1 數 論

1-1 數系的發展與簡介

1-2 數系的四則運算

1-3 因數與倍數

1-4 最大公因數與最小公

倍數

公式複習

習題

數學 I Mathematics

2

在日常生活中，舉凡交易、溝通、聯繫、紀錄等種種的人類活動，

莫不與數系(Number System)有著極大的關聯性。舉例來說，如果你去餐

廳吃飯，結帳時，付了一張 1000 元的鈔票給櫃檯，而店員從收銀機裡

拿出 12 元找你，這種付錢與找錢的交易行為，就是數系的概念。又假

設你賺了一筆錢，將它存入銀行帳戶裡，此時，銀行就會按期支付利息

給你，而利息的計算就牽涉到小數的觀念。其他諸如：入學考試分數、

歌唱比賽名次、產品的進貨、銷貨、存貨⋯⋯等，皆和數系密不可分。

現在，我們就來一一介紹各種數系系統的發展與性質，並舉一些與數系

有關的應用問題。

1-1 數系的發展與簡介

一般而言，數系包括自然數（正整數）、整數、有理數、無理數、

實數和複數系統。遠古時期，「數」的符號和概念尚未出現在人類歷史

以前，人類是以結繩或刻畫刻痕來計數的，從中國古籍《易．系辭》中

的記載：「上古結繩而治，後世聖人易之以書契。」就不難窺見以前的

計數方法。然而，一旦計數的數目多了，這種結繩或刻畫刻痕的數量統

計方式就會變得不方便了，為了簡化計數的複雜度，便創造了 1, 2, ⋯9

等數字，並漸漸演化出二進位、十進位、十六進位等進位制度與加、減、

乘⋯種種的運算法則。在此，簡要介紹各種數系如下：

自然數的定義如下：

自然數： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ⋯等數字，稱為自然數(Natural

Number)，自然數也就是正整數。

例如： 班費 100 元、動物園的門票 20 元、一客排骨飯 85 元等等，其中

的 100, 20, 85 等數字，就是自然數。

數 論

3

1

當自然數不夠用時，便衍生出負整數的概念。負整數的觀念最早是

由中國引進的，如： − 1, − 2, − 3 ⋯等皆是負整數。另外，我們又加入

了 0 這個數。0 來自於印度的“sunya”這個字，亦即「空」或「空白」

之意。0 很特別，它雖然是整數，但既不屬於正整數，也不屬於負整數。

有了負整數或 0 之後，我們就可定義整數如下：

整 數： 由自然數、零、負整數所組成的數，稱為整數(Integer Number)。

例如： 欲購買一張 12元的郵票，結果只能付 10元，不足 2元。而這「不

足 2元」的概念，就是負整數的概念，以 − 2 記之。

當整數不夠用時，分數的概念就應運而生了。約於公元前 17 世紀，

古埃及人就已經開始使用分數，這些分數，我們稱它為有理數。關於有

理數的定義如下：

有理數： 凡是能寫成分數的數，稱為有理數(Rational Number)，又稱為

比數。根據此概念，我們可知，整數、有限小數（如：2.3）、

無限純循環小數（如： 0.9999⋯）都是有理數。

例如： 2, 0, − 3, 1.4, 4

5, 2.33333⋯等數，都是有理數。

(1) 無限純循環小數的循環記號表示法：

表示方式： 0. 0.=aaaaa a； 0. 0.=ababab ab。數字上面的 （讀做

bar），稱為循環記號。

例如： 0.33333 0.3= ； 0.121212 0.12= 。

(2) 無限純循環小數的分數表示法：

表示方式：0.9

= aa ；0.99

= abab ；0.090

= aa ；0.90

−= ab aab ；0.990

−= abc aabc 。

例如： 2

0.29

= ；13

0.1399

= ；7

0.0790

= ；12 1 11

0.1290 90

−= = ；128 1

0.128990

−=

127

990= 。

數學 I Mathematics

4

約在公元前 530 年，畢達哥拉斯學派已經知道邊長為 1之正方形對

角線的長度不會是有理數。所以，為了表示各種幾何量（例如：長度、

面積、體積）與物理量（例如：速率、力的大小），人類很早就發現有

必要引進無理數。關於無理數的定義如下：

無理數： 凡是不能寫成分數的數，稱為無理數(Irrational Number)，又稱

為非比數。只要是不循環的無限小數，就是無理數。

例如： 2 1.4142= ⋯ , 3

0.866022

= ⋯ , 1.234294057380…,

3.14159=π ⋯等皆是無理數。

實數系的邏輯基礎，一直到 19 世紀的 70 年代才得以奠定。從 19

世紀的 20 年代肇始的數學分析嚴密化潮流，使得數學家們體認到必須

建立嚴格的實數理論。在這方面，外爾斯特拉斯(1859)、梅雷(1869)、

戴德金(1872)與康托爾(1872)都有著傑出的貢獻。關於實數的定義如下：

實 數： 由有理數和無理數所組成的數，稱為實數(Real Number)。

例如： 2,0, − 5,1

4, 0.33333⋯ , 2 ,1.2345690768⋯, π 等皆是實數。

在解一元二次方程式時，就難以避免出現所謂虛數和複數的情形。

關於複數以及其代數運算的幾何表示方式，是由18世紀末到19世紀 30

年代的韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。此外，對於從實數擴張到複

數的過程，哈密頓(1843)也有著很大的貢獻。現在，我們就定義虛數和

複數如下：

數 論

5

1

複 數： 當平方根內出現負數時，此時帶有負數之平方根的數，就稱為

虛數(Imaginary Number)。虛數通常以 i表示，並規定 1= −i ，

而由實數 a 和虛數 bi所組成形如 +a bi的數，就稱為複數

(Complex Number)。舉凡所有的實數和虛數，都是複數。

例如： 2, − 3,0.5, 2 , 5 , 2 3 , 4+ −i i i等皆是複數。

範例 1-1

給定下列各數：3 3 3

1, 0, 5, 4, , 7 , 2, , ,4 7 2

− − −i 1.73, 0.3, 5,−

, 2 3− iπ 。請問自然數、整數、有理數、無理數、實數、虛數與複數

分別為何？

自然數有：1, 5等數。

整數有：1, 0, 5, 4, 5− − 等數。

有理數有：3 3

1, 0, 5, 4, , , 1.73, 0.3, 54 7

− − − 等數。

無理數有：3

2, , 2

− π 等數。

實數有：3 3 3

1, 0, 5, 4, , 2, , , 1.73, 0.3, 5, 4 7 2

− − − − π 等數。

虛數有： 7 , 2 3−i i等數。

複數有：3 3 3

1, 0, 5, 4, , 7 , 2, , , 1.73, 0.3, 5, , 2 34 7 2

− − − − −i iπ 等數。

數學 I Mathematics

6

茲將數系彼此間的包含關係，以圖示分類說明如下：

圖 1-1 數系分類圖

圖 1-2 數系的包含關係圖

數 論

7

1

1-2 數系的四則運算

給定某一數系中的數，例如：有理數系中的兩數 2 和 0.3。則此兩

數經過加、減、乘、除的四則運算後，是否仍是有理數呢？倘若某數系

中的兩數經過運算後仍為該數系中的數，這種性質，我們就稱為封閉

性。現在，我們就來探討自然數（正整數）、整數、有理數、實數系統

經四則運算後是否仍具封閉性的問題。

1. 自然數的四則運算

給定兩正整數，則兩正整數經過相加、相乘後，仍為正整數；然而

兩正整數經過相減、相除後，不一定為正整數。

例如： 給定 2 和 4，則 2 4 6+ = ， 2 4 8× = ，為正整數；但是， 2 4 2− = − ，

2 4 0.5÷ = ，不為正整數。

2. 整數的四則運算

給定兩整數，則兩整數經過相加、相減、相乘後，仍為整數；然而

兩整數經過相除後，不一定為整數。

例如： 給定 2− 和 4，則 ( )2 4 2− + = ， ( )2 4 6− − = − ， ( )2 4 8− × = − ，為整

數；但是， ( )2 4 0.5− ÷ = − ，不為整數。

任意兩整數「同除」時，「零」不能當除數。

3. 有理數的四則運算

給定兩有理數，則兩有理數經過相加、相減、相乘、相除後，仍為有

理數。

(1) 任意兩有理數「同除」時，「零」不能當除數。

(2) 任意兩個無理數經過四則運算後，不一定為無理數，讀者可自行試著

舉反例看看。

數學 I Mathematics

8

通常，我們可以利用除法，將有理數化成有限小數或無限純循環小

數。參見如下範例：

範例 1-2

給定 3 73 3 5, , , 0.3,

5 12 7 2− ，請問哪些數可以化成有限小數？

3

3 5 0.65

= ÷ =

7373 12 6.0833333 6.083

12= ÷ = ⋅⋅⋅ =

33 7 0.428571428571428571 0.428571

7= ÷ = ⋅ ⋅⋅ =

0.3 0.3333− = − ⋅ ⋅ ⋅

55 2 2.5

2= ÷ =

由上面的計算可知，3

5和

5

2可以化成有限小數。

關於無理數的計算，習慣上，我們會將平方根化簡成形如n q

m， q

為正整數、 m , n為整數的形式，此種形式的根式稱為最簡根式。

範例 1-3

將下列各無理數化成最簡形式：

(1) 27 (2) ( 5 3)( 5 3)+ − (3) 20 36 40+ +

數 論

9

1

(1) 3 227 3 3 3= = ×

2 227 3 3 3 3 3 3= × = × =

(2) 利用平方差的公式，則：

2 2( 5 3)( 5 3) ( 5) ( 3) 5 3 2+ − = − = − =

(3) 220 2 5= × ， 236 6= ， 3 2 240 2 5 2 2 5 2 10= × = × × = ×

2 2 2

2 2 2

20 36 40 2 5 6 2 10

2 5 6 2 10

2 5 6 2 10

2(3 5 10)

+ + = × + + ×

= × + + ×

= + +

= + +

一般而言，若分數的分母為無理數時，我們通常會將其分母化成有

理數，此種化簡的過程稱為有理化(Rationalization)。

範例 1-4

將下列各式有理化：

(1) 1

3 2+ (2) 3 2

2 5+ (3) 3

7 5−

(1) 先將 1

3 2+的分子和分母同乘 3 2− 後，利用平方差的公式，可得：

2 2

1 1 3 2 3 23 2

3 2 3 2 3 2 ( 3) ( 2)

− − = × = = − + + − −

數學 I Mathematics

10

(2) 3 2 3 2 3 2 2 5 6 10

2 5 2 52 5 2 2 5 5

× ×+ = + = + = +× ×

(3) 先將 3

7 5−的分子和分母同乘 7 5+ 後，利用平方差的公式，可得：

2 2

3 3 7 5 3( 7 5) 3( 7 5)

27 5 7 5 7 5 ( 7) ( 5)

+ += × = = + − − + −

4. 實數的四則運算

給定兩實數，則兩實數經過相加、相減、相乘、相除後，仍為實數。

(1) 所有的實數都滿足遞移律的性質，即：給定任意實數 a、b、c，若 a b>且 b c> ，則 >a c。

(2) 給定任意實數 a、 b、 c，若 >a b，則：

① + > +a c b c； − > −a c b c。

② 當 0>c 時， a c b c× > × ， ÷ > ÷a c b c ；當 0<c 時， a c b c× < × ，

÷ < ÷a c b c。

範例 1-5

試比較下列各數的大小：

(1) 11 11 11, ,

23 24 25 (2) 17 11 7

, , 19 13 9

(1) 因為 23 24 25< < ，所以 1 1 1

23 24 25> > ，因此， 1 1 1

11 11 1123 24 25

× > × > ×

即 11 11 11

23 24 25> >

數 論

11

1

(2) 17 21

19 19= − ， 11 2

113 13

= − ， 7 21

9 9= − 。

因為 9 13 19< < ，所以1 1 1

9 13 19> > ，所以

1 1 12 2 2

9 13 19× > × > × ，即

2 2 2

9 13 19> >

又 2 2 2

19 13 9− > − > − ，所以 2 2 2

1 1 119 13 9

+ − > + − > + −

因此 17 11 7

19 13 9> >

在此，我們列舉一些數系在醫學方面的應用。

※應用 1：靜脈注射問題

當醫院的護理人員為病人注射點滴時，除了須注意到點滴流動的規

律性外，對於注射時間的掌握，也是非常重要的。在醫學上，點滴注射

時間的掌握，是由所謂的滴數因子(Drop Factor)來衡量，滴數因子的定

義是：每毫升(ml)所注射之注射液的滴數(gtt)，單位為 gtt/ml。其功用

是用以衡量在單位時間內應該注射的點滴量。公式如下：

注射液的總滴數＝每單位時間注射液的滴數×單位時間的總數

1 升(L)=1000 毫升(ml)=1000c.c.。

※範例 1-6

醫師開具某病人的處方如下：給予「乳酸鹽林格氏溶液」1000c.c.

的靜脈注射，並在 5 小時內注射完畢，且滴數因子為 15gtt/ml。請問

護理人員每分鐘需給予此病人注射大約多少滴的注射液？

數學 I Mathematics

12

由滴數因子可知，護理人員為此病人注射「乳酸鹽林格氏溶液」的注射

量為每毫升 15 滴，而此「乳酸鹽林格氏溶液」共有：15 × 1000=15000

滴。又 5 小時等於 300 分，所以，護理人員每分鐘需給予此病人該溶液

的注射滴數為：

15000 300 50÷ =

故護理人員每分鐘需給予此病人注射 50 滴的「乳酸鹽林格氏溶液」。

醫藥小常識

乳酸鹽林格氏溶液 (Lactated Ringer's Solution)：用於靜脈注射，功能

為補充體內的電解質。

應用 2：身高與體重問題

體重對於健康有著莫大的影響，過胖或過瘦都會對身體器官及機能

造成負荷，進而損傷器官，影響壽命。因此，擁有標準的體重，是許多

人所關心的問題。如何確知自己的體重過輕、標準或過重呢？根據行政

院衛生福利部所公布的體重計算公式，男生和女生的標準體重計算方式

不盡相同，公式如下：

男生： [ ]80 0.7= − ×標準體重（公斤） 身高（公分）

女生： [ ]70 0.6= − ×標準體重（公斤） 身高（公分）

若超過標準體重 20%以上，則為肥胖症；若超過標準體重 10~20%，

則為體重過重；同樣地，若低於標準體重 20%以上，則為體重過輕；若

少於標準體重 10~20%，則為體重不足。

數 論

13

1

範例 1-7

某位男生身高 174 公分，體重 76 公斤，請問他的體重標準嗎？

是否需要增重或減肥？

根據男生的標準體重計算公式，我們可知： (174 80) 0.7 65.8− × = ，此男

生的體重比標準體重多 76 65.8 10.2− = 公斤，亦即該男生的體重超過標準

體重10.2 65.8 15.5%÷ ≈ 。所以，此男生屬於體重過重，因此需要減肥。

※應用 3：藥物劑量計算問題

關於藥物劑量方面，同一種藥物，成人所需劑量的多寡和兒童所需

劑量的多寡就不同。而兒童所需的劑量又必須根據其實際年齡來衡量。

醫學上，在用藥時，我們以楊氏法則來決定某藥物之兒童所需劑量。公

式如下：

12= ×

+兒童年齡

兒童藥物所需劑量 成人藥物所需劑量兒童年齡

※範例 1-8

若某一抗生素成人所需劑量為 0.35 公克，依照楊氏法則計算，

則一位 2 歲的小朋友所需此抗生素的劑量為多少毫克？

根據楊氏法則，此 2歲的小朋友所需此抗生素的劑量為2

0.352 12

×+

0.05= 公克，即 50 毫克。

數學 I Mathematics

14

※應用 4：護理時數問題

目前越來越多的醫院引進企業化的經營方式來管理醫院，其優點是

除了能提昇醫療品質外，對於人事費用的龐大開銷，亦能進行有效的控

管，使人力資源不至於過剩或匱乏。在醫學上，有所謂的「護理時數」

的問題。透過護理時數的計算，我們可以精算出ㄧ家醫院照顧所有病人

的總時數，同時搭配床位的使用率，進而決定該家醫院所需護理人員的

人數。所謂的護理時數，是指每位病人需要護理人員照顧的時數。而平

均每位病人每日所需照顧的時數（簡稱平均護理時數）的計算公式如下：

= 總護理時數平均護理時數

每日實際使用床位數

※範例 1-9

快樂醫院共有 60 張病床，每日床位的平均使用率為 80%，依據

Harris標準將病人區分成五類，病人人數及所需照顧的時數表示如下：

類 別 病人人數 所需照顧的時數

1 10 1.5 小時

2 15 2.0 小時

3 10 2.2 小時

4 10 2.5 小時

5 1 4.0 小時

請問每位病人每日平均所需照顧的護理時數為多少小時？

該醫院每日床位的平均使用張數為 60 80% 48× = 張床。

所有病人所需照顧的總時數為：

數 論

15

1

10 1.5 15 2.0 10 2.2 10 2.5 1 4.0 96× + × + × + × + × = 小時。

因此，平均每位病人每日所需照顧的護理時數為96

248

= 小時。

1-3 因數與倍數

將12支鉛筆分給 5位小朋友，每位小朋友可獲得 2支鉛筆，還剩下 2

支。這樣的概念，我們可以用12 5 2 2÷ = 來表示，亦可寫成12 2 5 2= × + ，

也就是說：

= × +被除數 除數 商數 餘數

此種關係式，我們稱為除法原理(Division Theorem)。

1. 除法原理

給定任意兩整數 a、 b， 0a ≠ ，若 b以 a除之，得到商數為 q，餘數

為 r， 0 ≤ <r a ，則 b可以表示成 = +b aq r 的形式，此種關係式，我們

稱為除法原理。

2. 因數與倍數

在除法原理的關係式 = +b aq r 中，若餘數 0=r ，使得 =b aq，則稱

a整除 b，或是 b被 a整除，記為 a b。其中 a稱為 b的因數(Divisor)，b稱

為 a的倍數(Multiple)。若 a不整除 b，記為 ∣a b。

(1) 1± 為任何整數的因數。

(2) 0 為任何異於零之整數的倍數。

數學 I Mathematics

16

範例 1-10

請寫出 24 的所有正因數和所有因數。

24 可以分解成四組、兩個正整數的乘積，如下所示：

24 1 24 2 12 3 8 4 6

= ×= ×= ×= ×

所以，24 的所有正因數為1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24。故 24 的所有因數為 1, 2,± ±

3, 4, 6, 8, 12, 24± ± ± ± ± ±

3. 質數與質因數

給定一個正整數 n， 1>n 。若 n除了 1 和本身以外，沒有其他的正

因數，則 n稱為質數(Prime Number)。例如：11 除了 1 和 11 自己之外，

沒有其他的正因數。所以，11 為質數。

若 n不為質數，則 n就是合成數(Composite Number)。任意一個正的

合成數可分解成兩個較小的正因數相乘。例如：12 2 6= × ， 20 4 5= × 等

等。12 和 20 都是合成數。

給定一個正整數 n，如何確定該正整數 n為質數呢？

假設 n為合成數，則：n a b= × ，1 a b n< ≤ < 。我們可得： 2 ≤ × =a a b n，

所以， ≥n a。因此，判斷該正整數 n是否為質數的方法是：只要把正

整數 n除以所有小於或等於 n的質數，若這些質數都無法整除正整數 n時，則 n就是質數。

範例 1-11

給定 157 和 237 兩個數，請問哪一個是質數？

數 論

17

1

(1) 157 12.52= ⋅⋅ ⋅

取比 12.52 小的正質數 2, 3, 5, 7, 11 去除 157，結果，2, 3, 5, 7, 11 都

不能整除 157，故 157 為質數。

(2) 237 15.39= ⋅⋅⋅

取比 15.39 小的正質數 2, 3, 5, 7, 11, 13 去除 237，結果， 3 237，故

237 不是質數。

若正整數 n為合成數，則正整數 n經過有限次的分解後，可寫成1 2

1 2= × × × nqq qnn p p p ，其中 1 2< < < np p p 且 1p 、 2p 、⋯、 np 為彼此相

異的質數， 1q 、 2q 、⋯、 nq 為正整數。這樣以質數來分解正整數 n的表

示式是唯一的，此種分解的方式，稱為標準分解式，而 1p 、 2p 、⋯、 np

稱為 n的質因數，故又稱為質因數分解(Prime Factorization)。

通常，給定一個正整數 n，欲將 n標準分解式，可以用正質數 2, 3, 5, 7⋯

逐次嘗試去除 n，直到 n化簡至質數為止。

例如：將 36 標準分解式如下：

36 18 918 9 3 3

2 2 3= → = → = ← 為質數

(2 能整除 36) (2 能整除 18) (2 不能整除 9，故以 3 來除。3 能整除 9)

所以， 2 236 2 2 3 3 2 3= × × × = × 。

以短除法的直式寫法，表示如下：

2 36

218

3 9

3

數學 I Mathematics

18

4. 簡易正因數判別法

當我們去找正整數的正因數時，通常是以 2, 3, 4, 5⋯等數慢慢去除。

然而，有些數字過大的正整數，例如：1234567，倘若我們也是用 2, 3, 4,

5⋯等數一一去除，以確認是否為該正整數的正因數，不但曠日費時，

而且也很不容易找出該正整數的正因數。但是，我們可以利用整數的特

性來找出它的正因數，在此，我們稱為簡易正因數判別法。下面所陳列

的就是常見的幾個正因數判別方法。

(1) 第一類：以尾數判別

種 類 判 別 方 式 例 子

2 的倍數 末一位為 2 的倍數 尾數為 0、2、4、6、8

5 的倍數 末一位為 5 的倍數 尾數為 0、5

(2) 第二類：以各個數字和判別

種 類 判 別 方 式 例 子

3 的倍數 各數字的總和為 3 的倍數 例如：12345、88722

9 的倍數 各數字的總和為 9 的倍數 例如：12348、657

(3) 第三類：以數字差判別

種 類 判 別 方 式 例 子

11 的倍數 奇位數字和－偶位數字和為 11 的倍數 例如：336809

範例 1-12

給定 3645895，2487912，103437，345170 四個數，請問：

(1) 哪些數是 2的倍數？哪些數是 5 的倍數？

(2) 哪些數是 3的倍數？哪些數是 9 的倍數？

(3) 哪些數是 11 的倍數？

數 論

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1

(1) 因為 2487912 的末尾為 2，345170 的末尾為 0，故 2487912 和 345170

是 2 的倍數。

因為 3645895 的末尾為 5，345170 的末尾為 0，故 3645895 和 345170

是 5 的倍數。

(2) 3 6 4 5 8 9 5 40+ + + + + + = ，因為 3∣40， 9∣40，所以 3645895 既不是

3 的倍數，也不是 9 的倍數。

2 4 8 7 9 1 2 33+ + + + + + = ，因為 3 33， 9∣33，所以 2487912 是 3 的倍

數。

1 0 3 4 3 7 18+ + + + + = ，因為 318， 9 18，所以 103437 是 3 的倍數，

也是 9 的倍數。

3 4 5 1 7 0 20+ + + + + = ，因為 3∣20， 9∣20，所以 345170 既不是 3 的

倍數，也不是 9 的倍數。

(3) 因為 (3 4 8 5) (6 5 9) 0+ + + − + + = ，11 0，所以 3645895 是 11 的倍數。

(2 8 9 2) (4 7 1) 9+ + + − + + = ，11∣9；(1 3 3) (0 4 7) 4+ + − + + = − ，11∣( 4)− ；

(3 5 7) (4 1 0) 10+ + − + + = ， 11∣10；所以 2487912，103437，345170

都不是 11 的倍數。

1-4 最大公因數與最小公倍數

給定兩整數 a、b，則兩整數 a、b的共同因數，稱為公因數(Common

Factor)。公因數中最大者，稱為最大公因數(Greatest Common Factor)，

記為 ( )gcd ,a b 或 ( ),a b ；兩整數 a、 b的共同倍數，稱為公倍數(Common

數學 I Mathematics

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Multiple)。正公倍數中最小者，稱為最小公倍數(Least Common Multiple)，

記為 [ ],lcm a b 或 [ ],a b 。

若 ( ), 1=a b ，即 a和 b兩整數除了 1 以外，沒有其它的公因數，則稱此兩整

數 a、 b互質(Relatively Prime)。

以下提供三種最大公因數和最小公倍數的求法。

最大公因數的求法

(1) 列舉法

將每個整數的所有因數列出來，取其共同的因數（公因數），其中公

因數中最大者，即為這些整數的最大公因數。

(2) 質因數分解法

將所有的整數經過標準分解式後，取其共同的質因數且取共同質因

數之最小次方，相乘後，其乘積即為這些整數的最大公因數。

(3) 短除法

將每一個整數並列，逐次以共同的因數去除，直到沒有共同的因數

為止，則所有共同因數的乘積，即為這些整數的最大公因數。

最小公倍數的求法

(1) 列舉法

一一舉出每個整數的倍數，取其共同的倍數（公倍數），其中正公倍

數中最小者，即為這些整數的最小公倍數。

(2) 質因數分解法

將所有的整數經過標準分解式後，取其所有的質因數且取所有質因

數之最大次方，相乘後，其乘積即為這些整數的最小公倍數。