รากที่ n ของจำนวนจริง - Geocities.ws · Web viewสำหร...

หน้า 1 โดย ครูพฒันา พลวนั

ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม 1. เลขยกกำ�ลังท่ีมเีลขชีก้ำ�ลังเป็นจำ�นวนตรรกยะ

สำาหรบัแต่ละค่าของเลขชีก้ำาลัง x ท่ีม ี ax เป็นจำานวนจรงิ จะมค่ีา ax ค่าเดียวเสมอ นัน่คือ

เมื่อ x และ y เป็นจำานวนเต็มซึ่ง x = y และม ี ax จะได้ ax = ay

ในกรณีท่ี x ,y เป็นจำานวนตรรกยะเรายงัคงต้องการใหม้สีมบติัตามน้ีด้วย จงึถือเป็นขอ้ตกลงเบื้องต้นสำาหรบัใชต่้อไป

สำาหรบัเลขยกกำาลังที่มเีลขชีก้ำาลังเป็นจำานวนตรรกยะที่จะกล่าวต่อไปน้ี จะให้นิยามของเลขยกกำาลัง โดยอาศัยความหมายของรากท่ี n ของ a เมื่อ a เป็นจำานวนจรงิ ซึ่งก่อนจะกล่าวถึงเลขยกกำาลังท่ีมเีลขชีก้ำาลังเป็นจำานวนตรรกยะใดๆ จะใหบ้ทนิยามเลขยกกำาลังท่ีมเีลขชีก้ำาลังเป็น เมื่อ n เป็นจำานวนเต็มบวกก่อนดังน้ี บทนิย�ม เมื่อ a เป็นจำานวนจรงิ n เป็นจำานวนเต็มท่ีมากกวา่ 1 และ a มรีากที่ n แล้ว

บทนิย�ม ให ้ a เป็นจำานวนจรงิ p , q เป็นจำานวนเต็มท่ี (p,q) = 1 , q > 0 และ โดยเมื่อ p < 0 แล้ว a ต้องไมเ่ป็น 0

ทฤษฎีบทท่ี 1 ถ้า a เป็นจำานวนจรงิท่ีมรีากท่ี q และ p เป็นจำานวนเต็ม ท่ีทำาให ้ ap เป็นจำานวนจรงิ จะได้ ap

มรีากที่ q

เฉลยแบบฝึกหดั เลขยกกำาลัง โดย ครูพัฒนา พลวนั โรงเรยีนประโคนชยัพทิยาคม สพท. บร.2


ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม

ทฤษฎีบทท่ี 2 ถ้า m , n เป็นจำานวนตรรกยะ และ a เป็นจำานวนจรงิท่ีทำาให ้ am และ an เป็นจำานวนจรงิแล้ว

ทฤษฎีบทท่ี 3 ถ้า m , n เป็นจำานวนตรรกยะ และ a เป็นจำานวนจรงิท่ีทำาให ้am และ an เป็นจำานวนจรงิแล้ว

(am)n = amn ทฤษฎีบทท่ี 4 ถ้า n เป็นจำานวนตรรกยะ และ a , b เป็นจำานวนจรงิท่ีทำาให ้ an และ bn เป็นจำานวนจรงิแล้ว

(ab)n = anbn

ทฤษฎีบทท่ี 5 ถ้า n เป็นจำานวนตรรกยะ และ a , b เป็นจำานวนจรงิท่ีทำาให ้ an และ bn เป็นจำานวนจรงิ

และ b 0 แล้ว

ทฤษฎีบทท่ี 6 ให ้ m, n เป็นจำานวนตรรกยะและ a เป็นจำานวนจรงิท่ีไม่เท่ากับ 0 ซึ่งทำาให ้ am และ an

เป็นจำานวนจรงิแล้ว

ตัวอย�่งท่ี 1 จงทำา เป็นรูปอยา่งง่าย

เฉลยแบบฝึกหดั เลขยกกำาลัง โดย ครูพฒันา พลวนั โรงเรยีนประโคนชยัพทิยาคม สพท. บร.2


ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม วธิทีำ� =

= = = ตอบ

ตัวอย�่งท่ี 2 จงทำา เป็นรูปอยา่งง่าย เมื่อ x > 0 , y > 0

วธิทีำ� =

=

=

=

= ตอบ

ตัวอย�่งท่ี 3 จงทำาใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย

วธิทีำ� = = = = ตอบ




ตัวอย�่งท่ี 4 จงทำาใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย


=

=

= = 4 ตอบ

แบบฝึกหัด ท่ี 1

1. จงทำาใหเ้ป็นรูปอยา่งง่ายและมเีลขชีก้ำาลังเป็นบวก1.1 วธิทีำา =

= = 2-1

=

1.2วธิทีำา =

==



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม = 7-1 . 35

=

2. ถ้า x > 0 , x 0 , m และ n เป็นจำานวนเต็มบวก จงพจิารณาขอ้ความต่อไปนี้วา่จรงิหรอืเท็จ.....F.......2.1 …T…. 2.2 …T……. 2.3 ….F……. 2.4 ….F……. 2.5 ถ้า แล้ว เป็นอินเวอรส์การคณูของ

….F……. 2.6 ถ้า จะได้ m – n – p = 0

3. จงหาค่าของจำานวนต่อไปน้ื

3.1 วธิทีำา =

==

3.2




วธิทีำา ===

3.3

วธิทีำา =

=

===

3.4


=

= 3.5





=

=

=

=

= =

2. ร�กท่ี n ของจำ�นวนจรงิ

บทนิย�ม ให ้x , y เป็นจำานวนจรงิ และ n เป็นจำานวนเต็มบวกที่มากกวา่ 1 y เป็นรากท่ี n ของ x ก็ต่อเมื่อ yn = x

รากท่ี n ของ x แยกพจิารณาตามจำานวนเต็มบวก n วา่ เป็นจำานวนคู่หรอืจำานวนค่ี และเปรยีบเทียบกันได้ ดังน้ี

n เป็นจำ�นวนคู่ n เป็นจำ�วนค่ี1. รากท่ี n ของ x จะหาค่าได้ก็ต่อ 1. รากท่ี n ของ x จะหาค่าได้เสมอ



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม เมื่อ x 0 เท่านัน้2. ถ้า x = 0 แล้วรากท่ี n ของ x คือ 03. ถ้า x > 0 แล้วรากท่ี n ของ x จะม ี2 จำานวน จำานวนหน่ึงเป็นบวก และอีกจำานวนหน่ึงเป็นลบ4. ถ้า x < 0 แล้ว ไมส่ามารถหารากท่ี n ของ x ได้ ในระบบจำานวนจรงิ

สำาหรบัจำานวนจรงิ ทกุจำานวน2. ถ้า x = 0 แล้วรากท่ี n ของ x คือ 03. ถ้า x > 0 แล้ว รากที่ n ของ x จะมเีพยีงจำานวนเดียว และเป็นจำานวนจรงิบวก4. ถ้า x < 0 แล้ว รากที่ n ของ x จะมเีพยีงจำานวนเดียว และเป็นจำานวนลบ

ตัวอย�่งท่ี 5 (1) รากท่ี 4 ของ 16 คือ 2 และ -2 เพราะวา่ 24 =

16 และ (-2)4 = 16(2) รากท่ี 3 ของ - 343 คือ -7 เพราะวา่ (-7)3

= - 343 (3) รากท่ี 5 ของ 243 คือ 3 เพราะวา่ 35 =

243(4) รากท่ี 6 ของ 0 คือ 0 เพราะวา่ 05 =

0(5) รากท่ี 7 ของ 5 คือ เพราะวา่ = 5(6) รากท่ี 4 ของ - 81 ในระบบจำานวนจรงิ ไมม่ี(7) 3 เป็นรากท่ี 4 ของ 81 เพราะวา่ 34 = 81(8) รากท่ี 3 ของ -7 คือ หรอื -

ค่�หลักของร�กท่ี n



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม บทนิย�ม ให ้ x เป็นจำานวนจรงิท่ีมรีากท่ี n จำานวนจรงิ y จะมค่ีาหลักของรากท่ี n ของ x ต่อเมื่อ

1. y เป็นรากท่ี n ของ x2. yx 0

แทนค่าหลักของรากท่ี n ของ x ด้วย

สมบติัของร�กท่ี n

ทฤษฎีบทท่ี 1 ถ้า x และ y มรีากที่ n แล้ว

ทฤษฎีบทท่ี 2 ถ้า x และ y มีรากท่ี n และ y 0 แล้ว

หม�ยเหต ุ 1. ถ้า x < 0 และ y < 0 ตามทฤษฎีบท จะเป็นจรงิก็ต่อเมื่อ n เป็นจำานวนค่ีบวกเท่านัน้

2. ถ้า , n เป็นจำานวนเต็มท่ีมากกวา่ 1 ก. เมื่อ n เป็นจำานวนคู่

ข. เมื่อ n เป็นจำานวนค่ีเชน่

3. ก�รบวกและก�รลบของจำ�นวนท่ีติดกรณฑ์



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม ตัวอย�่งท่ี 6 จงหาค่าของ วธิทีำ� =

= = (2 + 3 – 1 )= ตอบ

ให้ทำ�เองท่ี 1 จงหาค่าของ

วธิทีำ� = = == 0

ตอบ 0


วธิทีำ� = + - + = + - + = +

ตอบ +


วธิทีำ� = + + - = + + - =



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม ตอบ

4. ก�รห�ผลคณูและผลห�รของกรณฑ์ในการหาผลคณูและผลหารของกรณฑ์ถ้าอันดับของกรณฑ์ไมเ่ท่ากันต้อง

ทำาใหอั้นดับกรณฑ์เท่ากันเสยีก่อนจงึคณูหรอืหารกันได้ และใชท้ฤษฎีของกรณ์เมื่อ x > 0 และ y > 0 ดังน้ี

1. และ

2. และ

ตัวอย�่งท่ี 7 1. 2.

ตัวอย�่งท่ี 8 จงทำาใหเ้ป็นผลสำาเรจ็ วธิทีำ� เน่ืองจาก

ให ้ จะได้ =

ตอบ

ตัวอย�่งท่ี 9 จงหาค่าของ วธิทีำ� = (

= ตอบ

ตัวอย�่งท่ี 10 จงหาค่าของ วธิทีำ� = + + +

= + = + ตอบ






1. จงทำาจำานวนต่อไปน้ีใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย1.1


=


=

= -1

1.3



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม วธิทีำา =

= 2y2


=

2. จงเขยีนจำานวนต่อไปน้ีในรูปสว่นไมติ่ดกรณฑ์2.1วธิทีำา =

=

=

=


=




=


=

=

=

3. จงทำาผลคณูต่อไปน้ีใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย


=

=




= 2a3.2


=

=

3.3


=

= 27


=

=

= 64. จงทำาใหเ้ป็นผลสำาเรจ็





=

=

=


=

=


= 3 - 2

= 14.4


=

=

4.5





= 12 - 7

= 5ตัวอย�่งท่ี 11 จงทำาใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย วธิทีำ� =

=== ตอบ

ตัวอย�่ง 12 จงหาค่าของ วธิทีำ� =

=

=

=

=

= ตอบ

ตัวอย�่งท่ี 13 จงทำา ใหตั้วสว่นอยูใ่นรูปไมติ่ดกรณฑ์





=

= ตอบ

ตัวอย�่งท่ี 14 จงหาร ด้วย


=

=

=

=

=

= ตอบ


1. จงทำาใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย1.1วธิทีำา =

=

=




= 32

= 9


= 2-1

=


= 0.32

= 0.9


=

=

=

1.5 ..





=


=

=

1.7


=

=

=

=




1.8


=

====


=

=


=เฉลยแบบฝึกหดั เลขยกกำาลัง โดย ครูพฒันา พลวนั โรงเรยีนประโคนชยั

พทิยาคม สพท. บร.2



=

2. จงทำาใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย2.1


=

==


====


==





== 0

3. จงเขยีนจำานวนต่อไปน้ีใหตั้วสว่นอยูใ่นรูปท่ีสว่นไมติ่ดกรณฑ์


=

=


=

=

==

3.3





=

=

4. จงทำาใหอ้ยูใ่นรูปอยา่งง่าย4.1 วธิทีำา =

=

== 4


=

=

5. จงหาค่ากำาลังสองของจำานวนต่อไปน้ี5.1





==


==

6. กำาหนดให ้ , และ

จงหาค่าประมาณของจำานวนต่อไปน้ีใหถ้กูต้องถึงตำาแหน่งท่ี 4


=

=

= 0.5620




6.2


=

== 83 + 34 (1.73205) 117.8844

63. วธิทีำา =

=

==

0.5620




แนวขอ้สอบเข�้มห�วทิย�ลัย

1. ถ้า

แล้วละก็ ค่าของ – 4xy + จะมค่ีาเท่ากับ ก. –2 ข. –4 ค. –6 ง. 30 จ. 342. รูปอยา่งง่าย และมเีลขชีก้ำาลังเป็นบวกของค่าต่อไปนี้ เป็นเท่าใด

ก. ข. 4 ค. 1 ง.

จ.



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม 3. ค่าของ y ของสมการ

มค่ีาเท่ากับค่า y ของ สมการขอ้ใดขา้งล่างนี้

ก. 2y + 5 = 35 ข. 3y + 2 = 14 ค. 4y + 3 = 39 ง. 2y – 5 = 35จ. –2y – 7 = 1

4. ค่า x ท่ีทำาใหส้มการ = 243 เป็นจรงิ คือค่า x ท่ีได้จากสมการ ก. ข.

ค.

ง. จ.

5. ถ้า a เป็นจำานวนจรงิบวก และ m , n , p เป็นจำานวนเต็มบวก แล้วขอ้ความในขอ้ใดต่อไปน้ีเป็นจรงิ

1.

2. ถ้า แล้ว m – n – p = 03. ถ้า = 0 แล้ว m เป็นอินเวอรส์การคณูของ n




4. ถ้า แล้ว เป็นอินเวอรส์การคณูของ

6. ค่า x ของสมการ = อยูใ่นชว่งใด

1. [0 , 2] 2. [3 , 5] 3. [6 , 8] 4. [9 , 11]

7. เซตคำาตอบของอสมการ เท่ากับเซตคำา

ตอบของอสมการในขอ้ใดต่อไปน้ี

1. 2.

3. 4. + 3x – 4 0

8. ค่า x ท่ีสอดคล้องกับสมการ

อยูใ่นชว่งใดต่อไป

น้ี

1. [–2 , 2. 3. 4.

9. ถ้า แล้วเซต B เป็นชว่งใดในขอ้ใดต่อไปน้ีท่ีทำาให ้

1. (–2 , –1) 2. (–1 , 0) 3. (0 , 1) 4. (1 , 2)10. เซตคำาตอบของอสมการ เป็นสบัเซตของเซตในขอ้ใดต่อไปน้ี



ร.ร.ประโคนชยัพทิยาคม 1. (1 , ) 2. (–2 , 100) 3. (–10 , 10) 4. (– , 2)11. เซตคำาตอบของสมการ + = เป็นสบัเซตในขอ้ใดต่อไปน้ี 1. [–4 , 0] 2. [–3 , 1] 3. [–2 , 2] 4. [1 , 3]


รากที่ n ของจำนวนจริง - Geocities.ws · Web viewสำหร...

Documents

Transcript of รากที่ n ของจำนวนจริง - Geocities.ws · Web viewสำหร...