WISKUNDE: het fijnste vak van de weekDat zou toch moeten kunnen!

Het leergebied wiskunde onder de loep

Brugge 21 januari 2013

Alleen zijn we vlokken,samen de sneeuwdie het landschap betovert.

Olaf Hoenson

(1958), succesvol ondernemer, gooide het roer op zijn veertigste om. Hij verkocht zijn bedrijf en werd stresscounselor. Op zijn website www.dagelijksegedachte.net plaatst hij elke dag een citaat dat inspireert tot onthaasting en bezinning.

Wie ben ik? En wat doe ik?

Marleen Duerloopedagogisch adviseur VVKBaO

Guimardstraat 11040 Brusselmarleen.duerloo@vsko.beverantwoordelijk voor leerplan wiskunde en de interdiocesane proeven 4de en 6de leerjaar (IDP)

In deze sessie bespreken we welke doelen we beogen in een wiskundeles en is er ook aandacht voor je persoonlijke leerdoelen

• Weten wat men leert en hoe is essentieel om te leren leren• Leerdoel duidelijk stellen bij begin van de les• Expliciet verwijzen naar leerdoel tijdens de les• Nagaan wat je geleerd hebt op het einde van de les

Doelen in een (wiskunde)les

•Antwoord formuleren op:•Wat is goed wiskundeonderwijs?•Wat zijn de algemene doelen van het leerplan wiskunde? •Hoe kan je wiskundeonderwijs didactisch organiseren?•Wat zijn de belangrijkste aandachtspunten voor• domeinoverschrijdende doelstellingen?• getallenkennis?• bewerkingen?

Doelen voor deze sessie

• Wat wil je vandaag te weten komen?

Persoonlijke leerdoelen

In deze sessie bespreken we welke doelen we beogen in een wiskundeles en is er ook aandacht voor je persoonlijke leerdoelen

• Expliciteren van de eigen visie over goed wiskundeonderwijs (persoonlijk interpretatiekader)

• Stimuleren van communicatie op school over waarden en normen van goed wiskundeonderwijs

• Afstemmen van de context op de gezamenlijke visie• Context:

• Leerlingen• VVKBaO en leerplannen• Overheid en OD/ET• Ouders• Schoolbestuur• Scholengemeenschap• …

Einddoelen

Doelgroep van deze sessie• Directeurs• Gangmakers voor wiskunde (rekencoördinatoren)• Nieuwe begeleiders• …

Iedere leerkracht heeft een andere definitie van goed wiskundeonderwijs …

Tweegesprek op tijd

Doel van deze oefening?• Voorkennis activeren• Kennismaken met de werkvorm

Hoe werkt het?• 1 minuut denktijd • A krijgt 1 minuut spreektijd, B luistert. • B krijgt 1 minuut spreektijd, A luistert.• Nadien: kunnen navertellen wat je gehoord

hebt.Vraag: Wat is voor jou goed wiskundeonderwijs?

… deze geeft echter niet alle algemene leerplandoelen van het leerplan weer

Algemene doelen leerplan wiskunde• Neem je leerplan op p. 19 e.v.• Vergelijk met je eigen mening.• Wat zijn overeenkomsten/verschillen?

Er zijn 6 algemene leerdoelen – AD6 wordt het meest van al vergeten maar is een van de belangrijkste in het kader van probleemoplossende vaardigheden

AD1 Fundamentele wiskundige kennis, inzichten en vaardigheden verwervenAD2 Wiskundige kennis, inzichten en vaardigheden in verband brengen met en gebruiken in betekenisvolle situaties, ook in andere leergebieden en buiten de schoolAD3 De nodige wiskundetaal begrijpen en gebruiken, zowel in de wiskundeactiviteiten en -lessen als daarbuitenAD4 Een onderzoeksgerichte ingesteldheid ontwikkelenAD5 Zoekstrategieën (heuristieken) ontwikkelen om (wiskundige) problemen op te lossen en de vaardigheid verwerven om na te denken over eigen (wiskundige) denk- en leerprocessen en om die te sturenAD6 Een juiste opvatting over en waardevolle houdingen bij wiskunde verwerven

Een vaardig probleemoplosser beschikt over vier componenten om problemen aan te pakken L. Verschaffel

Flexibel inzetbaar

kennisbestand (AD1 – AD2

en AD3)

Zoekstrategieën of

heuristieken (AD5)

Metacognitieve kennis

(AD5)

Houding en overtuiginge

n (AD4 en AD6)

Die vier componenten vinden we terug in het leerplan in de vijf leerdomeinen

• Getallenkennis• Bewerkingen• Meten en metend rekenen• Meetkunde

Kennisbestand

• Domeinoverschrijdende doelstellingen

Heuristieken, metacognitie en opvattingen

Aan elke doelstelling werken we op een verschillend

beheersingsniveau Symbool activiteit van

de leerlingactiviteit van de

leerkrachttermen

kennismaking aanzetten geven tijdelijk andere geschikte omschrijving of hulpterm

doel beheersen systematisch aan het doel werken

termen kennen en kunnen gebruiken

verworvenheden verder integreren

herhalingen, trainen, verdiepings- en verbredingsactiviteiten opzetten

termen vlot en correct gebruiken

voortdurend meenemen als aandachtspunt in onderwijsactiviteiten

G42

Wiskunde didactisch organiseren

LP p. 23 e.v.

Actieve leerprocessen stimuleren• Hoe doen we dat?• Wat geeft het grootste leereffect?• Wanneer leren kinderen het meest?• Wanneer hebben we met het schoolteam

met het eerste deel van het leerplan gewerkt?

De kunst om echte denkvragen te stellen moeten we nog onder de knie krijgen

Welke vraag stellen jullie aan leerlingen om het denkwerk bij hen te leggen?

Het huis van Eline

Dit is Eline. Ze is negen jaar. Eline denkt dat haar huis wel 20 meter hoog is.

Wat denken jullie, hoe hoog is het huis van Eline? Je moet niet alleen maar een getal opschrijven. Leg het ook uit!

Inzoomen op leerdomeinendomeinoverschrijdende doelstellingengetallenkennisbewerkingen

Waarom is het belangrijk dat we de indeling van DO kennen? LP vanaf p. 81

Wiskundige problemen leren oplossen• DO1 Een algemene strategie • DO2 Zoekstrategieën ontwikkelen• DO3 Nadenken over eigen oplossingsproces

en dat proces sturen• DO4 Doeltreffende opvattingen over en

houdingen tegenover het oplossen van wiskundige problemen, ontwikkelen

Wiskundige leertaken leren aanpakken

Leren communiceren over wiskunde

DO moet je expliciet BEWUST onderwijzen

Niet elk vraagstuk is een probleemZoekstrategieën in de kijker plaatsenProces belangrijker dan productRol van taal in de wiskundeles

De vertaalcirkel van Borghouts helpt om problemen te leren oplossen

• Meer lezen? zie Commentaar en suggesties bij IDP4 wiskunde 2012 en School en Visie augustus 2012

Uitproberen en bespreken

Werken aan begrip en inzicht bij (zwakke) rekenaars

• Nederlandse leerkrachten constateren dat de CITO-toetsen rekenen voor veel leerlingen problemen opleveren. Zij zien vooral het talige karakter van deze toets als de oorzaak van deze problemen.

• CECIEL BORGHOUTS biedt leerkrachten een didactisch hulpmiddel: de vertaalcirkel. Zij beschrijft wat de vertaalcirkel is en hoe u er mee kunt werken.

Wat we meestal doen bij vraagstukken

omzetten van een praktisch probleem (contextopgave) naar een bewerking

het uitvoeren van de bewerking(en)

de terugkoppeling van het resultaat van de bewerking(en) naar het oorspronkelijke probleem

Herkenbaar in het schema uit het leerplan

(5) wat heb ik geleerd?

Wat bedoelt Borghouts met de vertaalcirkel?

de situatie concreet uitspelen

weergegeven in een verhaal

de handeling uitvoeren met blokken / fiches

de situatie tekenen/schetsen

weergeven op de getallenlijn

weergeven in een bewerking

Mogelijk om een probleem van de ene vorm naar de andere ‘vertalen’

Doel: opbouwen van een scherp beeld van de

situatie

In een bewerking gegevens en gevraagde

weergeven, maar ook de uitkomst

Met elke taal op een heel andere manier precies hetzelfde zeggen

Werkwijze die leerlingen zich langzaam maar zeker eigen maken en bij elke nieuwe stuk leerstof toepassen.

Geen apart hoofdstuk binnen het rekenonderwijs waarmee je op een zeker moment klaar bent.

Is dit iets nieuws onder de ?

1. Meerdere (zoveel mogelijk) vertalingen bij één probleem• Het gaat niet om een óf-óf, maar om een én-én

benadering.2. De kinderen maken de vertalingen• In groepjes of alleen• Alle leerlingen alle vertalingen of in groepjes

verschillende vertalingen3. In de nabespreking de verschillende vertalingen verbinden

Zelf aan de slag

Er varen 5 bootjes op het meer. In elk bootje zitten 4 kinderen. Hoeveel kinderen zitten er in totaal in de bootjes?1. Teken of schets het verhaal2. Geef daarna het verhaal weer met blokken3. Beeld het verhaal uit op een lege getallenlijn4. Bedenk een formule bij dit vraagstuk en reken die

uitMerk op: het spelen van het verhaal wordt weggelaten, maar indien nodig kan je dat altijd nog toevoegen.

‘Nederlandse’ getallenlijn versus ‘Vlaamse’ getallenas

Getallenlijn kan je ook vervangen door…

• Honderdveld.• voorstellingen uit ‘Singapore rekenen’

(Commentaar en suggesties IDP6 2010).

Een bakkersbedrijf maakte 300 taarten. Daarvan werd 3/4 verkocht aan bakkerijen in de buurt. 1/3 van wat overbleef werd later door klanten opgehaald.Hoeveel taarten bleven er die dag over?

• een andere voorstelling.

Zelf aan de slag

Er varen 5 bootjes op het meer. In elk bootje zitten 4 kinderen. Hoeveel kinderen zitten er in totaal in de bootjes?1. Teken of schets het verhaal.2. Geef daarna het verhaal weer met blokken.3. Beeld het verhaal uit op een lege getallenlijn.4. Bedenk een formule bij dit vraagstuk en reken die

uit.

Merk op: het spelen van het verhaal wordt weggelaten, maar indien nodig kan je dat altijd nog toevoegen.

Zelf aan de slag

Welke oplossingen verwacht je te zien bij de leerlingen?

Hoe pak je de nabespreking aan?In de nabespreking koppeling leggen tussen de verschillende vertalingen (zie hiervoor)Noteer vragen die je kan stellen.

Zoeken naar overeenkomsten en verschillen

• Uit ‘Wat werkt in de klas’ blijkt dat het grootste leereffect optreedt bij het zoeken naar overeenkomsten en verschillen.

• Vergelijk de volgende nabespreking met de nabespreking van je groepje.• Duid de elementen aan die jullie ook hadden (overeenkomsten)

Welke antwoorden mag je verwachten?• Verschil in abstractieniveau in de tekeningen

• Inhoudelijke verschillen met de blokkensommige leerlingen leggen 5 groepjes van 4 blokken, andere leggen 4 groepjes van 5 blokken. Dat is echt iets anders.

• Ditzelfde op de getallenlijn5 bogen van 4 of 4 bogen van 5

• En bij de formule5 x 4 of 4 x 5

Hoe pak je de nabespreking aan?• Laat tijdens het werken al enkele vertalingen op

het bord tekenen om het tempo bij de nabespreking erin te houden.

• Laat de tekening toelichten en stel vragen• Waar in de tekening zie je de bootjes? (die hokken). • Waar zie je de kinderen? (die kruisjes). • Waar zie je hoeveel kinderen er in 1 bootje zitten? • Hoeveel bootjes zie je? (5)

• Verwoorden bij de blokkenDe blaadjes zijn de bootjes, in elk bootje 4 kinderen, bij elkaar 20 kinderen.

Wat doe je bij de nabespreking?

• Stel vragen alsWat stelt elke boog voor? Waar zie ik op de lijn de kinderen? En waar op de lijn zie ik de kinderen in één bootje?Dat blaadje met die 4 blokken, waar zie ik dat op de lijn? En waar zie ik dat in de tekening?’

Wat doe je bij de nabespreking?• Stel vragen bij de formule 5 x 4 Wat betekent die 5 in de formule? (5 bootjes). Waar zit die 5 van de formule in het verhaal? (5 bootjes). En in de tekening? (5 hokken, die hokken staan voor bootjes). En waar zie ik die bij de blokken (5 blaadjes staan voor bootjes). En op de getallenlijn? (5 bogen geven bootjes weer). En betekent die 4 in de formule? (kinderen) …

• Ik zag ook groepjes die 4 blaadjes hadden neergelegd met op elk blaadje 5 blokken.

Welk verhaal met de bootjes hoort daar dan bij? En welke tekening? De leerlingen komen er snel uit. Dan is het verhaal anders: 5 kinderen in 1 bootje en 4 bootjes. Je moet dan 4 bootjes tekenen en geen 5.

Zoeken naar overeenkomsten en verschillen

• Je hebt de overeenkomsten aangeduid.

• Wat zijn de verschillen?

• Wat leer je hieruit?

Tegenvoorbeeld Karel wil een garage bouwen met een betonnen vloer.De rechthoekige garagevloer wordt 8 meter lang, 3 meter breed en 15 cm dik.

Hoeveel m³ beton heeft Karel nodig? (IDP6 2011)

Op welke manier en met welk materiaal kunnen we bij dit vraagstuk de vertaalcirkel maken.

Werken met placemat

• Meer info Pedagogische Mededelingen (gele blaadjes) en op www.vvkbao.be

Waarom kiezen we voor coöperatieve werkvormen?

GetallenkennisLP vanaf p. 39Toelichtingen bij het leerplan Getallenkennis

Getallen als bouwstenen

Recente studies wijzen uit dat een goede wiskundige ontwikkeling bepalend is voor het succes van je verdere studieloopbaan, meer dan taalontwikkeling…

Elf en de rest gaat vanzelf

‘Wij kunnen heel ver tellen. Luister maar. Eén, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien, elf en de rest gaat vanzelf.’

Wat oefenen we met dit spelletje? Welke vragen kan je hierbij stellen?

Wat is getallenkennis?

Getallenkennis houdt zich bezig

met de eigenschap

pen van getallen.

Getallen zijn onmisbaar in

alle leerdomeinen van wiskunde.

In bewerkinge

n bij rekentechni

eken als hoofdreken

en, schattend rekenen,

cijferen en de

zakrekenmachine.

Bij metend en metend rekenen,

meetkunde en

domeinoverschrijdende doelen als onmisbare hulp om

situaties te verwiskundi

gen.

Getallenkennis in het leerplan1.2.1 Hoeveelheden vergelijken en ordenen

1.2.2 Tellen

1.2.3 Hoeveelheden herkennen en vormen

1.2.4 Natuurlijke getallen

1.2.5 Breuken

1.2.6 Kommagetallen

1.2.7 Percenten

1.2.8 Negatieve getallen

1.2.9 Delers en veelvouden

1.2.10 Andere talstelsels

1.2.11 Getallen schatten en afronden

1.2.12 Toepassingen

Wat zijn essentiële bouwstenen?

getalbegrip

hoeveelheden

herkennen

tellen

subiteren

Op weg naar leren tellen

De meeste peuters zijn in staat om hoeveelheden globaal te vergelijken met

termen als ‘meer’, ‘minder’ en ‘evenveel’.

Voor je een hoeveelheid kunt tellen, moet je die hoeveelheid eerst zien als

opgebouwd uit aparte stukjes.

Wanneer kan iemand echt tellen?

een getal verwijst naar een verzameling als geheel.

de volgorde van het tellen geen rol speelt.

getelde voorwerpen niet identiek hoeven te zijn.

hoe de voorwerpen liggen niet van belang is.

een getal betrekking heeft op absolute hoeveelheid.een telgetal een eigen plaats in de getallenrij heeft.

‘vernesteling’.

Als je weet dat

Leren tellen

Video 1: Dropjes tellen

Video 2: Racespel

Beschrijf de verschillen

Tellen Akoestisch tellen

Asynchroon

Synchroon

Structurerend

Resultatief

Flexibel

Verkort resultatief

of doortellen

Sprongsgewijs

Terugtellen

Je kan nooit genoeg (leren) tellenhttp://www.talentenkracht.nl/?pid=59

Marijn en Maurits en de knikkers

Kinderen kunnen meer dan je denkt of meer dan het leerplan vraagt

Wat is subiteren?

• Subiteren is de aangeboren eigenschap om kleine hoeveelheden in één oogopslag te zien, waardoor een intuïtief getalgevoel ontstaat.

• Je herkent en benoemt in één oogopslag een kleine hoeveelheid voorwerpen zonder expliciet te hoeven tellen.

• Gestructureerde hoeveelheden zijn makkelijker dan ongestructureerde (getalbeelden),

Getallen koppelen aan hoeveelheden

De telkast

Mijn boekj

e van…

De cijferf

ee

De telkast en de cijferfee voor kleuters en eerste leerjaar als speelse uitdaging tot tellen en het herkennen van hoeveelheden

verschillende vakjes met concrete

spullen en afbeeldingen van voorwerpen te vinden

bijvoorbeeld dobbelstenen, cijferstempels, cijferkaartjes

en stippenkaartjes

Inzicht in getallen

Mijn boek over 5

V

五

Aan het werk – hoeveelheden herkennen

Waar denken jullie aan bij het getal…

3

Ook bij grotere getallen grip krijgen op hoeveelheid

100 1 000

10 000 1 000 000 000

Hoe lang duren1 000 000 000 seconden?

Een eerste schatting?

Hoe pak je dat aan om dat uit te rekenen?

Een emmertje fijn zand

1 000 000 000 zandkorrels

Hoeveel mensen zijn er op de wereld?

7.000.000.000

Getallenmensen

Geef elk groepje een getal

Laat een kind op ware grootte schilderen

Het moet evenveel dingen dragen als het gekregen getalUitbreiden naar monsters met 6 ogen, 6 voeten, 6 vingers, 6 orenEen trui met een patroon: elk kind tekent een rij met een 6-patroon

Veterkaarten Gebruik figuurtjes van inpakpapier, tijdschriften,stickers

Maak een veter vast

Op hoeveel verschillende manieren kun je de voorwerpen in 2 (of 3) delen verdelen?Heb je alle mogelijkheden gevonden?

Maak je eigen sommen

Grote tekeningen in vilt

Zelfklevende stippen

Plaats zoveel stippen als je wilt

Vorm de som

Open elke rekenles met het ‘getal van de dag’ om getallen te leren herstructureren – overgang naar bewerkingen

• Laat je leerlingen bedenken welke formules bij dat getal passen

4• Doel?• Voordelen?

Stelling• Tellen is iets voor kleuters en het eerste leerjaar.

• Hoe kan je deze vraag inzetten in je schoolteam?

BewerkingenLP vanaf p. 47Toelichtingen bij het leerplan GetallenkennisPraktijkvoorbeelden

Eindterm

• 1.13 De leerlingen voeren opgaven uit het hoofd uit waarbij ze een doelmatige oplossingsweg kiezen op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van getallen• Optellen en aftrekken tot

100;• Optellen en aftrekken met grote

getallen met eindnullen;• Vermenigvuldigen met en delen

naar analogie met de tafels

Leerplan wiskunde

• B9 De correcte resultaten bij de elementaire optellingen paraat kennen:• A) som ≤ 10• B) som ≤ 20

• B10 Optellen volgens standaardprocedures en de optelling verwoorden en noteren:• A) som ≤ 20• B) som ≤ 100

• B11 Bij eenvoudige optellingen flexibel een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van inzicht in de structuur van de getallen en in de eigenschappen van de optelling en de optellingen correct uitvoeren, verwoorden en noteren• A) som ≤ 20• B) som ≤ 100

65

Voorbeeld: 8 x 1,5 x 12,5 =Reken zelf uit volgens

• Standaardprocedure

• Flexibel

• Anders

Hoeveel leerlingen kiezen voor die aanpak?

66

Voorbeeld: 8 x 1,5 x 12,5 =• Standaardprocedure

8 x 1,5 = 1212 x 12,5 = 12 x 12 + 12 x 0,5 = 150 37% 73%

8 x 1,5 = 1212 x 12,5 = 10 x 12,5 + 2 x 12,5 = 150 15% 88%

• Flexibel 8 x 12,5 = 100100 x 1,5 = 150 16% 91%

8 x 1,5 = 4 x 3 = 1212 x 12,5 = 6 x 25 = 150 3% 100%

• Anders 30% 6%

Totaal 100% 59%

67

Leerlijn hoofdrekenen LP vanaf p. 50

Paraat kennen• Wat? Wanneer?

Standaardprocedure beheersen• Welke standaardprocedure gebruiken we? →

vastleggen in SWP• Waarom is dit van belang?

Flexibel rekenen• Geef voorbeelden uit je eigen leerjaar• Wat betekent dit onderscheid voor sterke/zwakke

rekenaars?

G13 Natuurlijke getallen herstructureren om vlot bewerkingen uit te voeren en de (her)structureringen paraat kennen van a) Getallen ≤ 10b) Getallen > 10 waar wenselijk

B9 De correcte resultaten bij de elementaire optellingen paraat kennen

a) Som ≤ 10b) Som ≤ 20

B10 Optellen volgens standaardprocedurea) Som ≤ 20

B11 Flexibel optellena) Som ≤ 20

Ik onthoud: herstructureren is meer dan splitsen

Eerste

Leerjaar

G13 Natuurlijke getallen herstructureren om vlot bewerkingen uit te voeren en de (her)structureringen paraat kennen van b) Getallen > 10 waar wenselijk

B9 De correcte resultaten bij de elementaire optellingen paraat kennen

b) Som ≤ 20

B10 Optellen volgens standaardprocedurea) Som ≤ 100

B11 Flexibel optellena) Som ≤ 20b) Som ≤ 100

B17 De vermenigvuldigingstafels tot en met 10 paraat kennenB21 De delingstafels die horen bij de vermenigvuldigingstafels

tot en met 10 paraat kennen

Ik onthoud: herstructureren is meer dan splitsen

tweede

Leerjaar

G13 Natuurlijke getallen herstructureren om vlot bewerkingen uit te voeren en de (her)structureringen paraat kennen van b) Getallen > 10 waar wenselijk

B9 De correcte resultaten bij de elementaire optellingen paraat kennen

b) Som ≤ 20

B10 Optellen volgens standaardprocedurea) Som ≤ 100

B11 Flexibel optellena) Som ≤ 100b) Som ≤ 1 000

B17 De vermenigvuldigingstafels tot en met 10 paraat kennenB21 De delingstafels die horen bij de vermenigvuldigingstafels

tot en met 10 paraat kennen

Ik onthoud: herstructureren is meer dan splitsen

derde

Leerjaar

Op het einde van het zesde leerjaar kunnen kiezen tussen vier rekenwijzen

• Neem je leerplan en zoek B52• Wat zegt die doelstelling?

• Waarmee hangt die keuze samen?

• Welke consequenties heeft die doelstelling voor de aanpak op school?

Zorgpreventie en remediëring

Investeren in drijfvermogen

Het ijsbergmodel

Actueel aanbod in de klas

lukt niet

Zie Commentaar en suggesties bij IDP6 2012 wiskunde

Oogst

Wat heb ik vandaag geleerd?

Plan

Wat wil ik daarmee

doen?

Verwachtingen

Wat zie ik wel zitten?Waar verwacht ik problemen?

Het Piet Huysentruyt-moment