� � �� � ��� � � � � � �� � �� �� � � �

29-1 Wisselstroom Generatoren

cosm NBAφ θ=Roteer de spoel met hoekfrequentie ω

tθ ω δ= +

cos( ) cos(2 )m NBA t NBA ftφ ω δ π δ= + = +

cos( ) sin( )md dEMF NBA t NBA t

dt dt

φ ω δ ω ω δ= − = − + = + +Vpeaksin( )peakV V tω δ= +

We kunnen ook V(t) aanbrengen motor

29-2 Wisselstroom in een weerstand, sin( )R R peakV EMF V tω δ= = +

Kies δ=π/2

, ,sin( ) cos2R R peak R peakV V t V tπω ω= + =

Er geldt V=IR en dus

, cos cosR peakpeak

VI t I t

Rω ω= =

2 2 2cospeakP I R I R tω= =

Vermogen:

RMS waarden2 2 2cospeakP I R I R tω= =

Definitie:

10.707

2rms peak peakI I I= ≈

20 0

020 0

1 1 1

2 2

T T

av

I I TI Idt tdt I

T T T T= = = =� �

2 2 32 2 20 0

030 0

1 1 1( )

3 3

T T

av

I I TI I dt t dt I

T T T T� �= = = =� �� �

� �

2 0( )3

rms av

II I= =

29-3 AC circuits

, cosL L peak

dIV L V t

dtω= =

, cosL peakVdI tdt

Lω=

, ,cos sinL peak L peakV VI tdt t C

L Lω ω

ω= = +�

Ipeak

Stroom en spanning zijn 90o uit fase!

cos2peakI I tπω� �= −� �

� �

, ,L peak L peakpeak

L

V VI

L Xω= =

Inductieve reactantie

Capacitieve reactantie

, cosC C peak

QV V t

Cω= =

, cosC C peakQ V C V C tω= =

, sin sinC peak peak

dQI V C t I t

dtω ω ω= = − = −

, sin cos2C peak peakI CV t I tπω ω ω� �= − = +� �

� �

Stroom en spanning zijn 90o uit fase!

, ,, 1/( )

C peak C peakpeak C peak

C

V VI CV

C Xω

ω= = =

Capacitieve reactantie

29.4 PhasorsPhasor is een 2D vector, waarmee wede faserelaties tussen stroom en spanningkunnen representeren

( )cos cospeak peakI I I tθ ω δ= = −

Spanningsval over een weerstand

( )cosR peakV IR I R tω δ= = −

De vectoren roteren tegen de klok inmet hoekfrequentie ω. De spanningsvalop elk tijdstip wordt door de x-componentvan de bijbehorende phasor gegeven.

RLC serieschakeling:

ELI the ICE man

29-5 LC circuit zonder een generatorNa sluiten van de schakelaar:

dQI

dt= +

Regel van Kirchhoff levert2

20 0

dI Q d Q QL L

dt C dt C+ = � + =

Dit heeft als oplossing cos( )Q A tω δ= − met1

LCω =

De stroom is dan sin( )dQ

I A tdt

ω ω δ= = − −

We kiezen Q=Qpeak en I=0 voor t=0. Dan is δ=0 en A=Qpeak

Dan geldt cospeakQ Q tω= sin sinpeak peakI Q t I tω ω ω= − = −en

LC circuit en energieEnergie in condensator

2221 1 1

cos2 2 2

peake C

QQU QV t

C Cω= = =

Energie in spoel2

2 2 2 2 21 1 1sin sin

2 2 2peak

m peak

QU LI L Q t t

Cω ω ω= = =

Energie oscilleert tussen magnetische en elektrostatische energie

Totale energie

2 2 22 21 1 1

cos sin2 2 2

peak peak peake m

Q Q QU U U t t

C C Cω ω= + = + =

RLC circuits zonder een generatorKirchhoff levert

0dI Q

L IRdt C

+ + =

ook2

20

d Q dQ QL R

dt dt C+ + =

Als R klein, 0 1/ LCω ≈Dissipatieve term

29.6 RLC circuits met een generator

, cosapp app peakV V tω=Generator levert

, cos 0app peak

dI QV t L IR

dt Cω − − − =

Kirchhoff

Herschrijven levert2

,2cosapp peak

d Q dQ QL R V t

dt dt Cω+ + =

De stroom na inschakeleffecten kan geschreven worden als

cos( )peakI I tω δ= −

met fasehoek tan L CX X

Rδ −=

en , ,

2 2( )

app peak app peakpeak

L C

V VI

ZR X X= =

+ −

, cos( )app peakVI t

Zω δ= −

2 2( )L CZ R X X= + −

impedantie totale reactantie

We kunnen dit ook met phasors vinden,waarbij de x-component van elke vector het spanningsverschil over de component geeft.

In ons voorbeeld is VL groter dan VC

Spanning , cosapp app peakV V tω= door phasorappV

We hebbenapp R L CV V V V= + +

Grootte( )22

, , , ,app peak R L C R peak L peak C peakV V V V V V V= + + = + −

RLC circuits in resonantie

,cos cos( )app peakpeak

VI I t t

Zω ω δ= = −

Stel L CX X=Dan reactantie = 0 en Z is minimaal (=R)

1 1res res

res

LC LC

ω ωω

= � =

Bij deze frequentie hebben we maximale stroom en spreken we van resonantie

2 2 2 2, 2

1cos

2av peak rms rms app rms

RP I R I R I Z V

Zδ= = = =

RLC circuits in resonantie

Voor het instantane vermogen geldt22 cos( )peakP I R I t Rω δ = = −� �

2 222 2 2 2 2 2

2

1 1( )L C

LZ X X R L R R

C LCω ω

ω ω� � � �= − + = − + = − +� � � �� � � �

MetPower factor

2 2,

2 2 2 2 2 20( )

app rmsav

V RP

L R

ωω ω ω

=− +

Vinden we

Q-factor 0 0LQ

R

ω ωω

= ≈∆

Gemiddeld vermogen via ( )2 1cos

2avθ =

RC laag-doorlaat filter

,out rms rms CV I X=

,app rmsrms

VI

Z=

2 2CZ R X= +

, ,, 2 2

app rms app rms Cout rms rms C C

C

V V XV I X X

Z R X= = =

+Gebruik

1CX

Cω=

,, 2 21 ( )

app rmsout rms

VV

RCω=

+

29-7 De transformator

1 1turnd

V Ndt

φ=

2 2turnd

V Ndt

φ=

Dus 22 1

1

NV V

N=

Verder geldt 1 1 2 2N I N I= −

En ook 1, 1, 2, 2,rms rms rms rmsV I V I=