De denkontwikkeling in de klassen 9, 10, 11 en

12

Jan Steenbruggen

Zeist 2016

1

Negende klas

In de 9e klas, maar vaak eerder, breekt de puberteit in alle hevigheid los. De eigen

voorkeuren en de eigen afkeuringen treden duidelijk op, veel leerlingen worden eigenwijs

en eigenzinnig, kortom iets eigens van de persoonlijkheid komt tevoors hijn. Er is e hter

nog heel veel onzekerheid om de nieuwe eigens happen in balans te houden. Er gaat nog

veel invloed of ma ht uit van de "groep". Oordelen vanuit de naaste omgeving spelen nog

een belangrijke rol.

De mogelijkheid, om e ht de eigen positie en de eigen oordelen te gaan bepalen en zo inner-

lijke vrijheid te verkrijgen, is e hter aanwezig. Het denken speelt hier een belangrijke rol.

Het is nu minder sterk aan de waarneming gebonden dan in de basiss hool en de klassen 7

en 8, abstra ter denken wordt mogelijk. Een getal hoeft niet langer 3 of 11 te zijn, het kan

door x voorgesteld worden en pas later een inhoud krijgen. Dit abstra tere denken geeft

de mogelijkheid om (nieuwe) verbanden te gaan ontdekken en zo �langzaamaan� voor de

vers hillende gebieden van het leven tot eigen oordelen te komen. In de 9e klas biedt de

wiskunde leerstof mogelijkheden om het ombinerende of waarnemende denken te oefenen.

Twee periodes zijn daarvoor : Combinatoriek en Cirkelmeetkunde.

Uit de eerste periode een voorbeeld ter toeli hting. Vraag aan een klas van 25 leerlingen in

een lokaal met 25 stoelen en banken : �Op hoeveel vers hillende manieren kunnen jullie in de

klas plaatsnemen ?� Stilte. Na de aanmoediging �Je mag gokken� komen er antwoorden :�25,nee 25× 25, 1000�,of, maar dan als grap bedoeld, �een miljoen !�. Geen goede antwoorden.

Uitproberen lijkt de enig mogelijkheid om het antwoord te vinden. Om de haos voor te zijn

wordt als tip gegeven: �maak het probleem kleiner, probeer het eens met 4 leerlingen en 4

stoelen�. Is het nu mogelijk een bepaalde stru tuur of regelmaat te ontdekken? Het geren om

4 stoelen geeft nog geen houvast. Een volgende stap in het abstra tie- of losmakingspro es

is om het nu eens met 4 letters ABCD te proberen. Op hoeveel manieren kunnen die

gerangs hikt worden? Om het overzi ht te houden moet je netjes en systematis h werken,

b.v. door zolang mogelijk A op de eerste plaats te houden :

ABCD,ABDC,ACDB,ACBD,ADBC,ADCB

Omdat ook B of C of D vooraan kunnen, is het totaal aantal mogelijkheden : 4× 6 = 24 .

Als er nu een 5e letter, E, bijkomt, wat zijn dan de mogelijkheden? Als E vooraan staat,

zijn er nog 24 mogelijkheden voor ABCD. Net uitgerekend! Omdat ook A of B of C of D

vooraan kunnen staan, is het totaal aantal mogelijkheden nu : 5× 24 = 120

Nu wordt de stru tuur duidelijk : met een 6e letter erbij wordt het aantal 6× zo groot, enz.

Terugkijkend kunnen we nu ook zeggen voor het geval van de 4 stoelen en 4 leerlingen:

Voor de 1e positie zijn er 4 mogelijkheden, voor de 2e positie nu nog 3 mogelijkheden.Tot

nu toe dus : 4 × 3 = 12 mogelijkheden. Voor de 3e positie zijn er nog 2 mogelijkheden en

voor de laatste positie nog 1. Voor 4 stoelen dus : 4× 3× 2× 1 = 24 mogelijkheden.

Het antwoord op de aanvankelijk gestelde vraag luidt dus :

25× 24× 23× 22× .....× 4× 3× 2× 1

Omdat alleen al dit ops hrijven veel plaats inneemt, gebruiken we er de kortere, maar

abstra tere notatie voor : 25! (25 fa ulteit). Dit e ht uit te rekenen blijkt nu nog een

geweldige opgave, veel te groot voor het (hand)rekenma hientje. Persoonlijk vind ik, dat

je, als je deze vraag aan je leerlingen stelt,zelf het antwoord moet weten. Ik vond :

25! = 15.511.210.043.330.985.984.000.000

Dit hele pro es kan in het volgende s hema worden samengevat :

proberen− regelmaat ontdekken− vaste vorm(formule) vinden

Vertrouwen in het eigen denken kan en moet ontwikkeld worden. Dit gebeurt in de 9e klasnog aan de hand van berekenbare of telbare pro essen zoals in de Combinatoriek. In de

10e, 11e en 12e klas wordt het denken ges hoold aan oneindige pro essen.

3

Tiende klas

In de 10e klas gaat de ontwikkeling van het abstra te denken verder. Nieuw element van

waaruit gewerkt kan worden is het gevoel. Ik beweer niet, dat het gevoelsleven van de 10e

al positief in het so iale werkt. Sterker nog: dat kan m.i. nog niet. Wel kan de leerstof er

toe bijdragen, dat het gevoel verder ontwikkeld wordt. Op gevoel voor harmonie en ritme

kan het denken verder bouwen. Een 9e klasser ontwikkelt zijn denken vooral nog aan de

feitelijkheid tot een waarnemend denken. In de 10e klas wordt het voelend denken geoefend,

b.v. in de periode Rijen, Ma hten & Logaritmen en in de periode Goniometrie . Met een

voorbeeld uit de eerstgenoemde wil ik dit toeli hten.

Een eerste rij getallen wordt opges hreven : 3, 7, 11, 15, . . . Wat is de regelmaat? Er is

een onstant vers hil tussen twee opeenvolgende getallen (termen).

Een tweede rij met de zelfde vraag. 3, 6, 12, 24 . . .. Ook hier is de on lusie snel duidelijk,

hoewel de juiste bewoording moeite kost: er is een onstante verhouding(reden) tussen twee

opeenvolgende termen

6

3= 12

6= 24

12= ..... = 2. Een bijzonder geval van de tweede rij is de

rij bestaande uit de ma hten van 2

2, 4, 8, 16, 32, . . . of anders ges hreven : 21, 22, 23, 24, 25, . . .

De ma hten zijn on reet(feitelijk) voor te stellen. Zo is 23 gelijk aan 2× 2× 2. De eersterij kan ook naar links voortgezet worden door steeds door 2 te delen :

. . .1

16,1

8,1

4,1

2, 1, 2

Op de vraag of ook de re hter rij naar links voortgezet kan worden, komt na enig nadenken,

het antwoord van de leerlingen zelf :

. . . 2−4, 2−3, 2−2, 2−1, 20, 21

Het is niet meer on reet voor te stellen, wat nu wel 2 tot de min derde voorstelt. Vanuit

een gevoel voor harmonie kan ervaren worden, dat het logis h is om af te spreken :

2−3 def=

1

23=

1

8en ook 20

def= 1

Het blijkt, dat de rekenregels voor ma hten geldig blijven ook na deze uitbreiding.

Ook in de goniometrie zijn voorbeelden te vinden waar, vanuit een logis h gevoel, tot

uitbreiding van de�nities en eigens happen gekomen kan worden, die het denken meer

zekerheid geven. In de ges hiedenis van de wiskunde leidde de uitbreiding zoals ges hetst

in het voorbeeld tot de uitvinding van de logaritmen. Hierdoor werd het rekenend vermo-

gen van de mensheid enorm uitgebreid. Als gevolg werd de wereld in de astronomie en

geodesie(landmeetkunde) veel berekenbaarder.

Door het voelende denken te ontwikkelen komt de 10e klasser steviger in de wereld te staan.

Het pro es kan in het volgende s hema worden samengevat ;

regelmaat ontdekken− verruiming van de begrippen− algemene formules opstellen

4

Elfde klas

Uitgaande van het fun tiebegrip,dat tegenwoordig in de 10e wordt behandeld, kan in de

11e b.v. bij de natuurkunde of bij de e onomie met wiskundige modellen gewerkt worden,

waarbij het vers hil tussen model en werkelijkheid benadrukt moet worden.

Het denken kan een volgende stap maken, die ik het willende denken wil noemen. Met een

voorbeeld uit de proje tieve meetkunde wil ik dit toeli hten.

Snijden twee evenwijdige lijnen elkaar ? Nee!

In de ruimte en in het platte vlak geldt een aantal grondeigens happen. B.v. in het vlak

geldt : elk tweetal lijnen heeft één snijpunt.�Hoe zit dat dan bij evenwijdigheid ?� vraagt

een wakkere leerling. �Oh, die snijden elkaar in het oneindige,dat heeft meester ons in de

a htste geleerd� zegt een gezagsgetrouwe leerling. Deze a epteert dus de regel, die ik ge-

di teerd heb, maar de eerste leerling heeft to h verwarring gezaaid. Snijden ze nu wel of

niet? Ik zeg, dat dat afhangt van het standpunt dat je inneemt. Dat is te vaag vinden de

meesten. Nu goed dan: twee evenwijdige lijnen hebben geen reëel snijpunt gemeens hap-

pelijk, ze snijden elkaar dus niet. �Maar waarom di teerde je dan die eigens hap?� In de

wiskunde worden graag algemene regels opgesteld. Lijkt een regel niet te kloppen, dan is

òf de regel onjuist òf een begripsuitbreiding is nodig om die regel te `redden'. Dat laatste

is nodig in het geval van evenwijdige lijnen.

In het algemeen hebben twee lijnen één snijpunt gemeens happelijk. In het bijzondere

geval van evenwijdigheid geldt dat niet. Als ik vraag wat deze lijnen wel gemeens hap-

pelijk hebben, komt � na enig denken en overleg � altijd het antwoord: de ri hting is

gemeens happelijk.

Het begrip ri hting kan symbolis h door een dubbelpijltje←→ worden aangegeven, terwijl

een punt aangegeven wordt met · (in feite is deze stip een grove benadering als we be-

denken dat het punt oneindig klein is, geen afmeting heeft). Kunnen we nu met het begrip

ri hting op de zelfde manier omgaan als met het begrip punt? Een lijn wordt bepaald door

twee punten. Dat is dire t duidelijk. Als sle hts één punt gegeven is van een lijn, dan kan

die lijn nog om dat punt s harnieren. Is e hter nog een ri hting gegeven, dan ligt de lijn

weer vast. De ri hting heeft hier dus de zelfde fun tie als een tweede punt. Elke lijn heeft

één ri hting. �Zijn het er geen twee ?� vraagt iemand. Nee, die ene ri hting kan op twee

tegenovergestelde manieren aangegeven worden. Dat lijkt verwarrend, maar ook een punt

op een lijn kan op twee tegenovergestelde manieren benaderd worden.

Met het begrip ri hting kan nu hetzelfde omgegaan worden als met het begrip punt. In de

wiskunde wordt ri hting dan ook genoemd oneigenlijk of oneindig punt. Met deze uitbrei-

ding kan ook het begrip snijden verruimd worden. Het snijden van twee lijnen betekent

dan: het gemeens happelijke van twee lijnen opzoeken : het gemeens happelijke punt of de

gemeens happelijke ri hting. Door de eenduidige ri hting, die elke lijn heeft, wordt de lijn

in zi hzelf `gesloten'. Om dit te kunnen denken is het verleidelijk om stiekem a hter je rug

een lijntje te trekken, die beide uiteinden met elkaar verbindt. Je krijgt een soort irkel,

die eenvoudiger voor te stellen is. Het vereist een grote denkkra ht, om dat niet te doen en

to h beide uiteinden als één geheel te `zien'.

5

Deze begripsuitbreiding heeft grote veranderingen/nieuwe mogelijkheden tot gevolg. Pro-

je tieve meetkunde geeft de leerlingen de mogelijkheid om te denken los van de zintuiglijke

wereld en te ervaren, dat dan to h houvast mogelijk is.

We kunnen nu op een subtiel gewijzigde vraag een ander antwoord geven:

`Snijden' twee evenwijdige lijnen elkaar? Ja!

Hoe zit het nu met twee evenwijdige vlakken? Die hebben géén snijlijn gemeens happelijk.

Wat wel? Welk bekend begrip kan dat karakteriseren? Stand, een vlak heeft een bepaalde

stand, die niet verandert bij evenwijdige verplaatsing. Een stand wordt door twee vers hil-

lende ri htingen bepaald, zoals een lijn bepaald wordt door 2 vers hillende punten. Met

het begrip stand kunnen we omgaan als met het begrip lijn. We kunnen het noemen een

oneigenlijke of oneindige lijn. Door deze uitbreiding geldt nu algemeen, dat elk tweetal

vlakken een snijlijn heeft. Door een volgende uitbreiding moet nu nog het oneindig verre

vlak ingevoerd worden. Dat is uniek en bevat alle oneindige punten en oneindige lijnen.

Het pro es in de 11e kan als volgt samengevat worden :

verruiming van begrippenveranderingen modelmatig

nieuwe mogelijkheden voorstellingsloos

}

denken

6

Twaalfde klas

In de 12e kan het denken een nieuwe nuan e ontwikkelen, ik noem dat het intentionele

denken, een denken, dat intenties kan a�ezen. Deze vorm van denken heb je nodig om de

di�erentiaal- en integraalrekening te begrijpen.

Bij de re hte lijn is het begrip ri htings oë� iënt gede�niëerd met behulp van het di�er-

entiequotiënt, dat uitgerekend kan worden, als van twee punten op een lijn de oördinaten

gegeven zijn, b.v. A(xA, yA) en B(xB, yB):

∆y

∆x=

yA − yB

xA − xB

Bij een kromme lijn, waarvan de fun tie f(x) gegeven is, kan over (klein) interval de

gemiddelde groei uitgerekend worden m.b.v. het di�erentiequotiënt :

∆y

∆x=

f(x+∆x)− f(x)

∆x

Wat gebeurt er met het di�erentiequotiënt als we het interval steeds kleiner maken? Het

interval redu eert tot het punt (x), wanneer ∆x→ 0 en bij gevolg ook ∆y → 0 .

Het gaat om de verhouding

0

0, wat gebeurt daarmee en wat is er de betekenis van ?

Voor de 12e heb altijd wel ergens tussendoor het delen door 0 behandeld. Hier volgt een

korte samenvatting. Wat betekent delen, b.v. waar kan 8 allemaal door delen ?

8

4= 2 want 2× 4 = 8 en 4 past 2× in de 8

8

2= 4 want 4× 2 = 8 en 2 past 4× in de 8

8

1= 8 want 8× 1 = 8 en 1 past 8× in de 8

81

2

= 16 want 16×1

2= 8 en

1

2past 16× in de 8

Duidelijk is: hoe kleiner het getal is, waardoor je deelt, des te groter de uitkomst. Logis h

natuurlijk, hoe kleiner de partjes, des te meer kunnen er uitgedeeld worden. Nu de vraag:

wat betekent

0

8? Meestal haal ik een munt uit mijn portemonnee en begin uit te delen : �jij

krijgt niets�, �jij krijgt ook niets�, �jij krijgt ook weer niets�, . . . en het wordt duidelijk, dat

als ik niets uitdeel dat dan de uitkomst nul is!

Iedereen weet, dat, als je niets hebt, je ook niets uit te delen hebt, dus

0

8=

0

100=

0

1=

0

0.01= 0

Anders is als we delen door nul. Als je geld uitdeelt over nul personen, dan kan het uitdelen

niet eens plaatsvinden. Wel kan je inzien dat als je door een steeds kleiner wordend getal

deelt de uitkomst steeds groter wordt:

8

0, 01= 800

8

0, 00001= 800.000

8

0→∞

7

Hoe zit het nu met

0

0? Probeer eens, of één van de volgende uitkomsten lukt bij : 4, 22, π

0

0= 4 mag, want 4× 0 = 0

0

0= 22 mag, want 22× 0 = 0

0

0= π mag, want π × 0 = 0

Con lusie:

0

0is onbepaald. Blijkbaar is een ander gezi htspunt nodig of anders gezegd een

andere benadering. Nu terug naar bovenstaand di�erentiequotiënt.

We kiezen nu een on rete fun tie f(x) = −x2 + 2x en als intervallen resp. [0, 1], [0, 1

2],

[0, 1

4] en [0,∆x] en vinden dan resp:

f(1)− f(0)

1= 1

f(12)− f(0)

1

2

= 11

2

f(14)− f(0)

1

4

= 13

4

f(∆x)− f(0)

h=−(∆x)2 + 2∆x

∆x= −∆x+ 2

Aan het pro es ∆x→ 0 zien we,dat ∆x `ges hrapt' kan worden. In plaats van

0

0vinden we

nu 2. Dit is geen gemiddelde stijging, maar een intentionele stijging, het geeft de ri hting

aan, waarin de fun tie `beweegt' als we vanaf x = 0 naar re hts bewegen. De koorde, het

lijnstuk dat begin- en eindpunt verbindt van de fun tie-waarden van het interval, wordt

tot raaklijn aan de kromme in het `dubbelpunt' (0, 0) met ri htings oë� iënt 2.We hebben nu in het algemene geval:

lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x

def= f ′(x) de afgeleide fun tie

De afgeleide fun tie f ′(x) van een fun tie f(x) geeft voor elke x de stijgingstendens, oftewel

de ri htings oë� iënt van de raaklijn door het punt (x, f(x)).De regels voor het di�erentiëren kunnen op deze manier voor de meeste fun ties gevonden

worden en daarna,zonder a�eiding toegepast worden. Uit deze regels is het voor eenvoudige

fun ties y = f(x) dan ook mogelijk de zogenaamde primitieve fun ties F (x) te vinden,

waarvoor geldt:

F ′(x) = f(x)

Dit omgekeerde pro es van di�erentiëren heet integreren of primitiveren. Dit vindt een be-

langrijke toepassing bij oppervlakteberekeningen, waarvan ik nog één aspe t wil vermelden.

8

Ik s hetste tijdens de periode de onderstaande gra�eken op het bord en vroeg bij welke

fun tie de oppervlakte het meest zou toenemen, als ik x zou laten toenemen.

Zonder aarzeling wordt de linker fun tie aangewezen. Je ziet dat bij de linker fun tie de

groeitendens van oppervlaktetoename groter is dan bij de re hter. Blijkbaar is de fun tie-

waarde f(x) de maat voor de oppervlaktetoename. De volgende a�eiding bevestigt dit

:

f(x)∆x ≤ ∆O ≤ f(x+∆x)∆x

f(x) ≤∆O

∆x≤ f(x+∆x)

Als nu ∆x→ 0, dan volgt:

f(x) = O′(x)

in woorden: de fun tie f(x) is de afgeleide van de oppervlaktefun tie O(x) en geeft de

groeitendens aan.

Het denkpro es in de 12e klas kan als volgt samengevat worden:

veranderingen grensovergangen hogere wiskunde

9

Samenvattend

9e waarnemend denken

10e voelend denken

11e willend denken

12e intentioneel denken

10