H3 Tweedegraads Verbanden

Case Duurzaam hout

Hbo student Jim de Bont loopt stage bij het adviesbureau ZZConsult, Hij krijgt de opdracht om het verband tussen de afzet en de prijs van een duurzame houtsoort uit Scandinavië vast te stellen.

Met de hulp van diverse meetgegevens en statistiek wordt het volgende lineair verband opgesteld:

p = -q + 45 

waarbij q uitgedrukt is in 1000 ton per jaar,

p in 1000 euro per ton.

 

Case Duurzaam hout

Daarnaast stelt hij tegelijkertijd een bijbehorende totale kosten functie op. Deze luidt: 

TK = 120 + 5q 

waarbij TK uitgedrukt is in 1.000.000 euro per jaar.

Met deze informatie moet hij de totale winstfunctie opstellen en berekenen bij welke prijs de totale winst zo groot als mogelijk is. Maar ja, hoe moet hij dat doen?

Ontbinden in factoren

Voorbeeld:

2 * 3 + 2 * 5 = 3 + 3 + 5 + 5 =

(3 + 5) + (3 + 5) = 2 * (3 + 5)

De 2 is buiten haakjes gehaald.

Ontbinden in factoren

Voorbeeld:

5x + 5y = 5 * (x + y)

De 5 is buiten haakjes gehaald.

Dit heet ontbinden in factoren.

Ontbinden in factoren

Regel 1

ax + ay = a * (x + y)

Ontbinden in factoren

Voorbeeld:

5x + 5y + 6xz + 6yz = 5 * (x + y) + 6z * (x + y) =

(5 + 6z) * (x + y)

Regel 2

(x + a)(x + b) = xy + bx + ay + ab

Ontbinden in factoren

Voorbeeld:

(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6

Regel 3

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Ontbinden in factoren

Voorbeeld:Ontbind in lineaire factoren: x² + 13x + 30

Zoek twee getallen a en b waarvoor geldt: a × b = 30 en a + b = 13

1 * 30 1 + 30 = 312 * 15 2 + 15 = 173 * 10 3 + 10 = 135 * 6 5 + 6 = 11 De enige juiste combinatie is 3 en

10

Ontbinden in factoren

Vervolg voorbeeld

Daarmee krijgen we de ontbinding:

x² + 13x + 30 = (x + 3) (x + 10)

Oplossen van een tweedegraads vergelijking

Voorbeeld met ontbinden in factoren:

x² + 3x + 2 = 0 (x + 1)(x + 2) = 0

Het product van twee getallen kan alleen gelijk zijn aan 0 wanneer één van die getallen gelijk is aan 0.

Dus x + 1 = 0 of x + 2 = 0 x = -1 of x = -2

Oplossen van een tweedegraads vergelijking

Voorbeeld met de abc-formule:

x² + 3x + 1 = 0

Definitie:

Oplossen van ax² + bx + c = 0 kan met de abc-formule:2

1,2

b b 4acx

2a

- ± -=

Oplossen van een tweedegraads vergelijking

Vervolg voorbeeld

Dus en

2

1,2

3 3 4.1.1 3 5x

2.1 2

- ± - - ±= =

1

3 1x 5

2 2=- + 2

3 1x 5

2 2=- -

Oplossen van een tweedegraads vergelijking

De uitdrukking D = b² – 4ac heet de discriminant

Regel 4

Als

D > 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 2 oplossingen

D = 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 1 oplossing

D < 0 dan heeft ax² + bx + c = 0 geen oplossingen.

Snijpunten tweedegraads en eerstegraads verband

Voorbeeld:

y = -2x² + 10x – 10 en y = -4x + 10

-2x² + 10x – 10 = -4x + 10 -2x² + 10x – 10 + 4x – 10 = 0 -2x² + 14x – 20 = 0

Snijpunten tweedegraads en eerstegraads verband

Vervolg voorbeeld

-2x² + 14x – 20 = 0

Beide kanten delen door -2 geeft

x² – 7x + 10 = 0

x² – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5) = 0

Dus x = 2 of x = 5

De symmetrieas

De grafiek van een tweedegraads verband is symmetrisch. Dat kun je goed gebruiken om eenvoudig het minimum of het maximum te vinden.

Voorbeeld:

Bekijk: y = x² – 6x + 5

Bij welke waarde van x is er sprake van een minimum of een maximum?

De symmetrieas

Regel 5

Bij y = ax² + bx + c is de symmetrieas:

Vervolg voorbeeld:

De symmetrieas x = - -6/ 2.1 = 6/2 = 3

Invullen geeft y = 3² – 6.3 + 5 = -4

Dit geeft het punt (3 , -4)

-=

bx

2a

De symmetrieas

De bijbehorende grafiek ziet er als volgt uit:

Deze grafiek heeft de vorm van een dal en heet daarom een dalparabool.

De symmetrieas

Als er een negatief teken voor q² staat, dan is er sprake van een bergparabool. Zo ziet y = -x² + 6x – 5 er als volgt uit:

Bij een bergparabool

hoort een maximum.

De symmetrieas

Regel 6

Bij y = ax² + bx + c vinden we een

- dalparabool met een minimum als a > 0- bergparabool met een maximum als a < 0

Oplossen case Duurzaam hout

Het oplossen van de case gaat in vier stappen:

I Bepaal de totale winst

II Bepaal de prijs waarbij de totale winst maximaal is

III Bepaal de maximale winst

IVTeken TO en TK in 1 grafiek met je grafische rekenmachine

Oplossen case Duurzaam hout

I Bepaal de totale winst

Gegeven is: p = -q + 45

TO = p × q = (-q + 45) . q = -q² + 45q in € 1.000.000 per jaar.

Oplossen case Duurzaam hout

Verder is gegeven: TK = 120 + 5q

Voor de totale winst geldt: TW = TO – TK

TW = -q² + 45q –(120 + 5q) = -q² + 45q – 120 – 5q =-q² + 40q – 120

waarbij q uitgedrukt in 1000 ton per jaar enTW uitgedrukt in € 1000000 per jaar.

Oplossen case Duurzaam hout

II Bepaal de prijs waarbij de totale winst maximaal is

a = -1 en b = 40

Dit is een bergparabool met de symmetrieas bij:

Invullen in p = -q + 45 levert:p = -20 + 45 = 25

De winst is maximaal bij een prijs van € 25.000 per ton.

40q 20

2. 1

-= =

-

Oplossen case Duurzaam hout

III Bepaal de maximale winst

q = 20 invullen in TW = -q² + 40q – 120 levert:TW = -20² + 40.20 – 120 = 280

De maximale winst is € 280.000.000 per jaar bij een prijs van € 25.000 per ton.

Oplossen case Duurzaam hout

IV Teken TO en TK in één grafiek met je grafische rekenmachine