04/13/23 Elektrische velden 1

5 Elektrisch veld• Proef• We bevestigen papiersnippers en vliermergbolletjes op de kap van

een Vandegraaff-generator. Als we de generator opladen ondervinden de papiersnippers en de vliermergbolletjes een kracht waardoor ze worden afgestoten.

• Besluit• Een geladen lichaam (hier de kap van de Vandegraaf-generator)

zorgt ervoor dat ladingen in een gebied rond dat geladen lichaam een kracht ondervinden.

• Het gebied rond het geladen lichaam waar deze krachtwerking aanwezig is noemen we het elektrisch veld opgewekt door het geladen lichaam.

• Opmerking • Om de eigenschappen van een elektrisch veld veroorzaakt door een

lading Q te onderzoeken maken we gebruik van een proeflading Q’ (puntlading). We kiezen deze lading Q’ zeer klein zodat het elektrisch veld veroorzaakt door deze proeflading verwaarloosbaar is.

04/13/23 Elektrische velden 2

Definitie• Het elektrisch veld opgewekt door een geladen

voorwerp (puntlading of andere vorm) • is de ruimte rond het geladen voorwerp waarin

andere ladingen een krachtwerking (aantrekking of afstoting) ondervinden.

• Deze krachten noemen we elektrische veldkrachten (Coulombkrachten).

• Opmerking Rond elke lading is er dus een elektrisch veld, andere ladingen ondervinden in dit gebied een kracht. De uitwerking van die kracht zien we alleen maar als de Coulombkracht groter is dan de andere krachten (zwaartekracht, wrijvingskracht)

04/13/23 Elektrische velden 3

b Afleiding formule elektrische veldsterkte

• We leiden de formule af voor de elektrische veldsterkte opgewekt door een puntlading Q.

•We veronderstellen dat er zich in het gebied rond Q op een afstand r van Q een tweede puntlading Q’ bevindt.

• Dan weten we dat de eerste lading Q een kracht uitoefent op de lading Q’ met

r

k.Q.Q'F .e

r²

of anders genoteerd r

k.QF Q'. .e

r²

04/13/23 Elektrische velden 4

• de kracht is het product van twee factoren

• een factor Q’ die enkel afhangt van de grootte van de tweede lading maar onafhankelijk is van Q en het door Q opgewekte elektrische veld

• een factor die afhangt van de lading Q en de plaats waar de lading Q’ zich bevindt.

• Die laatste factor noemen we de elektrische veldsterkte in het punt waar de lading Q’ zich bevindt.

04/13/23 Elektrische velden 5

04/13/23 Elektrische velden 6

Verbanden tussen elektrische veldsterkte en Coulombkracht

Q > 0 en Q’ > 0

Omdat kQ/r² > 0 heeft de elektrische veldsterkte dezelfde zin als de eenheidsvectorOmdat kQQ'/r² > 0 heeft de coulombkracht dezelfde zin als de eenheidsvector

04/13/23 Elektrische velden 7

Q > 0 en Q’ < 0

• Omdat kQ/r² > 0 heeft de elektrische veldsterkte dezelfde zin als de eenheidsvector

• Omdat kQQ'/r² < 0 heeft de coulombkracht de tegengestelde zin van de eenheidsvector

04/13/23 Elektrische velden 8

Q < 0 en Q’ > 0

• Omdat kQ/r² <0 heeft de elektrische veldsterkte de tegengestelde zin van de eenheidsvector

• Omdat kQQ'/r² < 0 heeft de coulombkracht de tegengestelde zin van de eenheidsvector

04/13/23 Elektrische velden 9

Q< 0 en Q’ < 0

• Omdat kQ/r² <0 heeft de elektrische veldsterkte de tegengestelde zin van de eenheidsvector

• Omdat kQQ'/r² >0 heeft de coulombkracht dezelfde zin van als de eenheidsvector

04/13/23 Elektrische velden 10

Opmerking

• Soms zullen we van elektrisch veld spreken zonder dat we de ladingen kennen die het veld veroorzaken. Door de kracht te meten op een eenheidslading kennen we en daaruit kunnen we voor elke lading de veldkracht berekenen

04/13/23 Elektrische velden 11

c veldsterkte bij verschillende ladingsverdelingen

Rondom een puntlading• Uit de afleiding in de vorige paragraaf volgt dat de

elektrische veldsterkte in een willekeurig punt op een afstand r van een puntlading bepaald wordt door

r

F k.QE .e

Q' r²

De grootte van de elektrische veldsterkte is dan k|Q|/r²

De getalcomponent van de elektrische veldsterkte is dan k.Q/r²

04/13/23 Elektrische velden 12

• Besluit• In alle punten die even ver van Q verwijderd zijn

is de elektrische veldsterkte dus even groot. • Het elektrisch veld rond een puntlading is een

radiaal veld.• Opmerking • De elektrische veldsterkte hangt enkel af van de

plaats en de grootte van de bronlading• De elektrische veldkracht hangt af van de plaats,

de grootte van de bronlading, de grootte van de tweede lading (testlading)

04/13/23 Elektrische velden 13

rondom meerdere puntladingen

Als er meerdere puntladingen zijn dan is het totale elektrische veld veroorzaakt door al die puntladingen samen de vectoriele som van alle elektrische veldsterkten samen.

• Dus

tot 1 2 3 n

n

tot ii=1

E = E + E + E + ..... + E

E = E

04/13/23 Elektrische velden 14

rondom een geleidende bol

• Als een bol met straal rb een lading Q bevat dan is er in de ruimte rond de bol een elektrisch veld.

• Men kan aantonen (door de straal van de bol te veranderen maar de lading niet) dat buiten de bol de grootte van het elektrisch veld dezelfde is als voor een puntlading met zelfde grootte van lading geplaatst in het middelpunt van de bol.

• Dus E = k|Q|/r² (dit voor alle punten waarvoor r> rb )• Deze formule is echter alleen geldig voor alle punten

buiten de bol, want binnen in de bol • zijn er geen ladingen, en is de veldsterkte 0• De elektrische veldsterkte is dus even groot voor alle

punten die even ver van het middelpunt van de bol verwijderd zijn. Zulk elektrisch veld noemen we een bolsymmetrisch veld.

04/13/23 Elektrische velden 15

• Op het boloppervlak is de grootte van de elektrische veldsterkte

• Eb = k.|Q|/rb²

04/13/23 Elektrische velden 16

d elektrische veldlijnen

• Proef 1

• Als we een geïsoleerde metalen geleider opladen (met elektriseermachine) dan gaan papiersnippers op de geleider zich loodrecht plaatsen op het oppervlak van de geleider.

04/13/23 Elektrische velden 17

• Proef 2 • Griesmeelkorrels in oliebad

We plaatsen elektroden (in de vorm van punt of staaf) in het oliebad en verbinden de elektroden met de elektriseermachine. De griesmeelkorrels gaan zich richten (naargelang de soort elektroden)

• De lijnen waarop de griesmeelkorrels zich richten zullen we de elektrische veldlijnen noemen.

• Veel korrels dicht bij elkaar duidt op grote ladingshoeveelheid, grote veldsterkte.

04/13/23 Elektrische velden 18

04/13/23 Elektrische velden 19

04/13/23 Elektrische velden 20

04/13/23 Elektrische velden 21

04/13/23 Elektrische velden 22

• Besluit• In een elektrisch veld richten de materiedeeltjes zich

volgens bepaalde richtingen. • De lijnen die deze richtingen bepalen noemen we

elektrische veldlijnen.• Verklaring• In een elektrisch veld gaan door inductie de ladingen

binnen in een materiedeeltje zich verplaatsen. • Het ene uiteinde van het materiedeeltje wordt + en het

andere uiteinde -. • Als al de materiedeeltjes die polarisatie vertonen gaan

ze zich t.o.v. elkaar ordenen. • Dit ordeningspatroon gebeurt volgens bepaalde lijnen

(waarvan de vorm afhankelijk is van het elektrisch veld).

04/13/23 Elektrische velden 23

04/13/23 Elektrische velden 24

Elektrische veldlijnen bij een positieve puntlading

04/13/23 Elektrische velden 25

Elektrische veldlijnen bij een negatieve puntlading

04/13/23 Elektrische velden 26

Soorten velden

• We maken onderscheid tussen • een homogeen elektrisch veld (bvb. tussen 2

rechte geleiders) waar de veldlijnen overal even ver van elkaar liggen.

• De elektrische veldsterkte is er overal even groot.

• een bolsymmetrisch veld (bvb rond een puntlading of bolvormige elektrode),

• de veldlijnen lopen er uit elkaar (dichtbij de lading liggen de veldlijnen dicht bij elkaar en is de elektrische veldsterkte groot

• ver van de lading liggen de veldlijnen ver van elkaar en is de elektrische veldsterkte klein

04/13/23 Elektrische velden 27

Definitie van elektrische veldlijn•

• Een elektrische veldlijn is een (fictieve) lijn waarvan in elk van haar punten

• de richting van de raaklijn overeenstemt met de richting van de elektrische veldsterkte.

• Bij afspraak kennen we aan de veldlijnen een zin toe die gaat van de positieve lading weg naar de negatieve lading toe.

04/13/23 Elektrische velden 28

• Opmerkingen

• Door elk punt van een elektrisch veld gaat er precies één veldlijn.

• Zouden er 2 veldlijnen door één punt gaan dan zou volgens de definitie de elektrische veldsterkte in dat punt 2 verschillende richtingen hebben en dat kan natuurlijk niet.

• Veldlijnen staan steeds loodrecht op de geleidende oppervlakken.

04/13/23 Elektrische velden 29

e verband tussen veldsterkte en veldlijnen

• Door elk punt van het elektrisch veld kan één fictieve veldlijn getekend worden.

• Je zou dus heel de ruimte rond een lading vol met veldlijnen kunnen tekenen.

• In de praktijk zien we echter een grotere concentratie aan korrels daar waar de elektrische veldsterkte groot is.

• Daarom geldt het volgende

04/13/23 Elektrische velden 30

• E = ΔN/ΔA

• met ΔN is aantal veldlijnen door klein opp ΔA

• of

• ΔN =E. ΔA

• Of

• N =ΣE. ΔA

04/13/23 Elektrische velden 31

• Beschouwen we nu een lading Q in een punt p. • We plaatsen een denkbeeldig boloppervlak met straal

r en middelpunt p. • In elk punt van het boloppervlak is de elektrische

veldsterkte dan :

04/13/23 Elektrische velden 32

• E = k|Q|/r² (1)

• Het aantal veldlijnen dat door de bol gaat is dan

• N =ΣE. ΔA

• Vermits de veldsterkte E in alle punten van het boloppervlak dezelfde is geldt

• N =E.Σ ΔA

• waarbij Σ ΔA = opp van de bol = 4.π.r² (2)

• Als we (1) en (2) invullen in de formule voor N vinden we

04/13/23 Elektrische velden 33

• N = k|Q|/r². 4.π.r²

• N = 4.π.k .|Q|

• In deze formule is de straal van de bol weggevallen. Daaruit volg dat door elk gesloten oppervlak (ook een niet bolvormig) eenzelfde aantal veldlijnen gaat nl.

• 4.π.k.|Q|

04/13/23 Elektrische velden 34

Aantal veldlijnen doorheen gesloten opp rond lading

04/13/23 Elektrische velden 35

• Stelling van Gauss

• Het aantal veldlijnen dat door een willekeurig gesloten oppervlak gaat

• dat een lading Q omsluit is altijd gelijk aan

• 4. π .k |Q|

• Opmerking :

• de verdeling van de lading (puntlading of niet) is niet belangrijk.

04/13/23 Elektrische velden 36

Toepassingen

• Veldsterkte binnen een geladen geleider• We veronderstellen een geleider (met totale lading Q)

met oppervlakte A waarop de aanwezige ladingen in rust zijn (de geleider is in evenwicht). Deze ladingen bevinden zich allemaal op het buitenoppervlak van de geleider.

• Om de elektrische veldsterkte te bepalen binnen de geladen geleider beschouwen we een gesloten oppervlak A’ dat volledig binnen de geladen geleider ligt. Het gebied binnen dit oppervlak A’ bevat geen ladingen.

• De stelling van Gauss toegepast op dit oppervlak geeft dan

• N =ΣE. ΔA’= 4. π .k |Q|=0• Het aantal veldlijnen bepaald de sterkte van het

elektrisch veld, dus binnen in een geleider is het Elektrisch veld 0.

04/13/23 Elektrische velden 37

Veldsterkte in de nabijheid van een geladen geleider

• als we vliermergbolletjes verbinden met de elektriseermachine merkten we dat de vliermergbolletjes zich loodrecht plaatsen op de kap van de elektriseermachine.

• Dit doet ons besluiten dat in de buurt van een geladen oppervlak de elektrische veldsterkte en de elektrische veldlijnen een richting hebben die loodrecht staat op het oppervlak van de geladen geleider.

• Dit kunnen we nu ook theoretisch verklaren• We ontbinden de elektrische veldsterkte in 2 componenten • een normale component loodrecht op het oppervlak = • een tangentiële component evenwijdig met het oppervlak = .• Deze tangentiële component moet echter 0 zijn want anders

zouden de ladingen o.i.v. deze component gaan bewegen.

t n nE E E E

04/13/23 Elektrische velden 38

04/13/23 Elektrische velden 39

Verband tussen de grootte van de veldsterkte en de oppervlakte ladingsdichtheid in een homogeen veld

• We beschouwen 2 vlakke evenwijdige platen met oppervlakte A die ladingen +Q en –Q dragen

• De veldlijnen staan loodrecht op de oppervlakken, en liggen even ver uit elkaar (homogeen veld)

• We kiezen nu een Gauss oppervlak doorheen de bovenste geleider.

• De veldlijnen gaan er slechts alleen door de onderkant door.

04/13/23 Elektrische velden 40

Verband tussen ladingsdichtheid en veldsterkte in een homogeen veld

04/13/23 Elektrische velden 41

• Wegens de stelling van Gauss geldt• Dus N = 4. π .k |Q| (1)• Omdat de veldlijnen enkel aan de

onderkant door het opp gaan geldt• N = A.E (2)• De formule voor de oppervlakte

ladingsdichtheid is • σ= Q/A• Gelijkstellen van (1) en (2) , en (3)

invullen geeft• 4. π .k σ.A = A. E• E = 4. π .k σ

04/13/23 Elektrische velden 42

04/13/23 Elektrische velden 43

04/13/23 Elektrische velden 44

04/13/23 Elektrische velden 45

04/13/23 Elektrische velden 46

04/13/23 Elektrische velden 47

04/13/23 Elektrische velden 48

04/13/23 Elektrische velden 49

04/13/23 Elektrische velden 50

04/13/23 Elektrische velden 51

04/13/23 Elektrische velden 52

04/13/23 Elektrische velden 53

04/13/23 Elektrische velden 54

04/13/23 Elektrische velden 55

04/13/23 Elektrische velden 56

04/13/23 Elektrische velden 57

04/13/23 Elektrische velden 58

04/13/23 Elektrische velden 59

04/13/23 Elektrische velden 60

04/13/23 Elektrische velden 61

04/13/23 Elektrische velden 62

04/13/23 Elektrische velden 63

04/13/23 Elektrische velden 64

04/13/23 Elektrische velden 65

04/13/23 Elektrische velden 66

04/13/23 Elektrische velden 67

04/13/23 Elektrische velden 68

04/13/23 Elektrische velden 69

04/13/23 Elektrische velden 70

04/13/23 Elektrische velden 71

04/13/23 Elektrische velden 72

04/13/23 Elektrische velden 73

04/13/23 Elektrische velden 74

04/13/23 Elektrische velden 75

04/13/23 Elektrische velden 76

04/13/23 Elektrische velden 77

04/13/23 Elektrische velden 78

04/13/23 Elektrische velden 79

04/13/23 Elektrische velden 80

04/13/23 Elektrische velden 81

04/13/23 Elektrische velden 82

04/13/23 Elektrische velden 83

04/13/23 Elektrische velden 84

04/13/23 Elektrische velden 85

04/13/23 Elektrische velden 86

04/13/23 Elektrische velden 87