RAADSELS VAN DE NATUURKUNDE

Ronald WestraDep. MathematicsMaastricht University Oktober 13, 2005

Deel 4

Quantum Mechanika

•Relativiteitstheorie is ongeveer het werk van een man•Quantum Mechanika heeft vele vaders en een moeder

CPART IVIInhoud 

1. DE NATUURKUNDE VAN 1900 2. DE OPBOUW VAN DE QUANTUM MECHANIKA 3. QUANTUM MECHANIKA : EEN GROOT SUCCES4. DE INTERPRETATIE VAN DE QUANTUM MECHANIKA 5. PROBLEMEN MET DE QUANTUM MECHANIKA

1. DE NATUURKUNDE VAN 1900

Quantum Theorie

ROND 1900: nog slechts enkele ‘kleine’ problemen in de natuurkunde o.a.:

* De Ultraviolet catastrophe

* Het photo-elektrische effect

Wat was er aan de hand ?

De natuurkunde eind 19e eeuw

De Newtoniaanse mechanika beschrijft de beweging van puntachtige deeltjes door hun plaats en snelheid op elk moment vast te leggen

De Maxwellwetten voor electromagnetisme beschrijft de beweging van licht als een golfverschijnsel deeltjes door ruimte en tijd

Dit waren de hoekstenen van de natuurkunde rond 1900

Toen ging het langzaam mis …

Licht: golven of deeltjes?

Bekende optische fenomenen als interferentie en diffractie kunnen alleen begrepen worden als we licht als een golfverschijnsel opvatten.

Rond 1900 gaven nieuwe natuurkundige experimenten resultaten die alleen zin gaven als we licht als deeltjes opvatten.

OP MICROSCOPISCHE SCHAAL LIJKEN DE NEWTON-MAXWELL WETTEN NIET TE KLOPPEN!!!

Licht: golven of deeltjes?

Deze experimenten waren:

* zwarte-lichaams straling en de ultraviolet-catastrophe

* het foto-elektrische effect

* Compton-verstrooiing

zwarte-lichaams straling en de ultraviolet-catastrophe

Zwarte-lichaams straling

zwarte-lichaams straling en de ultraviolet-catastropheDoor gebruik van Newton-Maxwell wetten kan met straling van een ideaal zwart-lichaam (in thermische evenwicht met zijn omgeving) van bepaalde temperatuur T bepalen.

Theoretisch Newton-Maxwell

Experimenteel bepaald

De Ultraviolet catastrophe

zwarte-lichaams straling en de ultraviolet-catastrophe

Problemen:

• De berekende en de experimenteel waargenomen zwarte-lichaams straling lijken totaal niet op elkaar

• De conventioneel berekende energie voor kleine golflengten (=hoge frekwenties = ultraviolette straling) is oneindig – dat kan natuurlijk niet:

de ultraviolet catastrophe

De oplossing van Planck voor de Ultraviolet catastrophe (1901)

De oude Newtoniaanse truck: limiet h naar nul

(dat probeerde Einstein aanvankelijk ook bij generaliseren van Speciale Relativiteitstheorie)

• Stel je voor een klein energie-kwantum (woord van Planck) met energietje h dat uitgezonden of geabsorbeerd wordt door het zwarte lichaam.

• Laat nu h steeds kleiner worden (d.i. limiet h naar nul gaan)

• Dan valt h uit de vergelijking en houd je dus iets over zonder h

De oplossing van Planck voor de Ultraviolet catastrophe

Helaas voor Planck: de truck werkte niet: h viel niet weg en bleef in de formule staan.

Deze h heet nu de constante van Planck (~6.63.10-34 Js)

Planck gaf geen verdere interpretatie aan dit kwantum (maar was wel dat nieuwe formule perfect de zwarte-lichaams-straling verklaarde!!!)

Planck’s oplossing : de geboorte van het QUANTUM

Energie-niveaus van trillende moleculen hebben dus discrete waarden (d.i.: je kunt ze tellen als 0,1,2,3,...)

De energieen hangen af van de trillings-frekwentie f :

En = nhf n = 0,1,2,3,4,…

De opname/afgifte van warmtestraling(=EM straling)Met de omgeving kan alleen geschieden in ‘pakketjes’ (= quanta) met waarde:

E = hf

Planck’s Stralingsformule

Het photo-electrische effect

• Tussen A en B heerst een vast potentiaal-verschil V

• Laat licht (een golf) met frekwentie f op A schijnen

• Elektronen worden weg- geschoten uit het metaal: er ontstaat een stroom van A naar B

• Echter: dit werkt alleen als de frekwentie van het licht boven een bepaalde drempelwaarde fcrit ligt

Het photo-electrische effect

• De stroomsterkte I tussen A en B hangt af van de intensiteit van het licht

• Licht met frekwentie f < fcrit geeft geen stroom

• De kinetische energie (KE) van de losgeslagen electronen hangt af van de frekwentie

De oplossing van Einstein voor het photo-electrische effect

Het licht (een golf) bestaat uit een stroom van deeltjesDe energie E van een deeltje met frekwentie f bedraagt:

E = hf

Zo’n deeltjes heet een photon. Bij botsing tegen een elektron in het metaal ontvangt het van het photon of niets of alles (dus hf). Er is energie nodig het metaal te verlaten – die nemen we waar als de

drempel-frekwentie: KEmax = hf - = h(f – fc)

De oplossing van Einstein voor het photo-electrische effect

Het photo-elektrische effect

Licht (een golf) gedraagt zich (soms) als een deeltje

Licht als deeltjes en electronen als golfverschijnsel

Davisson en Germer 1927 toonden aan dat electronenbundels net als licht verstrooid konden worden!

electronen als golfverschijnsel

Deze interferentiepatronen stammen van bundels electronen : dit is alleen verklaarbaar als we deze elktronen als golven begrijpen !!!

Consequenties van deze waarnemingen

Het photo-elektrische effect: licht als deeltjes

Diffractie van elektronen: electronen als golfverschijnsel

De twee pijlers van de natuurkunde waren aan het brokkelen …

2. DE OPBOUW VAN DE QUANTUM MECHANIKA

Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie

Nobelprijs Natuurkunde 1929

Doctoraal thesis 1924, Recherches sur la théorie des quanta :

De golf-deeltjes dualiteitstheorie, gebaseerd op het werk van Einstein en Planck.

Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie

KERN:

1. ‘golflengte’ van een deeltje

2. impuls en massa van een golf

Toepassingen o.a. in electronen-microscopen : veel beter beeld omdat electromnen kleinere golflengten hebben dan photonen.

de Broglie-dualiteit

Het is meer een paradigm-shift

dan een nieuwe rekenmethode

Consequenties van de Broglie-dualiteit

* Onzekerheidsrelatie

* Electroneninterferentie

* H-atoom spectrum (H – waterstof)

* Zwarte-lichaams stralings spectrum

Wat is een golf? Wat is een deeltje?

De voortplanting (‘propagatie’)

van een deeltje en een golf is

anders dan bij een golfverschijnsel

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltje beweegt: we kunnen de tijd wegdenken en het pad van het deeltje schetsen:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt anders:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt: de ‘gemiddelde waarde’ van de golf volgt gewoon het pad van een ‘harde bol’.

Golfverschijnselen

Echter, na lange tijd is de kans dat het deeltje ‘ergens’ is overal gelijk geworden – het deeltje overal en dus nergens

Golfverschijnselen

NB: Dit verschijnsel hangt NIET af van hoe precies de begintoestand bekend is!

Golfverschijnselen

Een deeltjes-golf beweegt:

Niels Bohr:

Model van het H-Atoom: vanaf 1913

Nobelprijs 1922

Bohr Model van het H-Atoom: vanaf 1913

Electronen draaien niet als ‘planeten’ maar als golven om de kern: dat kan alleen als er een geheel aantal golven achter elkaar passen.

Bohr Model van het H-Atoom

Voor een gegeven golf-lengte zijn er slechts enkele stabiele banen voor elektronen:

Bohr Model van het H-Atoom

Elektronen kunnen van baan (orbitaal) veranderen door emissie of absorptie van energie: een licht-quantum of photon

Bohr Model en emissie/absorptie-spectra

Daardoor hebben de emissie/absorptie-spectra van het atoom een zeer specifieke vorm:

Hydrogen H

Iron Fe

Het Bohr Model gaf daarmee een elegente verklaring van een zeer oud probleem (Newton)

Bohr Model van het H-Atoom

De streepjes geven de zeer scherpe pieken aan voor de golflengten van het licht die geemitteerd/geabsorbeerd worden. (Vergelijk dit met continue zwarte-lichaams-straling)

3. QUANTUM MECHANIKA : EEN GROOT SUCCES

Erwin Schrödinger

Nobelprijs 1933

Schrödinger equation

Schrödinger equation is een consequentie omwerking van het klassieke principe van behoud van energie naar het golf-karakter van de materie:

E = mv2/2 + V(x)

Probleem: wat stelt de golf-funktie voor?

KANS = ||2

)(2

2

xVm

pE

Schrödinger equation

Energie-toestanden in harmonische oscilator

Schrödinger equation

Energie-toestanden in H-atoom:

Schrödinger equation

Energie-toestanden in complex moleculen, bv benzeen:

Schrödinger equation

Of deeltje dat botst tegen een wand:

Superpositie van QM golven

Superpositie van golven

Superpositie van golven

Superpositie van golven

Superpositie van golven

Werner Heisenberg

“The more precisely the POSITION is determined, the less precisely the MOMENTUM is known“

Nobelprijs 1932

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg

Het is niet mogelijk om de plaats en de snelheid (of impuls) van een deeltje tegelijkertijd met onbeperkte nauwkeurigheid te weten.

Dit komt doordat het proces van de meting altijd het resultaat zal beïnvloeden: op het moment dat er een meting plaatsvindt, verandert deze meteen de plaats, de snelheid of allebei. Δx = de onzekerheid in de plaats, Δp = de onzekerheid in de impuls

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg

De onzekerheidsrelatie van Heisenberg heeft belangrijke gevolgen in veel takken van de natuurkunde, met name op kleine schaal (kwantumfysica).

Voor (veel) zwaardere deeltjes dan elementaire, zoals stoelen, huizen of stuifmeelkorrels, geldt de relatie uiteraard ook, maar is de onzekerheid verwaarloosbaar doordat de constante van Planck zo klein is.

Onzekerheidsrelatie van Heisenberg

Ook voor andere grootheden dan plaats en impuls geldt een vergelijkbaar verband; een belangrijk voorbeeld is de onzekerheidsrelatie voor tijd t en energie E,

Dit betekent dat de hoeveelheid energie in een systeem des te meer onbepaald is naarmate de tijdsschaal waarop het systeem varieert kleiner is. Hierdoor kan er ook als het ware energie 'geleend' worden, wat o.a. aanleiding geeft tot het bestaan van virtuele deeltjes en het tunneleffect.

Heisenberg

Ernst Pauli

Nobelprijs 1945 (!)

Voor:

Uitsluitingsprincipe

Uitsluitingsprincipe van Pauli (1925)

Het uitsluitingsprincipe van Pauli stelt dat twee identieke fermionen niet dezelfde kwantumtoestand mogen bezetten. Het principe wordt ook wel "Pauliprincipe" of "Pauliverbod" genoemd.

Het Pauliprincipe geldt alleen voor fermionen (protonen, neutronen, quarks, elektronen). Deeltjes als het foton gehoorzamen niet aan het uitsluitingsprincipe, omdat het bosonen zijn in plaats van fermionen.

Uitsluitingsprincipe van Pauli (1925)

VRAAG:

Hoe ‘weten’ fermionen van elkaar dat ze in dezelfde kwantumtoestand zitten of dreigen te komen?

Paul Dirac

Nobelprijs 1933

De (relativistische) Dirac vergelijking voor het elektron/positron

De Dirac-zee

Het elektron/positron paar

Voorspelling van het anti-deeltje van het elektron: het positron

Quantum Veldentheorie

waarom De Quantum Mechanica van veel-deeltjes systemen is Mathematisch erg complex:

Quantum Veldentheorie

Hoe?

Tweede kwantisatie: van ruimte en tijd

Kwantisatie van de velden (bv EM) maar ook de interacties tussen deeltjes

Zo ontstaat een theorie voor veel-deeltjes-systemen

De interactie tussen de deeltjes geschiedt eveneens door … deeltjes

Quantum Veldentheorie

Dit is de meest perfecte theorie voor de interacties tussen de elementaire deeltjes

En de basis voor het Standaard Model

(later hierover meer … )

4. DE INTERPRETATIE

VAN DE QUANTUM MECHANIKA

Quantum Theorie

Contents 16. WONDERS OF THE QUANTUM WORLD 16.1 The Copenhagen Interpretation 16.2 Superposition : Schrödinger's Cat 16.3 Einstein-Podolsky-Rosen Experiment 16.4 Bell's Theorem 16.5 Aspect's Experiment 16.6 Multiple Photon Entanglement 16.7 Quantum Cryptography16.8 Quantum Computers

Interpretatie van de QM

Kopenhagen

CORRESPONDENTIE PRINCIPE:

voor grote quantum getallen [zeg meer: grote schalen] nadert het QM naar de klasieke (Newton/Maxwell) beschrijving

Interpretatie van de QM

Kopenhagen

COMPLIMENTARITEITS PRINCIPE:

DEELTJE <-> GOLF RUIMTETIJD <-> CAUSALITEIT

Interpretatie van de QM

Kopenhagen

COMPLIMENTARITEITS PRINCIPE:

Dit gaf veel aanleiding tot onduidelijkheid (vgl Heisenberg’s onzekerheidsrelatie)

Veel blijft onduidelijk: wat is de golffunctie nou eigenlijk?

Superpositie van golven: Schrodinger’s kat

Schrödinger’s kat (Erwin Schrödinger 1935)

Schrodinger’s kat

Schrodingers kat is een superpositie

van ‘dood’ en ‘levend’

EPR Gedanken Experiment 1935

Het Einstein-Podolsky-Rosen experiment

Bell’s Experiment 1965

Het John Bell gedachten-experiment

Aspect’s Experiment 1982

Het A. Aspects two-channels-experiment (1982)

Quantum entanglement

Twee ‘entangled’ photons

Hun golf-funfties zijn verknoopt

Quantum Information

Entangled states -> Quantum Computing, Quantum Encryption

5. PROBLEMEN MET DE QUANTUM MECHANIKA

The incompatibility of quantum mechanics and general relativity

Onder andere

general relativity : no fixed spacetime background,

quantum mechanics : fixed background

Quantum Mechanika en de Atoombom

Quantum mechanika heeft vele toepassingen.

Een van de eerste toepassingen was meteen de meest destructieve

Als eerste realiseerde Hahn in de dertiger jaren in Duitsland de mogelijkheid van een zeer krachtige bom

Onduidelijk blijft of Duitsland aan een bom heeft gewerkt …

http://physicsweb.org/articles/world/18/6/3/1

Heisenberg visits BohrSeptember 1941 ?

Relationship Heisenberg and Bohr

Werner Heisenberg claimed in an interview after the war, when the author Robert Jungk was working on the book Brighter Than a Thousand Suns, that he had tried to establish a pact with Bohr such that scientists on neither side should help develop the atomic bomb. He also said that the German attempts were entirely focused on energy production, and that his circle of colleagues tried to keep it that way. Heisenberg nuanced his claims, though, and avoided implication that he and his colleagues had purposely sabotaged the bomb effort. However, this nuance was lost in Jungk's original publication of the book, which strongly implied that the German atomic bomb project was rendered purposely stillborn by Heisenberg.

When Bohr saw this depiction in the Danish translation of Jungk's book, he disagreed wholeheartedly. He said that Heisenberg had indeed let him know in Copenhagen that he was working on an atomic bomb project, and that he thought that Germany would win the war. He dismissed the idea of any pact as an after-the-fact construction. He drafted several letters to inform Heisenberg about this but never sent any of them.

Michael Frayn's play Copenhagen, which ran on Broadway for a time, explores what might have happened at the 1941 meeting between Heisenberg and Bohr. The truth of the historical event is still a matter of scholarly debate.

Volgende keer: Het Standaard-model