FysicaIndustrieel Ingenieur

Schoonmeersen

Trillingen

* Vrije ongedempte trillingen

* Gedempte en gedwongen trillingen - resonantie

Fluïda

* Vloeistoffen en gassen

* Uitzetting en warmteleer

* Ideale gassen

* Hoofdwetten en toestandsveranderingen

* Aggregatietoestandsverand. - Fasediagrammen - Reële gassen

Golven

* Algemene eigenschappen van golven

* Interferentie en diffractie - Reflectie en transmissie - Breking

* Geluidsgolven en elektromagnetische golven

Optica

* Geometrische optica: spiegels en lenzen

* Fysische optica

Moderne fysica

* Fotonica

* Kernfysica

Inhoud Fysica

Periodegebonden evaluatie: 60%

Niet-periodegebonden evaluatie: 40% waarvan 5% op AiM-testen

De beoordeling en het tot stand komen van de eindquotatie van

opleidingsonderdelen gebeurt via het wiskundige gemiddelde volgens

de toegekende coëfficiënten. Indien nochtans op één van de

onderdelen 7 of minder op 20 wordt behaald, kan worden afgeweken

van deze rekenkundige berekening van de eindquotatie van het

opleidingsonderdeel en kunnen de punten bij consensus worden

toegekend.

Evaluatie

De syllabus is in de eerste plaats een werkboek. Uitwerkingen van formules zijn

niet steeds volledig uitgeschreven, maar dienen door de student zelf verder

uitgewerkt te worden, tenzij uitdrukkelijk anders is aangegeven.

Het is de bedoeling dat de gebruiker zelf oplossingen voor de gestelde problemen

vindt en zijn probleemoplossende ingesteldheid traint.

Om het eigen denkwerk te stimuleren worden nu en dan invulopdrachtjes en

schrapopdrachtjes gepresenteerd.

Ook zijn een aantal voorbeeldoefeningen als invuloefening opgenomen. Een groot

aantal oefeningen stelt de student in staat zich te trainen in de aangeboden leerstof.

In de hoorcolleges worden “theorie” en ” oefeningen” afgewisseld. De slides in deze

lessen en de eigen notities vormen een onmisbare aanvulling bij de verwerking van

de leerinhoud.

Voor het maken van de rekenoefeningen is een rekentoestel TI30XB of C in elke

les onontbeerlijk.

Een aantal rekenoefeningen wordt aangeboden via de AiM-webapplicatie.

Syllabus

FysicaIndustrieel Ingenieur

Schoonmeersen

Inleiding

Introduction

Hoofdstuk 1

1.1 Cirkelvormige beweging

0t t

t

positiehoek t. o. v. een referentie-as

positiehoekverandering bij beweging

1.2 De eenparige cirkelvormige beweging

t

t

0t t

2 12f f

T T

0t t

t

positiehoek t. o. v. een referentie-as

positiehoekverandering bij beweging

1.3 De veerkracht

l (m)

l = 0

l1ll2

Fzw (N)

𝐹𝑧𝑤 = 𝐹𝑉

՜𝐹 𝑧𝑤,1

՜𝐹 𝑧𝑤,2

՜𝐹 𝑉,2

՜𝐹 𝑉,1

l (m)

l (m)

Wet van HookeF (N)Fzw (N)Fzw (N)

1.3 De veerkracht

Wat is de globale krachtconstante van de ophanging van

een auto die 1,20 cm doorzakt als een persoon van 80 kg

plaatsneemt in de auto?

Waarde van de krachtconstante?

1.3 De veerkracht

Potentiële energie in een veer

𝐸𝑝𝑜𝑡,𝑉 =1

2𝑘𝑢2

1.3 De veerkracht

Hoeveel energie is in de veer van een veergeweer gestockeerd

als zij 15 cm ingedrukt is en de veerconstante een waarde heeft

van 50 N/m?

1.3 De veerkracht

Hoeveel energie is in de veer van een veergeweer gestockeerd

als zij 15 cm ingedrukt is en de veerconstante een waarde heeft

van 50 N/m? Met welke snelheid wordt een projectiel van 2,0 g

hierdoor horizontaal en wrijvingsloos weggeschoten?

1.3 De veerkracht

𝐸𝑝𝑜𝑡,𝑧𝑤 = 𝑚𝑔𝑦

1.4 Kracht en potentiële energie

𝐸𝑝𝑜𝑡,𝑉 =1

2𝑘𝑢2

𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡 = − Ԧ𝐹. 𝑑 Ԧ𝑟

𝐹𝑥 = −𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡

𝑑𝑥

𝐹𝑦 = −𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡

𝑑𝑦

𝐹𝑧 = −𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡

𝑑𝑧

Eigenschappen van periodieke functies

1.5 Periodieke bewegingen

T

Eigenschappen van periodieke functies

1.5 Periodieke bewegingen

( ) ( n ) met nu t u t T

T

FysicaIndustrieel Ingenieur

Schoonmeersen

De enkelvoudigeharmonische bewegingOscillatory Motion

Hoofdstuk 2

Mass measurements aboard Skylab were part of the medical experiments conducted there. Skylab carried three mass-measuring devices--two small ones (experiment M074) for measuring the intake and outgo of each astronaut, and a large one (experiment M172) with an oscillating chair, designed for daily monitoring of the weight of the astronauts.

The motion of the oscillating mass was tracked electronically, typically over three back-and-forth oscillations, and from this the instrument derived the oscillation period T. Theory predicted that T would be proportional to the square root of the oscillating mass; this was confirmed by calibrations in space, using previously weighed objects, and those calibrations suggested that when carefully performed, such mass measurements were accurate within 0.1%.

Measuring body mass in the M172 chair (see illustration) was not a simple matter. The human body is not rigid, and any internal motion--

even breathing--could affect the oscillation of the chair. After emptying their pockets, astronauts would climb into the chair, always

wearing a suit which had been weighed before the flight. (Credit: Most of this material is based on the transcript of a talk "Physiological

Mass Measurement in Skylab," presented by astronaut-scientist William E. Thornton, MD, and by Colonel J. Ord, USAF, at the Skylab

Life Sciences Symposium, Johnson Space Center, August 27-9, 1974. I thank Joan Ferry of the Johnson Space Center History Archive

for making this and other documents available. )

Questions from Users: Effects of weightlessness on one's body

Spacelab/spaceshuttle: Tamara Jernigan

• Een systeem voert een trilling uit (of oscilleert) als

het een periodieke beweging rond een toestand van

stabiel evenwicht uitvoert.

• Er is een resulterende terugroepende

kracht(moment) die het terug naar de

evenwichtstoestand brengt

• Vb.:– Watermoleculen in microgolfoven

– Bruggen en torengebouwen

– Slingeren van een uurwerk, een schommel ...

– Schokdempers

– Trillend kristal in uurwerk

– Luidspreker

– …

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

Kenmerken van de EHB

De enkelvoudige harmonische beweging (EHB) betreft de

beweging van een deeltje die volgende kenmerken

vertoont:

• de beweging gebeurt ten opzichte van een rustpositie

waarbij de resultante van alle inwerkende krachten op

het deeltje nul is in de rustpositie (de evenwichtsstand)

• de beweging gebeurt ten gevolge van een

terugroepende kracht die evenredig is met de

verplaatsing ten opzichte van de rustpositie

• de beweging is periodiek

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

u

u = -A u = AO

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

Dynamica van de enkelvoudige harmonische beweging

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

2 ..

2k 0 of k 0

d um u mu u

dt

Trillingsvergelijking - Bewegingsvergelijking

Trillingsfunctie u(t) = ???

Oplossing van de trillingsvergelijking: trillingsfunctie

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

2 ..

2k 0 of k 0

d um u mu u

dt

Trillingsvergelijking - Bewegingsvergelijking

0( ) sin( )u t A t

Oplossing van de trillingsvergelijking: trillingsfunctie

2

0 0

kk m

m

Door substitutie in

de

trillingsvergelijking:

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

0sinu t A t

Amplitude of maximale elongatie

Natuurlijke pulsatie

Beginfase(hoek)

Fase(hoek)}

Uitwijking of elongatie

Trillingsfunctie - positiefunctie - bewegingsfunctie

𝐴 = 𝑢𝑚𝑎𝑥

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

Uitwijking - Elongatie

t

u

O

u0

A

-A

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

= /4 = … = ...

u

Verband beginuitwijking en beginfase

𝑢 𝑡 = 0 = 𝑢0 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜑

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

u

t

Eigenperiode of natuurlijke periode T0

T0

T0

T0

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

Eigenschappen van periodieke functies

• De functie is periodiek met periode T0

• De maximale uitwijking is de amplitude A

0

Eigenpulsatie

(rad/s of °/s)

0

0 0

1 22

mT

f k

Eigenperiode

(s)

0u t T u t

u

T0

00

1

2 2

kf

m

Eigenfrequentie

(1/s=Hz)

2.1 De differentiaalvergelijking van de EHB

0sinu t A t

2 2

0 0 0sindv

a t A t u tdt

maxu A

max 0v A

2

max 0a A

u

0 0cosdu

v t A tdt

2.2 Snelheid en versnelling

u

va

t

• Versnelling is maximaal als de uitwijking …………………… is

• Versnelling is nul bij doorgang door de ………………………………....

• Versnelling is in ………………………. met de elongatie• Snelheid is ...... uit fase ten opzichte van elongatie• Snelheid ‘loopt /2 …………. op’ de elongatie

• Bij doorgang door de evenwichtstand is de snelheid …….

• Bij maximale uitwijking is de snelheid ……

Voorbeeld voor = …..

2.2 Snelheid en versnelling

2.2 Snelheid en versnelling

Een massa-veersysteem is horizontaal wrijvings-loos opgesteld. De massa is 1,8 kg en de lengtevan de veer met verwaarloosbare massa bedraagt0,65m in rusttoestand. Door een kracht van 45 Nwordt de veer ingedrukt tot een lengte van 0,40m. De massa wordt dan losgelaten.

Bepaal de trillingsfunctie. Bereken de uitwijkingals t = 2,1 s.

2 2

max

1 1

2 2mechE k A mv

De totale energie is recht evenredig met het

kwadraat van de amplitude

Totale mechanische energie

2.3 Energie van de EH oscillator

𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡

Energievergelijking

2.3 Energie van de EH oscillator

uu

u²u

u

Omkeer

puntOmkeer

punt

Energievergelijking

2.3 Energie van de EH oscillator

Omkeerpunt

bij umax

Ekin

Epot

Omkeerpunt

bij -umax

Waar passeert de massa de evenwichtstand op bovenstaande grafiek?

?

2.3 Energie van de EH oscillator

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

vu

au

O

՜𝐴

• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.

Fasorenvoorstelling

0

vu

au

O

՜𝐴

• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.

Fasorenvoorstelling

0

u0

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

vu

au

O

՜𝐴

• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.

Fasorenvoorstelling

0

u0=Asin

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

vu

au

O

՜𝐴

• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.

Fasorenvoorstelling

0

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

vu

au

՜𝐴

u

O

• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.

• Elongatie = projectievan de ECB op de u-as

• Fasehoek: positiehoekten opzichte van referentie-as (loodrecht op de u-as)

Fasorenvoorstelling

0

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.

• Elongatie = projectie op de u-as.

• Fasehoek: positiehoekten opzichte van referentie-as (loodrecht op de u-as)

Fasorenvoorstelling

0sinu t A t

vu

au

՜𝐴

O

0

u=Asin(0t+)

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

• Fasor : vector met lengte gelijk aanamplitude die in tegenwijzerzinronddraait met hoeksnelheid gelijk aanpulsatie.

• Elongatie = projectie op de u-as.

• Fasehoek: positiehoekten opzichte van referentie-as (loodrecht op de u-as)

Fasorenvoorstelling

u

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

vu

O

՜𝐴

au

0

2 2

0 0 0sindv

a t A t u tdt

De projecties van de

snelheidsvector en de

versnellingsvector op de

u-as geven de snelheid en

de versnelling van de EHB

0 0cosdu

v t A tdt

v

a

2.4 Fasorenvoorstelling - Verband met de ECB

Invloed van de veermassa

Kwalitatieve bespreking: T neemt ….. als mv ….neemt

Kwantitatieve correctie voor de veermassa

Energievergelijking:

Periode:

2 21 1k

2 3 2

vmm v u C

32 k

vmm

T

2.5 Invloed van de veermassa

• Twee massa’s m1 en m2 verbonden door een veer.

Dit is bvb. een modelvoorstelling van een H2, CO molecule.

• De kracht die de veer uitoefent op zowel m1 als m2 is:

F = -ku met u = u1 + u2

Daar het massamiddelpunt C niet beweegt (géén uitwendige krachten) is tevens :

m1 u1 = m2 u2 zodat u = u1 (1 + m1 / m2) = u1 ((m1+ m2)/ m2) waaruit volgt

C= massamiddelpunt

1 1 2 1 2 1 11 1 1 1

2 1 2

1 2

1 2 1 2

² u ² u ² u

² ² ²

1 1 1" "

d m m m m d dm ku ku ku ku

dt m m m dt dt

m mmet de gereduceerde massa of

m m m m

58

2.6 Gekoppelde trillingen

• Twee massa’s m1 en m2 verbonden door een veer.

Dit is bvb. een modelvoorstelling van een H2, CO molecule.

• De bewegingsvergelijking voor m1 , resp m2 wordt dus

C= massamiddelpunt

2

1,2

1,22

1 2

1 1 1d uku met

dt m m

• Elke massa zal bijgevolg een EHB uitvoeren met:

2

kof T

k = gereduceerde

massa59

2.6 Gekoppelde trillingen

Een massa-veersysteem is horizontaal wrijvings-loos opgesteld. De massa is 1,8 kg en de lengtevan de veer met verwaarloosbare massa bedraagt0,65m in rusttoestand. Door een kracht van 45 Nwordt de veer ingedrukt tot een lengte van 0,45m. De massa wordt dan losgelaten.

Bepaal de trillingsfunctie. Bereken de uitwijkingals t = 2,1 s.

Een massa van 85 g trilt harmonisch met eenperiode van 0,85 s en een amplitude van 15cm.

Bereken alle fasehoeken, uitwijkingen,versnellingen en terugroepende krachten alsde snelheid -0,3 m/s bedraagt. Bereken detotale mechanische energie op minstens tweemanieren.

De meeste systemen hebben in de buurt van een stabiel

evenwicht een potentiële energie curve die ongeveer

parabolisch is:

– Typische potentiële energie curve van een systeem:

– Terugroepende kracht evenredig met uitwijking, dus EHB

2 2dU

U ax F axdx

𝐸𝑝𝑜𝑡𝑑𝐸𝑝𝑜𝑡

62

EHB’s komen veel voor

A

Ongedempte elektrische trillingen in een LC-seriecircuit

http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm

0q

L qC

0mu k u

max 0sin( )q q t 0

1

LC

max 0sin( )u u t 0

k

m

Voorbeeld: Elektrische trillingen in een LC-circuit

In een LC parallel-circuit is C = 4,0 F en L = 2,5 mH.

Op t = 0 vloeit een stroomsterkte van 1,0 ampère door

de spoel die vervolgens afneemt, en is de lading op de

condensator 66,3 C die vervolgens ook afneemt met

de tijd.

Wat is de maximale lading op de condensator?

Wat is de maximale stroomsterkte door de spoel?

Bepaal de trillingsfunctie voor de lading.

Bepaal de pulsatie en de beginfase.

Op welk eerstvolgend tijdstip na t = 0 zal de lading op

de condensator nul zijn?

Oefening: Elektrische trillingen in een LC-circuit

Een veer met verwaarloosbare eigenmassa rekt12 cm uit als men er in verticale opstelling eenmassa van 6,0 kg aan hangt.

Men bevestigt nu een massa van 1,5 kg aandezelfde veer in horizontale wrijvingslozeopstelling en brengt de massa in harmonischebeweging.

Bepaal de trillingsfunctie als de uitwijking -0,18 men de snelheid -0,90 m/s bedragen op t = 1,6 s.Bepaal de beginuitwijking, de beginsnelheid ende veerkracht op het beginogenblik en controleerde wet van behoud van energie.

Gegeven:

Gevraagd: noteer in de standaardvorm enbereken alle t (>=0) waarop v = -0,60m/s

2,20,8cos25 1 tscmu

Verticale beweging van een massa aan een veer

Oscillerende vloeistofkolom

u

l

Een vloeistofkolom met lengte l oscilleert wrijvingsloos in een U-buis.

Bepaal de differentiaalvergelijking van de beweging

en de uitdrukking voor de periode in functie l.

FysicaIndustrieel Ingenieur

Schoonmeersen

Rotatietrillingen

Rotational Vibration

Hoofdstuk 3

http://largependulumwave.nl/

C: torsieconstante van de ophangdraad

3.1 De torsieslinger

Een draad met torsieconstante C

zorgt voor een terugroepend

krachtmoment

0 2 MMIT

C

C: torsieconstante van de ophangdraad

IMM: traagheidsmoment t.o.v. de rotatieas (de Z-as)

door het massamiddelpunt van het roterende lichaam

MM

3.1 De torsieslinger

Een draad met torsieconstante C

zorgt voor een terugroepend

krachtmoment

0 2 OIT

dmg

d: afstand tussen het ophangpunt en het

massamiddelpunt

m: massa van het slingerend lichaam

IO: traagheidsmoment t.o.v. de rotatieas (de Z-as)

door het ophangpunt O

MMvoor kleine maximale uitwijkingshoeken

3.2 De fysische slinger

2

max= 2 1m d 16

OIT

g

2 4max max1 9= 2 1 sin sin ...

m d 4 2 64 2

OIT

g

3.2 De fysische slinger

0 2l

Tg

l

voor kleine maximale uitwijkingshoeken

3.2.2 De wiskundige slinger

Voorbeeld: een staafslinger

Een staafslinger met lengte l hangt op

in een punt op l /6 van een uiteinde.

Bepaal het slingerpunt O’ en toon de

eigenschap van het slingerpunt aan.

Antw: O’ ligt op l /4 van het andere uiteinde verwijderd.

MM

O

l /6

l

3.2.3 en 3.2.4 Equivalente lengte - Slingerpunt

L

Gevraagd :

1. ω voor L=R/2 en voor L=R

2. L waarvoor T= 2π/ω minimaal wordt.

3.4 Voorbeeld

FysicaIndustrieel Ingenieur

Schoonmeersen

Samenstellen van Trillingen

Superposition of vibrations

Hoofdstuk 4

Werken op een massa gelijktijdig twee of meerkrachten in, die elk afzonderlijk de massa in trillingbrengen, dan behoudt elk van deze krachten haarvolle uitwerking en is de resulterende uitwijkinggelijk aan de som van de uitwijkingen die dekrachten elk apart veroorzaken.

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )r iu t u t u t u t

Superpositiebeginsel

4.1 Het superpositiebeginsel

Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties

1 1 1

2 2 2

( ) sin

( ) sin

u t A t

u t A t

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

1

1

22

Y

4.2 Trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

u

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties

1 1 1

2 2 2

( ) sin

( ) sin

u t A t

u t A t

( ) sinr ru t A t Y

De samengestelde van twee (of meer)

trillingen met gelijke pulsaties en dezelfde

trillingsrichting is een trilling met dezelfde

pulsatie en dezelfde richting als haar

samenstellende trillingen.

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

2211

2211

21

2

2

2

1

coscos

sinsintan

cos2

AA

AA

A

A

AAAAA

x

y

r

Y

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=0

Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=30°

Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=30°

Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=60°

Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

u

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=60°

Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=60°

Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=60°

Groen: f2= 1 Hz A2=2 2=240°

Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Geel: f1= 1 Hz A1=1 1=60°

Groen: f2= 1 Hz A2=1 2=240°

Rood: fr=… Hz Ar= … Y= …

4.2.1 Twee // trillingen met gelijke pulsaties

Meerdere trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties

Y

tAu

nitAu

rr

iii

sin

,...,1:sin

De samengestelde van twee (of meer)

trillingen met gelijke pulsaties en dezelfde

trillingsrichting is een trilling met dezelfde

pulsatie en dezelfde richting als haar

samenstellende trillingen.

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Meerdere trillingen met evenwijdige trilrichtingen en gelijke pulsaties

x

y

yxr

iiy

iix

rri

iii

A

A

AAA

AA

AA

tAuu

nitAu

Y

Y

tan

sin

cos

sin

,...,1:sin

22

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Amplitudevectoren samenstellen :

Wiskundig x en y componenten samenstellen

Grafisch kop aan staart leggen

beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden

Ԧ𝐴1

Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3

𝑋

𝑌

𝜃1𝜃2𝜃3

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Amplitudevectoren samenstellen :

Wiskundig x en y componenten samenstellen

Grafisch kop aan staart leggen

beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden

Ԧ𝐴1

Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3

𝑋

𝑌

𝜃1𝜃2𝜃3

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Amplitudevectoren samenstellen :

Wiskundig x en y componenten samenstellen

Grafisch kop aan staart leggen

beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden

Ԧ𝐴1

Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3

𝑋

𝑌

𝜃1𝜃2𝜃3

Ԧ𝐴

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

Amplitudevectoren samenstellen :

Wiskundig x en y componenten samenstellen

Grafisch kop aan staart leggen

beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden

Ԧ𝐴1

Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3

𝑋

𝑌

𝜃1𝜃2𝜃3

Ԧ𝐴

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

Amplitudevectoren samenstellen :

Wiskundig x en y componenten samenstellen

Grafisch kop aan staart leggen

beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden

Ԧ𝐴1

Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3

𝑋

𝑌

𝜃1𝜃2𝜃3

Ԧ𝐴

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

Amplitudevectoren samenstellen :

Wiskundig x en y componenten samenstellen

Grafisch kop aan staart leggen

beginpunt eerste met eindpunt laatste verbinden

Ԧ𝐴1

Ԧ𝐴2Ԧ𝐴3

𝑋

𝑌

𝜃1𝜃2𝜃3

Ԧ𝐴

Ax

Ay

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Fasorenmethode - Methode van Fresnel

Samenstellen van trillingen

Bepaal de samengestelde trilling van de volgende drie trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Oefening 1 Oefening 2

tu

tu

tu

35cos3

110sin4

50cos5

3

2

1

tu

tu

tu

30cos6

130sin5

70cos2

3

2

1

Atot = 8,60 ψ=14°,1Atot = 4,58 ψ=171°

4.2.2 Meerdere // trillingen met gelijke pulsaties

Twee trillingen met evenwijdige trilrichtingen en weinig verschillende

pulsaties

1 1 1

2 2 2

( ) sin

( ) sin

u t A t

u t A t

1 2

1

1 2 2

+ =

= + 2

= met 1

2

2 2

1 2 1 2

1 2

1 2

sin( )

2 cos 2

sin sintan

cos cos

r r

r

u A t

A A A A A t

A t A t

A t A t

Y

Y

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Geel: f1= 9 Hz A1=1

Groen: f2= 11 Hz A2=1,5

Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Geel: f1= 9 Hz A1=2,5

Groen: f2= 11 Hz A2=2

Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Geel: f1= 9 Hz A1=1

Groen: f2= 11 Hz A2=1

Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

ZWEVINGEN

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

100 % modulatie

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Geel: f1= 14 Hz A1=2,5

Groen: f2= 16 Hz A2=1

Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Geel: f1= 28 Hz A1=2,5

Groen: f2= 32 Hz A2=0,5

Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Geel: f1= 50 Hz A1=1

Groen: f2= 48 Hz A2=2

Rood: fzwev=… Hz Amax= … Amin= … zwevingsdiepte=….

4.2.4 2 // trillingen met weinig versch. pulsaties

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

Samenstellen van // trillingen met sterk verschillende pulsaties

De resulterende trilling is niet harmonisch,

maar wel periodiek als met 𝑛𝑖𝜖 𝑁𝜔1

𝜔2=𝑛1𝑛2

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

Iedere trilling wordt voorgesteld door vector (= fasor) die roteert met

constante 1, resp. 2.

Optellen van vectoren geeft vector die continu verandert van lengte en

van hoeksnelheid: geen EHB, maar wel een periodieke beweging als de

pulsaties zich verhouden als natuurlijke getallen.

T = kleinste gemeen veelvoud (T1,T2)

A

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Reeks1

Reeks2

Reeks3

T = 12sT1 = 4s

T2 = 6s

121

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

AM: Amplitudemodulatie

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

• Vb.: Radio-ontvanger

Afstemgedeelte, wordt in resonantie gebracht. Ontvangen

radiogolven produceren een wisselstroom in keten.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Samenstellen van trillingen met evenwijdige trilrichtingen

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

Samenstellen van // trillingen met sterk verschillende pulsaties

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

4.2.5 Twee // trillingen met sterk versch. pulsaties

Ontbinden van een periodieke beweging

Een willekeurige periodieke beweging is steeds te

ontbinden in een som van harmonische bewegingen

4.2.8 Ontbinden van periodieke functies

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

u(t

)

t (s)

Ontbinden van een periodieke beweging

0

1

( ) cos sinn n

n

f t a a n t b n t

Een willekeurige periodieke beweging is steeds te

ontbinden in een som van harmonische bewegingen

0

0

0

0

1( )

2( )cos

2( )sin

T

T

n

T

n

a f t dtT

a f t n t dtT

b f t n t dtT

Fourierreeks ontwikkeling

4.2.8 Ontbinden van periodieke functies

Samenstellen van twee trillingen met onderling loodrechte trilrichtingen

1

2

sin 90

sin 2 60

h

v

x u A t

y u A t

Voorbeeld:

4.3 Samenstellen van onderling trillingen

1

2

sin 90

sin 2 60

h

v

x u A t

y u A t

uv

A1

A2

Verschillende pulsaties

Figuren van Lissajous

4.3 Samenstellen van onderling trillingen

1

2

sin 90

sin 2 60

h

v

x u A t

y u A t

uv

A1

A2

Verschillende pulsaties

Figuren van Lissajous

4.3 Samenstellen van onderling trillingen

1

2

sin 90

sin 2 60

h

v

x u A t

y u A t

uv

A1

A2

Verschillende pulsaties

Figuren van Lissajous

4.3 Samenstellen van onderling trillingen

Figuur van Lissajous: gesloten

resulterende curve als de

pulsaties zich verhouden als

natuurlijke getallen

Gelijke pulsaties

4.3 Samenstellen van onderling trillingen

𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜔1𝑡 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜔2𝑡 + 𝜑

𝜔2

𝜔1

𝜑

4.3 Samenstellen van onderling trillingen