fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

1

October 19, 2018

6.2. Hypotesetest i normalfordeling med kjent  σ v.h.a. kritisk verdi  (fra i går)

Kritisk verdi:  "tålegrensen" for hvor unormal stikkprøven kan være før vi konkluderer med at nullhypotesen er feil

k

kritisk verdi

µ0Utgangspunkt for H0

Akseptere H0

"Stikkprøven er innafor normalen"

Forkaste H0

"Stikkprøven er unormal"

Beslutningsgrunnlag:  Beregner k og sammenlikner med målt X av stikkprøvene

Signifikansnivå  α = sannsynligheten for å få en verdi for X som er minst like "ekstrem" som den kritiske verdien, gitt at H0 er riktig (dvs. at µ = µ0).

Anvendt på "potetgull­eksemplet" fra i går: Maarud påstår at posene deres er normalfordelt med snitt µ = 275 g. Når vi setter signifikansnivå f.eks. α = 5 %, finner vi altså sannsynligheten for at en stikkprøve har snitt X ≤ k, gitt at det Maarud påstår er riktig  (altså at snittet for hele produksjonen virkelig er µ = 275 g).

Ettersom vi forkaster nullhypotesen dersom X ≤ k, tilsvarer signifikansnivået sannsynligheten for å feilaktig forkaste H0.

Overordnet mål  med hypotesetest i normalfordeling: vurdere en påstand om µ ("er den påståtte verdien for µ riktig, eller ikke?")

*

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

2

October 19, 2018

1 2 3u0,10 u0,05 u0,01

10 % av x­verdiene ligger over u0,10

5 % av x­verdiene ligger over u0,05

1 % av x­verdiene ligger over u0,01

N(0,1)

Illustrasjon av kvantilene i standard  normalfordeling

Kvantiltabell

x

10 % av x­verdiene ligger under ­u0,10

5 % av x­verdiene ligger under ­u0,05

1 % av x­verdiene ligger under ­u0,01

­1­2­3 ­u0,10­u0,05­u0,01

For eksempel: IQ er normalfordelt som N(100,152). Hvis du ligger på 1 %­kvantilen, som er ca. IQ = 135, er du ganske smart ­ kun 1 % av befolkningen har høyere IQ enn deg.

1 % av x­verdiene ligger over denne kvantilen

µ = 100 135σ = 15

IQ

mk

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

3

October 19, 2018

Prosedyre for å bestemme kritisk verdi

Nullhypotesen er H0: µ = µ0. k bestemmes ut i fra signifikansnivået:

For å teste mot µ>µ0 ("tilsier stikkprøven at µ er unormalt stor?"):

1 2 3

N(0,1)

x­1­2­3

­uα

For å teste mot µ<µ0 ("tilsier stikkprøven at µ er unormalt liten?"):

1 2 3

N(0,1)

x­1

uα

Finner uα og dermed ­uα i kvantiltabell

Finner uα i kvantiltabell

uα

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

4

October 19, 2018

Når man skal utføre en hypotesetest formulerer man en nullhypotese H0 og en mothypotese H1, samt et signifikansnivå. 

Hvilke av påstander om begreper knyttet til hypotesetesting er riktige?

A. Å forkaste nullhypotesen H0 betyr at hypotesetesten ikke gir noen klar konklusjon

B. Dersom man forkaster H0, betyr det at signifikansnivået er satt for lavt

C. Signifikansnivået er et mål på hvor «sikker» man ønsker å være før man forkaster nullhypotesen H0

D. Signifikansnivået er et mål på hvor «sikker» man ønsker å være før man forkaster mothypotesen H1

E. Hvis signifikansnivået er 5 %, betyr det at det er 5 % sjanse for at man forkaster H0, selv om H0 er riktig 

Quiz

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

5

October 19, 2018

Påstand E:

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

6

October 19, 2018

Eksamen mai 2018  (fra i går)

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

7

October 19, 2018

Hypotesetest i normalfordeling med kjent  σ v.h.a. testobservator

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

8

October 19, 2018

Eksempel  (fra eksamen mai 2011)

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

9

October 19, 2018

Oversiktsbilde over hypotesetesting i normalfordeling

Kjent σ Ukjent σ (t­test)

Overordnet mål: vurdere en påstand om µ

­ beregne kritisk verdi

­ bruke testobservator

­ bruke signifikans­sannsynlighet (neste uke)

­ bruke testobservator

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

10

October 19, 2018

6.6: Hypotesetesting i normalfordeling med ukjent  σ2 (t­test )

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

11

October 19, 2018

N(0,1)t­fordeling med 1 frihetsgrad (antall målinger)

Skisse av t­fordelingen vs. standard normalfordeling

I motsetning til normalfordelingen er t­fordelingen avhengig av n (antall målinger). t­fordelingen er viktig når det er få målinger i stikkprøven (liten n).  

Jo høyere n, desto mer likner t­fordelingen på normalfordelingen. 

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

12

October 19, 2018

Signifikansnivå 

antall frihetsgrader

m = n ­ 1 

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

13

October 19, 2018

Eksempel  (eksamen mai 2012)

fredag_19_10_2018_hypotesetesting_t_fordeling..notebook

14

October 19, 2018

Eksempel  (eksamen desember 2017)