Discreet en dynamisch

Johan Deprez

T3-symposium, Oostende aug. 2005slides op www.ua.ac.be/johan.deprez

Kennismakingeconomisch hoger onderwijs van 2 cycli,

wiskunde en statistiek in de kandidaturen/Bachelor

academische lerarenopleiding wiskunde

academische lerarenopleiding wiskunde

stuurgroep T3 redactie tijdschrift Uitwiskeling

Overzicht

• Met andere ogen kijken naar een klassieker ...

• Medicijnspiegel

• Lineaire recursievergelijkingen van ...

• Evolutie van de bevolking van de VS

• Logistische groei

• Logistische recursievergelijking

Met andere ogen kijken naar een klassieker …

Voor de aanleg van een brug over een spoorweg moet zand aangevoerd worden. Op de plaats waar het zand gewonnen wordt, is er een kleine vijver van 900 m2, die door de graafwerken vergroot wordt. Men wil er een grote vijver van maken die dienst zal doen voor waterrecreatie. Elke week wordt de vijver 150 m2 groter. Bij het begin van de werken merkt een arbeider van de graaffirma op dat een bepaalde algensoort 8 m2 van de oppervlakte van de vijver inneemt. Tijdens de volgende weken blijkt deze oppervlakte elke week met een kwart (van de oppervlakte die op dat ogenblik reeds ingenomen is) toe te nemen. De arbeider maakt zich ongerust en merkt op dat hier iets aan gedaan moet worden. De vijver zal anders vlug volledig volgegroeid zijn met algen. Maar zijn baas ziet voorlopig geen gevaar: "De vijver wordt toch elke week 150 m2 groter."

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: klassiek

groei (opp. van de) vijver:• begin: 900 (m2)• elke week: +150 (m2)

lineaire groei: tV 150900

t = tijd (in weken)

tijd als continue veranderlijke: alle waarden van t zijn bruikbaar

• realistisch? (elke dag, elk uur, ... even veel?)• in overeenstemming met gegevens?

(eerstegraadsfunctie)

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: discreet

groei (opp. van de) vijver:• begin: 900 (m2)• elke week: +150 (m2)

lineaire groei: 150900 nVn

n = tijd (in weken)

tijd als discrete veranderlijke: alleen gehele waarden van n worden gebruikt

(rekenkundige rij)

9000 V

1501 nn VV

recursievergelijking met beginvoorwaarde

rij (beschreven door formule voor algemene term)

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: wiskundig model

groei (opp. van de) vijver:• begin: 900 (m2)• elke week: +150 (m2)

geeft deze rij een volledig realistische beschrijving?

150900 nVn

neen!• “mooie” (eenvoudige) rij die ...• ... de realiteit benaderend

weergeeft

wiskundig model voor de realiteit

Met andere ogen kijken naar een klassieker ...

groei (opp. ingenomen door) algen:• begin: 8 (m2)• elke week: +25% of 1.25

exponentiële groei: nnA 25.18

(continu:

(meetkundige rij)

80 A

25.11 nn AA

recursievergelijking met beginvoorwaarde

rij (beschreven door formule voor algemene term)

tA 25.18 (exponentiële functie))

Met andere ogen kijken naar een klassieker ...

discreet:• tijd als discrete (i.p.v. continue) grootheid: tijd neemt

alleen natuurlijke getallen als waarden aan• werken met rijen i.p.v. functies

dynamisch:• focussen op veranderingsproces, nl. verband tussen

opeenvolgende termen van de rij ...• geformaliseerd door een recursievergelijking (of

differentievergelijking): een vergelijking met een rij als onbekende en waarin een verband gegeven wordt tussen een term van de rij en een of meer voorgaande termen

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: differentievergelijking

groei (opp. ingenomen door) algen:• begin: 8 (m2)• elke week: +25% of 1.25

exponentiële groei: nnA 25.18

(continu:

(meetkundige rij)

80 A

nn AA 25.0

differentievergelijking met beginvoorwaarde

rij (beschreven door formule voor algemene term)

tA 25.18 (exponentiële functie))

Met andere ogen kijken naar een klassieker ...: groeisnelheid

nn AA 25.0

(absolute) groeisnelheid ...

... is evenredig met aanwezige hoeveelheid algen

25.0

n

n

A

A

relatieve groeisnelheid ...

... is constant

ONTHOUD: exponentiële groei

asarelatieve groeisnelheid

constant

Discrete wiskunde in de leerplannen

• leerplan VVKSO 3de graad ASO - 6u:– “De leerlingen kunnen problemen met betrekking

tot discrete veranderingsprocessen wiskundig modelleren en oplossen. (DI3)”

– keuze-onderwerp iteratie– vrije ruimte

• discrete veranderingsprocessen/iteratie ook toegankelijk voor andere richtingen in ASO en TSO van vrij onderwijs via keuze-onderwerpen

• gemeenschapsonderwijs: zou passen bij de facultatieve uitbreiding

Met andere ogen kijken naar een klassieker …: een technische kwestie

geeft

nn AA 25.11

125.1 nn AAoorspronkelijke recursievergelijking:

equivalente vormen!

(voor alle n ≥ 0)

(voor alle n ≥ 1)

nnnn AAAA 25.01

Medicijnspiegel

elke dag toedienen van een dosis van 1500 mg

in één dag verdwijnt 25% van de hoeveelheid

• begin: 1500 (mg)

• elke dag: eerst 0.75, dan +1500 (mg)

15000 H150075.0 1 nn HH

Hoe evolueert de hoeveelheid medicijn in het bloed?

combineren van ‘recursieve bewerkingen’ bij meetkundige en rekenkundige rij!

Medicijnspiegel: basisscherm TI84

• vertraagd ...

• ... stijgend

• met limietwaarde 6000

Medicijnspiegel: vergelijking en tabel

accolades worden door de rekenmachine geplaatst !

u boven [7]n via [X,T,,n]

via [MODE]

via [Y=]

beginterm heeft rangnummer 0

via [2nd] [TBLSET]

via [2nd] [TABLE]

Medicijnspiegel: grafiek

• vertraagd ...

• ... stijgend

• met limietwaarde 6000

via [WINDOW]

via [GRAPH]

via [TRACE]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling

via [2nd] [FORMAT]

daarna [GRAPH]

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling

1ste bissectrice

150075.0 xy

recursievergelijking 150075.0 1 nn HH

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling

[TRACE]

(1500,0)

x-coördinaat van de cursor is beginwaarde

(1500,2625)

vul 1500 in voor H0 in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling

[pijltje rechts]y-coördinaat van de cursor is H1

vul 1500 in voor x in150075.0 xy

150075.0 1 nn HH

(1500,0)

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling

[pijltje rechts] H1 wordt m.b.v. de 1ste bissectrice overgebracht van de y- naar de x-coördinaat

(1500,0)

(1500,2625)

(2625,2625)

vul 2625 in voor H1 in

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling

[pijltje rechts]

vul 2625 in voor x in150075.0 xy

150075.0 1 nn HH

(1500,0)

(1500,2625)

(2625,2625)

(2625,3468.75)

Medicijnspiegel: alternatieve grafische voorstelling

enzovoort SPINNENWEBDIAGRAM

opeenvolgende waarden van H:- zie opeenvolgende verticale lijntjesOF- zie opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na)

vertraagd stijgend met limietwaarde 6000: trap die omhoog gaat met steeds kleinere treden en die ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten

??!!

Medicijnspiegel: limiet en evenwicht

op lange termijn is de hoeveelheid actieve stof in het bloed in evenwicht (?!)

limietwaarde 6000 is evenwichtswaarde

Medicijnspiegel: dynamisch evenwicht

bij evenwicht: 1500 mg verdwijnt uit lichaam1500 mg wordt toegevoegd

HOEVEELHEID medicijn blijft gelijk, maar het zijn niet allemaal dezelfde moleculen: dynamisch evenwicht

Medicijnspiegel: stabiel evenwicht

Als het systeem eerst in evenwicht is en daarna uit evenwicht gebracht wordt, dan keert het terug naar het evenwicht: stabiel evenwicht.

Iemand neemt het medicijn al jaren in en vergeet een bepaalde dag het medicijn in te nemen. Wat gebeurt er?

aanvankelijk 6000 mg medicijn in bloed

beginnen met 4500 mg medicijn in bloed

evenwicht wordt hersteld

Medicijnspiegel: evenwicht berekenen, evenwicht en beginwaarde

evenwicht is het getal E waarvoor E = 0.75E + 1500, dus E = 6000

beginwaarde komt in deze vergelijking niet voor!

evenwichtswaarde (= waarde op lange termijn) is onafhankelijk van de beginwaarde!

Medicijnspiegel: evenwicht en spinnenwebdiagram

snijpunt van de twee rechten geeft evenwichtswaarde

limietwaarde 6000: trap ‘eindigt’ in het snijpunt van de twee rechten

Medicijnspiegel: evenwichtswaarde als vast punt

recursievergelijking:

rechte uit spinnenwebdiagram:

eerstegraadsfunctie:

150075.0 1 nn HH

150075.0 xy

150075.0)( xxf

berekening evenwichtswaarde: xxf )(

evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f

(dus: )( 01 HfH ))(( 02 HffH )))((( 03 HfffH ...)

expl. vgl. overslaan

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking

150075.0 01 HH

15000 H

1500)175.0(75.0

1500)150075.0(75.0

150075.0

02

0

12

H

H

HH

1500)175.075.0(75.0

1500)1500)175.0(75.0(75.0

150075.0

20

30

223

H

H

HH

...

1500)175.0...75.075.0(75.0 210 nnn

n HH

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking1500)175.0...75.075.0(75.0 21

0 nnnn HH

partieelsom van een meetkundige rij met reden 0.75

150075.01

75.0175.0 0

n

nn HH

6000)75.01(75.0 0 nnn HH

600075.0)6000( 0 nn HH

600075.04500 nnH

15000 H

Medicijnspiegel: verklaring voor het verloop

vertraagd dalende MR met limietwaarde 0

600075.04500 nnH

grafiek over 6000 eenheden

verschuiven naar boven

grafiek spiegelen t.o.v. horizontale as en uitrekken met factor 4500

Medicijnspiegel: expliciete vergelijking en evenwicht

150075.0 1 nn HH 150075.0 EE

)(75.0 1 EHEH nn

Hn – E is meetkundige rij met reden 0.75

nn CEH 75.0

E = 6000

via begin-voorwaarde: C = -4500 600075.04500 n

nH

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant

rechterlid

btat nn 1recursievergelijkingen van de vorm(a en b getallen)

mogelijkheden verkennen m.b.v. spinnenwebdiagrammen

Lineaire recursievergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant

rechterlid

belangrijke punten i.v.m. verloop / limiet en evenwicht:

• niet alleen stijgen en dalen maar ook ‘schommelen’• er is niet altijd een (eindige) limietwaarde• ook als er geen limietwaarde is, is er in de meeste

gevallen een evenwichtswaarde; het evenwicht is dan labiel

Evolutie van de bevolking van de VS (vrij naar Pearl en Reed, 1920)

tijd jaar bevolking tijd jaar bevolking

0 1790 3 929 214 7 1860 31 443 321

1 1800 5 308 483 8 1870 38 558 371

2 1810 7 239 881 9 1880 50 189 209

3 1820 9 638 453 10 1890 62 979 766

4 1830 12 866 020 11 1900 76 212 168

5 1840 17 069 453 12 1910 92 228 496

6 1850 23 191 876

Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei?

Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei?

exponentiële model

relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het

exponentiële model

relatief grote en systematische afwijkingen!

Evolutie van de bevolking van de VS: exponentiële groei?

ONTHOUD: exponentiële groei

asarelatieve groeisnelheid

constant

relatieve groeisnelheid is hier dus NIET constant!

relatieve groeisnelheid in 1790 is groter dan in 1910

Evolutie van de bevolking van de VS: hoe verandert relatieve groeisnelheid?

n

nn

n

n

p

pp

p

p

1

laatste element uit LP weglaten

verticaal: relatieve groeisnelheidhorizontaal: populatiegrootte (NIET de tijd!)

Evolutie van de bevolking van de VS: hoe verandert relatieve groeisnelheid?

dalend lineair verband tussen

relatieve groeisnelheid en

populatie

a en b via [VARS],

5:Statistics

ONTHOUD: a is zeer klein

Evolutie van de bevolking van de VS: recursievergelijking

bapp

pn

n

n

nnn pbapp )1(21

12

1 )1( nnn pbapp

niet-lineaire recursievergelijking van de eerste orde

214 929 30 p

bevolking in 1790

(discreet) logistisch groeimodel

Evolutie van de bevolking van de VS: logistische model

Evolutie van de bevolking van de VS: logistische model

logistische model

relatieve afwijkingen tussen de realiteit en het logistische model

relatief kleine afwijkingen zonder systematiek

Evolutie van de bevolking van de VS: evolutie na 1910

na 1950 is de ‘maximale draagkracht’ sterk toegenomen door efficiëntere landbouw, industrie, ... oorspronkelijke model niet meer geldig

zeer goede overeenkomst

tot 1950

model voorspelt stabilisatie rond 166

mio (= ‘maximale draagkracht van de

omgeving’)

in realiteit stijgt de bevolking nog sterk (in

2000: 281 mio)

Logistische groei

geen expliciet voorschrift bekend (in discrete geval!)

verloop onderzoeken:• vaststellingen op basis van berekeningen met

rekenmachine• rechtstreeks afleiden uit de recursievergelijking

Logistische groei

eerst versneld stijgen

daarna vertraagd stijgen

op lange termijn stabilisatie

‘groei met grenzen’beginfaze overslaan

Logistische groei: beginfaze

12

1 )1( nnn pbapp

ONTHOUD: a is zeer klein

1)1( nn pbpals pn - 1 relatief klein is, dan geldt:

in het begin bij benadering exponentiële groei met

groeifactor 1 + b

Logistische groei: beginfazelogistische groei

werkelijke groei

exponentiële groei

na verloop van tijd zorgt de kwadratische term voor het afremmen van de groei

Logistische groei: limietwaarde

nnn bpapp 2

12

1 )1( nnn pbapp

0 np 02 nn bpapals d.w.z.a

bpn

xbaxy )1(2

Logistische groei: spinnenweb-diagram, evenwichtswaarden

gebaseerd op eerste bissectrice en

12

1 )1( nnn pbapp

twee snijpunten, d.w.z. twee

evenwichtswaarden

twee snijpunten, d.w.z. twee

evenwichtswaarden, nl. 0 en L

Logistische groei: spinnenweb-diagram, evenwichtswaarden

parabool raaklijn aan de parabool in (0,0),

rico 1 + b > 1

parabool raaklijn aan de parabool

in snijpunt met eerste bissectrice, rico 1 - b < 1

0 is een labiel evenwicht

L is een stabiel evenwicht

Logistische recursievergelijking: rol van de parameters

parameter a speelt geen essentiële rol:door over te gaan op andere eenheden, kunnen we er voor zorgen dat maximale draagkracht –b/a = 1, d.w.z. a = –b; recursievergelijking wordt:

12

1 )1( nnn pbapp

12

1 )1( nnn pbbpp (b > 0)

evenwichtswaarden worden 0 en 1

raaklijn in (0,0) heeft rico 1 + b > 1: labiel evenwicht

raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b welk soort evenwicht?

Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1?

raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b

geval 0 < b 1: 0 rico raaklijn < 1

1 is een stabiel evenwicht

snijpunt valt vóór de top van de

parabool

welk soort evenwicht?

Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1?

raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b welk soort evenwicht?

geval 1 < b < 2: -1 < rico raaklijn < 0

‘einde’: gedempt schommelend

verloop (bevolking komt soms boven de

maximale draagkracht en vermindert dan)

snijpunt valt voorbij de top

1 is een stabiel evenwicht

vb. b = 1.75

welk soort evenwicht?

Logistische recursievergelijking: welk soort evenwicht in 1?

raaklijn in (1,1) heeft rico 1 – b

geval 2 < b: rico raaklijn < -1, vb. b = 2.25

raaklijn niet geschikt om limietgedrag te onderzoeken!

labiel evenwicht, 1 is een afstotend vast punt

als pn in omgeving van 1 komt, ligt pn-1 verder van 1

als pn te ver van 1 komt, is raaklijn niet meer bruikbaar

Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b = 2.25

2 waarden komen (bij benadering) steeds terug: 2 ophopingspunten, rij komt terecht in een 2-cykel

...71.013 t

Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b = 2.25

...71.011 t

...

...0v 1v

)( 1 nn tft ))(( 2 ntff

))(()(2 xffxf

)( 12 nn vfv

)( 12 nn wfw

...17.112 t ...17.114 t ...71.015 t ...17.116 t

...17.112 t ...17.114 t ...17.116 t

2v

0w 1w 2w

f2

de ophopingspunten zijn vaste punten van f2

f2

Logistische recursievergelijking: asymptotisch gedrag als b > 2

b (tussen 1.625 en 2.85)

ophopingspunten (= ‘limietwaarden’

van de rij)

b = 1.75

limiet 1

b = 2.25

twee ophopingspunten

vier ...

b = 2.5

b > 2.692... : chaos

Verwant materiaal

J.D. en Jan Roels, Discrete dynamische systemen, Uitwiskeling 20/3, mei 2004, zie www.uitwiskeling.be

C. Biront, J.D., Wiskundige begrippen en methoden – deel 3, Wolters-Plantyn, 1998

J.D., Discrete dynamische systemen, workshop op T3-symposium 2004, zie www.ua.ac.be/johan.deprez

J.D., Dirk Janssens, Discrete dynamische systemen: wiskundige modellen met rijen, vectoren en matrices, zie http://home.scarlet.be/~p1925850/vliebergh_april_2005

J.D., Rijen en differentievergelijkingen, nascholing PEDIC (Gent), zie www.ua.ac.be/johan.deprez

Bedankt voor uw aandacht!