muestra los valores hallados para la función: F(x) = ax2 + b

x 1 0

F(x) 8 5

Luego, el producto “a . b” es:

resolución:

De la tabla:

OO Si: x = 1 → F(1) = 8

Luego: F(1) = a(1)2 + b → a + b = 8 ................. (1)

OO Si: x = 0 → F(0) = 5

Luego: F(0) = a(0)2 + b → b = 5 ........................ (2)

Reemplazando: (2) en (1) → a = 3

∴ a . b = 15

3. Hallar el dominio de la función “F” definida por:

F(x) = 16 – x24

resolución:

De acuerdo a las condiciones de existencia:

16 – x24 ∈ IR → 16 – x2 ≥ 0

Multiplicando por (– 1): x2 – 16 ≤ 0

Factorizando: (x + 4)(x – 4) ≤ 0

Puntos críticos: x = – 4 ∧ x = 4

Graficando:

– 4– ∞ + ∞

+–+

4

∴ DOM (F) = [– 4; 4]

4. Dada la función: F(x) = x2 – 1; con dominio en el intervalo [– 4; – 2] ∪ [– 1; 1]. Hallar el rango.

resolución:

En este caso, vamos a obtener el rango a partir del dominio.

Del dato, podemos afirmar que:

– 4 ≤ x ≤ – 2 v – 1 ≤ x ≤ 1

Elevando al cuadrado las inecuaciones:

4 ≤ x2 ≤ 16 v 0 ≤ x2 ≤ 1

Restando 1 a cada miembro:

3 ≤ x2 – 1 ≤ 15 v – 1 ≤ x2 – 1 ≤ 0

Luego: RAN(F) = [– 1; 0] ∪ [3; 15]


nivel i

1. Indique cuál(es) representa(n) una función:

I. F = {(2; 3), (3; 3), (4; 1), (5; 6)}II. G = {(1; 2), (7; 3), (4; 3), (1; 5)}III. H = {(2; 2), (3; 3), (4; 4)}IV. J = {(0; 1), (2; 5), (0; 3), (5; 2)}

A. Solo IB. Solo III

C. II y IIID. I y III

2. Hallar “a + b” si el siguiente conjunto representa una fun-ción: A = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (0; 9), (– 1; b – a)}

A. 1B. 2

C. 3D. 4

3. Hallar la suma de elementos del dominio de la siguiente función:

F = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (– 1; b – a), (a + b2; a)}

A. 4B. 6

C. 5D. 7

4. Hallar “a” si el conjunto de pares ordenados representa una función: F = {(3; a2), (a; 5), (3; 16), (4; 10)}

A. – 6B. 8

C. 4D. – 4

5. Sea la función: F = {(1; 2), (3; 6), (4; 8), (5; 7)}.

Calcular: M = F(3) + F(4)

F(5)

F(1)

A. 8B. 6

C. 9D. 4

6. Dada la función: f = {(2; 3), (3; 6), (4; 2)}; hallar: f(3) + f(4)f(2)

A. 2B. 3

C. 7D. 53

7. Si: f(x) = mx + b; f(0) = 7; f(1) = 11; hallar “m – b”

A. – 3B. 0

C. – 2D. 3

8. Sea: f: lR → lR una función definida por la relación

f(x) = mx + 5; hallar “m”, si: f(– 3) = – 4

A. – 2B. – 1

C. 0D. 5

9. Dada la función:

f(x) = mx + b; si: f(2) = 2f(4) + 2; f(5) = 3f(–1) + 5;

hallar: f(8)

A. 3B. – 1

C. 5D. – 4

Trilce Católica

CicloCatólica

90

nivel ii

10. Sea la función: F(x) = ax + b; si: F(1) = – 15 ∧ F(5) = – 3, hallar: F(6)

A. 6B. – 4

C. 4D. 0

11. Si: “F(x)” es una función cuya regla de correspondencia es:

F(x) = 3x2 + 1; si: x < 32x – 5; si: x ≥ 3

Hallar: F(5) + F(2) – F(3)

A. – 9B. – 7

C. 17D. 16

12. Dado el conjunto: A= {1; 2; 3; 4} y dadas las funciones “f” y “g” definidas de “A” en IR por:

f(x) = mx – bg = {(1; a), (1; 7), (2; 5), (m; 6), (4; b), (4; 8)}

Hallar: f(2) + a

A. 7B. 5

C. 3D. 1

13. Sea “f” una función definida por: f(x) = 2x – 1; hallar:

f(x + h) – f(x – h)f[f(1)]

A. 1B. h

C. 4D. 4h

14. Sea “f” una función definida por: f(x) = 5x + n; hallar:

f(x + h) – f(x)h

A. 1B. h

C. 4D. 5

15. Sea “f” una función definida por: f(x + 1) = 3x + 9; hallar:

f(x + h) – f(x – h)f(f(2))

A. h3

B. h6

C. h7

D. h

16. Dada la función “f” tal que: f(x) = ax + b; hallar “a – b” conociendo la siguiente tabla de valores definida para dicha función:

x 3 5

y 2 1

A. – 3B. – 2

C. – 4D. – 1

17. Dadas las funciones:

F: A → BB

F43

a

1 2 b A

G: C → DD

3

2

1

a 2 4 C

Calcular: G(F(1)) + F(G(2))

A. 1B. 2

C. 6D. 4

18. Se definen las funciones “f” y “g”, tales que:

f(x) = x + 3; x ≥ 21 – x; x < 2

g(x) = x2; x ≥ 31 + x; x < 3

Hallar: g(f(g(–12))) + f(52) + g(3)

A. 8B. 12

C. 14D. 16


f(x) = 3x – 2; x ∈ [0; 2]g(x) = 1 – x; x ∈ ]2; 5]

Hallar: Ran (f) ∩ Ran (g)

A. ]–1; 4[B. [–4; 4]

C. [–2; 1[D. [1; 4]

nivel iii

20. Si: f(x) = 2x + 1x – 2 , hallar: f[f(x)]

A. x + 1

B. x – 1

C. x + 1x – 1

D. x

21. Señale la suma de los elementos del rango de la función: F(x) = x2 + 4; siendo: x ∈ {– 5; – 4; – 2; 4}

A. 77B. 47

C. 57D. 67

22. Hallar el dominio de:

F(x) = x + 1x – 3

___________________________________

G(x) = 2x + 3x2 – 16:

__________________________________

H(x) = x + 3x3 – x :

__________________________________

I(x) = x + 1

x2 – x – 12 : _______________________________

Álgebra

Trilce Católica 91

23. Hallar el rango de la función: G = {(x; y) ∈ IR2 / y = 5x + 3x + 6 }

A. y ∈ IR – {– 5}B. y ∈ IR – {– 6}

C. y ∈ IR – {5}D. y ∈ IR

24. Hallar el mayor valor del rango en: f(x) = x + 8x + 5, si: x ∈ [2; 6[

A. 1411

B. 711

C. 37

D. 107


F(x) = x – 5 : __________________________________

G(x) = – 3 x – 1 + 2: _____________________________

H(x) = x – 64 + 1: _______________________________


F(x) = x + 3 + 3 – x : ____________________________

G(x) = x + 4 + 4 – xx2 – 4

: _________________________

H(x) = x – x2 + 12x – 4

: ______________________________

27. Si “f” se define por: f(x) = x – 2 + 6 – x + x; hallar D(f).

A. ]2; 6]B. [–2; 6]

C. ]0; 6[D. [–0; 6]

28. Si “f” se define por: f(x) = x2 + 5x2 – 4

, Hallar el dominio.

A. IR – {2}B. IR – [–2 ; 2]

C. IR– ]–2; 2[D. IR

29. Hallar el dominio de la función: g(x) = 4 – x2

A. [2; + ∞[B. ]– ∞; 2]

C. [– 2; 2]D. ]– ∞; – 2] ∪ [2; + ∞[

Tarea domiciliaria

1. Indicar qué conjunto de pares ordenados son funciones:

I. R1 = {(3; 2), (4; 6), (5; – 1)}II. R2 = {(1; 2), (1; 3), (1; – 2)}III. R3 = {(1; 4), (3; 4), (7; 3)}IV. R4 = {(3; 6), (3; 7), (4; 7)}

A. IB. I; II ∧ III

C. IIID. I ∧ III

2. Hallar “a + b” para que el conjunto “A” sea una función:

A = {(2; 5), (1; 3), (b – 2a; 3), (1; a2 – b2); (2; 2a + b)}

A. 0B. 1

C. 2D. 3

3. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función:

F = {(11; 2a), (2; 7), (5; 1), (11; 3a – 5), (7; 9)}

A. 15B. 22

C. 10D. 27

4. Dada la función: F: A → B, calcular la suma de los ele-mentos del rango.

A

5

a

a – 24

6 – a

FB

A. 2B. 4

C. 6D. 8

5. Dada la siguiente función:

f = {(2; 6), (1; a – b), (1; 4), (2; a + b), (3; 4)}; hallar “ab”

A. 4B. 5

C. 6D. 7

6. Si: “F(x)” es una función cuya regla de correspondencia es:

F(x) = 2 – x; si: x ≥ 0x + 3; si: x < 0 ; hallar: F[F(3)] + F[F(–2)]

A. 1B. 2

C. 3D. 4

7. Del gráfico, calcular: F(– 1) + F(4) – F(1)

y6

3

1–1 4x

y = F(x)

A. – 5B. 4

C. 6D. 7

8. Identificar qué gráfica corresponde a una función.

I.

y

x

II.

y

x

III.

y

x

IV.

y

x

A. Solo IB. Solo II

C. II y IIID. Solo IV

Trilce Católica

CicloCatólica

92

9. De la gráfica:

y

F(x)6

3

11 x2 3 5

calcular: M = F(5) + F(1)F(2) + F(3)

A. 49

B. 1

C. 94

D. 53

10. Indicar el dominio en: F(x) = x – 1 + x + 5 – x

A. [0; 5]B. [1; 5[

C. [0; 5[D. [1; 5]

11. Hallar el dominio de: F(x) = 3 – x – 1

A. [0; + ∞[B. [1; + ∞[

C. IR+

D. [– 1; + ∞[

12. Si: F(x) = 2x – 3; x ≥ 03 – x; x < 0

calcular: F(1) + F[F(1)] + F[F[F(1)]]

A. 10B. 7

C. 8D. 9

13. Obtener el número de elementos enteros del dominio de

la función: F(x) = x + 5 + 5 – xx2 – 4

A. 5B. 6

C. 7D. 9

14. Hallar el dominio de la función: F(x) = x2 – 4x + 3

A. ]– ∞; 1] ∪ [3; + ∞[B. ]– ∞; 2] ∪ [3; + ∞[

C. ]– ∞; 3]D. ]– ∞; 1]

15. Si: f(x) = 5x – 2; hallar: f(x + h) – f(x)

h

A. 5B. 4

C. 3D. 2

16. Si “x” es un número natural; además:

f(x) = x; si “x” es parx + 3

2 ; si “x” es impar

halla “x” tal que: f(x) + f(x + 1) = 7

A. 1B. 2

C. 3D. 4

17. Sea f: lR → lR una función definida por: f(x) = mx + b, hallar “m”, si: f(1) = – 1 ∧ f(– 1) = 5

A. – 3B. – 1

C. 0D. 1

18. Sean “f” y “g” funciones definidas en “Q” mediante:

f(x + 1) = ax + 3g(x – 1) = 2x + b

Si: f(6) = 8 ∧ g(3) = 4; hallar “a + b”

A. 1B. – 3

C. – 4D. 5

19. Si: f( xn ) = x; hallar “n” para que: f(2) + f(3) = 13

A. 1B. 3

C. 2D. 4

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 93

fUNciONES ii

iNTrODUcciÓN:

Dentro del análisis matemático, el concepto de función está asociado al de dependencia, y esto ha llevado a desa-rrollar todo un marco teórico impresionante del cual debemos recordar:

1. Gráfica de una función:

Dada la función: y = f(x)

x: Variable independiente (dominio)

y: Variable dependiente (rango)

y

x1

f(x1)x

x2

f(x2) y = f(x)

2. función creciente y decreciente

xx1

f(x1)

y

x2

f(x2)

y = f(x)

xx1

f(x1)

y

x2

f(x2)

y = f(x)

P

ÁLGEBRASemana 17

3. función continua y discontinua

x

y

f(x)

x0

x

y

f(x)

4. función par e impar

Dada la función: y = f(x) donde: “x” y “– x” ∈ dominio (f)

I. Si: f(– x) = f(x) → “f” es parII. Si: f(– x) = – f(x) → “f” es impar

x

y

Simétrica respecto al eje (x)

x

y

Simétrica respecto al origen

fUNciONES ESPEciaLES

función lineal:

f(x)= ax + b, a ∈ IR; (a ≠ 0)

Es una función “f” real de variable real, donde “a” y “b” son constantes reales y cuya gráfica es una línea recta.

En resumen:

función características gráfica

LINEAL o de primer grado

F(x) = ax + b

(a ≠ 0)

a = tan a

a: Pendiente

b: Intersecto con “y”

DOM(F) = lR

RAN(F) = lR

– ba

x

y

b

a

x

y

b

a

– ba

a > 0 a < 0

Trilce Católica

CicloCatólica

94

En resumen:

función características gráfica

CUADRÁTICA

F(x)= ax2 + bx + c

(a ≠ 0)

Donde: D = b2 – 4ac

V: Vértice de la parábola (h; k)

h = –

b2a

k = –

D4a

ó k = f – b2a

DOM(F) = lR

RAN(F) = De acuerdo a la gráfica

x1 ∧ x2 son raíces de: F(x) = 0

y

h xx1 x2

V(h; k)k a < 0

RAN(F) = ⟨– ∞; k]

k: Máximo valor de la función

a > 0

RAN(F) = [k; + ∞⟩

k: Mínimo valor de la función

y

h xx1

x2

V(h; k)k

fUNciÓN cUaDráTica

F(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0

Es una función real de variable real, donde “a”, “b”, “c” son constantes reales y cuya gráfica es una parábola. Sus puntos de intersección con el eje “x” (raíces), se obtienen cuando: F(x) = 0; luego:

Sus raíces son:

x = –b ± b2 – 4ac

2a

De donde:

x1 = –b + b2 – 4ac

2a

x1 = –b – b2 – 4ac

2a

En el radicando se encuentra: b2 – 4ac = D (Discriminante)

Nos da información sobre la naturaleza de las raíces:

1. Si: D > 0; las raíces son reales diferentes.2. Si: D = 0; las raíces son reales iguales.3. Si: D < 0; las raíces son complejas conjugadas.

casos de la función cuadrática

Sea: D = b2 – 4ac

I. Si: D > 0 ∧ a > 0

y

xx1 x2

Raíz Raíz

Si: D > 0 ∧ a < 0

y

xx1 x2

Raíz Raíz

Las raíces son reales y diferentes. (Dos puntos de corte en el eje ‘‘x’’)

II. Si: D = 0 ∧ a > 0

y

xx1x2

Raíz

Solución única: x1 = x2

Si: D = 0 ∧ a < 0

y

xx1x2

Raíz

Las raíces son reales e iguales (un punto de corte en el eje ‘‘x’’)

Álgebra

Trilce Católica 95

III. Si: ∆ < 0 ∧ a > 0

y

x

Si: D < 0 ∧ a < 0

xy

Las raíces son complejas conjugadas (ningún punto de corte en el eje ‘‘x’’)

intersección de la gráfica de una función con los eJes de coordenadas

De: y = f(x)

con el eje x: Se hace y = 0; para obtener las abscisas de los puntos de intersección.

con el eje y: Se hace x = 0; para obtener la ordenada del punto de intersección.

Ejemplo:

y = f(x) = x2 – 25

OO Con el eje x:

y = 0 → 0 = x2 – 25 → 25 = x2

⇒ x = – 5 ∨ x = 5 (abscisas de los puntos de intersección)

∴Los puntos de intersección con el eje “x” son: (– 5; 0), (5; 0)

OO Con el eje y:

x = 0 → y = 02 – 25

⇒ y = – 25 (ordenada del punto de intersección)

∴ El punto de intersección con el eje “y” es: (0; – 25)

intersección de gráficas de funciones:

y

x

G(x)

F(x)

P P(x0, y0)

Si: P ∈ F(x) ∧ P ∈ G(x) ⇒ F(x) = G(x) en P(x0; y0)

Ejemplo:

F(x) = x – 3 ∧ G(x) = 7 – x ⇒ para la intersección: F(x) = G(x)

x – 3 = 7 – x

2x = 10

x = 5 (abscisa de la intersección)

⇒ en: F(x) = x – 3 ⇒ F(5) = 5 – 3

F(5) = 2 (ordenada de la intersección)

El punto de intersección de “F(x)” y “G(x)” es: (5; 2)

ProBlemas resueltos

1. Obtener la pendiente de una función lineal “F”, sabiendo que: F(1) = 3 ∧ F(2) = 2F(3)

resolución

OO Si “F” es función lineal, entonces: F(x) = ax + b (donde: “a” es la pendiente)

OO Datos:

F(1) = 3 → a(1) + b = 3 → a + b = 3 ................. (a)

F(2) = 2F(3) → a(2) + b = 2 [a(3) + b]

b = – 4a ............. (b)

OO Reemplazando (b) en (a): a + (– 4a) = 3

– 3a = 3

∴ a = – 1

2. Encontrar el área de la región encerrada por los ejes de

coordenadas y F(x) = 10 – 2x

5

resolución

Damos forma a: F(x) = – 25

x + 2

Graficamos:

y

x

A

0

2

5

Luego el área:

A = b.h2

⇒ A = (5)(2)

2

A = 5 u2

3. En el gráfico:

y

x(a; 0)0 (3; 0)

F(x) = –2x2 + 7x – b

Hallar “a . b”

Trilce Católica

CicloCatólica

96

resolución

Como (a; 0) ∈ F(x) → 0 = – 2a2 + 7a – b ................... (a)

Como (3; 0) ∈ F(x) → 0 = – 2(3)2 + 7(3) – b .............. (b)

Luego de (b), se tiene: b = 3 → a = 12

∨ a = 32

∴ a . b = 32

∨ ab = 92

mODELaciÓN

Se conoce como modelación al proceso de relacionar me-diante una fórmula las variables independiente y dependiente a partir de una colección de datos. A continuación describiremos el proceso de modelación a partir de la obtención de la forma de la función lineal y cuadrática.

Para ello sigue el siguiente proceso:

OO Identifica las variables: Lee y analiza la situación pro-puesta para identificar a la variable dependiente, a la independiente y a las cantidades constantes.

OO introduce una notación: Asigna una variable a la can-tidad buscada.

OO relaciona datos: Emplea la información proporcionada para obtener ecuaciones que las relacionen, se sugiere realizar un esquema, dibujo o diagrama que te permita visualizar la información de la situación propuesta.

OO ejecuta el plan: Resuelve el modelo matemático obtenido y analiza si la solución es real.

OO Verifica: Sustituye la solución obtenida, con los datos del problema.

4. Se va a cercar un terreno rectangular con un alambre de longitud 8 m, sabiendo que uno de sus lados quedará limitado por un muro. ¿Cuál será la longitud del alambrado paralelo al muro, si se desea tener la mayor área posible?

resolución

Longitud del alambre: 8 m

x: Longitud del alambrado paralelo al muro.

muro

x alambre

8 – x2

8 – x2

Área = A = x 8 – x2

Ordenando: A = – 12

(x2 – 8x)

Completando cuadrados: A = – 12

(x – 4)2 + 8

Luego: Amáx = 8 m2

La longitud del alambrado (x) para tener la mayor área: longitud máxima de “x” es 4 m.

5. Cuando nació Ricardito, (mi robusto hijo), pesó 5 kg. Si en los 12 primeros meses su peso aumentó linealmente, ¿cuánto pesó al cumplir un año de edad, si en el cuarto mes pesó 13 kg?

resolución

13

4 meses

5a

0

peso (kg)En la recta:

P(x) = mx + 5

Pero: m = tana

m = 13 – 54

⇒ m = 2

∴ P(x) = 2x + 5

Si: x = 12 meses (1 año) → P(12) = 29 kg

analiZando una gráfica

En las preguntas del 1 al 9 utiliza la gráfica de la función “f”, dada en la figura:

4 51 2 3 x

4

0–2–2

–1–5

f

–4 –3–6–7–8

–3

–5–4

y

1. Determina: f(– 2) + f(– 8).

A. 4B. – 6

C. 10D. – 2

2. ¿Cuántas intersecciones tiene la gráfica de “f” con los ejes coordenados?

A. 4B. 3

C. 2D. 1

3. Indica cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s).

I. f(6) + f(0) < 0II. f( – 4) – f( – 3) = 0III. f(8) = f( – 8)

A. V V VB. V V F

C. V F FD. F V F

4. Determinar el dominio de “f”.

A. [– 8; 5]B. [– 6; 4]

C. [– 8; + ∞[D. [– 6; 4[

5. Determinar el rango de “f”.

A. [– 6; 4]B. [– 8; + ∞[

C. [– 6; 4[D. [– 6; + ∞[

Álgebra

Trilce Católica 97

6. ¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) > 0?

A. [3; + ∞[B. ]3; + ∞[

C. ]– 6; – 1[ ∪ ]3; + ∞[D. [– 6; – 1] ∪ [3; + ∞[

7. ¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) <0?

A. [– 8; 0[B. [– 8; – 6] ∪ [– 1; 3]

C. ]– 8; – 6[ ∪ ]– 1; 3[D. [– 8; – 6[ ∪ ]– 1; 3[

8. ¿Para qué números “x” se cumple que “f(x)” es constante?

A. {– 5; 2}B. {– 2; – 3; – 4; – 5}

C. {– 5; – 2}D. {– 6; 1; 3}

9. ¿Cuál es la suma de las abscisas de los puntos de inter-sección de la gráfica de “f” con el eje “x”?

A. 3B. 11

C. 5D. – 4


nivel i

1. Grafique: f(x) = 3x – 2

A. x

y

B. x

y

C. x

y

D. x

y

2. Graficar la función: F(x) = 2 – x

A. x

y

B. x

y

C. x

y

D. x

y

3. Hallar la gráfica de: F(x) = x – 3, si: x ∈ [4; 6]

A. x

y

B. x

y

C. x

y

D. x

y

4. Graficar: F(x) = x2 + 4x + 6

A. x

y

B. x

y

C. x

y

D. x

y

5. Graficar: F(x) = 3x2 – 6x + 1

A. x

y

B. x

y

C. x

y

D. x

y

6. Indica cuáles de las siguientes pueden ser la gráfica de la función: f(x) = – 3x2 + 4x – 2.

I.

x

yII.

x

yIII.

x

y

A. Solo IB. Solo II

C. I y IID. I y III

7. Si: f(x) = ax2 + bx:

x

f(x)

2

1

halla “ab”

A. 2B. 4

C. 8D. – 8

8. ¿Cuál es la función lineal “F(x)” que cumpla:

F(1) = 6 ∧ F(2) = 2F(0)?

A. x + 4B. x – 4

C. 3x + 3D. 2x + 4

9. Si los pares ordenados: (1; – 1) ∧ (4; 5), pertenecen a la función: F(x) = ax + b; hallar “a . b”

A. – 6B. – 12

C. 6D. 12

Trilce Católica

CicloCatólica

98

10. Sea la función lineal “F”, donde se cumple: F(1) = – 15, F(5) = – 3 . Hallar la pendiente de la función.

A. 6B. – 4

C. 4D. 3

nivel ii

11. Hallar el rango de: F(x) = x2 + 14x + 40

A. [7; + ∞[B. [9; + ∞[

C. [– 7; + ∞[D. [– 9; + ∞[

12. Hallar el rango de “f”, si: f(x) = 4x2 – 16x + 17

A. ]– 1; 1[B. [1; + ∞[

C. ]– 1; + ∞[D. [ 2; + ∞[

13. ¿Por qué cuadrante no pasa la gráfica de la función: f(x) = (x – 5)2 + 4?

A. IB. II

C. III y IVD. I y IV

14. Si el rango de la función: G(x) = 2x + 3 es [ 5; 7 ], ¿cuál es el rango de: F(x) = 3x – 1 si las funciones tienen el mismo dominio?

A. [1; 5]B. [2; 3]

C. [2; 4]D. [2; 5]

15. Sea “F” una función cuya regla de correspondencia es: F(x) = x2 – 8x + 13; cuyo dominio es: x ∈ ]– 1; 6[, hallar el rango de dicha función.

A. ]– ∞; 22]B. [– 3; 22[

C. ]– 3; 22[D. ]– 3; 3[

16. Calcular el área de la región sombreada:

x0

F(x) = – 52

x + 10

y

A. 40 u2

B. 20

C. 30

D. 13

17. Hallar el área de la región encerrada por: F(x)=4 – x y los ejes coordenados.

A. 16 u2

B. 8C. 12D. 32

18. El área de la figura sombreada es “a” u2. Calcular “a”.

x

y

– a a

F(x) = 5 – x2

2

A. 3

B. 5

C. 4

D. 52

19. Hallar el área encerrada por el eje “x” y las funciones:

F(x) = x ∧ G(x) = 6 – x

A. 10 u2

B. 9C. 12D. 8

20. Hallar el área de la región sombreada.

y

x

F(x) = – x2 + 9

A. 27 u2

B. 36C. 18D. 54

nivel iii

21. Hallar el máximo valor de la función: F(x) = – x2 + 2x + 4

A. 4B. 6

C. 3D. 5

22. Hallar el mínimo valor de la función: F(x) = x2 + 4x + 10

A. 6B. 8

C. 10D. – 2

23. Encontrar una función “F(x)” que exprese el área de un triángulo isósceles en términos del lado desigual “x” sa-biendo que la longitud del perímetro es “2a”.

A. F(x) = 12

x a – x

B. F(x) = 12

x a(a – x)

C. F(x) = 14

x a2 – x2

D. F(x) = a – x4

24. La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación que representa el costo diario de procesar café para la empresa CAFEMAS cuyas instalaciones se encuentran en La Merced, Junín.

x (kg)

y($)

0 200

400300

Hallar la ecuación que representa el costo diario, en dólares, de procesar café.

A. y = – 0,5x + 300, x ≥ 0B. y = 0,5x + 300, x ≥ 0

C. y = 2x + 400, x ≥ 0D. y = – 2x + 400, x ≥ 0

25. Una compañía ha encontrado que su utilidad está dada por: U(x) = 240x – x2, en miles de dólares, en donde “x” representa el número de unidades vendidas. Halla la máxima utilidad.

A. 16 400 miles de dólaresB. 15 400C. 14 400D. 13 200

Álgebra

Trilce Católica 99

26. Un fabricante de relojes puede producir un cierto reloj con un costo de S/. 15 por unidad. Se estima que si el precio de venta del reloj es de S/. “x”, entonces el número de relojes semanales vendidos es (135 – x). ¿Cuál debe ser el precio de venta para que el fabricante tenga una ganancia semanal máxima?

A. S/. 50B. 60

C. 70D. 80

27. En un triángulo de diez unidades de base y altura seis uni-dades, está inscrito un rectángulo (ver figura) expresar la superficie “S” de dicho rectángulo en términos de su base.

S

10x

6

A. 0,4x(10 – x)B. 0,5x(10 – x)

C. 0,2x(10 – x)D. 0,6x(10 – x)

28. El gerente de una fábrica de muebles establece que cues-ta $ 220 fabricar 100 sillas por día y $ 480 fabricar 300 sillas también por día. Asumiendo que la relación entre el costo (C) y el número de sillas (x) es lineal. Halle una función que relacione el costo de producción y el número de sillas fabricadas.

A. C(x) = 1013

x + 45

B. C(x) = 1310

x + 90

C. C(x) = 2x + 75

D. C(x) = 13x + 85

29. Una compañía de teléfonos calcula los cargos por ins-talación de teléfono con la ecuación: C(x) = 15 + 0,7x, donde “C” es el cargo por instalación en dólares y “x” es el tiempo gastado en minutos al realizar la instalación. ¿Cuál es el cargo de instalación si el tiempo empleado fue de 65 minutos?

A. $ 71,4B. 83,2

C. 60,5D. 73,5

30. De un cartón de forma rectangular de dimensiones: 30 × 50 cm2; se deben cortar cuadrados de manera que doblando la hoja a lo largo de las líneas punteadas, se obtenga una caja de superficie lateral máxima. Hallar el lado de los cuadrados cortados.

A. 5B. 10

C. 15D. 20

Tarea domiciliaria

1. En la gráfica siguiente, indica el dominio de “f”.

y

1

2 3 4 6x

3 f

A. [2; 3] ∪ [4; 6]B. [2; 6]

C. [2; 3[ ∪ ]4; 6[D. [2; 3[ ∪ [4; 6]

2. En la gráfica siguiente indica en qué intervalo sucede que: f(x) > 0

y

6 x3

f

A. [3; 6]B. ]– ∞; 3[ ∪ ]6; + ∞[

C. ]– ∞; 3] ∪ [6; + ∞[D. ]– ∞; + ∞[

3. Indica el dominio para la siguiente gráfica:

y

x2

45

A. ]– ∞; 5] – {2}B. ]– ∞; 5] – {4}

C. ]– ∞; 5] – {2; 4}D. ]– ∞; 5[– {2; 4}

4. Dado el siguiente diagrama, tabular:

x –2 1 2 3y –5 4 7 10

la regla de correspondencia de la función lineal es:

A. y = 4x – 1B. y = x + 3

C. y = 3x + 1D. y = x + 7

5. Calcular la pendiente de la gráfica de la función lineal, dos de cuyos puntos tienen por coordenadas (2; 6) y (4; – 1)

A. – 72

B. – 12

C. 52

D. – 52

6. Si los pares ordenados: (2; – 1); (3; 2) pertenecen a una función lineal, hallar dicha función.

A. F(x) = 2x – 1B. F(x) = 3x – 7

C. F(x) = 3xD. F(x) = – x + 7

7. Hallar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones: F(x) = x; G(x) = – x; H(x) = 4; T(x) = – 4

A. 16 u2

B. 64C. 32D. 8

8. Hallar el vértice de la gráfica correspondiente a la función cuadrática: y = – x2 + 4x + 1

A. V(1; 2)B. V(2; 5)

C. V(– 1; 2)D. V(1; – 2)

Trilce Católica

CicloCatólica

100

9. Grafique: f(x) = – 2x2 + 4x – 4

A.

y

x

B.

y

– 2

1 x

C.

y

– 4

– 2

41 x

D.

y

– 2– 4

1x

10. Del gráfico:

y

(a; 0)x

(3; 0)

F(x) = – 2x2 + 7x – b

hallar “ab”.

A. 12

B. 3

C. 32

D. – 32

11. ¿Cuál es la gráfica correspondiente a la función cuadrá-tica: f(x) = 2x2 – 32?

A.

y

x– 16

– 4 4

B.

y

x–32

– 16 16

C.

y

x– 32

– 4 4

D.

y

x

32

12. La gráfica de la función cuadrática:

f(x) = 2mx2 + (n – 1)x – 2m, es:

Q(–1; 5)

y

x

hallar “n”

A. 4B. 6

C. – 4D. 12

13. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la siguiente función?

f(x) = – x2 + 10x – 21; x ∈ lR

A. – 21B. 4

C. – 4D. – 5

14. Hallar el área limitada por el eje de las ordenadas y las funciones: f(x) = x y g(x) = – 6

A. 36 m2

B. 12C. 18D. 24

15. Si “h” es una función lineal de pendiente 3 e intersecto con el eje “y” 5, hallar la regla de correspondencia de la función ”g”(x), si: g(x) – x = h(1) + h(x + 1)

A. 4(x + 1)B. 4(x + 3)

C. 4(x + 4)D. 3x + 12

16. La empresa FOSFORERA PERUANA INTI sabe por experiencia que si se fija el precio de la docena de cajas de fósforos en: P(x) = (2 – x) nuevos soles, 0 ≤ x ≤ 2, se venderán “x” millones de docenas de cajas de fósforos por semana. Además, el costo total de producir “x” mi-llones de docenas de cajas de fósforo por semana es C(x) = (1 – 0,5x) nuevos soles. Hallar el ingreso semanal total en millones de nuevos soles.

A. x2 + x2

B. x2 + 2xC.

x – x2

2D. x2

17. Si el área del triángulo, cuya región sombreada es 60 µ2, indicar el valor de “k”; k > 0.

y = –2x + k

y

y = –5x + kx

A. 10B. 15

C. 20D. 25

18. Se definen las funciones “f” y “g” en lR, tal que:

f(x) = 2x + 3g(x) = 3x + 2

Afirmamos:

I. f(1) + g(1) = 5II. f(0) – g(0) = 0III. x ∈ lR, f(x) < g(x)IV. x ∈ lR, f(g(x)) < g(f(x))

¿Cuáles son verdaderas?

A. III y IVB. I y IV

C. I y IIID. IV

Álgebra

Trilce Católica 101

19. En la gráfica de: y = f(x), hallar: f(3) + f(4) + f(5)

y5

4

3

2

1

x1 2 3 4 5 6 7

A. 9B. 10

C. 11D. 12

20. En la gráfica de: y = f(x), hallar: f(1) + f(2) + f(3)

y

x

4

3

2

1

1 2 3

A. 6B. 8

C. 7D. 9

Quinto Católica

Colegios


TRILCE Católica 103

fUNciONES iii

Definición

Una función “F” se llama inyectiva, univalente o uno a uno; cuando cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio.

Por ejemplo:

F1 = {(1; 2), (3; 5), (7; – 1), (5; 2)} → No es inyectiva

F2 = {(3; 5), (4; 7), (5; 6), (9; – 1)} → Sí es inyectiva

F3 = {(1; 4), (5; 6), (6; 3), (9; 6)} → No es inyectiva

Ahora bien, para que una función “f” tenga inversa, esta debe ser previamente una función inyectiva. Gráficamente, una función es inyectiva cuando toda recta horizontal (paralela al eje “x”) corta a la curva que representa a la función en un solo punto. Por ejemplo:

y = f(x)

Sí es inyectiva

y

x

y = f(x)No es inyectiva

y

x

y = f(x)

No es inyectiva

y

x

Algunas funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero sí lo son en algún tramo de ella; por ejemplo:

y = x2

y

x

En ⟨– ∞; 0]: es inyectiva

En [0; + ∞⟩: es inyectiva

En ⟨– ∞; + ∞⟩: no es inyectiva

función suryectiva, sobreyectiva o epiyectiva

Dada la función “f”, donde: F = A → B, A ⊂ lR ∧ B ⊂ lR, se dice que “F” es suryectiva si el rango o imagen de “F” coincide con el conjunto de llegada, es decir:

“F” es suryectiva ↔ RF = B

función Biyectiva

Dada la función “f”, donde: F = A → B, A ⊂ lR ∧ B ⊂ lR, se dice que “F” es biyectiva si y solo si “F” es inyectiva y suryec-tiva a la vez.

EJErciciOS rESUELTOS

1. Hallar el valor de “m + n”, sabiendo que la función es inyectiva.

f = {(5; – 1), (– 3; 2), (2m – n; – 1), (n – m; 2)}

A. 1B. 5

C. 2D. – 1

resolución:

Como es inyectiva se cumple: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

Luego:

OO (5; – 1) = (2m – n; – 1) ⇒ 2m – n = 5 ... (a)OO (– 3; 2) = (n – m; 2) ⇒ n – m = – 3 ... (b)

Resolviendo el sistema: m = 2 n = – 1

∴ m + n = 2 + ( – 1) = 1 Clave A

2. Si tenemos la función: f: ]– 3; – 1[ → ]0; 8[ / f(x) = x2 – 1

podemos afirmar:

I. Es sobreyectivaII. Es biyectivaIII. Es univalente

A. V F FB. V V V

C. F V VD. V F V

resolución

I. Probemos si es sobreyectiva:

OO En el dominio: – 3 < x < – 1

1 < x2 < 9 0 < x2 – 1 < 8 0 < f(x) < 8

∴ El rango es: ]0; 8[

Luego es sobreyectiva: (V)

ÁLGEBRASemana 18

Trilce Católica

CicloCatólica

104

II. Como es sobreyectiva, habrá que probar que es inyectiva solamente para que sea biyectiva.

OO Graficamos: f(x) = x2 – 1

x

– 1

– 1 1

y

OO Luego, restringimos para el dominio y realizamos la prueba de la línea horizontal.

x

– 1

– 1

2y

– 3 0

Como corta en un solo punto, es inyectiva.

∴ Es biyectiva: (V)

3. Dada la función suryectiva: F: [– 1; 2] → B / F(x) = x2 + 2. Hallar “a + b”, si: B = [a; b]

A. 4B. 9

C. 8D. 10

resolución

OO En el dominio: – 1 ≤ x ≤ 2

0 ≤ x2 ≤ 4

2 ≤ x2 + 2 ≤ 6

2 ≤ F(x) ≤ 6

∴ El rango es: [2; 6] = B

⇒ a = 2 ∧ b = 6, luego: a + b = 8 ... Clave C

4. Calcular “a + b” para que: f: [a; b] → [8; 11], sea biyectiva siendo: f(x) = 3x – 1

A. 8B. 6

C. 7D. 5

resolución

Como “f(x)” es biyectiva, se cumple:

OO 3a – 1 = 8 → a = 3OO 3b – 1 = 11 → b = 4

∴ a + b = 7 Clave: C


nivel i

1. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función inyectiva?

A.

y

x

B.

y

x

C.

y

x

D.

y

x

2. ¿Cuál de los siguientes diagramas de flecha representa una función suryectiva?

A.

• 6• 8• 9• 7

3 •5 •

B.

• 5• 6• 8

2 •3 •

1 •

C.

• 6• 7• 8

3 •5 •

2 •

D.

• 1• 5• 9

2 •4 •

3. ¿Cuál de las siguientes funciones es biyectiva?

A. f(x) = x2 – 2x + 1B. g(x) = x2 + 1

C. p(x) = 3x + 2D. h(x) = 3

4. Al graficar: f(x) = x2 – 4x + 5, indicar el valor de verdad de las proposiciones:

I. “f” es inyectivaII. “f” es biyectivaIII. “f” es inyectiva, si: x ∈ [0; 2]

A. V F VB. F V V

C. F F VD. F V F

5. Sea la función f: [1; 4] → [a;b] tal que: f(x) = x2 – 2x + 3. Si “f” es suryectiva, calcular: a . b

A. 20B. 18

C. 22D. 24

6. Sea la función: g: [– 3; 4[ → [m; n] tal que: g(x) = x2 – 4x – 6. Si “f” es suryectiva, calcular: m + n.

A. 10B. 5

C. – 15D. – 5

7. Sea la función h: [a; b] → [– 4; 38] tal que: h(x) = x – 2x + 3 . Si

“h” es suryectiva, calcular: b – a.

A. 3B. 1

C. 7D. 5

Álgebra


8. Sea la función f: [3; 4] → [c; d] tal que: f(x) = 6x2 – 2x – 2 .

Indica el valor de: c.d; si “f” es suryectiva.

A. 6B. 7

C. 5D. 8

9. Sea g:[m; n] → [3;5] una función tal que: g(x) = x – 2 . Si “g” es suryectiva, calcula: n – m.

A. 2B. 3

C. 4D. 5

nivel ii


I. f(x) = – – x – 1 ; es inyectivaII. g(x) = (x – 3)2 + 2; es inyectivaIII. h(x) = x3; es inyectiva

A. V F VB. V V F

C. F V VD. V V V


I. Si: x ∈ ]0; + ∞[, entonces la función f(x) = 1x

es

inyectivaII. g(x) = x – 3

x + 1 ; es inyectiva

III. f(x) = – x + 2; es inyectiva

A. F V FB. F V V

C. V V FD. V V V

12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. f: lR → [1; + ∞[; tal que: f(x) = x2 + 1 es suryectivaII. g: lR + → [1; + ∞[; tal que: g(x) = x + 1 es inyectivaIII. h: ]3; 7[ → ]43; 2[; tal que: h(x) = x + 1

x – 1 es biyectiva

A. IB. II

C. I y IID. Todas

13. Indicar el valor de “ab”; para que la función f: [a; 2]→ [2; b] tal que: f(x) = (x – 1)2 + 2; sea biyectiva.

A. 4B. 1

C. 2D. 3

14. Sea la función f: [1; 3]→ [–13; 3], tal que: f(x) = ax2 + b. Calcular “a + b”; si “f” es biyectiva.

A. 1B. 3

C. 5D. 7

15. Sea f: lR → B tal que: f(x) = 4xx2 + 4. Determina “B”, de

manera que “f” sea suryectiva.

A. [– 1; 1]B. [– 1; 3]

C. [1; 2]D. [1; 4]

16. Sea la función g: [a; 2]→ [b; 46] tal que: g(x) = x2 – 4x + 1. Calcular el valor de “a + b”; si “g” es biyectiva.

A. – 10B. – 9

C. – 8D. – 5

17. Sea f: lR → [a; b]` tal que: f(x) = xx2 + 1

Indica “b – a”; si “f” es suryectiva.

A. 0B. 1

C. – 1D. 2

18. Hallar el valor de: x2 + y2; si la siguiente función es inyectiva:

f = {(5; – 1), (– 3; 2), (2x – y; – 1), (y – x; 2)}

A. 5B. 8

C. 9D. 10

19. Dada la función suryectiva: f: [–1; 2] → B; tal que f(x) = x2 + 1. Calcular: a + b; si: B = [a; b]

A. 4B. 5

C. 6D. 8

nivel iii

20. Dada la función biyectiva f: ]–1; 2[ → ]m; m + n[ tal que: f(x) = – x2 + 4x – 9. Hallar: n – m

A. 17B. 20

C. 23D. 25

21. Sea f: [8; a] → [b; 60]; tal que: f(x) = x2 – 12x + 32. Hallar “a + b” para que “f” sea biyectiva.

A. 14B. 13

C. 15D. 18

22. Si la función f: [– 2; 3[ → [m; n[, definida por: f(x) = 2x2 – 4 es suryectiva, calcular: m + n

A. 9B. 10

C. 12D. 13

23. Calcular “a + b” para que g: [a; b] → [–1, 5] sea biyectiva si: g(x) = x – 13

A. 100B. 105

C. 126D. 135

24. Si la función f:[–3; 6] → [3a; b + 3] tal que “f” es sobre-yectiva.

f(x) = –x2; –3 ≤ x < 22x – 4; 2 ≤ x ≤ 6

Calcular: ab

A. 10B. – 10

C. – 5D. – 15

25. Si la función f: [a; b[ → ]m; n] es biyectiva tal que:

f(x) = (x – 2)2; –5 ≤ x < 2– x – 2 ; 2 ≤ x ≤ 6

Calcular: m + n + a + b

A. 38B. 40

C. 47D. 50

Trilce Católica

CicloCatólica

106

26. Sea la función f: ]–2; +∞[ → B, tal que:

f(x) = –6x

5 – 75; – 2 < x ≤ 3

xx – 3; x > 3

Determina “B” para que “f” sea suryectiva.

A. [– 5; 1[ ∪ ]1; + ∞[B. [1; + ∞[

C. ]– 5; – 1[ ∪ [1; + ∞[D. [5; + ∞[

27. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. Si: f: [a; b] → [–1; 3] tal que: f(x) = x – 13 es biyec-tiva entonces: a + b = 28

II. Si: f(x)=3x2 – 12x + 13 tal que: x ∈ [3; 5] entonces “f” es inyectiva.

III. Si: g = {(– 3;2), (– 1;4), (0;3),(2; – 3), (4; – 1)} enton-ces “g” es biyectiva.

A. V F VB. V V F

C. F V VD. V V V

28. Sea la función g: ]214 ;

112 ] → [m; n[ tal que: g(x) = 16 – 3x

x – 5. Indicar “m – n”; si “g” es suryectiva.

A. 0B. 1

C. – 1D. – 2

29. Sabiendo que la función: f: [5; b] → [a; 72] tal que: f(x) = x2 – 8x + 7 es biyectiva. Calcula el valor de: a + b

A. 2B. 3

C. 4D. 5

Tarea domiciliaria

1. Indicar cuál de las siguientes son inyectivas.

I.

f(x) = x3

0

II.

f(x) = x2

0

III.

f(x) = 1x

0

IV.

f(x) = 3

0

A. I y IVB. III

C. II y IVD. I y III

2. ¿Cuál de los siguientes diagramas representan una función biyectiva?

I.

23

5

6

f

481

II.

85

1

4

g

6

III.

63

2

1

h

104

A. IB. II

C. IIID. I y III

3. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. Una función sobreyectiva es siempre biyectiva. ( )II. La función constante es univalente. ( )

A. V VB. V F

C. F VD. F F

4. Si: f(x) = x2 + 5, es suryectiva para un dominio: [– 2; 1[. Hallar el rango de: f(x).

A. [6; 9]B. [5; 9]

C. [0; 5]D. [0; 9]

5. Para: x ≥ 0; ¿qué podemos afirmar como cierto?

I. f(x) = x2 + 2; es inyectivaII. f(x) = – x; es univalenteIII. Si: f(x) ≥ 2 ⇒ es biyectiva

A. I y IIIB. II y III

C. Solo ID. Todas

6. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):

I. Si: x ∈ [– 2; 0] entonces la función: f(x) = |x|, es inyectiva.

II. Si: x ∈ [– 3; 6];entonces la función: g(x) = 8, es suryectiva.

III. Si: x ∈ [0; 4]; entonces la función: h(x) = x2, es inyectiva.

A. V F FB. V V F

C. V F VD. V V V

7. Indicar qué gráfica representa una función inyectiva.

A.

B.

C.

D.

Álgebra


8. Sea la función f: [1; 4] → [a; b] tal que: f(x) = x2 – 2x + 3, demostrar que “f” es inyectiva y hallar los valores de “a” y “b” para que “f” sea biyectiva.

A. 3 y 10B. 5 y 8

C. 2 y 11D. 1 y 8

9. Sea f: [a; b] → [– 1; 3] tal que: f(x) = x – 13 . Si “f” es suryectiva; calcular: a + b

A. 25B. 26

C. 29D. 28

10. Sea F: [1; a[ → [b; 28[ definida por: f(x) = x2 + 3. Si “f” es suryectiva, calcular: a + b

A. 6B. 8

C. 9D. 10

11. La función f:[1; a] → [b; 174 ] definida por: f(x) = x

2 + 1x ; es

suryectiva, calcule: 2ab

A. 20B. 18

C. 16D. 12

12. Halle “B”, para que la función “f”, f: ⟨1; 2] → B; f(x) = 1x – 1

sea suryectiva.

A. [0; + ∞ [B. [– 1; + ∞ [

C. ]– ∞; 1]D. [1; + ∞[

13. Sean: A = {3; 4; 5} y B = {6; 7; 8} se define la función biyectiva: f = {(a – b; 6),(5; a + b), (3; 7)} de “A” en “B”. Calcular: T = a . b

A. 10B. 12

C. 14D. 16

14. Sea la función: f: [2; 5] → [a; b], f(x) = x2 – x + 2. Determine “a.b”, si “f” es biyectiva.

A. 88B. 89

C. 90D. 91

15. Si “f” es biyectiva, determine “a.b”; donde: f: [a; 3] → [–4; b]

f(x) = – x2; si: –2 ≤ x < 0x; si: 0 ≤ x ≤ 3

A. – 8B. – 7

C. – 6D. 0

16. Si f: ]–1; 2] → ]m; m + n] está definida por: f(x) = – x2 + 4x – 9 ∧ “f” es suryectiva, halle: n – m

A. 7B. 8

C. 16D. 23

17. Si f: [–1; 2] → B, f(x) = x2 + 1; “f” es suryectiva, determine B = [a; b], dar como respuesta: a + b

A. 2B. 4

C. 6D. 8

18. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. f(x) = x3; es inyectiva ( )

II. f(x) = 1x; es inyectiva ( )

III. f(x) = x + 2x – 1 ; no es inyectiva

( )

A. V F FB. V V F

C. F V VD. V V V

19. De la función f: [– 1; 1[ → B, está definida por: f(x) = x + 1x – 1

Halle “B” para que “f” sea suryectiva.

A. [0; + ∞[B. ]– ∞; 0]

C. lRD. [1; + ∞[

20. Hallar el mayor valor de: f(x) = x + x2 + 73 si: x ∈ [– 3; 3]

A. 3B. 0

C. 9D. 1

Quinto Católica

Colegios



LEYES DE EXPONENTES – POLiNOmiOS – GraDOS – POLiNOmiOS ESPEciaLES

OPEraciONES cON POLiNOmiOS


1. Reducir:

6 + 124

. 2 – 16

2

2 + 164

. 6 – 12

2

A. 19

B. 13

C. 1

D. 9

2. Reducir: P = 64–9–4–2–1

A. 12

B. 1

C. 4

D. 14

3. Simplificar: E = 2m + 1 . 4m + 2n

8m – 1 . 16n + 1

A. 0B. 1

C. 2D. 3

4. Simplificar: P = 2x + 2 . 4x + 2a

8x – 2 . 16a + 2

A. 2

B. 4

C. 1

D. 14

5. Simplificar: N =

25x + y . 5x – 14

125x – 2 . 15

8 – 2y

A. 1

B. 5

C. 15

D. 25

6. Reducir: E = 3a + 5 – 3(3a + 2)

3 . 3a + 4

A. 13

B. 6

C. 89

D. 43

7. Calcular: M = 14

– 12

–1

–

14

– 13

–1

– – 15

–3 + 240200,5

A. 5B. 6

C. 7D. 9

8. Reducir: T = 2y (2y)x – 2 . (y2)y – x

(2–y . y2)– x

A. y

B. y2

C. y2

D. 2y

9. Reducir: T = 4x4 + y4

x–4 + y–4 ; x > 0; y > 0

A. x + yB. 1

C. xyD. xy4

10. Simplificar: A = 92x + 138x

69x + 46xx

A. 1B. 2

C. 3D. 4

11. ¿Cuántas veces hay que restarle “ – x + 2y” al polinomio “8x + 5y – 4” para que sea “12x – 3y – 4”?

A. 2B. 3

C. 4D. 8

12. Al multiplicar “3x” aumentado en 2 por “4x – 3” y quitarle el producto “2x + 1” por, “6x” disminuido en 6, se obtiene:

A. 24x2 – 7x – 12B. 5x

C. – 7xD. 5x – 12

13. Si sumamos el triple de “A” con la mitad de “B” y el resul-tado lo multiplicamos por el doble de “C”, y

A = x2 – 2x – 6B = – 6x2 + 8x – 14C = x2 + 2x + 2

Entonces queda:

A. 4x3 + 58x2 + 108x + 100B. – 4x3 – 58x2 – 108x + 100C. 4x3 – 58x2 – 108x – 100D. – 4x3 – 58x2 – 108x – 100

14. En el polinomio: P(x) = 2xa – 2 + 4xa – 4 + 6xa – 6. Calcular

“a2”, si: GA(P) = 12

A. 3B. 9

C. 6D. 7

15. En el polinomio: P(x; y) = axa – 4 + 3xay3 + 2ya. Calcular la suma de sus coeficientes, si: GA(P) = 12

A. 10B. 12

C. 14D. 15

ÁLGEBRASemana 19

Trilce Católica

CicloCatólica

110

16. En el monomio: M(x;y) = (a2 + b3)x3a + by2a + 5b

Calcular el coeficiente si: GR(x) = 10; GR(y) = 11

A. 10B. 8

C. 6D. 4

17. Determine la suma de coeficientes en el siguiente polino-mio sabiendo que todos sus términos tienen el mismo GA.

P(x) = 2ax7ya + 3 + 3x8y12 – 5aya + 10

A. 27B. 13

C. – 27D. 10

18. Calcular el grado absoluto del polinomio:

P(x; y) = xn – 2y – 4xny3n + y5 – n

A. 4B. 8

C. 9D. 10

19. Si los términos del siguiente polinomio tienen el mismo GA, determine su G.A. sabiendo que: GR(y) – GR(x) = 2

P(x; y) = 7xm + nyn + 2xm + 6yn + 4

A. 21B. 22

C. 23D. 24

20. En el monomio: M(x;y) = xa + 2y3 – b

xb – 3y – a – 6

El grado relativo a “x” es “a” y el grado relativo a “y” es “b”. Determine el G.A. del monomio.

A. 6B. 3

C. 10D. 12

21. Calcular el valor de “n” en el siguiente polinomio:

P(x;y) = 6xn2y3 + 2x2y

n3 + 1, siendo: n < 8

A. 6B. 8

C. 4D. 5

22. Determine el mayor grado relativo de una de sus varia-bles: P(x;y) = x3m – 1ym + 1 + x2m + 3y2m + 5 + xm + 2y3m – 4. Sabiendo que: GA(P) =16

A. 3B. 5

C. 12D. 9

23. En el polinomio: P(x;y) = 4xm – 2yn – 1(x7 + 2y2n – 3). Todos sus términos tienen como grado absoluto 16. Calcular “m – n”.

A. 6B. 4

C. 3D. 2

24. Determinar el GA del polinomio:

P(x; y) = xa – 10ya2 + 1

+ xa – 9ya4 + 3

+ xa + 1ya – 9

Sabiendo que “9 < GR(x) < 14”

A. 9B. 13

C. 16D. 49

25. Si el GA del monomio M(x;y;z) = abcxa(xy)b 1y

–cza + c es

18, determinar su coeficiente, sabiendo que los grados relativos respecto a “x”; “y”; “z” son consecutivos en ese orden.

A. 23B. 24

C. 25D. 26

26. Se tiene el monomio: M(x; y) = xp – 3yp + 2; si: GR(x) = 2. ¿Qué afirmación es correcta?

A. GR(x) + 3 = GA(M)B. GA(M) – 3 > GR(y)

C. GA(M) – 2 < GR(y)D. GR(y) + 3 > GA(M)

27. Si los términos:

M(x;y) = (a + 1)xb + 2y4

N(x;y) = (b – a)x4ya

son semejantes, su suma es:

A. 8x4y4

B. 3x2y2C. 3x4y4

D. – 3x4y4

28. Si: P(x – 1) = 2x – 3, indicar: P(x) + P(x + 1)

A. 2x – 1B. 4x + 2

C. 4xD. 2x

29. Si: P(x) = 5(x7 + x6) – 2(x3 + x + 1); calcular “P(– 1)”.

A. 1B. – 1

C. 2D. – 2

30. Si: P(x) = x + 2, indicar “P(P(x)) + P(x – 1)”

A. x + 5B. x – 5

C. 2x + 5D. x

31. Si: P(x – 2) = 4x + 5, resolver: P(x) + P(x + 2) = 58

A. 1B. 3

C. 2D. 5

32. Si:

P(x – 2) = x + 5P(Q(x)) = 3x + 11

Indicar “Q(x)”.

A. x + 2B. 3x + 4

C. 4x + 5D. 2x + 1

33. Si: P(3x – 1) = x, efectuar: 3P(x) – P(3x)

A. 1

B. 13

C. 23

D. – 1

34. Dado el polinomio: P(x) = 7xm – 1 + 9xn – 3 – 5xp + 1 + 12xq – 2; es completo y ordenado descendentemente, hallar el valor de: “m + n + p + q”.

A. 10B. 11

C. 14D. 15

Álgebra


35. ¿Cuál es la suma de coeficientes del polinomio:

P(x; y) = axa + 4 + 3xayb + bxb + 5; si “P(x; y)” es homogéneo?

A. 12B. 9

C. 8D. 11

36. Si los polinomios:

P(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1Q(x) = 3x2 + 6x + 12

son idénticos, hallar “c – a – b”

A. – 1B. 1

C. 4D. – 4

37. Calcular “a + b + c” en la identidad:

a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c(x – 1)(x – 2) = x2 – 10x + 13

A. 10B. 11

C. 2D. 1

38. Si el polinomio: P(x;y) = 37

xm – 2yn – 1(x7 + y2n – 3) es ho-

mogéneo de grado 16; hallar “m – n”.

A. 0B. 1

C. 2D. 4

39. Si el siguiente polinomio:

P(x) = (2a – b + 18)x2 + (3b + c – 2)x + c – 6, es idéntica-mente nulo, calcular “a + b + c”.

A. 10B. – 10

C. 5D. – 5

40. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

P(x; y) = a2xa + 7 – bxayb + abyb + 4; sabiendo que es homogéneo.

A. 35B. 37

C. 36D. 39

41. Si: P(x) = xa + b + 2xb + c + 3xc + d + 4xd + 4; es completo y ordenado ascendentemente, calcular: abcd.

A. – 12B. 12

C. – 6D. 6

42. Si el polinomio: P(x) = 18xa – 18 + 32xa – b + 15 + 18xc – b + 16; es completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c”.

A. 64B. 68

C. 32D. 92

43. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo y ordenado:

P(x) = axa + (a + 2)x2 – (a – 1)x + (a + 3)xa – 3

A. 12B. 11

C. 8D. 10

44. Determinar la suma de coeficientes del siguiente polino-mio completo y ordenado ascendentemente.

P(x) = axa – 4 + bxa + b – 5 + cxc – b + 3

A. 7B. 4

C. 1D. 5

45. Calcular “b” en el siguiente polinomio completo y orde-nado en forma ascendente:

P(x) = 3axa – 50 + 6xa – c + 42 + 9xb – c + 32

A. 58B. 61

C. 59D. 54

46. Calcular “a + b + c”, si “P(x) = Q(x)”, siendo:

P(x) = 4x2 + 3x + 2Q(x) = (a + b – 1)x2 + (b – c + 2)x + c – a + 4

A. 4B. 5

C. 7D. 6

47. Si los polinomios: P(x) y Q(x) son idénticos.

P(x) = a(x + 1)2 + b(x – 2) + 2Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3)(x + 2)

Calcular “ab”.

A. 0B. 1

C. 2D. – 2


P(x; y) = (a – 1)(x2 + 5) + (b – 3)(3x2 + 6), es idénticamente nulo, hallar el grado de: Q(x) = xa + b – 1 + xa + 1

A. 1B. 3

C. 4D. 5

49. En el polinomio homogéneo:

P(x; y) = axa + 3 – abxa – 1yb + 2 + 2byb + 8, determina la suma de coeficientes.

A. – 3B. – 2

C. – 1D. 2

50. Calcular “a + b + c” si el polinomio:

P(x; y) = xa + 3y2 + 5xb – 5y + 6x8yc + 4 + x10y9; es homogéneo

A. 44B. 40

C. 43D. 45

Tarea domiciliaria

1. Restar de “A”, lo que queda de quitarle “C” a “B”, si:

A = 2x2 + 3x + 6B = – 5x2 – 6x + 8C = – 2x2 + 5x – 3

A. – 5x2 + 2x + 11B. 9x2 + 4x + 1

C. – 9x2 – 4x – 1D. 5x2 + 14x – 5

Trilce Católica

CicloCatólica

112

2. Dado el polinomio: P(x) = 7xm – 1 + 9xn – 3 – 5xp + 1 + 12xq – 2; es completo y ordenado descendentemente, hallar el valor de “ m + n + p + q”.

A. 10B. 11

C. 14D. 15

3. Si los polinomios:

P(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1Q(x) = 3x2 + 6x + 12

son idénticos, hallar “c – a – b”.

A. – 1B. 1

C. 4D. – 4


P(x) = (2a – b + 18)x2 + (3b + c – 2)x + c – 6; es idéntica-mente nulo, calcular “a + b + c”.

A. 10B. – 10

C. 5D. – 5

5. Multiplicar (ax3 + bx2 + cx + d)(bx + 1 – c) y dar como respuesta el coeficiente del término de segundo grado.

A. 1 + cbB. b + bc

C. b – bcD. b

6. Si los términos:

M(x;y) = (a + 1)xb + 2y4

N(x;y) = (b – a)x4ya

son semejantes, su suma es:

A. 8x4y4

B. 3x2y2C. 3x4y4

D. – 3x4y4

7. Si: P(x – 1) = 2x – 3; indicar: P(x) + P(x + 1)

A. 2x – 1B. 4x + 2

C. 4xD. 2x

8. Dado el siguiente polinomio:

P(x;y) = x3m – 1ym – 2x2m – 3 y2m + xm – 3y3m

de donde: GA(P)=19. Determine que relación es correcta:

A. GR(y) – GR(x) = 2B. GR(x) < GR(y)

C. GR(x) = GR(y)D. GR(x) > GR(y)

9. ¿Cuál es la suma de coeficientes del polinomio:

P(x;y) = axa + 4 + 3xayb + bxb + 5; si P(x;y) es homogéneo?

A. 12B. 9

C. 8D. 11

10. Calcula “a + b + c” en la identidad:

a(x – 2)(x – 3) + b(x – 1)(x – 3) + c(x – 1)(x – 2) ≡ x2 – 10x + 13

A. 10B. 11

C. 2D. 1

11. Si: P(x) = x + 2, indicar: P(P(x)) + P(x – 1)

A. x + 5B. x – 5

C. 2x + 5D. x

12. Si: P(x – 2) = 4x + 5; resolver: P(x) + P(x + 2) = 58

A. 1B. 3

C. 2D. 5

13. Si: P(x – 2) = x + 5 P(Q(x)) = 3x + 11

Indicar: Q(x)

A. x + 2B. 3x + 4

C. 4x + 5D. 2x + 1

14. Si: P(3x – 1) = x; efectuar: 3P(x) – P(3x)

A. 1B. 1/3

C. 2/3D. – 1

15. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:

P(x;y) = a2xa + 7 – bxayb + abyb + 4; sabiendo que es homogéneo.

A. 35B. 37

C. 36D. 39

16. En el polinomio homogéneo:

P(x;y) = axa – 3 – abxa – 1yb + 2 + 2byb + 8, determinar la suma de coeficientes.

A. – 31B. – 24

C. – 16D. 27

17. Si el polinomio:

P(x) = 18xa – 18 + 32xa – b + 15 + 18xc – b + 16 es completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c”.

A. 64B. 68

C. 32D. 92

18. Si los polinomios: P(x) y Q(x) son idénticos.

P(x) = a(x + 1)2 + b(x – 2) + 2Q(x) = (x – 2)(x + 1) + (x + 3)(x + 2)

Calcular: “ab”

A. 0B. 1

C. 4D. – 2


P(x;y) = (a – 1)(x2 + 5) + (b – 3)(3x2 + 6), es idénticamente nulo, hallar el grado de:

Q(x) = xa + b – 1 + xa + 1

A. 1B. 3

C. 4D. 5

Quinto Católica

Colegios



OPEraciONES cON POLiNOmiOS iiPrODUcTOS NOTaBLES – DiViSiÓN aLGEBraica


1. Simplificar: K = [(a + b)2 – 4ab – (a – b)2]4

(a + b)2

A. 4abB. a + b

C. 0D. 4a2b2

2. La expresión: x3 – 27x – 3 – x

2 – 16x + 4 equivale a:

A. (x + 1)2 + 4B. (x + 1)2 + 12

C. (x + 1)2 + 10D. (x + 1)2 – 10

3. Reducir: (x + 8)(x – 6) – (x – 2)(x + 4)(x – 3)(x – 5) – (x – 7)(x – 1)

A. – 5B. 5

C. – 28/11D. – 2

4. Si al producto de dos números consecutivos se le resta el menor de estos, se obtiene como resultado:

A. El doble del menor.B. El cuadrado del mayor.C. El cuadrado del menor.D. El cuádruple del menor.

5. Efectuar: (2x + 3y – z)2 y dar como respuesta la suma de coeficientes de la expresión obtenida.

A. 25B. 16

C. 9D. 4

6. ¿A qué es igual: (x – y)2 + 4xy?

A. x + yB. x – y

C. x + yD. x – y

7. Si: m + n = u ∧ m . n = v, hallar: (m – n)2

A. u2 – 4vB. u2 + 2v

C. u2 – 2vD. u2 – v

8. Si: a + b = 4 a – b = 4

hallar: (2a + 2b)(4b)(2a – 2b)

A. 5B. 4

C. 3D. 0

9. Efectuar: (a1/2 – b)(a1/2 + b)(a + b2)

A. a – b2

B. a2 – b2C. a2 + b4

D. a2 – b4

10. Si el producto de dos números consecutivos se le suma el mayor de estos números, se obtiene como resultado:

A. El doble del menor.B. El doble del mayor.C. El cuadrado del menor.D. El cuadrado del mayor.

11. Si: x + 1x

= 3 , hallar: x3 + 1x3

A. 1B. 2

C. 3D. 0

12. Efectuar: 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 116

A. 2B. 4

C. 3D. 8

13. Si: a + b = 12 ab = 5

Hallar: E = a2 + b2 – 34

A. aB. 5

C. 10D. 15

14. Si: a; b > 0; simplificar: [(a2 + b2)2 – (a2 – b2)2]24

A. aB. b

C. abD. 2ab

15. Reducir: E = (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)(x4 + 16)

A. x4 + 256B. x6 – 1

C. x8 – 256D. x6 + 16

16. Si: ab

+ ba

= 2; determinar: a

b2k

+

ba

2k

A. 1B. 2

C. 3D. 4

17. Evaluar la expresión: 2(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) + b88

para: a = 2 + 1 b = 2 – 1

A. 2B. 2 2

C. 2 + 1D. 3 + 2 2

18. Si: x = 5 + 3 17 + 5 – 3 17 ; calcular: x3 – 6x + 5

A. 5B. 10

C. 15D. 20

19. Si: (a + b)24

= ab; calcular: S = 3a3 + b3

ab6

A. 1B. 23

C. 43

D. 93

ÁLGEBRASemana 20

Trilce Católica

CicloCatólica

114

20. Si: A = (p + q)(p – q)(p2 + pq + q2) B = (p2 – pq + q2)(p6 + q6)(p12 + q12)

entonces “A.B” es equivalente a:

A. p12 + q12

B. p24 – q24C. p12 – q12

D. p24 + q24

21. Si: a – b = b – c = 5; hallar el valor de:

R = (a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2

10

A. 5B. 10,5

C. 105D. 17,5

22. Hallar el valor numérico de:

(n – 1)3(n + 1)3(n2 + 1)3(n4 + 1)3, para: n = 38

A. 64B. 27

C. 8D. 16

23. Si: x + y + z = 0; hallar el valor numérico de:

E = xy + xz + yzx2 + y2 + z2

A. 1/2B. – 2

C. 2D. – 1/2

24. Si: a2

b +

b2

a = – 3(a + b), hallar: K =

4(a8 + b8)(a2b2)2

A. 4B. 6

C. 1D. 0

25. Si: a2

b +

b2

a = – 3(a + b), hallar: K =

4(a4 + b4)a2b2

A. 8B. 6

C. 4D. 2

26. Al dividir: 6x4 + 13x3 + 6x2 + Ax + B

2x2 + 3x + 2 señale su cociente.

A. 3x2 – 2x + 3B. 3x2 + 2x – 3

C. 3x2 – 2x – 3D. 2x2 + 3x – 2

27. En la siguiente división exacta:

x4 – 5x3 + 15x2 – Ax + Bx2 – 3x + 5

Entonces “A” y “B” son:

A. Primos entre sí.B. Pares.C. Impares consecutivos.D. Consecutivos.

28. Señale el cociente, al dividir:

ax4 – (a + b)x3 + (2a + b)x2 – bx – aax2 – bx + a

A. x2 + x + 1B. x2 – x + 1

C. x2 + x – 1D. x2 – x – 1

29. Hallar “ab” si la división: ax4 + bx3 + 52x2 + 59x + 56

3x2 + 5x + 8 no

deja residuo.

A. 114B. 56

C. 132D. 84

mÉtodo de ruffini

30. Al dividir: x3 + (– 2 – 7 )x2 + (2 7 – 15)x + 15 7 + m

x – 7 se obtuvo como resto: 3m – 8, determinar “m”.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

31. Proporcione el resto, al dividir:

x3 – 2x2 + (2 – m2 – 2m)x – 2m – 2x – m – 2

A. 2B. 3

C. 6D. 9

32. Hallar el valor positivo de “n” si en:

nx4 + (n2 – 1)x3 – n2x2 – x + n2

nx – 1

La suma de los coeficientes del cociente es igual al resto.

A. 1B. 3

C. 5D. 2

33. Halle el resto en la división: x5 + (3 2 – 2)x3 + 2 2 + 6

x – 2 + 1

A. 1B. 2

C. 6D. 9

34. En la siguiente división: 18x4 – 5x3 + 6x2 + 2ax + 14

2x – 1 sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 31. Determinar el resto.

A. 27B. 28

C. 29D. 30

35. ¿Cuál es el residuo de la división:

(2x4 + 17x3 – 68x – 32)

x – 12

?

A. 63,75B. 32

C. – 63,75D. – 32

teorema del residuo

36. Si el resto de la división:

3x4 – (1 – 3)x3 – 2 3x2 – 2x + A – 2 3x – 3 + 1

es 3, ¿cuánto vale “A”?

A. 3B. 6

C. 9D. 12

Álgebra


46. Determine “A” y “B” tal que P(x) = Ax4 + Bx3 + 1; verifique: P(x) – R(x) = (x – 1)2 . q(x).

Si: R(k) = 0;∀ k ∈ lR.

A. 3; – 4B. 3; 4

C. 2; – 4D. 2; 4

47. Si el resto de dividir: 6x3 + nx + 1

x2 + 1 es (– 4x + 1), calcular

“n6”.

A. 8B. 32

C. 35D. 64

48. Hallar el cociente exacto de: x3 + Ax + Bx2 – Ax + B

, siendo: A; B ≠ 0

A. xB. – x

C. x + 1D. – x – 1

49. Calcular el valor numérico del polinomio:

P(x) = 4x5 – 10x4 + 6x3 + 5x2 – 16x + 13 para: x = 2.

A. 1 762B. 176

C. 17D. 181

50. Al dividir la división exacta: 2x4 – 7x3 + ax + 1

x – 3 . Hallar “a”.

A. 3/26B. 26/3

C. 1/3D. 2/3

Tarea domiciliaria

1. Si: a– 1 + b– 1 = 4(a + b)– 1; a,b ≠ 0, halle: E = 2a2 + b2

ab

A. 1B. 2

C. 3D. 8

2. Reducir: (x2 – 4x – 1)2 – (x2 – 4x – 2)2 – 2(x3 – 8)2

(x2 + 2x + 4)2

A. – 9B. – 3

C. – 11D. 0

3. La expresión: x3 – 27x – 3

– x2 – 16x + 4

equivale a:

A. (x + 1)2 + 4B. (x + 1)2 + 12

C. (x + 1)2 – 10D. (x + 1)2 + 10

4. ¿A qué es igual: (x – y)2 + 4xy ?

A. x + yB. x – y

C. x + yD. x – y

5. Siendo: (a + b + c)2 + (a + b – c)2 = 4c(a + b), hallar el valor de: a + b

c +

c – b

a

A. 0B. 1

C. 2D. 3

37. ¿Qué relación deben guardar los coeficientes del poli-nomio: (ax4 + bx3 + cx + d) para que sea divisible entre: (x2 – 2x – 1)?

A. d = 2a + b + cB. d = 7a + 3b + c

C. d = 3a + 2b – cD. d = a + 2b – c

38. Halle el resto de la división: (x – 1)9 + (x – 2)5 – 3

(x – 1)(x – 2)

A. x + 3B. 2x – 6

C. x + 6D. 2x – 3

39. Hallar el resto en: x20 + x10 + x4 + 5x + 2

x4 + 1

A. 5xB. x2 + 5x

C. x2 – 5xD. x2 – 6x

40. Halle el residuo de dividir: (x – 6)2008 + x + 19

(x – 5)(x – 7)

A. x + 14B. x + 16

C. x + 18D. x + 20

41. Halle la suma de los coeficientes del cociente de dividir: 8x3 + 4bx2 + 6bx + 13

2x + 1; si el residuo de la división es – 8.

A. 38B. 37

C. 43D. 47

eJercicios adicionales

42. En la siguiente división exacta: x5 + 3x4 + x3 + ax2 + bx + c

(x + 1)2 – 2

Calcular “b + c – a”.

A. – 1B. – 2

C. 1D. 2

43. Calcular (ab) si la división: 2x4 + 3x2 – ax + b

2x2 + 2x + 3 es exacta.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

44. En la siguiente división: 2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a

x2 – x + b se

sabe que el resto es (2x + 3); además la suma de coefi-cientes del coeficiente es mayor que 15. Calcular “ab”.

A. 4B. 7

C. 8D. 9

45. Al efectuar la división: 3ax4 – 4dx3 – 2cx2 + 2x + 2

3x2 + 2x – a se

obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 30 y un resto idéntico a (5ax + a + 2), (a ≠ 0). Calcule:

aq(1) – a

, donde “q(x)” es cociente.

A. 14

B. 4

C. – 14

D. – 4

Trilce Católica

CicloCatólica

116

6. ¿Cuál es el valor de: r2 – 2r – 2; si: r = 2 + 1?

A. – 1B. – 2

C. 0D. 1

7. Si: x = 101; hallar: E = (x2 – 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

(x2 – 2x + 1)(x6 – 1)

A. 10– 4

B. 102C. 103

D. 10– 3

8. Efectuar: 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) + 116

A. 2B. 4

C. 3D. 8

9. Si: a + b = 12

ab = 5

Hallar: E = a2 + b2 – 34

A. aB. 5

C. 10D. 15

10. Si se cumple que: (a + b + 2c)2 + (a + b – 2c)2 = 8c(a + b)

hallar: E = a + b2c

3 +

a – cc – b

5 +

c – ac – b

4

A. 3B. 1

C. – 1D. 0

11. ¿Cuánto se le debe restar al dividendo de manera que la división sea exacta:

x4 + x3 – 5x2 + 15x + 2x2 – 2x + 3

?

A. x + 4B. x – 4

C. 2x + 8D. 2x – 8

12. El residuo de dividir: 8x5 + 4x3 + ax2 + bx + c

2x3 + x2 + 3

es: 5x2 + 11x + 7. Hallar: E = abc

A. 20B. 30

C. 40D. 50

13. Hallar “m/n” si la división: mx4 – 8x3 – nx2 + 14x – 8

3x2 + x – 2 es

exacta.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

14. Hallar “ab” en la siguiente división exacta:

3x4 + x3 – 2x2 + ax + b3x2 + 4x + 5

A. 45B. 36

C. 42D. 56

15. Determine el residuo de la división:

x6 + 2x5 – 2 3x4 – 2 3x3 – 2x2 + 1x – 3

A. 0B. 1

C. – 3D. 4

16. Dividir: x6 + 6x5 + 8x4 + 17x3 + 10x2 – 2x + 3

x + 5

Indicar el coeficiente del término cuadrático del cociente.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

17. Hallar el resto de: x60 + x80 + x90 + x20 + 4

x10 + 1

A. 2B. 4

C. 6D. 8

18. Hallar el resto en: (x – 3)(x + 7)90 + 7

x + 6

A. 7B. – 2

C. 2D. 4

19. Halle la suma de coeficientes del cociente, luego de efectuar la división:

15x5 – 14x4 + 9x3 – 5x2 + 4x + 13x – 1

A. 4B. 6

C. 12D. – 4

20. Hallar el resto en: (x – 3)80 + (x – 4)15 + 6

(x – 3)(x – 4)

A. 2x + 1B. 2x – 1

C. 2x – 3D. 2x + 3

ÁLGEBRASemana 21

Quinto Católica

Colegios




1. Factorizar: 4x2 – (x + y)2; e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes:

A. 3x – yB. 3x + y

C. 4x – yD. 5x + y

2. Factorizar: 8x6 + 343 e indicar la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos.

A. 5B. 12

C. 39D. 45

3. Factorizar: 27x6 – 125

A. (3x2 + 5)(9x4 + 15x2 + 25)B. (3x2 – 5)(9x2 + 15x2 + 25)C. (3x2 – 5)(9x4 – 15x2 + 25)D. (3x2 – 5)(9x4 + 15x2 + 25)

4. Factorizar: (x + z)2 – (y – w)2

A. (x + z + y + w)(x + y – z – w)B. (x – z – y – w)(x + y + z + w)C. (x + z + y – w)(x + z – y + w)D. (x + y)(y + w)

5. Factorizar: (4x2)2 – 8(4x2) – 105

A. (4x2 + 15)(4x2 – 7)B. (x2 – 15)(x2 + 7)

C. (4x2 – 15)(4x2 + 7)D. (4x2 + 15)(x2 – 7)

6. Factorizar: 4m2 – 4m(n – m) + (n – m)2

A. (3m – n)2B. (3m + n)2

C. (2m + n)2D. (2m – n)2

7. Al factorizar: x4n – 2x2n – 24; indicar el número de fac-tores primos.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

8. Factorizar: x2m + n – 9xm + n + 14xn; indicar el factor de mayor suma de coeficientes.

A. xn

B. xm – 2C. xm – 7D. xm + 2

9. Indicar el número de factores trinomios luego de facto-rizar:

(x + 2)2(x + 1)(x + 3) – 5x(x + 4) – 27

A. 0B. 1

C. 2D. 3

10. Factorizar: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

A. (x2 – 3x + 1)2B. (x2 + 3x + 1)2

C. (x2 + 3x – 1)2D. (x2 + 3x – 1)2

11. Factorizar: x4a + 8x2a + 15

A. (x2a + 9)(x2a + 6)B. (x2a – 5)(x2a – 3)

C. (x2a – 8)(x2a – 7)D. (x2a + 5)(x2a + 3)

12. Factorizar: xp + 2q + 7xp + q + 10xp

A. xp(xp + 2)(xq + 5)B. xp(xq + 2)(xq + 5)

C. xp(xq + 2)(xp + 5)D. (xq + 2)(xq + 5)

13. Indicar un factor de: m2 – n3 + m3 – n2

A. m + nB. 2m + n

C. m – nD. m – 2n

14. Factorizar: xyyx + xy + xy + 1 + yx + 1

A. (x + y)(xy + yx)B. xy + 1 + yx + 1

C. (xy + yx)(x – y)D. (x + yx)(xy + y)

15. Al factorizar: x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 se obtuvo una expresión de la forma: (x – 1)a . (x + 1)b. Hallar “a + b”

A. 2B. 3

C. 4D. 5

16. Indicar uno de los factores de: x(x + 2)(x + 3)(x + 5) + 5

A. x2 + 5x + 1B. x2 + 5x – 1

C. x2 + 5x – 5D. x2 – 5x + 5

17. Señalar uno de los factores de: x2 + y2 – z2 – 2xy + 18z – 81

A. x + y + z – 9B. x + y + z + 9

C. x – y – z – 9D. x – y + z – 9

18. Factorizar: 32m + 3 – 11 . 3m + 1 – 20

A. (3m + 2 – 4)(3m + 1 – 5)B. (3m + 1 + 2)(3m – 1 – 2)

C. (3m + 2 + 4)(3m + 1 – 5)D. (3m + 1 – 4)(3m + 2 – 5)

19. Factorizar: x3 + 6x2 + 15x + 14

A. (x + 1)(x + 2)(x + 3)B. (x + 2)(x + 3)(x + 4)

C. (x – 2)(x2 – 4x + 7)D. (x + 2)(x2 + 4x + 7)

20. Factorizar: x3 + 6x2 + 3x – 10

A. (x + 10)(x + 1)(x – 2)B. (x – 1)(x + 2)(x + 5)

C. (x – 1)(x – 2)(x + 5)D. (x + 1)(x + 5)(x + 10)

oPERAcionES con PoLinomioS iiifacTOriZaciÓN – EXPrESiONES aLGEBraicaS raciONaLES

Trilce Católica

CicloCatólica

118

21. Factorizar e indicar el número de factores primos cuadrá-ticos: x4 + 10x2 + 49

A. 0B. 1

C. 2D. 3

22. Factorizar e indicar el término independiente de uno de los factores primos: x4 + x2 + 25

A. – 2B. – 1

C. 5D. 2

23. Indicar uno de los factores: 1 + 2xy – x4 – y4 – x2y2

A. xy + 1 + x2 + y2

B. xy – 1 + x2 + y2C. xy – 1 – x2 + y2

D. xy + 1 + x2 – y2

24. Indicar un factor primo: abcx2 – (a2b2 + c2)x + abc

A. cx – abB. bx – ab

C. cx + abD. ax – bc

25. Factorizar: (x + y)4 – x4 – y4 – 2xy3; e indicar el número de factores primos de primer grado.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

26. Factorizar: x(x2 + xy – 1) – y(y2 + xy – 1) e indicar el V.N. de uno de los factores para: x = 3 e y = – 2

A. 3B. 4

C. 5D. 6

27. El polinomio: P(x) = 8x3 + 32x2 – 216x – 720; al ser fac-torizado se transforma en: a(x – b)(x – c)(x – d); siendo: b > c > d. Calcular: a + d – (c + d)

A. 4B. 2

C. 0D. 8

28. Al factorizar: 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1; se obtiene (ax + b)(bx + 1)(x – b)(cx – b)2. Calcular: ab + bc + a.

A. – 11B. 11

C. 8D. – 6

29. Efectuar: (x2 – 3x)2 – (x + 1)2

(x2 – 4x)2 – (2x + 1)2

Señalar la diferencia de los elementos de la fracción resultante.

A. ± 2xB. 2x

C. – 2xD. ± x

30. Efectuar: a3 – a2b(a – b)2

– a3 + b3

a2 – b2

A. – aB. – b

C. aD. b

31. Efectuar: a2

b2 + ab + b2

a2 + ab – a

b – b

a

A. ab

B. ba

C. 1

D. – 1

32. Efectuar: a2 – b2

a2 + b2 +

b2

a2 – b2 +

a2 + 3b2

a2 + b2 +

a2

b2 – a2

A. a – bB. a + b

C. 1D. 2

33. Efectuar: b2 – a2

a2 – b2 + a

2 – abab – b2

+ a – bab2 – a2b

– a2 – 1ab

A. ab

B. ba

C. 1

ab

D. – 1

34. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar “M – N”.

6x – Nx2 – 4

=

Mx – 2

+

Nx + 2

A. – 4B. – 2

C. 0D. 4

35. Efectuar:

1x – 1

–

1x + 1

xx – 1

–

1x + 1

A. 1

x2 + 1

B. 2

x2 + 1

C. 3

x2 + 1

D. x – 1x2 + 1

36. Efectuar: x + 12x2

+ 2y + 1

4xy – xy + 1

x2y

Indicar el numerador de la fracción resultante.

A. 3y + 4B. 3x + 4

C. x + 2y + 4D. x + 2y – 4

37. Efectuar: 4x2 + 8x – 52x2 + 5x – 3

+

x2 – x – 20x2 – 2x – 15

A. 13

B. 12

C. 1

D. 3

38. Efectuar:

2x2 + 4x + 3

+

1x2 + x

+

1x2 + 3x

Indicar el numerador final.

A. x + 2B. x + 1

C. 4x + 2D. 4

39. Reducir:

x + 1

x – 1x

x – 1 + 1

x + 1

A. x

x – 1

B. 1

x2 – x

C. x

x + 1

D. 1

x2 + x

Álgebra


40. Al efectuar: x2 – 1 –

1x – 1

1x2 – 1

– x + 1, se obtiene:

A. – x – 1

B. – 1

x + 1

C. x + 1

D. 1

x + 1

41. Efectuar:

x + 12x – 2

–

x – 12x + 2

+ x2 + 1x2 – 1

– 4x

x2 – 1

A. x + 1

B. x – 1x + 1

C. x + 1x + 2

D. 0

42. Simplificar: x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

x4 + x2 + 1

A. x + 1B. x + 2

C. x + 3D. x – 1

43. Simplificar:

a5 – a4c – ab4 + b4ca4 – a3c – a2b2 + ab2c

A. a + b

B. a + b2

a

C. (a + b)2

D. a – b

44. Simplificar:

x2 – x – 2x2 – x – 12

. x2 + 5x + 6x2 + 3x + 2

. x – 4x – 2

A. x + 2B. x – 1

C. x + 3D. 1

45. Efectuar: 3x2 + 11x + 6

x2 – 3

x – 1x + 2

– x – 2x + 1

A. x + 3B. x + 2

C. x – 2D. – x – 3

46. Reducir: (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

(a + b)3 + (a – b)3 – 2a3

A. 1

B. – 1

C. ab

D. ba

47. Simplificar:

1a

+ 1b

–

xab

(a + b + x)

1a2 +

1b2

+

2ab

–

x2

a2b2

A. xB. 1

C. (ab)–1

D. ab

48. Calcular el valor constante que toma la fracción inde-pendiente de “x”.

(bc – a2)x + (ac – b2)(b + c)x + (a + c)

A. a – b – cB. a + b + c

C. a + b + 2cD. 1

49. Reducir: 3x3 – 2x2 – (a + 2)x – 63x3 – 5x2 – (a – 1)x + 6

Si admite como divisor común a: x2 + mx – 6

A. 3x + 13x – 2

B. 2x + 32x – 1

C. 6x + 26x – 1

D. 3x – 23x – 1

50. Reducir: a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)

(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

A. – 13

B. – 3

C. 13

D. 3

Tarea domiciliaria

1. Factorizar: a2b + a2c + d3b + d3c

A. (a2 + b)(d3 + c)B. (b + c)(a2 + d3)

C. (a3 + b2)(d2 + c)D. (a2 + c)(d3 + b)

2. Al factorizar: 3m3 – 20 + 12m2 – 5m; señalar uno de sus factores primos.

A. m + 3B. m + 2

C. m + 4D. m + 5

3. Hallar el número de factores primos lineales del polinomio: P(x, y) = 5x4y2 + 10x3y3 + 5x2y4

A. 0B. 2

C. 3D. 4

4. Señalar un factor primo al factorizar:

x(z + y)2 + y(x + z)2 – 4yxz

A. x – yB. x + y

C. x + y + zD. x + 2y

5. Señalar uno de los factores primos obtenidos al factorizar: ac(a + c) + ab(a – b) – bc(b + c)

A. b2 + cB. b + c

C. b – cD. c – b

6. Indicar el factor primo relativo repetido al factorizar:

A(x) = (x – 3)(x – 2)(x – 1) + (x – 2)(x – 1) – (x – 1)

A. (x + 3)B. (x – 3)

C. (x – 1)D. (x – 2)

7. Indicar la suma de los factores de primer grado que se obtienen al factorizar: 8x6 + 7x3 – 1

A. 3x – 1B. 3x

C. 2x – 3D. 4x – 1

8. Calcular la suma de los factores primos obtenidos al factorizar: R = a3 + b3 – a(b2 + c2) – b(a2 + c2)

A. a + bB. 3a – b

C. 2a + bD. 2a – b

Trilce Católica

CicloCatólica

120

9. Factorizar: f(x) = (x2 – 7)2 – 10x(x2 – 7) + 21x2. La suma de los términos lineales de los factores primos obtenidos es:

A. – 10xB. 10x

C. 7xD. – 7x

10. Factorizar: 9(x + 5)2 – 25(y + 3)2. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

A. – 2B. 2

C. 3D. 4

11. Si:

7x + 26x2 + 7x + 10

=

Ax + 2

+

Bx + 5

. Hallar: A2 + B2

A. 1B. 5

C. 3D. 2

12. Efectuar:

x + 1 + 3x + 7x + 2

x + 3 – x + 3x + 4

A. x + 1x + 2

B. x + 2x + 1

C. x + 4x + 2

D. x – 2x + 1

13. Efectuar: ab + b2

ab +

ab – b2

ab – a2.

A. – ab

B. – ba

C. ab

D. 1

14. Reducir: x2 + x – 2

x2 + 2x – 3 +

x2 + 7x + 12x2 + 6x + 9

.

A. – 2B. – 1

C. 0D. 2

15. Simplificar: a(a + c) + b(c – b)c(a + c) + b(a – b)

A. a – bb + c

B. b – ca – b

C. a + ca + b

D. a + bc + b

16. Simplificar:

a3 – 25a2a3 – 8a2 – 10a

A. a – 5

2(a + 1)

B. a + 5

2(a – 1)

C. a + 5a + 1

D. a + 5

2(a + 1)

17. Descomponiendo en fracciones parciales, hallar “M – N”

6x – Nx2 – 4

=

Mx – 2

+

Nx + 2

A. – 4B. – 2

C. 0D. 4

18. Reducir: Q = a– 2 – b– 2

a– 1 + b– 1–1

. a– 1 – b– 1

a– 2 . b– 2

A. abB. (ab)2

C. (ab)– 1

D. (ab)– 2

19. Calcular “ab” si la fracción: a(x – y) + 12xy + b(x + y)

3x + 4xy + 5y

es independiente de “x” e “y”.

A. 135B. – 36

C. 48D. – 48

ÁLGEBRASemana 22

Quinto Católica

Colegios



rEPaSO DE EcUaciONES DE SEGUNDO GraDO

1. Si: px2 – 2x + 3px – 4p + 8 = 0; p > 0; es una ecua-ción cuadrática y sus raíces son “x1” y “x2” tales que: x1 + x2 = 3/2(x1 x2), entonces el valor de la suma de sus raíces es:

A. 2B. 1

C. – 1D. – 2,4

2. Dada la ecuación: (k + 1)x2 + (5k – 3)x + 2k + 3 = 0. Halle el mínimo valor de “k” para que sus raíces sean iguales.

A. – 3

B. –

715

C. –

117

D. – 25

3. Si “p” y “q” son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0

el valor de: 1p2

+ 1q2, es:

A. b2 – ac

a

B. b2 – 2ac

c2

C. b2 – 4ac

2ac

D. c2(b2 – 2ac)

4. Si: “r” y “s” son las raíces de la ecuación: x2 + bx + c = 0, el valor de: r2 + s2 ; es:

A. b2 – 4cB. b – 4c2

C. 2b + cD. b2 – 2c

5. Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raí-ces sean las inversas de las raíces de la ecuación: 3x2 + 7x + 5 = 0.

A. x2 + 7x + 3 = 0B. 5x2 – 7x – 3 = 0

C. 5x2 + 7x + 3 = 0D. 5x2 – 7x + 3 = 0

6. Dada la ecuación cuadrática: x2 + px + q = 0, ¿qué valores deben tomar “p” y “q” para que las raíces sean precisa-mente “p” y “q”? Dé como respuesta: p/q.

A. 1/2B. 2

C. – 2D. – 1/2

7. Si: r1 y r2 son las raíces de: x2 + Mx + 32 = 0; además: “s1” y “s2” son las raíces de x2 + Nx + 2 = 0, hallar: “M – N”, tal que: r1 > r2 > s1 > s2 > 0; r1 / r2 = s1 / s2 = 2

A. 9B. 12

C. – 9D. – 12

8. Determinar el valor de “m”, de tal manera que la ecuación de segundo grado: x2 – 2(m2 – 4m)x + m4 = 0 tenga sus dos raíces con un mismo valor diferente de cero.

A. m = 1B. m = 4

C. m = 2D. m = – 4

9. Si “a” y “b” son las raíces de: x2 – px + q = 0; hallar el valor de: a2 + 2ab + b2 y a3 + b3

A. p2 – q; – p(p2 – 3q)B. p2 + q; p (p2 – 3p)

C. p2; p3 – 3pqD. p2 – 3q; p2 – q

10. La ecuación: x2 – Ax + B = 0; tiene una raíz que es el triple de la otra, luego “A” y “B”, están relacionadas por:

A. A2 = 16BB. 3A2 = 16B

C. A2 = 3BD. 2A2 = 3B

11. Si {r; s} es la solución de la ecuación: x2 + 3x + k = 0 y se sabe que: r2 + s2 = p, entonces se cumple que:

A. p + q = 2kB. p – q = 3k

C. p – 8 = 2kD. p – 9 = – 2k

12. Para qué valor de “p” las raíces “x1” y “x2” de la ecuación: 4x2 + px = – 5, verifican:

3x1 + x2 = – 8x1 + 3x2 = – 4

A. 12B. 6

C. – 6D. 18

13. Las raíces “a” y “b” de una ecuación cuadrática satisfacen:

4a – 16b = 7 8a + 4b = 5

Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son respecti-vamente las inversas de “a” y “b”.

A. 16x2 – 8x – 3 = 0B. 9x2 + 8x + 16 = 0

C. 3x2 – 8x – 16 = 0D. 3x2 + 8x – 16 = 0

14. Siendo “x’ ” “ y “x”” las raíces de la ecuación:

5x2 – 23x + 11 = 0;

el valor de: P = 3x’ + 12x’ – 9

.

3x” + 12x” – 9

; es:

A. 173/35B. 143/35

C. 153/35D. 183/35

15. Hallar el menor valor de “m” de modo que las ecuaciones:

mx2 – (m + 5) x + 6 = 0 2mx2 – (5m + 1) x + 6 = 0

; tengan una raíz común.

A. 2,5B. 1

C. 1,5D. 2

16. Indique si existe un valor de “x” que cumple con la si-guiente igualdad: 13x – 16 + 13x – 1 = 1

A. x = 3B. x = 4

C. x = 5D. Absurdo

Trilce Católica

CicloCatólica

122

17. Resolver: 12x + 1 – 3x + 6 = 3x – 5

A. 10B. – 12

C. 13D. 8

18. Si: x = 1 + 1 + 1 + ... ; puede decirse que:

A. x = 3B. 0 < x < 1

C. x = 2D. 1 < x < 2

19. Resolver la siguiente ecuación:

(a – b)x + (a2 + b2)2

(a + b)x =

2a(a2 + b2)

a + b; a – b

A. x1 = a + b; x2 = a – b

B. x1 = a2 + b2

a + b; x2 =

a2 + b2

a – bC. x1 = a2 + b2; x2 = a2 – b2

D. x1 = ab;

x2 = ba

20. Hallar una de las raíces de: 25x – 29 = 3 x + 4x – 11

A. 3B. 6

C. 9D. 2

Tarea domiciliaria

1. Al resolver la ecuación: 3x(x – 1) = 5(x – 1). Se obtiene:

A. Una raíz mayor que 2.B. Una raíz menor que – 1.C. Una raíz entre 3/2 y 2.D. Una raíz entre – 1 y 0.

2. Dar como respuesta la suma de sus soluciones:

x + 6 – 2x – 2 = 5x – 14

A. 3B. 31

C. – 31D. – 28

3. Hallar “k” para que las raíces de la ecuación:

x2 + kx + 8 = k; sean iguales (k > 0).

A. 8B. 12

C. 6D. 4

4. Calcule “a” si las raíces de la siguiente ecuación:

ax2 + (2a + 1)x + 3a + 2 = 0, son simétricas.

A. 1/2B. – 1

C. – 1/2D. 0

5. ¿Qué valor positivo debe tomar “k” para que las raíces de la ecuación en “x”: 2x2 – (k – 1)x + k + 1 = 0, difieran en 1?

A. 5B. 12

C. 11D. 9

6. ¿Para qué valores de “m” tendrá la ecuación:

x2 – 2x(1 + 3m) + 7 (3 + 2m) = 0; raíces iguales?

A. 5; 2

B. 1; – 35

C. 4; – 2

D. 2; – 109

7. Sea la ecuación: x2 + (4 – m)x + m = 5. Hallar el valor de “m” para que la diferencia de raíces sea 2.

A. 3; 6B. 4; 5

C. 6; 2D. 4; 8

8. Formar la ecuación cuyas raíces son las inversas multi-plicativas de las raíces de la ecuación: 2x2 – 3x – 1 = 0

A. 2x2 + 3x – 2 = 0B. x2 – 3x – 2 = 0

C. x2 + 3x – 2 = 0D. 2x2 – 3x + 1 = 0

9. Sabiendo que las raíces de la ecuación:

x2 – (3n – 2)x + n2 = 1, son números enteros y una de ellas es el triple de la otra, estas son:

A. 1 y 3B. 2 y 6

C. 3 y 9D. 4 y 12

10. Indicar para qué valor de “n” las raíces “x1” y “x2” de la ecuación: 4x2 + nx + 5 = 0, verifican:

3x1 + x2 = – 8 x1 + 3x2 = – 4

A. – 12B. 6

C. – 6D. 12

11. Dada la ecuación: (2k + 1)x2 + 3(k – 1)x + 1 – k = 0. Hallar “k” si la suma de raíces es 0,75

A. 0,25B. 0,5

C. 1D. 2

12. Hallar “n” para que el producto de raíces sea 6 en la ecuación: (2n – 7)x2 – (2n + 1)x + 10n + 40 = 0

A. 82B. 40

C. 41D. 6

13. ¿Para qué valor de “n” el discriminante de la ecuación: x2 – 8x + n = 0; es igual a 20?

A. 11B. 17

C. 22D. 44

14. Siendo “x1” y “x2” raíces de: mx2 – (m + 1)x + m + 2 = 0, hallar “m” si se cumple: (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 8

A. 1B. 2

C. 4D. 8

15. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:

x2 – (m + 7)x + 25 = 0; son iguales. (m > 0)

A. 6B. 4

C. 3D. 2

ÁLGEBRASemana 23

Quinto Católica

Colegios



PLaNTEO DE EcUaciONES i


1. La relación de dos números es de 2 a 3. Si el menor se aumenta en 8 y el mayor en 7 la relación es de 3 a 4. Hallar los números.

A. 22 y 33B. 24 y 38

C. 26 y 39D. 12 y 23

2. Dividir 85 en dos partes tales que el triple del menor equivalga al doble del mayor. Señalar este último.

A. 34B. 51

C. 55D. 38

3. El denominador de una fracción excede al numerador en 1. Si el denominador se aumenta en 15, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.

A. 7/8B. 8/9

C. 9/8D. 9/10

4. Existen dos números consecutivos tal que el menor ex-ceda en 81 a la diferencia entre los 3/4 del menor y los 2/5 del mayor. El menor de los números es:

A. 124B. 125

C. 126D. 127

5. Dos números “A” y “B” están en relación “m” es a “n”, si a “A” le aumentó “n”, ¿cuánto debo aumentar a “B” para que se mantenga la relación?

A. m2

B. nm

C. n2

m

D. m3

n

6. A cierto número par, se le suma los dos números pares que le preceden y los dos impares que lo siguen, obte-niéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par en referencia es:

A. 162B. 120

C. 194D. 36

7. El lunes gasté la mitad de lo que tenía y 2 más; el martes la mitad de lo que me quedará y 2 más; el miércoles la mitad de lo que quedará y 2 más y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía el lunes antes de gastar nada?

A. 22B. 24

C. 26D. 28

8. Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta de manzanas para su abuelita. Si en el camino la detiene

el Lobo y le pregunta: "¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta? "Caperucita responde: “Llevo tantas decenas como el número de docenas más uno”. ¿Cuántas man-zanas llevaba Caperucita en su cesta?

A. 6B. 20

C. 30D. 60

9. En un examen de "n" preguntas un estudiante contestó correctamente 15 de las primeras 20. De las preguntas restantes contestó correctamente la tercera parte. Si todas las preguntas tienen el mismo valor y la nota del estudiante fue del 50%, calcular el número de preguntas del examen.

A. 50B. 100

C. 25D. 200

10. Jacinto hace dos apuestas, en la primera gana 2/3 de lo que tiene más S/. 10 y luego en la segunda, pierde 1/4 de lo que ahora tiene más S/. 10. Si lo que le queda excede en S/. 5 a lo que tenía al principio, ¿cuánto ganó en la primera apuesta?

A. S/. 20B. 25

C. 30D. 35

11. Se compra “a” borradores a $“a” cada uno, (a + 10) cua-dernos a $(a + 10) cada uno y “4a” lapiceros a “4a” el par. Si se gastó en total $250, ¿qué cantidad de borradores se compró?

A. 1B. 3

C. 7D. 5

12. Un padre tiene cinco veces la edad de su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 2106. Hallar la edad del padre.

A. 25B. 35

C. 40D. 45

13. El cuadrado de un número disminuido en 9 equivale a ocho veces, el número menos 2. Hallar el valor que puede tomar.

A. 6B. 7

C. 8D. 9

14. ¿En qué tiempo harán "A", "B" y "C" un trabajo juntos, si "A" puede hacerlo solo en 6 horas más, "B" en una hora más y "C" en el doble del tiempo?

A. 23

horas

B. 32

C. 2

D. 1

Trilce Católica

CicloCatólica

124

15. Un gran auditorio tiene sus sillas dispuestas en filas. Si se cuentan exactamente 5600 sillas y además el número de sillas por fila excede en 10 al número de filas, calcular el número de sillas por fila.

A. 70B. 80

C. 90D. 50

16. En una reunión se cuentan tantos caballeros como tres veces el número de damas, después se retiran ocho parejas y el número de caballeros ahora es igual a cinco veces el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente?

A. 16B. 48

C. 30D. 25

17. En un centro comercial se acondicionaron 25 galerías para cafetería, joyería y peluquería. Si tres de las joyerías terminaron siendo peluquerías, entonces el duplo del número de peluquerías es igual al quíntuplo del número de joyerías. Si el número de joyerías es múltiplo de 3, ¿cuántas peluquerías hay en el centro comercial?

A. 12B. 9

C. 14D. 10

18. Una pieza de género tiene 20 metros de longitud. En una segunda compra que hizo, se adquirió los 2/3 del resto que había quedado después de la primera. Sabiendo que las dos compras son iguales, ¿cuántos metros se compraron la primera vez?

A. 7B. 8

C. 9D. 13

19. Una compañía urbanizadora adquirió un terreno en $7200, después de vender todo excepto 20 acres, con utilidades de $30 por acre ya se había recuperado el costo total del terreno. ¿Cuántos acres se vendieron?

A. 80B. 60

C. 100D. 90

20. El dueño de una librería compra 80 libros y 150 tableros de dibujo por un valor de S/.1410. Al vender todo, recauda por los libros S/.1200 y por los tableros S/.600. Si la ga-nancia de un libro es el triple de la utilidad de un tablero, ¿cuánto le costó un tablero al dueño de la librería?

A. S/.3B. 4

C. 2D. 5

21. Un padre tiene “a” años y su hijo “b” años. ¿Hace cuántos años su edad del padre fue el triple de la edad de su hijo?

A. a + 2b

3

B. a – 2b

2

C. 3b – a

2

D. a – 3b

2

22. La edad de María es el triple de la de Rosa más 15 años y ambos suman 59 años. Dar como respuesta la suma de las cifras de la edad de Rosa.

A. 1B. 2

C. 12D. 15

23. Tres veces el producto de la edad de Natalia disminuido en uno, con su edad aumentado en tres es igual a 63. Hallar dicha edad.

A. 6 añosB. 8

C. 9D. 4

24. Juana tuvo su primer hijo a los 20 años y 8 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1992, las edades de los tres suman 42 años, ¿en qué año nació Ana?

A. 1980B. 1969

C. 1968D. 1962

25. Las edades de un padre y su hijo se diferencian en 20 años. Si dentro de cinco años la edad del padre será el doble de la edad del hijo, calcular la edad actual del hijo.

A. 25 añosB. 15 años

C. 16 añosD. 20 años

26. Mario le dice a José: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 126 años". ¿Cuál es la edad de Mario?

A. 63 añosB. 28

C. 70D. 42

27. La razón entre las edades de Pedro y Luis es de "x" a 1 (x > 1). Si "E" es la menor edad, ¿dentro de cuántos años la relación será de "y" a 1?

A. E(y + x)

x + 1

B. E(y + x)

x – 1

C. E(y – x)

1 – y

D. E – xy – 1

28. Carla tiene “n” años de edad y su hermano Félix tiene “n2” años. En ocho años más, Félix tendrá el doble de lo que tendrá Carla. ¿Qué edad tiene actualmente Félix?

A. 10B. 12

C. 15D. 16


A. 5B. 10

C. 15D. 3

30. La bisabuela de Juan tiene 80 años actualmente; y tenía 15 años cuando nació la abuela de Juan. La madre de Juan dice: “Tu abuela tiene 45 años más que tú, y tú tienes 18 años menos que yo”. ¿Cuántos años tiene la madre de Juan?

A. 32B. 35

C. 38D. 40

31. La edad de Daniel es un número de dos dígitos y la de su hijo tiene los mismos dígitos pero en orden inverso. Sus dos nietos tienen edades que coinciden con cada uno de los dígitos de la edad de Daniel, respectivamente. Se sabe que la edad del hijo es cinco veces la edad del

Álgebra


40. Una liebre que va una rapidez de 5 m/s persigue a un ciclista cuya rapidez es de 3 m/s y lo alcanza después que el ciclista ha recorrido un tramo que excede en 10 metros a la distancia que los separaba inicialmente. ¿Qué distancia recorrió la liebre?

A. 30 mB. 50

C. 20D. 40

Tarea domiciliaria

1. La suma de tres números consecutivos es 180, hallar el mayor de los números.

A. 60B. 59

C. 62D. 61

2. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor dismi-nuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Hallar el producto de los números dados.

A. 352B. 328

C. 334D. 224

3. Hallar el doble de cierto número donde la suma de su mitad, cuarta y octava parte, resulta dicho número dis-minuido en una unidad.

A. 1B. 4

C. 8D. 16

4. Juan trabaja cinco días seguidos y descansa el día si-guiente. Si empezó a trabajar un lunes, ¿cuántos días debe transcurrir para que le toque descansar un día domingo?

A. 30B. 31

C. 41D. 40

5. El agua contenida en un pozo se agota en 2 horas. En cada hora baja el nivel del agua la mitad de la altura, más un metro. Determinar la altura del agua contenida en el pozo.

A. 8 mB. 6

C. 4D. 10

6. En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas, después que se retiran ocho parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más el número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente?

A. 16B. 32

C. 48D. 72

7. Pamela tenía cierta cantidad de dinero. Perdió 1/3, luego perdió 1/5 de lo que le quedaba. Finalmente, aumentó lo que quedaba en 1/5, terminando con 32 dólares. ¿En cuánto ha aumentado su capital con todas esas opera-ciones?

A. $18B. 25

C. 20D. Su capital ha dismi-

nuido en 18

mayor de los nietos. ¿En qué relación está la edad de Daniel y la del nieto menor?

A. 52 a 5B. 5 a 1

C. 26 a 12D. 26 a 1

32. La edad promedio de "F" alumnos en un salón de clase es de "4E" años; en dicho salón estudian un grupo de trillizos. Si ninguno de los alumnos es mayor de "E" años, ¿cuál es la edad mínima que puede tener uno de los hermanos?

A. E(F + 1) años

B. EF + 2 años

C. 2F + E

3 años

D. F(E + 2) años

33. ¿Qué día del año 2003 marcará la hoja del almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en 2 a los 3/8 del número que faltan por arrancar?

A. 10 de abrilB. 11 de abril

C. 12 de abrilD. 13 de abril

34. Preguntándole a Omar por la fecha, este respondió: "El mes es octubre y quedan del mes 215 horas menos que las transcurridas". ¿A qué hora se le hizo la pregunta?


C. 11:00 p.m.D. 11:30 p.m.

35. Una mujer ha estado caminando durante 14 horas. Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido 5 km menos. ¿Cuál es su velocidad?

A. 60 km/hB. 50 km/h

C. 70 km/hD. 65 km/h

36. Un móvil recorre un tramo AB de 2500 m para luego reco-rrer un tramo BC con la misma velocidad. Si AB lo recorrió en 20 s y recorrió cinco veces la distancia recorrida en el tramo BC, ¿qué tiempo empleó en viajar de "B" a "C"?

A. 2 sB. 3

C. 4D. 5

37. Un automóvil recorre una distancia BC de 200 km con velocidad constante. Si por “B” pasa a las 6:00 a.m. y por “C” pasa a las 10:00 a.m., ¿cuál es la velocidad del automóvil?

A. 20 km/hB. 30

C. 40D. 50

38. Luis y David parten de una ciudad a otra situada a 12 km de la primera, la velocidad de Luis es 2 km/h menos que la de David, por lo que llega a su destino con una hora de retraso. Hallar la velocidad de David.

A. 4 km/hB. 6

C. 8D. 5

39. Dos caminantes recorren cada uno 34 km. Si una persona tiene una velocidad que es un cuarto de kilómetro por hora mayor que la otra, y se demora media hora menos que esta, hallar la velocidad del más veloz.(en km/h)

A. 4B. 4,25

C. 4,5D. 3,75

Trilce Católica

CicloCatólica

126

8. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar la diferencia positiva de dichos números.

A. 2B. 3

C. 4D. 5

9. Un cierto número de personas compra un auto que vale $1200. El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas compraron el auto?

A. 6B. 5

C. 4D. 7

10. Un padre tiene cinco veces la edad de su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 2106. Hallar la edad del padre.

A. 25B. 35

C. 40D. 45

11. Al preguntársele a un hombre por su edad, este respon-dió: “Multipliquen por tres los años que tendré dentro de tres años, réstenle el triple de los que tenía hace tres años y obtendrán precisamente los años que tengo”. ¿Qué edad tendrá dentro de tres años?

A. 21 añosB. 18

C. 15D. 12

12. La tercera parte de la edad de "M" es 13 años más que la edad de "N" y el quíntuplo de la edad de "N" es 25 años menos que la edad de "M". Hallar la edad de "N".

A. 8 añosB. 5

C. 7D. 9

13. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años, ¿qué edad tenía cuando las edades de los tres sumaban 70 años?

A. 5B. 10

C. 15D. 18

14. Tengo 23 años menos que mi padre pero 22 años más que mi hijo. Si las tres edades suman 100 años, ¿qué edad tiene mi padre?

A. 45 añosB. 54

C. 56D. 64

15. María tiene 24 años y su edad es el doble de lo que tenía Flor cuando María tenía la edad que ahora tiene Flor. ¿Qué edad tiene Flor?

A. 15 añosB. 16

C. 17D. 18

16. Una persona multiplica la fecha del día de su nacimiento por 12 y el número del mes por 31. Si la suma de estos productos es 170, determinar la fecha de nacimiento de dicha persona.

A. 6 de eneroB. 9 de febrero

C. 7 de marzoD. 4 de abril

17. Si a la mitad de los días transcurridos del año se le agrega la tercera parte de los que faltan para acabar el año se obtiene el número de días transcurridos. ¿Qué fecha es si no se trata de un año bisiesto?

A. 26 de mayoB. 27 de mayo

C. 26 de junioD. 27 de junio

18. En cinco horas "A" camina 4 km más que "B" en cuatro horas, y "A" en 7 horas camina 2 km más que "B" en seis horas. ¿Cuántos kilómetros camina "B" en cada hora?

A. 9B. 8

C. 7D. 6

19. Jaimito ha recorrido los 3/5 del camino que une a "A" con "B". Si aún le falta recorrer “n” km y lleva caminando siete horas, ¿cuál es la velocidad de Jaimito en km/h?

A. 6n/7B. 3n/7

C. 2n/7D. 3n/14

20. Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en cuatro horas y el segundo, en tres horas. Si cada cirio se quemó en forma constante, ¿dentro de cuántas horas, después de haber encendidos los cirios, la altura del primero es el doble que la altura del segundo?

A. 12/5B. 9/5

C. 7/5D. 8/5

ÁLGEBRASemana 24

Quinto Católica

Colegios



SiSTEma DE EcUaciONES LiNEaLES Y NO LiNEaLES Y PLaNTEamiENTO DE EcUaciONES ii


1. Resolver: x + y = 0,8 .................... (1) 1,5x + 2y = 1,3 ................... (2)

y dar como respuesta “x – y”

A. 0,1B. 0,2

C. 0,3D. 0,4

2. Dado el sistema de ecuaciones: xm.yn = 2m

xn.ym = 2n

Hallar: xxy

A. 2B. 64

C. 4D. 32

3. Si el sistema de ecuaciones de variables “x” e “y”:

(a + 2b)x + (a – 2b)y = 1 (2a + b)x – (a – b)y = 11

tiene como solución x = 2 e y = 3, hallar “5a + 4b”

A. 13B. 12

C. 21D. 30

4. Resolver:

x + 4y – z = 6 2x + 5y – 7z = – 9 3x – 2y + z = 2

A. x = 1, y = – 2, z = 3B. x = – 1, y = 2, z = 3

C. x = 1, y = 3, z = 2D. x = 1, y = 2, z = 3

5. Resolver:

x2

= y3

= z4

2z – x + y = 45

Hallar el valor de: x + zy

A. 1B. 2

C. 3D. 4

6. Al resolver el sistema:

1x

+

3y + 1

= 54

................... (I)

4x

–

7y + 1

= 14 ...................

(II)

Hallar “xy”.

A. 2B. 1

C. 3D. 6

7. Si:

20x + 3

+

10y – 1

= 9

10x + 3

–

2y – 1

= 1

Hallar: 2x + 3y

A. 12B. 13

C. 18D. 17

8. Calcular el valor de “m” si al resolver el sistema:

4x + 5y = m – x + 2y = m

se obtuvo que “y” excede en 8 unidades al valor de “x”.

A. 12B. 15

C. 18D. 13

9. La suma de los valores de “m” que hacen que el sistema de ecuaciones:

mx + y = 1 x + y = 2 x – y = m

sea compatible es:

A. – 2B. – 1

C. 0D. 1

10. Dado el sistema: 2ax – b2y = ab 2x + by = a

Calcular: “y”

A. ab

B. a – ba + b

C. a(a – b)b(a + b)

D. b(a – b)a(a + b)

11. Resolver:

x + y + z = a (x + y)2 – z2 = b2

(x + z)2 – y2 = c2

Dar como respuesta el valor de “x”.

A. a2 + b2

B. (b2 + c2)/2aC. b2 – c2

D. (a2 – c2)/2b

12. Resolver:

bz + cy = acx + az = bay + bx = c

Dar como respuesta el valor de “y”.

A. (a2 + c2 + b2)/2B. (a2 + c2 – b2)/2ac

C. (a2 + b2)/2D. (b2 + c2 – a2)/2

Trilce Católica

CicloCatólica

128

13. Hallar “x”, si: ax + by = 8ab 2bx – 3ay =10b2 – 9a2

A. 3aB. 5b

C. 3bD. 5a

14. En el sistema:

nx – 6y = 5n – 3 2x + (n – 7)y = 29 – 7n

el valor de “n” para que el sistema sea imposible es:

A. 1B. 2

C. 3D. 4

15. Resuelve el sistema: xy + x + y = 29 x2 + y2 = 41

Indica la suma de los valores reales de “x”.

A. 9B. 13

C. 4D. 11

16. Resolver:

xy = – 150 x – y = – 31

Indicar la menor raíz.

A. 30B. – 15

C. – 25D. – 16

17. Hallar “xyz” en:

(x + 3) (y – 2) = 4 .... (1)(z + 1) (x + 3) = 12 .... (2)(y – 2) (z + 1) = 3 .... (3)

A. 12B. 6

C. 3D. 144

18. Calcular “z”, del sistema:

x(x + y + z) = 16y(x + y + z) = 16z(x + y + z) = 4

A. 1/3B. 2/3

C. 1D. 4/3

19. Si:

y + z + w – x = az + w + x – y = bx + w + y – z = cx + y + z – w = d

Entonces “x” vale:

A. (b + c + d – 2a)/2B. (b + c + d – a)/2

C. (b + c + d – 2a)/4D. (b + c + d – a)/4

20. Resolver:

x3 – y3 = 224 x – y = 8

Indicar el producto de las raíces.

A. 216B. 120

C. 256D. 144

21. El costo de transportar 10 kg de equipaje es $65 y por cada kg adicional es $0,9. ¿Cuántos kilos se transportó, si se pagó $ 353?

A. 320 kgB. 330

C. 340D. 350

22. Una fracción ordinaria equivale a 1/2; si se aumentan 2 unidades a su numerador, equivale a 1/4. Si ese aumento se hace al denominador, ¿cuál es la fracción?

A. 2/5B. 3/5

C. 3/10D. 4/5

23. Tenía “x”, cobré “y” y gasté $500. Si me queda el doble de lo que tenía ( antes de cobrar) y lo que cobré fue seis veces lo que tenía ( antes de cobrar), ¿cuánto cobré?

A. $400B. 100

C. 600D. 200

24. Para ganar S/. 240 en la rifa de una radio y una plancha se hicieron 100 boletos. Si solo se pudo vender 44 bole-tos, lo que originó una pérdida de S/. 40, hallar el precio de cada boleto y los precios de los premios, si además se sabe que la radio cuesta S/. 40 más que la plancha.

A. S/.5; S/.110; S/.150B. S/.10; S/.120; S/.160

C. S/.10; S/.110; S/.150D. S/.5; S/.120; S/.160

25. Una cierta tarea puede ser hecha por Aldo y Paúl en 12 horas; por Aldo y Ernesto en 20 horas y por Paúl y Ernesto en 15 horas. Encontrar el tiempo que tardaría en hacer la tarea trabajando los tres juntos.

A. 30 hB. 15

C. 60D. 10

26. Se gasta diariamente en una fábrica, para jornales de los operarios, hombres, mujeres y niños, 714 nuevos soles. Cada hombre gana diariamente 10 nuevos soles; cada mujer, ocho y cinco cada niño. Se sabe que el número de mujeres es dos más que el séxtuplo del número de hombres, y que el de niños es seis menos que el duplo del número de mujeres. Averiguar el número de operarios de cada clase.

A. H = 38; M = 70; Ch = 6B. H = 70; M = 38; Ch = 6

C. H = 6; M = 38; Ch = 70D. H = 70; M = 6; Ch = 38

27. Un comerciante compró cierto número de unidades de un artículo por un total de 720 nuevos soles. Hallar el número de unidades que compró sabiendo que al venderlas a 40 nuevos soles cada una obtiene una ganancia igual al dinero que le costaron ocho de ellas.

A. 26B. 25

C. 24D. 20

28. En una reunión, unos empiezan jugando, charlando otros y bailando la cuarta parte de los reunidos, después cuatro de ellos dejan el juego por el baile, uno deja la charla por el juego y dos dejan el baile por la charla, con lo cual resulta entonces que bailan tantos como juegan y juegan tantos como charlan. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

A. 20B. 24

C. 16D. 27

29. Carlos ha observado que los precios de los cuatro pro-ductos que más vende al mes en su bodega, sumando de tres en tres, suman 8; 7; 9; y 6 nuevos soles. Halle el precio del producto más caro.

A. S/. 5B. 4

C. 3,5D. 3

Álgebra


30. Se envasan botellas de dos litros y tres litros. Si la can-tidad de botellas de tres litros es el doble que las otras y se ha empleado en total 136 litros, ¿cuántas botellas de dos litros se envasarán?

A. 15B. 21

C. 34D. 17

31. Ricardo tiene en el bolsillo cierta suma de dinero. Compra un pantalón y una camisa, entonces le quedan tantos nuevos soles como costó el pantalón. Si quisiera comprar una camisa más, le faltaría 30 nuevos soles. ¿Cuánto cuesta la camisa, sabiendo que si hubiera obtenido una rebaja de 15 nuevos soles en cada objeto, sólo hubiera gastado 58 nuevos soles?

A. S/.19B. 29

C. 30D. 59

32. Con billetes de S/. 100 y de S/. 50 se pagó una deuda de S/. 2800. El número de billetes de S/. 50 excede en ocho al número de billetes de S/. 100. Si los billetes que tenemos de S/.100, los contaremos como billetes de S/. 50 y viceversa, ¿qué cantidad de dinero tendríamos?

A. S/.4500B. 2900

C. 3200D. 3800

33. Un comerciante tiene al inicio del día ocho lapiceros de S/. 10 cada uno y cuatro lapiceros de S/. 20 cada uno. Si al final del día tiene S/. 120, ¿cuántos lapiceros le sobran si le quedan por lo menos un lapicero de cada precio?

A. 4B. 5

C. 6D. 3

34. Un fabricante desea surtir un pedido de 700 galones de ácido con una concentración de 24%. En existencia tiene ácido al 20% y 30% de concentración. ¿ Cuántos galones de ácido al 20% debe utilizar para satisfacer el pedido?

A. 280B. 380

C. 420D. 320

35. Un almacén debe vender todo su stock de televisores para cubrir algunos gastos de emergencia. Si vende cada televisor a su precio normal se ganará S/. 4000; pero si se vende cada televisor en S/. 90 menos, perdería S/. 2300, ¿cuántos televisores posee?

A. 120B. 100

C. 70D. 60

36. Después de haber perdido S/. 50 en la venta de un arte-facto, Juan decide duplicar el precio de los dos restantes obteniendo así una ganancia neta de S/. 350. Si hubiese vendido los tres artefactos con el precio duplicado, ¿cuál hubiera sido su ganancia?

A. S/. 600B. 1000

C. 1200D. 1600

37. El número de monedas que tengo de 50 centavos y 20 centavos es el doble y el triple de los de diez centavos. Si regalo seis de 50 centavos y 15 de 20 centavos, me queda-ría con $ 34,8. ¿Cuántas monedas de diez centavos tengo?

A. 24B. 20

C. 30D. 32

38. Mary compra 136 naranjas a S/. 0,5 cada una, se le ma-lograron varias de ellas y vende las restantes a S/. 0,8 cada una; con lo cual obtiene un beneficio de S/. 20,8. ¿Cuántas naranjas se malograron?

A. 10B. 15

C. 20D. 25

39. Cada Domingo, al ir de compras al supermercado ob-servo que al comprar una docena de latas de leche y siete panetones gasto S/. 164. En un domingo de ofertas cada lata de leche tiene un descuento del 10% mientras que los panetones, 20%. Gastando en esa oportunidad S/. 133, 60 por la misma cantidad de productos. ¿Cuánto gastaría si compro diez latas de leche sin descuento y cinco panetones con descuento.

A. S/.100B. 160

C. 140D. 120

40. José adquiere cuatro balanzas que pueden pesar hasta 5000 lb cada una. José pone un negocio de balanzas en el cual cada balanza solo puede pesar hasta el 90% de su capacidad. Una empresa metalmecánica decide llevar tres camiones. Cada camión lleva ocho planchas de acero de igual peso. Si José las pesa usando todos sus recursos, ¿cuántos kilogramos pesa cada plancha?

A. 750B. 454

C. 340,5D. 350,5

Tarea domiciliaria

1. Resolver:

x + y = 12 x – y = 4

Dar como respuesta el producto de las soluciones.

A. 24B. 36

C. 32D. 30

2. Resolver:

2(2x – 5) + 3y = – 10 4(8 – 3x) + 3(15 – 2y) = 41

hallar “xy”:

A. 96B. – 96

C. 108D. – 108

3. Resolver:

x + y + z = 10 (1) x – y + z = 2 (2) x + y – z = 8 (3)

Hallar “xyz”

A. 10B. 20

C. 30D. 40

4. Dado el sistema de ecuaciones: xa . yb = 2axb . ya = 2b

Hallar: xxy

A. 2B. 64

C. 4D. 32

Trilce Católica

CicloCatólica

130

5. Resolver el sistema: x + 5

2 +

2(y – 1)

3 = x +

y2 ....... (I)

3x – 1

4 +

y + 10

5 = x + 2 ....... (II)

Hallar: xy

A. – 70B. 70

C. 80D. 90

6. Luego de resolver el sistema:

x – 2y = – 13 ..... (I) 2z + 3y = 19 ........ (II) 3x – z + 4y = 9 .......... (III)

indicar el valor de: x + y + z

A. 4B. 2

C. 6D. 1

7. Para qué valor de “m” el sistema: (m – 2)x + 3y = 4 6x + (2m + 1)y = 12

tiene infinitas soluciones.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

8. Hallar: E = x + y + z, si “x”, “y” y “z” son los valores posi-tivos que cumplen con el sistema:

x2

= y3

= z6

x2 + y2 + z2 = 1

A. 3/5B. 17/4

C. 13/3D. 11/7

9. Resolver: x + y = 8 (x + 5)(y + 3) = 60

Indicar la suma de los valores de “x”.

A. 15B. 13

C. 16D. 6

10. Resolver: x2 + xy – y2 = –19 x – y = –7

Indicar la suma de cifras de una raíz.

A. 6B. 9

C. 2D. 8

11. Se tiene S/. 1470 en billetes de S/. 20 y S/. 50. Si en total hay 42 billetes, ¿cuántos son de S/. 20?

A. 21B. 19

C. 15D. 17

12. Entre pollos, patos y pavos un granjero tiene en total 75 aves. Si tuviera 12 pavos más, cuatro patos más y siete pollos menos, tendría la misma cantidad de aves de cada especie. El número de pollos que tiene es:

A. 42B. 33

C. 39D. 35

13. Un panetón envuelto en bolsa de plástico y en caja de cartón, cuesta S/. 21. El panetón sin bolsa de plástico pero con caja cuesta S/.20. Si el panetón cuesta tres veces lo que cuesta la caja, ¿cuánto costará un panetón envuelto en bolsa únicamente?

A. S/. 18B. 16

C. 15D. 17

14. En una familia, el padre gana 105 pesos por hora, y la madre 95 pesos. Después de haber trabajado ambos 25 días, el padre que ha trabajado en cuatro horas más por día que la madre ha recibido 11 750 pesos más que ella. ¿Cuántas horas diarias ha trabajado el padre?

A. 12B. 9

C. 8D. 10

15. El precio de un radio es S/. 80. Si compro “n” radios me sobraría S/. 120. Si me rebajan la quinta parte en el precio de cada radio podría comprar (n + 5) radios y me sobraría S/. 56. Entonces la cantidad de dinero que tengo es:

A. S/. 1400B. 1500

C. 1600D. 1700

16. Tres amigos se reparten S/. 550 de manera que lo recibido por Pedro es a lo de Raúl como 7 es a 3 y lo recibido por Juan es a lo de Pedro como 5 es a 2. ¿Cuánto más recibió Juan de lo que recibió Pedro y Raúl juntos?

A. S/. 100B. 120

C. 130D. 150

17. En una granja, por cada gallina hay tres pavos y por cada pavo hay cuatro patos. Si en total se han contado 160 patas de animales, ¿cuántos pavos hay?

A. 30B. 10

C. 15D. 20

18. Una sala tiene tres metros más de largo que de ancho. Si el largo fuese tres metros más de lo que es y el ancho fuese dos metros menos, la superficie del piso sería la misma. Halle el área de dicha superficie.

A. 150 m2

B. 180C. 160D. 170

19. Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente, uno de ellos, dos nuevos soles más que el otro. Después de igual número de días de trabajo reciben 240 y 210 nuevos soles respectivamente. ¿Cuánto gana diariamente el que recibe mayor suma de dinero?

A. S/. 12B. 14

C. 16D. 18

20. Elena repartió sus ahorros entre 15 mendigos. ¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que pudo haber aumentado a lo que repartió para que cada mendigo hubiese recibido exactamente S/. 10 más de lo que recibió?

A. S/.120B. 140

C. 150D. 130

Quinto Católica

Colegios



DESiGUaLDaD E iNEcUaciONES


1. Si:

A =]– ∞; 1[ B =]– 4; 8] C =]5; 16]

hallar: (A ∪ B)' – C

A. ]16; + ∞[B. [16; + ∞[

C. ]– ∞; 5]D. ]– ∞; 5[

2. Si:

A =]– ∞; 2[ B = [– 2; 7[

hallar: A – B

A. ]– 2; + ∞[B. ]– ∞; – 2[

C. ]– ∞; – 2]D.


I. Si: x < y ⇒ 1x

> 1y

II. Si: x < 0 ⇒ x2 > x3

III. Si: x ∈ – ⇒ x > x – 1

A. V V VB. F V V

C. V F VD. V F F

4. En el conjunto de los números reales tenemos:

I. Si: x < y ⇒ x + z < y + zII. Si: x < 0 ⇒ – x > 0

III. Si: x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x + y

x < 0

Son verdaderas:

A. Solo IB. Solo II

C. I y IID. Todas

5. Resolver: 3(x + 4) + x

4 > 2(x + 1)

A. x < 1B. x > 1

C. x ≤ 1D. x ≥ 1

6. Hallar el menor valor entero de “y” si:

x = 4y + 2xx – 3 < y – 4

A. 1B. 2

C. 3D. 4

7. Hallar el mayor valor entero que satisface:

x – 12

+ x – 2

3 ≤ x – 3

4 +

x – 4

5

A. 2B. 1

C. 0D. – 1

8. Cuál es el menor número par que verifica:

12x – 83

+

2x – 34

>

6x – 83

+

8x – 46

A. 2B. 4

C. 6D. 8

9. Resolver: 2x + 4 ≤ 3x + 6 ≤ 5x – 10

A. [– 2; + ∞[B. [– 8; + ∞[

C. [8; + ∞[D. φ

10. Resolver: 3x + 4 ≤ 2x + 8 ≤ 2x + 6

A. B. ]– ∞; 4[

C. ]4; + ∞[D. φ

11. Resolver: 2 ≤ 5 – 3x < 11

A. ]– ∞; 2[B. ]– 2; + ∞[

C. ]– 2; 1]D. [– 2; 1]

12. La suma de todos los enteros “x” que satisfacen el sistema:

4x – 5

7 < x + 3 ......................................... (I)

3x + 8

4 > 2x – 5 ....................................... (II)

es:

A. – 21B. – 36

C. – 18D. – 30

13. Dado los conjuntos:

M = { x ∈ / – x + 14 ≥ – 3x +

13}

N = { x ∈ / x3 + 2x ≤ x –

12}

Hallar: M – N

A. φ

B.

C. – 38;

427

D. 1

24; + ∞

14. Hallar un número de dos cifras, si se sabe que la suma de ellas es mayor que nueve y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de la que ocupa el lugar de las unidades es mayor que seis.

A. 19B. 91

C. 81D. 41

15. Un comerciante vendió en un año la tercera parte del total de artículos que tenía; al año siguiente vendió la quinta parte de los que inicialmente tenía y cinco más, y al año siguiente, vendió la cuarta parte de lo que tenía inicialmente y tres más. En el primer año vendió menos

ÁLGEBRASemana 25

Trilce Católica

CicloCatólica

132

artículos que en el segundo año y más que el tercero. ¿Cuántos artículos tenía?

A. 51B. 37

C. 29D. 33

16. Un escolar encola de nuevo todos sus sellos en otro álbum similar. Si pega 20 sellos en cada hoja, entonces no le alcanza el álbum, si pega 23 sellos, le sobrará por lo menos una hoja vacía y si al escolar se le regala igual álbum con 21 sellos en cada hoja, el escolar tendrá 500 sellos. ¿Cuántas hojas tiene el álbum?

A. 15B. 14

C. 18D. 12

17. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número “N”; y menor en 5 que el cua-drado del número siguiente a “N”. ¿Cuántos años tiene la tortuga?

A. 276B. 245

C. 120D. 164

18. Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 6 mesas y vende 36, quedándose menos de 42 mesas por vender. ¿Cuántas mesas hizo?

A. 145B. 157

C. 147D. 141

19. Si el producto de dos números positivos y diferentes es uno, la suma de ellos es:

A. Siempre menor que 10.B. Siempre mayor que 2.C. En algunos casos menor que 1.D. En algún caso igual a 2.

20. Si: x ∈ ]2; 8[ ∧ 7

x – 1 ∈ ]m; n[, hallar “m . n”

A. 1B. 2

C. 7D. 14

21. Si: (x + 1) ∈ [5; 9⟩, hallar el intervalo para: x + 2x – 2

A. [23; 3⟩

B. ⟨23; 3]

C. ⟨53; 3]

D. ⟨43; 3]

22. Si: (2x – 1) ∈ [– 5; 7⟩, entonces, ¿a qué intervalo perte-nece “x”?

A. x ∈ [– 2; 4]B. x ∈ ⟨– 2; 4]

C. x ∈ [– 2; 4⟩D. x ∈ [– 4; 2⟩

23. Si: x ∈]2; 4[y luego (1

2x + 3), ¿a qué intervalo pertenece?

A. 111 ;

17

B. 15 ;

13

C. – 12 ;

16

D. 112 ;

34

24. Dada la expresión: K = a2 + 5. ¿Entre qué valores varía “K” si: a ∈ ⟨– 3; 8]?

A. [0; 64]B. [0; 69]

C. [– 5; 64]D. [0; 64⟩

25. Entre que límites debe variar “m” para que la inecuación: x2 + 2mx + m > – 6, se verifique para cualquier valor de “x”.

A. [– 2; 3]B. ⟨2; 3⟩

C. ⟨– 2; 3⟩D.

26. Al resolver en : x2 + x – 8 ≥ x – x2 – 10 el conjunto solución es:

A. {– 8; 4}B. [– 8; 4]

C. φD.

27. En se define la operación: a * b = a – b

2

según ello halle el conjunto solución de:

(x – 1) * 2 ≤ (3 * x) * 12 ≤ (1 + 2x) * 5

A. [2; 8]B. [2; 3]

C. [2/3; 8/3]D. [2; 8/3]

28. La tercera parte de cierto número entero disminuido en 3 es mayor que 25; pero la cuarta parte del mismo número disminuida en 2 es menor que 24. Dar como respuesta el producto de cifras del número si este número es múltiplo de 12.

A. 8B. 40

C. 54D. 45

29. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir sus cifras se obtiene otro mayor que 71. Si la suma de cifras es mayor que 9, ¿cuántos divisores positivos admite dicho número?

A. 1B. 2

C. 3D. 4

30. Un padre dispone de 320 nuevos soles para ir a un evento deportivo con sus hijos. Si toma entradas de 50 nuevos soles le falta dinero y si las toma de 40 nuevos soles le sobra dinero. ¿Cuántos hijos tiene el padre?

A. 5B. 7

C. 6D. 4

31. Los lados de un rectángulo se diferencian en tres unida-des, indicar el intervalo de valores para el menor de los lados de modo que el área sea numéricamente menor que el perímetro.

A. ⟨– 2; 3⟩B. ⟨– 1; 3⟩

C. ⟨0; 3⟩D. ⟨0; 2⟩

32. Resolver: (x – 3)2 ≤ 16. Indicar un intervalo solución.

A. – 1 ≤ x ≤ 7B. – 2 ≤ x ≤ 2

C. 1 ≤ x ≤ 8D. – 4 ≤ x ≤ 2

Álgebra


33. Resolver: (x – 2)(x + 1)(x – 3) > (x – 1)(x + 2)(x + 4)

Se obtiene como conjunto solución: x ∈⟨a; b⟩. Indicar: “a + b”.

A. 2/3B. 1/9

C. – 1/9D. 1/3

34. Resolver: (x2 + x + 1)(x2 + 2x – 1) < 0

A. x ∈ ⟨– 2; 2⟩B. x ∈ ⟨– 2 – 1; – 2 + 1⟩C. x ∈ ⟨1 – 2; 1 + 2⟩D. x ∈ ⟨– 2 – 1; 2 – 1⟩

35. Al resolver la desigualdad:

x + 3x2 + 1

> 2

El conjunto solución es de la forma: ⟨a; b⟩. Hallar: ba

A. 1B. – 1

C. 2D. – 2

36. Señalar cuál(es) de las inecuaciones siguientes se ve-rifica ∀ x ∈ :

I. x2 + 2x + 5 > 0II. – x2 + 3x – 3 > 0III. x2 – 2x + 1 > 0

A. Solo IB. Solo II

C. Solo IIID. I y II

37. Resolver: (x2 – x – 12)(x + 6) < 0. Indicar un intervalo solución.

A. ⟨– 6; 3⟩B. ⟨– 6; – 3⟩

C. ⟨– 3; 4⟩D. ⟨– 3; + ∞⟩

38. Resolver: x4 – 17x + 16 > 0. Indicar un intervalo solución.

A. ⟨– ∞; – 4⟩B. ⟨– 1; 1⟩C. ⟨– ∞; 1⟩D. Más de una es correcta

39. Al resolver: (x4 – 1)(x – 2)2(x3 + 1) ≥ 0, se obtiene como solución: x ∈ [a; + ∞⟩ ∪ { – a}. Señalar “a”.

A. – 2B. 2

C. – 1D. 1

40. Resolver: (x + 1)(x + 2)(x + 3) ≤ (x + 2)(x + 3)(x + 4). Indique el conjunto no solución.

A. x ∈ [– 3; – 2]B. x ∈ ⟨– 3; – 2⟩C. x ∈ [– 3; – 2⟩D. x ∈ ⟨– ∞; – 3] ∪ [– 2; + ∞⟩

41. Resolver: x + 5x – 3 ≥ 0

A. x ∈⟨– ∞; – 5] ∪ [3; + ∞⟩B. x ∈⟨– ∞; – 5] ∪ ⟨3; + ∞⟩C. x ∈⟨– ∞; – 5⟩ ∪ [3; + ∞⟩D. x ∈⟨– ∞; – 5⟩ ∪ ⟨3; + ∞⟩

42. Resolver: x2

x + 2 >

4

x + 2 – 2

A. x ∈ ⟨– 2; 0⟩B. x ∈ ⟨0; 2⟩

C. x ∈ ⟨0; + ∞⟩D. x ∈

43. Resolver: (x2 – 1)(x2 – 4)

x2 + 3x ≥ 0

Indicar un intervalo solución.

A. ⟨1; 2⟩B. [– 1; 0]

C. ⟨– 3; – 2⟩D. ⟨– ∞; – 3⟩

44. Al resolver la desigualdad: x2 + 1x – 2 ≤ x – 5

El conjunto solución es de la forma: [a; b⟩. Hallar “ab”.

A. 9/7B. 18/7

C. 2D. 7/9

45. Hallar el conjunto solución de:

(x + 1)7(x – 2)5(x – 3)3(x2 + 1)(x + 7)9.(x + 5)

< 0

Dar como respuesta la suma de los extremos finitos de los intervalos solución.

A. – 4B. – 5

C. – 6D. – 8

46. Resolver: (x – 1)9(x + 1)11(x + 2)2 < (x – 1)10(x + 1)10(x + 2)2

Señalar la suma de valores enteros negativos que no verifican.

A. – 3B. – 2

C. 0D. 2

47. Resolver:

1x + 3

+ 1x

≥

1x – 2

+ 1x

Señalar el número de valores enteros que verifica.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

48. Resolver:

2x – 2

+

3x – 3

≥

2x + 2

+

3x – 3

Indicar el menor valor entero positivo que verifica.

A. 2B. 3

C. 4D. 5

49. Sabiendo que: a ∈ + ∧ b ∈ –; luego de resolver:

b – xa

+ axb

+ x + b

2 < x + a

Indicar el mayor de los enteros que no satisface.

A. a – 1B. b – 1

C. bD. a

Trilce Católica

CicloCatólica

134

50. Considerando que: a ∈ – ∧ b ∈ +; proporcione el mayor valor entero que satisface:

ab

1 + xa

+ ba

1 – xb

< a + b

b

A. a – 1B. b – 1

C. a + 1D. b + 1

Tarea domiciliaria

1. La suma de los valores enteros de “x” que satisfacen el sistema:

13x – 52

+ 3x – 8

5 >

2x + 7

3 + 1............................. (I)

3x – 15

– 1 < x + 1

2 –

x7

................................... (II)

A. 5B. 9

C. 14D. 20

2. Se tiene cierta cantidad de vasos cuyo costo total fue de S/.9200. Si se vendiera cada uno a S/. 400, se produciría cierta pérdida, pero si se vendiera a S/. 420 cada uno, se produciría cierta ganancia. ¿Cuánto se ganaría, si se vendiera a S/. 500 cada uno?

A. S/. 1000B. 800

C. 1800D. 1200

3. Entre Pedro y Luis tienen menos de ocho hijos. Luis tiene más hijos que Ramón y aunque Pedro tuviera tres hijos menos, seguiría teniendo más hijos que Ramón. ¿Cuántos hijos tiene Ramón?

A. 2B. 1

C. 3D. 5

4. Se desea saber el menor número de postulantes que rinden un examen conociendo que su doble disminuido en 23 no llega a 95 y que al retirarse 13 quedaron más de las tres cuartas partes del número inicial, siendo estos últimos los que ingresaron. Indicar la suma de cifras del número.

A. 7B. 11

C. 10D. 8

5. Si: 1

2x + 8 ∈

112 ;

16

entonces: x ∈ [m; n]. Halle: m.n

A. – 8B. – 2

C. – 15D. – 6

6. Si la inecuación: x2 – mx + n < 0; presenta como conjunto solución: x ∈⟨3; 5⟩, calcular “(2m + n)”.

A. 23B. 18

C. 31D. 15

7. Resolver: (x – 3)3(x2 – 1)2(x – 1)5x(x – 10)6 > 0

A. x ∈ ⟨– ∞; 1⟩ ∪ 2; 35

B. x ∈ ⟨0; 1⟩ ∪ ⟨3; + ∞⟩C. x ∈ ⟨– 1; 0⟩ ∪ ⟨1; 3⟩D. x ∈ ⟨0; 1⟩ ∪ ⟨3; + ∞⟩ – {10}

8. El menor número natural par “x” que verifica la inecuación: (x – 4)(x + 2)(x – 5)

(x + 6)(3 – x) ≤ 0; es:

A. 1B. 2

C. 3D. 4

9. Calcular la variación de “m”, si la ecuación:

x2 – 2(m – 1)x + 4m – 7 = 0, tiene raíces reales.

A. ]– ∞; 2] ∪ [4; + ∞[B. ]– ∞; 2[∪]4; + ∞[

C. [2; 4]D. [4; + ∞[

10. Una persona dispone de cierta cantidad para premiar a sus sobrinos. Pensó darles 500 pesos a cada uno, pero le faltaban más de 200 pesos. Después pensó darles 450 pesos a cada uno y le sobraban más de 300 pesos. Por último decide darles 400 pesos a cada uno y le sobraban menos de 875 pesos. Hallar el número de pesos que tenía sabiendo que es múltiplo de 20.

A. 5280B. 5300

C. 5250D. 5260

11. A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de pollitos de los que vendió 35 y le quedaron más de la mitad, luego le devuelven 3 y vende después 18 con lo que le restan menos de 22 pollitos. ¿Cuántos pollitos le dieron?

A. 69B. 70

C. 71D. 72

12. Resolver: – x2 – x + 2 < 0. Indicar el intervalo solución.

A. x ∈ ⟨– ∞; – 2⟩ ∪ ⟨1; + ∞⟩B. x ∈ ⟨– 2; 1⟩C. x ∈ ⟨3; 4⟩D. x ∈ [– 2; 8]

13. Si la inecuación: x2 – mx + n < 0; presenta como conjunto solución: x ∈ ⟨4; 7⟩. Calcular: (2m + n)

A. 53B. 51

C. 50D. 52

14. Resolver: x2 – 1

5 >

x2 + 2

6 >

x2 + 3

7

A. ⟨– ∞; – 2⟩ ∪ ⟨– 2; + ∞⟩B. ⟨– ∞; – 4⟩ ∪ ⟨4; + ∞⟩

C. ⟨– 4; – 2⟩ ∪ ⟨2; 4⟩D. ⟨– 4; 4⟩

15. Resolver: x5 > x

A. ⟨– ∞; – 1⟩ ∪ ⟨0; 1⟩B. ⟨– 1; 0⟩ ∪ ⟨1; + ∞⟩

C. ⟨– ∞; 0⟩ ∪ ⟨1; + ∞⟩D. ⟨– ∞; 1⟩ ∪ ⟨2; + ∞⟩

16. Resolver: 9x2 ≥ 1

A. x ∈ [– 3; 3]B. x ∈ [– 3; 3] – {0}C. x ∈ [– 2; 2] – {0}D. x ∈ ⟨– ∞; – 3] ∪ [3; + ∞⟩

Álgebra


17. Resolver: 23

+

xx + 3 > 2

Indicando la suma de valores enteros que la verifican.

A. – 45B. – 50

C. – 55D. – 60

18. Resolver: x6(x6 – 1) ≤ 0. Indicar cuántos valores enteros la verifican.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

19. Al resolver: – x2 – x + 42

– x2 – 3x + 28 > 0

Indique el número de valores enteros que no la verifican.

A. 1B. 2

C. 4D. 5

20. Al resolver: (– x + 7)(x2 – 3x)(– x2 + 2)(x2 + 2x + 3)(x2 – 9)(x – 7) ≥ 0

su solución es de la forma:

⟨– ∞; a⟩ ∪ [b; 0] ∪ [c; + ∞⟩ – {d; e}

Hallar “a + b + c + d + e”

A. 7B. 10

C. 13D. 12

Quinto Católica

Colegios



fUNciONES i: NOTaciÓN fUNciONaL


1. Si: f(x) = (2x + 1)2 – 1

8; hallar: f(1) + f(0)

A. 1B. 0

C. – 1D. – 2

2. Si: f(x) = 4x + 2; H(x) = x2 – 1; hallar: f(H(1))

A. 3B. 2

C. 1D. 0

3. Si: f(x + 1) = mx – 2 f(1) + f(2) – f(– 1) = 7

halla: f(5)

A. 4B. 6

C. 8D. 10

4. Si: f(x) = mx + n; con m, n ∈ f(f(x)) = 4x + 9

halla “m + n”

A. 3B. 4

C. 5D. 6

5. Si: f(x) = 2x + 7 f(m + f(m)) = 39

halla “m”.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

6. Si: f(2 – x) = 4x – 7 halla: f(1) . f(0)

f(2)

A. 7/3B. 3/7

C. 3/5D. 3/4

7. Si: f(x + 1) = 3x – 1 g(x – 1) = 2x + 1

A = {x ∈ / f(x) ≤ g(x)}, halla “n(A)”

A. 4B. 5

C. 6D. 8

8. Si: f(x) = x2 – 2ax + m f(a – b) = 0

halla “m”.

A. 1

a + b

B. 1

a – b

C. a2 – b2

D. a + ba – b

9. Se define “f(x)” como función par, si se cumple que: f(– x) = f(x), para todo “x”. Según esto son funciones pares:

I. f(x) = – x4 II. f(x) = x III. h(x) = 8x

A. Solo IB. Solo II

C. I y IID. II y III

10. Dada la función: f(x) = x2 – 2x + 3 halla: E = f(a + 3) – f(a)

f(0)

A. 6a + 3B. 2a + 1

C. 6a + 9D. 2a + 3

11. Si “g” es función; donde:

g = {(0, 2m – n), (0, n), (3, 5p), (0, 2 – n), (3, – 10 – 5p), (12; 3 – q), (12; 9 + 2q)}

hallar (m + n + q)/p

A. – 1B. 1

C. 0D. 2

12. De:

246

10

12223252

x f(x)

Se cumple:

I. f(2) + f(3) = 29II. f(f(2)) = 61III. f(x) = 5x + 2

A. Solo IB. I y II

C. I y IIID. Solo II

13. Si: f(x) = 2x + 3; x ≥ 1 x – 2; x < 1

halla “f(5) + f(– 3)”

A. 18B. 8

C. 13D. – 8

14. Dada la función: f(x) = x + 3; si "x" es natural.2x; si "x" no es natural.

halla el valor de: E = f(0) + f(3/2)

f(– 1)A. – 5B. – 3

C. 0D. 3

ÁLGEBRASemana 26

Trilce Católica

CicloCatólica

138

15. Si: f(x) =

x + 7; x < 30; 3 ≤ x < 102x; x ≥ 10

Hallar: f(0) + f(5) – f(11)

f(– 2)

A. 3B. – 3

C. 1D. – 1

16. Sea: g(x) =

2 + x ; – 1 ≤ x < 4x – 6; 4 ≤ x < 83; 8 ≤ x ≤ 100

Hallar: M = g(– 1) + g(2) + g(7)

g(98) + g(99) + g(100)

A. 1B. 9/4

C. 4/9D. 7/6

17. Si: f(x) = 3x2 – 6x + 4 p(x) = 2x2

T = {a ∈ / f(a) = p(a + 1) – 7}

hallar “n(T)”

A. 0B. 4

C. 1D. 2

18. Si “f” es una función cuyo rango es un conjunto unitario:

f = {(a + b; b), (ab; a – b), (a; 1), (3b, a – 1)}

halla la suma de los elementos del dominio de “f”.

A. 2B. 3

C. 4D. 5

19. Si: N + = {1; 2; 3; 4; ...}

P = {1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ..} (Sucesión de Fibonacci)

f: + ⇒ P; f(n): # de la sucesión que ocupa el lugar “n”.

Indique lo correcto:

A. f(5) = f(3) + f(2)B. f(f(1)) = 2

C. f(f(5)) = 5D. f(7) = f(6) + f(5)

20. Se define la función “f” en A = {2; 4; 6} donde:

f = {(2; 6), (4; m + 3), (n – 1;6), (4;4)}

Luego “m .n” es:

A. 5B. 6

C. 7D. 8

21. Si: F = {(5; 3), (8; a + 4b), (8; 3), (5; 2a – 3b)}

representa una función, el valor de: ba, es:

A. 4B. 2

C. 1/4D. 1/7

22. Sea: F = {(x,y) / y = 2x – 1} y además: DF = {– 5; 2; 3; 4} hallar el rango de “F”.

A. {– 4; – 1; 2; 3}B. {– 4; 1; 2; 3}

C. {– 11; 3; 5; 7}D. {– 9; 5; 7}

23. Calcular “n” de la función: F = {(4; 25), (5; 4), (4; n2), (n; 6)}

A. 3B. 4

C. 5D. – 5

24. Sea la función: f(x) = x2 + x + 5

Si el par ordenado: (– 1; m) pertenece a “f”, calcular “m”.

A. 1B. 2

C. 4D. 5

25. Hallar “a + b” si el siguiente conjunto representa una función:

A = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (0; 9), (– 1; b – a)}

A. 1B. 2

C. 3D. 4

26. Sea la función: f = {(3; 5), (6; b), (3; a), (a – b; a + b), (6; 1)}

Hallar: f(4)

A. 2B. 4

C. 6D. 8

27. Sea: A = {2; 4; 6; 8}, B = {10; 11; 12; 13}

se define la función: f = {(x; y) ∈ A × B / y = f (x) = x + 5}

Indicar la suma de los elementos del “Rf”.

A. 16B. 18

C. 40D. 24

28. Si: G = {(6; 4), (3; 6), (3; |x|), (x; 5)} representa una función, su rango y dominio son en ese orden respectivamente:

A. {6; – 6; 5}, {3; 6}B. {3; 6; – 6}, {3; – 6}

C. {4; 6; 5}, {3; 6; – 6}D. {4; 6; 5; – 6}, {3; 6; – 6}

29. Calcular (a + b) de la función: f = {(a; ab), (2b; ba), (a; aa – b)}

A. 3B. 4

C. 5D. 6

30. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función:

F = {(2; 5), (– 1; – 3), (2; 2a – b), (– 1; b – a), (a + b2; a)}

A. 6B. 5

C. 4D. 8

31. Dado: f: + → + / y = x + 2 ∧ x < 5

Cuál es el número de elementos del conjunto “A”, si: A = Dom(f) ∩ Ran(f)

A. 2B. 3

C. 4D. 5

Álgebra


32. Si: F = {(2; a + 3), (2; 2a – 1), (4; b + 3), (a; 3b – 1)} es función, calcular “ab”

A. 2B. 4

C. 6D. 8

33. Sea la función “F”; tal que:

F = {(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5; a + b), (b; 4)}

Calcular la suma de los elementos del “DF”.

A. 3B. 5

C. 8D. 13

34. Señale el número de elementos del rango de la función: F(x) = x2 – 1, siendo: x = {– 2; – 1; 1; 2}

A. 1B. 2

C. 3D. 4

35. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la función: “f(x) = ax + b”, que contiene a los puntos: (2; 3) y (3; 5)?

I. (1; 1) II. (2; 0) III. (3; 2)

A. Solo IB. Solo II

C. Solo IIID. Todos

36. Sea la función: F(x) = ax + b la cual contiene los pares ordenados: (– 2; 1), (– 5; 2) y (– 1; m). Calcular: m + F(0)

A. 1B. 2

C. 3D. 4

37. Dada la función: F(x) = ax + b; donde: F(4) = 5; F(3) = 2F(1) entonces podemos afirmar:

A. F(0) = 2B. F(0) = 1

C. F(1) = 3D. F(1) = 4

38. Sea:

A = {2; 4; 6; 8}

B = {10; 11; 12; 13}

Se define la función: F = {(x; y) ∈ A x B / y = F(x) = x + 5}

Indicar la suma de los elementos del “RF”.

A. 16B. 18

C. 40D. 24

39. Dada la función: F: A → B

Calcular la suma de los elementos del dominio

3a

a – 11

3 – a

A BF

A. 1B. 2

C. 3D. 5

40. Dadas las funciones: F: A → B; G: C → D

Calcular: G(F(1)) + F(G(2))

A

B

a3

4

1 b2

F

C

B

12

3

a 42

G

A. 1B. 2

C. 3D. 6

41. Si: R(x) = 3x – 2x; S(x) = 4; T(x) = R(x) / S(x), son correctas:

I. R(2) = 5II. S(1) = S(2) = S(3) = 4III. T(4) = 75/4

A. Solo IB. I y II

C. Solo IIID. II y III

42. Dada la función: g(x) = nx2 + m, se conocen las coorde-nadas: (1; 8), (3; 16). Dar el valor de: (m + n)/4n

A. 7B. 8

C. 2D. 4

43. Si: f(x) = 2x – 5 hallar: F(bx + h) – F(bx)

2h

A. hB. 1

C. 2D. bh

44. Si f(x) = 1 – x; ¿cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. f(f(f(f(f(f(5)))))) = 5II. f(f(f(4))) = – 3III. f(1 – x) = f(x)

A. Solo IB. Solo III

C. I y IID. I y III

45. Si: g(x) = 3x – 2, hallar: g(g(0)) + [g(2)]2 – g(– 1)

A. 3B. 7

C. 9D. 13

46. Sea “f” una función definida en por la regla de corres-

pondencia: f(x + 3) = x + 7. Hallar: f32

A. 172

B. 112

C. 152

D. 132

47. Si: F((2x + 3) / 5) = 8x – 2, hallar: F(x2 + 3h) – F(3h)

3x2

A. 1/x2

B. 20/3C. 20 / x2

D. 3h/20

Trilce Católica

CicloCatólica

140

48. Si la gráfica siguiente representa a una función, c > 0

hallar: (a + b + c)

(a + c)2

b – 2a3a12

3c2 + 9

ac

A. 0B. 10

C. 1D. 5

49. Si: F(x + 1) = F(x) + F(x – 1)

Además: F(2) + 1 = F(1) = 4 4G(x) = F(x) – x G(x)

hallar: G(F(3))

A. 1B. 2

C. 3D. 4

50. Sea: f: → definida por: f(x) = 2n + 8; si: n ≤ 8n + f(n – 8); si: n > 8

Calcular: f(1994). Indique la cifra de las centenas.

A. 5B. 4

C. 3D. 9

Tarea domiciliaria

1. Indicar cuál(es) representa(n) una función:

I. A = {(2; 3), (3; 3), (4; 1), (5; 6)}II. B = {(1; 2), (7; 3), (4; 3), (1; 5)}III. C = {(2; 2), (3; 3), (4; 4)}IV. D = {(0; 1), (2; 5), (0; 3), (5; 2)}

A. Solo IB. Solo II


2. Si: f(x) = 3x + 4, hallar “z” en: f(5z) – f(z – 1) = 15

A. 0B. 1

C. 2D. 3

3. Si f(2x – 5) = 1 – x; halla: f(3) + f(1)

A. – 7B. – 5

C. – 3D. 1

4. Calcular “a” de la función: F = {(3; a – 4), (5; 7), (3; 7)}

A. 3B. 7

C. 11D. 13

5. Calcular el rango de la función:

F = {(2; 4), (5; a + 2), (2; a – 3)}

A. {4}B. {4; 9}

C. {2; 5}D. {5}

6. A partir de: F = {(5; 2), (4; 1), (3; 8), (7; – 6)} hallar: M = F(4) + F(5) – F(7)

A. 3B. – 3

C. 9D. 6

7. Señale la suma de elementos del rango de la función: g(x) = 3x – 2; x = {1; 2; 3}

A. 6B. 12

C. 18D. 20

8. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función: f = {(1; 2a), (2; 7), (5; 1), (1; 3a – 5), (7, 9)}

A. 22B. 15

C. 27D. 16

9. Dada la función: f = {(1; 1), (2; 3), (3; 5)}

Determine: R = f(1) + f(f(1)) + f(f(f(1)))

A. 9B. 7

C. 3D. 5

10. Si: f(x) = x2; si: x ≥ 02x; si: x < 0

g(x) = 3x + 1; si: x > – 21 – x; si: x ≤ – 2

hallar: f(g(– 2)) + g(f(– 3)).

A. 16B. 14

C. 12D. 18


F = {(4; 3), (2; 7), (3; 6)}

G = {(1; 2), (2; 3), (3; – 4)}

Calcular “F[G(2)]”.

A. 2B. 4

C. 6D. 8

12. Si: F = {(1; 1 – a), (1; a – 1), (a; b), (b; a)} es función, calcular “a + b”

A. – 2B. – 1

C. 0D. 1

13. Sea la función “F”, tal que:

F = {(5; a2), (4; 8), (5; 9), (b; 3), (4; a + b)}

Calcular la suma de los elementos del “DF”.

A. 4B. 9

C. 14D. 20

14. Señale la suma de los elementos del rango de la función: F(x) = x + 5, siendo: x = {1; 2; 6}

A. 24B. 18

C. 14D. 10

Álgebra


15. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la función lineal, que contienen a los puntos (0; 2) y (3; 7)?

I. (1; 1) II. (2; 4) III. (– 2; 8)

A. Solo IB. Solo II

C. NIngunoD. Todos

16. Sea la función: F(x) = ax – b la cual contiene los pares ordenados: (1; 3), (2; 4) y (– 1; m). Calcular: m – F(b)

A. 0B. 1

C. 2D. 3

17. Dada la función F(x) = ax + b donde: F(4) = 1; 2F(2) = 3F(3) entonces podemos afirmar:

A. F(2) = 7B. F(2) = 5

C. F(6) = – 1D. F(7) = 2

18. Sea:

A = {– 2; – 1; 0; 1; 2}B = {0; 1; 2; 3; 4}

Se define la función: F = {(x, y) ∈ A x B / y = F(x) = x2}. Indicar la suma de los elementos del “RF”.

A. 3B. 4

C. 5D. 6

19. Dada la función: F: A → B, calcular: F(F(3)) + F(F(4))

F(F(5))B

A

4321

2 3 4 5

A. 1B. 2

C. 3D. 4

20. Si: P(x – b) = b(x + 1) – a(x – 1) P(x) = ax

Calcular: b

A. – 3B. – 3/2

C. – 8D. 2

Quinto Católica

Colegios



fUNciONES ii: DOmiNiO Y raNGO DE UNa fUNciÓN


OO De las preguntas, 1 a la 10, utiliza la gráfica de la función “f”.

(2; 4)

(6; 0)(–3; 0)

(–6; –3)

–5

10(11; 1)

(0; 3)

4

0

(8; –2)

f

x

y

–5

–3

1. Determina: f(0) y f(– 6)

2. Determina: f(6) y f(11)

3. ¿Es f(2) positivo o negativo?

4. ¿Es f(8) positivo o negativo?

5. ¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) = 0?

6. ¿Para qué números “x” se cumple que: f(x) > 0?

7. ¿Cuál es el dominio de “f”?

8. ¿Cuál es el rango de “f”?

9. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje “x”?

10. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje “y”?

11. Sea la gráfica:

– 3 2 4

5

3

1

f

y

x

Indique lo incorrecto:

A. Dom(f) = [– 3; 4]B. Ran(f) = [1; 5]

C. f(2) = 3D. f(4) = 5

12. De la gráfica:

y

x

5

1

h


A. Dom(h) = ]1; + ∞[B. Dom(h) = ]5; + ∞[C. h(3) > h(2)D. Más de una es correcta.

13. De la función: f(x) = 2x; x ∈ [4; 10], indique lo correcto:

I. Ran(f) = [8; 20]II. f(5) = 10III. f(3) = 6

A. I y IIB. II y III

C. I y IIID. Todas

14. Hallar el dominio de: F(x) = – 3x + 6

A. x ∈ B. x ∈ – {6}

C. x ∈ – {3}D. x ∈ f

15. Hallar el dominio: F(x) = 4x + 1x – 3

A. x ∈ B. x ∈ – {3}

C. x ∈ fD. x ∈ – {2}

16. Hallar el dominio: F(x) = x2 – 4

A. x ∈ – ⟨– 2; 2⟩B. x ∈

C. x ∈ [– 2; 2]D. x ∈ [– 4; 4]

17. Hallar el dominio de la función: F(x) = 1

x2 – 1

A. B. [1; + ∞⟩

C. – [– 1; 1]D. ⟨– ∞; – 1⟩ ∪ ⟨1; + ∞⟩

18. Hallar el rango de la función: F(x) = x2

x2 + 1

A. [0; 1⟩B. [0; 2]

C. ⟨– ∞; 0]D. ⟨– 1; 1]

19. Si: D(F) = [2; 5], ¿cuál es el rango de dicha función?

F(x) = 7

2x – 3

A. [1; 5]B. [1; 7]

C. [2; 5]D. [3; 7]

ÁLGEBRASemana 27

Trilce Católica

CicloCatólica

144

20. Hallar el rango de la función definida por:

H(x) = 2x2 + 3x + 2; ∀x ∈

A. 78

; + ∞

B. ⟨– 1; + ∞⟩

C.

D. ⟨2; + ∞⟩

21. Hallar el dominio de: F(x) = – x – 7

x + 52

A. ⟨– ∞; 0]B. ⟨0; + ∞⟩

C. ⟨– 5; 5⟩D. ⟨– 25; 0]

22. A partir de la gráfica mostrada de la función “F”, la regla de correspondencia de la función es:

F

5

F

x0

(– 8; 1)

A. F(x) = 12x – 5

B. F(x) = 12x + 5

C. F(x) = 12x – 10

D. F(x) = 85x – 5

23. Graficar: F(x) = (x + 2)2 – 4

A.

x

y

–2

–4

B.

y

x

C.

y

–2 x

4

D.

y

–2 x

4

24. Si: b < 0; la gráfica de: F(x) = x2 + 2bx + b2 es:

A.

y

x

B.

y

x

C.

y

x

D.

y

x

25. ∀ x ∈ la función lineal “F” se define por:

F(x) = 2x3 + ax2 + bx + 1

x2 + 1

Entonces la gráfica aproximada es:

A.

x

y

B.

x

yC.

x

y

D.

x

y

26. En el gráfico, hallar “m2”, sabiendo que: y = F(x) es una función lineal.

y = mx + bq > 0

(m; 2m)

q

y

2m

0 m x

A. 0B. 3

C. 2D. 4

27. Si: F(x) = C (es una función constante) sabiendo que: F(0) = 10; evaluar: F(9999)

A. 103 – 1B. 102

C. 1000D. 10

28. Dada la función: f(x) = (x + a)2 + b; cuya gráfica es:

x

y

2

– 1

entonces “a + b” es:

A. – 3B. 3

C. – 1D. 2

29. Sea: f(x): → / f(x) = ax2 + bx + c; cuya gráfica se da en la figura:

x

y

0

3

Hallar el conjunto solución: (x2 – 2x – 3) f(x) < 0

A. ⟨– 3; 3⟩B. ⟨– 1; 3⟩

C. ⟨– 1; 1⟩D. ⟨– ∞; – 1⟩

Álgebra


30. Se da el gráfico:

(a; 3)

(0; 6)(1; b)

(2; 0)(– 2; 0)

y

0 x

Calcular el valor de “a2b”

A. 6B. 12

C. 9D. 3

31. Sea “F” una función real definida por: F(x) = x2 – 4x – 1, si: x ∈ ⟨– 2; 5⟩. Determinar el rango de “F”.

A. ⟨– 5; 9⟩B. [– 5; 9⟩

C. ⟨4; 11⟩D. [– 5; 11⟩

32. Encontrar el dominio de la función: F(x) = 5

x3 – x

A. – {0}B. – {0; 1}

C. – {– 1; 0; 1}D. – {1}

33. Dada la función: F(x) = 1x

+

1x – 3

. Calcular su dominio.

A. [0; 3⟩ ∪ ⟨3; + ∞⟩B. ⟨0; + ∞⟩

C. ⟨0; 3] ∪ ⟨4; + ∞⟩D. ⟨0; 3⟩ ∪ ⟨3; + ∞⟩

34. Dada la función: f(x) = x – 2x + 2

.

¿Cuál de los siguientes valores no pertenece al dominio de “f”?

A. – 5B. 1

C. 2D. 3

35. Dada la función: f(x) = x + 3 + 3 – x

x2 – 1

Indicar el número de valores enteros de su dominio.

A. 7B. 6

C. 5D. 4

36. Sea “F”, una función definida por: F(x) = 2x + 1; x ≥ 212x; x < 2

Si: t ∈ 23

; 1 , dar el valor de: F(3t) – F( t2)

A. 0B. 1/2

C. 1D. 2

37. Hallar “a + b”, si el dominio de la función:

F(x) = x2 – 1

3x – 7 – 8x2 + 4x2 – 1 es: x ∈ [– a; – b] ∪ [b; a]

A. 1/2B. 1

C. 2/3D. 3/2

38. Si: y = f(x); expresa el área de un rectángulo de base “x” cuya longitud del perímetro es “2a” (a > 0). Hallar el rango de “f”.

A. 0; a2

4B. ⟨0; a2]

C. 0; a2

4D. ⟨0; a2⟩

39. Dadas las funciones: f(x) = – x2 + 3x + 1 g(x) = 2x2 + 3x + 2

Calcular: Rf ∩ Rg

A. 23

; 134

B. 78

; 134

C. 13

; 134

D. 23

; 138

40. Dada la función: f(x) = 4

x2 + 2. Proporcionar: Df ∩ Rf

A. ⟨0; 2⟩B. ⟨0; 2]

C. ⟨0; 1/2⟩D. ⟨0; 1/2]

41. Hallar el rango de: g(x) = x2 + 3x2 + 6

A. y ∈ – {1}

B. y ∈ – {0}

C. y ∈ – – {– 3}

D. y ∈ 12; 1

42. Si el dominio de la función:

F(x) = x2 – 5x + 67x – x2 – 12

; es [a; b⟩ – {c}. Hallar: a + b + c

A. 5B. 6

C. 7D. 9

43. Sea: F(x) = 2x + 5x + 3

; 3 ≤ x ≤ 5. Hallar su rango.

A. ⟨3; 5⟩

B. 116

; 158

C. 18

; 16

D. [11; 15]

44. Hallar el rango de: H(x) = 2x2 – 4x + 5

A. y ∈ [3; + ∞⟩B. y ∈ [0; 3]

C. y ∈ ⟨1; 3⟩D. y ∈ – ⟨– ∞; 3⟩

45. Dada la función: f(x) =

f1; a ≤ x ≤ bf2; c < x ≤ df3; e < x < h

y

x5

(2; 1)

f3

6

– 2 – 1

f1

(– 4; – 4)

– 3f2

1

Trilce Católica

CicloCatólica

146

2. Dada la gráfica de la función “f”

y

x1 1

– 1– 1

f

– 2– 2

halle el Ran(f) ∩ Dom(F)

A. [– 2; 1]B. [– 2; 2⟩

C. ⟨– 2; 10⟩D. [– 2; 10]

3. Hallar el rango de: F(x) = – 4x

1 + x2

A. [– 2; 2]B. ⟨– 1; 1⟩

C. ⟨0; + ∞⟩D. ⟨– ∞; 0⟩

4. Hallar el rango de: F(x) = x2 – 10x + 28

A. [28; + ∞⟩B. [0; 28]

C. [3; + ∞⟩D. [3; 6]

5. Hallar la Ley de correspondencia de la gráfica mostrada:

y

5x

– 3

A. 3x – 5y – 15 = 0

B. y = 35

x – 3

C. x5

+

y– 3

= 1

D. 3x + 5y + 15 = 0

6. La regla de correspondencia de la función cuya gráfica se muestra, es:

4

– 3

y

x

4

A. – 49

(x + 3)2 + 8

B. – 29

(x + 3)2 + 8

C. – 19

(x + 3)2 + 8

D. – 43

(x + 3)2 + 8

7. La figura representa la gráfica de una función cuadrática con vértice en (3, 2). Hallar el valor de: E = m2 + n2

Se puede afirmar que:

I. El Dom(f1) = [– 4; – 2]II. El Ran(f2) = ⟨– 1; 1]III. Dom(f3) ∩ Ran(f3) = ⟨2; 5⟩

A. Solo IB. I y II


46. Del ejercicio anterior, hallar: E = f(– 4) + f(0) + f(1)

3f(3)

A. 5/4B. 3/2

C. – 5/4D. 6

47. Si: F(x) = (a – 20)x3 + (b + 15)x2 + (c + 5)x + k2 + 1 es una función constante (a, b, c ∈ )

k ∈ + . Además: F(13) = 17

Determinar: E = a3 + b3 + c3

45k

A. 0B. 2

C. 4D. 5

48. Calcular el dominio de: f(x) = 7x – 2

x3 + x2 + 9x + 9

A. [2/7, + ∞⟩B. [2/7; 1⟩

C. – {– 1}D. – {– 1; 2/7}

49. Dadas las funciones: f(x) = x(x – 1)(x – 1)

; g(x) = x. Dar el valor

de verdad de las siguientes proposiciones:

I. f = gII. Ran(g) – Ran(f) = {– 1}III. Dom(g) – Dom(f) ≠ f

A. FFVB. VVF

C. FVFD. FFF

50. Si: f(x) = 9 – x2 es una función cuyo dominio es: [– 4; – 2⟩ ∪ ⟨1; 3], determine su rango.

A. [– 8, 7⟩B. ⟨– 8; 7⟩

C. [– 7, 8⟩D. ⟨– 8; 7]

Tarea domiciliaria

1. Dada la gráfica de “f”

y

x1

3c

–2

Si su rango es: ⟨– ∞; a⟩ ∪ ⟨0; b⟩ ∪ ⟨5; + ∞⟩, halle “c + b – a”

A. 0B. 4

C. 8D. 10

Álgebra


m n

y

x

(5; 6)

A. 6B. 10

C. 14D. 18

8. En el gráfico:

(0; 2)

y = F(x) = 3x + b

(m; n)

y

x

Hallar: n + 3m2

2

A. – 1B. 0

C. – 2D. 1

9. Sea la función constante: F(x) = kx + m2 + 1, ∀ x ∈

cuando (x = 30; F(x) = 10), m ∈ +. Calcular: m3

A. 0B. 2

C. 1D. 3000

10. Si: f(x) = 9x2 – ax + 1; tiene por gráfico:

x 0

y

f(x)

Calcular “a”

A. 3B. 6

C. – 6D. B ∨ C

11. Dada la ecuación cuadrática: f(x) = (x + a)2 + a encontrar el mínimo valor de “f”, para que 3 sea la imagen de 3.

A. – 3B. – 6

C. – 1D. B y C

12. Indicar el dominio de la función: F(x) = x – 2 + 6 – x + x

A. ⟨2; 6]B. [2; 6]

C. ⟨0; 6⟩D. [0; 6]

13. Dada la siguiente función: f(x) = x2 + 2x + 2; si: x ∈ ⟨– 3; 3⟩, indicar su rango.

A. ⟨– 3; 3⟩B. [1; 17]

C. [1; 17⟩D. ⟨1; 17⟩

14. Calcular el rango de la siguiente función: f(x) = x – 1 – 4

A. ⟨– ∞; + ∞⟩B. [1; + ∞⟩

C. [– 4; + ∞⟩D. ⟨– ∞; – 4]

15. Hallar el rango de: F(x) = x2 – 6x + 10 si su dominio está dado por: x ∈ [– 2; 1⟩

A. ⟨4; 25]B. ⟨5; 26]

C. [– 5; – 2⟩D.

–0

16. Determinar el rango de la función: F(x) = x + 2

Si: x ∈ [2; 14]

A. [– 2; 4]B. ⟨– ∞; 2]

C. [– 2; – 4]D. [2; 4]

17. Calcular el rango de: F(x) = x – 5x + 6

A. y ∈ – {– 6}B. y ∈ – {1}

C. y ∈ – {– 1}D. y ∈ – ⟨– 5; 5⟩

18. Se define la función: f(x) = |x| = x; x ≥ 0 – x; x < 0

¿cuál sería la gráfica de la función: f(x) = |x + 5|?

A.

x

y

f

5

B.

x

y

f

–5

C.

x

y

f

– 5

D.

x

y

f

5

19. Calcular el dominio de: f(x) = 2x + 11 – 4 – xx2 – 9

e indicar el número de valores enteros que tiene.

A. 4B. 5

C. 6D. 8

ÁLGEBRASemana 28

Quinto Católica

Colegios



fUNciONES iii: fUNciÓN LiNEaL Y cUaDráTica


1. Hallar “g(20)” en:

y g(x)

x– 437º

A. 14B. 10

C. 18D. 19

2. Dada la función: F(x) = ax + b, siendo su gráfica:

y

0

– 23 x

Calcular: ab

A. 23

B. – 2

C. – 43D. 4

3

3. En el gráfico, halla “a2”

y

x

4a

2a

(2a; 4a)y = ax + b

A. 1B. 2

C. 4D. 9

4. Si: f(x) = 16x2 – mx + 1; tiene por gráfico:

y

x0

f(x)

Calcular “m”.

A. 18B. 8

C. – 8D. B ∨ C

5. Dada la función: f(x) = (x + a)2 + b; cuya gráfica es:

– 1

2x

y

vértice

entonces “a + b” es:

A. – 3B. 3

C. – 1D. 2

6. Hallar las coordenadas de vértice de la función:

f(x) = 2(x – 1)2 + 2

A. (– 1; 2)B. (0; 2)

C. (– 1; – 2)D. (1; 2)

7. Sea: h: A → ⟨– 3; 7], h(x) = – x + 5. Hallar su dominio.

A. [8; 12]B. ⟨– 2; 8⟩

C. [– 2; 8]D. [– 2; 8⟩

8. Determine el rango de la función: f(x) = x2 + 3

A. [– 3; + ∞⟩B. ⟨– ∞; 3]

C. [3; + ∞⟩D. [– 3; 3]

9. Si: f: → es tal que: f(x) = x2 – 4x + 3. ¿Por qué cua-drantes pasa la gráfica de “f”?

A. I y IVB. I y II

C. I; II y IVD. II; III y IV

10. Si: f(x) = x2 – 6x + 5; indique lo correcto:

I. Ran(f) = [– 4; + ∞[II. El punto (0; 6) ∈ fIII. Su vértice es (3; – 4)

A. Solo IB. Solo II

C. I y IIID. II y III

11. Determine el máximo valor de la función: f(x) = – x2 + 2x + 3

A. – 1B. 2

C. – 2D. 4

12. Determine el máximo o mínimo valor de la función:

f(x) = – x2 – 2x + 1

A. fmáx = 2B. fmín = 1

C. fmáx =1D. fmín = 2

Trilce Católica

CicloCatólica

150

13. Sea una función “F” real definida por:

F(x) = x2 – 8x + 13; si: x ∈ ⟨– 1; 6⟩

Hallar el rango.

A. ⟨– 3; 3⟩B. [– 3; 22⟩

C. ⟨– 3; 22⟩D. ⟨– 8; 22]

14. Si: f(x) = 2x2 + 20x + 35, halla: Ran(f)

A. ]– ∞; – 15]B. ]– ∞; – 15 [

C. [– 15; + ∞[D. ]– 15; + ∞[

15. Si: f(x) = 2x + 3; g(x) = x + 1 y además se cumple que f(3) = g(m), halla “m”.

A. 2B. 3

C. 5D. 8

16. En qué punto de la abscisa “x” se cortan las siguientes funciones:

F(x) = mx + nG(x) = nx + m

m, n ∈ + , m ≠ n

A. 0B. 2

C. 1D. 3

17. Hallar el área de la región formada por la función cons-tante f: →→ , f(x) = 7 y la función lineal g: → , g(x) = 3x – 2 y el eje “y”.

A. 9 u2

B. 3

C. 279

D. 92

18. Hallar el área formada por la funciones:

P(x) = – 1M(x) = – 3x + 5

y el eje de ordenadas.

A. 4 m2

B. 6C. 8D. 10

19. Hallar el área formada por los ejes coordenados y la función: y = – 2x + 6

A. 3 m2

B. 6C. 9D. 12

20. Hallar el área determinada por las funciones: H(x) = 3: F(x) = x – 2 y el eje de ordenadas.

A. 10 m2

B. 12,5C. 15D. 20

21. Si: f(x) = x2 + k y f(0) = – 2; halla las coordenadas del vértice en la gráfica de “f”.

A. (0; 2)B. (0; – 2)C. (– 2; 0)

D. (0; 0)

22. Encuentra una función lineal: f(x) = ax + b, tal que: f(2) = 3; f(3) = 2f(4).

A. f(x) = – 2x + 1B. f(x) = – x + 4

C. f(x) = – x + 5D. f(x) = – 3x – 4

23. Si: f(x) = – x2 + 7; halla Dom (f) – Ran (f).

A. ]– 7; + ∞[B. ]– ∞; 7]

C. ]– ∞; 7[D. ]7; + ∞[


f(x) = 3x – 2; x ∈ [0; 2]g(x) = 1 – x; x ∈]2; 5]

halla Ran(f) ∩ Ran(g)

A. B. [– 4; 4]

C. fD. [– 2; – 1[

25. Sea f: Z → Z una función definida por la ecuación f(x) = ax2 + bx + c. Halla “f(2)”, si: f(0) = 0; f(– 1) = – 3 y f(1) = – 1.

A. 6B. – 6

C. 4D. – 4

26. Si: x ∈ [1; 3⟩, ¿cuál es el rango de la función: f(x) = 7

3x – 2?

A. ⟨1; 7⟩B. ⟨1; 7]

C. ⟨– 7; 1⟩D. ⟨– 7; 1]

27. Si: F(x) = 2x + 5 y Df: x ∈ [– 2; 3] determine el rango de “f”.

A. [1; 11]B. [– 2; 10]

C. [2; 12]D. [0; 9⟩

28. Dada la función cuadrática: f(x) = ax2 + 4ax + 7, si el vértice es (h; – 5), halla “h + a”.

A. 1B. – 1

C. 0D. 2

29. Si “f” es una función cuadrática definida por: f(x) = x2 + 1; con – 1 ≤ x ≤ 2; halla “Ran(f)”.

A. ]– ∞; 5]B. [1; 5]

C. [2; 5]D. [0; 5]

30. La gráfica de la función: f(x) = 2x + 6; no pasa por el:

A. III cuadranteB. IV cuadrante

C. III y IV cuadranteD. I y III cuadrante

31. ¿Por qué cuadrantes no pasa la gráfica de la función f(x) = (x – 7)2 + 3?

A. IB. II

C. III y IVD. I y IV

32. Dada la función: f(x) = – 1716x2 –

178 x +

5116; halla la suma

de todos los valores naturales del rango de “f”.

A. 15B. 10

C. 6D. 3

Álgebra


33. Encuentra la regla de correspondencia de la función lineal afín que pasa por los puntos: (– 2; 1) y (4; – 3).

A. y = – 23x –

13

B. y = – 13x +

53

C. y = – 13x +

53

D. y = 13x –

53

34. Determina los coeficientes “b” y “c” para que la parábola y = x2 + bx + c pase por los puntos de intersección de la recta: y = 3x – 6, con los ejes coordenados.

A. b = – 1; c = 6B. b = 1; c = – 6

C. b = – 1; c = – 6D. b = 1; c = 6

35. Hallar el área de la recta que pasa por el punto (1; 1) y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 2.

A. x + y = 1B. x – y = 2

C. x + y = 2D. y = x + 2

36. Hallar el valor o valores de “k” para que las rectas de ecuación:

L1: 2y – kx – 3 = 0 yL2: (k + 1)y – 4x + 2 = 0

sean perpendiculares.

A. 1B. – 1/3

C. 2/3D. – 2/3

37. Hallar la ecuación de la recta “L” que pasa por el punto “P0(1; 7)” y es paralela a la recta L1: 8x + 5y + 40 = 0

A. 8x = 5y + 43B. 8x + 5y – 43 = 0

C. 5x + 8y – 40 = 0D. 5x = 8y + 40

38. Hallar la suma de los valores de “k” para que la recta k2x + (k + 1)y + 3 = 0; sea perpendicular a la recta: 3x – 2y – 11 = 0.

A. 2B. 1/3

C. 2/3D. – 2/3

39. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto “P(4; 6)”, de modo que su ordenada en el origen es el doble de su abscisa en el origen, siendo ambos positivos.

A. 2B. 1

C. 3D. – 2

40. Bosquejar la gráfica de:

g: → /g(x) = (210 – 39)x + 1 – 23

A.

B.

C.

D.

41. Encontrar una recta que pasa por el origen de coordena-das y por la intersección de las rectas:

L1: 3x + 2y – 14 = 0 yL2: x – 3y – 1 = 0

A. x = 3yB. x = 4y

C. x = 2yD. x = – 2y

42. Dada la función: f(x) = x – 1; x > c–3x + 1; x ≤ c

cb

y

xb

Halla “a + b + c”.

A. 1B. 4/3

C. 2/3D. – 2/3

43. Dadas las rectas: L1 y L2

I. L1: pasa por los puntos (1; 5) y (– 2; 1)II. L2: 2ax – (a + 3)y = 5

Si: L1 es paralela a L2, hallar “a”

A. 2B. 3/2

C. 4D. 6

44. De la pregunta anterior; hallar el valor de “a”, si L1 es perpendicular a L2.

A. – 9/11B. – 9/13

C. 4/3D. 6/13

45. De las funciones es cierto que:

f

y

x

3

g

y

x0

h5

y

x0

Indique lo falso:

I. La pendiente de “f” es mayor que la pendiente de: “g”, ∀ x ∈ .

II. h(0) > f(0) > g(0)III. f(3) > g(3)

A. Solo IB. Solo II

C. II y IIID. Ninguna

Trilce Católica

CicloCatólica

152

46. Sea: f(x): → / f(x) = ax2 + bx + c, cuya gráfica es la siguiente:

3

y

x0

Hallar el conjunto solución: (x2 – 2x – 3) f(x) < 0

A. ⟨– 3; 3⟩B. ⟨– 1; 3⟩

C. ⟨– 1; 1⟩D. ⟨– ∞; – 1⟩


1. ¿Cuál es la pendiente de la recta: 3x – 2y = 4?

A. 3/2B. 2/3

C. 1/2D. – 3/2

2. ¿Cuál sería la gráfica de la función: f(x) = 3x – 1?

A.

y

fx

B.

y

f

x

C.

y

fx

D.

y

f

x

3. Sea la función constante “F(x)”

y

F(x)

x(m; c2)(0; b)

Determinar: b – c2

3

(m + b + c2)

A. 1B. 2

C. 0D. 3

4. En qué punto se intersecan las funciones lineales:

f(x) = 3x – 4g(x) = 2x + 1

A. (0; 5)B. (11; 5)

C. (– 11; 5)D. (5; 11)

5. Halla “a + b” en la función: f(x) = ax + b, si: f(2) = 8 y f(5) = 17

A. 8B. 9

C. 5D. 10

6. De la pregunta anterior, la gráfica de la función es:

A.

fy

x

B.

fy

x

C.

fy

x

D.

fy

x

7. ¿Cuáles de las siguientes rectas tienen la misma pen-diente?

I. y = 32x + 5

II. 2x + 3y = 8III. 3x – 2y – 10 = 0

A. I y IIB. I y III

C. II y IIID. Todas

8. Hallar la ecuación de la recta “L” de pendiente 2, que pasa por el punto “A(1; 3)”.

A. y = 2x + 1B. x – 3y = 0

C. 2x + y = 1D. 2y = x – 2

9. Hallar la ecuación de la recta cuya gráfica es:

4y

x

–4

A. y = x + 4B. y = x – 4

C. y = – x + 4D. y = – x – 4

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(– 1; 2) y Q(5; 2).

A. y = 5x + 7B. y = 3x

C. y = 2 – xD. y = 2

11. Sea: f(x) = ax + b, hallar: a + b + c

c

1 2

4

y

f

x

A. 2B. 3

C. 4D. 5

12. De la función y = – x + 3; x ∈ ⟨– 2; 3⟩, indique su rango.

A. ⟨0; 5⟩B. ⟨1; 4⟩

C. ⟨2; 7⟩D. [0; 7⟩

Álgebra


13. Si:

c

ba

–2

3

y

f

x

(3; 3)

(– 2; – 1)

Hallar: a.b.c

A. 9/5B. – 9/5

C. 9D. 3/5

14. Hallar el área de la región formada por la función lineal f: → , f(x) = 2x – 5; con los ejes coordenados.

A. 252

B. 254

C. 10

D. 9

15. Si f: → es tal que: f(x) = – 5x + 12, ¿por qué cua-drantes pasa la gráfica de “f”?

A. I, II y IIIB. II, III y IV

C. I, II y IVD. I y II

16. Se tienen las siguientes rectas:

L1: 3x + 2y = 29L2: 2x – y = 3

Si las rectas se intersecan en “(a, b)” hallar: (a2 + b2)

A. 5B. 49

C. 12D. 74

17. Dadas las funciones: f(x) = 2x + 3; x > 0– 5; x ≤ 0

g(x) = 7; ∀x ∈ , hallar el cuadrante en el que se inter-secan.

A. IB. II

C. IIID. IV

18. Dado: F = {(a; a),(b; b),(c; c),(d; d),(e; e)}

Sabiendo que: (0 < a < b < c < d < e); a, b, c, d, e ∈ . Graficar “f”

A.

y

x

B.

y

x

C.

y

x

D.

y

x

19. Hallar el área de la región formada por la función constante f: → , f(x) = 7 y la función lineal g: → , g(x) = 3x – 2 y el eje “y”.

A. 9 u2

B. 3

C. 272

D. 92

20. Si: f(x) = ax2 + bx + c

Además: f(– 1) = – 6; f(0) = – 2; f(2) = 12, calcular: a + b + c

A. 1B. 2

C. 3D. 4

Quinto Católica

Colegios



fUNciONES iV: BiYEcTiVa


BloQue i

1. ¿Cuál de los siguientes gráficos es una función inyectiva?

A.

y

x

R

B.

y

x

C.

y

x

D.

y

x

2. ¿Cuántas de las siguientes son funciones inyectivas?

I. f = {(1; 3), (2; 4), (3; 6)}II. f = {(2; 5), (3; 5), (6; 6)}III. f = {(– 1; 4), (1; – 3), (6; 8)}

A. 0B. 1

C. 2D. 3

3. Si: f: [1; 8] → [– 1; 10]. ¿Cuál podría ser “f(x)” para decir que “f(x)” es una función suryectiva?

A.

y

x

10

–1 81

B.

y

x

10

–1 81

C.

y

x

10

–181

D.

y

x

10

81

4. Si: f: A → B, ¿cuál de los siguientes diagramas sagitales representa a una función suryectiva; en donde:

A = {1; 2; 3; 4} y B = {6; 8; 10; 12}?

A. 1234

681012

A

f

8

B. 1234

681012

A

8

B

C. 1234

681012

A

f

B

D.

1234

681012

A

f

B

5. Sea f: ]– 1; 2] → la función cuya gráfica se muestra a continuación.

y

x2

3

1

–1

f

Se cumple que:

A. “f” es inyectiva y sobreyectiva.B. “f” es inyectiva pero no sobreyectiva.C. “f” es sobreyectiva pero no inyectiva.D. “f” no es inyectiva ni sobreyectiva.

6. Sea f: [– 3; 5] → [– 2; 6] la función cuya gráfica se muestra.

f

– 3

34

6

2 5 x

y

– 2

Se cumple que:

A. “f” es inyectiva y suryectiva.B. “f” es inyectiva pero no suryectiva.C. “f” es suryectiva pero no inyectiva.D. “f” no es inyectiva ni suryectiva.

7. Sea f: [– 3; 4] → [– 2; 3] la función cuya gráfica se muestra.

f

– 31

23

1 4 x

y

Se cumple que:


ÁLGEBRASemana 29

Trilce Católica

CicloCatólica

156

8. Sea f: [0; 5[ → ]1; 7] definida por:

f(x) = 4 – x; 0 ≤ x < 3–x2 + 6x – 1; 3 ≤ x < 5

Se cumple que:


9. Sea: A = {1; 3; 5} y B = {2; 4; 6}. Si f: A → B, ¿cuál de las siguientes son funciones inyectivas ?

I. f = {(1; 4); (3; 4); (5; 4)}II. f = {(1; 2); (3; 4); (5; 6)}III. f = {(1; 4); (3; 6)}IV. f = {(1; 2); (3; 4); (5; 4)}

A. Solo IB. Solo II

C. I y IID. III y IV

10. De la pregunta anterior, ¿cuáles son funciones suryectivas?

A. Solo IB. Solo II I y II

C. III y IV

11. Sea f: → ]– ∞; a], definida por f(x) = – 2x2 + 12x + 11. Halla el valor de “a” tal que “f” es sobreyectiva.

A. 28B. 29

C. 12D. 3

12. Sea: f: [0; 2[ → 72

; + ∞

f(x) = 3 – 1

x – 2

determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. “f” es inyectiva, pero no suryectiva.II. “f” es suryectiva, pero no inyectiva.III. “f” es biyectiva.

A. F F VB. F F F

C. V F VD. V V V

BloQue ii

13. Si: f: [– 2; 3⟩ → / F(x) = x2 + 3. Hallar el rango.

A. [– 1; 12⟩B. ⟨0; 12⟩

C. [3; 12⟩D.

14. El valor mínimo de la función: f(x) = x2 + bx + c es – 4. Halle el valor absoluto de la diferencia de las raíces de “f(x)”.

A. 8B. 4

C. 12D. 3

15. Hallar el valor mínimo de la siguiente función:

F(x) = 3x2 – 12x + 17

A. 0B. 1

C. – 1D. 5

16. Hallar las coordenadas del vértice de la función:

f(x) = 2(x – 1)2 + 2

A. (– 1; 2)B. ( 0; 2 )

C. (– 1; – 2)D. (1; 2)

17. Sea una función “F”, real definida por:

F(x) = x2 – 6x + 4; si: x ∈ ⟨– 2; 7⟩. Hallar el rango.

A. ⟨– 5; 20⟩B. [– 5; 20⟩

C. ⟨– 4; 20⟩D. ⟨– 6; 20]

18. Sea: F(x) = (k2 – 16)x + k – 4 una función constante; G(x) = kx2 – 4; k > 0 una función cuadrática. Halle uno de los puntos de intersección de las gráficas de las fun-ciones “F” y “G”.

A. (0; 0)B. (1; 1)

C. (1; 0)D. (2; 1)

19. Dada la función f: [0; 3] → B, con regla de correspondencia f(x) = x2; halla “B” para que “f” sea suryectiva.

A. [0; 6]B. [0; 9]

C. [– 3; 3]D. [2; 18]

20. Dada la función f: [– 2; 4] → B, con regla de correspon-dencia f(x) = x2 + 2; hallar “B” para que “f” sea suryectiva.

A. [2; 9]B. [2, 12]

C. [2; 16]D. [2; 18]

21. Si: f: ]– 3; 3] → [1; 6]

f

x

y6

21

–3 2 3

Indique cuáles son ciertas:

I. “f(x)” es inyectivaII. “f(x)” es suryectivaIII. “f(x)” es biyectiva

A. Solo IB. Solo II

C. Solo IIID. Ninguna

22. Del gráfico de la siguiente función:

f

y

y1

– 3

2 5 8

7

Para cuál de los siguientes intervalos la función sería inyectiva.

A. ⟨1; 8]B. [2; 5]

C. [2; 7]D. [4; 8]

Álgebra


23. Dada la gráfica de la función “g”:

– 1

12

4

3 5 x

y

Para cuál de los siguientes intervalos la función sería inyectiva.

A. ]– 1; 3]B. [3; 5]

C. [0; 5]D. Más de una

24. Si f: x ∈ + → ⟨1; + ∞⟩ tal que f(x) = x2 + 1, ¿cuál de las siguientes proposiciones son ciertas?

I. “f(x)” es inyectivaII. “f(x)” es suryectiva

III. “f(x)” es biyectiva

A. Solo IB. Solo II

C. Solo IIID. Todas

BloQue iii

25. Si f: → B es una función suryectiva tal que:

f(x) = 2 – 2x; x < 2– 2; x ≥ 2

halla el conjunto “B”.

A. [0; + ∞[B. [– 2; + ∞[

C. [– 4; + ∞[D. [2; + ∞[

26. Si el mínimo valor de la función: f(x) = x2 + bx + 5 es 1; halla el valor de “b” (b > 0).

A. 2B. 3

C. 6D. 4

27. La función f: → es biyectiva.

f(x) = x – 3; x < k2x + 7; x ≥ k

halla “k”.

A. – 12B. 10

C. – 10D. 7

28. Sea f: [– 3; 1] → [– 1; 11] tal que: f(x) = kx + 2. Si “f” es biyectiva, calcula “f(– 2)”.

A. 8B. 6

C. 0D. 4

29. ¿Cuáles de las siguientes funciones son inyectivas?

I. f(x) = 1 – x2 – xII. f(x) = 2

III. f(x) = 4x – 2

A. Solo IB. Solo II

C. Solo IIID. II y III

30. ¿En qué intervalo de los indicados, la función: f(x) = 2x2; es inyectiva?

A. [– 2; 2]B. [– 1, 3]

C. [0; 6]D. [– 5; 2]

31. Sea: F: [1; 4] → [11; b], determinar los valores de “a” y “b” de modo que: F(x) = 3x + 2a, sea suryectiva. Dar como respuesta “a + b”.

A. 12B. 16

C. 24D. 20

32. ¿Cuál de las siguientes funciones cuyo gráfico se adjunta es inyectiva?

I.

y = f(x)

x

y

II.

y = f(x)

x

yIII.

y = f(x)

x

y

A. Solo IB. II y III

C. Solo IID. Todas

33. ¿En cuál de los siguientes dominios la función “F”:

F(x) = x2 – 4; es inyectiva?

A. ⟨– ∞; – 2]B. [– 2; 2]

C. [0; 2]D. ⟨– ∞; – 2 ] ∪ [ 2; + ∞⟩

34. Sea: F: ⟨– 3; 2] → [– 2; 15], tal que F(x) = x2 + 3x + 1. ¿Es sobreyectiva? dar además el rango de “F”

A. Si; ⟨1; 10]B. No; ⟨– 5/4; 11]

C. No; ⟨– 1; 10]D. No; ⟨– 5/4; 11]

Tarea domiciliaria

1. Para las funciones que se enuncian:

I. f: ⟨– ∞; + ∞⟩ → [1; + ∞⟩ / f(x) = x2 + 1; es suryectiva.II. g: + → < 1; + ∞ > / g(x) = x + 1; es inyectiva.

III. h: ⟨3; 7⟩ → ⟨4/3; 2⟩ / h(x) = x + 1x – 1

; es biyectiva.

¿Cuáles son ciertas?

A. Solo IB. Solo II

C. Solo IIID. I, II y III

2. La gráfica de la función: f: [0; 6] → [– 4; 4] es dada por:

x

y f

– 4

4

60

¿Cuáles son verdaderas?

y=F(x)

y

x

Trilce Católica

CicloCatólica

158

I. “f” es biyectivaII. |f| no es biyectivaIII. Si: h(x) = f(x) + 4; ∀ x ∈ [0; 6] entonces: Ran(h) =

Ran(|f|)

A. V V VB. V V F

C. V F VD. F F V

3. Dada la función: F: [1; 3] → [– 13; 3] tal que: F(x) = ax2 + b; siendo “F” biyectiva. Calcular: (a + b).

A. 3B. 1

C. 2D. 13

4. Sea f = {(1;1), (2;4), (3;5), (4;3), (5;2)}. Decir el valor de verdad de:

I. “f” es inyectiva y creciente.II. “f” es inyectiva y decreciente.III. “f” no es creciente ni decreciente.IV. “f” es inyectiva.

A. V F V VB. F V V V

C. F F V VD. F V F V

5. Dada la función biyectiva f(x) = – x2 + 1, tal que f: A → B, lue-

go podemos afirmar que: Si: A = [ 2; 6 ], entonces “B” es:

A. [– 2; 0]B. [– 1; 3]

C. [1; 8]D. [– 5; 2]

6. De la pregunta anterior, si: A = [– 1; a] y B = [2; b], luego: “a + b” es:

A. 1/2B. – 1/2

C. – 2D. – 3/2

7. De la pregunta anterior, si: B = [2; 4⟩ entonces: “A” es:

A. ⟨– 6; – 2]B. [– 2; 4]

C. [– 3; 0]D. [5; 12]

8. Sea f: A → ]1; 3[

f(x) = 4x – 6x – 3

Si “f” es suryectiva, determina el conjunto “A”.

A. ]– 2; 1[B. ]– 3; 2[

C. ]– 3; 1[D. ]– 2; 2[

9. Determina cuál o cuáles de las siguientes funciones son inyectivas.

I. f(x) = 2x – 5x – 2

, x > 3

II. g(x) = x2 – 16 – 1; x ∈ ]– 5; – 4[III. h(x) = – x2 + 2x + 2; x ∈ ]0; 2[

A. Solo IB. Todas

C. I y IID. I y III

10. Dada la función f biyectiva, tal que: f: [m; 4] → [6; n]

f(x) = – 2x2 + 16x – 24

Halla: m + 5

n

A. 1B. 2

C. 3D. 4

11. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función biyectiva?

A.

x

y

B.

x

y C.

x

y

D.

x

y

12. Sea la función “f” tal que: f: ]– 1; 3] → ]m; m + n] definida por f(x) = x2 + 4x – 3; la cual es sobreyectiva. Halla “n – m”.

A. 24B. 18

C. 30D. 42

13. Sabiendo que la función f: [ 5; a ] → [ b; 72 ] tal que: f(x) = x2 – 8x + 7 es biyectiva. Halla “a + b”.

A. 4B. 5

C. 6D. 7

14. Sean los conjuntos:

A = {3; 4; 5}B = {6; 7; 8}

Se define la función biyectiva:

f = {(a – b; 6), (5; a + b), (3; 7)} de “A” en “B”.

Halla “a.b”

A. 14B. 16

C. 12D. 20

15. Sea la función:

f: [2; 5] → [a; b]f(x) = x2 – x + 2

biyectiva. Halla “a + b”.

A. 22B. 24

C. 26D. 28

Quinto Católica

Colegios



rEPaSO i


teoría de exPonentes

1. Sabiendo que: 2a . 3b = 24 2b . 3a = 54

Calcular: E = (a + b)a – b

A. 2B. 4

C. 8D. 16

2. Si: F(x – 1) = 21 + x . x, resolver para “m”: F(m + 2)m + 3

= 16

A. 5B. 2

C. 3D. 0

3. Sabiendo que: ba . ab = abab , calcular: G = a1 – a1 – b

A. abB. a–1

C. b–1

D. 1

4. Efectuar: xb – ab . x4a + b2b

x4a + 5b4b

A. xB. x

C. x4

D. x2

Polinomios

5. Si: P(x) = (2x + 1)2 – 1

8; calcula: E = P(x + 1) – P(x – 1) – 2x

A. 5B. 7

C. 8D. 1

6. Si: F(x) = (x – 1)2 + a, determine: M = F(x) – F(x + 2)

x

A. 4B. – 4

C. 1D. – 2

7. Si: P(x + 2) ≡ 6x + 1 P(Q(x)) ≡ 12x – 17

Calcular: Q(5)

A. 3B. 5

C. 7D. 9

8. Si: P(x) = ax + b Q(x) = bx + a (a ≠ b)

Además: P(Q(x)) = Q(P(x)). Se cumple:

A. a – b = 0B. a + b = 1

C. a – b = 1D. a + b = 0

9. Si: P(x) = 2x3yn – 2

Q(x) = axmya + 1

P(x) + Q(x) = 7x3yn – 2

Halla: “a + m + n”

A. 11B. 13

C. 14D. 16

10. Calcular “n” si la suma de coeficientes del desarrollo de (5x – 1)n – 4 es cuatro veces el término independiente del desarrollo de: (x + 3y + 2)n.

A. 7B. 6

C. 10D. 8

11. Si la expresión: M(x, y, z) = xm + nyn + pzp + m, es de grado 18, y los grados relativos a “x”, “y”, “z” son tres números consecutivos (en ese orden). Calcular: m . n . p

A. 9B. 12

C. 24D. 26

12. El grado absoluto del monomio: M = abx2a + bya + 2b es 45. Además el grado relativo a “x” es al grado relativo a “y” como 2 es a 3. Hallar el coeficiente del monomio.

A. 16B. 12

C. 24D. 36

13. Calcular el GR(z), si: GR(x) = 27 y GR(y) = 54, en el siguiente monomio:

M(x,y,z) = [xn3 . y3n2 . z9n] pq3

A. 8B. 36

C. 72D. 108

14. Determine el grado del siguiente polinomio:

P(x, y) = xn – 4yn2 + 1

– xn – 5yn4 + 1

– xn + 2yn + 3

Además: 6 < GR(x) < 12

A. 13B. 17

C. 21D. 25

15. Si el grado absoluto de “P” es 11; hallar el valor de “n”.

P(x, y) = x3n – 1yn – 2x2n – 3y2n + xn – 3y3n

A. 1B. 2

C. 3D. 4

16. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo:

P(x, y) = (n2 + 1)xnyn2 + 2 + (n – 1)xn2 – 3y2n

A. 5B. 15

C. 20D. 30

ÁLGEBRASemana 30

Trilce Católica

CicloCatólica

160

17. Dado el polinomio:

P(x, y) = 2xab – 4 + 3ya2(b – 4) + 4(xy)ab – 4 + 5y4 + ab – 4

Si la suma de los grados absolutos de todos los términos del polinomio es (a6 + 2)2; calcular el valor de “b”.

A. 11B. 18

C. 10D. 20

18. Calcular: m + n + p, si se cumple que:

m(x – 2)2 + n(x – 2) + p = 3(x – 4)2 – 2(x – 6) + 7

A. 12B. 13

C. 16D. 18

19. Si el polinomio: P(x) = x3 + a1x2 + a2x + a3; es un cubo perfecto; halla el valor de:

a21

a2 +

a3

1a3

A. 31B. 27

C. 30D. 35

20. Si el polinomio: P(x) = ax2n + 1 + axm + ... + axa – 4 + axa – 5, es completo, ordenado y tiene (3n – 15) términos, calcular la suma de sus coeficientes.

A. 260B. 180

C. 140D. 124

multiPlicación de Polinomios – Productos notaBles

21. ¿Qué cantidad debe agregarse a: 1 + x(x + 1)(x + 2)(x – 1) para que sea igual a: (x2 + x + 1)2?

A. x2 + 4xB. 4x2 + 4

C. x2 + xD. 4x2 + 4x

22. Si la expresión de variable “x” e “y”:

(a + 1)x2 + (5a – 3) xy2 + (2a + 3)y4

es un trinomio cuadrado perfecto, halle “a”, si a ∈ ZZ + .

A. 9B. 3

C. 18D. 27

23. Efectuar: M = ( 3 + 1)( 5 + 1)( 15 – 5 – 3 + 1)

A. 7B. 8

C. 9D. 10

24. Si: (x – y)3 = x3 – y3; x > 0; y > 0, calcula: 13x + 3y

x

2xy

A. 2B. 3

C. 4D. 5

25. Si: x + x–1 = 4; hallar “x – x–1”

A. 2 3B. 3 3

C. 4 3D. – 3 3

26. Si: x2 + 1

x = k; calcula “x2 + x–2”.

A. k2 + 2B. k2 + 1

C. k2 – 2D. k2 – 1

27. Si: a + b + c = 0

Hallar: (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 – (a2 + b2 + c2)

A. 1B. 0

C. ab + bc + acD. – 1

división de Polinomios

28. Al dividir: 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1

x2 – 2x + 3

Indicar la veracidad de los siguientes enunciados.

I. El cociente es: 3x2 + 4x – 1II. El residuo es: – 3x + 2III. Es una división exacta.

A. V V FB. V V V

C. F V FD. F F V

29. Halle la suma de coeficientes del divisor de la división exacta.

2x5 – x4 + x3 + x2 + x + 1 – 2ax4 + ax3 – 2bx3

x3 – ax2 – bx – c

A. 3B. – 4

C. – 3D. 5

30. Calcule el valor de “ab” si la división: 6x3 + 4x2 + ax + b

x2 – 3x + 1 tiene como residuo: 70x

A. 220B. 230

C. 240D. 250

31. Hallar la relación entre “p” y “q” si la división:

x4 + (p + 2m)x – q – 1x2 + mx – 1

, es exacta.

A. p2 + q3 = 0B. p2 – q3 = 0

C. p3 – q2 = 0D. p2 + q3 = 1

factoriZación

32. Indique el factor primo de mayor número de términos en: x3(y – z) + y3(z – x) + z3(x – y)

A. y – zB. x – y

C. x – z + yD. x + y + z

33. Un factor de: P(x, a) = 1 – a2 + (1 + ax)2 – (a + x)2 es:

A. 1 + aB. 2a + x

C. 1 + a – xD. 1 – a – x

34. Factorizar: F(x) = x2 – 2acx + a2(c2 – b2).

Señalar un término de un factor primo.

A. axB. 3ab

C. abD. – 2ac

Álgebra


35. Factorizar: f(x) = (x2 + 8)2 – 6x(x2 + 8) – 27x2. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo cuadrático.

A. 10B. 12

C. 14D. 16

36. Factorizar: Q(x) = P(x) + 6x – 4; sabiendo que: P(x) = 4x2 – (x – 2)2 y da como respuesta la suma de los factores primos:

A. 4x – 6B. 4x + 6

C. 4x + 2D. 4x – 2

exPresiones algeBraicas racionales

37. Hallar el número de factores primos del MCM de:

A = x3 + x2yB = x2 – y2

C = x2 – 2xy + y2

A. 2B. 3

C. 4D. 5

38. Efectuar:

32x – 4

–

1x + 2

–

x + 102x2 – 8

A. 0B. 2x

C. 3xD. x + 10

39. Al simplificar: [(a + b)2 – (a – b)2][(a + b)2 + (a – b)2]

ab

Se tiene una expresión de la forma m(a2 + b2)12 – p. Calcula “m + p”

A. 1B. 0

C. 3D. 19

40. Indicar el resultado de efectuar:

a – ba + b

+ a + ba – b

a2 + b2

ab + 2

a2 + b2

ab – 2

a2b2

a4 – b4

A. 2B. a + b

C. a – bD. 1

41. Si: x = b + b2 + ac2

2c, hallar: x –

1x

A. b + cB. b – c

C. b/cD. c/b

42. Hallar “m”, si: 5x – 7

2x2 – 5x + 2 ≡ m

2x – 1 + n

x – 2

A. 1B. 2

C. 4D. 3

43. Reducir: x2

xy + y2 +

y2

xy + x2 – xy

– yx

A. 0

B. – 1

C. xy

D. yx

44. Reducir: x

1 +

x

1 + 1x

+

1 – x

x – x2 + 1x2 + x

A. xB. 0

C. 1D. x2

45. Simplificar: E = (a2 + x2)2 – a2x2

a6 – x6

Dar como respuesta el numerador resultante.

A. xB. 1

C. a2

D. x + a

46. Si: f(x) = x2 – 2x + 1; halla: f(x)

f(12

)2

f(x + 1) – f(x – 1)

A. 1/2B. 1/8

C. 1/4D. 1/3

Tarea domiciliaria

1. En cuanto varía el valor de “M” en la expresión:

M = x2

+ 3

Si “x” disminuye en dos unidades.

A. Disminuye en 1B. Aumenta en 1

C. Disminuye en 4D. Disminuye en 1/8

2. Si: P(x + 3) = 3x – 5 P(Q(x)) = 6x + 4

Hallar: Q(– 3)

A. 0B. 1

C. 2D. 3

3. Hallar un polinomio “P(x)” de segundo grado, sin término independiente, que cumpla: P(x) – P(x – 1) = x, indicar el coeficiente de “x” en el polinomio.

A. – 1/2B. 2

C. 0D. 1/2

4. Si: P(x) = A(x – 3)(x – 2) + B(x – 2)(x – 1) + C Q(x) = 2x2 + 1

Son idénticos, halla el valor de: (A + B)c.

A. 64B. 128

C. 256D. 512

5. El costo de producción “C” de “x” artículos está dado por: C = Cvx + CF. Cuando se producen 120 artículos, el costo es $ 4080 y cuando se producen 200, el costo es de $ 6000. ¿Cuál es el costo cuando se producen 90 artículos?

A. $ 3080B. 3240

C. 3360D. 3400

Trilce Católica

CicloCatólica

162

6. La suma de dos números es 23 y la suma de sus cua-drados es 227. Hallar su producto.

A. 261B. 126

C. 136D. 151

7. La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados.

A. 31B. 27

C. 28D. 21

8. Si se cumple que: 2a + 1a = 5, encontrar el valor de: 4a4 + 1

a2

A. 21B. 24

C. 23D. 22

9. Sabiendo que: aab – 3 = b

ba – 3

Hallar el valor de: M = (a – b + c)3 – (a – b – c)3

A. 0B. a3

C. b3

D. 2c3

10. Si: x + y + z = 0

Calcular:

R =

(x + y – 2z)3 + (y + z – 2x)3 + (z + x – 2y)3

xyz; xyz ≠ 0

A. 9B. 27

C. – 27D. – 81

11. Simplificar: (x3 – 3x)2 – [(x + 1)(x – 1)]2 (x + 2)(x – 2)

A. 4B. 1

C. 3D. 2

12. Si: x = a – 2ab – b2

y = a + 2ab – b2

calcula “xy”; si: a > b

A. a + bB. a – b

C. a2 – b2

D. a2 – b

13. Efectuar:

(a + b + c)(a + b – c) + (a + b – c)(a – b + c) + (a + b – c)(b – a – c) + (a – b + c)(b + c – a) + 4ab

A. 8abB. 4bc

C. 0D. 6ab

14. Calcular “m + n” si la división es exacta:

mx4 + nx3 + nx2 – 41x – 283x2 + 5x + 7

A. 81B. 63

C. 36D. 27

15. Determine el residuo en: 6x3 – 5x2 + mx – 1

2x + 1

Sabiendo que su cociente toma el valor numérico 2, para: x = 1.

A. 4B. 2

C. 1D. – 3

16. Halle el residuo de dividir: (x – 6)2 010 + x + 19

x2 – 12x + 35

A. x + 14B. x + 16

C. x + 18D. x + 20

17. Factorizar: F(x, y) = x4y + 2x3y2 + xy4 + 2x2y3

Señalar un factor primo.

A. x2 – xy + y2

B. x2 – xy + yC. x + xy + y2

D. x2 + xy + y2

18. ¿Cuántos binomios se obtienen de la factorización de:

a8

81 – x4?

A. 2B. 3

C. 4D. 5

19. ¿Cuántos factores primos binomios se obtienen al facto-rizar: R = xn + 2 – axn + 1 + bxn + 1 – abxn?

A. 0B. 1

C. 2D. 3

20. Efectuar: Q = x + 1

2x + 2 –

x2 + 2

x – x – 2x + 1

A. xB. 1

C. – 1D. x + 1

21. Al simplificar: a2 – a + 1a2 + a + 1

+

2a3 – 2aa4 + a3 – a – 1

; se obtiene:

A. 1B. a

C. a – 1D. a2

22. Si: A = x + yx – y

y B = x2 + y2

xy, siendo “A” y “B” números

positivos, halla el valor numérico de: E = (A – 1)(B – 2)

A. 2B. 4

C. 6D. 8

ÁLGEBRASemana 31

Quinto Católica

Colegios



rEPaSO iiProblemas para la clase

ecuaciones de Primer grado

1. Resuelve: 2

x – 2 +

1

x – 3 =

x + 4

x2 – 5x + 6

A. {3}B. φ

C. {5}D. {6}

2. Resolver la siguiente ecuación en “x”:

3x + 1 –

3x – 1 = x – 16

A. 1

B. 54

C. 52

D. 3

3. Resolver: 2x + 2

3 +

x – 3

2 =

2 2x + 2 + 3

6

A. 3 + 2B. 5 + 2 6

C. 2 3D. 3 + 1

4. Resolver: (x – 3).(x – 1) + 2(x + 5).(x + 1) + 5

=

x + 3x – 2

–2

A. 12

B. – 12

C. 13

D. – 13

5. Calcular el valor de “m” para que la ecuación no acepte solución: 5mx – 2 = 4x + 30

A. 1/5B. 4/5

C. 2/3D. 3/2

6. ¿Qué relación existe entre “a” y “b” si la ecuación ab–1(x – a) = a–1 . b(x – b) es incompatible?

A. a + b = 0B. |a| = b

C. a – b = 0D. |a| = |b|

7. ¿Para cuántos valores de “m” la ecuación: mx + 1x

=

x + 3mx – 1

, se convierte en otra de primer grado?

A. NingunaB. 1

C. 2D. 3

8. La siguiente ecuación: 3mx2 – 5

x + m + 2 = – x se reduce a

una ecuación de segundo grado. ¿Cuánto debe valer “m” para que la ecuación resulte de primer grado? Señalar “x”

A. 172

B. 173

C. – 174

D. 175

ecuaciones de segundo grado

9. Si: M = {x / x ∈ ∧ x2 = 4} N = {x / x ∈ ∧ x = 4} P = {x / x ∈ ∧ x2 = – 4}

entonces se cumple que:

A. M = N – PB. M = N ≠ P

C. P ⊂ N ⊂ MD. M ⊂ N ⊂ P

10. Hallar el coeficiente del término lineal de la ecuación de segundo grado, cuyas raíces son las inversas de las raíces de: 2x2 – 3x = – 1

A. – 1B. – 3

C. – 2D. 3

11. Si “m” y “n”, son raíces de: x(x + 2) = 2(1 – x). Hallar: E = (m– 1 + n– 1)m + n

A. 1/4B. 1/16

C. 16D. 4

12. En la ecuación: 3x2 – px + 27 = 0; donde: “x1” y “x2” son raíces de la ecuación.

Hallar “p”, si: 1x1

+

1x2

= 43

A. 6B. 9

C. 15D. 36

13. Señale la diferencia de las raíces en la ecuación:

2x2 – (8K + 3)x + (8K2 + 6K + 1) = 0

A. ± 1B. ± 2

C. ± 1/2D. ± 4

14. Determinar “m” para que las raíces de la ecuación: mx2 – 2(m – 1)x + m = 0; sean inversas aditivas.

A. 1B. 2

C. – 1D. 0

15. Hallar el valor de “n” para que la ecuación: x2

n – xn

= x – 1; tenga raíces recíprocas.

A. – 1, 2B. – 1

C. 1D. 1, – 2

16. Dada la ecuación: x2 – (m + 7)x + (m + 5) = 0, con raíces

x1; x2 y la expresión: R = x21 + x2

2 , hallar el mínimo valor de “R”.

A. – 3B. 3

C. 1D. – 7

Trilce Católica

CicloCatólica

164

17. Sea: {x1; x2} el conjunto solución de: 3x2 – x – 1 = 0. Además se define:

f(n) = xn1 + xn

2n , calcular “f(2) + f(– 2)”

A. 7

21

B. 10 7

21

C. 7

3

D. 107

18. Determinar los valores de “m” y “n” respectivamente; tales que las ecuaciones:

(5m – 52)x2 + (m – 4)x + 4 = 0 (2n + 1)x2 + 5nx + 20 = 0

tengan las mismas raíces.

A. 11; 7B. 7; 11

C. – 7; – 11D. – 11; – 7

19. Calcular la menor de las raíces de: 8x2 – 3nx + n – 1 = 0; sabiendo que una de ellas es el doble de la otra.

A. 0,2B. 0,5

C. 0,25D. 1,5

20. Determinar “K” en la ecuación: x2 – 2(K – 1)x + (K + 5) = 0. Si las raíces son iguales.

A. – 1B. 4

C. 3D. Más de una

21. Si las raíces de la ecuación: x2 – 10x + (m + 5) = 0; son complejas conjugadas, señale el menor valor entero de “m”.

A. 22B. 21

C. 20D. 19

22. Si las raíces de la ecuación: (m + 4)x2 – 5x + 1 = 0 son reales y diferentes, indique el mayor valor entero de “m”.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

23. Dada la ecuación en “x”: x2 – (2λ)x + λ2 – λ – 2 = 0. Indicar la proposición correcta:

A. Si: λ = 0; entonces sus dos raíces son iguales.B. Si: λ ≠ 0; entonces sus dos raíces son reales y

diferentes.C. Si: λ > 0; entonces sus dos raíces son complejas.D. Si: λ > 0; entonces sus dos raíces son reales y

diferentes.

sistema de ecuaciones

24. Hallar “(x + y)z”

x + y + z = 3 x – y + z = 12x + y – z = 2

A. 1B. 4

C. 2D. 9

25. Luego de resolver el sistema:

x – 2y = – 13 ................................................... (I)2z + 3y = 19 ... ................................................ (II)3x – z + 4y = 9 ... ............................................ (III)

Indicar el valor de: x + y + z

A. 4B. 2

C. 6D. 1

26. Dado el sistema: 2ax – b2y = ab

2x + by = a

Calcular: y

A. ab

B. a – ba + b

C. a(a – b)b(a + b)

D. b(a – b)a(a + b)


5x + 4y = xy6 .....................

(I)

3x + 2z = xz8

..................... (II)

3y + 5z = yz6 .....................

(III)

para luego indicar el valor de “y”.

A. 48B. 80

C. 60D. 90

28. Si:

x + yxy =

815

x + zxz =

12

y + zyz =

1130

hallar “x.y.z”.

A. 15B. 30

C. 60D. 90

29. Si:

3 x + y – 7 + 2 x – y – 4 = 13 2 x + y – 7 – x – y – 4 = 4

Hallar: x.y

A. 12B. 54

C. 48D. 36

30. Calcular “n” si el siguiente sistema:

(n + 3) x + (2n + 3) y = 12 (n – 3) x + (n – 1) y = 4


A. 3B. 6

C. 1D. – 1

Álgebra


31. En el sistema: x – 2y = b – 2 .... (I) 2x + y = b + 1 .... (II)

¿Cuál es el valor de “b”, para tener: x = 3y?

A. 5B. 5/2

C. 8D. 2

Planteamiento de ecuaciones

32. Adolfo quiere pagar una deuda de abc nuevos soles con monedas S/. (a + b); S/. (a – b) y S/. c. Halle una posible solución del número de monedas de S/.(a + b) y de S/.c. Indicar la clave incorrecta.

A. 39 y 7B. 55 y 1

C. 45 y 1D. 45 y 55

33. Ocho socios de un grupo de estudios deciden comprar un edificio aportando cada uno cantidades iguales. Al final dos personas se retiran y cada uno de los restantes tuvo que aportar $ 4000 adicionales. ¿Cuánto cuesta el edificio?

A. $ 108 000B. $ 96 000

C. $ 72 000D. $ 120 000

34. Los alumnos de una escuela están sentados en bancas de nueve cada una. Si se colocaran en bancas de ocho, ocuparían dos bancas más. ¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

A. 22B. 144

C. 63D. 16

35. Un pavo, tres panetones y seis latas de leche cuestan S/. 117 y tres pavos, cinco panetones y diez latas de leche cuestan S/. 275. ¿Cuánto cuesta un pavo, dos panteones y cuatro latas de leche?

A. S/. 88B. S/. 68

C. S/. 112D. S/. 98

36. El precio de un radio es $ 80. Si compro “n” radios, me sobraría $ 120. Si me rebajan la quinta parte en el precio de cada radio, podría comprar “(n + 5)” radios y me so-braría $ 56. Halla la cantidad de dinero que tengo.

A. $ 1280B. $ 1400

C. $ 1320D. $ 1440

37. Si Rosa recibe S/. 12, tendría el doble que si hubiera recibido S/. 2 ¿Cuánto tiene Rosa?

A. S/. 5B. 9

C. 6D. 8

38. Un niño tiene una tina cuya capacidad es 490 litros. Para que la tina esté llena, cuando el niño esté dentro, es preciso echar 24 baldes con agua. Si el niño tuviese doble volumen, se echaría 4 baldes menos, ¿cuál es el volumen del niño y cuál es el volumen del balde?

A. 70 L; 18 LB. 74 L; 18,5 L

C. 70 L; 17,5 LD. 72 L

39. Una gaseosa de 500 ml cuesta S/. 1,8 y una gaseosa de 2250 ml cuesta S/. 3,6. Al comprar la segunda, ¿cuánto ahorro por decilitro con respecto a la primera?

A. S/. 0,15B. 0,25

C. 0,2D. 0,24

40. Entre cierto número de personas compran una compu-tadora que cuesta S/. 1200. El dinero que aporta cada persona excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas participaron en la compra?

A. 4B. 5

C. 6D. 8

41. Gasto la mitad de mi sueldo, más $ 100 en alimentos; luego la cuarta parte de lo que me queda, más $ 100 en pagos diversos y lo que me queda es la tercera parte de mi sueldo, menos $ 100. ¿Cuál es mi sueldo?

A. $ 1800B. 1600

C. 2000D. 1500

42. Un profesor compró cierta cantidad de caramelos de limón y de naranja para regalar a sus 40 alumnos. El número de caramelos de limón era el doble que el número de caramelos de naranja. Si repartió indistintamente cuatro caramelos a cada alumno y le sobraron dos, ¿cuántos caramelos eran de naranja?

A. 54B. 108

C. 72D. 36

43. Dos personas tienen $ 164 000 y $ 248 000, respecti-vamente. Cada una de ellas compra un terreno, luego de lo cual les queda la misma cantidad de dinero; si los terrenos tienen un costo de $ 400 m2, hallar el área de uno de los terrenos, sabiendo que el área de uno es el doble del otro.

A. 100 m2

B. 105 C. 125D. 210

44. Pedro compró cuatro pares de medias negras y algunos pares de medias azules. El precio de las medias negras es dos veces el de las azules. Cuando recibió el pedido se dio con la sorpresa de que el número de pares de los dos colores había sido cambiado, lo cual aumentó la cuenta en un 50%. ¿Cuántos pares de medias azules pidió?

A. 12B. 14

C. 16D. 18

45. Un alambre de 13 metros de longitud se corta en dos partes. Sobre cada una de dichas partes se construye un cuadrado cuyo lado mide lo mismo que la parte corres-pondiente. Si el área encerrada por el primer cuadrado excede al área encerrada por el segundo cuadrado en 65 m2, ¿cuál es la longitud de la mayor parte?

A. 4 mB. 7 m

C. 9 mD. 8 m

Trilce Católica

CicloCatólica

166

Tarea domiciliaria

1. Resolver: 2x

x + 3 +

4

x – 1 =

2x2 – 3x – 3x2 + 2x – 3

A. 1B. 2


2. Resolver en “x”: 1 + ax1 – ax

= 3 + a2 . x2

1 – a2 . x2

A. aB. 1/a


3. Hallar “x” en: 325x + 2 = 2512 – x5x

A. 3B. 5

C. 2D. 4

4. Hallar “x” en: x + 13 + x – 13 = 2( x + 13 – x – 13 )

A. 14/11B. 14/13

C. – 14/13D. 15/13

5. Siendo: x1 ∧ x2 las raíces de cada ecuación, indicar cuántas relaciones no se cumplen:

I. 3x2 – 6x + 1 = 0 → x1 + x2 = – 2II. x2 – 5x + 4 = 0 → x1 . x2 = 4III. 2x2 – 9x – 3 = 0 → x1 . x2 = 9/2IV. 5x2 – 3x + 5 = 0 → x1 . x2 = 1V. 3x2 – 9x = 0 → x1 + x2 = 3

A. 1B. 2

C. 3D. 4

6. Hallar “m”, si en la ecuación: 9x2 + m = x, se cumple:

x21 + x2

2 = 59; siendo: “x1”, “x2” raíces de la ecuación.

A. – 22/9B. – 2

C. 1D. 4

7. Si la ecuación: 3mx2 – (6m + 1)x + (m + 4) = 0 tiene raíces recíprocas, señalar una de ellas.

A. 1/2B. 2/3

C. 3/4D. 4/5

8. Señalar qué ecuación tiene raíces iguales:

A. x2 + 3x + 2 = 0B. x2 – 5x + 4= 0

C. x2 + 2x + 3 = 0D. 9x2 – 30x + 25 = 0

9. Si: x + 4y – z = 6 2x + 5y – 7z = – 9 3x – 2y + z = 2

, hallar “x.y.z”

A. 1B. 2

C. 3D. 6

10. Si:

20x + 3

+

10y – 1

= 9

10x + 3

+

2y – 1 = 1

hallar “7y”

A. 13B. 10

C. 27D. 15

11. Resolver en “x” e “y”, luego hallar “y”:

a/x + b/y = 1 .... (1)a/x – 3b/y = 5 .... (2)

A. bB. – b

C. 1/bD. – 1/b

12. Si:

x – y = 20x + y= 10

, hallar: “x . y”

A. 12B. 24

C. 72D. 576

13. Si:

2x + y = 5x + 2y = 7

, hallar “x2 + 2xy + y2”

A. 4B. 9

C. 16D. 25

14. Dos apostadores entran a un juego con la misma cantidad de dinero. Si al perder uno de ellos S/.500 y el otro S/.100, resulta que uno tiene el doble de dinero que el otro, ¿con cuánto dinero empezó el juego cada uno?

A. S/.1000B. 900

C. 800D. 750

15. Dos personas tienen para la venta la misma cantidad de libros. El primero los vende a S/. 20 cada uno y obtiene S/. 240 de ganancia, mientras que el segundo los vende a S/. 24 y gana S/. 360. ¿Cuántos libros tiene cada uno para la venta?

A. 20B. 30

C. 40D. 50

16. Se quiere dividir 60 en dos partes tales que el triple de la mitad de una parte aumentado en el doble de la tercera parte de la segunda es igual a 50. Da como respuesta una de las partes.

A. 12B. 16

C. 42D. 31

17. El doble de la tercera parte de la cantidad de días trans-curridos en el mes de agosto, aumentado en 9, resulta 23. ¿Qué día del mes es hoy?

A. 12 de agostoB. 25 de agosto

C. 21 de agostoD. 18 de agosto

2512 – x

Álgebra


20. En una fábrica de cigarrillos se disponen de dos má-quinas. La primera de ellas produce 245 cigarrillos por minuto y la segunda, 280. Cierto día, la primera máquina comienza a funcionar a las 8 a.m. y la segunda, media hora después. En dicho día, ¿a qué hora ambas máqui-nas habrán producido la misma cantidad de cigarrillos?

A. 10 a.m.B. 12 m.

C. 2 p.m.D. 4 p.m.

18. Una persona compra cinco artículos a un costo de (100 – x) nuevos soles cada uno. ¿Cuántos nuevos so-les recibe de vuelto, si paga con (200 – x) monedas de S/. 5 cada una y (800 – 100x) monedas de 20 céntimos cada una?

A. 660 – 20xB. 560 – 20x

C. 660D. 500 – 20x

19. Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas: unas tienen ocho onzas y las otras, 15 onzas. Si el contenido total es 861 onzas, ¿cuántas latas de ocho onzas se compraron?

A. 42B. 35

C. 56D. 21

ÁLGEBRASemana 32

Quinto Católica

Colegios



rEPaSO iii


1. La suma de las dos cifras de un número es 11; y si el número se divide por la suma de cifras el cociente es 7 y el residuo 6. Hallar el número.

A. 73B. 63

C. 83D. 43

2. Divídase el número 180 en dos partes, tales que divi-diendo la primera entre 25 dé lo mismo que dividiendo la segunda entre 20. Una de las partes es:

A. 80B. 100

C. 60D. “A” o “B”

3. La suma de tres números cuadrados consecutivos es igual a 30 veces la raíz cuadrada del intermedio, aumen-tado en 2. Hallar el menor.

A. 81B. 64

C. 100D. 121

4. Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50. Después de que cada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de lo que le queda a la segunda. ¿Cuánto le queda en conjunto a ambas personas?

A. 140B. 150

C. 120D. 100

5. Se tiene dos números tales que si al primero se le sumase 1/5 del segundo daría lo mismo que si al segundo se le sumase 1/9 del primero. Hallar la relación del primero al segundo.

A. 1/2B. 9/10

C. 3/5D. 9/11

6. Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 3/4 del resto, gallinas y las cuatro aves restantes, gallos. ¿Cuántas aves hay en la granja?

A. 76B. 82

C. 80D. 72

7. Un holgazán duerme tantas horas del día como las que no duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente?

A. 4 hB. 8 h

C. 10 hD. 12 h

8. Un obrero ha recibido como pago en un mes S/. 2500 entre su sueldo y horas extras. Su sueldo excede en S/. 2000 a las horas extras. ¿Cuál es su sueldo?

A. S/. 2000B. 2300

C. 2250D. 500

9. Si te doy lo que a ti te falta para que los dos tengamos lo mismo y luego me das una parte de lo que tendrían, resulta que lo mío es a lo tuyo como 3 es a 1. ¿En qué relación se encontraban lo que teníamos inicialmente? (Obs. Lo que tú tenías era S/. 40 y lo que me diste es tanto como los 3/2 de lo que te di al inicio).

A. 4/3B. 1/2

C. 5/4D. 3/2

10. Se compra cierto número de sacos de arroz por $ 240, si se hubiera comprado tres sacos más por el mismo dinero, cada uno habría costado $ 4 menos. ¿Cuántos sacos se compró?

A. 12B. 14

C. 16D. 18

11. Leonardo y Julio tienen entre los dos 10 botellas de Ron. Si la mitad de las botellas que tiene Julio multiplicado por la tercera parte de las botellas de Leonardo es cuatro, ¿cuántas botellas tiene Julio?

A. 6B. 4

C. 7D. 2

12. La base de un triángulo es dos unidades mayor que su altura. Si el área del triángulo es 40, encontrar la base del triángulo.

A. 8B. 7C. C

D. 9E. 10

13. La edad de Pepe hace seis años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de seis años. Hallar la edad actual.

A. 16B. 10

C. 8D. 14

14. Siete veces un número entero disminuido en su inversa da como resultado seis. Señalar dicho número aumen-tado en siete.

A. 1B. 8

C. 48/7D. 3

15. Se tiene dos secretarias, la primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 20 cartas por hora. Si la primera empieza a las 8 a.m. y la segunda recién a las 11 a.m., ¿a qué hora las dos secretarias han escrito igual número de cartas?

A. 8 p.mB. 11 p.m

C. 10 p.mD. 9 p.m

16. Se reparten 400 caramelos en partes iguales a un grupo de niños. Si hubiese cinco niños más, a cada niño le tocaría cuatro caramelos menos. ¿Cuántos niños son?

A. 20B. 22

C. 26D. 25

Trilce Católica

CicloCatólica

170

17. Para envasar 15 000 litros de aceite se disponen de botellas de 1/2 litro, 1 litro y 5 litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el aceite no sobró ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas habían en total?

A. 14 600B. 18 600

C. 27 000D. 24 200

18. Tú tenías el triple de lo que tienes y tendrás el doble, de lo que tenías más lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, entonces ello excedería a lo que yo ten-go, que es S/. 5 más de lo que tenías, en S/. 40, ¿cuánto tenemos entre los dos?

A. S/. 15B. 20

C. 25D. 30

19. Con $360 compraría “n” objetos y me sobraría $10. Si tuvie-ra $6n más, compraría exactamente 12 objetos. Halla “n”.

A. 8B. 10

C. 12D. 15

20. Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo?

A. 40B. 45

C. 50D. 55

21. Pedro tendrá “P2” años dentro de 12 años. ¿Cuántos años tuvo hace 13 años?

A. P2 – 25B. P + 5

C. P2 + 1D. P2 – 1

22. Si la edad de Ángel es la mitad de la edad de César, y la edad de Manuel es el doble de la edad de César, ¿quién es el mayor y quién es el menor, respectivamente?

A. Manuel y CésarB. Manuel y Ángel

C. César y ManuelD. César y Ángel

23. Hallar la edad de Patty si sabemos que al agregarle 40 años obtenemos el triple de dicha edad, aumentada en 10 años.

A. 5B. 10

C. 15D. 20

24. La suma de las edades de un hijo con la de su padre es 50 años, dentro de cinco años sus edades estarán en la relación de 1 a 2. ¿En qué relación están actualmente?

A. 1 a 2B. 5 a 3

C. 3 a 7D. 2 a 5

25. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas y dar por respuesta la menor.

A. 15B. 22

C. 36D. 12

26. Hace dos años Martha le dijo a su hijo: Dentro de cinco años la relación de nuestras edades será como 23 a 7. Calcular las edades actuales si hoy la relación es de 5 a 1.

A. 35 y 7B. 30 y 6

C. 40 y 8D. 20 y 4

27. Luis nació 14 años antes que Rosa. Hace “4m” años sus edades estaban en la relación de 10 a 3 y hace “4n” años estaban en la relación de 12 a 5; dentro de “6m” años sus edades serán como 20 es a 13 y dentro de “10n” años serán como 19 es a 12. ¿Cuánto suman sus edades actualmente?



28. Las edades actuales de “A”; “B” y “C” son entre sí como a los números 6; 8 y 11, respectivamente. Si hace seis años la edad de “A” era la mitad de la edad que tendrá “B” dentro de cuatro años, entonces “C” es mayor que “B” en:



29. La edad de Vivas en 1975 era tanto como la mitad del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Qué edad tendrá en 2002?



30. Preguntándole a Romina por la fecha, ésta respondió: el mes es octubre y quedan del mes 215 horas menos que las transcurridas, ¿a qué hora se le hizo la pregunta?


C. 11:00 p.m.D. 11:30 p.m.

31. Hallar el tiempo que tardarán en encontrarse dos móviles que están separados una distancia de 300 km y cuyas velocidades son 10 km/h y 20 km/h.

A. 5 hB. 10 h

C. 15 hD. 20 h

32. Dos ejecutivos que están separadas entre sí por 400 kiló-metros en línea recta, conducen a una cita de negocios en una localidad que está ubicada entre dos ciudades. Parten simultáneamente y se encuentran en dicha cita al cabo de 4 horas. Determinar la velocidad de cada automóvil si uno viaja a 20 km/h más rápido que el otro. Dar como respuesta la velocidad del más veloz.

A. 60 km/hB. 48 km/h

C. 50 km/hD. 70 km/h

33. Un muchacho sube un cerro a razón de 2 km/h y luego se desliza hacia abajo a razón de 10 km/h. Si en subir y bajar emplea 36 minutos en total, ¿qué distancia hay desde el pie del cerro hasta la cima?

A. 1 kmB. 1,5

C. 2D. 2,5

34. Se tienen tres móviles “A”, “B” y “C” que parten simul-táneamente en una misma dirección, como se muestra en la figura.

A B10 m2,5 m/s 1,5 m/s3 m/s 5 m

C

Cuando “A” alcanza a “C”, “B” ¿dónde se ubicará?

A. 5 m a la derecha de “C”.B. 5 m a la izquierda de “C”.C. 15 m a la derecha de “C”.D. Se encuentra en el mismo punto.

Álgebra


43. Un comerciante vende a $ 0,6 cada manzana y a $ 6,4 la docena. Compra 200 manzanas y las vende todas ganando $ 27,2. ¿A cuánto compra cada una?

A. $ 0,36B. $ 0.40

C. $ 0,45D. $ 0,35

44. Un automóvil para recorrer 120 km, emplea un galón menos de gasolina de 95 octanos que de 84 octanos. ¿Cuántos galones de 84 octanos usa para el recorrido, si se sabe que el de 95 octanos recorre 10 km más por galón que el de 84?

A. 2 galonesB. 3 galones

C. 4 galonesD. 6 galones

45. El costo de la llamada telefónica por minuto desde una ciudad “A” a otra “B” es menor a partir de la 7 p.m. Una llamada de 6:55 p.m. a 7:13 p.m. costó $ 3,94 y otra de 6:59 p.m. a 7:09 p.m. costó 1, 94. ¿Cuánto costará una llamada de 7:00 p.m. a 7:15 p.m.?

A. $ 2,82B. 2,74

C. 2,78D. 2,70

46. Un proveedor de la industria electrónica, fabrica los tecla-dos y pantallas para calculadoras gráficas en plantas en Panamá y Taiwán. En la tabla se indican las cantidades producidas por hora en cada planta:

Planta teclados PantallasPanamá 40 32taiwán 20 32

¿Cuántas horas debe operar cada planta para cumplir exactamente con un pedido de 4000 teclados y 4000 pantallas? Dar como respuesta la suma de las horas que operan las dos plantas.

A. 125 hB. 100 h

C. 75 hD. 50 h

47. Por cada cinco adultos que ingresan a un cine, entran tres niños. Si cada niño paga S/. 3, que es la mitad de lo paga un adulto, halla cuántas personas ingresaron al cine, si se recaudó en total lo mismo que si hubieran ingresado solo 156 niños.

A. 36B. 48

C. 84D. 96

48. Se tiene “x”, “(x + y)” y “2y” monedas de S/. 1; S/. 2 y S/. 5 respectivamente. Al cambiar todo el dinero en billetes de S/. 10 se cuentan 30 billetes, coincidiendo con el número de monedas que excedía las monedas de S/. 2 a las de S/. 5. Calcule cuánto dinero se tiene en monedas de S/. 2.

A. S/. 24B. S/. 116

C. S/. 64D. S/. 120

49. Se tiene arroz de dos calidades diferentes cuyos precios son S/. 2 y S/. 1,50 el kilogramo; se quiere mezclarlos para obtener 200 kg y venderlos a S/. 1,60 el kg. ¿Cuántos kilogramos de arroz del mayor precio se debe poner en la mezcla?

A. 10 kgB. 40 kg

C. 30 kgD. 35 kg

35. Un bus parte de Lima a Tacna a las 6:00 a.m. con una velocidad de 30 km/h y a las 11:00 a.m. sale otro bus de Tacna a Lima con una velocidad desconocida “V”. Si la distancia entre Lima y Tacna es de 300 km, hallar la hora de encuentro si este se produce a 60 km de Tacna.

A. 12:00 p.m.B. 1:00 p.m.

C. 2:00 p.m.D. 3:00 p.m.

36. Un peatón recorre 23 km en 7 horas, los primeros 8 km con una velocidad superior en 1 km/h a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió los primeros 8 km.

A. 3 km/hB. 4 km/h

C. 5 km/hD. 2 km/h

37. Un móvil parte de “A” a las 6 a.m. y llega a “B” a las 4 p.m., otro móvil parte de “B” a las 7 a.m. y llega a “A” a las 3 p.m., si la distancia de “A” a “B” es 400 km, ¿a qué hora se encontrarán por el camino?

A. 11 a.m.B. 10 a.m

C. 12 m.D. 9 a.m.

38. Una lancha “X” se desplaza cinco horas río abajo para ir de una ciudad “A” a una ciudad “B”. El recorrido de vuelta lo realiza en siete horas. ¿Cuántas horas requiere una lancha “Y” para ir de “A” a “B” si su velocidad ordinaria es igual que la velocidad de la corriente?

A. 12 hB. 17,5 h

C. 35 hD. 15 h

39. Juan dispone de 100 nuevos soles para comprar los productos “x1” y “x2”. Si compra dos unidades de “x1” y cuatro unidades de “x2”, gasta todo su dinero. Por otro lado, si compra cinco unidades de “x1” y dos unidades de “x2”, le sobra el 10% de su dinero. ¿Cuánto costará comprar un producto x1 y un producto “x2”?

A. S/.20B. S/.40

C. S/.30D. S/.18

40. Averiguar para qué número de tres cifras se verifica que la cifra de las centenas, sumada con la de las unidades, es igual a nueve; que la diferencia de estas cifras da las cifras de las unidades y que la diferencia entre las cifras de las centenas y decenas es el doble de esta última.

A. 263B. 623

C. 362D. 632

41. El cuadrado de la suma de las dos cifras que forman un nú-mero positivo es igual a 121. Si a este cuadrado le restamos el cuadrado de la cifra de las decenas y el doble producto de las dos cifras se obtiene 81. ¿Cuál es el número?

A. 83B. 92

C. 56D. 29

42. En una rifa se pensaban vender “A” boletos para ganar “a”, al venderlos todos. Sin embargo, solo se pudieron vender “B” boletos, originándose una pérdida de “b” nue-vos soles. Calcula el precio de un boleto.

A. (a + b) / (A – B)B. (A + B) / (a + b)

C. (a – b) / (A + B)D. (A – B) / (a + b)

Trilce Católica

CicloCatólica

172

50. PIEDRA FINA es una joyería a la cual Paloma acude con regularidad. Paloma quiere comprar dijes y pulseras. En los modelos que ella desea llevar, cada dije se vende al doble del precio de una pulsera. Finalmente, Paloma com-pró tres dijes y cuatro pulseras. Si en vez de eso, hubiera comprado cuatro dijes y tres pulseras, habría gastado 25 dólares más. ¿Cuál es el precio de una pulsera?

A. $ 20B. 25

C. 30D. 40

Tarea domiciliaria

1. El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 81. Hallar la diferencia entre el triple del mayor y el doble del menor.

A. 3B. 7

C. 6D. 5

2. La suma de tres números es 72. El segundo es un quinto del tercero y el primero excede al tercero en 6. Hallar el menor número.

A. 6B. 8

C. 10D. 12

3. La suma de dos números naturales es 77. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el resto es 8. Hallar la diferencia de dichos números.

A. 54B. 23

C. 20D. 31

4. Hans recorre cierta distancia en tres días, de manera que cada día recorre la mitad de la distancia que le falta recorrer, más 8 km. ¿Cuánto recorrió el primer día?

A. 56 kmB. 48

C. 64D. 40

5. Un padre de familia plantea a su hijo el siguiente proble-ma: En mi bolsillo derecho tengo 48 nuevos soles más que en el izquierdo. Si a la sexta parte de lo que tengo en el derecho le aumento 8 nuevos soles obtengo una suma que es igual a la cuarta parte de lo que tengo en el izquierdo, disminuido en 34 nuevos soles. ¿Cuánto tengo en el bolsillo izquierdo?

A. S/. 800B. 500

C. 600D. 700

6. Cada vez que un niño visita a su abuelita, esta le duplica el dinero que él lleva. El nieto siempre le agradece con S/. 40 la bondad de su abuela; un día el niño queriendo ganar más dinero realizó cuatro visitas sucesivas a la abuelita, pero fue tal la sorpresa del niño que al final de la cuarta visita se quedó sin un sol. ¿Cuánto llevó al iniciar la visita?

A. S/. 30B. 35

C. 37,5D. 39

7. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco, más cuatro hojas. Si después de tres días consecutivos le quedan aún 12 hojas en blanco. ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona?

A. 50B. 69

C. 70D. 57

8. Un estudiante gasta S/. 7 en pasajes cuando va a una conferencia. Si en “n” días ha gastado “p” nuevos soles, ¿cuántos días no asistió a la conferencia durante los “n” días?

A. n – p2

B. n – p7

C. n – pn

D. p – n7

9. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar el producto de las cifras del número menor.

A. 20B. 5

C. 12D. 15

10. Las dimensiones de un campo rectangular son tales que el largo excede al ancho en 3 m. Calcular dichas dimensiones, sabiendo que la superficie del campo es de 180 m2. Dar como respuesta la suma de las cifras del número que representa el ancho.

A. 3B. 4

C. 5D. 6

11. Mario le dice a José yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 126 años. ¿Cuál es la edad de Mario?

A. 56B. 28

C. 70D. 42

12. La edad de Sara es mayor en 7 que el cuadrado de un número “P” y menor en 4 que el cuadrado del número siguiente a “P”. ¿Cuántos años tiene Sara?



13. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de seis años tu edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él, ¿qué edad tengo actualmente?



14. Si al año que cumplí los 12 años le sumas el año cuando cumplí los 20 años y a dicha suma le restas la suma del año en que nací y el año actual obtendremos 6. ¿Qué edad tengo?



15. ¿Qué hora es si la mitad del tiempo transcurrido desde las 09:00 horas, es igual a la tercera parte del tiempo que falta transcurrir para ser las 19:00 horas.

A. 12:00 hB. 13:00 h

C. 14:00 hD. 13:20 h

16. La velocidad de un auto es 10 km/h mayor que la de una moto. ¿Cuál es la velocidad de la moto, si en igual tiempo el auto recorre 200 000 metros y la moto 160 000 metros?

A. 4 km/hB. 40 km/h

C. 30 km/hD. 400 km/h

Álgebra


17. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. Si la velocidad hubiera sido 20 km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas menos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240 km?

A. 5 hB. 6 h

C. 8 hD. 10 h

18. Un ciclista sale de un pueblo “A” hacia otro “B” a las 8 horas con una rapidez de 27 km/h; otro ciclista sale una hora después del mismo pueblo “A”, con una rapidez de 30 km/h y llega al pueblo “B” a la misma hora que el primer ciclista. Calcular la distancia que hay entre los dos pueblos.

A. 400 kmB. 270 km

C. 700 kmD. 150 km

19. En una fábrica de cigarrillos se disponen de dos má-quinas. La primera de ellas produce 245 cigarrillos por minuto y la segunda, 280. Cierto día, la primera máquina comienza a funcionar a las 8 a.m. y la segunda, media hora después. En dicho día, ¿a qué hora ambas máqui-nas habrán producido la misma cantidad de cigarrillos?

A. 10 a.m.B. 12 m.

C. 2 p.m.D. 4 p.m.

20. El precio de un libro excede en $ 8 el precio de una do-cena de lapiceros. Si compro 44 lapiceros y 6 libros por un total de $ 222, ¿cuánto costó un libro?

A. $ 18B. 22

C. 24D. 26

21. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera 3 metros más de largo y 4 metros más de ancho, sería 192 m2 más grande. Si tuviera 4 metros menos de largo y 3 metros menos de ancho, sería 158 m2 más pequeño. Hallar las dimensiones del patio,

A. 15 m y 45 mB. 10 m y 40 m

C. 30 m y 20 mD. 20 m y 50 m

22. Si compro “b” cosas a “b + 2” dólares cada una, me so-bran “3b – 1” dólares. Sin embargo, si cada cosa costara 2 dólares más, me sobrarían 60 dólares, ¿cuánto cuesta cada cosa en el primer caso?

A. $ 61B. $ 63

C. $ 62D. $ 58

23. La compañía de teléfonos “ Ni Hablar” tiene dos planes de pago mensual por consumo de llamadas telefónicas mediante celulares:

Plan Pago mensual minuto adicionaltiPo a $ 14 $ 0,75tiPo B $ 28 $ 0,25

¿Para qué tiempo los dos planes tiene el mismo costo?

A. 30 minB. 28 min

C. 25 minD. 33 min

24. Una casa amoblada cuesta $ 15 000, la casa amoblada y con piscina cuesta $ 17 000, los muebles y la piscina solamente cuestan $ 3500. Si los muebles constan de dos mesas de $ 100 cada uno (con sus respectivas sillas), una vitrina y un juego de sala de $ 750. ¿Cuánto cuesta la vitrina?

A. $ 250B. $ 350

C. $ 550D. $ 525

25. En un colegio los alumnos del turno mañana pagan S/. 80 mensuales y los de la tarde S/. 65 mensuales. Si el director ha recibido en total de la pensión del segundo mes de clases S/. 4080 y los alumnos de la tarde son 7 más que los del turno mañana. Halle el total de alumnos.

A. 25B. 32

C. 57D. 56

26. En una familia, el hermano mayor dice: “Mis hermanos son el doble de mis hermanas”. Y la hermana mayor dice: “Tengo cinco hermanos más que hermanas”. ¿Cuántas hijas tiene la familia?

A. 9B. 11

C. 3D. 10

27. Un barril contiene agua y vino, se sabe que: los 3/4 del contenido de un barril, más 7 litros es vino y 1/3 del mismo barril, menos 20 litros es agua. ¿Cuál es el contenido del barril en litros?

A. 148B. 156

C. 162D. 164

Quinto Católica

Colegios



rEPaSO iV


1. Hallar “xy”, si se cumple: (x + y; 7) = (5; x – y)

A. – 1B. – 2

C. 2D. – 6

2. Los pares ordenados: (m + 2n + 1; n) y (m – 9; m + 5) son iguales, entonces “(m; n)” está ubicado en:

A. El primer cuadrante.B. El segundo cuadrante.C. El tercer cuadrante.D. El cuarto cuadrante.

3. Sea “F” la función definida por:

F = {(2; 5), (m + n2; m), (–1; – 3), (2; 2m – n), (–1; n – m)}.

Determine: DomF ∩ RanF.

A. φB. {– 1}

C. {2}D. {3}

4. Si: P(x + 1) = 2x – 1 Q(x – 1) = 3x + 2

Reducir: 2Q(x + 1) – 3P(x – 1)

A. 31B. 33

C. 35D. 37

5. Si: P(x + 2) = 2x – 7 P(Q(x)) = 6x + 1

Determinar: Q(x)

A. 3x – 6B. 3x + 6

C. 4x + 6D. 4x – 6

6. Si: P(x – 1) = x2 – 1 P(x + 2) = x2 + ax + b

Determinar: ab

A. 40B. 42

C. 46D. 48

7. Si: P(x + 1) = x2 + 2 P(x + 3) = x2 + ax + b

Calcular: a + b

A. 8B. 10

C. 12D. 14

8. Si “P(x)” es una función lineal

Además: P(12) = 1 P(6) = 0

Determinar: P(x).

A. x3

+ 1

B. x6

– 1

C. x3

– 1

D. x6

+ 1

9. Sea F(x) = 2mx + 5 una función. Si el par ordenado (2; 3) es un elemento de la función, entonces el valor de “m” es:

A. 1/2B. – 3/4

C. 3/4D. – 1/2

10. Dada la función: g(x) = nx2 + m; se conocen las coorde-nadas (1, 8); (3, 16). Dar el valor de: (m + n)/4n

A. 7B. 8

C. 2D. 4

11. Si: f(x) = ax2 + bx + c, y f(1) = 1; f(2) = 4; f(– 3) = 9; hallar: “a + b + c”.

A. 1B. 2

C. – 1D. – 3

12. De la pregunta anterior, hallar: E = f(5) + f(f(0))

f(– 1)

A. 5B. 1

C. 10D. 25

13. Sean “f”, “g” y “h” funciones de ZZ en ZZ, tales que:

f(x) = 2x – 3; g(x) = x – 5; h(x) = 4x

Se sabe que: f(a) = – 9 g(b) = a h(f(a)) = c

Hallar: a + b + c

A. – 35B. 35

C. – 37D. 37

14. Sea “F” una función definida en por: f(x + 2) = f(x) + f(2). ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. f(0) = 0II. f(2) + f(– 2) = 0III. f(0) = 4f(2)


C. I y IIID. Todas

15. Si: R(x) = 3x – 2x, S(x) = 4, T(x) = R(x) / S(x), son correctas:

I. R(2) = 5II. S(1) = S(2) = S(3) = 4III. T(4) = 75/4

A. Solo IB. I y II

C. Solo IIID. I y III

ÁLGEBRASemana 33

Trilce Católica

CicloCatólica

176

16. El rango de la función: F(x) = 2 – 3x; donde x ∈ ⟨– 2; 4], es:

A. [3; 6⟩B. ⟨– 6; 4⟩

C. [– 10; 8⟩D. [– 8; 12⟩

17. ¿Cuál es la pendiente de la siguiente recta: 3x – 2y = 4?

A. 3/2B. 2/3

C. 1/2D. – 3/2

18. Dada la función cuadrática: f(x) = – 3x2 + 12x + 11; hallar el rango de “f”.

A. ]– ∞; 23[B. ]– ∞; – 23[

C. ]– ∞; 23]D. ]– ∞; – 23]

19. Hallar las coordenadas del vértice de la función: g(x) = x2 – 4x + 4.

A. (1; 2)B. (1; 3)

C. (2; 3)D. (2; 0)

20. Si: f(x) = – 3x2 + 6x + 2; determinar su máximo o mínimo valor si es que lo hay.

A. – 1B. – 5

C. 5D. 2

21. Hallar el mínimo valor que puede tomar la función:

g: → g(x) = x2 – 2x – 12

A. 14B. – 11

C. – 13D. 1

22. Encuentra la regla de correspondencia de la función lineal afín que pasa por los puntos (– 3; 2) y (– 2; – 1).

A. 3x + y + 7 = 0

B. y = 13x

– 73

C. y = 3x – 7

D. – 3x + 7y – 1 = 0

23. Determina los coeficientes “m” y “n” para que la parábola: y = x2 + mx + n; pase por los puntos de intersección de la recta: y = – 2x + 8; con los ejes coordenados.

A. m = – 6; n = – 8B. m = – 6; n = 8

C. m = 6; n = – 8D. m = 6; n = 8

24. De la función: P(x) = 4x2 – 16x + 17; indicar por qué cuadrantes pasa.


C. III y IVD. I y III

25. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(– 1; 2) y Q(5; 2).

A. y = 5x + 7B. y = 3x

C. y = 2 – xD. y = 2

26. El costo de producción de un artículo está dado por la expresión: C(x) = x2 – 12x + 80; donde “C(x)” es el costo en miles de dólares para producir “x” miles de unidades. ¿Cuántas unidades se deben producir para obtener el menor costo posible?

A. 1000B. 2000

C. 3000D. 6000

enunciado Para los ProBlemas: 27; 28; 29

• Cuando una empresa produce “q” artículos, su costo es C = 7q + 60; y al vender “q” artículos, su ingreso es:

I = – q2

10 + 15q

27. Halla la mayor cantidad de artículos que hace que la empresa gane 60.

A. 20B. 30

C. 40D. 60

28. Hallar la ganancia máxima.

A. 100B. 40

C. 220D. 1 600

29. ¿Cuántos artículos se debe de producir para obtener la ganancia máxima?

A. 100B. 40

C. 220D. 1 600

EnunCIaDo PaRa los PRoblEMas: 30; 31; 32

• En la empresa Liliputense el empleado que recién ingresa cobra $ 450 y el empleado con cinco años de antigüedad recibe un sueldo de $ 560. Asumiendo que el sueldo del empleado es función lineal de la antigüedad.

30. Halla la regla de correspondencia de dicha función.

A. f(x) = 22x – 450B. f(x) = 22x + 450

C. f(x) = 10x + 250D. f(x) = 10x – 250

31. ¿Cuánto cobrará alguien con siete años de antigüedad?

A. $ 712B. 768

C. 604D. 624

32. ¿Cuál es la variación del sueldo de un empleado en un año?

A. $ 22B. 450

C. 20D. 250

33. En una compañía los costos de producir “x” muebles están dados por: c = ax + b. Cuando se producen 20 y 32 muebles los costos son $ 1560 y $ 2040, respectivamente. ¿Cuál es el costo de producir 40 muebles?

A. $ 3 120B. 2 840

C. 2 520D. 2 360

34. La utilidad obtenida por una empresa al fabricar y vender “x” artículos está dada por: U(x) = x2 + 14x – 168. ¿Cuán-tos artículos debe fabricar y vender para ganar $744?

A. 24B. 20

C. 18D. 16

enunciado Para los ProBlemas: 35; 36; 37

35. La utilidad que se obtiene al producir y vender maletas en determinada empresa está dada por:

Álgebra


U(x) = – x2

10 + 40x

donde “x” representa el número de maletas y “U(x)” está dada en nuevos soles. Halla la utilidad al vender 60 maletas.

A. S/. 1840B. 1960

C. 2060D. 2040

36. Si se quiere obtener la máxima utilidad posible, ¿cuántas maletas hay que producir y vender?

A. 60B. 80

C. 100D. 200

37. ¿Entre qué valores debe estar el número de maletas, si la utilidad debe ser como mínimo S/. 3000?

A. 150 ≤ x ≤ 350B. 120 ≤ x ≤ 320

C. 80 ≤ x ≤ 280D. 100 ≤ x ≤ 300

38. Sea: f(x) = ax + b; hallar: a + b + c

x

y

1

c

4

f

2

A. 2B. 3

C. 4D. 5

39. Sea: f(x) = – 2x + 8. Determinar el área máxima del rec-tángulo que se encuentra inscrito entre la gráfica de la función “f(x)” y los ejes coordenados.

x

y

f

A. 2B. 4

C. 6D. 8

40. Hallar la regla funcional de primer grado “F(x)” tal que:

F(1) + 3F(2) = 4F(3) + 70; F(5) = – 67.

Indicar: F(F(x)).

A. 198x – 43B. 196x – 39

C. 194x – 41D. 192x – 39

41. Si: F(x) = 5x + a – 1 y F(F(2)) + F(4F(1)) = 987. Hallar el valor de “a”

A. 30B. 31

C. 32D. 33

42. Halle el valor máximo de: F(x) = 4x(– x + 8)

A. – 64B. – 16

C. 64D. 16

43. Dada la función F: [– 5; 3⟩ → lR, cuya regla de corres-pondencia es: F(x) = x2 – 2x – 13. Calcular la suma del máximo y el mínimo valor entero de la función.

A. 10B. 8

C. 7D. 5

44. El valor mínimo del trinomio: y = 2x2 + bx + p, ocurre para x = 3. Sabiendo que uno de los valores de “x” que anulan ese trinomio es el doble del otro. Dar el valor de “p”.

A. 32B. 64

C. 16D. 128

45. La f igura muest ra e l grá f ico de la func ión: f(x) = ax2 + bx + c, siendo – 1 su valor mínimo. Si: g(x) = 3x – f(x); entonces: f(3) + g(2), es igual a:

–1

0 2 x

y

A. – 6B. 9

C. – 3D. 6

46. La gráfica de la función: f(x) = x2 – 2mx + m, se encuentra por encima del eje de las abscisas. Entonces, podemos afirmar que:

A. m < 0 ∨ m > 1B. m > 0

C. – 1 < m < 0D. 0 < m < 1

47. Si el rango de: F(x) = 33x + 21; es el intervalo: [– 639; – 45], obtener el dominio.

A. [– 1; 17]B. [– 4; 7]

C. [– 2; 10]D. [– 20; – 2]

48. ¿Cuál es el rango de la función:

f = (x; 6x – x2)/ 2x – x2 ∈ ?

A. [– 1; 7]B. [0; 9]

C. [1; 9]D. [2; 10]

Trilce Católica

CicloCatólica

178

49. Hallar “a + b”, si el dominio de la función:

F(x) = x2 – 1

3x – 7 – 8x2 + 2x – x2 es: x ∈ [b; a]

A. 1/2B. 1

C. 2/3D. 3/2

enunciado:

Sea la función “f(x)” dada en el siguiente gráfico.

(m; n)

f(x) = –x2 + 10x + 75

(p; q)

(a; b)

50. Proporcionar el dominio de la función:

A. [0; 15]B. [0; 15[

C. [0; 12]D. [0; 12⟩

51. Hallar el rango.

A. [0; 90]B. [0; 80]

C. [0; 100]D. [0; 120]

52. Indicar ¿cuántas son falsas?

I. (5; 100) = (a, b)II. p = 15

III. m + n = 75IV. El punto (1; 84) ∈ f(x)

A. 1B. 2

C. 3D. 4

53. Si:

(– 2; –1)

(3; 3)

f

–2

y

xa

b

c

3

Hallar: “a.b.c”

A. 9/5B. – 9/5

C. 9D. 3/5

54. Sea:

y

x

5

–3 2 4

3

1

f


A. Dom(f) = [– 3; 4]B. Ran(f) = [1; 5]

C. f(2) = 3D. f(4) = 5

enunciado:

g(x) = ax2 + bx + c

–2

g

y

x

(4; –4)

4

1

55. Hallar: Dom(g) ∩ Ran(g)

A. [– 2, 3⟩B. ⟨– 5; 3⟩

C. [– 2, 4[D. ⟨– 2, 3]

56. Hallar “a + b + c”

A. 1/2B. 1

C. 2D. 4

57. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. g(1) = 4II. g(4) no existeIII. g(– 2) = 0

A. V F FB. V V F

C. V V VD. F F V

58. Hallar “c”.

A. – 4B. 8/9

C. 4D. 32/9

enunciado Para las Preguntas: 59 – 61

Si: f(x) = ax2 + bx + c

0 x

– 16

9

3 6 8

y

Álgebra


59. Indique lo correcto:

I. Las raíces de “f” son {0; 6}II. Dom(f) = [0; 8[III. El vértice es (3; 9)

A. Solo IB. Solo II

C. I y IID. I y III

60. Todas son ciertas, excepto:

A. f(6) = 0B. Ran(f) = ⟨– 16; 9]C. Si: 3 ≤ x ≤ 6; entonces: f(x) ≥ 0D. f(8) = – 16

61. Hallar: E = f(f(3) – 3) x f(5)

f( – 1) + f(4)

A. 0B. 1

C. 2D. 3

62. Sea la función: f(x) = 2x ; x > 0

f

y

x

Indique lo falso:

A. f(0) no existeB. Si: x1 < x2; entonces: f(x1) > f(x2)C. f(2) = 1D. Ran(f) = [0; + ∞⟩

63. Dada la función:

f(x) = 2x2 – 1; – 3 ≤ x ≤ 12x + 3; 1 < x ≤ 3

Indicar su rango:

A. [1; 17[B. [– 1; – 17]

C. [– 1; 17] – {5}D. ]– 1; 17] – {5}

64. Si “a” es entero y mayor que cero, ¿cuál de los siguientes gráficos cumple la siguiente función: f(x) = x2 – 2ax + a2?

A. y

x

B. y

x

C. y

x

D. y

x

65. Bosquejar la gráfica de:

g: → / g(x) = (210 – 39)x + 1 – 23

A. y

x

B. y

x

C. y

x

D. y

x

66. Se tiene: P(x) = xa – b aa

Además: P b aa b

= 1 – b

Calcular: M =

ab

a + b

.

ab

ba

A. 1/2B. 2

C. 1D. 3

Tarea domiciliaria

1. Si: F = {(1; 5), (2; n), (1; m), (3; m + 1), (n; m)} es una función, calcule: F(3) + F(n).

A. 12B. 11

C. 10D. 9

2. Si: P(x – 1) = 3x + 2 P(Q(x)) = 9x + 8

Determinar: Q(x)

A. 3x + 1B. 3x – 1

C. 3x + 2D. 3x – 2

3. Sea “P(x)” un polinomio lineal:

Además: P(2) = 3 P(1) = 5

Determine: P(x)

A. – 2x + 7B. 3x + 2

C. 5x – 7D. 4x – 5

4. Siendo: F(x) = mx – m + 6, hallar “F(– 1)” sabiendo que la gráfica de la función “F” pasa por el punto (3; – 4).

A. 16B. 8

C. 10D. 12

5. Si: f(x) = mx + 5 g(x) = x + n f(2) = 7 g(2) = f(1)

hallar: f(g(0))

A. 5B. 7

C. 9D. 11

Trilce Católica

CicloCatólica

180

6. Si f: → es tal que: f(x) = – 5x + 12

¿por qué cuadrantes pasa la gráfica de “f”?


C. I, II y IVD. I y II

7. De la función y = – x + 3; x ∈ ⟨– 2; 3⟩, indique su rango.

A. ⟨0; 5⟩B. ⟨1; 4⟩

C. ⟨2; 7⟩D. [0; 7⟩

8. Hallar el rango de: y = x2 + 1; si: – 1 ≤ x ≤ 2

A. [2; 5]B. [3; 5]

C. [1; 5]D. [0; 5]

9. Hallar el mínimo valor que puede tomar la función: g: → ; g(x) = x2 – 2x – 12

A. 14B. – 11

C. – 13D. 1

10. Si: f(x) = – x2 + 10x – 21; hallar el valor máximo de “f(x)”.

A. 25B. – 4

C. 4D. – 21

11. Si: g(x) = 4x2 – 4x + 5, hallar el valor mínimo de “g(x)”.

A. 1B. 4

C. – 4D. – 1

12. Hallar el área de la región formada por la función:

g: → , g(x) = – 2x + 3; con sus ejes coordenados.

A. 3B. 6

C. 1/9D. 9/4

13. Dada la función: f(x) = x + 3 + 3 – x

x2 – 1

Indicar el número de valores enteros de su dominio.

A. 7B. 6

C. 5D. 4

14. El costo diario “C” (en dólares) por alquilar un automóvil depende del número de kilómetros recorridos (x) según la siguiente ecuación:

C = 0,2x + 20

Si el lunes recorrí 100 kilómetros y el martes recorrí 80 kilómetros, ¿cuánto debo pagar en total?

A. $66B. 76

C. 86D. 82

15. El costo diario “C” (en dólares) por alquilar un automóvil depende del número de kilómetros recorridos (x) siendo esta una relación lineal. El primer día que alquile un automóvil recorrí 100 kilómetros y pague 40 dólares. El segundo día alquile otro automóvil y pagando 36 dólares, recorrí 20 kilómetros menos que el primer día, ¿cuánto

debo pagar en un tercer día de alquiler si en ésta oca-sión pienso en recorrer 100 Kilómetros más que el día anterior?

A. 40B. 56

C. 68D. 76

16. Bosquejar la gráfica de: f: x → f(x) = 1 + 3 2x2 + bx + c

A.

x

y

B.

x

y

C.

x

y

D.

x

y

17. Sea: f(x) = – 3x + 5.

Determinar el área máxima del rectángulo que se en-cuentra inscrito entre la gráfica de la función “f(x)” y los ejes coordenados.

y

x

f

A. 5/6B. 5/3

C. 25/36D. 25/12

18. Hallar la gráfica de: f(x) = (x – 2)2 – 4

A.

B.

C.

D.

19. Al graficar las funciones: f(x) = x2 – 4x + 5; g(x) = – 6x – x2 + 10

indique: Ran(f) ∩ Ran(g)

A. ⟨1; 19⟩B. [1; 19⟩

C. [1; 19]D. ⟨– ∞; 19]

20. Hallar el dominio y el rango de la función:

A. x ∈ ] – 4; 6] – {2} e y ∈ ⟨ – 5; 3]– {– 1}B. x ∈ ⟨ – 5; 3] – {– 1} y ∈ ]– 4; 6] – {2}C. x ∈ [– 5; 3⟩ – {– 1} e y ∈ ⟨– 4; 6]D. x ∈ ]– 5; 3[ e y ∈] – 4; 6[– {2}

Quinto Católica

Colegios



rEPaSO GENEraL

10. Si la división: n3x5 – 7nx3 + (n2 – 6)x2 + n(n – 1) – 6

nx + 2

es exacta, calcular la suma de coeficientes del cociente.

A. – 5B. – 3

C. 4D. – 4

11. Hallar el resto en: (x2 + x – 3)55 + (x2 + x – 2)4 + 7

x2 + x – 4

A. 10B. 17

C. 24D. 19

12. ¿Para qué valor de “m” la división es exacta?

5x3 – mx2 – mx + m5x2 + 2x – 4

A. 5B. 6

C. 7D. 8

13. ¿Qué termino hay que sumarle a: P(x; y) = x(x + 8y) + 21y2 para que sea factorizable?

A. 3xyB. 8xy

C. 6xyD. 2xy

14. ¿Cuántos factores primos de segundo grado se obtiene al factorizar: P(x; y) = 8x8y + 63x5y – 8x2y?

A. 1B. 2

C. 3D. 4

15. Factorizar: x12 – 17x6 + 72. Indicar el número de factores primos.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

16. Factorizar: x4– 29x2 + 100. Indicar un factor primo.

A. x – 5B. x + 5

C. x + 2D. Todos

17. Factorizar: x3 – 3x2 + 4x – 2

A. (x + 1)(x2 – 2x + 2)B. (x – 1)(x2 – 2x – 2)

C. (x + 1)(x2 + 2x + 2)D. (x – 1)(x2 – 2x + 2)

18. Factorizar: a4 + 2a2 + 9

A. (a2 + 2a + 3)(a2 – 2a + 3)B. (a2 – a – 4)(a2 + a + 1)C. (a2 + a + 3)(a2 – a – 3)D. (a2 + a + 9)(a2 – a – 1)

ÁLGEBRASemana 34


oPeraciones con Polinomios

1. Simplificar:

32n + 1 + 9n + 1

9n + 1 – 32n + 1 ; n ∈

A. 1B. 2

C. 3D. 4

2. Si el grado absoluto de: M(x) = xnn x4nnnnn es 3; hallar “n”.

A. 2B. 1

C. 3D. 4

3. Dado el polinomio: P(x) = 2x11 – n

3 + 5xn – 6

2 + 3. Hallar “n”.

A. 2B. 5

C. 6D. 8

4. Hallar “n – m” para que el grado de:

E(x; y) = 3xm + 1yn – 3 + 7xm + 2yn – 1 + 4xm + 3yn – 2;

sea grado absoluto igual a 8 y de grado relativo a “y” es igual a 5.

A. 7B. 5

C. 6D. 1

5. Hallar “a/b”, si el polinomio:

P(x; y) = 3mnxayb(mx2a + 1 + ny6b + 1) es homogéneo.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

6. Si se cumple que:

x4y +

4yx = 2. Calcular:

xy

4

A. 32B. 64

C. 128D. 256

7. Si: (x – y)3 = x3 – y3; x > 0 e y > 0; calcula: 13x + 3y

x2xy

A. 2B. 3

C. 6D. 4

8. Efectuar: A = 8 416 + 9(52 + 42)(54 + 44)(58 + 48)

A. 5B. 5

C. 25D. 416

9. Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac; hallar:

R = a3 + 3b2c

abc +

5a2bc – 3c3b

2ab2c

A. 5B. 4

C. 3D. 2

Trilce Católica

CicloCatólica

182

19. Factorizar: x4 + 6x2 + 25; e indicar el número de factores primos.

A. 1B. 2

C. 3D. 4

20. Indicar la suma de los factores de primer grado que se obtienen al factorizar: 8x6 + 7x3 – 1

A. 3x – 1B. 3x

C. 2x – 3D. 4x – 1

21. Factoriza: Q(x) = P(x) + 6x – 4; sabiendo que:

P(x) = 4x2 – (x – 2)2 y da como respuesta la suma de los factores primos.

A. 4x – 6B. 4x + 6

C. 4x + 2D. 4x – 2

22. Si: (5 + 2 6)x + 5 – 2 6

x = 2, hallar:

1 – x1 + x

2

A. 1B. 1/3

C. 2/3D. 2

23. Si; ab = c, con “a”, “b”, “c” ≠ 0; calcular el valor de:

E =

aab + a + 1

+

bcb + bc + c

+

1a + c + 1

A. 1/2B. b

C. abcD. ab/c

24. Calcular: 109 – 1 entre 999.

A. 1 001 001B. 10 010 010

C. 1 001 001 000D. 10 010 010 000

teoría de ecuaciones

25. Resolver: 3x + 1x – 2 + x + 1

x + 2 = 11x + 6x2 – 4

A. – 3/2B. – 3/4

C. 2D. 3/2

26. Resolver: 1 + ax1 – ax =

3 + a2x2

1 – a2x2

A. aB. 1/a


27. Luego de resolver: x2 – 5x + 4

x2 + 3x + 2 = x2 – 5x + 2

x2 + 3x + 1

señale la menor de las raíces.

A. – 8B. – 11

C. – 9D. – 10

28. Sabiendo que: ab = bb = 2, hallar: E = ababab

A. 16B. 4ab

C. 4aD. 4b

29. Resolver: x2 – 25x – 5 = 10

¿Qué podemos afirmar de la solución?

A. Es un número positivoB. Es un número primoC. No existeD. Es el consecutivo de 4

30. Resolver:

1

1 + 1

x + 12 =

1

1 + 1

1 + 13

¿Qué se puede afirmar de la inversa de la solución?

A. Es un número comprendido entre 0 y 1.B. Es un número mayor que 1.C. Es un número mayor que 2.D. Es un número comprendido entre – 1 y 0.

31. Resolver para la ecuación lineal en “x”:

x(a + b) – 3 – a(a – 2) = 2(x – 1) – x(a – b)

Siendo “a”, “b” números impares positivos, ¿qué podemos afirmar siempre de la solución?

A. Es un número impar.B. Es un número par.C. En un cuadrado perfecto.D. Es un número positivo.

32. Con $ 360 compraría “n” objetos y me sobraría $ 10. Si tuviera $ “6n” más, compraría exactamente 12 objetos. Halla “n”.

A. 8B. 10

C. 12D. 15

33. Al comprar 10 camisas y 15 pantalones ó 30 camisas y tres pantalones siempre gasto $840. ¿Cuánto cuesta una camisa?

A. $24B. 18

C. 20D. 25

34. Resolver: x + 1 + 5 = x + 6

A. 3B. – 2

C. – 5D. Incompatible

35. Resolver: 36 + 4 x3 + 36 – 4 x3

= 6

A. 16B. 25

C. 36D. 49

36. Halla el valor o los valores de “m” que hacen que la ecuación:

x – ax – 1 =

2x + 1x + 2

tenga solución única.

A. a = 1B. a = 1, a = 13

C. a = 13D. a = – 13

Álgebra


37. Si: x ∈ , cuántos elementos tiene el conjunto solución de: (x – 2)(x

2 – 4) = 1

A. 1B. 2

C. 3D. 4

38. ¿Para qué valor del parámetro real “a” las raíces de la ecuación: 2x2 – (a – 1)x + 4 = 0 difieren en 1?

A. 2; 3B. 11; – 1

C. 2; 5D. – 5; 7

39. Sea la ecuación: x2 – (p – 4)x + p – 5 = 0

Hallar el valor de “p” para que la diferencia de raíces sea 2.

A. 3; 6B. 4; 5

C. 6; 2D. 4; 8

40. Con respecto a la ecuación cuadrática en “x”:

x2 + (c – 1)x + c2 + c – 2 = 0, c ∈

Indicar el valor de la verdad de las siguientes proposicio-nes:

I. Admite raíces simétricas si: c = 1.II. La ecuación tiene raíces positivas si: c ∈ [– 3; – 2⟩

III. La ecuación tiene raíces reales, si: c ∈ – 52;

12

A. F V VB. V V V

C. V V FD. V F V

41. Si: “r” y “s” son las raíces de la ecuación:

ax2 + bx + c = 0; el valor de: 1r2 +

1s2 ; es:

A. b2 – 4ac

B. b2 – 4ac

2a

C. b2 – 4ac

c2

D. b2 – 2ac

c2

42. Las ecuaciones cuadráticas: x2 – 9x – 22 = 0 2ax2 – 36x + 65 = 0

tienen la misma suma de raíces, ¿cuál es el producto de las raíces de la segunda ecuación?

A. 9/2B. – 22

C. 65/4D. – 18

43. Si se disminuye en “b” unidades cada una de las raíces de: x2 – (2b – 1)x + b2 – b – a = 0; se obtiene la ecuación:

A. x2 + 2x – a = 0B. x2 – 2x – a = 0

C. x2 – x + a = 0D. x2 + x – a = 0

44. Calcular “n” si el siguiente sistema:

(n + 3)x + (2n + 3)y = 12(n – 3)x + (n – 1)y = 4


A. “b” y “d”B. 6

C. 1D. – 1

45. Resolver y dar como respuesta la suma de valores de “x”, en: 253x2 – 2 = 125x – 1

A. 1/2B. 2/3

C. 2D. 5

46. Calcular “a/b” en: 3a – 3b = 81

5a + b

5 = 625

A. 2B. 4

C. 5/2D. 8

47. Halla “x + y”: 4x + 12 xy + 9y = 676 3 x + y = 18

A. 45B. 25

C. 52D. 41

48. Resolver en : x2 – 4y + 7 = 0y2 – 2x – 2 = 0

Indique su C.S.

A. {(1; 2)}B. {(1; 3)}

C. {(1; 5)}D. {( – 1; 2)}

49. Resolver:

x + 54

=

y + 45

x + 65

= y + 5

6

¿Que se puede afirmar de “x2 + 1”?

A. Es un número primo.B. Es un número impar.C. Es un número mayor que 2.D. Es un número menor que 2.

50. En la siguiente ecuación cuadrática:

P(x) = x2 – (2n + 5)x + n = 0; si una raíz excede a la otra en tres unidades. Si “x1”, “x2” son las raíces de la ecuación, calcular: (1 – x1)(3 – x2)(1 – x2)(3 – x1)

A. 6B. – 6

C. 8D. – 8

51. El cuadrado de la mitad de un número excede al triple de dicho número en 27. Halla el número.

A. 9B. 16

C. 18D. 20

52. Si un ladrillo pesa “x” gramos, dos ladrillos pesan (3a – 200) gramos y además cinco ladrillos pesan (6a + 400) gramos, ¿cuánto pesan 80 ladrillos?

A. 44 kgB. 48

C. 56D. 64

53. Acudí a una tienda de ropa con S/. 600. Si no hubiera comprado un pantalón que me costó S/. 80, tan solo hubiera gastado los 2/3 de lo que no hubiera gastado, ¿cuánto gasté?

A. S/. 200B. 320

C. 240D. 360

Trilce Católica

CicloCatólica

184

54. Dos personas tienen juntas un total de $ 5000. La primera persona pierde la cuarta parte de su dinero y la segunda persona pierde $ 800, resultando ambas personas con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto suma lo que han perdido ambos?

A. $1200B. 1300

C. 1400D. 1600

55. En un vivero se tiene la misma cantidad de girasoles de tipo “A” y de tipo “B”. Se observó que cada girasol de tipo “A” produce cinco semillas por día y cada girasol de tipo “B” produce tantas semillas como girasoles hay de tipo “B”. Si en cierto día se recogieron 300 semillas en total, ¿cuántos girasoles del tipo “A” hay en el vivero en dicho día?

A. 10B. 15

C. 20D. 25


A. 3 hB. 3,5

C. 2,5D. 4

57. En un examen cada pregunta bien contestada vale 4 puntos y la pregunta mal contestada resta 1 punto. De 120 preguntas, contesté mal la quinta parte de las que contesté bien. Si dejé de contestar 30 preguntas, ¿qué puntaje obtuve?

A. 260 puntosB. 285

C. 290D. 260

58. Pedro compró cuatro pares de medias negras y algunos pares de medias azules. El precio de las medias negras es dos veces el de las azules. Cuando recibió el pedido se dio con la sorpresa de que el número de pares de los dos colores había sido cambiado, lo cual aumentó la cuenta en un 50%. ¿Cuántos pares de medias azules pidió?

A. 12B. 14

C. 16D. 18

59. Al preguntarle a un postulante qué parte del examen ha resuelto, este responde: “He contestado los 4/5 de lo que no contesté, ¿qué parte del examen ha contestado?”

A. 5/9B. 1/5

C. 1/9D. 4/9

60. Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas: unas tienen 8 onzas y las otras, 15 onzas. Si el contenido total es 861 onzas, ¿cuántas latas de 8 onzas se compraron?

A. 42B. 35

C. 56D. 21

61. Ocho socios de un grupo de estudios deciden comprar un edificio aportando cada uno cantidades iguales. Al final dos personas se retiran y cada uno de los restantes tuvo que aportar $ 4000 adicionales. ¿Cuánto cuesta el edificio?

A. $ 108 000B. 96 000

C. 72 000D. 120 000

62. Cierto número de gorriones están volando y se posan en postes con travesaños. Cuando haya 6 gorriones en cada poste. Quedarán 4 gorriones volando; pero cuando en cada poste haya 8 gorriones, quedarán 4 postes libres. ¿Cuántos postes hay?

A. 16B. 18

C. 20D. 22

63. Una persona tiene “x” años y otra “z” años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la primera será “n” veces la edad de la segunda?

A. n

B. x – 7

C. x – zn

n

D. x – znn – 1

funciones

64. Se define la función “f” en: A = {2; 4; 6} donde:

f = {(2; 6); (4; a + 3); (b – 1; 6 ); (4; 4)}

Luego “a.b” es:

A. 5B. 6

C. 7D. 8

65. Si: a b = (a∇a)3

a + b ∧ x y =

x(y∇x)2

Calcular: 6 2

A. – 34

B. 34

C. – 43

D. 43

66. Si: P(P(x) – 1) = P(x – 2) + P(x + 1) + 1 y además P(2) = 1; hallar “P(3)”.

A. 1B. – 1

C. – 3D. – 2

67. Dado el siguiente cuadro de valores que satisfacen la ecuación: y = ax + b, calcula el valor de “y” cuando: x = 12.

x 2 4y 3 7

A. 15B. 17

C. 21D. 23

68. Sean “f” y “g” dos funciones tales que: f(x + 1) = x – a g(x – 1) = 2x + b

Si (2; 2) pertenece a ambas funciones, hallar: 3a – 2b.

A. – 5B. 5

C. – 11D. – 8

69. Sean “f” y “g” dos funciones definidas en , cuyas reglas de correspondencia son:

f(x) = mx + bg(x) = 2x + 1

Álgebra


Si: f(g(x)) = 4x – 1, hallar: “a + m”

A. – 3B. – 1

C. 1D. 2

70. Si: f(x) = mx + 8, m < 0, x ∈ [2; 4]

Ran(f) = [a; 2], halla “a + m”.

A. – 9B. – 7

C. – 4D. 7/2

71. La función: F(x) = x2 + px + q, con “p” y “q” mayores que cero tiene su valor mínimo cuando:

A. x = – p2

B. x = p2

C. x = – 2p

D. x = p2

4q

72. Dada la función F: [– 5; 3⟩ → , cuya regla de corres-pondencia es: F(x) = x2 – 2x – 13. Calcular la suma del máximo y el mínimo valor entero de la función.

A. 10B. 8

C. 7D. 5

73. El valor mínimo del trinomio: y = 2x2 + bx + p, ocurre para: x = 3. Sabiendo que uno de los valores de “x” que anulan ese trinomio es el doble del otro. Dar el valor de “p”.

A. 32B. 64

C. 16D. 128

74. La figura representa la gráfica de una función cuadrática con vértice: (3, – 2). Hallar el valor de: E = m2 + n2

m

(5, 6)

y

xn

A. 6B. 20

C. 14D. 18

75. Dada la gráfica de la función “g”:

y

–1 x3 5

2

4

Hallar “Dom(g) – Ran(g)”

A. ]– 1; 4]B. [1; 4]

C. ]– 1; 1[ ∪ ]4; 5]D. ]– 1; 1[ ∪ [4; 5[

76. Si: f: → es tal que f(x) = – 5x + 12, ¿por qué cua-drantes pasa la gráfica de “f”?


C. II y IVD. I y II

77. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 1) y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 2.

A. x + y = 1B. x – y = 2

C. x + y = 2D. y = x + 2

78. Dada la función “f” definida según:

f(x) = – 2x2 + 16x – 16, 1 ≤ x < 5

halla: Ran (f) – Dom (f)

A. [5; 16]B. [– 2; 1[ ∪ [5; 16]

C. [1; 16[D. [– 2; 5[

79. Si: f(x) = – 3x(x – 2) + 2; determinar su máximo o mínimo valor si es que lo hay.

A. – 1B. – 5

C. 5D. 2

80. De la función: f(x) = 5 – x + 3

Hallar el “Dom(f) ∩ Ran(f)”

A. [ 3; 5 ⟩B. [ 3; 5 ]

C. [ 3; + ∞ ⟩D. ⟨ – ∞; 5 ⟩

81. Calcular el rango de la siguiente función: F(x) = x – 1 – 4

A. ⟨– ∞; + ∞⟩B. [1; + ∞⟩

C. [– 4; + ∞⟩D. ⟨– ∞; – 4]

82. Dada la función: f(x) = 4

x2 + 2. Proporcionar: Df ∩ Rf

A. ⟨0; 2⟩B. ⟨0; 2]

C. ⟨0; 1/2⟩D. ⟨0; 1/2]

83. Hallar el rango de: g(x) = x2 + 3x2 + 6

A. y ∈ – {1}

B. y ∈ – {0}

C. y ∈ – – {– 3}

D. y ∈ [12

; 1⟩

84. Si el dominio de la función:

F(x) = x2 – 5x + 67x – x2 – 12

; es [a; b⟩ – {c}. Hallar: a + b + c

A. 6B. 7

C. 8D. 9

Preguntas: 85 – 87

OO Luego de “t” años de comprado un auto, su precio “P” es: P = 14 400 – 1200t (dólares)

85. ¿Cuál será su valor luego de 10 años?

A. $ 3000B. 2800

C. 2400D. 2500

Trilce Católica

CicloCatólica

186

86. ¿Luego de cuántos años costará $ 6000?

A. 7B. 6

C. 5D. 8

87. Después de dos años se compra otro auto idénti-co. ¿Luego de cuántos años de comprado el primer auto la suma de los precios de los dos autos será $ 16 800?

A. 5B. 6

C. 7D. 8

Tarea domiciliaria

88. Reducir: P = 8 – 2 15 + 17 – 2 60

¿Qué se puede afirmar del valor de: P2?

A. Es un número mayor que 2.B. Es un número menor que 2.C. Es un número par.D. Es un número irracional.

89. Reducir: M =

13 – 2 40 + 7 + 40 + 11 + 6 2

33 + 8 2 + 3 – 8 + 11 – 72

A. 2B. 3 2

C. 1D. 3 2 – 1

90. Efectuar: A = (2 – 3)2 + (2 2 – 3)2 + 2 2

A. 4 2 – 3 – 1B. – 2 2

C. 5 – 3D. – 3

91. Efectuar: B = (2 3 – 3 2)2 + (3 – 2 3)2 – 27 – 6 18

A. – 2B. – 1

C. 0D. 1

92. Calcular: “A + B + C”

7 – 29 + 25 + 27 + 4 6 = A B + C

A. 2B. 3

C. 5D. 7

93. Si: xyzw < 0; w2

x > 0 ∧ – 5yz

> 0

¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

A. y > 0B. z > 0

C. w > 0D. w < 0

94. Si: ab

> 1; entonces: b + ab – a

A. Es siempre positivo.B. Es siempre negativo.

C. Es igual a “a – 1”.D. Puede ser cero.

95. Ordena de mayor a menor, si: x ∈

P = 2x – 7

6; Q =

3x – 19

; R = x – 3

3A. PQRB. PRQ

C. QRPD. QPR

96. Sean “a” y “b” dos números reales; si se tiene las siguien-tes proposiciones:

I. Si: a 0 ⇒ a +

25a

≥ 10

III. Si: a < 0 ∧ ab < ac ⇒ c – b < 0

¿Cuáles de las proposiciones son verdaderas?

A. Solo IIB. Solo III

C. I ∧ IID. II ∧ III

97. Si: x ∈ 12;

32 ; además:

x + 5x – 2 ∈ [ m; n]. Calcular “mn”

A. 3/143B. 143

C. 143/3D. 13

98. Resolver: 2x – 1 < x + 1

2 < 5

A. ⟨– ∞; 1]B. ⟨– ∞; 9]

C. ⟨– ∞; 1⟩D. ⟨– ∞; – 1⟩

99. Un comerciante adquirió cierto número de artículos, de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad, al día siguiente le devolvieron 6, pero logró vender 36, después de lo cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos formaban el lote?

A. 139B. 140

C. 141D. 142

100. Resolver: x + 3x – 2

≥ 0; hallar el complemento del conjunto

solución.

A. [– 3; 2]B. ]– 3; 2]

C. [– 3; 2[D. ]– 3; 2[

101. Resolver, y señalar un intervalo: (3 – x)(2 + x)(4 – x)(5 + x) < 0

A. ⟨– ∞; 5⟩B. ⟨– 2; 3⟩

C. ⟨– 5, – 2⟩D. ⟨– 3; ∞⟩

102. Cuando una empresa produce “x” miles de artículos, su costo de producción es una relación lineal definida por: C(x) = 2x + 41. Si se venden los “x” miles de artículos, a un costo por unidad de “16 – x” dólares. ¿Cuántos artículos tengo que producir para obtener una ganancia máxima?

A. 7000B. 8000

C. 90 000D. 41 000

103. Si se sabe que para producir 185 ml de sulfato de sodio (Na2SO4) se necesita 320 ml de ácido sulfúrico (H2SO4). Además con 240 ml de H2SO4 se produce 165 ml de Na2SO4. Suponiendo que para producir sulfato de sodio, utilizando ácido sulfúrico, la relación es lineal. Encontrar una expresión que represente dicha relación.

A. y = 0,25x + 105B. y = 0,5x + 95

C. y = 0,25x + 95D. y = 0,5x + 105

Álgebra


Claves de Álgebra

Tarea nº 1

1. A2. B3. A4. C5. D6. C7. B8. C9. B10. D

11. A12. A13. A14. C15. B16. A17. B18. A19. D20. A

Tarea nº 2

1. D2. C3. C4. C5. A6. B7. C8. A9. C10. C

11. A12. A13. A14. B15. A16. B17. B18. A19. D20. B

Tarea nº 3

1. A2. B3. C4. C5. C6. B7. D8. A9. D10. D

11. C12. A13. B14. A15. D16. C17. D18. D19. D20. D

Tarea nº 4

1. D2. B3. D4. A5. C6. B7. D8. C9. C10. C

11. A12. D13. B14. C15. C16. B17. D18. A19. D20. B

Tarea nº 5

1. A2. C3. C4. D5. B6. A7. A8. C9. C10. C

11. D12. C13. C14. C15. C16. B17. A18. D19. A20. C

Tarea nº 6

1. C2. C3. C4. D5. A6. A7. C8. B9. B10. C

11. D12. D13. D14. B15. D16. D17. B18. B19. B20. D

Tarea nº 7

1. C2. B3. B4. C5. A6. C7. A8. A9. A10. C

11. C12. C13. D14. B15. D16. D17. C18. C19. D20. A

Tarea nº 8

1. *2. B3. D4. D5. A6. C7. A8. D9. A10. C

11. C12. C13. *14. D15. D16. C17. B18. C19. B20. A

Tarea nº 9

1. C2. D3. B4. D5. C6. C7. B8. B9. C10. C

11. C12. B13. C14. A15. A16. D17. D18. D19. C20. B

Tarea nº 10

1. C2. A3. C4. C5. C6. C7. D8. C9. C10. C

11. A12. B13. B14. A15. B16. B17. C18. A19. C20. C

Tarea nº 11

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11. D12. C13. A14. C15. D16. C17. C18. B19. C20. D

Tarea nº 12

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11. A12. D13. B14. C15. B16. D17. A18. A19. C20. D

Tarea nº 13

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11. C12. A13. D14. B15. D16. D17. A18. B19. C20. D

Tarea nº 14

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11. B12. D13. D14. A15. A16. C17. C18. C19. A20. B

Tarea nº 15

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Tarea nº 16

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11. D12. B13. C14. D15. A16. A17. C18. A19. B20. C

Tarea nº 17

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11. C12. D13. B14. A15. C16. D17. C18. B19. A20. C

Tarea nº 19

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11. C12. B13. B14. C15. B16. D17. B18. A19. B

Tarea nº 20

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11. C12. C13. C14. A15. D16. B17. C18. B19. A20. B

Trilce Católica

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9. A10. D11. B12. C13. A14. B15. C

Tarea nº 23

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11. A12. C13. B14. C15. D16. B17. A18. A19. D20. A

Tarea nº 24

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Tarea nº 25

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11. C12. A13. C14. B15. B16. B17. D18. C19. C20. A

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Tarea nº 27

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11. D12. B13. C14. C15. B16. D17. B18. C19. D

Tarea nº 28

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11. C12. A13. B14. B15. C16. D17. A18. D19. C20. D

Tarea nº 29

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9. C10. D11. D12. C13. B14. C15. C

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11. A12. B13. A14. B15. D16. D17. D18. B19. C20. B

Tarea nº 31

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11. B12. D13. C14. B15. B16. A17. C18. A19. A20. B

Tarea nº 32

1. B2. A3. D4. C5. C6. C7. D8. B9. B

10. A11. C12. B13. D14. D15. B16. B17. B18. B

19. B20. D21. C22. B23. B24. C25. A26. C27. B

Tarea nº 33

1. B2. A3. A4. A5. C6. C7. A8. C9. C10. C

11. B12. D13. C14. B15. B16. D17. D18. B19. C20. B

Tarea nº 34

1. A2. C3. C4. C5. D6. C7. B8. D

9. D10. C11. C12. C13. B14. C15. A16. A

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