]A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23 2×3

เมตรกิซ(์Matrix)การเขยีนจำานวนตัวเลขอาจเขยีนในรูปแบบเฉพาะที่ตัวเลข

แต่ละตัวมตีำาแหน่งแน่ชดั เป็นกลุ่มเรยีงแถวและหลักอยา่งเป็นระเบยีบ เรยีกกลุ่มตัวเลขน้ีวา่เมตรกิซ ์ สามารถสรา้งใหก้ระทำาเป็นระบบสอดคล้องกันโดยกำาหนดคณุสมบติัและการกระทำาได้ด้วย การบวก ลบ คณูและสว่นกลับ นอกจากน้ีนำาไปคำานวณในลักษณะเฉพาะที่เรยีกวา่ ดีเทอรม์แินนท์ ปฏิบติัการเชื่อมโยงกันและนำาไปประยุกต์ใชแ้ก้ระบบสมการเชงิเสน้ได้อยา่งมีประสทิธภิาพ

เมตรกิซ(์Matrix) กลุ่มของตัวเลขหรอืจำานวนท่ีเขยีนเรยีงกันเป็นแถว

หรอืหลักในลักษณะสีเ่หล่ียมผืนผ้าสามารถจำาแนกจำานวนแถวและหลักได้อยา่งชดัเจนและเขยีน [ ] หรอื ( ) ล้อมรอบตัวเลขเหล่าน้ีเรยีกวา่ เมตรกิซ ์ และเรยีกตัวเลขท่ีอยูภ่ายในวา่“สมาชกิ”

เมตรกิซท่ี์มจีำานวนแถว(Row) = m แถว และหลัก(Column) = n หลัก เรยีกวา่m×n เมตรกิซ ์ เชน่ เมตรกิซ ์A มมีติิ 2×3 จะเขยีนเมตรกิซ ์ด้วยสญัลักษณ์

จากตัวอยา่งน้ีเรยีกเมตรกิซ ์A วา่ ม ี2 แถว 3 หลัก มีสมาชกิทัง้หมด 6 ตัว

สญัลักษณ์รูปทัว่ไปของ A = [aij]m×n

i=1,2,3,4…,mj=1,2,3,4…,n

หมายถึง เมตรกิซ ์A มจีำานวนแถว m จำานวนหลัก n

[

[ ]3×1

โดยท่ี a11 หมายถึงสมาชกิท่ีอยูใ่นแถวท่ี 1 หลักท่ี 1a23 หมายถึงสมาชกิท่ีอยูใ่นแถวท่ี 2 หลักท่ี 3aij หมายถึงสมาชกิท่ีอยูใ่นแถวท่ี i หลักท่ี j

ขอ้สงัเกต***i เป็นตัวเลขบอกตำาแหน่งแถว j เป็นตัวเลขบอก

ตำาแหน่งหลัก และสมาชกิทกุตัวของเมตรกิซม์ตีำาแหน่งของตัวเองเสมอ

ชนิดของเมตรกิซ์การเรยีงตัวของกลุ่มตัวเลข หรอืสมาชกิ สามารถจำาแนก

และเรยีกชื่อเฉพาะและมคีณุสมบติัดังน้ี1. เมตรกิซแ์ถว (Row Matrix) เป็นเมตรกิซท์ี่มสีมาชกิ

เพยีงแถวเดียวเชน่ A=[0 -1 2]1×3

เป็นเมตรกิซข์นาดมติิ 1×32 . เมตรกิซห์ลัก(Column Matrix) เป็นเมตรกิซท์ี่ม ี

สมาชกิเพยีง หลักเดียว

เชน่

เป็นเมตรกิซข์นาดมติิ 3×13 เป็นสมาชกิในตำาแหน่ง a21 หรอืแถวท่ี 2

หลักท่ี 13. เมตรกิซศู์นย(์Zero Matrix) เป็นเมตรกิซท์ี่มสีมาชกิ

ทกุตัวเป็น 0

A= 4 3-2

สญัลักษณ์ 0 แทนเมตรกิซศู์นย ์เชน่

เมตรกิซ ์0 ท่ีมขีนาดมติิ 2×2

4. เมตรกิซจ์ตัรุสั (Square Matrix) เป็นเมตรกิซท์ี่มีจำานวนแถวและหลักเท่ากัน

A = [aij]m×n ; i=1,2,3,4…,n และ j=1,2,3,4…,n

เชน่

เป็นเมตรกิซจ์ตัรุสัมขีนาดมติิ 3×3 และมสีมาชกิ 9 ตัว5. สเกลารเ์มตรกิซ(์Scalar Matrix) เป็นเมตรกิซจ์ตัรุสั

ท่ีมสีมาชกิในแนวเสน้ทะแยงมุมหลัก(Main Diagonal) เท่ากันหมด และสมาชกิท่ีเหลือเป็น 0 หมด

เชน่

6. เมตรกิซเ์อกลักษณ์ (Identity Matrix) เป็น scalar matrix ท่ีมสีมาชกิในแนวเสน้ทะแยงมุมหลักมคี่าเป็น 1 เท่ากันหมด สญัลักษณ์ ใช ้ I แทน Identity Matrix

A=0 00 0[ ]2×2

A=1 -2 30 5 -10 1 2[ ]3×3

A=3 0 00 3 00 0 3

33

= 00 1[ ]

เชน่ I2 หรอื I22

เชน่ I2 หรอื I22

เมตรกิซเ์อกลักษณ์เป็นเมตรกิซท่ี์มคีณุสมบติัสำาคัญในการคณู การหาอินเวอรส์ของเมตรกิซ ์A ทรานสโพสของเมตรกิซ(์Transpose Matrix) ถ้า A เป็นเมตรกิซท์ี่ม ีมติิ 33 ทรานสโพสของเมตรกิซ ์ A เกิดจากการเปล่ียนที่จากแถวเป็นหลักของเมตริกซ ์ A สญัลักษณ์ At แทน ทรานสโพสของเมตรกิซ ์ A นัน่คือ A = [aij] มมีติิ m n At = [aji] มมีติิ n m

ตัวอยา่ง A =

At =

การเท่ากันของเมตรกิซ ์ เมตรกิซใ์ด ๆ จะเป็นเมตรกิซเ์ท่ากันภายใต้เง่ือนไข

1. เมตรกิซจ์ะต้องมมีติิเท่ากัน2. สมาชกิในแต่ละตำาแหน่งเท่ากัน

เชน่A = B =

=1 0 00 1 00 0 1[ ]

1 2 -10 3 5[ ]23

[

03 -1 5]32

1 2 -20.5 4 -1[ ]

1 -2

-1[ ]

A = B การบวกและการลบเมตรกิซ์

การบวกและการลบเมตรกิซส์องเมตรกิซใ์ด ๆ สามารถกระทำาได้ภายใต้เง่ือนไข

1. เมตรกิซ ์ทัง้สองต้องมมีติิเท่ากัน2. นำาสมาชกิท่ีอยูต่ำาแหน่งเดียวกันบวกหรอืลบกัน

นิยาม ให ้ A = [a1j]mn และ B = [bij]mn จะได้(1) A + B = C = [c1j]mn โดยท่ี

Cij = Aij + Bij(2) A - B = C = [c1j]mn โดยท่ี

Cij = Aij - Bijตัวอยา่ง กำาหนดให ้ A = B =

C =

1 A + B = =จากโจทยจ์งหาค่าของ1. B – A =2 (A + B ) + C =

3 (B + A) - C =

4 B – (A + C) =

5 A + ( B + C) = สมบติัของการบวก

ถ้า A , B , C เป็นเมตรกิซม์ติิ mn

2 7[ ] -3 5

6 -2[ ][1+(-5) 2 + 5

2 + 6 7 +(-2)] -3 7 8 -5[ ]

3 -84 1[ ]

1. A + B เป็นเมตรกิซม์ติิ mn (คณุสมบติัปิด)

2. A + B = B + A (คณุสมบติัสลับท่ี)

3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คณุสมบติัเปล่ียนกลุ่มได้)

4. นเอกลักาณ์การบวกคือ 0 + A = A + 0 = A 5 วอรส์การบวกของเมตรกิซ ์ A คือ -A โดยท่ี A + (-A) = 0การคณูเมตรกิซ ์ด้วย สเกลาร์

กำาหนด k เป็นสเกลาร ์ใด ๆ แล้ว

kA = k =

การคณูเมตรกิซ ์ด้วยเมตรกิซ์เมตรกิซ ์จะคณูกันได้ก็ต่อเมื่อ จำานวนหลักของเมตรกิซต์ัว

ตัง้เท่ากับจำานวนแถวของเมตรกิซตั์วคณูถ้า A , B ,C เป็นเมตรกิซ์

A มมีติิ m nB มมีติิ n p และ AB = C แล้ว C มมีติิ m p

a b cx y z[ ] ka kb kc

kx ky kz[ ]

Amn Bnp = Cmp

การคณูตามผังที่แสดงกล่าวคือ แถวของตัวตัง้ไปคณูกับหลักของตัวคณู โดยคณูสมาชกิท่ีสมนัยกันเป็นคู่ ทำาเชน่น้ีเรื่อย ๆ จนครบทกุหลักและเริม่ที่แถวท่ีสองต่อไป ตามผัง22 เป็นตัวอยา่งตัวอยา่ง กำาหนด A = B =

วธิทีำา AB =

AB =

ดีเทอรม์แินนท์ (Determinant) เป็นค่าที่ได้จากการคำานวณจากเมตรกิซท่ี์กำาหนดให ้ A เป็น nn เมตรกิซ ์ ดีเทอรม์แินนท์ของเมตรกิซ ์A เขยีนแทนด้วย det(A) หรอื A ดังน้ี

A =

2 3 4[ ] -2 -1

-4 -3[ ][ ] ]-2 -1

-4 -3[ 23 4

= 1(-2) + 2(-4) = –2– 8 = -10 1 2 3 4[ ][-2 -1

-4 -3] 1 2 3 4[ ][-2 -1

-4 -3]

1 2 3 4[ ][-2 -1

-4 -3]

1 2 3 4[ ][-2 -1

-4 -3]

= 1(-1) + 2(-3) = - 1 –6 = -7

= 3(-2) + 4(-3) = -6 –16 = -22

= 3(-1) + 4(-3) = -3 -12 = -15

-10 -7 -22 -15[ ]

a b c d ว[ ]

-

+

จะได้ det(A) = ad - bca bc d[ ] ,

*** 1. det(A) ท่ีมมิติิ 33 เมตรกิซ ์ จะเพิม่ 2 หลักแรก และหาค่าโดยวธิใีชล้กูศร 2 det(At) =det(A)

3. det(An) = (det(A))n

4. det(AB) = det(A)det(B)อินเวอรก์ารคณูของเมตรกิซ ์(Inverse Matrix)

นิยาม ถ้าA =

ตัวอยา่ง A = วธิทีำา

A-1 =

A-1 =

การหาดีเทอรม์แีนนท์โดยวธิกีารของโคแฟคเตอร(์Cofactor)

นอกจากวธิกีารใชล้กูศรชว่ยในการหาดีเทอรม์แีนนท์แล้ว การใช ้Cofactor เป็นวธิกีารทีต้องใชก้ับเมตรกิซท่ี์มขีนาดมากกวา่ 33

โคแฟคเตอร(์Cofactor)กำาหนด A = [aij]nm n2โคแฟคเตอรข์อง aij คือผลคณูของ (-1)i+j และ

ไมเนอรข์อง aij เขยีนแทนโคแฟคเตอรข์อง aij ด้วย Aij

โดยท่ี Aij = (-1)I+j Mij

a b c d

แล้ว A-1 =

4 -3 -2 -1

-

- - ][

[ d -b-c a[ ]

[ ] จงหา A-1

–1 3 2 4[ ]

]

และ Mij แทนไมเนอรข์อง aij

ก่อนท่ีจะหาโคแฟคเตอรจ์ำาเป็นต้องรูจ้กัวธิหีาไมเนอร ์ ดังน้ี ไมเนอร(์Minor) ของเมตรกิซ ์Aให ้M แทน ไมเนอร(์Minor) ของเมตรกิซ ์A

ไมเนอร(์Minor) ของเมตรกิซ ์A คือดีเทอรม์แีนนท์ของเมตรกิซ ์A ท่ีเกิดจากการตัดแถว i และหลักที่ j ออกถ้าให ้ A =M11 คือไมเนอรข์อง A แถวท่ี 1 และ หลักท่ี 1

M11 = สมาชกิ a11 เป็นจุดตัดออก ในแถวที่ 1 หลักท่ี 1 ดังเสน้

ประท่ีแสดงไว ้สว่นที่เหลือเป็นไมเนอรข์อง A และเป็นดีเทอรม์แินนท์ จงึใชส้ญัลักษณ์ กำากับไว้

แบบฝึกหัดเมตรกิซ์จงเติมเฉพาะคำาตอบในชอ่งวา่ง1.กำาหนดให ้ A = ,B= ,C =

จงหา (1) -4AC....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a b c d e f g h i [] ]33

e f h i = ei - hf

(2) AB....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. กำาหนดให ้ A = , B = (1) จงแสดงวา่ AB = BA หรอืไม่............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... (2) จงหา (AB) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3.จงหา B A.....................................................................................................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................4.จงหาค่า (3A) ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3.กำาหนดให ้A = , B = (1) จงหา det (A).......................................................................................................................................................................................................................................................................... (2) จงหา det(AB).......................................................................................................................................................................................................................................................................... (3) จงหา det(A)det(B)..........................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................4. กำาหนดให ้A = จงหา det (A).........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

จงเติมเฉพาะคำาตอบในชอ่งวา่ง 5.กำาหนดให ้A = , B = (1) det(A) . det(A ) = ......................................................................................... (2) (A+B) = .................................................................................................. (3) det(B ) = ...................................................................................................... (4) det (A) + det (B) = ......................................................................................

(5) det(A+B) = .....................................................................................................

6.กำาหนดให ้A= จงหาคำาตอบ 1.M = ............................................................................................................... 2.M = ................................................................................................................ 3.โคแฟคเตอรข์อง 2 คือ .................................................................................…… 4.โคแฟคเตอรข์อง -1 คือ ..............................................................................……. 5.det(A) = ........................................................................................................…..

7. กำาหนดให ้A = จงหาคำาตอบ โดยกำาหนด I เป็นเมตรกิซเ์อกลักษณ์

(1) AI = ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

........................................................(2) det (A) =

.............................................................................

.....................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................(3) det(A ) =

.............................................................................

.....................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................8. จงหาอินเวอรก์ารคณูของเมตรกิซต่์อไปน้ี

(1) A = .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

(2) B = ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................

........................................................

.............................................................................

........................................................10. จากสมการ = .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................