Bijeenkomst  6    

7.4.1e      

Toon  aan  dat  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt  dat      1.  De  bewering  is  waar  voor  n  =  1  want  

                   2.  Kies  een  willekeurig  natuurlijk  getal  k  en  veronderstel  

     {Nu  te  bewijzen:                          }        

     Er  geldt  dat:  

       Uit  1.  en  2.  volgt  dat  de  bewering  waar  is  voor  alle  natuurlijke  getallen.                                                          

1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ n ⋅2n = 2 + (n −1)2n+1

1⋅21 = 2

2 + (k −1) ⋅2k+1 + (k +1) ⋅2k+1

= 2 + (1−1)21+1

1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ k ⋅2k = 2 + (k −1)2k+1

1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ k ⋅2k + (k +1) ⋅2k+1

= 2 + 2k+1 ⋅ (k −1+ k +1)

= 2 + 2k+1 ⋅ (2k)= 2 + k ⋅2k+1 ⋅2 = 2 + k ⋅2k+2

1 ⋅21 + 2 ⋅22 + 3 ⋅23 + ......+ k ⋅2k + (k +1) ⋅2k+1 = 2 + k ⋅2k+2

§7.5  Volledige  induc2e  en  rijen.    

§7.6  Ladenprincipe    

     

 

                             

Ik  vroeg  me  opeens  af:  hoeveel  haren  heeH  een  mens  eigenlijk  op  zijn  hoofd?  Even  zoeken  op  internet  leverde  snel  een  antwoord  op.  Het  hangt  een  beetje  af  van  je  haarkleur,  maar  gemiddeld  ligt  het  aantal  haren  op  een  hoofd  rond  de  100  duizend.  Roodharigen  hebben  de  minste  haren,  ongeveer  90  duizend,  en  blonde  mensen  de  meeste,  ongeveer  150  duizend.    

Dat  betekent  dat  in  een  stad  als  Amsterdam,  waar  iets  meer  dan  750  duizend  mensen  wonen,  in  ieder  geval  twee  mensen  wonen  met  precies  evenveel  haren  op  hun  hoofd!    

Dat  kun  je  laten  zien  met  een  wiskundig  principe  dat  het  ladenprincipe  heet.  

   

     

 

                             

Het  ladenprincipe  zegt  het  volgende.  Als  je  Ten  laden  hebt  en  je  stopt  elf  balletjes  in  die  laden,  dan  is  er  alTjd  minstens  één  la  waarin  meer  dan  één  balletje  zit,  hoe  je  de  balletjes  ook  over  de  laden  verdeelt.  In  het  algemeen:  als  je  n  laden  hebt,  en  je  verdeelt  n+1  of  meer  balletjes  over  die  n  laden,  dan  is  er  minstens  één  la  met  meer  dan  één  balletje.    Dat  klinkt  tamelijk  voor  de  hand  liggend,  en  dat  is  het  ook,  maar  toch  is  het  soms  nuWg  als  je  voor  de  laden  en  de  balletjes  handige  vertalingen  kiest.    

Laten  we  aannemen  dat  het  maximale  aantal  haren  op  een  hoofd  200  duizend  is,  wat  een  beetje  aan  de  hoge  kant  is,  maar  dat  geeH  niet.  Dus  de  mogelijke  aantallen  haren  die  een  mens  kan  hebben  zijn  0,  1,  2,  …,  200  duizend.  

Nu  bekijken  we  de  iets  meer  dan  750  duizend  inwoners  van  Amsterdam.  Die  kunnen  we  verdelen  over  deze  mogelijke  aantallen  haren:  elke  inwoner  wordt  gekoppeld  aan  het  aantal  haren  op  zijn  hoofd.  OHewel:  de  inwoners  van  Amsterdam  corresponderen  met  de  balletjes,  en  de  mogelijke  aantallen  haren  die  een  mens  kan  hebben  corresponderen  met  de  (labels  van  de)  laden.  

   

     

 

                             

Omdat  er  meer  inwoners  zijn  dan  mogelijke  aantallen  haren,  zijn  er  minstens  twee  inwoners  met  precies  evenveel  haren  op  hun  hoofd.  

In  dit  geval  zijn  er  trouwens  zoveel  meer  balletjes  dan  laden  dat  we  zelfs  kunnen  concluderen  dat  er  minstens  drie  inwoners  zijn  met  evenveel  haren  op  hun  hoofd.  

Hieruit  volgt  natuurlijk  niet  dat  er  in  Amsterdam  zeker  iemand  woont  met  evenveel  haren  op  zijn  hoofd  als  u!  En  ook  zijn  het  niet  perse  steeds  dezelfde  mensen  die  evenveel  haren  op  hun  hoofd  hebben:  het  aantal  haren  op  een  hoofd  verandert  als  er  haren  uitvallen.  Maar  wel  weten  we  zeker  dat  er  op  elk  moment  drie  Amsterdammers  zijn  met  precies  evenveel  haren,  al  weten  we  niet  wie  dat  zijn.    

§7.6  Ladenprincipe    

     Ladenprincipe.  Als  je  m  knikkers  verdeelt  over  n  laden  en  als  m  >  n,  dan  komt  er  in  minstens  één  lade  méér  dan  één  knikker  terecht.        Bewijs  uit  het  ongerijmde.  Veronderstel  van  niet,  dus  stel  dat  er  in  geen  enkele  lade  meer  dan  één  knikker  terecht  komt.  In  dat  geval  maximaal  n  knikkers,  terwijl  m  >  n  

                             

Toon  aan  dat  in  een  groep  van  15  personen  er  alTjd  of  minstens  twee  mannen  of  minstens  twee  vrouwen  op  dezelfde  dag  van  de  week  jarig  zijn.  Stel  we  maken  lades  met  als  labels  de  dagen  van  de  week.  Er  zijn  dan  dus  7  lades.  [ma],  [di],  ….  [zo]    Aan  te  tonen  dat  er  in  een  lade  tenminste  twee  mannen  of  twee  vrouwen  komen.      Wanneer  we  15  mensen  verdelen  over  7  lades  is  er  een  lade  met  tenminste  3  personen.  Dat  zijn  of  twee  mannen  en  een  vrouw,  of  juist  andersom,  twee  vrouwen  en  één  man  (of  drie  mannen  of  vrouwen)  Er  zifen  dus  tenminste  twee  personen  van  hetzelfde  geslacht  in  een  zelfde  lade.  Het  zijn  dus  die  twee  personen  die  op  dezelfde  dag  van  de  week  jarig  zijn.      

Stel  we  maken  de  volgende  lades    Type:  lade  met  het  label  ‘MAN’    Type:  lade  met  label  ‘VROUW’      Omdat  de  groepsgroofe  15  mensen  is,  zijn  er  of  minstens  8  mannen  of  minstens  8  vrouwen.  We  nemen  aan  dat  er  acht  mannen  (en  dus  7  vrouwen)  zijn.  Dus  de  lade  MAN  bevat  8  exemplaren.    Ieder  is  op  een  zekere  dag  van  de  week  jarig.  Zo  ook  de  acht  mannen.  Er  zijn  echter  maar  zeven  dagen  in  de  week.          

Ladenprincipe  Hoe  zit  dat  nu?  Of  ….  bestaat  er  zoiets  als  een  stappenplan?    Aandachtspunten:  •  Zorg  voor  minder  lades  dan  knikkers!  •  Kies  als  label  voor  een  lade  juist  die  elementen  die  voldoen  aan  de  

 voorwaarde.  •  Stop  knikkers  in  de  lades  (of  haal  in  gedachten  de  elementen  eruit!)  en  

 constateer  dat  je  meerdere  malen  met  één  en  dezelfde  lade  moet  werken.  •  Noteer  eTkefen/labels  van  de  verschillende  lades.  Gebruik  woorden  om  

je  redenering  uit  te  leggen.          

   

   Wanneer  je  juist  probeert  te  voorkomen  dat  je  twee  getallen  neemt  waarvan  de  som  gelijk  is  aan  26,  constateer  je  dat  dit  onmogelijk  is.  Er  zijn  namelijk  12  paren  waarvan  de  som  26  is.  Naast  deze  12  tweetallen  is  er  ook  nog  het  getal  13.    Dus:  13  lades    [1,25],    [2,24]    ….    [12,14]    en    [13]      Omdat  je  14  getallen  uit  13  lades  moet  kiezen,  kun  je  niet  voorkomen  dat  je  uit  één  en  dezelfde  lade  twee  getallen  neemt.  Het  zijn  juist  deze  twee  getallen  die  voldoen  aan:  som  =  26.          

                             

7.6.5    Toon  aan:  als  25  mensen  gaan  zifen  in  een  rij  met  30  stoelen,  dan  raken  er    

ergens  minstens  5  stoelen  naast  elkaar  bezet.    Verkenning:    Probeer  te  voorkomen  dat  wanneer  er  30  stoelen  beschikbaar  zijn  voor  25  mensen,  er  tenminste  vijf  stoelen  naast  elkaar  bezet  raken.  Deze  verkenning  geeH  een  idee  voor  de  eTkefen  van  de  lades.    Je  kiest  voor  de  labels:    [1,2,3,4,5]  

               [6,7,8,9,10]                  [11,12,13,14,15]                  [16,17,18,19,20]                        [21,22,23,24,25]                  [26,27,28,29,30]  

 Nu  ga  je  25  ‘knikkers’  verdelen.  Je  kunt  er  24  kwijt.  De  25ste  knikker  maakt  dat  een  lade  vol  zit.  En  dus  tenminste  vijf  stoelen  naast  elkaar  bezet.        

                             

7.6.9    

Toon  aan:  Als  je  16  verschillende  getallen  kiest  uit  de  verzameling    dan  zifen  daar  minstens  twee  getallen  tussen  waarvan  de  één  een  deler  is  van  de  andere.    Maak  bijvoorbeeld  de  volgende  15  lades:  [30,  15,  5]      [23]        [16,  8,  4,  1]  [29]          [22,  11]  [28,  14,  7]      [21]  [27]          [20,  10]  [26,  13]        [19]  [25]          [18,  9,  3]  [24,  12,  6,  2]      [17]  Zorg  ervoor  dat  in  een  lade  enkel  elementen  zifen  waarvan  de  één  deler  is  van  de  ander!  Dus  het  cijfer  4  mag  niet  in  de  lade  [24,  12,  6,  4]  Wanneer  je  16  getallen  uit  de  verzameling  moet  kiezen,  komen  er  dus  tenminste  twee  uit  één  en  dezelfde  lade.        

                             

1,2,3,4, ........., 30{ }

7.6.8    

Toon  aan:  als  je  vijf  roosterpunten  tekent  in  een  assenstelsel,  dan  zijn  er  alTjd  twee  punten  P  en  Q  bij  waarvoor  geldt  dat  het  midden  van  het  lijnstuk  PQ  weer  een  roosterpunt  is.    Als  je  een  roosterpunt  R  tekent,  kunnen  zich  de  volgende  vier  situaTes  zich  voordoen:        

 Wanneer  je  nu  vijf  punten  tekent,  zijn  daar  minstens  twee  punten  (Zeg:  P  en  Q)  bij  uit  dezelfde  categorie  (lade).    Voor  deze  beide  punten  geldt  dat  het  midden  van  het  bijbehorende  lijnstuk  een  roosterpunt  is,  want  de  som  van  de  x-­‐coördinaten  is  even  en  de  som  van  de  y-­‐coördinaten  is  even.                        

xR   yR  Even   Even  

Even   Oneven  

Oneven   Even  

Oneven   Oneven