Zomercursus wiskunde B - Goniometrie

Zomercursus wiskunde BGoniometrie

Jolien OomensJ.J.Oomens@uva.nl

Korteweg-de Vries Instituut voor WiskundeFaculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Universiteit van Amsterdam

7 juli 2017

Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken in radialen

180◦

60◦120◦

135◦

150◦

210◦

225◦

240◦

270◦

300◦

315◦

330◦

360◦0

Hoeken op de cirkel

cosα = xP

Hoeken op de cirkel

cosα = xP

sinα = yPP

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP 0

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP 0

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP 0

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

sinα = yP 0

√2 1

√3 1 0

Cosinus en sinus

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

sinα = yP 0

√2 1

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

sinα = yP 0

√2 1

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

0 − 1

sinα = yP 0

√2 1

Cosinus en sinus

π2 π

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

0 − 1

sinα = yP 0

√2 1

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

0 − 1

sinα = yP 0

√2 1

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1

√3 1

√2 1

0 − 1

sinα = yP 0 12

√2 1

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1 12

√2 1

0 − 1

sinα = yP 0 12

√2 1

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1 12

√2 1

0 − 1

sinα = yP 0 12

√2 1

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1 12

12 0 − 1

sinα = yP 0 12

√2 1

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1 12

12 0 − 1

sinα = yP 0 12

√3 1 0

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1 12

12 0 − 1

sinα = yP 0 12

√3 1 0

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1 12

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP 0 12

√3 1 0

Cosinus en sinus

α 0 π6

π2 π

cosα = xP 1 12

√3 1

√2 1

2 0 − 1

sinα = yP 0 12

√2 1

√3 1 0

Rekenen met sinus en cosinus

Bereken:

sinπ = 0

cos(−π) = −1cos 3π

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos(−π)

= −1cos 3π

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos(−π) = −1

cos 3π2 = 0

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos π6

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos π6

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sinπ = 0

cos π6 = 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

cos 5π4 = − cos 7π

4 = − cos π4 = −1

sin 11π6 = − sin π

6 = −12

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3

= sin π3 = 1

cos 5π4

= − cos 7π4 = − cos π

4 = −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3

= sin π3 = 1

cos 5π4

= − cos 7π4 = − cos π

4 = −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3

= sin π3 = 1

cos 5π4

= − cos 7π4 = − cos π

4 = −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

cos 5π4

= − cos 7π4 = − cos π

4 = −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

cos 5π4

= − cos 7π4 = − cos π

4 = −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

cos 5π4

= − cos 7π4 = − cos π

4 = −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

cos 5π4

= − cos 7π4 = − cos π

4 = −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

= − cos π4 = −1

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

= − cos π4 = −1

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

4 = − cos π4

= −12

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

4 = − cos π4 = −1

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

4 = − cos π4 = −1

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

4 = − cos π4 = −1

sin 11π6

= − sin π6 = −1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

4 = − cos π4 = −1

= −12

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Bereken:

sin 2π3 = sin π

3 = 12

4 = − cos π4 = −1

6 = −12

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

Grafieken van de cosinus en sinus

Vergelijkingen met cosinus en sinus

Los op: cos(x) = 12 .

We vinden x = π3 of x = 5π

π 3π2

y = cos x

π 3π2

y = cos x

π 3π2

y = cos x

π 3π2

y = cos x

−π −π2

π 3π2

2π 5π2

y = cos x

−π −π2

π 3π2

2π 5π2

y = cos x

−π −π2

π 3π2

2π 5π2

y = cos x

−π −π2

π 3π2

2π 5π2

y = cos x

We vinden x = π3 + k · 2π of x = 5π

3 + k · 2π .

−π −π2

π 3π2

2π 5π2

y = cos x

We vinden x = π3 + k · 2π of x = 5π

3 + k · 2π met k geheel.

−π −π2

π 3π2

2π 5π2

y = cos x

Gegeven 1 oplossing x0 voor cos x = 12 , hoe vinden we de rest?

We zien dat −x0 ook een oplossing is. Alle oplossingen:

x = x0

+ k · 2π

of x = −x0

+ k · 2π, k geheel.

Nu sin x = 12 , met 1 oplossing x0:

x = x0 + k · 2π of x = π − x0 + k · 2π, k geheel.

x = x0

+ k · 2π

of x = −x0

We zien dat −x0 ook een oplossing is.

Alle oplossingen:

x = x0

+ k · 2π

of x = −x0

x = x0

+ k · 2π

of x = −x0

x = x0 + k · 2π of x = −x0

x = x0 + k · 2π of x = −x0 + k · 2π

, k geheel.

x = x0 + k · 2π of x = −x0 + k · 2π, k geheel.

x = x0 + k · 2π

of x = π − x0 + k · 2π, k geheel.

x = x0 + k · 2π of x = π − x0

x = x0 + k · 2π of x = π − x0 + k · 2π

, k geheel.

Gegeven 1 oplossing x0 voor cos x = u, hoe vinden we de rest?We zien dat −x0 ook een oplossing is. Alle oplossingen:

Nu sin x = u, met 1 oplossing x0:

Voorbeeld: sin x = 12

Met de tabel of sin−1 12

√3 op de rekenmachine vinden we een

oplossing x0 =π3 . Dit geeft

x = π3 + k · 2π of x = π − π

3 + k · 2π = 2π3 + k · 2π,

met k geheel.

oplossing

x0 =π3 . Dit geeft

x = π3 + k · 2π of x = π − π

3 + k · 2π = 2π3 + k · 2π,

met k geheel.

oplossing x0 =π3 .

Dit geeft

x = π3 + k · 2π of x = π − π

3 + k · 2π = 2π3 + k · 2π,

met k geheel.

x = π3 + k · 2π

of x = π − π3 + k · 2π = 2π

3 + k · 2π,

met k geheel.

x = π3 + k · 2π of x = π − π

3 + k · 2π

= 2π3 + k · 2π,

met k geheel.

x = π3 + k · 2π of x = π − π

3 + k · 2π = 2π3 + k · 2π,

met k geheel.

x = π3 + k · 2π of x = π − π

3 + k · 2π = 2π3 + k · 2π,

met k geheel.

Goniometrische formules

Belangrijk om te weten:

tan x =sin x

cos x1 = sin2 x + cos2 x

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

= cos2 x − sin2 x .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

1 = sin2 x + cos2 x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

tan x =sin x

cos 2x = 2 cos2 x − 1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

tanα 0 1√3

1√3 −

sin xP

1sin x

xcos x

Ingewikkeldere opgaven

Los op: cos(2x − 1) = 12 .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π

2x = ±13π + k · 2π + 1

x = ±16π + k · π + 1

met k geheel.

Los op: cos(2x − 1) = 12 .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π

2x = ±13π + k · 2π + 1

x = ±16π + k · π + 1

met k geheel.

Los op: cos(2x − 1) = 12 .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π

2x = ±13π + k · 2π + 1

x = ±16π + k · π + 1

met k geheel.

Los op: cos(2x − 1) = 12 .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π

2x = ±13π + k · 2π + 1

x = ±16π + k · π + 1

met k geheel.

Los op: cos(2x − 1) = 12 .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π

2x = ±13π + k · 2π + 1

x = ±16π + k · π + 1

met k geheel.Jolien Oomens Zomercursus wiskunde B

Los op: cos(2x − 1) = 12 .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π

2x = ±13π + k · 2π + 1

x = ±16π + k · π + 1

Los op: cos(2x − 1) = 12 .

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus 2x − 1 = ±13π + k · 2π

2x = ±13π + k · 2π + 1

x = ±16π + k · π + 1

Los op: sin(2x)−√2 sin(x) = 0. Dit geeft

2 cos(x) sin(x)−√2 sin(x) = 0

sin(x)(2 cos(x)−

√2)= 0

sin(x)(2 cos(x)−

√2)= 0

sin(x) = 0 of 2 cos(x)−√2 = 0

sin(x)(2 cos(x)−

√2)= 0

sin(x) = 0 of 2 cos(x)−√2 = 0

sin(x) = 0 of cos(x) =1

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

α 0 π6

cosα 1 12

√3 1

√2 1

sinα 0 12

√2 1

√3 1

2π33π

5π4 4π

Dus x = kπ of x = ±14π + k · 2π met k geheel.

Opgaven en indeling

Opgaven

17.12, 17.14, 17.15, 17.31 ab, 17.32 ab, 17.33 bc en de eerste tweeopgaven van het stencil.

Antwoorden van de opgaven staan achterin, uitwerkingen van deextra opgaven op http://www.bliggy.net/cursusB.html.

Groepen

De indeling is op basis van je achternaam:

A t/m D: zaal A1.14 (Gideon Jager)

E t/m Kuhl: zaal A1.30 (Jeroen Eijkens)

Kuhlhan t/m Seydel: zaal D1.114 (Sebastian Zur)

Simsir t/m Z: zaal D1.116 (Thijs Benjamins)

Zomercursus wiskunde B - Goniometrie

Documents

Transcript of Zomercursus wiskunde B - Goniometrie

COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D - Informaticawebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/ComplexeGetallen.pdf · geronde stukken wiskunde met een duidelijke probleemstelling en

wiskunde D Zwaartepunten

Appendix E Goniometrie

Wiskunde A of wiskunde B?. HAVO • Wiskunde A • Kansrekening • Kansverdelingen • Beschrijvende statistiek • Formules en grafieken • Lineaire en exponentiële.

Parate kennis wiskunde

Formularium wiskunde

15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan ... · PDF fileVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn

Uitleg wiskunde oefeningen

Handleiding voor Cursusaanbieders 2019 · Utrecht Summer School is gestart met een enkele universitaire zomercursus. De laatste ... In deze handleiding voor cursusaanbieders wordt

K3 H5 Introductie goniometrie

Dienstregelingen en Wiskunde

Deel II Goniometrie en precalculus 2 (recto)

periode wiskunde

Taalbeleid in wiskunde

Lerarenopleiding Wiskunde

Lyceo Wiskunde B Hoofdstuk 3 1 Goniometrie

Zomercursus Wiskunde€¦ · 1.2 Goniometrische formules Hieronder wordt een overzicht gegeven van de belangrijkste verbanden tussen de go-niometrische getallen van hoeken. Verwante

VERVOLGBOEK WISKUNDE

Wiskunde Uitwerkingen H21

Deel Portfolio wiskunde, Deel Problem Solving wiskunde, deel Practicum wiskunde (recto)