'Wishful thinking': grondslagen vande wiskunde voor Gödel

CORAN SUNDHOLM

De belangrijkste ontwikkelingen in de negentiende eeuw hinnen (degrondslagen van) de wiskunde morden in dit artikel kort uiteengezet,meer bepaald de aritmetiserirtg lan de analyse en met-euclidischemeetkunde. L itgaande van het mhotuUprobleem ï'otir formele systemen(•amen deßmjeringspogingen in hel logicisme ran f rege (en later ookran Russell') en Brouwers mtuitionisme aan de orde, eïenals Hilbertsformalisme waar inhoud achterwege wordt gelaten. Ter afsluitingwordt de betekenis ran Godels onvolkdigheidsstcllingett vuur dezeposities besproken.

De negentiende eeuw kan gezien worden als een periode van onaf-gebroken vooruitgang in de wiskunde. Door het werk van Bofzano,Cauchv en vooral de Berlijnse hoogleraar Kart Weierstrass, lekende eerdere landwinningen in de integraal- en differentiaal-calculus(Euler, Lagrange) op een veilig fundament te berusten. De grond-slagen van de wiskundige analyse werden onafhankelijk gemaaktvan meetkundige intuïtie, waarbij Weierstrass' e-o methode voorde behandeling van limietprocessen de beslissende rol speelde. Derekenkunde van de hele (positieve en negatieve getallen), zowel alsvan de rationele getallen (de breuken), zijn echter gemakkelijk (via'algebraïsche' constructies) terug te voeren tot de (rekenkunde vande) natuurlijke getallen o, i, 2, 3 Dedekind, Cantor, en Weier-strass lieten op verschillende wijzen zien hoe ook de reële getallen(dit wil zeggen de oneindige decimualbreuken) teruggevoerd kon-den worden naar de natuurlijke getallen, onafhankelijk van meet-kundige inzichten betreffende de punten op een lijnstuk. De ver-zamelingtheoretische (eerder dan algebraische) inzichten die hier-voor nodig waren, werden door Dedekind ingezet om een nieuwe

G R O N D S L A G EN VA N DE W I S K U N D E

weg te banen in de algebra met zijn theorie van 'idealen' en kregeneen systematische uitwerking in Cantors theorie van steeds groterwordende oneindigheden.

Gauss, Bolyai en Lobaschewski ontdekten consistente syste-men van niet-euclidische meetkunde. Het gewone parallellenpos-tulaat zegt dat voor een gege\en vlak, een lijn in dat \lak, en eenpunt op het vlak buiten de lijn, er precies één lijn is door het gege-ven punt, die parallel is met de gegeven lijn. In de niet-euclidischemeetkunde wordt dit ontkend; er zijn dan nul of meerdere paral-lelle lijnen. Door onder anderen Klein en Poincaré «erd ontdektdat men modellen voor de niet-euclidische meetkunde kon gevenbinnen de euclidische meetkunde. Als de euclidische meetkundevrij van tegenspraak is, dan ontstaan er ook binnen de niet-euclidi-sche meetkunde geen tegenspraken: vanwege het modelleren vanniet-euclidische begrippen binnen de euclidische meetkunde zoueen niet-euclidische tegenspraak onmiddellijk terugslaan binnende euclidische meetkunde. Maar die is immers vrij van tegen-spraak; door de bekende cartesiaanse methode van analytischerepresentatie gaat de euclidische meetkunde over in een stukjerekenkunde voor de reële getallen.

Door deze ontwikkelingen in de meetkunde onderging het axio-mabegrip een grote verandering die zijn voltooiing kreeg in hetwerk van Dav id Hilbert.Volgens één van zijn beroemde uitspraken'spreken wij in de meetkunde van punten, vlakken, en lijnstukken.In feite kunnen wij evenwel spreken over tafels, stoelen en biergla-zen.' De (meetkundige) axioma's werden langs deze «eg ontdaanvan inhoud. Zij zijn niet meer zei/evidente oordelen, maar geven nuimpliciete affinities van de in hen voorkomende begrippen; slechtsde onderliggende begrijpelijke verhoudingen zijn belangrijk.

Verder door het werk van Gauss, Fourier en anderen, kreegwiskunde een centrale plaats voor de natuurwetenschappen; mendenke aan de geodesie, de sterrenkunde, de thermodynamica, detheoretische optica, enzovoort; een (natuur-)wetenschap ontleenthaar bruikbaarheid en legitimiteit aan de mate waarin zij wiskun-dige methoden en begrippen benut.

W I J S G E R f G P E R S P E C T I E F

Fregesiogkistisch funderingsprogramma

Na deze ontwikkelingen was het duidelijk dat de natuurlijke getal-len een fundamentele positie innamen, niet alleen wat betreft dealledaagse huis-tuin-en-keuken-toepassing van het wiskundig den-ken, maar ook voor zijn stelselmatige fundering. De andere delenvan de wiskunde waren immers door algebraische en verzameling-theoretische constructies teruggebracht tot de rekenkunde vandeze natuurlijke getallen. Hier lijkt echter geen verdere wiskun-dige reductie mogelijk: een eenvoudiger stelsel van getallen is erniet. Hoe kon men er in dit geval zeker van zijn dat er geen onge-oorloofde assumpties voorkomen? En dat de intuïtie niet op eenonterechte manier gebruikt werd om tot valse of ongegronde stel-lingen te komen?

De Duitse wiskundige Gottlob Frege probeerde deze vragen opeen briljante manier te beantwoorden. Ten eerste gaf hij in zijnboekje Begrtffsschnjt van 1870 een symbolische formuletaal voorhet uitdrukken van logische begrippen en het weergeven vangevolgtrekkingen. Ten tweede constateerde hij dat inhoud slechtseen rol speelt bij het kiezen en het kentheoretisch rechtvaardigenvan deze axioma's en regels. Het controleren van de correctheidvan een afleiding kan daarna in beginsel geschieden door eenmachine op grond van louter syntactische overwegingen (die duslouter op de tekens zelf betrekking hebben). Ten slotte wilde hij deinhoud van de wiskundige beginselen veilig stellen en controleer-baar maken door de wiskundige begrippen te definiëren in termenvan zuiver logische begrippen.

Volgens Frege was een verdere reductie van de rekenkunde dustoch mogelijk, maar niet naar een ander wiskundig getallenstelsel.Frege wil de rekenkunde reduceren naar de logica. Zijn poging totfundering van de wiskunde is derhalve een logicisme. Zijn aristote-lisch funderingsdenken in termen van traditionele axiomatiek staatin zekere zin haaks op de vernieuwde inhoudsloze axiomatiek vanHubert. Er vond dan ook een felle correspondentie over dit themaplaats tussen de twee denkers.

Frege had in Góttingen gestudeerd en het is opvallend hoe goed

G R O N D S L A G E N V A N D E W I S K U N D E

zijn oeuvre past binnen het Gottingen-paradigma betreffende decentrale rol van de wiskunde. Aan de ene kant is zijn voornemenhet verkrijgen van maximale zekerheid in de bewijsvoeringen - destevigste (festeste) bewijsvoering is de zuiver logische - en aan deandere kant is zijn logica een zeer gemalhemalsseerdc logica.Immers, Freges boekje draagt de ondertitel 'een op de rekenkundegemodelleerde formuletaal voor het zuivere denken'. Zijn logicaontleent haar legitimiteit en bruikbaarheid aan het inzetten vanwiskundige begrippen en methoden.

In zijn boek Grundlagen der Arithmetik uit 1884 gafFrege eersteen informele reductie, wellicht op voorstel van Carl Stumpf. Fre-ges intentie \vas hier om Kant op één punt te corrigeren, namelijkvoor wat betreft de status van de rekenkunde. Zij is volgens Kantsynthetisch a priori, maar volgens Frege analytisch (want zuiverlogisch te funderen). Een definitie van het getal 12 in Freges geestkan als volgt verlopen:

12 = dcf De omvang van het begrip 'begrip dat gelijktallig ismet het begrip "maand -can het jaar'".

De twee begrippen 'apnstel ran Christus' en 'teken ran de dieren-riem ' behoren dus beide tot de begripsorm ang 12.

Freges poging tot een geformaliseerde en tegelijk inhoudelijkgefundeerde behandeling van de rekenkunde liet echter op zichwachten, tot de twee banden van de Grandgesetze der Arithmetik(1803 respectievelijk 1903). De Zermelo-Russell paradox van 'deklasse van alle klassen die niet tot zichzelf behoren' (hoort dezeklasse tot zichzelf of niet?) slaat toe, waardoor Freges systeemtegenstrijdig is. Zelfs na deze catastrofe pogen een aantal logici hetlogicisme te redden. A. N. Whitehead en Bertrand Russell gavenin de drie banden van hun monumentale Pnnapia Mathematica(1910-13) weliswaar een afleiding van de klassieke wiskunde. Huntheorie, de geramtfuerde typentheorie, is echter zeer complex.Deze complexiteit hadden zij nodig om de paradoxen te blokkeren.Desalniettemin laat de epistemologische status van een drietal'axioma's' te wensen over. Zij krijgen geen rechtvaardiging, maar

W I I S C E R I G P E R S P E C T I E F |44|2OO4|2

worden op louter pragmatische gronden expliciet als assumptiesaangenomen, want anders is er geen afleiding van de wiskunde! Dedrie zijn het oneindigheidsaxiuma ('er zijn oneindig veel individuenin het universum'), het mulliplicatieve axioma ('gegeven een verza-meling van niet-lege verzamelingen is er een verzameling die pre-cies één element bevat uit elke verzameling in de gegeven verzame-ling' - je kunt een koekje kiezen uit iedere schaaï!) en het reduciinli-teilsa.noma, dat een deel van de complexiteit in de praktijk preciesweer opheft.

\\ittgenstems Tractalus, evenals het werk van F. P. Ramsey enLeon Chwistek, kan gezien worden als een poging om de gewenstesemantische, zeg maar inhoudelijke fundering te geven voor eenadequaat logicisme. De laatste poging waagt de logische empiristRudolf Carnap in zijn bijdrage aan een befaamd congres \an deIf tener Kreis in Koningsbergen, september 1930, maar daarna ishet afgelopen

Freges derde stap, namelijk een reductie naar de logica, luktniet. Wellicht zijn andere funderingen mogelijk? Misschien kun-nen wij andere formuletalen vinden met meer adequate betekenis-\erklaringen, zodat de axioma's en regels daadwerkelijk evidentworden gemaakt? Onder anderen de Amerikaanse logici Church,Curry en Quine hebben allerlei pogingen ondernomen in dezerichting, maar hun systemen bleken inconsistent te zijn. De tweedesiderata, fundering van klassieke logica en veiliggestelde inhoud,lijken vooralsnog te hoog gegrepen.

Brouwer en de veilige inhoud

In de moderne analyse werd vaak de methode van indirecte bewij-zen toegepast. De hoofdstelling van de algebra, bijvoorbeeld, zegtdat iedere veeiterm p(z) = anz

n + ... + a,z + a0 een wortel heeft,met andere woorden een getal 7 zodanig dat p(z) = o, in het gebiedvan de complexe getallen. Om dit te bewijzen stelt men dat p(z) #o en leidt men een tegenspraak af. Zo'n bewijsmethode geeft geenindicatie hoe men een wortel vindt, in tegenstelling tot andere

G R O N D S L A G EN VAN D£ W I S K U N D E

methoden die, als je de coëfficiënten an , . . . , a t , aQ kent, een wortelvan p berekenen met elke gewenste nauwkeurigheid. Vanaf 1008nam de Nederlandse wiskundige L.E.J. ('Bertus') Brouwerafstand van deze indirecte methode. Blinde, inhoudsloze toepas-sing van logische regels is volgens hem niet geoorloofd. Hijtrachtte de wiskunde van de grond af aan op heldere inhoud op tebouwen. Voor deze reconstructie waren nieuwe wiskundigebegrippen zoals keuzertjen nodig en het gebruik van indirectebewijzen werd zorgvuldig vermeden Volgens Brouwer gaat .un Jtwiskunde^de taal vooraf, in het bijzonder^een geformaliseerde taal.De wiskundige moet alles zelf opbouwen vanuit zijn tijdsintuitieen niet vertrouwen op misschien lege, tot niets voerende taalver-zinsels.

Huberts wiskundig positivisme

Het vroege werk van de Duitse wiskundige David Hubert is bij-zonder interessant vanuit het oogpunt van de grondslagen van dewiskunde. Wij hebben al gezien hoe instrumenteel hij was in hetverjagen van inhoud uit de a\iomatiek. Zijn eerste wiskundigefaam verw ierf hij echter juist door het voeren van indirecte existen-tiebewijzen: in plaats van expliciete constructie van het gezochtewordt slechts een tegenspraak afgeleid uit de assumptie dat er geenpassende entiteit bestaat. Deze bewijzen vielen zowel bewonderingals blaam ten deel: 'Dat is geen wiskunde maar theologie', zei PaulGordan, en voor de strenge Leopold Kronecker waren indirecteexistentiebewijzen helemaal uit den boze. Slechts de rekenkundehad voor hem echte wiskundige inhoud: 'De natuurlijke getallenzijn door God gegeven. Al de rest is mensenwerk.'

Zermelo's gebruik van zijn 'keuzeaxioma* goot olie op het vuu rdoor prangende vragen omtrent mathematische existentie op teroepen. Als wij op een bord met koekjes precies een koekje van elkesoort willen kiezen, dan doen wij dat gewoon een voor een, naelkaar. Maar in de wiskunde bevat het bord met koekjes vaak onein-dig veel soorten koekjes, en wat dan? Er is simpelweg geen tijd in

W I J S G E R I G P E R S P E C T I E F |44J2OO4|2

een mensenleven om oneindig veel keuzes achter elkaar te effectu-eren. Uit oneindig veel paren handschoenen of laarzen kunnen wijsteeds de linker kiezen, maar als het om sokken gaat, hebben wijeen probleem. Deze zijn immers symmetrisch. Als een vooraf-gaande ordening van de elementen in de soorten waaruit wij moe-ten kiezen, afwezig is, hoe moeten wij tot een keuze komen? Metname vooraanstaande Franse wiskundigen hebben over deze vra-gen omtrent het bestaan van een keuzemethode onafhankelijk vanelke definitie vurig gedebatteerd.

Huberts poging rond 1920 om uit dit grondslagenmoeras teklimmen was bijzonder ingenieus. Hij combineerde Kroneckersopvatting omtrent de ware rekenkundige, combinatorische natuur\an de wiskunde met zijn eigen inhoudsloze axiomattek: Hubertaccepteert Kroneckers l erbotstliktaat. De echte wiskunde heefteen inhoud die de Duitser Hubert real noemt. Slechts zeer een-voudige uitspraken zijn real, namelijk de vrije-variabele vergelij-kingen tussen berekenbare functies

(•) f(x) =g(x), gegeven xe N

en hun concrete invullingen (N staat voor de natuurlijkegetallen). Omdat (*) equivalent is aan

(••) f(x) - g(x) = o, gegeven xe N

kan hij volstaan met uitspraken van de vorm

(•••) f(x) = o, gegeven xe N

waar f een berekenbare functie is. Deze uitspraken worden ookverifieerbaar genoemd, omdat voor elke concrete im ulling f(k) uit-gerekend kan »orden. Wanneer zij waar zijn, ontlenen zij hunovertuigingskracht aan zeer elementaire berekeningsvoorschriftendie wij allemaal moesten Ieren op de lagere school ('de tafel van 7',enzovoort). Voorts is één tegenvoorbeeld f(k) ̂ o genoeg om eenverifieerbare uitspraak f(x) = o, xe N, te weerleggen. Alle andere

GRONDSLAGEN VAN DE WISKUNDE

uitspraken in onze formuietaal hebben geen inhoud; het maakt nietuit waar de tekens V, 3, (de zogenaamde kwantoren 'voor alle' en'er zijn'), Cantors No, » (aanduidingen voor oneindige getallen),enzovoort voor staan; zij zijn ideale elementen met een slechtstheoretische rol. Het enige wat te!t is het reale gedeelte, dat wilzeggen de verifieerbare uitspraken. Met andere woorden, Hubertpast de positivistische slogan 'the verifiable consequences mustcheck out* toe op de wiskunde:

Wanneer de reale formule f(x) = o, xe N, bewijsbaar is in hetideale (inhoudsloze) systeem /, dan moet zij ook real waarzijn.

Een natuurkundige theorie moet conservatief zijn met betrekkingtot observatie-uitspraken, anders gezegd je kan niet meer afleidendan de observaties toelaten. Op soortgelijke wijze eist Hubert datideale w iskunde conservatief is boven reale wiskunde met betrek-king tot reale uitspraken.

Hubert observeerde dan dat als / consistent is, dit wil zeggen vr i jvan tegenspraak is, dan is iedere ideaal bewijsbare reale uitspraakook real waar. Want stel dat / consistent is en dat niet elke instantievan f(x) = o real bewijsbaar is, dat wil zeggen stel dal f(k) * o realbewijsbaar is voor een zekere k. De functie fis berekenbaar en duskan f(k) ̂ o ook in het systeem ƒ bewezen worden. De formule f(x)= o, gegeven xe N, heeft door middel van substitutie uiteraard f(k)= o als gevolg in / en wij hebben een tegenspraak. Dus: als hetideale systeem I consistent (vri j van tegenspraak) is, dan zijn ideaalafleidbare reale uitspraken ook real waar. The verifiable consequencesdo indeed check out.

Door deze observatie is het grondslagenvraagstuk tot een wis-kundig probleem teruggebracht. Het is (slechts!) nodig om tebewijzen dat het ideale systeem / consistent is. Inhoudelijke over-wegingen doen er dan verder niet toe! Huberts aanpak is voor eenprofessionele wiskundige uiteraard zeer aantrekkelijk. Om degrondslagen veilig te stellen, hebben wij filosofie noch betekenis-analyse nodig. Het volstaat om een zuiver wiskundige stelling te

1 6 W I J S G E R I G P E R S P E C T I E F J 4 4 J 2 O O 4 | 2

bewijzen, namelijk dat het onmogelijk is de tekencombinatie o f iaf te leiden vanuit de gegeven inhoudsloze axioma's volgens de for-mele regels van het formele systeem / voor de hogere wiskunde.Dergelijke onmogehjkhfidsresultaten zijn goed bekend in de wis-kunde, bijvoorbeeld de onmogelijkheid om de hoek in drieën tedelen of de onmogelijkheid om vergelijkingen \an graad vijf enhoger op te lossen door middel van worteltrekken. Reale consisten-tiebewijzen werden dan ook gegeven voor verschillende deelsyste-men door Ackermann, Von Neumann en Jaques Herbrand. Hetleek slechts een kwestie van tijd voordat Huberts droom werkelijk-heid zou zijn.

De situatie rond 1930 in de grondslagen van de wiskunde kanmet betrekking tot de verschillende standpunten betreffendeinhoudelijke rechtvaardiging en klassieke logica in een zogenoemde 'frietsnijder' weergegeven worden:

Inhoud in de grondslagen van de wiskunde rond 1930

Klassieke logicaAanvaarding Verwerping

Taal met inhoud

Taal zonder inhoud

Logicisme(Frege, Carnap)i 1

Formalisme(Hubert)

Intuitionisme(Brouwer)

De interventie van Gödel

Op het hierboven reeds vermelde neo-positiv istische congres inKoningsbergen, waar Carnap, Heyting en Von Neumann eenberoemde rondetafelsessie gaven over de grondslagenproblema-tiek, liet de 24-jarige Kurt Godel - in de woorden van de Finseneopositivist Eino Kaila, 'een jongeling van onaanzienlijk uiterlijk,

G R O N D S L A G E N VAN D E W I S K U N D E

maar met opmerkelijke ogen' - een bom afgaan onder de grondsla-genaspiraties van de voorafgaande generatie. Gödel, geboren inBrno, had in Wenen wiskunde gestudeerd en had via zijn promotorHans Hihn toegang tot Schlicks Hïener Kreis. Desondanks aan-vaardt hij niet de dogma's van de empiristen. De (meta)logischeelementen leerde Gödel van Carnap en uit het tekstboek van Hil-bert-Ackermann. Colleges van Hahn (over reële functies) en Phil-lip Furtwängler (over getallentheorie) gaven hem de wiskundigewerktuigen die nodig waren voor zijn werk dat verscheen in febru-ari 1931, de schriftelijke neerslag van zijn presentatie op het con-gres. Daar liet Gódel in detail zien hoe, gegeven een voldoendesterke en consulent veronderstelde axiomatisering A van de reken-kunde, het mogelijk is om een real formule <pA expliciet aan te gevenzodat tpA niet bewijsbaar is in het systeem A, maar waar met inhou-delijke middelen, buiten het systeem A om, ingezien kan wordendat de reale rekenkundige propositie die <pA uitdrukt waar is.

Hiermee is het logicisme van Frege weerlegd, leder voldoendsterk formeel systeem bevat noodzakelijk hiaten, onafhankelijk vande vraag of het systeem inhoudelijk gerechtvaardigd is, zi j hè! doormiddel van een logicistische reductie, zij het op andere wijze, ofniet. (Voldoende sterk betekent hier zoiets als 'kan de waarden vanberekenbare functies uitrekenen' of'bevat tenminste Huberts realewiskunde'.) Omdat de reductie plaatsvindt naar een formeel sys-teem dat eo ipso voldoende sterk moet zijn - de theorie van bere-kenbare functies is immers een deel van de rekenkunde - blijkt datwij ook hier rekenkundige waarheden zullen overslaan, of dat » i jvervallen in inconsistentie, waardoor a forlwn alle rechtvaardigingontbreekt.

Ook Huberts grondslagenprogramma gaat ten onder. De Göd-elformule (pA is real en tevens waar, maar desalniettemin is zij nietafleidbaar zelfs in het ideale systeem A (dat de reale middelenomvat). De ware reale zin <pA is derhalve niet real bewijsbaar en hethilbertiaanse conservatismeprogramma faalt.

De gewenste fundering is niet te leveren: klassieke wiskundeblijft op puur geloof berusten, wat een aantal cruciale puntenbetreft. In later, maar even belangrijk werk in de fundamenten van

W I I S C E R I C P E R S P E C T I E F |44J2OO4|2

de geformaliseerde verzamelingenleer, heeft Gödel laten zien datde consistentieproblematiek niet altijd hopeloos is: de mogelijkheidvoor relatieve consistentiebewijzen blijft open. Een relatief consis-tentiebewijs laat niet zien dat een theorie absoluut consistent is,maar slechts dat een theorie consistent is gegeven de consistentievan een andere. Zodoende heeft Gódel bewezen dat het keuze-axioma (zie hoger) consistent is, gegeven de consistentie van degebruikelijke verzamelingenleer volgens Zermelo, Fraenkel enSkolem. Zijn bewijsmethode is een vertrouwde methode vanuit deniet-Euclidische meetkunde (zie eveneens hoger): een internemodelconstructie van de ene theorie in de andere.

John \on Neumann, één van de grootste wiskundigen van detwintigste eeuw heeft Gódel geprezen met de woorden: 'KurtGodels bijdrage aan de moderne logica is uniek en monumentaal.Zij is een landmerk dat lang in ruimte en tijd zichtbaar zal blijven.'Tegen een arts die Gódel behandelde, formuleerde een geleerde inPrinceton, waar Gódel vanaf 1040 aan het Institute jor AdvancedStudy werkzaam was, het nog bondiger: 'Geloof het of niet, dokter,maar daar hebben wij de grootste logicus sinds Aristoteles.' 'Senon è vero, é ben trovato'. De mogelijke rivalen zijn er slechts tweeof drie: een Bernard Bolzano, een Gottlob Frege of misschien eenAlfred Tarski.

C RON DS L A C E N VAN DE W I S KUN DE