Ch11pienter 2aso Lb Druk-11

11VIERHOEKEN

11.1 BENAMINGEN EN DEFINITIES

11.1.1 HERHALING

Welke vierhoeken herkennen we op de volgende foto’s?Gebruik de cd-rom van het eerste jaar om de definities van devierhoeken op te zoeken.

195

11.1.2 BENAMINGEN

11.2 TRAPEZIUM

Twee trapezia krijgen een bijzondere benaming omdat ze naast één paarevenwijdige zijden nog extra regelmaat vertonen.

Rechthoekig trapezium

Gelijkbenig trapezium

zijden [AB], [BC], [CD], [DA]

overstaande zijden [AB] en [CD],[BC] en [DA]

hoekpunten A, B, C, D

hoeken ——A , ——B , ——C , ——D

overstaande hoeken ——A en ——C——B en ——D

diagonalen [AC] en [BD]

A B

C

D

Een trapezium is eenvierhoek met minstenséén paar evenwijdigezijden.

P

S

Q

R

F G

HI

VIERHOEKEN 11.1 BENAMINGEN EN DEFINITIES

196

Benamingen :

Opmerking: Enkel een gelijkbenig trapezium heeft één symmetrieas, namelijkde middelloodlijn van de evenwijdige zijden.

11.3 PARALLELLOGRAM

11.3.1 EIGENSCHAPPEN VAN ZIJDEN EN HOEKEN INEEN PARALLELLOGRAM

A. Zijdenkenmerk

Op verkenning

a) Gebruik het applet om de lengte van de overstaande zijden in eenparallellogram ABCD te bepalen.

Evenwijdige zijden [FG] en [HI]

opstaande zijden [FI] en [GH],

F G

HI

De figuur kwam totstand door op elkeopeenvolgende zijdetelkens dezelfde afstandaf te passen.Zo vinden we een nieuwparallellogram. Herhaaldeze werkwijze op hetnieuw ontstaneparallellogram, en weverkrijgen de figuur.

Zijdenkenmerkparallellogram-1.

VIERHOEKEN11.2 TRAPEZIUM

197

b) Welke kleur hebben de paren overstaande zijden op de figuur?

We stellen vast dat de overstaande zijden even lang zijn.

We bewijzen deze eigenschap:

EIGENSCHAP

In een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang.

Gegeven: parallellogram ABCD

Te bewijzen: �AB � = �DC � en �AD � = �BC �

A B3 cm

3 cm

2,2 cm 2,2 cm

CD

A B

CD

1

12

2

BEWIJS

We tekenen de diagonaal [AC]

�ABC � �CDA

H ——A 1 = ——C 1 verwisselende binnenhoeken met AB // DC //tAC

omdat Z �AC � = �AC � gemeenschappelijke zijde

H ——C 2 = ——A 2 verwisselende binnenhoeken met AD // BC //tAC

In congruente driehoeken zijn de overeenkomstigezijden even langDus: �AB � = �DC � en �BC � = �AD �

⎧⎪⎨⎪⎩

VIERHOEKEN 11.3 PARALLELLOGRAM

198

Op verkenning

Kunnen we deze eigenschap ook omkeren? Gebruik het applet.Als we een vierhoek tekenen of in K’nex maken met even lange overstaandezijden, is deze vierhoek dan een parallellogram?Probeer uit in het werkschrift.

De omgekeerde eigenschap in verband met de zijden is eveneensgeldig:

EIGENSCHAP

Als in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn, dan isdeze vierhoek een parallellogram.

We bewijzen deze eigenschap:

Gegeven: vierhoek ABCD�AB � = �CD � en �AD � = �BC �

Te bewijzen: vierhoek ABCD is eenparallellogram.

De eigenschap en haar omgekeerde vatten we samen in het zijdenkenmerkvan een parallellogram

Een vierhoek is een parallellogram.(

De overstaande zijden zijn even lang.

Zijdenkenmerkparallellogram-2.

A B

CD

1

12

2

BEWIJS


�ABC � �CDA

Z �AB � = �CD � gegeven


Z �BC � = �AD � gegeven

In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige hoeken even groot.——A 1 = ——C 1 en ——C 2 = ——A 2

⇓ Als 2 verwisselende binnenhoeken gevormd door 2 rechtenen een snijlijn even groot zijn, dan zijn de rechten evenwijdig.

AB // DC en AD // BC

⇓ definitie parallellogram

ABCD is een parallellogram

⎧⎪⎨⎪⎩

VIERHOEKEN11.3 PARALLELLOGRAM

199

B. Hoekenkenmerk

Op verkenning

Welke kleur hebben de paren overstaande hoeken op de K’nex figuur?Meet de grootte van de overstaande hoeken in een parallellogram ABCD.We stellen vast dat de overstaande hoeken even groot zijn.

EIGENSCHAP

In een parallellogram zijn de overstaande hoeken even groot.


Te bewijzen: ——A = ——C en ——B = ——D

Op dezelfde wijze kunnen we aantonen dat ——A = ——C maar dan tekenen we dediagonaal [BD].

A B

CD

53°

53°

127°

127°

Gebruik het applet omvaststellingen te doen inverband met de groottevan de overstaandehoeken.‘Hoekenkenmerkparallellogram-1’.

A B

CD

1

12

2

BEWIJS


�ABC � �CDA



H ——C 2 = ——A 2 verwisselende binnenhoeken met AD // BC //tAC

In congruente driehoeken zijn de overeenkomstigehoeken even groot.Dus: ——B = ——D

⎧⎪⎨⎪⎩


200

De omgekeerde eigenschap in verband met de hoeken is ook geldig:

EIGENSCHAP

Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is dezevierhoek een parallellogram.

We bewijzen nu deze eigenschap:

Gegeven: vierhoek ABCD——A = ——C en ——B = ——D

Te bewijzen: vierhoek ABCD is eenparallellogram

Gebruik het applet om teonderzoeken welk soortvierhoek er ontstaat alswe een vierhoek tekenenmet overstaande hoekendie even groot zijn.‘Hoekenkenmerkparallellogram-2’.

A B

CD

BEWIJS

——A + ——B + ——C + ——D = 360° som van de hoeken in een vierhoek

⇓ ——A = ——C en ——B = ——D

——A + ——B + ——A + ——B = 360°

⇓

2 · (——A + ——B ) = 360°

⇓

——A + ——B = 180°

⇓als binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn gevormd door 2 rechten en

een snijlijn supplementair zijn, dan zijn de rechten evenwijdig

AD // BC (1)

op dezelfde wijze kunnen we bewijzen dat ——A en ——D supplementair zijn dus is AB //DC (2)uit (1) en (2) volgt:

AB // DC en AD // BC

⇓ definitie parallellogram

ABCD is een parallellogram


201

De eigenschap en haar omgekeerde vatten we samen in het hoekenkenmerkvan een parallellogram

Een vierhoek is een parallellogram.(

De overstaande hoeken zijn even groot.

11.3.2 DIAGONALEN IN EEN PARALLELLOGRAM

Op verkenning

Teken een parallellogram metdaarin de diagonalen.We stellen vast dat de diagonalenelkaar doormidden snijden.

EIGENSCHAP

In een parallellogram snijden de diagonalen elkaar doormidden.

We bewijzen nu deze eigenschap:


Te bewijzen: �AM � = �MC ��BM � = �MD �

Gebruik het applet om teonderzoeken of dediagonalen in een paral-lellogram elkaar door-midden snijden.‘Diagonalenkenmerkparallellogram’.

1

11

1

A B

M

CD

BEWIJS

�ABM � �CDM


omdat Z �AB � = �CD � zijdenkenmerk parallellogram

H ——B 1 = ——D 1 verwisselende binnenhoeken met AB // DC //tBD

In congruente driehoeken zijn de overeenkomstigezijden even langDus: �AM � = �MC � en �BM � = �MD �

⎧⎪⎨⎪⎩


202

De omgekeerde eigenschap in verband met de diagonalen is eveneens geldig:

EIGENSCHAP

Als in een vierhoek de diagonalen elkaar doormidden delen, dan is dezevierhoek een parallellogram.

We bewijzen nu deze eigenschap

Gegeven: vierhoek ABCD�AM� = �MC� en�BM� = �MD�

Te bewijzen: vierhoek ABCD iseen parallellogram

De eigenschap en haar omgekeerde vatten we samen in het diagonalen-kenmerk van een parallellogram

Een vierhoek is een parallellogram(

De diagonalen snijden elkaar middendoor

A

1

3

24

B

M

CD

BEWIJS

�ABM � �CDM: �ADM � �BCM:

Z �AM � = �MC � gegeven Z �AM � = �MC � gegeven

omdat H ——M1 = ——M 3 overstaande hoeken omdat H ——M4 = ——M 2 overstaande hoeken

Z �BM � = �MD � gegeven Z �DM � = �BM � gegeven

⇓ In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige ⇓zijden even lang

�AB� = �DC � �AD� = �BC �

⇓ als in een vierhoek de overstaande zijden even

lang zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram

ABCD is een parallellogram.

⎫⎪⎬⎪⎭

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎪⎨⎪⎩-

--

--

--

--

--

--


203

11.3.3 SYMMETRIEMIDDELPUNT VAN EENPARALLELLOGRAM

DEFINITIE

Het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram is hetsymmetriemiddelpunt van het parallellogram.

Verklaring: vermits de diagonalen elkaar middendoor snijdenis het snijpunt het centrum van de puntspiegelingdie het parallellogram op zichzelf afbeeldt.

11.4 RECHTHOEK

11.4.1 EIGENSCHAPPEN VAN ZIJDEN EN HOEKEN INEEN RECHTHOEK

In een rechthoek zijn de overstaande hoeken even groot.

Door het hoekenkenmerk van een parallellogram kunnen we besluiten dat eenrechthoek een parallellogram is.Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram gelden dus ook vooreen rechthoek:• in een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig;• in een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang;• in een rechthoek snijden de diagonalen elkaar doormidden;• in een rechthoek is het snijpunt van de diagonalen het

symmetriemiddelpunt.

A E B

M

CD F

sM (A) = C ; sM (B) = D

sM (C) = A ; sM (D) = B

sM (E) = F ; sM (F) = E

Een rechthoek is eenvierhoek met vier rechtehoeken.


204

11.4.2 EIGENSCHAPPEN VAN DE DIAGONALEN IN EENRECHTHOEK

We meten de lengte van de diagonalen in een rechthoek.We stellen vast dat de diagonalen even lang zijn.

We formuleren en bewijzen nu deze eigenschap:

EIGENSCHAP

In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.

Gegeven: rechthoek ABCD[AC] en [BD] zijn de diagonalen

Te bewijzen: �AC � = �BD �

A

D C

B

4,1 cm

4,1 cm

A

D C

B

A

D C D C

B

BEWIJS

�ADC � �BCD

Z �DC � = �CD � gemeenschappelijke zijde

omdat H ——D = ——C rechte hoeken in een rechthoek

Z �AD � = �BC � in een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang

In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even langDus: �AC � = �BD �

⎧⎪⎨⎪⎩

VIERHOEKEN11.4 RECHTHOEK

205

11.4.3 SYMMETRIEASSEN VAN EEN RECHTHOEK

We spiegelen rechthoek ABCD om de rechte n.Dan valt het beeld van deze rechthoek samenmet de oorspronkelijke rechthoek.

We spiegelen rechthoek ABCD om de rechte m.Dan valt het beeld van deze rechthoek samenmet de oorspronkelijke rechthoek.

BESLUIT

De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn desymmetrieassen van een rechthoek.

11.5 RUIT

11.5.1 EIGENSCHAPPEN

Uit de definitie van een ruit volgt dat de overstaande zijden even lang zijn.Door het zijdenkenmerk van een parallellogram kunnen we besluiten dat eenruit een parallellogram is.Alle eigenschappen die gelden voor een parallellogram gelden dus ook vooreen ruit:• in een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig;• in een ruit zijn de overstaande hoeken even groot;• in een ruit snijden de diagonalen elkaar doormidden;• in een ruit is het snijpunt van de diagonalen het symmetriemiddelpunt.

11.5.2 EIGENSCHAPPEN VAN DE DIAGONALEN VANEEN RUIT

We meten de grootte van de hoektussen de diagonalen in een ruit.We stellen vast dat er vier hoekenzijn van 90° of de diagonalenstaan loodrecht op elkaar.

An

m

D C

B

Een ruit is een vierhoekmet vier even langezijden.

A

D

C

B

90°

VIERHOEKEN 11.4 RECHTHOEK

206

We formuleren en bewijzen nu deze eigenschap:

EIGENSCHAP

In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

Gegeven: ABCD is een ruit[AC] en [BD] zijn de diagonalen.

Te bewijzen: AC ⊥ BD

11.5.3 SYMMETRIEASSEN VAN EEN RUIT

We spiegelen ruit ABCD omde rechte AC. Dan valt het beeldvan deze ruit samen met deoorspronkelijke ruit.

We spiegelen ruit ABCD omde rechte BD. Dan valt het beeldvan deze ruit samen met deoorspronkelijke ruit.

BESLUIT

De dragers van de diagonalen zijn de symmetrieassen van een ruit.

A

D

C

B

BEWIJS

�AD � = �AB � definitie ruit �CD � = �CB � definitie ruit

⇓ middelloodlijnkenmerk ⇓ middelloodlijnkenmerk

A ligt op de middelloodlijn van [BD] C ligt op de middelloodlijn van [BD]

⇓

AC is de middelloodlijn van [BD]

⇓ definitie middelloodlijn

AC ⊥ BD

⎫⎪⎬⎪⎭A

D

C

B

VIERHOEKEN11.5 RUIT

207

11.6 VIERKANT

Uit de definitie van een vierkant volgt dat elk vierkant zowel een ruit als eenrechthoek is.Vermits elke rechthoek en elke ruit ook parallellogrammen zijn, volgt dat elkvierkant een parallellogram is.

Alle eigenschappen van parallellogrammen, rechthoeken en ruiten zijn voorvierkanten geldig:• in een vierkant zijn de overstaande zijden

evenwijdig;• in een vierkant snijden de diagonalen elkaar

doormidden;• in een vierkant zijn de diagonalen even lang;• in een vierkant staan de diagonalen loodrecht

op elkaar;• in een vierkant is het snijpunt van de

diagonalen een symmetriemiddelpunt;• in een vierkant zijn er vier symmetrieassen: de

middelloodlijnen van de zijden en de dragersvan de diagonalen.

Een vierkant is eenvierhoek met vier rechtehoeken en vier evenlange zijden.

VIERHOEKEN 11.6 VIERKANT

208

PARALLELLOGRAM

Zijdenkenmerk vaneen parallellogram


De overstaande zijden zijn even lang.

Hoekenkenmerk vaneen parallellogram


De overstaande hoeken zijn even groot.

Diagonalen kenmerkvan een parallello-gram


De diagonalen snijden elkaar middendoor.

RECHTHOEK

Eigenschappen In een rechthoek zijn de overstaande zijden evenwijdig.In een rechthoek zijn de overstaande zijden even lang.In een rechthoek snijden de diagonalen elkaar doormidden.In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.

Symmetrieassen De middelloodlijnen van de zijden van een rechthoek zijn desymmetrieassen van een rechthoek.

RUIT

Eigenschappen In een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig.In een ruit zijn de overstaande hoeken even groot.In een ruit snijden de diagonalen elkaar doormidden.In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

Symmetrieassen De dragers van de diagonalen zijn de symmetrieassen van een ruit.

VIERKANT

Eigenschappen In een vierkant zijn de overstaande zijden evenwijdig.In een vierkant snijden de diagonalen elkaar doormidden.In een vierkant zijn de diagonalen even lang.In een vierkant staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

Symmetrieassen De dragers van de diagonalen en de middelloodlijnen van de zijden zijnde symmetrieassen van een vierkant.

SYMMETRIE-MIDDELPUNT

Het snijpunt van de diagonalen is het symmetriemiddelpunt van eenparallellogram, een rechthoek, een ruit en een vierkant.

VIERHOEKENSAMENVATTING

209

VIERHOEKEN SAMENVATTING

210

Ch11pienter 2aso Lb Druk-11

Documents

Transcript of Ch11pienter 2aso Lb Druk-11