Bijeenkomst  8    

§5.3  Rekenregels  

‘Optellen  met  modulo’:  Als            en        Dan      ‘Vermenigvuldigen  met  modulo’:  Als            en      Dan      Uitbreiding  vermenigvuldigingsregel:  Als                Dan            en                              

m ≡ k(modn) a ≡ b(modn)m + a ≡ (k + b)(modn)

m ≡ k(modn) a ≡ b(modn)m ⋅a ≡ (k ⋅b)(modn)

m ≡ k(modn)cm ≡ ck(modn) mc ≡ kc (modn)

               5.3.9      Toon  aan  dat  het  product  van  vijf  opeenvolgende  gehele  getallen  alGjd  deelbaar  is  door  5.  Dus  laat  zien  dat:                      deelbaar  is  door  5    

           Bewijs.  Kies  een  willekeurig  getal  m.    Omdat  we  deelbaarheid  door  5  onderzoeken  zijn  er  vijf  mogelijkheden:  1.    2.  3.  4.  5.    In  alle  gevallen  ontstaat  na  subsGtuGe  een  5-­‐voud.    Of:  In  alle  gevallen  geldt                    

m(m +1)(m + 2)(m + 3)(m + 4)

m ≡ 0(mod5)m ≡ 1(mod5)m ≡ 2(mod5)m ≡ 3(mod5)m ≡ 4(mod5)

m(m +1)(m + 2)(m + 3)(m + 4) ≡ 0(mod5)

               5.3.10      Toon  aan  dat  voor  alle  gehele  getallen  m  en  voor  alle  natuurlijke  getallen  n  geldt  dat          deelbaar  is  door  m.    Bewijs:  Na  uitwerken  van          vind  je  de  som  van  n  termen  die  allen  de  factor  m in  zich  hebben.        Dus  geldt:            is  deelbaar  door  m Anders:                  

(3m +1)n −1

(3m +1)n −1

(3m +1)n −1

3m +1≡ 1(modm)(3m +1)n −1≡ 1n −1≡ 0(modm)

               5.3.11      Er  bestaat  geen  geheel  getal  m  waarvoor  geldt  dat        deelbaar  is  door  7.    Bewijs:  Beschouw  alle  gehele  getallen  m.    Bij  deelbaarheid  door  7  zijn  er  zeven  restklassen.  1.  Getallen  m  waarvoor  geldt:    2.  Alle  getallen  die  na  deling  door  7  rest  1  geven:    3.  4.  etc.      Na  subsGtuGe  van  de  representanten  in        krijg  je  geen  enkele  keer  rest  0.  Kijk  maar:                        

m2 − 3

m2 − 3

m ≡ 0(mod7)m ≡ 1(mod7)

m ≡ 2(mod7)

Dus  in  geen  van  de  gevallen  iets  van  de  vorm:   ............ ≡ 0(mod7)