2006/04/17 データベース論（1回目） 1

データベース論データベース論データベース論データベース論データベース論データベース論データベース論データベース論

朝日大学大学院朝日大学大学院朝日大学大学院朝日大学大学院朝日大学大学院朝日大学大学院朝日大学大学院朝日大学大学院

経営学研究科経営学研究科経営学研究科経営学研究科経営学研究科経営学研究科経営学研究科経営学研究科

奥山奥山奥山奥山奥山奥山奥山奥山 徹徹徹徹徹徹徹徹

okuyama@alice.asahiokuyama@alice.asahi--u.ac.jpu.ac.jp

2006/04/17 データベース論（1回目） 2

講義日程講義日程講義日程講義日程講義日程講義日程講義日程講義日程

•• 44月月月月月月月月1177日日日日日日日日 ガイダンスおよび集合論の基礎ガイダンスおよび集合論の基礎ガイダンスおよび集合論の基礎ガイダンスおよび集合論の基礎ガイダンスおよび集合論の基礎ガイダンスおよび集合論の基礎ガイダンスおよび集合論の基礎ガイダンスおよび集合論の基礎•• 44月月月月月月月月2244日日日日日日日日 リレーショナルデータベースの基礎リレーショナルデータベースの基礎リレーショナルデータベースの基礎リレーショナルデータベースの基礎リレーショナルデータベースの基礎リレーショナルデータベースの基礎リレーショナルデータベースの基礎リレーショナルデータベースの基礎•• 55月月月月月月月月0011日日日日日日日日 データ操作言語データ操作言語データ操作言語データ操作言語データ操作言語データ操作言語データ操作言語データ操作言語•• 55月月月月月月月月0808日日日日日日日日 データベースの論理設計データベースの論理設計データベースの論理設計データベースの論理設計データベースの論理設計データベースの論理設計データベースの論理設計データベースの論理設計•• 55月月月月月月月月1515日日日日日日日日 SQLSQL（データベース操作言語）の基礎（データベース操作言語）の基礎（データベース操作言語）の基礎（データベース操作言語）の基礎（データベース操作言語）の基礎（データベース操作言語）の基礎（データベース操作言語）の基礎（データベース操作言語）の基礎•• 55月月月月月月月月2222日日日日日日日日 データベース管理システムデータベース管理システムデータベース管理システムデータベース管理システムデータベース管理システムデータベース管理システムデータベース管理システムデータベース管理システム•• 55月月月月月月月月2929日日日日日日日日 データベースの内部スキーマデータベースの内部スキーマデータベースの内部スキーマデータベースの内部スキーマデータベースの内部スキーマデータベースの内部スキーマデータベースの内部スキーマデータベースの内部スキーマ•• 66月月月月月月月月0505日日日日日日日日 質問処理とその最適化質問処理とその最適化質問処理とその最適化質問処理とその最適化質問処理とその最適化質問処理とその最適化質問処理とその最適化質問処理とその最適化•• 66月月月月月月月月1212日日日日日日日日 トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理•• 66月月月月月月月月1616日日日日日日日日 分散データベース序説分散データベース序説分散データベース序説分散データベース序説分散データベース序説分散データベース序説分散データベース序説分散データベース序説•• 66月月月月月月月月2626日日日日日日日日 定期試験定期試験定期試験定期試験定期試験定期試験定期試験定期試験

2006/04/17 データベース論（1回目） 3

ガイダンス資料（１）ガイダンス資料（１）ガイダンス資料（１）ガイダンス資料（１）ガイダンス資料（１）ガイダンス資料（１）ガイダンス資料（１）ガイダンス資料（１）

•• 内容内容内容内容内容内容内容内容–– データベース全般についてのお話データベース全般についてのお話データベース全般についてのお話データベース全般についてのお話データベース全般についてのお話データベース全般についてのお話データベース全般についてのお話データベース全般についてのお話–– 今日、特によく利用されてい今日、特によく利用されてい今日、特によく利用されてい今日、特によく利用されてい今日、特によく利用されてい今日、特によく利用されてい今日、特によく利用されてい今日、特によく利用されているリレーショナル（関係）るリレーショナル（関係）るリレーショナル（関係）るリレーショナル（関係）るリレーショナル（関係）るリレーショナル（関係）るリレーショナル（関係）るリレーショナル（関係）モデルモデルモデルモデルモデルモデルモデルモデルとそのとそのとそのとそのとそのとそのとそのとそのDBMSDBMS（データベース管理システム）（データベース管理システム）（データベース管理システム）（データベース管理システム）（データベース管理システム）（データベース管理システム）（データベース管理システム）（データベース管理システム）つつつつつつつついて詳述いて詳述いて詳述いて詳述いて詳述いて詳述いて詳述いて詳述

–– トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理トランザクション処理やデータベースの内部構造にやデータベースの内部構造にやデータベースの内部構造にやデータベースの内部構造にやデータベースの内部構造にやデータベースの内部構造にやデータベースの内部構造にやデータベースの内部構造についても解説ついても解説ついても解説ついても解説ついても解説ついても解説ついても解説ついても解説

–– 時間があれば分散データベースシステムについて時間があれば分散データベースシステムについて時間があれば分散データベースシステムについて時間があれば分散データベースシステムについて時間があれば分散データベースシステムについて時間があれば分散データベースシステムについて時間があれば分散データベースシステムについて時間があれば分散データベースシステムについてもももももももも解説解説解説解説解説解説解説解説

•• 評価評価評価評価評価評価評価評価–– 定期試験（定期試験（定期試験（定期試験（定期試験（定期試験（定期試験（定期試験（50%50%）、レポートなど（）、レポートなど（）、レポートなど（）、レポートなど（）、レポートなど（）、レポートなど（）、レポートなど（）、レポートなど（50%50%）で総合評価）で総合評価）で総合評価）で総合評価）で総合評価）で総合評価）で総合評価）で総合評価

2006/04/17 データベース論（1回目） 4

ガイダンス資料（２）ガイダンス資料（２）ガイダンス資料（２）ガイダンス資料（２）ガイダンス資料（２）ガイダンス資料（２）ガイダンス資料（２）ガイダンス資料（２）

•• 教科書教科書教科書教科書教科書教科書教科書教科書–– 増永良文、「リレーショナルデータベース入門増永良文、「リレーショナルデータベース入門増永良文、「リレーショナルデータベース入門増永良文、「リレーショナルデータベース入門増永良文、「リレーショナルデータベース入門増永良文、「リレーショナルデータベース入門増永良文、「リレーショナルデータベース入門増永良文、「リレーショナルデータベース入門[[改訂版改訂版改訂版改訂版改訂版改訂版改訂版改訂版]]」、サイ」、サイ」、サイ」、サイ」、サイ」、サイ」、サイ」、サイエンス社エンス社エンス社エンス社エンス社エンス社エンス社エンス社

•• 参考図書参考図書参考図書参考図書参考図書参考図書参考図書参考図書–– 増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社増永良文、「リレーショナルデータベースの基礎」、オーム社–– 鶴保征城鶴保征城鶴保征城鶴保征城鶴保征城鶴保征城鶴保征城鶴保征城監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベー監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベー監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベー監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベー監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベー監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベー監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベー監修、「未来ねっと技術シリーズ９、情報データベース技術」、電気通信協会ス技術」、電気通信協会ス技術」、電気通信協会ス技術」、電気通信協会ス技術」、電気通信協会ス技術」、電気通信協会ス技術」、電気通信協会ス技術」、電気通信協会

–– 横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版横田一正、宮崎収兄、「新データベース論」、共立出版–– 山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経山本森樹、「体系的に学ぶデータベースの仕組み」、日経BPBPソソソソソソソソフトプレスフトプレスフトプレスフトプレスフトプレスフトプレスフトプレスフトプレス

–– C.J.DateC.J.Date、「データベース実践講義」、オライリージャパン、「データベース実践講義」、オライリージャパン、「データベース実践講義」、オライリージャパン、「データベース実践講義」、オライリージャパン、「データベース実践講義」、オライリージャパン、「データベース実践講義」、オライリージャパン、「データベース実践講義」、オライリージャパン、「データベース実践講義」、オライリージャパン

•• 「データベース論」「データベース論」「データベース論」「データベース論」「データベース論」「データベース論」「データベース論」「データベース論」WEBWEBページ（現在準備中）ページ（現在準備中）ページ（現在準備中）ページ（現在準備中）ページ（現在準備中）ページ（現在準備中）ページ（現在準備中）ページ（現在準備中）–– http://www.dsl.gr.jp/~okuyama/lecture/200http://www.dsl.gr.jp/~okuyama/lecture/20066/tut//tut/

2006/04/17 データベース論（1回目） 5

データの収集・蓄積・利用データの収集・蓄積・利用データの収集・蓄積・利用データの収集・蓄積・利用データの収集・蓄積・利用データの収集・蓄積・利用データの収集・蓄積・利用データの収集・蓄積・利用

実世界実世界実世界実世界実世界実世界実世界実世界 アクセプタアクセプタアクセプタアクセプタアクセプタアクセプタアクセプタアクセプタ 編集編集編集編集編集編集編集編集加工加工加工加工加工加工加工加工

要求要求要求要求要求要求要求要求処理処理処理処理処理処理処理処理蓄積蓄積蓄積蓄積蓄積蓄積蓄積蓄積 ユーザユーザユーザユーザユーザユーザユーザユーザ

データデータデータデータデータデータデータデータ

データ（フィードバッデータ（フィードバッデータ（フィードバッデータ（フィードバッデータ（フィードバッデータ（フィードバッデータ（フィードバッデータ（フィードバック）ク）ク）ク）ク）ク）ク）ク）

データ要求データ要求データ要求データ要求データ要求データ要求データ要求データ要求

データの収集データの収集データの収集データの収集データの収集データの収集データの収集データの収集 データの蓄積データの蓄積データの蓄積データの蓄積データの蓄積データの蓄積データの蓄積データの蓄積 データの利用データの利用データの利用データの利用データの利用データの利用データの利用データの利用

2006/04/17 データベース論（1回目） 6

データと情報データと情報データと情報データと情報データと情報データと情報データと情報データと情報

「新データベース論」より「新データベース論」より「新データベース論」より「新データベース論」より「新データベース論」より「新データベース論」より「新データベース論」より「新データベース論」より

•• データ：人間または自動的手段によってデータ：人間または自動的手段によってデータ：人間または自動的手段によってデータ：人間または自動的手段によってデータ：人間または自動的手段によってデータ：人間または自動的手段によってデータ：人間または自動的手段によってデータ：人間または自動的手段によって行われる通信、解釈、処理に適するよう行われる通信、解釈、処理に適するよう行われる通信、解釈、処理に適するよう行われる通信、解釈、処理に適するよう行われる通信、解釈、処理に適するよう行われる通信、解釈、処理に適するよう行われる通信、解釈、処理に適するよう行われる通信、解釈、処理に適するように形式化された事実、概念または指令のに形式化された事実、概念または指令のに形式化された事実、概念または指令のに形式化された事実、概念または指令のに形式化された事実、概念または指令のに形式化された事実、概念または指令のに形式化された事実、概念または指令のに形式化された事実、概念または指令の表現表現表現表現表現表現表現表現

•• 情報：データを表現するために用いた約情報：データを表現するために用いた約情報：データを表現するために用いた約情報：データを表現するために用いた約情報：データを表現するために用いた約情報：データを表現するために用いた約情報：データを表現するために用いた約情報：データを表現するために用いた約束に基づいて、人間がデータに割り当て束に基づいて、人間がデータに割り当て束に基づいて、人間がデータに割り当て束に基づいて、人間がデータに割り当て束に基づいて、人間がデータに割り当て束に基づいて、人間がデータに割り当て束に基づいて、人間がデータに割り当て束に基づいて、人間がデータに割り当てたたたたたたたた意味意味意味意味意味意味意味意味

2006/04/17 データベース論（1回目） 7

集合の基礎集合の基礎集合の基礎集合の基礎集合の基礎集合の基礎集合の基礎集合の基礎

• 定義：定義：定義：定義：集合集合集合集合とはとはとはとは要素要素要素要素の集まりであるの集まりであるの集まりであるの集まりである

• 一般に集合の要素間には何の関係もな一般に集合の要素間には何の関係もな一般に集合の要素間には何の関係もな一般に集合の要素間には何の関係もないいいい

• 集合に集合に集合に集合に構造構造構造構造を持たせることで種々の応用を持たせることで種々の応用を持たせることで種々の応用を持たせることで種々の応用が可能となるが可能となるが可能となるが可能となる– 代数構造代数構造代数構造代数構造 →→→→ 四則演算四則演算四則演算四則演算

– 順序構造順序構造順序構造順序構造 →→→→ 大小関係大小関係大小関係大小関係

– 位相構造位相構造位相構造位相構造 →→→→ 連続性連続性連続性連続性

2006/04/17 データベース論（1回目） 8

代数構造代数構造代数構造代数構造代数構造代数構造代数構造代数構造

• 集合の任意の二つの要素間に演算（２項集合の任意の二つの要素間に演算（２項集合の任意の二つの要素間に演算（２項集合の任意の二つの要素間に演算（２項演算）を導入すること演算）を導入すること演算）を導入すること演算）を導入すること

• ２項演算２項演算２項演算２項演算→→→→２つの要素を結合してもう１つ２つの要素を結合してもう１つ２つの要素を結合してもう１つ２つの要素を結合してもう１つの要素を作る一定の規則の要素を作る一定の規則の要素を作る一定の規則の要素を作る一定の規則

• 有限幾何、ブロックデザイン、直交表等の有限幾何、ブロックデザイン、直交表等の有限幾何、ブロックデザイン、直交表等の有限幾何、ブロックデザイン、直交表等のようなバランスのとれた部分集合や配列がようなバランスのとれた部分集合や配列がようなバランスのとれた部分集合や配列がようなバランスのとれた部分集合や配列が出来る出来る出来る出来る→→→→効率の良い符号系やファイルを効率の良い符号系やファイルを効率の良い符号系やファイルを効率の良い符号系やファイルを作ることが可能作ることが可能作ることが可能作ることが可能

2006/04/17 データベース論（1回目） 9

順序構造順序構造順序構造順序構造順序構造順序構造順序構造順序構造

• 包含関係のような包含関係のような包含関係のような包含関係のような半順序半順序半順序半順序が重要が重要が重要が重要

• 束の概念から論理演算に結びつく束の概念から論理演算に結びつく束の概念から論理演算に結びつく束の概念から論理演算に結びつく

• 順序の定義づけが可能順序の定義づけが可能順序の定義づけが可能順序の定義づけが可能→→→→比較可能性の比較可能性の比較可能性の比較可能性の説明ができる説明ができる説明ができる説明ができる→→→→「空間における順序」など「空間における順序」など「空間における順序」など「空間における順序」などの概念の基礎の概念の基礎の概念の基礎の概念の基礎

2006/04/17 データベース論（1回目） 10

集合かどうか？集合かどうか？集合かどうか？集合かどうか？集合かどうか？集合かどうか？集合かどうか？集合かどうか？

• 自然数全体の集まり自然数全体の集まり自然数全体の集まり自然数全体の集まり→→→→集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）

• 0≦≦≦≦x≦≦≦≦1である実数全体の集まりである実数全体の集まりである実数全体の集まりである実数全体の集まり→→→→集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）

• 10より小さい（正の）素数の集まりより小さい（正の）素数の集まりより小さい（正の）素数の集まりより小さい（正の）素数の集まり→→→→集合（有限集合）集合（有限集合）集合（有限集合）集合（有限集合）

• ｘｘｘｘ2＋＋＋＋ ｙｙｙｙ2＜＜＜＜ 1の不等式を満たす点の不等式を満たす点の不等式を満たす点の不等式を満たす点(x,y)の全体の集合の全体の集合の全体の集合の全体の集合

→→→→集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）

• 実数の閉区間実数の閉区間実数の閉区間実数の閉区間[0,1]で定義された連続な実数値関数全体で定義された連続な実数値関数全体で定義された連続な実数値関数全体で定義された連続な実数値関数全体

の集まりの集まりの集まりの集まり→→→→集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）集合（無限集合）

• p,q,rというというというという3つの文字の集まりつの文字の集まりつの文字の集まりつの文字の集まり→→→→集合（有限集合）集合（有限集合）集合（有限集合）集合（有限集合）

• p,q,rというというというという3つの文字の順列全体の集まりつの文字の順列全体の集まりつの文字の順列全体の集まりつの文字の順列全体の集まり→→→→集合（有限集合（有限集合（有限集合（有限

集合）集合）集合）集合）

• 十分大きな自然数の集まり十分大きな自然数の集まり十分大きな自然数の集まり十分大きな自然数の集まり→→→→集合ではない集合ではない集合ではない集合ではない

2006/04/17 データベース論（1回目） 11

【【【【【【【【演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題11--11】】】】】】】】1) 十分大きな自然数の集まり十分大きな自然数の集まり十分大きな自然数の集まり十分大きな自然数の集まり→→→→集合ではない集合ではない集合ではない集合ではないなぜ集合と言えないか説明せよなぜ集合と言えないか説明せよなぜ集合と言えないか説明せよなぜ集合と言えないか説明せよ

2) 次のものは集合と言えるか次のものは集合と言えるか次のものは集合と言えるか次のものは集合と言えるか

1) 正の整数の集まり正の整数の集まり正の整数の集まり正の整数の集まり

2) 豊橋技術科学大学における知識情報工学４年生の豊橋技術科学大学における知識情報工学４年生の豊橋技術科学大学における知識情報工学４年生の豊橋技術科学大学における知識情報工学４年生の集まり集まり集まり集まり

3) 国道国道国道国道259号線を田原方面へ向かう車の集まり号線を田原方面へ向かう車の集まり号線を田原方面へ向かう車の集まり号線を田原方面へ向かう車の集まり

4) LAN上を流れるパケットの集まり上を流れるパケットの集まり上を流れるパケットの集まり上を流れるパケットの集まり

5) 一つの内角が一つの内角が一つの内角が一つの内角が60度以下の正多角形の集まり度以下の正多角形の集まり度以下の正多角形の集まり度以下の正多角形の集まり

6) パソコンに搭載されている全メインメモリの集まりパソコンに搭載されている全メインメモリの集まりパソコンに搭載されている全メインメモリの集まりパソコンに搭載されている全メインメモリの集まり

2 2

2006/04/17 データベース論（1回目） 12

集合と元集合と元集合と元集合と元集合と元集合と元集合と元集合と元

• 集合は集合は集合は集合はA, B, C, …, X, Y, Z等と表記する等と表記する等と表記する等と表記する

• 集合集合集合集合Aに含まれるに含まれるに含まれるに含まれる‘‘‘‘ものものものもの’’’’を、を、を、を、Aのののの元元元元（また（また（また（または元素、要素）と呼ぶは元素、要素）と呼ぶは元素、要素）と呼ぶは元素、要素）と呼ぶ

• aが集合が集合が集合が集合Aの元であるとき、の元であるとき、の元であるとき、の元であるとき、a∈∈∈∈AあるいはあるいはあるいはあるいはA∋∋∋∋aと表記する（元でない場合はと表記する（元でない場合はと表記する（元でない場合はと表記する（元でない場合はa∈∈∈∈AああああるいはるいはるいはるいはA∋∋∋∋aとなる）となる）となる）となる）

• 無限に元が存在する集合を無限に元が存在する集合を無限に元が存在する集合を無限に元が存在する集合を無限集合無限集合無限集合無限集合、有、有、有、有限の元しかもたない集合を限の元しかもたない集合を限の元しかもたない集合を限の元しかもたない集合を有限集合有限集合有限集合有限集合というというというという

2006/04/17 データベース論（1回目） 13

集合の表記集合の表記集合の表記集合の表記集合の表記集合の表記集合の表記集合の表記

• 外延的表記外延的表記外延的表記外延的表記

{p, q, r} {1, 2, 3, …….}• 内包的表記内包的表記内包的表記内包的表記

{x|xは有理数であるは有理数であるは有理数であるは有理数である}{y|yはははは0≦≦≦≦y≦≦≦≦1である実数であるである実数であるである実数であるである実数である}{n|nはははは10より小さい正の素数より小さい正の素数より小さい正の素数より小さい正の素数}

2006/04/17 データベース論（1回目） 14

内包的記述についての考察内包的記述についての考察内包的記述についての考察内包的記述についての考察内包的記述についての考察内包的記述についての考察内包的記述についての考察内包的記述についての考察

• 変数とその条件（性質）変数とその条件（性質）変数とその条件（性質）変数とその条件（性質）

yはははは0≦≦≦≦y≦≦≦≦1の実数であるの実数であるの実数であるの実数である

• 変数変数変数変数yについての条件についての条件についての条件についての条件→→→→C(y)• C＝＝＝＝C(x)の時、あるの時、あるの時、あるの時、あるaについて、について、について、について、C(a)が正が正が正が正しいなら、しいなら、しいなら、しいなら、aはははは条件条件条件条件Cを満たす（性質を満たす（性質を満たす（性質を満たす（性質Cをもをもをもをもつ）つ）つ）つ）

• 条件条件条件条件Cを満たす全体を満たす全体を満たす全体を満たす全体→→→→集合を形成集合を形成集合を形成集合を形成

{x|C(x)}

2006/04/17 データベース論（1回目） 15

空集合空集合空集合空集合空集合空集合空集合空集合((φφφφφφφφ))とサイズとサイズとサイズとサイズとサイズとサイズとサイズとサイズ

• C＝＝＝＝C(x)の時、あるの時、あるの時、あるの時、あるaについて、について、について、について、C(a)が正が正が正が正しくなるのもが見つからないしくなるのもが見つからないしくなるのもが見つからないしくなるのもが見つからない

• 条件条件条件条件Cを満たす全体を満たす全体を満たす全体を満たす全体→→→→集合を形成集合を形成集合を形成集合を形成

{x|C(x)}上記関係を満たす（何も元を持たない）集上記関係を満たす（何も元を持たない）集上記関係を満たす（何も元を持たない）集上記関係を満たす（何も元を持たない）集合を合を合を合を空集合空集合空集合空集合(φφφφ)と呼ぶと呼ぶと呼ぶと呼ぶ

• 集合に含まれる元の数集合に含まれる元の数集合に含まれる元の数集合に含まれる元の数→→→→サイズ、サイズ、サイズ、サイズ、|A|

2006/04/17 データベース論（1回目） 16

【【【【【【【【演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題11--22】】】】】】】】

1) 集合集合集合集合{1,2,3}を内包的表記を用いて表せを内包的表記を用いて表せを内包的表記を用いて表せを内包的表記を用いて表せ

2) 次の集合を外延的表記で表せ（空集合次の集合を外延的表記で表せ（空集合次の集合を外延的表記で表せ（空集合次の集合を外延的表記で表せ（空集合ははははφφφφと書け）と書け）と書け）と書け）

1) {x|x∈∈∈∈Q, x3=2} (Qは有理数の集合は有理数の集合は有理数の集合は有理数の集合)2) {y|y ∈∈∈∈N, 1<y2<10} (Nは自然数の集合は自然数の集合は自然数の集合は自然数の集合)3) {z|z ∈∈∈∈Z, 0.1<2z<100} (Zは整数の集合は整数の集合は整数の集合は整数の集合)

2006/04/17 データベース論（1回目） 17

集合の相等集合の相等集合の相等集合の相等集合の相等集合の相等集合の相等集合の相等

• すべての元が同じ集合すべての元が同じ集合すべての元が同じ集合すべての元が同じ集合 A=B<例例例例>A:{x|xはははは2<x<10である素数である素数である素数である素数}B:{y|yはははは1<y<8である奇数である奇数である奇数である奇数}

• 外延的表記における注意外延的表記における注意外延的表記における注意外延的表記における注意

A={a,b,c,…}ととととB={a,b,c,…}基本的に同じ基本的に同じ基本的に同じ基本的に同じものを指さなければならないものを指さなければならないものを指さなければならないものを指さなければならない→→→→A=Bというというというという相等が崩れる相等が崩れる相等が崩れる相等が崩れる

2006/04/17 データベース論（1回目） 18

集合の相等（２）集合の相等（２）集合の相等（２）集合の相等（２）集合の相等（２）集合の相等（２）集合の相等（２）集合の相等（２）

• {x|C(x)}={y|C(y)}• 任意の元任意の元任意の元任意の元xに対して、に対して、に対して、に対して、x∈∈∈∈A⇔⇔⇔⇔x∈∈∈∈Bとなる。となる。となる。となる。

(⇔⇔⇔⇔は（論理的に）同等は（論理的に）同等は（論理的に）同等は（論理的に）同等)• 論理記号の補足論理記号の補足論理記号の補足論理記号の補足

– p⇒⇒⇒⇒q（（（（pならばならばならばならばq）：）：）：）：pが正しいときはが正しいときはが正しいときはが正しいときはqもまた正もまた正もまた正もまた正

しいしいしいしい

– p⇔⇔⇔⇔q（（（（pははははqと同等）：と同等）：と同等）：と同等）：p⇒⇒⇒⇒qが正しく、かつが正しく、かつが正しく、かつが正しく、かつq⇒⇒⇒⇒pも正しいとき、またそのときに限り正しいも正しいとき、またそのときに限り正しいも正しいとき、またそのときに限り正しいも正しいとき、またそのときに限り正しい

2006/04/17 データベース論（1回目） 19

部分集合部分集合部分集合部分集合部分集合部分集合部分集合部分集合

• 任意の元任意の元任意の元任意の元xにたいして、にたいして、にたいして、にたいして、x∈∈∈∈A⇒⇒⇒⇒x∈∈∈∈Bなるなるなるなる関係が成り立つ時、関係が成り立つ時、関係が成り立つ時、関係が成り立つ時、AははははBのののの部分集合部分集合部分集合部分集合であであであであ

るというるというるというるという

A⊂⊂⊂⊂BまたはまたはまたはまたはB⊃⊃⊃⊃A• A⊂⊂⊂⊂BででででA≠≠≠≠Bのとき、のとき、のとき、のとき、AははははBのののの真部分集合真部分集合真部分集合真部分集合であるという（であるという（であるという（であるという（A⊂⊂⊂⊂B、、、、A ≠≠≠≠Bと記す、と記す、と記す、と記す、A⊆⊆⊆⊆とととという記述法もあるが、ここでは前者を採用いう記述法もあるが、ここでは前者を採用いう記述法もあるが、ここでは前者を採用いう記述法もあるが、ここでは前者を採用する）する）する）する）

2006/04/17 データベース論（1回目） 20

部分集合による相等と推移律部分集合による相等と推移律部分集合による相等と推移律部分集合による相等と推移律部分集合による相等と推移律部分集合による相等と推移律部分集合による相等と推移律部分集合による相等と推移律

• A=Bであるための必要十分条件であるための必要十分条件であるための必要十分条件であるための必要十分条件

A⊂⊂⊂⊂B かつかつかつかつ A⊃⊃⊃⊃Bすなわち、すなわち、すなわち、すなわち、A=B ⇔⇔⇔⇔ A⊂⊂⊂⊂BかつかつかつかつA⊃⊃⊃⊃B

• A⊂⊂⊂⊂B 、、、、B⊂⊂⊂⊂C ⇔⇔⇔⇔ A⊂⊂⊂⊂C• φ⊂φ⊂φ⊂φ⊂Aと約束すると約束すると約束すると約束する

2006/04/17 データベース論（1回目） 21

集合間の演算集合間の演算集合間の演算集合間の演算集合間の演算集合間の演算集合間の演算集合間の演算

• ２つの集合間の演算２つの集合間の演算２つの集合間の演算２つの集合間の演算

– 和集合和集合和集合和集合

– 共通集合（積集合）共通集合（積集合）共通集合（積集合）共通集合（積集合）

– 差集合差集合差集合差集合

– 普遍集合と補集合普遍集合と補集合普遍集合と補集合普遍集合と補集合

– 集合系と集合系と集合系と集合系とべきべきべきべき集合集合集合集合

2006/04/17 データベース論（1回目） 22

集合演算（和集合）集合演算（和集合）集合演算（和集合）集合演算（和集合）集合演算（和集合）集合演算（和集合）集合演算（和集合）集合演算（和集合）

• Aの元との元との元との元とBの元を全部集めた集合の元を全部集めた集合の元を全部集めた集合の元を全部集めた集合

• 和集合和集合和集合和集合 A∪∪∪∪B、、、、∪→∪→∪→∪→結び結び結び結び(join, cup)• A∪∪∪∪B={x|x∈∈∈∈Aまたはまたはまたはまたはx∈∈∈∈B}

<例例例例>A={1,2,3,4,5}、、、、B={3,5,7,9}

A ∪∪∪∪B={1,2,3,4,5,7,9}Aを正の偶数全体の集合、を正の偶数全体の集合、を正の偶数全体の集合、を正の偶数全体の集合、Bを正の奇数全体のを正の奇数全体のを正の奇数全体のを正の奇数全体の集合集合集合集合

A ∪∪∪∪B=N

2006/04/17 データベース論（1回目） 23

集合演算（和集合）その２集合演算（和集合）その２集合演算（和集合）その２集合演算（和集合）その２集合演算（和集合）その２集合演算（和集合）その２集合演算（和集合）その２集合演算（和集合）その２

(a1) A⊂⊂⊂⊂A∪∪∪∪B、、、、B⊂⊂⊂⊂A∪∪∪∪B(a2) A⊂⊂⊂⊂C、、、、B⊂⊂⊂⊂C、、、、⇒⇒⇒⇒A∪∪∪∪B⊂⊂⊂⊂C(a2)の証明：の証明：の証明：の証明：

A⊂⊂⊂⊂B, B⊂⊂⊂⊂Cとして、として、として、として、x∈∈∈∈A∪∪∪∪Bとするとするとするとする

A ∪∪∪∪Bの定義によっての定義によっての定義によっての定義によって, x∈∈∈∈Aまたはまたはまたはまたはx∈∈∈∈B、、、、x∈∈∈∈AならばならばならばならばA⊂⊂⊂⊂Bであるから、であるから、であるから、であるから、x∈∈∈∈C, x∈∈∈∈Bの場合も同様の場合も同様の場合も同様の場合も同様

ゆえにゆえにゆえにゆえにx∈∈∈∈C、すなわち、すなわち、すなわち、すなわちx∈∈∈∈A ∪∪∪∪Bならばならばならばならばx∈∈∈∈Cよって、よって、よって、よって、A ∪∪∪∪B⊂⊂⊂⊂C

2006/04/17 データベース論（1回目） 24

集合演算（和集合）その３集合演算（和集合）その３集合演算（和集合）その３集合演算（和集合）その３集合演算（和集合）その３集合演算（和集合）その３集合演算（和集合）その３集合演算（和集合）その３

(a3) A∪∪∪∪A＝＝＝＝A（ベキ等律）（ベキ等律）（ベキ等律）（ベキ等律）

(a4) A∪∪∪∪B＝＝＝＝B∪∪∪∪A（交換律）（交換律）（交換律）（交換律）

(a5) （（（（A∪∪∪∪B））））∪∪∪∪C＝＝＝＝A∪∪∪∪（（（（B∪∪∪∪C）（結合律））（結合律））（結合律））（結合律）

• (a5)の両辺はの両辺はの両辺はの両辺はA∪∪∪∪B∪∪∪∪Cとも書く。一般に、とも書く。一般に、とも書く。一般に、とも書く。一般に、n個の集合、個の集合、個の集合、個の集合、A1, A2, …, Anがあるとき、があるとき、があるとき、があるとき、A1∪∪∪∪A2∪∪∪∪…∪∪∪∪Anあるいはあるいはあるいはあるいは∪∪∪∪n

i=1Aiと記すと記すと記すと記す

2006/04/17 データベース論（1回目） 25

集合演算（和集合）その４集合演算（和集合）その４集合演算（和集合）その４集合演算（和集合）その４集合演算（和集合）その４集合演算（和集合）その４集合演算（和集合）その４集合演算（和集合）その４

(a6) A⊂⊂⊂⊂B⇔⇔⇔⇔A∪∪∪∪B=B(a7) A⊂⊂⊂⊂B⇒⇒⇒⇒A∪∪∪∪C⊂⊂⊂⊂B∪∪∪∪C(a8) φ∪φ∪φ∪φ∪A=A

2006/04/17 データベース論（1回目） 26

集合演算（積集合、共通集合）集合演算（積集合、共通集合）集合演算（積集合、共通集合）集合演算（積集合、共通集合）集合演算（積集合、共通集合）集合演算（積集合、共通集合）集合演算（積集合、共通集合）集合演算（積集合、共通集合）

• Aの元との元との元との元とBの元の共通部分を集めた集合の元の共通部分を集めた集合の元の共通部分を集めた集合の元の共通部分を集めた集合

• 積集合積集合積集合積集合 A∩∩∩∩B、、、、∩→∩→∩→∩→交わり交わり交わり交わり(meet, cap)• A∩∩∩∩B={x|x∈∈∈∈Aかつかつかつかつx∈∈∈∈B}

<例例例例>A={1,2,3,4,5}、、、、B={3,5,7,9}

A∩∩∩∩B={3,5}Aを正の偶数全体の集合、を正の偶数全体の集合、を正の偶数全体の集合、を正の偶数全体の集合、Bを正の奇数全体のを正の奇数全体のを正の奇数全体のを正の奇数全体の集合集合集合集合

A∩∩∩∩B=φφφφ

2006/04/17 データベース論（1回目） 27

集合演算（積集合、共通集合）２集合演算（積集合、共通集合）２集合演算（積集合、共通集合）２集合演算（積集合、共通集合）２集合演算（積集合、共通集合）２集合演算（積集合、共通集合）２集合演算（積集合、共通集合）２集合演算（積集合、共通集合）２

(a1)’ A⊃⊃⊃⊃A∩∩∩∩B、、、、B⊃⊃⊃⊃A∩∩∩∩B(a2)’ A⊃⊃⊃⊃C、、、、B⊃⊃⊃⊃C、、、、⇒⇒⇒⇒A∩∩∩∩B⊃⊃⊃⊃C(a3)’ A∩∩∩∩A＝＝＝＝A（ベキ等律）（ベキ等律）（ベキ等律）（ベキ等律）

(a4)’ A∩∩∩∩B＝＝＝＝B∩∩∩∩A（交換律）（交換律）（交換律）（交換律）

(a5)’ （（（（A∩∩∩∩B））））∩∩∩∩C＝＝＝＝A∩∩∩∩（（（（B∩∩∩∩C）（結合律））（結合律））（結合律））（結合律）

• (a5)’の両辺はの両辺はの両辺はの両辺はA∩∩∩∩B∩∩∩∩Cとも書く。一般に、とも書く。一般に、とも書く。一般に、とも書く。一般に、n個の集合、個の集合、個の集合、個の集合、A1, A2, …, Anがあるとき、があるとき、があるとき、があるとき、A1∩∩∩∩A2 ∩∩∩∩…∩∩∩∩Anあるいはあるいはあるいはあるいは∩∩∩∩n

i=1Aiと記すと記すと記すと記す

2006/04/17 データベース論（1回目） 28

集合演算（積集合、共通集合）３集合演算（積集合、共通集合）３集合演算（積集合、共通集合）３集合演算（積集合、共通集合）３集合演算（積集合、共通集合）３集合演算（積集合、共通集合）３集合演算（積集合、共通集合）３集合演算（積集合、共通集合）３

(a6)’ A⊂⊂⊂⊂B⇔⇔⇔⇔A∩∩∩∩B=A(a7)’ A⊂⊂⊂⊂B⇒⇒⇒⇒A∩∩∩∩C⊂⊂⊂⊂B∩∩∩∩C(a8)’φ∩φ∩φ∩φ∩A＝＝＝＝φφφφ• 分配律分配律分配律分配律

(a9) （（（（A∪∪∪∪B））））∩∩∩∩C＝（＝（＝（＝（A∩∩∩∩C））））∪∪∪∪（（（（B∩∩∩∩C））））(a9)’ （（（（A∩∩∩∩B））））∪∪∪∪C＝（＝（＝（＝（A∪∪∪∪C））））∩∩∩∩（（（（B∪∪∪∪C））））• 吸収律吸収律吸収律吸収律

(aa) （（（（A∪∪∪∪B））））∩∩∩∩A＝＝＝＝A(aa)’ （（（（A∩∩∩∩B））））∪∪∪∪A＝＝＝＝A

2006/04/17 データベース論（1回目） 29

集合演算（直和）集合演算（直和）集合演算（直和）集合演算（直和）集合演算（直和）集合演算（直和）集合演算（直和）集合演算（直和）

• AととととBが互いに素であるときが互いに素であるときが互いに素であるときが互いに素であるとき

• A∪∪∪∪Bはははは直和直和直和直和であるであるであるである

<例例例例>A={1,3,5,7,9}、、、、B={2,4,6,8}

A ∪∪∪∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

2006/04/17 データベース論（1回目） 30

集合演算（差集合）集合演算（差集合）集合演算（差集合）集合演算（差集合）集合演算（差集合）集合演算（差集合）集合演算（差集合）集合演算（差集合）

• Aの元であっての元であっての元であっての元であってBの元ではないものの集合の元ではないものの集合の元ではないものの集合の元ではないものの集合

• 差集合差集合差集合差集合 A－－－－B• A∩∩∩∩B={x|x∈∈∈∈Aかつかつかつかつx∈∈∈∈B}• A⊃⊃⊃⊃Bである場合、である場合、である場合、である場合、A－－－－BををををAに対するに対するに対するに対するBのののの補集合補集合補集合補集合というというというという

<例例例例>自然数の集合自然数の集合自然数の集合自然数の集合N、、、、Bを正の奇数の整数全体の集を正の奇数の整数全体の集を正の奇数の整数全体の集を正の奇数の整数全体の集合合合合

N－－－－B：正の偶数の整数全体の集合：正の偶数の整数全体の集合：正の偶数の整数全体の集合：正の偶数の整数全体の集合

2006/04/17 データベース論（1回目） 31

普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合

• 現在の対象集合が、ある定まった集合の現在の対象集合が、ある定まった集合の現在の対象集合が、ある定まった集合の現在の対象集合が、ある定まった集合の部分集合である時、その集合を普遍集合部分集合である時、その集合を普遍集合部分集合である時、その集合を普遍集合部分集合である時、その集合を普遍集合あるいは全体集合あるいは全体集合あるいは全体集合あるいは全体集合(universal set)とよぶとよぶとよぶとよぶ

• 普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合Xが与えが与えが与えが与えらてらてらてらているとき、集合いるとき、集合いるとき、集合いるとき、集合A（（（（Xの部分集合）のの部分集合）のの部分集合）のの部分集合）のXに対する補集合に対する補集合に対する補集合に対する補集合X－－－－Aをををを単に単に単に単にAの補集合と呼びの補集合と呼びの補集合と呼びの補集合と呼びAcで表すで表すで表すで表す

2006/04/17 データベース論（1回目） 32

普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合 その２その２その２その２その２その２その２その２

• x∈∈∈∈Xとすると、とすると、とすると、とすると、Ac={x|x∈∈∈∈A}• x∈∈∈∈A⇔⇔⇔⇔x∈∈∈∈Ac

AcA

XX

2006/04/17 データベース論（1回目） 33

普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合普遍集合 その３その３その３その３その３その３その３その３

(ab) A ∪∪∪∪Ac=X, A ∩∩∩∩ Ac=φφφφ(ac) Acc=A(ad) φφφφc=X, Xc=φφφφ(ae) A⊂⊂⊂⊂B⇔⇔⇔⇔Ac⊃⊃⊃⊃Bc

• de Morganの法則の法則の法則の法則

(af) （（（（A ∪∪∪∪ B））））c=Ac∩∩∩∩ Bc

(af)’ （（（（A ∩∩∩∩ B））））c=Ac∪∪∪∪ Bc

2006/04/17 データベース論（1回目） 34

集合系とベキ集合集合系とベキ集合集合系とベキ集合集合系とベキ集合集合系とベキ集合集合系とベキ集合集合系とベキ集合集合系とベキ集合

• 集合を要素とする集合集合を要素とする集合集合を要素とする集合集合を要素とする集合→→→→集合系集合系集合系集合系

• 集合集合集合集合Aのすべての部分集合を含むものをのすべての部分集合を含むものをのすべての部分集合を含むものをのすべての部分集合を含むものをベキ集ベキ集ベキ集ベキ集

合合合合というというというという

• 部分集合の集合は情報処理の中では重要な役部分集合の集合は情報処理の中では重要な役部分集合の集合は情報処理の中では重要な役部分集合の集合は情報処理の中では重要な役割を演じることがある割を演じることがある割を演じることがある割を演じることがある

＜例題＞７人が麻雀を７回戦行う場合を考える。こ＜例題＞７人が麻雀を７回戦行う場合を考える。こ＜例題＞７人が麻雀を７回戦行う場合を考える。こ＜例題＞７人が麻雀を７回戦行う場合を考える。このさい、どの二人も２回ずつ顔を合わせるようなのさい、どの二人も２回ずつ顔を合わせるようなのさい、どの二人も２回ずつ顔を合わせるようなのさい、どの二人も２回ずつ顔を合わせるような組み合わせを作れるか組み合わせを作れるか組み合わせを作れるか組み合わせを作れるか

→→→→BIBD(balanced incomplete block design)

2006/04/17 データベース論（1回目） 35

ベキ集合ベキ集合ベキ集合ベキ集合ベキ集合ベキ集合ベキ集合ベキ集合

• ベキ集合ベキ集合ベキ集合ベキ集合→→→→2n個の元を持つ個の元を持つ個の元を持つ個の元を持つ

<例例例例>X={0,1,2,3}→→→→24=16個の元個の元個の元個の元

ΔΔΔΔ(X)={φφφφ,{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2},{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3}}

• ベキ集合の構成方法（次のスライド）ベキ集合の構成方法（次のスライド）ベキ集合の構成方法（次のスライド）ベキ集合の構成方法（次のスライド）

2006/04/17 データベース論（1回目） 36

ベキ集合構成の方法ベキ集合構成の方法ベキ集合構成の方法ベキ集合構成の方法ベキ集合構成の方法ベキ集合構成の方法ベキ集合構成の方法ベキ集合構成の方法

φ

0

1

2

3

01

12

23

30

02

13

012

123

230

301

0123

2006/04/17 データベース論（1回目） 37

集合の直積集合の直積集合の直積集合の直積集合の直積集合の直積集合の直積集合の直積

• 定義：定義：定義：定義：A, Bを集合とするとき、を集合とするとき、を集合とするとき、を集合とするとき、Aの元の元の元の元aととととBの元の元の元の元bの順序付けられた組の順序付けられた組の順序付けられた組の順序付けられた組(a,b)全体の作全体の作全体の作全体の作る集合をる集合をる集合をる集合をAととととBのののの直積直積直積直積と呼ぶと呼ぶと呼ぶと呼ぶ

• 表記：表記：表記：表記： A××××B• 例：例：例：例： A={1,2}、、、、B={p,q,r}とするとするとするとする

A××××B={(1,p), (1,q), (1,r), (2,p), (2,q), (2,r)}

A××××A={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

2006/04/17 データベース論（1回目） 38

順序付けられたの意味順序付けられたの意味順序付けられたの意味順序付けられたの意味順序付けられたの意味順序付けられたの意味順序付けられたの意味順序付けられたの意味

• 順序付けられた組順序付けられた組順序付けられた組順序付けられた組(a,b)→→→→aととととbをこのをこのをこのをこの

順番に順番に順番に順番に‘‘‘‘組み合わせた組み合わせた組み合わせた組み合わせた’’’’ものであるものであるものであるものである

• aととととbの順序が重要であるの順序が重要であるの順序が重要であるの順序が重要である

• (a,b)とととと(b,a)ははははa=bのときに限り、同じのときに限り、同じのときに限り、同じのときに限り、同じ

‘‘‘‘順序付けられた組順序付けられた組順序付けられた組順序付けられた組’’’’となるとなるとなるとなる

2006/04/17 データベース論（1回目） 39

直積の元の相等直積の元の相等直積の元の相等直積の元の相等直積の元の相等直積の元の相等直積の元の相等直積の元の相等

• A××××Bの元の元の元の元(a,b)とととと(a’,b’)があるとするがあるとするがあるとするがあるとする

• もちろん、もちろん、もちろん、もちろん、a∈∈∈∈A、、、、a’∈∈∈∈A、、、、b∈∈∈∈B、、、、b’∈∈∈∈Bであるであるであるである

• (a,b)とととと(a’,b’)ははははa=a’、、、、b=b’のとき、かのとき、かのとき、かのとき、か

つそのときに限って等しいものとするつそのときに限って等しいものとするつそのときに限って等しいものとするつそのときに限って等しいものとする

2006/04/17 データベース論（1回目） 40

直積の幾何学的な表現直積の幾何学的な表現直積の幾何学的な表現直積の幾何学的な表現直積の幾何学的な表現直積の幾何学的な表現直積の幾何学的な表現直積の幾何学的な表現

• A××××Bの元の元の元の元(a,b)に対して、に対して、に対して、に対して、aを第一成分（第一座を第一成分（第一座を第一成分（第一座を第一成分（第一座標）、標）、標）、標）、bを第二成分（第二座標）と呼ぶを第二成分（第二座標）と呼ぶを第二成分（第二座標）と呼ぶを第二成分（第二座標）と呼ぶ

• Aががががm個の元、個の元、個の元、個の元、Bががががn個の元からなる有限集合の個の元からなる有限集合の個の元からなる有限集合の個の元からなる有限集合の場合、場合、場合、場合、A××××Bははははmn個の元を持つ有限集合となる個の元を持つ有限集合となる個の元を持つ有限集合となる個の元を持つ有限集合となる

• A××××Bを表すのに図のような幾何学的な平面をを表すのに図のような幾何学的な平面をを表すのに図のような幾何学的な平面をを表すのに図のような幾何学的な平面を

考えることが多い考えることが多い考えることが多い考えることが多い

• R××××Rの元の元の元の元(x,y)はははは平面上の点の集合平面上の点の集合平面上の点の集合平面上の点の集合

2 2

a

b

(a,b)A

B

2006/04/17 データベース論（1回目） 41

【【【【【【【【演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題11--33】】】】】】】】

(1) 次の２つの集合の直積を示せ次の２つの集合の直積を示せ次の２つの集合の直積を示せ次の２つの集合の直積を示せ

・・・・ A={a,b,c}, B={x,y,z}・・・・ A={1,2,3}, B=φφφφ

2006/04/17 データベース論（1回目） 42

対応の定義対応の定義対応の定義対応の定義対応の定義対応の定義対応の定義対応の定義

• A,Bを２つの集合とするを２つの集合とするを２つの集合とするを２つの集合とする

• ある規則ある規則ある規則ある規則ΓΓΓΓによって、によって、によって、によって、Aの元の元の元の元aに対して、に対して、に対して、に対して、それぞれ１つずつのそれぞれ１つずつのそれぞれ１つずつのそれぞれ１つずつのBの部分集合の部分集合の部分集合の部分集合ΓΓΓΓ(a)がががが定められる定められる定められる定められる– 注：注：注：注：a≠≠≠≠a’’’’のときのときのときのときΓΓΓΓ(a)＝＝＝＝ΓΓΓΓ(a’)であってもよいであってもよいであってもよいであってもよい

– また、また、また、また、ΓΓΓΓ(a)＝＝＝＝φφφφでもよいでもよいでもよいでもよい

• 規則規則規則規則ΓΓΓΓ：：：：AからからからからBへの対応への対応への対応への対応

2006/04/17 データベース論（1回目） 43

対応の表記と相等対応の表記と相等対応の表記と相等対応の表記と相等対応の表記と相等対応の表記と相等対応の表記と相等対応の表記と相等

• A,Bは集合とし、は集合とし、は集合とし、は集合とし、Aの元の元の元の元aにたいするにたいするにたいするにたいするBの部分集の部分集の部分集の部分集合合合合ΓΓΓΓ(a)ををををΓΓΓΓによるによるによるによるaのののの像像像像と呼ぶ、と呼ぶ、と呼ぶ、と呼ぶ、A,Bを対応を対応を対応を対応ΓΓΓΓのののの始集合始集合始集合始集合、、、、終集合終集合終集合終集合と呼ぶと呼ぶと呼ぶと呼ぶ

• 対応の表記対応の表記対応の表記対応の表記

ΓΓΓΓ：：：：A→→→→B• 対応の相等対応の相等対応の相等対応の相等

– ΓΓΓΓ、、、、ΓΓΓΓ’がいずれもがいずれもがいずれもがいずれもAががががららららBへの対応とするへの対応とするへの対応とするへの対応とする

– Aのいかなる元のいかなる元のいかなる元のいかなる元aにたいしても、にたいしても、にたいしても、にたいしても、ΓΓΓΓ(a)=ΓΓΓΓ’(a)– ΓΓΓΓととととΓΓΓΓ’は等しい（相等）であるは等しい（相等）であるは等しい（相等）であるは等しい（相等）である

2006/04/17 データベース論（1回目） 44

写像写像写像写像写像写像写像写像

• AからからからからBへの対応への対応への対応への対応ΓΓΓΓは、次の性質を持つとき、特は、次の性質を持つとき、特は、次の性質を持つとき、特は、次の性質を持つとき、特ににににAからからからからBへのへのへのへの写像写像写像写像と呼ばれると呼ばれると呼ばれると呼ばれる

Aの任意の元の任意の元の任意の元の任意の元aに対して、に対して、に対して、に対して、ΓΓΓΓ(a)ははははBののののたたたただだだだ1つの元から成る集合であるつの元から成る集合であるつの元から成る集合であるつの元から成る集合である

• D(ΓΓΓΓ)=A• f ををををAからからからからBへの写像、への写像、への写像、への写像、Aの元の元の元の元aとするととするととするととすると

f (a)={b} →→→→ f (a)=bbををををf によるによるによるによるaのののの像像像像と呼ぶと呼ぶと呼ぶと呼ぶ

2006/04/17 データベース論（1回目） 45

写像写像写像写像写像写像写像写像(2)(2)

• 写像写像写像写像 f ：：：：A→→→→Bによるによるによるによるaの像がの像がの像がの像がbであるであるであるである– aにおけるにおけるにおけるにおけるf の値はの値はの値はの値はbであるであるであるである

– f ははははaににににbを対応させるを対応させるを対応させるを対応させる

– f ははははaははははbを写すを写すを写すを写す

• ＜例＞＜例＞＜例＞＜例＞

実数実数実数実数xににににx2+1に対応させれば、に対応させれば、に対応させれば、に対応させれば、RからからからからRへへへへの１つの写像が得られるの１つの写像が得られるの１つの写像が得られるの１つの写像が得られる

f (x)=x2+1

2006/04/17 データベース論（1回目） 46

全射、単射、全単射全射、単射、全単射全射、単射、全単射全射、単射、全単射全射、単射、全単射全射、単射、全単射全射、単射、全単射全射、単射、全単射

• 全射：全射：全射：全射： f (A)=B• 単射：単射：単射：単射：f (a)=f (a’)⇒⇒⇒⇒a=a’• 全単射：写像全単射：写像全単射：写像全単射：写像 f ：：：：A→→→→Bが全射であると同が全射であると同が全射であると同が全射であると同

時に単射のとき時に単射のとき時に単射のとき時に単射のとき

2006/04/17 データベース論（1回目） 47

全射全射全射全射全射全射全射全射

f ：：：：A→→→→Bのとき、のとき、のとき、のとき、

定義域定義域定義域定義域 D( f )=Aであるが、値域であるが、値域であるが、値域であるが、値域V( f )= f (A)ががががBであるとはいえないであるとはいえないであるとはいえないであるとはいえない

• f (A)=Bであるとき、写像であるとき、写像であるとき、写像であるとき、写像 fはははは全射全射全射全射であるであるであるである

• あるいは、あるいは、あるいは、あるいは、fははははAからからからからBのののの上への写像上への写像上への写像上への写像

• 全射であるとき、全射であるとき、全射であるとき、全射であるとき、Bのどの元のどの元のどの元のどの元bに対しても、に対しても、に対しても、に対しても、f –1(b)≠φ≠φ≠φ≠φである。すなわち、である。すなわち、である。すなわち、である。すなわち、f (a)=bとなとなとなとなるるるるAの元の元の元の元aが存在するが存在するが存在するが存在する

2006/04/17 データベース論（1回目） 48

単射単射単射単射単射単射単射単射

f ：：：：A→→→→Bのとき、のとき、のとき、のとき、

Aの任意の元の任意の元の任意の元の任意の元a, a’に対してに対してに対してに対して

• a ≠≠≠≠a’⇒⇒⇒⇒ f (a) ≠≠≠≠ f (a’)• f (a)=f (a’)⇒⇒⇒⇒a=a’が成り立つとき、が成り立つとき、が成り立つとき、が成り立つとき、AからからからからBへのへのへのへの単射単射単射単射、または、または、または、またはAからからからからBへのへのへのへの１対１の写像１対１の写像１対１の写像１対１の写像であるであるであるである

• f の値域の値域の値域の値域V( f )の任意の元の任意の元の任意の元の任意の元bに対して、に対して、に対して、に対して、f –1(b)がいつもがいつもがいつもがいつもAのただ１つの元からなるのただ１つの元からなるのただ１つの元からなるのただ１つの元からなる

2006/04/17 データベース論（1回目） 49

全単射全単射全単射全単射全単射全単射全単射全単射

f ：：：：A→→→→Bが同時にが同時にが同時にが同時に

全射かつ単射であるとき、全射かつ単射であるとき、全射かつ単射であるとき、全射かつ単射であるとき、

fははははAからからからからBへのへのへのへの全単射全単射全単射全単射であるであるであるである

2006/04/17 データベース論（1回目） 50

恒等写像恒等写像恒等写像恒等写像恒等写像恒等写像恒等写像恒等写像

• Aを任意の集合、を任意の集合、を任意の集合、を任意の集合、PををををAの部分集合とするの部分集合とするの部分集合とするの部分集合とする

• Pの各元の各元の各元の各元aににににAののののa自身を対応させる自身を対応させる自身を対応させる自身を対応させる

• PからからからからAへの１つの写像への１つの写像への１つの写像への１つの写像 iが定まるが定まるが定まるが定まる

• 写像写像写像写像 iは明らかには明らかには明らかには明らかにPからからからからAへの単射であへの単射であへの単射であへの単射であるるるる

→→→→PからからからからAへのへのへのへの標準的単射標準的単射標準的単射標準的単射

• 特に特に特に特にP=Aの場合の場合の場合の場合

→→→→標準的単射は、標準的単射は、標準的単射は、標準的単射は、Aの上のの上のの上のの上の恒等写像恒等写像恒等写像恒等写像IA

2006/04/17 データベース論（1回目） 51

逆写像逆写像逆写像逆写像逆写像逆写像逆写像逆写像

• 写像写像写像写像 f :A→→→→Bを全単射を全単射を全単射を全単射

• 定理定理定理定理3-1により逆対応により逆対応により逆対応により逆対応 f –1 ：：：：B→→→→Aも写像も写像も写像も写像

• f –1 をををを f のののの逆写像逆写像逆写像逆写像というというというという

2006/04/17 データベース論（1回目） 52

写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成

• A,B,Cをををを3つの集合とするつの集合とするつの集合とするつの集合とする

• AからからからからBへの写像への写像への写像への写像 f , BからからからからCへの写像への写像への写像への写像 g• Aの任意の元の任意の元の任意の元の任意の元aに対してに対してに対してに対して

– aのののの fによる像による像による像による像 f (a)が定まるが定まるが定まるが定まる

– f (a)のののの gによる像による像による像による像 g ( f (a))が定まるが定まるが定まるが定まる

• Aの各元の各元の各元の各元aに対して、１つずつに対して、１つずつに対して、１つずつに対して、１つずつCの元の元の元の元g ( f (a))が定まるが定まるが定まるが定まる

→→→→aをををを g ( f (a))に対応させる写像に対応させる写像に対応させる写像に対応させる写像ψψψψ

• ψψψψ：：：：A→→→→Cをををを f とととと gのののの合成写像合成写像合成写像合成写像またはまたはまたはまたは積積積積と呼ぶと呼ぶと呼ぶと呼ぶ

2006/04/17 データベース論（1回目） 53

写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成写像の合成(2)(2)

• ψψψψ：：：：A→→→→Cをををを f とととと gの合成写像または積の合成写像または積の合成写像または積の合成写像または積

• 表記法：表記法：表記法：表記法： g。。。。fまたはまたはまたはまたは gf• すべてのすべてのすべてのすべてのa∈∈∈∈Aに対してに対してに対してに対して

(g 。。。。 f )(a)=g ( f (a))

2006/04/17 データベース論（1回目） 54

関係の概念関係の概念関係の概念関係の概念関係の概念関係の概念関係の概念関係の概念

• 2個以上の変数を含む条件を考える個以上の変数を含む条件を考える個以上の変数を含む条件を考える個以上の変数を含む条件を考える– x,yは有理数では有理数では有理数では有理数でx<yである；である；である；である；

– x,y,zは実数では実数では実数では実数でx2+y2=2zである；である；である；である；

– p,lは平面は平面は平面は平面ππππ上の点および直線で、上の点および直線で、上の点および直線で、上の点および直線で、pははははlの上の上の上の上にある；にある；にある；にある；

• これらは一般に変数間のこれらは一般に変数間のこれらは一般に変数間のこれらは一般に変数間の関係関係関係関係と呼ばれと呼ばれと呼ばれと呼ばれるるるる

• 関係に含まれる変数には関係に含まれる変数には関係に含まれる変数には関係に含まれる変数には変域変域変域変域、すなわち、、すなわち、、すなわち、、すなわち、その変数に代入できるものの集合が定その変数に代入できるものの集合が定その変数に代入できるものの集合が定その変数に代入できるものの集合が定まっているまっているまっているまっている

2006/04/17 データベース論（1回目） 55

関係の表記関係の表記関係の表記関係の表記関係の表記関係の表記関係の表記関係の表記

• 関係を関係を関係を関係をRで表すで表すで表すで表す

• Rががががn変数、変数、変数、変数、x1,x2,…,xnの関係で、各の関係で、各の関係で、各の関係で、各変数の変域が変数の変域が変数の変域が変数の変域がX1,X2,…,Xnとするなとするなとするなとするな

らば、らば、らば、らば、

R(x1,x2,…,xn) (xiの変域はの変域はの変域はの変域はXi)• R(x,y) (x,yは共に変域は共に変域は共に変域は共に変域A)というというというという2変変変変数の関係がよく考えられる数の関係がよく考えられる数の関係がよく考えられる数の関係がよく考えられる

2006/04/17 データベース論（1回目） 56

22変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係

• R(x,y) (x,yは共に変域は共に変域は共に変域は共に変域A)• これをこれをこれをこれをAにおける単なる関係と呼び、における単なる関係と呼び、における単なる関係と呼び、における単なる関係と呼び、xRyと表記すると表記すると表記すると表記する

• Rを集合を集合を集合を集合Aにおける１つの関係とするとき、における１つの関係とするとき、における１つの関係とするとき、における１つの関係とするとき、aRbが成り立つようなが成り立つようなが成り立つようなが成り立つようなAの元の元の元の元a,bの組の組の組の組(a,b)の全体は、の全体は、の全体は、の全体は、A××××Aの１つの部分集合を形の１つの部分集合を形の１つの部分集合を形の１つの部分集合を形作る作る作る作る

• これを、関係これを、関係これを、関係これを、関係Rのグラフと呼び、のグラフと呼び、のグラフと呼び、のグラフと呼び、G(R)で表で表で表で表すすすす→→→→G(R)={(a,b)|a∈∈∈∈A,b∈∈∈∈B, aRb}

2006/04/17 データベース論（1回目） 57

22変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係変数の関係(2)(2)

• A××××Aの任意の部分集合の任意の部分集合の任意の部分集合の任意の部分集合Gが与えらが与えらが与えらが与えられたとき、れたとき、れたとき、れたとき、G=G(R)となとなとなとなるような関係るような関係るような関係るような関係Rをををを1つだけ定義することができるつだけ定義することができるつだけ定義することができるつだけ定義することができる

• すなわち、すなわち、すなわち、すなわち、Aの元の元の元の元a,bに対して、に対して、に対して、に対して、(a,b)∈∈∈∈Gのときまたそのときに限っのときまたそのときに限っのときまたそのときに限っのときまたそのときに限っててててaRbが成り立つが成り立つが成り立つが成り立つRを定めればよいを定めればよいを定めればよいを定めればよい

2006/04/17 データベース論（1回目） 58

同値関係同値関係同値関係同値関係同値関係同値関係同値関係同値関係

• 集合集合集合集合Aにおける関係における関係における関係における関係Rが次のが次のが次のが次の(1)、、、、(2)、、、、(3)を満たすとき、を満たすとき、を満たすとき、を満たすとき、RははははAにおける同値関係でにおける同値関係でにおける同値関係でにおける同値関係で

あるというあるというあるというあるという(1) Aのすべての元のすべての元のすべての元のすべての元aに対してに対してに対してに対してaRa(2) Aの元の元の元の元a,bに対してに対してに対してに対してaRb⇒⇒⇒⇒bRa(3) Aの元の元の元の元a,b,cに対してに対してに対してに対してaRb,bRc⇒⇒⇒⇒aRc（１）は反射律、（２）は対称律、（３）は推（１）は反射律、（２）は対称律、（３）は推（１）は反射律、（２）は対称律、（３）は推（１）は反射律、（２）は対称律、（３）は推移律といい、これら移律といい、これら移律といい、これら移律といい、これら3つをつをつをつを同値律同値律同値律同値律と呼ぶと呼ぶと呼ぶと呼ぶ

2006/04/17 データベース論（1回目） 59

同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例(1)(1)

• Aを任意の集合として、を任意の集合として、を任意の集合として、を任意の集合として、RををををAの元のの元のの元のの元の間の相等関係間の相等関係間の相等関係間の相等関係=とするば、これはとするば、これはとするば、これはとするば、これはAにおける１つの同値関係であるにおける１つの同値関係であるにおける１つの同値関係であるにおける１つの同値関係である

• a=bは明らかに同値律を満たしていは明らかに同値律を満たしていは明らかに同値律を満たしていは明らかに同値律を満たしてい

るるるる

• 最も原始的な同値関係最も原始的な同値関係最も原始的な同値関係最も原始的な同値関係

2006/04/17 データベース論（1回目） 60

同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例(2)(2)

• 整数の集合整数の集合整数の集合整数の集合Zと１つの定まった正のと１つの定まった正のと１つの定まった正のと１つの定まった正の整数整数整数整数nを考えるを考えるを考えるを考える

• Zの元の元の元の元a,bは、は、は、は、a-bががががnで割り切れるとで割り切れるとで割り切れるとで割り切れるときに、きに、きに、きに、nに関してに関してに関してに関して合同合同合同合同であると言われ、であると言われ、であると言われ、であると言われ、a≡≡≡≡b(mod n)またはまたはまたはまたはa ≡≡≡≡b(n)と表記と表記と表記と表記されるされるされるされる

• この関係この関係この関係この関係≡≡≡≡(mod n)ははははZにおける１つにおける１つにおける１つにおける１つの同値関係であるの同値関係であるの同値関係であるの同値関係である

2006/04/17 データベース論（1回目） 61

同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例(2)(2)--22

• 任意の任意の任意の任意のa∈∈∈∈Zに対し、に対し、に対し、に対し、a-a=0であるかであるかであるかであるから、ら、ら、ら、0ははははnで割り切れるので、で割り切れるので、で割り切れるので、で割り切れるので、a≡≡≡≡a(mod n)である（反射律）である（反射律）である（反射律）である（反射律）

• a,b∈∈∈∈Zに対して、に対して、に対して、に対して、a-bががががnで割り切れで割り切れで割り切れで割り切れるなら、るなら、るなら、るなら、b-a=-(a-b)ももちろんももちろんももちろんももちろんnで割りで割りで割りで割り切れる。すなわち、切れる。すなわち、切れる。すなわち、切れる。すなわち、a≡≡≡≡b(mod n)ならならならならばばばばb≡≡≡≡a(mod n)である（対称律）である（対称律）である（対称律）である（対称律）

2006/04/17 データベース論（1回目） 62

【【【【【【【【演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題11--44】】】】】】】】

• 同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例(2)において、推移律において、推移律において、推移律において、推移律

が成り立つことを示せが成り立つことを示せが成り立つことを示せが成り立つことを示せ

2006/04/17 データベース論（1回目） 63

同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例同値関係の例(3)(3)• f を集合を集合を集合を集合Aから集合から集合から集合から集合Bへのへのへのへの1つの写像とすつの写像とすつの写像とすつの写像とするるるる

• Aの元の元の元の元x,yに対して、それらのに対して、それらのに対して、それらのに対して、それらの fによる像による像による像による像が一致する、すなわちが一致する、すなわちが一致する、すなわちが一致する、すなわち

f (x) = f (y)• そのときに限り、そのときに限り、そのときに限り、そのときに限り、xRyとして関係として関係として関係として関係Rを定義を定義を定義を定義すれば、それは明らかにすれば、それは明らかにすれば、それは明らかにすれば、それは明らかにAにおける同値における同値における同値における同値関係となる関係となる関係となる関係となる

• これを写像これを写像これを写像これを写像 fに付随する同値関係と呼ぶに付随する同値関係と呼ぶに付随する同値関係と呼ぶに付随する同値関係と呼ぶ

2006/04/17 データベース論（1回目） 64

対等の概念対等の概念対等の概念対等の概念対等の概念対等の概念対等の概念対等の概念

• 集合集合集合集合AからからからからBへの全単射が存在するとき、への全単射が存在するとき、への全単射が存在するとき、への全単射が存在するとき、BははははAにににに対等対等対等対等(equipotent)であるであるであるである

• A～～～～B（対等の表記）（対等の表記）（対等の表記）（対等の表記）

• 定理定理定理定理4-1(d1) A～～～～A(d2) A～～～～B⇒⇒⇒⇒B～～～～A(d3) A～～～～B, B～～～～C⇒⇒⇒⇒A～～～～C

• 空集合空集合空集合空集合φφφφは、ただそれ自身のみに対等は、ただそれ自身のみに対等は、ただそれ自身のみに対等は、ただそれ自身のみに対等

2006/04/17 データベース論（1回目） 65

有限集合と無限集合有限集合と無限集合有限集合と無限集合有限集合と無限集合有限集合と無限集合有限集合と無限集合有限集合と無限集合有限集合と無限集合

• 有限集合有限集合有限集合有限集合

ある自然数ある自然数ある自然数ある自然数nについて、について、について、について、{1,2,3,…,n｝と対等｝と対等｝と対等｝と対等

な集合及び空集合を有限集合と呼ぶな集合及び空集合を有限集合と呼ぶな集合及び空集合を有限集合と呼ぶな集合及び空集合を有限集合と呼ぶ

• 無限集合無限集合無限集合無限集合

有限集合以外の集合を無限集合と呼ぶ有限集合以外の集合を無限集合と呼ぶ有限集合以外の集合を無限集合と呼ぶ有限集合以外の集合を無限集合と呼ぶ

• ２つの有限集合が対等となるのは、同じ個２つの有限集合が対等となるのは、同じ個２つの有限集合が対等となるのは、同じ個２つの有限集合が対等となるのは、同じ個数の要素をもつときである数の要素をもつときである数の要素をもつときである数の要素をもつときである

2006/04/17 データベース論（1回目） 66

対等の例対等の例対等の例対等の例対等の例対等の例対等の例対等の例

• N={1,2,3,…}, E={2,4,6,…}とする。とする。とする。とする。f ：：：：N→→→→Eををををf(x)=2xとすると、とすると、とすると、とすると、f は全単射とは全単射とは全単射とは全単射となるので、なるので、なるので、なるので、NととととEは対等であるは対等であるは対等であるは対等である

• f ：：：： (-1,1)→→→→Rをををを f(x)=x/(1-|x|)と定義すと定義すと定義すと定義するとるとるとると, R上への上への上への上への1対対対対1の関数を定義できの関数を定義できの関数を定義できの関数を定義できる。ゆえに、開区間る。ゆえに、開区間る。ゆえに、開区間る。ゆえに、開区間(-1,1)は実数全体は実数全体は実数全体は実数全体Rと対等である。と対等である。と対等である。と対等である。

2006/04/17 データベース論（1回目） 67

可付番集合と可算集合可付番集合と可算集合可付番集合と可算集合可付番集合と可算集合可付番集合と可算集合可付番集合と可算集合可付番集合と可算集合可付番集合と可算集合

• 自然数全体自然数全体自然数全体自然数全体Nと対等な集合と対等な集合と対等な集合と対等な集合X：可付番集：可付番集：可付番集：可付番集

合という合という合という合という

• Xは濃度は濃度は濃度は濃度(cardinality)として、として、として、として、XXXX0（アフロゼ（アフロゼ（アフロゼ（アフロゼ

ロ）を持つロ）を持つロ）を持つロ）を持つ

• 可算集合：有限または可付番集合可算集合：有限または可付番集合可算集合：有限または可付番集合可算集合：有限または可付番集合

2006/04/17 データベース論（1回目） 68

【【【【【【【【演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題11--55】】】】】】】】

(1) 次のものは可付番集合かどうか示せ次のものは可付番集合かどうか示せ次のものは可付番集合かどうか示せ次のものは可付番集合かどうか示せ

・異なる項からなる無限数列・異なる項からなる無限数列・異なる項からなる無限数列・異なる項からなる無限数列

a1,a2,a3,…・・・・M={0,1,2,3,…}=N∪∪∪∪{0}とするとき、とするとき、とするとき、とするとき、M××××M・単位区間・単位区間・単位区間・単位区間[0,1]（ここで、（ここで、（ここで、（ここで、[ ]なる表記は閉なる表記は閉なる表記は閉なる表記は閉

区間であることを示す）区間であることを示す）区間であることを示す）区間であることを示す）

2006/04/17 データベース論（1回目） 69

連続体連続体連続体連続体連続体連続体連続体連続体

• 有限でも可付番でもない集合を非可付有限でも可付番でもない集合を非可付有限でも可付番でもない集合を非可付有限でも可付番でもない集合を非可付番または非可算と呼ぶ番または非可算と呼ぶ番または非可算と呼ぶ番または非可算と呼ぶ

• 演習問題演習問題演習問題演習問題4-1のののの3番目の例は非可算であ番目の例は非可算であ番目の例は非可算であ番目の例は非可算であ

るるるる

• 区間区間区間区間[0,1]と対等な集合を、連続体濃度をと対等な集合を、連続体濃度をと対等な集合を、連続体濃度をと対等な集合を、連続体濃度を持つあるいは濃度持つあるいは濃度持つあるいは濃度持つあるいは濃度 c c c c を持つというを持つというを持つというを持つという

• すべての区間は濃度すべての区間は濃度すべての区間は濃度すべての区間は濃度 ccccを持つ、すなわちを持つ、すなわちを持つ、すなわちを持つ、すなわち

Rと対等となると対等となると対等となると対等となる

2006/04/17 データベース論（1回目） 70

シュレーダーシュレーダーシュレーダーシュレーダーシュレーダーシュレーダーシュレーダーシュレーダー--ベルンシュタインの定理ベルンシュタインの定理ベルンシュタインの定理ベルンシュタインの定理ベルンシュタインの定理ベルンシュタインの定理ベルンシュタインの定理ベルンシュタインの定理

• AががががBのある部分集合と対等なとき、のある部分集合と対等なとき、のある部分集合と対等なとき、のある部分集合と対等なとき、

A Bと書くと書くと書くと書く

• すなわち、すなわち、すなわち、すなわち、A B⇔⇔⇔⇔∃∃∃∃B*⊂⊂⊂⊂B（（（（A～～～～B*））））• またまたまたまたA BであってであってであってであってA～～～～B（すなわち、（すなわち、（すなわち、（すなわち、Aがががが

Bと対等でない）とき、と対等でない）とき、と対等でない）とき、と対等でない）とき、A Bと書くと書くと書くと書く

2006/04/17 データベース論（1回目） 71

NNととととととととRRの関係の関係の関係の関係の関係の関係の関係の関係

• NははははRの部分集合であるからの部分集合であるからの部分集合であるからの部分集合であるからN Rであであであであるるるる

• Rは非可算は非可算は非可算は非可算

• ゆえにゆえにゆえにゆえにN Rであるであるであるである

2006/04/17 データベース論（1回目） 72

SS--BBの定理の定理の定理の定理の定理の定理の定理の定理

A BかつかつかつかつB AならばならばならばならばA～～～～Bあるいはあるいはあるいはあるいは

X⊃⊃⊃⊃Y⊃⊃⊃⊃X1かつかつかつかつX～～～～X1ならばならばならばならばX～～～～Y↓↓↓↓

任意の任意の任意の任意のA,BについてについてについてについてA B, A～～～～B, B Aのいずれかが成立するのいずれかが成立するのいずれかが成立するのいずれかが成立する

2006/04/17 データベース論（1回目） 73

濃度濃度濃度濃度濃度濃度濃度濃度

• A～～～～Bのとき、のとき、のとき、のとき、AととととBのののの基数基数基数基数あるいはあるいはあるいはあるいは濃度濃度濃度濃度が同じが同じが同じが同じ

であるというであるというであるというであるという

• card(A)で濃度を表すで濃度を表すで濃度を表すで濃度を表す

• card(A)=card(B)⇔⇔⇔⇔A～～～～B• card(A)＜＜＜＜card(B)⇔⇔⇔⇔A B• card(B)＜＜＜＜card(A)⇔⇔⇔⇔B A• S-Bの定理の定理の定理の定理

card(A)≦≦≦≦card(B)かつかつかつかつcard(B)≦≦≦≦card(A)ならならならならばばばばA～～～～B

2006/04/17 データベース論（1回目） 74

濃度濃度濃度濃度濃度濃度濃度濃度((２２２２２２２２))

• 集合集合集合集合φφφφ、、、、{φφφφ}、、、、{φφφφ、、、、{φφφφ}}、、、、{φφφφ、、、、{φφφφ}、、、、{φφφφ、、、、{φφφφ}}}…の濃度をの濃度をの濃度をの濃度を,００００,１１１１,２２２２,３３３３,…であらわし、であらわし、であらわし、であらわし、

有限濃度と呼ぶ有限濃度と呼ぶ有限濃度と呼ぶ有限濃度と呼ぶ

• ００００<１１１１<２２２２<３３３３<…<XXXX0<cccc

2006/04/17 データベース論（1回目） 75

半順序集合半順序集合半順序集合半順序集合半順序集合半順序集合半順序集合半順序集合

• A上の関係上の関係上の関係上の関係 が次の性質を持つとき、が次の性質を持つとき、が次の性質を持つとき、が次の性質を持つとき、A上の半順序あるいは順序と呼ぶ上の半順序あるいは順序と呼ぶ上の半順序あるいは順序と呼ぶ上の半順序あるいは順序と呼ぶ

– a a– a bかつかつかつかつb aならばならばならばならばa=b– a bかつかつかつかつb cならばならばならばならばa c

• Aとととと の組（の組（の組（の組（A, ）を半順序集合と呼ぶ）を半順序集合と呼ぶ）を半順序集合と呼ぶ）を半順序集合と呼ぶ

2006/04/17 データベース論（1回目） 76

【【【【【【【【演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題演習問題11--66】】】】】】】】

(1) 集合の包含関係は集合族上の順序であ集合の包含関係は集合族上の順序であ集合の包含関係は集合族上の順序であ集合の包含関係は集合族上の順序である。これを示せ。る。これを示せ。る。これを示せ。る。これを示せ。

(2) Aを実数の任意の集合とすると、を実数の任意の集合とすると、を実数の任意の集合とすると、を実数の任意の集合とすると、A上の上の上の上のx≦≦≦≦yは順序である。これを示せ。（自然は順序である。これを示せ。（自然は順序である。これを示せ。（自然は順序である。これを示せ。（自然

順序）順序）順序）順序）

(3) X={a,b,c,d,e}とするとき、それらを頂点ととするとき、それらを頂点ととするとき、それらを頂点ととするとき、それらを頂点と

する有向グラフは順序となる。これを示する有向グラフは順序となる。これを示する有向グラフは順序となる。これを示する有向グラフは順序となる。これを示せ。せ。せ。せ。

2006/04/17 データベース論（1回目） 77

全順序集合全順序集合全順序集合全順序集合全順序集合全順序集合全順序集合全順序集合

• 半順序集合が、さらに次の性質を持つと半順序集合が、さらに次の性質を持つと半順序集合が、さらに次の性質を持つと半順序集合が、さらに次の性質を持つとき、全順序集合あるいは線形順序集合とき、全順序集合あるいは線形順序集合とき、全順序集合あるいは線形順序集合とき、全順序集合あるいは線形順序集合と呼ぶ呼ぶ呼ぶ呼ぶ

– ∀∀∀∀x,y∈∈∈∈A(x yまたはまたはまたはまたはy x)

2006/04/17 データベース論（1回目） 78

まとめまとめまとめまとめまとめまとめまとめまとめ

• データベース論の導入として、集合の基データベース論の導入として、集合の基データベース論の導入として、集合の基データベース論の導入として、集合の基礎を駆け足で学習した礎を駆け足で学習した礎を駆け足で学習した礎を駆け足で学習した

• データベースとは、まさに現実世界からデータベースとは、まさに現実世界からデータベースとは、まさに現実世界からデータベースとは、まさに現実世界から条件に合った部分集合を切り出したもの条件に合った部分集合を切り出したもの条件に合った部分集合を切り出したもの条件に合った部分集合を切り出したものであるであるであるである

• 集合の概念は、データベースの基礎をな集合の概念は、データベースの基礎をな集合の概念は、データベースの基礎をな集合の概念は、データベースの基礎をなすすすす

• 関係は集合の概念から導き出されたも関係は集合の概念から導き出されたも関係は集合の概念から導き出されたも関係は集合の概念から導き出されたものであるのであるのであるのである