Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D Spelen en Delen

Department of Knowledge Engineering

Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D

Spelen en DelenFrank Thuijsman 1 juli 2010

f.thuijsman@maastrichtuniversity.nl

1 juli 2010 2/55

1 juli 2010 3/55

Inhoudsopgave Boekje

1. Een Bankroet Probleem uit de Talmud2. Coöperatieve Spelen3. Rationaliteit en Kennis4. Spelen in Strategische Vorm5. Matrixspelen6. “Huwelijksproblemen”7. Eindopdrachten8. Antwoorden

1 juli 2010 4/55

Programma vanmiddag

1. Een Bankroet Probleem uit de Talmud2. Coöperatieve Spelen3. 4. Spelen in Strategische Vorm5. Matrixspelen6. “Huwelijksproblemen”7. 8.

1 juli 2010 5/55

Een Bankroet Probleem uit de Talmud

100 200 300

100 33.33

200 33.33

300 33.33

Nalatenschap

Weduwe

“Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’

Hoe moet 400 verdeeld worden?

Wat als een vierde weduwe 400 claimt?

Gelijk Proportioneel???

1 juli 2010 6/55

De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft,

als eerst de claims van de andere spelers betaald worden.

Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

100 200 300

100 50

200 75

300 75

S Ø A B C AB AC BC ABC

De nucleolus van het spel

0 0 0 0 0 100 2000

100 200 300

1 juli 2010 7/55

100 200 300

A 100 33.33

B 200 33.33

C 300 33.33

0 0 0 0 0 0 0 100

100 200 300

1 juli 2010 8/55

100 200 300

100 50

200 100

300 150

0 0 0 0 0 100 200 300

100 200 300

1 juli 2010 9/55

Coöperatieve Spelen

v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14

kosten of winsten verdelen op basis van de waarden van de coalities

1 juli 2010 10/55

De Core S Ø A B C AB AC BC ABC

v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14

(14,0,0) (0,14,0)

(0,0,14)

(6,0,8)

(6,8,0)

(0,7,7)

(7,7,0)

(7,0,7)

1 juli 2010 11/55

Lloyd S. Shapley

A value for n-person games, In: Contribution to the Theory of Games, Kuhn and Tucker (eds), Princeton, 1953

1 juli 2010 12/55

De Shapley-waarde

Voor coöperatieve spelen is er precies één oplossingsconcept dat voldoet aan de eigenschappen:

- Anonimiteit

- Efficiëntie

- Dummy

- Additiviteit

De Shapley-waarde Φ geeft elke speler

het gemiddelde van zijn marginale bijdragen

1 juli 2010 13/55

De Shapley-waardeS Ø A B C AB AC BC ABC

v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14

24 27 33

4 4.5 5.5

Marginale bijdragen

1 juli 2010 14/55

David Schmeidler

The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal of Applied Mathematics 17, 1969

1 juli 2010 15/55

(14,0,0) (0,14,0)

(0,0,14)

v(S) 0 6-2 7-2 7-2 9-2 11-2 11-2 14

(4,5,5) de nucleolus

v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14

v(S) 0 6-x 7-x 7-x 9-x 11-x 11-x 14

v(S) 0 4 5 5 7 9 9 14

LeegΦ = (4, 4.5, 5.5)

De Nucleolus

1 juli 2010 16/55

100 200 300

A 100 33.33 50 50

B 200 33.33 75 100

C 300 33.33 75 150

v(S) 0 0 0 0 0 0 0 100

(100,0,0) (0,100,0)

(0,0,100)

de nucleolus

Talmud-spelen

1 juli 2010 17/55

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

Talmud-spelen

v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200

(200,0,0) (0,200,0)

(0,0,200)

1 juli 2010 18/55

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

Talmud-spelen

v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200

(200,0,0) (0,200,0)

(0,0,200)

de nucleolus

1 juli 2010 19/55

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

Talmud-spelen

v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300

(300,0,0) (0,300,0)

(0,0,300)

1 juli 2010 20/55

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

Talmud-spelen

v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300

(300,0,0) (0,300,0)

(0,0,300)

de nucleolus

1 juli 2010 21/55

Een Bankroet Probleem uit de Talmud

100 200 300

100 33.33

200 33.33

300 33.33

Nalatenschap

Weduwe

“Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’

Hoe moet 400 verdeeld worden?

Wat als een vierde weduwe 400 claimt?

1 juli 2010 22/55

Een andere Mishna uit deTalmud luidt:

“Twee houden een kleed vast; de een claimt het hele kleed, de ander claimt de helft. Dan krijgt de een 3/4, de ander 1/4.”

Baba Metzia 2a, Fol. 1, Babylonian Talmud, Epstein, ed, 1935

De Oplossing

1 juli 2010 23/55

Consistentie

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

samen 125

De één claimt 100, de ander allesdus 25 is voor de ander;de rest (100) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft

samen 125

200 25

samen 125

100 50

200 25+50

1 juli 2010 24/55

Consistentie

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

Ieder claimt alles,dus elk krijgt de helft

samen 66.66

100 33.33

300 33.33

1 juli 2010 25/55

Consistentie

100 200 300

100 33.33 50 50

200 33.33 75 100

300 33.33 75 150

samen 250

De één claimt 200, de ander allesdus 50 is voor de ander;de rest (200) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft

samen 250

300 50

samen 250

100 100

200 50+100

1 juli 2010 26/55

Marek M. Kaminski

‘Hydraulic’ rationing, Mathematical Social Sciences 40, 2000

1 juli 2010 27/55

50 100

Communicerende Vaten

1 juli 2010 28/55

Communicerende Vaten: 100

33.3333.33 33.33

1 juli 2010 29/55

1 juli 2010 30/55

1 juli 2010 31/55

125 225

1 juli 2010 32/55

Communicerende Vaten: 400 voor 4

125100

1 juli 2010 33/55

Spelen in Strategische Vorm

Nash-evenwicht voor een n-persoons spel:

Een n-tal strategieën, voor elke speler één,

met de eigenschap dat voor elke speler

zijn strategie een beste antwoord is

tegen de strategieën van de anderen.

1 juli 2010 34/55

Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54, 1951

1994: Nobelprijs EconomieJohn F. Nash John C. HarsanyiReinhard Selten

“A Beautiful Mind”

1 juli 2010 35/55

Evenwicht in een Bimatrixspel?

Speler 2

Speler 1 4,0 0,3

-1,3 5,0

“gemengde acties”

“verwachte uitbetalingen”

1 juli 2010 36/55

Speler 2

Speler 1 4,0 0,3

-1,3 5,0

4(1-q) = 4-4q

-(1-q)+5q = -1+6q

Als q = 0.5, dan geldt 4-4q = -1+6q, en dan is Boven even goed als Onder voor speler 1.

De verwachte uitbetaling voor speler 1 is dan 2,ongeacht of hij Boven of Onder kiest.

Verwachteuitbetaling:

1 juli 2010 37/55

Speler 2

Speler 1 4,0 0,3

-1,3 5,0

3p 3(1-p)

Als p = 0.5, dan geldt 3p = 3(1-p), en dan is Links even goed als Rechts voor speler 2.

De verwachte uitbetaling voor speler 2 is dan 1.5,ongeacht of hij Links of Rechts kiest.

Verwachte uitbetaling:

1 juli 2010 38/55

Evenwicht in een Bimatrixspel!

Speler 2

Speler 1 4,0 0,3

-1,3 5,0

een “gemengd” evenwicht

0.5 0.5

met (verwachte) uitbetaling (2, 1.5)

1 juli 2010 39/55

Matrixspelen

Speler 2

Speler 1 4,-4 0,0

-1,1 5,-5

1 juli 2010 40/55

Matrixspelen

Speler 2

Speler 1 4 0

4-5p 5p

Verwachte uitbetaling:

1 juli 2010 41/55

Matrixspelen

Speler 1 wil p zo kiezendat het minimum van 4-5p en 5pmaximaal is.Bij p = 0.4, minimum 2.

4-5p 5p

p10 0.4

Speler 2

Speler 1 4 0

1 juli 2010 42/55

Matrixspelen

Speler 2 wil q zo kiezendat het maximum van 4-4q en -1+6qminimaal is.Bij q = 0.5, maximum 2.

q10 0.5

Speler 2

Speler 1 4 0

4-4q -1+6q

1 juli 2010 43/55

De Waarde van het Spel

q10 0.5

4-4q -1+6q

p10 0.4

het maximum van de minima = 2 = het minimum van de maxima

1 juli 2010 44/55

De Minimax-stellingJohn von Neumann, 1928

Voor elk matrixspel bestaat ereen getal v, de waarde, en optimale strategieën x en y, zodat x aan speler 1 een uitbetaling van minstens ven y aan speler 1 een uitbetaling van hoogstens v garandeert.

In andere woorden: Voor elke matrix A geldt: max min xAy = min max xAy

x y y x

1 juli 2010 45/55

John von Neumann Oskar Morgenstern

Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944

1 juli 2010 46/55

Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944

1 juli 2010 47/55

Het Oplossen van (Bi-)Matrixspelen

• Matrixspelen kunnen opgelost worden m.b.v. lineair programmeren; bijv. met de simplexmethode.

• De minimax-stelling kan bewezen worden met de dualiteitsstelling van lineair programmeren.

• Voor bimatrixspelen kunnen evenwichten gevonden worden d.m.v. een pivoting algoritme dat lijkt op de simplexmethode.

1 juli 2010 48/55

“Huwelijksproblemen” 1 2 3 4 5

Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny

Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny

Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny

Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny

Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy

1 2 3 4 5

Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly

Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny

Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny

Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty

Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly

1 juli 2010 49/55

Anny Freddy Kenny Gerry Lenny

Betty Gerry Kenny Freddy Lenny

Conny Lenny Gerry Freddy Kenny

Dolly Lenny Freddy Gerry Kenny

Kenny Gerry Lenny Freddy

1 2 3 4 5

Freddy Conny Betty Anny Dolly

Gerry Dolly Anny Betty Conny

Anny Dolly Betty Conny

Kenny Conny Anny Dolly Betty

Lenny Anny Betty Conny Dolly

1 juli 2010 50/55

Anny Freddy Kenny Gerry Lenny

Betty Gerry Kenny Freddy Lenny

Conny Lenny Gerry Freddy Kenny

Dolly Lenny Gerry Kenny

Kenny Gerry Lenny Freddy

1 2 3 4 5

Freddy Conny Betty Anny

Gerry Dolly Anny Betty Conny

Anny Dolly Betty Conny

Kenny Conny Anny Dolly Betty

Lenny Anny Betty Conny Dolly

1 juli 2010 51/55

“Huwelijksproblemen”

Lloyd S. Shapley

College admissions and the stability of marriage, American Mathematical Monthly 69, 1962

David Gale

1 juli 2010 52/55

Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny

Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny

Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny

Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny

Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy

1 2 3 4 5

Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly

Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny

Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny

Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty

Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly

1 juli 2010 53/55

“Huwelijksproblemen”

Gale-Shapley algoritme:

- Geeft de beste stabiele koppeling voor de “aanzoekers”

- Ook toepasbaar wanneer de groepen niet even groot zijn

- Ook wanneer niet elk aan elk gekoppeld wil worden

- Ook toepasbaar voor “college admissions”

1 juli 2010 54/55

Hartelijk Dank voor Uw Aandacht!

1 juli 2010 55/55

1 juli 2010 56/55

Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D Spelen en Delen

Documents

Transcript of Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D Spelen en Delen

Financiële wiskunde

Formularium wiskunde

kap2 wiskunde

Continuïteit in het SLAZ T.b.v. Regiegroep Opgeschaalde Acute Zorg

Wiskunde en filosofie - fi.uu.nl · 40 Wiskunde en filosofie Inleiding Filosofen stellen vragen als ‘wat is wiskunde?’, ‘hoe krij-gen we kennis van wiskunde?’, ‘wordt wiskunde

Puur Pres. T.B.V. L Inkedin Profiel

periode wiskunde

SUB PVE-21/00€¦ · ROT, chevron t.b.v. Marinier der 1e klasse 8455-17-049-7036 6 ROT, chevron t.b.v. Korporaal der mariniers 8455-17-049-7035 8 ROT, chevron t.b.v. Sergeant der

COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D - Informaticawebsite.maerlantcollege.nl/wiskunde/downloads/ComplexeGetallen.pdf · geronde stukken wiskunde met een duidelijke probleemstelling en

ROC Noord t.b.v. VMC

Nascholing Economie: Speltheorie · • een man (Ferdinand) en een vrouw (Rani) moeten besluiten hoe ze hun vrije zondagmiddag doorbrengen • mogelijkheden: voetbal, opera • Ferdinand

Wiskunde A, B, C, D? - osg.atlascollege.nlA+B+C.pdf · Wiskunde C Wiskunde A Wiskunde B - heeft interesse in taal en affiniteit met logisch redeneren - heeft interesse in beeldende

Wiskunde statistiek

Presentatie t.b.v. studiedag 16 mei 2013 · Presentatie t.b.v. studiedag . 16 mei 2013 ... Vanaf 1 januari 2015 krijgen gemeenten de ... In ondersteuningsplannen (1 mei 2014) Aandacht

Voetbal & Sportverzorging (werkstuk t.b.v. SVG109) · Voetbal & Sportverzorging (werkstuk t.b.v. SVG109) Pagina 3 van 16 Voetbal is een complexe sport met veel regels. Hieronder een

DEFINITIEF CONCEPT eindversie 10 december 2018 (t.b.v. de ...€¦ · DEFINITIEF CONCEPT eindversie 10 december 2018 (t.b.v. de maatschappelijke consultatie) Pagina 2 van 47 Aan artikel

Wiskunde A of wiskunde B?. HAVO • Wiskunde A • Kansrekening • Kansverdelingen • Beschrijvende statistiek • Formules en grafieken • Lineaire en exponentiële.

Technische instructie toegang Dienstenportaal t.b.v. Repad v 1 0

Sociologie t.b.v. HBOV

Huisstijlbrochure t.b.v. huisstijldag 2006