2405TweedeGraadsFuncties

7/30/2019 2405TweedeGraadsFuncties

1/48

..

HOOFDSTUK 5 : FUNCTIES IN IR1. Een functie in mDefinitie ( ~ .u.4 ~ tV\...U'"'- t ; ~ ~ " - )

Een functie in JR is een verzameling koppels rele getallen (x, y) waarbij elk reel getal xhoogstens n beeld y heeft.

! hoogstens ~ n : n ofgeenx (=het begin van een koppel) noemen we het argument.y (= het einde van een koppel) noemen we het beeld.VoorstellingswijzeiEen functie kunnen we op verschillende manieren voorstellen : Met behulp van een vergelijking, het functievoorschrift genoemd :

Vb. : de functiefin lR met ~ .A.Hl.Gd - l . ) O c r S c h . n . ~ ' - 4 l . i :Notatie: f: y =3x-4Merk hierbij op daty afhangt van x. "W_e noemen? daarom de - ~ ~ Y ~veranderlijke en x de .Ot:). V i ' \ D J : ~ i . j . f . < . . . . . L ... veranderlijke.

Met behulp van een functiewaardetabel :Vb. : voor de functie f:

x -1 0 1 2 3y -7 -4 -1 2 5

We zeggen: de koppels l::.1 . . : : . 3 ) . o ~ ..LO .; . : . Y J . . ) " . L ~ . :-.1l.?-.L2.. 4 J , .. ~ ~ - 5 . J . .behoren tot de functie f.

Zo is bijvoorbeeld het reel getal 5 het beeld van het reel getal .3 ..... door de functie fof 5 is de functiewaarde van fin .3. ....

p ( .We schrijven: ..r-....5.) .. :;...5 ...........en lezen kort : .b. ....t .. ..b.Lti.d .:uo.JL ...b. ~ {Z. ~ S ( .f. 1.;Q..R.. ~ 5 )Voor de functie f: y =3x-4 is bijvoorbeeld f(IO) = . . . G " .... en f( - 4) = .. : - . . 1 . ~ ...

..V ~ . (- 4) \.(.3 .10 - l j ~~ li-4

3c - -Y


2/48

Met behulp van een grafiek : yVb. : voor de functie f :

4 -2

Om de grafiek van een functie te tekenen, gaan we een aantal puntenkoppels (x, y) tekenen.Algemeen : -teken een assenstelsel (x, y) (meestal orthonormaal)

-bepaal een aantal koppels van de functie m.b.v. de functiewaardetabel- verbind de gevonden punten met elkaar

2. Emprische u n c t i e ~Soms bestaat het verband tussen twee grootheden uit genoteerde overeenstemmende waardenvan de grootheden, die bekomen werden door metingen. In zo'n geval spreken we van eenempirische functie.Voorbeeld: Het gewicht van een baby de eerste weken na de geboorte.

Op de x-as zet je de tijd (in weken);op de y-as het gewicht (in kg).Uiteraard stemt met n bepaalde leeftijdvan het kind juist n gewicht overeen.Het verband tussen leeftijd en gewichtis dus een functie.

Andere voorbeelden

Normaal gewich t (in kg)3,900 ~ - ~ r ..-----o--- - ~( ~ ~ ~/ ~-3,8003,700 /3,600 d

/II

3,500 _t: - - 1 - - + - - - - + - - - 1 - - - + - - - t - ~ijd (in weken)I I I I I >2 3 4 5 6 Wil je een grafiek maken van het aantal inwoners in Vlaanderen per leeftijd, dan is hetverband tussen leeftijd en aantal inwoners een (empirische) functie. Het noteren van de temperatuur van een zieke op verschillende tijdstippen kan ookweergegeven worden dmv een (empirische) functie.

2


3/48

3 Constante u n c ~

Voorbeeld: f : y = 5Koppels: .L: .1., .5.1 .. JO..,i .5J..1.JI.1.J.5J..1 L ~ . 4 5 J . r .L}J S )1 Grafiek: I?J

__ . . = : . 5 ~ - - - - - - - - - ~ = 5

DefinitieEen constante functie in JR. is een functie met een voorschrift van de vorm: y = c met c E JR.

Opmerking iJD fi k . h ..di d l ' \ . . L U v t ~ rte gra e 1s een ree te evenWIJ g met ex-as.4. DeJunctie in IRmet voorschrift v =x;;1Furictiewaardetabef + grafiek : zie -Hb. p. 51 ~ kunnen tekenen!De grafiek is een . Q ........ .

y -o.r;:, . g.u .K. ~ u r ~ . . . c . t ( L JlArLL 1.-.Q.. . x. "" R.'ftr

Bestudeer de theorie in je handboek p. 52-59 en vul de voorbeelden op p.4 verder aan.---.._ Functiewaardetabel + grafiek + conclusie : zie Hb. p. 52 - 59 --? kennen en kunnen tekesea.!

5. Ditfunctie i IR met voorschrift y = fFunctiewaardetabel + grafiek : zie Hb. p. 60 ~ kunnen tekenen!De grafiek is een . . o ; ~ ..Dey-as is een . . ~ : - : . D l ? . .......... van de grafiek.

b t r ; ) P ' u : J ~ . x .. -...

Bestudeer de theorie in je handboek p. 61-63 en vul de voorbeelden op p.5 verder aan.Functiewaardetabel +grafiek+ conclusie: zie Hb. p. 61-63 ~ k e n n e n en kunnen t8kSH8fl!

~ R . . t . f l . ..


4/48

)( -i -1 \ 0 /\ y - l 0 ll l.

C ? v ~ ~ ~ voov-sch.Ju . y ::: x :LX. - . l . . : -1 0 I) ~

4\ 3l

Cph' \ . J ~ ;( t ->"".,_f ' .

' . ; : ~ ) ).0. ~ Q : ;

~ - . : : J

~ S - -


5/48

) )Voorschrift: y = x+ k Voorschrift: y = kxVoorbeeld: g: y =x + 3 Voorbeeld: h: y = 2x

x ~ - 2 . . -1 0 . /1 Q x ~ - 1 .y .. !'L 1' .... -'1 + 0 :t 3 ...., - ~ - - : ~ .2.t3 y 2/ \ ? 3 4 ,!; .. 4

- "'1... .., .l ,... l..

....... ....... ...... I : : : : , , ,

0o. 'l.

()

-"\.;'\. 2..;(

.Q...t 2.4

. . . Besluit: fJt. ~ .A>OJ< .)_ .u.'CI'Lclt ~ o:h:x1L rt>Besluit: De grafiek vang wordt bepaald door . w " - : l J e r \ l : l C . h . t ~ ~ - - ~ ~ t . ~ v . - " ~ . q d .. .. r ~ . y . - .. .. t .. : . . . t o r 1...~ . : ~ - ~ ~ - :ue.r\..J:.t-h .. , ~ , . l - 1 . . \ J ~ - . ~ M ~ l r } . . . cl..


6/48

)Voorschrift: y =x2 +kVoorbeeld: y= x2 + 1

- 1 0 /1 ;)_XI - ~ ...,, + i\ ... '1 1\ 1-A 4 1- :1y ~ ~ ~ - - ' '-v- ...:.,Vs ::t . ....\ l.,_ ...,............ t : : : t : : : : : : : : : ~ F - : - - t : : : : : : l : : : : : l : : : J : : : : : : - J : : : - : : I : : . : : : l

.. " I-- -: E ; ; ' 't/ i

Besluit:I:.u"" 111 rcl \Ai o, i 11\.Q ol\r"\ r\1'1 1.....-"'dclUU).II..Ij:-.


7/48

Vertrekkende van de functie met voorschrift y =x :het voorschrift van de grafiek van g s het beeldde functie g van de grafiekvan f door

de verschuiving bepaald door het koppel (0 , k)(deze verschuiving is evenwijdig met dey-as)y=x+k met k E lR k < 0 : naar onderb i J O ~ t \ . k > 0 : naar boven~ r i t . f ! . - i?

de verschuiving bepaald door het koppel (-k , 0)(deze verschuiving is evenwijdig met de x-as)y=x+k metk ElR k < 0 : naar rechts~ ~ L r l .

k > 0 : naar linksU C R . . . o t = ~de verschaling evenwijdig metdey-as met factor k

y=kx metk E R 0 Ik I< 1 : een inkrimpingIk I> 1 :en uitrekkingb , c l . . LJD...U. A ~ Ie_

Vertrekkende van de functie met voorschrift y = x2 :het voorschrift van

de functie g

y=(x+kY metk ERl : D U 0 ~ r ~ ~

de grafiek van g is het beeldvan de grafiek van f door

de verschuiving bepaald door het koppel (0 , k)(deze verschuiving is evenwijdig met dey-as)k < 0 : naar onderk > 0 : naar boven:.f..;>

de verschuiving bepaald door het koppel (-k , 0)(deze verschuiving is evenwijdig met de x-as)k < 0 : naar rechtsk > 0 : naar links

de verschaling evenwijdig met dey-as met factor kIk I< 1 : een inkrimpingIk I> 1 : een uitrekking. / ::.

6

r:::.~ I;o

~ k , V ~~ ~' - ~ ' - o ~ ~ Y \

~ b . . u ; ~

~ k c:pc4. )(.-V . . . . ~ dJ..\:q.ugt.

~ ~ V\.!)..0.:\..l'U.J:. ~VCU"\. /1 OY lk. i:J.. u i ~


8/48

0 - t : ~ A P b.o:\ Y c .i 3..tj ;: J.. x. ... '/-.. - ~ - ta )-:: o of: o - 3 - 3 .

b) Y : V J


9/48

-...'- ....

(op ~ q ~ -:-, . p. . : . 't .- & ~ w ~ _ .. \ o . . . t . v . ~ t v \ O . . i : . U < n - t ~ * ' cp . y:::.x

'f :: A,5 x..l . --> ~ V ~ ' - 9 /1 ~ - y-< t ~ - ) ~ ' 4 \ J ~ C . . k ..uiv ' ' - 9 i'\0.0"-, w ~ J q... :u..u\.l:p b p o n ~ ~ ( . - ~ , c:

~ 4 ) ~ - : . )(2.. +i-+.2..) y ;;; -A ;(,._

~ ~ f\.Q..GVL ~ ~ lA(U. ctcp Cri\ k l:.l.. U t ~ \ .* y = x 2. .-> u { n . r ~ ~ ~ 1/.lj - .O.r:l ~ . t .iJ,.. ' ;.... CJr L I 0 !> I....:.\.., h\: N i\..0 r i ' .~ R.. , -....o"'rv- ._. ,-- "J ~u . J . . t ; ~k.Lj ~ ~ 1\J..ki ~ ~ /i

. O'V'- h:.. \::.-L v . . - ~ i "


10/48

--

Extra oefening op de functie in IR met voorschrift v=x + transformaties1. Gegeven de grafiek van de functie in JR. met voorschrift y =x .

Geefhet voorschrift van de functie fin JR. die correspondeert met het beeld van de grafiek-van-:ta:! : - - -- - - - - - - - -- - - -- - -) d h . . b aald d h k . /0 _, , , - )(.. 4- c:::..a e verse mvmg ep oor et oppel t ,) ) : -r-:: .....L.-.....J.

b) de verschuiving bepaald door het koppel (-3,5;0) : . .:y .. -. .."b.,. S. ..t. ..) d . kki '"d' t d t .t:: t -4 . y =- - 4 xe mtre ng evenWIJ 1g me e y - as en me 1ac or . . . . .................. .

"') de inkrimping evenwijdig met dey- as en met factor 1/3 : ..y .=:. ~ . X ....... .2. De grafiek met voorschrift y =x wordt verticaal verschoven over een afstand 3 naar

boven. Daarna rekken we de grafiek uit met een factor 2 en tenslotte verschuiven we hetresultaat horizontaal over een afstand 4 naar links.Geefhet voorschrift van de nieuwe grafiek.

~ = x , ' i ) ~ : : : x . - t ~l ) ~ - l ( )< -t 3 )3)y .::: ~ ( x . - r 3 ) . . , . y

3. De grafiek met voorschrift y =x wordt horizontaal verschoven over een afstand 3 naarrechts. Daarna drukken we die grafiek samen met een factor 1/3 en tenslotte verschuivenwe het resultaat naar boven over een afstand 2.a) Geefhet voorschrift van de nieuwe grafiek.b) Ligt het punt met cordinaat ( 6, -1) op de nieuwe grafiek ?

o...) -1) y ::: >( - jl ) y - ~ (x ~ ")3) y=:. ~ (x- ' ?>) - t : i

b) -- 11 = /\ .3".( - b - 3 ) ~ .t- . ~ ~ =- _1 ( - 9 ) 4 i.- / } - - 3'"'" i- ..., - - /} -> "J \Q . .


11/48

. ..... ..JJ .b;.'..... ' ~ . ~ :

Extra oefening op de functie in IR met voorschrift y=r + transformaties1. Gegeven de grafiek van de functie fin JR met voorschrift y = x2

Geefhet voorschrift van de functie in JR die correspondeert met het beeld van de grafiekvanfdoor:

< ' 2...a) deverschuivingbepaalddoorhetkoppel (2,0): .V..:::l.x .-.l..J......... .'Lb) de inkrimping evenwijdig met dey- as en met factor - 0,5 : .y;:; .. ::.Q i .S. J:... ...

c) de verschuiving bepaald door het koppel (0;-4,5) : .y.?. .. ( ~ . : : : : . l : - \ . , . ~ ........ .d) de uitrekking evenwijdig_metdey-as en met factor 3 : .y ::;...6.x.'!-:. ............. .

2. De grafiek met voorschrift y =x2 wordt verticaal uitgerekt met een factor 4. Daarnaspiegelen we het resultaat t.o.v. de x - as en tenslotte verschuiven we horizontaal over een

a f s t a n , ~ 5 naar links. -.> ~ ~Geefhet""voorschrift van de nieuwe grafiek.11 ) y := Lt "' '2.2.) y = - it " 'L?>} Y.:: -4 (X+Sl2 . .

3. De grafiek met voorschrift y =x 2 wordt verticaal verschoven over een afstand 1 naarbeneden. Daarna verschuiven we horizontaal over een afstand 3 naar links en tenslottedrukken we de grafiek samen met een factor 0,5.a) Geefhet voorschrift van de nieuwe grafiek.b) Ligt het punt met cordinaat (0, 2) op de nieuwe grafiek ?c) Ligt het punt met cordinaat (-2, 0) op de nieuwe grafiek ?o.) 1\ Y - x 1.. - A

. . 'Z.Y::. (x +3 ) - 1\Y ; 0 i S [ ( X -r ' t - A.]. ~ JI o , s ( l o -r 3 ) - -4 -> .. ,

........__ ~ ---- -)G) 4 . 1o - a

1S [ ( - 2. -t s.) ... /\ ~ ~ J0- \.

Q


12/48

7. ])e functie in IRmt voorschrift y = . ~ : \X-''!

Functiewaardetabel + grafiek : zie Hb. p. 66- 67 ~ kunnen tekenen!D - . . DR1" L_ ",1)e gratieKIS een ..V\.;f r - " " ~ ..De x-as is een . . c t r . . i ~ o . . . l . ~ .. .O..:;;,y ~ ........... van de grafiek,d.w.z. dat de grafiek de x-as nadert, maar dat ze die nooit zal bereiken.Dey-as is een .. l. . f . J . \ . k : i ~ ..G\JtJ.m..pbcx: ............... van de grafiek,d.w.z. dat de graf iekdey-as nadert, maar dat ze die nooit zal bereiken.De oorsprong is een - ~ - ~ - ~ p . u b . . k ..... van de grafiek.

8. l)e functie in lR met voorschrift y = .fxFunctiewaardetabel +grafiek : zie Hb. p. 75 ~ k u n n e n tekenen!

9. De functie in -JR niet voorschrifty =x3 :Functiewaardetabel +grafiek : zie Hb. p. 76- 77 ~ kunnen tekenen!De oorsprong is een ... ~ h \ . . h \ J .. b ~ ~ ~ : J : .. van de grafiek.10. Verbaliden tussen grafieken

het voorschrift van de grafiek van g is het beeldde functie g van de grafiek van f doory= f(x) + k metk ElR de verschuiving bepaald door het koppel (0 , k)y = f (x + k) met k E lR de verschuiving bepaald door het koppel (-k , 0)y=kf(x) metk ElR 0 de verschaling evenwijdig met dey-as met factor kIk I< 1 : een inkrimping

Ik I> 1 : een uitrekking


13/48

...;;o, ~ (> ; 4 ~ o ; S lt ,... 2. --- I . &

I .

_ t ~~ ; ! l a / !

J '{ = ~ ,\3 l"\. - l \ ..

: ~ \ = - - dl t . ~ . ~ 4 ~S

. ':}} - -~ " E:i< _, td' < : . ~ ~ - ~ ~ :

0

\ .\lI-:-S .


14/48

lt.Domein vaneenfunctie - ? ~ ko.Jl >< 0 - . l h h ~ ~ n "?DefinitieHet domein van een functie in :IR is de verzameling van alle rele getallen die als begin vaneen koppel van die functie optreden. Het is m.a.w. de verzameling van alle rele getallenwaarvoor de functie gedefinieerd is (waarvoor het beeld bestaat).

Grafisch vinden we het domein door de grafiek te projecteren op de x-as.Notatie : dom/VoorbeeldenJ,.:y=x+1 dom J,. =JR. ..... f ' -1J; :y=-1- dom J; = .fR./i.l,x -:- 2 - ' ' , 'CL if'- lr ~ { ~ \ . , r y ~ (jU.]..._ 0 v...;.O ~J; :y=.Jx+4 dom J; = G . 4 . : , ~ .. .t;Oo [!ut. ue ~ 4 . . eh.. .,__ri')I\.C.:il ~ - - ~ n.

iI

f 4 :y=x 2 -4 dom h = ... R.......

~ ~ n ,12. Bereik van een functie ::> ~ k.o.fv Y . ' 'DefinitieHet bereik van een functie in :IR is de verzameling van alle rele getallen die als einde vaneen koppel van die functie optreden. Het is m.a.w. de verzameling van alle rele getallen diebestaat uit de beelden van die functie.Grafisch vinden we het bereik door de grafiek te projecteren op dey-as.11\'rNotatie: berf b.A.U.k p.. {. --= ~Voorbeeldenf. :y=x+1

1J; : y == - x-2h :y==.Jx+4

her J,. = .fR ......ber J; = lR . { ~ ~ ~ fR a

....ber h = .fR_ ..... .

8

x


15/48

13. Ntitwaardevan eenfunctieDefinitieEen nulwaarde van een functie in JR is een reel getal dat door functie op o wordtafgebeeld.

Of: a is een nulwaarde van f f(a) =0We vinden dus alle nulwaarden van een functie f door de vergelijking f(x)= 0 op te lossen.Grafisch is de nulwaarde van een functief deabscis van een snijpunt van de grafiek van/ende x - as. (verklaring: zie Hb. p.81)Voorbeelden

9

J;_ :y=x+1 nulwaarden van J;_ : :-: -:1..... ( ; \ . J O . . . i , ~ > "' "'""'-= 0nulwaarden van h : . ~(.::.::> ')(.. = - '-\

nulwaarden van h. : .. .. . ::-::1. ~ 1i- '1..- ' - ' =o b.::> "'-'i -= ~\..::0 )(.. \1. 4 ~ :: ~

14. Tekri:verlp van een functieJDefinitie

Het tekenverloop van een functie is een schema waarop we het teken van het beeldy kunnenaflezen als het argument x het hele domein doorloopt.Grafisch : als de grafiek boven de x-as ligt, is het teken van het beeld positief en als de grafiekonder de x-as ligt, is het teken vany negatief.VoorbeeldenJ;_ : y=x+l

1J ; : y= - x-2

tekenverloop van J;_ :\(1 -"

-{) t . n . n . ~ ' "


16/48

'-) i\J'\....L..i'\. {: . ~ f O / ~&15. Stiigen en dalen van een functiWe zeggen dat een functie f stijgend is in een interval als bij gftere x - waarden uit datinterval ook grotere functiewaarden behoren.We zeggen dat een functie f dalend is in een interval als bij grotere x - waarden uit datinterval kleinere functiewaarden behoren.

10

Het stijgen of dalen van een functie in een interval kunnen we heel gemakkelijk aflezen op degrafiek van de functie.Voorbeeld

b

Stijgende functie in ]a, b[Definitie

1II-1---1 l.J . - - -+ - - -1 II I

Dalende functie in ]a, b[

fis stijgend in een interval I (deel van het domein) als: Vxpx2 EI: x1 < x2 => f(x1) < f(x 2 )fis dalend in een interval I (deel van het domein) als: Vxpx2 EI: x1 < x2 => f(x1) > f (x 2 )

Grafisch: /"'fis stijgend. ~ f i s dalend.

Bijzondere gevallen Een functie kan in een interval noch stijgend, noch dalend zijn.Bijvoorbeeld : y

Vxe[a,b]: f (x)=kb x

We zeggen dat de functie f . .C...O.v.otoJ:\..1t ....... is in het interval [a, b] . Is de functie f stijgend in ]-oo, +oo[ =R, dan zeggen we dat f een stijgende functie is. Is de functie f dalend in ]-oo, +oo[ =R, dan zeggen we dat f een dalende functie is.


17/48

rP u""VV-A"Y'- o . : r u ; ; . ; ~ ~ 1116. Maximum en minirilurn v11 een f u n c t i ~Definities

Bereikt de functie f een grootste functiewaarde voor x= a, dan wordt f(a) het maximum vane functie f genoemd.Bereikt de functie f een kleinste functiewaarde voor x = b, dan wordt f(b) het minimum vande functie f genoemd.

Dus : f(a) is het maximum van f ~f(b) is het minimum van f ~

\1 x e domf: f(x) s f(a)\1 x e domf: f(x) ;;:: f(b)

Grafisch: het maximum van een functie hoort bij het hoogste punt van de grafiek;.het minimum van een functie hoort bij het laagste punt van de grafiek.

Zowel een maximum als een minimum van een functie noemen we een extremum van diefunctie.We kunnen het eventuele maximum en minimum van een functie gemakkelijk aflezen op degrafiek van de functie.Voorbeelden

-4

!;_ :y=-2x2 +2y

-2 2

h. bereikt een maximum voorx= 0' nl. 2

x4

y

-4 -2

-2

-4

J; bereikt een minimum voorx= 4, nl. 1

x


18/48

OpmerkingenHet maximum (minimum) van een functie wordt ook het absoluut maximum (absoluutminimum) genoemd.Er bestl'lan ook relatieve maxima/minima, d.w.z. ten opzichte van de x-waarden in deonmiddellijke omgeving (plaatselijk).Voorbeeld:

!I

0 l_Jt11U

Het beeld van x= a bereikt wel een maximum t.o.v. de x-waarden rond a, maar niet t.o.v. allex-waarden.DefmitieEen functie bereikt een relatief maximum in a als ze voor x = a overgaat van stijgen in dalen.Een functie bereikt een relatief minimum in a als ze voor x = a overgaat van dalen in stijgen.Grafisch : het relatief maximum van een functie hoort bij een hoog punt van de grafiek;

het relatief minimwn van een functie hoort bij het laag punt van de grafiek.Een functie kan dus meerdere relatieve maxima en!ofminima hebben, maar slechtshoogstens n absoluut maximum en!ofminimum.

17. S:ymmetrien van grafiekenOm de grafiek van een functie te tekenen is het interessant te onderzoeken of de grafieksymmetrieassen en!of een symmetriemiddelpunt heeft.Voorbeelden : zie Hb. p.86Opdracht : Zoek voor alle behandelde functies mogelijke symmetrieassen en symmetriemiddelpunten.


19/48

...--...

18. Dfferntiequotint van een functie voor een gesloten intervalDefinitie

Zijn ( ~ , y en (x2 ,y2 ) twee koppels van de functie f, dan wordt het quotint_;,. '\. 1\! J.\y - y ..Dli':2.J r t,.)(.-""2 1 \1x2 -x1 - x 2. ~ x_..,

het differentiequotintvan de functie fvoor het interval [x1,x2 ] genoemd.Vorig jaar hebben we de meetkundige betekenis van het differentiequotint gezien. Datquotint is namelijk de richtingscofficint van de rechte door de punten A ( x1, y1) en

B ( ~ , y van de graflek van de functie f.VoorbeeldBereken het differentiequotint van de functie f: y = 4x2 -1 voor het interval (2,5].~ ~ - = ;es)_ acc2J = ca9- ' s -= '?Y

2> .:?,-3 (s) =

. J ( ~ ) - = L f .

5 - 9.,

13


20/48

/ l ' t

------ ---- -- - - - - - - - - - - - - - - - -

,DifferentiequotintHet differentiequotint van een functie voor een gesloten interval is de gemiddeldeverandering van deze functie over dit intervaL

y

0 a b x

Voorbeeld

-5 5 x

Het differentiequotint van de functie fL\y -::> LRrl > t ~n het gesloten interval [a, b] is Llx _;;,ha-i , ' t . O V ~

Hierin is: Ay = f(b) -f(a)Ax=b-a

A ~ .., K' b ) - j lo..J -:> ue. . , t ~ilx

Dit is de grafiek van de functief(x)=2x + 1In het gesloten interval [0, 1] isily = f(l) - f(O) = 6 - /i = 2 = 2& 1 -0 ~ ~In het gesloten interval [ - 3, -1] isily f ( -1)- f(-3) - /1 - (- 5 ) = Lt - [1.-- =i lx ( -1)- (-3) -- .1\ + '?, J...Het differentiequotint van deze functieis constant.

Merk op dat bij een eerstegraadsfunctie (de grafiek is een rechte) het differentiequotintgelijk is aan de richtingscofficint van de rechte.


21/48

0 .OefeningenGeef een overzicht in tabelvorm van stijgen/dalen en extrema waarden van volgendefuncties.1)

3)

y:5-

-1

-3

-------- - - - -. --- - - -

3 x

2)

-2 -1

y

543

2

1 2

l. :!Xi :i

. i .. . .'- - - - ~ ~ - - + - ~ - -. - - : - - ;.- .. ;_____ ~ ; - t - - - - - - - - _ : _______ ..;_ ____ _ ' __ . ___ .;_,____j_-":___;-:.}-. . , . : . . : . . . . . - + - - !

---..;----:.----- t.i - _. i. - - ~ - - - : - - 1 ---- - ------- - ..--- -- - - - - - - - ~ - - ' - - - ' . H - - ! - . - ..-Ji. j . :

3 x


22/48

' ..~ V ~ ~ - ~ \ Q J , . , _ l - c i - = - ~ ~ 'l - 1 4 fc ~b) . . 3+ "l "' 0 1 ~ / \ ' V\.. --'::>

-:::> 3.j : t i C ~ .:. h._-::> ~ 9 I ~ } . / \ U"Y\.

. . . . . .. -~ ~ ~ ~ ~ \"\\.A"fl.. ti")


23/48

~ K p ,._s. A = \L- -11 =o 1 -t- f\ Q m ~ . 'L ->CM5 .d) ( V < ~ ~ uroo..g) t \ o . . t J ~ - ~ . - t . u ' - ~ ~ p ~ l ( u l ~ \ . ; C 4 ~ .

2.o5 1 2>5 d J ~ 2 . H ~ - gY\cOl - ~ H ~ ? - . _ ........ ... t. - - .. t . .. : . . . . . . . . . .-> a.os. ?,s:: oJe:, t, (= ) _ . t t o . ' = > , ~ S . =- t . ("") 5 ~ ~ - ; ! l . S : : Q..t

J.. . .tt.) A= o.j '= . 1\ 1-, 2.. . A_l , . tv1 =- .l , 2. d.t"V1A =- .-1 ':1- :t., So 4 .d n 1 ; ~ ; . r ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ W i ~ " ~ ~ ~ i ~ ~ t : t ! j i j 1 i ; ; M ~ : ~ t . ~ ~ ~ ! i ~ ~ ~ ~

. 'I. . . ... .. -z..~ ) : 'j. "- . x k. ' y :,: 0 J " " ..

' = = i ~ ~ ~ ~t ~ i i : t 1 ~ J ; ~ ~ t i ~ i . ~ : : : t ~ ~ ~ r i ~ : : ~ : r ; ~ t ; : : ~ , : i t ? ~ f ' ; ' ~ ; , , / ( ~ ~ t ~

~ L ~ ' ~ : i : ~ ~ l f l N J i i ; ~ - ~ f ' f L J 4 ~ : _ k i ~ ~ ~ i ~ i ~ , , f : ~ J : ; ; ; i 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~


24/48

Opgave .Welke grafieken stellen functies voor? Noteer bij de functies het domein en het bereik.(Op de grafiek isogeen punt van de grafiek; is wel een punt van de grafiek.)

y

y

10 1 x

... '2.

functie?domein:to X.-bereik:(D .y... ar::.

functie?domein:\{) :x- or;..bereik:


25/48

y

functie? ~ -

xdomein:

., .. ....,l- 2 ..... '

"r . :) .J ....... ,...................... .bereik: .[":'. 3 ., . . J ..............................

y0 .

functie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1 .,.x domein: ~ . ......................................... .

bereik: { :-:. !l. t ..3} .............................. .

y ~

functie ? r ~ ..................................... .1 domein: \ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 1 x

bereik: . \. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y

functie?domein: . .\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xbereik: . \............................................ .


26/48

J'=- >< t - Lt = o < ~ ~ x z =- 4 1.-:-'":> x ::. ~ ei -)( -= 2.O'Y\ ~ " rR.. \. .( ~ I - Q. "}-

"0: . cb"f j


27/48

-!

~ 2 ~ p ~ a .~ / L ( 'd :: ~ . \ b ," JA IR 0)( , - P\ )

~ $ . ~ ~ J:?. ~ rR.J i .' b.l\. t y ~ ~Js; ~ " - -1- s -= 1\


28/48

_.".--....,_

Het differentiequotint van een functie voor een gesloten interval is de gemiddeldeverandering van deze functie over dit interval.

y Het differentiequotint van de functie fL1yin het gesloten interval [a, b] is L1x

Hierin is: !::...y = f(b)-f(a)f(b) ------------------ ~ x = b-a

f(a)

0 a

Voorbeeld 1

-5

y5

::_jA)D.x 'II

b

3

x

5 x

Di t is de grafiek van de functief(x)=2x+ 1In het gesloten interval [0, 1] is!J..y = f(l) - f(O) = 3 - 1 = = 2!J..x 1 - 0 1 1In het gesloten jnterval [ - 3, -l] is!J..y f (-1)- f(-3) - 1 - (-5) 4= = -= 2

( -1) - (-3) -1 + 3 2Het differentiequotint van deze functieis constant.

Merk op dat bij een eerstegraadsfunctie (de grafiek is een rechte) het differentiequotintgelijk is aan de richtingscofficint van de rechte.


29/48

-.....

~ " \ . Q . L t d : . . .a_) $ . ~ t Qo'Y\ iA : t\t

. .--:'} dOYl ~ Q . \R.. ~ ' U i k . . ~ _9.. -. .iR .

~ - u ~ ~ ~ ~ + 1 - - - - - - ~ ~ -----'*- .Id.ru../ u c . ~ . . . - : ->


30/48

Voorbeeld 4: f: y..::: /f ..xr=

.1' 4Dom f = ...JR.g ..... Ber f =.JR..0 .......Nulwaarde: .\ ...... .

\\ '1 ' - - ~ ~ 0 1 2 3 4 5\1Tekenverloop: : - 0/ +

t'!Voorbeeld 5: t: y :: Ux

.1'4'l __..,.v fo-"./,V

-1 ( 1 2 3 4 5x-1

OpdrachtGegeven: f1 : y =-4x

Stijgen/dalen/extrema:

+Dom f = ...fR. .........Nulwaarde: .0 .....Tekenverloop:

Stijgen/dalen/extrema:

0I

+Ber f = JR. ............00 +c0

1fs:y=-x+2

a} Onderzoek het domein, bereik, nulwaarde(n), tekenverloop, stijgen/dalen/extrema.b) In welk interval zijn de gegeven functies dalend?c) In welk interval zijn de gegeven functies stijgend?d) Bepaal he t differentiequotint van bovenstaande functies in het gevraagde interval:

f1 i n [ -1 ,3 ]f2 in [3, 5]

f3 in [6, 9]f4 in [ -3 , -2]

fs in [ -1 , 0]


31/48

!

Functies: Extra oefeningVoorbeeld 1: f: y=x

-- -- ~ r -----.. - .. . - ~ - ....... --.

5 -4 3 2 1 2 3 4 5. - - - -1 - - - - - -

Voorbeeld 2: f: y=x 2 -1

\ .1' I' 1/~ j\ 1 I\ V

.. ., -11\0 ./1 < 3 41.."

Voorbeeld 3: f: y=x3.Y I

.., ! I. 11 )

- -11('0 1 2 3 4 E1J ...f "

-5

Dom f =.JR ........... Ber f = ...1\t ...........Nulwaarde: ..0 ......Tekenverloop: x

I0

y - 0 -tI 'b o t ~ i ' " ' ;i. - 0: ' )x

I.. \/ 0 :l i

y r ! 0 I 1\\ IDom f = ..JR.......... Ber f =[ . : .1. f.:f..90 [Nulwaarden: - - ~ - - - t r L - /1

T e k e n v e r l o o p ~ :x __ 1\ 1\-----------------v+ o 0 +

x Stijgen/da Ien/extrema:0

Dom f = ..JR .......... Ber f = ... ~ - - - - Nulwaarde: .0 .....Tekenverloop: __ y-- -+1-- - - - - -0 ___

0 +Stijgen/dalen/extrema:


32/48

0-4 -'4 ~ t ; 5Cl) ~ ' - ~ 1 ~ V \ . .'rv\J.J\.


33/48

HOOFDSTUK 6 : TWEEDEGRAADSFUNCTIES IN IR1. InstapZie Hb. p.l15Voorbeelden uit het dagelijks leven : Zie Hb. p.126 - 127

2. DefinitieEen tweedegraadsfunctie (ofkwadratische functie) in lR is een ftmctie in lR met eenvoorschrift van de vorm :

met a E lR0 en b, c E JR.

3. Voorbeeldenft :Y =X 2 - 2x+ 3 a= .1.\. .. b= .:-.. c= .. .. .

1 2""' b= .. .Si. c= .Q .. : y=-x +4x a= . - .2 2

5 2 --5 b= ..0 .. c= .. . ....:y=- -X +2 a - .. __.8 ~h. :y=x2 a= .. t l . b=.9. . c= ..O ..

4. Grafiek van de functie in JR. met voorschrift y =ax2 met a e JR 0Uit hoofdstuk 5 weten we dat de grafiek van deze functie het beeld is van de grafiek van defunctie met voorschrift y =x2 door de verschaling evenwijdig met dey- as met factor a. . .l l r ' . R t ~ cj.. L ~ t / L ~ ~ J q JDe grafiek van zo'n functie wordt een parabool genoemd.Elke parabool heeft een symmetrieas en een top.Een symmetrieas van de grafiek is een rechte die de parabool op zichzelf afbeeldt (door despiegeling met die as).Onder de top verstaan we het snijpunt van de parabool en haar symmetrieas. De top is tevenshet punt van de parabool met de kleinste ofde grootste ordinaat.Voorbeelden : Zie Hb. p. 117- 120


34/48

2EigenschappenOpdrachten (met grafisch rekentoestel)Construeer de volgende fimcties : ~ :y =x2

~ t ~ t.o.v x-(). 'o -.> o . . = ~ ~ U -> ~ f l ~ ....o... o... .;; f ~ o . . . t . 4 n ~ b . A . g ~ ~


35/48

. ....--.

35. Grafiekvandefunctiein 1R metvoorschrift y=a(x-p t 1_.) .Q.) ' \ ~ " ' : ) &. ~ I ,Uit hoofdstuk 5 weten we dat de grafiek deze functie het beeld is van de grafiek van de functie metvoorschrift y = ax2 door de verschuiving bepaald door het koppel (p, 0).Voorbeeld: y=0,5(x-3)2 ~ a = 0 1.5 p= ..3.. ~ b e s p r e k i n g : z i e H b . p . 1 2 2

--:) ~ ~ -(- 3 "'0 ""'- ,.."J... "" ?\.., Vt .A r . /l n - .- l' A. C'Conclusie ~ . J U ' ~ " ' n . .su. A ~ . . . . A J . : . : .Voor de grafiek t.o.v. een rechthoekig assenstelsel van de functie in 1R met voorschrifty=a(x-p)2 met aE1R0 en pE R

geldt:1. De grafiek is een .. X l i \ 0 . . ~ - ........ .2. De rechte met vergelijking .. X ..=.:.p ..... is een symmetrieas van de parabool.3. De top van de parabool is het punt met cordinaat .C.p.,..0 J........ Y y::. x L4. V o o r a > O h e b b e n w e e e n . d a . L . p : l i ' I . O ~ ........... .

Voor a< 0 hebben we een .. p . ~ ......... .5. Hoe groter lal, hoe . ~ - ...... de opening. lx::..3

6. Grafiek van de functie in 1R met voorschrift y =a(x- pt + qUit hoofdstuk 5 weten we dat de grafiek deze functie het beeld is van de grafiek van de functie metvoorschrift y =a(x- p) door de verschuiving bepaald door het koppel (0, q .Voorbeeld: y=O,S(x-3)2 +1 ~ a=O; .P p= ..3 .. q= ..


36/48

(1l

7. Grafiek van de functie in IR met voorschrif t y = ax2 +bx +cWe kunnen de algemene vergelijking y =ax2 +bx+c van een kwadratische functie altijdschrijven als een vergelijking van de vorm y = a(x- p )2 +q.Voorbeelden: Zie Hb. p.l24Algemeen

met D =b2 - 4ac (discriminant).bmet p=-- en2a

Dq=--4a

Afleiding: Zie Hb. p.125Conclusie

Voor de grafiek t.o.v. een rechthoekig assenstelsel van de functie in IR met voorschrifty =a:J+bx + c met a e IR 0 en b,c E IRgeldt:

1. D e g r a f i e k i s e e n . ~ 2. De rechte met vergelijking .. . .-:-. b .... is een symmetrieas van de parabool.i.o.. .3. De top van de parabool is het punt met cordinaat . ( : ~ .1 . -:. )4. Voor a> 0 hebben we een ...dD ' \ 0 . ~ ........

Voor a 0, dan is berf= .. ( . cp i -t .QY. . . . . . . l:iO:. 1. J , ] . -DJs a < 0, dan 1s berf = . . :-. 0;:). i . :t.c.p.J .... . : . - (Jo 1 .i. 0-

~ Z i e Hb. p.129

4


37/48

cV ,..,~1V ,;/]r:..r--111- -...!II

_",("71 """

____. . /

jIII

'i -.. . ! c-xt ...J

t'

'JiJlJr!l

lII'II-ll

I'!t(i!l"1'rr

II[

7 '....." ,;.{;d!'. ~V

-c).j_o(~ - ~\ ~\ ._d d

i ' ! ~-""' d~ A........"i ..__.G- .2=t'"' a..."d / ... ,; I -) (."\ ~' - ' _ai c1 I iN. 'f\ ~ b.~

( ') --.!,..)\ V uj --/ \ ' ~ ~\.i V\

l d '~0:r :1l

I;jjlj- ........... - --- ....._ ........ --. - . ..


38/48

~ ~ ' \ " i ' ~ \ ., ' ~)I. - UJO,OJ'...s::i.:... ~

9 S . ~ ~ d i e . . f .. tiJgeu en a n, mtniDlum o maumum..:

Typtd; a ;>0, d a l f m - ~ 1 . .. :1 ~ __j___.__;

==>.

(x;, Y3}; i 4 ~ . Y ~ ) : V . t i : i : d e ' ~ i o i n ~ e : , .V o t _ i l , , . L t ~ i ~ : - ] J r o _ ~ : : s . ; ~ f . ; " ,!

V o g r : ~ : : : . r < t ~ : r : ~ h < X.4 , ~ .. , Y3. >_y!l .

. :

,t:, : . : ~ t E i J . j t ~ ~ ; : i ~ ~ ~ ; : ; : : : ~ : = ~ : r ~ r . ... .= -. : :; -- : . :We i e ~ u t n ~ r ; { ~ ~ ~ ; ~ ~ ! ' . ' ~ o 9 r d < M e ~ typis :..x .: . ;x .

. .


39/48

10. Nulwaarden van een kwadratische functieDe waarden van x van de punten waar de grafiek de x - as snijdt, zijn de nulwaarden.De nulwaarden van de kwadratische functie f met voorschrift y = ax2 +bx+c vindenwe door de vierkantsvergelijking

ta2 +bx+c=Oop te lossen.

6

D>O: -b-.fi5 -b+JDde functie heeft 2 verschillende nulwaarden Xi = en ~ =---D=O:

D


40/48

7

- Opmerkingen Als D = 0, dan is de nulwaarde de abscis van de top. Als D> 0, dan is de halve som van de nulwaarden gelijk aan de abscis van de top

. ~b - JD +- - b- i vD - b-Yo- 6-rfS

Ind-daad, ~ +X2 = . -.... : ? \ ~ - - - - ~ " ~ o . .;;:,_,. --------....--. 1 . 1 . . . . . . . . ~ fG':r.ij. ' :._2 ~ 40--b!2-b- - -

Grafische betekenisIs x1.een nulwaarde van de kwadratische functie f, dan is

(x1 , 0}de cordinaat van -een .gemeenschappelijk punt van de ~ e k van fen de x-as.Dat betekent:DO De grafjek van fheeft twee verschillende punten gemeenschappelijkmet de x-as: de x-as snijdt de parabool in twee verschillende punteJ}.

Overzicht

~ ; . , . , ..

. : : , ; . ~ , 3 8. ~ . , . . ~

m

: ; ; + , ~..: ;_,.;..;


41/48

8

11. Praktische constructie van de paraboolHoe teken ik een parabool met vergelijking y = ax2 +bx+c ? Onderzoek ofde opening van de parabool naar boven ofnaar onderen is gericht, d w.z.

kijk naar het teken van a : a > 0 => dalparaboola< 0 => bergparabool

Bepaal de YDlilletrleas van de parabool : vgl x = _.!!_ .2a Bepaal de top T van de parabool : T (-!!_, _!!_) met D= b2 - 4ac2a 4a

Opm. : Voor de ordinaat van de top kan je ook f (-:a) gebruiken. Bepaal de nulwaarden en construeer hiermee de gemeenschappelijke punten vande parabool en de x - as. Bereken de cordinaten van nog enkele punten van de parabool m.b.v. eenvisgraatdiagram.

Bedenk : het spiegelbeeld van elk punt van de parabool t.o.v. de symmetrieas ligtook op de parabool Verbind de gevonden punten met een vloeiende lijn.

Zorg ervoor dat de parabool in de top mooi afgerond is.

VoorbeeldConstrueer t.o.v. een rechthoekig assenstelsel de grafiek van de kwadratische functiemet voorschrift y = x2 +4x+3 .

12. Gemeenschappelijke punten van een rechte en een parabool of van tweeparabolen

Voorbeelden: Zie Hb. p.136 -137~ Stelsel oplossen ! ! !


42/48

Extra oefening : Tweedegraadsfuncties in IRGegeven : de tweedegraadsfuncties met voorschrift

: y = x 2 - 2x + 2 f5 : y = -2x 2 - Sx + 7

0 2f3 : y == 8x + x - 1f4 : y = x 2 - 6x + 9

~ : y =-2x2 + 2x + 4: y =-x2 + 2x - 1

""""' 2'1. : y =x - 6x +5~Los voor elke functie de volgende vragen op :a) Is de grafiek een bergparabool of een dalparabool ? Verklaar zonder grafiek.b) Geef een vergelijking van de symmetrieas (+ berekening).c) Geef de cordinaat van de top (+ berekening).d) Geef zonder berekeningen de cordinaat van het snijpunt met de y-as.e) Geef het domein en het bereik.f) Geef in tabelvorm een overzicht van stijgen/dalen en extreme waarden.g) Waar is deze functie stijgend en/of dalend ? Geef telkens de nodige intervallen.

h) Bepaal de eventuele nulwaarden.0 i) Geef in tabelvorm het tekenverloop.: j) Teken de parabool. Bepaal hiervoor, buiten de top en de nulwaardan, nogminstens 3 extra punten van de parabool.


43/48

1. Tekenverloop van een tweedegraadsfunctie

We onderzoeken voor een kwadratische functie f : y =ax2 +bx +c, met a E JR0 en b, c E JR. ,welk teken het beeld y heeft als het argument x het hele domein (= R.) doorloopt.Voor een kwadratische functie f : y =ax2 +bx +c, met a E 1R0 en b, c E JR. , zijn er driegevallen mogelijk die we grafisch onderzoeken.

I .

'De tweedegraadsfurietie heeft buiten de r i u l p u n t e n h e t z e l f d e - t k ~ n als a, tUssende nulpi.Jl1ten l . J . ~ t tegengestelde teken vn"a en o"p de imlpunten is ze 0. .

De tweedegraadsfunctie heeft buiten het nulpunt hetzelfde teken als a en ophet nulpurii is ze 0.

. . . . .De tweedegiaadsfunctie heeft overal hetzelfde teken als a .. . .

1


44/48

4. Ongelijkheid van de tweede graad met n onbekendeStandaardvorm

ax 2 +bx+cO~

of ax2 +bx+c-:t 0

5. Een ongelijkheid van de tweede graad met n onbekende oplossenMethode1) Herleid de ongelijkheid op nul.2) Bepaal het tekenverloop van het linkerlid.3) Lees de oplossingenverzameling af uit dit tekenverloop.

Voorbeeld 1 : Los op in lR : x 2 ~ 6-xW h 1 d d li"kh "d 1 x Q.. -5:. Qer e1 en e onge J e1 op nu : ...... :7.)$. .. ; .b . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ._ . .We onderzoeken het tekenverloop van het linkerlid : 1-.. 2 -t >


45/48

Voorbeeld 2: Los op n ~ : 3x > 2x2 +5 (;:::) - :2. X 2. -; 3 x. _ ~ ) 0- 2.x L. -+ ~ ~ - S =o) -D .:: 6 ;j_ - Y . ( - ~ ) . ( SJ

= 9 - LiO = - 3A < 0T ~ ~ ~ :

~ ~ -

I ~ r l e . l . r ~ - z. + 3 " -s cpL ;: rRVoorbeeld 3: Los op n ~ : x2 > 4x 2 - -4 = o

D :::. a 2.. - Lf , .11 . ( - Y )= 0 -t i ~

- ~:.. -0- 4 .: - ~4 .:; - -2

T ~ \ . . - v ' { ; oopy -+;0- 0-+

- 2..

fJ..

----

""I -:< J.:..---i l-~ J- 0 0 I - ~ L J r" t ~ lu ';/,. J

Extra voorbeelden: Zie Hb. p. 153-154

6. Vraagstukken die leiden to t tweedegraadsongelijkheden met n onbekendeVoorbeeld: Zie Hb. p.154 -155

4


46/48

7. GrafiSch oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graadVoorbeeldenUitgaande van de grafiek van de tweedegraadsfunctie f : y = -x2 + 2x + 3 kun je deoplossingenverzamelingen van volgende vergelijkingen en ongelijkheden aflezen.

. y

x

x

-x 2 +2x + 3 =0Om deze vergelijking op te lossen moet jevolgende vraag stellen over de functie f :Voor welke x-waarden zijn de corresponderendey-waarden gelijk aan nul?Het antwoord lees je af op de grafiek van f :

of x= ~

-x 2 + 2x + 3 < 0Om deze ongelijkheid op te lossen moet jevolgende vraag stellen over de functie f :Voor welke x-waarden zijn de corresponderendey-waarden strikt negatief?Het antwoord lees je af op de grafiek van f :

x( A of x) 3~ o/- =J - b:) J - "l [ ;..' J b., i 0'-"' [

-x 2 + 2x + 3 >0Om deze ongelijkheid op te lossen moet jevolgende vraag stellen over de functie f :Voor welke x-waarden zijn de corresponderendey-waarden positief?Het antwoord lees je af op de grafiek van f :

-


47/48

y

1 t xY>--:5 \\L:y ~ ~ : : j . __ :

y

y5

- - - - - ~ - - r - - ~ - - - - 4Om deze ongelijkheid op te l


48/48

Opgave

.....

== -o o . . c . . ~ .r< J > ~ < ~ - D ( ~ \ . L G L J

x

. __ _! . . 1. - - - ~ - + - - - - ~ - - - ~ - ~ - -- --: .....: ,. -. -: .

' , I ~ ~ : : : : . . . . . :

--- - -- - ~ - y - .......,.-_: 1-

0' . - t

. - ____ _: !. ! :

- - ;_ ---- ~ - - - - - l - - ~ - - ~ . : . . . . . . . . _ ! _ _ _ -- ;__ -- ...... ____: ...__ j_ - -- .. .. , . ___L___ l; i i . l .. ' :______j_j _- '-- ' - __'..:..:...--!___ ,._,__ _; __ ,_ ;_______ - - - - ~ - - - - - ~ - - ~ - - ' ' " ' i _ __:__ ~ ; _ _ , , ___ ..< ... ~ w ~ ~ j ,".,:_,,_L_ _ :: : : : i ; ~ - S 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ! ~ ~ * ~ ~ : - : b ~ ; - ~ r i g ~ l i ] ~ i ~ ~ . ~ 6 ~ : ~ ~ ~ ~ : ~ : : : . d . ~ - - : ~ ~ ~ i ~ i , ; : = . . __ : : : ~ : ~ ; n ~ ~ : : ~ ? : ? \ : : , ~ , } / , { . : .... :-

6) - x2 + 4x - 5 = 0,.L t

3) x2 - x- 6$0? ~ ~r -,t.:- 2;., J .? J

5) x2 - x - 6 < -4

2405TweedeGraadsFuncties

Documents

Transcript of 2405TweedeGraadsFuncties