x 2

x 2

y is evenredig met x

de formule heeft de vorm y = axde tabel is een verhoudingstabelbij een k keer zo grote x hoort een k keer zo grote yde grafiek is een rechte lijn door de oorsprong

1606432248N

60241293a

evenrediga 3 x zo grootN 3 x zo groot

x 3

x 3

x 5

x 5

voorbeeld

7.1

y is omgekeerd evenredig met x

de formule heeft de vorm xy = a , ofwel y = a/xvermenigvuldig je x met een getal,

dan moet je y door dat getal delende grafiek is een hyperbool

2891824T

369843P

omgekeerd evenredigP 2 x zo grootT 2 x zo klein

vermenigvuldigd steeds 72

x 2

: 2

voorbeeld

7.1

opgave 5

a T is omgekeerd evenredig met ddus T × d = abij d = 2500 T = 1,6

b d = 4835 T = 4000/4835 ≈ 0,8de temperatuur is 0,8°C

c T = 1,4 1,4 × d = 4000d = 4000/1,4 ≈ 2857op een diepte van 2857 m.

1,6 × 2500 = aa = 4000dus T × d = 4000of T = 4000/d

a p is omgekeerd evenredig met t , dusp × t = abij t = 3 p = 38dus p × t = 114of p = 114/t

b t = 5,5 p = 114/5,5 ≈ 20,7er is nog 20,7% van de olie aanwezig

c als 95% van de olie is verdwenenis nog 5% aanwezig , dus p = 5p = 5 5 × t = 114dus t = 114/5 = 22,8het duurt bijna 23 jaar

38 × 3 = aa = 114

hyperboolopgave 6

Asymptoten

de grafiek van y = komt steeds dichter bij de x-asde x-as is een asymptoot van de grafiekeen asymptoot is een lijn waar een grafiek op den duur mee samenvaltde x-as is de horizontale asymptootde y-as is de verticale asymptoot

de grafiek van y = + 5 ontstaat uit die van

y = door deze 5 omhoog te verschuiven

de grafiek van y = + 5 heeft daarom de lijn y = 5

als horizontale asymptootde lijn x = 0 is de verticale asymptoot

komt heel dicht bij de x-as

2

x

2

x2

x 2

x

7.2

Algemeen

7.2

Grafieken tekenen

werkschema : de grafiek van een formule tekenen1 voer de formule in op de GR2 kies een geschikt venster zo, dat het verloop van de grafiek goed zichtbaar is3 maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift4 gebruik de punten uit de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

7.2

Algemeen

de formule y = a/x• de lijn y = 0 (x-as) is de horizontale asymptoot• de lijn x = 0 (y-as) is de verticale asymptoot

de formule y = a/x + bde grafiek ontstaat uit die van y = a/x door de grafiek b

omhoog te verschuiven• de lijn y = b is de horizontale asymptoot• de lijn x = 0 (y-as) is de verticale asymptoot

de formule R = a/t + b• de lijn R = b is de horizontale asymptoot• de lijn t = 0 is de verticale asymptoot

7.2

opgave 11

K = 30 + 4000/qa q neemt toe 4000/q neemt af

30 + 4000/q neemt afbij een grotere productie worden de vaste kosten verdeeld over meer apparatendaardoor nemen de kosten per apparaat af

b horizontale asymptoot K = 30bij een hele hoge productie komen de kosten per apparaat dicht bij 30 euro te liggen

c voer in y1 = 30 + 4000/x

en y2 = 45

optie intersect x ≈ 266,7de productie moet 267 of meer apparaten per dag zijn

d jaq = 8000 K = 30,50en als q > 8000 K < 30,50

45

266,7

30

K

q

opgave 15

N = 1200 – 800/(1 + 2t)a voer in y1 = 1200 – 800/(1 + 2x)

afnemende stijgingb voer in y2 = 1130

optie intersect x ≈ 5,2dus op de zesde dag zijn er 1130 insecten

c de 5e dag t = 4 tot t = 5t = 4 N ≈ 1111t = 5 N ≈ 1127op de 5e dag zijn er 1127 – 1111 = 16 insecten bij gekomen

d voer in y2 = 1190 en y3 = 1195

optie intersect met y1 en y2 x = 39,5

optie intersect met y1 en y3 x = 79,5

het duurt 79,5 – 39,5 = 40 dagene voer in y2 = 1100 en y3 = 1105

optie intersect met y1 en y2 x = 3,5

optie intersect met y1 en y3 x ≈ 3,71

het duurt 3,71 – 3,5 = 0,21 dagen ≈ 5 uur

N

t

1130

1200

horz.asympt. N = 1200 vert.asympt. t = -0,5 (noemer = 0)

Een machtsformule heeft de vorm y = axn

n even

a > 0

x

y

de top is (0,0)

O

a < 0

x

y

O

n oneven

a > 0

x

y

het punt van symmetrie is (0,0)

O

a < 0

x

y

O

7.3

de grafiek van y = axn met a > 0 is• toenemend stijgend voor n > 1• afnemend stijgend voor 0 < n < 1• afnemend dalend voor n < 0

n > 1

0 < n < 1

n < 0

v.b.

7.3

opgave 22

a de grafiek van y = ax-0,85 gaat door het punt (8,3)y = ax-0,85

x = 8 en y = 3

b de grafiek van y = 18xn gaat door het punt (8,3)y = 18xn

x = 8 en y = 3voer in y1 = 3 en y2 = 18 ∙ 8x

optie intersectx = -0,86 dus n = -0,86

3 = a ∙ 8-0,85

a = 3/8-0,85

a = 17,57

3 = 18 ∙ 8n

-0,86

Evenredig en omgekeerd evenredig met een macht van x

als de grootheden P en Q evenredig zijn, bestaat er een getal a zo, dat P = aQhet getal heet de evenredigheidsconstanteen zo volgt uity is evenredig met x0,75

dat er een getal a bestaat zo, dat y = ax0,75

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn

voor omgekeerd evenredig geldt een dergelijke eigenschap

y is omgekeerd evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaatmet y = a/xn

7.3

opgave 28

a A = av2

v = 40 A = 10

A = 0,00625v2

b v = 70 A = 0,00625 ∙ 702 ≈ 30,6de remafstand is 30,6 m.

c als v verdubbelt dan wordt v2 4 keer zo groot dus de remafstand wordt 4 keer zo grootv 2v geeft (2v2) = 4v2

d A = 30 geeft30 = 0,00625v2

v2 = 30/0,00625v2 = 4800v = √4800 ≈ 69zijn snelheid was 69 km/u

10 = a ∙ v2

a = 10/402

a = 0,00625

Evenredigheid aantonen bij tabellen

werkschema : hoe volgt uit een tabel met onderzoeksresultaten dat y evenredig is met xn ?bereken bij elk onderzoeksresultaat het quotiëntlaat zien dat deze quotiënten gelijk zijnin het geval de quotiënten (bij benadering) gelijk zijn, weet je de evenredigheidsconstante a en dus ook de formule y = axn

n

y

x

7.3

dier H G =

konijn 19 2 11,94

hond 56 10 11,97

schaap 142 40 11,99

leeuw 380 175 11,94

gorilla 490 250 12,12

0,67

56

10

opgave 31

a H = a · G0,67 a =

0,67

H

G

0,67

19

2

0,67

H

G

0,67

142

40

0,67

380

175

0,67

490

250

H is evenredig met G0,67

H = 12 · G0,67

b G = 60 H = 12 ∙ 600,67 = 186de hersenmassa is ongeveer 186 gram

12