Coördinaten Transformaties

‘

Matrices

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

• Een matrix is een rechthoekige set getallen

• We stellen de matrix voor met een hoofdletter A in dit geval

• Het element op de i-de rij en j-de kolom geven we aan met aij. Merk op dat de index in dit geval begint bij 1 (dat is gebruikelijk voor de indices i, j en k. Voor en gaat de index over 0, 1, 2 en 3.

• Gegeven twee matrices A en B als we B optellen bij A (dat is de vorm A+B) dan als A is (nm), moet B ook (nm), anders is A+B is niet gedefinieerd

• De optelling produceert het resultaat , C = A+B, met elementen:

Matrices – Optellen

ijijij BAC

1210

86

8473

6251

87

65

43

21

• Gegeven twee matrices A en B als we B vermenigvuldigen met A (dat is de vorm AB) dan als A (nm) is, moet B (mp) zijn, d.w.z. het aantal kolommen van A moet gelijk zijn aan het aantal rijen van B. Anders is AB niet gedefinieerd.

• De vermenigvuldiging produceert het resultaat C = AB, met elementen:

(In feite vermenigvuldigen we de eerste rij van A met de eerste kolom van B en stoppen het resultaat in element c11 van C. Enzovoort...).

Matrices – Vermenigvuldigen

m

kkjikij bac

1

9666

9555

7644

62

33

86

329

854

762

Matrices – Vermenigvuldigen (voorbeelden)

26+ 63+ 72=44

62

33

86

54

62Undefined!2x2 x 3x2 2!=3

2x2 x 2x4 x 4x4 is toegestaan. Resultaat is een 2x4 matrix

In indexnotatie

kj

n

kikij BAC

1

• Er geldt AB ≠ BA

• Matrix vermenigvuldiging is additief:

A(B+C) = AB + AC

• Eenheidsmatrix voor vermenigvuldiging is I.

• De getransponeerde van een matrix A wordt aangegeven met AT en wordt verkrijgen door omwisselen van rijen en kolommen van A:

Matrices – Opmerkingen

2313

2212

2111

232221

131211

aa

aa

aa

Aaaa

aaaA T

2D Geometrische Transformaties

Translatie

Rotatie Schalen

Shear

Translatie van vectoren

Stel we hebben vector en willen een translatie uitvoeren met

vector . De nieuwe vector wordt gevonden uit de som

y

x

dyy

dxx

'

'

In matrixvorm:

y

x

d

d

y

x

y

x

'

'

v

d

dvv

'

d

v

dvv

'

Schalen van een vector

We kunnen een vector schalen met sx langs de x as en met sy langs de y met matrixvermenigvuldiging

Hierbij kunnen we “schaalfactoren” gebruiken

Om de grootte van de vector te verdubbelen hebben we schaalfactor 2, om te halveren gebruiken we schaalfactor 0,5

ysy

xsx

y

x

'

'

xsx x

sy y

y

y

x

s

s

y

x

y

x

0

0

'

'

Definieer , dan krijgen we

y

x

s

sS

0

0vSv

'

Rotatie van vectoren

We draaien een vector over een hoek :

cossin

cossinsincos

)sin()sin(|'|'

sincos

sinsincoscos

)cos()cos(|'|'

|||'|

yx

ll

lOPy

yx

ll

lOPx

lOPOP

P(x,y)

P’(x’,y’)

xx’

y’

y

l

O

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'

Als we van stelsel O naar O’ transformeren, is dit ook hoe de eenheidsvectoren transformeren

Componenten transformeren

Voorbeeld coördinatentransformatie:

We roteren het coördinatenstelsel over een hoek :

y

x

y

x

e

e

e

e

1

1

'1

'1

cossin

sincos

ee

'

1e '1e

Vector is onafhankelijk van coördinatenstelsel ''

eVeVV

V

'OO

basisvectoren transformeren

y

x

y

x

V

V

V

V

cossin

sincos'

'

VV 1'

vectorcomponenten transformeren'2e

2e

Poolcoördinaten

We hadden ook

,

,

rO

yxO

Poolcoördinaten

We hadden ook

jeeiee yx

21 ,

Vector is onafhankelijk van coördinatenstelsel ''

eVeVV

V