7/25/2019 Werkstuk differentiaalvergelijking

1/5

Differentiaalvergelijkingen

Marlene van der Kaaij

31 januari 2015

Contents

1 Veerbeweging 1

1.1 Kenmerkende grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Differentiaalvergelijking van de ongedempte harmonische trilling 21.3 Differentiaalvergelijking oplossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Slingerbeweging - Wiskundige slinger 5

The equation was very complicated but the professor, being a tactful and

modest man, used the word ordinary to describe it

1 Veerbeweging

1.1 Kenmerkende grootheden

Een veer in zijn ruststand beweegt niet. Zodra je een veer een bepaalde uitrekkingof indrukking geeft, gaat deze veer bewegen. De veer krijgt dan een bepaaldeuitwijking, zijn maximale uitwijking noemen we de amplitude. Wij gaan hethebben over de ongedempte harmonische trilling. Een ongedempte harmonis-che trilling beweegt periodiek, hiermee bedoelen we dat een trilling dezelfdetijdspan heeft. Dit noemen we de periode van een trilling. Wanneer een veer invan zijn maximale uitrekking is en naar zijn maximale indrukking gaat, gaat deveer door zijn evenwichtsstand. Dit punt noem je het evenwichtspunt.De ongedempte harmonische trilling zou in de werkelijkheid niet voorkomen,dan spreek je over de gedempte trilling waarbij de veer uiteindelijk terugkomtin zijn ruststand.

Een veer beweegt met een bepaalde snelheid en een bepaalde versnelling. Desnelheid is maximaal in de evenwichtsstand en hierbij heeft de veer geen ver-snelling meer. De versnelling is maximaal wanneer de veer geen snelheid meerheeft, dit is in de maximale uitwijking ofwel amplitude.

1

7/25/2019 Werkstuk differentiaalvergelijking

2/5

7/25/2019 Werkstuk differentiaalvergelijking

3/5

We willen uiteindelijk een functievoorschrift opstellen voor de plaatsbepalinguitgezet over de tijd.

Formule (1) kunnen we herschrijven als

s(t) = A sin( t) (2)

Daarboven, we willen niet dat dit alleen geldt dat we beginnen bij 0, 2, 4, 6, 8...(ecetera) op de eenheidscirkel. We willen dat het functievoorschrift voor deplaatsbepaling altijd geldt, dus we moeten rekening houden met een beginfase,dit wordt bepaald waar de veer begint met zijn uitrekking op t= 0 begint. Debeginfase noemen we .

Het functievoorschrift voor de plaatsbepaling wordt dan

s(t) = A

sin(t+) (3)

Een paar basisbegrippen uit de bewegingsleer zijn plaats, snelheid en versnelling.Dit zijn vectorgrootheden, dat houdt in dat deze basisbegrippen allemaal eengrootte en een richting hebben. We spreken bij de ongedempte harmonischetrilling van een eenparige cirkelbeweging, hierbij is de grootte van de snelheidconstant en de richting verandert gelijkmatig door invloed van de versnelling. Degrootte van de versnelling is ook constant en de richting verandert gelijkmatigdoor invloed van de snelheid. Daarbij staat de versnellingsvector loodrechtop de snelheidsvector. Ook, de versnellingsvector staat in tegenovergestelderichting van de plaatsvector. Daarnaast, de snelheidsvector staat loodrecht opde plaatsvector.

Dus, de veer beweegt met een snelheid en versnelling. Door de eerste afgeleidevan het functievoorschrift van de plaatsbepaling te bepalen krijgen we een func-tievoorschrift van de snelheid. De snelheid uitgezet over de tijd definieren weals v(t).

Differentieren van formule (3) geeft met behulp vanvs(t) = dsdt

en de kettingregel.

Het functievoorschrift voor de snelheid wordt dan

vs(t) = A cos(t+) (4)

Door de tweede afgeleide van het functievoorschrift van de plaatsbepaling tebepalen krijgen we een functievoorschrift van de versnelling. De versnellinguitgezet over de tijd definieren we als a(t).

Differentieren van formule (4) geeft met behulp vanas(t) = dvdt

= d2sdt2

en weer

gebruikmakend van de kettingregel. Het functievoorschrift voor de versnellingwordt dan

as(t) = 2 A sin(t+) (5)

3

7/25/2019 Werkstuk differentiaalvergelijking

4/5

7/25/2019 Werkstuk differentiaalvergelijking

5/5

Aangezien we formule (6) ook kunnen oplossen door de plaatsfunctie en snel-heidsfunctie in te vullen krijgen we

2 A sin(t+) = km A sin(t+)

=

k

m

Bovendien wisten we dat de formule van de hoeksnelheid = 2t

dan geldt dusook

2

t =

k

m

2 m= t k

t= 2m

kMeestal wordt de trillingstijd t aangegeven met een grote letter Ten de kracht-constantek wordt aangegeven met de veerconstante C, dus de formule van hetmassa-veersysteem voor de trillingstijd is

T= 2

m

C

2 Slingerbeweging - Wiskundige slinger

De slinger heeft eenFz = mgmetg de valversnelling. Als weFzgaan ontbindenin twee factoren krijgen we voor Fres = m

g

sin() en Fy = m

g

cos().

Omdat Fres de enige kracht is die voor de beweging zorgt dat de slinger doorhet evenwichtspunt gaat (versimpeld model want de wrijvingskracht is verwaar-loosd) kunnen we Fres gelijk stellen aan Fz. Dit geeft

m d2y

dt2 = m g sin() (8)

Als de amplitude erg klein is geldt sin() . Herleiden geeftd2y

dt2 = g (9)

Voor geldt = sL

= y(t)L

(booglengte). Invullen geeft

2 A sin(t+) = g A sin(t+)L

(10)

Oplossen geeft

=

g

L (11)

5