06 elektrisch veld

04/13/23 Elektrische velden 1

5 Elektrisch veld• Proef• We bevestigen papiersnippers en vliermergbolletjes op de kap van

een Vandegraaff-generator. Als we de generator opladen ondervinden de papiersnippers en de vliermergbolletjes een kracht waardoor ze worden afgestoten.

• Besluit• Een geladen lichaam (hier de kap van de Vandegraaf-generator)

zorgt ervoor dat ladingen in een gebied rond dat geladen lichaam een kracht ondervinden.

• Het gebied rond het geladen lichaam waar deze krachtwerking aanwezig is noemen we het elektrisch veld opgewekt door het geladen lichaam.

• Opmerking • Om de eigenschappen van een elektrisch veld veroorzaakt door een

lading Q te onderzoeken maken we gebruik van een proeflading Q’ (puntlading). We kiezen deze lading Q’ zeer klein zodat het elektrisch veld veroorzaakt door deze proeflading verwaarloosbaar is.


Definitie• Het elektrisch veld opgewekt door een geladen

voorwerp (puntlading of andere vorm) • is de ruimte rond het geladen voorwerp waarin

andere ladingen een krachtwerking (aantrekking of afstoting) ondervinden.

• Deze krachten noemen we elektrische veldkrachten (Coulombkrachten).

• Opmerking Rond elke lading is er dus een elektrisch veld, andere ladingen ondervinden in dit gebied een kracht. De uitwerking van die kracht zien we alleen maar als de Coulombkracht groter is dan de andere krachten (zwaartekracht, wrijvingskracht)


b Afleiding formule elektrische veldsterkte

• We leiden de formule af voor de elektrische veldsterkte opgewekt door een puntlading Q.

•We veronderstellen dat er zich in het gebied rond Q op een afstand r van Q een tweede puntlading Q’ bevindt.

• Dan weten we dat de eerste lading Q een kracht uitoefent op de lading Q’ met

r

k.Q.Q'F .e

r²

of anders genoteerd r

k.QF Q'. .e

r²


• de kracht is het product van twee factoren

• een factor Q’ die enkel afhangt van de grootte van de tweede lading maar onafhankelijk is van Q en het door Q opgewekte elektrische veld

• een factor die afhangt van de lading Q en de plaats waar de lading Q’ zich bevindt.

• Die laatste factor noemen we de elektrische veldsterkte in het punt waar de lading Q’ zich bevindt.


Verbanden tussen elektrische veldsterkte en Coulombkracht

Q > 0 en Q’ > 0

Omdat kQ/r² > 0 heeft de elektrische veldsterkte dezelfde zin als de eenheidsvectorOmdat kQQ'/r² > 0 heeft de coulombkracht dezelfde zin als de eenheidsvector


Q > 0 en Q’ < 0

• Omdat kQ/r² > 0 heeft de elektrische veldsterkte dezelfde zin als de eenheidsvector

• Omdat kQQ'/r² < 0 heeft de coulombkracht de tegengestelde zin van de eenheidsvector


Q < 0 en Q’ > 0

• Omdat kQ/r² <0 heeft de elektrische veldsterkte de tegengestelde zin van de eenheidsvector

• Omdat kQQ'/r² < 0 heeft de coulombkracht de tegengestelde zin van de eenheidsvector


Q< 0 en Q’ < 0

• Omdat kQ/r² <0 heeft de elektrische veldsterkte de tegengestelde zin van de eenheidsvector

• Omdat kQQ'/r² >0 heeft de coulombkracht dezelfde zin van als de eenheidsvector


Opmerking

• Soms zullen we van elektrisch veld spreken zonder dat we de ladingen kennen die het veld veroorzaken. Door de kracht te meten op een eenheidslading kennen we en daaruit kunnen we voor elke lading de veldkracht berekenen


c veldsterkte bij verschillende ladingsverdelingen

Rondom een puntlading• Uit de afleiding in de vorige paragraaf volgt dat de

elektrische veldsterkte in een willekeurig punt op een afstand r van een puntlading bepaald wordt door

r

F k.QE .e

Q' r²

De grootte van de elektrische veldsterkte is dan k|Q|/r²

De getalcomponent van de elektrische veldsterkte is dan k.Q/r²


• Besluit• In alle punten die even ver van Q verwijderd zijn

is de elektrische veldsterkte dus even groot. • Het elektrisch veld rond een puntlading is een

radiaal veld.• Opmerking • De elektrische veldsterkte hangt enkel af van de

plaats en de grootte van de bronlading• De elektrische veldkracht hangt af van de plaats,

de grootte van de bronlading, de grootte van de tweede lading (testlading)


rondom meerdere puntladingen

Als er meerdere puntladingen zijn dan is het totale elektrische veld veroorzaakt door al die puntladingen samen de vectoriele som van alle elektrische veldsterkten samen.

• Dus

tot 1 2 3 n

n

tot ii=1

E = E + E + E + ..... + E

E = E


rondom een geleidende bol

• Als een bol met straal rb een lading Q bevat dan is er in de ruimte rond de bol een elektrisch veld.

• Men kan aantonen (door de straal van de bol te veranderen maar de lading niet) dat buiten de bol de grootte van het elektrisch veld dezelfde is als voor een puntlading met zelfde grootte van lading geplaatst in het middelpunt van de bol.

• Dus E = k|Q|/r² (dit voor alle punten waarvoor r> rb )• Deze formule is echter alleen geldig voor alle punten

buiten de bol, want binnen in de bol • zijn er geen ladingen, en is de veldsterkte 0• De elektrische veldsterkte is dus even groot voor alle

punten die even ver van het middelpunt van de bol verwijderd zijn. Zulk elektrisch veld noemen we een bolsymmetrisch veld.


• Op het boloppervlak is de grootte van de elektrische veldsterkte

• Eb = k.|Q|/rb²


d elektrische veldlijnen

• Proef 1

• Als we een geïsoleerde metalen geleider opladen (met elektriseermachine) dan gaan papiersnippers op de geleider zich loodrecht plaatsen op het oppervlak van de geleider.


• Proef 2 • Griesmeelkorrels in oliebad

We plaatsen elektroden (in de vorm van punt of staaf) in het oliebad en verbinden de elektroden met de elektriseermachine. De griesmeelkorrels gaan zich richten (naargelang de soort elektroden)

• De lijnen waarop de griesmeelkorrels zich richten zullen we de elektrische veldlijnen noemen.

• Veel korrels dicht bij elkaar duidt op grote ladingshoeveelheid, grote veldsterkte.


• Besluit• In een elektrisch veld richten de materiedeeltjes zich

volgens bepaalde richtingen. • De lijnen die deze richtingen bepalen noemen we

elektrische veldlijnen.• Verklaring• In een elektrisch veld gaan door inductie de ladingen

binnen in een materiedeeltje zich verplaatsen. • Het ene uiteinde van het materiedeeltje wordt + en het

andere uiteinde -. • Als al de materiedeeltjes die polarisatie vertonen gaan

ze zich t.o.v. elkaar ordenen. • Dit ordeningspatroon gebeurt volgens bepaalde lijnen

(waarvan de vorm afhankelijk is van het elektrisch veld).


Elektrische veldlijnen bij een positieve puntlading


Elektrische veldlijnen bij een negatieve puntlading


Soorten velden

• We maken onderscheid tussen • een homogeen elektrisch veld (bvb. tussen 2

rechte geleiders) waar de veldlijnen overal even ver van elkaar liggen.

• De elektrische veldsterkte is er overal even groot.

• een bolsymmetrisch veld (bvb rond een puntlading of bolvormige elektrode),

• de veldlijnen lopen er uit elkaar (dichtbij de lading liggen de veldlijnen dicht bij elkaar en is de elektrische veldsterkte groot

• ver van de lading liggen de veldlijnen ver van elkaar en is de elektrische veldsterkte klein


Definitie van elektrische veldlijn•

• Een elektrische veldlijn is een (fictieve) lijn waarvan in elk van haar punten

• de richting van de raaklijn overeenstemt met de richting van de elektrische veldsterkte.

• Bij afspraak kennen we aan de veldlijnen een zin toe die gaat van de positieve lading weg naar de negatieve lading toe.


• Opmerkingen

• Door elk punt van een elektrisch veld gaat er precies één veldlijn.

• Zouden er 2 veldlijnen door één punt gaan dan zou volgens de definitie de elektrische veldsterkte in dat punt 2 verschillende richtingen hebben en dat kan natuurlijk niet.

• Veldlijnen staan steeds loodrecht op de geleidende oppervlakken.


e verband tussen veldsterkte en veldlijnen

• Door elk punt van het elektrisch veld kan één fictieve veldlijn getekend worden.

• Je zou dus heel de ruimte rond een lading vol met veldlijnen kunnen tekenen.

• In de praktijk zien we echter een grotere concentratie aan korrels daar waar de elektrische veldsterkte groot is.

• Daarom geldt het volgende


• E = ΔN/ΔA

• met ΔN is aantal veldlijnen door klein opp ΔA

• of

• ΔN =E. ΔA

• Of

• N =ΣE. ΔA


• Beschouwen we nu een lading Q in een punt p. • We plaatsen een denkbeeldig boloppervlak met straal

r en middelpunt p. • In elk punt van het boloppervlak is de elektrische

veldsterkte dan :


• E = k|Q|/r² (1)

• Het aantal veldlijnen dat door de bol gaat is dan

• N =ΣE. ΔA

• Vermits de veldsterkte E in alle punten van het boloppervlak dezelfde is geldt

• N =E.Σ ΔA

• waarbij Σ ΔA = opp van de bol = 4.π.r² (2)

• Als we (1) en (2) invullen in de formule voor N vinden we


• N = k|Q|/r². 4.π.r²

• N = 4.π.k .|Q|

• In deze formule is de straal van de bol weggevallen. Daaruit volg dat door elk gesloten oppervlak (ook een niet bolvormig) eenzelfde aantal veldlijnen gaat nl.

• 4.π.k.|Q|


Aantal veldlijnen doorheen gesloten opp rond lading


• Stelling van Gauss

• Het aantal veldlijnen dat door een willekeurig gesloten oppervlak gaat

• dat een lading Q omsluit is altijd gelijk aan

• 4. π .k |Q|

• Opmerking :

• de verdeling van de lading (puntlading of niet) is niet belangrijk.


Toepassingen

• Veldsterkte binnen een geladen geleider• We veronderstellen een geleider (met totale lading Q)

met oppervlakte A waarop de aanwezige ladingen in rust zijn (de geleider is in evenwicht). Deze ladingen bevinden zich allemaal op het buitenoppervlak van de geleider.

• Om de elektrische veldsterkte te bepalen binnen de geladen geleider beschouwen we een gesloten oppervlak A’ dat volledig binnen de geladen geleider ligt. Het gebied binnen dit oppervlak A’ bevat geen ladingen.

• De stelling van Gauss toegepast op dit oppervlak geeft dan

• N =ΣE. ΔA’= 4. π .k |Q|=0• Het aantal veldlijnen bepaald de sterkte van het

elektrisch veld, dus binnen in een geleider is het Elektrisch veld 0.


Veldsterkte in de nabijheid van een geladen geleider

• als we vliermergbolletjes verbinden met de elektriseermachine merkten we dat de vliermergbolletjes zich loodrecht plaatsen op de kap van de elektriseermachine.

• Dit doet ons besluiten dat in de buurt van een geladen oppervlak de elektrische veldsterkte en de elektrische veldlijnen een richting hebben die loodrecht staat op het oppervlak van de geladen geleider.

• Dit kunnen we nu ook theoretisch verklaren• We ontbinden de elektrische veldsterkte in 2 componenten • een normale component loodrecht op het oppervlak = • een tangentiële component evenwijdig met het oppervlak = .• Deze tangentiële component moet echter 0 zijn want anders

zouden de ladingen o.i.v. deze component gaan bewegen.

t n nE E E E


Verband tussen de grootte van de veldsterkte en de oppervlakte ladingsdichtheid in een homogeen veld

• We beschouwen 2 vlakke evenwijdige platen met oppervlakte A die ladingen +Q en –Q dragen

• De veldlijnen staan loodrecht op de oppervlakken, en liggen even ver uit elkaar (homogeen veld)

• We kiezen nu een Gauss oppervlak doorheen de bovenste geleider.

• De veldlijnen gaan er slechts alleen door de onderkant door.


Verband tussen ladingsdichtheid en veldsterkte in een homogeen veld


• Wegens de stelling van Gauss geldt• Dus N = 4. π .k |Q| (1)• Omdat de veldlijnen enkel aan de

onderkant door het opp gaan geldt• N = A.E (2)• De formule voor de oppervlakte

ladingsdichtheid is • σ= Q/A• Gelijkstellen van (1) en (2) , en (3)

invullen geeft• 4. π .k σ.A = A. E• E = 4. π .k σ

06 elektrisch veld

Travel

Transcript of 06 elektrisch veld