1

De tijd van Hilbert

Bert Seghers

Vakgroep Wiskunde

Universiteit GentGastlezing LAAM II

16 mei 2013

2

De tijd van Hilbert

David Hilbert

De grond-slagencrisis

Wiskunde aan het begin

van de twintigste eeuw

3

Achtergrond

• Europa, 2de golf IR

• Snelle ontwikkeling wiskunde

• Gauss, Weierstrass

• Niet-Euclidische meetkunden

‧ Bolyai

‧ Lobachevsky

4

Hilberts jeugd in Königsberg

• °1862, vader rechter

• Wiskundige traditie Königsberg

• Hilbert geen wonderkind

5

Cantors verzamelingenleer (1873)

• Originele behandeling oneindig

• Verschillende oneindigheden

• Reëlen overaftelbaar

• Controverse (transcendenten)

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat,soll uns niemand vertreiben können (Hilbert, 1925)

6

Hilbert op rondreis

• Naar Leipzig: Felix Klein

• Legendarisch wiskundige

7

Hilbert op rondreis

• Naar Leipzig: Felix Klein

• Legendarisch wiskundige

• Naar Parijs: Henri Poincaré

• Jordan, Poincaré, Hermite

8

Hilbert op rondreis

• Naar Leipzig: Felix Klein

• Legendarisch wiskundige

• Naar Parijs: Henri Poincaré

• Jordan, Poincaré, Hermite

• Naar Berlijn: Leopold Kronecker

9

Probleem van Gordan (1888)

• Eindige basis invarianten?

• Hilberts basisstelling

• Verrassing, tegenstand

• Existentie volgens Hilbert

en Kronecker

• Volgende jaren aanvaard

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie. (Gordan, 1888)

10

Hilbert naar Göttingen (jaren ‘90)

• Klein haalt Hilbert naar Göttingen

• Open deur, conversatie

• MS gaf opdracht getaltheorie

• 1897: Zahlbericht

11

12

Axiomatisatie van de meetkunde (1899)

• 1891: Halle

• Grundlagen der Geometrie‧ 21 axioma’s

‧ Eenvoud

‧ Compleetheid

‧ Onafhankelijkheid

‧ Consistentie

• Invloedrijk werk

13

De 23 problemen van Hilbert (1900)

• 1900, Parijs, 2de ICM

• Legendarische speech

• Belangrijke problemen

• Nieuwe takken wiskunde

In der Mathematik gibt es kein ignorabimus (Hilbert, 1900)

14

Enkele problemen van Hilbert (1900)

1. Continuümhypothese2. Consistentie van de rekenkunde6. Axiomatisatie van de fysica8. Riemannhypothese en

Vermoeden van Goldbach10. Diophantische vergelijkingen18. Vermoeden van Kepler24. Bewijstheorie (ontdekt 2000)

15

Hilbert bekendste wiskundige

• Speech trekt aandacht en

verbeelding van alle wiskundigen

• Honderden studenten

• Blijft langdurig open problemen

oplossen

Je hebt de gehele wiskunde van de twintigsteeeuw aan je verpacht! (Minkowski, 1900)

16

Paradox van Russell (1903)

• Rampzalig‧ Verzamelingenleer ┴ Ω

‧ Verzamelingtheoretici haken af

• Hilbert: bewijstheorie

• Zermelo‧ Interesse in fundamenten

‧ Zelf paradox ontdekt

‧ Wohlordnungssatz

Zij R de verzameling van alle verzamelingen die geen element zijn van zichzelf. R is

element van R als en slechts als dat niet zo is. (vrij naar Russell, 1903)

17

Wohlordnungssatz (1904)

• Zermelo: Elke verzameling

heeft een welordening

• Contra-intuïtief

• Massale kritiek

• Volgende stap: …

18

Axiomatisatie van de verzamelingenleer (1908)

1.AXIOMA VAN EXTENSIONALITEIT (AXIOM DER BESTIMMTHEIT). Als elk element van een verzameling M ook een element is van N en omgekeerd, dan is M = N.

2.AXIOMA VAN ELEMENTAIRE VERZAMELINGEN (AXIOM DER ELEMENTARMENGEN). Er bestaat een verzameling, de ledige, , die geen elementen bevat. Voor elk object ∅ a van het domein bestaat er een verzameling {a} die alleen a als element bevat. Als a en b twee objecten zijn uit het domein, bestaat er altijd een verzameling {a, b} die beide objecten a en b bevat en geen enkel ander verschillend van die twee.

3.AXIOMA VAN SEPARATIE (AXIOM DER AUSSONDERUNG). Wanneer de propositionele functie p(x) gedefinieerd is voor alle elementen van een verzameling M, dan bevat M een deelverzameling die juist alle elementen x uit M bevat waarvoor p(x) waar is.

4.AXIOMA VAN DE MACHTVERZAMELING (AXIOM DER POTENZMENGE). Met elke verzameling T correspondeert een verzameling, genaamd de machtverzameling, die als elementen precies alle deelverzamelingen van T bevat.

5.AXIOMA VAN DE UNIE (AXIOM DER VEREINIGUNG). Met elke verzameling T correspondeert een verzameling UT, de unie van T, die als elementen precies alle elementen van elementen van T bevat.

6.KEUZEAXIOMA (AXIOM DER AUSWAHL). Als T een verzameling is wiens elementen verzamelingen zijn verschillend van en onderling disjunct, bevat de unie U∅ T ten minste een deelverzameling die een en slechts een element gemeen heeft met elk element van T.

7.AXIOMA VAN ONEINDIGHEID (AXIOM DES UNENDLICHEN). Er bestaat ten minste een verzameling in het domein die de ledige verzameling als element bevat, en zo is opgebouwd dat voor elk van zijn elementen a, ook het corresponderende element van de vorm {a} erin bevat is.

19

20

Ontwikkelingen in de fysica

• Ontdekkingen vragen modellen‧ 1887: Lichtsnelheid constant

‧ 1888, 1896: Elektromagnetische straling

‧ 1900: Kwantumhypothese

‧ 1904: Modellen aanloop relativiteitsprincipe

‧ 1905: Einstein

‧ 1897, 1911, 1913: Atoommodellen

• Hilbert vanaf 1905

Fysica is veel te moeilijk voor fysici. (Hilbert)

21

Einstein en Algemene Relativiteit (1915)

• Gravitatieveldvergelijkingen:

Hilbert-Einsteinvergelijkingen

• Spiekbrief

• Impact op Hilbert‧ Cursus algemene relativiteitstheorie

‧ 3-dimensionale Euclidische ruimte

verliest haar bevoorrechte rol

Iedere jongen in de straten van Göttingen weet meer van vierdimensionale meetkunde dan

Einstein. Desondanks deed hij het werk, en niet de wiskundigen. (Hilbert)

22

Intuïtionisme (1918)

• Brouwer met 3 artikelen

• Wiskunde baseren op intuïtie

• Verwerpt tertium non datur voor

oneindige verzamelingen

• Hilbert: «Gevaar voor wiskunde»

• Alternatief: bewijstheorie

De wiskundige tertium non datur ontnemenis hetzelfde als ... de bokser het gebruik van

zijn vuisten ontnemen. (Hilbert, 1928)

23

Hilberts programma (jaren ’20)

• Wiskunde: inhoudsvolle begrippen en logische bewijzen• Dit kan allemaal geformaliseerd worden • Studieobject: sequenties van symbolen, syntactische

manipulaties volgens logicaloze regeltjes• Voordeel: formules eindig, finitistische methoden• Hilberts programma (formalisme)

‧ Wiskunde formaliseren‧ Metatheorie ontwikkelen‧ Metamathematisch constistentiebewijs

24

Hilberts programma: caveat!

• Kritiek: betekenisloos woordenspel

• Maar slechts oplossing

• NIET ware toedracht van wiskunde

• Formalisme ≠ overtuiging

• Hilbert ≠ formalisme

25

Gödel (1930)

« Wir müssen wissen

wir werden wissen »

• Op dat moment…

Wir müssen wissen, wir werden wissen. (Hilbert, 1930)

26

Gödel (1930)

• Doctoraatsthesis Kurt Gödel

‧ Volledigheid van de predikaatcalculus

‧ Onvolledigheid van de rekenkunde

‧ Consistentiebewijs onmogelijk

Wir müssen wissen, wir werden wissen. (Hilbert, 1930)

27

Einde (1933-1943)

• Göttingen overleeft Hitler niet

• « Wiskunde in Göttingen?

Er is er echt geen meer! »

• Scherp onderzoek logica

• † 1943

Er zijn slechts twee soorten wiskundigen: zij die problemen van erkende waarde aanpakken en

oplossen, en zij die dat niet doen. (Hilbert, 1919)

28

29

30