Bijeenkomst  4    

Andere  bijzondere  natuurlijke  getallen  

Vierkantsgetallen.                  In  formule:              Vn = n

2

Andere  bijzondere  getallen  Rechthoeksgetallen.                  In  formule:    

   

Rn = n(n +1)

Andere  bijzondere  getallen  Driehoeksgetallen.                  In  formule:    

   

Dn = (1+ 2 + 3+ 4.......+ n) = 12 n(n +1)

               Bewijs  :  Het  verschil  tussen  twee  opeenvolgende  rechthoeksgetallen  is  even.  

Dus,    Kies  willekeurig  twee  opeenvolgende  rechthoeksgetallen  en          laat  zien  dat  het  verschil  v  even  is.        Dus  dat    

 Neem  twee  opeenvolgende  rechthoeksgetallen            en        Bekijk  het  verschil  tussen twee opeenvolgende rechthoeksgetallen dus  bekijk        

v = Rn+1 − Rn

Rn+1 Rn

Rn+1 − Rn =(n +1)(n + 2)− n(n +1) =(n +1) ⋅2 =2k k is geheel.

∃k ∈ v = 2k

Bewijs  :  Ieder  even  getal  dat  groter  is  dan  2  is  te  schrijven  als  het  verschil  tussen  twee  opeenvolgende  rechthoeksgetallen.  

Dus,    Kies  een  willekeurig  even  getal  m > 2  en          laat  zien  dat  het  verschil  van  twee  opeenvolgende  rechthoeksgetallen  te        schrijven  is  als  dit  getal  m.  

Bewijs:      m  is  even  en  m  >  2  dus    

       Bekijk  het  verschil  tussen  twee  opeenvolgende  rechthoeksgetallen  dus  bekijk        

Rn+1 − Rn =(n +1)(n + 2)− n(n +1) =n2 + 3n + 2 − n2 − n =2n + 2 =2(n +1) = 2k = m

∃k >1∈ m = 2k

                   Het  verschil  van  twee  opeenvolgende  vierkantsgetallen  is  oneven.                Ieder  natuurlijk  getal  dat  groter  is  dan  1  is  te  schrijven  als  het  verschil  van  twee  opeenvolgende  driehoeksgetallen.  Kies  een  willekeurig  natuurlijk  getal  m  >  1.  Dus                  

Vn+1 −Vn =(n +1)2 − n2 = n2 + 2n +1− n2 = 2n +1

Dn+1 −Dn =(1+ 2 + ..... + n + n +1)− (1+ 2 + ... + n) = n +1= m

                   Ieder  kwadraat  vanaf  1  is  te  schrijven  als  de  som  van  twee  opeenvolgende  driehoeksgetallen.    Telkens  dezelfde  strategie:  •  Kijk  naar  de  premisse  (=  dat  wat  je  als  waar  mag  aannemen)  •  ‘Vertaal’  de  premisse  mbv  de  bekende  definiNes  •  Probeer  de  logische  consequenNes  te  benoemen  •  Werk  toe  naar  dat  wat  bewezen  moet  worden  (definiNe!)      Kies  een  willekeurig  kwadraat  k dus   k = w2        

Andere  bijzondere  getallen    Supervierkantsgetallen.                  In  formule:  ……………………………………..    

Andere  bijzondere  getallen