11VIERHOEKEN
11.1 BENAMINGEN EN DEFINITIES
11.1.1 HERHALING
Welke vierhoeken herkennen we op de volgende foto’s?Gebruik de cd-rom van het eerste jaar om de definities van devierhoeken op te zoeken.
195
11.1.2 BENAMINGEN
11.2 TRAPEZIUM
Twee trapezia krijgen een bijzondere benaming omdat ze naast één paarevenwijdige zijden nog extra regelmaat vertonen.
Rechthoekig trapezium
Gelijkbenig trapezium
zijden [AB], [BC], [CD], [DA]
overstaande zijden [AB] en [CD],[BC] en [DA]
hoekpunten A, B, C, D
hoeken ——A , ——B , ——C , ——D
overstaande hoeken ——A en ——C——B en ——D
diagonalen [AC] en [BD]
A B
C
D
Een trapezium is eenvierhoek met minstenséén paar evenwijdigezijden.
P
S
Q
R
F G
HI
VIERHOEKEN 11.1 BENAMINGEN EN DEFINITIES
196
Benamingen :
Opmerking: Enkel een gelijkbenig trapezium heeft één symmetrieas, namelijkde middelloodlijn van de evenwijdige zijden.
11.3 PARALLELLOGRAM
11.3.1 EIGENSCHAPPEN VAN ZIJDEN EN HOEKEN INEEN PARALLELLOGRAM
A. Zijdenkenmerk
Op verkenning
a) Gebruik het applet om de lengte van de overstaande zijden in eenparallellogram ABCD te bepalen.
Evenwijdige zijden [FG] en [HI]
opstaande zijden [FI] en [GH],
F G
HI
De figuur kwam totstand door op elkeopeenvolgende zijdetelkens dezelfde afstandaf te passen.Zo vinden we een nieuwparallellogram. Herhaaldeze werkwijze op hetnieuw ontstaneparallellogram, en weverkrijgen de figuur.
Zijdenkenmerkparallellogram-1.
VIERHOEKEN11.2 TRAPEZIUM
197
b) Welke kleur hebben de paren overstaande zijden op de figuur?
We stellen vast dat de overstaande zijden even lang zijn.
We bewijzen deze eigenschap:
EIGENSCHAP
In een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang.
Gegeven: parallellogram ABCD
Te bewijzen: �AB � = �DC � en �AD � = �BC �
A B3 cm
3 cm
2,2 cm 2,2 cm
CD
A B
CD
1
12
2
BEWIJS
We tekenen de diagonaal [AC]
�ABC � �CDA
H ——A 1 = ——C 1 verwisselende binnenhoeken met AB // DC //tAC
omdat Z �AC � = �AC � gemeenschappelijke zijde
H ——C 2 = ——A 2 verwisselende binnenhoeken met AD // BC //tAC
In congruente driehoeken zijn de overeenkomstigezijden even langDus: �AB � = �DC � en �BC � = �AD �
⎧⎪⎨⎪⎩
VIERHOEKEN 11.3 PARALLELLOGRAM
198
Op verkenning
Kunnen we deze eigenschap ook omkeren? Gebruik het applet.Als we een vierhoek tekenen of in K’nex maken met even lange overstaandezijden, is deze vierhoek dan een parallellogram?Probeer uit in het werkschrift.
De omgekeerde eigenschap in verband met de zijden is eveneensgeldig:
EIGENSCHAP
Als in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn, dan isdeze vierhoek een parallellogram.
We bewijzen deze eigenschap:
Gegeven: vierhoek ABCD�AB � = �CD � en �AD � = �BC �
Te bewijzen: vierhoek ABCD is eenparallellogram.
De eigenschap en haar omgekeerde vatten we samen in het zijdenkenmerkvan een parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram.(
De overstaande zijden zijn even lang.
Zijdenkenmerkparallellogram-2.
A B
CD
1
12
2
BEWIJS
We tekenen de diagonaal [AC]
�ABC � �CDA
Z �AB � = �CD � gegeven
omdat Z �AC � = �AC � gemeenschappelijke zijde
Z �BC � = �AD � gegeven
In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige hoeken even groot.——A 1 = ——C 1 en ——C 2 = ——A 2
⇓ Als 2 verwisselende binnenhoeken gevormd door 2 rechtenen een snijlijn even groot zijn, dan zijn de rechten evenwijdig.
AB // DC en AD // BC
⇓ definitie parallellogram
ABCD is een parallellogram
⎧⎪⎨⎪⎩
VIERHOEKEN11.3 PARALLELLOGRAM
199
B. Hoekenkenmerk
Op verkenning
Welke kleur hebben de paren overstaande hoeken op de K’nex figuur?Meet de grootte van de overstaande hoeken in een parallellogram ABCD.We stellen vast dat de overstaande hoeken even groot zijn.
EIGENSCHAP
In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot.
Gegeven: parallellogram ABCD
Te bewijzen: ——A = ——C en ——B = ——D
Op dezelfde wijze kunnen we aantonen dat ——A = ——C maar dan tekenen we dediagonaal [BD].
A B
CD
53°
53°
127°
127°
Gebruik het applet omvaststellingen te doen inverband met de groottevan de overstaandehoeken.‘Hoekenkenmerkparallellogram-1’.
A B
CD
1
12
2
BEWIJS
We tekenen de diagonaal [AC]
�ABC � �CDA
H ——A 1 = ——C 1 verwisselende binnenhoeken met AB // DC //tAC
omdat Z �AC � = �AC � gemeenschappelijke zijde
H ——C 2 = ——A 2 verwisselende binnenhoeken met AD // BC //tAC
In congruente driehoeken zijn de overeenkomstigehoeken even groot.Dus: ——B = ——D
⎧⎪⎨⎪⎩
VIERHOEKEN 11.3 PARALLELLOGRAM
200
De omgekeerde eigenschap in verband met de hoeken is ook geldig:
EIGENSCHAP
Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is dezevierhoek een parallellogram.
We bewijzen nu deze eigenschap:
Gegeven: vierhoek ABCD——A = ——C en ——B = ——D
Te bewijzen: vierhoek ABCD is eenparallellogram
Gebruik het applet om teonderzoeken welk soortvierhoek er ontstaat alswe een vierhoek tekenenmet overstaande hoekendie even groot zijn.‘Hoekenkenmerkparallellogram-2’.
A B
CD
BEWIJS
——A + ——B + ——C + ——D = 360° som van de hoeken in een vierhoek
⇓ ——A = ——C en ——B = ——D
——A + ——B + ——A + ——B = 360°
⇓
2 · (——A + ——B ) = 360°
⇓
——A + ——B = 180°
⇓als binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn gevormd door 2 rechten en
een snijlijn supplementair zijn, dan zijn de rechten evenwijdig
AD // BC (1)
op dezelfde wijze kunnen we bewijzen dat ——A en ——D supplementair zijn dus is AB //DC (2)uit (1) en (2) volgt:
AB // DC en AD // BC
⇓ definitie parallellogram
ABCD is een parallellogram
VIERHOEKEN11.3 PARALLELLOGRAM
201
De eigenschap en haar omgekeerde vatten we samen in het hoekenkenmerkvan een parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram.(
De overstaande hoeken zijn even groot.
11.3.2 DIAGONALEN IN EEN PARALLELLOGRAM
Op verkenning
Teken een parallellogram metdaarin de diagonalen.We stellen vast dat de diagonalenelkaar doormidden snijden.
EIGENSCHAP
In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar doormidden.
We bewijzen nu deze eigenschap:
Gegeven: parallellogram ABCD
Te bewijzen: �AM � = �MC ��BM � = �MD �
Gebruik het applet om teonderzoeken of dediagonalen in een paral-lellogram elkaar door-midden snijden.‘Diagonalenkenmerkparallellogram’.
1
11
1
A B
M
CD
BEWIJS
�ABM � �CDM
H ——A 1 = ——C 1 verwisselende binnenhoeken met AB // DC //tAC
omdat Z �AB � = �CD � zijdenkenmerk parallellogram
H ——B 1 = ——D 1 verwisselende binnenhoeken met AB // DC //tBD
In congruente driehoeken zijn de overeenkomstigezijden even langDus: �AM � = �MC � en �BM � = �MD �
⎧⎪⎨⎪⎩
VIERHOEKEN 11.3 PARALLELLOGRAM
202
De omgekeerde eigenschap in verband met de diagonalen is eveneens geldig:
EIGENSCHAP
Als in een vierhoek de diagonalen elkaar doormidden delen, dan is dezevierhoek een parallellogram.
We bewijzen nu deze eigenschap
Gegeven: vierhoek ABCD�AM� = �MC� en�BM� = �MD�
Te bewijzen: vierhoek ABCD iseen parallellogram
De eigenschap en haar omgekeerde vatten we samen in het diagonalen-kenmerk van een parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram(
De diagonalen snijden elkaar middendoor
A
1
3
24
B
M
CD
BEWIJS
�ABM � �CDM: �ADM � �BCM:
Z �AM � = �MC � gegeven Z �AM � = �MC � gegeven
omdat H ——M1 = ——M 3 overstaande hoeken omdat H ——M4 = ——M 2 overstaande hoeken
Z �BM � = �MD � gegeven Z �DM � = �BM � gegeven
⇓ In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige ⇓zijden even lang
�AB� = �DC � �AD� = �BC �
⇓ als in een vierhoek de overstaande zijden even
lang zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram
ABCD is een parallellogram.
⎫⎪⎬⎪⎭
⎧⎪⎨⎪⎩
⎧⎪⎨⎪⎩-
--
--
--
--
--
--
VIERHOEKEN11.3 PARALLELLOGRAM
203
11.3.3 SYMMETRIEMIDDELPUNT VAN EENPARALLELLOGRAM
DEFINITIE
Het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram is hetsymmetriemiddelpunt van het parallellogram.
Verklaring: vermits de diagonalen elkaar middendoor snijdenis het snijpunt het centrum van de puntspiegelingdie het parallellogram op zichzelf afbeeldt.
11.4 RECHTHOEK
11.4.1 EIGENSCHAPPEN VAN ZIJDEN EN HOEKEN INEEN RECHTHOEK
In een rechthoek zijn de overstaande hoeken even groot.
Door het hoekenkenmerk van een parallellogram kunnen we besluiten dat eenrechthoek een parallellogram is.Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram gelden dus ook vooreen rechthoek:• in een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig;• in een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang;• in een rechthoek snijden de diagonalen elkaar doormidden;• in een rechthoek is het snijpunt van de diagonalen het
symmetriemiddelpunt.
A E B
M
CD F
sM (A) = C ; sM (B) = D
sM (C) = A ; sM (D) = B
sM (E) = F ; sM (F) = E
Een rechthoek is eenvierhoek met vier rechtehoeken.
VIERHOEKEN 11.3 PARALLELLOGRAM
204
11.4.2 EIGENSCHAPPEN VAN DE DIAGONALEN IN EENRECHTHOEK
We meten de lengte van de diagonalen in een rechthoek.We stellen vast dat de diagonalen even lang zijn.
We formuleren en bewijzen nu deze eigenschap:
EIGENSCHAP
In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.
Gegeven: rechthoek ABCD[AC] en [BD] zijn de diagonalen
Te bewijzen: �AC � = �BD �
A
D C
B
4,1 cm
4,1 cm
A
D C
B
A
D C D C
B
BEWIJS
�ADC � �BCD
Z �DC � = �CD � gemeenschappelijke zijde
omdat H ——D = ——C rechte hoeken in een rechthoek
Z �AD � = �BC � in een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang
In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even langDus: �AC � = �BD �
⎧⎪⎨⎪⎩
VIERHOEKEN11.4 RECHTHOEK
205
11.4.3 SYMMETRIEASSEN VAN EEN RECHTHOEK
We spiegelen rechthoek ABCD om de rechte n.Dan valt het beeld van deze rechthoek samenmet de oorspronkelijke rechthoek.
We spiegelen rechthoek ABCD om de rechte m.Dan valt het beeld van deze rechthoek samenmet de oorspronkelijke rechthoek.
BESLUIT
De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn desymmetrieassen van een rechthoek.
11.5 RUIT
11.5.1 EIGENSCHAPPEN
Uit de definitie van een ruit volgt dat de overstaande zijden even lang zijn.Door het zijdenkenmerk van een parallellogram kunnen we besluiten dat eenruit een parallellogram is.Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram gelden dus ook vooreen ruit:• in een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig;• in een ruit zijn de overstaande hoeken even groot;• in een ruit snijden de diagonalen elkaar doormidden;• in een ruit is het snijpunt van de diagonalen het symmetriemiddelpunt.
11.5.2 EIGENSCHAPPEN VAN DE DIAGONALEN VANEEN RUIT
We meten de grootte van de hoektussen de diagonalen in een ruit.We stellen vast dat er vier hoekenzijn van 90° of de diagonalenstaan loodrecht op elkaar.
An
m
D C
B
Een ruit is een vierhoekmet vier even langezijden.
A
D
C
B
90°
VIERHOEKEN 11.4 RECHTHOEK
206
We formuleren en bewijzen nu deze eigenschap:
EIGENSCHAP
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
Gegeven: ABCD is een ruit[AC] en [BD] zijn de diagonalen.
Te bewijzen: AC ⊥ BD
11.5.3 SYMMETRIEASSEN VAN EEN RUIT
We spiegelen ruit ABCD omde rechte AC. Dan valt het beeldvan deze ruit samen met deoorspronkelijke ruit.
We spiegelen ruit ABCD omde rechte BD. Dan valt het beeldvan deze ruit samen met deoorspronkelijke ruit.
BESLUIT
De dragers van de diagonalen zijn de symmetrieassen van een ruit.
A
D
C
B
BEWIJS
�AD � = �AB � definitie ruit �CD � = �CB � definitie ruit
⇓ middelloodlijnkenmerk ⇓ middelloodlijnkenmerk
A ligt op de middelloodlijn van [BD] C ligt op de middelloodlijn van [BD]
⇓
AC is de middelloodlijn van [BD]
⇓ definitie middelloodlijn
AC ⊥ BD
⎫⎪⎬⎪⎭A
D
C
B
VIERHOEKEN11.5 RUIT
207
11.6 VIERKANT
Uit de definitie van een vierkant volgt dat elk vierkant zowel een ruit als eenrechthoek is.Vermits elke rechthoek en elke ruit ook parallellogrammen zijn, volgt dat elkvierkant een parallellogram is.
Alle eigenschappen van parallellogrammen, rechthoeken en ruiten zijn voorvierkanten geldig:• in een vierkant zijn de overstaande zijden
evenwijdig;• in een vierkant snijden de diagonalen elkaar
doormidden;• in een vierkant zijn de diagonalen even lang;• in een vierkant staan de diagonalen loodrecht
op elkaar;• in een vierkant is het snijpunt van de
diagonalen een symmetriemiddelpunt;• in een vierkant zijn er vier symmetrieassen: de
middelloodlijnen van de zijden en de dragersvan de diagonalen.
Een vierkant is eenvierhoek met vier rechtehoeken en vier evenlange zijden.
VIERHOEKEN 11.6 VIERKANT
208
PARALLELLOGRAM
Zijdenkenmerk vaneen parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram(
De overstaande zijden zijn even lang.
Hoekenkenmerk vaneen parallellogram
Een vierhoek is een parallellogram(
De overstaande hoeken zijn even groot.
Diagonalen kenmerkvan een parallello-gram
Een vierhoek is een parallellogram(
De diagonalen snijden elkaar middendoor.
RECHTHOEK
Eigenschappen In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig.In een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang.In een rechthoek snijden de diagonalen elkaar doormidden.In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.
Symmetrieassen De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn desymmetrieassen van een rechthoek.
RUIT
Eigenschappen In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig.In een ruit zijn de overstaande hoeken even groot.In een ruit snijden de diagonalen elkaar doormidden.In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
Symmetrieassen De dragers van de diagonalen zijn de symmetrieassen van een ruit.
VIERKANT
Eigenschappen In een vierkant zijn de overstaande zijden evenwijdig.In een vierkant snijden de diagonalen elkaar doormidden.In een vierkant zijn de diagonalen even lang.In een vierkant staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
Symmetrieassen De dragers van de diagonalen en de middelloodlijnen van de zijden zijnde symmetrieassen van een vierkant.
SYMMETRIE-MIDDELPUNT
Het snijpunt van de diagonalen is het symmetriemiddelpunt van eenparallellogram, een rechthoek, een ruit en een vierkant.
VIERHOEKENSAMENVATTING
209
VIERHOEKEN SAMENVATTING
210
Top Related