1

Vier kleuren volstaan

Het kaartkleuringsprobleem

Gerhard Post25 augustus 2008

wiki

2

Vier kleuren zijn genoeg om te voorkomendat aangrenzende landen dezelfde kleur

krijgen (Vier kleuren stelling)

3

Geschiedenis van het probleem

1852: De vraag verschijnt voor het eerst (op

papier) in een brief van De Morgan aan

Hamilton (twee bekende wiskundigen).

1879: Bewijs van Kempe verschijnt.

1889: Heawood publiceert een voorbeeld

waaruit blijkt dat het bewijs onjuist is.

1976: Appel en Haken publiceren een

bewijs, gebaseerd op 1482 “configuraties”.

4

Geschiedenis van het probleem

1852: De vraag verschijnt voor het eerst (op

papier) in een brief van De Morgan aan

Hamilton (twee bekende wiskundigen).

1879: Bewijs van Kempe verschijnt.

Het bewijs van Kempe is onjuist.

Wel volgt uit zijn bewijs de “Vijf kleuren stelling”.

Hier bekijken we eerst de “Zes kleuren stelling”.

Als het kan qua tijd ook de “Vijf kleuren stelling”.

5

Kan het met drie kleuren?

Niet altijd …Alle vier landen grenzen aan elkaar, en dus zijntenminste vier kleurennodig!

rood

blauw

geel

groen

Luxemburg

6

Kan het wel met vier kleuren?

Martin Gardner (Scientific American, 1975):

The most sensational of last year’sdiscoveries in pure mathematicswas surely the finding of a counter-example to the notorious four-colormap conjecture.

1 april1 april

7

Aannames

Als landen in een punt grenzen, mogen ze wel dezelfde kleur hebben.

Deze vier “landen” zijn te kleuren met twee kleuren.

8

Aannames

Een land bestaat uit één stuk.

of zo...

Dus niet zo...

Noord-Ierland en de rest Baarle

9

Aannames

Alle landen zitten “aan elkaar”.

Dus niet twee of meer

groepen van landen

10

De zes kleuren stelling gaat als volgt:

* Verzamel alle kaarten die je niet met zes

kleuren kunt kleuren.

* Kies hieruit een kaart met zo weinig mogelijk

landen. We laten zien dat ook deze kaart met

zes kleuren kan worden gekleurd.

* N.B. Kleine kaarten met zes of minder landen,

kunnen zeker met zes kleuren.

* Er is één “kleine” voor-onderstelling…

11

Stel elke kaart heeft een land met maximaal 5 buren

• Verzamel alle kaarten die je niet met 6 kleuren kunt…

• Kies hieruit een kaart met zo weinig mogelijk landen…

• Voeg land A met 5 (of minder) buren samen met een

buurland…

• Kleur deze kaart met 6 kleuren…

• Zet land A terug…

• De buren hebben hoogstens 5 verschillende kleuren…

• Kleur land A met een overgebleven kleur!

12

Land A heeft 5 buren…

1

2

34

5A

13

Voeg land A samen met een buurland …

3

14

Kleur deze kaart met 6 kleuren…

3

15

Zet land A terug, en kleur met een kleur die niet bij de buurlanden voorkomt.

3

A

16

StellingVeronderstel dat elke kaart een land met 5 buren (of minder) heeft.Dan is elke kaart met 6-kleurbaar.

Dus om de zes kleuren stelling te bewijzen, hoeven we “slechts” aan te tonen dat elke kaart een land met vijf of minder buren heeft…

Voor we dit gaan we bewijzen, herformuleren we ons probleem in (de wiskundige structuur van) een “graaf”.

17

Wiskundige modellering

• Elk land geven we weer door een “punt”.

• Als twee landen een verschillende kleur moeten hebben (door een gemeen-schappelijke grens), dan verbinden we de twee bijbehorende punten met een “lijn”.

• De figuur die ontstaat noemen we een “graaf”.

18

Voorbeelden

“Lijnen” hoeven niet recht te zijn.

19

Voorbeelden

Merk op dat lijnen nooit (hoeven te) kruisen. Daarom heet de graaf “planair”.

20

Enkele termen• De punten direct verbonden met punt A door een lijn heten de “buren” van A;

• Als vanuit A elk ander punt te bereiken is via bestaande lijnen, dan heet de graaf “samenhangend”.

A

21

Enkele termenDe graaf die ontstaat uit de kaarten die wij bekijken, is samenhangend en planair.We noemen zo’n graaf een “kaartgraaf”.

22

Punten, lijnen en vlakken van kaartgraaf G.

PG: het aantal puntenLG: het aantal lijnenVG: het aantal vlakken

(inclusief het vlak om G heen)

PG = 6; LG = 9; VG = 5, dus E(G) = 2.

Euler getal van G: E(G) = PG – LG + VG

23

Formule van Euler

Voor elke kaartgraaf G geldt:

E(G) = 2.

Dit gaan we later bewijzen.

24

Elke kaartgraaf G heeft een punt met 5 (of minder) buren.

Bewijs. Stel vanuit elke punt vertrekken 6

of meer lijnen. Dan:

2 LG 6 PG,

(elk punt heeft 6 lijnen,

en elke lijn wordt dubbel geteld),

dus PG 1/3 LG.

25

Elke kaartgraaf G heeft een punt met 5 (of minder) buren.

Bewijs (vervolg) Ook:

2 LG 3 VG,

(elk vlak wordt begrensd door 3 lijnen,

elke lijn wordt dubbel geteld),

dus VG 2/3 LG.

elke lijn wordt dubbel geteld ??? )

26

Elke kaartgraaf G heeft een punt met 5 (of minder) buren.

Bewijs (vervolg) Er geldt dus:

PG 1/3 LG en VG 2/3 LG.

Maar dan:

E(G) = PG – LG + VG 1/3 LG – LG + 2/3 LG 0.

Maar (Euler): E(G) = 2! Tegenspraak.

27

Nee!

Heeft elke kaartgraaf G niet een punt met 4 (of minder) buren?

28

Hoe bewijzen we de formule van Euler?

• Stel we willen de formule bewijzen een voor graaf Gn met n lijnen.

• Er zijn twee gevallen:– Gn bevat een punt van graad 1;

– Gn bevat geen punt van graad 1.

29

Hoe bewijzen we de formule van Euler?

• Geval I: Gn bevat een punt van graad 1;

Verwijder dit punt met de lijn.

Nieuwe graaf Gn-1:

P = P – 1.

L = L – 1.

V = V .

Gn-1

Gn-1

Gn-1

Gn

Gn

Gn Dus E(Gn-1) = E(Gn).

30

Hoe bewijzen we de formule van Euler?

• Geval II: Gn bevat geen punt van graad 1;– Alle punten hebben graad 2 of hoger

Verwijder een lijn.

Maar niet deze!

Verwijder een lijn uit

een “cykel”.

Een cykel heeft een

binnengebied en

een buitengebied.

31

Hoe bewijzen we de formule van Euler?

• Geval II: Gn bevat geen punt van graad 1;– Alle punten hebben graad 2 of hoger

Nieuwe graaf Gn-1:

P = P .

L = L – 1.

V = V – 1.

Gn-1

Gn-1

Gn-1

Gn

Gn

Gn Dus E(Gn-1) = E(Gn).

32

Hoe bewijzen we de formule van Euler?

Zo vinden we een rij van grafen:

Gn , Gn-1 , Gn-2 , … , G2 tot G1

met E(Gn) = E(Gn-1) = … = E(G2) = E(G1).

Maar G1 = , zodat E(G1) = 2.

Dus ook E(Gn) = 2.

33

De zes kleuren stelling is bewezen

De formule van Euler geldt

Elke kaartgraaf heeft een land met 5 (of

minder) buren

De kaartgraaf is 6-kleurbaar.

Maar…

Doel was 5-kleurbaarheid van kaartgrafen.

34

De vijf kleuren stelling gaat als volgt:

* Verzamel alle kaarten die je niet met vijf

kleuren kunt kleuren.

* Kies hieruit een kaart met zo weinig mogelijk

landen. We laten zien dat ook deze kaart met

vijf kleuren kan.

* N.B. Kleine kaarten met vijf of minder landen,

kunnen zeker met vijf kleuren.

35

Neem een kleinste kaart met zes kleuren…

Er is een land met vijf of minder buren…

36

Laat dit land weg, en kleur met vijf kleuren…

37

Zet het land terug. Welke kleur moet dit land krijgen?

38

Methode: we zorgen voor vier buurkleuren.Kies twee buren niet naast elkaar (groen en rood)

39

Kempe ketens: volgt deze kleuren verder…

40

Geval I: de rode en groene lijnen zijn NIET verbonden. Verwissel dan de kleuren in de rode keten.

41

Geval I: de rode en groene lijnen zijn NIET verbonden. Het witte punt kan nu rood gekleurd worden.

42

Geval II: de rode en groene lijnen zijn WEL verbonden. Kijk nu naar de buurkleuren blauw en geel...

43

Geval II: de rode en groene lijnen zijn WEL verbonden. Maak ook vanuit geel en blauw ketens…

44

Omdat blauw buiten de rood-groene cykel ligt, en geel erbinnen, worden deze ketens nooit verbonden.

45

De kleuren in de gele (of blauwe) keten kunnen daarom verwisseld worden...

46

En het witte punt kan geel gekleurd worden...

47

• Alle kaarten hebben een land met 1, 2, 3, 4 of 5 buren.

• In al deze gevallen kan het kleuren met 5 kleuren

teruggebracht worden tot een kleinere kaart, waaraan

weer dit ene land toegevoegd wordt.

• Uiteindelijk heeft de kaart zo weinig landen, dat het

zeker met 5 kleuren kan!

• Het toegevoegde land kan rechtstreeks een kleur

krijgen (als er 4 buren of minder zijn), of via de Kempe

ketens bij 5 buren.

De vijf kleuren stelling is bewezen:

48

We proved:

Five colours suffice!

Sinds 1879. Pas 97 jaar later: